2020-2021学年北京人大附中高二(上)期中数学含答案
【期中精品真题】北京市人大附中2019-2020学年数学高二上期中模拟试卷含答案
2 所以 an
d3
d0
3n 5或 an
5
（ 6 分）
2
⑵当 an
3n 5 时，数列
1
bn 是首项为 、公比为 8 的等比数列
4
所以 Sn
1
n
(1 8 )
4
18
5
当 an
5 时， bn
22
2
所以 Sn
5
22n
综上，所以 Sn
n
81 或 Sn
2019-2020 学年高二上数学期中模拟试卷含答案
全卷 150 分
时间： 100 分钟
一、 选择题（每小题 5 分，共 40 分）
1 、设 a 1 b 1, 则下列不等式中恒成立的是
()
11
A
11
B
ab
ab
2
2 、不等式 x 2 x 3 0 的解集为（
2
Cab
）
2
D a 2b
A． { x | x 3或 x 1} B． { x | 1 x 3} C． { x | x 1或 x 3} D ． { x | 3 x 1}
C1 C2 2 C2 A，1 依此类推， 在正 A2 B2C 2 内再作正 A3 B 3C 3 ，……。
A1
C2
C3
B
3
A2
记正 Ai Bi C i 的面积为 ai (i 1,2,
,n) ，
则 a1＋察站 C 与两灯塔 A 、 B 的距离分别为
300 米和 500 米，测得灯塔
3 、若命题 p 的逆命题是 q，命题 q 的否命题是 r ，则 p 是 r 的 (
)
A．逆命题
B ．逆否命题
C ．否命题 D ．以上判断都不对
2020-2021学年北京市人大附中高二上学期期末练习数学试题 word版
北京市人大附中2020-2021学年高二上学期期末练习数学试题2021年1月20日说明：本试卷分Ⅰ卷和Ⅱ卷，Ⅰ卷17道题，共100分，作为学分认定成绩；Ⅱ卷7道题，共50分；Ⅰ卷、Ⅱ卷共24题，合计150分，作为期末成绩；考试时间120分钟；请在答题卡上填写个人信息，并将条形码贴在答题卡的相应位置上．Ⅰ卷（共17题，满分100分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1．设m n ，是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A ．若//,//m n αα，则//m n B ．若,αγβγ⊥⊥，则//αβ C ．若//,//m m αβ，则//αβ D ．若,m n αα⊥⊥，则//m n2．已知复数(1)(31)i i z i --=（i 为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A ．复数z 在复平面内对应的点落在第二象限 B ．42z i =--C ．24z z --的虚部为1 D ．||z =3．如果直线20x y +=与直线10x my +-=垂直，那么m 的值为（ ）A ．2-B ．12-C ．12D ．2 4．某邮局有4个不同的信箱，现有5封不同的信需要邮寄，则不同的投递方法共有（ ）A ．54种B ．45种C ．45C 种D ．45A 种5．已知拋物线的准线方程为7x =-，则抛物线的标准方程为（ ）A ．228x y =-B ．228y x =C ．228y x =-D ．228x y = 6．已知二项式()*2nx n⎛∈ ⎝N 的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2:5，则3x 的系数为（ ）A ．14B ．10082017C ．240D ．240- 7．在棱长为1的正四面体ABCD 中，EF ，分别是棱BC AD ，的中点，则AE CF ⋅=（ ）A ．0B ．12C ．34-D ．12- 8．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，右焦点为F B ，为椭圆E 在第二象限上的点，直线BO 交椭圆E 于另一个点C （O 为坐标原点），若直线BF 平分线段AC ，则椭圆的离心率为（ ）A ．2BC ．12D ．13二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）9．若复数11mi z i+=+（i 是虚数单位）在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是______．10．若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为2y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则双曲线C 的方程为________．11．在边长为2的菱形ABCD 中，60BAD ︒∠=，将这个菱形沿对角线BD 折成60︒的二面角，这时线段AC的长度为_______．12．若直线3450x y -+=与圆222(0)x y r r +=>相交于A B ，两点，且120AOB ︒∠=（O 为坐标原点），则r =_________．13．用123,,组成四位数，其中恰有一个数字出现两次的四位数有_______个．14．如图，若正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为8，对角线1B C 的长为10，点D 为AC 的中点，则点1B 到平面1C BD 的距离为_____，直线1AB 与直线BD 所成角的余弦值为________．三、解答题（本大题共3小题，每题10分，共30分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）15．（本题满分10分）在平面直角坐标系中，已知定点(0,0)(1,1)(2,0)O A B 、、,OAB 的外接圆为圆M ，直线l 的方程为2y kx =-．（Ⅰ）求圆M 的方程；（Ⅱ）若直线l 与圆M 相切，求k 的值；（Ⅲ）若直线l 与圆M 相交于E F ，两点，||EF =k 的值． 16．（本题满分10分）如图，在四棱锥E ABCD -中，平面ADE ⊥平面ABCD O M ，，分别为线段AD DE ，的中点．四边形BCDO 是边长为1的正方形，,AE DE AE DE =⊥．（Ⅰ）求证：//CM 平面ABE ； （Ⅱ）求直线DE 与平面ABE 所成角的正弦值；（Ⅲ）点N 在直线AD 上，若平面BMN ⊥平面ABE ，求线段AN 的长．17.（本题满分10分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点(2,0)A （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线y kx =C 交于,M N 两点，若直线3x =上存在点P ，使得四边形PAMN 是平行四边形，求k 的值．Ⅱ卷（共7道题，满分50分）四、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）18．在7(2)x y +的展开式中，系数最大的项是（ ）A ．768yB ．34112x yC ．25672x yD ．251344x y 19．设F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于,P Q 两点，若||||PQ OF =，则C 的离心率为（ ）A B C ．2 D20．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，6AB =，点P 在平面11AB D 内，1A P =P 到1BC 距离的最小值为（ ）A ．B ．CD ．3五、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）21．已知直线1:43120l x y -+=和直线2:1l x =-，则抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 距离之和的最小值是________．22．已知集合(){}12345,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5iA x x x x x x i =∈-=∣，则集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为_________．23．已知椭圆222:1(06x y G b b +=<<的两个焦点分别为1F 和2F ，短轴的两个端点分别为1B 和2B ，点P 在椭圆G 上，且满足1212PB PB PF PF +=+．当b 变化时，给出下列三个命题：①点P 的轨迹关于y 轴对称；②存在b 使得椭圆G 上满足条件的点P 仅有两个；③||OP 的最小值为2，其中，所有正确命题的序号是___________．（此题错选得0分，少选得部分分，完全正确得满分）六、解答题（本大题共1小题，满分14分．解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）24．（本题满分14分） 已知椭圆22:14x y w m m+=的左顶点为(2,0)A -，动直线l 与椭圆w 交于不同的两点,P Q （不与点A 重合），点A 在以PQ 为直径的圆上，点P 关于原点O 的对称点为M ．（Ⅰ）求椭圆w 的方程及离心率；（Ⅱ）求证：直线PQ 过定点；（Ⅲ）（i ）求PQM 面积的最大值；（ii ）若MPQ 为直角三角形，求直线l 的方程．人大附中2020～2021学年度第一学期高二年级数学期末练习答案一、1D 2C 3A 4A 5B 6C 7D 8D二、9．11m -<< 10．22145x y -= 1112．2 13．36 14．（1（2三、15．（本题满分10分）解：（Ⅰ）法一：设圆的方程为()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->，1分 因为圆M 经过点(0,0)(1,1)(2,0)O A B 、、，所以110420F D E F D F =⎧⎪++++=⎨⎪++=⎩ 2分解得200D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，经检验符合题意所以圆M 的方程为2220x y x +-=． 3分法二：因为圆M 经过点(0,0)(1,1)(2,0)O A B 、、，所以||||OA AB OA AB ⊥=， 1分所以圆心为(1,0)M ，半径为1r = 2分所以圆M 的方程为22(1)1x y -+=． 3分（Ⅱ）因为直线l 与圆M 相切，所以圆心(1,0)M 到直线:2l y kx =-的距离为1． 4分1=，5分 解得34k =． 6分（Ⅲ）设圆心(1,0)M 到直线l 的距离为d ，因为直线l 与圆M 相交于E F ，两点，||EF =， 所以222||2EF d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 7分所以2212d ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭所以2d = 8分2=解得1k =或7k =． 10分16．（本题满分10分）解：（Ⅰ）取AE 中点F ，连接MF BF ，，因为M 为线段DE 的中点， 1分 所以1//2MF AD MF AD =，，因为四边形BCDO 是正方形，O 为线段AD 的中点，所以1//2BC AD BC AD =，，所以//BC MF BC MF =，所以四边形BCMF 为平行四边形．所以//MC BF ， 2分因为MC ⊂/平面ABE ，BF ⊂平面ABE ，所以//CM 平面ABE ． 3分（Ⅱ）因为AE DE O =，为线段AD 的中点，所以EO AD ⊥因为平面ADE ⊥平面ABCD因为平面ADE ⋂平面ABCD AD =EO ⊂平面ADE所以EO ⊥平面ABCD因为OB ⊂平面ABCD所以EO OB ⊥又因为OB OD ⊥所以OE OB OD ，，三线两两垂直． 4分以O 为原点，以OB 为x 轴，以OD 为y 轴，以OE 为z 轴建立直角坐标系，如图． 则(0,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(0,1,0)A B E D - 5分设平面ABE 的一个法向量为(,,)m x y z =因为(1,1,0),(0,1,1)AB AE ==因为00AB m AE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以00x y y z +=⎧⎨+=⎩令1z =得11y x =-=，所以(1,1,1)m =- 6分因为(0,1,1)DE =-设DE 与平面ABE 所成角为θ所以sin |cos ,|3m DE θ=〈〉==所以直线DE 与平面ABE7分（Ⅲ）设(0,,0)N t 因为11110,,,1,,,(1,,0)2222M MB BN t ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设平面BMN 的一个法向量为(,,)n x y z =因为00MB n BN n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以110220x y z x ty ⎧--=⎪⎨⎪-+=⎩令1y =得21x t z t ==-，所以(,1,2t 1)n t =- 8分因为平面BMN ⊥平面ABE ，所以0m n ⋅= 9分所以1210t t -+-= 所以23t = 线段25133AN =+=． 