2019-2020学年重庆八中高二(上)第一次月考数学试卷1 (含答案解析)
2019-2020学年重庆八中高二（上）第一次月考数学试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.直线2y+2x−5=0的倾斜角是()A. 45°B. 135°C. 120°D. 150°2.已知抛物线的方程为y2=2px，且过点(1,4)，则焦点坐标为()A. (1,0)B. (2,0)C. (4,0)D. (8,0)3.双曲线x23−y26=1的实轴长为()A. √3B. 2√3C. 3D. 64.已知⊙O：x2+y2−4y+3=0，直线l：y=x，若过直线l上的点P所做的⊙O的两条切线互相垂直，则点P的坐标是()A. (12,12) B. (0,0)或(2,2)C. (1,1)D. (23,23)或(43,43)5.已知直线l1:2x+3y=1和l2:4x+6y−9=0，则到l1与l2的距离之比为2:1的直线的方程为()A. 2x+3y−8=0B. 2x+3y−6=0C. 2x+3y−8=0或2x+3y−103=0D. 2x+3y−6=0或2x+3y−73=06.已知双曲线x2a −y22=1的焦点与椭圆x26+y22=1的焦点相同，则双曲线的离心率为()A. √22B. √2C. √3D. 27.双曲线x225−y216=1的离心率是()A. 35B. 53C. √415√418.一动圆P过定点M(−3,0)，且与已知圆N：(x−3)2+y2=16外切，则动圆圆心P的轨迹方程是()A. x24−y25=1(x≥2) B. x24+y25=1(x≥2)C. x24−y25=1(x≤−2) D. x24+y25=1(x≤−2)9.已知点P是抛物线x2=4y上的动点，点P在x轴上的射影是Q，点A(8,7)，则|PA|+|PQ|的最小值为()A. 7B. 8C. 9D. 1010.已知双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，直线3x−y−7=0与双曲线E相交于A，B两点，若线段AB的中点为M(3,2)，则该双曲线的离心率为()A. √2B. √3C. 2D. 311.已知直线x−y+m=0与圆C：x2+y2−2x−4y+1=0相交于A，B两点，若三角形ABC为等腰直角三角形，则m=()A. −3或3B. −1或3C. −3或1D. −1或112.已知O为坐标原点，F是椭圆C：x2a2+y216=1(a>4)的左焦点，A，B分别为C的左右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则a=()A. 3√2B. 2√5C. 2√6D. 4√2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.抛物线y2=8x抛物线的焦点坐标______．14.已知三点A(1,0)，B(0,√3)，C(2,√3)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为_________．15.椭圆C：y24+x23=1的焦点坐标是___________．16.过抛物线y2=4x的焦点作倾斜角为45°的直线l交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，△OAB的面积为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.求经过点A(3,2)，且与直线4x+y−2=0平行的直线的方程．18.(1)△ABC的顶点坐标分别是A(5,1)，B(7,−3)，C(2,−8)，求它的外接圆的方程；(2)△ABC的顶点坐标分别是A(0,0)，B(5,0)，C(0,12)，求它的内切圆的方程．19.已知双曲线x2a2−y2b2=1，P为双曲线右支上除x轴上之外的一点．(1)若∠F1PF2=θ，求△F1PF2的面积．(2)若该双曲线与椭圆x24+y2=1有共同的焦点且过点A(2,1)，求△F1PF2内切圆的圆心轨迹方程．20.已知椭圆M：x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)的两个顶点分别为A(−a,0)，B(a,0)，点P为椭圆上异于A，B的点，设直线PA的斜率为k1，直线PB的斜率为k2，k1k2=−12．(1)求椭圆C的离心率；(2)若b=1，设直线l与x轴交于D(−1,0)，与椭圆交于M，N两点，求△OMN的面积的最大值．21.设抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点为F，准线为l.已知点M在抛物线E上，点N在l上，△MNF是边长为4的等边三角形．(1)求p的值；(2)若直线AB是过定点Q(2,0)的一条直线，且与抛物线E交于A，B两点，过Q作AB的垂线与抛物线E交于C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值．22.已知一定点A(4,−3)，B为圆(x+1)2+y2=4上的动点，求线段AB中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】由直线方程求出斜率，再由斜率公式求出直线的倾斜角．本题考查由直线方程求出直线的斜率、倾斜角，以及斜率公式，属于基础题．【解答】解：由题意知，直线方程是：2y+2x−5=0，∴直线2y+2x−5=0的斜率k=−1，由k=tanα，α∈[0∘,180∘)得，则直线的倾斜角是135°，故选：B．2.答案：C解析：解：把点(1,4)代入抛物线的方程为y2=2px，可得42=2p×1，解得p=8．∴抛物线方程为：y2=16x，可得焦点坐标为：(4,0)．故选：C．把点(1,4)代入抛物线的方程为y2=2px，可得42=2p×1，解得p=8.即可得出焦点坐标．本题查克拉抛物线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3.答案：B解析：解：根据题意，双曲线的标准方程为x23−y26=1，其中a=√3，则双曲线的实轴长2a=2√3；故选：B．根据题意，由双曲线的标准方程分析可得a的值，由双曲线的实轴长为2a分析可得答案．本题考查双曲线的几何性质，关键是掌握双曲线的标准方程的形式．4.答案：C解析：【分析】由题意，点P与圆心(0,2)的连线平分两条切线的夹角，进而得圆心(0,2)到点P的距离为√12+12=√2，设出P点坐标代入求解即可．【解答】解：由x2+y2−4y+3=0，得x2+(y−2)2=1，所以圆心为(0,2)，半径为r=1，因为过直线l：y=x上的点P所做的⊙O的两条切线互相垂直，所以设P(x0,x0)，且圆心(0,2)到点P的距离为√12+12=√2，即√x02+(x0−2)2=√2，解得x0=1，即P(1,1)．故选C．5.答案：C解析：【分析】本题考查直线方程的求法，考查两平行线间的距离，考查分析与计算能力，属于中档题．直线l1的方程可化为4x+6y−2=0，设所求直线方程为4x+6y+C=0，运用到l1与l2的距离之比为2:1，计算求出C的值，即可求解．【解答】解：直线l1的方程可化为4x+6y−2=0，设所求直线方程为4x+6y+C=0，则√42+62=2×√42+62，解得C=−16或C=−203，故所求直线的方程为2x+3y−8=0或2x+3y−103=0．故选C．6.答案：B解析：解：双曲线x2a −y22=1的焦点与椭圆x26+y22=1的焦点相同，可得6−2=a+2，解得a=2，所以双曲线的离心率为：e=ca =√2+2√2=√2．故选：B．求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，推出a，然后求解双曲线的离心率即可．本题考查椭圆的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．7.答案：C解析：解：双曲线x225−y216=1的a=5，b=4，c=√a2+b2=√41，可得e=ca =√415．故选：C．求得双曲线的a，b，c，运用e=ca，计算即可得到所求值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，求得双曲线的基本量是解题的关键，属于基础题．8.答案：C解析：【分析】本题考查轨迹方程的求法，考查圆与圆的位置关系的应用，考查双曲线的定义，是中档题．由题意画出图形，利用圆心距与半径的关系可得|PN|=|PM|+4，即|PN|−|PM|=4，从而说明点P的轨迹是以M，N为焦点，4为实轴长的双曲线的左支，则答案可求．【解答】解：∵圆P与圆N外切，如图，∴|PN|=|PM|+4，即|PN|−|PM|=4，∵0<|PN|−|PM|<|MN|=6，∴由双曲线的定义，点P的轨迹是以M，N为焦点，4为实轴长的双曲线的左支，其中a=2，c=3，∴b2=c2−a2=9−4=5．故所求轨方程为：x24−y25=1(x≤−2)．故选C．9.答案：C解析：【分析】先根据抛物线方程求得焦点和准线方程，可把问题转化为P到准线与P到A点距离之和最小，进而根据抛物线的定义可知抛物线中P到准线的距离等于P到焦点的距离，进而推断出P、A、F三点共线时|PF|+|PA|距离之和最小，利用两点间距离公式求得|FA|，则|PA|+|PQ|可求．本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了学生数形结合的思想和分析推理能力．【解答】解：依题意可知，抛物线焦点为(0,1)，准线方程为y=−1，只需直接考虑P到准线与P到A点距离之和最小即可，(因为x轴与准线间距离为定值1，不会影响讨论结果)，由于在抛物线中P到准线的距离等于P到焦点的距离，此时问题进一步转化为|PF|+|PA|距离之和最小即可(F为曲线焦点)，显然当P、A、F三点共线时|PF|+|PA|距离之和最小，为|FA|，由两点间距离公式得|FA|=2+62=10，那么P到A的距离与P到x轴距离之和的最小值为|FA|−1=9．故选：C．10.答案：B解析：【分析】本题主要考查双曲线的几何性质，属于中档题．根据点差法，先求b2a2=2，然后再求解即可．【解答】解：∵直线3x−y−7=0与双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，相交于A，B两点，设A(x1,y1),B(x2,y2)，∵双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，∴{x12a 2−y12b2=1x22a2−y22b2=1两式相减得：(x1−x2)(x1+x2)a2−(y1−y2)(y1+y2)b2=0，直线3x−y−7=0与双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，相交于A，B两点，线段AB的中点为M(3,2)，∴k=y1−y2x1−x2=3,x1+x22=3,y1+y22=2，∴6a2−3×4b2=0，∴b2a2=2，该双曲线的离心率为e=√1+b2a2=√3，故选B．11.答案：B解析：解：根据题意，圆C：x2+y2−2x−4y+1=0，即(x−1)2+(y−2)2=4，则圆心C(1,2)，半径r=2；若三角形ABC为等腰直角三角形，则C到直线x−y+m=0的距离d=√2，则有√2=√2，即|m−1|=2，解可得m=−1或3；故选：B．根据题意，由圆的一般方程分析圆心坐标以及半径，由直线与圆的位置关系分析可得C到直线x−y+m=0的距离d=√2，则有|1−2+m|√2=√2，解可得m的值，即可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，注意分析点到直线的距离，属于基础题．12.答案：A解析：【分析】由已知条件得到A，B的坐标，再结合平行线的性质，求出a=3c，得到b2=8c2，求出c2，即可得到a的值．本题考查了椭圆的简单性质，考查了数形结合的思想方法，是中档题．【解答】解：A(−a,0)，B(a,0)，结合平行线的性质：由MF//OE，得|OE||MF|=|AO||AF|且12|OE||MF|=|BO||BF|，∴|AO||AF|=2×|BO||BF|，即a a−c =2×aa+c ，则a =3c ，则b 2=16=8c 2， ∴c 2=2，a 2=18，即a =3√2．故选：A ． 13.答案：(2,0)解析：解：根据题意，抛物线y 2=8x 的开口向右， 其中p =4，则其焦点坐标为(2,0)； 故答案为：(2,0)．根据题意，由抛物线的方程分析抛物线的开口方向以及p 的值，进而可得其焦点坐标． 本题考查抛物线的几何性质，属于简单题．14.答案：√213解析：【分析】本题主要考查圆性质及△ABC 外接圆的性质，了解性质并灵运用是解决本题的关键，属于基础题．利用外接圆的性质，求出圆心坐标，再根据圆心到原点的距离公式即可求出结论．【解答】解：设圆的一般方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0(D 2+E 2−4F >0)，则{1+D +F =0,3+√3E +F =0,7+2D +√3E +F =0,解得则圆心(1,2√33)，所以圆心到原点的距离d =√12+(2√33)2=√213．15.答案：(0,±1)解析： 【分析】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．直接利用椭圆的标准方程，求出a ，b ，然后求解c ，即可得到结果． 【解答】 解：椭圆y 24+x 23=1可得：a =2，b =√3，则c =√a 2−b 2=√4−3=1，椭圆的焦点在y 轴， 所以椭圆的焦点坐标为：(0,±1) ． 故答案为(0,±1) ．16.答案：2√2解析：【分析】本题主要考查了抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系．在涉及焦点弦的问题时常需要把直线与抛物线方程联立利用韦达定理进行求解，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则S △AOB =12|OF|⋅|y 1−y 2|.直线l 的方程即为x =1+y 代入y 2=4x 得：y 2−4y −4=0，由此能求出△OAB 的面积． 【解答】解：抛物线的焦点为F(1,0)， 直线l 的方程为y =x −1，直线l 的方程即为x =1+y ，代入y 2=4x 得： y 2−4y −4=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 则y 1+y 2=4，y 1y 2=−4，∴|y 1−y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=4√2， ∴S △AOB =12|OF|⋅|y 1−y 2|=12×4√2=2√2．故答案为：2√2．17.答案：解：设与直线4x +y −2=0平行的直线系方程为4x +y +m =0， ∵经过点A(3,2)， ∴m =−14，故所求直线方程为4x +y −14=0．解析：本题考查了相互平行的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题。
2024-2025学年重庆八中高二(上)第一次月考数学试卷(含答案)
2024-2025学年重庆八中高二（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数z 满足z(2−i)=3+4i(i 为虚数单位)，则|−z |的值为( )A. 1B. 5C. 5 53D. 5 52.已知α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，下列说法正确的是( )A. 若α//β，l ⊂α，m ⊂β，则l//mB. 若α⊥β，l ⊂α，则l ⊥βC. 若l ⊥α，α⊥β，则l//βD. 若l//α，m ⊥α，则l ⊥m3.“直线ax−(a +6)y +8=0与3x−ay +a−5=0平行”是“a =6”的( )条件．A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分必要D. 既不充分也不必要4.已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为120°，则(e 1+2e 2)⋅(e 2−e 1)=( )A. 32B. 3C. 52D. 55.圆x 2+y 2+2mx +4my +6=0关于直线mx +y +3=0对称，则实数m =( )A. 1B. −3C. 1或−3D. −1或36.直线l ：x + 3y− 3=0与圆C ：(x +2)2+(y−1)2=2交于A ，B 两点，则直线AC 与直线BC 的倾斜角之和为( )A. 120°B. 145°C. 165°D. 210°7.已知tan2θ=43，θ∈(0,π4)，若mcos(π4−θ)=cos(π4+θ)，则实数m 的值为( )A. −13B. −12C. 13D. 128.已知圆C ：(x−2)2+(y +1)2=5及直线l ：(m +2)x +(m−1)y−m−8=0，下列说法正确的是( )A. 圆C 被x 轴截得的弦长为2B. 直线l 过定点(3,2)C. 直线l 被圆C 截得的弦长存在最大值，此时直线l 的方程为x +y−1=0D. 直线l 被圆C 截得的弦长存在最小值，此时直线l 的方程为x−y−5=0二、多选题：本题共3小题，共18分。
