2019届高考大一轮复习备考资料之数学人教A版全国用课件：9.9 圆锥曲线的综合问题+第1课时
(4)直线与椭圆只有一个交点⇔直线与椭圆相切.( √ ) 2 x (5)过点(2,4)的直线与椭圆 ＋y2＝1只有一条切线.( × ) 4 (6)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线y2＝2px(p>0)上，且直线AB过抛物线 的焦点，则y1y2＝－p2.( √ )
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题组二 教材改编
2.[P71例6]过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的
直线有
A.1条 B.2条
C.3条 √
解析
D.4条
过(0,1)与抛物线y2＝4x相切的直线有2条，过(0,1)与对称轴平行的直
线有一条，这三条直线与抛物线都只有一个公共点.
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解析
答案
x2 2 3.[P80A组T8]已知与向量v＝(1,0)平行的直线l与双曲线 －y ＝1相交 4 4 于A，B两点，则|AB|的最小值为________.
解析
B.有且只有两条 √ D.有且只有四条
设该抛物线的焦点为 F，A(xA，yA)，B(xB，yB＋2＋xB＋2＝xA＋xB＋1＝3>2p＝2.
所以符合条件的直线有且只有两条.
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解析
答案
5.(2017· 江西省南昌市三模 ) 已知F1 ，F2 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是 π 它们的一个公共点，且∠F1PF2＝ ，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小 4 值为________. 2
解答
思维升华
解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取 值范围. (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两 个参数之间的等量关系. (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围. (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围. (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域， 从而确定参数的取值范围.
第九章 平面解析几何
§9.9 圆锥曲线的综合问题
内容索引
基础知识
自主学习
题型分类
课时作业
深度剖析
基础知识
自主学习
知识梳理 1.直线与圆锥曲线的位置关系的判断 将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方 程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0). (1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有 ①Δ>0⇔直线与圆锥曲线 相交 ； ②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线 相切； ③Δ<0⇔直线与圆锥曲线 相离 .
【知识拓展】 过一点的直线与圆锥曲线的位置关系 (1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切； 过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切； 过椭圆内一点的直线与椭圆相交. (2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条 切线和一条与对称轴平行或重合的直线； 过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切 线和一条与对称轴平行或重合的直线； 过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与 对称轴平行或重合的直线.
解析 由题意可设直线l的方程为y＝m，
x 代入 4 －y2＝1 得 x2＝4(1＋m2)，
所以 x1＝ 41＋m2＝2 1＋m2，
2
x2＝－2 1＋m2， 所以|AB|＝|x1－x2|＝4 1＋m ≥4，
2
即当m＝0时，|AB|有最小值4.
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答案
题组三 易错自纠 4.过抛物线y2＝2x的焦点作一条直线与抛物线交于 A，B两点，它们的横 坐标之和等于2，则这样的直线 A.有且只有一条 C.有且只有三条
答案
题型分类
深度剖析
第1课时 范围、最值问题
题型一
范围问题
师生共研
x2 y2 典例 (2016· 天津)设椭圆a2＋ 3 ＝1(a> 3)的右焦点为 F，右顶点为 A.已知 1 1 3e |OF|＋|OA|＝|FA|，其中 O 为原点，e 为椭圆的离心率.
(1)求椭圆的方程；
解答
(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上)，垂直于l的直线与l交于 点 M ，与 y 轴交于点 H. 若 BF⊥HF ，且 ∠MOA≤∠MAO ，求直线 l 的斜率 的取值范围.
(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，
且只有一个交点，
①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是 平行 ；
②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是 平行或重合 .
2.圆锥曲线的弦长
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
2 1 ＋ k |x2－x1| ＝ 则|AB|＝
__________________________________
1 1＋k2|y2－y1|.
3.圆锥曲线的综合问题的解决大多需要具备方程 ( 组) 思想：引参—列方
程(组)—消参—求值，或围绕函数思想求范围、最值.或根据等式的恒成
立、数式变换等寻找不受参数影响的量解决定值、定点问题.
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答案
x y 6. 已知双曲线 2－ 2＝ 1(a>0 ， b>0) 的焦距为 2c ，右顶点为 A ，抛物线 x2 ＝ a b 2py(p>0)的焦点为F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|FA|＝c，
y＝± x 则双曲线的渐近线方程为________.
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(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一
个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；
过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线
和两条与渐近线平行的直线；
过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐 近线平行的直线.
基础自测 题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线l与抛物线y2＝2px只有一个公共点，则l与抛物线相切.( × ) y2 x2 (2)设点P(x0，y0)为双曲线 2－ 2＝1上的任一点，则|x0|≥a.( × ) a b 2 2 (3)椭圆 x 2＋y 2＝1上的点到焦点距离的最大值是a＋c.( √ ) a b
2019届高考一轮复习备考资料之数学人教A版全国用讲义：第九章 9.9 圆锥曲线的综合问题 第1课时
§9.9圆锥曲线的综合问题1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有①Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交；②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切；③Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离．(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点，①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝1＋k2|x2－x1|＝1＋1k2|y2－y1|.3．圆锥曲线的综合问题的解决大多需要具备方程(组)思想：引参—列方程(组)—消参—求值，或围绕函数思想求范围、最值．或根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量解决定值、定点问题．知识拓展过一点的直线与圆锥曲线的位置关系(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切； 过椭圆内一点的直线与椭圆相交．(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线.(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l 与抛物线y 2＝2px 只有一个公共点，则l 与抛物线相切．( × ) (2)设点P (x 0，y 0)为双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1上的任一点，则|x 0|≥a .( × )(3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上的点到焦点距离的最大值是a ＋c .( √ )(4)直线与椭圆只有一个交点⇔直线与椭圆相切．( √ ) (5)过点(2,4)的直线与椭圆x 24＋y 2＝1只有一条切线．( × )(6)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在抛物线y 2＝2px (p >0)上，且直线AB 过抛物线的焦点，则y 1y 2＝－p 2.( √ ) 题组二 教材改编2．[P71例6]过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条答案 C解析 过(0,1)与抛物线y 2＝4x 相切的直线有2条，过(0,1)与对称轴平行的直线有一条，这三条直线与抛物线都只有一个公共点．3．[P80A 组T8]已知与向量v ＝(1,0)平行的直线l 与双曲线x 24－y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为________． 答案 4解析 由题意可设直线l 的方程为y ＝m ， 代入x 24－y 2＝1得x 2＝4(1＋m 2)，所以x 1＝4(1＋m 2)＝21＋m 2， x 2＝－21＋m 2，所以|AB |＝|x 1－x 2|＝41＋m 2≥4， 即当m ＝0时，|AB |有最小值4. 题组三 易错自纠4．过抛物线y 2＝2x 的焦点作一条直线与抛物线交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( ) A ．有且只有一条 B ．有且只有两条 C ．有且只有三条 D ．有且只有四条答案 B解析 设该抛物线的焦点为F ，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则|AB |＝|AF |＋|FB |＝x A ＋p 2＋x B ＋p2＝x A＋x B ＋1＝3>2p ＝2.所以符合条件的直线有且只有两条．5．(2017·江西省南昌市三模)已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π4，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为________．