10分17．解：（Ⅰ）由题意得2,2c a e a ===，所以c = 1，因为222a b c =+，所以1b =， 2，所以椭圆C 的方程为2214x y +=． 3，（Ⅱ）因为四边形PAMN 是平行四边形， 则//PA MN ，且||||PA MN =．所以直线PA 的方程为(2)y k x =-，所以(3,),||P k PA = 4， 设()()1122,,,M x y N x y ．由2244,y kx x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得()224180k x +++=， 5，由0>，得212k >．且12122841x x x x k +==+． 6，所以||MN =．=7，因为||||PA MN ==整理得421656330kk -+=， 解得2k =±，或2k =±． 9，经检验均符合0>，但2k =-时直线MN 过点A，不满足四边形 PAMN 是平行四边形，舍去．所以k =2k =± 10，四、18．C 19．A 20．B 五、21．165 22．130 23．①③（此题错选得0分，少选得部分分，完全正确得满分）六、24．解答：（Ⅰ）因为椭圆22:14x y w m m +=的左顶点为20A （-,），所以44m =，所以1m =， 1， 所以椭圆w 的方程为2214x y +=， 2，因为21a b ==，，所以c =所以椭圆w 的离心率为2． 3，（Ⅱ）设()()1122,,P x y Q x y ，， 当PQ x ⊥轴时，()11,Q x y -因为点A 在以PQ 为直径的圆上，所以PA QA ⊥，所以0PA QA ⋅=所以()221120x y ---= 因为221114x y +=所以211516120x x ++= 解方程得165x =-或12x =-因为l 不过(2,0)A -，所以12x =-舍去， 所以165x =-，所以直线 PQ 的方程为65x =-． 4，当PQ 与x 轴不垂直时，设PQ 的方程为(0)y kx n k =+≠，由2244y kx n x y =+⎧⎨+=⎩得()222418440k x knx n +++-= 所以122212208414441knx x k n x x k ⎧⎪>⎪⎪+=-⎨+⎪⎪-=⎪+⎩ 5，因为0PA QA ⋅=所以()()1212220x x y y +++=所以()()2212121(2)40k x x kn x x n ++++++=所以()222224481(2)404141n knk kn n k k --+++++=++ 6，所以22121650k kn n -+=所以(65)(2)0k n k n --=所以2n k =或5n k =当2n k =时直线l 的方程为(2)y k x =+过(2,0)A -，不合题意，舍去． 当65n k =时，直线l 的方程为65y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭综上，直线PQ 过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭． 7，（Ⅲ）（i ）连接QO ，因为O 为PM 中点， 所以121216622255PQM POQ S S y y y y ==⨯⨯-=-当PQ x ⊥轴时，由（Ⅱ）知6464,,5555P Q ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以644825525PQM S ==⨯⨯=． 8，当PQ 与x 轴不垂直时，1212121666222555PQM POQ S S y y kx kx k x x ==⨯⨯-=-=-‖66|||55k k === 9，令2411(0)t k k =+>≠所以PQM S ===因为101t <<所以025PQM S << 10， 综上，当直线6:5l x =-时，PQM 的面积最大，最大值为4825． （Ⅲ）（ii ）因为MPQ 为直角三角形，设6,05T ⎛⎫- ⎪⎝⎭下面分三种情况讨论：①当90QPM ︒∠=时，则0TP OP ⋅= 因为()11116,,5TP x y OP x y ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 所以2211161054x x x ++-=，所以2111524200,0x x ++=<，所以无解．所以QPM ∠不可能为直角． 11， ②当90PQM ︒∠=时，当PQ x ⊥轴时，由椭圆的对称性知90PQM ︒∠= 此时l 的方程为65x =- 12，当PQ 与x 轴不垂直时，1PQ QM k k ⋅=- 又2221212122212121114PQ QM y y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅==-≠--+-所以，此时90PQM ︒∠≠． 13， ③当90QMP ︒∠=时因为PQ 的方程为65y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 因为14PQ QM k k ⋅=-，所以14QM k k =-又因为1MP QM k k ⋅=-，所以4MP k k = 所以直线PM 的方程为4y kx = 由465ykxy k x =⎧⎪⎨⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎩得28,55k P ⎛⎫⎪⎝⎭ 因28,55k P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆上，所以2464442525k +⨯=解得4k =±，所以直线l的方程为645y x ⎫=±+⎪⎝⎭综上，直线l的方程为y x y =+=或65x =- 14。
2021北京人大附中高二(上)期中数学(教师版)
2021北京人大附中高二（上）期中数 学一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置） 1．（4分）复数113i-的虚部是( ) A ．310-B ．110-C ．110D ．3102．（4分）过点(0,1)且与直线210x y -+=垂直的直线方程是( ) A ．210x y +-=B ．210x y ++=C ．220x y -+=D ．210x y --=3．（4分）在空间直角坐标系中，已知点(1A ，0，1)，(3B ，2，2)，点D 满足2AD AB =，则点D 的坐标是( ) A ．(5，4，3)B ．(3，4，3)C ．(4，3，2)D ．(1，2，3)4．（4分）设直线m 的方向向量为(1，1，1)-，(1A ，0，0)，(0B ，1，0)，(1C ，1，1)为平面α的三点，则直线m 与平面α的位置关系是( ) A ．//m αB ．//m α或m α⊂C ．m α⊥D ．//m α5．（4分）若直线(1)210a x ay -+-=与直线2(1)60x a y ---=垂直，则a 的值为( ) A ．1-B ．12C ．1D ．1或1-6．（4分）设a R ∈，则“1a =”是“直线1:210l ax y +-=与直线2:(1)40l x a y +++=平行”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．（4分）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为AC 与BD 的交点，若11A B a =，11A D b =，1A A c =．则下列向量中与1B M 相等的向量是( )A ．1122a b c -++B ．1122a b c ++C ．1122a b c -+D ．1122a b c --+8．（4分）正方体1111ABCD A B C D -，E 、F 分别是正方形1111A B C D 和11ADD A 的中心，则EF 和CD 所成的角是( ）A ．60︒B ．45︒C ．30︒D ．90︒9．（4分）在平面直角坐标系xOy 中，O 是坐标原点，设函数()(2)3f x k x =-+的图象为直线l ，且l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，给出下列四个命题：①存在正实数m ，使AOB ∆的面积为m 的直线l 仅有一条； ②存在正实数m ，使AOB ∆的面积为m 的直线l 仅有两条； ③存在正实数m ，使AOB ∆的面积为m 的直线l 仅有三条； ④存在正实数m ，使AOB ∆的面积为m 的直线l 仅有四条． 其中所有真命题的序号是( ) A ．①②③B ．③④C ．②④D ．②③④10．（4分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G ，H ，M 分别是棱AD ，1DD ，11D A ，1A A ，AB 的中点，点N 在四边形EFGH 的四边及其内部运动，下列命题中，错误的是( )A ．点N 在线段EG 上时，就有11MN AC ⊥B ．点N 在线段EH 上时，就有//MN 平面11B D CC ．三棱锥111N BD C -的体积有最大值 D ．直线MN 与平面ABCD 所成的角为4π 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把结果填在答题纸上的相应位置.） 11．（5分）已知复数z 满足(1)17(i z i i +=-是虚数单位），则z = ．12．（5分）若四点(0A ，2，0)，(1B ，1-，0)，(1C ，2，3)，(3D ，2m ，)m 共面，则实数m 的值为 ．13．（5分）直线:310l x y +-=的倾斜角为 ，经过点且与直线l 平行的直线方程为 ． 14．（5分）如图，平面α⊥平面β，A α∈，B β∈，AB 与两平面α、β所成的角分别为4π和6π．过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为A '、B '，则:AB A B ''= ．15．（5分）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点O 为底面ABCD 的中心，点P 在侧面11BB C C 的边界及其内部运动．若1D O OP ⊥，则△11D C P 面积的最大值为 ．三、解答题（本大题共3小题，每题10分共25分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置.16．（7分）已知m R ∈，复数2(2)(23)1m m z m m i m +=++--，当m 为何值时，（1）z 为实数？ （2）z 为虚数？ （3）z 为纯虚数？17．（8分）正方形中心为(1,0)G -，一边所在直线的斜率为3，且此正方形的面积为14.4，求此正方形各边所在的直线方程．18．（10分）如图，ABCD 是正方形，DE ⊥平面ABCD ，//AF DE ，3DE DA AF ==． （Ⅰ）求证：AC BE ⊥；（Ⅰ）求二面角F BE D --的余弦值；（Ⅰ）设点M 是线段BD 上一个动点，试确定点M 的位置，使得//AM 平面BEF ，证明你的结论．四、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置）.19．（6分）直线22(1)10ax a y -++=的倾斜角的取值范围是( ) A ．[,]44ππ-B ．5[,]66ππC ．3[0,][,)44πππD ．5[0,][,)66πππ20．（6分）二面角l αβ--为60︒，异面直线a ，b 分别垂直α，β，则a 与b 的夹角为( ) A ．30︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒21．（6分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是棱AB ，1BB 的中点，点P 在对角线1CA 上运动．当PMN ∆的面积取得最小值时，点P 的位置是( )A ．线段1CA 的三等分点，且靠近点1AB ．线段1CA 的中点C ．线段1CA 的三等分点，且靠近点CD ．线段1CA 的四等分点，且靠近点C五、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.请把结果填在答题纸上的相应位置.） 22．（6分）已知复数z 满足|(1)|1(z i i --=为虚数单位），则||z 的最大值为 ．23．（6分）如图所示，直线PA 垂直于圆O 所在的平面，ABC ∆内接于圆O ，且AB 为圆O 的直径，点M 为线段PB 的中点，现有以下命题：①BC PC ⊥； ②//OM 平面APC ；③点B 到平面PAC 的距离等于线段BC 的长． 其中真命题的个数为 ．24．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点．