自动控制原理参考答案-第4章
自动控制原理 孟华 第4章习题解答
4-1如果单位反馈控制系统的开环传递函数1)(+=s K s G 试用解析法绘出K 从零向无穷大变化时的闭环根轨迹图，并判断下列点是否在根轨迹上： (2，j 0)，(0+j 1)，(3+j 2)。
解：根轨迹如习题4-1答案图所示。
（-2，+j 0）在根轨迹上；(0,+j 1), (-3, +j 2) 不在根轨迹上。
习题4-1答案图4-2设单位反馈控制系统的开环传递函数。
)12()13()(++=s s s K s G试用解析法给出开环增益K 从零增加到无穷时的闭环根轨迹图。
解： 解析法：K =0时：s=-1/2，0；K =1：s=-122；K =-∞：s=-∞，-1/3。
根轨迹如习题4-2答案图所示。
习题4-2答案图4-3 已知系统的开环传递函数)1()1()()(-+=s s s K s H s G ，试按根轨迹规则画出该系统的根轨迹图，并确定使系统处于稳定时的K 值范围。
解：分离点：；会合点： ；与虚轴交点：±j 。
稳定的K 值范围：K >1。
根轨迹如习题4-3答案图所示。
习题4-3答案图4-4已知一单位反馈系统的开环传递函数为2*)4)(1)(1()(+-+=s s s K s G （1）试粗略画出K *由0到∞的根轨迹图；（2）分析该系统的稳定性。
解：稳定性分析：系统不稳定。
根轨迹如习题4-4答案图所示。
-10-505-8-6-4-22468Root LocusReal AxisI m a g i n a r y A x i s习题4-4答案图4-5 设控制系统的开环传递函数为)164)(1()1()()(2*++-+=s s s s s K s H s G ，试绘制系统根轨迹图，并确定使系统稳定的开环增益范围。
解：渐近线：=60°，180°；=-2/3；复数极点出射角55°；分离会合点和；与虚轴交点和；使系统稳定的开环增益为 ＜K ＜ (即 ＜K *＜。
自动控制原理课后习题第四章答案
G(s)H(s)=
Kr s(s+1)(s+3)
σ根 s=3-K+ω轨r4-3-迹+p4s132ω1-3的+~3ω32分p===s2-离+001K点.p-3r=3：KK~0θrr===012+ωω6021,o=3,=0+±1810.7o
8
jω
1.7
s1
A(s)B'系(s)统=根A'轨(s迹)B(s)
s3 p3
s=sK2±r没=j24有.8.6位×于2K.r根6=×4轨80.迹6=上7，. 舍去。
2
第四章习题课 (4-9)
4-9 已知系统的开环传递函数，(1) 试绘制出
根轨迹图。
G(s)H与(s虚)=轴s交(0点.01s+1K)(系0.统02根s+轨1迹)
jω
70.7
解: GKK(rr=s=)10H5(0s)=ωω2s1,(3=s=0+±17000K.7)r(s+50)
s1
A(s)B'(系s)统=A根'(轨s)迹B(s)
s3 p3
p2
p1
-4
-2
0
((24))ζ阻=尼03.振5s2荡+1响2应s+s的81==K-r0值0.7范+围j1.2
s=s-s10=3=.-80-56.8+50K.7r×=20=s.82-=54×-.631..1155×3.15=3.1
-2.8
450
1080
360
0σ
0σ
第四章习题课 (4-2)
4-2 已知开环传递函数，试用解析法绘制出系
统的根轨迹，并判断点(-2+j0),(0+j1),
自动控制原理第4章 习题及解析
4-2 已知单位负反馈系统的开环传递函数如下，试绘制出相应的闭环根轨迹图。
1）*()(1)(3)K G s s s s =++ 2）*(5)()(2)(3)K s G s s s s +=++解：（1）()(1)(3)*K G s s s s =++① 由G (s )知，n =3，m =0，p 1=0，p 2=–1，p 3=–3。
② 实轴上[0，–1]、[–3，∞]是根轨迹段。
③ 有n –m =3条渐近线,交点3403310-=---=a σ， 夹角︒±=60a ϕ、180°。
④ 实轴上[0、–1]根轨迹段上有分离点d 。
