一元二次不等式恒成立问题
含参数的一元二次不等式的解法与恒成立问题
2含参数的一元二次不等式的解法含参一元二次不等式常用的分类方法有三种： 一、按X 2项的系数a 的符号分类，即a 0,a 0,a 0;例1解不等式：ax 2系数进行分类讨论。
例2解不等式ax 2 5ax 6a 0 a 0分析因为a 0 , 0, 所以我们只要讨论二次项系数的正负。
解 a(x 2 5x 6)a x 2 x 3 0当a时,解集为 x | x 2或x 3 ; 当a0时，解集为x | 2 x 3变式：解关于 x 的不等式1、(x 2)(ax 2) 0 ；32、ax -(a + 1)x + 1<0(a € R)二、按判别式的符号分类，即0,0, 0；例3解不等式x 2 ax 4 0分析 本题中由于x 2的系数大于0,故只需考虑 与根的情况。
解：T a 2 16当a 4即厶=0时，解集为 xx R 且x —分析：本题二次项系数含有参数,2a 2 4a a 24 0，故只需对二次项解:4aa 2解得方程 ax 2a 2 a 22a4 —,X 2 2a 2 a 42a 0时，不等式为 2x 10时，解集为 x|「— 或 x2aa 2 a 242a2..a 24x2a 2 2a、a 2 4 •••当 a 4,4 即0时，解集为R ；< 23 m 2m 21当m ...3或m 3，即 0时，解集为R变式：解关于x 的不等式：ax 2 x 1三、按方程ax bx c 0的根x 1, x 2的大小来分类，即 x 1 x 2 ,x 1 x 2, x 1 x 2 ；例5解不等式x 2 (a 1)x 1 0 (a 0)a1分析：此不等式可以分解为： x a (x ) 0，故对应的方程必有两解。
本题a只需讨论两根的大小即可。
11 解：原不等式可化为： x a (x ) 0，令a，可得：a 1aa11•••当a 1或0 a 1时，a，故原不等式的解集为x | a xaa1当a 1或a 1时，a -,可得其解集为a当1 a 0或a1时， a 1,解集为a.1x | x a 。
一元二次不等式恒成立问题专项练习
一元二次不等式恒成立问题专项练习 例题：设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围；(2)对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围.(3)对于任意m ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求实数x 的取值范围. 解： (1)要使mx 2－mx －1<0恒成立，若m ＝0，显然－1<0，满足题意；若m ≠0，则⎩⎨⎧ m <0，Δ＝m 2＋4m <0，即－4<m <0.∴－4<m ≤0.(2)方法一 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，就要使m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立.令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3].当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数，∴g (x )max ＝g (3)＝7m －6<0，∴0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，∴g (x )max ＝g (1)＝m －6<0，得m <6，∴m <0.综上所述，m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，67.方法二 当x ∈[1,3]时，f (x )<－m ＋5恒成立，即当x ∈[1,3]时，m (x 2－x ＋1)－6<0恒成立.∵x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，又m (x 2－x ＋1)－6<0，∴m <6x 2－x ＋1.∵函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，∴只需m <67即可.综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，67. (3) 解 f (x )<－m ＋5，即mx 2－mx －1<－m ＋5，m (x 2－x ＋1)－6<0.设g (m )＝m (x 2－x ＋1)－6.则g (m )是关于m 的一次函数且斜率x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34＞0.∴g (m )在[1,3]上为增函数，要使g (m )<0在[1,3]上恒成立，只需g (m )max ＝g (3)<0， 即3(x 2－x ＋1)－6<0，x 2－x －1<0，方程x 2－x －1＝0的两根为x 1＝1－52，x 2＝1＋52， ∴x 2－x －1<0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52，1＋52， 即x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52，1＋52. 