答案6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为2c ，右顶点为A ，抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F .若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ，且|F A |＝c ，则双曲线的渐近线方程为________． 答案 y ＝±x解析 抛物线的准线方程为y ＝－p2，焦点为F ⎝⎛⎭⎫0，p 2， ∴a 2＋⎝⎛⎭⎫p 22＝c 2.①设抛物线的准线y ＝－p2交双曲线于M ⎝⎛⎭⎫x 1，－p 2，N ⎝⎛⎭⎫x 2，－p 2两点，∴⎩⎨⎧y ＝－p2，x 2a 2－y2b 2＝1，即x2a 2－⎝⎛⎭⎫－p 22b 2＝1，解得x ＝±a p 24b 2＋1， ∴2ap 24b 2＋1＝2c .② 又∵b 2＝c 2－a 2，③ ∴由①②③，得c 2a 2＝2.∴b 2a 2＝c 2a 2－1＝1，解得b a ＝1. ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±x .第1课时 范围、最值问题题型一 范围问题典例 (2016·天津)设椭圆x 2a 2＋y 23＝1(a >3)的右焦点为F ，右顶点为A .已知1|OF |＋1|OA |＝3e |F A |，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率． (1)求椭圆的方程；(2)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H .若BF ⊥HF ，且∠MOA ≤∠MAO ，求直线l 的斜率的取值范围． 解 (1)设F (c,0)，由1|OF |＋1|OA |＝3e|F A |，即1c ＋1a ＝3c a (a －c )，可得a 2－c 2＝3c 2. 又a 2－c 2＝b 2＝3，所以c 2＝1，因此a 2＝4. 所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线l 的斜率为k (k ≠0)， 则直线l 的方程为y ＝k (x －2)．设B (x B ，y B )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k (x －2)消去y ，整理得(4k 2＋3)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0.解得x ＝2或x ＝8k 2－64k 2＋3.由题意得x B ＝8k 2－64k 2＋3，从而y B ＝－12k4k 2＋3.由(1)知，F (1,0)，设H (0，y H )，有FH →＝(－1，y H )，BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9－4k24k 2＋3，12k 4k 2＋3.由BF ⊥HF ，得BF →·FH →＝0，所以4k 2－94k 2＋3＋12ky H 4k 2＋3＝0，解得y H ＝9－4k 212k .因此直线MH 的方程为y ＝－1k x ＋9－4k212k.设M (x M ，y M )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y ＝－1k x ＋9－4k212k ， 消去y ，解得x M ＝20k 2＋912(k 2＋1).在△MAO 中，由∠MOA ≤∠MAO ，得|MA |≤|MO |，即(x M －2)2＋y 2M ≤x 2M ＋y 2M ，化简，得x M ≥1，即20k 2＋912(k 2＋1)≥1，解得k ≤－64或k ≥64. 所以直线l 的斜率的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－64∪⎣⎡⎭⎫64，＋∞. 思维升华解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系． (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．跟踪训练 (2018·开封质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 23－y 2＝1的离心率互为倒数，且直线x －y －2＝0经过椭圆的右顶点． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设不过原点O 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，且直线OM ，MN ，ON 的斜率依次成等比数列，求△OMN 面积的取值范围． 解 (1)∵双曲线的离心率为233， ∴椭圆的离心率e ＝c a ＝32.又∵直线x －y －2＝0经过椭圆的右顶点， ∴右顶点为点(2,0)，即a ＝2，c ＝3，b ＝1， ∴椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意可设直线的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)， M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1， 消去y ，并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0， 则x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－1)1＋4k 2，于是y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2.又直线OM ，MN ，ON 的斜率依次成等比数列，故y 1x 1·y 2x 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2x 1x 2＝k 2， 则－8k 2m 21＋4k2＋m 2＝0. 由m ≠0得k 2＝14，解得k ＝±12.又由Δ＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1) ＝16(4k 2－m 2＋1)>0，得0<m 2<2，显然m 2≠1(否则x 1x 2＝0，x 1，x 2中至少有一个为0，直线OM ，ON 中至少有一个斜率不存在，与已知矛盾)．设原点O 到直线的距离为d ， 则S △OMN ＝12|MN |d＝12·1＋k 2·|x 1－x 2|·|m |1＋k 2 ＝12|m |(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝－(m2－1)2＋1.故由m的取值范围可得△OMN面积的取值范围为(0,1)．题型二 最值问题命题点1 利用三角函数有界性求最值典例过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 是坐标原点，则|AF |·|BF |的最小值是( ) A ．2B.2C ．4D ．2 2 答案 C解析 设直线AB 的倾斜角为θ，可得|AF |＝21－cos θ，|BF |＝21＋cos θ，则|AF |·|BF |＝21－cos θ×21＋cos θ＝4sin 2θ≥4.命题点2 数形结合利用几何性质求最值典例在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点．若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________． 答案22解析 双曲线x 2－y 2＝1的渐近线为x ±y ＝0，直线x －y ＋1＝0与渐近线x －y ＝0平行，故两平行线的距离d ＝|1－0|12＋(－1)2＝22.由点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，得c ≤22，故c 的最大值为22. 命题点3 转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值典例(2017·山东)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，焦距为2.(1)求椭圆E 的方程； (2)如图，动直线l ：y ＝k 1x －32交椭圆E 于A ，B 两点，C 是椭圆E 上一点，直线OC 的斜率为k 2，且k 1k 2＝24.M 是线段OC 延长线上一点，且|MC |∶|AB |＝2∶3，⊙M 的半径为|MC |，OS ，OT 是⊙M 的两条切线，切点分别为S ，T .求∠SOT 的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．解 (1)由题意知e ＝c a ＝22，2c ＝2，所以c ＝1，所以a ＝2，b ＝1，所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1，y ＝k 1x －32，得(4k 21＋2)x 2－43k 1x －1＝0.由题意知Δ＞0，且x 1＋x 2＝23k 12k 21＋1，x 1x 2＝－12(2k 21＋1)， 所以|AB |＝1＋k 21|x 1－x 2|＝21＋k 21 1＋8k 211＋2k 21. 由题意可知，圆M 的半径r 为r ＝23|AB |＝223·1＋k 21 1＋8k 212k 21＋1， 由题设知k 1k 2＝24，所以k 2＝24k 1， 因此直线OC 的方程为y ＝24k 1x . 联立方程⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1，y ＝24k 1x ，得x 2＝8k 211＋4k 21，y 2＝11＋4k 21， 因此|OC |＝x 2＋y 2＝1＋8k 211＋4k 21. 由题意可知，sin ∠SOT 2＝r r ＋|OC |＝11＋|OC |r.而|OC |r ＝1＋8k 211＋4k 21223·1＋k 21 1＋8k 211＋2k 21＝324·1＋2k 211＋4k 21 1＋k 21， 令t ＝1＋2k 21，则t ＞1，1t ∈(0,1)， 因此|OC |r ＝32·t 2t 2＋t －1＝32·12＋1t －1t2＝32·1－⎝⎛⎭⎫1t －122＋94≥1，当且仅当1t ＝12，即t ＝2时等号成立，此时k 1＝±22，所以sin ∠SOT 2≤12，因此∠SOT 2≤π6，所以∠SOT 的最大值为π3.综上所述，∠SOT 的最大值为π3，取得最大值时直线l 的斜率为k 1＝±22.思维升华处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．跟踪训练 (2018·邢台模拟)已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．(1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)． 解 (1)由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1mx ＋b .由⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b ，消去y ，得⎝⎛⎭⎫12＋1m 2x 2－2b m x ＋b 2－1＝0.因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m 2＞0，①将AB 的中点M ⎝⎛⎭⎫2mb m 2＋2，m 2b m 2＋2代入直线方程y ＝mx ＋12，解得b ＝－m 2＋22m 2，②由①②得m ＜－63或m ＞63. (2)令t ＝1m ∈⎝⎛⎭⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎫0，62，则t 2∈⎝⎛⎭⎫0，32. 则|AB |＝t 2＋1·－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12，且O 到直线AB 的距离为d ＝t 2＋12t 2＋1. 设△AOB 的面积为S (t )， 所以S (t )＝12|AB |·d ＝12－2⎝⎛⎭⎫t 2－122＋2≤22， 当且仅当t 2＝12时，等号成立，此时满足t 2∈⎝⎛⎭⎫0，32. 