2010-北航-应用数理统计-习题参考答案

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北京航空航天大学
研究生应用数理统计
书后部分习题解答整理版
解：⑴ 由 x
1 n xi ， n i 1
1 n 1 xi ) 2 n i 1 n
则 Var ( x ) Var (
Var ( x ) n
i 1 i
n
1
2
1 n (1 ) (1 ) 。 n
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解：
t x t Px t P ) (
又因为参数 , 2 的极大似然估计是
X , 2


1 n (X i X )2 n i 1
t x 所以 Px t的极大似然估计是

x n 1 x S
n 的抽样分布。 n 1
解：由正态分布的特性可得
x ~ N ( ,
则有
2
n
) ， xn1 ~ N ( , 2 ) ，
n 1 2 ), n
(n 1)
2
S 2 ~ 2 (n 1).
xn 1 x ~ N (0,
从而
x n 1 x n 1 n
n
xi 121n 2n
e
2
(1 x )
， 1 xi （ i ）
由 2 0 ，则似然函数为 1 的单调递增函数，且 - 1 xi （ i ） ，由极大似
ˆ min{x } 。 然估计定义可知， 1 的极大似然估计为 1 i
i
对 2 ， ln L(1， 2 ) -n ln 2

1 2 1 2 5 2 2 ˆ D 2 0.347 2 ， 3 4 12


L( ; x1 , x2 ,, xn ) e
n
( xi x0 )
i 1
n
， xi x 0 0 （ i 1 ， 2,, n ）
则有
ln L( ) n ln ( xi x0 )
i 1 n n ln L( ) n xi nx0 0 ，得 nx nx0 0 i 1
- 2 ， x1 ，x 2 ，…，x n 为来自总体的简单样本，求参数 1 及 2 的极大似然估计。
解：由 f ( x;1 , 2 ) 为概率密度函数可知， 2 0 。 似然函数为 L(1 , 2 ; x1 , x2 ,, xn )
1

2n
e

i 1
11. （ P81.9）设 X 为电子元件的失效时间（单位：小时） ，其密度函数为
e ( x x0 ) , x x0 0 f ( x, ) x x0 0,
抽取 n 个该电子元件，独立进行测试，失效时间分别为 x1 ， x 2 ，…， x n 。 ⑴ 当 x 0 已知时，求 的极大似然估计； ⑵ 当 已知时，求 x 0 的极大似然估计。 解：⑴ 似然函数为
ˆ ， ˆ 都是总体均值 E ( X ) 的无偏估计。 ˆ ， 故统计量 3 1 2
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而
1 2 3 2 1 2 2 ˆ D 1 0.38 2 ， 5 10 2
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做矩估计， x
1 2 ， 4 1 。 2
ˆ 2x 可得 的矩估计，
9. （ P80.7）
解： （1）由分布函数得出概率密度函数
f ( x; )
d ( F ( x; ) x 1 x 1 dx 0x 1
⑵ 因为总体 X 服从两点分布 B(1, ) ，则参数 的频率估计为
x
i 1
n
i
n
x，
ˆ 于是 q( ) 的频率估计 q
1 x (1 x ) 。 n
7. （ P80.2）设总体 X 服从正态分布 N ( ,1) ， x1 ， x 2 ，…， x n 为简单随机样本，在这 n 个样本观测值中仅知道事件 { X 0} 发生 m 次，求 的频率替换估计。 解：由题意 X ~ N (0,1) ， 则 P{X 0} P{X } P{X } 1 P{X } 1 ( ) ， 而由频率 P{ X 0} 则有， ( ) 1 -
解：
E( X )
1 1 1 xdx xdx 0 2 2(1 ) 1 1 2 1 1 (1 2 ) 2 2 2(1 ) 2 1 1 1 2 (1 ) 4 4 4

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又
~ N (0,1).
x n 1 x

n 1 n
与
(n 1)

2
2 Sn 相互独立，从而
x n 1 x

(n 1)
n 1 n S 2 (n 1)

n ( x n 1 x ) ~ t (n 1). n 1 S

2
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A B/n
，其中 A ~ N (0,1) ， B ~
2 (n) 。
则X2
A2 A2 / 1 ，其中 A 2 ~ 2 (1) ， B ~ 2 (n) ， B/n B/n
故 X 2 ~ F (1, n) 。 4. （ P34.27） 设总体 X ~ N ( , 2 ) ， x1 ， x 2 ，…， x n 为其样本， x 及 S 2 分别为样本均 值及方差，又设 xn1 ~ N ( , 2 ) ，且与 x1 ， x 2 ，…， x n 相互独立，试求统计量
m ， n
m n
。
ˆz 于是有，
1
m n
1 2 ,0 x 1 8. （ P80.5） 设总体 X 服从的概率密度函数为 f ( x, ) , x 1 ，其中 ， 2 ( 1 ) 0， 其他
0 1，是未知参数，x1 ，x 2 ，…，x n 为来自总体的简单样本。试求参数 的矩估计 ˆ 。
2 1m
2

2 (n 1) S 2 n
2
( x 1 ) ( y 2 )
2 (m 1) S12m (n 1) S 2 n mn2
2
m

2
n
~ t (m n 2) 。
6． （ P80.1）设总体 X 服从两点分布 B(1, ) ， 0 1 ， x1 ， x 2 ，…， x n 为简单随机样 本，⑴ 求 q( ) Var ( x ) ；⑵ 求 q( ) 的频率估计。
n
令
ˆ 于是， 的极大似然估计
⑵ 似然函数

1 。 x x0
L( x0 ; x1 , x 2 , , x n ) n e
( xi x0 )
i 1
n
n e n ( x0 x ) ， xi x0 0 （ i 1 ， 2,, n ）
当 已知时，为 x 0 的单调递增函数，于是由极大似然估计定义可知，
m
) ， y ~ N ( 2 ,
2
n
)，
(m 1) S12m

2
~ (m 1) ，
2
2 (n 1) S 2 n

2
~ 2 (n 1) ，
于是有， ( x 1 ) ~ N (0,
2
m
2 ) ， ( y 2 ) ~ N (0,
2
n
2)，
则
( x 1 ) ( y 2 ) ~ N (0, (
1 3 1 x1 x2 x3 有 5 10 2
1 3 1 1 3 1 ˆ E E X 1 X 2 X 3 E ( X ) E ( X ). 1 10 2 5 5 10 2

同理可得
ˆ E ˆ E ( X ). E 2 3
(m 1) S12m
2 (n 1) S 2 n
2
m

2
n
) 2 ) ，

2

2
~ 2 (m n 2) ，
( x 1 ) ( y 2 )
(
于是有，
2
m

2
n
) 2 ~ t (m n 2) ， ) /( m n 2)
(
即
(m 1) S


E( X )

xf ( x; )dx

，得

x
1

x
1

dx
x dx 1
1


令X
1
x x 1
（2） 的似然函数是
1 n ) 1 min x1 x n ( L( ) x1 x n 0其它
对数似然函数是
ln L( ) n ln ( 1) ln xi
i 1 n ln L( ) n ln xi 0 i 1 n
解得

n
ln x
i 1
n
i
10. （ P81.8）
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