一元二次不等式恒成立问题专项练习
(完整版)一元二次不等式的经典例题及详解
一元二次不等式专题练习例1 解不等式：（1）015223>--x x x ；（2）0)2()5)(4(32<-++x x x ．例2 解下列分式不等式： （1）22123+-≤-x x （2）12731422<+-+-x x x x例3 解不等式242+<-x x例4 解不等式04125622<-++-x x x x ． 例5 解不等式x xx x x <-+-+222322． 例6 设R m ∈，解关于x 的不等式03222<-+mx x m ．例7 解关于x 的不等式)0(122>->-a x a ax ． 例8 解不等式331042<--x x ．例9 解关于x 的不等式0)(322>++-a x a a x ． 例10 已知不等式02>++c bx ax 的解集是{})0(><<αβαx x ．求不等式02>++a bx cx 的解集．例11 若不等式1122+--<++-x x b x x x a x 的解为)1()31(∞+-∞，， ，求a 、b 的值． 例12不等式022<-+bx ax 的解集为{}21<<-x x ，求a 与b 的值． 例13解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax ． 例14 解不等式x x x ->--81032．例1解：（1）原不等式可化为0)3)(52(>-+x x x把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3,25,0321=-==x x x 顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分．∴原不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<-3025x x x 或 （2）原不等式等价于⎩⎨⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔>-++2450)2)(4(050)2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{}2455>-<<--<x x x x 或或说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下图．分析：当分式不等式化为)0(0)()(≤<或x g x f 时，要注意它的等价变形 ①0)()(0)()(<⋅⇔<x g x f x g x f ②0)()(0)(0)()(0)(0)()(0)()(<⋅=⇔≤⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或或例2（1）解：原不等式等价于⎩⎨⎧≠-+≥+-+-⇔≥+-+-⇔≤+-++-⇔≤+---+⇔≤+--⇔+≤-0)2)(2(0)2)(2)(1)(6(0)2)(2()1)(6(0)2)(2(650)2)(2()2()2(302232232x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x用“穿根法”∴原不等式解集为[)[)+∞⋃-⋃--∞,62,1)2,(。
一元二次不等式综合.含参恒成立问题(经典集锦)
一元二次不等式综合题型一.求定义域问题：求下列函数的定义域：1.)10(log 322≠>=--a a y x x a 且 2.942+-=x x y 3.181222-+-=x x y二.一元二次不等式变形问题:解下列不等式：1.⎩⎨⎧<->+0203x x2.⎩⎨⎧≥-->-+0620622x x x x3.⎩⎨⎧<-≥--0304322x x x4.4202≤--≤x x5.设集合S ＝{x |－5<x <5}，T ＝{x |x 2＋4x －21<0}，则S ∩T三.含参数的一元二次不等式问题：解下列不等式1.02≤-a x()0>a 2.()R a a x ∈≤-02 3.)(022R a a ax x ∈<--4.()012<++-a x a x5.)(222R a ax x ax ∈-≥-6.()()R a a x a ax∈<++-0122 7.()()110122<<-<++-a a x a ax四.不等式“有根”，“没根”，“恒成立”问题：1.不等式02>++c bx ax 的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：(1)当0,00>==c b a 时，(2)当⎩⎨⎧<∆>≠000a a 时， 2.不等式02>++c bx ax 的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：（1）当0,00>==c b a 时，（2）当⎩⎨⎧<∆<≠000a a 时， 3.a x f ≤)(恒成立⇔[]⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-a x f a x f max )(0)(选择一种方法；a x f ≥)(恒成立⇔[]⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥≥-a x f a x f min )(0)(选择一种方法 含参数a 不等式，求参数a 的取值范围：已知()x a →例1.当m 为什么实数时，关于x 的一元二次方程()01=+--m x m mx ，没有实根。
高考数学一元二次不等式恒成立与能成立问题5大题型(解析版)
一元二次不等式恒成立与能成立问题5大题型命题趋势不等式是高考数学的重要内容。
其中，“含参不等式恒成立与能成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多、综合性强、解法灵活等特点备受高考命题者的青睐。
另一方面，在解决这类数学问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维灵活性、创造性都有这独到的作用。
一元二次不等式应用广泛，考察灵活，高考复习过程要注重知识与方法的灵活运用。
满分技巧一、一元二次不等式在实数集上的恒成立1.不等式ax2+bx+c>0对任意实数x恒成立⇔a=b=0c>0或a>0△<02.不等式ax2+bx+c<0对任意实数x恒成立⇔a=b=0c<0或a<0△<0【注意】对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方．二、一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题求解方法方法一：若f x >0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f x >0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)；方法二：转化为函数值域问题，即已知函数f x 的值域为m,n，则f x ≥a恒成立⇒f x min≥a，即m ≥a；f x ≤a恒成立⇒f x min≤a，即n≤a.三、给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数；一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数.即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解。
四、常见不等式恒成立及有解问题的函数处理方法不等式恒成立问题常常转化为函数的最值来处理，具体如下：1.对任意的x∈m,n，a>f x 恒成立⇒a>f x max；若存在x∈m,n，a>f x 有解⇒a>f x min；公众号：高中数学最新试题若对任意x∈m,n，a>f x 无解⇒a≤f x min.2.对任意的x∈m,n，a<f x 恒成立⇒a<f x min；若存在x∈m,n，a<f x 有解⇒a<f x max；若对任意x∈m,n，a<f x 无解⇒a≥f x max.热点题型解读【题型1一元二次不等式在实数集上的恒成立问题】【例1】(2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测)使得不等式x2-ax+1>0对∀x∈R恒成立的一个充分不必要条件是()A.0<a<2B.0<a≤2C.a<2D.a>-2【答案】A【解析】由不等式x2-ax+1>0对∀x∈R恒成立，得Δ<0，即-a2-4<0，解得-2<a<2， 从选项可知0<a<2是-2<a<2的充分不必要条件，故选：A.【变式1-1】(2022秋·山东·高三山东省实验中学校考阶段练习)已知命题“∃x∈R，使4x2+a-1x+ 1≤0”是假命题，则实数a的取值范围是()A.(-∞,-3)B.(-5,3)C.(5,+∞)D.(-3,5)【答案】D【解析】因为命题“∃x∈R，使4x2+a-1x+1≤0”是假命题，所以，命题“∀x∈R，4x2+a-1x+1>0”是真命题，所以，Δ=(a-1)2-16<0，解得-3<a<5，故实数a的取值范围是(-3,5)．故选：D.【变式1-2】(2023·全国·高三专题练习)若命题“关于x 的不等式2mx 2+4mx +m -1<0对一切实数x 恒成立”是假命题，则实数m 的取值范围是____________．【答案】m ≤-1或m >0【解析】若命题是真命题：当m =0时，2mx 2+4mx +m -1<0，可化为-1<0，成立；当m ≠0时，m <0Δ=16m 2-8m m -1 <0 ，解得-1<m <0综合得当-1<m ≤0时，关于x 的不等式2mx 2+4mx +m -1<0对一切实数x 恒成立是真命题，若命题“关于x 的不等式2mx 2+4mx +m -1<0对一切实数x 恒成立”是假命题则m ≤-1或m >0【变式1-3】(2022秋·广西钦州·高三校考阶段练习)已知关于x 的不等式x +kx-k >0恒成立，则实数k 的取值范围是_____________．