2020年湖南省长沙市高考数学二模试卷(二)(有答案解析)
解析：解：由三视图知，几何体是一个简单组合体，左侧是一个半 圆柱，底面的半径是 1，高为：4， 右侧是一个半圆柱，底面半径为 1，高是 2，
∴组合体的体积是：
=3π，
故选：A． 几何体是一个简单组合体，左侧是一个半圆柱，底面的半径是 1， 高为：4，右侧是一个半圆柱，底面半径为 1，高是 2，根据体积公 式得到结果． 本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原直观图，本 题是一个基础题，题目的运算量比较小，若出现是一个送分题目．
14. 已知两个单位向量 和 夹角为 120°，则 在 方向上的投影为________．
15. 已知函数 f（x）=ax2-1 的图象在点 A（1，f（1））处的切线与直线 x+8y=0 垂直，
若数列{ }的前 n 项和为 Sn，则 Sn=______．
16. 如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB=1，BC= ， 点 M 在棱 CC1 上，当 MD1+MA 取得最小值时， MD1⊥MA，则棱 CC1 的长为______．
此时，离心率 e= = ．
故选：C． 渐近线与直线 x+3y+1=0 垂直，得 a、b 关系，再由双曲线基本量的平方关系，得出 a、 c 的关系式，结合离心率的定义，可得该双曲线的离心率． 本题给出双曲线的渐近线方程，求双曲线的离心率，考查了双曲线的标准方程与简单几 何性质等知识，属于基础题．
4.答案：C
C. [25，+∞）
D. [ ，5]
12. 直线 y=kx+1 与抛物线 C：x2=4y 交于 A，B 两点，直线 l∥AB，且 l 与 C 相切，切点 为 P，记△PAB 的面积为 S，则 S-|AB|的最小值为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13. 已知 m＞0，若（1+mx）5 的展开式中 x2 的系数比 x 的系数大 30，则 m=______．
的极坐标方程 ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0． （1）求曲线 C1 和曲线 C2 的直角坐标方程； （2）已知曲线 C1 与曲线 C2 交于 A，B 两点，点 P（-1，2），求|PA|2+|PB|2 的取值 范围．
23. 已知函数 f（x）=|x-1|
（1）解不等式 f（x-2）+f（x+2）≥8
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7.答案：B
解析：解：函数 f（x）=xln（ax）+1， 可得 f′（x）=ln（ax）+1，已知 x= 函数 f（x）=xln（ax）+1 的极值点，
可得：ln（a ）+1=0，解得 a=1，经验证 a=1 时，x= 函数 f（x）=xln（ax）+1 的极值
点， 故选：B． 求出函数的导数，利用极值点，求出 a，即可． 本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，考查计算能力．
5.答案：D
解析：解：由变量 x，y 束条件
作
出可行域如图，
联立
，得 A（1， ），
化目标函数 z=x+2y 为 y=- + ，
由图可知，当直线 y=- + 过 A 时，直线在 y 轴上
的截距最小，z 有最小值为 1+2× =6，
故选：D． 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立 方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案． 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
三、解答题（本大题共 7 小题，共 84.0 分）
17. 在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且
．
（1）求 sinA；
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（2）若
，△ABC 的面积为 ，求△ABC 的周长
18. 如图，四棱锥 P-ABCD 的底面是直角梯形，AB∥DC，AB⊥BC，△PAB 和△PBC 是两
A. （-2，-2）
B. （-2，2）
C. （2，2）
D. （2，-2）
3. 若双曲线 =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线 x-3y+1=0 垂直，则该双曲线
的离心率为（ ）
A. 高铁、扫码支付、共享单车、网购并称中国“新四大发明”，近日对全国 100 个城
市的共享单车和扫码支付的使用人数进行大数据分析，其中共享单车使用的人数分
批唐三彩的优质品率为 ，即取出的每件唐三彩是优质品的概率都为 ，且各件唐三
彩是否为优质品相互独立．（1）求这批唐三彩通过优质品检验的概率； （2）已知每件唐三彩的检验费用为 100 元，且抽取的每件唐三彩都需要检验，对 这批唐三彩作质量检验所需的总费用记为 元，求 的分布列及数学期望．
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点，在中国文化中占有重要的历史地位，在陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔．唐三 彩的生产至今已有 1300 多年的历史，制作工艺十分复杂，而且优质品检验异常严 格，检验方案是：先从烧制的这批唐三彩中任取 3 件作检验，这 3 件唐三彩中优质 品的件数记为 ．如果 ，再从这批唐三彩中任取 3 件作检验，若都为优质品， 则这批唐三彩通过检验；如果 ，再从这批唐三彩中任取 1 件作检验，若为优 质品，则这批唐三彩通过检验；其他情况下，这批唐三彩都不能通过检验．假设这
个边长为 2 的正三角形，DC=4，O 为 AC 的中点，E 为 PB 的中点．
（Ⅰ）求证：OE∥平面 PCD； （Ⅱ）在线段 DP 上是否存在一点 Q，使直线 BQ 与平面 PCD 所成角的正弦值为 ？ 若存在，求出点 Q 的位置；若不存在，说明理由．
19. 唐三彩是中国古代陶瓷烧制工艺的珍品，它吸取了中国国画、雕塑等工艺美术的特
A.
B. 1
C.
D. 2
8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （）
A. 3π B. 4π C. 6π D. 8π
9. 已知 x∈（0，π），则 f（x）=cos2x+2sinx 的值域为（ ）
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A. （-1， ]
B. （0，2 ） C. （ ）
D. [1， ]
10. 2002 年在北京召开的国际数学家大会的会标是以我国古代数学家的弦图为基础设 计的．弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如
解析：【分析】
根据题意，由平均数公式可得 = （x1+x2+…+x100），s2= [（x1- ）2+（x2- ）2+……+
（x100- ）2]，进而分析数据 3x1+2，3x2+2，3x3+2，…，3x100+2 的平均数与方差，即可
得答案． 本题主要考查了样本数据的平均数和方差的计算与应用，应该熟记样本数据的平均数和 方差的计算公式，合理化简与计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基 础题． 【解答】
图），设其中直角三角形中较小的锐角为 θ，且 tan2θ= ，如果在弦图内随机抛掷
1000 米黑芝麻（大小差别忽略不计），则落在小正方形内的黑芝麻数大约为（ ）
A. 350
B. 300
C. 250
D. 200
11. 已知函数
，若实数 m 满足
，则 m 的取
值范围是（ ）
A. （0，25]
B. [5，25]
别为 x1，x2，x3，…x100，它们的平均数为 ，方差为 s2；其中扫码支付使用的人数
分别为 3x1+2，3x2+2，3x3+2，…，3x100+2，它们的平均数为 ′，方差为 s′2，则
′，s′2 分别为（ ）
A. 3 +2，3s2+2 B. 3 ，3s2
C. 3 +2，9s2
D. 3 +2，9s2+2
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解：根据题意，数据 x1，x2，…x100 的平均数为 ，方差为 s2； 则 = （x1+x2+…+x100），s2= [（x1- ）2+（x2- ）2+……+（x100- ）2]， 若 3x1+2，3x2+2，3x3+2，…，3x100+2 的平均数为 ′， 则 ′= [（3x1+2）+（3x2+2）+……+（3x100+2）]=3 +2， 方差 s′2= [（3x1+2-3 -2）2+（3x2+2-3 -2）2+……+（3x100+2-3 -2）2]=9s2， 故选：C．
6.答案：C
解析：解：设等比数列{an}的公比为 q，首项 a1=2， ∴an=2qn-1， ∴bn=log2an=1+（n-1）log2q， ∴数列{bn}为等差数列． ∵b2+b3+b4=9， ∴3b3=9，解得 b3=3． ∴a3=23=8． ∴2×q2=8，解得 q2=4． ∴a5=2×42=32． 故选：C． 设等比数列{an}的公比为 q，首项 a1=2，可得 an=2qn-1，代入 bn=log2an，可得数列{bn} 为等差数列．根据 b2+b3+b4=9，可得 b3，再利用等比数列的通项公式即可得出． 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质、对数运算性质，考查了推理能力 与计算能力，属于中档题．
10.答案：D
解析：【分析】 本题考查几何概型概率的求法，求得小正方形与大正方形的面积比是关键，属于基础题． 由已知求得 tanθ，找出小正方形与大正方形边长的关系，得到面积比，则答案可求． 【解答】
5. 已知变量 x，y 束条件
，则 z=x+2y 的最小值为（ ）
湖南省长沙市2020届高三数学下学期第二次模拟考试试题 文(含解析)
2020年高三第二次模拟考试试卷数学（文科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先化简集合，再利用交集的定义求解即可.【详解】因为，，所以,故选B.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.2.已知复数，则它的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据复数的运算，化简得，再根据共轭复数的概念，即可求解.【详解】因为，所以，对应点的坐标为，故选A.【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及共轭复数的求解，其中解答中熟记复数的运算法则，以及共轭复数的概念是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.3.已知双曲线的两条渐近线互相垂直，焦距为8，则的离心率为（）A. B. 2 C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，列出方程组，求得的值，再利用离心率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，双曲线的两条渐近线互相垂直，焦距为8，可得，得，所以双曲线的离心率.【点睛】本题主要考查了双曲线的离心率的求解，其中解答中熟记双曲线的几何性质，合理、准确列出方程组，求得的值，再利用离心率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4.高铁、扫码支付、共享单车、网购并称中国“新四大发明”，近日对全国100个城市的共享单车和扫码支付的使用人数进行大数据分析，其中共享单车使用的人数分别为，它们的平均数为，方差为；其中扫码支付使用的人数分别为，，，，，它们的平均数为，方差为，则，分别为（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】由样本数据的平均数和方差的公式，化简、运算，即可求解，得到答案.【详解】由平均数的计算公式，可得数据的平均数为数据的平均数为：，数据的方差为，数据的方差为：故选C.【点睛】本题主要考查了样本数据的平均数和方差的计算与应用，其中解答中熟记样本数据的平均数和方差的计算公式，合理化简与计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5.已知变量满足约束条件，则的最小值为（）A. 9B. 8C. 7D. 6【答案】A【解析】【分析】先画出可行域，再结合z的几何意义，数形结合求解即可【详解】作出可行区域（如图阴影所示），化直线为,可知当直线经过点A取得最小值,此时解得A，∴的最小值为6故选：D【点睛】本题考查线性规划，数形结合思想，准确作图，熟练计算是关键，是基础题6.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意结合诱导公式和三角函数的性质化简三角函数式即可.【详解】因为，所以.故选：A.【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，三角函数式的化简等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.已知抛物线上的点到其焦点的距离比点到轴的距离大，则抛物线的标准方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由抛物线的定义转化，列出方程求出p，即可得到抛物线方程．【详解】由抛物线y2＝2px（p＞0）上的点M到其焦点F的距离比点M到y 轴的距离大，根据抛物线的定义可得，，所以抛物线的标准方程为：y2＝2x．故选：B．【点睛】本题考查了抛物线的简单性质的应用，抛物线方程的求法，属于基础题．8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意首先确定几何体的结构特征，然后结合体积公式求解其体积即可.【详解】由三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为4的圆柱挖掉右上半柱而形成的几何体.故该几何体的体积为.【点睛】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．9.在三棱锥中，底面，，，，，则三棱锥外接球的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】在三棱锥中，求得,又由底面，所以,在直角中，求得,进而得到三棱锥外接球的直径，得到，利用体积公式，即可求解. 【详解】由题意知，在三棱锥中，，，，所以,又由底面，所以,在直角中，，所以,根据球的性质，可得三棱锥外接球的直径为，即，所以球的体积为，故选B.【点睛】本题主要考查了与球有关的组合体中球的体积的计算，其中解答中根据组合体的结构特征和球的性质，准确求解球的半径是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.10.函数的图像向左平移个单位长度后得函数的图像，若的图像关于点对称，则的单调递减区间是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由三角函数的图象变换，求得，再由函数的图像关于点对称，求得，得到函数，根据正弦型函数的性质，即可求解.【详解】由题意，函数的图像向左平移个单位长度后，则，又由的图像关于点对称，所以，，解得，.因为，所以，所以，令，，得，，即函数的单调递减区间是，故选C.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象变换，以及合理、准确应用三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.11.分别为锐角内角的对边，函数有唯一零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由，所以，利用余弦定理，得，再由正弦定理，得，求得，结合锐角，求得，，根据，即可求解的取值范围.【详解】由题意，函数为偶函数且有唯一零点，则，所以.由余弦定理，得，整理得，即，所以，由正弦定理，得，即，所以，所以，所以或（舍），故，结合锐角，，则，，所以，由，又因为，所以，即的取值范围是，故选D.【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.12.设，已知函数，对于任意，都有，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，转化为任意，，利用导数得到函数的单调性，求得和，由，即可求解.【详解】设函数，由当时，对于任意，都有，即对于任意，，由于，那么在上单调递减，而，在上单调递减，所以，，则，那么，或，结合，所以，故选C.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性与，以及函数单调性，求解参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数，则______．【答案】【解析】【分析】利用分段函数的解析式先求出，从而可得的值.【详解】，且，，，故答案为.【点睛】本题主要考查分段函数的解析式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰. 当出现的形式时，应从内到外依次求值．14.已知两个单位向量和夹角为，则______．【答案】【解析】【分析】根据向量的数量积的运算公式，即可求解的值，得到答案.【详解】根据向量的数量积的运算公式，可得.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，合理准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.15.已知四棱锥的底面边长都为2，，，且，是的中点，则异面直线与所成的角为_______．【答案】【解析】【分析】根据异面直线所成角的定义，可得则所成的角为或的补角，在中，即可求解.【详解】如图所示，连接与相交于，则，根据异面直线所成角的定义，可得则所成的角为或的补角，由题意，在中，，，，则，所以.【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中熟记异面直线所成角的概念，把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.16.已知定义在上的偶函数，其图像连续不间断，当时，函数是单调函数，则满足的所有之积为______．【答案】39【解析】【分析】由题意首先确定函数的对称性，然后结合题意和韦达定理整理计算，即可求得最终结果．【详解】因为函数是连续的偶函数，所以直线是它的对称轴，从面直线就是函数图象的对称轴．因为，所以或．由，得，设方程的两根为n，n，所以；由，得，设方程的两根为，，所以，所以．故答案为：39．【点睛】本题主要考查了函数的单调性，奇偶性，以及对称性的应用，其中其中根据函数的奇偶性得出函数的对称性，再利用函数的单调性建立关于的一元二次方程，利用韦达定理求解是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及运算、求解能力，属于中档试题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列的前项和为，，.（1）求数列的通项公式；（2）设，若数列的前项和为，证明：.【答案】（1）（2）见证明【解析】【分析】（1）根据，可得，两式相减得到，得到数列为从第2项开始的等比数列，即可求解数列的通项公式；（2）由（1）知，得到，利用裂项法，即可求解，得到答案.【详解】（1）因为，① ，可得.②①-②得，即，所以为从第2项开始的等比数列，且公比，又，所以，所以数列的通项公式为.当时，满足上式，所以数列的通项公式为.（2）证明：由（1）知，所以，所以得证.【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式及求和公式、以及“裂项法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“裂项”之后求和时，弄错数列的项数，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.18.某电子商务平台的管理员随机抽取了1000位上网购物者，并对其年龄（在10岁到69岁之间）进行了调查，统计情况如下表所示. 年龄人数 10015020050已知，，三个年龄段的上网购物的人数依次构成递减的等比数列.（1）求的值；（2）若将年龄在内的上网购物者定义为“消费主力军”，其他年龄段内的上网购物者定义为“消费潜力军”.现采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购物者中抽取5人，再从这5人中抽取2人，求这2人中至少有一人是消费潜力军的概率. 【答案】（1），；（2）【解析】 分析】（1）根据人数和为100及人数的等比关系列方程组求解即可；（2）在抽取的5人中，有3人是消费主力军，分别记为，，，有2人是消费潜力军，分别记为，，利用列举法及古典概型的公式求解即可. 【详解】（1）由题意得，解得，.