【数学】山东省肥城市2019-2020学年高二下学期期中考试试题
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2. 现有高一学生 5 名，高二学生 4 名，高三学生 3 名.从中任选1人参加市团委组织的演讲
比赛,有多少种不同的选法
A. 60
B. 45
C. 30
D.12
3. 下列求导运算正确的是
A. x 0
B. c2 2c （ c 是常数）
C. (log3
z1 z2 3i
3 3
………8 分
z
1 2 3
12
10 . 3
………………………10 分
方案二：选条件②,
因为 z1 1 i, z2 a 2i,a R ,所以 z1z2 1 i a 2i a 2 a 2 i ,…2 分
在复平面上表示 z1z2 的点为 a 2, a 2 ,
21.（12 分）
已知函数 f (x) ln x ax2(a R) ． （1）若 g(x) f (x) (2a 1)x ，讨论 g(x) 的单调性；
（2）当 a 1 时，求证： f (x)n f (xn ) 2n 2(n N)
2
22.（12 分）
已知函数 f (x) a ln x ,其中 a 0 , e 为自然对数的底数.
整理列方程组 4 a b 4 0
3
3
3a b 2 0
………………………………………………4 分
解得 a 2,b 4 . ………………………………………………………………………6 分
（2）由（1）知 f (x) 6x2 2x 4 2(3x 2（) x 1) 当 x 变化时， f (x), f (x) 的变化情况如下表：
A. a0 = 1 ；
B. a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 2 ；
C. a0 - a1 + a2 - a3 + a4 - a5 = 35 ； D. a0 - a1 + a2 - a3 + a4 - a5 = - 1 .
12. 已知函数 f x x cos x sin x ，下列结论中正确的是
A.函数 f x 在 x 时，取得极小值 1；
2
B.对于 x 0, ，f x 0 恒成立；
C.若 0
x1
x2
，则
x1 x2
sin x1 sin x2
；
D.若
a
sin x
x
b
，对于
x
0,
2
恒成立，则
a
的最大值为
2
，
b
的最小值为1.
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
…………10 分
=ex 2sinx 2x 2ex x sinx .
………………12 分
19．（12 分）
解:（1）由 f (x) ax3 x2 bx ,所以 f (x) 3ax2 2x b .
……………1 分
由题意可知
f
2 3
0
，
f
(1)
0
,
………………………………………………2 分
x)
1 x ln 3
D. (2x ) 2x log2 e
4. 设 i 为虚数单位，则二项式 x+2i5 的展开式中含 x3 的项为
A. 40x3
B. 40x3
C. 40ix3
D. 40ix3
5. 已知函数 f x ax3 x 1的图象在点 1, f 1 处的切线过点 2, 7 ，则 a
得 3 分，有选错的得 0 分.
题号
9
10
11
12
答案
BCD
AC
ACD
BCD
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13. 2 14.2, 0, 2 15. 40 16.1, 0,1
四、解答题:本大题共 6 个大题，共 70 分.
17. （10 分）
解：方案一：选条件①，
因为 z1
（1）求 a,b 的值;
（2）求函数
f
(x)
的单调区间，并指出
f
2 3
与f
(1)
是极大值还是极小值.
20.（12 分）
已知关于
x
的二项式
x
a x2
n
的展开式的二项式系数之和为1024
，常数项为180
.
（1）求 a 和 n 的值；
（2）求展开式中的无理项.(不需求项的表达式,指出无理项的序号即可)
分
72 2 7 65 72 70 2 . 3 21
……………………………………………………6 分
（2） y ex cosx sinx 2x 2 ex cosx sinx 2x 2 ………8 分
=ex cosx sinx 2x 2 ex sinx cosx 2
x
x
………………2 分
若 a ≥ 0 ，则当 x (0, ) 时， g(x) 0 ，故 f (x) 在 (0, ) 单调递增.
若 a 0 ，则当 x (0, 1 ) 时， g(x) 0 ；当 x ( 1 , ) 时， g(x) 0 ．
2a
2a
故 g(x) 在 (0, 1 ) 单调递增，在 ( 1 , ) 单调递减.
…………10 分
此时对应的项分别是第 2 项、第 4 项、第 6 项、第 8 项、第 10 项,
即该二项展开式中 T2 ,T4 ,T6 ,T8 ,T10 是无理项.
21．（12 分）
…………12 分
解：（1） g(x) ln x ax 2 (2a 1)x 的定义域为 (0, ) ，
g(x) 1 2ax 2a 1 (x 1)(2ax 1) ．
x
,
2 3
2 3
2 3
,1
1
(1, )
f (x)
＋
0
－
0
＋
f (x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
……………………8 分
所以函数
f
(x)
的单调递增区间是
,
2 3
和
(1,
)
，单调递减区间是
(
2 3
,1)
…10
分
当
x
2 3
时,
f
(x)
有极大值
f
2 3
44 27
；
当 x 1 时, f (x) 有极小值 f (1) 3 . ………………………12 分
若函数 f x 在区间 1, 内不单调，则 k 的取值范围是 ▲ .
（本题第一空 3 分，第二空 2 分）
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （10 分）
在①
z1 ai
0 ，②复平面上表示
z1z2
的点在直线
x
y
2
0
上，③
z2 +z2
2 .
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，求出满足条件的复数 z ，以及 z .
y
2n +1
展开式的
二项式系数的最大值为 b ，若13a = 7b ，则 n =
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
8. 函数 f (x) 在定义域 R 内可导，若 f (x) f x 2 ，且当 x ,1 时，
x 1
f x 0，设 a
f
0,b
f
1 2
,
c
f
3，则
A. a < b < c B. c < b < a
C. c < a < b D. b < c < a
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分.
10. 下面关于复数的四个命题中,结论正确的是
A.若复数 z R ,则 z R ；
B.若复数 z 满足 z2 R ,则 z R ；
C.若复数 z 满足 1 R ,则 z R ； z
D.若复数 z1, z2 满足 z1z2 R ,则 z1 z2 .
11. 若 1 2x 5 a0 a1x a2 x2 a3x3 a4 x4 a5 x5 ，则下列结论中正确的是
山东省肥城市 2019-2020 学年
高二下学期期中考试试题
本试卷共 22 题，满分 150 分，共 4 页．考试用时 120 分钟．
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上．
2．考生作答时，将答案答在答题纸上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内
作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．
z
1 2 3
12
10 . 3
………………………………10 分
方案三：选条件③,
因为 z2 a 2i ,所以 z2 a 2i ,
由 z2 +z2 2a 2 ,得 a 1 , ………………………………4 分
所以 z2 1 2i ,
1 1 1 z1 z2 , z z1 z2 z1z2
2a
2a
………………5 分
（2）因为
f
(x)
x
1 x
，所以
从而 z z1z2 3 i 1 3i 1 i ,
z1 z2 3i
3 3
………………8 分
z
1 2 3
12
10 . 3
………………………10 分
18.（12 分）
解 ：（ 1 ）
2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题(解析版)
2019-2020学年高二第二学期期中数学试卷一、选择题（共10小题）.1．（x +1）n 的展开式共有11项，则n 等于（ ） A ．9B ．10C ．11D ．82．已知函数f （x ）＝sin x ，其导函数为f '（x ），则f '（π3）＝（ ）A ．−12B ．32C ．12D ．−323．从0，1，2，3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为（ ） A ．13B ．49C ．12D ．594．在（x +2）5的展开式中，二项式系数的最大值为（ ） A ．5B ．15C ．10D ．205．已知正态密度曲线的函数关系式是f （x ）=2πσe (x−μ)22σ2，设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f （x ）的图象，且f （x ）=18πe (x−10)28（x ∈R ），则这个正态总体的平均数μ与标准差σ分别是（ ） A ．10与8 B ．10与2C ．8与10D ．2与106．设n ∈N*，则Cn01n 80+Cn11n ﹣181+C n21n ﹣282+C n31n ﹣383+……+C nn−1118n ﹣1+Cnn 108n 除以9的余数为（ ）A ．0B ．8C ．7D ．27．在比赛中，如果运动员甲胜运动员乙的概率是23，那么在五次比赛中，运动员甲恰有三次获胜的概率是（ ）A．40243B．80243C．110243D．202438．设（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+a3x3+……+a n x n，若a0+a1+a2+a3+……+a n＝64，则展开式中系数最大的项是（）A．15x2B．21x3C．20x3D．30x39．某旅游公司为了推出新的旅游产品项目，派出五名工作人员前往重庆的三个网红景点一“洪崖洞夜景、轻轨穿楼、长江索道”进行团队游的可行性调研．若每名工作人员只去一个景点，每个景点至少有一名工作人员前往，其中工作员甲、乙需要到同一景点调研，则不同的人员分配方案种数为（）A．18 B．36 C．54 D．7210．设函数f(x)=ax+xx−1(x＞1)，若a是从1，2，3三数中任取一个，b是从2，3，4，5四数中任取一个，那么f（x）＞b恒成立的概率为（）A．16B．14C．34D．56二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分）11．若随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)=13，E（X）、D（X）分别为随机变量X均值与方差，则下列结论正确的是（）A．P（X＝1）＝E（X）B．E（3X+2）＝4C．D（3X+2）＝4 D．D(X)=4912．已知函数f（x）＝xlnx，若0＜x1＜x2，则下列结论正确的是（）A．x2f（x1）＜x1f（x2）B．x1+f（x1）＜x2+f（x2）C ．f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0D ．当lnx ＞﹣1时，x 1f （x 1）+x 2f （x 2）＞2x 2f （x 1） 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．函数在f （x ）＝﹣x +1x在[1，2]上的最大值是 ．14．随机变量ξ服从正态分布N （1，σ2），已知P （ξ＜0）＝0.3，则P （ξ＜2）＝ ．15．设（1+ax ）2020＝a 0+a 1x +a 2x 2+……+a 2019x 2019+a 2020x 2020，若a 1+2a 2+3a 3+…+2019a 2019+2020a 2020＝2020a ，则实数a ＝ ．16．在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace 年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的搜寻方案有 种．（以数字作答）四、解答题（本大题共6小题，共计70分） 17．有4名学生和2位老师站成一排合影． （1）若2位老师相邻，则排法种数为多少？ （2）若2位老师不相邻，则排法种数为多少？18．甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲、乙做对该题的概率都为13，丙做对该题的概率为14，且三位学生能否做对相互独立，设随机变量X 表示这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：X0123P13a b136（1）求a，b的值；（2）求X的数学期望．19．在（x+2）10的展开式中，求：（1）含x8项的系数；（2）如果第3r项和第r+2项的二项式系数相等，求r的值，20．