由0)(1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ds s G ds d 求d ：03832=++s d 解得 45.0-=d （分离点） 3742j d --=（舍去） ⑤求根轨迹与虚轴交点，令jw s =代入0)(=s D ，得⎪⎩⎪⎨⎧=+-==+-=03)(Im 04)(Re 312ωωωωωj j j D K j D 解得3±=o ω 20412*K ω==临根轨迹图见图4-2（1）（2） *(5)()(2)(3)K s G s s s s +=++①由 G (s )知， n =3，m =1，p 1=0，p 2=–2，p 3=–3，p 4=–5②实轴上[-2、0]，[-5、-3]是根轨迹段 ③有n-m=2条渐近线：0a σ=，夹角ϕa =±90°④实轴上 [-2、0] 根轨迹段上有分离点d ， 由1[]0()s dd ds G s ==求d ：3232556300s s s +++=，试凑得 s 1=-0.88 是其解，且是分离点。
根轨迹图见图4-2（2）。
4-3 已知单位负反馈系统的开环传递函数如下，试绘制出相应的闭环根轨迹图。
1）*(2)()(12)(12)K s G s s j s j +=+++- 2）*2()(4)(420)K G s s s s s =+++解：（1）*(2)()(12)(12)K s G s s j s j +=+++-根轨迹图见图4-3（1）（2）*2()(4)(420)K G s s s s s =+++① n =4，m =0，p 1=0，p 2=–4，p 3、4=–2±j 4② p 1、p 2连线中点正好是p 3、p 4实部，开环极点分布对称于垂线s=–2，根轨迹也将对称于该垂线。
自动控制原理第二版第四章课后答案
自动控制原理第二版第四章课后答案【篇一：《自动控制原理》第四章习题答案】4-1 系统的开环传递函数为g(s)h(s)?k*(s?1)(s?2)(s?4) 试证明点s1??1?j3在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益k*和开环增益k。
解若点s1在根轨迹上，则点s1应满足相角条件?g(s)h(s)??(2k?1)?，如图解4-1所示。
对于s1= -1+j3，由相角条件?g(s1)h(s1)?0??(?1?j3?1)??(?1?j3?2)??(?1?j3?4)? 0??2??3??6???满足相角条件，因此s1= -1+j3在根轨迹上。
将s1代入幅值条件： g(s1)h（s1?k*?1?1?j3?1??1?j3?2??1?j3?4k8*解出： k=12 ，k=*?324-2 已知开环零、极点如图4-2 所示，试绘制相应的根轨迹。
解根轨如图解4-2所示：4-3 单位反馈系统的开环传递函数如下，试概略绘出系统根轨迹。
⑴ g(s)?ks(0.2s?1)(0.5s?1)k(s?5)s(s?2)(s?3)* ⑵ g(s)?⑶ g(s)?k(s?1)s(2s?1)解⑴ g(s)?ks(0.2s?1)(0.5s?1)=10ks(s?5)(s?2)系统有三个开环极点：p1?0,p2= -2,p3 = -5①实轴上的根轨迹：???,?5?, ??2,0?0?2?57?????a??33②渐近线： ????(2k?1)????,?a?33?③分离点：1d?1d?5?1d?2?0解之得：d1??0.88，d2?3.7863(舍去)。
④与虚轴的交点：特征方程为 d(s)=s3?7s2?10s?10k?0?re[d(j?)]??7?2?10k?0令 ? 3im[d(j?)]????10??0?解得?????k?7。
根轨迹如图解4-3(a)所j）与虚轴的交点（0，?示。
⑵根轨迹绘制如下：①实轴上的根轨迹：??5,?3?, ??2,0?0?2?3?(?5)????0a??2②渐近线： ????(2k?1)????a?22?③分离点： 1d?1d?2?1d?3?1d?5用试探法可得 d??0.886。
自动控制原理第4章课后习题答案