（2）由题意可知，在抽取的5人中，有3人是消费主力军，分别记为，，，有2人是消费潜力军，分别记为，.记“这2人中至少有一人是消费潜力军”为事件.从这5人中抽取2人所有可能情况为，，，，，，，，，，共10种.符合事件的有，，，，，，，共7种.故所求概率为.【点睛】本题主要考查了统计的简单应用，考查了古典概型的求解，属于基础题.19.在四棱锥中，平面平面，底面为矩形，，，，、分别为线段、上一点，且，.（1）证明：；（2）证明：平面，并求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析；（2）1.【解析】【分析】（1）推导出AM⊥AD，从而AM⊥平面ABCD，由此能证明AM⊥BD；（2）推导出CE＝ND，BC∥AD，EN∥AB，FN∥AM，从而平面ENF∥平面MAB，进而EF∥平面MAB，由V D﹣AEF＝V F﹣ADE，能求出三棱锥D﹣AEF的体积．【详解】（1）∵AM＝AD＝3，MD＝3，∴AM2+AD2＝MD2，∴AM⊥AD，∵平面MAD⊥平面ABCD，平面MAD∩平面ABCD＝AD，∴AM⊥平面ABCD，又BD⊂平面ABCD，∴AM⊥BD．（2）在棱AD上取一点N，使得ND＝1，∵CE＝1，∴CE＝ND，又BC∥AD，∴EC ND，又AB∥CD，∴EN∥AB，∵＝，∴FN∥AM，∵FN∩EN＝N，∴平面ENF∥平面MAB，又EF⊂平面ENF，∴EF∥平面MAB，∵AM⊥平面ABCD，且FD ＝MD，AM＝3，∴F到平面ABCD的距离d ＝，∴V D﹣AEF＝V F﹣ADE ＝＝1．【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.设是圆上的任意一点，是过点且与轴垂直的直线，是直线与轴的交点，点在直线上，且满足.当点在圆上运动时，记点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程；（2）已知点，过的直线交曲线于两点，交直线于点.判定直线的斜率是否依次构成等差数列？并说明理由.【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）设点，，由条件的线段比例可得，，代入圆的方程中即可得解；（2）设直线的方程为，与椭圆联立得得，设，，由，结合韦达定理代入求解即可.【详解】（1）设点，，因为，点在直线上，所以，.①因为点在圆：上运动，所以.②将①式代入②式，得曲线的方程为. （2）由题意可知的斜率存在，设直线的方程为，令，得的坐标为. 由，得. 设，，则有，.③记直线，，的斜率分别为，，，从而，，. 因为直线的方程为，所以，，所以.④把③代入④，得. 又，所以，故直线，，的斜率成等差数列.【点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系，斜率的坐标表示，设而不求的数学思想，考查了计算能力，属于中档题.21.已知函数.（1）讨论函数的单调区间；（2）证明：.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】(1),分和两种情况讨论单调性即可；(2)法一：将不等式变形为，构造函数，证明即可；法二：将不等式变形为，分别设，求导证明即可.【详解】(1) ，当时，，函数的单调增区间为，无减区间；当时，，当，，单增区间为上增，单调减区间为上递减。
【精品】2020届高考数学模拟试卷2(湖南省)
2020届高考数学模拟试卷2（湖南省）一、单选题1．函数()1cos 1xx e f x x e-=⋅+的图象的大致形状是（ ） A ． B ．C ．D ．2．复数211i ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．2i -B ．2iC ．-2D ．2 3．某校有A 、B 、C 、D 四个社团，其中学生甲、乙、丙、丁四人在不同的四个社团中，在被问及在哪个社团时，甲说：“我没有参加A 和B 社团”．乙说：“我没有参加A 和D 社团”．丙说：“我也没有参加A 和D 社团”．丁说：“如果乙不参加B 社团，我就不参加A 社团”．则参加B 社团的人是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁4．给出的下列命题中正确的是（ ）A ．若α，β是第一象限角，且αβ<，则tan tan αβ<B ．函数3cos 22x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是奇函数 C ．8x π=是函数5cos 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的一条对称轴D ．32sin 2y x =在区间,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，最小值为2-.5．已知,,,sin )2παβπααβ⎛⎫∈=+= ⎪⎝⎭，则β=（ ） A ．23π B ．56π C ．34π D ．1112π 6．已知曲线C 的方程为22121x y m m+=-，现给出下列两个命题：p ：102m <<是曲线C 为双曲线的充要条件，q ：12m >是曲线C 为椭圆的充要条件，则下列命题中真命题的是（ ） A ．()()p q ⌝∧⌝B ．()p q ⌝∧C ．()p q ∧⌝D ．p q ∧7．已知集合{0,1,2}M =，{|22,}N x x x Z =-<<∈，则M N ⋂为（ ）A ．(0,1)B ．[0,1]C ．{0,1}D ．∅8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．8012π+B ．5912π+C ．5913.5π+D ．8013.5π+ 9．()263,034,0x x x x f x x ---≤⎧⎪=->⎨⎪⎩，则函数y =f [f （x ）]的零点个数为（ ） A ．7 B ．6 C ．5 D ．310．直线2y x =+交椭圆2214x y m +=于,A B 两点，若AB =，则m 的值为（ ）A ．16B ．12C ．D ．311．某四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π12．用随机模拟方法估计概率时，其准确程度决定于( )A ．产生的随机数的大小B ．产生的随机数的个数C ．随机数对应的结果D ．产生随机数的方法二、填空题 13．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，12,F F 为其左、右焦点,P 为椭圆C 上除长轴端点外的任一点，G 为12F PF ∆内一点，满足123PG PF PF =+,12F PF ∆的内心为I ，且有12IG F F λ=（其中λ为实数），则椭圆C 的离心率e =_____14．已知(,)2a ππ∈，且tan 2a =-，则sin()a π-=________ 15．已知△ABC 中，AB ＝，BC ＝1，sin C ＝cos C ，则△ABC 的面积为________．16．等比数列{}n a 的首项为512，公比为14q =-，记()*12n n a a a n N ∏=⋅∈，则数列{}n ∏的最大项是第___________项.三、解答题 17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21522a a a +=，315S =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记()()1111n n n b a a +=++，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 18．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为(,x cos y a sin a R φφϕ=⎧=+∈⎨⎩为参数).以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为216cos πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且圆心C 在直线l 上． (Ⅰ)求直线l 的直角坐标方程及圆C 的极坐标方程；(Ⅱ)若1,6A πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭是直线l 上一点，24,3B πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭是圆C 上一点，求OAB 的面积． 19．如图是某创业公司2017年每月份公司利润（单位：百万元）情况的散点图：为了预测该公司2018年的利润情况，根据上图数据，建立了利润y 与月份x 的两个线性回归模型：①y =0.94+0.028；②y =0.96+0.032lnx ，并得到以下统计值：（1）请利用相关指数R 2判断哪个模型的拟合效果更好；（2）为了激励员工工作的积极性，公司每月会根据利润的情况进行奖惩，假设本月利润为y 1，而上一月利润为y 2，计算z ()()11212121120.10.50.12y y y y y y y y y y ⎧+-≥⎪=⎨--⎪⎩，，＜，并规定：若z ≥10，则向全体员工发放奖金总额z 元；若z ＜10，从全体员工每人的工资中倒扣10﹣z 元作为惩罚，扣完为止，请根据（1）中拟合效果更好的回归模型，试预测208年4月份该公司的奖惩情况？（结果精确到小数点后两位）≈1.73≈2.24，1n 2≈0.69，1n 3≈1.10，ln 5≈1.61．相关指数R 2＝1122111221()()i i i i y y y y ==---∑∑．20．在直角坐标系xOy 中，动点P到两点(0,的距离之和等于4，设动点P 的轨迹为曲线C（1）写出曲线C 的方程（2）若直线y x m =+与曲线C 有交点，求实数m 的取值范围21．选修4-5：不等式选讲已知函数()|2|f x x =-.(Ⅰ)解不等式：(1)(2)4f x f x +++<；(Ⅱ)若,x R ∃∈使得()||?()4f ax a f x +≤成立，求实数a 的取值范围.22．已知函数()1x a f x a －＝＋，（0a >且1a ≠）恒过定点()3,2，（1）求实数a ；（2）在（1）的条件下，将函数()f x 的图象向下平移1个单位，再向左平移a 个单位后得到函数()g x ，设函数()g x 的反函数为()h x ，求()h x 的解析式；（3）对于定义在[]1,9的函数()y h x ＝，若在其定义域内，不等式()()22[]22h x h x m ≤＋＋＋恒成立，求m 的取值范围．23．（14分）四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD =DC ，E 是PC 的中点.（1）证明PA //平面BDE ；（2）求二面角B −DE −C 的平面角的余弦值；（3）在棱PB 上是否存在点F ，使PB ⊥平面DEF ？若存在，请求出F点的位置；若不存在，请说明理由.参考答案1．C先判断函数的奇偶性，再取特殊值验证. 解：()1cos 1xx e f x x e-=⋅+， ∴()()()1cos cos 111x x x x e e f x x x f x e e----=⋅-=⋅=-++-， ∴函数()f x 为奇函数，故排除B ，D 选项， 当12x =时，121211cos 02112e f e -⎛⎫=⋅< ⎪⎝⎭+. 故排除A 选项.故选：C.本题考查函数图象的识别，关键掌握函数的奇偶性和函数值的特点，属于基础题.2．A根据复数除法与乘法法则求结果.()221112i i i ⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭,选A. 本题重点考查复数的乘除运算，属于基本题.考查基本求解能力.3．B有乙、丙的说法知甲和丁参加了A 、D 社团，又由甲说知，甲参加了D 社团，则丁参加了A 社团，根据丁的说法知乙参加了B 社团．解：有乙、丙的说法知甲和丁参加了A 、D 社团，又由甲说知，甲参加了D 社团，则丁参加了A 社团，根据丁的说法知乙参加了B 社团．故选：B ．本题考查推理的相关知识，考查分析问题，解决问题的能力以及逻辑思维能力，属于基础题 4．B对于A ，通过举反例，即可得知A 错误；对于B ，利用诱导公式进行化简，借助奇函数的定义，即可得解；对于C ，求出5cos 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称轴，即可判断； 对于D ，根据三角函数的图象即可求得结果.对于A ，若4πα=，136βπ=，满足α，β是第一象限角，且αβ<，但是tan tan αβ<不成立，故A 错误；对于B ，33cos sin 222x x y π⎛⎫=+=-⎪⎝⎭， 令()3sin 2x f x =-，则()33sin sin 22x x f x --=-=， 所以()()f x f x =--， 所以3cos 22x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数，故B 正确； 对于C ，5cos 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 524x k ππ+=()k Z ∈，解得582k x ππ=-+()k Z ∈， 所以8x π=不是函数5cos 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称轴，故C 错误； 对于D ，32x ππ-≤≤，∴33224x ππ-≤≤， ∴31sin 12x -≤≤，∴322sin 22x -≤≤， ∴32sin2y x =在区间,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值是2，最小值为2-，故D 错误. 故选：B. 本题主要考查的是三角函数的性质，包括单调性、奇偶性、对称性及最值问题，考查学生对这些知识的掌握能力，属于基础题.5．B先由条件求出sin()αβ+和cos α，然后算出cos cos()βαβα=+-即可.由于,,2παβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴,()2αβππ+∈，∴sin()αβ+=，cos α==， ∴cos cos()cos()cos sin()sin βαβααβααβα=+-=+⋅++⋅1032613261326132⎛⎛-⨯⨯=-+-⨯==- ⨯⎝⎭⎝⎭， ∴56πβ=. 故选：B在解决本类题时，要善于观察角之间的关系，一般用已知角来表示所求角.6．C根据充分必要条件及双曲线和椭圆定义，分别判定命题p 与命题q 的真假，进而判断出复合命题的真假．若曲线C 为双曲线，则()210mm -< ，可解得102m << 若102m <<，则()210m m -<，所以命题p 为真命题 若曲线C 为椭圆，则12m >且m≠1，所以命题q 为假命题 因而()p q ∧⌝为真命题所以选C本题考查了椭圆与双曲线的标准方程，充分必要条件的判定，属于基础题．7．C分析：先化简集合N,再求M N ⋂.详解：由题得N={-1,0,1},所以M N ⋂={0,1}.故答案为：C.点睛：（1）本题主要考查集合的化简和交集，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)解答集合问题时，要注意看清集合元素的属性，不要漏了x Z ∈，否则容易出错.8．D由三视图可知，该几何体由半个圆柱与一个棱柱组成，根据三视图中数据，求出每个表面的面积，求和即可得结果.由三视图可知，该几何体由半个圆柱与一个棱柱组成，棱柱的长宽高分别为6、1、1.5，圆柱的底面半径为3，高为1.5，几何体的直观图如图所示，其表面积为2(1 5.516 5.56) 1.56⨯⨯+⨯+⨯-⨯233 1.58013.5πππ+⨯+⨯⨯=+,故选D.本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.9．A因为y=f[f （x ）]的零点个数⇔f[f （x ）]=0的根的个数，令t=f （x ），则f （t ）=0，画出y=f （x ）的图象，先判断出方程f （t ）=0有3个根，再根据每个根的范围，结合图象判断t=f （x ）的根的个数即可．因为y ＝f [f （x ）]的零点个数⇔f [f （x ）]＝0的根的个数，令t ＝f （x ），则f （t ）＝0y ＝f （x ）的图象如图所示：。
湖南省长沙市明达中学2020届高三(高复部)第二次模拟考试数学试题(理)(解析版)
湖南省长沙市明达中学2020届高三（高复部）第二次模拟考试数学试题（理）一．选择题（每小题5分，满分60分）1.“4n =”是1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中存在常数项”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件『答案』A『解析』二项式1n x x +（）的通项为2110r r n r r r nr n n T C x C x r n x--+==≤≤（）（）1nx x+（）的二项展开式中存在常数项2n r n ⇔=⇔为正偶数4n n =⇒为正偶数，n 为正偶数推不出4n =∴4n =是1nx x+（）的二项展开式中存在常数项的充分不必要条件． 故选A ．2.关于函数()232f x x =-的下列判断，其中正确的是（ ） A. 函数的图像是轴对称图形 B. 函数的图像是中心对称图形 C. 函数有最大值 D. 当0x >时，()y f x =是减函数『答案』A『解析』()232f x x =-定义域为：{x x ≠ ，()23()2f x f x x -==- 函数为偶函数，故A 正确，B 错误当x →x >时，()f x →+∞ ，C 错误3(1)3,(2)2f f =-=，不满足()y f x =是减函数，D 错误 故选A3.已知向量a 和b 的夹角为3π，且2,3a b ==，则(2)(2)a b a b -+=（ ） A. 10- B. 7-C. 4-D.1-『答案』D『解析』()()22a b a b -⋅+= 2223?2a a b b +-＝8+3cos 3a b π－18＝8+3×2×3×12－18＝－1， 故选D.4.魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π：4.若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为( )A. 16B.C.163D.1283『答案』C『解析』正方体的棱长为2，则其内切球的半径r 1=，∴正方体的内切球的体积344V π1π33=⨯=球， 又由已知V πV 4=球牟合方盖，4416V ππ33∴=⨯=牟合方盖． 故选C ．5.关于三个不同平面,,αβγ与直线l ，下列命题中的假命题是（ ） A. 若αβ⊥，则α内一定存在直线平行于βB. 若α与β不垂直，则α内一定不存在直线垂直于βC. 若αγ⊥，βγ⊥，l αβ=，则l γ⊥D. 若αβ⊥，则α内所有直线垂直于β 『答案』D『解析』画出一个正方体ABCD EFHG -如下图所示.平面ABCD ⊥平面ADHE ，而//EH AD ，即平行于这两个垂直平面的交线，有//EH 平面ABCD ，故A 选项命题是真命题，且D 选项命题是假命题.根据面面垂直的判定定理可知，B 选项命题是真命题.由下图可知，平面ADHE 和平面ABFE 同时垂直于平面ABCD ，它们的交线AE 也垂直平面ABCD ，故选项C 命题是真命题.综上所述，本题选D.6.已知函数2()1f x ax x =-+，1,? 1(),? 11?1,?1x g x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若函数()()y f x g x =-恰有两个零点，则实数a 的取值范围为（ ） A. (0,)+∞B. (,0)(0,1)-∞C. 1(,)(1,)2-∞-⋃+∞ D. (,0)(0,2)-∞『答案』B『解析』令2()()1h x f x x ax =+-=，()()1x g x x ϕ=+-2,121,11,1x x x x x x -≤-⎧⎪=--<<⎨⎪≥⎩转化为()h x 与()x ϕ有两个交点时，求实数a 的取值范围， 如下图，1a =时，()h x 与()x ϕ相切于(1,1)点，当0a <或01a <<时，()h x 与()x ϕ有两个交点，故选B.7.对于函数()y f x =，如果其图象上的任意一点都在平面区域()()(){x,y |y x y x 0}+-≤内，则称函数()f x 为“蝶型函数”，已知函数：y sinx =①；y =②确的是( )A. ①、②均不是“蝶型函数”B. ①、②均是“蝶型函数”C. ①是“蝶型函数”；②不是“蝶型函数”D. ①不是“蝶型函数”：②是“蝶型函数” 『答案』B『解析』由y sinx =，设()g x sinx x =+，导数为cosx 10+≥，即有x 0>，()g x 0>；x 0<时，()g x 0<；设()h x sinx x =-，其导数为cosx 10-≤，x 0>时，()h x 0<，x 0<时，()h x 0>， 可得()()y x y x 0+-≤恒成立，即有y sinx =为“蝶型函数”；由)22xx x 1x 10=--=-<，可得y =为“蝶型函数”．故选B ．8.如图，在正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点中任取两个点作直线，与直线1A B 异面且夹角成60︒的直线的条数为（ ）．