定义1(P x ，1)y 、2(Q x ，2)y 两点之间的“直角距离”为1212(,)||||d P Q x x y y =-+-．若点(1,3)A -，则(,)d A O = ；已知点(1,0)B ，点M 是直线30(0)kx y k k -++=>上的动点，(,)d B M 的最小值为 ．六、解答题（本大题共1小题，满分14分.解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答写在答题纸上的相应位置.）25．（14分）如表，将数字1，2，3，⋯，2(3)n n 全部填入一个2行n 列的表格中，每格填一个数字．第一行填入的数字依次为1a ，2a ，⋯，n a ，第二行填入的数字依次为1b ，2b ，⋯，n b ． 记11221||||||||nn i i n n i S a b a b a b a b ==-=-+-+⋯+-∑．（Ⅰ）当3n =时，若11a =，23a =，35a =，写出3S 的所有可能的取值；（Ⅰ）给定正整数n ．试给出1a ，2a ，⋯，n a 的一组取值，使得无论1b ，2b ，⋯，n b 填写的顺序如何，n S 都只有一个取值，并求出此时n S 的值；（Ⅰ）求证：对于给定的n 以及满足条件的所有填法，n S 的所有取值的奇偶性相同．2021北京人大附中高二（上）期中数学参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置） 1．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：1131313(13)(13)1010i i i i i +==+--+， ∴复数113i -的虚部是310． 故选：D ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2．【分析】可设与直线210x y -+=垂直的直线方程为20x y m ++=，代入点(0,1)的坐标求出m 的值． 【解答】解：设与直线210x y -+=垂直的直线方程为20x y m ++=， 代入点(0,1)的坐标，得010m ++=，解得1m =-；∴所求的直线方程为210x y +-=．故选：A ．【点评】本题考查了根据垂直关系求直线方程的应用问题，是基础题．3．【分析】设点D 的坐标为(x ，y ，)z ，利用向量相等的坐标表示，列式求解即可． 【解答】解：设点D 的坐标为(x ，y ，)z ， 则(1,,1)AD x y z =--，(2,2,1)AB =，因为2AD AB =，则14412x y z -=⎧⎪=⎨⎪-=⎩，解得5x =，4y =，3z =， 所以(5D ，4，3)． 故选：A ．【点评】本题考查了空间向量的坐标运算，空间向量相等的坐标表示，考查了运算能力，属于基础题．4．【分析】由已知求得,AB AC 的坐标，再由向量数量积为0证明直线m 的方向向量与平面α垂直，则答案可求． 【解答】解：(1A ，0，0)，(0B ，1，0)，(1C ，1，1)，∴(1,1,0)AB =-，(0,1,1)AC =，而直线m 的方向向量为(1m =，1，1)-， 110m AB ⋅=-+=，110m AC ⋅=-=，∴直线m 的方向向量与平面α垂直，可得m α⊥．故选：C ．【点评】本题考查空间中直线与平面位置关系的判定，考查空间向量的应用，是基础题． 5．【分析】利用直线与直线垂直的性质直接求解．【解答】解：直线(1)210a x ay -+-=与直线2(1)60x a y ---=垂直， 2(1)[(1)]20a a a ∴-+--⋅=，解得1a =． 故选：C ．【点评】本题考查实数值的求法，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 6．【分析】根据直线平行的等价条件结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若1a =，则两条直线方程为210x y +-=与直线240x y ++=，则两直线平行，即充分性成立， 当0a =时，两条直线方程为210y -=与直线40x y ++=，则两直线不平行， 当0a ≠时，若两直线平行，则满足11421a a +=≠-， 由112a a +=得(1)2a a +=，即220a a +-=，得1a =或2a =-，则必要性不成立， 即“1a =”是“直线1:210l ax y +-=与直线2:(1)40l x a y +++=平行”的充分不必要条件， 故选：A ．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合直线平行的等价条件是解决本题的关键．7．【分析】由题意可得1111111[]22B M B B BM A A B D c b a =+=+=+-，化简得到结果．【解答】解：由题意可得1111111111111()222B M B B BM A A BD A A B D c A D A B =+=+=+=+-111()222c b a a b c =+-=-++，故选：A ．【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于基础题． 8．【分析】要求线线角，关键是作出线线角，利用平行关系可得线线角．故可求． 【解答】解：连接1ABE 、F 分别是正方形1111A B C D 和11ADD A 的中心，1//EF AB ∴//AB CD1B AB ∴∠为EF 和CD 所成的角，为45︒故选：B ．【点评】本题的考点是异面直线及其所成的角，主要考查线线角，关键是作出线线角，从而得解．9．【分析】根据直线方程求出直线在两坐标轴上的截距，再构造以斜率k 为自变量，S 是变量k 的函数，利用均值不等式求函数最小值方法，分0k >和0k <两种情况讨论存在直线的条件，再分析求解． 【解答】解：直线(2)3y k x =-+与x 轴，y 轴交点的坐标分别是，3(2A k-，0)，(0,32)B k -． 2131(23)|2||32|22||k S k k k -=⨯-⨯-=⨯． 当0k >时，21412919(412)22k k S k k k -+=⨯=⨯+-，9424912k k+⨯=，当且仅当32k =时取等号．∴当0S m =>时，在0k >时，k 有两值；当0k <时，221(23)1412919[(4)12]2||22k k k S k k k k--+=⨯=⨯=⨯-++--，9424912k k -+⨯=-．当且仅当32k =-时取等号． 当12m >时，在0k <时，k 有两值．；∴当0m =时，仅有一条直线使AOB ∆的面积为m ，∴①不正确；当012m <<时，仅有两条直线使AOB ∆的面积为m ，∴②正确；当12m =时，仅有三条直线使AOB ∆的面积为m ，∴③正确； 当12m >时，仅有四条直线使AOB ∆的面积为m ，∴④正确． 故选：D ．【点评】本题借助考查命题的真假判定，考查直线与坐标轴围成的△的面积问题．S 的面积可根据直线在坐标轴上的截距求得．在本题中根据斜率k 取值的个数来确定直线存在的条数，这是解决此类题的常用方法． 10．【分析】A 由直线垂直平面判断；B 由平面与平面平行判断；C 由三棱锥体积公式判断；D 用极限思想判断．【解答】解：对于A ，连接ME ，由题意得1//EG A A ，11////ME BD B D ，所以11EG AC ⊥，11ME AC ⊥， 因为EGM E E =，所以11AC ⊥平面MEG ，因为MN ⊂平面MEG ，所以11AC MN ⊥，所以A 对； 对于B ，因为平面//MEH 平面11BD C ，当N 在EH 上时，MN ⊂平面MEH ，所以//MN 平面11B D C ，所以B 对；对于C ，因为三棱锥111N B D C -的底面固定不变，高度是点N 到11A D 的距离，不N 在点E 时高最大， 所以三棱锥111N B D C -的体积有最大值，所以C 对；对于D ，因为当N 充分靠近点E 时，MN 与平面ABCD 成角接近零，未必是45︒，所以D 错． 故选：D ．【点评】本题以命题真假判断为载体，考查了正方体结构特性质，考查了直线与平面成角问题，属于中档题． 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把结果填在答题纸上的相应位置.） 11．【分析】利用复数运算法则直接求解．【解答】解：复数z 满足(1)17(i z i i +=-是虚数单位），17(17)(1)1(1)(1)i i i z i i i ---∴==++- 221771i i i i --+=- 682i--= 34i =--．故答案为：34i --．【点评】本题考查复数的运算，考查复数运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12．【分析】由点的坐标，先求出,,AB AC AD 的坐标，利用空间向量共面定理，可得AD xAB y AC =+，由向量相等的坐标表示，列式求解即可．【解答】解：点(0A ，2，0)，(1B ，1-，0)，(1C ，2，3)，(3D ，2m ，)m ， 则(1,3,0),(1,0,3)AB AC =-=，(3,22,)AD m m =-， 因为四点共面， 所以AD xAB y AC =+，则(3，22m -，)(1m x =，3-，0)(1y +，0，3)， 故32233x ym x m y =+⎧⎪-=-⎨⎪=⎩，解得7m =-． 故答案为：7-．【点评】本题考查了空间中点的坐标的应用，空间向量共面定理的应用以及空间向量相等的充要条件的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．13．【分析】利用斜率与倾斜角的关系求出直线的倾斜角，利用两条直线平行的充要条件，结合直线的点斜式方程求解即可．【解答】解：直线:310l x y +-=的斜率为13k =-，所以直线l 的倾斜角为1arctan 3π-；由题意可知，所求直线的斜率为13-，又经过点，所以所求直线的方程为1(1)3y x =--，即310x y +-=．故答案为：1arctan 3π-；310x y +-=．【点评】本题考查了直线方程的求解与应用，直线的斜率与倾斜角关系的应用，两条直线平行的充要条件的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．14．【分析】如图，连接AB '和A B '，设AB a =，作出两个线面角，在直角三角形中用a 表示出线段A B ''的长度，即可得出所求的比值．【解答】β解：如图，连接AB '和A B '，设AB a =，可得AB 与平面α所成的角为4BAB π'∠=，在Rt BAB AB ∆''中有，同理可得AB 与平面β所成的角为6ABA π'∠=，所以12A A a '=，因此在12Rt AA B A B a ''''==中， 所以1::2:12AB A B a a ''==．【点评】本题考查线面角及其相关几何运算，考查了在二面角与线面角背景下求线段长度的能力，属于立体几何知识的综合运用题，对空间想象能力要求较高．15．【分析】由题意作出图形，由直线与平面垂直的判定定理求出点P 的轨迹，求出点P 到棱11C D 的最大值，代入三角形的面积公式求解即可．【解答】解：由正方体的性质可知，当P 位于点C 时，1D O OC ⊥，当点P 位于1BB 的中点1P 时，12DD =，DO BO ==1111BP B P ==，11B D =求得1OD =1113OP P ====， 所以2221111OD OP D P +=，故11OD OP ⊥，又1OP OC O =，所以1D O ⊥平面1OPC ，故点P 的轨迹在线段1PC 上，由111C P CP =11C CP ∠为锐角，而12CC =<故点P 到棱11C D ，所以△11D C P 面积的最大值为122⨯．【点评】本题考查了正方体结构特征的理解和应用，考查了动点轨迹的求解，解题的关键是求出点P 的轨迹，考查了空间想象能力与转化化归能力，属于中档题．三、解答题（本大题共3小题，每题10分共25分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置.16．【分析】（1）利用“z 为实数等价于z 的虚部为0”计算即得结论； （2）利用“z 为虚数等价于z 的实部为0”计算即得结论；（3）利用“z 为纯虚数等价于z 的实部为0且虚部不为0”计算即得结论． 【解答】解：（1）z 为实数2230m m ⇔+-=且10m -≠， 解得：3m =-；（2）z 为虚数(2)0m m ⇔+=且10m -≠， 解得：0m =或2m =-；（3）z 为纯虚数(2)0m m ⇔+=、10m -≠且2230m m +-≠，解得：0m =或2m =-．【点评】本题考查复数的基本概念，注意解题方法的积累，属于基础题．17．【分析】利用点到直线的距离公式、正方形的面积计算公式、互相垂直的直线斜率之间的关系即可得出． 【解答】解：设直线的斜率为3的边所在直线方程为3y x b =+， 则中心(1,0)G -到此边的距离d =，此正方形的面积为14.4， 22(2)14.4d ∴==，解得9b =或3-．可得边所在直线的斜率为3的直线方程为39y x =+和33y x =-．与上述两边垂直的边所在直线的斜率为13-，可设方程为13y x c =-+．