第4章4-1 已知系统的开环传函如下,试绘制系统参数K 从0→∞时系统的根轨迹图,对特殊点要加以简单说明. (1) ()()(4)(1)(2)K s G s H s s s s +=++ (2) ()()2(4)(420)KG s H s s s s s =+++ 解:(1)有3个开环几点,1个开环零点,固有3条根轨迹分别始于0,-1,-2; 1条根轨迹终于-4,另外2条根轨迹趋于无穷远处 实轴上的根轨迹分布在-1~0之间及-4~-2之间 渐近线条数为n-m=3-1=2 渐进线的交点12041312σ++-=-=-渐近线的倾角90θ︒=±分离点22[()()]02152480d G s H s s s s ds =⇒+++= 解得: 12s =- 其它舍去求与虚轴交点:令s j ω=代入特征方程(1)(2)(4)0s s s K s ++++=中得(1)(2)(4)0j j j K j ωωωω++++= 令上式两边实部和虚部分别相等,有226430(2)0 2.83K K K ωωωω⎧=⎧-=⎪⎪⇒⎨⎨+-==±=±⎪⎪⎩⎩绘制系统根轨迹,如图4-1(1)(2)有4个开环几点,无开环零点,有4条根轨迹,分别起始于0,-4, 24j -±终于无穷远处 实轴上的根轨迹分布在-4~0之间; 渐近线条数为n-m=4-0=4 渐进线的交点04242424j j σ++++-=-=-渐近线的倾角45,135θ︒︒=±±分离点22[()()]042472800d G s H s s s s ds=⇒+++=解得: 2s =-由()()1G s H s =得21224(2)4220K=--+--⨯+, K=64绘制系统根轨迹,如图4-1(2)图4-1(1)图4-1(2)4-2 已知系统的开环传函为(2)(3)()()(1)K s s G s H s s s ++=+(1) 试绘制系统参数K 从0→∞时系统的根轨迹图,求取分离点和会和点 (2) 试证明系统的轨迹为圆的一部分解:有2个开环极点,2个开环零点,有2条根轨迹,分别起始于0,-1; 终于-2,-3;实轴上的根轨迹分布在-3~-2之间及-1~0之间分离会和点2221,2,321[()()]02401,12123(2)()()()[()()]0[2(6)4]0203602,18()()[()()]00020,d G s H s s ds KK K s G s H s s s a d G s H s s s a s a dsa a a a s KG s H s sd G s H s s ds a s s =⇒+===-+⨯-++=+=⇒+++=⇒-+≥⇒≤≥===⇒=≤≤=23s ==解得:当10.634s =-时 由()()1G s H s =得(0.6342)(0.6343)10.070.6340.6341K K -+-+=⇒=-⨯-+当2 2.366s =-时 同理 K=13.9 绘制系统根轨迹 如图4-2证明:如果用s j αβ=+代入特征方程1()()0G s H s +=中,并经整理可得到以下方程式:2233()24αβ++=(注:实部虚部相等后消K 可得)显然,这是个圆的方程式,其圆心坐标为3(,0)2-,半径为2图4-24-3 已知系统的开环传函()()(1)(3)KG s H s s s =++(1) 试绘制系统参数K 从0→∞时系统的根轨迹图(2) 为了使系统的阶跃响应呈现衰减振荡形式,试确定K 的范围 解:有2个开环极点,无开环零点,有2条根轨迹,分别起始于-1,-3; 终于无穷远处;实轴上的根轨迹分布-3~-1之间; 渐近线条数2; 渐近线的交点13022σ+-=-=- 渐近线的倾角90θ︒=± 分离会和点[()()]0240d G s H s s ds=⇒+=解:S=-2由()()1G s H s =得1,12123KK ==-+⨯-+绘制系统根轨迹图4-3由图知 当1<K<+∞时系统的响应呈现衰减振荡形式4-4 设负反馈控制系统的开环传函为2(2)()()()K s G s H s s s a +=+试分别确定使系统根轨迹有一个,两个和三个实数分离点的a 值,分别画出图形 解:求分离点2[()()]0[2(6)4]0d G s H s s s a s a ds=⇒+++=解得s=0,或分离点为实数2203602a a a ⇒-+≥⇒≤或18a ≥当a=18时 实数分离点只有s=0 如图4-4(1)当a>18时 实数分离点有三个,分别为1,2,3(6)0,4a s -+=如图4-4(2)当a=2时2()()K G s