练习：1. 当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________. 解析： 构造函数f (x )＝x 2＋mx ＋4，x ∈[1,2]，则f (x )在[1,2]上的最大值为f (1)或f (2).由于当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立.则有⎩⎨⎧ f 1≤0，f 2≤0，即⎩⎨⎧ 1＋m ＋4≤0，4＋2m ＋4≤0，可得⎩⎨⎧ m ≤－5，m ≤－4，所以m ≤－5.2.若不等式x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ，则实数m 的取值范围是( )A.m ≥2B.m ≤－2C.m ≤－2或m ≥2D.－2≤m ≤2答案 D解析 由题意，得Δ＝m 2－4≤0，∴－2≤m ≤2.3.当不等式x 2＋x ＋k >0恒成立时，k 的取值范围为________.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞ 解析 由题意知Δ<0，即1－4k <0，得k >14，即k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞.3.若关于x 的不等式x 2－4x －m ≥0对任意x ∈(0,1]恒成立，则m 的最大值为( )A.1B.－1C.－3D.3答案 C解析 由已知可得m ≤x 2－4x 对一切x ∈(0,1]恒成立，又f (x )＝x 2－4x 在(0,1]上为减函数，∴f (x )min ＝f (1)＝－3，∴m ≤－3，∴m 的最大值为－3.4.对任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是( )A.1<x <3B.x <1或x >3C.1<x <2D.x <1或x >2答案 B解析 设g (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)， g (a )＞0恒成立且a ∈[－1,1]⇔⎩⎨⎧ g 1＝x 2－3x ＋2>0，g －1＝x 2－5x ＋6>0⇔⎩⎨⎧ x <1或x >2，x <2或x >3⇔x <1或x >3.5.对于任意实数x ，不等式(a －2)x 2－2(a －2)x －4<0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.(－∞，2)B.(－∞，2]C.(－2,2)D.(－2,2]答案 D 解析 当a －2≠0时，⎩⎨⎧ a －2<0，4a －22－4a －2·－4<0，即⎩⎨⎧ a <2，a 2<4， 解得－2<a <2.当a －2＝0时，－4<0恒成立，综上所述，－2<a ≤2.6.若不等式(a 2－1)x 2－(a －1)x －1<0的解集为R ，则实数a 的取值范围是________.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－35，1 解析 ①当a 2－1＝0时，a ＝1或a ＝－1.若a ＝1，则原不等式为－1<0，恒成立，满足题意.若a ＝－1，则原不等式为2x －1<0，即x <12，不合题意，舍去. ②当a 2－1≠0，即a ≠±1时，原不等式的解集为R 的条件是⎩⎨⎧ a 2－1<0，Δ＝[－a －1]2＋4a 2－1<0，解得－35<a <1. 综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－35，1. 7．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围；(2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围． 解 (1)f (x )≥a 恒成立，即x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，必须且只需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0，∴－6≤a ≤2，∴a 的取值范围为[－6,2]．(2)f (x )＝x 2＋ax ＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋3－a 24.①当－a 2<－2，即a >4时， f (x )min ＝f (－2)＝－2a ＋7，由－2a ＋7≥a ，得a ≤73，∴a 不存在； ②当－2≤－a 2≤2，即－4≤a ≤4时，f (x )min ＝3－a 24， 由3－a 24≥a ，得－6≤a ≤2，∴－4≤a ≤2； ③当－a 2>2，即a <－4时，f (x )min ＝f (2)＝2a ＋7， 由2a ＋7≥a ，得a ≥－7，∴－7≤a <－4. 综上，a 的取值范围为[－7,2]．。
必修五含参一元二次不等式恒成立问题学生版
微专题 含参不等式恒成立问题类型一：一次函数型例1：若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 都成立，求x 的范围。