重庆市第八中学2020级高二上期中考试数学(理科)
绝密★启用前重庆八中2018-2019年度（上）半期考试高二年级数学试题（理科）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮檫干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卷一并交回.满分150分，考试时间120分钟.一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.直线1y =+的倾斜角为（ ） A.3π B. 23π C. 6πD. 56π2.命题“若1x >，则21x >”的逆否命题为（ ） A. 若21x >，则1x >B. 若1x >，则21x ≤C. 若1x ≤，则21x ≤ D. 若21x ≤，则1x ≤3.已知抛物线()220x py p =>的焦点到准线的距离为6，则p =（ ） A. 24B. 12C. 6D. 34.焦点坐标为()()4,0,4,0-且实轴长为4的双曲线的标准方程为（ ）A.221412x y -= B. 2211612x y -= C. 221412y x -= D. 2211612y x -= 5.设,,a b c 是空间中的三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A.若,a b b c ⊥⊥，则a c ⊥B. 若,a b 是异面直线，,b c 是异面直线，则,a c 是异面直线C. 若,a b 是相交直线，,b c 是相交直线，则,a c 是相交直线D.若//,//a b b c ，则//a c6.已知,a b 均为正实数，则“1ab ≥”是“222a b +≥”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.椭圆221259x y +=上一点M 到左焦点1F 的距离为2，N 是1MF 的中点，则ON =（ ） A.32B. 2C. 4D. 88.若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是（ ）9.过三点()()()1,4,1,4,7,4A B C -的圆交y 轴于,M N 两点，则MN =（ ）A.3B.4 C. 6 D. 810.已知0mn ≠，点(),Q m n 是圆()222:0O x y r r +=>内一点，,A B 是圆O 上两点，若Q 是AB 中点，记AB所在直线为1l ，直线22:l nx my r -=，则下列结论正确的是（ ）A.12//l l 且2l 与圆相交B.12//l l 且2l 与圆相离C.12l l ⊥ 且2l 与圆相离D.12l l ⊥ 且2l 与圆相切11.若以()()123,0,3,0F F -为焦点的双曲线与直线1y x =-有公共点，则该双曲线的离心率的最小值为（ ）A.6B. 355C. 2D. 312.已知12,F F 分别是椭圆()2221024x y b b+=<<的左右焦点，过1F 的直线与椭圆交于,A B 两点，且1290F AF ∠=o.若12tan 2AF F ∠=，则2cos ABF ∠=（ ）A.53 B. 23 C. 45 D. 35二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.直线0x y -=关于直线1x =对称的直线方程是 14.如图是一个正方体表面的一种平面展开图，则图中的四条线段,,,AB CD EF GH 在原正方体中相互异面的有 对。
2019-2020学年重庆市南开中学高二(上)第一次月考数学试卷1 (含答案解析)
2019-2020学年重庆市南开中学高二（上）第一次月考数学试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.数列的前4项分别是1，3，6，10，则这个数列的一个通项公式是()A. a n=n2+1B. a n=n2−1C. a n=n(n+1)2D. a n=n(n−1)22.在等差数列{a n}中，a4+a8=0，a3+a6=9，则公差d=()A. 92B. −92C. 3D. −33.已知等比数列{a n}的各项均为正，5a3，a2，3a4成等差数列，则数列{a n}的公比是()A. 12B. 2 C. 13D. −24.在△ABC中，已知∠A=45°，∠B=60°，a=2，则b=()A. √6B. 2√6C. 3√6D. 4√65.在△ABC中，已知a=4，b=6，C=120°，则边c的值是()A. 8B. 2√17C. 6√2D. 2√196.等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a6+a7−a9=18，则S6−S3=()A. 18B. 27C. 36D. 457.在△ABC中，∠A=60°，BC=√10，D是AB边上的一点，CD=√2，△BCD的面积为1，则AC的长为()A. 2√3B. √3C. √33D. 2√338.已知S n是各项不为0的数列{a n}的前n项和，a n+2a n+1=a n+2+a n+1a n+1+a n，a2a10=3a3a8，则S3a1=A. −139B. −13 C. 139D. 139.数列{a n}满足a2=1，|a n+1−a n|=1n(n+2)，若a2n+1>a2n−1，a2n+2<a2n(n∈N∗)，则数列{(−1)n a n}的前2018项的和为()A. 20182019B. 10092019C. 20172018D. 1008201810.设甲、乙两楼相距10m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是()A. 10√33m，403√3m B. 10√3m，20√3mC. 10(√3−√2)m，20√3mD. 10√3m，403√3m11.已知数列{a n}的前n项和S n=2a n+p(n∈N∗)，若S5=31，则实数p的值为()A. 1B. 0C. −1D. −212.在△ABC中，b2=a2+c2−ac，若AC=2√3，则△ABC面积的最大值为()A. √3B. 2√3C. 3√3D. 4√3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知数列{a n}的前n项和为S n=pn2−2n，n∈N∗，b n=a1+2a2+3a3+⋯+na n1+2+3+⋯+n，若数列{b n}是公差为2的等差数列，则数列{a n}的通项公式为________．14.在△ABC中，已知bcosC+ccosB=2b，则ab=______ ．15.在△ABC中，若b=acosC，则△ABC的形状是________．16.设S n为数列{a n}的前n项和，a1=1，S n=2S n−1+n−2(n≥2)，则a n=_____;S n=______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知在等差数列{a n}中，a1=31，S n是它的前n项和，S10=S22．(1)求S n；(2)这个数列的前多少项的和最大，并求出这个最大值．18.已知在△ABC中，a=3√2，c=6，∠B=45°，(1)求边b的长．(2)求△ABC的面积．19.已知正项数列{a n}满足a2−a1=5，且对任意n∈N∗，√a n+1−√a n=1．(I)求数列{a n}的通项公式；(II)设bn =√a n2n，求数列{b n}的前n项和T n．20.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=2，且2bcosB=acosC+ccosA．(Ⅰ)求角B的大小；(Ⅱ)求△ABC面积的最大值．21.某海警基地码头O的正东方向40海里处有海礁界碑M，过点M且与OM成30°角(即北偏西60°)的直线l在此处的一段为领海与公海的分界线(如图所示)，在码头O北偏东60°方向领海海面上的A处发现有一艘疑似走私船(可疑船)停留．基地指挥部决定在测定可疑船的行驶方向后，海警巡逻艇从O处即刻出发，按计算确定方向以可疑船速度的2倍航速前去拦截，假定巡逻艇和可疑船在拦截过程中均未改变航向航速，将在P处恰好截获可疑船．(1)如果O和A相距6海里，求可疑船倍截获的P点的轨迹；(2)若要确保在领海内捕获可疑船(即P不能在公海上)，则O、A之间的最大距离是多少海里？22.已知数列{a n}满足a1=0，a n+1=(√a n+1+1)2−1(n∈N∗).(1)求证：数列{√a n+1}是等差数列．(2)设S n 为数列{(−1)n 2n+1a n+n+1}的前n 项和，若不等式−92S 2n <m−20192对一切n ∈N ∗恒成立，求正整数m 的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：【分析】本题考查数列的通项公式，属于基础题．由数列的前几项猜测通项是要注意观察第n项与项数n的关系，找到一般规律写出通项依次求出四个选项中的前四项a1,a2,a3,a4，与1，3，6，10比较可得正确选项．【解答】解：A、数列的前4项分别为：1，3，7，13，故A错误；B、由通项可知a1=0，故B错误；C、由通项可知数列前4项为：1，3，6，10，故C正确；D、由通项可知a1=0，故D错误；故选C．2.答案：D解析：【分析】本题考查了等差数列的通项公式是基础题．由已知a4+a8−(a3+a6)=3d得答案．【解答】解：∵a4+a8−(a3+a6)=3d=−9，∴d=−3．故选D．3.答案：C解析：【分析】本题考查了等数列和等比数列的综合运用，利用各项均为正数的等比数列{a n}，5a3，a2，3a4成等差数列，建立方程，即可求出等比数列{a n}的公比．解：设等比数列{a n}的公比为q，则∵各项均为正数的等比数列{a n}，5a3，a2，3a4成等差数列，∴2a2=5a3+3a4，∴3q2+5q−2=0，∵q>0，∴q=13，故选：C．4.答案：A解析：【分析】本题主要考查了正弦定理，特殊角的三角函数值的应用，属于基础题．由已知及正弦定理即可求得b=asinBsinA的值．【解答】解：∵∠A=45°，∠B=60°，a=2，∴由正弦定理asinA =bsinB，可得：b=asinBsinA =2×sin60°sin45°=√6．故选A．5.答案：D解析：解：在△ABC中，∵已知a=4，b=6，C=120°，则由余弦定理可得c2=a2+b2−2ab⋅cosC= 16+36−48×(−12)=76，∴c=√76=2√19，故选：D．由条件利用余弦定理求得c的值．本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题．6.答案：B解析：【分析】本题考查等差数列的通项与求和，考查学生的计算能力，属于中档题．利用等差数列的通项公式，即可得出结论．解：由题意，设公差为d，则2a1+10d+a1+6d−a1−8d=18，∴a1+4d=9，∴S6−S3=a1+3d+a1+4d+a1+5d=27．故选：B．7.答案：D解析：【分析】本题主要考查了正弦定理及余弦定理在求解三角形中的综合应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，是中档题．在△BDC中，通过三角形的面积及同角三角函数关系求出cos∠DCB，由余弦定理求出cos∠DBC，即可求解sin∠DBC，然后在△ABC中，由正弦定理可求AC．【解答】解：因为S△BCD=1，所以12×CD×BC×sin∠DCB=1，即sin∠DCB=√55，所以cos∠DCB=2√55，在△BCD中，cos∠DCB=CD2+BC2−BD22CD×BC =2√55，得BD=2，所以cos∠DBC=BD2+BC2−CD22BD×BC =3√1010，所以sin∠DBC=√1010．在△ABC中，由正弦定理，可知BCsin∠A =ACsin∠ABC，可得AC=BCsin∠ABCsin∠A =2√33．故选D．8.答案：D解析：【分析】本题考查等比数列的定义、性质以及前n项和公式.解题的关键利用已知条件确定出数列{a n}为等比数列，再利用等比数列的性质及前n项和公式求解即可．【解答】解：∵a n+2a n+1=a n+2+a n+1a n+1+a n，∴a n+2a n+1+a n+2a n=a n+2a n+1+a n+12，∴a n+12=a n a n+2，∴数列{a n }是等比数列，由等比数列性质知，a 2a 10=a 62，a 3a 8=a 5a 6，∴a 62=3a 5a 6， 由已知a 6≠0， ∴q =a 6a 5=3，∴S 3a 1=a 1(1−33)1−3a 1=13．故选D ．9.答案：B解析： 【分析】本题考查了数列递推关系及其单调性、分类讨论方法、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．数列{a n }满足a 2=1，|a n+1−a n |=1n(n+2)，则a n+1−a n =±1n(n+2)，利用n 为偶数时，a 2n+2<a 2n (n ∈N +)，n 为奇数时，，可得：n 为偶数时，a n+1−a n =−1n(n+2)，n 为奇数时，a n+1−a n =1n(n+2)，再由裂项相消求和，即可得到所求和．【解答】解：∵数列{a n }满足a 2=1，|a n+1−a n |=1n(n+2)， 则a n+1−a n =±1n(n+2)，∴a n+2−a n+1=±1(n+1)(n+3)． ∴a n+2−a n =±1n(n+2)±1(n+1)(n+3)，∵1n(n+2)>1(n+1)(n+3)，n 为偶数时，a 2n+2<a 2n (n ∈N +)， ∴a 2n+2−a 2n =−1n(n+2)±1(n+1)(n+3)，n 为奇数时，a 2n+1>a 2n−1，∴a 2n+1−a 2n−1=1n(n+2)±1(n+1)(n+3)， 综上可得：n 为偶数时，a n+1−a n =−1n(n+2)， n 为奇数时，a n+1−a n =1n(n+2)．∴数列{(−1)n a n }的前2018项的和为(a 2−a 1)+(a 4−a 3)+⋯+(a 2018−a 2017)=11×3+13×5+⋯+12017×2019=12[(1−13)+(13−15)++⋯+(12017−12019)]=12×(1−12019)=10092019．故选B．10.答案：D解析：【分析】作出示意图，根据三角函数的定义即可求出两楼高．本题考查了解三角形的实际应用，作出图形是解题关键，属于基础题．【解答】解：设甲，乙两楼为AB，CD，由题意可知BC=10，∠ACB=60°，∠DAE= 30°，∵tan∠ACB=ABBC=√3，∴AB=10√3，由AE=BC=10，tan∠DAE=DEAE =√33，∴DE=10√33，∴CD=CE+DE=AB+DE=40√33．故选D．11.答案：C解析：解：数列{a n}的前n项和S n=2a n+p(n∈N∗)，所以，n=1时，S1=2a1+p，a1=−p，n=2时，a1+a2=2a2+p，a1=−p，∴a2=−2p，n=3时，a1+a2+a3=2a3+p，a1=−p，a2=−2p，∴a3=−4pn=4时，a1+a2+a3+a4=2a4+p，a1=−p，a2=−2p，a3=−4p，∴a4=−8p，n=5时，a1+a2+a3+a4+a5=2a5+p，a1=−p，a2=−2p，a3=−4p，a4=−8p，∴a5=−16p，∵S5=31，∴31=2a5+p=−31p，∴p=−1．故选C．由题意求出a1，a2，a3，a4，a5，利用S5=31，即可求出p的值．本题是中档题，考查数列求法，递推关系式的应用，考查计算能力，本题由于考查项数和比较少，所以直接解答半径简洁，否则需要研究数列的特征，然后求解．12.答案：C解析：【分析】本题考查了基本不等式的性质、三角形的面积计算公式，属于基础题．利用基本不等式的性质、三角形的面积计算公式即可得出．【解答】解：∵b2=a2+c2−ac，AC=2√3=b，∴12≥2ac−ac，即ac≤12，当且仅当a=c=2√3时取等号，此时B=60°．∴△ABC面积．故选C．13.答案：a n=3n−72解析：【分析】本题考查的是数列的通项公式，属于基础题．【解答】解：由S n=pn2−2n，n∈N∗可知，当n=1时，a1=S1=p−2，当n≥2时，a n=S n−S n−1=2pn−p−2，a1=p−2符合上式，所以对任意的n∈N∗均有a n=2pn−p−2，则a n+1−a n=2p，因而数列{a n}是公差为2p的等差数列，a2=3p−2，b1=a1=p−2，b2=a1+2a21+2=7p−63，则b2−b1=7p−63−(p−2)=2，得2p=3，p=32，a1=−12，所以数列{a n}的通项公式为a n=−12+(n−1)×3=3n−72，n∈N∗．故答案为a n=3n−72．14.答案：2解析：解：将bcosC+ccosB=2b，利用正弦定理化简得：sinBcosC+sinCcosB=2sinB，即sin(B+C)=2sinB，∵sin(B +C)=sinA ，∴sinA =2sinB ，利用正弦定理化简得：a =2b ，则a b =2．故答案为：2．已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，再利用正弦定理变形即可得到结果．