H s s =分离点[()()]00d G s H s s ds=⇒= 即分离点只有一个s=0 如图4-4(3) 当02a ≤≤分离点有一个s=0 如图4-4(4) 当a<0时 分离点有1230,s s s ===(舍去)如图4-4(5)综上所述：当a=18,0≤a ≤2时，系统有一个分离点 当a ＞18时，系统有三个实数分离点 当a ＜0时，系统有两个分离点a=18图4-4(1) a=2图4-4(2)图4-4(3) a=1图4-4(4)图4-4(5)4-65 已知系统的开环传递函数为3(1)(3)()()K S S G S H S S++=（1）绘制系统的根轨迹。
自动控制原理随堂练习答案
第一章绪论1.开环、闭环系统的最主要区别是（）。
A．反馈B．输入信号C．被控对象D．干扰参考答案：A2.下图所示系统属于（）。
A．恒值控制系统B．开环系统C．程序控制系统D．随动系统参考答案：D3.系统采用负反馈形式连接后，则()。
A．一定能使闭环系统稳定B．系统动态性能一定会提高C．一定能使干扰引起的误差逐渐减小，最后完全消除D．需要调整系统的结构参数，才能改善系统性能参考答案：D4.直接对对象进行操作的元件称为（）。
A．B．C．D．参考答案：A2.下图所示电路的传递函数是（）。
A．B．C．D．参考答案：A3.关于传递函数，错误的说法是（）。
A传递函数只适用于线性定常系统；B传递函数不仅取决于系统的结构参数，给定输入和扰动对传递函数也有影响；C传递函数一般是为复变量s的真分式；D闭环传递函数的极点决定了系统的稳定性。
参考答案：B4.适合应用传递函数描述的系统是（）。
A．单输入，单输出的线性定常系统B．单输入，单输出的线性时变系统C．单输入，单输出的定常系统D．非线性系统参考答案：A5.某典型环节的传递函数是，则该环节是（）。
A．积分环节B．比例环节C．微分环节D．惯性环节参考答案：A6.已知系统的单位脉冲响应函数是，则系统的传递函数是（）.A. B. C. D.参考答案：A7.梅逊公式主要用来（）。
A.判断稳定性B.计算输入误差C.求系统的传递函数D.求系统的根轨迹参考答案：C8.某系统的传递函数是，则该可看成由（）环节串联而成。
A.比例、延时B.惯性、导前C.惯性、延时D.惯性、比例参考答案：C9.在信号流图中，在支路上标明的是（）。
A.输入B.引出点C.比较点D.传递函数参考答案：D10.在信号流图中，只有（）不用节点表示。
A.输入B.输出C.比较点D.方块图单元参考答案：D11.线性系统(或元件)在初始条件为0时，输出量拉氏变换与输入量拉氏变换之比,称为该系统(或元件) 传递函数。
参考答案：√12.传递函数只适用于线性定常系统。
(完整版)自动控制原理课后习题及答案
第一章绪论1-1 试比较开环控制系统和闭环控制系统的优弊端.解答： 1 开环系统(1)长处 :构造简单，成本低，工作稳固。
用于系统输入信号及扰动作用能早先知道时，可获得满意的成效。
(2)弊端：不可以自动调理被控量的偏差。
所以系统元器件参数变化，外来未知扰动存在时，控制精度差。
2闭环系统⑴长处：不论因为扰乱或因为系统自己构造参数变化所惹起的被控量偏离给定值，都会产生控制作用去消除此偏差，所以控制精度较高。
它是一种按偏差调理的控制系统。
在实质中应用宽泛。
⑵弊端：主要弊端是被控量可能出现颠簸，严重时系统没法工作。
1-2什么叫反应？为何闭环控制系统常采纳负反应？试举例说明之。
解答：将系统输出信号引回输入端并对系统产生控制作用的控制方式叫反应。
闭环控制系统常采纳负反应。
由1-1 中的描绘的闭环系统的长处所证明。
比如，一个温度控制系统经过热电阻（或热电偶）检测出目前炉子的温度，再与温度值对比较，去控制加热系统，以达到设定值。
1-3试判断以下微分方程所描绘的系统属于何种种类（线性，非线性，定常，时变）？2 d 2 y(t)3 dy(t ) 4y(t ) 5 du (t ) 6u(t )（1）dt 2 dt dt（2） y(t ) 2 u(t)（3）t dy(t) 2 y(t) 4 du(t) u(t ) dt dtdy (t )u(t )sin t2 y(t )（4）dtd 2 y(t)y(t )dy (t ) （5）dt 2 2 y(t ) 3u(t )dt（6）dy (t ) y 2 (t) 2u(t ) dty(t ) 2u(t ) 3du (t )5 u(t) dt（7）dt解答： （1）线性定常（2）非线性定常 （3）线性时变（4）线性时变（5）非线性定常（6）非线性定常（7）线性定常1-4 如图 1-4 是水位自动控制系统的表示图， 图中 Q1，Q2 分别为进水流量和出水流量。