在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．（1）顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的概率分布．（2）顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值Y元，求Y的概率分布及期望．21．2018年10月28日，重庆公交车坠江事件震惊全国，也引发了广大群众的思考﹣﹣如何做一个文明的乘客．全国各地大部分社区组织居民学习了文明乘车规范．A社区委员会针对居民的学习结果进行了相关的问卷调查，并将得到的分数整理成如图所示的统计图．（Ⅰ）求得分在[70，80）上的频率；（Ⅱ）求A社区居民问卷调査的平均得分的估计值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）（Ⅲ）由于部分居民认为此项学习不具有必要性，A社区委员会对社区居民的学习态度作调查，所得结果统计如下：（表中数据单位：人）认为此项学习十分必要认为此项学习不必要50岁以上400600 50岁及50岁以下800200根据上述数据，计算是否有99.9%的把握认为居民的学习态度与年龄相关．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.1000.0500.0100.001 k0 2.706 3.841 6.63510.82822．已知函数f（x）＝（ax2+x+a）e﹣x（a∈R）．（Ⅰ）当a＝0时，求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若a≥0，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若对任意的a≤0，f（x）≤bln（x+1）在x∈[0，+∞）上恒成立，求实数b的取值范围．参考答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（x+1）n的展开式共有11项，则n等于（）A．9 B．10 C．11 D．8【分析】直接利用二项式定理的性质写出结果即可．解：因为（x+1）n的展开式共有11项，则n+1＝11⇒n＝10；故选：B．【点评】本题考查二项式定理的简单性质的应用，基本知识的考查．2．已知函数f（x）＝sin x，其导函数为f'（x），则f'（π3）＝（）A．−12B．32C．12D．−32【分析】可以求出导函数f′（x）＝cos x，从而可得出f′(π3)的值．解：∵f（x）＝sin x，∴f′（x）＝cos x，∴f′(π3)=cosπ3=12．故选：C．【点评】本题考查了基本初等函数的求导公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．3．从0，1，2，3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为（）A．13B．49C．12D．59【分析】基本事件总数n＝3×3＝9，这个两位数是偶数包含的基本事件个数m＝1×3+1×2＝5．由此能求出这个两位数是偶数的概率．解：从0，1，2，3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，基本事件总数n＝3×3＝9，这个两位数是偶数包含的基本事件个数m＝1×3+1×2＝5．∴这个两位数是偶数的概率为p=mn=59．故选：D．【点评】本题主要考查概率的求法，考查古典概型计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．4．在（x+2）5的展开式中，二项式系数的最大值为（）A．5 B．15 C．10 D．20【分析】展开式中共有6项，根据展开式中间两项的二项式系数最大，故第3，4项的二项式系数最大，问题得以解决．解：展开式中共有6项，根据展开式中间两项的二项式系数最大故第3，4项的二项式系数最大，故C52＝C53＝10，故选：C．【点评】本题主要考查二项式系数的性质及二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具，属于基础题． 5．已知正态密度曲线的函数关系式是f （x ）=2πσe (x−μ)22σ2，设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f （x ）的图象，且f （x ）=8πe (x−10)28（x ∈R ），则这个正态总体的平均数μ与标准差σ分别是（ ） A ．10与8B ．10与2C ．8与10D ．2与10【分析】把已知函数解析式转化为正态密度曲线的函数关系式求解．解：∵f （x ）=18πe (x−10)28=22π(x−10)22×22，∴平均数μ＝10，标准差σ＝2． 故选：B ．【点评】本题考查正态密度曲线的函数，是基础题． 6．设n ∈N*，则Cn 01n 80+C n 11n ﹣181+C n 21n ﹣282+C n 31n ﹣383+……+C nn−1118n ﹣1+Cnn 108n 除以9的余数为（ ）A ．0B ．8C ．7D ．2【分析】直接利用二项式定理把条件转化即可求解结论． 解：因为Cn 01n 80+C n 11n ﹣181+C n 21n ﹣282+C n 31n ﹣383+……+C nn−1118n ﹣1+Cnn 108n ＝（1+8）n ＝9n ； 故除以9的余数为0； 故选：A ．【点评】本题考查余数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意组合数性质及二项式定理的合理运用．7．在比赛中，如果运动员甲胜运动员乙的概率是23，那么在五次比赛中，运动员甲恰有三次获胜的概率是（ ） A ．40243B ．80243C ．110243D ．20243【分析】由条件利用n 次独立重复实验中恰好发生k 次的概率计算公式，计算求得结果． 解：根据每次比赛中，甲胜运动员乙的概率是23，故在五次比赛中，运动员甲恰有三次获胜的概率是C 53•(23)3•(1−23)2=80243， 故选：B ．【点评】本题主要考查n 次独立重复实验中恰好发生k 次的概率计算公式，属于基础题． 8．设（1+x ）n ＝a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+……+a n x n ，若a 0+a 1+a 2+a 3+……+a n ＝64，则展开式中系数最大的项是（ ） A ．15x 2B ．21x 3C ．20x 3D ．30x 3【分析】由题意可得 a 0+a 1+a 2+…+a n ＝（1+1）n ＝64，得 n ＝6，由此求得展开式中系数最大的项．解：因为 a 0+a 1+a 2+…+a n ＝（1+1）n ＝64，得 n ＝6， 故展开式中系数最大的项是第四项；即∁63x 3＝20x 3；故选：C ．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，属于中档题． 9．某旅游公司为了推出新的旅游产品项目，派出五名工作人员前往重庆的三个网红景点一“洪崖洞夜景、轻轨穿楼、长江索道”进行团队游的可行性调研．若每名工作人员只去一个景点，每个景点至少有一名工作人员前往，其中工作员甲、乙需要到同一景点调研，则不同的人员分配方案种数为（ ） A ．18B ．36C ．54D ．72【分析】根据分步计数原理，把2元素组合一个复合元素，再进行组合和分配，问题得以解决．解：由于工作员甲、乙需要到同一景点调研，把A，B看作一个复合元素，则本题等价于4个元素分配到3个位置，每一个位置至少一个，故有C42A33＝36种，故选：B．【点评】本题考查了排列组合混合问题，先选后排是最基本的思想．10．设函数f(x)=ax+xx−1(x＞1)，若a是从1，2，3三数中任取一个，b是从2，3，4，5四数中任取一个，那么f（x）＞b恒成立的概率为（）A．16B．14C．34D．56【分析】先把f（x）的解析式变形，用分离常数法，然后用均值不等式求出最小值，本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件是12个，满足条件的事件是10个，列举出结果．解：x＞1，a＞0，f（x）＝ax+x−1+1x−1=ax+1x−1+1＝a（x﹣1）+1x−1+1+a≥2√a+1+a＝（√a+1）2，当且仅当x=√1a+1＞1时，取“＝”，∴f（x）min＝（√a+1）2，于是f（x）＞b恒成立就转化为（√a+1）2＞b成立．设事件A：“f（x）＞b恒成立”，则基本事件总数为12个，即（1，2），（1，3），（1，4），（1，5）；（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）；事件A包含事件：（1，2），（1，3）；（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）共10个由古典概型得P（A）=1012=56，故选：D．【点评】在使用古典概型的概率公式时，应该注意：（1）要判断该概率模型是不是古典概型；（2）要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数；当解析式中含有分式，且分子分母是齐次的，注意运用分离常数法来进行式子的变形，在使用均值不等式应注意一定，二正，三相等．二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分）11．若随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)=13，E（X）、D（X）分别为随机变量X均值与方差，则下列结论正确的是（）A．P（X＝1）＝E（X）B．E（3X+2）＝4C．D（3X+2）＝4 D．D(X)=49【分析】推丑陋同P（X＝1）=23从而E（X）=0×13+1×23=23，D（X）＝（0−23）2×13+（1−23）2×23=29，由此能过河卒子同结果．解：随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)=13，∴P（X＝1）=23，E （X ）=0×13+1×23=23，D （X ）＝（0−23）2×13+（1−23）2×23=29，在A 中，P （X ＝1）＝E （X ），故A 正确；在B 中，E （3X +2）＝3E （X ）+2＝3×23+2=4，故B 正确；在C 中，D （3X +2）＝9D （X ）＝9×29=2，故C 错误； 在D 中，D （X ）=29，故D 错误． 故选：AB ．【点评】本题考查命题真假的判断，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12．已知函数f （x ）＝xlnx ，若0＜x 1＜x 2，则下列结论正确的是（ ） A ．x 2f （x 1）＜x 1f （x 2）B ．x 1+f （x 1）＜x 2+f （x 2）C ．f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0D ．当lnx ＞﹣1时，x 1f （x 1）+x 2f （x 2）＞2x 2f （x 1）【分析】根据条件分别构造不同的函数，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行判断即可． 解：A ．正确；因为令g （x ）=f(x)x=lnx ，在（0，+∞）上是增函数，∴当 0＜x 1＜x 2 时，g （x 1）＜g （x 2），∴f(x 1)x 1＜f(x 2)x 2即x 2f （x 1）＜x 1f （x 2）．B ．错误；因为令g （x ）＝f （x ）+x ＝xlnx +x ∴g ′（x ）＝lnx +2，∴x ∈（e ﹣2，+∞）时，g ′（x ）＞0，g （x ）单调递增，x ∈（0，e ﹣2）时，g ′（x ）＜0，g （x ）单调递减．∴x 1+f （x 1）与x 2+f （x 2）无法比较大小．C ．错误；因为令g （x ）＝f （x ）﹣x ＝xlnx ﹣x ，g ′（x ）＝lnx ，∴x ∈（0，1）时，g ′（x ）＜0，g （x ）在（0，1）单调递减，x ∈（1，+∞）时，g ′（x ）＞0，g （x ）在（1，+∞）单调递增，∴当0＜x 1＜x 2＜1时，g （x 1）＞g （x 2）， ∴f （x 1）﹣x 1＞f （x 2）﹣x 2， ∴f （x 1）﹣f （x 2）＞x 1﹣x 2， ∴f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0．当1＜x 1＜x 2 时，g （x 1）＜g （x 2） ∴f （x 1）﹣x 1＜f （x 2）﹣x 2， ∴f （x 1）﹣f （x 2）＜x 1﹣x 2， ∴f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0．D．正确；因为lnx＞﹣1时，f（x）单调递增，又∵A正确，∴x1•f（x1）+x2•f（x2）﹣2x2f（x1）＞x1[f（x1）﹣f（x2）]+x2[f（x2）﹣f（x1）]＝（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0．故选：AD．【点评】本题主要考查命题的真假判断，在求解中用到了利用导数判断函数的单调性，并用到了函数单调性的定义．需要学习掌握的是构造函数的办法，综合性较强，有一定的难度．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）在[1，2]上的最大值是0 ．13．函数在f（x）＝﹣x+1x【分析】先求导数，得单调性，进而得出最大值．