变式.对于满足|p|≤2的所有实数p,求使不等式x 2+px+1>2p+x 恒成立的x 的取值范围。
类型二：二次函数型①利用一元二次函数的判别式对于一元二次函数),0(0)(2R x a c bx ax x f ∈≠>++=有：（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a例2：若不等式02)1()1(2>+-+-x m x m 的解集是R ，求m 的范围。
变式：若R x ∈,不等式0322≥-+-m x x 恒成立,求m 的取值范围.①利用函数的最值（或值域）（1）m x f ≥)(对任意x 都成立m x f ≥⇔min )(；（2）m x f ≤)(对任意x 都成立max )(x f m ≥⇔。
简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。
由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。
例3. 设f(x)=x 2-2ax+2,当x ∈[-1,+∞)时，f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围。
变式（补充）：求使不等式],0[,cos sin π∈->x x x a 恒成立的实数a 的范围。
①利用换元法例4. 已知当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx 恒成立，求实数a 的取值范围。
变式：124()lg ,3x xa f x ++=如果(.1)x ∈-∞时，()f x 恒有意义，求a 的范围。
①数形结合法例5.当x ∈(1,2)时，不等式(x -1)2<log a x 恒成立，求a 的取值范围。
变式：对⎪⎭⎫ ⎝⎛∈∀210x ，，x a x log 4<恒成立，a 的取值范围________【课后反馈训练】1. 若关于x 的一元二次方程0)1(2=-+-m x m x 有两个不相等的实数根，求m的取值范围.2. m 为什么实数，关于x 的一元二次方程0)1(2=+--m x m mx 没有实数根？3. 当k 为何值时，一元二次不等式08322<-+kx kx 对一切实数x 都成立？ 4. []1,1m -∈,不等式032≥+-m mx x 恒成立,求x 的取值范围.5. 若关于x 的不等式mx x x >+-2212的解集为{}20|<<x x ，求m 的值.6. 不等式0422≥++ax ax 对一切x 的值恒成立,求a 的取值范围7. 不等式022<+-a x ax 的解集为φ,求a 的取值范围8. 已知函数)..(22)(2R a ax x x f ∈+-=，当[)+∞-∈,1x 时，a x f ≥)(恒成立，求实数a 取值范围9. 已知a∈[－1,1]，不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a>0恒成立，则x 的取值范围为( )A ．(－∞，2)∈(3，＋∞)B ．(－∞，1)∈(2，＋∞)C ．(－∞，1)∈(3，＋∞)D ．(1,3)10．已知函数f(x)＝x 2＋ax －1在区间[0,3]上最小值－2，则实数a 的值为_______。
一元二次不等式恒成立问题检测-2025届高三数学一轮复习
课时跟踪检测(六) 一元二次不等式恒成立问题一、强基训练，提高自信心1．若不等式kx 2＋kx －34<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( ) A ．(－3,0)B ．[－3,0)C ．[－3,0]D ．(－3,0]2．关于x 的不等式mx 2＋2mx ＋1<0的解集为空集，则m 的取值范围为( )A ．(0,1)B ．(0,1]C ．[0,1]D ．[0,1)3．设a ∈R ，若关于x 的不等式x 2－ax ＋1≥0在1≤x ≤2上有解，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞) C.⎝⎛⎦⎤－∞，52 D.⎣⎡⎭⎫52，＋∞ 4．若存在实数x ，使得mx 2－(m －2)x ＋m <0成立，则实数m 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，0]∪⎝⎛⎭⎫13，32 C.⎝⎛⎭⎫－∞，23 D ．(－∞，1)5．若关于x 的不等式x 2－6x ＋11－a ≤0在区间(2,5)内有解，则实数a 的取值范围是( )A ．[6，＋∞)B ．(6，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)6．对于所有的正实数x ，y ，都有x ＋3xy ≤a (x ＋y )成立，则整数a 的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．47．已知命题p ：任意1≤x ≤2，x 2－a ≥0，命题q ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋2－a ≤0有解，若命题p 、命题q 一真一假，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－2]∪{1}D ．(－2,1)∪(1，＋∞)8．