控制的目的是保持水位为必定的高度。
自动控制原理第四章习题
s3 (0.88) 2 0 (2) (5) s3 5.24
解：本系统有三个开环极点
p1 0, p2 2 2 j, p3 2 2 j
和一个开环零点 z1 5 由a点导出的相量相角分别为
(a p1 ) a 180 0 (a p2 ) (a 2 2 j ) 296 .60 (a p3 ) (a 2 2 j ) 63.40 (a z1 ) (a 5) 00
根轨迹在实轴上应分布于（－∞，0］ 由于实轴上－∞与－10之间存在根轨迹，故在－∞ 与－10之间存在分离点。
用重根法求分离点
D( s ) N ( s ) N ( s ) D( s ) 0
' '
本题中，N s 3 , D s 2 20 s 100 ( s 10) 2 得s1, 2 （舍去） 3 10 0 ,s （舍去） 4 30 ,s
i 1 j 1 m n
可见c点不满足相角条件，不在根轨迹上
4.8 已知系统的开环传递函数为
Gk ( s ) Kg 2 s ( s 3s 9)
试用根轨迹法确定使闭环系统稳定 的Kg取值范围
解：（1）根轨迹关于实轴对称 3 3 3 p1, 2 j , p3 0 （2）系统有三个开环极点 2 2 没有开环零点 （3）本系统中n-m=3,因此根轨迹有三条分支。起 3 3 3 0, j 点为系统的开环极点 ，终点都趋向 2 2 于无穷远。 （4）实轴上的根轨迹区间为（－∞，0］
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第四章题4-1：试绘制如下负反馈控制系统开环传递函数以K(g K )为参变量的闭环根轨迹。
(1) K(0.5s 1)G(s)H(s)s(0.1s 1)(0.2s 1)+=++(2) g 2K (s 3)G(s)H(s)s(s 2s 2)+=++(3) g 2K (s 2)G(s)H(s)(s 2s 2)+=++(4) g K (s 4)G(s)H(s)s(s 1)(s 2)(s 3)+=+++ (5) g 2K (s 2)G(s)H(s)(s 1)(s 4s 16)+=-++(1) 根轨迹方程：21(10)(5)gs s s s K +=-++ K K g 25= a) 零点与极点：21-=z ，101-=p ，52-=p ，03=pb) 根轨迹趋向：2n m -≥，则极点-5，-10之间的根轨迹向右渐进．c) 渐近线：180(12)9026.5k k n ϕσ±+⎧==±⎪⎨⎪-=-⎩ d) 分离点与会合点：令0gK s∂=∂即：010*******3=+++s s s 17.34s ⇒=-；2,3 1.5794 2.0776j s =-±(舍去)根轨迹如下图：(2) 根轨迹方程：31(1)(1)gs s s j s j K +=-+++-a) 零点与极点：31-=z ，j p +-=11，j p --=12，03=pb) 根轨迹趋向：2n m -≥，见图c) 渐近线：180(12)9020.5k k n ϕσ±+⎧==±⎪⎨⎪-=⎩ d) 与虚轴交点：特征方程：322(2)30g g s s K s K ++++=3210122320.53g gggs K s K s K s K +-当4g K =时，01222=+s 2.45s j ⇒=± e) 出射角：180(12)sc n ββα=±+-+∑∑1809013526.618.43=±--+=根轨迹如下图：(3) 根轨迹方程：21(1)(1)gs s j s j K +=-+++- a) 零点与极点：21-=z ，j p +-=11，j p --=12b) 分离点与会合点：在实轴上只有一个零点，在其右侧无根．