＜0，解：因为f′（x）＝﹣1−1x2所以f（x）在[1，2]上单调递减，f（x）max＝f（1）＝﹣1+1＝0，故答案为：0．【点评】本题考查利用导数求单调性进而得出最大值．14．随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），已知P（ξ＜0）＝0.3，则P（ξ＜2）＝0.7 ．【分析】随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），得到曲线关于x＝1对称，根据曲线的对称性得到小于0的和大于2的概率是相等的，从而做出大于2的数据的概率，根据概率的性质得到结果．解：随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），∴曲线关于x＝1对称，∴P（ξ＜0）＝P（ξ＞2）＝0.3，∴P（ξ＜2）＝1﹣0.3＝0.7，故答案为：0.7【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题，这种题目可以出现在选择或填空中，是一个送分题目．15．设（1+ax）2020＝a0+a1x+a2x2+……+a2019x2019+a2020x2020，若a1+2a2+3a3+…+2019a2019+2020a2020＝2020a，则实数a＝0 ．【分析】结合所求式子与已知的式子特点，可以对原函数求导数，然后利用赋值法求解即可．解：对已知的式子两边同时求导数可得：2020a（1+ax）2019=a1+2a2x+3a3x2+⋯+2020a2020x2019，令x＝1则：2020a（1+ax）2019＝a1+2a2+3a3+…+2020a2020，又因为：a1+2a2+3a3+…+2019a2019+2020a2020＝2020a，所以（1+a）2019＝1，所以a＝0．故答案为：0．【点评】本题考查二项式定理的系数的性质、赋值法的应用．同时考查了学生的运算能力，属于基础题．16．在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的搜寻方案有 40 种．（以数字作答）【分析】根据题意，分2种情况讨论：①、Grace 不参与该项任务，需一位小孩在大本营陪同，则其余4人被均分成两组，一组去远处，一组去近处；②、Grace 参与该项任务，则从其余5人中选2人去近处，剩余3人搜寻远处，分别求出每种情况的方案数目；由分类计数原理计算可得答案． 解：根据题意，分2种情况讨论： ①、Grace 不参与该项任务，在其余5人中，任选1人在大本营陪同，有C 51＝5种情况， 剩余4人，平均分成2组，有C 42C 22A 22=3种分组方法，在将2组对应2个地点，有A 22＝2种情况，此时一共有5×3×2＝30种方案； ②、Grace 参与该项任务，在其余5人中，任选2人与Grace 一起搜寻近处投掷点的食物，有C 52＝10种情况， 而剩余3人搜寻远处投掷点的食物，有1种情况， 则此时一共有10×1＝10种方案；则一共有30+10＝40种符合题意的分配方案； 故答案为：40．【点评】本题考查排列、组合的运用，要先认真分析题意，注意2种方案参与的人数不同．四、解答题（本大题共6小题，共计70分） 17．有4名学生和2位老师站成一排合影．（1）若2位老师相邻，则排法种数为多少？（2）若2位老师不相邻，则排法种数为多少？【分析】（1）2位老师站在一起，可以采取绑定法计数，先绑定2位老师，再将2者看作一人与4名学生进行全排列；（2）2位老师互不相邻，可先排4名学生，然后把2位老师插空，最后用乘法原理计数．解：（1）先把2位老师“捆绑”看做1元素，与其余4个元素进行排列，再对2位老师进行排列，共有A22A55＝240种，（2）先让4名学生站好，有A44种排法，这时有5个“空隙”可供2位老师选取，共有A44A52＝480种．【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，解题的关键是熟练掌握计数原理及排列组合的公式，掌握一些特殊的计数技巧，如本题中绑定法，插空法．要注意每种方法与相应问题的对应．18．甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲、乙做对该题的概率都为13，丙做对该题的概率为14，且三位学生能否做对相互独立，设随机变量X表示这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：X0123P13a b136（1）求a，b的值；（2）求X的数学期望．【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出a，利用对立事件概率计算公式能求出b．（2）由离散型随机变量的分布列能求出数学期望E（X）．解：（1）∵甲、乙做对该题的概率都为13，丙做对该题的概率为14，且三位学生能否做对相互独立， ∴a =13×(1−13)×(1−14)+(1−13)×13×(1−14)+(1−13)×(1−13)×14=49， b ＝1﹣P （X ＝0）﹣P （X ＝1）﹣P （X ＝3）＝1−13−49−136=736．（2）E （X ）=0×13+1×49+2×736+3×136=1112． 【点评】本题考查概率的求法，考查离离散型随机变量的数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 19．在（x +2）10的展开式中，求： （1）含x 8项的系数；（2）如果第3r 项和第r +2项的二项式系数相等，求r 的值， 【分析】先求出展开式的通项．（1）令通项中x 的指数为8，求出k 的值即可； （2）写出该两项的二项式系数，令其相等，求出r 的值． 解：（1）二项式展开式的通项如下：T r+1=C 10r 2r x 10−r ，由已知令10﹣r ＝8， 所以r ＝2．所以含x 8项的系数为C 10222=180．（2）第3r 项与第r +2项的二项式系数相等， 则C 103r−1=C 10r+1，即3r ﹣1＝r +1或3r ﹣1+r +1＝10． 解得r ＝1或r =52（舍）．故r 的值为1．【点评】本题考查二项式展开式系数的性质，利用通项法研究特定项的问题，同时考查学生的化简运算能力．属于基础题．20．在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品． （1）顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X 的概率分布． （2）顾客乙从10张奖券中任意抽取2张， ①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值Y 元，求Y 的概率分布及期望．【分析】（1）抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，1表示中奖，0表示不中奖，则X 的取值只有0，1两种，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列．（2）①顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的2张奖券有1张中奖和2张都中奖，由此利用互斥事件概率加法公式能求出顾客乙中奖的概率．②顾客乙所抽取的2张奖券中有0张中奖，1张中奖（1张1等奖或1张2等奖）或2张都中奖（2张二等奖或2张1等奖或1张2等奖1张2等奖），Y 的可能取值为0，10，20，50，60，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量Y 的概率分布列和数学期望．解：（1）抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况， 1表示中奖，0表示不中奖，则X 的取值只有0，1两种，P （X ＝0）=C 61C 101=35，P （X ＝1）=C 41C 101=25，∴X 的分布列为：X1P3525（2）①顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的2张奖券有1张中奖和2张都中奖， ∴顾客乙中奖的概率为：P =C 41C 61+C 42C 102=23．②顾客乙所抽取的2张奖券中有0张中奖，1张中奖（1张1等奖或1张2等奖）或2张都中奖（2张二等奖或2张1等奖或1张2等奖1张2等奖）， ∴Y 的可能取值为0，10，20，50，60，P （Y ＝0）=C 62C 102=13， P （Y ＝10）=C 41C 61C 102=25，P （Y ＝20）=C 32C 102=115， P （Y ＝50）=C 11C 61C 102=215， P （Y ＝60）=C 11C 31C 102=115，∴随机变量Y 的概率分布列为：Y 010205060P1325115215115EY =0×13+10×25+20×115+50×215+60×115=16（元）．【点评】本题考查概率的求法，考查离离散型随机变量的数学期望的求法，考查互斥事件概率加法公式、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21．2018年10月28日，重庆公交车坠江事件震惊全国，也引发了广大群众的思考﹣﹣如何做一个文明的乘客．全国各地大部分社区组织居民学习了文明乘车规范．A 社区委员会针对居民的学习结果进行了相关的问卷调查，并将得到的分数整理成如图所示的统计图．（Ⅰ）求得分在[70，80）上的频率；（Ⅱ）求A社区居民问卷调査的平均得分的估计值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）（Ⅲ）由于部分居民认为此项学习不具有必要性，A社区委员会对社区居民的学习态度作调查，所得结果统计如下：（表中数据单位：人）认为此项学习十分必要认为此项学习不必要50岁以上400600 50岁及50岁以下800200根据上述数据，计算是否有99.9%的把握认为居民的学习态度与年龄相关．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.1000.0500.0100.001 k0 2.706 3.841 6.63510.828【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图计算所求的频率值；（Ⅱ）利用各组的中间值与对应的频率乘积的和，计算平均分；（Ⅲ）根据2×2列联表计算观测值，对照临界值得出结论．解：（Ⅰ）由频率分布直方图，计算得分在[70，80）上的频率为1﹣0.1﹣0.15﹣0.2﹣0.15﹣0.1＝0.3；（Ⅱ）由（Ⅰ）知各组的中间值与对应的频率如下表，中间值455565758595频率0.10.150.20.30.150.1计算问卷调査的平均得分为45×0.1+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.15+95×0.1＝70.5；（Ⅲ）根据2×2列联表，认为此项学习十分必要认为此项学习不必要合计50岁以上400600100050岁及50岁以下8002001000总计12008002000计算K2=2000×(400×200−600×800)21000×1000×1200×800≈333.333＞10.828，所以有99.9%的把握认为居民的学习态度与年龄相关．【点评】本题考查了频率分布直方图和样本数字特征的应用问题，也考查了独立性检验的应用问题，是基础题．22．已知函数f（x）＝（ax2+x+a）e﹣x（a∈一、选择题）．（Ⅰ）当a＝0时，求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若a≥0，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若对任意的a≤0，f（x）≤bln（x+1）在x∈[0，+∞）上恒成立，求实数b的取值范围．【分析】（Ⅰ）当a＝0时，f（x）＝x•e﹣x，f′（x）＝e﹣x﹣x•e﹣x＝e﹣x（1﹣x），可得f′（0）＝1，f（0）＝0，即可得出切线方程．（Ⅱ）由题意，f'（x）＝（2ax+1）e﹣x﹣（ax2+x+a）e﹣x＝﹣e﹣x[ax2+（1﹣2a）x+a ﹣1]＝﹣e﹣x（x﹣1）（ax+1﹣a）．对a分类讨论：a＝0，a＞0，即可得出．（Ⅲ）令g（a）＝e﹣x（x2+1）a+xe﹣x，a∈（﹣∞，0]，当x∈[0，+∞）时，e﹣x（x2+1）≥0，g（a）单调递增，则g(a)max=g(0)=xe−x．可得g（a）≤bln（x+1）对∀a ∈（﹣∞，0]恒成立等价于bln（x+1）≥g（a）max＝g（0），即xe﹣x≤bln（x+1），对x∈[0，+∞）恒成立，对b分类讨论，利用单调性即可得出．解：（Ⅰ）当a＝0时，f（x）＝x•e﹣x，∴f′（x）＝e﹣x﹣x•e﹣x＝e﹣x（1﹣x）……（1分）∴f′（0）＝1，f（0）＝0，∴函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝x．……（Ⅱ）由题意，f'（x）＝（2ax+1）e﹣x﹣（ax2+x+a）e﹣x＝﹣e﹣x[ax2+（1﹣2a）x+a ﹣1]＝﹣e﹣x（x﹣1）（ax+1﹣a）．……（ⅰ）当a＝0时，f'（x）＝﹣e﹣x（x﹣1），令f'（x）＞0，得x＜1；f'（x）＜0，得x＞1，所以f（x）在（﹣∞，1）单调递增，（1，+∞）单调递减；……（ⅱ）当a＞0时，1−1a＜1，令f'（x）＞0，得1−1a ＜x＜1；f'（x）＜0，得x＜1−1a或x＞1，……所以f（x）在(1−1a ，1)单调递增，在(−∞，1−1a)，（1，+∞）单调递减，………（Ⅲ）令g（a）＝e﹣x（x2+1）a+xe﹣x，a∈（﹣∞，0]，当x∈[0，+∞）时，e﹣x（x2+1）≥0，g（a）单调递增，则g(a)max=g(0)=xe−x，………………则g（a）≤bln（x+1）对∀a∈（﹣∞，0]恒成立等价于bln（x+1）≥g（a）max＝g （0），即xe﹣x≤bln（x+1），对x∈[0，+∞）恒成立．………（ⅰ）当b≤0时，∀x∈（0，+∞），bln（x+1）＜0，xe﹣x＞0，此时xe﹣x＞bln（x+1），不合题意，舍去．…………（ⅱ）当b＞0时，令h（x）＝bln（x+1）﹣xe﹣x，x∈[0，+∞），则h′(x)=bx+1−(e−x−xe−x)=bex+x2−1(x+1)e x，……其中（x+1）e x＞0，∀x∈[0，+∞），令p（x）＝be x+x2﹣1，x∈[0，+∞），则p（x）在区间[0，+∞）上单调递增，……①当b≥1时，p（x）≥p（0）＝b﹣1≥0，所以对∀x∈[0，+∞），h'（x）≥0，则h（x）在[0，+∞）上单调递增，故对任意x∈[0，+∞），h（x）≥h（0）＝0，即不等式bln（x+1）≥xe﹣x在[0，+∞）上恒成立，满足题意．…………②当0＜b＜1时，由p（0）＝b﹣1＜0，p（1）＝be＞0及p（x）在区间[0，+∞）上单调递增，所以存在唯一的x0∈（0，1）使得p（x0）＝0，且x∈（0，x0）时，p（x）＜0．即h'（x）＜0，所以h（x）在区间（0，x0）上单调递减，则x∈（0，x0）时，h（x）＜h（0）＝0，即bln（x+1）＜xe﹣x，不符合题意．……综上所述，b≥1．…………【点评】本题考查了利用利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查学生的运算推理能力，属于难题．。