故△AOB 面积的最大值为22.1．(2017·河北武邑中学模拟)已知P (x 0，y 0)是椭圆C ：x 24＋y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若PF 1→·PF 2→<0，则x 0的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－263，263 B.⎝⎛⎭⎫－233，233 C.⎝⎛⎭⎫－33，33 D.⎝⎛⎭⎫－63，63 答案 A解析 由题意可知：F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 则PF 1→·PF 2→＝(x 0＋3)(x 0－3)＋y 20＝x 20＋y 20－3<0， 点P 在椭圆上，则y 20＝1－x 204，故x 20＋⎝⎛⎭⎫1－x 204－3<0，解得－263<x 0<263，即x 0的取值范围是⎝⎛⎭⎫－263，263.2．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )A ．2B.455 C.4105 D.8105答案 C解析 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t ，消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0， 则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4(t 2－1)5.∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2·⎝⎛⎭⎫－85t 2－4×4(t 2－1)5＝425·5－t 2， 当t ＝0时，|AB |max ＝4105. 3．过抛物线y 2＝x 的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，且直线l 的倾斜角θ≥π4，点A在x 轴上方，则|F A |的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤14，1 B.⎝⎛⎭⎫14，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎦⎤14，1＋22答案 D解析 记点A 的横坐标是x 1，则有|AF |＝x 1＋14＝⎝⎛⎭⎫14＋|AF |cos θ＋14＝12＋|AF |cos θ， |AF |(1－cos θ)＝12，|AF |＝12(1－cos θ).由π4≤θ<π得－1<cos θ≤22，2－2≤2(1－cos θ)<4，14<12(1－cos θ)≤12－2＝1＋22， 即|AF |的取值范围是⎝⎛⎦⎤14，1＋22.4．(2018·长春质检)已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，对于左支上任意一点P 都有|PF 2|2＝8a |PF 1|(a 为实半轴长)，则此双曲线的离心率e 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(2,3] C ．(1,3] D ．(1,2]答案 C解析 由P 是双曲线左支上任意一点及双曲线的定义， 得|PF 2|＝2a ＋|PF 1|，所以|PF 2|2|PF 1|＝|PF 1|＋4a 2|PF 1|＋4a ＝8a ，所以|PF 1|＝2a ，|PF 2|＝4a ， 在△PF 1F 2中，|PF 1|＋|PF 2|≥|F 1F 2|， 即2a ＋4a ≥2c ，所以e ＝ca ≤3.又e >1，所以1<e ≤3.故选C.5．(2018届云南昆明一中摸底)设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( ) A.22 B.23 C.33D ．1 答案 A解析 由题意可得F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设P ⎝⎛⎭⎫y 22p ，y 0(y 0>0)， 则OM →＝OF →＋FM →＝OF →＋13FP →＝OF →＋13(OP →－OF →)＝13OP →＋23OF →＝⎝⎛⎭⎫y 206p ＋p 3，y 03， 可得k ＝y 03y 206p ＋p 3＝1y 02p ＋p y 0≤12y 02p ·p y 0＝22. 当且仅当y 02p ＝py 0时取得等号，故选A.6．(2017·九江模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：x 2＝4y ，点P 是C 的准线l 上的动点，过点P 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则△AOB 面积的最小值为( ) A.2B ．2C ．22D ．4 答案 B解析 设P (x 0，－1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，又A ，B 在抛物线上，所以y 1＝x 214，y 2＝x 224.因为y ′＝x 2，则过点A ，B 的切线分别为y －x 214＝x 12(x －x 1)，y －x 224＝x 22(x －x 2)均过点P (x 0，－1)，则－1－x 214＝x 12(x 0－x 1)，－1－x 224＝x 22(x 0－x 2)，即x 1，x 2是方程－1－x 24＝x 2(x 0－x )的两根，则x 1＋x 2＝2x 0，x 1x 2＝－4，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋b ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝kx ＋b ，得x 2－4kx －4b ＝0，则x 1x 2＝－4b ＝－4， 即b ＝1，|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·4x 20＋16， O 到直线AB 的距离d ＝bk 2＋1， 则S △AOB ＝12|AB |d ＝x 20＋4≥2， 即△AOB 的面积的最小值为2，故选B.7．(2017·泉州质检)椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a >1)的离心率为32，F 1，F 2是C 的两个焦点，过F 1的直线l 与C 交于A ，B 两点，则|AF 2|＋|BF 2|的最大值等于________． 答案 7解析 因为椭圆C 的离心率为32，所以a 2－1a ＝32，解得a ＝2，由椭圆定义得|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8， 即|AF 2|＋|BF 2|＝8－|AB |，而由焦点弦性质，知当AB ⊥x 轴时，|AB |取最小值2×b 2a ＝1，因此|AF 2|＋|BF 2|的最大值等于8－1＝7.8．(2018届贵州黔东南州联考)定长为4的线段MN 的两端点在抛物线y 2＝x 上移动，设点P 为线段MN 的中点，则点P 到y 轴距离的最小值为________． 答案 74解析 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，抛物线y 2＝x 的焦点为F ⎝⎛⎭⎫14，0，抛物线的准线为x ＝－14，所求的距离d ＝⎪⎪⎪⎪x 1＋x 22＝x 1＋14＋x 2＋142－14＝|MF |＋|NF |2－14，所以|MF |＋|NF |2－14≥|MN |2－14＝74(两边之和大于第三边且M ，N ，F 三点共线时取等号)．9．(2017·泉州模拟)椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过椭圆的右焦点F 2作一条直线l 交椭圆于P ，Q 两点，则△F 1PQ 的内切圆面积的最大值是________． 答案9π16解析 令直线l ：x ＝my ＋1，与椭圆方程联立消去x ，得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0，可设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4.可知1F PQ S ＝12|F 1F 2||y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝12m 2＋1(3m 2＋4)2，又m 2＋1(3m 2＋4)2＝19(m 2＋1)＋1m 2＋1＋6≤116， 故1F PQ S ≤3.三角形的周长与三角形内切圆的半径的积是三角形面积的二倍，三角形的周长l ＝4a ＝8，则内切圆半径r ＝128F PQS ≤34，其面积最大值为9π16. 10．(2018·日照模拟)若点O 和点F 分别为椭圆x 29＋y 28＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最小值为__________． 答案 6解析 点P 为椭圆x 29＋y 28＝1上的任意一点，设P (x ，y )(－3≤x ≤3，－22≤y ≤22)， 由题意得左焦点F (－1,0)， ∴OP →＝(x ，y )，FP →＝(x ＋1，y )， ∴OP →·FP →＝x (x ＋1)＋y 2＝x 2＋x ＋72－8x 29＝19·⎝⎛⎭⎫x ＋922＋234. ∵－3≤x ≤3，∴32≤x ＋92≤152，∴94≤⎝⎛⎭⎫x ＋922≤2254， ∴14≤19⎝⎛⎭⎫x ＋922≤254，∴6≤19·⎝⎛⎭⎫x ＋922＋234≤12， 即6≤OP →·FP →≤12.故最小值为6. 11．已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4. (1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点，若点A 在直线y ＝2上，点B 在椭圆C 上，且OA ⊥OB ，求线段AB 长度的最小值．解 (1)由题意，得椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1，所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2， 因此a ＝2，c ＝ 2.故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22.(2)设点A ，B 的坐标分别为(t,2)，(x 0，y 0)，其中x 0≠0. 因为OA ⊥OB ，所以OA →·OB →＝0， 即tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－2y 0x 0.又x 20＋2y 20＝4，所以|AB |2＝(x 0－t )2＋(y 0－2)2＝⎝⎛⎭⎫x 0＋2y 0x 02＋(y 0－2)2＝x 20＋y 20＋4y 2x 20＋4 ＝x 20＋4－x 202＋2(4－x 20)x 20＋4＝x 202＋8x 20＋4(0<x 20≤4)． 因为x 202＋8x 20≥4(0<x 20≤4)，当且仅当x 20＝4时等号成立，所以|AB |2≥8. 故线段AB 长度的最小值为2 2.12．(2018·商丘模拟)如图，O 为坐标原点，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e 1；双曲线C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点分别为F 3，F 4，离心率为e 2.已知e 1e 2＝32，且|F 2F 4|＝3－1.(1)求C 1，C 2的方程；(2)过F 1作C 1的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为弦AB 的中点，当直线OM 与C 2交于P ，Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值．解 (1)因为e 1e 2＝32，所以a 2－b 2a ·a 2＋b 2a ＝32，即a 4－b 4＝34a 4，因此a 2＝2b 2，从而F 2(b,0)，F 4(3b,0)，于是3b －b ＝|F 2F 4|＝3－1，所以b ＝1，a 2＝2. 故C 1，C 2的方程分别为x 22＋y 2＝1，x 22－y 2＝1.