此题考查了正弦定理，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键． 15.答案：直角三角形解析：【分析】本题主要考查正弦定理的应用．属基础题．【解答】解：b =acosC 由正弦定理得：sinB =sinAcosC∵B =π−(A +C)，∴sinB =sin(A +C)=sinAcosC =sinAcosC +cosAsinC∴cosAsinC =0又A ，C ∈(0,π)，∴cosA =0，A =π2∴△ABC 是直角三角形．故答案为直角三角形． 16.答案：{1, n =12n−1−1, n ≥2n ∈N ∗; 2n −n,n ∈N ∗．解析：【分析】本题考查数列的递推关系、等比数列的通项公式、等比数列求和，属于较难题．推导出a n =S n −S n−1=S n−1+n −2,n ≥2，从而a n+1=S n +n −1，进而a n+1+1=2(a n +1)，由此得到{a n +1}是从第二项开始，公比为2的等比数列，由此可求出a n 的通项公式，由分组求和以及等比数列的求和公式即可求出S n 的值．【解答】解：因为S n 为数列{a n }的前n 项和，a 1=1，S n =2S n−1+n −2(n ≥2)，所以a n =S n −S n−1=S n−1+n −2,n ≥2①，所以a n+1=S n +n −1②，当n =2代入可得a 2=1，②−①，得：a n+1−a n =a n +1，所以a n+1=2a n +1，所以a n+1+1=2(a n +1)，所以a n+1+1a n +1=2,n ≥2，所以{a n +1}是从第二项a 2+1开始，公比为q =2的等比数列，所以a n +1=(a 2+1)·q n−2 =2n−1，(n ≥2)，所以a n =2n−1−1,n ≥2，即a n ={1, n =12n−1−1, n ≥2n ∈N ∗, S n =1+2×(1−2n−1)1−2−(n −1) =2n −n,(n ≥2).而S 1=1，即S n =2n −n,n ∈N ∗，故答案为{1, n =12n−1−1, n ≥2n ∈N ∗; 2n −n,n ∈N ∗． 17.答案：解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 1=31，S 10=S 22．∴10×31+10×92d =22×31+22×212d ，解得d =−2．∴S n =31n +n(n−1)2×(−2)=32n −n 2．(2)由(1)可得：S n =−(n −16)2+256，利用二次函数图象性质，故当n =16时，S n 有最大值，为256．解析：本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由a 1=31，S 10=S 22.可得10×31+10×92d =22×31+22×212d ，解得d.即可得出．(2)由(1)利用二次函数图象性质，即可得出S n 的最大值． 18.答案：解：(1)由余弦定理，得b 2=a 2+c 2−2accosB =18+36−36=18．故b =3√2．(2)△ABC 的面积S =12acsinB =12×3√2×6×sin45°=9．解析：(1)由余弦定理得b 2=a 2+c 2−2accosB =18，从而解得b =3√2．(2)求△ABC 的面积S =12acsinB =12×3√2×6×sin45°=9．本题考查的知识点是解三角形，考察三角形的面积公式的应用，考察余弦定理的应用，属于基础题．19.答案：解：(Ⅰ)由题得：{a 2−a 1=5 √a 2−√a 1=1，解得：a 1=4，a 2=9．由n∈N∗，√a n+1−√a n=1得：{√a n}成等差数列，公差为1，首项为2．√a n=√a1+(n−1)=n+1，即：数列{a n}的通项公式a n=(n+1)2(n∈N∗).(Ⅱ)由(Ⅰ)得：b n=n+12n，∴T n=b1+b2+⋯+b n=22+32+⋯+n+12①，1 2T n=222+323+⋯+n+12n+1②，①−②得：12T n=1+(122+123+⋯+12n)−n+12n+1，即：12T n=1+14(1−(12)n−1)1−12−n+12n+1，化简得：T n=3−n+32n．解析：(Ⅰ)由n∈N∗，√a n+1−√a n=1得：{√a n}成等差数列，公差为1，结合首项为2可得数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)由(Ⅰ)得b n，再由错位相减法求T n．本题考查了等差数列的通项公式与等比数列前n项和公式、错位相减法求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.答案：(本小题满分12分)解：(Ⅰ)∵2bcosB=acosC+ccosA，∴可得：2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sinB，∵sinB≠0，∴cosB=12，由B∈(0,π)，可得：B=π3．(Ⅱ)∵b=2，B=π3，∴由余弦定理可得ac=a2+c2−4，∴由基本不等式可得ac=a2+c2−4≥2ac−4，可得：ac≤4，当且仅当a=c时，“=”成立，∴从而S△ABC=12acsinB≤12×4×√32=√3．故△ABC面积的最大值为√3．解析：(Ⅰ)由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得2sinBcosB=sinB，结合sinB≠0，可求cos B的值，进而可求B的值．(Ⅱ)由余弦定理，基本不等式可得：ac≤4，进而利用三角形面积公式即可得解△ABC面积的最大值．本题考查解三角形的相关知识，考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．21.答案：解：(1)由题意知点A(6cos3°,6sin30°)，即A(3√3,3)；设走私船能被截获的点为P(x,y)，则|OP|=2|AP|，即√x2+y2=2√(x−3√3)2+(y−3)2，整理得：(x−4√3)2+(y−4)2=16．∴走私船能被截获的点的轨迹是以(4√3,4)为圆心，以4为半径的圆；(2)由题意知，直线l的方程为y=−√33(x−40)，即√3x+3y−40√3=0；设|OA|=t，则A(√32t,12t)(t>0)，设走私船能被截获的点为P(x,y)，则|OP|=2|AP|，∴√x2+y2=2√321 2整理得：(x−2√33t)2+(y−23t)2=49t2，∴走私船能被截获的点的轨迹是以C(2√33t,23t)为圆心，以23t为半径的圆．若保证在领海内捕获走私船，则圆心C到直线l的距离d≥r；即|√3×2√33t+3×23t−40√3|√3+9≥23t，整理得t2−30√3t+450≥0，解得t≤15(√3−1)或t≥15(√3+1)(不合题意，舍去)，∴O，A之间的最远距离是15(√3−1)海里．解析：(1)由题意知点A坐标，设点P(x,y)，利用|OP|=2|AP|列方程求得点P的轨迹方程；(2)求得直线l的方程，设|OA|=t、点P(x,y)，利用|OP|=2|AP|求得点P的轨迹方程，利用点到直线的距离列不等式求出O、A间的最远距离．本题考查了轨迹方程的求解以及直线与圆的位置关系应用问题，是中档题．22.答案：解：(1)证明：∵a1=0，a n+1=(√a n+1+1)2−1，∴a n+1+1=(√a n+1+1)2>0，∴√a n+1+1=√a n+1+1，即√a n+1+1−√a n+1=1，∴数列{√a n+1}是公差为1的等差数列；(2)∵a1=0，∴√a1+1=1，∴√a n+1=1+(n−1)=n，∴a n=n2−1，∴(−1)n2n+1a n+n+1=(−1)n2n+1n2+n=(−1)n2n+1n(n+1)=(−1)n1n+1+(−1)n1n，∴S2n=−1−12+12+13−13−14+...−12n−1−12n+12n+12n+1=−1+12n+1>−1，∵−92S2n<m−20192对一切n∈N∗恒成立，∴−92×(−1)≤m−20192，解得m≥2028，∴正整数m的最小值为2028．解析：本题考查不等式的恒成立问题、等差数列的通项公式、等差数列的判定与证明、裂项相消法，属于中档题．(1)由a n+1=(√a n+1+1)2−1，得出√a n+1+1=√a n+1+1，即可证出结果；(2)求出a n，得出(−1)n2n+1a n+n+1=(−1)n1n+1+(−1)n1n，求出S2n，利用不等式恒成立的知识点，即可求出结果．。
重庆八中高2020级高二(上)第一次月考高二(文)数学无答案
A. 3
B. 4
C. 6
D . 18
3、中心在坐标原点且一个焦点为
6,0 的等轴双曲线的实轴长是
A. 3 2
B. 6 2
C. 2 6
D. 4 6
2
4、点 O 为坐标原点，点 P 在圆 x 3
y2Leabharlann 1 上，则以 OP 为直径的圆的面积最大值为
A. 2
B. 4
C. 9
D . 16
5、直线 l1 : x ay 6 0 与直线 l2 : a 2 x 3y 2a 0 平行，则 l1与 l2 间的距离为
A. 5x 2 y 0
B. 2x 5y 0 C. 4x 5y 0
D . 5x 4y 0
11、已知直线 mx y 3m 3 0 m 0 与圆 x2 y2 12交于点 A, B 两点，过点 A, B
分别作 x 轴的垂线，垂足分别为 C , D 两点，若 CD 6 ，则 m 为
A. 3
3 B.
3
3 C.
3
A. 2
82 B.
3
C. 3
83 D.
3
1
x2
y2
x2
y2
6、若 m 1 ，则椭圆
1 与双曲线
1
2
4m 4m 1
m 1m
A. 焦距相等 C. 长轴长与实轴长相等
B. 离心率相等 D . 段中欧长与虚轴长相等
x2 7、双曲线 a 2
y2 a2 1 1 a
2 的离心率的取值范围为
7 A. 1,
2
B. 7 ，2 2
D. 3
x2 y 2 12、已知点 O 为坐标原点， 点 A1, A2 分别是椭圆 C : a 2 b2 1 a b 0 的左右顶点， 点
2020届重庆市第八中学高三上学期第一次月考数学(理)试题(解析版)
2020届重庆市第八中学高三上学期第一次月考数学（理）试题一、单选题1．设集合{}{1346{|25}}51A B C x R x ∈≤＝，，，，＝，，＝＜，则()A B C ⋃⋂＝（ ）A ．{}2B ．14}2{3，，，C ．1234{}5，，，，D ．1{4|}x R x ∈≤≤﹣【答案】B【解析】根据并集和交集的定义，计算即可． 【详解】解：集合}1346}5{2{A B =，，，，=，， 3{}12456A B ∴U =，，，，，；又集合{|}15C x x ∈≤R =＜，()}1234{A B C ∴U I ＝，，，．故选：B ． 【点睛】本题考查了集合的定义与交并运算，属于基础题． 2．已知3log 0.3a =，0.33b =，0.20.3c =，则（ ） A ．a b c << B ．b c a <<C ．c a b <<D ．a c b <<【答案】D【解析】根据函数的单调性及特殊值即可比较三数的大小. 【详解】因为33log 0.3log 10a =<=，0.30331b =>=，0.2000.30.31c <=<=， 所以a c b << 故选：D 【点睛】本题主要考查了指数函数，对数函数的单调性，及特殊值在比较大小中的应用，属于中3．已知复数z =z z =g （ ）A ．1B ．2C ．iD ．i -【答案】A【解析】由商的模等于模的商求出||z ，再由2||z z z =g 求解． 【详解】解：z =Q ，1z ∴====21z z z ∴==g故选：A ． 【点睛】本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，属于基础题． 4．已知等比数列{}n a 满足13542,1681a a a a -＝＝，则2a ＝（ ） A ．2 B ．1C ．12D ．18【答案】B【解析】利用等比数列的通项公式11n n a a q -=即可得出．【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，13542,1681a a a a -Q ＝＝， 263162821q q ∴⨯⨯⨯-＝， 化为63641610q q -+＝， 解得381q ＝， 解得12q =． 则21212a =⨯=．故选：B ．本题考查了等比数列的通项公式、一元二次方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．()()52x y x y ++的展开式中33x y 的系数为（ ） A ．10 B ．20 C ．、30 D ．40【答案】C【解析】把5()x y +按照二项式定理展开，可得5(2)()x y x y ++的展开式中33x y 的系数． 【详解】解： ()()()()505145555522++x y x y x y C x C x y C y++++Q L ＝，故它的展开式中含33x y 的项有的3335C x y 和23352C x y 故33x y 的系数为3255230C C +=，故选：C ． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．6．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其它元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设、在放射性同位素铯137衰变过程中，其含量M （单位：太贝克）与时间t （单位：年）满足函数关系：30()6002tM t -=g ，则铯137含量M 在30t ＝时的瞬间变化率为（ ） A ．102ln ﹣（太贝克/年） B ．3002ln （太贝克/年） C ．3002ln ﹣（太贝克/年） D ．300（太贝克/年）【答案】A【解析】求出函数()M t 的导函数，令30t =即可得到含量M 在30t =时的瞬间变化率． 【详解】解：依题意，30()6002tM t -=g30301()60022202230t tM t ln ln --∴'=-⨯⨯=-⨯，所以铯137含量M 在30t =时的瞬间变化率为：1(30)2022102M ln ln -'=-⨯=-（太贝克/年），【点睛】本题考查了复合函数的导数的计算，对数函数的导数，导数与瞬时变化率，属于基础题． 7．已知,,,a b c d R ∈且2030a b ac ≠≤，"﹣”是“函数()32f x ax bx cx d +++＝在R上单调”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】函数32()f x ax bx cx d =+++在R 上单调()0f x ⇔'…或()0f x '„在R 上恒成立，利用二次函数的图象与性质即可得出． 【详解】解：232f x ax bx c '++（）＝， 函数()32f x ax bx cx d +++＝在R 上单调()0f x ∴'≥或()0f x '≤在R 上恒成立204120a b ac >⎧∴⎨∆=≤⎩﹣，或24120a b ac <⎧⎨∆=≤⎩﹣，即230b ac ≤﹣． ∴“230b ac ≤﹣”是“函数()32f x ax bx cx d +++＝在R 上单调”的充要条件．故选：C ． 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、二次函数的图象与性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．已知函数())21f x ln x =-，则()133f lg f lg ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝（ ）A ．1-B ．0C ．2D ．2-【答案】D【解析】可以求出()2)1f x ln x -=--，从而可得出()()2f x f x +-=-，从而可求出1(3)()23f lg f lg +=-．【详解】解：())21f x lnx =-Q()2)112)1f x ln x ln x ∴-=-==--()()2f x f x ∴-+=-，∴1(3)()(3)(3)23f lg f lg f lg f lg +=+-=-．故选：D ． 【点睛】考查对数的运算性质，奇函数的定义，以及分子有理化的方法．9．重庆已经成为中外游客旅游的热门目的地之一，比如洪崖洞，长江索道，李子坝穿楼轻轨已经成为网红景点，旅游的必到打卡地．现有4名外地游客来重庆旅游，若每个人只能从上述三个网红景点中选择一处进行游览，则每个景点都有人去游玩的概率为（ ） A ．89B ．49C ．619D ．34【答案】B【解析】基本事件总数4381n ==，每个景点都有人去游玩包含的基本事件个数234336m C A ==，由此能求出每个景点都有人去游玩的概率．【详解】解：洪崖洞，长江索道，李子坝穿楼轻轨已经成为网红景点，旅游的必到打卡地． 现有4名外地游客来重庆旅游，若每个人只能从上述三个网红景点中选择一处进行游览，则基本事件总数4381n ==，每个景点都有人去游玩包含的基本事件个数234336m C A ==，则每个景点都有人去游玩的概率为364819m p n ===． 故选：B ． 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10．