(2024·芜湖模拟)不等式mx 2＋mx ＋1>0对一切x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围是________．9．(2024·合肥模拟)若不等式x 2＋ax ＋4≥0对一切x ∈[1,3]恒成立，则a 的最小值为________．10．已知命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋2ax ＋3>0都成立，命题q ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋a ＋2＝0，若命题p ，q 都是真命题，则实数a 的取值范围是________．11．已知函数f(x)＝x2－3x＋a.(1)若f(x)>0在x∈R上恒成立，求实数a的取值范围；(2)若f(x)<0在x∈(－1,2]上恒成立，求实数a的取值范围．12.关于x的不等式－x2＋(a＋3)x－3a>0，a∈R.(1)若a＝2，求不等式的解集．(2)若∃x∈(3，＋∞)时，不等式－x2＋(a＋3)x－3a≥4有解，求实数a的取值范围．二、创优训练，冲刺“双一流”13．若不等式10xy ≤ax 2＋2y 2对任意的1≤x ≤2及2≤y ≤3恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[8，＋∞)B ．[12，＋∞) C.⎣⎡⎭⎫212，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫252，＋∞14．已知0<θ<π2，若cos 2θ＋2m sin θ－2m －2<0恒成立，则实数m 应满足的条件是________． 15．已知函数f (x )＝x 2－(a ＋6)x ＋6(a ∈R )．(1)若∀x ∈[1,4]，f (x )＋a ＋8≥0恒成立，求a 的取值范围；(2)已知g (x )＝mx ＋7－3m ，当a ＝1时，若对任意的x 1∈[1,4]，总存在x 2∈[1,4]，使f (x 1)＝g (x 2)成立，求实数m 的取值范围．。
解决一元二次不等式的恒成立问题 高中数学教案
教师姓名韩贺凤单位名称巴州第一中学填写时间2020·8·15学科数学年级/册高一年级教材版本人教A版课题名称必修五第三章第二节3.2 解决一元二次不等式的恒成立问题难点名称根据实物，概括棱柱、棱椎、棱台的结构特征难点分析从知识角度分析为什么难对一元二次不等式恒成立的理解与一元二次不等式的解集二者之间的关联性。
从学生角度分析为什么难1、一元二次不等式的解法在教材中是利用二次函数的图像分析出来的，学生往往只重视结果，而忽视了它的形成过程。
2、一元二次不等式恒成立的理解不能与解法有机结合。
难点教学方法数形结合的思想方法教学环节教学过程导入从教材的一道例题的解法作为本节课的导入复习一元二次不等式的解法，教材例2：求不等式-x2+2x-3>0的解集知识讲解（难点突破）通过由简入难的螺旋思维形成过程，设计三道例题例1：已知关于x的不等式x2-x+a>0的解集是R，求a的取值范围。
分析：不等式的解集是R，意思是x取任何实数，都能使不等式成立，因此，二次函数y=x2-x+a的图像就要保证x为任何实数时，都要使y>0，所以，∆=1-4a<0,从而得到a>¼例2：已知关于x的不等式x2-ax+4≥0的解集是R，求a的取值范围分析：同样不等式的解集为R，意思是x取任何实数不等式都成立，因此，二次函数y=x2-ax+4的图像也就要保证x取任何实数都要使y≥0，所以，∆≤0，即：a2-16≤0,从而得到-4≤a≤4例3：已知关于x的不等式2ax2+ax-83<0对一切实数x都成立，求a的取值范围。
分析：不等式对一切实数x都成立，意思是不等式的解集为R，也就是实数x取任何值，不等式都成立，因此二次函数y=2ax2+ax- （a≠0)的图像就要保证x取任何实数都要使y<0，从而得到-3<a<0我们可以发现,题中并没有告诉a≠0，所以需检验a=0的情况，看是否也能保证题意成立。
一元二次不等式的恒成立的基本类型与解题技巧
ʏ孙新晓一元二次不等式的恒成立及综合应用问题,是高考中比较常见的热点题型之一㊂解决这类问题,可以合理联系一元二次不等式㊁一元二次方程和二次函数这三个 二次 问题,实现三个 二次 问题之间的相互转化㊂下面就一元二次不等式的恒成立问题中最常见的三种基本类型,结合实例加以剖析,意在总结解题技巧与应试策略,探索解题规律与解题方法㊂一㊁一元二次不等式在R 上的恒成立问题涉及一元二次不等式在R 上的恒成立问题,可将一元二次不等式问题转化为相应的二次函数的图像问题,利用不等式与二次函数图像的开口情况,并结合判别式的取值进行转化求解㊂例1 若不等式(a -2)x 2+2(a -2)x -4<0对一切x ɪR 恒成立,则实数a 的取值范围是( )㊂A .{a |a ɤ2}B .{a |-2ɤa ɤ2}C .{a |-2<a ɤ2}D .