(2)因为AB 不垂直于y 轴，且过点F 1(－1,0)， 故可设直线AB 的方程为x ＝my －1. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 22＋y 2＝1，得(m 2＋2)y 2－2my －1＝0. 易知此方程的判别式大于0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1，y 2是上述方程的两个实根， 所以y 1＋y 2＝2mm 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2.因此x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－2＝－4m 2＋2， 于是AB 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 2＋2，m m 2＋2，故直线PQ 的斜率为－m 2，PQ 的方程为y ＝－m2x ，即mx ＋2y ＝0.由⎩⎨⎧y ＝－m 2x ，x22－y 2＝1，得(2－m 2)x 2＝4，所以2－m 2>0，且x 2＝42－m 2，y 2＝m 22－m 2，从而|PQ |＝2x 2＋y 2＝2m 2＋42－m 2. 设点A 到直线PQ 的距离为d ， 则点B 到直线PQ 的距离也为d ，所以2d ＝|mx 1＋2y 1|＋|mx 2＋2y 2|m 2＋4.因为点A ，B 在直线mx ＋2y ＝0的异侧， 所以(mx 1＋2y 1)(mx 2＋2y 2)<0， 于是|mx 1＋2y 1|＋|mx 2＋2y 2| ＝|mx 1＋2y 1－mx 2－2y 2|， 从而2d ＝(m 2＋2)|y 1－y 2|m 2＋4. 又因为|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝22·1＋m 2m 2＋2，所以2d ＝22·1＋m 2m 2＋4.故四边形APBQ 的面积S ＝12|PQ |·2d＝22·1＋m 22－m 2＝22·－1＋32－m 2.而0<2－m 2≤2，故当m ＝0时，S 取得最小值2. 综上所述，四边形APBQ 面积的最小值为2.13．(2018·郑州模拟)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与抛物线y 2＝x 的一个交点的横坐标为x 0，若x 0>1，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫1，62 B ．(2，＋∞) C ．(1，2) D.⎝⎛⎭⎫62，＋∞ 答案 C解析 不妨联立y ＝b a x 与y 2＝x ，消去y 得b 2a 2x 2＝x ，由x 0>1，知b 2a 2<1，即c 2－a 2a 2<1，故e 2<2，又e >1，所以1<e <2，故选C.14．(2017·资阳模拟)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作互相垂直的弦AC ，BD ，则点A ，B ，C ，D 所构成四边形的面积的最小值为( ) A ．16 B ．32 C ．48 D ．64答案 B解析 由抛物线的几何性质可知： |AC |＝2p sin 2θ，|BD |＝2p sin 2⎝⎛⎭⎫θ＋π2，∴S ＝12|AC |×|BD |＝8p 2sin 22θ≥8p 2＝32，据此可得，点A ，B ，C ，D 所构成四边形的面积的最小值为32.15．(2018·石家庄模拟)已知双曲线Γ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，与x 轴平行的直线交Γ于B ，C 两点，记∠BAC ＝θ，若Γ的离心率为2，则( ) A ．θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2 B ．θ＝π2C ．θ∈⎝⎛⎭⎫3π4，π D ．θ＝3π4答案 B解析 ∵e ＝ca＝2，∴c ＝2a ，∴b 2＝c 2－a 2＝a 2，∴双曲线方程可变形为x 2－y 2＝a 2.设B (x 0，y 0)，由对称性可知C (－x 0，y 0)，∵点B (x 0，y 0)在双曲线上，∴x 20－y 20＝a 2.∵A (a,0)，∴AB →＝(x 0－a ，y 0)，AC →＝(－x 0－a ，y 0)，∴AB →·AC →＝(x 0－a )·(－x 0－a )＋y 20＝a 2－x 20＋y 20＝0，∴AB →⊥AC →，即θ＝π2.故选B. 16．(2017·郑州质检)已知椭圆C 1：x 2m ＋2－y 2n ＝1与双曲线C 2：x 2m ＋y 2n ＝1有相同的焦点，则椭圆C 1的离心率e 1的取值范围为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫22，1解析 ∵椭圆C 1：x 2m ＋2－y 2n＝1，∴a 21＝m ＋2，b 21＝－n ，c 21＝m ＋2＋n ，e 21＝m ＋2＋n m ＋2＝1＋n m ＋2.∵双曲线C 2：x 2m ＋y 2n＝1，∴a 22＝m ，b 22＝－n ，c 22＝m －n ，∴由条件知m ＋2＋n ＝m －n ，则n ＝－1， ∴e 21＝1－1m ＋2.由m >0得m ＋2>2，1m ＋2<12，－1m ＋2>－12，∴1－1m ＋2>12，即e 21>12，而0<e 1<1， ∴22<e 1<1.。
高中数学一轮复习9.9 直线与圆锥曲线的位置关系
第九节 直线与圆锥曲线的位置关系一、基础知识1．直线与圆锥曲线的位置关系2．弦长公式二、常用结论考点一 直线与圆锥曲线的位置关系[典例] 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－2,0)，且点P (0,2)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝8x 相切，求直线l 的方程．[[题组训练]1．若直线y ＝kx －1与双曲线x 2－y 2＝4始终有公共点，则k 的取值范围是________．2．已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ： (1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点．考点二 与弦有关的问题[典例] 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点为A ，上顶点为B ，已知椭圆的离心率为53，|AB |＝13. (1)求椭圆的方程； (2)设直线l ：y ＝kx (k ＜0)与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若△BPM 的面积是△BP Q 面积的2倍，求k 的值．[题组训练]1．已知直线y ＝kx ＋1与双曲线x 2－y 24＝1交于A ，B 两点，且|AB |＝82，则实数k 的值为( ) A ．±7 B ．±3或±413 C ．±3 D ．±4132．已知抛物线y 2＝4x 的一条弦AB 恰好以P (1,1)为中点，则弦AB 所在直线的方程是________．考点三 圆锥曲线中的证明问题[典例] 设抛物线C ：y 2＝2x ，点A (2，0)，B (－2,0)，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；(2)证明：∠ABM ＝∠ABN .[对点训练] 设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510. (1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB .[课时跟踪检测]1．已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)，若直线y ＝2x 被抛物线所截得的弦长为45，则抛物线C 的方程为( )A ．x 2＝8yB ．x 2＝4yC ．x 2＝2yD ．x 2＝y 2．若直线x －y ＋m ＝0与双曲线x 2－y 22＝1交于不同的点A ，B ，且线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝5上，则m 的值为( )A ．±2B ．±2C ．±1D ．±3 3．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．至多一个B ．2C ．1D ．0 4．过点P (2,2)作直线与双曲线x 24－y 2＝1交于A ，B 两点，使点P 为AB 中点，则这样的直线( ) A ．存在一条，且方程为x －4y ＋6＝0 B ．存在无数条C ．存在两条，方程为x －4y ＋6＝0或x ＋4y －10＝0D ．不存在5．已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( ) A.32B ．3C ．2 3D ．46．若直线y ＝52x ＋b 和曲线4x 2－y 2＝36有两个不同的交点，则b 的取值范围是________．7．经过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 且倾斜角为π6的直线交C 于M ，N 两点，O 为坐标原点，若△OMN 的面积为94，则抛物线的方程为________．8．设直线l ：2x ＋y ＋2＝0关于原点对称的直线为l ′，若l ′与椭圆x 2＋y 24＝1的交点为A ，B ，点P 为椭圆上的动点，则使△P AB 的面积为12的点P 的个数为________．9．已知点A ，B 的坐标分别是(－1,0)，(1,0)，直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为－2. (1)求动点M 的轨迹方程；(2)若过点N ⎝⎛⎭⎫12，1的直线l 交动点M 的轨迹于C ，D 两点，且N 为线段CD 的中点，求直线l 的方程．10．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点P ⎝⎛⎭⎫3，12，左焦点为 F (－3，0)． (1)求椭圆E 的方程；(2)若A 是椭圆E 的右顶点，过点F 且斜率为12的直线交椭圆E 于M ，N 两点，求△AMN 的面积．。
2019年《步步高》届高考数学大一轮复习(人教A版)课件：专题五 圆锥曲线的综合问题(共88张PPT)精品物理
与 AE 的斜率互为相反数，在上
式中以－k 代替 k，
1.直线和圆锥曲线问题解 法的一般规律
“联立方程求交点，根 与系数的关系求弦长， 根的分布找范围，曲线 定义不能忘”．
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源
2．直线与圆锥曲线相交时的弦长问题
(1)斜率为 k 的直线与圆锥曲线交于两点
P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型二
圆锥曲线中的定点、定值问题
【例 2】 已知椭圆 C 经过点 A1，32，
思维启迪
解析
探究提高
两个焦点为(－1,0)、(1,0)．
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)E、F 是椭圆 C 上的两个动点，
如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率
数学 R A（理）
专题五 圆锥曲线的综合问题
第九章 解析几何
基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源
1．直线与圆锥曲线的位置关系
(1)从几何角度看，可分为三类：无公共
点，仅有一个公共点及有两个相异的公共
点．
(2)从代数角度看，可通过将表示直线的
方程代入二次曲线的方程消元后所得一
元二次方程解的情况来判断．设直线 l 的
方程为 Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线方程
f(x，y)＝0.
Ax＋By＋C＝0
由fx，y＝0
，消元
1.直线和圆锥曲线问题解 法的一般规律
“联立方程求交点，根 与系数的关系求弦长， 根的分布找范围，曲线 定义不能忘”．
人教a版高考数学(理)一轮课件：9.9直线与圆锥曲线的位置关系
考纲展示
1.了 解 圆锥 曲 线 的实际背景 , 了解 圆锥曲线在刻画 现实世界和解决 实际问题中的作 用. 2.理 解 数形 结 合 的思想. 3.了 解 圆锥 曲 线 的简单应用.