A. 3B.4 C.5 D. 6『答案』B『解析』在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的八个顶点中任取两个点作直线， 与直线A 1B 异面且夹角成60°的直线有： AD 1，AC ，D 1B 1，B 1C ，共4条．故选B ．9.如图，平面直角坐标系中，曲线(实线部分)的方程可以是（ ）．A. ()()22110x y xy --⋅-+=B. ()2210x y -+=C.()10x y --=D.0=『答案』C『解析』因为曲线表示折线段的一部分和双曲线，A 选项等价于10x y --=或2210x y -+=，表示折线y 1x =-的全部和双曲线， 故错误；B 选项，等价于221010x y x y ⎧--≥⎨-+=⎩或10x y --=，又10x y --=表示折线y 1x =-的全部，故错误； C 选项，等价于221010x y x y ⎧--=⎨-+≥⎩或2210x y -+=，∴221010x y x y ⎧--=⎨-+≥⎩表示折线y 1x =-在双曲线外部（包含有原点）的部分， 2210x y -+=表示双曲线2x -21y =，符合题中的图象，故C 正确.D 选项，等价于221010x y x y ⎧--=⎨-+≥⎩或221010x y x y ⎧--≥⎨-+=⎩，221010x y x y ⎧--=⎨-+≥⎩表示折线y 1x =-在双曲线外部（包含有原点）的部分，和221010x y x y ⎧--≥⎨-+=⎩表示双曲线在x 轴下方的部分，故错误. 故选C.10.设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ，sinAsinC ＝4，则角C =（ ） A. C ＝15°或C ＝45° B. C ＝15°或C ＝30° C. C ＝60°或C ＝45° D. C ＝30°或C ＝60°『答案』A『解析』因为()()a b c a b c ac ++-+=， 所以222a c b ac +-=-．由余弦定理得，2221cos 22a cb B ac +-==-，因此120B =︒． 所以60A C +=︒，所以cos()cos cos sin sin A C A C A C -=+cos cos sin sin 2sin sin A C A C A C =-+cos()2sin sin A C A C =++112242=+⨯=， 故30A C -=︒或030A C -=-， 因此，15=︒C 或45C =︒． 故选：A11.设点M 、N 均在双曲线22:143x y C -=上运动，1F 、2F 是双曲线C 的左、右焦点，则122MF MF MN +-的最小值为（ ）A. B. 4C. D. 以上都不对『答案』B『解析』由题意，设O 为12,F F 的中点，根据向量的运算，可得122222MF MF MN MO MN NO +-=-=，又由N 为双曲线22:143x y C -=上的动点，可得NO a ≥， 所以122224MF MF MN NO a +-=≥=， 即122MF MF MN +-的最小值为4. 故选：B.12.已知点E 是抛物线2:2(0)C y px p =>的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线C 的焦点，点P 在抛物线C 上.在EFP ∆中，若sin sin EFP FEP μ∠=⋅∠，则μ的最大值为（ ）A.2B.C.D.『答案』C『解析』由题意得，准线:2p l x =-，,02p E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，过P 作PH l ⊥，垂足为H ，则由抛物线定义可知PH PF=，于是sin sin EFP PEFEP PFμ∠==∠11cos cos PE PH EPH PEF===∠∠，cos y x =在()0,π上为减函数，∴当PEF ∠取到最大值时（此时直线PE 与抛物线相切），计算可得直线PE 的斜率为1，从而45PEF ∠=︒，max 2μ∴==,故选C.二．填空题（每小题分，满分20分）13.设函数()sin f x x ω=（02ω<<），将()f x 图像向左平移23π单位后所得函数图像对称轴与原函数图像对称轴重合，则ω= ． 『答案』32『解析』因为将()f x 图像向左平移23π单位后所得函数图像对称轴与原函数图像对称轴重合，所以+2,23T n n Z π⋅=∈，由周期公式得：+22=,3n n Z ππω⋅∈，所以3=2n ω，又因为02ω<<，所以3=2ω．14.天干地支纪年法，源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸.十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，已知2016年为丙申年，那么到改革开放100年时，即2078年为________年 『答案』戊戌『解析』由题意，可得数列天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列， 从2017年到2078年经过了61年，且2017年为丁茜年，以2017年的天干和地支分别为首项，则61106÷=余1，则2078年的天干为戊，61125÷=余1，则2078年的天干为戌，所以2078年为戊戌年．15.已知平面向量a 、b 、c 满足1a =，2b c ==，且0b c ⋅=，则当01λ≤≤时，(1)a b c λλ---的取值范围是_______『答案』1,3]『解析』因为||||2b c ==，且0b c ⋅=,所以可设(2,0)OB b ==,(0,2)OC c ==,OA a =, 设(1)OD d b c λλ==+-,因为01λ≤≤,所以点D 在线段BC 上, 因为||1a =,所以点A 在单位圆221x y +=上, 如图”所以|(1)|a b c λλ---||OA OD =-||DA =,则问题转化为求线段BC 上的动点D 与单位圆上的动点A 之间的距离||DA 的取值范围.由图可知:当ODBC ,且A 为线段OD 与单位圆的交点时, ||DA 1,当D与B (或)C 重合,A 为单位圆与x (或y )轴的负半轴的交点时, ||DA 取得最大值2+1=3.所以|(1)|a b c λλ---的取值范围是1,3].故答案为: 1,3].16.已知函数2()2ln 3f x x ax =-+，若存在实数,[1,5]m n ∈满足2n m -≥时，()()f m f n =成立，则实数a 的最大值为_____.『答案』ln 34『解析』由22()()2ln 32ln 3f m f n n an m am =⇒-+=-+，所以222(ln ln )n m a n m-=-， 令n m t =+，（2t ≥），则ln(1)(2)t m a t m t +=+，（[1,5]m ∈，2t ≥）， 显然ln(1)()(2)t m g m t m t +=+，在[1,)m ∈+∞单调递减， ∴ln(1)(1)(2)t a g t t +≤=+（2t ≥）令ln(1)()(1)(2)t h t g t t +==+，（2t ≥），22222(1)ln(1)()[(2)](1)t t t t h t t t t +-++'=++，∵2t ≥，∴2ln(1)1t +>，则2222(1)ln(1)t t t t +-++，∴令ln(1)()(1)(2)t h t g t t +==+在[2,)+∞单调递减，∴ln 3(2)4a h ≤=，∴实数a 的最大值为ln 34． 故答案为：ln 34三:解答题（满分70分）17.如图，有一块边长为1(hm )的正方形区域ABCD ，在点A 处装有一个可转动的小摄像头，其能够捕捉到图象的角PAQ ∠始终为45°（其中点P 、Q 分别在边BC 、CD 上），设PAB θ∠=，记tan t θ=.（1）用t 表示PQ 的长度，并研究CPQ ∆的周长l 是否为定值？ （2）问摄像头能捕捉到正方形ABCD 内部区域的面积S 至多为多少？ 解：（1）设,1(01)BP t CP t t ==-≤≤，所以()145,ADtan 451tDAQ DQ tθθ︒︒-∠=-=-=+， 则：12111t tCQ t t-=-=++，所以211t PQ t +==+ 故221111211t t l CP CQ PQ t t t t t+=++=-++=-++=++所以CPQ ∆的周长l 是定值2hm . （2）ABP ADQ S S S S ∆∆=--正方形11121212222121t t t t t -⎛⎫=--⋅=-++- ⎪++⎝⎭，当且仅当1t =-时，等号成立，所以摄像头能捕捉到正方形ABCD 内部区域的面积S 至多为22hm .18.如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的多面体中，四边形ACDF 是菱形，060,FAC ∠=//,//,3,AB DE BC EF AB BC AF BF ====（1）求证：平面ABC ⊥平面ACDF（2）求平面AEF 与平面ACE 所成的锐二面角的余弦值 （1）证明：设O 是AC 中点，连结OF 、OB 、FC ， 在ABC ∆中，AB BC =，OB AC ∴⊥， 四边形ACDF 是菱形，60FAC ∠=︒， FAC ∴∆是等边三角形，OF AC ∴⊥， FOB ∴∠是二面角F AC B --的平面角，在Rt FAO ∆中，AF =1122AO AC AF ===3OF ∴===，OB === 又15BF =222OF OB BF ∴+=，90FOB ∴∠=︒，∴平面ABC ⊥平面ACDF ．（2）解：由（1）知OB 、OC 、OF 两两垂直，以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OF为z 轴，建立空间直角坐标系，则(0A，，0)，B 0，0)，(0C0)，(0F ，0，3)， (0AF =3)，(0AC =，0)，//AB DE ，//AF CD ，又AB ⊂/平面CDE ，AF ⊂/平面CDE ， DE ⊂平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，//AB ∴平面CDE ，//AF 平面CDE ，又ABAF A =，∴平面//ABF 平面CDE ，//EF BC ，B ∴、C 、E 、F 四点共面，又平面ABF平面BCEF BF =，平面CDE ⋂平面BCEF CE =，//BF CE ∴，∴四边形BCEF 是平行四边形，∴(FE BC ==-0)，∴(AE AF FE =+=-3)，设平面AEF 的法向量(n x =，y ，)z ，则·330·60nAF y z n FE ⎧=+=⎪⎨=-=⎪⎩，取x =(3,6,n =，设平面ACE 的法向量(m a =，b ，)c ，则·630·230m AE c m AC ⎧=-++=⎪⎨==⎪⎩，取a =(3,0,m =，设平面AEF 与平面ACE 所成的锐二面角为θ， 则||cos||||55m n m n θ===．∴平面AEF 与平面ACE 所成的锐二面角的余弦值为55．19.某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过1kg的包裹收费10元；重量超过1kg的包裹，除1kg收费10元之外，超过1kg的部分，每超出1kg（不足1kg，按1kg计算）需再收5元．该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如表：公司对近60天，每天揽件数量统计如表：以上数据已做近似处理，并将频率视为概率．（1）计算该公司未来3天内恰有2天揽件数在101～400之间的概率；（2）①估计该公司对每件包裹收取快递费的平均值；②公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用作其他费用．目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，工资100元．公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润更有利？解：（1）样本包裹件数在101400~之间的天数为48，频率484605f ==， 故可估计概率为45， 显然未来3天中，包裹件数在101400~之间的天数X 服从二项分布，即4~35X B ，⎛⎫ ⎪⎝⎭，故所求概率为223414855125C ⎛⎫⨯⨯=⎪⎝⎭. （2）（i ）样本中快递费用及包裹件数如下表：故样本中每件快递收取的费用的平均值为10431530201525830415100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元），故该公司对每件快递收取费用的平均值可估计为15元.（ii ）根据题意及（2）（i ），揽件数每增加1，可使前台工资和公司利润增加11553⨯=（元）， 将题目中天数转化为频率，得若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为260531001000⨯-⨯=（元）； 若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为23552100975⨯-⨯=（元）. 因9751000<，故公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利.点睛：本题考查了频率和概率、平均值的实际应用，计算出频率来估计概率的取值，运用二项分布求出事件概率，在比较裁员与不裁员的情况下分别算出期望值，来比较利润的大小，从而为作出决策提供依据．20.已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b+=>>，1B ，2B 分别是椭圆短轴的上下两个端点，1F 是椭圆的左焦点，P 是椭圆上异于点1B ，2B 的点，若112B F B 的边长为4的等边三角形．()1写出椭圆的标准方程；()2当直线1PB 的一个方向向量是()1,1时，求以1PB 为直径的圆的标准方程； ()3设点R 满足：11RB PB ⊥，22RB PB ⊥，求证：12PB B 与12RB B 的面积之比为定值．()1解：如图，由112B F B 的边长为4的等边三角形，得4a =，且2b =．∴椭圆的标准方程为221164x y +=； ()2解：直线1PB 的一个方向向量是()1,1，∴直线1PB 所在直线的斜率1k =，则直线1PB 的方程为2y x =+，联立2221164y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得25160x x +=，解得165P x =-，65P y ∴=-． 则1PB 的中点坐标为82,55⎛⎫-⎪⎝⎭，1PB == 则以1PB为直径的圆的半径5r =． ∴以1PB 为直径的圆的标准方程为2282128()()5525x y ++-=；()3证明：方法一、设()00,P x y ，()11,.R x y直线1PB 的斜率为1002PB y k x -=，由11RB PB ⊥，得直线1RB 的斜率为1002RB x k y =-．于是直线1RB 的方程为：0022x y x y =-+-． 同理，2RB 的方程为：0022x y x y =--+． 联立两直线方程，消去y ，得20104y x x -=．()00,P x y 在椭圆221164x y +=上，22001164x y ∴+=，从而220044x y -=-． 014x x ∴=-， 121214PB B RB B S x Sx ∴==． 方法二、设直线1PB ，2PB 斜率为k ，，则直线1PB 的方程为2y kx =+．由11RB PB ⊥，直线1RB 的方程为12y x k=-+， 将2y kx =+代入221164x y +=，得()2241160k x kx ++=，P 是椭圆上异于点1B ，2B 的点，00x ∴≠，从而021641kx k -=+．()00,P x y 在椭圆221164x y +=上，22001164x y ∴+=，从而220044x y -=-． 200020002241'4y y y k k x x x -+-∴⋅=⋅==-，得1'4k k=-． 22RB PB ⊥，∴直线2RB 的方程为42y kx =-．联立1242y x k y kx ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩，解得2441k x k =+，即12441k x k =+． 1212201216414441PB B RB B k S x k k Sx k -+∴===+．21.已知数列{}n a ，{}n b 均为各项都不相等的数列，n S 为{}n a 的前n 项和，()*11n n n a b S n +=+∈N ．的()1若11,2n n a b ==，求4a 的值；()2若{}n a 是公比为()1q q ≠的等比数列，求证：数列11n b q ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭为等比数列；()3若{}n a 的各项都不为零，{}n b 是公差为d 的等差数列，求证：2a ，3a ，⋯，n a ，⋯成等差数列的充要条件是12d =． 解：()111n n n a b S +=+，11a =，2n n b =， 121111412a a b ++∴===，146132+++ 232114161S a b +++===， 34311461832S a b ++++===， 证明：()2设()111n n a a qq -=≠，则()111nn a q S q-=-，11n n n a b S +=+，()()111111111111nn n n nnn a q S a a q q q b a a q q a q +-++-+--∴===-， ()()1111111111111n n n n a a q q a q b q q a q q q a q -+-+-∴+=+=----()11111111n n a q b q q a q +++-∴+=-- 1n nb q b +∴=，(q 为常数) ∴数列11n b q ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭为等比数列， ()3数列{}n b 是公差为d 的等差数列，∴当2n ≥时，()1n n n n n a b a b d a +--=，即()()11n n n n a a b d a +-=-， 数列{}n a 的各项都不为零，10n n a a +∴-≠，10d -≠， ∴当2n ≥时，11n nn nb a d a a +=--， 当3n ≥时，1111n n n n b a d a a ---=--， 两式相减得：当3n ≥时，111111n n n n n n n n a a b b da a a a d d--+---==----．先证充分性： 由12d =可知1111n n n n n n a a a a a a -+--=--， ∴当3n ≥时，1111n nn n n na a a a a a --++=--，又0n a ≠，11n n n n a a a a +-∴-=-，即2a ，3a ，⋯，n a ⋯成等差数列； 再证必要性：2a ，3a ，⋯，n a ⋯成等差数列， ∴当3n ≥时，11n n n n a a a a +--=-，111111111n n n n n n n n n n n n a a a a d a a a a a a a a d---+---∴-=-==-----，12d ∴=． 综上所述，2a ，3a ，⋯，n a ⋯成等差数列的充要条件是12d =请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为222x cos y sin αα=+⎧⎨=⎩，其中α为参数，曲线222:20C x y y +-=，以原点o 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线():0l a θρ=≥与曲线12,C C 分别交于点,A B (均异于原点O )（1）求曲线12,C C 的极坐标方程； （2）当02a π<<时，求22OA OB +的取值范围.解：（1）1C 的普通方程为，1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，2C 的极坐标方程为2sin ρθ=（2）联立()0θαρ=≥与1C 的极坐标方程得22||16cos OA α=联立()0θαρ=≥与2C 的极坐标方程得224OB sin α=222||412cos OA OB α+=+，02a π<<∴()22||4,16OA OB +∈23.已知函数()12f x x x =-+-，记()f x 的最小值为k . （1）解不等式()1f x x ≤+；（2）是否存在正数,a b ,同时满足：122,4a b k a b+=+=？并说明理由. 解：（1）不等式()1f x x ≤+化为2110x x x -+---≤ 设函数211y x x x =-+---，则23,1{,124,2x x y x x x x -<=-≤≤->，令0y ≤，解得243x ≤≤， 原不等式的解集是2{|4}3x x ≤≤ （2）()21121f x x x x x =-+-≥-+-=当且仅当()()120x x --≤，即12x ≤≤时取等号，故1k = 假设存在符合条件的正数,a b ，则21a b +=，高中数学月考/段考试题21 ()121242448b a a b a b a b a b ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭ 当且仅当4,21b a a b a b =+=，即11,42a b 时取等号， 12a b ∴+的最小值为8，即124a b+> 不存在正数,a b ，使得1221,4a b a b +=+=同时成立.。