同理可得53c =，或73-． ∴此两条直线的方程为1533y x =-+或1733y x =--． 综上可得：四条边所在直线的方程分别为：39y x =+，33y x =-，1533y x =-+，1733y x =--．【点评】本题考查了正方形的性质、点到直线的距离公式、正方形的面积计算公式、互相垂直的直线斜率之间的关系，考查了计算能力，属于基础题．18．【分析】()I 在正方形ABCD 中，可得AC BD ⊥．根据DE ⊥平面ABCD ，得DE AC ⊥，由线面垂直的判定定理可得AC ⊥平面BDE ，从而可得AC BE ⊥；()II 分别以DADCDE 为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所求空间直角坐标系．设3AD =，则可得3DE =，1AF =，可得D 、A 、B 、C 、E 和F 各点的坐标，进而得到向量AF 、EF 的坐标，再利用垂直向量数量积为零建立方程组，解出平面BEF 的一个法向量为(2n =，1，3)，而(3AC =-，3，0)是平面BDE 的一个法向量，根据空间向量的夹角公式算出n 、AC 所成的角余弦值，即可得到二面角F BE D --的余弦值； ()III 设(M t ，t ，0)(032)t ．可得AM 关于t 的坐标形式，根据//AM 平面BEF ，得0AM n ⊥=，由数量积为零建立关于t 的方程，解之得1t =，从而得到当13BM BD =时，//AM 平面BEF ．【解答】解：（Ⅰ）DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，DE AC ∴⊥．四边形ABCD 是正方形，AC BD ∴⊥， 又BD 、DE 是平面BDE 内的相交直线，AC ∴⊥平面BDE ，结合BE ⊂平面BDE ，得AC BE ⊥；⋯（4分）()II 因为直线BD 、BC 、BE 两两垂直，所以分别以DADCDE 为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所求空间直角坐标系设3AD =，则可得3DE =，1AF =因此，(0D ，0，0)，(3A ，0，0)，(3B ，3，0)，(0C ，3，0)，(0E ，0，3)，(3F ，0，1)∴(0AF =，3-，1)，(3EF =，0，2)-⋯（5分）设平面BEF 的法向量为(n x =，y ，)z ，得30320n BF y z n EF x z ⎧=-+=⎪⎨=-=⎪⎩，令3z =，得2x =且1y =，可得(2n =，1，3)，⋯（7分）AC ⊥平面BDE ，得(3AC =-，3，0)是平面BDE 的一个法向量∴二面角F BE D --的大小即为向量n 、AC 所成角的大小（或其补角）21330cos ,||||1432n AC n AC n AC ⨯+⨯+⨯<>===∴结合图形加以观察，可得二面角F BE D --的余弦值为7|cos ,|14n AC <>=；⋯（10分） （Ⅰ）点M 是线段BD 上一个动点，根据()II 的结论，设(M t ，t ，0)(032)t ． 则(3AM t =-，t ，0)．//AM 平面BEF ，∴0AM n =，即2(3)0t t -+=，解之得2t =．⋯（12分）此时，点M 坐标为(2，2，0)，即当13BM BD =时，//AM 平面BEF ．⋯（14分）【点评】本题给出四棱锥的一条侧棱与底面垂直且底面是正方形，求证线面垂直并求二面角的余弦值大小，着重考查了线面垂直、平行的判定与性质和利用空间向量研究平面与平面所成角的求法等知识，属于中档题． 四、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置）.19．【分析】直接利用直线的斜率和倾斜角的关系，基本不等式的应用求出θ的取值范围． 【解答】解：直线22(1)10ax a y -++=， 所以直线的斜率22tan 1ak a θ==+， 整理得1tan 1θ-，根据正切函数的性质和直线的倾斜角范围[0，)π，所以3[0,][,)44ππθπ∈．故选：C ．【点评】本题考查的知识要点：直线的斜率和倾斜角的关系，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．20．【分析】在空间取一点A ，作A 作//BA a ，//AC b ，过B 作BO l ⊥，交l 于O ，连结OC ，则OC l ⊥，从而直线AB 与直线AC 的夹角为60︒，由此能求出a 与b 的夹角．【解答】解：如图，二面角l αβ--为60︒，异面直线a ，b 分别垂直α，β， 在空间取一点A ，作A 作//BA a ，//AC b ， 则AB α⊥，B 是垂足，AC β⊥，C 是垂足， 过B 作BO l ⊥，交l 于O ，连结OC ，则OC l ⊥，由题意ABOC 是平面图形，BOC ∠是二面角l αβ--的平面角，60BOC ∴∠=︒， 120BAC ∴∠=︒，∴直线AB 与直线AC 的夹角为60︒，a ∴与b 的夹角为60︒．故选：B ．【点评】本题考查异面地直线的夹角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． 21．【分析】以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PMN ∆的面积取得最小值时，P 为1CA 的中点．【解答】解：以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体1111ABCD A B C D -中棱长为1，P 为1A C 上的动点，设(P λ，λ，1)λ-，其中01λ，1(,0,0)2M ，(1N ，0，1)2，||PM =||PN =||||PM PN ∴=，PMN ∆为等腰三角形，底边||MN =设底边MN 上的高为h ，则有h 22511333()422λλλ-+=-+，∴12λ=时PMN ∆的面积取得最小值，此时P 为1CA 的中点．故选：B．【点评】本题考查点的位置瓣判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．五、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.请把结果填在答题纸上的相应位置.）22．【分析】根据题意可得在复平面内复数z对应的点到点(1,1)-为-之间的距离为1，则复数z表示的点在以(1,1)圆心1为半径的圆周上，进而可得答案．【解答】解：因为复数z满足|(1)|1(--=为虚数单位），z i i所以在复平面内复数z对应的点到点(1,1)-之间的距离为1，所以复数z表示的点在以(1,1)-为圆心1为半径的圆周上，所以||z11，1．【点评】本题考查复数的几何意义，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．23．【分析】由题意结合几何体的结构特征考查所给的命题是否正确即可．【解答】解：PA⊥面ABC，BC⊂平面ABC，∴⊥，PA BC又BC AC⊥，PA AC A=，∴⊥平面PAC，而PC⊂平面PAC，BC∴⊥，故①正确．BC PC点M为线段PB的中点，点O为AB的中点，∴，又OM⊂/平面PAC，//OM PAPA⊂平面PAC，//OM∴平面APC，故②正确．BC⊥平面PAC，∴点B到面PAC的距离等于线段BC的长，故③正确．故答案为：3．【点评】本题主要考查空间中的垂直关系，线面平行的判定，点面距离的求解等知识，属于中等题．24．【分析】直接利用新定义求出(,)d A O的值；设出M的坐标，利用新定义表示(,)d B M，然后讨论它的最小值即可．【解答】解：由题意可知：(,)|10||30|4d A O=--+-=；设直线30(0)kx y k k-++=>上的任意一点坐标(,)x y，则直角距离|1|||x y=-+，要求它的最小值就是()|1||3|f x x kx k=-+++的最小值，也就是3 ()|1||1| f x x k xk =-+++画出此函数的图象，由图分析得：当1k时，最小值为：32k +；当1k<时，最小值为：23k +．所以最小值是：32(1)23(01)k kk k ⎧+⎪⎨⎪+<<⎩； 故答案为：4；32(1)23(01)k kk k ⎧+⎪⎨⎪+<<⎩． 【点评】本题是中档题，考查新定义，利用新定义求出函数的最小值问题，考查计算能力，对新定义的理解和灵活运应是解好本题的关键．六、解答题（本大题共1小题，满分14分.解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答写在答题纸上的相应位置.）25．【分析】（Ⅰ）根据新定义计算即可，（Ⅰ）(1i a i i ==，2，⋯，)n ，则无论1b ，2b ，⋯，n b 填写的顺序如何，都有2n S n =，根据新定义求出即可，（Ⅰ）方法一：交换每一列中两个数的位置，所得的n S 的值不变，不妨设i i a b >，记1ni i A a ==∑，1ni i B b ==∑，求出n S A B =-，即可证明，方法二：考虑如下表所示的任意两种不同的填法，①若在两种填法中k 都位于同一行，②若在两种填法中k 位于不同行，即可证明【解答】解：（Ⅰ）11a =，23a =，35a =， 1b ∴，2b ，3b 值为2，4，63112233123|||||||1||3||5|S a b a b a b b b b ∴=-+-+-=-+-+-，3S ∴的所有可能的取值为3，5，7，9．（Ⅰ）令(1i a i i ==，2，⋯，)n ，则无论1b ，2b ，⋯，n b 填写的顺序如何，都有2n S n =． 因为i a i =，所以{1i b n ∈+，2n +，⋯，2}n ，(1i =，2，⋯，)n ． 因为(1i i a b i <=，2，⋯，)n ，所以22111111||()nnnnn nn i i i i i i i i i i i n i S a b b a b a i i n=====+==-=-=-=-=∑∑∑∑∑∑．注：1{a ，2a ，⋯，}{1n a =，2，⋯，}n ，或1{a ，2a ，⋯，}{1n a n =+，2n +，⋯，2}n 均满足条件． （Ⅰ）解法一：显然，交换每一列中两个数的位置，所得的n S 的值不变． 不妨设i i a b >，记1ni i A a ==∑，1ni i B b ==∑，其中1i =，2，⋯，n ．则1111||()n n n nn i i i i i i i i i i S a b a b a b A B =====-=-=-=-∑∑∑∑．因为212(21)(21)2ni n n A B i n n =++===+∑， 所以A B +与n 具有相同的奇偶性． 又因为A B +与A B -具有相同的奇偶性， 所以n S A B =-与n 的奇偶性相同， 所以n S 的所有可能取值的奇偶性相同．解法二：显然，交换每一列中两个数的位置，所得的n S 的值不变．考虑如下表所示的任意两种不同的填法，1||nn i i i S a b ==-∑，1||nni i i S a b ='''=-∑，不妨设i i a b <，i i a b ''<，其中1i =，2，⋯，n ．111111()()()()n n n n n nn ni i i i i i i i i i i i i i S S b a b a b b a a ======'''''+=-+-=+-+∑∑∑∑∑∑． 对于任意{1k ∈，2，⋯，2}n ， ①若在两种填法中k 都位于同一行，则k 在n nS S '+的表达式中或者只出现在11nni i i i b b =='+∑∑中，或只出现在11nni i i i a a =='+∑∑中，且出现两次， 则对k 而言，在n nS S '+的结果中得到2k ±． ②若在两种填法中k 位于不同行，则k 在n nS S '+的表达式中在11nni i i i b b =='+∑∑与11nni i i i a a =='+∑∑中各出现一次， 则对k 而言，在n nS S '+的结果中得到0． 由 ①②得，对于任意{1k ∈，2，⋯，2}n ，n nS S '+必为偶数． 所以，对于表格的所有不同的填法，n S 所有可能取值的奇偶性相同．【点评】本题考查了新定义的应用，以及数列求和问题，考查了学生的分析问题和解决问题的能力，属于难题．。
精品解析：北京市中国人民大学附属中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题(解析版)
1
k 1 k2 1
1
k
12
k
1
2k
1
2
1
1
k 1
2
2
k
k 1
令 t k 1,t , 1
3 1,
，则
ab r 2 a2 b2
1 t
1 22
t
令 m t 2 ，则由双勾函数可知 m t
6.已知 RtABC 的斜边长为 2.则下列关于 ABC 的说法中，正确的是( )
A. 周长的最大值为 2 2 2
B. 周长的最小值为 2 2 2
C. 面积的最大值为 2
D. 面积的最小值为 1
【答案】B 【解析】 【分析】
因为 RtABC ，由勾股定理可构建关系式，由基本不等式得到两直角边乘积的最大值，和周长的最小值，
a3 a5
a1q 2 a1q 4
9 1
，得
q2
1 9
,q
1 3
，所以
a6
a5q
1 3
.