设函数()()223log 3,142,1x x f x x x x ⎧--≤-=⎨-++>-⎩，若()f x 在区间[],4m 上的值域为[36]﹣，．则实数m 的取值范围是（ ）【答案】C【解析】画出函数()f x 的图象，数形结合易得答案． 【详解】()()223log 3,142,1x x f x x x x ⎧--≤-=⎨-++>-⎩Q所以函数()f x 的图象如图所示，令()23log 36x --=，解得8x =- 结合图象易得当]8[,1m -∈-时，()36[]f x -∈，．故选：C ． 【点睛】本题考查了函数的值域和定义域的关系，关键是画图，属于基础题．11．已知双曲线 ()2222:10x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,,F F O 为坐标原点，点P 在双曲线右支上，且()220PF OP OF +=u u u r u u u r u u u rg ，若直线1PF 的倾斜角为θ且5sin 29θ=，则双曲线E 的离心率为（ ） A ．32B ．3C 5D 5【答案】A【解析】证明12PF PF ⊥，用θ和c 表示出P 到两焦点的距离，根据三角变换公式即可求出ca的值． 【详解】Q 22()0PF OP OF +=u u u u r u u u r u u u u rg ，2OM PF ∴⊥，又OM 是△12PF F 的中位线，1//OM PF ∴， 12PF PF ∴⊥．又122F F c =，12PF F θ∠=， 12cos PF c θ∴=g ，22sin PF c θ=g ，由双曲线的定义可知122PF PF a -=，即2(cos sin )2c a θθ-=，1cos sin c e a θθ∴==-， 24(cos sin )12sin cos 1sin 29θθθθθ-=-=-=Q ， 2cos sin 3θθ∴-=， 故32e =． 故选：A ．【点睛】本题考查了双曲线的定义与性质，向量数量积与向量垂直的关系，考查三角恒等变换，属于中档题． 12．设函数()()()2019,2020[]xf x esinx cosx x ππ--∈﹣＝．过点1,02A π+⎛⎫⎪⎝⎭作函数()f x 图象的所有切线，则所有切点的横坐标之和为（ ） A ．2019π B ．2020πC ．20192π D ．1010π【解析】根据题意，所有切线过点A ，显然点A 不一定为切点，因此先设切点0(x ，0)y ，对()f x 求导，得切线斜率，从而写出切线方程，点A 坐标代入，得到关于0x 的方程： 00tan 2()2x x π=-，注意到函数1tan y x =与函数22()2y x π=-都关于点(,0)2π对称，因此推出所有切点的横坐标也关于点(,0)2π成对出现，每对和为π，当[2019x π∈-，2020]π时，数出共2019对，即可得出结论．【详解】解：Q 函数xf x e sinx cosx ﹣（）＝（﹣）， '2x f x e cosx ∴﹣（）＝；设切点为()()0000,sin cos x x ex x --，切线的斜率为002cos xk e x -=故切线方程为：()()00000sin cos 2cos x xy ex x e x x x ----=-；()00000010sin cos 2cos 2x x e x x e x x π--+⎛⎫∴--=- ⎪⎝⎭；∴00tan 22x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令 12tan ,22y x y x π⎛⎫==-⎪⎝⎭； 这两个函数的图象关于,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称， 所以他们交点的横坐标关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称； 从而所做所有切点的横坐标也关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭成对出现；又在区间201920[]20ππ﹣，内共有2019对，每对和为π， ∴所有切点的横坐标之和为2019π．故选：A ． 【点睛】本题考查了函数曲线上切线方程的求法，转化思想，数形结合的思想方法，属于难题．13．函数()221f x cos x sinx+＝﹣的最大值是_____． 【答案】98【解析】利用同角三角函数基本关系式以及换元法，结合二次函数的性质求解函数的最大值即可． 【详解】解：函数()222121f x cos x sinx sin x sinx =+-=-++，令]11[sinx t =∈﹣，； 所以221y t t =++-，当14t =时，函数取得最大值： max 119211648y =-⨯++=． 故答案为： 98． 【点睛】本题考查三角函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，属于基础题．14．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()3xf x m +＝（m 为常数），()94f log -则的值为_____．【答案】-1【解析】由题设条件可先由函数在R 上是奇函数求出参数m 的值，求出函数的解板式，再由奇函数的性质得到93(log 4)(log 2)f f -=-，代入解析式即可求得所求的函数值． 【详解】解：由题意，()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x …时()3(x f x m m =+为常数），0(0)30f m ∴=+=，解得1m =-，故有0x …时()31x f x =-．()32993(log 4)(log 4)(log 2)311log f f f ∴-=-=-=--=-． 故答案为：1-． 【点睛】本题考查函数奇偶性质，解题的关键是利用(0)0f =求出参数m 的值，再利用性质转化求值，本题考查了转化的思想，方程的思想，是中档题．15．设m n ，是两条不同的直线，αβγ，，是三个不同的平面，有下列四个命题：③若//m n αβγαγβ⋂⋂，＝，＝，则//m n ； ④若m 与αβ，所成角相等，则//αβ．其中正确的命题有_____．（填写所有正确命题的编号） 【答案】③【解析】由两个平面的位置关系，结合面面垂直的定义可判断①；由面面垂直的性质和线线的位置关系可判断②；由面面平行的性质定理可判断③；由线面角的定义和面面的位置关系可判断④． 【详解】解：m n ，是两条不同的直线，αβγ，，是三个不同的平面， ①，若αββγ⊥⊥，，可能αγ，相交或//αγ，故①错误；②，若m n αβαβ⊥⊂⊂，，，可能m n ，平行或相交或异面，故②错误； ③，若//m n αβγαγβI I ，=，=，由面面平行的性质定理可得//m n ，故③正确； ④，若m 与αβ，所成角相等，可能αβ、相交或平行，故④错误． 故答案为：③． 【点睛】本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，主要是平行和垂直的判定和性质，考查空间想象能力和推理能力，属于基础题．16．如图有一个帐篷，它下部的形状是高为2（单位：米）的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为6（单位：米）的正六棱锥．则帐篷的体积最大值为_____立方米．【答案】1283【解析】设出顶点O 到底面中心1O 的距离，再求底面边长和底面面积，求出体积表达式，利用导数求出高为何时体积取得最大值． 【详解】则由题设可得正六棱锥底面边长为：2226(2)324()x x x m --=+-． 于是底面正六边形的面积为2223336(324)(324)()x x x x m ⨯⨯+-=+-， 帐篷的体积为()13V x V V S h h ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭棱柱棱锥底面棱柱棱锥．可得：233313()(324)[2(2)](12848)3V x x x x x x =+-⨯+-=+-． 求导数，得233()243V x x '=-． 令()0V x '=，解得4x =-（舍去），4x =． 当24x <<时，()0V x '>，(x)V 为增函数； 当48x <<时，()0V x '<，(x)V 为减函数．∴当4x =时，(x)V 有最大值为31283()m ．故答案为：1283． 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力，属于中档题．三、解答题17．如图1，在六边形ABCDEF 中，45//3AB AF DC DE BC EF BC EF ＝＝，＝＝，，＝＝．如图2，将ABF DCE V V ，分别沿着BF CE ，折起，使点A ，点D 恰好重合于点M ．（1）求证：平面MBF ⊥平面BCEF ；（2）若2BF ＝，求直线BM 与平面CEM 所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)31016【解析】（1）推导出BM BC ⊥，FM FE ⊥，由//BC FE ，得BC MF ⊥，从而BC ⊥平面BMF ，由此能证明平面MBF ⊥平面BCEF ．（2）取BF 中点O ，连结MO ，则MO BF ⊥，从而MO ⊥平面BCEF ，且15MO =，取CE 中点N ，连结MN ，由5MC ME ==，则MN CE ⊥，且26MN =，设B 到平面MCE 的距离为h ，由M BCE B MCE V V --=，得3104h =，由此能求出直线BM 与平面CEM 所成角的正弦值．【详解】解：（1）证明：由已知45AB AF DC DE ＝＝，＝＝，得453BM CM BC ＝，＝，＝，BM BC ∴⊥，同理，FM FE ⊥，又//BC FE BC MF ∴⊥，，BM MF M =Q I ，BM ⊂平面BMF ，MF ⊂平面BMF ，BC ∴⊥平面BMF ，BC ⊂Q 平面BCEF ∴，平面MBF ⊥平面BCEF ；（2）解：取BF 中点O ，连结MO ， MB MF Q =，则MO BF ⊥，又平面BMF ⊥平面BCEF 于BF ，则MO ⊥平面BCEF ，且15MO =， 又取CE 中点N ，连结MN ，由5MC ME ==， 则MN CE ⊥，且26MN ＝， 设B 到平面MCE 的距离为h ，由M BCE B MCE V V --＝，得1111153********h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯， 解得310h =， 设直线BM 与平面CEM 所成角为θ， 则直线BM 与平面CEM 所成角的正弦值310sin 16h BM θ==．【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．18．某省数学学会为选拔一批学生代表该省参加全国高中数学联赛，在省内组织了一次预选赛，该省各校学生均可报名参加.现从所有参赛学生中随机抽取100人的成绩进行统计，发现这100名学生中本次预选赛成绩优秀的男、女生人数之比为4:1，成绩一般的男、女生人数之比为8:7.已知从这100名学生中随机抽取一名学生，抽到男生的概率是0.6.（1）请将下表补充完整，并判断是否有95%的把握认为在本次预选赛中学生的成绩优秀与性别有关？（2）以样本估计总体，视样本频率为相应事件发生的概率，从所有本次预选赛成绩优秀的学生中随机抽取3人代表该省参加全国联赛，记抽到的女生人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望.参考公式：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++；临界值表供参考：【答案】（1）填表见解析,有95%的把握认为二者有关；（2）详见解析【解析】(1)由已知概率和比例完善列联表，进行独立性检验得解；(2)随机变量服从二项分布，根据二项分布的数据特征值求解. 【详解】解析：（1）根据表中所给数据计算可得：()22100203540550 3.841604025759K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，故有95%的把握认为二者有关；（2）由题知13,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭:，故X 的分布列为：()13355E X =⨯=.【点睛】本题考查独立性检验和二项分布，属于中档题.19．已知函数()()2203xxf x f e e x '+=﹣． （1）求()f x 的解析式；（2）设()22g x x axa +＝﹣，若对任意()()2x f x g x ≥≥，，求a 的取值范围． 【答案】(1) ()23xf x e x += (2) 33a e ≤【解析】（1）求导，求出(0)f '，代入即可；（2）2x =，显然成立，2x >，分离参数，构造()h x ，求出()h x 的最小值，即可求出a 的范围． 【详解】解：（1）2()2(0)3x x f x f e e x ='-+Q ．()2(0)32x f x f e x ''∴=-+，由(0)2(0)30f f ''=-+，得(0)3f '=， 所以2()3x f x e x =+，（2）若对任意2x …，()()f x g x …，即32x e ax a >-， 当2x =时，a R ∈；当2x >时，参变分离，32x e a x -„恒成立，令3()(2)2xe h x x x =>-，23(3)()(2)x e x h x x -'=-，当(2,3)x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减； 当(3,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增； 所以3()(3)3min h x h e ==， 故33a e „． 综上，33a e „． 【点睛】考查求导法求解析式，和分离参数求函数的最值，属于中档题．20．已知椭圆 ()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为3，且过点22,.,2A B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎭是椭圆的左、右顶点，直线l 过B 点且与x 轴垂直．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设G 是椭圆C 上异于A B 、的任意一点，作⊥GH x 轴于点H ，延长HG 到点Q 使得HG GQ ＝，连接AQ 并延长交直线l 于M 点，N 点为线段MB 的中点，判断直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系，并证明你的结论．【答案】(1) 2214x y += (2) 直线QN 与以AB 为直径的圆O 相切． 证明见解析【解析】（1）利用离心率和a ，b ，c 的平方关系，即可求出椭圆C 的标准方程； （2）设0(G x ，0)y ，则0(Q x ，02)y ，联立直线AQ 的直线方程与2x =，求出点M 的坐标，再求出点N 的坐标，从而求出直线QN 的方程，再求出(0,0)O 到直线QN 的距离d ，因为1||2d AB =，所以直线QN 与以AB 为直径的圆O 相切． 【详解】解：（1）Q 椭圆 ()2222:10x y C a b a b +=>>⎭，22222221212c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪∴+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2214b a ⎧=⎨=⎩，∴椭圆C 的标准方程为： 2214x y +=； （2）设00G x y （，），则00220Q x y A ∴（，），（﹣，）， ∴直线AQ 的方程为()00222y y x x =++， 联立()002222x y x x x ⎧=+⎪+⎨⎪=⎩，解得00282x y y x =⎧⎪⎨=⎪+⎩，∴点M 0082,2x ⎛⎫⎪+⎝⎭，∴点0042,2y N x ⎛⎫⎪+⎝⎭， 则直线QN 的方程为()000004222y x y y x x x +-=--，即200002480x y x x y y ---（）＝， 220014x y +=Q ，∴直线QN 的方程可化为00240x x y y +-＝，00O ∴（，）到直线QN的距离为122d AB ==-， 故直线QN 与以AB 为直径的圆O 相切． 【点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系，属于中档题． 21．已知函数()f x lnx ax =-．（1）若()f x 存在最大值()g a ，证明：()g a a ≥-；（2）函数()()•h x x f x ＝，且()h x 只有一个极值点0x ，求a 的取值范围，并证明：()01h x e≥-【答案】(1) 证明见解析(2) (],0-∞,证明见解析【解析】（1）先求函数()f x 的导数，分a 的范围讨论函数是否有最大值，并且在有最大值时根据函数的单调性求g （a ）a +的最小值等于零即可；（2）求函数()h x 的导数，且()0h x '=只有一个根，且定义域内根的两边区间的符合相反，求出根0x ，并证明0()h x 的最小值大于等于1e-即可． 