ห้องสมุดไป่ตู้
考纲解读
从近两年的高考试题来看, 直线与圆锥曲线的位置关系、弦 长、中点弦的问题等是高考的热点问题 , 题型既有选择题、 填空题, 又有解答题, 难度属中等偏高. 客观题主要考查直线与 圆锥曲线的位置关系、弦长问题,解答题考查较为全面,在考 查上述问题的同时 , 注重考查函数与方程、转化与化归、分 类讨论等思想方法.
������2 ������ 2 【解】(1)设双曲线方程为 2 − 2 =1(a>0,b>0), ������ ������
由已知得 a= 3,c=2.∴ b=1.
������2 2 故所求双曲线方程为 -y =1. 3
(2)将 y=kx+
������2 2 2代入 -y =1, 3
可得 (1-3k 2)x2-6 2kx-9=0, 由直线 l 与双曲线交于不同的两点得 1-3������ 2 ≠ 0, ������ = (-6 2k)2 + 36(1-3������ 2 ) = 36(1- ������ 2 ) > 0, 故 k2≠ 且 k 2<1.①
4 .圆锥曲线的定值、最值、存在性问题很大一部分是利用等价转化思 想求有关圆锥曲线问题中参数的取值范围,常用的处理方法有: (1)不等式(组)的知识.根据题意结合图形列出所讨论的参数适合的不 等式(组),通过解不等式(组)得出参数的变化范围; (2)转化为求函数的值域.把所讨论的参数作为一个变量,另一个适当的 参数作为自变量来表示这个变量,从而建立函数关系,再通过讨论函数的值 域求出参数的变化范围.
2019版高考文科数学大一轮复习人教A版文档：9.8 圆锥曲线的综合问题 第1课时 Word版含答案
§9.8圆锥曲线的综合问题最新考纲考情考向分析1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法．2.了解圆锥曲线的简单应用．3.理解数形结合的思想.以考查直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系为背景，主要涉及弦长、中点、面积、对称、存在性问题．题型主要以解答题形式出现，属于中高档题.1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有①Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交；②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切；③Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离．(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点，①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝1＋k2|x2－x1|＝1＋1k2|y2－y1|.3．圆锥曲线的综合问题的解决大多需要具备方程(组)思想：引参—列方程(组)—消参—求值，或围绕函数思想求范围、最值．或根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量解决定值、定点问题．知识拓展过一点的直线与圆锥曲线的位置关系(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线与椭圆相交．(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线.(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l 与抛物线y 2＝2px 只有一个公共点，则l 与抛物线相切．( × )(2)设点P (x 0，y 0)为双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1上的任一点，则|x 0|≥a .( × ) (3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上的点到焦点距离的最大值是a ＋c .( √ ) (4)直线与椭圆只有一个交点⇔直线与椭圆相切．( √ )(5)过点(2,4)的直线与椭圆x 24＋y 2＝1只有一条切线．( × ) (6)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在抛物线y 2＝2px (p >0)上，且直线AB 过抛物线的焦点，则y 1y 2＝－p 2.( √ )题组二 教材改编2．[P71例6]过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 答案 C解析 过(0,1)与抛物线y 2＝4x 相切的直线有2条，过(0,1)与对称轴平行的直线有一条，这三条直线与抛物线都只有一个公共点．。
(北京专用)2019版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第十节 圆锥曲线的综合问题课件 理
y0 1
y0 1
所以|AN|·|BM|=
2
x0 y0
1
·
1
2 y0 x0 2
= x02 4 y02 4x0 y0 4x0 8y0 4 x0 y0 x0 2 y0 2
= 4x0 y0 4x0 8y0 8 x0 y0 x0 2 y0 2
当直线l的斜率不存在时,AB的中点M(-1,0),
所以|AM|= 2 ,所以|AM|2= 1 .
2
2
|CM|·|DM|=( 2-1)×( +21)=1≠ 1,矛盾,所以直线l的斜率存在,
2
故可设直线l的方程为y=k(x+1)(k≠0),代入椭圆G的方程并化简,得(2k2+
1)x2+4k2x+2(k2-1)=0,
当x=4时,y=0.
∴直线MN与x轴的交点为定点,且定点为(4,0).
考点二 最值与范围问题
典例2 已知椭圆C:mx2+3my2=1(m>0)的长轴长为2 6 ,O为坐标原点. (1)求椭圆C的方程和离心率; (2)设点A(3,0),动点B在y轴上,动点P在椭圆C上,且P在y轴的右侧,若|BA| =|BP|,求四边形OPAB面积的最小值.
x2 y2
解析 (1)由题意知,椭圆C的方程为 1+ 1 =1,
所以a2= 1 ,b2= 1 ,
m 3m
m 3m
故2a=2 1 =2 6 ,解得m= 1 ,
m
6
所以椭圆C的方程为 x2 +y 2 =1. 62
因为c= a2 b2 =2,所以离心率e= c = 6 . a3
(2)设线段AP的中点为D,连接BD,
2019版高考文科数学大一轮复习人教A版文档：9.8 圆锥曲线的综合问题 第2课时
第2课时 定点、定值、探索性问题题型一 定点问题典例(2017·全国Ⅰ)已知椭圆C ：＋＝1(a >b >0)，四点P 1(1,1)，P 2(0,1)，x 2a 2y 2b 2P 3，P 4中恰有三点在椭圆C 上．(－1，32)(1，32)(1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．(1)解 由于P 3，P 4两点关于y 轴对称，故由题设知椭圆C 经过P 3，P 4两点．又由＋>＋知，椭圆C 不经过点P 1，1a 21b 21a 234b 2所以点P 2在椭圆C 上．因此Error!解得Error!故椭圆C 的方程为＋y 2＝1.x 24(2)证明 设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2.如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，且|t |<2，可得A ，B 的坐标分别为，(t ，4－t 22)，则k 1＋k 2＝－＝－1，得t ＝2，不符合题设．(t ，－4－t 22)4－t 2－22t4－t 2＋22t从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1)．将y ＝kx ＋m 代入＋y 2＝1，x 24得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－，x 1x 2＝.8km 4k 2＋14m 2－44k 2＋1而k 1＋k 2＝＋y 1－1x 1y 2－1x 2＝＋kx 1＋m －1x 1kx 2＋m －1x 2＝.2kx 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)x 1x 2由题设知k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0.即(2k ＋1)·＋(m －1)·＝0，4m 2－44k 2＋1－8km4k 2＋1解得k ＝－.m ＋12当且仅当m >－1时，Δ>0，于是l ：y ＝－x ＋m ，m ＋12即y ＋1＝－(x －2)，m ＋12所以l 过定点(2，－1)．思维升华 圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．跟踪训练 (2017·长沙联考)已知椭圆＋＝1(a >0，b >0)过点(0,1)，其长轴、焦距和短轴的x 2a 2y 2b 2长的平方依次成等差数列．直线l 与x 轴正半轴和y 轴分别交于点Q ，P ，与椭圆分别交于点M ，N ，各点均不重合且满足＝λ1，＝λ2.PM → MQ → PN → NQ→ (1)求椭圆的标准方程；(2)若λ1＋λ2＝－3，试证明：直线l 过定点并求此定点．(1)解 设椭圆的焦距为2c ，由题意知b ＝1，且(2a )2＋(2b )2＝2(2c )2，又a 2＝b 2＋c 2，∴a 2＝3.∴椭圆的方程为＋y 2＝1.x 23(2)证明 由题意设P (0，m )，Q (x 0,0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，设l 方程为x ＝t (y －m )，由＝λ1知(x 1，y 1－m )＝λ1(x 0－x 1，－y 1)，PM → MQ→ ∴y 1－m ＝－y 1λ1，由题意y 1≠0，∴λ1＝－1.my 1同理由＝λ2知λ2＝－1.PN → NQ→ my 2∵λ1＋λ2＝－3，∴y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＝0，①联立Error!得(t 2＋3)y 2－2mt 2y ＋t 2m 2－3＝0，∴由题意知Δ＝4m 2t 4－4(t 2＋3)(t 2m 2－3)>0，②且有y 1＋y 2＝，y 1y 2＝，③2mt 2t 2＋3t 2m 2－3t 2＋3③代入①得t 2m 2－3＋2m 2t 2＝0，∴(mt )2＝1，由题意mt <0，∴mt ＝－1，满足②，得直线l 方程为x ＝ty ＋1，过定点(1,0)，即Q 为定点．