湖南省三湘名校教育联盟 2019-2020学年高二下学期期末考试 数学(含答案)
湖南省2019年高二第二学期期末三校联考数学(文)试题及答案
高二第二学期期末三校联考数学（文）试题时量：120分钟 分值：150分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求)1. 已知全集U R =，集合{1,2,3,4,5},{|3}A B x R x ==∈≥,则R AC B =( )A ．{1}B ． {1,2}C ．{1,2,3}D ． {0,1,2}2. 复数21i - 的实部和模分别为（ ）A ．1,2B ．,2iC ．D．i 3. 了解一片速生林的生长情况,随机测量了其中100株树木的底部周长(单位:cm).根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如图),那么在这100株树木中,底部周长大于110cm 的株数是 ( )A ．80B ．70C ．60D ．304. 如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是相邻两边的长分别为1和2的矩形，俯视图是一个圆，那么这 个几何体的体积为（ ）A ．4πB ．πC ．12πD ．13π5.“3x >”是“2560x x -+>”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件6. 若平面向量(1,2)a =-与b 的夹角为π，且||35b =b 的坐标为 ( )(3,6)-(3,6)-C (6,3)-(6,3)-90 110100 120第3题图正视图侧视图 俯视图第4题图7. 设某大学的女生体重y (单位：kg )与身高x (单位：cm )具有线性相关关系，根据一组样本数据(i x ，i y )(1,2,3,,n i =)，用最小二乘法建立的回归方程为ˆ0.8585.71yx =-，则下列结论中不正确的是( )A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(x ，y )C ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg8. 在ABC ∆中，若222sin sin sin A B C +<，则ABC ∆的形状是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定9. 设二元一次不等式组1460x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域为M ，使函数(0,1)xy a a a =>≠的图象经过区域M 的a 的取值范围是（ ）A ．[1,3]B ．[2,3]C ． [2,5] D．10. 若定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x += ，且[]1,1x ∈- 时，21)(x x f -=，函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-=>=01000lg )(x xx x x x g 则函数()()()h x f x g x =-在区间[－5,5]内的零点个数是( )A ．5B ．7C ．8D ．10二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。
湖南省三湘名校教育联盟2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题 Word版含答案
湘名校教育联盟·2020年上学期高二期末考试数学一、选择题1．已知复数z 满足()()12z i i i --=，则z =（ ） A ．1i -+B ．12i -+C ．2i +D ．2i -2．已知集合{}220A x x x =--<，12log 1B x x ⎧⎫⎪⎪=<⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则() RAB =（ ）A ．()1,2-B ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭3．消费结构是指各类消费支出在总费用支出中所占的比重.它是目标市场宏观经济的一个重要特征，能够反映一国的文化、经济发展水平和社会的习俗.2020年2月29日人民网公布的我国2019年全国居民人均消费支出及其构成，如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．2019年全国居民人均消费支出一半用于改善居住条件B ．2019年全国人均食品烟酒消费占居民人均消费支出的比重最大C ．2019年全国人均衣着消费支出比教育文化娱乐消费支出的比重大D ．2019年全国居民用于医疗保健的消费支出超过人均消费支出的10%4．已知向量()1,2a =-，()2,1b =-，若b 与()a b R λλ+∈垂直，则λ=（ ） A ．54B ．54-C ．12-D ．125．已知双曲线22221x y a b-=的离心率为2，则双曲线的渐近线经过点（ ）A ．(1,B ．()1,2C ．()1,2-D ．1,⎛ ⎝⎭6．已知α为锐角，sin 33πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则cos α=（ ） A．62- B．62+C．12 D12- 7．已知ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若tan tan 1tan tan B C B C +=-⋅，且2bc =，则ABC △的面积为（ ）A．BC．4D．28．新课程改革把劳动与技术课程作为7~9年级每个学生必须接受的课程，并写人新课程标准.某校7年级有5个班，根据学校实际，每个班每周安排一节劳动与技术课，并且只能安排在周一、周三、周五下午的三节课，同年级不同班不能安排在同一节，则七年级周五下午排了3个班的劳动与技术课程的概率是（ ）A ．325659A A AB ．325659C A AC ．325659C C CD ．325659C C A 二、多项选择题9．关于二项式622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式，下列结论错误的是（ ）A ．展开式所有的系数和为1B ．展开式二项式的系数和为32C ．展开式中不含3x 项D ．常数项为12010．古希腊数学家阿波罗尼奧斯（约公元前262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知()0,0O ，()3,0A ，圆C ：()()22220x y r r -+=>上有且仅有一个点P 满足2PA PO =，则r 的取值可以为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．511．已知函数()()()cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象与y轴交于点⎛⎝⎭，与x 轴的一个交点为()1,0，如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．6πϕ=B ．()f x 的最小正周期为6C ．()y f x =的图像关于直线52x =对称 D ．()f x 在50,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减 12．已知偶函数()f x 对任意x R ∈都有()()12120f x f x --+=，当[]0,12x ∈时，()()22,02lg 2,212x x x f x x x ⎧-≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩，实数i x 是关于x 的方程()()1,2,3,...f x m i ==的解，且i x 互不相等.则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的最小正周期是12B ．()y f x =图象的对称轴方程为12x k =，k Z ∈C ．当1m >时，关于x 的方程()f x m =在[]0,12x ∈上有唯一解D ．当0m =时，存在1x ，2x ，3x ，4x ，使得1234x x x x +++的最小值为0 三、填空题 13．曲线sin xxy e =在点()0,0处的切线方程为______. 14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若636S =，2014126S S -=，则数列{}n a 的公差d =______. 15．某手机运营商为了拓展业务，现对该手机使用潜在客户进行调查，随机抽取国内国外潜在用户代表各100名，调查用户对是否使用该手机的态度，得到如图所示的等高条形图.根据等高图，______（填“有”或“没有”）99.5%以上的把握认为持乐观态度和国内外差异有关.（参考公式与数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）16．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 是1AA 的中点，Q 是侧面正方形11BB C C 内的动点，当1D Q平面PBD 时，点Q 的轨迹长度为______，若点Q 轨迹的两端点和点1C ，1D 在球O 的球面上，则球O 的体积为______.四、解答题17sin B C A ==，②2a ab b c==+，③3b c ==，这三个条件中，任选一个补充在下面的问题中，并解答问题.已知ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，______，a =B 的平分线交AC 于点D ，求BD 的长.18．已知数列{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，()2n n b n S n =++，求数列{}n b 的前n 项和n T .19．在如图所示的多面体中，平面ABCD ⊥平面PDC ，ABCD 为正方形，E ，F 分别为AD ，BP 的中点，且2AD =，AP =PC =（1）证明：EF⊥平面PBC ；（2）求二面角B PD C --的余弦值.20．已知椭圆C ：()22211x y a a+=>，直线l ：)x ty t R =+∈与x 轴的交点为P ，与椭圆C 交于M 、N 两点. （1）求椭圆C 的标准方程； （2）证明：2211PMPN+是定值.21．国际电子竞技和围棋比赛通常采用双败淘汰制.双败淘汰制即一支队伍失败两场被淘汰出局，直到最后剩下一支队伍夺得冠军（决赛只赛一场）.以八支战队的比赛为例（如图所示），第一轮比赛，由8支战队抽签后交战，获胜战队继续留在获胜组，失败战队则掉人失败组，进人下一轮比赛.失败战队在失败组一旦再失败即被淘汰，最后由胜者组和败者组的冠军决出总冠军.某项国际电子竞技比赛有甲等8名选手参加，比赛采用了双败淘汰制，若这8名选手相互之间每场比赛获胜的概率均为0.5.（1）求甲获得冠军的概率；（2）记甲在这次比赛中参加比赛的场次为X ，求随机变量X 的分布列和期望.22．已知函数()()ln sin f x x a x a R =-∈. （1）证明：当0a ≤时，()f x 在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增； （2）当1a =时，不等式()ln x kx x f x e -≥对任意的0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，求实数k 的取值范围.三湘名校教育联盟·2020年上学期高二期末考试数学参考答案一、选择题1．B 【解析】方法一：因为()()12z i i i --=，所以()()()2121111i i iz i i i i i +-===-+--+，所以12z i =-+.故选B.方法二：设z a bi =+，所以()1z i a b i -=+-，因为()()12z i i i --=，所以12z i =-+.故选B.2．C 【解析】因为{}{}22012A x x x x x =--<=-<<，121log 12B x x x x ⎧⎫⎧⎫⎪⎪=<=>⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭，所以() 112R AB x x ⎧⎫=-<≤⎨⎬⎩⎭，故选C. 3．B 【解析】根据全国人均消费支出结构饼图，可知2019年内人均食品、烟酒消费占居民人均消费支出的28.2%，比重最大，居住条件上的消费支出占人均消费支出的23.4%，远远小于人均消费支出的一半，用于文化娱乐的比重大于衣着消费，用于医疗保健的消费支出占人均消费支出的8.8%，不超过10%，故选B. 4．A 【解析】依题意，()2,21a b λλλ+=--，又b 与()a b R λλ+∈垂直， 所以()()()2,212,10a b b λλλ+⋅=--⋅-=，即540λ-=，所以54λ=.故选A. 5．A 【解析】依题意，双曲线的离心率为2，所以ba=y =，结合选项可知，渐近线经过点(1,，故选A.6．C 【解析】方法一：因为α为锐角，sin 3πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，所以cos 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以1cos cos cos cos sin sin 3333332ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选C.