【详解】解：（1）由题意：11()(0)axf x a x x x-'=-=>， 当0a „时，()0f x '>恒成立，函数()f x 单调递增，无最大值；当0a >，()f x 在1(0,)a单调递增，1(a ，)+∞上单调递减，所以函数()f x 在(0,)+∞最大值为1()1f lna a=--，所以()1g a lna =--，下面证明1lna a ---…，即证：10a lna --…，令()1v a a lna =--，()111a v a a a-'=-=， 所以()v a 在(0，1]单调递减，在(1,)+∞单调递增， 所以()()10v a v ==最小值，所以()g a a ≥-，证毕．（2）2()h x xlnx ax =-，所以()12h x lnx ax '=+-，设()()12g x h x lnx ax '==+-，1()2g x a x'=-， ①当0a >时，令()0g x '=，解得12x a=，1(0,)2x a ∈，()0g x '>，()g x 单调递增，1(,)2x a∈+∞，()0g x '<，()g x 单调递减， 若1()02g a„，()0h x '„恒成立，()h x 无极值； 若1()02g a >，1()02h a '>，而12()0a h e e '=-<，212()210h lna a a'=-+-<，此时函数()h x 有两个极值点： 故0a >不符合题意②0a =时，1(0,)x e ∈，()0h x '<，()h x 单调递减，1(,)x e∈+∞，()0h x '>，()h x 单调递增，所以函数()h x 有唯一的极小值点1e，11()h e e =-；③当0a <，()0g x '>恒成立，()()g x h x '=单调递增，取b 满足102b a<<-，且210b e<<时，()0h b '<，而12()0ah e e '=->，此时又零点存在定理知：()0h x '=有唯一的零点0x ，()h x 只有一个极值点0x ，且01(0,)x e ∈，由题知20000()h x x lnx ax =-，又000()12h x lnx ax '=+-，001(1)2ax lnx ∴=+，000001()(1)2h x x lnx x lnx ∴=-+，设11()22u x xlnx x =-， 1()2u x lnx '∴=，当1(0,)x e∈，()0u x '<，()u x 单调递减，11()()u x u e e ∴>=-，01()h x e∴>-成立，综上：函数()h x 只有一个极值点0x 取值范围(-∞，0]，且01()h x e-…．【点睛】考查用导数研究函数的单调性，并几次用导数来求最值，属于难题．22．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ＝．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|•8|OM OP ＝，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程； （2）射线()03πθρ=>与曲线12,C C 分别交于,A B 两点，求AB ．【答案】(1) ()()2211,0x y y +-≠＝ (2)【解析】（1）设点(M M ρ，)θ，点(,)P ρθ，(0)ρ>，由||||8OM OP =g ，得到8M ρρ=g ，由此能求出点P 的轨迹2C 的直角坐标方程．（2）设点(A A ρ，)3π，点(B B ρ，)3π，分别代入1C ，2C 的极坐标方程中，解得A ρ=，B ρ=，由此能求出||AB ．【详解】解：（1）设点(),M M ρθ，点()(),0P ρθρ>，M Q 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足•8OM OP ＝， •8M ρρ∴＝，4M sin ρθQ ＝，代入点P 的轨迹方程为：()2,0sin ρθρ>＝， 22sin ρρθ∴＝，∴点P 的轨迹2C 的直角坐标方程为2211,0x y y +-≠（）＝（）．（2）设点,3A A ρπ⎛⎫⎪⎝⎭，点,3B B ρπ⎛⎫⎪⎝⎭， 分别代入12C C ，的极坐标方程中， 则sin 4,33A B πρρπ=＝2sin，解得A B ρρ，||A B AB ρρ-=∴＝ 【点睛】本题考查点的轨迹的直角坐标方程的求法，考查线段长的求法，考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 23．已知x y z R ∈，，，且26x y z ++＝． （1）求222x y z ++的最小值；（2）若()2221x y z a ++-≥成立，求a 的取值范围．【答案】(1) 最小值为6．(2) (),66⎡-∞⋃++∞⎣【解析】（1）利用柯西不等式即可求解； （2）利用柯西不等式即可求解. 【详解】（1）由柯西不等式， 得：()()()22222221212x y zx y z ++++≥++即：()222266x y z++≥，2226x y z ∴++≥，当且仅当1,2x z y ===时等号成立，故：222x y z ++的最小值为6． （2）由柯西不等式，得：()()()22222221212x y z a x y z a ⎡⎤++-++≥++-⎣⎦．即： ()()222266a x y z a -++-≥， 当且仅当51,2,1636a a a x y z =-=-=+时取等号，只需()2616a -≥，解得：66a a ≤-≥．故：a 的取值范围为：(),66⎡-∞⋃++∞⎣【点睛】本题考查了柯西不等式的运用能力，考查学生的计算能力．属于基础题。
重庆市2019-2020学年高二上学期11月月考数学试题(解析版)
数学试卷一、选择题1.已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值是( )A. 1B. 15C. 35D. 75 【答案】D【解析】试题分析：由的坐标可得，，两向量互相垂直则，即()312220k k ⨯-+⨯-⨯=，解得75k =． 考点：两向量垂直坐标满足的条件． 2.在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，若F ，G 分别是棱AB ，CC 1的中点，则直线FG 与平面A 1ACC 1所成角的正弦值等于( )A. B.C. D. 6【答案】D【解析】【分析】过F 作BD 的平行线交AC 于M ，则∠MGF 即为直线FG 与平面A 1ACC 1所成的角，易得FM MG ⊥，从而可得解.【详解】方法一 过F 作BD 的平行线交AC 于M ，则∠MGF 即为直线FG 与平面A 1ACC 1所成的角． 设正方体棱长为1，由FM //BD ,所以FM ⊥面A 1ACC 1，所以FM MG ⊥则MF ，GF ，∴sin ∠MGF ＝FM MG =. 方法二 如图，分别以AB ，AD ，AA 1为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设正方体棱长为1，则易知平面A 1ACC 1的一个法向量为n ＝(－1,1,0)．∵F 1(,0,0)2，G 1(1,1,)2，∴FG ＝11(,1,)22.设直线FG 与平面A 1ACC 1所成角为θ， 则sin θ＝|cos 〈n ，FG 〉|＝12n FG n FG ⋅=⋅答案：D.【点睛】本题考查直线与平面所成的角的求解，考查学生的推理论证能力，属中档题．求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可．面面角一般是要么定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，要么建系来做.3.如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC 的直观图，则在△ABC 的三边及中线AD 中，最长的线段是( )A. ABB. ADC. BCD. AC【答案】D【解析】因为A′B′与y ′轴重合，B′C ′与x ′轴重合，所以AB⊥BC，AB=2A′B′，BC=B′C′.所以在直角△ABC 中，AC 为斜边，故AB<AD<AC ，BC<AC.故选D.4.在下列四个命题中，正确的共有（ ）①坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率；②直线的倾斜角的取值范围是[0,]π；③若一条直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α；④若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α．A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个 【答案】A【解析】【分析】根据倾斜角与斜率定义与关系进行判断选择.【详解】由于和x 轴垂直的直线的倾斜角为90︒，而此直线没有斜率，故①不正确；直线的倾斜角的取值范围是[)0,180︒，故②不正确；若一条直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为180k βα=+⨯︒，k Z ∈，且0180β︒≤≤︒，故③不正确；若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率不一定为tan α，如当90α=︒时，tan α不存在，故④不正确． 综上可知，四种说法全部不正确．选A.【点睛】本题考查斜率与倾斜角关系，考查基本分析判断能力，属基础题.5. 过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比（ ） A. 316 B. 916 C. 38 D. 932【答案】A【解析】222222222R M r R 1/4R r 3/4R r S 4R M r 3/4R 3/4R24R 316316πππππ=+∴=∴===球解：设球的半径为，圆的半径，由图可知，，，，截面圆的面积为：，则所得截面的面积与求的表面积的比为：：：故答案为：：6.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，棱锥1A ABCD -的体积与长方体1AC 的体积的比值为（ ） A. 12 B. 16 C. 13 D. 15【答案】C【解析】【分析】设长方体过同一顶点的棱长分别为,,a b c ，分别求出棱锥1A ABCD -的体积和长方体1AC 的体积，由此能求出棱锥1A ABCD -的体积与长方体1AC 的体积的比值.【详解】解：设长方体过同一顶点的棱长分别为a b c ，，，则长方体的体积为1V abc =，四棱锥1A ABCD -的体轵为213V abc =， 所以棱锥1A ABCD -的体积与长方体1AC 的体积的比值为13. 故选：C. 【点睛】本题考查四棱锥体积与长方体体积的比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养.7.若两平行直线240x y +-=与22y x k =---k 的取值范围是（ ）A. [11,1]--B. [11,0]-C. [11,6)(6,1]--⋃--D. [1,)-+∞【答案】C【解析】 两平行直线为240x y +-=和220x y k +++=，所以d =≤111k -≤≤-，又24k +≠-，得6k ≠-，所以k 的取值范围是[)(]11,66,1--⋃--，故选C ．点睛：两平行线的距离公式是d =要求两直线的,a b 是相同的，由题意解得111k -≤≤-，同时还需，满足两平行直线不重合，所以12c c ≠，得到6k ≠-，综合得到k 的取值范围．本题需要学生对平行线的距离公式掌握，且两直线平行，则不重合．8.已知直线1:l y kx b =+，2:l y bx k =+，则它们的图象可能为（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据直线的倾斜方向和纵截距的正负确定两个直线方程,k b 的正负后可得正确的选项.【详解】对于A ，直线1l 方程中的0,0k b <>，直线2l 方程中的0,0k b >>，矛盾；对于B ，直线1l 方程中的0,0k b ><，直线2l 方程中的0,0k b >>，矛盾；对于C ，直线1l 方程中0,0k b >>，直线2l 方程中的0,0k b >>，符合；对于D ，直线1l 方程中的0,0k b <>，直线2l 方程中的0,0k b <<，矛盾；故选C .【点睛】如果直线方程的形式是点斜式y kx m =+，则可以根据直线不同的倾斜程度确定它们斜率的大小（也可以确定它们的符号），一般地，如果直线经过第一、三象限，则斜率为正；如果直线经过第二、四象限，则斜率为负.9.等腰Rt△ABC 的直角顶点为C(3,3)，若点A 的坐标为(0,4)，则点B 的坐标可能是( )A. (2,0)或(6,4)B. (2,0)或(4,6)C. (4,6)D. (0,2)【答案】B【解析】 根据题意可得1,,AC BC k k BC AC ⋅=-⎧⎨=⎩即3431303y x --⎧⋅=-⎪--=整理可得20x y =⎧⎨=⎩或46x y =⎧⎨=⎩， 所以B (2,0)或B (4,6)．10.用半径为R 的半圆卷成一个无底的圆锥，则该圆锥的体积为（ ）3R3R3R3R 【答案】A【解析】【分析】一个圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的弧长等于底面圆的周长.由此可得底面圆的半径r ，从而得到圆锥的高h ，最后用锥体的体积公式得到这个无底圆锥的体积.【详解】解：设圆锥底面圆的半径为r ，由题意得2r R ππ=， ∴2R r ==23132224R R π⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题根据侧面展开图是一个半圆的圆锥，求该圆锥的体积，着重考查了旋转体的侧面展开和锥体的体积公式等知识，属于基础题.11.经过直线3260x y ++=和2570x y +-=交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（ ） A. 10x y ++=B. 10x y -+=C. 10x y ++=或340x y +=D. 10x y -+=或10x y ++=【答案】C【解析】【分析】 设直线方程为326(257)0x y x y λ++++-=，求出其在两坐标轴上的截距，令其相等，解方程即可求出结果.【详解】解：设直线方程为326(257)0x y x y λ++++-=，即(32)(25)670x y λλλ++++-=令0x =，得7625y λλ-=+， 令0y =，得7632x λλ-=+. 由76762532λλλλ--=++， 得13λ=或67λ=. 所以直线方程为10x y ++=或340x y +=. 的故选：C.【点睛】此题是一道中档题也是一道易错题，要求学生会利用待定系数法求直线的方程，学生做题时往往会把过原点的情况忽视导致答案不完整.12.已知点(),m n 在直线52200x y +-=上，其中0,0m n >>，则lg lg m n +（ ）A. 有最大值，最大值为2B. 有最小值，最小值为2C. 有最大值，最大值为1D. 有最小值，最小值为1【答案】C【解析】【分析】把点的坐标代入直线方程，得到关于,m n 的等式，利用基本不等式求出mn 的最大值，则答案可求.【详解】解：由于点(),m n 在直线52200x y +-=上，即52200m n +-=，则5220m n +=. 所以21152lg lg lg lg 52lg 110102m n m n mn m n ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫+==⋅⋅≤⋅=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 所以lg lg m n +有最大值，最大值为1.故选：C.【点睛】本题考查了基本不等式，考查了对数的运算性质，关键是明确基本不等式成立的条件，是基础题型.二、填空题13.如图，已知平面四边形ABCD ，AB=BC=3，CD=1，∠ADC=90°．沿直线AC 将△ACD 翻折成△ACD'，直线AC 与BD'所成角的余弦的最大值是______．【解析】 试题分析：设直线AC 与'BD 所成角为θ．设O 是AC 中点，由已知得AC =OB 为x 轴，OA 为y 轴，过O 与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，由A ，B ，(0,C ，作DH AC ⊥于H ，翻折过程中，'D H 始终与AC 垂直，26CD CH CA ===3OH =，6DH ==，因此可设,)D αα，则30'(s )BD αα=，与CA 平行的单位向量为(0,1,0)n =，所以cos cos ',BD n θ=''BD nBD n ⋅=＝cos 1α=时，cos θ取最大值9 考点：异面直线所成角．此处有视频，请去附件查看】14.