故选：C
【点睛】本题考查等比数列求项，涉及等比数列通项公式和性质的应用，属于简单题.
5.若双曲线 x2 y2 1(a 0) 的实轴长为 2，则其渐近线方程为( ) a
A. y 2x
人大附中 2019-2020 学年度第一学期中高二年级数学练习
&必修 5 模块考核试卷
Ⅰ卷（共 17 题，满分 100 分） 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置.）
北京市清华大学附属中学2020_2021学年高二数学上学期期中试题含解析
所以 ，此时 ，
又 ，此时 ，
综上可知： .
【点睛】思路点睛：求解形如 在指定区间上的值域或最值的一般步骤如下：
（1）先确定 这个整体的范围；
（2）分析 在（1）中范围下的取值情况；
（3）根据取值情况确定出值域或最值，并分析对应的 的取值.
18. 如图，在四棱锥 中，底面 是直角梯形， ， ， ， ， 平面 ， .
理由如下供参考：过 作 交 于 点，过点 作 交 于 点，连接 ，
因为 ， ，所以 ，因为 平面 ，所以 平面 ，所以 ，
又因为 ，且 ，所以 平面 ，所以 ，
所以 即为点 到直线 距离，
因为 ，所以 有最大值时 有最大值，
显然 有最大值时 与 点重合，此时 与 重合，则 ，
所以点 到直线 距离的最大值为 ，此时 与 重合.
【答案】
【解析】
由三角形的面积公式知， ,解得 ，再有余弦定理得 ，故 .
14.若椭圆 的离心率是 ，则 的值为_________.
【答案】 或
【解析】
【分析】
分焦点在 轴和 轴分类讨论，结合离心率得表达式即可求解
【详解】①当椭圆的焦点在x轴上时，由题意得 ，解得 ；
②当椭圆的焦点在y轴上时，由题意得 ，解得 .
即“ ”是“直线 的倾斜角大于 ”的充分而不必要条件，
故选A.
【点睛】本题考查了直线的斜率与倾斜角、充分必要条件，重点考查了逻辑推理能力，属基础题.
4.某校为了对初三学生的体重进行摸底调查，随机抽取了50名学生称其体重（单位：kg），将所得数据整理后画出了频率分布直方图如图所示，体重在 内适合跑步训练，体重在 内适合跳远训练，体重在 内适合投掷训练，估计该校初三学生适合参加跑步、跳远、投掷三项训练的人数之比为（）
北京市人民大学附属中学2020_2021学年高二数学上学期阶段检测卷含解析
北京市人民大学附属中学2020-2021学年高二数学上学期阶段检测卷（含解析）一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置）1. 已知i 是虚数单位，复数()z i a i =+，且z z =，那么实数a 的值为（ ） A. -1 B. 0C. 1D. 2【答案】B 【解析】 【分析】化简可得z 及z ，根据题意，列出等式，即可得答案. 【详解】因为()1z i a i ai =+=-+， 所以1z ai =--，由题意得z z =， 所以11ai ai --=-+，解得0a =， 故选：B【点睛】本题考查复数的简单运算，共轭复数的概念，考查学生对基础知识的掌握程度，属基础题.2. 已知i 是虚数单位，复数121ii--的虚部为（ ） A. 12-B. 32 C. 12i -D. 32i【答案】A 【解析】 【分析】 先化简复数121ii--，然后由虚部定义可求． 【详解】解：()()()()12112331111222i i i i i i i i -+--===--+-， ∴复数131ii -+的虚部是12-， 故选：A.【点睛】该题考查复数代数形式的运算、复数的基本概念，属基础题．3. 已知三条不同的直线l ，m ，n 和两个不同的平面αβ，，下列四个命题中正确的为（ ） A. 若//m α，//n α，则//m n B. 若//l m ，m α⊂，则//l α C. 若//l α，//l β，则//αβ D. 若//l α，l β⊥，则αβ⊥【答案】D 【解析】 【分析】根据直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断每个选项得到答案. 【详解】A. 若//m α，//n α，则//m n ，或,m n 相交，或,m n 异面，A 错误； B. 若//l m ，m α⊂，则//l α或l α⊂，B 错误； C. 若//l α，//l β，则//αβ或,αβ相交，C 错误； D. 若//l α，l β⊥，则αβ⊥，D 正确. 故选：D【点睛】本题考查了直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的推断能力和空间想象能力.4. 已知平面向量a 和b ，则“||||b a b =-”是“1()02b a a -⋅=”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】||||b a b =-两边平方得出22()b a b =-，展开等价变形得出102b a a ⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，根据充分条件和必要条件定义进行判断即可. 【详解】22||||()b a b b a b =-⇔=-22221122020022b a a b b a a b a b a b a a ⎛⎫⎛⎫⇔=-⋅+⇔-⋅=⇔⋅-=⇔-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则“||||b a b =-”是“1()02b a a -⋅=”的充分必要条件 故选：C【点睛】本题主要考查了充要条件的证明，涉及了向量运算律的应用，属于中档题. 5. 已知直线m ，n 不共面，则过n 且与m 垂直的平面（ ） A. 有且只有一个 B. 有一个或不存在 C. 有一个或无数个 D. 不存在【答案】B 【解析】 【分析】利用线面垂直的定义，逐个选项进行判断即可【详解】当直线,m n 异面，且不垂直时，过直线n 且与直线m 的平面不存在； 当异面直线,m n 垂直时，过直线n 且与直线m 垂直的平面存在一个， 所以至多一个 故选：B ．【点睛】本题考查线面垂直问题，属于基础题.6. 已知向量()2,3,1a =--，()2,0,4b =，()4,6,2c =--，则下列结论正确的是（ ） A. a c ⊥，b c ⊥ B. //a b ，a c ⊥C. //a c ，a b ⊥D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】根据所给向量，求数量积和数量关系，即可得解.【详解】()()2,3,12,0,4440a b ⋅=--⋅=-+=，所以a b ⊥，()2,3,1a =--，()4,6,2c =--，2c a =，所以//a c ， ()()2,0,44,6,2=880b c ⋅==⋅---+=，所以b c ⊥，故选：C.【点睛】本题考查了向量的平行和垂直的判断，考查了向量的数量积和平行向量数量关系的应用，属于基础题.7. 在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =（ ） A.19B. 13C. 12D.23【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件结合余弦定理求得AB ，再根据222cos 2AB BC AC B AB BC+-=⋅，即可求得答案.【详解】在ABC 中，2cos 3C =，4AC =，3BC = 根据余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅2224322433AB =+-⨯⨯⨯可得29AB = ，即3AB =由22299161cos22339AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯故1cos 9B =. 故选：A.【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 8. 在四面体ABCD 中，P 在面ABC 内，Q 在面BCD 内，且满足AP xAB yAC =+，AQ sAB t AC uAD =++，若x y ts=，则下面表述中，线段AQ 与DP 的关系是（ ） A. AQ 与DP 所在直线是异面直线 B. AQ 与DP 所在的直线平行 C. 线段AQ 与DP 必相交 D. 线段AQ 与DP 延长后相交【答案】C 【解析】 【分析】先考虑特殊情况0x s ==时，易判断；若0x ≠，则0s ≠，把x y ts =变形为s x t k y ==，代入到AQ sAB t AC uAD =++中，结合平面向量基本定理即可判断. 【详解】解：若0x s ==，则AP yAC =，AQ t AC uAD =+，所以tAQ AP u AD y=+，所以,,,A P D Q 四点共面；若0x ≠，则0s ≠，则s x t y =，设s x tk y==，所以,s kx t ky ==， 所以AQ sAB t AC uAD kxAB kyAC uAD k AP uAD =++=++=+， 所以,,,A P D Q 四点共面；综合以上有，线段AQ 与DP 必相交. 故选：C【点睛】考查向量的恒等变形以及平面向量基本定理的应用，基础题.9. 在三棱锥T ABC -中，TA ，TB ，TC 两两垂直，点T 在平面ABC 上的射影为D ，O 为三棱锥T ABC -内任意一点，连接OA ，OB ，OC ，OT 并延长，交对面于点A '，B '，C '，T '，则：①TA BC ⊥，TB AC ⊥，TC AB ⊥；②ABC 是锐角三角形；③()222213ABC TAB TAC TBC S S S S =++△△△△；④1OA OB OC OT AA BB CC TT ''''+++=''''；⑤22221111TD TA TB TC =++.以上结论中正确结论有（ ）个. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】C 【解析】 【分析】对于①，根据线面垂直，得出线线垂直即可； 对于②，直接利用余弦定理求解即可 对于③，根据面积公式作辅助线求解即可 对于④，根据棱锥的体积公式求解即可 对于⑤，利用等量代换关系求解即可【详解】对于①，TA ，TB ，TC 两两垂直，可得：TA ⊥面TBC ，从而得出：TA BC ⊥，TB AC ⊥，TC AB ⊥，故①正确；对于②，TA a =，TB b =，TC c =，则222AB a b =+，同理，222BC c b =+，222AC a c =+，在三角形ABC 中，由余弦定理得：222222222224222422cos 022AB AC BC a b a c c b a A AB AC a b a c a b a c+-+++--===>⨯++++，同理可证，cos 0,cos 0B C >>，所以，ABC 是锐角三角形；②正确； 对于③，如图作TE CB ⊥于E ，连接AE ，则AE CB ⊥，()()()2222242222111444DCA S BC AE BC AT TE TB TC AT TE ∆=⋅=⋅-=++ ()22222222214IDC ACT TAB TB TC TA TC TA TB S S S ∆∆∆=++=++，故③错误； 对于④，如图，对于111'31'3O TBC T ABCS ABC h OA h VAA h V S ABC h --⋅===⋅，同理， O ATC B OBC O B V B B V --'='，O ATB C OBC O C V C C V --'='，O ABCA TBCO T V T T V --'='， 所以，1O TBC O ATC O ATB O ABCT ABC B OBC C OBC A TBCOA OB OC OT AA BB CC V V V V V V T V T V --------+''''+++''+=''+= 所以1OA OB OC OT AA BB CC TT ''''+++=''''，④正确 对于⑤，TA a =，TB b =，TC c =，在直角三角形TBC 中得，22bc TE a b=+，在三角形ABC 中有：22222222a b b c c a AE c b++=+，由于AE TD TA TE ⨯=⨯，2222222222a b b c c a bc TD a c ba b++∴⨯=⨯++，()2222222222a b c a b b c d cTD∴=++⋅22221111TD TA TB TC ∴=++，⑤正确 ①②④⑤ 故选：C【点睛】本题考查锥体的综合运用，条件多且复杂，主要考查学生的空间想象能力，属于难题10. 