方法二：提示也可以把sin 33πα⎛⎫+=⎪⎝⎭展开，结合同角三角函数基本关系式来求解.7．D 【解析】因为tan tan 1tan tan B C B C +=-⋅，即()tan 1B C +=，在ABC △中，所以tan 1A =-，所以sin 2A =，所以2ABC S =△.故选D. 8．A 【解析】由题意可知，7年级在周五排3个班的劳动与技术课程，剩下的两个班可以任意排在周一和同三下午的6节课中的两节课，所以7年级在周五也排3个班的劳动与技术课程的概率325659A A P A =.故选A. 二、多项选择题9．BCD 【解析】因为二项式622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，令1x =可得所有项系数和为1，展开式中二项式的系数和为6264=，展开式的通项为()()2612316622rr r r rr r T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，当4r =时，得常数项为240；当3r =时，可得3x 项，所以错误的应选BCD.10．AD 【解析】设(),P x y ，由2PA PO =，得()2222344x y x y -+=+，整理得()2214x y ++=，又点P 是圆C ：()()22220x y r r -+=>上有且仅有的一点， 所以两圆相切.两圆相切分为外切和内切两种情况，进而可求得1r =或5r =.故选AD.11．ABC【解析】因为函数经过⎛ ⎝⎭，所以cos ϕ=，所以6πϕ=，又因为1x =时，函数值为0，所以()262k k Z ππωπ+=+∈，又124T <<，所以42ππω<<，所以3πω=，所以()cos 36f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可得()f x 的最小正周期为6T =；当()2236k x k k Z πππππ≤+≤+∈，即在156,622k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈上单调递减，直线52x =是()f x 的一条对称轴.故选ABC. 12．BCD 【解析】因为函数是偶函数，且()()1212f x f x -=+，当[]0,12x ∈时，函数()f x 无轴对称性，所以函数的最小正周期为24，故A 错误；因为0x =是函数的对称轴，且()()1212f x f x -=+，所以函数图象关于直线()12x x k Z =∈对称，故B 正确；当[]0,12x ∈时，结合()()22,02lg 2,212x x x f x x x ⎧-≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩的单调性和图像可知，当1m >时，关于x 的方程()f x m =在[]0,12x ∈上只有唯一解，故C 正确；当0m =时，总能找到两两关于y 对称的四个零点，使得12340x x x x +++=，若4个零点不关于y 对称时，12340x x x x +++>.其中正确的是BCD.三、填空题13．0x y -=【解析】因为()cos sin x x xe x xef x e-'=，所以()01f '=，所以曲线()sin xf x e x =在点()0,0处的切线方程为0x y -=. 14．1514【解析】方法一：由等差数列性质前n 项和为公式可知， ()620141206162S S S a a +-=+=，所以12027a a +=，所以()12020202702a a S +==， 又636S =，所以11251221927a d a d +=⎧⎨+=⎩，所以1514d =.方法二：2014614690S S S d --=⨯=，所以1514d =. 方法三：依题意，()()111165362614191262a a d a d a d ++⎧=⎪⎪⎨+++⎪=⎪⎩，解得1514d =.15．有【解析】依题意，可知国内代表乐观人数60人，不乐观人数40人，国外乐观人数40人，不乐观人数60人，总计乐观人数100人，不乐观人数100人，所以()22200606040408100100100100K ⨯-⨯==⨯⨯⨯，而87.879>，所以有99.5%以上的把握认为持乐观态度和国内外差异有关. 16；92π【解析】依题意，1D Q 平面PBD 时，点Q 是平面11BB C C 内的动点，所以可得1D 点与点Q 的轨迹构成的平面与平面PBD 平行，如图所示，因为P 是1AA 的中点，取1CC 中点0Q ，所以Q 点轨迹即为线段10B Q ，因为正方体棱长为2，所以10B Q =球O 的直径就是10A Q ，长为3，故球O 体积为92π.四、解答题172sin a a B C A b c b b c ==⇔==⇔==+，所以选择三个条件的任意一个条件，都可以作相应的等价变换，解答如下：在ABC △中，因为b c ==，由余弦定理可得，2221cos 22b c a A bc +-==-， 因为0A π<<，所以23A π=； 又BD 是角B 的平分线，所以12ABD π∠=，所以4ADB π∠=，在BDC △中，由正弦定理可得，sin sin CB BD BDC C =∠，即3sin sin 46BC BDππ=，所以BD =18．解：（1）因为数列{}1n a +是首项为2，公比2q =的等比数列，由等比数列的通项公式可得12nn a +=，所以21nn a =-（2）由（1）可知，()12122212n n n S n n +-=-=---所以122n n S n +++=，所以12n n b n +=⋅， 所以2311222...2n n T n +=⨯+⨯++⋅①，由①×2可得，34221222...2n n T n +=⨯+⨯++⋅② 由①－②可得，231222...22n n n T n ++-=+++-⋅，所以()2124n n T n +=-+19．解：（1）证明：取PC 中点G ，连接DG ，FG ，点E ，F 分别为AD ，BP 的中点，又2AD =，AP =2PD =，所以PCD △是等腰三角形，所以EFGD 为平行四边形，所以EF GD ，因为平面ABCD ⊥平面PDC ，ABCD 为矩形，所以BC ⊥平面PDC ，所以BC DG ⊥， 所以PC DG ⊥，又BCPC C =，所以DG ⊥平面PBC ，所以EF ⊥平面PBC .（2）空间向量法：如图所示，在平面PDC 内，作DC Dy ⊥，分别以DC ，Dy ，DA 为x ，y ，z 轴，建立空间坐标系.所以()0,0,0D ，()2,0,0C ，()2,0,2B，()P -， 所以平面PDC 的法向量为()0,0,1m =，设平面PDB 的法向量为(),,n x y z =，()2,0,2DB =，()DP =-，所以00DP n DB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2200x z x -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，所以n =，所以cos ,7m n m n m n ⋅===⋅. 所以二面角B PD C --的余弦值为7. 立体几何法：如图，在平面PDC 内，作CM PD ⊥，垂足为M ，连接BM ，BMC ∠即为二面角B PD C --的平面角，再计算求余弦值即可 思路三，利用射影面积法求二面角：设二面角B PD C --为θ，由BC ⊥平面PDC 得cos PBD PCD S S θ⋅=△△.20．解：（1）依题意可知，1b =，又2e =，所以a =所以椭圆C 的标准方程2212x y += （2）设点()11,M x y 、()22,N x y ，联立22312x ty x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去x 得()2242033t y y ++-=， ()22281632280333t t t =++=+>△恒成立，由韦达定理得1232y y t +=+()122432y y t =-+， 因此，()()()()()222121212222222222222121212211111111y y y y y y t y t y t y y t y y MP NP +-++=+==++++ ()()()()()()()()22222222222221618832323216931616316119292t t t t t t t t t +++++===⨯=+⋅+⋅++.综上所述，22113MPNP+=.21．解：（1）由“双败淘汰制”可知，甲获得冠军可能是由获胜者进入决赛并最终夺冠，也可能是由失败者组进入决赛最终夺冠的，所以4322451111111812222222648P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⨯+⨯== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）依题意，X 的可能取值为2，3，4，5，6.()211224P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2121113224P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，()33131115422216P X C ⎛⎫⎛⎫==+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当5X =时，有如下情况：①前两场胜利，第三场失败；②第一场失败或第二场失败，则第5场必失败.()4511152228P X ⎛⎫⎛⎫==+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当6X =时，前5场只可能失败一次，且只可能是在第一场失败或第二场失败，()51162216P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，所以X 的分布列为所以X 的数学期望为23456 3.54416816EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.22．解：（1）证明：因为()()ln sin f x x a x a R =-∈，所以()1cos f x a x x '=-，0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， 当0a ≤时，()1cos 0f x a x x '=->恒成立，()f x 在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增. （2）由题意，对0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，sin 0xe x kx -≥恒成立，设()sin xh x e x kx =-，()sin cos xxh x e x e x k '=+- 又设()sin cos xxm x e x e x k =+-，则()sin cos cos sin 2cos 0xxxxxm x e x e x e x e x e x '=++-=≥，因此()m x 在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦单调递增，所以()()01m x m k >=-，①当1k ≤时，()0m x >，即()0h x '>，()h x 在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦单调递增，故有()()00h x h >=，即1k ≤适合题意.②当1k >时，()010m k =-<，22m e k ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若20e k π-<，则取02x π=，()000,x x ∈时，()0m x <，若20e k π-≥，则在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上()m x 存在唯一零点，记为0x ，当()00,x x ∈时，()0m x <， 总之，存在00,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦使()00,x x ∈时，()0m x <，即()0h x '<，所以()h x 单调递减，()()00h x h <=， 故1k >时存在()00,x 使()0h x <不合适题意， 综上，实数k 的取值范围是(],1-∞. 第（2）题也可解答如下：()sin ln x x kx e xx f x k e x-≥⇔≤.设()sin xg x e x x =-，则()()sin cos 11104xx x g x ex x x e e π⎛⎫'=+-=+->-> ⎪⎝⎭，∴()sin xg x e x x =-在区间0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上递增，即()()sin 00xg x e x x g =->=，∴sin 1x e xx>. 而()()()000sin sin limlim lim sin cos 1x x x x x x e x e xe x x x x →→→'==+='， ∴实数k 的取值范围是(],1-∞.。