【答案】[0,4)【解析】x +kx -k >0，即x -k x +k >0(x >0)，令t =x >0，则t 2-kt +k >0(t >0)恒成立．所以k 2≤002-k ×0+k ≥0或k 2>0Δ=-k 2-4k <0,解得0≤k <4，故实数k 的取值范围是[0,4)．【变式1-4】(2022秋·山东聊城·高三山东聊城一中校考期末)关于x 的不等式a 2-16 x 2-(a -4)x -1≥0的解集为∅，则实数a 的取值范围为_________．【答案】a ∣-125<a ≤4 【解析】当a =4时，不等式可化为-1≥0，无解，满足题意；当a =-4时，不等式化为8x -1≥0，解得x ≥18，不符合题意，舍去；当a ≠±4时，要使得不等式a 2-16 x 2-(a -4)x -1≥0的解集为∅，则a 2-16<0,Δ=a -4 2+4a 2-16 <0, 解得-125<a <4．综上，实数a 的取值范围是a ∣-125<a ≤4 ．【题型2一元二次不等式在某区间上的恒成立问题】公众号：高中数学最新试题【例2】(2022秋·辽宁沈阳·高三沈阳市第三十一中学校考开学考试)已知不等式-2x 2+bx +c >0的解集x -1<x <3 ，若对任意-1≤x ≤0，不等式-2x 2+bx +c +t ≤4恒成立．则t 的取值范围是__________．【答案】t ≤-2【解析】由题设，b 2=2且-c 2=-3，可得b =4,c =6，所以-2x 2+4x +2+t ≤0在-1≤x ≤0上恒成立，而f (x )=-2x 2+4x +2+t 在(-∞,1)上递增，故只需f (0)=2+t ≤0即可，所以t ≤-2.【变式2-1】(2022秋·山东青岛·高三统考期中)已知关于x 的不等式ax 2+(1-3a )x +2≥0的解集为A ，设B ={-1,1}，B ⊆A ，则实数a 的取值范围为()A.-32≤a ≤14B.-14≤a ≤32C.a ≤-14D.a ≥32【答案】B【解析】由题意，a (x 2-3x )+x +2≥0在B ={-1,1}上恒成立，所以4a +1≥03-2a ≥0，可得-14≤a ≤32.故选：B【变式2-2】(2022秋·河南·高三期末)已知a >0，b ∈R ，若x >0时，关于x 的不等式ax -2 x2+bx -5 ≥0恒成立，则b +4a的最小值为()A.2B.25C.43D.32【答案】B【解析】设y =ax -2(x >0)，y =x 2+bx -5(x >0)，因为a >0，所以当0<x <2a时，y =ax -2<0；当x =2a时，y =ax -2=0；当x >2a时，y =ax -2>0；由不等式(ax -2)x 2+bx -5 ≥0恒成立，得：ax -2≤0x 2+bx -5≤0 或ax -2≥0x 2+bx -5≥0 ，即当0<x ≤2a时，x 2+bx -5≤0恒成立，当x ≥2a时，x 2+bx -5≥0恒成立，所以当x =2a 时，y =x 2+bx -5=0，则4a2+2b a -5=0，即b =5a 2-2a ，则当a>0时，b+4a=5a2-2a+4a=5a2+2a≥25a2×2a=25，当且仅当5a2=2a，即a=255时等号成立，所以b+4a的最小值为2 5.故选：B.【变式2-3】(2022秋·广西钦州·高三校考阶段练习)已知函数f x =ax2+x+a，不等式f x <5的解集为-3 2，1．(1)求a的值；(2)若f x >mx在x∈0,5上恒成立，求m的取值范围．【答案】(1)a=2；(2){m|m<5}．【解析】(1)f x =ax2+x+a<5的解集为-3 2，1，即ax2+x+a-5<0的解集为-3 2，1，∴a>0-32+1=-1a-32×1=a-5a，解得a=2；(2)由(Ⅰ)可得f x =2x2+x+2，∵f x >mx在x∈0，5上恒成立，即2x2+1-mx+2>0恒成立，令h x =2x2+1-mx+2，则h x >0在0，5上恒成立，有m-14≤0h0 =2>0或0<m-14≤5m-12-2×2×4<0或m-14>5h5 =52+51-m>0，解得m≤1或1<m<5或m∈∅，综上可得m的范围为{m|m<5}．【变式2-4】(2021秋·陕西西安·高三校考阶段练习)已知二次函数f x 满足f2 =-1，f-1=-1，且f x 的最大值是8.(1)试确定该二次函数的解析式；(2)f x >2x+k在区间-3,1上恒成立，试求k的取值范围.【答案】(1)f x =-4x2+4x+7；(2)k的取值范围为-∞,-35.【解析】(1)由f(2)=f(-1)，得x=2-12=12为二次函数的对称轴，因函数f(x)的最大值为8，所以可设f x =a x-1 22+8 ，公众号：高中数学最新试题又因f (2)=94a +8=-1，所以a =-4，因此f x =-4x 2+4x +7.(2)由(1)不等式f x >2x +k ，可化为-4x 2+4x +7>2x +k ，所以k <-4x 2+2x +7，因为f x >2x +k 在区间-3,1 上恒成立，所以k <-4x 2+2x +7在区间-3,1 上恒成立，故k <-4x 2+2x +7 min ，其中x ∈-3,1 ，又函数y =-4x 2+2x +7=-4x -142+294，又当x =-3时，y =-35，当x =1时，y =5，所以函数y =-4x 2+2x +7在-3,1 上的最小值为-35，所以k <-35，所以k 的取值范围为-∞,-35 .【题型3给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题】【例3】(2021·吉林松原·校考三模)若不等式x 2-ax ≥16-3x -4a 对任意a ∈-2,4 成立，则x 的取值范围为()A.-∞,-8 ∪3,+∞B.-∞,0 ∪1,+∞C.-8,6D.0,3【答案】A【解析】由题得不等式(x -4)a -x 2-3x +16≤0对任意a ∈-2,4 成立，所以(x -4)(-2)-x 2-3x +16≤0(x -4)4-x 2-3x +16≤0 ，即-x 2-5x +24≤0-x 2+x ≤0，解之得x ≥3或x ≤-8.故选：A【变式3-1】(2022秋·湖北襄阳·高三校考阶段练习)若命题“∃a ∈-1,3 ,ax 2-2a -1 x +3-a <0”为假命题，则实数x 的取值范围为()A.-1,4B.0,53C.-1,0 ∪53,4D.-1,0 ∪53,4【答案】C【解析】命题“∃a ∈-1,3 ,ax 2-2a -1 x +3-a <0”为假命题，其否定为真命题，即“∀a ∈-1,3 ,ax 2-2a -1 x +3-a ≥0”为真命题．令g (a )=ax 2-2ax +x +3-a =(x 2-2x -1)a +x +3≥0，则g (-1)≥0g (3)≥0 ，即-x 2+3x +4≥03x 2-5x ≥0 ，解得-1≤x ≤4x ≥53或x ≤0 ，所以实数x 的取值范围为-1,0 ∪53,4.故选：C 【变式3-2】(2022秋·广东深圳·高三深圳中学校考阶段练习)已知当-1≤a ≤1时，x 2+a -4 x +4-2a >0恒成立，则实数x 的取值范围是()A.-∞,3B.-∞,1∪ 3,+∞C.-∞,1D.-∞,1 ∪3,+∞【答案】D【解析】x 2+a -4 x +4-2a >0恒成立，即x -2 a +x 2-4x +4>0，对任意得a ∈-1,1 恒成立，令f a =x -2 a +x 2-4x +4，a ∈-1,1 ，当x =2时，f a =0，不符题意，故x ≠2，当x >2时，函数f a 在a ∈-1,1 上递增，则f a min =f -1 =-x +2+x 2-4x +4>0，解得x >3或x <2(舍去)，当x <2时，函数f a 在a ∈-1,1 上递减，则f a min =f 1 =x -2+x 2-4x +4>0，解得x <1或x >2(舍去)，综上所述，实数x 的取值范围是-∞,1 ∪3,+∞ .故选：D .【变式3-3】(2023·全国·高三专题练习)当a ∈2,3 时，不等式ax 2-x +1-a ≤0恒成立，求x 的取值范围．【答案】-12,1 ．【解析】由题意不等式ax 2-x +1-a ≤0对a ∈2,3 恒成立，可设f (a )=(x 2-1)a +(-x +1)，a ∈2,3 ，则f (a )是关于a 的一次函数，要使题意成立只需f (2)≤0f (3)≤0，即2x 2-x -1≤03x 2-x -2≤0 ，解2x 2-x -1≤0，即2x +1 x -1 ≤0得-12≤x ≤1，解3x 2-x -2≤0，即3x +2 x -1 ≤0得-23≤x ≤1，所以原不等式的解集为-12,1 ，所以x 的取值范围是-12,1．【变式3-4】(2021·辽宁沈阳·高三沈阳二中校考开学考试)设函数f x =mx 2-mx -1．(1)若对于x ∈-2,2 ，f x <-m +5恒成立，求m 的取值范围；(2)若对于m ∈-2,2 ，f x <-m +5恒成立，求x 的取值范围．【答案】(1)-∞,67；(2)-1,2 【解析】(1)若对于x ∈-2,2 ，f x <-m +5恒成立，即mx 2-mx +m -6<0对于x ∈-2,2 恒成立，即m <6x 2-x +1对于x ∈-2,2 恒成立．公众号：高中数学最新试题令h x =6x 2-x +1=6x -12 2+34，x ∈-2,2 ，则h x min =h (-2)=6254+34=67，故m <67，所以m 的取值范围为-∞,67．(2)对于m ∈-2,2 ，f x <-m +5恒成立，即mx 2-mx -1<-m +5恒成立，故m x 2-x +1 -6<0恒成立，令g m =m x 2-x +1 -6，则g -2 =-2x 2-x +1 -6<0g 2 =2x 2-x +1 -6<0 ，解得-1<x <2，所以x 的取值范围为-1,2 ．【题型4一元二次不等式在实数集上的有解问题】【例4】(2023·全国·高三专题练习)若存在实数x ，使得mx 2-m -2 x +m <0成立，则实数m 的取值范围为()A.