2019-2020学年山东泰安肥城市高二上学期期中考试数学试题 含答案
2019—2020学年度上学期高二期中考试数 学 试 题本试卷共22题，满分150分，共6页．考试用时120分钟． 注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用5.0毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 命题:20000,10x x x ∃≤-->的否定是A ．20,10x x x ∀>--≤ B ．20000,10x x x ∃>--> C ．20000,10x x x ∃≤--≤ D ．20,10x x x ∀≤--≤2. 已知a ∈R ，则“1a >”是“11a<”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3. 设2(2)M a a =-，(1)(3)N a a =+-，则有A ．M N >B ． M N ≥C ．M N <D ．M N ≤ 4. 若,,a b c ∈R ，且a b >，则下列不等式一定成立的是A ．a c b c +≥-B ．2()0a b c -≥ C ．ac bc > D ．b bc a a c+≤+ 5.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的.“九儿问甲歌”就是其中一首:一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问小儿多少岁，各儿岁数要详推。
山东省肥城市2019-2020高二下学期期中考试数学试题(wd无答案)
山东省肥城市2019-2020高二下学期期中考试数学试题(wd无答案)一、单选题(★) 1. 若，其中是虚数单位，，则对应的点在第几象限（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(★) 2. 现有高一学生5名，高二学生4名，高三学生3名.从中任选1人参加市团委组织的演讲比赛，有多少种不同的选法（）A．60B．45C．30D．12(★) 3. 下列求导运算正确的是（）A．B．(是常数)C．D．(★) 4. 设为虚数单位，则二项式的展开式中含的项为（）A．B．C．D．(★★) 5. 已知函数的图象在点的切线过点，则的值为（）A．B．C．D．(★★) 6. 将标号为1，2，3，4的四个篮球分给三位小朋友，每位小朋友至少分到一个篮球，且标号为1，2的两个篮球不能分给同一个小朋友，则不同的分法种数为（）A．15B．20C．30D．42(★★★) 7. 设m为正整数，(x＋y) 2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y) 2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m＝ ( )A．5B．6C．7D．8(★★) 8. 函数在定义域内可导，若，且当时，，设，，，则（）A．B．C．D．二、多选题(★★) 9. 已知函数的导函数的图象如图所示，那么下列图象中不可能是函数的图象的是（）A．B．C．D．(★★) 10. 下面关于复数的四个命题中，结论正确的是（）A．若复数，则B．若复数满足，则C．若复数满足，则D．若复数，满足，则(★★) 11. 若，则下列结论中正确的是（）A．B．C．D．(★★★) 12. 已知函数，下列结论中正确的是（）A．函数在时，取得极小值B．对于，恒成立C．若，则D．若，对于恒成立，则的最大值为，的最小值为1三、填空题(★★) 13. 函数在上的最大值为______.(★★) 14. 若，则的所有取值构成的集合为 ______ . (★★) 15. 展开式中的系数为______.四、双空题(★★★) 16. 若函数在区间单调递增，则的取值范围是__；若函数在区间内不单调，则的取值范围是__．五、解答题(★★) 17. 在① ，②复平面上表示的点在直线上，③ .这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，求出满足条件的复数，以及.已知复数，，______.若，求复数，以及.(★★) 18. （1）求的值；（2）求函数的导函数.(★★) 19. 已知函数在与时都取得极值.（1）求，的值；（2）求函数的单调区间，并指出与是极大值还是极小值.(★★) 20. 已知关于的二项式的展开式的二项式系数之和为1024，常数项为180.（1）求和的值；（2）求展开式中的无理项.(不需求项的表达式，指出无理项的序号即可)(★★★) 21. 已知函数.（1）若，讨论的单调性；（2）当时，求证：.(★★★) 22. 已知函数，其中，为自然对数的底数.（1）当时，求证：；（2）若在区间上恒成立，求实数的取值范围.。
山东省泰安市肥城市高二下学期期中数学试题(解析版)
山东省泰安市肥城市高二下学期期中数学试题一、单选题1．在复平面内，复数(1i)i -对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A【解析】试题分析：()11i i i -=+，在复平面内对应的点为()1,1，位于第一象限．故A 正确．【考点】复数的运算． 2．若函数()21f x x x=-，则()1f '的值是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】先求出导函数()f x '，再计算导数值． 【详解】由题意21()2f x x x'=+，∴(1)3f '=． 故选：D ． 【点睛】本题考查导数的运算，掌握基本初等函数的导数公式是解题关键． 3．已知a 为函数f （x ）=x 3–12x 的极小值点，则a= A ．–4 B ．–2 C ．4 D ．2【答案】D【解析】试题分析：()()()2312322f x x x x ==+'--，令()0f x '=得2x =-或2x =，易得()f x 在()2,2-上单调递减，在()2,+∞上单调递增，故()f x 的极小值点为2，即2a =，故选D. 【考点】函数的导数与极值点【名师点睛】本题考查函数的极值点．在可导函数中，函数的极值点0x 是方程'()0f x =的解，但0x 是极大值点还是极小值点，需要通过这个点两边的导数的正负性来判断，在0x 附近，如果0x x <时，'()0f x <，0x x >时'()0f x >，则0x 是极小值点，如果0x x <时，'()0f x >，0x x >时，'()0f x <，则0x 是极大值点. 4．若函数f(x)=ax 4+bx 2+c 满足f'(1)=2,则f'(-1)= ( ) A ．-1 B ．-2 C ．2 D ．0【答案】B【解析】∵()42f x ax bx c =＋＋，∴()342f x ax bx '=+，令函数()()342g x f x ax bx ='=+，可得()()342g x ax bx g x -=--=-，即函数()g x 为奇函数，∴()112f f '-=-'=-（），故选B. 5．已知函数()10lg xf x x =+，则()f x '=（ ）A ．110ln10xx ⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭B ．110ln10ln10xx ⋅+⋅C ．110lg x e x ⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭D ．110lg lg xe x e⋅+⋅ 【答案】B【解析】由指数函数和对数函数的导数公式计算． 【详解】由题意1()10ln10ln10xf x x '=+．故选：B ． 【点睛】本题考查导数的运算，考查指数函数和对数函数的导数公式，掌握基本初等函数的导数公式是解题关键．6．在复平面内，设复数3-对应点关于实轴、虚轴的对称点分别是,A B ，则点,A B 对应的复数和是（ ）A ．0B ．6C ．-D ．6-【答案】A【解析】先写出复数3-对应点坐标，求出对称点,A B 坐标后可得其对应复数，按题意计算即可． 【详解】3-对应点为(3,M ，则A ，(3,B -，对应复数分别为3+，33i --．33i +(33)0i +--=．故选：A ． 【点睛】本题考查复数的几何意义，属于基础题．复数(,)z a bi a b R =+∈在复平面上对应点为,()Z a b ．也可从对称性得出,A B 两点关于原点对称，从而对应的复数和为0．7．若函数32()f x ax bx cx d =+++有极大值点1x 和极小值点212()x x x <，则导函数()f x '的大致图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】【详解】分析：首先确定所给函数的导函数为二次函数，然后结合函数的极值确定函数的单调性，由函数的单调性即可确定函数()'f x 的大致图象.详解：三次函数的导函数为二次函数，其图象与x 轴有两个交点，结合函数的极值可知函数在区间()1,x -∞上单调递增，在区间()12,x x 上单调递减，在区间()2,x +∞上单调递增；则导函数在区间()1,x -∞上为正数，在区间()12,x x 上为负数，在区间()2,x +∞上为正数；观察所给的函数图象可知，只有C 选项符合题意. 本题选择C 选项.点睛：(1)可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同．(2)若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．8．如图所示，圆O 为单位圆，M 、P 、Q 、R 、T 分别表示的复数为z 、1z 、2z 、3z 、4z ，则1z只可能是（ ）A ．1zB ．2zC ．3zD ．4z【答案】B【解析】设出(,)z a bi a b R =+∈，221a b +>，求出1z，再分析确定 【详解】由题意设(,)z a bi a b R =+∈，221a b +>，0,0a b >>，则222211()()a bi a b i z a bi a bi a bi a b a b-===-++-++， 显然有2201a a b <<+，2210b a b -<-<+，且2211z a b=<+，1z 只可能是Q 对应的2z ． 故选：B ． 【点睛】本题考查复数的运算，考查复数的几何意义．掌握模的概念是解题关键． 9．已知函数()1sin 2=-f x x x ，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则()f x 的极大值点为（ ） A ．6π-B ．3π-C ．6π D ．3π 【答案】B【解析】求出导数，确定函数的单调性，可得极大值点．由题意1()cos 2f x x '=-，∵，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦由()0f x '=得3x π=±，当[,)23x ππ∈--或(,]32x ππ∈时，()0f x '>，(,)33x ππ∈-时，()0f x '<，∴极大值点为3π-．故选：B ． 【点睛】本题考查导数与极值，在可导区间内函数的极值点不仅要求导数值为0，而且要求在该点两侧导数的符号相反．10．已知函数()()()2ln 11f x m x x m x =+---在()2,+∞上不单调，则m 的取值范围是（ ） A ．()4,+∞ B ．(],4-∞C ．(),0-∞D ．()0,∞+【答案】A【解析】求出导函数()f x '，由()0f x '=在(2,)+∞上有解且不是等根可得． 【详解】由题意22(2)()2(1)m x m x mf x x m x x -++'=+--=，22(2)0x m x m -++=有两个不等实根，且在(2,)+∞上有解． 22(2)(1)(2)0x m x m x x m -++=--=，11x =，22mx =， ∴22m>，即4m >． 