则两个极点一个趋向负无穷，一个趋向2-，令0gK s∂=∂ 即：0242=++s s 1 3.41s ⇒=-；20.5858s =-(舍去) c) 渐近线：180k ϕ=±d) 出射角：135sc β=根轨迹如下图(以(-2，0)为圆心的圆弧)：(4) 根轨迹方程：41(1)(2)(3)gs s s s s K +=-+++ a) 零点与极点：41-=z ，11-=p ，22-=p ，33-=p ，04=pb) 根轨迹趋向：2n m -≥，见图c) 渐近线：60,1800.67k k ϕσ⎧=±±⎪⎨-=-⎪⎩d) 分离点与会合点：令0gK s∂=∂ 即：0248883283234=++++s s s s10.4108s ⇒=-(分离点)；2 2.686s =-(分离点)；3 4.6911s =-(会合点)；4 1.5455s =-(舍去) e) 与虚轴的交点：特征方程：432611(6)40g g s s s K s K +++++=4322101114661104636090604gg ggg gg gs K s K s K K K K s K s K +----令2360900g g K K --=，解得1 3.84g K =，293.84g K =-(舍去)当 3.84g K =时，29.3615.360s += 1.28s j ⇒=± 根轨迹如下图：(5)1gK =- a) 零点与极点：21-=z ，11=p ，j p 3222+-=，j p 3223--=b) 根轨迹趋向：2n m -≥，见图c) 渐近线：900.5k kϕσ⎧=±⎪⎨-=-⎪⎩d) 出射角：49.1sc β=± 根轨迹如下图：题4-2：试绘制如下负反馈控制系统开环传递函数以a 为参变量的根轨迹，并讨论a 的改变对系统性能产生的影响，指出系统稳定的a 值范围。
20.25(s a)G(s)H(s)s (s 1)+=+由特征方程321()()0.250.250G s H s s s s a +=+++=得到广义根轨迹方程：2111(1)0.250.25g s s s a K =-=-++ a) 零点与极点：01=p ；5.03,2-=pb) 根轨迹趋向：2n m -≥，见图c) 渐近线：60,1800.33k k ϕσ⎧=±±⎪⎨-=-⎪⎩d) 分离点与会合点：令0g Ks∂=∂即2320.250s s ++=10.17s ⇒=-(分离点)，20.5s =-(舍去) e) 与虚轴交点：025.025.023=+++a s s s由劳斯判据可以得出，当1=a ，j s 5.02,1±=系统临界稳定，所以当)1,0(∈a 系统稳定．a 的改变会影响闭环主导极点的ξ、n ω；a 越大[在)1,0(之间]，ξ越小，超调量越大，系统震荡越剧烈；同时n ω越大，闭环主导极点距离虚轴越近，调节时间越长。
根轨迹如下图：题4-3：试绘制题3-3所示系统以τ为参变量的根轨迹，并讨论τ逐渐增大时的效应。
系统特征方程：2(82)80s s τ+++=⇒根轨迹方程：211288gs s s K τ=-=-++ 零点与极点：01=z ，1,21 2.65p j =-±分离点与会合点：令0gK s∂=∂1 2.828s ⇒=-(会合点)；2 2.828s =(舍去) 出射角：200.7sc β=±当τ逐渐增大时，首先系统由欠阻尼状态(01ξ<<，系统有两个共轭复数闭环极点)过渡到临界阻尼状态(1ξ=，此时根轨迹到达会合点，系统有两个相等的负实数闭环极点)，这期间n ω不变，系统的性能是由这两个共轭复数闭环极点或这两个相等的负实数闭环极点共同决定；随着τ继续增大，系统变为过阻尼状态(1ξ>)，此时系统有两个不相等的负实数闭环极点，其中一个负实数闭环极点沿着负实轴向左趋向于-∞，另一个负实数闭环极点沿着负实轴向右趋向于原点(系统开环零点)，当τ足够大时，原二阶系统可近似为一个由第二个闭环极点(即沿着负实轴向右趋向于原点的负实数闭环极点)所描述的一阶系统，此时原系统的性能主要由这个近似的一阶系统决定。
根轨迹如下图(以原点为圆心的圆弧)：题4-4：某负反馈控制系统的开环传递函数具有如下的形式g 2K (s 2)G(s)H(s)s(s 3s 4.5)+=++试判断点(-1,j2)、(-1,j3)是否在根轨迹上？如果有不在根轨迹上的点，试计算该点满足相角条件尚需的差额。