2020-2021学年湖南省长沙市三湘名校教育联盟教研教改共同体高二(下)期末数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年湖南省长沙市三湘名校教育联盟五市十校教研教改共同体高二（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合S={x|x2−x=0}，T={x|x2+x=0}，则S∪T=()A. {0}B. {−1,0}C. {0,1}D. {−1,0，1}2.已知z=−12+√32i，则z⋅z−=()A. −12B. 1 C. −12−√32i D. −12+√32i3.当生物体死亡后，它机体内的碳14含量会按确定的比率衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.2021年3月23日四川省文物考古研究院联合北京大学对三星堆新发现K4坑的部分炭屑样品使用碳14年代检测方法进行了分析，发现碳14含量衰减为原来的67.90%，则该遗址距今约()年．(参考数据：log20.6790=−0.5585)A. 3000B. 3100C. 3200D. 33004.已知3sinα−4cosα=0，则sin2α=()A. −1225B. 1225C. 2425D. −24255.已知a=log62，b=log124，c=log186，则()A. c>b>aB. a>b>cC. c>a>bD. a>c>b6.为庆祝建党一百周年，长沙市文史馆举办“学党史，传承红色文化”的主题活动，某高校团委决定选派5男3女共8名志愿者，利用周日到该馆进行宣讲工作．已知该馆有甲、乙两个展区，若要求每个展区至少要派3名志愿者，每个志愿者必须到两个展区中的一个工作，且女志愿者不能单独去某个展区工作，则不同的选派方案种数为()A. 252B. 250C. 182D. 1807.在半径为2的球中挖去一个半径为1的同心球，设过球心的截面的面积为S1，不过球心的任意非圆面的截面的面积为S2，则()A. S1=S2B. S1>S2C. S1<S2D. S1、S2的大小关系不定8.若A是圆C所在平面内的一定点，P是圆C上的一动点，线段AP的垂直平分线与直线CP相交于点Q，则点Q的轨迹不可能是()A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 下列关于函数f(x)=|sin2x|的结论正确的是( )A. 函数f(x)是偶函数B. 函数f(x)的最大值为2C. 函数f(x)在[π2,3π4]单调递增D. 函数f(x)的最小正周期是π10. 已知正三棱锥P −ABC 中，M 为PA 的中点，PB ⊥CM ，CM =√52，则( )A. PB ⊥CAB. PB ⊥PAC. 该三棱锥的体积是13D. 该三棱锥的外接球的表面积是3π11. 已知直线l ：ax +y −2=0与⊙C ：(x −1)2+(y −a)2=4相交于A 、B 两点，若△ABC 为钝角三角形，则满足条件的实数a 的值可能是( )A. 12B. 1C. 2D. 312. 设随机变量X 表示从1到n 这n 个整数中随机抽取的一个整数，Y 表示从1到X 这X 个整数中随机抽取的一个整数，则( )A. 当n =2时，P(X =2,Y =1)=14 B. 当n =4时，P(X +Y =4)=724C. 当n =k(k ≥2且k ∈N ∗)时，P(X =k,Y =k)=1k 2 D. 当n =2k(k ≥2且k ∈N∗)时，∑P k i=1(X=2i,Y =1)=2k −122k三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4=−2，a 6=3，则S n 的最小值为______．14. 宽与长的比为√5−12≈0.618的矩形叫做黄金矩形．它广泛的出现在艺术、建筑、人体和自然界中，令人赏心悦目．在黄金矩形ABCD 中，BC =√5−12，AB >BC ，那么AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为______． 15. 已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点F 的直线与C 交于A ，B 两点，且|FA|=4，则|AB|=______．16. 2020年底，我国已正式对外宣布，实现了全面脱贫的伟大胜利．某市为表彰在脱贫攻坚工作中做出突出贡献的先进单位，制作了一批奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，其中扇形OAB 的半径为10，∠PBA =∠QAB =π3，∠AOB =2θ(0<θ<π2)，AQ=QP=PB，则PQ=______(用θ表示)；据调研发现，当OP最长时该奖杯比较美观，此时θ的值为______．四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.如图，在平面四边形ABCD中，BC=2，AD=√6−√2，∠ABC=90°，∠BCD=60°，∠BAD=75°，求四边形ABCD的面积．18.为了解某校学生参加社区服务的情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查．已知该校共有学生960人，其中男生560人，从全校学生中抽取了容量为n的样本，得到一周参加社区服务时间的统计数据如下：超过1小时不超过1小时男208女12m(1)求m，n；(2)能否有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关？(3)若以样本中学生参加社区服务时间超过1小时的频率作为该事件发生的概率，现从该校随机调查60名学生，记一周参加社区服务时间超过1小时的人数为X，求X的数学期望．附：P(K2≥k)0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.828K2=n(ad−bc)2．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19.如图所示，在三棱柱ABC−A1B1C1中，底面△ABC是正三角形，侧面AA1C1C是菱形，点A1在平面ABC的射影为线段AC的中点D，过点B1，B，D的平面α与棱A1C1交于点E．(1)证明：四边形BB1ED是矩形；(2)求二面角A−BB1−E的余弦值．20.双曲线C的中心在原点O，焦点在x轴上，且焦点到其渐近线y=±2x的距离为2．(1)求双曲线C的标准方程；(2)过点P(0,2)的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，与其渐近线分别交于M，N(从左至右)两点．(ⅰ)证明：AM=BN；(ⅰ)是否存在这样的直线l，使得S△OMNS△OAB =2√55，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．21.已知函数f(x)=x a e ax+b(其中e是自然对数的底数)，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是y=6e3x−5e3．(1)求a，b；(2)设函数g(x)=f(x)x2−mx−lnx，若g(x)≥1在(0,+∞)上恒成立，求m的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：因为集合S={x|x2−x=0}={0,1}，又T={x|x2+x=0}={0,−1}，所以S∪T={−1,0，1}．故选：D．先分别求出集合S，T，然后由集合并集的定义求解即可．本题考查了集合的运算，主要考查了集合并集的求解，解题的关键是掌握集合并集的定义，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：∵z=−12+√32i，∴z⋅z−=|z|2=(√(−12)2+(√32)2)2=1，故选：B．由已知利用z⋅z−=|z|2求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.【答案】C【解析】解：设生物体死亡后，碳14每年衰减为原来的p，依题意，有(1−p)5730=12，1−p=2−15730，设距今约t年，碳14衰减为原来的(1−p)t=(2−15730)t=67.90%，结合参考数据：−t5730=log20.6790=−0.5585，可得t≈3200．故选：C．设生物体死亡后，碳14每年衰减为原来的p，则(1−p)5730=12，1−p=2−15730，解出t的值．本题考查了函数模型的应用，指数式与对数式的运算，解题需要一定的计算能力，属于中档题．4.【答案】C【解析】解：∵3sinα−4cosα=0，∴sinα=4cosα3，∵sin2α+cos2α=1，∴(4cosα3)+cos2α=1，解得cosα=±35，∴{sinα=−45cosα=−35或{sinα=45cosα=35，∴sin2α=2sinαcosα=2425．故选：C．根据已知条件，结合三角函数的同角公式和二倍角公式，即可求解．本题主要考查三角函数的同角公式，以及二倍角公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：由对数运算公式得，1a =log26=1+log23，1b=log412=1+log43，1c=log618=1+log63，易知log23>log43>log63，∴c>b>a．故选：A．根据对数的运算性质可得出1a =1+log23,1b=1+log43,1c=1+log63，然后比较log23，log43和log63的大小关系即可得出a，b，c的大小关系．本题考查了对数的换底公式，对数的运算性质，对数函数的单调性，不等式的性质，考查了计算能力，属于中档题．6.【答案】D【解析】解：根据题意，分2步进行分析：−①将8人分为2组，要求每组至少3人且3名女志愿者不能单独成一组，有(C83+C84C44A221)=90种分组方法，②将分好的2组安排到两个展区，有A22=2种安排方法，则有90×2=180种选派方法，故选：D．根据题意，分2步进行分析：①将8人分为2组，要求每组至少3人且3名女志愿者不能单独成一组，将分好的2组安排到两个展区，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：如图所示，设球心O到不过球心的任意非圆面的截面的距离为d，则该截面的面积为S2=π[(22−d2)−(12−d2)]=3π，而过球心O的截面的面积为S1=π(22−12)=3π，所以S1=S2．故选：A．根据题意画出图形，结合图形求出不过球心的任意非圆面的截面面积S2和过球心的截面面积S1，比较即可．本题考查了球的截面面积计算问题，也考查了运算求解能力和空间想象能力，是基础题．8.【答案】D【解析】设圆C的半径为r，①若点A在圆C内不同于点C处，如图(1)所示，则有|QA|+|QC|=r>|AC|，故点Q的轨迹是以A、C为焦点的椭圆，所以B正确；②若点A与C重合，则有|QP|=|QA|=r，2故点Q的轨迹是以C为圆心，r为半径的圆，所以A正确；2③若点A在圆C上，如图(3)所示，则由垂径定理，线段AP的垂直平分线必过点C，故Q与C重合，故点Q的轨迹是一个点；④点A在圆C外，如图(4)所示，则|QA|=|QP|=|PC|+|QC|=r+|QC|，所以|QA|−|QC|=r<|AC|，故点Q的轨迹是以A、C为焦点的双曲线右支，当AP的垂直平分线交CP的延长线于点Q时，Q的轨迹是以A、C为焦点的双曲线左支，所以C正确；故选：D．分点在圆上，圆内，圆外三种情况分别讨论即可求出Q的轨迹．本题考查圆锥曲线的定义法求轨迹，考查直观想象的核心素养，属于中档题．9.【答案】AC【解析】解：作出函数f(x)的图像如下：由图像易知，函数为偶函数，故A 正确； 函数的单调性在[π2,3π4]单调递增，故C 正确；函数的最大值为1，故B 错误； 函数的最小正周期为π2，故D 错误； 故选：AC ．直接利用函数的图象和性质的应用判断A 、B 、C 、D 的结论．本题考查的知识要点：三角函数的图象和性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．10.【答案】ABD【解析】解：取AC 中点N ，连接PN ，BN ， ∵三棱锥P −ABC 为正三棱锥，∴PN ⊥AC ，BN ⊥AC ， 又PN ∩BN =N ，∴AC ⊥平面PBN ，得PB ⊥AC ，故选项A 正确；又PB ⊥CM ，且AC ∩CM =C ，∴PB ⊥平面PAC ，得PB ⊥PA ，故选项B 正确；又三棱锥P −ABC 为正三棱锥，∴PA ⊥PC ，且PA =PB =PC ， 在Rt △PMC 中，设PC =2x ，则PM =x ，而CM =√52，由勾股定理解得PC =1，故三棱锥的体积为13×12×1×1×1=16，故C 错误； 其外接球半径为√32，外接球表面积为4π×(√32)2=3π，故D 正确．故选：ABD ．取AC 中点N ，连接PN ，BN ，可得AC ⊥平面PBN ，得PB ⊥AC 判断；进一步证明PB ⊥平面PAC ，得PB ⊥PA 判断B ；求解三角形得PC ，求得三棱锥体积判断C ；然后求出三棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式判断D ．本题考查空间中点、线、面间的位置关系及距离计算，考查多面体体积及其外接球体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．11.【答案】ACD【解析】解：圆C 的圆心为(1,a)，半径为r =2，由于△ABC 为等腰三角形，若该三角形为钝角三角形，则∠CAB <45°， 设圆心C 到直线l 的距离为d ，则d =√a 2+1，则sin∠CAB =dr=√a 2+1<√22，整理可得a 2−4a +1<0，解得2−√3<a <2+√3，∵直线l 不过圆心C ，则2a −2≠0，解得a ≠1． ∴a ∈(2−√3,1)∪(1,2+√3)．