-∞,2B.-∞,0 ∪13,32C.-∞,23D.-∞,1 【答案】C【解析】①当m =0时，不等式化为2x <0，解得：x <0，符合题意；②当m >0时，y =mx 2-m -2 x +m 为开口方向向上的二次函数，只需Δ=m -2 2-4m 2=-3m 2-4m +4>0，即0<m <23；③当m <0时，y =mx 2-m -2 x +m 为开口方向向下的二次函数，则必存在实数x ，使得mx 2-m -2 x +m <0成立；综上所述：实数m 的取值范围为-∞,23.故选：C .【变式4-1】(2022秋·广西钦州·高三校考阶段练习)若关于x 的不等式a 2-4 x 2+a +2 x -1≥0的解集不为空集，则实数a 的取值范围为()A.-2,65B.-2,65C.(-∞,-2)∪65,+∞ D.(-∞,-2]∪65,+∞【答案】C【解析】根据题意，分两种情况讨论：①当a 2-4=0时，即a =±2，若a=2时，原不等式为4x-1≥0，解可得：x≥1 4，则不等式的解集为x x≥1 4，不是空集；若a=-2时，原不等式为-1≥0，无解，不符合题意；②当a2-4≠0时，即a≠±2，若(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集是空集，则有a2-4<0Δ=(a+2)2+4(a2-4)<0，解得-2<a<65，则当不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集不为空集时，有a<-2或a≥65且a≠2，综合可得：实数a的取值范围为(-∞,-2)∪65,+∞；故选：C．【变式4-2】(2023·全国·高三专题练习)若关于x的不等式ax2-(a+2)x+94<0有解，则实数a的取值范围是____．【答案】(-∞,1)∪(4,+∞)【解答】当a=0时，不等式为-2x+94<0有解，故a=0，满足题意；当a>0时，若不等式ax2-(a+2)x+94<0有解，则满足Δ=(a+2)2-4a⋅94>0，解得a<1或a>4；当a<0时，此时对应的函数的图象开口向下，此时不等式ax2-(a+2)x+94<0总是有解，所以a<0，综上可得，实数a的取值范围是(-∞,1)∪(4,+∞).【变式4-3】(2022·全国·高三专题练习)若关于x的不等式ax2+2x+1<0有实数解，则a的取值范围是_____．【答案】-∞,1【解析】当a=0时，不等式为2x+1<0有实数解，所以a=0符合题意；当a<0时，不等式对应的二次函数开口向下，所以不等式ax2+2x+1<0有实数解，符合题意；当a>0时，要使不等式ax2+2x+1<0有实数解，则需满足Δ=4-4a>0，可得a<1，所以0<a<1，综上所述：a的取值范围是-∞,1，公众号：高中数学最新试题【题型5一元二次不等式在某区间上的有解问题】【例5】(2022·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测)若关于x 的不等式x 2-6x +2-a >0在区间0,5 内有解，则实数a 的取值范围是()．A.2,+∞B.-∞,5C.-∞,-3D.-∞,2【答案】D【解析】不等式x 2-6x +2-a >0在区间0,5 内有解，仅需(x 2-6x +2)max >a 即可，令f (x )=x 2-6x +2，因为f (x )的对称轴为x =--62×1=3，f (0)=2，f (5)=-3，所以由一元二次函数的图像和性质的得(x 2-6x +2)max =2，所以a <2，故选：D【变式5-1】(2023·全国·高三专题练习)已知关于x 的不等式mx 2-6x +3m <0在0，2 上有解，则实数m 的取值范围是()A.-∞，3B.-∞，127C.3，+∞D.127，+∞ 【答案】A【解析】由题意得，mx 2-6x +3m <0，x ∈0，2 ，即m <6xx 2+3，故问题转化为m <6xx 2+3在0，2 上有解，设g (x )=6x x 2+3，则g (x )=6x x 2+3=6x +3x ，x ∈0，2 ，对于x +3x≥23，当且仅当x =3∈(0,2]时取等号，则g (x )max =623=3，故m <3，故选：A【变式5-2】(2022·全国·高三专题练习)命题p :∃x ∈{x |1≤x ≤9}，x 2-ax +36≤0，若p 是真命题，则实数a 的取值范围为()A.a ≥37 B.a ≥13C.a ≥12D.a ≤13【答案】C【解析】∵命题p :∃x ∈{x |1≤x ≤9}，使x 2-ax +36≤0为真命题，即∃x ∈{x |1≤x ≤9}，使x 2-ax +36≤0成立，即a ≥x +36x能成立设f (x )=x +36x ，则f (x )=x +36x≥2x ⋅36x =12，当且仅当x =36x，即x =6时，取等号，即f (x )min =12，∴a ≥12，故a的取值范围是a≥12．故选：C．【变式5-3】(2022秋·北京·高三统考阶段练习)若存在x∈[0,1]，有x2+(1-a)x+3-a>0成立，则实数a的取值范围是__________.【答案】-∞,3【解析】将原不等式参数分离可得a<x2+x+3x+1，设f x =x2+x+3x+1，已知存在x∈[0,1]，有x2+(1-a)x+3-a>0成立，则a<f x max，令t=x+1，则f x =t-12+t-1+3t=t2-t+3t=t+3t-1，t∈1,2，由对勾函数知f x 在1,3上单调递减，在3,2上单调递增，f1 =1+31-1=3，f2 =2+32-1=52，所以f x max=f1 =3，即a<3.【变式5-4】(2023·全国·高三专题练习)已知命题“∃x∈[-1,1]，-x02+3x0+a>0”为真命题，则实数a 的取值范围是______．【答案】-2,+∞【解析】因为命题“∃x∈[-1,1]，-x02+3x0+a>0”为真命题则∃x∈[-1,1]，a>x2-3x有解，设f(x)=x2-3x，则f(x)=x2-3x=x-3 22-94，当x∈[-1,1]时，f(x)单调递减，所以-2≤f(x)≤4，所以a>-2.【变式5-5】(2022·全国·高三专题练习)设f x 为奇函数，g x 为偶函数，对于任意x∈R均有f x + 2g x =mx-4.若f x -x2+2g x ≥0在x∈0,+∞上有解，则实数m的取值范围是_____ _.【答案】m≥4【解析】由题设，f x -x2+2g x =mx-4-x2≥0，即x2-mx+4≤0在x∈0,+∞上有解，对于y=x2-mx+4，开口向上且对称轴为x=m2，Δ=m2-16，y|x=0=4，∴Δ≥0m2>0，可得m≥4.公众号：高中数学最新试题限时检测(建议用时：60分钟)1.(2022·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测)已知命题P:∀x∈R，x2-2x+m>0，则满足命题P为真命题的一个充分条件是()A.m>2B.m<0C.m<1D.m≥1【答案】A【解析】∵命题P为真命题，∴不等式x2-2x+m>0在R上恒成立，∴△=4-4m<0，解得m>1，对于A，m>2⇒m>1，∴m>2 是m>1的充分条件，∴m>2 是命题P为真命题的充分条件，选项A正确；对于B，m<0推不出m>1，∴m<0不是m>1的充分条件，∴m<0不是命题P为真命题的充分条件，选项B不正确；对于C，m<1推不出m>1，∴m<1不是m>1的充分条件，∴m<1不是命题P为真命题的充分条件，选项C不正确对于D，m≥1推不出m>1，∴m≥1不是m>1的充分条件，∴m≥1不是命题P为真命题的充分条件，选项D不正确.故选：A.2.(2022秋·北京大兴·高三统考期中)若命题“∃x∈R，x2+2x+m≤0”是真命题，则实数m的取值范围是()A.m<1B.m≤1C.m>1D.m≥1【答案】B【解析】由题可知，不等式x2+2x+m≤0在实数范围内有解，等价于方程x2+2x+m=0有实数解，即△=4-4m≥0，解得m≤1.故选：B.3.(2022秋·全国·高三校联考阶段练习)设m∈R，则“m>-34”是“不等式x2-x+m+1≥0在R上恒成立”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由不等式x2-x+m+1≥0在R上恒成立，得△=-1 2-4m +1 ≤0，解得m ≥-34．所以“m >-34”是“不等式x 2-x +m +1≥0在R 上恒成立”的充分不必要条件．故选：A 4.(2022秋·宁夏银川·高三校考期中)已知命题P :∀x ∈R ，x 2-x +a >0，若-P 是假命题，则实数a 的取值范围是()A.-∞,14B.14,12C.14,+∞D.12,+∞【答案】C【解析】已知命题P :∀x ∈R ，x 2-x +a >0，若-P 是假命题，则不等式x 2-x +a >0在R 上恒成立，∴△=1-4m <0，解得a >14.因此，实数a 的取值范围是14,+∞.故选：C .5.(2022秋·河南·高三校联考阶段练习)设函数f x =2ax 2-ax ，命题“∃x ∈0,1 ，f x ≤-a +3”是假命题，则实数a 的取值范围为()A.-∞,3B.3,+∞C.247,+∞D.32,+∞【答案】C【解析】因为命题“∃x ∈0,1 ，f x ≤-a +3”是假命题，所以∃x ∈0,1 ，f x >-a +3是真命题，又f x >-a +3可化为2ax 2-ax >-a +3，即a 2x 2-x +1 >3，当x ∈0,1 时，2x 2-x +1∈78,2，所以m >32x 2-x +1在x ∈0,1 上恒成立，所以m >32x 2-x +1 max其中,x ∈0,1 ，当x =14时2x 2-x +1有最小值为78，此时32x 2-x +1有最大值为247，所以m >247，故实数m 的取值范围是247,+∞ ，故选：C 6.(2023·全国·高三专题练习)若对任意的x ∈-1,0 ,-2x 2+4x +2+m ≥0恒成立，则m 的取值范围是()A.4,+∞B.2,+∞C.-∞,4D.