如图，棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，E 为1CC 的中点，点P ，Q 分别为面1111D C B A 和线段1BC 上动点，则PEQ ∆周长的最小值为( )A. 221011D. 23【答案】B 【解析】【分析】由题意得：PEQ ∆周长取最小值时，P 在11B C 上，在平面11BC CB 上，设E 关于1BC 的对称点为M ，关于11B C 的对称点为N ，求出MN ，即可得到PEQ ∆周长的最小值． 【详解】由题意得：PEQ ∆周长取最小值时，P 在11B C 上，在平面11BC CB 上，设E 关于1BC 的对称点为M ，关于11B C 的对称点为N ， 连结MN ，当MN 与11B C 的交点为P ，MN 与1BC 的交点点M 时， 则MN 是PEQ ∆周长的最小值，2EM =，2EN =，135MEN ∠=︒，242222()102MN ∴=+-⨯⨯⨯-=． PEQ ∴∆周长的最小值为10．故选B ．【点睛】本题考查棱柱的结构特征，考查对称点的运用，考查余弦定理，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把答案填在答题纸中相应横线上.11. 已知i 是虚数单位，若1z i =+，则22z z -=________.【答案】2 【解析】 【分析】直接根据复数的模的计算公式计算即可得答案.【详解】解：根据复数模的计算公式得：22212+222z z i i i -=+--=.故答案为：2【点睛】本题考查复数模的计算，是基础题.12. 在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，60BAD A AB A AD ''∠=∠=∠=︒，3AB =，4=AD ，5AA '=，则AC '=________.【解析】 【分析】在平行六面体中，利用对角线向量''AC AB AD AA =++，利用向量的平方等于向量模的平方，结合向量数量积的运算律求得结果.【详解】由平行六面体的特征可知''AC AB AD AA =++，所以22222'(')'22'2'AC AB AD AA AB AD AA AB AD AB AA AD AA =++=+++⋅+⋅+⋅11191625234235245222=+++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯5012152097=+++=，所以'AC =【点睛】该题考查的是有关空间向量的问题，涉及到的知识点有空间向量的运算，空间向量的平方等于向量模的平方，向量数量积的运算法则，属于简单题目.13. 在ABC 中，三边长分别为4a =，5b =，6c =，则ABC 的最大内角的余弦值为_________，ABC 的面积为_______．【答案】 (1). 18 【解析】 【分析】由题意可得ABC 的最大内角为C ，再根据余弦定理即可求出cos C ，由同角的平方关系可求出sin C ，再根据三角形的面积公式即可求出． 【详解】解：∵4a =，5b =，6c =，∴ABC 的最大内角为C ，其余弦值222cos 2a b c C ab+-=16253612458+-==⨯⨯， ∵0C π<<， ∴237sin 1cos 8C C =-=， ∴ABC 的面积in 12s S ab C =1374528=⨯⨯⨯1574=，故答案为：18；1574． 【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，考查三角形的面积公式及其应用，属于基础题． 14. 如图，正三棱柱111ABC A B C -的棱长均为2．点M 是侧棱1AA 的中点，点P 、Q 分别是侧面11BCC B ，底面ABC 的动点，且1A P 平面BCM ，PQ ⊥平面BCM ．则点Q 的轨迹的长度为___________．【答案】43【解析】 【分析】根据已知可得点Q 轨迹是过△MBC 的重心，且与BC 平行的线段，进而根据正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中棱长均为2，可得答案．【详解】∵点P 是侧面BCC 1B 1内的动点，且A 1P ∥平面BCM ， 则P 点的轨迹是过A 1点与平面MBC 平行的平面与侧面BCC 1B 1的交线， 则P 点的轨迹是连接侧棱BB 1，CC 1中点的线段l ，∵Q 是底面ABC 内的动点，且PQ ⊥平面BCM ，则点Q 的轨迹是过l 与平面MBC 垂直的平面与平面ABC 相交得到的的线段m ，故线段m 过△ABC 的重心，且与BC 平行， 由正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中棱长均为2， 故线段m 的长为：23×2=43， 故答案为43【点睛】本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系，棱柱的几何特征，动点的轨迹，难度中档．15. 正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，动点M 在线段CC 1上，动点P 在平面1111D C B A 上，且AP ⊥平面1MBD .（Ⅰ）当点M 与点C 重合时，线段AP 的长度为_______； （Ⅱ）线段AP 长度的最小值为_______. 【答案】 (1). 2 (2).62【解析】 【分析】（Ⅰ）当点M 与点C 重合时，可以得到点P 与点1B 重合，从而可得AP 的长度；（Ⅱ）利用线面垂直得到等量关系，结合二次函数求解最值.【详解】以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设(0,1,),(,,1),M m P x y 则1(1,,1),(1,1,1)AP x y BD =-=--,(1,0,)BM m =-.因为AP ⊥平面1MBD ，所以100AP BM AP BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩, 1020x m x y -+=⎧⎨--=⎩.（Ⅰ）当点M 与点C 重合时, 0m =, 1x y ==,此时AP（Ⅱ）(AP x ==【点睛】本题主要考查空间中的垂直关系及动线段的长度问题.动点引发的长度变化，要寻求其中不变的关系式，综合运用其他知识求解.三、解答题：本大題共6小題，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸中相应位置上.16. 已知i 是虚数单位，设复数z 满足22z -=. （1）求14z i +-的最小值与最大值； （2）若4z z+为实数，求z 的值. 【答案】（1）最大值为7，最小值为3.（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意22z -=，可知z 的轨迹为以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，14z i +-表示点(,)x y 到(1,4)-的距离，结合几何意义求得结果； （2）根据4z z+实数，列出等量关系式，求得结果.【详解】（1）设z x yi =+，根据22z -=， 所以有22(2)4x y -+=，所以z 的轨迹为以(2,0)为圆心，以2为半径的圆， 所以14(1)(4)z i x y i +-=++-=其表示点(,)x y 到(1,4)-的距离，所以其最大值为圆心(2,0)到(1,4)-的距离加半径， 最小值为圆心(2,0)到(1,4)-的距离减半径，所以最大值为22(21)427+++=，最小值为22(21)423++-=； （2）222222444()44()()x yi x y z x yi x yi x y i z x yi x y x y x y -+=++=++=++-++++， 因为4z z+为实数，所以2240y y x y -=+， 即224(1)0y x y-=+，所以0y =或224x y +=， 又因为22(2)4x y -+=，所以00x y =⎧⎨=⎩（舍去），40x y =⎧⎨=⎩，13x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，13x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以4z =或13z i =+或13z i =-.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有根据几何意义有模的最值，根据复数为实数求复数的值，属于简单题目.17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,2,45a c B ===︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．【答案】（1）5sin C =；（2）2tan 11DAC ∠=.【解析】【分析】（1）利用余弦定理求得b ，利用正弦定理求得sin C .（2）根据cos ADC ∠的值，求得sin ADC ∠的值，由（1）求得cos C 的值，从而求得sin ,cos DAC DAC ∠∠的值，进而求得tan DAC ∠的值.【详解】（1）由余弦定理得22222cos 9223252b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，所以5b =.由正弦定理得sin 5sin sin sin 5c b c B C C B b =⇒==. （2）由于4cos 5ADC ∠=-，,2ADC ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以23sin 1cos 5ADC ADC ∠=-∠=. 由于,2ADC ππ⎛⎫∠∈⎪⎝⎭，所以0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以225cos 1sin 5C C =-=.所以()sin sin DAC DAC π∠=-∠()sin ADC C =∠+∠sin cos cos sin ADC C ADC C =∠⋅+∠⋅3254525555525⎛⎫=⨯+-⨯=⎪⎝⎭. 由于0,2DAC π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以2115cos 1sin 25DAC DAC ∠=-∠=. 所以sin 2tan cos 11DAC DAC DAC ∠∠==∠.【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，属于中档题.18. 在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()222cos sin cos A C b a c ac A A+--=. （1）求角A ； （2）若2a =bc 的取值范围.【答案】（1）4π；（2）(2+. 【解析】 【分析】（1）由余弦定理结合()222cos sin cos A C b a c ac A A+--=，可得2sin cos 1A A =，即sin 21A =，又因为02A π<<，即可得解；（2）由正弦定理可得2sin sin sin 2b c a B C A====，由34sin sin 4sin sin()2sin(2)44bc B C B B B ππ==-=-再结合三角形ABC 为锐角三角形可得42B ππ<<，即可得解.