故选：A ． 【点睛】本题考查导数与单调性．对于可导函数()f x ，一般由()0f x '>确定增区间，由()0f x '<确定减区间．因此函数在某一区间不单调，则在此区间内方程()0f x '=有解，且在解的两侧()f x '的符号相反．11．若复数()()320,z a a m a i a m R =-++≥∈的实部等于虚部，则m 的最小值为（ ） A ．3-B ．2-C ．1-D ．0【解析】根据复数的定义写出其实部和虚部，由题意用a 表示出m ，再利用导数的知识求得最小值． 【详解】由题意320a a m a -=+≠，33m a a =-，2333(1)(1)m a a a '=-=+-，易知当(0,1)a ∈时，0m '<，(1,)∈+∞a 时，0m '>， ∴1a =时，m 取得极小值也是最小值132-=-． 故选：B ． 【点睛】本题考查复数的概念，考查用导数求函数的最值．求函数的最值，可先求出函数的极值，然后再确定是否是最值．12．已知函数()22ln 3f x x a x =++，若[)()1212,4,x x x x ∀∈+∞≠，[]2,3a ∃∈，()()21122f x f x m x x -<-，则m 的取值范围是（ ）A ．[)2,-+∞B ．)5,2⎡-+∞⎢⎣C ．9,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．19,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】根据题意将问题转化为()()112222f x mx f x mx +>+，记()()2g x f x mx =+，从而()g x 在()0,∞+上单调递增，从而()'0g x ≥在[)4,+∞上恒成立，利用分离参数法可得44am -≤+，结合题意可得max 44a m ⎛⎫-≤+ ⎪⎝⎭即可.【详解】 设12x x >，因为()()21122f x f x m x x -<-，所以()()112222f x mx f x mx +>+.记()()2g x f x mx =+，则()g x 在()0,∞+上单调递增， 故()'0g x ≥在[)4,+∞上恒成立，即2220ax m x++≥在[)4,+∞上恒成立， 整理得am x x-≤+在[)4,+∞上恒成立.因为[]2,3a ∈，所以函数ay x x=+在[)4,+∞上单调递增， 故有44am -≤+.因为[]2,3a ∃∈， 所以max 19444a m ⎛⎫-≤+= ⎪⎝⎭，即194m ≥-. 故选：D 【点睛】本题考查了导数在不等式恒成立中的应用、函数单调性的应用，属于中档题.二、填空题 13．若复数()5m i mz m i +=+∈R 为纯虚数，则z =________. 【答案】5i .【解析】利用纯虚数的定义、复数的运算即可得出． 【详解】 ∵155m i m m z mi i +=+=+-为纯虚数，∴105m+=，∴5m =-，∴5z i =. 故答案为：5i 【点睛】本题考查了纯虚数的定义、复数的运算，属于基础题． 14．曲线2ln y x =在点()1,0处的切线方程为__________． 【答案】22y x =- 【解析】求导2()f x x'=，可得斜率(1)2k f '==，进而得出切线的点斜式方程. 【详解】由()2ln y f x x ==，得2()f x x'=， 则曲线2ln y x =在点(1,0)处的切线的斜率为(1)2k f '==， 则所求切线方程为02(1)y x -=-，即22y x =-. 【点睛】求曲线在某点处的切线方程的步骤：①求出函数在该点处的导数值即为切线斜率；②写出切线的点斜式方程；③化简整理. 15．已知函数()()xf x ex a =+的极小值为1e-，则a 的值为______.【答案】0【解析】求出导函数，确定极小值，由已知求出参数a ． 【详解】由题意()()(1)x x x f x e e x a e x a '=++=++，1x a <--时，()0f x '<，1x a >--时，()0f x '>，所以()f x 的极小值是1(1)a f a e ----=-，所以11a e e---=-，0a =．故答案为：0． 【点睛】本题考查导数与极值，掌握极值的定义是解题关键． 16．设函数()()3211132f x x a x ax =-++，集合(){}0M x f x =<，(){}0P x f x ='<，若PM ，则实数a 的取值构成的集合是______.【答案】{0,1}【解析】求出导函数()f x '，由()0f x '=求得1x =或x a =，结合P M Ü分类讨论． 【详解】由题意2()(1)f x x a x a '=-++，令()0f x '=得1x =或x a =， 若1a =，则P =∅满足题意；1a ≠时，首先有(1)0f ≤，即11(1)026f a =-≤，13a ≤，则(,1)P a =，由P M Ü得32221111()(1)()03226f a a a a a a a =-++=-≤，解得0a =或3a ≥（舍去）． ∴a 的取值集合是{0,1}． 故答案为：{0,1}． 【点睛】本题结合导数，考查集合之间的包含关系．考查学生的推理论证能力和运算求解能力．三、解答题17．设复数12z i =+. （1）求z 及z ； （2）求22z z -.【答案】（1）5z =，12z i =-；（2）5-．【解析】（1）根据复数模的定义和共轭复数的定义求解． （2）由复数的乘法运算和减法运算计算． 【详解】（1）由题意z ==12z i =-；（2）222(12)2(12)144245z z i i i i -=+-+=+---=-． 【点睛】本题考查复数的运算，考查复数模和共轭复数的概念，属于基础题． 18．已知函数()329f x x mx x n =+++在1x =处取得极值，且()02f =.（1）求实数,m n 的值；（2）求函数()f x 的极大值和极小值.【答案】（1）6,2m n =-=；（2）极大值为(1)6f =，极小值为(3)2f =． 【解析】（1）求出导数()f x '，由()01f '=和(0)2f =可求得,m n ； （2）由导数确定函数的单调性，得极值． 【详解】（1）由题意2()329f x x mx '=++，∴(1)3290f m '=++=，6m =-， 又(0)2f n ==．∴6,2m n =-=； （2）由（1）32()692f x x x x =-++，2()31293(1)(3)f x x x x x =-+=--'，当1x <或3x >时()0f x '>，13x <<时，()0f x '<， ∴()f x 在(,1)-∞和(3,)+∞上递增，在(1,3)上递减． ()f x 的极大值为(1)6f =，极小值为(3)2f =．【点睛】本题考查导数与函数的极值之间的关系，掌握极值的概念和求法是解题关键．19．已知复数z 满足|z |=z 的实部、虚部均为整数，且z 在复平面内对应的点位于第四象限. （1）求复数z ；（2）若()22m m n i z --=，求实数m ，n 的值.【答案】(1) 12z i =-或2i z =-. (2) 3m =±，5n =.【解析】（1）利用已知条件，设出复数z ，通过225(,)a b a b +=∈Z 及所对点所在位置求出即可复数z ；（2）利用（1），结合复数的乘法运算求解m ，n 的值 【详解】（1）设(,)z a bi a b =+∈Z ，则225(,)a b a b +=∈Z ， 因为z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以0a >，0b <，所以12a b =⎧⎨=-⎩或21a b =⎧⎨=-⎩，所以12z i =-或2i z =-.（2）由（1）知12z i =-或2i z =-，当12z i =-时，234z i =--；当2i z =-时234z i =-. 因为()22m m n i z --=，所以234m m n =±⎧⎨-=⎩，解得3m =±，5n =. 【点睛】本题考查复数的模长公式，考查复数的乘法运算，考查计算能力，是基础题 20．设函数()()21xf x ea x =-+.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0f x >对x ∈R 恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）当0a ≤时，()f x 在R 上单调递增；当0a >时，在1ln ,22a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,ln 22a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减；（2）20,e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【解析】（1）分别在0a ≤和0a >两种情况下，根据()f x '的正负可确定()f x 的单调性；（2）根据（1）的结论可确定0a <不合题意；当0a =时，根据指数函数值域可知满足题意；当0a >时，令()min 0f x >，由此构造不等式求得结果. 【详解】（1）由题意得：()22x f x e a '=-，当0a ≤时，()0f x '>，()f x ∴在R 上单调递增；当0a >时，令()0f x '=得：1ln 22a x =. 当1ln 22a x <时，()0f x '<，()f x ∴在1,ln 22a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减； 当1ln 22a x >时，()0f x '>，()f x ∴在1ln ,22a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. 综上所述：当0a ≤时，()f x 在R 上单调递增；当0a >时，在1ln ,22a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，在1,ln 22a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减. （2）由（1）可知：当0a <时，()f x 在R 上单调递增，当x →-∞时，20x e →，()1a x +→+∞，此时()0f x <，不合题意；当0a =时，2()0x f x e =>恒成立，满足题意.当0a >时，()f x 在1ln 22a x =处取最小值，且1ln ln 22222a a a a f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 令ln 0222a a a -->，解得：20a e <<，此时()0f x >恒成立. 综上所述：a 的取值范围为20,e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数讨论含参数函数的单调性、恒成立问题的求解；求解恒成立问题的关键是能够通过分类讨论，将问题转化为函数最小值大于零的问题，由此构造不等式求得结果.21．某景区为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y 万元与投入()x x 10≥万元之间满足：()2101ln ln1050y f x ax x b x b ==+-+，,a b 为常数.当10x =万元时，19.2y =万元；当30x =万元时，50.5y =万元.（1）求()f x 的解析式；（2）求该景点改造升级后旅游利润()()T x f x x =-的最大值.（参考数据：ln 20.7=，ln3 1.1=，ln5 1.6=）【答案】（1）21101()ln ln1010050f x x x x =-+-+；（2）24.4万元． 【解析】（1）由10x =万元时，19.2y =万元；当30x =万元时，50.5y =万元.代入可求得参数,a b ，得解析式；（2）求导数()T x '，由导数确定单调性后可得最大值．【详解】（1）由题意101100ln10ln1019.25303900ln 30ln1050.55a b b a b b ⎧+-+=⎪⎪⎨⎪+-+=⎪⎩，解得11001a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴21101()ln ln1010050f x x x x =-+-+； （2）由（1）2151()()ln ln1010050T x f x x x x x =-=-+-+， 1511(1)(50)()5050x x T x x x x --'=-+-=-， ∵10x ≥，∴[10,50)x ∈时，()0T x '>，()T x 递增，(50,)x ∈+∞时，()0T x '<，()T x 递减， ∴50x =时，()T x 取得极大值也是最大值，2151(50)5050ln 50ln1024.410050T =-⨯+⨯-+= ∴该景点改造升级后旅游利润的最大值为24.4万元．【点睛】本题考查函数模型的应用，考查用导数的实际应用．考查学生的运算求解能力，数学应用意识．22．已知函数()()321ln 2f x x x ax ax a R =+-∈. （1）当0a =时，求()f x 的最值；（2）若函数()()f x g x x =存在两个极值点()1212,x x x x ≠，求()()12g x g x +的取值范围.【答案】（1）最小值是1e-，无最大值；（2）(,3ln 4)-∞--．【解析】（1）求出导函数()f x '，由导函数确定函数的单调性得最值；（2）求出()g x '，有函数有两个极值点，即方程有两个不等正根，得a 的范围，同时求出1212,x x x x +，可得12()()()h a g x g x =+，由单调性可得所求取值范围．【详解】（1）由题意()ln f x x x =，()ln 1f x x '=+，易知1(0,)x e ∈时，()0f x '<，()f x 递减，1(,)x e ∈+∞时，()0f x '>，()f x 递增．∴()f x 有极小值1111()ln f e e e e==-，也是最小值，无最大值． （2）由题意21()ln 2g x x ax ax =+-，211()ax ax g x ax a x x-+'=+-=， ()g x 在两个极值点12,x x ，则12,x x 是方程210ax ax -+=的两个不等正根， ∴2124010a a x x a ⎧∆=->⎪⎨=>⎪⎩，∴4a >，121x x =+，121x x a =， ∴221211122211()()()ln ln 22h a g x g x x ax ax x ax ax =+=+-++- 2121212121112ln()[()2]()ln (1)22x x a x x x x a x x a a a a=++--+=+--1ln 12a a =---， 显然1()ln 12h a a a =---是关于a 的减函数， ∴()(4)3ln 4h a h <=--，∴12()()g x g x +的取值范围是(,3ln 4)-∞--．【点睛】本题考查导数与函数的最值，考查与函数极值点有关的范围问题，解题时可根据极值点的定义找到极值点与参数a 的关系，把待极值点的问题化为a 的函数，然后利用a 的范围求出结论．。