{a |a <-2}分析:在解决一元二次不等式在R 上恒成立时,将一元二次不等式转化为相应的二次函数的图像问题,通过二次函数图像的开口情况与判别式的取值范围进行合理转化,列出不等式来确定参数的取值范围㊂解:当a -2=0,即a =2时,原不等式可化为-4<0,显然对一切x ɪR 恒成立;当a ʂ2时,则a -2<0,Δ=4(a -2)2+16(a -2)<0,整理得a -2<0,a 2<4,解得-2<a <2㊂综上可得,实数a 的取值范围是{a |-2<a ɤ2}㊂应选C㊂ 在解决一元二次不等式在R 上恒成立问题时,往往涉及以下两种情况:一元二次不等式a x 2+b x +c >0(a ʂ0)对任意实数x ɪR 恒成立⇔a >0,Δ<0;一元二次不等式a x 2+b x +c <0(a ʂ)对任意实数x ɪR 恒成立⇔a <0,Δ<0㊂需要特别注意的是,只要二次项系数含参数,必须分类讨论二次项系数是否为零的情况㊂二㊁一元二次不等式在给定自变量范围上的恒成立问题涉及一元二次不等式在给定自变量范围上的恒成立问题,可转化为二次函数在给定自变量范围上的最值问题来处理㊂在实际解题时,要注意自变量范围对二次函数图像的影响,可结合分类讨论思想㊁数形结合思想进行直观处理,凸显数学的内在联系和知识的综合运用㊂例2 已知函数f (x )=m x 2-m x -1,若对于任意x ɪ{x |1ɤx ɤ3},f (x )<5-m 恒成立,则实数m 的取值范围是㊂分析:利用所给不等式对应的二次函数,结合二次函数在给定自变量范围上的图像与性质的特征,确定相应参数的取值范围㊂解:要使不等式f (x )<-m +5对任意x ɪ{x |1ɤx ɤ3}恒成立,只需不等式m x -122+34m -6<0对任意x ɪ{x |1ɤx ɤ3}恒成立㊂解决此题有下面两种方法㊂(函数法)令函数g (x )=m x -122+34m -6,x ɪ{x |1ɤx ɤ3}㊂当m =0时,显然-6<0恒成立;当m >0时,函数g (x )在{x |1ɤx ɤ3}上是增函数,所以g (x )m a x =g (3),则g (3)=41 知识结构与拓展 高一数学 2023年9月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.7m -6<0,解得m <67,这时0<m <67;当m <0时,函数g (x )在{x |1ɤx ɤ3}上是减函数,所以g (x )m a x =g (1),则g (1)=m -6<0,解得m <6,这时m <0㊂综上所述,所求实数m 的取值范围是m m <67㊂(分离参数法)若使不等式m (x 2-x +1)-6<0对任意x ɪ{x |1ɤx ɤ3}恒成立,而x 2-x +1=x -122+34>0,则只需满足m <6x 2-x +1,x ɪ{x |1ɤx ɤ3}㊂因为函数y =6x 2-x +1=6x -122+34在x ɪ{x |1ɤx ɤ3}上的最小值为67,所以只需满足m <67,即所求实数m的取值范围是m m <67㊂解决一元二次不等式在给定自变量范围上的恒成立问题,有两种常见的求解方法:函数法,若f (x )>0在给定自变量范围上恒成立,可利用一元二次函数的图像转化为不等式(组)求范围;分离参数法,即转化为函数值域问题,已知函数f (x )的值域为{y |m ɤy ɤn },则f (x )ȡa 恒成立,可得f (x )m i n ȡa ,即m ȡa ;f (x )ɤa 恒成立,可得f (x )m a x ɤa ,即n ɤa ㊂三㊁一元二次不等式在给定参数范围上的恒成立问题涉及一元二次不等式在给定参数范围上的恒成立问题,可通过变换自变量与参数之间的关系,结合主元的变换,利用函数的图像与性质求解㊂例3 若不等式x 2+p x >4x +p -3,当0ɤp ɤ4时恒成立,则实数x 的取值范围是( )㊂A .{x |-1ɤx ɤ3}B .{x |x ɤ-1}C .{x |x ȡ3}D .{x |x <-1}ɣ{x |x >3}分析:利用参数的取值范围,变换主元,构建相应的不等式,进而转化为一次函数的图像问题求解;也可借助特殊值法来处理,即通过端点的选取,实现巧妙排除,即可得解㊂解:(变换主元法)原不等式变换主元可得(x -1)p +x 2-4x +3>0,当0ɤp ɤ4时恒成立㊂结合一次函数的图像与性质得x 2-4x +3>0,4(x -1)+x 2-4x +3>0,据此整理可得x 2-4x +3>0,x 2-1>0,解得x <1或x >3,x <-1或x >1,则x <-1或x >3㊂应选D ㊂(特殊值法)当x =-1时,由不等式x 2+p x >4x +p -3,代入得p <4,即x =-1不符合条件,排除A ㊁B ㊂当x =3时,由不等式x 2+p x >4x +p -3,代入得p >0,即x =3不符合条件,排除C ㊂应选D㊂解决一元二次不等式在给定参数范围上的恒成立问题,一定要清楚区分主元与参数㊂一般情况下,知道参数范围的,就选为主元,求参数范围的,就选为参数㊂在实际解题过程中,就是把变元与参数交换位置,构造以参数为变量的函数,变换主元后得到一次函数或二次函数,进而根据原变量的取值范围求解㊂若不等式k x 2-6k x +k +8ȡ0的解集为R ,则实数k 的取值范围是( )㊂A .0ɤk ɤ1 B .0<k ɤ1C .k <0或k >1D .k ɤ0或k ȡ1提示:由于不等式k x 2-6k x +k +8ȡ0的解集为R ,分以下两种情况讨论:①当k =0时,则8ȡ0,符合题意;②当k ʂ0时,则k >0,Δ=36k 2-4k (k +8)=32k (k -1)ɤ0,解得0<k ɤ1㊂综上所述,0ɤk ɤ1㊂应选A ㊂作者单位:江苏省靖江高级中学(责任编辑 郭正华)51知识结构与拓展高一数学 2023年9月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