若0ab <，则过点10,P b ⎛⎫- ⎪⎝⎭与1,0Q a ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线P Q 、的倾斜角的取值范围是__________. 【答案】,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】 求出直线的斜率，结合已知条件求出斜率的范围，然后求解倾斜角的范围. 【详解】解：10010PQ a b k b a--==<-. 因为倾斜角的取值范围为[)0,p ，所以直线P Q 、的倾斜角的取值范围是,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故答案为：,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查直线的斜率与直线的倾斜角的关系，基本知识的考查.15.设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则22PA PB +的值是__________.【答案】10【解析】【分析】根据题意，由分析可得两条动直线所过定点即,A B 的坐标，利用勾股定理以及两点间距离公式计算可得答案.【详解】解：易知(0,0),(1,3)A B ，又直线0x my +=与30mx y m -++=互相垂直，所以PA PB ⊥，故222221+310PA PB AB +===.故答案：10. 【点睛】本题考查直线过定点问题，涉及两点间的距离公式，关键分析出两条直线所过定点的坐标.16.函数()f x =______．【解析】 【分析】把式子248x x -+进行配方，再把两个根式写成两点间距离公式的形式,根据式子()f x 的最小值.【详解】()f x ==问题就可以转化为在直角坐标系中，在横轴上找到一点(,0)A x ,使得该点到(0,1),(2,2)B C -两点的距离最小,如下图所示：根据平面内,两点间线段最短,显然直线BC 与横轴的交点就是到(0,1),(2,2)B C -两点的距离最小的点,即BC ==【点睛】本题考查了求函数的最小值问题,利用函数解析式的几何意义是解题的关键.三、解答题17.已知正方形的中心为(2,0)G -，一边所在直线的方程为340x y +-=，求其他三边所在直线的方程. 【答案】380x y ++=，3120x y -+=，30x y -=.【解析】 【分析】利用直线平行和垂直的关系设平行线系、垂直系方程，根据正方形中心到四条边距离相等求出正方形其余三边方程.【详解】正方形的中心()2,0G-=设与已知直线平行的一边所在直线的方程为1130(4)x y c c ++=≠-，=126c -=， 解得14c =-(舍去)或18c =，所以与已知直线平行的边所在直线的方程为380x y ++=. 设正方形中与已知边垂直的边所在直线的方程为230x y c -+=，=266c -=， 解得20c =或212c =，所以其他三边所在直线的方程为380x y ++=，3120x y -+=，30x y -=.【点睛】本题主要考查直线方程的求解，利用待定系数法以及直线平行和垂直的关系结合点到直线的距离公式是解决本题的关键.18.如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，124AA AB ==，点E 在1CC 上且13C E EC =.（1）证明：1A C ⊥平面BED ；（2）求二面角1A DE B --的余弦值.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）42. 【解析】 【分析】(1)首先可以根据图像建立空间直角坐标系然后写出1B C E A 、、、的坐标以及向量11DE DB AC DA 、、、，然后通过1=0DB AC ⋅以及1=0DE AC ⋅即可得出11DB AC DE AC ⊥⊥、，最后根据线面垂直的相关性质即可得出结果；(2)可以通过求出平面1A DE 与平面DEB 的法向量来求出二面角1A DE B --的余弦值．【详解】以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴，射线DC 为y 轴的正半轴，射线1DD 为z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系D xyz -，即可得出()2,2,0B 、()0,2,0C 、()0,2,1E ，12,0,4A （）、()0,2,1DE =、()2,2,0DB =、()12,2,4AC =--、()12,0,4DA =． (1)因为10AC DB =,10AC DE =，所以11AC BD AC DE ⊥⊥，， 因为BD DE D ⋂=，所以1A C ⊥平面BED ；(2)设向量(),,n x y z =是平面1DA E 的法向量，则n DE ⊥，1n DA ⊥， 故20y z +=，240x z +=.令1y =，则()244,1,2z x n =-==-，，，1,n AC 等于二面角1A DEB --的平面角，111•14cos ,42n A C n A C n A C==． 【点睛】本题考查了解析几何的相关性质，主要考查了线面垂直的证明以及二面角的余弦值的求法，线面垂直可以通过线线垂直来证明，而二面角的余弦值则可以借助空间向量来证明，考查数形结合思想，考查推理能力，是中档题．19.已知直线l 平行于直线3x+4y －7=0，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l 的方程． 【答案】34240x y +-=或34240x y ++= 【解析】因为直线l 与直线3470x y +-=平行，所以设直线l 方程为340x y b ++=，则其与x 轴交于点(,0)3b ，与y 轴交于点(0,)4b依题意可得，124234b b⨯⨯=，解得24b =± 所以直线l 方程为34240x y +±=20.对于直线()()222341m m x m m y m +-+-=-. （1）求直线的倾斜角为45时 m 的值； （2）求直线在 x 轴上的截距为1时 m 的值. 【答案】（1）-1（2）12m =-或2m =. 【解析】 【分析】（1）由倾斜角的度数，得到直线的斜率，列出关于 m 的方程，求出方程的解即可得到 m 的值； （2）令方程中0y =，表示出x ，根据截距为1列出关于 m 的方程，求出方程的解即可得到 m 的值.【详解】（1）直线的倾斜角为45，则直线的斜率为1，所以22231m m m m+--=-， 解得1,1m m =-=（舍去）； （2）由题易知当0y =时，241123m x m m -==+-，解得12m =-或2m =. 当12m =-或2m =时都符合题意， 所以12m =-或2m =.【点睛】此题考查了直线的一般式方程，直线倾斜角与斜率之间的关系，以及直线的截距式方程，是一道基本题型.21.△ABC 中，A (0,1)，AB 边上的高CD 所在直线的方程为x ＋2y －4＝0，AC 边上的中线BE 所在直线的方程为2x ＋y －3＝0. (1)求直线AB 的方程； (2)求直线BC方程；(3)求△BDE 的面积．【答案】（1）210x y －＋＝；（2）2370x y ＋－＝ ；（3）110【解析】试题分析：（1）由CD 所在直线的方程求出直线AB 的斜率，再由点斜式写出AB 的直线方程； （2）先求出点B ，点C 的坐标，再写出BC 的直线方程；（3）由点到直线的距离求出E 到AB 的距离d ，以及B 到CD 的距离BD ，计算BDE S ∆即可或求出,BE D 到BE 的距离d ，计算BDE S ∆. 试题解析：(1)由已知得直线AB 的斜率为2，∴AB 边所在的直线方程为y －1＝2(x －0)， 即2x －y ＋1＝0.(2)由，得.即直线AB 与直线BE 的交点为B(，2)． 设C(m ，n)，则由已知条件得， 解得，∴C(2,1)．∴BC 边所在直线的方程为＝，即2x ＋3y －7＝0.(3)∵E 是线段AC 的中点，∴E(1,1)．的∴|BE|＝＝，由，得.∴D(，)，∴D 到BE 的距离为d ＝＝55，∴S △BDE ＝·d·|BE|＝110. 22.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，点M 在线段PB 上，PD平面MAC ，PA PD ==4AB =．（1）求证：M 为PB 的中点； （2）求二面角B PD A --的大小；（3）求直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）3π；（3． 【解析】 【分析】（1）设AC ，BD 的交点为E ，由线面平行性质定理得PDME ，再根据三角形中位线性质得M 为PB的中点．（2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解各面法向量，根据向量数量积求向量夹角，最后根据二面角与向量夹角相等或互补关系求二面角大小（3）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解各面法向量，根据向量数量积求向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余关系求线面角大小【详解】（1）设AC ，BD 的交点为E ，连接ME ． 因为PD平面MAC ，平面MAC ⋂平面PDB ME =，所以PDME ．因为ABCD 是正方形，所以E 为BD 的中点，所以M 为PB 的中点．（2）取AD 的中点O ，连接OP ，OE ．因为PA PD =，所以OP AD ⊥． 又平面PAD ⊥平面ABCD ，且OP ⊂平面PAD ，所以OP ⊥平面ABCD ． 因为OE ⊂平面ABCD ，所以OP OE ⊥．因为ABCD 是正方形，所以OE AD ⊥． 如图，建立空间直角坐标系O xyz -，则(P ，()2,0,0D ，()2,4,0B -， 所以()4,4,0BD =-，(2,0,PD =．设平面BDP 的法向量为(),,n x y z =，则00n BD n PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即44020x y x -=⎧⎪⎨-=⎪⎩．令1x =，则1y =，z =()1,1,2n =．平面PAD 的法向量为()0,1,0p =，所以1cos ,2n p n p n p⋅==． 由题知二面角B PDA --为锐角，所以它的大小为3π．（3）由题意知1,2,2M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()2,4,0C ，3,2,2MC ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭． 设直线MC 与平面BDP 所成角为α，则26sin cos,n MC n MC n MCα⋅===．所以直线MC与平面BDP．。
重庆八中2019-2020学年度(上)期中半期考试高二年级数学试题
重庆八中2019-2020学年度（上）半期考试高二年级数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
1. 抛物线x y 22-=的准线方程是（ ） A.21=x B.21-=x C.21=y D.21-=y 2. 双曲线1322=-y x 的渐近线为（ ） A.x y 33±= B.x y 3±=C.x y ±=D.x y 2±=3. 圆02:221=-+x y x O 与圆02:222=-+y y x O 的位置关系是（ ）A.外离B.相交C.外切D.内切4. 已知命题:p “若直线l 上存在两个不同点属于平面α，则直线l α⊂”，则命题p 的逆命题为（ ）A.若直线l 上任意的点属于平面α，则直线l α⊄B.若直线l 上存在两个不同点属于平面α，则直线l α⊄C.若直线l 上不存在两个不同点属于平面α，则直线l α⊄D.若直线l α⊂，则直线l 上不存在两个不同点属于平面α5. 某多面体的三视图如右图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的体积为（ ） A.316 B.326 C.328 D.126. 21,F F 分别是双曲线154:22=-y x C 的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，且81=PF ，则21F PF ∆的周长为（ ）A.12B.16C.18 D .287. 下列命题中，正确的是（ ）A .一条直线与两个平行平面中的一个平行，则必与另一个平面平行B.空间中两条直线要么平行，要么相交C.空间中任意的三个点都能唯一确定一个平面D.对于空间中任意两条直线，总存在平面与这两条直线都平行8. 已知ABC ∆中有)1,5(),3,1(C B ，且AC AB =，则BC 边上的中线所在直线方程为（ ） A.2321+-=x y B.2721+-=x y C.42+=x y D.42-=x y9. 已知点)2,4(M 是直线l 被椭圆193622=+y x 所截得的线段AB 的中点，则直线l 的斜率为（ ）A.2-B.21C.21- D.2 10. 已知直线01=+-y mx 与圆4:22=+y x C 相交于B A ,两点，则弦AB 长度的最小值为（ ） A.32 B.4C.2D.2211. 古希腊数学家波罗尼斯（约公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数)10(≠>k k k 且的点的轨迹是圆，后人将这个园称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，设） A.π64 B.π16C.π4D.π2 12. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 与双曲线)0,0(1:22222>>=-n m ny m x C 有相同的焦点21,F F ，若点P 是1C 与2C 在第一象限内的交点，且2214PF F F =，设1C 与2C 的离心率分别为1e 与2e ，则21e e 的取值范围是（ ）A.⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,31B.)2,31( C.⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,32 D.)2,32(二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13. 方程032:22=+-++m y x y x C 表示圆，则实数m 的取值范围为_____________. 14. 直线0534)3(:1=-+++m y x m l 与直线08)5(2:2=-++y m x l 平行，则=m _____________.15. 点P 是椭圆1422=+y x 上一点，21,F F 分别是椭圆的左、右焦点，若3421=⋅PF PF ，则21PF F ∠的大小为_____________.16. B A ,为抛物线y x 42=上两个动点，且满足8=AB ，则弦AB 的中点M 到x 轴的距离的最小值为_____________.此时直线AB 的方程为_____________.一、解答题（共70分。
3.1.1 基本计数原理