2019—2020学年第二学期期中考试高二数学试题(含答案)
2019—2020学年第二学期期中考试高二数学试题一．选择题（每小题5分，共60分）1.设i 是虚数单位，则复数i 3－2i＝（ ）A.－iB.－3iC.iD.3i2．某物体做直线运动，其运动规律是s ＝t 2＋3t(t 的单位是秒，s 的单位是米)，则它在4秒末的瞬时速度为( )A.12316米/秒 B.12516米/秒 C ．8米/秒D.674米/秒3．函数y ＝cos(－x )的导数是( )A ．cos xB ．－cos xC ．－sin xD ．sin x4. 校园科技节展览期间，安排小王、小李等4位志愿者到3个不同展区提供义务服务，每个展区至少有1人，则不同的安排方案共有的种数为（ ）。
A 、36B 、72C 、18D 、815. 过曲线y ＝cos x 上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12且与曲线在点P 处的切线垂直的直线方程为( ) A ．2x －3y －2π3＋32＝0 B.3x ＋2y －3π3－1＝0 C ．2x ＋3y －2π3＋32＝0 D.3x ＋2y －3π3＋1＝0 6. 已知函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝f ′(x )的图象可能是图中的( )7. 给出下列结论：①(sin x)′＝cos x；②若f(x)＝1x2，则f′(3)＝－227；③(e x)′＝e x；④(log4x)′＝1x ln 4.其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个8. 若复数z满足z1＋i＝2i，则z对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限9. 函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是( )A．(－∞，2) B．(0，3)C．(1，4) D．(2，＋∞)10. 已知函数y＝f(x)，x∈R有唯一的极值，且x＝1是f(x)的极小值点，则( ) A．当x∈(－∞，1)时，f′(x)≥0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)≤0B．当x∈(－∞，1)时，f′(x)≥0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)≥0C．当x∈(－∞，1)时，f′(x)≤0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)≥0D．当x∈(－∞，1)时，f′(x)≤0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)≤011. （X+2）6的展开式中x3的系数是（）。
专题04 恒成立问题(文理通用)(含详细答案)
专题04 恒成立问题一、单选题1．若定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x -=+，且当1x <时，()x xf x e=，则满足()()35f f -的值 A ．恒小于0 B ．恒等于0 C ．恒大于0D ．无法判断2．()()(),f x R f x f x x R '∀∈设函数是定义在上的函数，其中的导函数为，满足对于()()f x f x '<恒成立，则下列各式恒成立的是A ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f e f <<B ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f e f >>C ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f e f ><D ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f ef3．已知0a >，0b >，下列说法错误的是 A ．若1b a a b ⋅=，则2a b +≥ B ．若23a b e a e b +=+，则a b > C ．()ln ln a a b a b -≥-恒成立D ．ln 0b ba a e+≥恒成立 4．若1x =是函数()4312*()1n n n f x a x a x a x n N ++=--+∈的极值点，数列{}n a 满足11a =，23a =，设31log n n b a +=，记[]x 表示不超过x 的最大整数．设12231202*********n n n S b b b b b b +⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦，若不等式n S t 对n +∀∈N 恒成立，则实数t 的最大值为 A ．2020 B ．2019 C ．2018D ．1010二、多选题1．若满足()()'0f x f x +>，对任意正实数a ，下面不等式恒成立的是 A ．()()2f a f a < B ．()()2af a ef a >-C ．()()0>f a fD ．()()0a f f a e>2．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，且()()()f x xf x xf x '+<对x ∈R 恒成立，则下列选项不正确的是 A ．2(2)(1)f f e> B ．2(2)(1)f f e< C ．()10f >D ．()10f ->3．已知函数()cos sin f x x x x =-，下列结论中正确的是 A ．函数()f x 在2x π=时，取得极小值1-B ．对于[]0,x π∀∈，()0≤f x 恒成立C ．若120x x π<<<，则1122sin sin x x x x < D ．若sin x a b x <<，对于0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为14．已知函数()2f x x x=-，()()πcos 5202xg x a a a =+->，．给出下列四个命题，其中是真命题的为A ．若[]1,2x ∃∈，使得()f x a <成立，则1a >-B ．若R x ∀∈，使得()0g x >恒成立，则05a <<C ．若[]11,2x ∀∈，2x ∀∈R ，使得()()12f x g x >恒成立，则6a >D ．若[]11,2x ∀∈，[]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立，则34a ≤≤ 5．当1x >时，()41ln ln 3k x x x x --<-+恒成立，则整数k 的取值可以是 A ．2- B ．1- C ．0D ．16．下列不等式中恒成立的有 A ．()ln 11xx x +≥+，1x >- B ．11ln 2x x x ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，0x > C ．1x e x ≥+ D ．21cos 12x x ≥-1．函数3()2,()ln 1f x x x c g x x =-+=+，若()()f x g x ≥恒成立，则实数c 的取值范围是___________． 2．若[,)x e ∀∈+∞，满足32ln 0mxx x me -≥恒成立，则实数m 的取值范围为___________．3．已知函数()()21ax x xf x x ++=≥，若()0f x '≥恒成立，则a 的取值范围为___________．4．已知函数()ln f x x x =-，若()10f x m -+≤恒成立，则m 的取值范围为___________． 5．若函数()0x f x e ax =->恒成立，则实数a 的取值范围是___________．6．当[1,2]x ∈-时，32122x x x m --<恒成立，则实数m 的取值范围是___________． 7．若()()220xxx me exeex e ++-≤在()0,x ∈+∞上恒成立，则实数m 的取值范围为___________．8．已知函数()()(ln )xf x e ax x ax =--，若()0f x <恒成立，则a 的取值范围是___________．9．已知函数()1x f x e ax =+-，若0,()0x f x 恒成立，则a 的取值范围是___________．10．不等式()221n n n N *>-∈不是恒成立的，请你只对该不等式中的数字作适当调整，使得不等式恒成立，请写出其中一个恒成立的不等式：___________．11．已知()ln f x x x m x =--，若()0f x >恒成立，则实数m 的取值范围是___________．12．已知函数21,0()2,0x e x f x ax x x ⎧-≥=⎨+<⎩，若()1f x ax ≥-恒成立，则a 的取值范围是___________．13．函数()2cos sin f x x x x x =+-，当3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x ax ≤恒成立，则实数a 的取值范围是___________． 14．已知0a <，且()221ln 0ax ax x ax -+≥+恒成立，则a 的值是___________．15．若对任意实数(],1x ∈-∞，2211xx ax e-+≥恒成立，则a =___________．1．已知函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，则a 的取值范围___________；且不等式()()1212f x f x x x t +<++恒成立，则实数t 的取值范围___________．2．对任意正整数n ，函数32()27cos 1f n n n n n πλ=---，若(2)0f ≥，则λ的取值范围是___________；若不等式()0f n ≥恒成立，则λ的最大值为___________．3．已知函数1()ln (0)f x ax x a x=+>．（1）当1a =时，()f x 的极小值为___________；（2）若()f x ax ≥在(0,)+∞上恒成立，则实数a 的取值范围为___________． 4．已知函数()()221xf exx x =-+，则()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为___________，若()f x ax ≥在()0,∞+上恒成立，则实数a 的取值范围为___________．5．设函数()32f x ax bx cx =++（a ，b ，R c ∈，0a ≠）若不等式()()2xf x af x '-≤对一切R x ∈恒成立，则a =___________，b ca+的取值范围为___________． 6．已知函数()()x x f x x ae e -=-为偶函数，函数()()xg x f x xe -=+，则a =___________；若()g x mx e >-对()0,x ∈+∞恒成立，则m 的取值范围为___________． 五、解答题1．已知函数()sin f x x ax =-，()=ln 1xg x x x e -+，2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底数． （1）当()0,x π∈，()0f x <恒成立，求a 的取值范围；（2）当0a =时，记()()()h x f x g x =+，求证：对任意()1,x ∈+∞，()0h x <恒成立． 2．已知函数()1x f x ae x =--（1）若()0f x ≥对于任意的x 恒成立，求a 的取值范围 （2）证明：1111ln(1)23n n++++≥+对任意的n N +∈恒成立 3．