结合选项可得满足条件的实数a 的值可能是ACD ． 故选：ACD ．由圆的方程求得圆心坐标与半径，结合题意，可得圆心到直线的距离小于√22，由此列式求得a 的范围，结合选项得答案．本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查化归与转化思想，训练了点到直线距离公式的应用，是中档题．12.【答案】ACD【解析】解：对于A ，当n =2时，P(X =2,Y =1)=12×12=14，故选项A 正确； 对于B ，当n =4时，因为X ≥Y ，且X +Y =4，可得X =3，Y =1或X =2，Y =2， 所以P(X +Y =4)=P(X =3,Y =1)+P(X =2,Y =2)=14×13+14×12=524，故选项B 错误；对于C ，当n =k(k ≥2且k ∈N ∗)时，则P(X =k,Y =k)=1k ×1k =1k 2，故选项C 正确；对于D ，∑P k i=1(X =2i ,Y =1)=12k ×12+12k ×122+⋯+12k ×12k =12k (12+122+⋯+12k )=2k −122k，故选项D 正确．故选：ACD ．利用随机变量的概率，结合相互独立事件的概率公式，对四个选项依次分析判断即可． 本题考查了离散型随机变量及其概率的求解，相互独立事件的概率公式的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．13.【答案】−3【解析】解：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 4=−2，得4a 1+4×32d =−2，即2a 1+3d =−1①，又a 6=3，得a 1+5d =3②，联立①②解得a 1=−2，d =1，所以S n =−2n +n(n−1)2×1=12n 2−52n ，由于n ∈N +，根据二次函数性质可知当n =2或3时S n 有最小值，且最小值为S 2=S 3=−3．故答案为：−3．设等差数列{a n }的公差为d ，根据S 4=−2，S 6=3即可计算出S n 再结合二次函数的性质即可得到S n 的最小值．本题主要考查等差数列前n 项和、数列与函数的综合问题，考查学生推理论证和运算求解的能力，属于基础题．14.【答案】1【解析】解：由黄金矩形的定义，可得AB =1，BC =√5−12，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=1， 故答案为：1．由黄金矩形ABCD 的定义，可得AB ，再由向量数量积的定义，计算可得所求值． 本题考查黄金矩形的定义，以及向量数量积的定义和运用，考查运算能力，属于基础题．15.【答案】163【解析】解：设过F(1,0)的直线方程为x =my +1，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 联立直线与抛物线方程{x =my +1y 2=4y ，可得y 2−4my −4=0，由韦达定理，可得y 1y 2=−4，则x 1x 2=y 124⋅y 224=1，∵由抛物线的定理，可得|FA|=x 1+1=4， ∴x 1=3，x 2=13，∴|FB|=x 2+1=43，|AB|=4+43=163．故答案为：163．设过F(1,0)的直线方程为x=my+1，联立直线与抛物线方程，可得y2−4my−4=0，再结合韦达定理和抛物线的定义，即可求解．本题主要考查了抛物线的定义，需要学生有较强的综合能力，属于中档题．16.【答案】10sinθπ4【解析】解：作OM⊥QP交QP于M，交AB于C，且OC⊥AB，则∠AOC=θ，则AB= 20sinθ，OC=10cosθ．设AQ=QP=BP=x，作QE⊥AB交AB于E，PF⊥AB交AB于F，因为∠PBA=∠QAB=60°，所以AE=BF=12x，CM=PF=√32x，EF=QP=x，所以AB=2x，所以AB=20sinθ=2x，即x=10sinθ．所以OM=OC+CM=10cosθ+√32x=10cosθ+5√3sinθ，所以OP2=OM2+MP2=(10cosθ+5√3sinθ)2+(5sinθ)2=100cos2θ+75sin2θ+ 100√3sinθcosθ+25sin2θ=100+50√3sin2θ，因为sin2θ∈[−1,1]，所以当sin2θ=1，即θ=π4时，OP2最大，故答案为：10sinθ，π4．作OM⊥QP交QP于M，交AB于C，且OC⊥AB，则∠AOC=θ，由扇形的半径为10可得AB，OC的值，设设AQ=QP=BP=x，作QE⊥AB交AB于E，PF⊥AB交AB于F，再由∠PBA=∠QAB=π3，可得AB的值，求出PM的值，进而求出PQ的值，再求出OP的表达式，由三角函数的辅助角公式化简可得OP取到最大值时θ的值．本题考查三角函数的辅助角公式的化简及直角三角形的边角的关系的应用，属于中档题．17.【答案】解：如图，连接BD，设∠CBD=θ(0°<θ<90°)．在△ABD中，由正弦定理得，ADsin∠ABD =BDsin75∘，即√6−√2sin(90∘−θ)=BDsin75∘，在△BCD 中，同理有，BC sin∠BDC =BD sin∠BCD ，即2sin(120∘−θ)=BDsin60∘ 从而有sin(120°−θ)=√3cosθ，化简得sinθ=√3cosθ， 因此有tanθ=√3，∴θ=60°．于是知四边形ABCD 是由边长为2的正△BCD 和腰长为2，顶角∠ABD =30°的等腰△ABD 构成，所以四边形ABCD 的面积为S =√34×22+12×2×2×sin30°=1+√3．【解析】连接BD ，将四边形分割为△ABD 和△BCD ，设∠CBD =θ，通过正弦定理构建方程组求解θ，从而判断△ABD 、△BCD 的形状，进而求面积．本题考查正弦定理在平面几何图形中的应用，分割法求一般图形的面积，三角形的面积公式，属于中档题．18.【答案】解：(1)由已知，该校有女生400人，故12+m20+8=400560，得m =8，从而n =20+8+12+8=48． (2)作出列联表如下：K 2=48(160−96)228×20×32×16=2435≈0.6857<3.841，所以不能有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关．(3)根据以上数据，学生一周参加社区服务时间超过1小时的概率P =3248=23，所以X ～B(60,23)，且P(X =k)=C 60k(23)k ×(13)60−k ，k =0，1，2，⋯，60． 故X 的数学期望EX =60×23=40．【解析】(1)结合分层抽样同比例的定义，即可求解． (2)根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．(3)计算参加社区服务时间超过1小时的概率，用频率估计概率，计算所求的频数即可． 本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了用频率估计概率的应用问题，属于中档题．19.【答案】解：(1)连接B 1E ，DE ，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，侧面A 1ABB 1为平行四边形，所以B 1B//A 1A ，因为B 1B ⊄平面A 1ACC 1，A 1A ⊂平面A 1ACC 1， 所以B 1B//平面A 1ACC 1，因为B 1B ⊂平面BB 1D ，且平面BB 1D ∩平面A 1ACC 1=DE ，所以B 1B//DE ，因此A 1A//DE ，因为点D 是AC 的中点，所以E 为A 1C 1中点，所以B 1B =DE ， 所以四边形BB 1ED 为平行四边形，在正△ABC 中，因为D 是AC 的中点，所以BD ⊥AC ， 由题意可知，A 1D ⊥平面ABC ，又BD ，BC ⊂平面ABC ， 所以A 1D ⊥BD ，A 1D ⊥AC ，又AC ∩A 1D =D ，所以BD ⊥平面ACC 1A 1，又DE ⊂平面ACC 1A 1，则BD ⊥DE ， 故四边形BB 1ED 为矩形；(2)由(1)可知，DB ，AC ，A 1D 两两垂直，以DB ，AC ，A 1D 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz ， 设AD =1，则BD =√3，在△AA 1D 中，AA 1=2AD ，∠A 1DA =90°，所以A 1D =√3， 故D (0,0，0)，A(0,−1,0)，A 1(0,0,√3)，B(√3,0,0)，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,0)，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0,0)，AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,√3)， 设平面DBB 1E 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(a,b,c)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{√3a =0b +√3c =0， 令c =−1，则m ⃗⃗⃗ =(0,√3,−1)， 设平面ABB 1A 1的法向量为n ⃗ =(x,y,z)， 则{n ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{√3x +y =0y +√3z =0， 令x =1，则n ⃗ =(1,−√3,1)，设二面角A −BB 1−E 的大小为θ，由图可知θ∈(0,π2)， 则cosθ=|cos〈m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ 〉|=2√5=2√55，故所求二面角A −BB 1−E 的余弦值为2√55．【解析】(1)连接B 1E ，DE ，利用线面平行的判定定理证明B 1B//平面A 1ACC 1，由线面平行的性质定理证明B 1B//DE ，即可证明四边形BB 1ED 为平行四边形，利用线面垂直的判定定理证明BD ⊥平面ACC 1A 1，从而得到BD ⊥DE ，即可证明四边形BB 1ED 为矩形； (2)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面DBB 1E 和平面ABB 1A 1的法向量，再利用向量的夹角公式求解即可． 本题考查了线面平行和垂直的判定定理以及性质，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．20.【答案】(1)解：设双曲线的标准方程为C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，因为焦点F(c,0)到渐近线的距离为b ，故b =2， 又ba =2，所以a =1， 故所求双曲线C 的方程为x 2−y 24=1；(2)(ⅰ)证明：设过点P 的直线l ：y =kx +2， 联立方程组{y =kx +2x 2−y 24=λ(λ=0或λ=1)， 消去y 可得(4−k 2)x 2−4kx −4−4λ=0，且△>0，k ∈(−2,2)， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，M(x 3,y 3)，N(x 4,y 4). 当λ=1时，x 1+x 2=4k4−k 2，即AB 中点横坐标为2k4−k 2， 当λ=0时，x 3+x 4=4k4−k 2，即MN 中点横坐标为2k4−k 2， 故线段AB ，MN 的中点重合，所以AM =BN ； (ⅰ)解：由(ⅰ)可得，x 1+x 2=x 3+x 4=4k4−k 2， x 1x 2=−84−k 2，x 3x 4=−44−k 2，所以|MN|=√(1+k 2)[(x 3+x 4)2−4x 3x 4]=8√1+k 2|4−k 2|，|AB|=√(1+k2)[(x1+x2)2−4x1x2]=4√1+k2√8−k2|4−k2|，又S△OMNS△OAB =|MN||AB|=2√55，所以k=±√3，满足△>0，故存在这样的直线l：y=±√3x+2．【解析】(1)设双曲线的标准方程，利用点到直线的距离公式求出b，由渐近线方程可得ba=2，从而求出a的值，即可得到答案；(2)(i)设出直线l的方程，联立方程组{y=kx+2x2−y24=λ(λ=0或λ=1)，分λ=1时和λ=0时，由韦达定理求出AB和MN的中点坐标，由此确定线段AB，MN的中点重合，即可证明结论；(ii)利用(i)中的结论，得到韦达定理，然后由弦长公式结合韦达定理求出|MN|，|AB|，将S△OMNS△OAB =2√55，转化为|MN|与|AB|的关系，列出关于k的方程，求解即可得到答案．本题考查了双曲线标准方程的求解，双曲线几何性质的理解与应用，直线与双曲线位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)函数f(x)=x a e ax+b，则f(1)=e a+b，故切点为(1,e a+b)，f′(x)=ax a−1e ax+ax a e ax，则f′(1)=2ae a，又曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是y=6e3x−5e3，所以e a+b=6e3−5e3，且2ae a=6e3，解得a=3，b=0，所以f(x)=x3e3x；(2)由题意，g(x)=xe3x−mx−lnx≥1在(0,+∞)上恒成立，即m≤e3x−lnxx −1x在(0,+∞)上恒成立，令φ(x)=e3x−1x −lnxx，所以m≤[φ(x)]min，因为φ′(x)=3x2e3x+lnxx2，令ℎ(x)=3x 2e 3x +lnx ，则ℎ′(x)=(9x 2+6x)e 3x +1x >0，故ℎ(x)在(0,+∞)单调递增， 又ℎ(14)<0，ℎ(12)>0，由零点存在性定理可知，存在唯一x 0∈(14,12)，使ℎ(x 0)=0， 当x ∈(0,x 0)时，ℎ(x)<0，φ′(x)<0，φ(x)单调递减； 当x ∈(x 0,+∞)时，ℎ(x)>0，φ′(x)>0，φ(x)单调递增； 所以[φ(x)]min =φ(x 0)=e 3x 0−1x 0−lnx 0x 0，由ℎ(x 0)=0，可得3x 02e 3x 0+lnx 0=0， 所以3x 02e 3x 0=ln 1x， 所以3x 0e3x 0=(ln 1x 0)eln1x 0，即3x 0=ln 1x 0，故3x 0=−lnx 0，且e 3x 0=1x 0，所以[φ(x)]min =φ(x 0)=e 3x 0−1x 0−lnx 0x 0=3，故所求m 的取值范围(−∞,3]．【解析】(1)先求出切点的坐标，再利用导数的几何意义求出切线的斜率，由已知的切线方程，构造关于a ，b 的方程组，求解即可； (2)将不等式转化为m ≤e 3x −lnx x−1x在(0,+∞)上恒成立，构造φ(x)=e 3x −1x −lnx x，即求解m ≤[φ(x)]min ，利用导数以及零点的存在性定理，判断函数φ(x)的单调性，求解φ(x)的最小值，即可得到m 的取值范围．本题考查了利用导数研究曲线的切线问题，导数的几何意义的运用，不等式恒成立问题，利用导数研究不等式恒成立问题的策略为：通常构造新函数或参变量分离，利用导数研究函数的单调性，求出最值从而求得参数的取值范围，属于难题．。