2020年湖南高三二模理科数学试卷(五市十校)答案
．
23. （ 1 ）
．
（2）
．
【解析】（ 1 ）当 当 当 当
时，不等式 时，
时， 时，
所以原不等式的解集为
（2）
即为
，
，解得
，∴
；
，解得
，∴
；
，解得
，∴
．
．
，
所以当
时， 取得最小值
，∴
．
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2020/6/1
2020年湖南高三二模理科数学试卷（五市十校）
2020年湖南高三二模理科数学试卷（五市十校）(答案)
一、选择题
1. C
【解析】
且
，
所以 故选 ．
， ．
2. D
【解析】 因为 为第三象限角，且 ∴ 所以 故选 ．
， ， ．
3. B
【解析】 该几何体是由一个半球体，挖去一个圆锥，其体积为 ．
．
故选： ．
7. A
【解析】
对称，
所以当
时，
又因为
，
∴
，
所以 的最小正周期为 ，
当
时，
，
所以 在
上为减函数．
故选 ．
，其图象关于直线
，
，
，
8. C
【解析】 偶函数 满足
当
时，
，故当
，故函数的周期为 ．
时，
．
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湖南省2020届高三数学上学期第二次模拟考试试题 理(含解析)
湖南省2020届高三数学上学期第二次模拟考试试题 理（含解析）注意事项：1．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效． 2．考试结束后，只交答题卡．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.设复数z 满足21iz =+，则z 的共轭复数为（ ） A. 1i - B. 1i +C. 1i -+D. 1i --【答案】B 【解析】 【分析】先利用复数除法的公式化简z ,再求共轭复数即可. 【详解】()()()2121111i z i i i i -===-++-,故z 的共轭复数为1i +. 故选：B【点睛】本题主要考查了复数的基本运算以及共轭复数的概念,属于基础题型. 2.已知集合{}3A x x =<，{}2log 0B x x =>，则（ ） A. {}13A B x x ⋂=<< B. A B φ⋂= C. {|3}AB x x =<D. {}1A B x x ⋃=>【答案】A 【解析】 【分析】根据对数不等式的解法求集合B ,再分析交集并集即可.【详解】{}{}2log 01B x x x x =>=>.故{}13A B x x ⋂=<<,A B R =.故选：A【点睛】本题主要考查了集合的基本运算与对数不等式的求解,属于基础题型. 3.执行图中所示程序框图，若输入14p =，则输出结果为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】根据程序框图逐步运行求解即可.【详解】由框图知：输入14p=,1,1n S==,1.14S>判定为是, 11122S=-=,2n=.2.14S>判定为是, 111244S=-=,3n=3.14S>判定为否,输出3n=.故选：B【点睛】本题主要考查了程序框图输入数据输出结果的问题,属于基础题型.4.为了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，健身之前他们的体重情况如三维饼图（1）所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如三维饼图（2）所示．对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论不正确的是（）A. 他们健身后，体重在区间[90kg，100kg）内的人数不变B. 他们健身后，体重在区间[100kg，110kg）内的人数减少了4人C. 他们健身后，这20位健身者体重的中位数位于[90kg ，100kg ）D. 他们健身后，原来体重在[110kg ，120kg]内的肥胖者体重都至少减轻了10kg 【答案】D 【解析】 【分析】根据饼图逐个选项计算分析即可.【详解】对A,易得们健身后,体重在区间[90kg ,100kg ）内的人数占比均为0040,故A 正确. 对B,体重在区间[100kg,110kg ）内的人数减少了000000503020-=,即0020204⨯=人. 故B 正确.对C,因为健身后[80kg ,90kg ）内的人数占0030,[90kg ,100kg ）内的人数占0040,故中位数位于[90kg ,100kg ）.故C 正确.对D,易举出反例若原体重在[110kg,120kg]内的肥胖者重量为110kg ,减肥后为109kg 依然满足.故D 错误. 故选：D【点睛】本题主要考查了对饼图的理解,属于基础题型. 5.已知数列321121,,,,n n a a a a a a a -是首项为8，公比为12的等比数列，则4a 等于（ ） A. 8 B. 32C. 64D. 128【答案】C 【解析】 【分析】 由题可列出3241123,,,a a a a a a a 的值再累乘计算即可. 【详解】由题, 32411238,4,2,1a a aa a a a ====,故32441123842164a a a a a a a a =⋅⋅⋅=⨯⨯⨯=.故选：C【点睛】本题主要考查了根据递推公式求解某一项的问题,属于基础题型.6.某校高三年级有男生220人，编号为1，2，…，220；女生380人，编号为221，222，…，600．为了解学生的学习状态，按编号采用系统抽样的方法从这600名学生中抽取10人进行问卷调查，第一组抽到的号码为10，现从这10名学生中随机抽取2人进行座谈，则这2人中既有男生又有女生的概率是（ ） A.15B.715C.815D.45【答案】C 【解析】 【分析】根据系统抽样的方法分析抽取出来的学生编号,再分析其中男女生的个数,再利用排列组合的方法求解概率即可.【详解】由题意知,抽取的学生编号成等差数列,首项为10,公差为6006010=. 故抽取的10人中男生有10,70,130,190,这4个号码,其余的6人为女生. 即抽到的10人中,有男生4人,女生6人, 再从这10位学生中随机抽取2人座谈, 基本事件总数21045n C ==,2人中既有男生又有女生包含的基本事件个数114624m C C =⋅=, 故2人中既有男生又有女生的概率2484515m p n ===. 故选：C【点睛】本题主要考查了系统抽样的方法与排列组合解决概率的问题,属于中等题型. 7.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)(3)0f x f x ++-=，若(1)2f =，则(1)(2)(3)(2019)f f f f ++++=（ ）A. 2-B. 0C. 2D. 2020【答案】B 【解析】 【分析】根据奇偶性与(1)(3)0f x f x ++-=可得函数()f x 的周期为4,再根据性质计算(1),(2),(3),(4)f f f f 即可.【详解】因为奇函数()f x 满足(1)(3)0f x f x ++-=,即(1)(3)(3)f x f x f x +=--=-.故()f x 周期为4.故(1)(2)(3)(2019)f f f f ++++,因为20194504......3÷=.故原式[]504(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)f f f f f f f =⨯++++++.令0x =,则(01)(30)0(1)(3)0(3)2f f f f f ++-=⇒+=⇒=-. 令1x =,则(11)(31)02(2)0(2)0f f f f ++-=⇒=⇒=. 又奇函数()f x 故()(4)00f f ==.故[]()504(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)50420202020f f f f f f f ⨯++++++=⨯+-+++-=. 故选：B【点睛】本题主要考查了函数奇偶性与周期性的应用,需要根据题意分析函数的周期,再代入特殊值求对应的函数值.属于中等题型.8.已知函数()2sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><的部分图像如图所示，且(,1),(,1)2A B π-π，则ϕ的值为（ ）A. 56π-B.56π C. 6π-D.6π 【答案】D 【解析】 【分析】根据图像判断函数的周期,从而确定ω的值,再代入对应的点求得ϕ即可. 【详解】由图像可知,周期22T ππωω==⇒=.即()2sin(2)f x x ϕ=+,代入()0,1可知,12sin ϕ=.因为||ϕπ<,故6π=ϕ或56πϕ=.又由图可得,0x =在最高点的左侧,所以6π=ϕ. 故选：D【点睛】本题主要考查了根据三角函数图像求解三角函数中参数的值,需要根据题意求得周期,代入点进行分析,同时结合图像可知ϕ的范围.属于中等题型.9.北方的冬天户外冰天雪地，若水管裸露在外，则管内的水就会结冰从而冻裂水管，给用户生活带来不便．每年冬天来临前，工作人员就会给裸露在外的水管“保暖”：在水管外面包裹保温带，用一条保温带盘旋而上一次包裹到位．某工作人员采用四层包裹法（除水管两端外包裹水管的保温带都是四层）：如图1所示是相邻四层保温带的下边缘轮廓线，相邻两条轮廓线的间距是带宽的四分之一．设水管的直径与保温带的宽度都为4cm ．在图2水管的侧面展开图中，此保温带的轮廓线与水管母线所成的角的余弦值是（ ）（保温带厚度忽略不计）A. 14B. 14πC.21414ππ++ D.2116116ππ++【答案】D 【解析】 【分析】根据题意,因为相邻两条轮廓线的间距是带宽的四分之一,每隔四分之一的带宽就绕一层保温带,则一共可以盖四层.故画出所求角度所在的直角三角形,再分别分析临边与斜边即可. 【详解】由题,作''AP B D ⊥于P .根据题意可知'B P 宽为带宽四分之一即1414⨯=,又水管直径为4 cm.故4AP π=.故轮廓线与水管母线所成的角的余弦值是()2222'116cos''11614B PAB PB Aπππ+∠===++.故选：D【点睛】本题主要考查了三角函数的实际运用,需要根据题意找到对应的边角关系进行求解,属于基础题型.10.某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为（）A. 8πB. 6πC. 4πD.823π【答案】A【解析】【分析】2的等腰直角三角形,高为2.再分析外接球的直径求解即可.2的等腰直角三角形,高为2.222+2=22故外接球表面积2224482S Rπππ⎛===⎝⎭.故选：A【点睛】本题主要考查了根据三视图求外接球的表面积方法,属于基础题型.11.如图，已知双曲线22221(0)x yb aa b-=>>的左、右焦点分别为1F、2F，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点A，若12AF F△的内切圆半径为4b，则双曲线的离心率为（）23B.54C.53D.322【答案】C 【解析】 【分析】设双曲线的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，设双曲线的一条渐近线方程为b y x a=，可得直线2AF 的方程为()by x c a=-，联立双曲线的方程可得A 的坐标，设1||AF m =，2||AF n =，运用三角形的等积法，以及双曲线的定义，结合锐角三角函数的定义，化简变形可得a ，c 的方程，结合离心率公式可得所求值．【详解】设双曲线的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ， 设双曲线的一条渐近线方程为by x a=， 可得直线2AF 的方程为()b y x c a =-，与双曲线22221(0)x y b a a b-=>>联立，可得22(2c a A c +，22())2b a c ac-，设1||AF m =，2||AF n =，由三角形的面积的等积法可得2211()(2)22422b b c a m n c c ac -⋅++=⋅⋅，化简可得2442c m n a c a+=--①由双曲线的定义可得2m n a -=②在三角形12AF F 中22()sin 2b c a n acθ-=，(θ为直线2AF 的倾斜角），由tan b a θ=，22sin cos 1θθ+=，可得sin b cθ==，可得222c a n a-=，③由①②③化简可得223250c ac a --=， 即为(35)()0c a c a -+=， 可得35c a =，则53c e a ==． 故选：C.【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系、双曲线的定义、坐标求解、离心率求解，考查方程思想的运用及三角形等积法，考查运算求解能力，属于难题．12.数列{}n a 满足()1111nn n a a n ++=-+-,且601a <<．记数列{}n a 的前n 项和为n S ,则当n S 取最大值时n 为（ ） A. 11 B. 12 C. 11或13 D. 12或13【答案】C 【解析】 【分析】分n 的奇偶讨论数列{}n a 的奇偶性分别满足的条件,再分析n S 的最大值即可.【详解】由题,当n 为奇数时, ()1111nn n a a n ++=-+-,()()1211111n n n a a n ++++=-++-.故()()()()1211111111211n n n n n a a n n ++⎡⎤⎡⎤-=-++---+-=--⋅-=⎣⎦⎣⎦.故奇数项为公差为1的等差数列.同理当n 为偶数时, ()21213nn n a a +-=--⋅-=-. 故偶数项为公差为-3的等差数列.又601a <<即2206167a a <-<⇒<<.又()12111119a a +=-+-=.所以123a <<. 综上可知,奇数项均为正数,偶数项随着n 的增大由正变负.故当n S 取最大值时n 为奇数.故n 为奇数且此时有()()()()11121111100011110n n n n n n n a a a a n --+++⎧--+-≥+≥⎧⎪⇒⎨⎨+≤-++-≤⎩⎪⎩ ,解得1113n ≤≤.故11n =或13n =. 故选：C【点睛】本题主要考查了奇偶数列的应用,需要根据题意推导奇偶项数列的递推公式,再根据题意分析相邻两项之和与0的大小关系列不等式求解.属于难题. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.曲线ln y x =过点(0,1)-的切线方程为_________． 【答案】10x y --= 【解析】 【分析】根据导数的几何意义设切点列式求解即可. 【详解】由题, 1'y x =,设切点为()00,ln x x ,则在切点处的切线斜率为01x ,又切线过点(0,1)-,故0000ln (1)11x x x x --=⇒=.故切点为()1,0. 故切线方程为()101101x y y x -=---=⇒. 故答案为：10x y --=【点睛】本题主要考查了导数几何意义的运用,根据切点到定点的斜率等于在该点处的导函数的值列式求解即可.属于基础题型.14.已知AB 为圆O 的弦，若||=2AB ，则OA AB ⋅=_________． 【答案】2- 【解析】 【分析】根据数量积的几何意义求解即可. 【详解】由题,作OC AB ⊥于C.则()cos ACOA AB OA AB OAB OA AB AOπ⋅=⋅⋅-∠=-⋅⋅2AB AC =-⋅=-故答案为：2-【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算的直接公式法,属于基础题型.15.已知以F 为焦点的抛物线C ：24y x =上的两点A 、B 满足3AF FB =，则|AB|=________．【答案】163【解析】 【分析】根据3AF FB =可求得直线AB 的倾斜角,再联立方程根据抛物线的焦半径公式求解即可. 【详解】由题,不妨设A 在第一象限.作11,AA BB 分别垂直于准线, 1BC AA ⊥于C 如图. 设FB m =,由3AF FB =,可得：3AF m =,由抛物线的定义知13AA m =,1BB m =,∴ABC 中, 32AC m m m =-=,34AB m m m =+=,故1cos 2AFx ∠=,所以直线AB 的倾斜角为3π,3∴直线AB 方程为()31y x =-,与抛物线方程联立消y 得231030x x -+= 所以121623AB x x =++=, 故答案为：163. 【点睛】本题主要考查了抛物线几何意义的运用,需要根据题中给的比例关系求出直线的倾斜角,再联立方程利用焦半径公式求解即可.属于中等题型.16.已知函数22,1,()11,.x x x t f x x t x a ⎧+-≤<⎪=⎨--≤≤⎪⎩（1）若1t =,且()f x 值域为[)1,3-,则实数a 的取值范围为_________． （2）若存在实数a ,使()f x 值域为[]1,1-,则实数t 的取值范围为_________． 【答案】 (1). [1,3] (2). (1,21]-- 【解析】 【分析】(1)根据题意有22,11,()11,1.x x x f x x x a ⎧+-≤<⎪=⎨--≤≤⎪⎩画出图像再分析即可.(2)先分析临界条件,再分析随着t 的改变图像的变化情况判断即可.【详解】(1)画出图像易得,当111x --=-时3x =（舍去负值）.故实数a 的取值范围为[1,3].(2)用虚线画出22,11y x x y x =+=--的整体图像,再分析随着t 的改变图像的变化情况. 由图,当221y x x =+=时,()21221x x +=⇒=（舍去负值）.由图可知,(1,21]t ∈--时, 存在实数3a =满足()f x 值域为[]1,1-.故答案为：(1). [1,3] (2). (21]-【点睛】本题主要考查了数形结合求解函数值域的问题,需要根据题意画出对应的图像,分析当参数变化时整个函数变化的情况,从而找到临界条件求得取值范围.属于中等题型. 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题第21题为必考题，考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必做题：60分． 17.在ABC ∆中，3ABC π∠=，点D 在边AB 上，2BD =．（1）若BCD ∆的面积为23CD ；（2）若5cos 5BCA ∠=，310cos 10DCA ∠=，求CD ．【答案】（1）CD 23=（26 【解析】 【分析】(1)根据三角形面积公式与余弦定理求解即可.(2)根据BCD BCA DCA ∠=∠-∠,再利用三角函数的同角三角函数关系与差角公式求解即可.【详解】解：（1）1sin 2BCD S BD BC B ∆=⋅⋅ ∴4BC =在BCD ∆中,由余弦定理可得2222212cos 42242122CD BC BD BC BD B =+-⋅⋅⋅=+-⨯⨯⨯=∴CD 23=（2）BCD BCA DCA ∠=∠-∠∴sin sin cos cos sin BCD BCA DCA BCA DCA ∠=∠∠-∠∠5cos5BCA ∠=,310cos 10DCA ∠=,∴21cos 25sin 5BCA BCA -∠∠==,21cos 10sin 10DCA DCA -∠∠==,∴3101010102552sin 552BCD ∠=⋅-⋅=在BCD ∆中,由正弦定理可得sin sin CD BDB BCD=∠, ∴sin 6sin BD BCD BCD⋅==∠．【点睛】本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积的运用,属于中等题型.18.在如图三棱锥A －BCD 中，BD ⊥CD ，E ，F 分别为棱BC ，CD 上的点，且BD ∥平面AEF ，AE ⊥平面BCD ．（1）求证：平面AEF ⊥平面ACD ；（2）若2BD CD AD ===，E 为BC 的中点，求直线AF 与平面ABD 所成角的正弦值． 【答案】（1）见解析（2）23【解析】 【分析】(1)证明CD AE ⊥,CD EF ⊥进而可得CD AEF ⊥面即可证明平面AEF ⊥平面ACD(2) 分别以,,EC ED EA 为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,再根据构造的直角三角形的关系求得每边的长度,再利用空间向量求解线面夹角即可.【详解】解：（1）证明：因为//BD AEF 面,BCD AEF EF =面面,BD BCD ⊂面所以//BD EF ,因为BD CD ⊥,所以CD EF ⊥． 又因为AE BCD ⊥面,CD BCD ⊂面, 所以CD AE ⊥,而EFAE E =,所以CD AEF ⊥面,又CD ACD ⊂面, 所以AEF ACD ⊥面面．（2）解：设直线AF 与平面ABD 所成交的余弦值为θ． 连接DE ,在BCD ∆中,=2BD CD =,BE EC =,BD CD ⊥,所以DE BC ⊥,且22BC =,2DE =,又因为AE BCD ⊥面,DE BCD ⊂面,BC BCD ⊂面, 所以AE DE ⊥,AE BC ⊥．在Rt ADE ∆中,2DE =,2AD =,所以2AE =．