题型二 定值问题典例 (2017·广州市综合测试)已知椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的离心率为，且过点x 2a 2y 2b 232A (2,1)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若P ，Q 是椭圆C 上的两个动点，且使∠PAQ 的角平分线总垂直于x 轴，试判断直线PQ 的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．解 (1)因为椭圆C 的离心率为，且过点A (2,1)，32所以＋＝1，＝，4a 21b 2ca 32又a 2＝b 2＋c 2，所以a 2＝8，b 2＝2，所以椭圆C 的方程为＋＝1.x 28y 22(2)方法一 因为∠PAQ 的角平分线总垂直于x 轴，所以PA 与AQ 所在的直线关于直线x ＝2对称．设直线PA 的斜率为k ，则直线AQ 的斜率为－k .所以直线PA 的方程为y －1＝k (x －2)，直线AQ 的方程为y －1＝－k (x －2)．设点P (x P ，y P )，Q (x Q ，y Q )，由Error!得(1＋4k 2)x 2－(16k 2－8k )x ＋16k 2－16k －4＝0.①因为点A (2,1)在椭圆C 上，所以x ＝2是方程①的一个根，则2x P ＝，16k 2－16k －41＋4k 2所以x P ＝.8k 2－8k －21＋4k 2同理x Q ＝.8k 2＋8k －21＋4k 2所以x P －x Q ＝－，x P ＋x Q ＝.16k1＋4k 216k 2－41＋4k 2又y P －y Q ＝k (x P ＋x Q －4)＝－，8k1＋4k 2所以直线PQ 的斜率k PQ ＝＝，yP －yQxP －xQ 12所以直线PQ 的斜率为定值，该值为.12方法二 设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋b ，点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1＝kx 1＋b ，y 2＝kx 2＋b ，直线PA 的斜率k PA ＝，y 1－1x 1－2直线QA 的斜率k QA ＝.y 2－1x 2－2因为∠PAQ 的角平分线总垂直于x 轴，所以PA 与AQ 所在的直线关于直线x ＝2对称，所以k PA ＝－k QA ，即＝－，y 1－1x 1－2y 2－1x 2－2化简得x 1y 2＋x 2y 1－(x 1＋x 2)－2(y 1＋y 2)＋4＝0.把y 1＝kx 1＋b ，y 2＝kx 2＋b 代入上式，化简得2kx 1x 2＋(b －1－2k )(x 1＋x 2)－4b ＋4＝0.①由Error!得(4k 2＋1)x 2＋8kbx ＋4b 2－8＝0，②则x 1＋x 2＝－，x 1x 2＝，8kb4k 2＋14b 2－84k 2＋1代入①，得－－4b ＋4＝0，2k (4b 2－8)4k 2＋18kb (b －1－2k )4k 2＋1整理得(2k －1)(b ＋2k －1)＝0，所以k ＝或b ＝1－2k .12若b ＝1－2k ，可得方程②的一个根为2，不符合题意．所以直线PQ 的斜率为定值，该值为.12思维升华 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值．(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得．(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．跟踪训练 (2018届洛阳联考)如图，点F 是抛物线τ：x 2＝2py (p >0)的焦点，点A 是抛物线上的定点，且＝(2,0)，点B ，C 是抛物线上的动点，直线AB ，AC 的斜率分别为k 1，k 2.AF→(1)求抛物线τ的方程；(2)若k 2－k 1＝2，点D 是抛物线在点B ，C 处切线的交点，记△BCD 的面积为S ，证明S 为定值．(1)解 设A (x 0，y 0)，由题意知F ，(0，p2)所以＝＝(2,0)，AF → (－x 0，p2－y 0)所以Error!代入x 2＝2py (p >0)中得4＝p 2，即p ＝2，所以抛物线τ的方程是x 2＝4y .(2)证明 过D 作y 轴的平行线交BC 于点E ，并设B，C，(x 1，x 214)(x 2，x 24)由(1)知A (－2,1)，所以k 2－k 1＝－＝，x 24－1x 2＋2x 214－1x 1＋2x 2－x 14又k 2－k 1＝2，所以x 2－x 1＝8.由y ＝，得y ′＝.x 24x 2所以直线BD ：y ＝x －，x 12x 214直线CD ：y ＝x －，x 22x 24解得Error!因为直线BC 的方程为y －＝(x －x 1)，x 214x 1＋x 24将x D 代入得y E ＝，x 21＋x 28所以S ＝|DE |(x 2－x 1)＝(y E －y D )(x 2－x 1)1212＝··(x 2－x 1)＝32(定值)．12(x 2－x 1)28题型三 探索性问题典例 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：y ＝与直线l ：y ＝kx ＋a (a >0)交于M ，N 两点，x 24(1)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由．解 (1)由题设可得M (2，a )，N (－2，a )，a a 或M (－2，a )，N (2，a )．a a 又y ′＝，故y ＝在x ＝2处的导数值为，x2x 24a a C 在点(2，a )处的切线方程为y －a ＝(x －2)，a a a 即x －y －a ＝0.a y ＝在x ＝－2处的导数值为－，x 24a a C 在点(－2，a )处的切线方程为y －a ＝－(x ＋2)，a a a 即x ＋y ＋a ＝0.a 故所求切线方程为x －y －a ＝0和x ＋y ＋a ＝0.a a(2)存在符合题意的点，证明如下：设P (0，b )为符合题意的点，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2.将y ＝kx ＋a 代入C 的方程得x 2－4kx －4a ＝0.故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4a .从而k 1＋k 2＝＋y 1－b x 1y 2－bx 2＝2kx 1x 2＋(a －b )(x 1＋x 2)x 1x 2＝.k (a ＋b )a当b ＝－a 时，有k 1＋k 2＝0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补，故∠OPM ＝∠OPN ，所以点p (0，－a )符合题意．思维升华 解决探索性问题的注意事项探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法．跟踪训练 (2018·唐山模拟)已知椭圆E ：＋＝1的右焦点为F (c,0)且a >b >c >0，设短轴的x 2a 2y 2b 2一个端点为D ，原点O 到直线DF 的距离为，过原点和x 轴不重合的直线与椭圆E 相交32于C ，G 两点，且||＋||＝4.GF → CF→ (1)求椭圆E 的方程；(2)是否存在过点P (2,1)的直线l 与椭圆E 相交于不同的两点A ，B 且使得2＝4·成立？OP → PA → PB → 若存在，试求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解 (1)由椭圆的对称性知||＋||＝2a ＝4，∴a ＝2.GF → CF→ 又原点O 到直线DF 的距离为，32∴＝，∴bc ＝，bca 323又a 2＝b 2＋c 2＝4，a >b >c >0，∴b ＝，c ＝1.3故椭圆E 的方程为＋＝1.x 24y 23(2)当直线l 与x 轴垂直时不满足条件．故可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝k (x －2)＋1，代入椭圆方程得(3＋4k 2)x 2－8k (2k －1)x ＋16k 2－16k －8＝0，∴x 1＋x 2＝，x 1x 2＝，8k (2k －1)3＋4k 216k 2－16k －83＋4k 2Δ＝32(6k ＋3)>0，∴k >－.12∵2＝4·，OP → PA → PB → 即4[(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)]＝5，∴4(x 1－2)(x 2－2)(1＋k 2)＝5，即4[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4](1＋k 2)＝5，∴4(1＋k 2)[16k 2－16k －83＋4k 2－2×8k (2k －1)3＋4k 2＋4]＝4×＝5，4＋4k 23＋4k 2解得k ＝±，k ＝－不符合题意，舍去．1212∴存在满足条件的直线l ，其方程为y ＝x .12设而不求，整体代换典例 (12分)椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，离心率为，过F 1且x 2a 2y 2b 232垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1.(1)求椭圆C 的方程；(2)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接PF 1，PF 2，设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M (m,0)，求m 的取值范围；(3)在(2)的条件下，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点，设直线PF 1，PF 2的斜率分别为k 1，k 2，若k 2≠0，证明＋为定值，并求出这个定值．1kk 11kk 2思想方法指导对题目涉及的变量巧妙地引进参数(如设动点坐标、动直线方程等)，利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组，再化为一元二次方程，从而利用根与系数的关系进行整体代换，达到“设而不求，减少计算”的效果，直接得定值．