2019湖南名校联考高二(下)期末数学试卷(附答案)
2019湖南名校联考高二（下）期末数学试卷（附答案）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知复数z满足＝2﹣i，其中i是虚数单位，则复数z的虚部是（）A．﹣3B．3C．﹣4D．42．（5分）已知集合A＝{x|2x＜1}，B＝{x|（x+2）（x﹣1）≤0}，则A∪B＝（）A．[﹣2，0）B．（﹣∞，﹣2]C．（﹣∞，1]D．[﹣2，+∞）3．（5分）设a为实数，则“a＞”是“a2＞”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）执行如图所示的程序框图，若输人的a＝1，则输出的结果为（）A．15B．6C．﹣10D．﹣215．（5分）函数f（x）＝|x|sin2x的部分图象可能是（）A．B．C．D．6．（5分）如图，点C在以AB为直径的圆上，且满足CA＝CB，圆内的弧线是以C为圆心，CA为半径的圆的一部分，在整个图形中随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点为F点A（0，b），连接AF与双曲线C交于点B，若＝2，则双曲线C的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±x D．y＝±8．（5分）将函数f（x）＝cos2x的图象向左平移个单位，得到g（x）的图象，则下列关于g（x）的说法正确的是（）A．最小正周期为B．关于x＝对称C．关于点（，0）对称D．在区间[﹣，]上单调递减9．（5分）已知a＝2﹣0.2，b＝﹣1og3，c＝log，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b 10．（5分）用1，3，5三个奇数和2，4两个偶数组成一个五位数，两个偶数之间恰好有一个奇数的五位数的个数是（）A．24B．36C．48D．6011．（5分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，c cos A+c sin A＝b+a，则C ＝（）A．B．C．D．12．（5分）将边长为2的菱形ABCD沿对角线BD折叠成空间四边形，则三棱锥A﹣BCD 体积的最大值是（）。
2019-2020学年湖南省三湘名校教育联盟高二下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年湖南省三湘名校教育联盟高二第二学期期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．已知复数z满足（z﹣i）（1﹣i）＝2i，则z＝（）A．﹣1+i B．﹣1+2i C．2+i D．2﹣i2．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x|log x＜1}，则A∩（∁R B）＝（）A．（﹣1，2）B．（﹣1，）C．（﹣1，]D．[，2）3．消费结构是指各类消费支出在总费用支出中所占的比重．它是目标市场宏观经济的一个重要特征，能够反映一国的文化、经济发展水平和社会的习俗.2020年2月29日人民网公布的我国2019年全国居民人均消费支出及其构成，如图所示，则下列说法正确的是（）A．2019年全国居民人均消费支出一半用于改善居住条件B．2019年全国人均食品烟酒消费占居民人均消费支出的比重最大C．2019年全国人均衣着消费支出比教育文化娱乐消费支出的比重大D．2019年全国居民用于医疗保健的消费支出超过人均消费支出的10%4．已知向量＝（﹣1，2），＝（2，﹣1），若与+（λ∈R）垂直，则λ＝（）A．B．﹣C．﹣D．5．已知双曲线﹣＝1的离心率为2，则双曲线的渐近线经过点（）A．（1，﹣）B．（1，2）C．（﹣1，2）D．（1，﹣）6．已知α为锐角，sin（）＝，则cosα＝（）A．﹣B．+C．﹣D．﹣7．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若tan B+tan C＝1﹣tan B•tan C，且bc＝2，则△ABC的面积为（）A．2B．C．D．8．新课程改革把劳动与技术课程作为7～9年级每个学生必须接受的课程，并写入新课程标准．某校7年级有5个班，根据学校实际，每个班每周安排一节劳动与技术课，并且只能安排在周一、周三、周五下午的三节课，同年级不同班不能安排在同一节，则七年级周五下午排了3个班的劳动与技术课程的概率是（）A．B．C．D．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合要求，全部选对得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．关于二项式（x2﹣）6的展开式，下列结论错误的是（）A．展开式所有项的系数和为1B．展开式二项式的系数和为32C．展开式中不含x3项D．常数项为12010．古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （k＞0且k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知O（0，0），A（3，0），圆C：（x﹣2）2+y2＝r2（r＞0）上有且仅有一个点P满足|PA|＝2|PO|，则r的取值可以为（）A．1B．2C．3D．511．已知函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象与y轴交于点（0，），与x轴的一个交点为（1，0），如图所示，则下列说法正确的是（）A．B．f（x）的最小正周期为6C．y＝f（x）的图象关于直线x＝对称D．f（x）在[0，]单调递减12．已知偶函数f（x）对任意x∈R都有f（12﹣x）﹣f（12+x）＝0，当x∈[0，12]时，f（x）＝，实数x i是关于x的方程f（x）＝m（i＝1，2，3，…）的解，且x i互不相等．则下列说法正确的是（）A．f（x）的最小正周期是12B．y＝f（x）图象的对称轴方程为x＝12k，k∈ZC．当m＞1时，关于x的方程f（x）＝m在x∈[0，12]上有唯一解D．当m＝0时，存在x1，x2，x3，x4，使得|x1+x2+x3+x4|的最小值为0三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．曲线y＝在点（0，0）处的切线方程为．14．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S6＝36，S20﹣S14＝126，则数列{a n}的公差d ＝．15．某手机运营商为了拓展业务，现对该手机使用潜在客户进行调查，随机抽取国内国外潜在用户代表各100名，调查用户对是否使用该手机的态度，得到如图所示的等高条形图．根据等高图，（填“有”或“没有”）99.5%以上的把握认为持乐观态度和国内外差异有关．（参考公式与数据：K2＝，其中n＝a+b+c+d．）P（K2≥k0）0.050.010.0050.001k0 3.841 6.6357.87910.82816．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，P是AA1的中点，Q是侧面正方形BB1C1C 内的动点，当D1Q∥平面PBD时，点Q的轨迹长度为，若点Q轨迹的两端点和点C1，D1在球O的球面上，则球O的体积为．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题10分，第18～22题每题12分．17．在①sin B＝sin C＝sin A，②＝＝，③b＝c＝a，这三个条件中，任选一个补充在下面的问题中，并解答问题．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，______，a＝4，角B的平分线交AC于点D，求BD的长．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）18．已知数列{a n+1}是首项为2，公比为2的等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设S n是数列{a n}的前n项和，b n＝n（S n+2+n），求数列{b n}的前n项和T n．19．在如图所示的多面体中，平面ABCD⊥平面PDC，ABCD为正方形，E，F分别为AD，BP的中点，且AD＝2，AP＝2，PC＝2．（1）证明：EF⊥平面PBC；（2）求二面角B﹣PD﹣C的余弦值．20．已知椭圆C：＝1（a＞1）的离心率为，直线l：x＝ty+（t∈R）与x轴的交点为P，与椭圆C交于M、N两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）证明：+是定值．21．国际电子竞技和围棋比赛通常采用双败淘汰制．双败淘汰制即一支队伍失败两场被淘汰出局，直到最后剩下一支队伍夺得冠军（决赛只赛一场）．以八支战队的比赛为例（如图所示），第一轮比赛，由8支战队抽签后交战．获胜战队继续留在获胜组，失败战队则掉入失败组，进入下一轮比赛．失败战队在失败组一旦再失败即被淘汰，最后由胜者组和败者组的冠军决出总冠军．某项国际电子竞技比赛有甲等8名选手参加．比赛采用了双败淘汰制，若这8名选手相互之间每场比赛获胜的概率均为0.5．（1）求甲获得冠军的概率；（2）记甲在这次比赛中参加比赛的场次为X，求随机变量X的分布列和期望．22．已知函数f（x）＝lnx﹣a sin x（a∈R）．（1）证明：当a≤0时，f（x）在（0，]上单调递增；（2）当a＝1时，不等式lnx﹣≥f（x）对任意的x∈（0，]恒成立，求实数k的取值范围．参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z满足（z﹣i）（1﹣i）＝2i，则z＝（）A．﹣1+i B．﹣1+2i C．2+i D．2﹣i解：由（z﹣i）（1﹣i）＝2i，得z﹣i＝，则z＝﹣1+2i．故选：B．2．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x|log x＜1}，则A∩（∁R B）＝（）A．（﹣1，2）B．（﹣1，）C．（﹣1，]D．[，2）解：∵集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|log x＜1}＝{x|x＞}，∴∁R B＝{x|x}，∴A∩（∁R B）＝{x|﹣1＜x}＝（﹣1，]．故选：C．3．消费结构是指各类消费支出在总费用支出中所占的比重．它是目标市场宏观经济的一个重要特征，能够反映一国的文化、经济发展水平和社会的习俗.2020年2月29日人民网公布的我国2019年全国居民人均消费支出及其构成，如图所示，则下列说法正确的是（）A．2019年全国居民人均消费支出一半用于改善居住条件B．2019年全国人均食品烟酒消费占居民人均消费支出的比重最大C．2019年全国人均衣着消费支出比教育文化娱乐消费支出的比重大D．2019年全国居民用于医疗保健的消费支出超过人均消费支出的10%解：根据全国人均消费支出的结构饼图，可知2019年内人均食品，研究消费占居民人均消费支出的28.2%，比重最大，居住条件上的消费占人均消费支出的23.4%，远远小于人均消费支出的一半，用于文化娱乐的比重大于衣着消费，用于医疗保健的消费支出占人均消费支出的8.8%，不超过10%．故选：B．4．已知向量＝（﹣1，2），＝（2，﹣1），若与+（λ∈R）垂直，则λ＝（）A．B．﹣C．﹣D．解：∵向量＝（﹣1，2），＝（2，﹣1），若与+（λ∈R）垂直，∴•（λ+）＝λ+＝λ（﹣2﹣2）+5＝0，则λ＝，故选：A．5．已知双曲线﹣＝1的离心率为2，则双曲线的渐近线经过点（）A．（1，﹣）B．（1，2）C．（﹣1，2）D．（1，﹣）解：由双曲线﹣＝1的离心率为2，可得＝2，即，所以＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝x，由选项可知，（1，﹣）在双曲线的渐近线上．故选：A．6．已知α为锐角，sin（）＝，则cosα＝（）A．﹣B．+C．﹣D．﹣解：α为锐角，且sin（）＝＜，所以＜+α＜π，所以cos（+α）＝﹣＝﹣＝﹣，所以cosα＝cos[（α+）﹣]＝cos（α+）cos+sin（α+）sin＝﹣×+×＝﹣．