第三章排列、组合与二项式定理3.1 排列与组合3.1.1基本计数原理基础过关练题组一分类加法计数原理1.(2020陕西西安高二期末)已知完成一项工作可以有两种方法,有5个人只会用第一种方法,另外有4个人只会用第二种方法,从这9个人中选出1个人完成这项工作,则不同的选法共有 ()A.5种B.4种C.9种D.20种2.(2020重庆八中高二月考)小王有70元钱,现有面值分别为20元和30元的两种IC电话卡.若他至少买一张,则不同的买法共有()A.7种B.8种C.6种D.9种3.(2019天津宝坻高二下学期期中)用1,3,5,7中的任意一个数作分子,2,4,8,9中的任意一个数作分母,可构成真分数的个数为()A.8B.9C.10D.114.(2019辽宁大连第二十四中学高二期中)一个三层书架,分别放置各不相同的语文书12本,数学书14本,英语书11本,从中任取一本,则不同的取法有种.(用数字作答)题组二分步乘法计数原理5.(2021山东济南长清高二月考)为响应国家“节约粮食”的号召,某同学决定在学校食堂提供的2种主食、3种素菜、2种大荤、4种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食,并在用餐时积极践行“光盘行动”,则不同的选取方法有()A.48种B.36种C.24种D.12种6.(2021广东揭阳高三一模)某学校有东、南、西、北四个校门,受新冠肺炎疫情的影响,学校作出如下规定:学生只能从东门或西门进入校园,教师只能从南门或北门进入校园.现有2名教师和3名学生要进入校园(不分先后顺序),则他们进入校园的方式共有()A.6种B.12种C.24种D.32种7.如图,在由电键组A与B组成的串联电路(规定每组电键只能合上其中的一个电键)中,接通电源使灯泡发光的方法有种.8.(2019辽宁本溪高二期中)用5种不同的颜色,给图中的(1)(2)(3)(4)的各部分涂色,规定每部分只涂1种颜色,相邻部分涂不同颜色,则涂色方法共有种.题组三基本计数原理的应用9.(2019北师大附中高二期中)已知集合M={-2,3},N={-4,5,6},依次从集合M,N中各取出一个数分别作为点P的横坐标和纵坐标,则在平面直角坐标系中,位于第一、二象限内的点P的个数是 ()A.4B.5C.6D.710.芳芳同学有4件不同颜色的上衣,3件不同花样的半身裙,另有两套不同样式的连衣裙.“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出,则芳芳同学不同的选择方式的种数为()A.24B.14C.10D.911.(2020浙江杭州高考模拟)某超市内一排共有6个收费通道,每个通道处有a、b两个收费点,根据每天的人流量,超市准备周一开通其中的3处通道,要求3处通道互不相邻,且每个通道至少开通一个收费点,则周一这天超市开通收费通道的安排方式共有种. 12.现某学校共有34人自愿组成数学建模社团,其中高一年级13人,高二年级12人,高三年级9人.(1)选其中一人为负责人,共有多少种不同的选法?(2)每个年级选一名组长,有多少种不同的选法?(3)选两人作为社团发言人,这两人需要来自不同的年级,有多少种不同的选法?能力提升练题组一基本计数原理的综合应用1.(2019辽宁省实验中学高三月考,)高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参观学习,去哪个工厂可以自由选择,甲工厂必须有班级要去,则不同的参观方案有()A.16种B.18种C.37种D.48种2.(2019安徽合肥一中高考模拟,)某电商为某次活动设计了“和谐”“爱国”“敬业”三种红包,活动规定每人可以依次点击4次,每次都会获得三种红包中的一种,若集全三种即可获奖,但三种红包出现的顺序不同对应的奖次也不同.员工甲按规定依次点击了4次,直到第4次才获奖,则他获得奖次的不同情形种数为 ()A.9B.12C.18D.243.(2019上海位育中学高二期末,)已知△ABC三边a,b,c的长都是整数,且a≤b≤c,如果b=25,则符合条件的三角形的个数是( )A.124B.225C.300D.3254.(多选)(2020北京第六十六中学高二上期中,)某校实行选课走班制度,张毅同学选择的是地理、生物、政治这三科,且生物在B层,该校周一上午选课走班的课程安排如下表所示,张毅选择的三个科目的课各上一节,另外一节上自习,则下列说法正确的是() 第1节第2节第3节第4节地理1班化学A层3班地理2班化学A层4班生物A层1班化学B层2班生物B层2班历史B层1班物理A层1班生物A层3班物理A层2班生物A层4班物理B层2班生物B层1班物理B层1班物理A层4班政治1班物理A层3班政治2班政治3班A.此人有4种选课方式B.此人有5种选课方式C.自习不可能安排在第2节D.自习可安排在4节课中的任一节5.(2019安徽巢湖高二期末,)现有5种不同的颜色,给如图所示的几何体的五个顶点P,A,B,C,D涂色,要求同一条棱上的两个顶点颜色不能相同,则不同的涂色方法有()A.240种B.360种C.420种D.480种6.(2021河南洛阳一高高二期中,)假设今天是4月23日,某市未来六天的空气质量预报情况如下表所示.该市甲、乙、丙三人计划在未来六天(4月24日~4月29日)内任选一天出游,甲只选择空气质量为优的一天出游,乙不选择周一出游,丙不选择明天出游,且甲与乙不选择同一天出游,则这三人出游的不同选择种数为.周五周六周日周一周二周三4月24日4月25日4月26日4月27日4月28日4月29日优优优优良良7.(2021安徽合肥高二段考,)某玩具厂参加2020年邯郸园博园产品展出,带了四款不同类型不同价格的玩具牛,它们的价格(单位:元)分别是20,30,50,100,某礼品进货商想趁牛年之际搞一个玩具特卖会,准备买若干款不同类型的玩具样品(每款只购一只,且必须至少买一款),由于信用卡出现故障,身上现金只剩170元,请问该礼品进货商购买玩具样品的方案有种.(用数字作答)8.(2020重庆高考模拟调研,)有4个不同的奇数,5个不同的偶数,现从中依次任取3个数,分别记为a,b,c,则使ab+c为奇数的不同取法共有种.题组二计数原理的创新应用9.(2020辽宁沈阳高三期末,)中国古代十进制的算筹计数法,在数学史上是一个伟大的创造,算筹实际上是一根根同长短的小木棍.如图是利用算筹表示1~9的一种方法,则据此,3可表示为“≡”,26可表示为“=⊥”.现有6根算筹,据此表示方法,若算筹不能剩余,则可以表示的两位数的个数为()A.9B.13C.16D.1810.(2020山东潍坊高考模拟,)如果一个三位数abc同时满足a>b 且b<c,则称该三位数为“凹数”,那么所有不同的三位“凹数”的个数是.11.(2021内蒙古呼和浩特高三一模,)中国象棋中棋子“马”的走法规则是走“日”字的对角线,如图(图中楚河汉界处的“日”字没有画出),“马”从点A处走出一步,只能到达点B,C,D中的一处.则“马”从点A出发到达对方“帅”所在的P处,最少的步数是.答案全解全析基础过关练1.C 会用第一种方法的有5个人,选出1个人完成这项工作有5种选法;会用第二种方法的有4个人,选出1个人完成这项工作有4种选法.由分类加法计数原理知,共有9种不同的选法,故选C.2.A 要完成的一件事是“至少买一张IC 电话卡”,分三类完成:买1张IC 电话卡,买2张IC 电话卡,买3张IC 电话卡,而每一类都能独立完成“至少买一张IC 电话卡”这件事.买1张IC 电话卡有2种方法,即买一张20元面值的或买一张30元面值的;买2张IC 电话卡有3种方法,即买两张20元面值的或买两张30元面值的或20元面值的和30元面值的各买一张;买3张IC 电话卡有2种方法,即买两张20元面值的和一张30元面值的或买3张20元面值的.故共有2+3+2=7种不同的买法.3.D 分四种情况:(1)当分子为1时,有12,14,18,19,共4个真分数;(2)当分子为3时,有34,38,39=13,共3个真分数;(3)当分子为5时,有58,59,共2个真分数;(4)当分子为7时,有78,79,共2个真分数.由分类加法计数原理知,可构成真分数的个数为4+3+2+2=11.故选D .4.答案 37解析 一个三层书架,分别放置各不相同的语文书12本,数学书14本,英语书11本,从中任取一本,由分类加法计数原理可知,不同的取法有12+14+11=37(种),故答案为37.5.B 由题意可知,分三步完成:第一步,从2种主食中任选一种有2种选法;第二步,从3种素菜中任选一种有3种选法;第三步,从6种荤菜中任选一种有6种选法.由分步乘法计数原理可知,共有2×3×6=36种不同的选取方法,故选B.6.D因为学生只能从东门或西门进入校园,所以3名学生进入校园的方式共有23=8(种).因为教师只能从南门或北门进入校园,所以2名教师进入校园的方式共有22=4(种).所以他们进入校园的方式共有8×4=32(种).故选D.7.答案 6解析要完成的“一件事”是“使灯泡发光”,只有先合上A组中2个电键中的任意一个,再合上B组中3个电键中的任意一个时,接通电源,灯泡才能发光.因此要完成这件事,需要分步,只有各个步骤都完成才能使灯泡发光,所以接通电源使灯泡发光的方法有2×3=6(种).8.答案240解析先涂(3)有5种涂法,再涂(2)有4种涂法,然后涂(1)有3种涂法,最后涂(4)有4种涂法,所以共有5×4×3×4=240种涂色方法. 9.A要使得点P在平面直角坐标系中位于第一、二象限内,且集合M 中的元素作为点P的横坐标,N中的元素作为点P的纵坐标,则在第一象限的点共有1×2=2(个);在第二象限的点共有1×2=2(个).由分类加法计数原理可得满足题意的点P的个数为2+2=4,故选A.10.B根据题目信息可知需要分两类:第一类是穿上衣和半身裙:分两步,上衣有4种选择,半身裙有3种选择,共有4×3=12种选择方式;第二类是穿连衣裙,有2种选择方式.故共有12+2=14种选择方式.故选B.11.答案108解析将6个收费通道依次编号为1,2,3,4,5,6,从中选择3个互不相邻的通道,有135,136,146,246,共4种不同的选法.对于每个通道,至少开通一个收费点,即只开通a收费点,只开通b收费点,同时开通两个收费点,共3种不同的安排方式.由分步乘法计数原理,可得周一这天超市开通收费通道的安排方式共有4×33=108(种).12.解析(1)根据题意,选其中一人为负责人,有3种情况:若选出的是高一学生,则有13种情况;若选出的是高二学生,则有12种情况;若选出的是高三学生,则有9种情况.由分类加法计数原理可得,共有13+12+9=34种不同的选法.(2)根据题意,从高一学生中选出1人,有13种情况;从高二学生中选出1人,有12种情况;从高三学生中选出1人,有9种情况.由分步乘法计数原理可得,共有13×12×9=1 404种不同的选法. (3)根据题意,分三种情况讨论:若选出的是高一、高二学生,则有13×12=156种情况;若选出的是高一、高三学生,则有13×9=117种情况;若选出的是高二、高三学生,则有12×9=108种情况.由分类加法计数原理可得,共有156+117+108=381种不同的选法.能力提升练1.C根据题意,若不考虑限制条件,每个班级都有4种选择,共有4×4×4=64种方案,其中工厂甲没有班级去,即每个班都选择了其他三个工厂,此时每个班级都有3种选择,共有3×3×3=27种方案,则符合条件的方案有64-27=37(种),故选C.2.C根据题意,若员工甲直到第4次才获奖,则其第4次才集全“和谐”“爱国”“敬业”三种红包,则甲第4次获得的红包有3种情况,前三次获得的红包为其余的2种,有23-2=6种情况,则他获得奖次的不同情形种数为3×6=18.故选C.3.D根据题意,a可取的值为1,2,3, (25)根据三角形的三边关系,有25≤c<25+a,当a=1时,有25≤c<26,则c=25,有1种情况;当a=2时,有25≤c<27,则c=25或c=26,有2种情况;当a=3时,有25≤c<28,则c=25或c=26或c=27,有3种情况;当a=4时,有25≤c<29,则c=25或c=26或c=27或c=28,有4种情况; ……当a=25时,有25≤c<50,则c=25或c=26或c=27或c=28或……或c=49,有25种情况.综上,符合条件的三角形的个数是1+2+3+4+…+25=25(1+25)=325.故选2D.4.BD由于生物在B层,只有第2,3节有,故分两类:若生物选第2节,则地理可选第1节或第3节,有2种选法,其他两节政治、自习任意选即可,故有2×2=4种(此种情况自习可安排在第1,3,4节中的某节);若生物选第3节,则地理只能选第1节,政治只能选第4节,自习只能选第2节,故有1种.根据分类加法计数原理可得选课方式有4+1=5(种).综上,自习可安排在4节课中的任一节.5.C当顶点A,C同色时,顶点P有5种颜色可供选择,顶点A有4种颜色可供选择,顶点B有3种颜色可供选择,此时顶点C与顶点A同色,只有1种颜色可选,顶点D有3种颜色可选,不同的方法共有5×4×3×1×3=180(种);当顶点A,C不同色时,顶点P有5种颜色可供选择,顶点A有4种颜色可供选择,顶点B有3种颜色可供选择,此时顶点C与顶点A不同色,有2种颜色可选,顶点D有2种颜色可选,不同的方法共有5×4×3×2×2=240(种).综上,不同的方法共有180+240=420(种),故选C.6.答案85信息提取根据甲只选择空气质量为优的一天出游,乙不选择周一出游,丙不选择明天出游,且甲与乙不选择同一天出游,对甲的出游选择进行分类讨论.当甲选择周一出游时,乙可从除周一外的5天中任选一天,丙可从除明天(即4月24日)外的5天中任选一天;当甲不选择周一出游时,甲可从其余空气质量为优的3天中任选一天,乙可从除周一及甲出行日期以外的4天中任选一天,丙可从除明天(即4月24日)外的5天中任选一天.解析若甲选择周一出游,则三人出游的不同选择种数N1=1×5×5=25;若甲不选择周一出游,则三人出游的不同选择种数N2=3×4×5=60.故这三人出游的不同选择种数N=N1+N2=85.7.答案13解析依题意,限制条件为每款只购一只,且必须至少买一款;消费金额不能超过170元.故可分为以下几种情况:①只购买一款玩具样品:共4种方案.②购买两款玩具样品:买20和30的各一只;买20和50的各一只;买20和100的各一只;买30和50的各一只;买30和100的各一只;买50和100的各一只,共6种方案.③购买三款玩具样品:买20,30和50的各一只;买20,30和100的各一只;买20,50和100的各一只,共3种方案.所以购买玩具样品的方案共有4+6+3=13(种).8.答案260解析要使ab+c为奇数,数组(a,b,c)的奇偶性可为(偶,偶,奇)、(奇,偶,奇)、(偶,奇,奇)、(奇,奇,偶).若为(偶,偶,奇),即a为偶数,b为偶数,c为奇数,则有5×4×4=80(种);同理,若为(奇,偶,奇),则有4×5×3=60(种);若为(偶,奇,奇),则有5×4×3=60(种);若为(奇,奇,偶),则有4×3×5=60(种).综上,所有情况的种数为80+60+60+60=260.9.C根据题意,6根算筹可以表示的数字组合为1、5,1、9,2、4,2、8,3、3,3、7,4、6,6、8,7、7.数字组合1、5,1、9,2、4,2、8,3、7,4、6,6、8中,每组可以表示2个两位数,则可以表示2×7=14个两位数;数字组合3、3,7、7中,每组可以表示1个两位数,则可以表示2×1=2个两位数.综上,共可以表示14+2=16个两位数.故选C.10.答案285解析根据题意,按十位数字分类讨论:①十位数字是9时,三位“凹数”的个数为0;②十位数字是8时,只有989,此时三位“凹数”的个数为1;③十位数字是7时,百位与个位都有2种可能,所以此时三位“凹数”的个数为2×2=4;④十位数字是6时,百位与个位都有3种可能,所以此时三位“凹数”的个数为3×3=9;⑤十位数字是5时,百位与个位都有4种可能,所以此时三位“凹数”的个数为4×4=16;⑥十位数字是4时,百位与个位都有5种可能,所以此时三位“凹数”的个数为5×5=25;⑦十位数字是3时,百位与个位都有6种可能,所以此时三位“凹数”的个数为6×6=36;⑧十位数字是2时,百位与个位都有7种可能,所以此时三位“凹数”的个数为7×7=49;⑨十位数字是1时,百位与个位都有8种可能,所以此时三位“凹数”的个数为8×8=64;⑩十位数字是0时,百位与个位都有9种可能,所以此时三位“凹数”的个数为9×9=81.综上,所有不同的三位“凹数”的个数是1+4+…+81=285.11.答案 6信息提取利用棋子“马”的走法规则是走“日”字的对角线,尽量向P点靠拢.解析由题意可知,按如图中虚线所示的走法(走法不唯一)从点A出发到达对方“帅”所在的P处时步数最少,此时步数为6.。
重庆八中2019-2020学年度(上)期中半期考试高二年级数学试题(无答案)
重庆八中2019-2020学年度（上）半期考试高二年级数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
1. 抛物线x y 22-=的准线方程是（ ）A.21=xB.21-=x C.21=yD.21-=y2. 双曲线1322=-y x 的渐近线为（ ） A.x y 33±= B.x y 3±= C.x y ±=D.x y 2±=3. 圆02:221=-+x y x O 与圆02:222=-+y y x O 的位置关系是（ ）A.外离B.相交C.外切D.内切4. 已知命题:p “若直线l 上存在两个不同点属于平面α，则直线l α⊂”，则命题p 的逆命题为（ ）A.若直线l 上任意的点属于平面α，则直线l α⊄B.若直线l 上存在两个不同点属于平面α，则直线l α⊄C.若直线l 上不存在两个不同点属于平面α，则直线l α⊄D.若直线l α⊂，则直线l 上不存在两个不同点属于平面α5. 某多面体的三视图如右图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的体积为（ ）A.316 B.326 C.328 D.126.21,F F 分别是双曲线154:22=-y x C 的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，且81=PF ，则21F PF ∆的周长为（ ）A.12B.16C.18D.287. 下列命题中，正确的是（ ）A .一条直线与两个平行平面中的一个平行，则必与另一个平面平行 B.空间中两条直线要么平行，要么相交 C.空间中任意的三个点都能唯一确定一个平面D.对于空间中任意两条直线，总存在平面与这两条直线都平行8. 已知ABC ∆中有)1,5(),3,1(C B ，且AC AB =，则BC 边上的中线所在直线方程为（ ） A.2321+-=x y B.2721+-=x y C.42+=x y D.42-=x y9. 已知点)2,4(M 是直线l 被椭圆193622=+y x 所截得的线段AB 的中点，则直线l 的斜率为（ ） A.2- B.21 C.21-D.210. 已知直线01=+-y mx 与圆4:22=+y x C 相交于B A ,两点，则弦AB 长度的最小值为（ ）A.32B.4C.2D.2211. 古希腊数学家波罗尼斯（约公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数)10(≠>k k k 且的点的轨迹是圆，后人将这个园称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，设）A.π64B.π16C.π4D.π212. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 与双曲线)0,0(1:22222>>=-n m ny m x C 有相同的焦点21,F F ，若点P 是1C 与2C 在第一象限内的交点，且2214PF F F =，设1C 与2C 的离心率分别为1e 与2e ，则21e e 的取值范围是（ ） A.⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,31B.)2,31(C.⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,32D.)2,32(二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13. 方程032:22=+-++m y x y x C 表示圆，则实数m 的取值范围为_____________.14. 直线0534)3(:1=-+++m y x m l 与直线08)5(2:2=-++y m x l 平行，则=m _____________.15. 点P 是椭圆1422=+y x 上一点，21,F F 分别是椭圆的左、右焦点，若3421=⋅PF PF ，则21PF F ∠的大小为_____________.16. B A ,为抛物线y x 42=上两个动点，且满足8=AB ，则弦AB 的中点M 到x 轴的距离的最小值为_____________.此时直线AB 的方程为_____________. 一、解答题（共70分。