如图,以点E 为坐标原点,分别以,,EC ED EA 为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,各点坐标为(0,02)A ，,(2,0,0)B -,(0,2,0)D ,(2,0,0)C ,因为//BD EF ,E 为BC 的中点,所以F 为CD 的中点,即22,22F , 设平面ABD 的法向量(,,)m x y z =,(2,0,2)BA =,(2,2,0)BD =,由m BA m BD ⎧⊥⎨⊥⎩,即(,,)(2,0,2)0(,,)(2,2,0)0m BA x y z m BD x y z ⎧⋅=⋅=⎪⎨⊥=⋅=⎪⎩,整理得0x z x y +=⎧⎨+=⎩,令1z =-,得1x =,1y =-,则(1,1,1)m =--．因为2(AF =,所以2sin ||||m AF m AF θ⋅==⨯故直线AF 与平面ABD 所成交的正弦值为3． 【点睛】本题主要考查了面面垂直的证明以及利用空间直角坐标系求解线面角的方法,属于中等题型.19.已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为C 、D ，且过点，P 是椭圆上异于C 、D 的任意一点，直线PC ，PD 的斜率之积为12-． （1）求椭圆Γ的方程；（2）O 为坐标原点，设直线CP 交定直线x = m 于点M ，当m 为何值时，OP OM ⋅为定值．【答案】（1）22142x y +=（2）2m =【解析】 【分析】(1)设(),P x y ,根据题意可求得2212b a =,再代入椭圆方程即可求解.(2)根据(1)中的结论, 设直线:(2)CM y k x =+,并联立与椭圆的方程,求得(,(2))+M m k m ,222244(,)1212k kP k k-++,再表达出OP OM ⋅,根据恒成立问题求得系数的关系即可.也可直接设00(,)P x y 表达出OP OM ⋅,利用00(,)P x y 满足椭圆的方程进行化简,同理可得m 的值.【详解】解：（1）椭圆Γ过点,∴22211a b+=,① 又因为直线,PC PD 的斜率之积为12-,故2221122y y y x a x a x a ⋅=-⇒=-+--. 又222222222222221x y a y y b x a a b b x a a +=⇒⇒=--=--.即2212b a =,②联立①②得2,a b ==∴所求的椭圆方程为22142x y +=．（2）方法1：由（1）知,(2,0)为-C ．由题意可设:(2)CM y k x =+, 令x=m ,得(,(2))+M m k m ．又设11(,)P x y由22142(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩整理得：2222(12)8840k x k x k +++-=． ∵21284212k x k--=+,∴2122412k x k -=+,1124(2)12k y k x k =+=+, 所以222244(,)1212k kP k k -++,∴22222224(2)244282(2)12121212+-+⋅=⋅++⋅==++++mk k k m kOP OM m k m k k k k , 要使OP OM ⋅与k 无关,只需12m=,此时OP OM ⋅恒等于4.∴2m =方法2：:设00(,)P x y ,则00:(2)2=++y CM y x x ,令x=m ,得00(2)(,)2++y m M m x , ∴20000000(2)(2)(,)(,)22++⋅=⋅=+++y m y m OP OM x y m mx x x由2200142x y +=有220000(2)(2)2(1)42+-=-=x x x y , 所以000(2)(2)(2)2422+--++⋅=+=m x m x m OP OM mx ,要使OP OM ⋅与0x 无关,只须12m=,此时4OP OM ⋅=.∴2m =【点睛】本题主要考查了根据椭圆中的定值问题求解基本量的方法,同时也考查了联立直线与椭圆方程,根据椭圆上的点满足椭圆的方程,求解定值的有关问题.属于难题.20.某工厂生产某种产品，为了控制质量，质量控制工程师要在产品出厂前对产品进行检验．现有n （n *∈N 且2n ≥）份产品，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n 次；（2）混合检验，将这n 份产品混合在一起作为一组来检验．若检测通过，则这n 份产品全部为正品，因而这n 份产品只要检验一次就够了；若检测不通过，为了明确这n 份产品究竟哪几份是次品，就要对这n 份产品逐份检验，此时这n 份产品的检验次数总共为1n +次．假设在接受检验的样本中，每份样本的检验结果是正品还是次品都是独立的，且每份样本是次品的概率为(01)p p <<．（1）如果4n =，采用逐份检验方式进行检验，求检测结果恰有两份次品的概率； （2）现对n 份产品进行检验，运用统计概率相关知识回答：当n 和p 满足什么关系时，用混合检验方式进行检验可以减少检验次数？（3）①当2n k =（k *∈N 且2k ≥）时，将这n 份产品均分为两组，每组采用混合检验方式进行检验，求检验总次数ξ的数学期望；②当n mk =（,k m N *∈，且2k ≥，2m ≥）时，将这n 份产品均分为m 组，每组采用混合检验方式进行检验，写出检验总次数ξ的数学期望（不需证明）．【答案】（1）226(1)p p -（2）111()np n<-（3）①()()2221kE k k p ξ=+--②()(1)1km k mk p +-- 【解析】 【分析】(1)根据二项分布的方法求解即可.(2)记采用逐份检验方式,样本需要检验的总次数为1ξ,采用混合检验方式,样本需要检验的总次数为2ξ,再根据题意求出对应的数学期望1E n ξ=,()211nE n n p ξ=+--再根据1E ξ>2E ξ化简求解即可.(3)①设两组采用混合检验的检验次数分别为1ξ,2ξ,由(2)可知()12()()11kE E k k p ξξ==+--再相加即可.②根据题意可知,这m 组采用混合检验的检验次数所有的可能值均为1,1k +,再求解数学期望即可.【详解】解：（1）如果4n =,采用逐份检验方式,设检测结果恰有两份次品的概率为222224(1)6(1)C p p p p -=-∴检测结果恰有两份次品的概率226(1)p p -．（2）记采用逐份检验方式,样本需要检验的总次数为1ξ,采用混合检验方式,样本需要检验的总次数为2ξ,由已知得1E n ξ=,2ξ的所有可能取值为1,1n +()()211kP p ξ∴==-,()()2111nP n p ξ=+=--∴()()21(1)11n n E p n p ξ⎡⎤=-++--⎣⎦=()11n n n p +--要减少检验次数,则1E ξ>2E ξ,则1(1)nn n n p >+--∴(1)1nn p ->,1(1)np n ->,即111()n p n<-,（3）①两组采用混合检验的检验次数分别为1ξ,2ξ,则由（2）知11,1k ξ=+,21,1k ξ=+,()12()()11k E E k k p ξξ==+--,12ξξξ=+()1212()()()()2221kE E E E k k p ξξξξξ=+=+=+--②设这m 组采用混合检验的检验次数分别为1ξ,2ξ,,m ξ,11,1k ξ=+,21,1k ξ=+,,1,1m k ξ=+,且检验总次数12m ξξξξ=+++,()()11,1,2,,ki P p i m ξ∴==-=,()()111,1,2,,ki P k p i m ξ=+=--=()()11,1,2,ki E k k p i m ξ∴=+--=()121()()()()(1)1kk k E E E E m k mk p ξξξξξξ∴=+++=++=+--,所以检验总次数ξ的数学期望()(1)1km k mk p +--．【点睛】本题主要考查了二项分布的方法以及根据题意求离散型随机变量的数学期望方法,需要根据题意找到所有可能的取值,再列式求解.属于难题.21.已知函数12()(1)1x f x e x x x -=+-++，1()(2)(3)ln(3)x g x x e x x -=----．证明： （1）存在唯一x 0∈（0,1），使f (x 0)＝0；（2）存在唯一x 1∈（1，2），使g (x 1)＝0，且对(1)中的x 0，有x 0＋x 1<2．【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】(1)求导后根据极值点的存在性定理证明即可.(2)令2t x =-,换元将()(2)g x g t =-m 再构造函数1(2)()ln(1)11tg t te h t t t t --==-+++,分析()h t 的单调性,结合(1)中的结论求得()h t 存在唯一的()10,1t ∈,使1()0h t =,再根据零点的大小关系即可证明.【详解】证明：(1)当x ∈（0,1）时,f ′(x )＝12()(2)1x f x e x x -=-+++＞0,函数f (x )在（0,1）上为增函数．又f (0)＝-e+1<0,f (1)＝3>0,所以存在唯一x 0∈（0,1）,使f (x 0)＝0． (2)当x ∈（1,2）时,1()(2)(3)ln(3)x g x x e x x -=----, 令2t x =-,x =2-t ,x ∈（1,2）,t ∈（0,1）, 1(2)(1)ln(1)t g t te t t --=-++,t ∈（0,1）记函数1(2)()ln(1)11tg t te h t t t t --==-+++,t ∈（0,1）． 则h ′(t )＝1222(1)1()(1)(1)t e t t t f t t t ---+---=++．由(1)得,当t ∈(0,x 0)时,f (t )<0,h ′(t )＞0, 当t ∈(x 0,1)时,f (t )>0,h ′(t )<0．故在(0,x 0)上h (t )是增函数,又h (0)＝0,从而可知当t ∈(0,x 0]时,h (t )>0,所以h (t )在(0,x 0]上无零点．在(x 0,1)上h (t )为减函数,由h (x 0)>0,h (1)＝12－ln2<0,知存在唯一t 1∈(x 0,1),使h (t 1)＝0, 故存在唯一的t 1∈(0,1),使h (t 1)＝0．因此存在唯一x 1＝2－t 1∈(1,2),使g (x 1)＝g (2－t 1)＝h (t 1)＝0． 因为当t ∈(0,1)时,1＋t >0,故(2)()1g t h t t -=+与g (2－t )有相同的零点,所以存在唯一的x 1∈（1,2）,使g (x 1)＝0．因为x 1＝2－t 1,t 1>x 0,所以x 0＋x 1<2．【点睛】本题考查了根据导数求解隐零点的问题.需要根据题意确定零点所在区间,再根据零点满足的关系式证明函数的单调性与最值.同时也考查了构造函数证明不等式分方法,属于难题.（二）选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答． 如果多做，则按所做第一题计分．22.在直角坐标系xOy 中，直线1C的参数方程为2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（其中t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为=2sin ρθ．（1）写出直线1C 的极坐标方程；（2）设动直线:(0)l y kx k =>与1C ，2C 分别交于点M 、N ，求ON OM的最大值． 【答案】（1）sin()4πρθ+=2【解析】【分析】 (1)消去参数t 求1C 的直角坐标方程,再根据cos x ρθ=,sin y ρθ=代入方程化简即可.(2) 设直线l 的极坐标方程为=0<<)2πθαα(,再根据极坐标的几何意义求解即可.【详解】解：（1）直线1C 的直角坐标方程为20x y +-=,将cos x ρθ=,sin y ρθ=代入方程得sin cos 2ρθρθ+=,即sin()4πρθ+=（2）设直线l 的极坐标方程为=0<<)2πθαα(,设12(,),(,)M N ραρα,则212sin sin()1=)242ON OM πααρπαρ+=-+, 由02πα<<,有32444πππα-<-<, 当sin(2)=14πα-时,ON OM的最大值为2． 【点睛】本题主要考查了参数方程与直角坐标的互化以及直角坐标化极坐标的方法.同时也考查了极坐标的几何意义,属于中等题型.23.已知函数()2f x x =-．（1）求不等式()25f x x ≤+的解集；（2）记函数()(1)(5)g x f x f x =+--+，且()g x 的最大值为M ，若0a >，求证：213Ma a +≥． 【答案】（1）[)1,-+∞（2）见解析【解析】【分析】(1)根据绝对值不等式的方法求解即可.(2)利用绝对值的三角不等式可得2M =,再利用三元基本不等式求证即可.【详解】解：（1）由()25f x x ≤+得25025225x x x x +≥⎧⎨--≤-≤+⎩,解得1x ≥- ∴不等式()25f x x ≤+的解集为[)1,-+∞．（2）()(1)(5)13132g x f x f x x x x x =+--+=---+≤--+=当且仅当3x ≥时等号成立,∴2M =,∴22211123Ma a a a a a a +=+=++≥=． 当且仅当21a a =,即1a =时等号成立． 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解以及绝对值三角不等式和三元的基本不等式的方法,属于中等题型.。
长沙市数学2020届普通高中毕业班文数第二次质量检查试卷(II)卷
长沙市数学2020届普通高中毕业班文数第二次质量检查试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高二下·揭阳月考) 已知全集，集合则 =（）A .B .C .D .2. （2分）(2017·葫芦岛模拟) 已知复数z满足z=1+i（i为虚数单位），则复数z的共轭复数的虚部为（）A . ﹣1B . 1C . ﹣iD . i3. （2分）(2018·广安模拟) 若双曲线的一条渐近线为，则实数（）A .B .C .D .4. （2分）从甲地去乙地有3班火车，从乙地去丙地有2班轮船，甲到丙地再无其他路可走，则从甲地去丙地可选择的旅行方式有（）A . 5 种B . 6种C . 7种D . 8种5. （2分）设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数的图像过区域M的a的取值范围是（）A .B .C .D .6. （2分） (2016高二上·德州期中) 四面体P﹣ABC中，若PA=PB=PC，则点P在平面ABC内的射影点O是三角形ABC的（）A . 内心B . 外心C . 垂心D . 重心7. （2分）(2018·朝阳模拟) 已知函数，，且在区间上有最小值，无最大值，则的值为（）A .B .C .D .8. （2分）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于（）A . 1B .C .D .9. （2分）函数f（x)=|tanx|，则函数y=f(x)+log4x-1与x轴的交点个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 410. （2分） (2017高一上·六安期末) 若cos（π﹣α）= ，且α是第二象限角，则sinα的值为（）A . ﹣B .C .D . ﹣11. （2分） (2019高三上·鹤岗月考) 在三棱锥中，点均在球的球面上，且，若此三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为（）A .B .C .D .12. （2分）(2020·江西模拟) 设函数在定义域上是单调函数，且，若不等式对恒成立，则的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高一下·珠海月考) 如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F 在边CD上，若· ＝，则· 的值是________．14. （1分） (2018高三上·北京期中) 某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点处，其中．当时，，T（a）表示非负实数a的整数部分，例如T（2.6）＝2，T（0.2）＝0．按此方案，第6棵树种植坐标应为________，第2018棵树种植点的坐标应为________．15. （1分） (2018高二上·浙江月考) 设分别为椭圆的左,右焦点，点在椭圆上.若 ,则点的坐标是________.16. （1分） (2017高一下·泰州期中) 在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对边的长分别为a，b，c．已知a+c=2b，sinB= sinC，则 =________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2016高二上·郴州期中) 已知等差数列{an}中，a10=30，a20=50．（1）求通项公式；（2）若Sn=242，求项数n．18. （10分）(2017·桂林模拟) 某班主任对全班50名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如表所示：积极参加班级工作不太主动参加班级工作合计学习积极性高18725学习积极性一般61925合计242650（Ⅰ）如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？（Ⅱ）试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关？并说明理由．参考公式与临界值表：K2= ．p（K2≥k0）0.1000.0500.0250.0100.001k0 2.706 3.841 5.024 6.63510.82819. （10分） (2017高二上·晋中期末) 已知点F为抛物线C：y2=4x的焦点，点P是准线l上的动点，直线PF交抛物线C于A，B两点，若点P的纵坐标为m（m≠0），点D为准线l与x轴的交点．（Ⅰ）求直线PF的方程；（Ⅱ）求△DAB的面积S范围；（Ⅲ）设，，求证λ+μ为定值．20. （10分）(2018·全国Ⅰ卷理) 已知函数（1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点，证明：21. （10分）已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数）直线l经过定点P （2，1），倾斜角为．（1）写出直线l的参数方程和曲线C的普通方程．（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值．22. （10分） (2019高二下·南宁期末) 已知函数．（1）当时，判断函数的单调性；（2）若关于的方程有两个不同实根，求实数的取值范围，并证明．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。
2020届湖南省长沙市长郡中学高三下学期高考模拟卷(二)数学(文)试题【解析版】.docx
2020届湖南省长沙市长郡中学高三下学期高考模拟卷(二)数学(文)试题一、单选题1.已知A = {xeN*|x<3}, 3 = {x| 亍一4x<o},则A B =()A. (1,2,3}B. {1,2}C. (0,3]D. (3,4]【答案】A【解析】先求解集合A,3,然后求解A B.【详解】因为A = {xeN*|xV3}={l,2,3} , B = |x|x2-4x<0j = {%|0<%<4},所以A 3 = {1,2,3}.故选：A.【点睛】本题主要考查集合的交集运算，先化简集合是求解此类问题的关键，题目属于简单题, 侧重考查数学运算的核心素养.2.若复数Z],Z2在复平面内对应点的坐标分别为(2,1), (0,-1),则Z『Z2=()A. 2 + zB. 1 — 2zC. —1 — 2z D, —i【答案】B【解析】根据复数的几何意义可得Z] =2 + z',Z2 =T,再利用复数相乘，即可得到答案;【详解】Z] = 2 + z, = —z,Zj • z2 = (2 + z) - (―z) = 1 — 2z',故选：B.【点睛】本题考查复数的几何意义及复数的乘法运算，考查运算求解能力，属于基础题.3.已知命题p'.^x^R, _?+2》+ 3<0，则命题P的否定是( )A. HxeR, x2 + 2x + 3>0B. \/xeR, x2 + 2% + 3<0C. X/xeR, X1 +2x + 3>0D. X/xeR, x2 +2x + 3>0【答案】C【解析】根据特称命题的否定，改变量词，否定结论，可得出命题。
的否定.【详解】命题P为特称命题，其否定为f NxwR, %2 + 2x + 3>0 -故选：C.【点睛】本题考查特称命题的否定的改写，要注意量词和结论的变化，属于基础题.4.已知a = f b — log2—, c = 2‘，则（）A.aVbVcB. b<c<aC. c<b<aD. b<a<c【答案】D] 。
湖南长沙市2020届高三年级第二次模拟考试数学(文科)试卷(解析版)