-∞,2【答案】A【解析】因为对任意的x ∈-1,0 ,-2x 2+4x +2+m ≥0恒成立，所以对任意的x ∈-1,0 ,m ≥2x 2-4x -2恒成立，公众号：高中数学最新试题因为当x ∈-1,0 ，y =2x -1 2-4∈-2,4 ，所以m ≥2x 2-4x -2 max =4，x ∈-1,0 ，即m 的取值范围是4,+∞ ，故选：A7.(2021秋·河南南阳·高三南阳中学校考阶段练习)设函数f x =mx 2-mx -1，若对于任意的x ∈x |1≤x ≤3 ，f x <-m +4恒成立，则实数m 的取值范围为()A.m <57B.0≤m <57C.m <0或0<m <57D.m ≤0【答案】A【解析】若对于任意的x ∈x |1≤x ≤3 ，f x <-m +4恒成立,即可知：mx 2-mx +m -5<0在x ∈x |1≤x ≤3 上恒成立,令g x =mx 2-mx +m -5，对称轴为x =12.当m =0时，-5<0恒成立，当m <0时，有g x 开口向下且在1,3 上单调递减，在1,3 上g x max =g 1 =m -5<0，得m <5，故有m <0.当m >0时，有g x 开口向上且在1,3 上单调递增在1,3 上g x max =g 3 =7m -5<0，∴0<m <57综上，实数m 的取值范围为m <57，故选：A .8.(2022秋·湖南邵阳·高三统考期中)设函数f x =x 2+2ax +a 2-2a +3，若对于任意的x ∈R ，不等式f f x ≥0恒成立，则实数a 的取值范围是()A.a ≥32B.a ≤2C.32<a ≤2 D.a ≤32【答案】B【解析】∵f x =x 2+2ax +a 2-2a +3=x +a 2-2a +3，即开口向上且f x ∈-2a +3,+∞ ，由f f x ≥0恒成立，即f x ≥0在-2a +3,+∞ 上恒成立，∴当-2a +3≥0时，即a ≤32，由二次函数的性质，f x ≥0显然成立；当a >32时，y =f x 有两个零点，则只需满足-a ≤-2a +3f -2a +3 ≥0，解得a ≤2，故32<a ≤2；综上，a 的取值范围是a ≤2.故选：B9.(2022秋·辽宁鞍山·高三校联考期中)设a ∈R ，，若关于x 的不等式x 2-ax +1≥0在1≤x ≤2上有解，则()A.a ≤2B.a ≥2C.a ≤52D.a ≥52【答案】C【解析】由x 2-ax +1≥0在1≤x ≤2上有解，得x 2+1x≥a 在1≤x ≤2上有解，则a ≤x 2+1x max ，由于x 2+1x =x +1x ，而x +1x 在1≤x ≤2单调递增，故当x =2时，x +1x 取最大值为52，故a ≤52，故选：C 10.(2023·全国·高三专题练习)已知命题“∃x 0∈R ，4x 02+a -2 x 0+14≤0”是真命题，则实数a 的取值范围()A.-∞,0B.0,4C.4,+∞D.-∞,0 ⋃4,+∞【答案】D【解析】由题意，命题∃x 0∈R ，4x 02+a -2 x 0+14≤”是真命题故△=a -2 2-4×4×14=a 2-4a ≥0，解得a ≥4或a ≤0.则实数a 的取值范围是-∞,0 ⋃4,+∞ 故选：D .11.(2022·全国·高三专题练习)已知关于x 的不等式-x 2+4x ≥a 2-3a 在R 上有解，则实数a 的取值范围是()A.a |-1≤a ≤4B.a |-1<a <4C.a |a ≥4或a ≤-1D.a |-4≤a ≤1【答案】A【解析】因为关于x 的不等式-x 2+4x ≥a 2-3a 在R 上有解，即x 2-4x +a 2-3a ≤0在R 上有解，只需y =x 2-4x +a 2-3a 的图象与x 轴有公共点，所以△=-4 2-4×a 2-3a ≥0，即a 2-3a -4≤0，所以a -4 a +1 ≤0，解得：-1≤a ≤4，所以实数a 的取值范围是a |-1≤a ≤4 ，故选：A .12.(2022·全国·高三专题练习)若关于x 的不等式x 2+ax -2>0在区间1,5 上有解，则实数a 的取值范围为()A.-235,+∞ B.-235,1C.1,+∞D.-∞,-235公众号：高中数学最新试题【答案】A【解析】关于x的不等式x2+ax-2>0在区间1,5上有解，ax>2-x2在x∈1,5上有解，即a>2x-x在x∈1,5上成立；设函数f x =2x-x，x∈1,5，∴f x 在x∈1,5上是单调减函数，又f1 =2-1=1，f5 =25-5=-235所以f x 的值域为-23 5,1，要a>2x-x在x∈1,5上有解，则a>-235，即实数a的取值范围为-235,+∞．故选：A．13.(2021秋·江苏徐州·高三统考阶段练习)若存在实数x，使得关于x的不等式ax2-4x+a-3<0成立，则实数a的取值范围是______.【答案】a<4【解析】a<3时，若x=0，则不等式为a-3<0，不等式成立，满足题意，a≥3时，在在x使得不等式ax2-4x+a-3<0成立，则△=16-4a a-3>0，∴3≤a<4．综上，a<4．14.(2021·全国·高三专题练习)已知函数x2-x,x≤02x,x>0.若存在x∈R使得关于x的不等式f x ≤ax-1成立，则实数a的取值范围是________.【答案】-∞,-3⋃-1,+∞【解析】由题意，当x=0时，不等式f x ≤ax-1可化为0≤-1显然不成立；当x<0时，不等式f x ≤ax-1可化为x2-x+1≤ax，所以a≤x+1x-1，又当x<0时，x+1x=--x+-1x≤-2，当且仅当-x=-1x，即x=-1时，等号成立；当x>0时，不等式f x ≤ax-1可化为2x+1≤ax，即a≥1x+2x=1x+12-1≥-1；因为存在x∈R使得关于x的不等式f x ≤ax-1成立，所以，只需a≤-2-1=-3或a≥-1.15.(2020·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测)若命题：“存在整数x使不等式kx-k2-4x-4<0成立”是假命题，则实数k 的取值范围是____________.【答案】1,4【解析】设不等式kx -k 2-4 x -4 <0的解集为A，当k =0时，不等式kx -k 2-4 x -4 <0化为x >4，存在整数x 使不等式成立，所以此时不满足题意，所以k ≠0；当k >0时，原不等式化为x -k +4kx -4 <0，因为k +4k ≥2k ⋅4k =4,当且仅当k =4k即k =2时取等号，所以A =x |4<x <k +4k ，要使命题：“存在整数x 使不等式kx -k 2-4 x -4 <0成立”是假命题，则需4≤k +4k≤5，解得1≤k ≤4；当k <0时，原不等式化为x -k +4kx -4 >0，而k +4k =--k +4-k ≤-2-k ⋅4-k =-4，当且仅当-k =4-k即k =-2时取等号，所以A =-∞,k +4k∪4,+∞ ,所以存在整数x 使不等式kx -k 2-4 x -4 <0成立，所以k <0不合题意.综上可知，实数k 的取值范围是1,4 .16.(2022秋·江苏连云港·高三校考开学考试)ax 2-2x +1≥0,∀x >0恒成立，则实数a 的取值范围是_________ .【答案】1,+∞【解析】由ax 2-2x +1≥0,∀x >0恒成立，可得，a ≥2x -1x2对∀x >0恒成立，令y =2x -1x2，则y =1-1x -1 2,1x >0 当1x=1时，y max =1，所以a ≥y max =1.17.(2021·全国·高三专题练习)若不等式x 2-2>mx 对满足m ≤1的一切实数m 都成立，则x 的取值范围是___________【答案】x <-2或x >2【解析】因为x 2-2>mx ，所以mx -x 2+2<0令f m =mx -x 2+2，即f m <0在m ≤1恒成立，即-1≤m ≤1时f m <0恒成立，公众号：高中数学最新试题所以f1 <0f-1<0，即x-x2+2<0-x-x2+2<0，解x-x2+2<0得x>2或x<-1；解-x-x2+2<0得x>1或x<-2，所以原不等式组的解集为x∈-∞,-2∪2,+∞18.(2023·全国·高三专题练习)若不等式-x2+t2-2at+1≥0对任意x∈-1,1及a∈-1,1恒成立，则实数t的取值范围是__________．【答案】-∞,-2∪0 ∪2,+∞【解析】由题意得t2-2at+1≥x2对任意x∈-1,1及a∈-1,1恒成立，所以t2-2at+1≥1对任意a∈-1,1恒成立，即t2-2at≥0对a∈-1,1恒成立，令g a =t2-2at=-2at+t2，则g a 是关于a的一次函数，所以只需g1 ≥0g-1≥0，即t2-2t≥0t2+2t≥0，解得t≥2或t≤-2或t=0，所以实数t的取值范围是-∞,-2∪0 ∪2,+∞。
一元二次不等式恒成立问题检测-2025届高三数学一轮复习