一元二次不等式的参数问题(含答案)
一元二次不等式的应用———不等式中的参数问题200000a b a ax bx c x c ==>⎧⎧++>⇔⎨⎨><⎩⎩ 不等式对任意实数恒成立或 200000a b a ax bx c x c ==<⎧⎧++<⇔⎨⎨<<⎩⎩不等式对任意实数恒成立或 1．（1）若不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对R x ∈恒成立，求实数a 的取值范围.（2）若不等式13642222<++++x x mmx x 的解集为R ，求实数m 的取值范围.答案：（1）()2,2a ∈- （2） 1<m<32．已知}0)1(|{},023|{22≤++-=≤+-=a x a x x B x x x A ，①若A B ，求实数a 的取值范围.；②若A B ⊆，求实数a 的取值范围.；③若B A 为仅含有一个元素的集合，求a 的值.① a>2 ② 1≤a ≤2 ③ a ≤1答案：13,2x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭2210{|2},30ax bx c x x cx bx a ++≥-≤≤++<3.若不等式的解集是 求不等式的解集.答案：10a c +=对于含参数的不等式恒成立问题的处理方法：方法1：将不等式化为f(x)>0(<0)的形式，构造函数y=f(x), 求函数的最小值（最大值），再令(fmin(x)> 0(fmax(x)<0)通过解不等式求得。
方法2：分离参数法:分离参数，构造函数y=f(x), 求函数的最小值（最大值），使参数t<fmin(x)(参数t>fmax(x))。
21. 10(0,]2x ax x a ++≥∈5不等式对于一切恒成立，求的最小值。
答案：min 52a =-6．已知函数3()f x x x =+，对任意的m ∈[-2,2]，(2)()0f mx f x -+<恒成立， 则x 的取值范围为＿＿＿＿.223x -<<7．2lg()R,y x bx b b =++若函数的定义域为求实数的取值范围。
一元二次不等式恒成立问题(高三一轮)
一元二次不等式恒成立问题“含参不等式恒成立问题”是数学中常见的问题，在高考中频频出现，是高考中的一个难点问题。
含参不等式恒成立问题涉及到一次函数、二次函数的性质和图像，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用，因此也成了历年高考的一个热点。
而最常见的就是不等式恒成立求参数的取值范围，以下是这类问题的几种处理策略。
题型一 定义域为R 时设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a（注意：若二次项系数含参时，要讨论为0的情况）例1.若不等式232kx +k 08x -<对任意实数x 恒成立，求k 取值范围 变式1：设a 是常数，对任意2,10,x R ax ax ∈++>则a 的取值范围是（ ）变式2：若关于x 的不等式221)(1)20m x m x -+-+<（解集为∅，求实数m 的取值范围. 题型二 定义域不为R 时策略1. 参变分离策略 将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题 例2 设函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于[]1,3,()5x f x m ∈<-+恒成立，求m 的取值范围。
策略 2. 函数最值策略 对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题,可以求函数最值的方法,只要利用m x f >)(恒成立m x f >⇔m in )(；m x f <)(恒成立m x f <⇔m ax )(例2 设函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于[]1,3,()5x f x m ∈<-+恒成立，求m 的取值范围策略3.零点分布策略 对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于零的问题,可以考虑函数的零点分布情况,要求对应闭区间上函数图象在x 轴的上方或在x 轴上就行了. 例2 设函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于[]1,3,()5x f x m ∈<-+恒成立，求m 的取值范围[][]2221,2,2,3xy ax y x y ≤+∈∈变式2.已知不等式对任意恒成立，a 则实数的取值范围是 .题型三 给定参数范围的恒成立问题策略 变换主元 对于含有两个参数，且已知一参数的取值范围，可以通过变量转换，构造以该参数为自变量的函数，利用函数图象求另一参数的取值范围。
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Ⅰ. ， Ⅱ. ， Ⅲ. ，
的像
Ⅳ. ， Ⅴ. ， Ⅵ. ，
经观察，只有Ⅵ情况满足题目条件，所以得
解之得：
综上所述，当 时，对于 的不等式 对一切实数 恒成立.