2020年湖南长沙市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{0，1，2，3），B＝{﹣1，0，a}，若A∩B＝{0，2），则a＝（）A．0 B．1 C．2 D．32．设i是虚数单位，若复数z满足z（1﹣i）＝i，则复数z对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知a=213，b=log213，c=log1312，则（）A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．c＜b＜a4．如图所示，在边长为4的正三角形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正三角形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为34，则阴影区域的面积为（）A．√3B．2√3C．3√3D．4√35．记S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1+3a5＝12，则S7＝（）A．18 B．21 C．24 D．276．已知向量a→=（5，5），a→+2b→=（﹣3，11），则向量a→在向量b→方向上的投影为（）A．1 B．√22C．−√22D．﹣17．已知函数f（x）＝sin2x cosφ+cos2x sinφ图象的一个对称中心为(−π3，0)，则φ的一个可能值为（）A．−π3B．π3C．−5π6D．5π68．数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了Fn=22n+1(n= 0，1，2，⋯)是质数的猜想，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出F5＝641*6700417，不是质数．现设a n＝log4（F n﹣1）（n＝1，2，…），S n表示数列{a n}的前n项和．若32S n＝63a n，则n＝（）A．5 B．6 C．7 D．89．已知双曲线C：x 2a −y24a=1(a＞0)的右焦点为F，点N在C的渐近线上（异于原点），若M点满足OF→=FM→，且ON→⋅MN→=0，则|MN|＝（）A．2a B．√5a C．4a D．2√5a 10．已知曲线y＝ae x﹣1绕原点顺时针旋转θ后与x轴相切，若tanθ＝2，则a＝（）A．12B．1 C．32D．211．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2AD＝4，过AA1作平面α使BD⊥α，且平面α∩平面A1B1C1D1＝l，M∈l．下面给出了四个命题：这四个命题中，真命题的个数为（）①l∥AC；②BM⊥AC；③l和AD1所成的角为60°；④线段BM长度的最小值为√6．A．1 B．2 C．3 D．412．已知f(x)={2|x+2|−2，−4≤x≤−1，log2(x+1)，−1＜x≤4，若函数g（x）＝f2（x）﹣mf（x）﹣1恰有5个零点，则实数m的取值范围是（）A ．(0，32)B ．(0，32]C ．（0，2）D ．（0，2]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若实数x ，y 满足{0≤x −y ≤1，0≤x +y ≤1，则z ＝2x +y 的最大值为 ．14．已知α是锐角，且sin （α−π6）=13．则sin （α+π3）＝ ．15．我国古代数学名著《九章算术•商攻》中，阐述：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵．其一为阳马，一为鳖臑”．如图，在一个为“阳马”的四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，AB ＝2．AD =√3，PA ⊥平面ABCD ，若直线PD 与平面ABCD 所成的角为60°，则PA ＝ ，该“阳马”外接球体积为 ．16．已知直线x ﹣my ﹣2＝0与抛物线C ：y 2=12x 交于A ，B 两点．P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的平行线交C 于点Q ，若以AB 为直径的圆经过Q ，则m ＝ ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．受突如其来的新冠疫情的影响，全国各地学校都推迟2020年的春季开学．某学校“停课不停学”，利用云课平台提供免费线上课程．该学校为了解学生对线上课程的满意程度，随机抽取了500名学生对该线上课程评分．其频率分布直方图如下：若根据频率分布直方图得到的评分低于80分的概率估计值为0.45． （1）（i ）求直方图中的a ，b 值；（ii ）若评分的平均值和众数均不低于80分视为满意，判断该校学生对线上课程是否满意？并说明理由（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）若采用分层抽样的方法，从样本评分在[60，70）和[90，100]内的学生中共抽取5人进行测试来检验他们的网课学习效果，再从中选取2人进行跟踪分析，求这2人中至少一人评分在[60，70）内的概率．18．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b tan A＝（2c﹣b）tan B．（1）求A；（2）若△ABC是锐角三角形，且a＝3．求cosCb的取值范围．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1＝2AC＝4，AB＝3，∠CAB＝90°．M是CC1的中点．（1）证明：平面A1B1M⊥平面ABM；（2）求四棱锥M﹣ABB1A1的侧面积．20．已知长轴长为2√2的椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，且以F1、F2为直径的圆与C恰有两个公共点．（1）求椭圆C的方程；（2）若经过点F2的直线l与C交于M，N两点，且M，N关于原点O的对称点分别为P，Q，求四边形MNPQ面积的最大值．21．已知函数f(x)=−3cosx−1ax2，f′(x)为f（x）的导函数．2（1）若f'（x）在区间[0，π2]上单调递减，求实数a的取值范围；（2）若x∈[0，π2]，求证：当a≤3时．f(x)+1x3+3≥0．2（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应题号后面的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=2+2cosα，（α为参数），以坐y=2sinα标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcosθ＝1．（1）求C1的极坐标方程，并求C1与C2交点的极坐标(ρ＞0，−π2＜θ＜π2)；（2）若曲线C3：θ＝β（ρ＞0）与C1，C2的交点分别为M，N，求|OM|•|ON|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝|2x﹣1|﹣2|x+1|．（1）解不等式f（x）≤0；（2）记函数f（x）的最大值为m，且a+b+c＝m，求证：（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2≥12．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{0，1，2，3），B＝{﹣1，0，a}，若A∩B＝{0，2），则a＝（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】利用交集定义直接求解．解：∵集合A＝{0，1，2，3），B＝{﹣1，0，a}，A∩B＝{0，2），∴a＝2．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．设i是虚数单位，若复数z满足z（1﹣i）＝i，则复数z对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．解：由z（1﹣i）＝i，得z=i1−i=i(1+i)(1−i)(1+i)=−1+i2=−12+i2．∴复数z对应的点的坐标为（−12，12），在第二象限．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．已知a=213，b=log213，c=log1312，则（）A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．c＜b＜a 【分析】结合指数与对数函数的单调性分别确定a，b，c的范围，进而可比较大小．解：a=213＞1，b=log213＜0，c=log1312=log32∈（0，1），故b＜c＜a，故选：A．【点评】本题主要考查了利用函数单调性比较大小，属于基础试题．4．如图所示，在边长为4的正三角形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正三角形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为34，则阴影区域的面积为（）A．√3B．2√3C．3√3D．4√3【分析】由题意结合几何概型计算公式得到关于面积的方程，解方程即可求得最终结果．解：设阴影部分的面积为S，结合几何概型公式可得：12×4×4×√32=34；解得S＝3√3：故选：C．【点评】本题考查几何概型及其应用，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．5．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1+3a 5＝12，则S 7＝（ ） A ．18B ．21C ．24D ．27【分析】由a 1+3a 5＝12，可得：4a 1+12d ＝12，化为a 1+3d ＝3＝a 4，利用性质可得：S 7=7(a 1+a 7)2=7a 4． 解：由a 1+3a 5＝12，可得：4a 1+12d ＝12，∴a 1+3d ＝3＝a 4， ∴S 7=7(a 1+a 7)2=7a 4＝21．故选：B ．【点评】本小题主要考查等差数列通项公式和前n 项和公式及其性质等基础知识，考查运算求解等数学能力，属于基础题．6．已知向量a →=（5，5），a →+2b →=（﹣3，11），则向量a →在向量b →方向上的投影为（ ） A ．1B ．√22C ．−√22D ．﹣1【分析】先根据平面向量的线性坐标运算，由a →和a →+2b →的坐标计算出向量b →，然后由平面向量数量积的定义可知，向量a →在b →方向上的投影为a →⋅b →|b →|，再结合数量积的坐标运算即可得解．解：∵a →=（5，5），a →+2b →=（﹣3，11），∴b →=(−4，3)，∴向量a →在b →方向上的投影为a →⋅b →|b →|=√(−4)2+32=−1，故选：D ．【点评】本题考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．7．已知函数f（x）＝sin2x cosφ+cos2x sinφ图象的一个对称中心为(−π3，0)，则φ的一个可能值为（）A．−π3B．π3C．−5π6D．5π6【分析】先对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的对称性即可求解．解：f（x）＝sin2x cosφ+cos2x sinφ＝sin（2x+φ），由题意可得，sin（φ−2π3）＝0，所以φ−2π3=kπ即φ=2π3+kπ，k∈Z，结合选项可知，当k＝﹣1时，φ=−13π．故选：A．【点评】本题主要考查了和差角公式在三角化简中的应用及正弦函数的对称性的应用，属于基础试题．8．数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了Fn=22n+1(n= 0，1，2，⋯)是质数的猜想，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出F5＝641*6700417，不是质数．现设a n＝log4（F n﹣1）（n＝1，2，…），S n表示数列{a n}的前n项和．若32S n＝63a n，则n＝（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】利用数列的递推关系式，求出通项公式，然后通过等比数列求解数列的和，然后求解n即可．解：因为F n=22n+1(n=0，1，2，⋯)，所以a n＝log4（F n﹣1）=log4(22n+1−1)= log422n=2n﹣1，所以{a n}是等比数列，首项为1，公比为2，所以S n=1(1−2n)1−2=2n﹣1．所以32（2n﹣1）＝63×2n﹣1，解得n＝6，故选：B．【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，等比数列的判断，数列求和，考查计算能力．9．已知双曲线C：x 2a2−y24a2=1(a＞0)的右焦点为F，点N在C的渐近线上（异于原点），若M点满足OF→=FM→，且ON→⋅MN→=0，则|MN|＝（）A．2a B．√5a C．4a D．2√5a【分析】画出图形，利用F是OM的中点，且ON⊥MN，作FH⊥ON于H，然后转化求解即可．解：双曲线C：x 2a2−y24a2=1(a＞0)的一条渐近线y＝2x的斜率为：2，且b＝2a，F（√5a，0）．由题意可得：F是OM的中点，且ON⊥MN，作FH⊥ON于H，则|FH|=√5a1+4=2a，所以|MN|＝4a，故选：C．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，数形结合以及计算能力，是中档题．10．已知曲线y＝ae x﹣1绕原点顺时针旋转θ后与x轴相切，若tanθ＝2，则a＝（）A．12B．1 C．32D．2【分析】由题意可知，未转动前曲线与直线y＝2x相切，由此设切点为（x0，y0），求切点处导数，并令其为2，求出x0，即可求出a的值．解：由已知得：曲线y＝ae x﹣1与直线y＝2x相切．设切点为（x0，y0），因为y′＝ae x﹣1，所以ae x0−1=2①，又切点满足：ae x0−1=2x0②，①②两式联立解得：x0＝1，a＝2．故选：D．【点评】本题考查导数的几何意义以及切线方程的求法，同时考查学生运用方程思想解题的能力和化简运算能力．属于中档题．11．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2AD＝4，过AA1作平面α使BD⊥α，且平面α∩平面A1B1C1D1＝l，M∈l．下面给出了四个命题：这四个命题中，真命题的个数为（）①l∥AC；②BM⊥AC；③l和AD1所成的角为60°；④线段BM长度的最小值为√6．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由ABCD﹣A1B1C1D1为长方体，可得BD⊥平面A1ACC1，结合题意可得面A1ACC1为平面α，直线A1C1为l，可知①正确；只有当M为A1C1的中点时，有BM⊥AC，当M在l上其它位置时，BM与AC不垂直，可知②错误；由题意，知∠A1C1B即为l和AD1所成角，由A1B＝BC1≠A1C1，得∠A1C1B≠60°，故③错误；当M是A1C1的中点时，BM⊥A1C1，此时线段BM取得最小值，求得BM判断④错误．解：由ABCD﹣A1B1C1D1为长方体，可得BD⊥平面A1ACC1，即平面A1ACC1为平面α，直线A1C1为l，则l∥AC，故①正确；由M∈l，即M∈A1C1，只有当M为A1C1的中点时，有BM⊥AC，当M在l上其它位置时，BM与AC不垂直，故②错误；由AD1∥BC1，可知∠A1C1B即为l和AD1所成角，∵A1B＝BC1≠A1C1，∴∠A1C1B≠60°，故③错误；由A1B＝BC1=√22+42=2√5，可知当M是A1C1的中点时，BM⊥A1C1，此时线段BM取得最小值，且BM=√BB12+B1M2=√42+(√2)2=3√2，∴④错误．故只有①正确．故选：A．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．12．已知f(x)={2|x+2|−2，−4≤x≤−1，log2(x+1)，−1＜x≤4，若函数g（x）＝f2（x）﹣mf（x）﹣1恰有5个零点，则实数m的取值范围是（）A．(0，32)B．(0，32]C．（0，2）D．（0，2]【分析】先作出函数的图象，然后结合函数的函数的零点与方程的根的关系，结合二次方程的实根分布问题即可求解解：如图所示，作出f（x）的图象，令f（x）＝t显然t＝0不是方程t2﹣mt﹣1＝0的解，若t＝﹣1是方程t2﹣mt﹣1＝0的解，则m＝0，此时t＝±1，结合图象可知不满足题意，所以g（x）＝f2（x）﹣mf（x）﹣1恰有5个零点等价于t2﹣mt﹣1＝0一个解在（﹣1，0），一个解在（0，2]，令h（t）＝t2﹣mt﹣1，则{h(−1)=m＞0h(0)=−1＜0h(2)=4−2m−1≥0，解可得，0＜m≤32．故选：B．【点评】本题主要考查了由函数的零点求解参数范围问题，体现了转化思想及数形结合思想的应用．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若实数x ，y 满足{0≤x −y ≤1，0≤x +y ≤1，则z ＝2x +y 的最大值为 2 ． 【分析】画出可行域，利用目标函数的几何意义求解最大值即可．解：作出约束条件的可行域，如图：直线z ＝2x +y 经过可行域的A 时，z 取得最大值， 由{x +y =1x −y =1解得A （1，0），所以z 的最大值为：2×1+0＝2． 故答案为：2．【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出约束条件的可行域是解题的关键，考查计算能力．14．已知α是锐角，且sin （α−π6）=13．则sin （α+π3）＝ √23 ．【分析】由已知结合同角基本关系及诱导公式进行化简即可求解．解：因为α是锐角，且sin （α−π6）=13． 所以−π6＜α−π6＜13π，cos （α−π6）=2√23， 则sin （α+π3）＝sin[（α−π6）+12π]＝cos （α−π6）=2√23，故答案为：2√2．3【点评】本题主要考查了同角基本关系及诱导公式在三角化简求值中的应用，属于中档试题．15．我国古代数学名著《九章算术•商攻》中，阐述：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵．其一为阳马，一为鳖臑”．如图，在一个为“阳马”的四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD 为矩形，AB＝2．AD=√3，PA⊥平面ABCD，若直线PD与平面ABCD所成的角为60°，π．则PA＝ 3 ，该“阳马”外接球体积为323【分析】以AB，AD，AP为棱构造一个长方体，则该长方体的体对角线为其外接球的直径2R，由此能求出该“阳马”外接球体积．解：由题意得∠PDA＝60°，则PA=√3AD=3，以AB，AD，AP为棱构造一个长方体，则该长方体的体对角线为其外接球的直径2R，即2R=√22+(√3)2+32=4，即R＝2，∴该“阳马”外接球体积为V=4πR3=43π×8=32π3．3故答案为：3，32π．3【点评】本题考查线段长、“阳马”的外接球的体积的求法，考查线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16．已知直线x﹣my﹣2＝0与抛物线C：y2=12x交于A，B两点．P是线段AB的中点，过P作x轴的平行线交C于点Q，若以AB为直径的圆经过Q，则m＝±2 ．【分析】设AB的坐标，直线与抛物线的方程联立求出两根之和，进而求出AB的中点P 的坐标，由题意求出Q的坐标，进而求出弦长|AB|，|PQ|，再由题意可得m的值．解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由{x−my−2=0 y2=12x，整理可得2y2﹣my﹣2＝0，△＝m2+8＞0，y1+y2=m2，y1y2＝﹣1，所以AB的中点P（m 24+2，m4），则Q（m28，m4），即|PQ|=m28+2，又|AB|=√1+m2|y1﹣y2|=√1+m2√m24+4，所以√1+m2√m24+4=2（m28+2）即√1+m2=√m24+4，解得m＝±2，故答案为：±2．【点评】本题考查抛物线的性质及以线段为直径的圆的性质，属于中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．受突如其来的新冠疫情的影响，全国各地学校都推迟2020年的春季开学．某学校“停课不停学”，利用云课平台提供免费线上课程．该学校为了解学生对线上课程的满意程度，随机抽取了500名学生对该线上课程评分．其频率分布直方图如下：若根据频率分布直方图得到的评分低于80分的概率估计值为0.45．（1）（i）求直方图中的a，b值；（ii）若评分的平均值和众数均不低于80分视为满意，判断该校学生对线上课程是否满意？并说明理由（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）若采用分层抽样的方法，从样本评分在[60，70）和[90，100]内的学生中共抽取5人进行测试来检验他们的网课学习效果，再从中选取2人进行跟踪分析，求这2人中至少一人评分在[60，70）内的概率．【分析】（1）（i）由频率分布直方图中小矩形面积之和为1，能求出a，b．（ii）由频率分布直方图能求出评分的众数和评分的平均值，从而得到该校学生对线上课程满意．（2）由题知评分在[60，70）和[90，100]内的频率分别为0.1和0.15，则抽取的5人中，评分在[60，70）内的为2人，评分在[90，100）的有3人，记评分在[90，100]内的3位学生为a，b，c，评分在[60，70）内的2位学生这D，E，从5人中任选2人，利用列举法能求出这2人中至少一人评分在[60，70）的概率．