根轨迹方程：221(3 4.5)gs s s s K +=-++零点与极点：21-=z ，j p 5.15.12,1±-=，03=p利用辐角条件：点(-1，j2) 在根轨迹上：123arctan 245arctan7(180arctan 2)180αβββ---=----=- 符合幅角条件．点(-1，j3) 不在根轨迹上：123arctan3arctan3arctan9(180arctan3)192.1αβββ---=----=-不符合幅角条件．补偿方法：添加一对开环零极点，所偿角为12.1 ．题已知负反馈控制系统的开环传递函数分别为(1) g2K G(s)H(s)s(s 2s 10)=++(2) g2K G(s)H(s)(s 1)(s 3s 10)=-++试绘制它们的根轨迹并确定使系统稳定的g K 值范围。
(1) 根轨迹方程：211(210)gs s s K =-++ 零点与极点：j p 312,1±-=，03=p渐近线：60,1800.67k kϕσ⎧=±±⎪⎨-=-⎪⎩出射角：18.4sc β= 与虚轴交点：特征方程：322100g s s s K +++=32101102100.5gggs s K s K s K -当20g K =时，22200s +=1,2 3.16s j ⇒=±所以020g K <<；当0g K =系统的开环极点等于系统的闭环极点． 根轨迹如下图：(2) 根轨迹方程：211(1)(310)gs s s K =--++ 零点与极点：1,2 1.5 2.78p j =-±，13=p渐近线：60,1800.67k kϕσ⎧=±±⎪⎨-=-⎪⎩出射角：42sc β= 与虚轴交点：特征方程：3227100g s s s K +++-=321017210120.510g gg s s K s K s K ---当24g K =时，22140s +=1,2 2.65s j ⇒=± 劳斯表的0s 行为正10g K ⇒>，即1024g K << 根轨迹如下图：题4-6：已知负反馈控制系统的开环传递函数为g K (s 2)G(s)H(s)s(s 1)(s 3)+=++试绘制以g K 为参变量的根轨迹，在根轨迹上确定具有二阶阻尼比为0.707ζ=的点，并回答：(1) 所确定的点能否充当闭环主导极点？ (2) 由该点确定的二阶响应性能%σ、s t 是多少？ (3) 该点的g K 和开环放大系数K 是多少？ (4) 稳态速度误差系数是多少？(5) 系统指标比该点的二阶指标大还是小？如果要求系统有该点二阶指标的超调量，能否通过改变阻尼线而获得？是增大阻尼比还是减小它？(1) 根轨迹方程：21(1)(3)gs s s s K +=-++ 零点与极点：21-=z , 01=p , 12-=p , 33-=p渐近线：901k kϕσ⎧=±⎪⎨-=-⎪⎩分离点与会合点：0gK s∂=∂0.534s ⇒=-(分离点) 作707.0=ξ的阻尼线交根轨迹于10.5760.576s j =-+，20.5760.576s j =--由于4321-=++s s s ，则3 2.848s =-，31Re() 2.8483Re()0.576s s μ-==>-． 这说明所确定的点能充当闭环主导极点． 实际系统根轨如下：(2) 根据闭环主导极点：||0.81n s ω===%33.4%100%100%22707.01707.01=⨯=⨯=----πξξπσe e35.24s nt ξω==(3) 该点对应的根轨迹放大倍数和开环放大倍数：|||1||3|0.943|2|g s s s K s ⋅+⋅+==+(计算这个值，可代入该阻尼比的根轨迹上任意一个根，为了计算方便代3 2.848s =-)；20.633g K K ==(4) 稳态速度误差系数：00(2)2lim ()()lim 0.63(1)(3)3g v g s s K s K sG s H s s K s s s →→+====++(5) 系统实际指标比该点的二阶指标：超调量小(可参考教材131页)，调节时间长(对于高阶系统，超调量小未必调节时间就小)；如果要求系统有该点二阶指标的超调量，则能够通过改变阻尼线而获得；由于系统自身受非主导极点的影响，在根轨迹放大倍数不变的情况下，主导极点的根轨迹超调量比实际系统的超调量稍大一些。