课时跟踪检测(六) 一元二次不等式恒成立问题一、强基训练，提高自信心1．若不等式kx 2＋kx －34<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( ) A ．(－3,0)B ．[－3,0)C ．[－3,0]D ．(－3,0]2．关于x 的不等式mx 2＋2mx ＋1<0的解集为空集，则m 的取值范围为( )A ．(0,1)B ．(0,1]C ．[0,1]D ．[0,1)3．设a ∈R ，若关于x 的不等式x 2－ax ＋1≥0在1≤x ≤2上有解，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞) C.⎝⎛⎦⎤－∞，52 D.⎣⎡⎭⎫52，＋∞ 4．若存在实数x ，使得mx 2－(m －2)x ＋m <0成立，则实数m 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，0]∪⎝⎛⎭⎫13，32 C.⎝⎛⎭⎫－∞，23 D ．(－∞，1)5．若关于x 的不等式x 2－6x ＋11－a ≤0在区间(2,5)内有解，则实数a 的取值范围是( )A ．[6，＋∞)B ．(6，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)6．对于所有的正实数x ，y ，都有x ＋3xy ≤a (x ＋y )成立，则整数a 的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．47．已知命题p ：任意1≤x ≤2，x 2－a ≥0，命题q ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋2－a ≤0有解，若命题p 、命题q 一真一假，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－2]∪{1}D ．(－2,1)∪(1，＋∞)8．(2024·芜湖模拟)不等式mx 2＋mx ＋1>0对一切x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围是________．9．(2024·合肥模拟)若不等式x 2＋ax ＋4≥0对一切x ∈[1,3]恒成立，则a 的最小值为________．10．已知命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋2ax ＋3>0都成立，命题q ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋a ＋2＝0，若命题p ，q 都是真命题，则实数a 的取值范围是________．11．已知函数f(x)＝x2－3x＋a.(1)若f(x)>0在x∈R上恒成立，求实数a的取值范围；(2)若f(x)<0在x∈(－1,2]上恒成立，求实数a的取值范围．12.关于x的不等式－x2＋(a＋3)x－3a>0，a∈R.(1)若a＝2，求不等式的解集．(2)若∃x∈(3，＋∞)时，不等式－x2＋(a＋3)x－3a≥4有解，求实数a的取值范围．二、创优训练，冲刺“双一流”13．若不等式10xy ≤ax 2＋2y 2对任意的1≤x ≤2及2≤y ≤3恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[8，＋∞)B ．[12，＋∞) C.⎣⎡⎭⎫212，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫252，＋∞14．已知0<θ<π2，若cos 2θ＋2m sin θ－2m －2<0恒成立，则实数m 应满足的条件是________． 15．已知函数f (x )＝x 2－(a ＋6)x ＋6(a ∈R )．(1)若∀x ∈[1,4]，f (x )＋a ＋8≥0恒成立，求a 的取值范围；(2)已知g (x )＝mx ＋7－3m ，当a ＝1时，若对任意的x 1∈[1,4]，总存在x 2∈[1,4]，使f (x 1)＝g (x 2)成立，求实数m 的取值范围．。
(完整版)一元二次不等式练习题(完)
一、一元二次不等式及其解法1．形如)0)(0(02≠<>++a c bx ax 其中或的不等式称为关于x 的一元二次不等式．2．一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>与相应的函数2(0)y ax bx c a =++>、相应的方程20(0)ax bx c a ++=>判别式ac b 42-=∆0>∆ 0=∆0<∆ 二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的图象()002>=++a c bx ax的解集)0(02>>++a c bx ax 的解集)0(02><++a c bx ax1、把二次项的系数变为正的。
（如果是负，那么在不等式两边都乘以-1，把系数变为正）2、解对应的一元二次方程。
（先看能否因式分解，若不能，再看△，然后求根）3、求解一元二次不等式。
（根据一元二次方程的根及不等式的方向）不等式的解法---穿根法一．方法:先因式分解,再使用穿根法.注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正. 使用方法:①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点. ②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿). ③数轴上方曲线对应区域使“>”成立, 下方曲线对应区域使“<”成立. 例1:解不等式(1) (x+4)(x+5)2(2-x)3<0 (2)x 2-4x+13x 2-7x+2≤1解:(1) 原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0 根据穿根法如图不等式解集为{x ∣x>2或x<-4且x ≠5}.2-4-5(2)变形为(2x-1)(x-1)(3x-1)(x-2)≥0根据穿根法如图不等式解集为 {x |x< 1 3 或 12≤x ≤1或x>2}.巩固练习一、解下列一元二次不等式：1、0652>++x x2、0652≤--x x3、01272<++x x4、0672≥+-x x5、0122<--x x6、0122>-+x x7、01282≥+-x x 8、01242<--x x 9、012532>-+x x10、0121632>-+x x 11、0123732>+-x x 12、071522≤++x x13、0121122≥++x x 14、10732>-x x 15、05622<-+-x x16、02033102≤+-x x 17、0542<+-x x 18、0442>-+-x x19、2230x x --+≥ 20、0262≤+--x x 21、0532>+-x x22、02732<+-x x 23、0162≤-+x x 24、03442>-+x x25、061122<++x x 26、041132>+--x x 27、042≤-x28、031452≤-+x x 29、0127122>-+x x 30、0211122≥--x x31、03282>--x x 32、031082≥-+x x 33、041542<--x x34、02122>--x x 35、021842>-+x x 36、05842<--x x37、0121752≤-+x x 38、0611102>--x x 39、038162>--x x40、038162<-+x x 41、0127102≥--x x 42、02102>-+x x43、0242942≤--x x 44、0182142>--x x 45、08692>-+x x46、0316122>-+x x 47、0942<-x 48、0320122>+-x x49、0142562≤++x x 50、0941202≤+-x x 51、(2)(3)6x x +-<二填空题1、不等式(1)(12)0x x -->的解集是 ；2．不等式2654x x +<的解集为____________.3、不等式2310x x -++>的解集是 ；4、不等式2210x x -+≤的解集是 ；5、不等式245x x -<的解集是 ； 9、已知集合2{|4}M x x =<，2{|230}N x x x =--<，则集合MN = ；10、不等式220mx mx +-<的解集为R ，则实数m 的取值范围为 ；11、不等式9)12(2≤-x 的解集为___________________________。
一元二次不等式恒成立问题
一元二次不等式恒成立问题二、热点命题——悟通考点1 形如f(x)≥0(x∈R)例1、若关于x 的不等式ax 2＋x －1≤0的解集为R ，则常数a 的取值范围是________________．[解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝1＋4a ≤0，解得a ≤－14.例2、不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1，4]B ．(－∞ ，－2]∪ [5，＋∞)C ．(－∞ ，－1]∪ [4，＋∞)D ．[－2，5][解析] [思路点拨] 由一元二次不等式大于0恒成立，得相应的二次函数的图像开口向上，且与x 轴没有交点；方法一：原不等式可化为x 2－2x －a 2＋3a ＋5≥0，要使不等式对任意实数x 恒成立，则Δ＝(－2)2－4(－a 2＋3a ＋5)≤0，即a 2－3a －4≤0，解得－1≤a ≤4，故选A .方法二：x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，要使x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4，故选A .考点2 形如f(x)≥0(x∈[a，b])例3、设对任意实数x ∈[－1，1]，不等式x 2＋ax －3a ＜0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．a ＞0B ．a ＞12C ．a ＞14D ．a ＞0或a ＜－12 [解析] [思路点拨]由二次不等式在给定区间上恒成立，转化为其相应的二次函数在给定区间上恒小于0。