解：（1）（i）由已知得（0.005+a+0.03）×10＝0.45，解得a＝0.01，又（0.015+b）×10＝0.55，∴b＝0.04．（ii）由频率分布直方图得评分的众数为85，评分的平均值为55×0.05+65×0.1+75×0.3+85×0.4+95×0.15＝80，∴该校学生对线上课程满意．（2）由题知评分在[60，70）和[90，100]内的频率分别为0.1和0.15，则抽取的5人中，评分在[60，70）内的为2人，评分在[90，100）的有3人，记评分在[90，100]内的3位学生为a，b，c，评分在[60，70）内的2位学生这D，E，则从5人中任选2人的所有可能结果为：（a，b），（a，c），（a，D），（a，E），（b，c），（b，D），（b，E），（c，D），（c，E），（D，E），共10种，其中，评分在[90，100]内的可能结果为（a，b），（a，c），（b，c），共3种，∴这2人中至少一人评分在[60，70）的概率为P＝1−3=710．10【点评】本题考查频率、众数、平均数、概率的求法，考查古典概型、列举法、频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b tan A＝（2c﹣b）tan B．（1）求A；（2）若△ABC是锐角三角形，且a＝3．求cosCb的取值范围．【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理的应用求出A的值．（2）利用正弦定理的应用和锐角三角形的角的范围的应用求出结果．解：（1）由于△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b tan A＝（2c﹣b）tan B．∴sinB⋅sinAcosA =(2sinC−sinB)⋅sinBcosB，由于sin B≠0，所以sin A cos B＝2sin C cos A﹣sin B cos A，则：sin（A+B）＝2sin C cos A，即sin C＝2sin C cos A，由于sin C≠0，所以cos A=12，由于0＜A＜π，所以A=π3．（2）根据正弦定理asinA =b sinB，所以b＝2√3sinB．则：cosCb =cos(2π3−B)2√3sinB=−12cosB+√32sinB2√3sinB=4√3tanB+14．由于△ABC为锐角三角形，所以{0＜B＜π20＜C＜π2，即{0＜B＜π20＜2π3−B＜π2，所以π6＜B＜π2，所以tanB＞√33，即043tanB 14，所以0＜cosCb＜14，所以cosCb 的取值范围为（0，14）．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1＝2AC＝4，AB＝3，∠CAB＝90°．M是CC1的中点．（1）证明：平面A1B1M⊥平面ABM；（2）求四棱锥M﹣ABB1A1的侧面积．【分析】（1）由已知求解三角形证明即A1M⊥AM，再证明AB⊥平面ACC1A1，得AB ⊥A1M，由直线与平面垂直的判定可得A1M⊥平面ABM，进一步得到平面A1B1M⊥平面ABM；（2）分别求出四棱锥M﹣ABB1A1的四个侧面三角形的面积，作和得答案．【解答】（1）证明：在矩形ACC1A1中，AM=A1M=√22+22=2√2，AA1＝4．则A1M2+AM2=AA12，即A1M⊥AM，又AB⊥AC，AB⊥AA1，AC∩AA1＝A，则AB⊥平面ACC1A1，∵A1M⊂平面ACC1A1，∴AB⊥A1M，又AB∩AM＝A，∴A1M⊥平面ABM，∵A1M⊂平面A1B1M，∴平面A1B1M⊥平面ABM；（2）解：由（1）知，AB⊥AM，∴S△ABM=S△A1B1M=12×3×2√2=3√2．在△ABC中，BC=√22+32=√13，∴S△B1BM=12×√13×4=2√13，又S△A1AM=12×4×2=4．∴四棱锥M﹣ABB1A1的侧面积为2×3√2+4+2√13=6√2+4+2√13．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体侧面积的求法，是中档题．20．已知长轴长为2√2的椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，且以F1、F2为直径的圆与C恰有两个公共点．（1）求椭圆C的方程；（2）若经过点F2的直线l与C交于M，N两点，且M，N关于原点O的对称点分别为P，Q，求四边形MNPQ面积的最大值．【分析】（1）由题意可得a 的值及b ＝c ，再由a ，b ，c 之间的关系求出b ，进而求出椭圆的方程；（2）由（1）可得右焦点F 2的坐标，由题意可得直线PQ 的斜率不为0，设直线PQ 的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，由题意可得四边形PQMN 为平行四边形，所以四边形的面积等于一个三角形面积的4倍，求出三角形OPQ 的面积，由均值不等式可得面积的最大值．解：（1）由题意可得2a ＝2√2，且b ＝c ，又c 2＝a 2﹣b 2，所以可得a 2＝2，b 2＝1， 所以椭圆的方程为：x 22+y 2＝1； （2）由（1）可得右焦点F 2（1，0），再由题意可得直线PQ 的斜率不为0，设直线PQ 的方程为x ＝my +1，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），联立直线与椭圆的方程可得{x =my +1x 2+2y 2=2整理可得（2+m 2）y 2+2my ﹣1＝0，所以y 1+y 2=−2m 2+m 2，y 1y 2=−12+m 2， 由题意可得四边形MNPQ 为平行四边形，所以S ＝4S △OPQ ＝4×12×|OF 2|×|y 1﹣y 2|＝2×1×√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=2√4m 2(2+m 2)2−4⋅−12+m 2=4√2√1+m 2(1+1+m 2)2=4√2√1(1+m 2)+11+m 2+2≤4√2√12+2=2√2， 当且仅当1+m 2=11+m 2即m ＝0时取等号， 所以四边形MNPQ 面积的最大值为2√2．【点评】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，及四边形的面积公式及均值不等式的应用，属于中档题．21．已知函数f(x)=−3cosx−1ax2，f′(x)为f（x）的导函数．2（1）若f'（x）在区间[0，π2]上单调递减，求实数a的取值范围；（2）若x∈[0，π2]，求证：当a≤3时．f(x)+1x3+3≥0．2【分析】（1）先求f'（x）＝3sin x﹣ax，令g（x）＝3sin x﹣ax，再求导g'（x），原问题可转化为g'（x）≤0在[0，π2]上恒成立，即a≥3cos x恒成立，于是求出y＝3cos x在[0，π2]上的最大值即可；（2）令h(x)=f(x)+1x3+3，原问题转化为证明h（x）≥0，求出h'（x），由于a≤23，所以h′(x)≥3sinx−3x+3x2，再令p(x)=3sinx−3x+32x2，再求导p'（x），2又令m（x）＝p'（x），又求导m'（x），并得出m'（x）＝﹣3sin x+3≥0，因此m（x）在[0，π2]上单调递增，依此，逐层往回递推直至能证明h（x）≥h（0）＝0即可．解：（1）由题可知，f'（x）＝3sin x﹣ax，令g（x）＝3sin x﹣ax，则g'（x）＝3cos x﹣a，∵f'（x）在区间[0，π2]上单调递减，∴当0≤x≤π时，3cos x﹣a≤0，即a≥3cos x恒成立，2而当0≤x≤π时，3cos x∈[0，3]，2∴a≥3．（2）证明：令h(x)=f(x)+1x3+3，则h′(x)=f′(x)+32x2=3sinx−ax+32x2，2∵a≤3，∴h′(x)≥3sinx−3x+3x2，2令p(x)=3sinx−3x+3x2，则p'（x）＝3cos x﹣3+3x，2令m（x）＝3cos x﹣3+3x，则m'（x）＝﹣3sin x+3≥0，∴m（x）在[0，π2]上单调递增，即m（x）≥m（0）＝0，∴p'（x）≥0，∴p（x）在[0，π2]上单调递增，即p（x）≥p（0）＝0，则h'（x）≥0，∴h（x）在[0，π2]上单调递增，即h（x）≥h（0）＝0，也就是f(x)+1x3+3≥0．2【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值、不等式恒成立问题，解题的关键是多次构造函数，并求导，判断新函数的性质，然后再逐层往回递推，考查学生的转化与化归的能力、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．一、选择题（α为参数），以坐22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=2+2cosα，y=2sinα标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcosθ＝1．（1）求C1的极坐标方程，并求C1与C2交点的极坐标(ρ＞0，−π2＜θ＜π2)；（2）若曲线C3：θ＝β（ρ＞0）与C1，C2的交点分别为M，N，求|OM|•|ON|的值．【分析】（1）根据同角三角函数关系式，消去参数，可得C1的直角坐标方程，再由x ＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入可得极坐标方程；联立C1与C2的极坐标方程，即可得到交点坐标；（2）分别联立曲线C3和C1，C3和C2的极坐标方程，分别得到OM和ON的长度，再求值即可．解：（1）由{x =2+2cosαy =2sinα（α为参数）消去参数可得（x ﹣2）2+y 2＝4，即x 2+y 2﹣4x ＝0，又{x =ρcosθy =ρsinθ，则ρ2﹣4ρcos θ＝0， 即C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ．由{ρ=4cosθρcosθ=1，可得4cos 2θ＝1，又−π2＜θ＜π2，所以θ＝±π3，ρ＝2． 即C 1与C 2交点的极坐标为（2，π3），（2，−π3）． （2）由{θ=βρ=4cosθ，可得|OM |＝4cos β， 由{θ=βρcosθ=1，可得|ON |=1cosβ， 所以|OM |•|ON |＝4．【点评】本题考查了参数方程，极坐标方程和普通方程的互化，以及利用极坐标方程解决曲线与曲线的交点问题．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f （x ）＝|2x ﹣1|﹣2|x +1|．（1）解不等式f （x ）≤0；（2）记函数f （x ）的最大值为m ，且a +b +c ＝m ，求证：（a +1）2+（b +1）2+（c +1）2≥12．【分析】（1）由题意可得|2x ﹣1|≤2|x +1|，两边平方，化简整理，可得所求解集；（2）运用绝对值不等式的性质可得m ＝3，即a +b +c ＝3，再由三个数的完全平方公式，结合基本不等式和不等式的性质，即可得证．【解答】（1）解：f （x ）≤0即为|2x ﹣1|﹣2|x +1|≤0，即|2x ﹣1|≤2|x +1|，即为（2x﹣1）2≤4（x+1）2，化为12x≥﹣3，可得x≥−1，4}；则原不等式的解集为{x|x≥−14（2）证明：由f（x）＝|2x﹣1|﹣|2x+2|≤|2x﹣1﹣2x﹣2|＝3，当x≤﹣1时，上式取得等号，则m＝3，即a+b+c＝3，又（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≤a2+b2+c2+（a2+b2）+（b2+c2）+（c2+a2）＝3（a2+b2+c2）（当且仅当a＝b＝c＝1时取得等号），（a+b+c）2＝3，则（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2＝a2+b2+c2+2a+2b+2c+3所以a2+b2+c2≥13≥3+2×3+3＝12，则（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2≥12．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，以及绝对值不等式的性质，基本不等式的运用：证明不等式，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．。
湖南省长沙市2024届高三下学期第二次模拟考试数学试题含答案
2024届模拟试卷（二）数学（答案在最后）命题人：注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数()x f =的定义域是A ．[]2,2-B ．()2,2-C ．{}2,2x x x <->或D ．{}2,2-2.已知函数()y f x =的图象是下列四个选项图象之一，且其导函数()y f'x =的图象如图所示，则该函数的图象是A ．B ．C ．D ．3.中心在坐标原点，离心率为53的双曲线的焦点在y 轴上，则该双曲线的渐近线方程为A ．34y x =±B ．43y x =±C ．45y x =±D ．54y x=±4.已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，对任意x ∈R 都有()()11f x f x +=-，当()32f -=-时，则()2023f 等于A ．2B ．2-C ．0D ．4-5.将函数()2sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移ϕ（0ϕ>）个单位长度，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），所得图象关于直线π4x =对称，则ϕ的最小值为A ．3π4B ．1π2C ．3π8D ．1π86.为调查某地区中学生每天睡眠时间（单位：小时），采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800人，其每天睡眠时间均值为9，方差为1，抽取高中生1200人，其每天睡眠时间均值为8，方差为0.5，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为A ．0.96B ．0.94C ．0.79D ．0.757.在等腰△ABC 中，120BAC ∠=︒，AD 平分∠BAC 且与BC 相交于点D ，则向量BD 在BA上的投影向量为A ．32BAB ．4BAC ．2BAD ．34BA8.如图，点P 在正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1BC （包括端点）上运动，则下列结论一定成立的是A ．三棱锥1A A PD -的体积大小与点P 的位置有关B ．1A P 与平面1ACD 相交C ．平面1PDB ⊥平面11A BC D ．1AP D C⊥二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设a ，b ，c ，d 为实数，且0a b c d >>>>，则下列不等式正确的有A ．2c cd<B ．a c b d -<-C ．ac bd<D ．0c d a b->10.在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则下列说法正确的是A ．此人第二天走了九十六里路B ．此人第三天走的路程占全程的18C ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里D ．此人后三天共走了四十二里路11.三棱锥A -BCD 的侧棱AB 垂直于底面BCD ，BC CD ⊥，2AB BC ==，三棱锥A -BCD 的体积43A BCD V -=，则A ．三棱锥A -BCD 的四个面都是直角三角形B ．2CD =C ．π2CDA ∠=D ．三棱锥A -BCD 外接球的体积三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在复数范围内方程210x x ++=的解为.13.已知圆N ：22650x y y +-+=，直线1y =-，圆M 与圆N 外切，且与直线1y =-相切，则点M 的轨迹方程为.14.若m ，*n ∈N ，3m ≥，2n m +≥，则22111222A A A C A A mm m n m n m n ----=++.（请用一个排列数来表示）四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）在△ABC 中，已知22sin cos 212A BC ++=，外接圆半径2R =.（1）求角C 的大小；（2）求△ABC 面积的最大值.16.（本小题满分15分）如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=︒，2AB =，1AD =，PD ⊥底面ABCD ．（1）证明：PA BD ⊥；（2）若PD AD =，求二面角A -PB -C 的余弦值.17.（本小题满分15分）已知椭圆G ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为63，右焦点为()，斜率为1的直线l 与椭圆G交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为()3,2P -.（1）求椭圆G 的方程；（2）求△PAB 的面积.18.（本小题满分17分）某手机App 为了答谢新老用户，设置了开心大转盘抽奖游戏，制定了如下中奖机制：每次抽奖中奖的概率为p ，n 次抽奖仍未中奖则下一次抽奖时一定中奖.每次中奖时有12的概率中积分奖，有12的概率中现金奖.若某一次中奖为积分奖，则下一次抽奖必定中现金奖，抽到现金奖后抽奖结束.（1）若2n =，12p =，试求直到第3次才抽到现金奖的概率；（2）若19n =，0.01p =，X 表示抽到现金奖时的抽取次数.（ⅰ）求X 的分布列（用p 表示即可）；（ⅱ）求X 的数学期望()E X .（180.990.8345≈，结果四舍五入精确到个位数）19.（本小题满分17分）极值的广义定义如下：如果一个函数在一点的一个邻域（包含该点的开区间）内处处都有确定的值，而以该点处的值为最大（小），这函数在该点处的值就是一个极大（小）值.对于函数()y f x =，设自变量x 从0x 变化到0x x +∆，当0x ∆>，()()000limx f x x f x x∆→+∆-∆是一个确定的值，则称函数()y f x =在点0x 处右可导；当0x ∆<，()()000limx f x x f x x∆→+∆-∆是一个确定的值，则称函数()y f x =在点0x 处左可导.当函数()y f x =在点0x 处既右可导也左可导且导数值相等，则称函数()y f x =在点0x 处可导.（1）请举出一个例子，说明该函数在某点处不可导，但是该点是该函数的极值点；（2）已知函数()22132e sin e ax f x x x x x +=--.（ⅰ）求函数()21esin e ax g x x x +=--在0x =处的切线方程；（ⅱ）若0x =为()f x 的极小值点，求a 的取值范围.2024届模拟试卷（二）数学参考答案一、二、选择题题号1234567891011答案DBAACBDCADACDABD2.B【解析】由()y f'x =的图象知，()y f x =为增函数，且在区间()1,0-上增长速度越来越快，而在区间()0,1上增长速度越来越慢.故选B ．3.A【解析】∵53c a =，∴222259a b a +=，∴43b a =.∵双曲线的焦点在y 轴上，∴双曲线的渐近线方程为a y x b =±.∴所求双曲线的渐近线方程为34y x =±.故选A ．4.A【解析】定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且对任意x ∈R 都有()()11f x f x +=-，故函数()f x 的图象关于直线1x =对称，∴()()2f x f x =-，故()()()2f x f x f x -=+=-，∴()()()24f x f x f x =-+=+，∴()f x 是周期为4的周期函数.则()()()3(202350533)42f f f f =⨯+==--=.故选A ．6.B【解析】初中生人数800m =，每天睡眠时间的平均数9x =，方差211s =；高中生人数1200n =，每天睡眠时间的平均数8y =，方差220.5s =.总的样本平均数8.4mx n y a m n +==+.总的样本方差()()22221220.94m s x a n s y a s m n⎡⎤⎡⎤+-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦==+.故选B ．7.D【解析】设AB AC x ==，由余弦定理可知22222cos1203BC AB AC AB AC x =+-⋅⋅︒=，∴BC =，30ABC ∠=︒，∵AD 平分∠BAC 且与BC 相交于点D ，△ABC 是等腰三角形，∴D 是BC 中点，2BD x =，由图可知向量BD 在BA 上的投影向量为BE ，3cos304BE BD x =︒= ，34BE BA = ，∴34BE BA =.故选D .8.C 【解析】对于选项A ，11A A PD P AA D V V --=．