规范解答解 (1)由于c 2＝a 2－b 2，将x ＝－c 代入椭圆方程＋＝1，得y ＝±.由题意知＝1，x 2a 2y 2b 2b 2a 2b 2a 即a ＝2b 2.又e ＝＝，所以a ＝2，b ＝1.ca 32所以椭圆C 的方程为＋y 2＝1.[2分]x 24(2)设P (x 0，y 0)(y 0≠0)，又F 1(－，0)，F 2(，0)，33所以直线PF 1，PF 2的方程分别为：y 0x －(x 0＋)y ＋y 0＝0，1PF l 33：y 0x －(x 0－)y －y 0＝0.2PF l 33由题意知＝ .|my 0＋3y 0|y 20＋(x 0＋3)2|my 0－3y 0|y 20＋(x 0－3)2由于点P 在椭圆上，所以＋y ＝1.x 20420所以＝.[4分]|m ＋3|(32x 0＋2)2|m －3|(32x 0－2)2因为－<m <，－2<x 0<2，33可得＝，m ＋332x 0＋23－m2－32x 0所以m ＝x 0，因此－<m <.[6分]343232(3)设P (x 0，y 0)(y 0≠0)，则直线l 的方程为y －y 0＝k (x －x 0)．联立得Error!整理得(1＋4k 2)x 2＋8(ky 0－k 2x 0)x ＋4(y －2kx 0y 0＋k 2x －1)＝0.[10分]2020由题意Δ＝0，即(4－x )k 2＋2x 0y 0k ＋1－y ＝0.2020又＋y ＝1，x 2042所以16y k 2＋8x 0y 0k ＋x ＝0，故k ＝－.2020x 04y 0由(2)知＋＝＋＝，1k 11k 2x 0＋3y 0x 0－3y 02x 0y 0所以＋＝＝·＝－8，1kk 11kk 21k (1k 1＋1k 2)(－4y 0x 0)2x 0y 0因此＋为定值，这个定值为－8.[12分]1kk 11kk 21．(2018届广西柳州摸底)已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴上，且抛物线上有一点P (4，m )到焦点的距离为5.(1)求该抛物线C 的方程；(2)已知抛物线上一点M (t,4)，过点M 作抛物线的两条弦MD 和ME ，且MD ⊥ME ，判断直线DE 是否过定点？并说明理由．解 (1)由题意设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，其准线方程为x ＝－，p2∵P (4，m )到焦点的距离等于P 到其准线的距离，∴4＋＝5，∴p ＝2.p2∴抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)由(1)可得点M (4,4)，可得直线DE 的斜率不为0，设直线DE 的方程为x ＝my ＋t ，联立Error!得y 2－4my －4t ＝0，则Δ＝16m 2＋16t >0.(*)设D (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4t .∵·＝(x 1－4，y 1－4)·(x 2－4，y 2－4)MD→ ME → ＝x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16＋y 1y 2－4(y 1＋y 2)＋16＝·－4＋16＋y 1y 2－4(y 1＋y 2)＋16y 214y 24(y 214＋y 24)＝－(y 1＋y 2)2＋3y 1y 2－4(y 1＋y 2)＋32(y 1y 2)216＝t 2－16m 2－12t ＋32－16m ＝0，即t 2－12t ＋32＝16m 2＋16m ，得(t －6)2＝4(2m ＋1)2，∴t －6＝±2(2m ＋1)，即t ＝4m ＋8或t ＝－4m ＋4，代入(*)式检验知t ＝4m ＋8满足Δ>0，∴直线DE 的方程为x ＝my ＋4m ＋8＝m (y ＋4)＋8.∴直线过定点(8，－4)．2．(2018·邢台模拟)已知椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的短轴长为2，离心率为，圆E 的x 2a 2y 2b 2532圆心在椭圆C 上，半径为2，直线y ＝k 1x 与直线y ＝k 2x 为圆E 的两条切线．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)试问：k 1·k 2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．解 (1)由2b ＝2得b ＝，∵e ＝＝，∴＝，55ca 32c 2a 234∵a 2＝b 2＋c 2，∴＝，a 2－5a 234解得a 2＝20，b 2＝5，∴椭圆C 的标准方程为＋＝1.x 220y 25(2)设E (x 0，y 0)，∵直线y ＝k 1x 与圆E ：(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝4相切，∴＝2，|k 1x 0－y 0|k 21＋1整理得(x －4)k －2x 0y 0k 1＋y －4＝0，202120同理可得(x －4)k －2x 0y 0k 2＋y －4＝0，20220∴k 1，k 2为方程(x －4)x 2－2x 0y 0x ＋y －4＝0的两个根，∴k 1k 2＝.2020y 20－4x 20－4又∵E (x 0，y 0)在椭圆C ：＋＝1上，x 220y 25∴y ＝5，20(1－x 2020)∴k 1k 2＝＝＝－，y 20－4x 20－45(1－x 2020)－4x 20－414故k 1k 2的定值为－.143．(2017·湘中名校联考)如图，曲线C 由上半椭圆C 1：＋＝1(a >b >0，y ≥0)和部分抛物线C 2：y ＝－x 2＋1(y ≤0)连接而y 2a 2x 2b 2成，C 1与C 2的公共点为A ，B ，其中C 1的离心率为.32(1)求a ，b 的值；(2)过点B 的直线l 与C 1，C 2分别交于点P ，Q (均异于点A ，B )，是否存在直线l ，使得以PQ 为直径的圆恰好过点A ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解 (1)在C 1，C 2的方程中，令y ＝0，可得b ＝1，且A (－1,0)，B (1,0)是上半椭圆C 1的左、右顶点．设C 1的半焦距为c ，由＝及a 2－c 2＝b 2＝1，得a ＝2，c a 32∴a ＝2，b ＝1.(2)存在．由(1)知，上半椭圆C 1的方程为＋x 2＝1(y ≥0)．y 24易知，直线l 与x 轴不重合也不垂直，设其方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，代入C 1的方程，整理得(k 2＋4)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0.(*)设点P 的坐标为(x P ，y P )，∵直线l 过点B ，∴x ＝1是方程(*)的一个根．由根与系数的关系，得x p ＝，从而y p ＝，k 2－4k 2＋4－8k k 2＋4∴点P 的坐标为.(k 2－4k 2＋4，－8k k 2＋4)同理，由Error!得点Q 的坐标为(－k －1，－k 2－2k )．∴＝(k ，－4)，＝－k (1，k ＋2)．AP → 2k k 2＋4AQ → ∵以PQ 为直径的圆恰好过点A ，∴AP ⊥AQ ，∴·＝0，AP → AQ → 即[k －4(k ＋2)]＝0.－2k 2k 2＋4∵k ≠0，∴k －4(k ＋2)＝0，解得k ＝－.83经检验，k ＝－符合题意．83故直线l 的方程为8x ＋3y －8＝0.4．(2018届衡水联考)已知椭圆C ：＋＝1(a >b >0)过点(－，1)，离心率为，直线x 2a 2y 2b 2222l ：kx －y ＋2＝0与椭圆C 交于A ，B 两点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否存在实数k ，使得|＋|＝|－|(其中O 为坐标原点)成立？若存在，求出实数OA → OB → OA → OB → k 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)依题意，得Error!解得a 2＝4，b 2＝2，c 2＝2，故椭圆C 的标准方程为＋＝1.x 24y 22(2)假设存在符合条件的实数k .依题意，联立方程Error!消去y 并整理，得(1＋2k 2)x 2＋8kx ＋4＝0.则Δ＝64k 2－16(1＋2k 2)>0，即k >或k <－.(*)2222设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－，x 1x 2＝.8k 1＋2k 241＋2k 2由|＋|＝|－|，得·＝0，OA → OB → OA → OB → OA → OB → ∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，即x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝0，即(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝0.∴－＋4＝0，即＝0，4(1＋k 2)1＋2k 216k 21＋2k 28－4k 21＋2k 2∴k 2＝2，即k ＝±，满足(*)式．2故存在实数k ＝±，使得|＋|＝|－|成立．2OA → OB → OA → OB →5．(2018·保定模拟)设椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的离心率e ＝，左顶点M 到直线x 2a 2y 2b 232＋＝1的距离d ＝，O 为坐标原点．x a y b 455(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆经过坐标原点，证明：点O 到直线AB 的距离为定值．(1)解 由e ＝，得c ＝a ，又b 2＝a 2－c 2，3232所以b ＝a ，即a ＝2b .12由左顶点M (－a,0)到直线＋＝1，x a yb 即到直线bx ＋ay －ab ＝0的距离d ＝，455得＝，即＝，|b (－a )－ab |a 2＋b 24552ab a 2＋b 2455把a ＝2b 代入上式，得＝，解得b ＝1.4b 25b 455所以a ＝2b ＝2，c ＝.3所以椭圆C 的方程为＋y 2＝1.x 24(2)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，①当直线AB 的斜率不存在时，由椭圆的对称性，可知x 1＝x 2，y 1＝－y 2.