故选：C．7．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若tan B+tan C＝1﹣tan B•tan C，且bc＝2，则△ABC的面积为（）A．2B．C．D．解：△ABC中，tan B+tan C＝1﹣tan B•tan C，所以tan（B+C）＝＝1，A+B+C＝π，tan A＝﹣tan（B+C）＝﹣1，所以A＝，所以sin A＝，又bc＝2，所以S△ABC＝bc sin A＝×2×＝．故选：D．8．新课程改革把劳动与技术课程作为7～9年级每个学生必须接受的课程，并写入新课程标准．某校7年级有5个班，根据学校实际，每个班每周安排一节劳动与技术课，并且只能安排在周一、周三、周五下午的三节课，同年级不同班不能安排在同一节，则七年级周五下午排了3个班的劳动与技术课程的概率是（）A．B．C．D．解：由题意得7年级在周五排3个班的劳动与技术课程，剩下的两个班可以任意排在周一和周三下午的6节课中的两节课，∴7年级在周五也排3个班的劳动与技术课程的概率为：p＝．故选：A．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合要求，全部选对得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．关于二项式（x2﹣）6的展开式，下列结论错误的是（）A．展开式所有项的系数和为1B．展开式二项式的系数和为32C．展开式中不含x3项D．常数项为120解：令x＝1，则展开式所有项的系数和为（12﹣2）6＝1，故A正确，展开式二项式的系数和为26＝64，故B错误，展开式的通项公式T k+1＝C（x2）6﹣k（﹣）k＝C（﹣2）k x12﹣3k，由12﹣3k＝3得k＝3，即展开式中含x3项，故C错误，当12﹣3k＝0得k＝4，即展开式的常数为C（﹣2）4＝240，故D错误，故错误的是BCD，故选：BCD．10．古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （k＞0且k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知O（0，0），A（3，0），圆C：（x﹣2）2+y2＝r2（r＞0）上有且仅有一个点P满足|PA|＝2|PO|，则r的取值可以为（）A．1B．2C．3D．5解：设P（x，y），由|PA|＝2|PO|，得（x﹣3）2+y2＝4x2+4y2，整理得（x+1）2+y2＝4，又点P是圆C：（x﹣2）2+y2＝r2（r＞0）上有且仅有的一点，所以两圆相切，圆（x+1）2+y2＝4的圆心坐标为（﹣1，0），半径为2，圆C：（x﹣2）2+y2＝r2（r＞0）的圆心坐标为（2，0），半径为r，两圆的圆心距为3，当两圆外切时，r+2＝3，得r＝1，当两圆内切时，|r﹣2|＝3，得r＝5．故选：AD．11．已知函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象与y轴交于点（0，），与x轴的一个交点为（1，0），如图所示，则下列说法正确的是（）A．B．f（x）的最小正周期为6C．y＝f（x）的图象关于直线x＝对称D．f（x）在[0，]单调递减解：由函数f（x）＝cos（ωx+φ）的图象与y轴交于点（0，），所以cosφ＝，又0＜φ＜π，所以φ＝，A正确；由f（x）的图象与x轴的一个交点为（1，0），即y＝f（1）＝0，所以ω+＝2kπ+，k∈Z；又1＜＜2，解得＜ω＜，所以ω＝；所以f（x）＝cos（x+），求得f（x）的最小正周期为T＝6，B正确；f（）＝cos（×+）＝﹣1，所以x＝是f（x）的一条对称轴，C正确；令2kπ≤x+≤2kπ+π，k∈Z，解得6k﹣≤x≤6k+，k∈Z；所以函数f（x）在[6k﹣，6k+]，k∈Z上单调递减，D错误；综上知，正确的命题是ABC．故选：ABC．12．已知偶函数f（x）对任意x∈R都有f（12﹣x）﹣f（12+x）＝0，当x∈[0，12]时，f（x）＝，实数x i是关于x的方程f（x）＝m（i＝1，2，3，…）的解，且x i互不相等．则下列说法正确的是（）A．f（x）的最小正周期是12B．y＝f（x）图象的对称轴方程为x＝12k，k∈ZC．当m＞1时，关于x的方程f（x）＝m在x∈[0，12]上有唯一解D．当m＝0时，存在x1，x2，x3，x4，使得|x1+x2+x3+x4|的最小值为0解：因为函数f（x）是偶函数，则图象关于y轴对称，又f（12﹣x）＝f（12+x），所以函数关于直线x＝12对称，当x∈[0，12]时，函数f（x）无轴对称性，又f（x+24）＝f（﹣x）＝f（x），所以函数的最小正周期为24，故A错误；因为x＝0是函数的对称轴，且f（12﹣x）＝f（12+x），所以函数图象关于直线x＝12k（k∈Z）对称，故B正确；当x∈[0，12]时，结合f（x）＝的单调性和图象可知，当m＞1时，关于x的方程f（x）＝m在x∈[0，12]上只有唯一解，故C正确；当m＝0时，总能找到两两关于y轴对称的四个零点，使得|x1+x2+x3+x4|＝0，若4个零点不关于y轴对称时，|x1+x2+x3+x4|＞0，故D正确．故选：BCD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．曲线y＝在点（0，0）处的切线方程为x﹣y＝0．解：求导得：y′＝，把x＝0代入得：k＝1，则线y＝在点（0，0）处的切线方程为y＝x，即x﹣y＝0，故答案为：x﹣y＝014．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S6＝36，S20﹣S14＝126，则数列{a n}的公差d＝．解：法一：由题意可得，S20﹣S14﹣S6＝14×6d＝126﹣36＝90，∴d＝．法二：因为S20﹣S14+S6＝a15+a16+a17+a18+a19+a20+a1+a2+a3+a4+a5+a6＝6（a1+a20）＝162，所以a1+a20＝27，所以S20＝10（a1+a20）＝270，因为S6＝36，所以，解可得d＝，故答案为：．15．某手机运营商为了拓展业务，现对该手机使用潜在客户进行调查，随机抽取国内国外潜在用户代表各100名，调查用户对是否使用该手机的态度，得到如图所示的等高条形图．根据等高图，有（填“有”或“没有”）99.5%以上的把握认为持乐观态度和国内外差异有关．（参考公式与数据：K2＝，其中n＝a+b+c+d．）P（K2≥k0）0.050.010.0050.001k0 3.841 6.6357.87910.828解：由题填写2×2列联表如下，乐观不乐观总计国内代表6040100国外代表4060100总计100100200 K2＝＝8＞7.879，所以有99.5%以上的把握认为持乐观态度和国内外差异有关．故答案为：有．16．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，P是AA1的中点，Q是侧面正方形BB1C1C 内的动点，当D1Q∥平面PBD时，点Q的轨迹长度为，若点Q轨迹的两端点和点C1，D1在球O的球面上，则球O的体积为．解：依题意，D1Q∥平面PBD时，点Q是平面BB1C1C内的动点，可得D1点与点Q的轨迹构成的平面与平面PBD平行，如图所示，∵P是AA1的中点，取CC1的中点Q0，∴Q点的轨迹即为线段B1Q0．∵正方体的棱长为2，∴．把三棱锥D1﹣B1C1Q补形为长方体，可得球O的直径就是A1Q0，长为3．故球O的体积为．故答案为：；．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题10分，第18～22题每题12分．17．在①sin B＝sin C＝sin A，②＝＝，③b＝c＝a，这三个条件中，任选一个补充在下面的问题中，并解答问题．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，______，a＝4，角B的平分线交AC于点D，求BD的长．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）解：选择①：因为sin B＝sin C＝sin A，由正弦定理可得a＝b＝c，即b＝c＝a，由余弦定理可得cos A＝＝﹣，在三角形中可得A＝π，所以B＝C＝，又因为BD为角平分线，所以∠ABD＝，在△ABD中，∠ADB＝π﹣π﹣＝，在△BCD中，由正弦定理可得＝，即＝，所以BD＝BC＝×4＝2．选择②：因为＝＝，可得b＝c，a＝b，又a＝4，所以可得b＝c＝4，由余弦定理cos A＝＝＝﹣，A∈（0，π），所以A＝，则B＝C＝，下面解法同①；选择③：因为b＝c＝a，而a＝4，所以b＝c＝4，下面解法同②；综上所述：BD的长为2．18．已知数列{a n+1}是首项为2，公比为2的等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设S n是数列{a n}的前n项和，b n＝n（S n+2+n），求数列{b n}的前n项和T n．解：（1）数列{a n+1}是首项为2，公比为2的等比数列．所以，整理得．（2）由（1）得＝．故b n＝n（S n+2+n）＝n•2n+1，所以①，②，①﹣②得，整理得，解得．19．在如图所示的多面体中，平面ABCD⊥平面PDC，ABCD为正方形，E，F分别为AD，BP的中点，且AD＝2，AP＝2，PC＝2．（1）证明：EF⊥平面PBC；（2）求二面角B﹣PD﹣C的余弦值．解：（1）证明：取PC中点G，连结DG、FG，点E、F分别为AD、BP的中点，又AD＝2，AP＝2，∴PD＝2，∴△PCD是等腰三角形，∴EFGD是平行四边形，∴EF∥GD，∵平面ABCD⊥平面PDC，ABCD为矩形，∴BC⊥平面PDC，∴BC⊥DG，∴PC⊥DG，又BC∩BC＝C，∴DG⊥平面PBC，∴EF⊥平面PBC．（2）如图，以D为原点，DC为x轴，在平面PDC内，过点D作DC的垂线为y轴，DA为z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），C（2，0，0），B（2，0，2），P（﹣1，，0），＝（2，0，2），＝（﹣1，，0），平面PDC的法向量＝（0，0，1），设平面PDB的法向量＝（x，y，z），则，取y＝1，得＝（，1，﹣），∴cos＜＞＝＝＝﹣，由图知二面角B﹣PD﹣C的平面角为锐角，∴二面角B﹣PD﹣C的余弦值为．20．已知椭圆C：＝1（a＞1）的离心率为，直线l：x＝ty+（t∈R）与x轴的交点为P，与椭圆C交于M、N两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）证明：+是定值．解：（1）由题意可得b2＝1，所以b＝1，又e＝，所以a＝，所以椭圆C的标准方程为+y2＝1；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），联立，整理，得（2+t2）y2+ty﹣＝0，所以△＝t2+（2+t2）＞0恒成立，y1+y2＝，y1y2＝，所以+＝+＝＝＝＝×＝3，所以+为定值3．21．国际电子竞技和围棋比赛通常采用双败淘汰制．双败淘汰制即一支队伍失败两场被淘汰出局，直到最后剩下一支队伍夺得冠军（决赛只赛一场）．以八支战队的比赛为例（如图所示），第一轮比赛，由8支战队抽签后交战．获胜战队继续留在获胜组，失败战队则掉入失败组，进入下一轮比赛．失败战队在失败组一旦再失败即被淘汰，最后由胜者组和败者组的冠军决出总冠军．某项国际电子竞技比赛有甲等8名选手参加．比赛采用了双败淘汰制，若这8名选手相互之间每场比赛获胜的概率均为0.5．（1）求甲获得冠军的概率；（2）记甲在这次比赛中参加比赛的场次为X，求随机变量X的分布列和期望．解：（1）由“双败淘汰制”可知，甲获得冠军可能是由获胜者组进入决赛并最终夺冠，也可能由失败者组进入决赛最终夺冠，∴甲获得冠军的概率为：p＝（）4+（）3×（）2+（）2×（）4+×（）5＝．（2）依题意X的可能取值为2，3，4，5，6，P（X＝2）＝（）2＝，P（X＝3）＝＝，P（X＝4）＝（）3+＝，当X＝5时，有如下情况：①前两场胜利，第三场失败；②前两场一胜一败，则第5场必败，∴P（X＝5）＝（）4+＝，当X＝6时，前5场只能失败一次，且只可能是第一场失败或第二场失败，∴P（X＝6）＝（）5＝，∴X的分布列为：X23456PE（X）＝+＝3.5．22．已知函数f（x）＝lnx﹣a sin x（a∈R）．（1）证明：当a≤0时，f（x）在（0，]上单调递增；（2）当a＝1时，不等式lnx﹣≥f（x）对任意的x∈（0，]恒成立，求实数k的取值范围．【解答】（1）证明：因为f（x）＝lnx﹣a sin x（a∈R），所以，当a⩽0 时恒成立，f（x）在上单调递增．（2）解法1：由题意，对恒成立，设h（x）＝e x sin x﹣kx，h′（x）＝e x sin x+e x cos x﹣k，又设m（x）＝e x sin x+e x cos x﹣k，则m′（x）＝e x sin x+e x cos x+e x cos x﹣e x sin x＝2e x cos x⩾0，因此m（x）在单调递增，所以m（x）＞m（0）＝1﹣k，①当k⩽1 时，m（x）＞0，即h′（x）＞0，h（x）在单调递增，故有h（x）＞h（0）＝0，即k⩽1 适合题意．②当k＞1 时，若，则取时，m（x）＜0，若，则在上m（x）存在唯一零点，记为x0，当x∈（0，x0）时，m（x）＜0，总之，存在使x∈（0，x0）时，m（x）＜0，即h′（x）＜0，所以h（x）单调递减，h（x）＜h（0）＝0，故k＞1 时，存在x∈（0，x0）使h（x）＜0 不合适题意．综上，实数k的取值范围是（﹣∞，1]．解法2：，设g（x）＝e x sin x﹣x，则，∴g（x）＝e x sin x﹣x在区间上递增，即g（x）＝e x sin x﹣x＞g（0）＝0，∴，而而，因此函数的下确界为1，实数k的取值范围是（﹣∞，1]．。