【详解】（1）由余弦定理可得222cos 2a c b B ac +-=，所以2222cos b a c B ac---=，又()222cos sin cos A C b a c ac A A+--=， 所以()cos cos 2cos sin cos sin cos A C BB A A A A+--==， 因为ABC 为锐角三角形，所以2sin cos 1A A =， 即sin 21A =，又因为02A π<<，所以4A π=；（2）由（1）知4A π=，由a =可得2sin sin sin b c aB C A====， 2sin ,2sin b B c C ==,由4A π=，且三角形ABC 为锐角三角形，所以34C B π=-，且42B ππ<<， 34sin sin 4sin sin()22sin (cos sin )4bc B C B B B B B π==-=+，=2sin 22(1cos 2)2sin(2)24B B B π+-=-+，又42B ππ<<，所以32444B πππ<-<， 所以2sin(2)124B π<-≤，222sin(2)2224B π<-+≤+， 所以bc 的取值范围为(22,22⎤+⎦.【点睛】本题考查了利用正余弦定理解三角形，考查了利用三角函数求最值，解三角形的基本思路是角化边或变化角，在解三角形中求最值有利用基本不等式和三角函数两种方法，本题属于中档题.19. 如图，在四棱锥E ABCD -中，平面ADE ⊥平面ABCD ，O ，M 分别为线段AD ，DE 的中点.四边形BCDO 是边长为1的正方形，AE DE =，AE DE ⊥.（1）求证：//CM 平面ABE ；（2）求直线CM 与BD 所成角的余弦值；（3）点N 在直线AD 上，若平面BMN ⊥平面ABE ，求线段AN 的长. 【答案】（1）证明见解析；（2）36；（3）53.【解析】 【分析】（1）取AE 中点P ，连接BP 、MP ，根据题意可得四边形BCMP 为平行四边形，根据线面平行的判定定理，即可得证；（2）连接EO ，根据面面垂直的性质定理，可证得EO OB ⊥, EO OD ⊥，以O 为原点，分别以OB ，OD ，OE 为x ，y ，z 轴正方向建系，分别求得CM ，BD 的坐标，利用夹角公式，即可求得结果；（3）设ON OD λ=，则可得N 点坐标，即可求得平面BMN 的法向量n ，同理可求得平面ABE 的法向量m ，根据题意，可得0m n ⋅=，即可求得λ的值，即可得答案. 【详解】（1）取AE 中点P ，连接BP 、MP ，如图所示因为M 、P 分别为ED 、AE 的中点， 所以PMAD 且12PM AD =， 又四边形BCDO 是边长为1的正方形， 所以BC OD ∥且BC OD =， 又因为O 为AD 的中点， 所以BC AD ∥且12BC AD =，即PM BC 且PM BC =，所以四边形BCMP 为平行四边形， 所以CMPB ，又因为CM ⊄平面ABE ，PB ⊂平面ABE ， 所以//CM 平面ABE .（2）连接EO ，因为AE DE =，O 为AD 中点， 所以⊥EO AD ，因为EO ⊂平面ADE ，且平面ADE ⊥平面ABCD ，平面ADE 平面ABCD =AD ，所以EO ⊥平面ABCD ，又OB ⊂平面ABCD ，OD ⊂平面ABCD , 所以EO OB ⊥, EO OD ⊥，以O 为原点，分别以OB ，OD ，OE 为x ，y ，z 轴正方向建系，如图所示，所以11(1,1,0),(0,,)22C M , (1,0,0),(0,1,0)B D ,所以11(1,,),(1,1,0)22CM BD =--=-，设直线CM 与BD 所成角为θ，则132cos 6322CM BD CM BDθ⋅===⋅⨯， 所以直线CM 与BD 3（3）设ON OD λ=，则(0,,0)N λ 所以(1,,0)NB λ=-，11(1,,)22MB =--， 设平面BMN 的法向量(,,)n a b c =，则00n MB n NB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即11022a b c a b λ⎧--=⎪⎨⎪-=⎩， 令a λ=，则法向量可取(,1,21)n λλ=-, 同理可求得平面ABE 的法向量(1,1,1)m =-， 因为平面BMN ⊥平面ABE ,所以0m n ⋅=，即12-1=0λλ-+，解得2=3λ，所以53AN =.【点睛】本题考查线面平行的判定定理，两直线所成角的求法，二面角的求法及应用，对于点N 在直线AD 上，常用的办法为设ON OD λ=，进而可表示出N 点坐标，再进行求解，考查分析理解，推理证明，计算求值的能力，属中档题.20. 在四棱锥P ABCD -中，平面ABCD ⊥平面PCD ，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，AD PC ⊥，且1AB =，2AD DC DP ===，120PDC ∠=︒，M 是棱PA 的中点.（1）求证：AD ⊥平面PCD ；（2）求证：对于棱BC 上任意一点F ，MF 与PC 都不平行； （3）设CM 与平面PBD 交于点Q ，求三棱锥Q ABD -的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）315【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理证得结果； （2）利用反证法证明即可；（3）建立空间直角坐标系，求得点Q 的坐标，从而求得棱锥的高，利用椎体体积公式求得结果.【详解】（1）在平面PCD 中，过点D 作DH DC ⊥，交PC 于H ， 因为平面ABCD ⊥平面PCD ，DH ⊂平面PCD ，平面ABCD 平面PCD CD =，所以DH ⊥平面ABCD ，因为AD ⊂平面ABCD ，所以DH AD ⊥， 又AD PC ⊥，且PCDH H =，所以AD ⊥平面PCD ；（2）假设棱棱BC 上存在点F ，//MF PC ， 连接AC ，取其中点N ，在PAC 中，因为,M N 分别为,PA CA 的中点，所以//MN PC ，因为过直线外一点只有一条直线和已知直线平行，所以MF 与MN 重合， 所以点F 在AC 上，所以F 是,AC BC 的交点C ，即MF 就是MC ， 而MC 与PC 相交，矛盾， 所以假设错误， 即原命题得证；（3）结合（1）的结论，可知,,DA DC DH 两两垂直， 建立空间直角坐标系如图所示：由题中条件可得：13(0,0,0),(2,0,0),(0,3),(0,2,0),(2,1,0),(1,22D A P C B M -- 因为点Q 在平面PBD 内，可得DQ mDB nDP =+，所以(2,1,0),(0,13)DB DP ==-，则(2,3)Q m m n n -， 又因,,C M Q 三点共线，设53,(2,2,3),(1,2CQ rCM CQ m m n n CM ==--=-， 则有252233m r m n r n ⎧⎪=⎪⎪--=-⎨⎪=，解得252545m n r ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，所以4(,2,55Q -，所以112132Q ABD V -=⨯⨯⨯=. 【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面垂直的判定，反证法的应用，锥体体积的计算，属于中档题目.21. 已知*n N ∈，2n ≥，给定n n ⨯个整点(),x y ，其中1x ≤，y n ≤，*,x y N ∈. （1）当2n =时从上面的22⨯个整点中任取两个不同的整点()11,x y ，()22,x y ，求12x x +的所有可能值；（2）从上面n n ⨯个整点中任取m 个不同的整点，512nm ≥-. （i ）证明：存在互不相同的四个整点()11,x y ，()11,x y ''，()22,x y ，()22,x y ''，满足11y y '=，22y y '=，12y y ≠；（ⅱ）证明：存在互不相同的四个整点()11,x y ，()11,x y '，()22,x y ，()22,x y '，满足1122x x x x ''+=+，12y y ≠.【答案】（1）2,3,4；（2）（i ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）取2n =时，即可表示出整点，进而算出可能的所有取值；（2）（i ）假设不存在互不相同的四个整点满足题设条件，进而得出52112n n -<-，与已知512m >-矛盾，结合反证法，即可证明； （ⅱ）利用关系式1(23)2352323nii a m n n n n =-=-≥--≥-∑，即可作出证明.【详解】（1）当2n =时，4个整点分别为()()()()1,1,1,2,2,1,2,2， 所以12x x +的所有可能的值为2,3,4；（2）（i ）假设不存在互不相同的四个整点11112222(,),(,),(,),(,)x y x y x y x y ''''，满足11y y '=，22y y '=，12y y ≠，即在直线(1,)y i i n i N +=≤≤∈中至多有一条直线上取多余1个整点，其余每条直线上至多取一个整点，此时符合条件的整点个数最多为121n n n -+=-， 而52112n n -<-，与已知512m >-矛盾， 故存在互不相同的四个整点11112222(,),(,),(,),(,)x y x y x y x y ''''，满足11y y '=，22y y '=，12y y ≠.（ⅱ）设直线(1,)y i i n i N +=≤≤∈有i a 个选定的点， 若2i a ≥，设y i =上的这i a 个选定的点的横坐标分别为12,,,n x x x ，且满足12n x x x <<<，由12132324341i i x x x x x x x x x x a a -+<+<+<+<+<<+，则12,,,n x x x 中任意不同两项之和的不同的值恰有23n -个，且1(23)2352323nii a m n n n n =-=-≥--≥-∑，可知，存在互不相同的四个整点11112222(,),(,),(,),(,)x y x y x y x y ''''，满足1122x x x x ''+=+，12y y ≠.【点睛】本题主要考查了推理与证明，其中解答中正确理解题意，结合题设中定义和求和公式求解是解答的关键，着重考查推理运算能力，属于中档试题.。
北京市2022-2021学年高二数学上学期期中试题(A卷)