若对任意的实数k 、b ，函数()y f x kx b =++与直线y kx b =+总相切，则称函数()f x 为“恒切函数”．（1）判断函数()2f x x =是否为“恒切函数”；（2）若函数()()ln 0f x m x nx m =+≠是“恒切函数”，求实数m 、n 满足的关系式；（3）若函数()()1x xf x e x e m =--+是“恒切函数”，求证：104m -<≤． 4．已知函数()(ln )sin x f x e x a x =+-．（1）若()ln sin f x x x ≥⋅恒成立，求实数a 的最大值； （2）若()0f x ≥恒成立，求正整数a 的最大值．专题04 恒成立问题一、单选题1．若定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x -=+，且当1x <时，()x xf x e=，则满足()()35f f -的值 A ．恒小于0 B ．恒等于0 C ．恒大于0D ．无法判断【试题来源】安徽省皖江名校联盟2021届高三第二次联考（理） 【答案】C【分析】当1x <时，求导，得出导函数恒小于零，得出()f x 在(),1-∞内是增函数．再由()()2f x f x -=+得()f x 的图象关于直线1x =对称，从而得()f x 在()1,+∞内是减函数，由此可得选项．【解析】当1x <时，'1()0xx f x e -=->，则()f x 在(),1-∞内是增函数． 由()()2f x f x -=+得()f x 的图象关于直线1x =对称，所以()f x 在()1,+∞内是减函数， 所以()()350f f ->．故选C ．2．()()(),f x R f x f x x R '∀∈设函数是定义在上的函数，其中的导函数为，满足对于()()f x f x '<恒成立，则下列各式恒成立的是A ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f e f <<B ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f e f >>C ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f e f ><D ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f ef【试题来源】2020届福建省仙游县枫亭中学高三上学期期中考试（理） 【答案】B【分析】构造函数()()xf x F x e =，求出'()0F x >，得到该函数为R 上的增函数，故得(0)(1)F F <，(0)(2018)F F <，从而可得到结论．【解析】设()()x f x F x e =，x R ∈（），所以'()()[]xf x F x e '==()()xf x f x e '-， 因为对于()(),x R f x f x ∀∈<'，所以'()0F x >，所以()F x 是R 上的增函数，所以(0)(1)F F <，(0)(2018)F F <，即(1)(0)f f e <，2018(2018)(0)f f e <， 整理得()()10f ef >和()20182018(0f ef >）．故故选B ．3．已知0a >，0b >，下列说法错误的是 A ．若1b a a b ⋅=，则2a b +≥ B ．若23a b e a e b +=+，则a b > C ．()ln ln a a b a b -≥-恒成立D ．ln 0b ba a e+≥恒成立 【试题来源】浙江省杭州市萧山中学2019-2020学年高三下学期返校考试 【答案】D【解析】对于A ，不妨令01a <≤，1b ≥，则1aab bb a aa a ab a b a b ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1baa b ⋅=即11b aaab-=，由10b a -≥可知101b aa -<≤，则101ab <≤，所以1≥ab ，2a b +≥，故A 正确； 对于B ，若a b ≤，则0a b e e -≤，320b a ->，故32ab e e b a -≠-即23a b e a e b +≠+，与已知矛盾，故B 正确；对于C ，()ln ln ln 1b b a a b a b a a-≥-⇔-≥-， 令0b x a =>，()()ln 10f x x x x =-->，则()1x f x x-'=， 则()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增， 所以()()10f x f ≥=，所以ln 10b b a a --≥即ln 1b ba a-≥-，故C 正确； 对于D ，设()()ln 0h x x x x =>，()()0x xg x x e=>， 则()ln 1h x x '=+，()1xxg x e -'=， 所以()h x 在()10,e -上单调递减，在()1,e -+∞上单调递增，则()()11h x h e e --≥=-，()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，则()()11g x g e -≤=，所以()()110h e g e --+<，即当1a b e -==时ln 0bba a e +<，故D 错误．故选D ． 4．若1x =是函数()4312*()1n n n f x a x a x a x n N ++=--+∈的极值点，数列{}n a 满足11a =，23a =，设31log n n b a +=，记[]x 表示不超过x 的最大整数．设12231202*********n n n S b b b b b b +⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦，若不等式n S t 对n +∀∈N 恒成立，则实数t 的最大值为 A ．2020 B ．2019 C ．2018D ．1010【试题来源】新疆维吾尔自治区2021届高三第二次联考数学（理）能力测试试题 【答案】D【分析】由极值点得数列的递推关系，由递推关系变形得数列1{}n n a a +-是等比数列，求得1n n a a +-，由累加法求得n a ，计算出n b ，然后求和122311202020202020n n b b b b b b ++++，利用增函数定义得此式的最小值，从而得出n S 的最小值，再由不等式恒成立可得t 的最大值． 【解析】3212()43n n n f x a x a x a '++=--，所以12(1)430n n n f a a a '++=--=， 即有()2113n n n n a a a a +++-=-，所以{}1n n a a +-是以2为首项3为公比的等比数列， 所以1123n n n a a -+-=⋅，1201111221123232313n n nn n n n n n n a a a a a a a a a a --++---=-+-+-++-+=⋅+⋅++⋅+=所以31log n n b a n +==，所以12231120202020202011120201223(1)n n b b b b b b n n +⎛⎫+++=+++⎪⨯⨯+⎝⎭1111120202020122311n n n n ⎛⎫=-+-++-=⎪++⎝⎭， 又20201ny n =+为增函数，当1n =时，1010n S =，10102020n S ≤<， 若n S t ≥恒成立，则t 的最大值为1010．故选D ．【名师点睛】本题考查函数的极值，等比数列的判断与通项公式，累加法求通项公式，裂项相消法求和，函数新定义，不等式恒成立问题的综合应用．涉及知识点较多，属于中档题．解题方法是按部就班，按照题目提供的知识点顺序求解．由函数极值点得数列的递推公式，由递推公式引入新数列是等比数列，求得通项公式后用累加法求得n a ，由对数的概念求得n b ，用裂项相消法求和新数列的前n 项和，并利用函数单调性得出最小值，然后由新定义得n S 的最小值，从而根据不等式恒成立得结论． 二、多选题1．若满足()()'0f x f x +>，对任意正实数a ，下面不等式恒成立的是 A ．()()2f a f a < B ．()()2af a ef a >-C ．()()0>f a fD ．()()0af f a e>【试题来源】江苏省扬州中学2019-2020学年高二下学期6月月考 【答案】BD【分析】根据()()'0f x f x +>，设()()xh x e f x =，()()()()xh x ef x f x ''=+，得到()h x 在R 上是增函数，再根据a 是正实数，利用单调性逐项判断．【解析】设()()xh x e f x =，()()()()xh x ef x f x ''=+，因为()()'0f x f x +>，所以()0h x '>，()h x 在R 上是增函数， 因为a 是正实数，所以2a a <，所以()()22aae f a e f a <，因为21a a e e >>， ()(),2f a f a 大小不确定，故A 错误， 因为a a -<，所以()()aa ef a e f a --<，即()()2a f a e f a >-，故B 正确．因为0a >，所以()()()000a e f a e f f >=， 因为1a e >，()(),0f a f 大小不确定．故C 错误．()()()000a e f a e f f >=，因为1a e >，所以()()0af f a e>，故D 正确．故选BD. 【名师点睛】本题主要考查导数与函数单调性比较大小，还考查了运算求解的能力，属于中档题．2．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，且()()()f x xf x xf x '+<对x ∈R 恒成立，则下列选项不正确的是 A ．2(2)(1)f f e> B ．2(2)(1)f f e< C ．()10f >D ．()10f ->【试题来源】江苏省盐城市伍佑中学2019-2020学年高二下学期期中 【答案】BCD【分析】构造出函数()()xxf x F x e =，再运用求导法则求出其导数，借助导数与函数单调性之间的关系及题设中()()()f x xf x xf x '+<，从而确定函数()()xxf x F x e =是单调递减函数，然后可判断出每个答案的正误． 【解析】构造函数()()xxf x F x e =， 因为2[()()]()()()()()0()x x x xe f x xf x xe f x f x xf x xf x F x e e '+-+-=='<'， 故函数()()xxf x F x e=在R 上单调递减函数， 因为21>，所以212(2)(1)(2)(1)f f F F e e <⇒<，即2(2)(1)f f e<，故A 正确，B 错误； 因为()(1)0F F <，即()10f e<，所以()10f <，故C 错误； 因为()(1)0F F ->，即()110f e--->，所以()10f -<，故D 错误，故选BCD. 【名师点睛】解答本题的难点所在是如何依据题设条件构造出符合条件的函数()()xxf x F x e=，这里要求解题者具有较深的观察力和扎实的基本功，属于较难题． 3．已知函数()cos sin f x x x x =-，下列结论中正确的是 A ．函数()f x 在2x π=时，取得极小值1-B ．对于[]0,x π∀∈，()0≤f x 恒成立C ．若120x x π<<<，则1122sin sin x x x x < D ．若sin x a b x <<，对于0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为1【试题来源】山东省肥城市2019-2020学年高二下学期期中考试 【答案】BCD【分析】先对函数求导，根据022f ππ⎛⎫'=-≠⎪⎝⎭，排除A ；再由导数的方法研究函数单调性，判断出B 选项；构造函数()sin xg x x=，由导数的方法研究其单调性，即可判断C 选项；根据()sin x g x x =的单调性，先得到sin 2x x π>，再令()sin h x x x =-，根据导数的方法研究其单调性，得到sin 1xx<，即可判断D 选项． 【解析】因为()cos sin f x x x x =-，所以()cos sin cos sin f x x x x x x x '=--=-， 所以022f ππ⎛⎫'=-≠⎪⎝⎭，所以2x π=不是函数的极值点，故A 错； 若[]0,x π∈，则()sin 0f x x x '=-≤，所以函数()cos sin f x x x x =-在区间[]0,π上单调递减；因此()()00≤=f x f ，故B 正确； 令()sin x g x x =，则()2cos sin x x x g x x -'=， 因为()cos sin 0f x x x x =-≤在[]0,π上恒成立，所以()2cos sin 0x x xg x x -'=<在()0,π上恒成立，因此函数()sin xg x x=在()0,π上单调递减；又120x x π<<<，所以()()12g x g x >，即1212sin sin x x x x >，所以1122sin sin x x x x <，故C 正确；因为函数()sin x g x x =在()0,π上单调递减；所以0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()sin x g x x =也单调递减，因此()sin 22x g x g x ππ⎛⎫=>= ⎪⎝⎭在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立；令()sin h x x x =-，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()1cos 0h x x '=-≥在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，所以()sin h x x x =-在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 因此()sin 0h x x x =->，即sin 1xx <在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立； 综上，2sin 1x x π<<在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，故D 正确．