因为以AB 为直径的圆经过坐标原点，故·＝0，OA → OB → 即x 1x 2＋y 1y 2＝0，也就是x －y ＝0，2121又点A 在椭圆C 上，所以＋y ＝1，x 21421解得|x 1|＝|y 1|＝.255此时点O 到直线AB 的距离d 1＝|x 1|＝.255②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆方程联立有Error!消去y ，得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝－，x 1x 2＝.8km 1＋4k 24m 2－41＋4k 2因为以AB 为直径的圆过坐标原点O ，所以OA ⊥OB .所以·＝x 1x 2＋y 1y 2＝0.OA → OB → 所以(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0.所以(1＋k 2)·－＋m 2＝0.4m 2－41＋4k 28k 2m 21＋4k 2整理得5m 2＝4(k 2＋1)，所以点O 到直线AB 的距离d 1＝＝.|m |k 2＋1255综上所述，点O 到直线AB 的距离为定值.2556.如图，椭圆E ：＋＝1(a ＞b ＞0)的离心率是，点P (0，1)在短轴CD 上，x 2a 2y 2b 222且·＝－1.PC → PD → (1)求椭圆E 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点．是否存在常数λ，使得·＋λ·为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．OA → OB → PA → PB → 解 (1)由已知，点C ，D 的坐标分别为(0，－b )，(0，b )，又点P 的坐标为(0,1)，且·＝－1，PC → PD → 于是Error!解得a ＝2，b ＝，2所以椭圆E 的方程为＋＝1.x 24y 22(2)当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，联立Error!得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0，其判别式Δ＝(4k )2＋8(2k 2＋1)＞0，所以x 1＋x 2＝－，x 1x 2＝－，4k2k 2＋122k 2＋1从而，·＋λ·OA → OB → PA → PB →＝x 1x 2＋y 1y 2＋λ[x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)]＝(1＋λ)(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝＝－－λ－2.(－2λ－4)k 2＋(－2λ－1)2k 2＋1λ－12k 2＋1所以当λ＝1时，－－λ－2＝－3，λ－12k 2＋1此时·＋λ·＝－3为定值．OA → OB → PA → PB → 当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD ，此时，·＋λ·＝·＋·OA → OB → PA → PB → OC → OD → PC → PD →＝－2－1＝－3.故存在常数λ＝1，使得·＋λ·为定值－3.OA → OB → PA → PB →。
2019大一轮高考总复习文数(人教版)课件：第9章 第9节 第3课时 圆锥曲线中的证明与探索性问题
解：(1)设椭圆 G 的半焦距为 c，因为直线 l 与 x 轴的交点为(－1,0)，故 c＝1． 又△ABF2 的周长为 4 3， 即|AB|＋|AF2 |＋|BF2 |＝4a＝4 3，故 a＝ 3． 所以，b2＝a2－c2＝3－1＝2． 因此，椭圆 G 的标准方程为x32＋y22＝1． (2)不存在．理由如下：先用反证法证明 AB 不可能为底边，即|AF2|≠|BF2|． 由题意知 F2(1,0)， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，假设|AF2|＝|BF2|， 则 x1－12＋y21＝ x2－12＋y22，
02
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[提能力] 【典例】 (2017·全国卷Ⅱ)设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C：x22＋y2＝1 上， 过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P 满足N→P＝ 2 N→M． (1)求点 P 的轨迹方程； (2)设点 Q 在直线 x＝－3 上，且O→P·P→Q＝1.证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F．
(1)解：设 P(x，y)，M(x0，y0)， 则 N(x0,0)，N→P＝(x－x0，y)，N→M＝(0，y0). 由N→P＝ 2 N→M得 x0＝x，y0＝ 22y． 因为 M(x0，y0)在 C 上，所以x22＋y22＝1． 因此点 P 的轨迹方程为 x2＋y2＝2．
(2)证明：由题意知 F(－1,0)．设 Q(－3，t)，P(m，n)，则 O→Q＝(－3，t)，P→F＝(－1－m，－n)， O→Q·P→F＝3＋3m－tn， O→P＝(m，n)，P→Q＝(－3－m，t－n)． 由O→P·P→Q＝1 得－3m－m2＋tn－n2＝1， 又由(1)知 m2＋n2＝2，故 3＋3m－tn＝0． 所以O→Q·P→F＝0，即O→Q⊥P→F． 又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ，所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左 焦点 F．
2019届高考数学人教A版理科第一轮复习课件：第九章+解析几何+9.8
1+
1
2 |y1-y2|
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知识梳理
双基自测
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3.圆锥曲线的中点弦问题 遇到中点弦问��2 圆 2 + 2 =1(a>b>0)中,以 P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率 ������ ������ ������ ������0 ������2 k=-������2 ������ ;在双曲线������2 0
2 2
−
������2 ������
2 =1
中,以 P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜
������ ������ 率 k=������2 ������0 ;在抛物线 y2=2px(p>0)中,以 P(x0,y0)为中点的弦所在直线 0 ������ 的斜率 k= . ������0
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知识梳理
������������ + ������������ + ������ = 0, 由 消元, ������(������,������) = 0
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知识梳理
双基自测
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如消去y后得ax2+bx+c=0. ①若a=0,当圆锥曲线是双曲线时,直线l与双曲线的渐近线平行; 当圆锥曲线是抛物线时,直线l与抛物线的对称轴平行(或重合). ②若a≠0,设Δ=b2-4ac. 当Δ > 0时,直线和圆锥曲线相交于不同的两点; 当Δ = 0时,直线和圆锥曲线相切于一点; 当Δ < 0时,直线和圆锥曲线没有公共点.
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知识梳理
双基自测
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2.直线与圆锥曲线相交时的弦长问题 (1)斜率为k(k不为0)的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1,y1),P2(x2,y2), 1 + ������ 2 · |x1-x2| 则所得弦长|P1P2|= 或
2019届一轮复习人教A版(文)大题冲关系列(五)圆锥曲线的综合问题课件
解题视点 (1)利用待定系数法可求出椭圆 C 的方程； (2)把直线 l 分斜率是否存在进行分类讨论，当直线 l 的斜率 不存在时，易得结论；当直线 l 的斜率存在时，利用斜截式 设出直线 l 的方程，并把它与第(1)小问求出的椭圆方程联 立，利用根与系数的关系式，以及过两点的斜率公式，即可 证出直线 l 过定点．
第4章
平面向量
高考大题冲关系列5
圆锥曲线的综合问题 命题动向：从近五年的高考试题来看，圆锥曲线问题在 高考中属于必考内容，并且常常在同一份试卷上多题型考 查．对圆锥曲线的考查在解答题部分主要体现以下考法：第 一问一般是先求圆锥曲线的方程或离心率等较基础的知识； 第二问往往涉及定点、 定值、 最值、 取值范围等探究性问题， 解决此类问题的关键是通过联立方程来解决．
变式训练 1 已知椭圆与抛物线 y2＝4 2x 有一个相同的焦点，且该 2 椭圆的离心率为 2 . (1)求椭圆的标准方程； (2)过点 P(0,1)的直线与该椭圆交于 A，B 两点，O 为坐 → → 标原点，若AP＝2PB，求△AOB 的面积．
x2 y 2 解 (1)依题意， 设椭圆的标准方程为a2＋b2＝1(a>b>0)， 由题意可得 c＝ 2. c 2 又 e＝a＝ 2 ，∴a＝2， ∴b2＝a2－c2＝2， x2 y 2 ∴椭圆的标准方程为 4 ＋ 2 ＝1. (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以抛物线 C 的方程为 y2＝x. 1 抛物线 C x＝－4. 1 (2)证明：由题意，设直线 l 的方程为 y＝kx＋2(k≠0)， l 与抛物线 C 的交点为 M(x1，y1)，N(x2，y2)．
1 y＝kx＋ ， 2 由 2 y ＝x，
得 4k2x2＋(4k－4)x＋1＝0，