湖南省名校2019-2020学年数学高二第二学期期末学业水平测试试题含解析
湖南省名校2019-2020学年数学高二第二学期期末学业水平测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．若函数()()2e x f x a x a =-∈R 有三个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．240,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,eD ．()0,2e 【答案】A【解析】【分析】 令()0f x =分离常数2e x x a =，构造函数()2ex x g x =，利用导数研究()g x 的单调性和极值，结合y a =与()g x 有三个交点，求得a 的取值范围.【详解】方程()0f x =可化为2e x x a =，令()2ex x g x =，有()()2e x x x g x -'=， 令()0g x '>可知函数()g x 的增区间为()0,2，减区间为(),0-∞、()2,+∞，则()()00f x f ==极小值，()()242e f x f ==大值极， 当0x >时，()0g x >，则若函数()f x 有3个零点，实数a 的取值范围为240,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭．故选A. 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的零点，考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.2．在复平面内，复数()13z i i =+（i 为虚数单位）对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】【分析】对复数z 进行整理化简，从得到其在复平面所对应的点，得到答案.【详解】复数()133z i i i =+=-+，所以复数z 在复平面对应的点的坐标为()3,1-，位于第二象限.【点睛】本题考查复数的乘法运算，考查复数在复平面对应点所在象限，属于简单题.3．若复数()()211 i z a a a R =-++∈是纯虚数，则a =（ ） A ．0B ．1C ．1-D ．±1【答案】B【解析】【分析】 根据纯虚数的定义求解即可.【详解】因为复数()()211 i z a a a R =-++∈是纯虚数,故21010a a ⎧-=⎨+≠⎩ ,解得1a =. 故选：B【点睛】本题主要考查了根据纯虚数求解参数的问题,属于基础题.4．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个大于060，反证假设正确的是( )A ．假设三内角都大于060B ．假设三内角都不大于060C ．假设三内角至多有一个大于060D ．假设三内角至多有两个大于060【答案】B【解析】【分析】反证法的第一步是假设命题的结论不成立，根据这个原则，选出正确的答案.【详解】假设命题的结论不成立，即假设三角形的内角中至少有一个大于060不成立，即假设三内角都不大于060，故本题选B.【点睛】本题考查了反证法的第一步的假设过程，理解至少有一个大于的否定是都不大于是解题的关键. 5．某体育彩票规定: 从01到36个号中抽出7个号为一注，每注2元．某人想先选定吉利号18，然后再从01到17个号中选出3个连续的号，从19到29个号中选出2 个连续的号，从30到36个号中选出1个号组成一注．若这个人要把这种要求的号全买，至少要花的钱数为( )A ．2000元B ．3200 元C ．1800元D ．2100元 【答案】D第1步从01到17中选3个连续号有15种选法；第2步从19到29中选2个连续号有10种选法；第3步从30到36中选1个号有7种选法.由分步计数原理可知：满足要求的注数共有151071050⨯⨯=注,故至少要花105022100⨯=,故选D.6．已知曲线42:1C x y +=，给出下列命题：①曲线C 关于x 轴对称；②曲线C 关于y 轴对称；③曲线C 关于原点对称；④曲线C 关于直线y x =对称；⑤曲线C 关于直线y x =-对称，其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】【分析】根据定义或取特殊值对曲线C 的对称性进行验证，可得出题中正确命题的个数.【详解】在曲线C 上任取一点(),x y ，该点关于x 轴的对称点的坐标为(),x y -，且()24421x y x y +-=+=，则曲线C 关于x 轴对称，命题①正确；点(),x y 关于y 轴的对称点的坐标为(),x y -，且()42421x y x y -+=+=，则曲线C 关于y 轴对称，命题②正确；点(),x y 关于原点的对称点的坐标为(),x y --，且()()42421x y x y -+-=+=，则曲线C 关于原点对称，命题③正确；在曲线C 上取点3,55⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，该点关于直线y x =的对称点坐标为3,55⎛ ⎝⎭，由于243291525⎛⎫+=≠ ⎪⎝⎭⎝⎭，则曲线C 不关于直线y x =对称，命题④错误；在曲线C 上取点35⎫⎪⎪⎝⎭，该点关于直线y x =-的对称点的坐标为3,5⎛- ⎝⎭，由于2432915525⎛⎛⎫-+-=≠ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，则曲线C 不关于直线y x =-对称，命题⑤错误. 综上所述，正确命题的个数为3.故选：C.【点睛】本题考查曲线对称性的判定，一般利用对称性的定义以及特殊值法进行判断，考查推理能力，属于中等题.7．已知双曲线1C ：2212x y -=与双曲线2C ：2212x y -=-，给出下列说法，其中错误的是（ ） A ．它们的焦距相等B ．它们的焦点在同一个圆上C ．它们的渐近线方程相同D ．它们的离心率相等【答案】D【解析】 由题知222:12x C y -=．则两双曲线的焦距相等且2c =223x y +=的圆上，其实为圆与坐标轴交点．渐近线方程都为2y x =±，由于实轴长度不同故离心率c e a =不同．故本题答案选D ， 8．已知23log 4a =，342b =，343c =，则( ) A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c a b <<【答案】A【解析】【分析】 由指数函数及对数函数的性质比较大小,即可得出结论.【详解】33044223log log 10,,12234a b c<==<<∴<<Q 故选:A.【点睛】本题考查三个数的大小的比较,是基础题,解题时要认真审题,注意指数函数和对数函数的性质的合理运用. 9．复数1()2i z a R ai+=∈-在复平面上对应的点不可能在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】C【解析】【分析】把复数化为(,)m ni m n R +∈形式，然后确定实部与虚部的取值范围．【详解】21(1)(2)2(2)2(2)(2)4i i ai a a i z ai ai ai a +++-++===--++，2a >时，20,20a a -<+>，对应点在第二象限；2a <-时，20,20a a ->+<，对应点在第四象限；22a -<<时，20,20a a ->+>，对应点在第一象限．2a =或2a =-时，对应点在坐标轴上；∴不可能在第三象限．故选：C ．【点睛】本题考查复数的除法运算，考查复数的几何意义．解题时把复数化为(,)m ni m n R +∈形式，就可以确定其对应点的坐标．10．命题:p x R ∃∈，31x ≤-，则p ⌝为（）A ．x R ∃∈，31x >-B ．x R ∀∈，31x ≤-C ．x R ∀∈，31x >-D ．x R ∀∈，31x ≥-【答案】C【解析】【分析】含有一个量词命题的否定方法：改变量词，否定结论.【详解】量词改为：x R ∀∈，结论改为：31x >-，则x R ∀∈，31x >-.故选：C.【点睛】本题考查含一个量词命题的否定，难度较易.含一个量词命题的否定方法：改量词，否结论.11．执行如图所示的程序框图，若输出的18S =-，则输入的S =（ ）A ．-4B ．-7C ．-22D ．-32【答案】A【解析】【分析】 模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S ，i 的值，当i ＝6时不满足条件i ＜6，退出循环，输出S 的值为S+1﹣9+16﹣25＝﹣18，从而解得S 的值．【详解】解：由题意，模拟执行程序，可得i ＝2，满足条件i ＜6，满足条件i 是偶数，S ＝S+1，i ＝3满足条件i ＜6，不满足条件i 是偶数，S ＝S+1﹣9，i ＝1满足条件i ＜6，满足条件i 是偶数，S ＝S+1﹣9+16，i ＝5满足条件i ＜6，不满足条件i 是偶数，S ＝S+1﹣9+16﹣25，i ＝6不满足条件i ＜6，退出循环，输出S 的值为S+1﹣9+16﹣25＝﹣18，故解得：S ＝﹣1．故选A ．点睛：本题主要考查了循环结构的程序框图，模拟执行程序，正确得到循环结束时S 的表达式是解题的关键，属于基础题．12．定积分22aa a x dx --⎰等于( ) A ．214a πB ．212a πC ．2a πD ．22a π【答案】B【解析】【分析】由定积分表示半个圆的面积，再由圆的面积公式可求结果。
湖南省名校2019-2020学年高二下学期期末2份数学学业水平测试试题
同步练习一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知复数1z i =-+的共轭复数为z ，则zz=（ ） A ．-1B ．1C ．i -D ．i3．已知,m n 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，则下列四个命题中正确的是 ①若//,m n n α⊂则//m α;②若,//m n αα⊥则m n ⊥; ③若//,//m n αα,则//m n ;④若,m m αβ⊥⊥则//αβ A ．①②④B ．②③C ．①④D ．②④4．有一个奇数列1,3,5,7,9,，现在进行如下分组：第一组含一个数{}1；第二组含二个数{}3,5；第三组含有三个数{}7,9,11；第四组数{}13,15,17,19;有试观察每组内各数之和与组的编号数n 有什么关系（ ） A ．等于2nB ．等于3nC ．等于4nD ．等于()1n n +5．若函数32()37f x x x x a =--+的图象与直线21y x =+相切，则a =() A ．284或B ．284-或C ．284-或D ．284--或6．在等比数列{}n a 中，“412a ,a 是方程2x 3x 10++=的两根”是“8a 1=±”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱BC 的中点，点M ，N 分别是线段1A E 与线段1DD 上的动点，当点M ，N 之间的距离最小时，异面直线AM 与1CD 所成角的余弦值为（ ）A 7B 42C 3D 18418．正数a b c 、、满足235log log log 0a b c ==->，则（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<9．函数()sin(2)f x x ϕ=+的图象向右平移6π个单位后所得的图象关于原点对称，则ϕ可以是（ ） A ．6πB ．3π C ．4π D ．23π10．6(3)x y +的二项展开式中，24x y 项的系数是（ ） A ．90B ．45C ．135D ．27011．复数2i z =-的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．已知集合{1,P =2，3}，{2,Q =3，4}，则(P Q ⋂= ) A ．{}1B ．{}2,3C ．{}2,4D ．{1,2，3，4}二、填空题：本题共4小题13．()10x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a=________.(用数字填写答案)14．在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布()70,100N ,已知成绩在80到90分之间的学生有120名，若该校计划奖励竞赛成绩在90分以上（含90分）的学生，估计获奖的学生有________.人（填一个整数）（参考数据：若()2~,X Nμσ有()0.6826P Xμσμσ-<+=，(22)0.9544,(33)0.9974)P X P X μσμσμσμσ-<+=-<+=15．已知复数z ＝(m ＋1)＋(m ﹣2)i 是纯虚数（i 为虚数单位），则实数m 的值为_______． 16．已知|z |5=，且z 的实部为3，则z 的虚部是________. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
湖南省名校2019-2020学年数学高二下期末学业水平测试试题含解析