变式题：关于 的不等式 对一切实数 恒成立，求实数 的取值范围.
思考题：当m为何值时，二次函数y=mx2-(1-m)x+m与x轴无交点
课后作业：
1.若不等式 ，对 ∈R恒成立，求a的取值范围
2.若集合A= ，求实数a的范围
3.若关于x的不等式 的解集为 ，求实数a的取值范围
4.已知 对任意的 恒成立，求a的取值范围。
5.设函数
(1)若对于 ，f(x)<0恒成立，求实数m的取值范围.
(2)若对于 ，f(x)<0恒成立，求实数m的取值范围.
例2.设函数 ，对于满足1<x<4的一切x值，都有f(x)>0，求实数a的取值范围.
【解析】法一：当a>0时， ，由x∈(1,4)，f(x)>0得
或 或
所以 或 或 ，所以 或 ，即 。
当a<0时， ，解得a∈ ;
当a=0时， , f(1)=0,f(4)=-6,∴不合题意.
综上可得，实数a的取值范围是 。.
(2)设f(m)＝( －1)m＋(1－2x)，
当 －1＝0时，即x＝±1时，检验得x＝1时符合题意，
当 ≠1时，则f(m)是以m为自变量的一次函数，其图象是一条直线，由题意知该直线当－2≤m≤2时的线段在x轴下方，
∴ 即
解①，得x< 或x> ，解②，得 <x< .
由①②，得 <x< ，且x≠1.
综上，x的取值范围为
一元二次不等式恒成立问题
个性化教案
授课时间：
备课时间：
年级：课时：
课题：
学员姓名：
授课老师：
教学目标
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难点
(1)分离参数法.把所求参数与自变量分离,转化为求具体函数的最值问题.
(2)不等式组法.借助二次函数的图象性质,列不等式组求解.
教学
内容
复习引入：
题型一.解一元二次不等式
(1) (2) (3)
法二：由f(x)>0,即 ,x∈(1,4)，
则有 在(1，4)上恒成立.
令 ， ，
所以要使f(x)>0在(1,4)上恒成立，只要 即可.故a的取值范围为 .
例3.已知不等式 －2x－m＋1<0.
(1)若对所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围；
(2)设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围．
题型五.不等式恒成立问题
例1.关于 的不等式 对一切实数 恒成立，求实数 的取值范围.
【解析】①当 ，即 时，原不等式可化为：
时，不等式恒成立
②当 ，即 时，不等式 是一个一元二次不等式.
再根据m-2的正负具体分类，那么不等式的对应方程 的根的情况对应图像上就分别是两个、一个或无三种情况，那么它的判别式依次是： 、 或 .
解析(1)不等式 －2x－m＋1<0恒成立，
即函数f(x)＝ －2x－m＋1的图象全部在x轴下方.
（i)当m＝0时，1－2x<0不恒成立；
（ii)当m≠0时，函数f(x)＝mx2－2x－m＋1为二次函数，需满足图象开口向下且方程mx2－2x－m＋1＝0无解，即 则m无解.
综上，不存在这样的m，使不等式恒成立.
题型二.解高次不等式（方法：穿针引线法）
(1) (x+1)2(x-2)3＜0(2) (x+2)3(x-2)2(x+2)＞0 (3) (x+1)4(x-1)3(x2-1)＜0
题型三.解分式不等式(方法：等价变换)
(1) (2) (3)
题型四.解含参数的一元二次不等式（分类讨论）
1.解关于 的不等式
数学分类讨论方法，就是将数学对象分成几类，分别进行讨论来解决问题的一种数学思想方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、明显的综合性、明显的探索性，能训练人的思维条理性和概括性。分类讨论思想，贯穿于整个高中数学的全部内容。应用分类讨论，往往能够使复杂的问题简单化。分类的过程，可培养学生思考的周密性，条理性能力，而分类讨论，又促进学生研究问题，探索规律的能力，这是素质教育的本质所在。