设f(x)＝x 2＋ax －3a.因为对任意实数x ∈[－1，1]，不等式x 2＋ax －3a ＜0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）<0，f （1）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧（－1）2－a －3a<0，12＋a －3a<0， 解得a>12，即实数a 的取值范围是a>12，故选B . [考点3 形如f(x)≥0(参数m ∈[a ，b])例4、已知a ∈[－1，1]，不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a>0恒成立，求x 的取值范围．[思路点拨] 可把x 当作a 的系数，把原不等式化为关于a 的不等式，则原问题转化为一次函数在区间[－1，1]恒成立问题．解：把原不等式化为 (x －2)a ＋x 2－4x ＋4＞0，设 f(a)＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，则f(a)可看成为关于a 的函数．由f(a)>0对于任意的a ∈ [－1，1]恒成立，得⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）>0，f （1）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6>0，x 2－3x ＋2>0， 解得x<1或x>3， 即x 的取值范围是(－∞，1)∪(3，＋∞)．考点4 一元二次不等式与二次函数、二次方程的交汇问题例5、若关于x 的不等式ax 2＋3x ＋c ≥0的解集为[1，2]，则a ＝________，c ＝________．解析：由题意得方程ax 2＋3x ＋c ＝0的两根为x 1＝1，x 2＝2，由根与系数的关系可得1＋2＝－3a ，1×2＝c a，解得a ＝－1，c ＝－2. 例6、 设a>1，若x>0时，[(a －1)x －1](x 2－ax －1)≥0恒成立，则a ＝________．思路 本题若直接求解，需分类讨论，过程较复杂．可考虑根据不等式对应的函数f(x)、方程f(x)＝0和不等式f(x)≥0的关系，再构造两个函数，把不等式转化为两个函数图像在区间(0，＋∞)上的关系.解析 设函数y 1＝(a －1)x －1，y 2＝ x 2－ax －1，则这两个函数图像都过定点P(0，－1)，问题可转化为两个函数在区间(0，＋∞)上的符号相同．在函数y 1＝(a －1)x －1中，令y 1＝0，得x ＝1a －1>0， 即函数y 1的图像与x 轴的交点坐标为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1，0， 而函数y 2＝ x 2－ax －1的图像过点M ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －12－a a －1－1＝0，解得a ＝0或a ＝32. 又a>1，所以a ＝32. 三、迁移应用——练透1．已知关于x 的不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是________．[解析] (1)∵x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，∴Δ＝a 2－4×2a <0，解得0<a <8.2．函数f (x )＝ln(3x 2＋ax ＋1)的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________[解析]依题意，知3x 2＋ax ＋1>0对任意实数x 恒成立，所以Δ＝a 2－4×3×1<0，解得－23<a <2 3.3．设a 为常数，∀x ∈R ，f (x )＝ax 2＋ax ＋1＞0，则a 的取值范围是( )A ．(0，4)B ．[0，4)C ．(0，＋∞)D ．(－∞，4)[解析]先分类讨论二次项系数，再由f(x)＞0恒成立，得出相应的判别式应小于0.当a ＝0时，f(x)＝1>0对∀x ∈R 成立；当a ≠0时，要使∀x ∈R ，f (x )＞0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0，解得0<a <4. 综上，a 的取值范围是[0，4)，故选B.4．已知二次函数f(x)＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集为( )A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)B ．(－∞，0)∪(1，＋∞)C ．(－1，0)D ．(0，1)[解析] (1)∵f(x)＝ax 2－(a ＋2)x ＋1，Δ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4>0，∴函数f(x)＝ax 2－(a ＋2)x ＋1必有两个不同的零点．又f(x)在(－2，－1)上恰有一个零点，∴f(－2)f(－1)<0，即(6a ＋5)(2a ＋3)<0，∴－32<a<－56. 又a ∈Z ，∴a ＝－1，∴不等式f (x )>1即为－x 2－x >0，解得－1<x <0，故选C.5．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1，5]上有解，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－235，＋∞B.⎣⎡⎦⎤－235，1 C ．(1，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫－∞，－235 [解析]由Δ＝a 2＋8>0，知不等式相应的方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负， 所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1，5]上有解的充要条件是f (5)＞0，解得a ＞－235， 故a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－235，＋∞，故选A.6．若关于x 的方程x 2＋(m －1)x ＋m 2－2＝0的两个实根一个小于1，一个大于1，则实数m 的取值范围是( )A ．(－2，2)B ．(－2，0)C ．(－2，1)D ．(0，1)[解析] 设f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋m 2－2，由关于x 的方程x 2＋(m －1)x ＋m 2－2＝0的两个实根一个小于1，一个大于1，得f (1)＜0，即12＋(m －1)＋m 2－2＜0，化简得m 2＋m －2＜0，解得－2＜m ＜1，即实数m 的取值范围是(－2，1).7． 已知函数f(x)＝x 2＋ax ＋b(a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为( )A ．0B ．3C ．6D ．9[解析] 由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋b －a 24. ∵f (x )的值域为[0，＋∞)，∴b －a 24＝0，即b ＝a 24， ∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22，∴f (x )<c ，即⎝⎛⎭⎫x ＋a 22<c ，解得－a 2－c <x <－a 2＋c ， ∴⎩⎨⎧－a 2－c ＝m ，－a 2＋c ＝m ＋6，得2c ＝6，∴c ＝9.8．若不等式x 2＋2x ＋2＞|a －2|对于一切实数x 均成立，则实数a 的取值范围是________．[解析] ∵x 2＋2x ＋2＝(x ＋1)2＋1≥1，∴由不等式x 2＋2x ＋2＞|a －2|对于一切实数x 均成立，得|a －2|＜1，解得1＜a ＜3，∴实数a 的取值范围是(1，3)．9．已知f(x)＝x 2－2ax ＋2(a ∈R )，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．解：方法一：f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，此二次函数图像的对称轴为直线x ＝a .①当a ∈(－∞ ，－1)时，f (x )在[－1，＋∞)上单调递增，且f (－1)＝2a ＋3，所以要使f (x )≥a ，x ∈[－1，＋∞)恒成立，只需2a ＋3≥a 即可，故－3≤a ＜－1.②当a ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2，所以只需2－a 2≥a 即可，故－1≤a ≤1.综上所述，所求a 的取值范围是[－3，1]．方法二：令g (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，由已知，得x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1，＋∞)上恒成立，即Δ＝4a 2－4(2－a )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，a <－1，g （－1）≥0，解得－3≤a ≤1.故所求a 的取值范围是[－3，1]．例题：设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围；(2)对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围.(3)对于任意m ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求实数x 的取值范围. 解： (1)要使mx 2－mx －1<0恒成立，若m ＝0，显然－1<0，满足题意；若m ≠0，则⎩⎨⎧ m <0，Δ＝m 2＋4m <0，即－4<m <0.∴－4<m ≤0.(2)方法一 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，就要使m ⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立. 令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]. 当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数，∴g (x )max ＝g (3)＝7m －6<0，∴0<m <67； 当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，∴g (x )max ＝g (1)＝m －6<0，得m <6，∴m <0.综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，67.。