2019-2020学年重庆一中高二(上)10月月考数学试卷试题及答案
2019-2020学年重庆一中高二（上）10月月考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．若直线的倾斜角为60°，则直线的斜率为（）A．B．C．D．2．在等差数列{a n}中，a2+a4＝36，则数列{a n}的前5项之和S5的值为（）A．108B．90C．72D．243．经过点A（2，5），B（﹣3，6）的直线在x轴上的截距为（）A．2B．﹣3C．﹣27D．274．在△ABC中，，BC＝3，，则∠C的大小为（）A．B．C．D．5．方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a﹣1＝0表示圆，则a的取值范围是（）A．a＜﹣2或a＞B．＜a＜0C．﹣2＜a＜0D．﹣2＜a＜6．如图，正方体AC1中，E、F分别是DD1、BD的中点，则直线AD1与EF所成的角余弦值是（）A．B．C．D．7．已知数列{a n}为等比数列，，，则a1a10的值为（）A．16B．8C．﹣8D．﹣168．设F1、F2分别为椭圆y2＝1的左、右焦点，点P在椭圆上，且||＝2，则∠F1PF2＝（）A．B．C．D．9．与直线x﹣y﹣4＝0和圆x2+y2+2x﹣2y＝0都相切的半径最小的圆的方程是（）A．（x+1）2+（y+1）2＝2B．（x+1）2+（y+1）2＝4C．（x﹣1）2+（y+1）2＝2D．（x﹣1）2+（y+1）＝410．已知点P（7，3），圆M：x2+y2﹣2x﹣10y+25＝0，点Q为在圆M上一点，点S在x轴上，则|SP|+|SQ|的最小值为（）A．7B．8C．9D．1011．如图，在平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′﹣BCD顶点在同一球面上，则该球的表面积为（）A．B．3πC．D．2π12．在平面直角坐标系xOy中，点P为椭圆C：＞＞的下顶点，M，N在椭圆上，若四边形OPMN为平行四边形，α为直线ON的倾斜角，若，，则椭圆C的离心率的取值范围为（）A．，B．，C．，D．，二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分．13．椭圆1的焦距长是．14．已知圆C：x2+y2+8x﹣m+1＝0与直线相交于A，B两点．若|AB|＝2，则实数m的值为．15．已知△ABC的角A，B，C对边分别为a，b，c，若a2＝b2+c2﹣bc，且△ABC的面积为，则a的最小值为．16．设S n为数列{a n}的前n项和，，则S1+S2+…+S100＝．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知直线l1：ax+3y+1＝0，l2：x+（a﹣2）y+a＝0．（1）若l1⊥l2，求实数a的值；（2）当l1∥l2时，求直线l1与l2之间的距离．18．已知椭圆C的焦点在x轴上，两个焦点与上顶点组成一个正三角形，且右焦点到右顶点的距离为1．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M（3，0）作斜率为的直线l与椭圆相交于A，B两点，求|AB|．19．如图，为对某失事客轮AB进行有效援助，现分别在河岸MN选择两处C、D用强光柱进行辅助照明，其中A、B、C、D在同一平面内．现测得CD长为100米，∠ADN＝105°，∠BDM＝30°，∠ACN＝45°，∠BCM＝60°．（1）求△BCD的面积；（2）求船AB的长．20．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ABD＝90°，EB⊥平面ABCD，EF∥AB，AB＝2，EB，EF＝1，BC，且M是BD的中点．（1）求证：EM∥平面ADF；（2）求多面体ABCDEF的体积V．21．已知圆C的圆心C在直线x﹣2y＝0上．（1）若圆C与y轴的负半轴相切，且该圆截x轴所得的弦长为4，求圆C的标准方程；（2）已知点N（0，﹣3），圆C的半径为3，且圆心C在第一象限，若圆C上存在点M，使|MN|＝2|MO|（O为坐标原点），求圆心C的纵坐标的取值范围．22．已知椭圆C的两个焦点坐标分别是F1（，0）、F2（，0），并且经过点P（，）．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与圆O：x2+y2＝1相切，并与椭圆C交于不同的两点A、B．当• λ，且满足 λ 时，求△AOB面积S的取值范围．2019-2020学年重庆一中高二（上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．若直线的倾斜角为60°，则直线的斜率为（）A．B．C．D．【解答】解：因为直线的斜率k和倾斜角θ的关系是：k＝tanθ∴倾斜角为60°时，对应的斜率k＝tan60°故选：A．2．在等差数列{a n}中，a2+a4＝36，则数列{a n}的前5项之和S5的值为（）A．108B．90C．72D．24【解答】解：在等差数列{a n}中，a2+a4＝36，∴数列{a n}的前5项之和：S590．故选：B．3．经过点A（2，5），B（﹣3，6）的直线在x轴上的截距为（）A．2B．﹣3C．﹣27D．27【解答】解：经过点A（2，5），B（﹣3，6）的直线方程为，即1，故直线在x轴上的截距为27，故选：D．4．在△ABC中，，BC＝3，，则∠C的大小为（）A．B．C．D．【解答】解：在△ABC中，∵，BC＝3，，∴由正弦定理，可得：sin C，∵AB＜BC，可得：∠A＞∠C，∠C为锐角，∴∠C．故选：B．5．方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a﹣1＝0表示圆，则a的取值范围是（）A．a＜﹣2或a＞B．＜a＜0C．﹣2＜a＜0D．﹣2＜a＜【解答】解：方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a﹣1＝0表示圆∴a2+4a2﹣4（2a2+a﹣1）＞0∴3a2+4a﹣4＜0，∴（a+2）（3a﹣2）＜0，∴＜＜故选：D．6．如图，正方体AC1中，E、F分别是DD1、BD的中点，则直线AD1与EF所成的角余弦值是（）A．B．C．D．【解答】解：如图，取AD的中点G，连接EG，GF，∠GEF为直线AD1与EF所成的角设棱长为2，则EG，GF＝1，EFcos∠GEF，故选：C．7．已知数列{a n}为等比数列，，，则a1a10的值为（）A．16B．8C．﹣8D．﹣16【解答】解：∵，，∴202a4a7，解得a4a7＝﹣8，∴a1a10＝a4a7＝﹣8，故选：C．8．设F1、F2分别为椭圆y2＝1的左、右焦点，点P在椭圆上，且||＝2，则∠F1PF2＝（）A．B．C．D．【解答】解：如图，由椭圆y2＝1，得a＝2，b＝1，c，，则，即12，由||＝2，得，∴，即，∴∠F1PF2．故选：D．9．与直线x﹣y﹣4＝0和圆x2+y2+2x﹣2y＝0都相切的半径最小的圆的方程是（）A．（x+1）2+（y+1）2＝2B．（x+1）2+（y+1）2＝4C．（x﹣1）2+（y+1）2＝2D．（x﹣1）2+（y+1）＝4【解答】解：由题意圆x2+y2+2x﹣2y＝0的圆心为（﹣1，1），半径为，∴过圆心（﹣1，1）与直线x﹣y﹣4＝0垂直的直线方程为x+y＝0，所求的圆的圆心在此直线上，排除A、B，∴圆心（﹣1，1）到直线x﹣y﹣4＝0的距离为3，则所求的圆的半径为，故选：C．10．已知点P（7，3），圆M：x2+y2﹣2x﹣10y+25＝0，点Q为在圆M上一点，点S在x轴上，则|SP|+|SQ|的最小值为（）A．7B．8C．9D．10【解答】解：由题意知，圆的方程化为：（x﹣1）2+（y﹣5）2＝1；所以，圆心M（1，5），半径为1；如图所示，作点P（7，3）关于x轴的对称点P'（7，﹣3）；连接MP'，交圆与点Q，交x轴与点S，则|SP|+|SQ|的值最小；否则，在x轴上另取一点S'，连接S'P，S'P'，S'Q，由于P与P'关于x轴对称，所以|SP|＝|SP'，|S'P|＝|S'P'|；所以，|SP|+|SQ|＝|SP’|+|SQ|＝|P'Q|＜|S'P'|+|S'Q|＝|S'P|+|S'Q|；（三角形中两边之和大于第三边）．故|SP|+|SQ|的最小值为|P'M|﹣11＝9；故选：C．11．如图，在平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′﹣BCD顶点在同一球面上，则该球的表面积为（）A．B．3πC．D．2π【解答】解：由题意，四面体A﹣BCD顶点在同一个球面上，△BCD和△ABC都是直角三角形，所以BC的中点就是球心，所以BC，球的半径为：，所以球的表面积为：3π．故选：B．12．在平面直角坐标系xOy中，点P为椭圆C：＞＞的下顶点，M，N在椭圆上，若四边形OPMN为平行四边形，α为直线ON的倾斜角，若，，则椭圆C的离心率的取值范围为（）A．，B．，C．，D．，【解答】解：联立，解得y N，联立，解得y M．可得y N﹣y M a，化为：a，可得e，同理：把直线方程y x，y x﹣a与椭圆方程分别联立可得：a＝3b．即可得出离心率e．∴椭圆C的离心率的取值范围为[，]．．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分．13．椭圆1的焦距长是【解答】解：椭圆1，可得a＝3，b＝2，则c．椭圆1的焦距长是：2．故答案为：2．14．已知圆C：x2+y2+8x﹣m+1＝0与直线相交于A，B两点．若|AB|＝2，则实数m的值为﹣11．【解答】解：圆C：x2+y2+8x﹣m+1＝0化为标准方程是（x+4）2+y2＝15+m；则圆心C（﹣4，0），半径为r（其中m＞﹣15）；所以圆心C到直线的距离为d，化简得，解得m＝﹣11．故答案为：﹣11．15．已知△ABC的角A，B，C对边分别为a，b，c，若a2＝b2+c2﹣bc，且△ABC的面积为，则a的最小值为．【解答】解：根据题意，△ABC中，若a2＝b2+c2﹣bc，则bc＝b2+c2﹣a2，则cos A，则sin A，又由△ABC的面积为，则有S bc sin A，bc＝3，a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc＝3，则a的最小值为；故答案为：．16．设S n为数列{a n}的前n项和，，则S1+S2+…+S100＝2101﹣102．【解答】解：设S n为数列{a n}的前n项和，，①当n＝1时，解得a1＝1，当n≥2时，S n﹣1＝2a n﹣1﹣1②①﹣②得a n＝2a n﹣2a n﹣1，即（常数），所以数列{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列．则（首项符合通项）．故2n﹣1，所以S1+S2+…+S100＝（21+22+…+2100）﹣100．故答案为：2101﹣102．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知直线l1：ax+3y+1＝0，l2：x+（a﹣2）y+a＝0．（1）若l1⊥l2，求实数a的值；（2）当l1∥l2时，求直线l1与l2之间的距离．【解答】解：（1）由l1⊥l2可得：a+3（a﹣2）＝0，…4分解得；…6分（2）当l1∥l2时，有，…8分解得a＝3，…9分此时，l1，l2的方程分别为：3x+3y+1＝0，x+y+3＝0即3x+3y+9＝0，故它们之间的距离为．…12分．18．已知椭圆C的焦点在x轴上，两个焦点与上顶点组成一个正三角形，且右焦点到右顶点的距离为1．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M（3，0）作斜率为的直线l与椭圆相交于A，B两点，求|AB|．【解答】解：（1）椭圆C的焦点在x轴上，两个焦点与上顶点组成一个正三角形，且右焦点到右顶点的距离为1．可得：⇒ ⇒．故椭圆的方程为；（2）过点M（3，0）作斜率为的直线l，可得直线方程为：y（x﹣3），联立⇒4x2﹣6x﹣3＝0，过点M（3，0）作斜率为的直线l与椭圆相交于A，B两点，所以＞，．19．如图，为对某失事客轮AB进行有效援助，现分别在河岸MN选择两处C、D用强光柱进行辅助照明，其中A、B、C、D在同一平面内．现测得CD长为100米，∠ADN＝105°，∠BDM＝30°，∠ACN＝45°，∠BCM＝60°．（1）求△BCD的面积；（2）求船AB的长．【解答】解：（1）由题，∠BDM＝30°，∠ACN＝45°，∠BCM＝60°，得∠CBD＝30°，所以BC＝CD＝100，所以平方米．（2）由题，∠ADC＝75°，∠ACD＝45°，∠BDA＝45°，在△ACD中，，即，所以，在△BCD中，，在△ABD中，，即船长为米．20．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ABD＝90°，EB⊥平面ABCD，EF∥AB，AB＝2，EB，EF＝1，BC，且M是BD的中点．（1）求证：EM∥平面ADF；（2）求多面体ABCDEF的体积V．【解答】（1）证明：取AD的中点N，连接MN，NF．在△DAB中，∵M是BD的中点，N是AD的中点，∴MN∥AB，MN，又∵EF∥AB，EF，∴MN∥EF，且MN＝EF．∴四边形MNEF为平行四边形，则EM∥FN，又∵FN⊂平面ADF，EM⊄平面ADF，故EM∥平面ADF；（2）解：∵∠ABD＝90°，EB⊥平面ABCD，EF∥AB，AB＝2，EB，EF＝1，BC，∴多面体ABCDEF的体积V＝V F﹣ABD+V F﹣BED+V E﹣BDC（）．21．已知圆C的圆心C在直线x﹣2y＝0上．（1）若圆C与y轴的负半轴相切，且该圆截x轴所得的弦长为4，求圆C的标准方程；（2）已知点N（0，﹣3），圆C的半径为3，且圆心C在第一象限，若圆C上存在点M，使|MN|＝2|MO|（O为坐标原点），求圆心C的纵坐标的取值范围．【解答】解：（1）因为圆C的圆心在直线x﹣2y＝0上，所以可设圆心为（2a，a）因为圆C与y轴的负半轴相切，所以a＜0，半径r＝﹣2a，又因为该圆截学轴所得弦的弦长为4，所以a2+（2）2＝（﹣2a）2，解得a＝﹣2，因此，圆心为（﹣4，﹣2），半径r＝4所以圆C的标准方程为（x+4）2+（y+2）2＝16（2）圆C的半径为3，设圆C的圆心为（2a，a），由题意，a＞0则圆C的方程为（x﹣2a）2+（y﹣a）2＝9又因为|MN|＝2|MO|，N（0，﹣3），设M（x，y）则2，整理得x2+（y﹣1）2＝4，它表示以（0，1）为圆心，2为半径的圆，记为圆D，由题意可知：点M既在圆C上又在圆D上，即圆C和圆D有公共点．所以|3﹣2|5，且a＞0所以＞，即＞，解得＞或，解得a所以圆心C的纵坐标的取值范围时[，]22．已知椭圆C的两个焦点坐标分别是F1（，0）、F2（，0），并且经过点P（，）．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与圆O：x2+y2＝1相切，并与椭圆C交于不同的两点A、B．当• λ，且满足 λ 时，求△AOB面积S的取值范围．【解答】解：（1）设椭圆方程为：1（a＞b＞0），由题意可得：c，1，a2＝b2+c2，联立解得：a＝2，b＝1．∴椭圆C的方程为：y2＝1．（2）由题意可知：直线l的斜率不为零，设直线l方程：x﹣my﹣n＝0与圆O：x2+y2＝1相切，∴1，解得n2＝m2+1．设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去x整理得：（m2+4）y2+2mny+n2﹣4＝0，∴y1+y2，y1y2．又∵|AB||y1﹣y2|，∴，λ•x1x2+y1y2＝（my1+n）（my2+n）+y1y2＝（m2+1）y1y2+mn（y1+y2）+n2，∵ λ ，令t＝m2+1，则λ ，可得t[3，6]，∴S△AOB＝2，∵，，∴（6），，∴，，∴S△AOB，．。