丰台区2020-2021学年度第一学期期中联考试卷高二数学（A 卷）考试时间：90分钟第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、单选题共10小题；每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知()e =x f x ，则(0)f '=A ．0B ．e1C ．1D ．e2．如果0a b <<，那么下列不等式中正确的是A ．22a b >B ．2ab a >C ．2b ab >D ．a b <3．若等差数列{}n a 满足1320+=a a ，2440+=a a ，则公差d 等于A ．5B ．10C ．15D ．204．命题“对任意∈x N ，都有0≥x ”的否定是A ．存在∉x N ,使得0x <B ．存在∈x N ,使得0≥xC ．存在∈x N ,使得0x <D ．对任意∈x N ,都有0x <5．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，*12()n n a a n +=∈N ，则5S 等于A ．30B ．31C ．62D ．646．按数列的排列规律猜想数列23，45-，87，169-，…的第10项是 A ．51219B ．51219-C ．102421D ．102421-7．已知函数()f x 在R 上可导，其部分图象 如图所示，设1212()()-=-f x f x k x x ，则下列不等式正确的是A ．12()()''<<k f x f xB ．12()()''<<f x k f xC ．21()()''<<f x f x kD ．12()()''<<f x f x k8. 已知函数()f x 在R 上可导，“0x =是函数()y f x =的极值点”是“(0)=0f '”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件yxO x 2x 19．对于函数()y f x =，部分x 与y 的对应关系如下表：x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y 7 4 5 8 1 3 5 26若数列{}n x 满足12=x ，且对任意*∈n N ，点1(,)+n n x x 都在函数()y f x =的图象上，则2020=x A ．2B ．4C ．7D ．810．已知函数2()1f x x =-，()ln g x x =，那么下列说法中正确的是A ．(),()f x g x 在点(1,0)处有相同的切线B ．函数()()f x g x -有两个极值点C ．对于任意0x >()()≥f x g x 恒成立D ．(),()f x g x 的图象有且只有两个交点第Ⅱ卷（非选择题 共60分）二、填空题共6小题，每小题4分，共24分。
人大附中2020~2021学年度第一学期高二年级数学阶段检测解析版
人大附中2020~2021学年度第一学期高二年级数学阶段检测2020年9月25日说明：本试卷21道题，共150分，考试时间120分钟；请在答题卡上填写个人信息，并将答案写在答题纸的相应位置上．一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置） 1.已知复数()z i a i =+，且z z =，那么实数a 的值为 （ ） A ．1- B ．0 C ． 1 D ．2 【答案】B.2.已知i 是虚数单位，复数i i--121的虚部为( )． A. 21-B. 23C. i 21-D.i 23答案：A3.已知三条不同的直线,,l m n 和两个不同的平面α，β，下列四个命题中正确的为（ ）A ．若//l α，l β⊥，则αβ⊥B ．若//l m ，m α⊂，则//l αC ．若//l α，//l β，则//αβD ．若//m α，//n α，则//m n【答案】 A4.已知平面向量和a b ，则“||||=-b a b ”是“1()02-=b a a ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案：C5. 已知直线m,n 不共面，则过n 且与m 垂直的平面（ ）A ． 有且只有一个B ．有一个或不存在C ．有一个或无数个D ．不存在 答案：B ，当两异面直线不互相垂直时就没有，否则垂直了。
有点意思。
6.已知向量()()()2,3,1,2,0,4,4,6,2=--==--a b c ，则下列结论正确的是（ ） A ．,⊥⊥a c b c B ．//,⊥a b a c C ．//,⊥a c a b D ．以上都不对 答案:C7.在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =（ ） A.19B. 13C. 12D.23【答案】A 【详解】在ABC 中，2cos 3C =，4AC =，3BC = 根据余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅2224322433AB =+-⨯⨯⨯，可得29AB = ，即3AB =由22299161cos22339AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯故1cos 9B =.故选：A.8.在四面体ABCD 中，P 在面ABC 内，Q 在面BCD 内，且满足AP xAB y AC =+，AQ sAB t AC u AD =++，若x sy t=，则下面表述中，线段AQ 与DP 的关系是（ ） A.AQ 与DP 所在直线是异面直线B.AQ 与DP 所在的直线平行C.线段AQ 与DP 必相交D.线段AQ 与DP 延长后相交【答案】 C.9.在三棱锥T ABC -中，,,TA TB TC 两两垂直，点T 在平面ABC 上的射影为D ，O 为三棱锥T ABC -内任意一点，连接OA ，OB ，OC ，OT 并延长，交对面于点',',','A B C T ，则:①,,TA BC TB AC TC AB ⊥⊥⊥； ②ABC ∆是锐角三角形；③()222213ABC TAB TAC TBC S S S S ∆∆∆∆=++； ④''''1''''OA OB OC OT AA BB CC TT +++=； ⑤22221111TD TA TB TC=++. 以上结论中正确结论有（ ）个。
人大附中2020~2021学年度第一学期高二年级数学阶段检测学生版
人大附中2020~2021学年度第一学期高二年级数学阶段检测2020年9月25日说明：本试卷21道题，共150分，考试时间120分钟；请在答题卡上填写个人信息，并将答案写在答题纸的相应位置上．一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置） 1.已知i 是虚数单位，复数(i )i z a =+，且z z =，那么实数a 的值为（ ）A ．1-B ．0C ． 1D ．2 2.已知i 是虚数单位，复数12i1i--的虚部为( )． A. 21-B. 23C. 1i 2-D.3i 23.已知三条不同的直线,,l m n 和两个不同的平面α，β，下列四个命题中正确的为（ ）A ．若//l α，l β⊥，则αβ⊥B ．若//l m ，m α⊂，则//l αC ．若//l α，//l β，则//αβD ．若//m α，//n α，则//m n4.已知平面向量和a b ，则“||||=-b a b ”是“1()02-=b a a ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 5. 已知直线m,n 不共面，则过n 且与m 垂直的平面（ ）A ．有且只有一个B ．有一个或不存在C ．有一个或无数个D ．不存在 6.已知向量()()()2,3,1,2,0,4,4,6,2=--==--a b c ，则下列结论正确的是（ ）A ．,⊥⊥a c b cB ．//,⊥a b a cC ．//,⊥a c a bD ．以上都不对 7.在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =（ ） A. 19 B. 13C. 12 D. 238.在四面体ABCD 中，P 在面ABC 内，Q 在面BCD 内，且满足AP xAB y AC =+，AQ sAB t AC u AD =++，若x sy t=，则下面表述中，线段AQ 与DP 的关系是（ ） A.AQ 与DP 所在直线是异面直线B.AQ 与DP 所在的直线平行C.线段AQ 与DP 必相交D.线段AQ 与DP 延长后相交9.在三棱锥T ABC -中，,,TA TB TC 两两垂直，点T 在平面ABC 上的射影为D ，O 为三棱锥T ABC -内任意一点，连接OA ，OB ，OC ，OT 并延长，交对面于点',',','A B C T ，则：①,,TA BC TB AC TC AB ⊥⊥⊥； ②ABC ∆是锐角三角形；③()222213ABC TAB TAC TBC S S S S ∆∆∆∆=++； ④''''1''''OA OB OC OT AA BB CC TT +++=； ⑤22221111TD TA TB TC=++. 以上结论中正确结论有（ ）个. A ．2 B ．3 C ．4 D ．510.棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，点,P Q 分别为面1111A B C D 和线段1B C 上的动点，则PEQ ∆周长的最小值为（ ）A ．22B ．10C ．11D ．23二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把答案填在答题纸中相应横线上.11. 已知i 是虚数单位，若1i z =+，则22z z -= .12.在平行六面体''''ABCD A B C D -中, ''60BAD A AB A AD ∠=∠=∠=︒,3AB =,4AD =,'5AA =,则'AC = .13.在ABC ∆中，三边长分别为4a =，5b =，6c =，则ABC ∆的最大内角的余弦值为________，ABC ∆的面积为________．14.如图，在棱长均为2的正三棱柱111C B A ABC -中，点M 是侧棱1AA 的中点，点P 、Q 分别是侧面11BCC B 、底面ABC 内的动点，且//1P A 平面BCM ，⊥PQ 平面BCM ，则点Q 的轨迹的长度为_________．15.正方体ABCD A B C D -1111的棱长为1，动点M 在线段CC 1上，动点P 在平面．．A B C D 1111上，且AP ⊥平面MBD 1. (Ⅰ) 当点M 与点C 重合时，线段AP 的长度为 ； （Ⅱ）线段AP 长度的最小值为 ．三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸中相应位置上. 16.（本小题13分）已知i 是虚数单位，设复数z 满足22z -=， （1）求14i z +-的最小值与最大值； （2）若4z z+为实数，求z 的值.17.（本小题13分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，已知3,45a c B ===︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．18.（本小题14分）在锐角三角形ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且222cos()sin cos b a c A C ac A A--+=. （1）求角A ； （2）若a =bc 的取值范围．CBAD B 1A 1C 1D 119.（本小题15分）如图，在四棱锥E ABCD -中，平面ADE ⊥平面ABCD ,,O M 分别为线段,AD DE 的中点．四边形BCDO 是边长为1的正方形，AE DE =，AE DE ⊥.（1）求证：CM //平面ABE ；（2）求直线CM 与BD 所成角的余弦值；（3）点N 在直线AD 上，若平面BMN ⊥平面ABE ，求线段AN 的长.20.（本小题15分）在四棱锥P ABCD -中， 平面ABCD ⊥平面PCD ， 底面ABCD 为梯形,ABCD ，AD PC ⊥,且,,AB AD DC DP PDC ====∠=12120,M 是棱PA 的中点.（1）求证：AD ⊥平面PCD ；（2）求证：对于棱BC 上任意一点F ，MF 与PC 都不平行； （3） 设CM 与平面PBD 交于点Q ,求三棱锥Q ABD -的体积.21.（本小题15分）已知*2n n ∈≥N ，，给定n n ⨯个整点()x y ,,其中1x y n x y ≤≤∈*N ,,,.（1）当2n =时,从上面的22⨯个整点中任取两个不同的整点1122()()x y x y ,,,，求12x x +的所有可能值；（2）从上面n n ⨯个整点中任取m 个不同的整点，512n m ≥-.（i ）证明：存在互不相同的四个整点，满足11y y '=,2212y y y y '=≠,； （ii ）证明：存在互不相同的四个整点，满足 , ),(),,(),,(),,(22221111y x y x y x y x ''''),(),,(),,(),,(22221111y x y x y x y x ''2211x x x x '+='+.21y y ≠P。