一元二次不等式恒成立问题例题
一元二次不等式恒成立问题例题摘要：一、一元二次不等式恒成立问题的背景和意义1.一元二次不等式的基本概念2.恒成立问题的提出和解决方法二、一元二次不等式恒成立问题的例题解析1.例题一：基础一元二次不等式恒成立问题2.例题二：复杂一元二次不等式恒成立问题3.例题三：特殊条件下的一元二次不等式恒成立问题三、解决一元二次不等式恒成立问题的方法和技巧1.基本解法：利用判别式和顶点公式2.进阶解法：换元法、参数分离法等3.常见错误和难点解析四、总结与展望1.一元二次不等式恒成立问题的解题思路总结2.提高解题能力的建议和展望正文：一、一元二次不等式恒成立问题的背景和意义一元二次不等式是中学数学中的一个基本概念，它涉及到许多实际问题，如几何、物理、化学等领域的许多问题都可以通过一元二次不等式来描述。
在数学问题中，一元二次不等式恒成立问题是指给定一元二次不等式，要求证明该不等式对于所有满足条件的变量值都成立。
解决这类问题需要运用一元二次不等式的基本概念和性质，同时也需要一定的逻辑推理能力。
二、一元二次不等式恒成立问题的例题解析1.例题一：基础一元二次不等式恒成立问题已知一元二次不等式：ax^2 + bx + c > 0，求证该不等式对于所有x 都成立。
解析：首先根据判别式Δ= b^2 - 4ac，判断a 的符号。
当a > 0 时，Δ < 0，原不等式恒成立；当a < 0 时，Δ > 0，原不等式不恒成立。
因此，只需证明a > 0 且Δ < 0 即可。
2.例题二：复杂一元二次不等式恒成立问题已知一元二次不等式：|x - 1| + |x - 3| + |x - 5| > 6，求证该不等式对于所有x 都成立。
解析：通过绝对值不等式的性质，可以将原不等式转化为三个一元一次不等式。
然后分别求解这三个不等式，得到它们的解集，最后证明原不等式的解集包含在三个一次不等式的解集中。
3.例题三：特殊条件下的一元二次不等式恒成立问题已知一元二次不等式：ax^2 + bx + c > 0，其中a < 0，求证该不等式对于所有x 都成立。
一元二次不等式经典练习及答案详解
[基础巩固]1．不等式x －2x －1≥0的解集是( ) A ．{x |x ≥2}B ．{x |x ≤1或x ＞2}C ．{x |x ＜1}D ．{x |x ＜1或x ≥2}解析 原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)(x －1)≥0，x －1≠0， ∴x ≥2或x ＜1，故原不等式的解集为{x |x ＜1或x ≥2}．答案 D2．若x 2－2ax ＋2≥0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．－2＜a ≤ 2B ．－2＜a ＜ 2C ．－2≤a ＜ 2D ．－2≤a ≤ 2解析 Δ＝(－2a )2－4×1×2≤0，∴－2≤a ≤ 2.答案 D3．某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式为y ＝3000＋20x －0.1x 2(0＜x ＜240，x ∈N )，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( )A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台解析 3000＋20x －0.1x 2≤25x ⇔x 2＋50x －30 000≥0，解得x ≤－200(舍去)或x ≥150. 答案 C4．不等式1x －1≥－1的解集是________． 解析 1x －1≥－1⇔1x －1＋1≥0⇔x x －1≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x (x －1)≥0，x －1≠0， ∴不等式的解集是{x |x ≤0或x ＞1}．答案 {x |x ≤0或x ＞1}5．若不等式x 2－4x ＋3m <0的解集为空集，则实数m 的取值范围是________．解析 由题意，知x 2－4x ＋3m ≥0对一切实数x 恒成立，所以Δ＝(－4)2－4×3m ≤0，解得m ≥43. 答案 m ≥436．某工厂生产商品M ，若每件定价80元，则每年可销售80万件，税务部门对市场销售的商品要征收附加税．为了既增加国家收入，又有利于市场活跃，必须合理确定征收的税率．据市场调查，若政府对商品M 征收的税率为P %(即每百元征收P 元)时，每年的销售量减少10P 万件．(1)若税务部门对商品M 每年所收税金不少于96万元，求P 的范围；(2)在所收税金不少于96万元的前提下，要让厂家获得最大的销售金额，应如何确定P 值？(3)若仅考虑每年税收金额最高，又应如何确定P 值？解析 税率为P %时，销售量为(80－10P )万件，即f (P )＝80(80－10P )，税金为80(80－10P )·P %，其中0<P <8.(1)由⎩⎪⎨⎪⎧80(80－10P )·P %≥96，0<P <8，解得2≤P ≤6. 故P 的范围为2≤P ≤6.(2)设销售金额为S ，则S ＝80(80－10P )(2≤P ≤6)为减函数，∴当P ＝2时，厂家获得最大的销售金额为4800万元．(3)∵0<P <8，设税收金额为G ，则G ＝80(80－10P )·P %＝－8(P －4)2＋128，∴当P ＝4时，国家所得税金最高，为128万元．[能力提升]7．(多选)若命题“存在实数x ，使得(a －2)x 2＋2(a －2)x －4≥0成立”是假命题，则实数a 可以是( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析 命题“存在实数x ，使得(a －2)x 2＋2(a －2)x －4≥0成立”是假命题，则其否定为“∀实数x ，使得(a －2)x 2＋2(a －2)x －4＜0成立”是真命题，当a ＝2时，原不等式化为－4＜0恒成立；当a ≠2时，则⎩⎪⎨⎪⎧a －2＜0Δ＝4(a －2)2＋16(a －2)＜0， 解得－2＜a ＜2.综上，实数a 的取值范围是－2＜a ≤2.故选B 、C 、D.答案 BCD8．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m)的取值范围是( )A ．{x |15≤x ≤30}B ．{x |12≤x ≤25}C ．{x |10≤x ≤30}D ．{x |20≤x ≤30} 解析 设矩形的另一边长为y m ，则由三角形相似知，x 40＝40－y 40， ∴y ＝40－x ，∵xy ≥300，∴x (40－x )≥300，∴x 2－40x ＋300≤0，∴10≤x ≤30.答案 C9．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的值的集合为________．解析 (1)当a ＝0时，满足题意．(2)当a ≠0时，应满足⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ≤0， 解得0<a ≤4.综上可知，a 值的集合为{a |0≤a ≤4}．答案 {a |0≤a ≤4}10．关于x 的方程x 2－2(m ＋2)x ＋m 2－1＝0.(1)m 为何实数时，方程有两正实数根？(2)m 为何实数时，方程有一正实数根、一负实数根？解析 解法一 (1)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝b 2－4ac ＝4(m ＋2)2－4(m 2－1)≥0，x 1＋x 2＝2(m ＋2)>0，x 1x 2＝m 2－1>0，解得－54≤m ＜－1或m >1， 即m 的取值范围是－54≤m ＜－1或m >1. (2)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x 1x 2＝m 2－1<0， 解得－1<m <1.所以m 的取值范围是－1<m <1.解法二 (1)设y ＝x 2－2(m ＋2)x ＋m 2－1，因为方程有两正实数根，所以函数图象如图甲所示，则应满足⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，－b 2a ＝m ＋2>0，m 2－1>0，解得m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |－54≤m ＜－1，或m >1.甲 乙(2)因为方程有一正实数根、一负实数根，则函数图象如图乙，由题意知，满足f (0)<0⇒m 的取值范围是{m |－1＜m ＜1}．[探索创新]11．某热带风暴中心B 位于海港城市A 南偏东60°的方向，与A 市相距400 km ，该热带风暴中心B 以40 km/h 的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350 km.问：从此时起，经多少时间后A 市将受热带风暴影响，大约受影响多长时间？解析 如图，以A 市为原点，正东方向为x 轴建立直角坐标系．∵AB ＝400，∠BAx ＝30°，∴台风中心B 的坐标为(2003，－200)，x h 后台风中心B 到达点P (2003，40x －200)处．由已知，A 市受台风影响时，有AP ≤350，即(2003)2＋(40x －200)2≤3502，整理得16x 2－160x ＋375≤0，解这个不等式得，3.75≤x ≤6.25，A 市受台风影响的时间为6.25－3.75＝2.5(h)．故在3.75 h 后，A 市会受到台风的影响，时间长达2.5 h.。
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一元二次不等式恒成立问题专项练习 例题：设函数f (x )＝mx 2－mx －1.