在正方体中，1BC ∥平面1AA D ，所以点P 到平面1AA D 的距离不变，即三棱锥1P AA D -的高不变，又1AA D ∆的面积不变，因此三棱锥1P AA D -的体积不变，即三棱锥1A A PD -的体积与点P 的位置无关，故A 不成立；对于选项B ，由于11BC AD ∥，1AD ⊂平面1ACD ，1BC ⊂/平面1ACD ，所以1BC ∥平面1ACD ，同理可证1BA ∥平面1ACD ，又11BA BC B = ，所以平面11BA C ∥平面1ACD ，因为1A P ⊂平面11BA C ，所以1A P ∥平面1ACD ，故B 不成立；对于选项C ，因为11A C BD ⊥，111A C BB ⊥，1BD BB B = ，所以11A C ⊥平面1BB D ，则111A C B D ⊥；同理11A B B D ⊥，又1111A C A B A = ，所以1B D ⊥平面11A BC ，又1B D ⊂平面1PDB ，所以平面1PDB ⊥平面11A BC ，故C 成立；对于选项D ，当B 与P 重合时，AP 与1D C 的夹角为π4，故D 不成立.故选C ．9.AD 【解析】因为0a b c d >>>>，所以0a b >>，0c d >>，对于A ，因为0c d >>，由不等式的性质可得2c cd <，故选项A 正确；对于B ，取2a =，1b =，1c =-，2d =-，则3a c -=，3b d -=，所以a c b d -=-，故选项B 错误；对于C ，取2a =，1b =，1c =-，2d =-，则2ac =-，2bd =-，所以ac bd =，故选项C 错误；对于D ，因为0a b >>，0d c <<，则ad bc <，所以c d a b >，故0c da b->，故选项D 正确.故选AD ．10.ACD【解析】设此人第n 天走n a 里路，则数列{}n a 是首项为1a ，公比为12q =的等比数列，因为6378S =，所以166112378112a S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-，解得1192a =，对于A ，由于21192962a =⨯=，所以此人第一天走了九十六里路，所以A 正确；对于B ，由于31192484a =⨯=，4813788>，所以B 不正确；对于C ，由于378192186-=，1921866-=，所以此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里，所以C 正确；对于D ，456378192964842a a a ++=---=，所以此人后三天共走了四十二里路，所以D 正确.故选ACD ．11.ABD 【解析】∵AB BC ⊥，BC CD ⊥，构造如图所示的长方体，则AD 为三棱锥A -BCD的外接球的直径.设外接球的半径为R .∵1114223263A BCD V BC CD AB CD -=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=，∴2CD =，∴该长方体为正方体，∴AD =∴R =，∴外接球体积为34π3V R ==.故选ABD ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.12x -=13.212x y=【解析】由题意得，直线l ：1y =-，且圆N ：()2234x y +-=，设点M 到直线l 的距离为r ，则点M 到l ＇：3y =-与点M 到点N 的距离相等，都是2r +，故点M 的轨迹是以N 为焦点，以l ＇为准线的抛物线，故方程为212x y =.14.2A mn -【解析】法一：直接计算，略.法二：实际意义：从n 个元素中选取m 个元素排列到m 个位置上去，对于两个指定的元素a ，b 进行分类，a ，b 都被选出来，有222A A m m n --种排法，a ，b 中有一个被选出来，有11122C A A m m n --种排法，a ，b 都没有被选出来，有2A mn -种排法，所以221112222A A A C A A A mm m mn m n m n n -----=++.法三：特值法试一试，如取3m =，7n =，再猜出排列数.四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.【解析】（1）()cos 2cos cos C A B C =+=-，22cos cos 10C C +-=，1cos 2C =，因为()0,πC ∈，所以π3C =.（2）由外接圆半径2R =和正弦定理知1sin sin 2ABC S ab C A B ∆==，2ππsin sin 3sin 22236ABC S A B A A A A A ∆⎛⎫⎛⎫==-=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当π3A =时，△ABC的面积最大值为16.【解析】（1）因为60DAB ∠=︒，2AB =，1AD =，由余弦定理得BD =，从而222BD AD AB +=，故BD AD ⊥.因为PD ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PD BD ⊥．又AD PD D = ，AD ，PD ⊂平面PAD ，所以BD ⊥平面PAD ．因为PA ⊂平面PAD ，所以PA BD ⊥．（2）如图，以D 为坐标原点，射线DA ，DB ，DP 分别为x ，y ，z 的正半轴建立空间直角坐标系D -xyz，则()1,0,0A，()B，()C -，()0,0,1P.()AB =-，()1PB =-，()1,0,0BC =- 设平面PAB 的法向量为(),,n x y z =，则00n AB n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0x z ⎧-+=⎪-=，因此可取n =.设平面PBC 的法向量为m ，则0m PB m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，可取(0,1,m =-，则cos ,7m n <>==-，经判断，二面角A -PB -C 为钝角，故二面角A -PB -C的余弦值为7-.17.【解析】（1）由已知得c =3c a =，解得a =，又2224b a c =-=，所以椭圆G 的方程为221124x y +=.（2）设直线l 的方程为y x m =+，由221124y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得22463120x mx m ++-=，①设A ，B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y （12x x <），AB 中点为()00,E x y ，则120324x x x m +==-，004my x m =+=，因为AB 是等腰△PAB 的底边，所以PE AB ⊥，所以PE 的斜率为241334mk m -==--+，解得2m =，此时方程①为24120x x +=，解得13x =-，20x =，所以11y =-，22y =，所以AB =，又点()3,2P -到直线AB ：20x y -+=的距离2d ==，所以1922PAB S AB d ∆=⋅=.18.【解析】（1）设抽到现金奖时共抽取了3次为事件A ，则事件A 包括第一次未中奖第二次未中奖第三次中了现金奖或第一次未中奖第二次中了积分奖第三次中现金奖，则()1111111222244P A =⨯⨯+⨯⨯=，所以直到第3次才抽到现金奖的概率为14.（2）（ⅰ）X 的可能取值为1，2，3，…，19，20，21.()112P X p ==，()()()()()2121111121222i i i P X i p p p p p p p ---==-⋅+-⋅=--，2i =，3， (19)()()()()18191811120111222P X p p p p ==-⋅+-⋅=-，()()()1919112111122P X p p ==-⋅⨯=-，所以X 的分布列为X 12…i …2021P 12p ()122p p -…()()21212i p p p ---…()18112p -()19112p -其中2i =，3，…，19.（ⅱ）()()()()()()12111112232121192222i E X p p p p p p i p p p -=⨯+⨯-+⨯--++⨯--++⨯ ()()()1719181112120(1)211222p p p p p --+⨯-+⨯-()()()()()()217181911212231411911011222p p p p p p p p ⎡⎤=+-+-+-++-+-+-⎣⎦ ，令()()()21723141191S p p p =+-+-++- ，则()()()()()23181213141191p S p p p p -=-+-+-++- ，作差得()()()17181112191p p pS p p ⎡⎤---⎣⎦=+--，所以()()()()()18182111192221222p p p p p S p p p p ⎡⎤----⎣⎦-=-+---，()()()()()()()181818192111192122110112222p p p E X p p p p p p p ⎡⎤----⎣⎦=+-+---+-+-()1811112192p p p p ⎛⎫=++---≈ ⎪⎝⎭，所以X 的数学期望()E X 约为19.19.【解析】（1）y x =，0x =为该函数的极值点，该函数在0x =处的左导数为1-，右导数为1，所以该函数在0x =处不可导.（2）（ⅰ）切线方程为0y =.（ⅱ）()()22213221e sin e e sin e ax ax f x x x x x x x x ++=--=--，因为当0x ≠时，20x >，故()f x 与()g x 同号，()21e sin e ax g x x x +=--，现考察()g x 的性质，由于()g x 为偶函数，只需分析其在()0,+∞上的性质即可，()212e sin cos ax g'ax x x x x +=--，()0,0g'=，()()222124e 2cos sin ax a a x x x x g''x +=+-+，()2e 20g 'a '=-，则必有()e 2002g''a =-≥，即1e a ≥.①否则，若()e 2002g''a =-<，即1ea <，则必存在一个区间()0,m ，使得()0g''x <，则()g'x 在()0,m 单调递减，又()00g'=，则()g'x 在区间()0,m 内小于0，则()g x 在()0,m 单调递减，又()00g =，故()g x 在区间()0,m 内小于0，故()f x 在区间()0,m 内小于0，则0x =不可能为()f x 的极小值点.②当1ea ≥时，()22111e e sin e e sin e x ax g x x x x x ++=----≥，令()211e esin e x h x x x +=--，()2112e sin cos e x e x h x x x 'x +=--，()2112e 224e 2cos sin e e x h x x x x ''x +⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，易知2112e 224e e e x y x +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间()0,+∞上单调递增，对2cos sin y x x x =-+，2sin sin cos 3sin cos y'x x x x x x x =++=+，则3sin cos y'x x x =+在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上大于0，故2cos sin y x x x =-+在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.故()2112e 224e 2cos sin e e x h x x x x ''x +⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.又()00h''=，故()0h''x ≥，故()h'x 在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，又()00h'=，故()0h'x ≥，故()h x 在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，又()00h =，故()0h x >，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()()21e sin e 0ax x x x g x h +=-->≥，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，由偶函数知π,02x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0f x >，故0x =为()f x 的极小值点，所以a 的取值范围为1e a ≥.。
2020年湖南省长沙市雅礼中学高考数学模拟试卷(文科)(二) (解析版)
2020年湖南省长沙市雅礼中学高考数学模拟试卷(文科)(二)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U=R，集合A={x|x−2>0}，B={x|x∈N}，则(∁U A)∩B=()A. {1,2}B. {0,1，2}C. {0,1}D. φ2.已知复数z1=3−bi，z2=1−2i，若z1z2是实数，则实数b的值为()A. 6B. −6C. −23D. 163.若a，b，c，满足2a=3，b=log25，3c=2，则()A. c<a<bB. b<c<aC. a<b<cD. c<b<a4.达芬奇的经典之《蒙娜丽莎》举世闻名．如图，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷，某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角A，C处作圆弧的切线，两条切线交于点B，测得如下数据：AB=6cm,BC= 6cm,AC=10.392cm其中√32≈0.866根据测量得到的结果推算，将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于()A. π3B. π4C. π2D. 2π35.函数y=1x−ln(x+1)的图象大致为()A. B. C. D.6.某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支(单位：万元)如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为()A. 6.25%B. 7.5%C. 10.25%D. 31.25%7. 框图与程序是解决数学问题的重要手段．实际生活中的一些问题在抽象为数学模型之后，可以制作框图，编写程序，得到解决．例如，为了计算一组数据的方差，设计了如图所示的程序框图，其中输入x 1=15，x 2=16，x 3=18，x 4=20，x 5=22，x 6=24，x 7=25，则图中空白框中应填入( )A. i >6，S =S7 B. i ≥6，S =S7 C. i >6，S =7S D. i ≥6，S =7S8. 要得到函数y =− sin 2 x 的图象，只需将函数y = cos 2 x 的图象( )A. 向右平移π2个单位 B. 向左平移π4个单位 C. 向左平移π2个单位D. 向右平移π4个单位9. 已知向量a ⃗ =(1,√3)，b ⃗ =(3,m)，若向量a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为π6，则实数m =( ) A. 2√3B. √3C. 0D. −√310. 已知函数f(x)={(12)x ,x ≤1−x 2+4x −52,x >1，若函数g(x)=32x −a ，其中a ∈R ，若函数y =f(x)−g(x)恰有3个零点，则实数a 的取值范围是( )A. (0,1516)B. (1516,1)C. (1,1615)D. (1,54)11.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1，过左焦点F1作斜率为1的直线l与C交于A，B两点，若线段AB的中垂线与x轴交于P(−c3,0)(c为椭圆的半焦距)，则椭圆的离心率为()A. 12B. √22C. √32D. √2312.已知函数f(x)=sin2x+√3sinxcosx，则()A. f(x)的最小正周期为2πB. f(x)的最大值为2C. f(x)在(π3,5π6)上单调递减 D. f(x)的图象关于直线x=π6对称二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若曲线f(x)=mxe x+n在(1,f(1))处的切线方程为y=ex，则m+n=__________14.在平面直角坐标系xOy中，已知点A是抛物线y2=4x与双曲线x24−y2b2=1(b>0)一个交点，若抛物线的焦点为F，且FA=5，则双曲线的渐近线方程为______．15.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，b=2，cosC=14，则sinB=______．16.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=AB=2，BC=1，点P在侧面A1ABB1上．若点P到直线AA1和CD的距离相等，则A1P的最小值是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}满足a1+a22+⋯+a nn=2n−1(n∈N∗)．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)设b n=2n−1(n+1)a n，求数列{b n}的前n项和S n．18. 随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如表： 年份 2013 2014 2015 2016 2017 时间代号x12 3 4 5 储蓄存款y(千亿元) 567810(Ⅰ)求y 关于x 的回归方程y ̂=b ̂x +a ̂；(Ⅱ)用所求回归方程预测该地区2018年(x =6)的人民币储蓄存款．(参考公式：b ̂=∑(ni=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2=∑x i ni=1y i −nx·y ∑x i2n i=1−nx−2，a ̂=y −−b ̂⋅x −.)19. 如图所示，四棱锥S −ABCD 中，SA ⊥底面ABCD ；∠ABC =90°，∠ACD =60°，AC =AD ，SA =2，AB =√3，BC =1．(Ⅰ)求证：BC //平面SAD ； (Ⅱ)求顶点A 到平面SCD 的距离．20. 已知函数f(x)=axsinx −12a(a ∈R,a ≠0)，(1)讨论f(x)在[0,π2]上的单调性．(2)当a >0时，若f(x)在[0,π2]上的最大值为π−1，说明函数f(x)在[0, π]内的零点个数．21. 已知F 1、F 2分别为椭圆C ：x 23+y 22=1的左、右焦点，点P(x 0,y 0)在椭圆C 上．(Ⅰ)求PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值；(Ⅱ)若y 0>0且PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，已知直线l:y =k(x +1)与椭圆C 交于A 、B 两点，过点P 且平行于直线l 的直线交椭圆C 于另一点Q ，问：四边形PABQ 能否成为平行四边形？若能，请求出直线l 的方程；若不能，请说明理由．22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为：为参数，0≤α<π)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程ρ=6sinθ．(I)写出曲线C的直角坐标方程以及当时，写出直线l的普通方程；(II)若点P(1,2)，设曲线C与直线l交于点A，B，求1|PA|+1|PB|最小值．23.已知f(x)=|x−3|−2，g(x)=4−|x+1|．(1)若f(x)≥g(x)，求x的取值范围；(2)若不等式f(x)−g(x)≥a2−3a的解集为，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：根据题意，集合A ={x|x −2>0}，则∁U A ={x|x ≤2}， 又由B ={x|x ∈N}，则(∁U A)∩B ={0,1，2}； 故选：B ．根据题意，由补集的定义求出∁U A ，进而由交集的定义分析可得答案． 本题考查集合的交并补的计算，注意集合的交并补的定义，属于基础题．2.答案：A解析：先利用两个复数相除的除法法则，化简z 1z 2的结果到最简形式，利用此复数的虚部等于0，解出实数b 的值．本题考查两个复数除法法则的应用，以及复数为实数的条件．解：∵z 1z 2=3−bi 1−2i =(3−bi)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=3+2b+(6−b)i5是实数，则6−b =0，∴实数b 的值为6， 故选 A ．3.答案：A解析：本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题． 利用指数函数与对数函数的单调性即可得出． 解：由2a =3，可得a ∈(1,2)， b =log 25>2， 由3c =2.可得c ∈(0,1)， ∴c <a <b ． 故选：A ．。