湖南省名校2019-2020学年数学高二下期末学业水平测试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知7tan(xπ-=）,则cos2x=( )A ．14-B ．14C．18-D．18【答案】D【解析】分析：先根据诱导公式得tan x，再利用二倍角公式以及弦化切得结果.详解：因为7tan(xπ-=），所以7tan x=-,因此2222222271cos sin1tan19cos2cos sin7cos sin1tan819x x xx x xx x x---=-====+++，选D.点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.2．如图，一货轮航行到处，测得灯塔在货轮的北偏东，与灯塔相距，随后货轮按北偏西的方向航行后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意可知：，与正东方向的夹角为，与正东方向的夹角为，，中利用正弦定理可得货轮的速度故选3．平面向量(1,2)a =，(4,2)b =，c ma b =+（m R ∈），且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m =（ ） A ．2- B ．1-C ．1D ．2【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】()()4,22,422258c m m a c m m m =++⋅=+++=+,()()44222820b c m m m ⋅=+++=+,5,2025a b ===c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角 ,c a c b c a c b ⋅⋅=⋅⋅,5525=,解得2m =, 故选D. 【考点定位】向量的夹角及向量的坐标运算. 4．设0.3log 0.6m =，21log 0.62n =，则（ ） A ．m n m n mn ->+> B ．m n mn m n ->>+ C ．m n m n mn +>-> D ．mn m n m n >->+【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性可得0m >,0n <,根据不等式的性质可知m n m n ->+ ;通过比较11m n+ 与1的大小关系,即可判断m n mn +>,从而可选出正确答案. 【详解】解:0.30.3log 0.6log 10m =>=,2211log 0.6log 1022n =<=,则0mn < ()()20m n m n n --+=->,m n m n ∴->+0.60.60.60.611log 0.3log 4log 1.2log 0.61m n+=+=<= m n mn ∴+> 故选:A. 【点睛】本题主要考查了对数的运算，对数函数的单调性.在比较对数的大小时,常常结合对数函数的单调性比较大小.对于()log a f x x =,若01a << ,则(1)当01x << 时,()0f x >; (2)当1x = 时,()0f x =; (3)当1x > 时,()0f x <; 若1a > ,则(1)当01x << 时,()0f x <; (2)当1x = 时,()0f x =; (3)当1x > 时,()0f x >.5．已知D ，E 是ABC 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP xAB yAC =+，则xy 的取值范围是( )A ．14,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,94⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．21,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．21,94⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】 【分析】利用已知条件推出x+y ＝1，然后利用x ，y 的范围，利用基本不等式求解xy 的最值． 【详解】解：D ，E 是ABC 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP xAB yAC =+，可得x y 1+=，x ，12y ,33⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则2x y 1xy ()24+≤=，当且仅当1x y 2==时取等号，并且()2xy x 1x x x =-=-，函数的开口向下， 对称轴为：1x 2=，当1x 3=或2x 3=时，取最小值，xy 的最小值为：29．则xy 的取值范围是：21,.94⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选D ． 【点睛】本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．6．若变量x,y 满足约束条件222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩则目标函数2z x y =+的取值范围是A ．[2,6]B ．[2,5]C ．[3,6]D ．[3,5]【答案】A 【解析】 【分析】画出不等式组对应的可行域，将目标函数变形，画出目标函数对应的直线，由图得到当直线过A 点时纵截距最大，z 最大，当直线过（2，0）时纵截距最小，z 最小． 【详解】画出可行域，如图所示：将2z x y =+变形为122zy x =-+，平移此直线， 由图知当直线过A （2，2）时，z 最大为6，当直线过（2，0）时，z 最小为2， ∴目标函数Z ＝x+2y 的取值范围是[2，6] 故选A ． 【点睛】本题考查画不等式组表示的平面区域：直线定边界，特殊点定区域结合图形求函数的最值，属于基础题． 7．已知函数，在区间内任取一点，使的概率为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】 先求出的取值范围，再利用几何概型相关公式即可得到答案.【详解】 由得，故或，由，故或，故使的概率为. 【点睛】本题主要考查几何概型的相关计算，难度一般.8．参数方程3cos 1cos x y αα=+⎧⎨=-⎩（α为参数）对应的普通方程为（ ）A ．310x y ++=B ．310x y +-=C ．()31024x y x +-=-≤≤D ．()31011x y x +-=-≤≤【答案】C 【解析】 【分析】将参数方程消参后，可得普通方程，结合三角函数值域即可判断定义域. 【详解】参数方程3cos 1cos x y αα=+⎧⎨=-⎩（α为参数），消参后可得310x y +-=， 因为1cos 1α-≤≤ 所以24x -≤≤即()310,24x y x +-=-≤≤ 故选：C. 【点睛】本题考查了参数方程与普通方程的转化，注意自变量取值范围，属于基础题. 9．设,,x y z 均大于1，且235log log log x y z ==，令12a x =，13b y =，14c z =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c a b >> D ．c b a >>【答案】D 【解析】令235log log log ,t ===则t>0,且6842,3,5,2,3,5t t ttttx y z a b c ===∴===，∵323212122323tta b ⨯⨯<∴<⇒<，，∵434324243535ttb c a b c ⨯⨯<∴<⇒<∴<<，，，故选D ．10．已知2()(ln )f x x x a a =-+,则下列结论中错误的是（ ） A ．0,0,()0a x f x ∃>∀>≥ B ．000,0,()0a x f x ∃>∃>≤． C ．0,0,()0a x f x ∀>∀>≥ D ．000,0,()0a x f x ∃>∃>≥ 【答案】C 【解析】试题分析：2121'()2(ln )2(ln )2a f x x x a x x x x -=-+⋅=-，当2120a x e-<<时，'()0f x <，()f x 单调递减，同理当212a x e->时，()f x 单调递增，212121()()2a a f x f ee a --==-+最小，显然不等式212a e a ->有正数解（如1a =，（当然可以证明0a >时，21102a e a --+≤）），即存在0a >，使()0f x <最小，因此C 错误．考点：存在性量词与全称量词，导数与函数的最值、函数的单调性． 11．在等差数列{}n a 中，46a =，3510a a a +=，则公差d =（） A ．-1 B ．0C ．1D ．2【答案】C 【解析】 【分析】全部用1,a d 表示，联立方程组，解出d 【详解】10354==2=12a a a a + 104661a a d d -==⇒=【点睛】本题考查等差数列的基本量计算，属于基础题。
2019-2020学年湖南省三湘名校教育联盟高二下学期5月联考数学试题解析
解：
当 时，若 且 ，则推不出 ，故必要性不成立；
当 时，可过直线 作平面 与平面 交于 ，
根据线面平行的性质定理可得 ，又 ，所以 ，
又 ，所以 ，故充分性成立，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件．
故选：A．
令 可得展开式的所有项的系数和为 ．
（2） ，其中 ，故展开式共8项，
当 为有理项，共3项，
∴由插空法可得有理项不相邻的概率 ．
点评：
本题考查二项展开式中指定项的系数的计算以及古典概型的概率计算，后者可利用插空法来计数，本题属于中档题.
20．某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图均受到不同程度的破坏，可见部分如下，据此解答下列问题：
， ， ， ．
∴ 的分布列为
0
1
2
3
．
点评：
此题考查了茎叶图与频率分布直方图和离散型随机变量的分布列问题，属于中档题.
21．已知椭圆 的上顶点为 ，右焦点为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）设直线 与椭圆 交于 ， 两点，且 是 的垂心（三边垂线的交点），求取直线 的方程．
∴另一个极值点 必为零点，
，解得 ，
所以 .
所以
∴ 在 上的最大值为 ，
故选：C．
点评：
本题主要考查利用导数研究函数的极值和零点问题，考查利用导数求函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
12．已知直线 与抛物线 交于 ， 两点， 的焦点 在曲线 上．若线段 的中点 到 的距离为2，则 到 的准线距离的最大值为（）
绝密★启用前
数学试题
2019-2020学年湖南省三湘名校教育联盟高二下学期期末联考数学试题及答案解析
绝密★启用前湖南省三湘名校教育联盟2019∽2020学年高二下学期期末质量联考检测数学试题2020年7月一、选择题1．已知复数z 满足()()12z i i i --=，则z =（ ）A ．1i -+B ．12i -+C ．2i +D ．2i -2．已知集合{}220A x x x =--<，12log 1B x x ⎧⎫⎪⎪=<⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则() R A B =（ ）A ．()1,2-B ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭3．消费结构是指各类消费支出在总费用支出中所占的比重.它是目标市场宏观经济的一个重要特征,能够反映一国的文化、经济发展水平和社会的习俗.2020年2月29日人民网公布的我国2019年全国居民人均消费支出及其构成,如图所示,则下列说法正确的是（ ）A ．2019年全国居民人均消费支出一半用于改善居住条件B ．2019年全国人均食品烟酒消费占居民人均消费支出的比重最大C ．2019年全国人均衣着消费支出比教育文化娱乐消费支出的比重大D ．2019年全国居民用于医疗保健的消费支出超过人均消费支出的10%4．已知向量()1,2a =-,()2,1b =-,若b 与()a b R λλ+∈垂直,则λ=（ ）A ．54B ．54-C ．12-D ．125．已知双曲线22221x y a b-=的离心率为2,则双曲线的渐近线经过点（ ） A．(1, B ．()1,2 C ．()1,2- D．1,⎛ ⎝⎭ 6．已知α为锐角,sin 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则cos α=（ ） AB+ C．12- D127．已知ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若tan tan 1tan tan B C B C +=-⋅,且2bc =,则ABC △的面积为（ ）A． BCD8．新课程改革把劳动与技术课程作为7~9年级每个学生必须接受的课程,并写人新课程标准.某校7年级有5个班,根据学校实际,每个班每周安排一节劳动与技术课,并且只能安排在周一、周三、周五下午的三节课,同年级不同班不能安排在同一节,则七年级周五下午排了3个班的劳动与技术课程的概率是（ ）A ．325659A A AB ．325659C A A C ．325659C C CD ．325659C C A 二、多项选择题9．关于二项式622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式,下列结论错误的是（ ） A ．展开式所有的系数和为1B ．展开式二项式的系数和为32C ．展开式中不含3x 项D ．常数项为120 10．古希腊数学家阿波罗尼奧斯（约公元前262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果,著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离。