(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围；
(2)对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围.
(3)对于任意m ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求实数x 的取值范围. 解： (1)要使mx 2－mx －1<0恒成立，
若m ＝0，显然－1<0，满足题意；
若m ≠0，则⎩⎨⎧ m <0，
Δ＝m 2＋4m <0，即－4<m <0.∴－4<m ≤0.
(2)方法一 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，
就要使m ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －122
＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立.
令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122
＋34m －6，x ∈[1,3].
当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数，
∴g (x )max ＝g (3)＝7m －6<0，∴0<m <67；
当m ＝0时，－6<0恒成立；
当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，
∴g (x )max ＝g (1)＝m －6<0，得m <6，∴m <0.
综上所述，m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫
－∞，67.
方法二 当x ∈[1,3]时，f (x )<－m ＋5恒成立，
即当x ∈[1,3]时，m (x 2－x ＋1)－6<0恒成立.
∵x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －122
＋34>0，
又m (x 2－x ＋1)－6<0，∴m <6
x 2－x ＋1.
∵函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34
在[1,3]上的最小值为67
，∴只需
m <67即可.
综上所述，m 的取值范围是⎝
⎛⎭⎪⎫－∞，67. (3) 解 f (x )<－m ＋5，即mx 2－mx －1<－m ＋5，
m (x 2－x ＋1)－6<0.
设g (m )＝m (x 2－x ＋1)－6.
则g (m )是关于m 的一次函数且斜率
x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34
＞0.
∴g (m )在[1,3]上为增函数，要使g (m )<0在[1,3]上恒成立，只需g (m )max ＝g (3)<0， 即3(x 2－x ＋1)－6<0，x 2－x －1<0，
方程x 2－x －1＝0的两根为x 1＝1－52，x 2＝1＋52， ∴x 2－x －1<0的解集为⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－52，1＋52， 即x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52
，1＋52. 练习：
1. 当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________. 解析： 构造函数f (x )＝x 2＋mx ＋4，x ∈[1,2]，
则f (x )在[1,2]上的最大值为f (1)或f (2).
由于当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立.
则有⎩⎨⎧ f 1≤0，f 2≤0，即⎩⎨⎧ 1＋m ＋4≤0，4＋2m ＋4≤0，
可得⎩⎨⎧ m ≤－5，m ≤－4，所以m ≤－5.
2.若不等式x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ，则实数m 的取值范围是( )
A.m ≥2
B.m ≤－2
C.m ≤－2或m ≥2
D.－2≤m ≤2
答案 D
解析 由题意，得Δ＝m 2－4≤0，∴－2≤m ≤2.
3.当不等式x 2＋x ＋k >0恒成立时，k 的取值范围为________.
答案 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫14，＋∞ 解析 由题意知Δ<0，即1－4k <0，
得k >14，即k ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫14，＋∞.
3.若关于x 的不等式x 2－4x －m ≥0对任意x ∈(0,1]恒成立，则m 的最大值为
( )
A.1
B.－1
C.－3
D.3
答案 C
解析 由已知可得m ≤x 2－4x 对一切x ∈(0,1]恒成立，
又f (x )＝x 2－4x 在(0,1]上为减函数，
∴f (x )min ＝f (1)＝－3，
∴m ≤－3，
∴m 的最大值为－3.
4.对任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是( )
A.1<x <3
B.x <1或x >3
C.1<x <2
D.x <1或x >2
答案 B
解析 设g (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)， g (a )＞0恒成立且a ∈[－1,1]
⇔⎩⎨⎧ g 1＝x 2－3x ＋2>0，g －1＝x 2－5x ＋6>0
⇔⎩⎨⎧ x <1或x >2，x <2或x >3⇔x <1或x >3.
5.对于任意实数x ，不等式(a －2)x 2－2(a －2)x －4<0恒成立，则实数a 的取值范围是( )
A.(－∞，2)
B.(－∞，2]
C.(－2,2)
D.(－2,2]
答案 D 解析 当a －2≠0时，
⎩⎨⎧ a －2<0，4a －22－4
a －2·－4<0，即⎩⎨⎧ a <2，a 2<4， 解得－2<a <2.
当a －2＝0时，－4<0恒成立，
综上所述，－2<a ≤2.
6.若不等式(a 2－1)x 2－(a －1)x －1<0的解集为R ，则实数a 的取值范围是________.
答案 ⎝ ⎛⎦
⎥⎤－35，1 解析 ①当a 2－1＝0时，a ＝1或a ＝－1.
若a ＝1，则原不等式为－1<0，恒成立，满足题意.
若a ＝－1，则原不等式为2x －1<0，
即x <12
，不合题意，舍去. ②当a 2－1≠0，即a ≠±1时，
原不等式的解集为R 的条件是
⎩⎨⎧ a 2－1<0，Δ＝[－a －1]2＋4a 2－1<0，解得－35
<a <1. 综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎦
⎥⎤－35，1. 7．已知函数f (x )＝x 2
＋ax ＋3.
(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围；
(2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围． 解 (1)f (x )≥a 恒成立，即x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，必须且只需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0，
∴－6≤a ≤2，∴a 的取值范围为[－6,2]．
(2)f (x )＝x 2＋ax ＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋3－a 2
4.
①当－a 2<－2，即a >4时， f (x )min ＝f (－2)＝－2a ＋7，
由－2a ＋7≥a ，得a ≤73
，∴a 不存在； ②当－2≤－a 2≤2，即－4≤a ≤4时，f (x )min ＝3－a 24， 由3－a 24
≥a ，得－6≤a ≤2，∴－4≤a ≤2； ③当－a 2
>2，即a <－4时，f (x )min ＝f (2)＝2a ＋7， 由2a ＋7≥a ，得a ≥－7，∴－7≤a <－4. 综上，a 的取值范围为[－7,2]．。