故选BCD ． 【名师点睛】本题主要考查导数的应用，利用导数的方法研究函数的极值，单调性等，属于常考题型．4．已知函数()2f x x x=-，()()πcos 5202xg x a a a =+->，．给出下列四个命题，其中是真命题的为A ．若[]1,2x ∃∈，使得()f x a <成立，则1a >-B ．若R x ∀∈，使得()0g x >恒成立，则05a <<C ．若[]11,2x ∀∈，2x ∀∈R ，使得()()12f x g x >恒成立，则6a >D ．若[]11,2x ∀∈，[]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立，则34a ≤≤ 【试题来源】冲刺2020高考数学之拿高分题目强化卷（山东专版） 【答案】ACD【分析】对选项A ，()f x 在[]1,2上的最小值小于a 即可；对选项B ，()g x 的最小值大于0即可；对选项C ，()f x 在[]1,2上的最小值大于()g x 的最大值即可；对选项D ，[]11,2x ∀∈，[]20,1x ∃∈，()min min ()g x f x ≤，()max max ()g x f x ≥即可．【解析】对选项A ，只需()f x 在[]1,2上的最小值小于a ，()f x 在[]1,2上单调递增，所以min 2()(1)111f x f ==-=-，所以1a >-，故正确； 对选项B ，只需()g x 的最小值大于0，因为[]πcos,2x a a a∈-，所以min ()52530g x a a a =-+-=->，所以503a <<，故错误； 对选项C ，只需()f x 在[]1,2上的最小值大于()g x 的最大值，min ()1f x =-，max ()525g x a a a =+-=-，即15a ->-，6a >，故正确；对选项D ，只需()min min ()g x f x ≤，()max max ()g x f x ≥，max 2()(2)212f x f ==-=，所以[]11,2x ∈，[]1()1,1f x ∈-， []0,1x ∈时，π0,22x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()g x 在[]0,1上单调递减， ()min (1)52a g x g ==-，()max (0)5a g x g ==-，所以()[]52,5g x a a ∈--，由题意，52151a a -≤-⎧⎨-≥⎩⇒34a ≤≤，故正确．故选ACD ．【名师点睛】本题主要考查不等式恒成立和存在性问题，考查学生的分析转化能力，注意恒成立问题和存在性问题条件的转化，属于中档题．5．当1x >时，()41ln ln 3k x x x x --<-+恒成立，则整数k 的取值可以是 A ．2- B ．1- C ．0D ．1【试题来源】江苏省南京市2020-2021学年高三上学期期中考前训练 【答案】ABC 【分析】将()41ln ln 3k x x x x --<-+，当1x >时，恒成立，转化为13ln ln 4x k x x x ⎛⎫<++ ⎪⎝⎭，当1x >时，恒成立，令()()3ln ln 1x F x x x x x =++>，利用导数法研究其最小值即可．【解析】因为当1x >时，()41ln ln 3k x x x x --<-+恒成立， 所以13ln ln 4x k x x x ⎛⎫<++ ⎪⎝⎭，当1x >时，恒成立， 令()()3ln ln 1xF x x x x x =++>，则()222131ln 2ln x x x F x x x x x---'=-+=．令()ln 2x x x ϕ=--，因为()10x x xϕ-'=>，所以()x ϕ在()1,+∞上单调递增． 因为()10ϕ<，所以()0F x '=在()1,+∞上有且仅有一个实数根0x ， 于是()F x 在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， 所以()()000min 00ln 3ln x F x F x x x x ==++．（*） 因为()1ln 3309F -'=<，()()21ln 22ln 4401616F --'==>，所以()03,4x ∈，且002ln 0x x --=，将00ln 2x x =-代入（*）式， 得()()0000min 00023121x F x F x x x x x x -==-++=+-，()03,4x ∈． 因为0011t x x =+-在()3,4上为增函数，所以713,34t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即()min1713,41216F x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 因为k 为整数，所以0k ≤．故选ABC ． 6．下列不等式中恒成立的有 A ．()ln 11xx x +≥+，1x >- B ．11ln 2x x x ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，0x > C ．1x e x ≥+D ．21cos 12x x ≥-【试题来源】广东省中山市2019-2020学年高二下学期期末 【答案】ACD 【分析】令10tx ，()1ln 1f t t t=+-，导数方法求出最小值，即可判定出A 正确；令()11ln 2f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，0x >，导数方法研究单调性，求出范围，即可判定B 错； 令()1xf x e x =--，导数的方法求出最小值，即可判定C 正确；令()21cos 12f x x x =-+，导数的方法求出最小值，即可判定D 正确． 【解析】A 选项，因为1x >-，令10t x ，()1ln 1f t t t=+-，则()22111t f t t t t -'=-=，所以01t <<时，()210t f t t-'=<，即()f t 单调递减；1t >时，()210t f t t -'=>，即()f t 单调递增； 所以()()min 10f t f ==，即()1ln 10f t t t=+-≥，即1ln t t t -≥，即()ln 11x x x +≥+，1x >-恒成立；故A 正确；B 选项，令()11ln 2f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，0x >， 则()()2222211112110222x x x f x x x x x ---⎛⎫'=-+==-≤ ⎪⎝⎭显然恒成立， 所以()11ln 2f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在0x >上单调递减， 又()10f =，所以当()0,1x ∈时，()()10f x f >=，即11ln 2x x x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，故B 错； C 选项，令()1xf x e x =--，则()1xf x e '=-，当0x >时，()10xf e x ='->，即()f x 单调递增；当0x <时，()10xf e x ='-<，所以()f x 单调递减；则()()00f x f ≥=，即1x e x ≥+恒成立；故C 正确； D 选项，令()21cos 12f x x x =-+，则()sin f x x x '=-+， 所以()cos 10f x x ''=-+≥恒成立，即函数()sin f x x x '=-+单调递增， 又()00f '=，所以当0x >时，()0f x '>，即()21cos 12f x x x =-+单调递增； 当0x <时，()0f x '<，即()21cos 12f x x x =-+单调递减； 所以()()min 00f x f ==，因此21cos 12x x ≥-恒成立，故D 正确；故选ACD ． 三、填空题1．函数3()2,()ln 1f x x x c g x x =-+=+，若()()f x g x ≥恒成立，则实数c 的取值范围是___________．【试题来源】【全国区级联考】江苏省徐州市铜山区下学期高二数学（文）期中试题 【答案】2c ≥【解析】由()()f x g x ≥，即32ln 1x x c x -+≥+，即32ln 1c x x x ≥-+++．令()()32ln 10h x x x x x =-+++>，()()()21331x x x h x x'-++=-，故函数()h x 在区间()0,1上递增，在()1,+∞上递减，最大值为()12h =，所以2c ≥．【名师点睛】本题主要考查利用分析法和综合法求解不等式恒成立，问题，考查利用导数研究函数的单调性，极值和最值等知识．首先根据()()f x g x ≥，对函数进行分离常数，这里主要的思想方法是分离常数后利用导数求得另一个部分的最值，根据这个最值来求得参数的取值范围．2．若[,)x e ∀∈+∞，满足32ln 0mxx x me -≥恒成立，则实数m 的取值范围为___________．【试题来源】2020届湖南省长沙市长郡中学高三下学期3月停课不停学阶段性测试（理） 【答案】(,2]e -∞【分析】首先对参数的范围进行讨论，分两种情况，尤其是当0m >时，对式子进行变形，构造新函数，将恒成立问题转化为最值来处理，利用函数的单调性来解决，综述求得最后的结果．【解析】（1）0m ≤，显然成立；（2）0m >时，由32ln 0mxx x me -≥22ln m x m x x e x ⇒≥2ln (2ln )mxx m x e e x⇒≥，由()x f x xe =在[),e +∞为增2ln mx x⇒≥2ln m x x ⇒≤在[),e +∞恒成立， 由()2ln g x x x =在[),e +∞为增，min ()2g x e =，02m e <≤， 综上，2m e ≤，故答案为(,2]e -∞．3．已知函数()()21ax x xf x x ++=≥，若()0f x '≥恒成立，则a 的取值范围为___________．【试题来源】四川省泸州市2020学年下学期高二期末统一考试（文） 【答案】(],3-∞【分析】求函数的导数，根据()0f x '，利用参数分离法进行转化，然后构造函数()g x ，转化为求函数的最值即可．【解析】函数的导数2()21f ax x x '=+-，由()0f x '在1x 上恒成立得2210a x x +-在1x 上恒成立，即221a x x+，得322x x a +在1x 上恒成立，设32()2g x x x =+， 则2()622(31)g x x x x x '=+=+，当1x 时，()0g x '>恒成立，即()g x 在1x 上是增函数， 则当1x =时，()g x 取得最小值()1213g =+=，则3a ， 即实数a 的取值范围是(],3-∞，故答案为(],3-∞.【名师点睛】本题主要考查函数恒成立问题，求函数的导数，利用参数分离法以及构造函数，利用导数研究函数的最值是解决本题的关键．属于中档题．4．已知函数()ln f x x x =-，若()10f x m -+≤恒成立，则m 的取值范围为___________． 【试题来源】2020年高考数学选填题专项测试（文理通用） 【答案】[)0,+∞【分析】把()ln f x x x =-，代入()10f x m -+≤，即ln 1m x x ≥-+恒成立，构造()ln 1g x x x =-+，利用导数研究最值，即得解．【解析】()ln f x x x =-，则()10f x m -+≤恒成立，等价于ln 1m x x ≥-+令11()ln 1(0),'()1(0)x g x x x x g x x x x-=-+>=-=> 因此()g x 在(0,1)单调递增，在(1)+∞，单调递减， 故max ()(1)00g x g m ==∴≥，故答案为[)0,+∞.【名师点睛】本题考查了导数在不等式的恒成立问题中的应用，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于中档题．5．若函数()0x f x e ax =->恒成立，则实数a 的取值范围是___________． 【试题来源】2020届四川省成都七中高三二诊数学模拟（理）试题 【答案】0a e ≤<【分析】若函数()0x f x e ax =->恒成立，即min ()0f x >，求导得'()x f x e a =-，在0,0,0a a a >=<三种情况下，分别讨论函数单调性，求出每种情况时的min ()f x ，解关于a的不等式，再取并集，即得．【解析】由题意得，只要min ()0f x >即可，'()x f x e a =-，当0a >时，令'()0f x =解得ln x a =，令'()0f x <，解得ln x a <，()f x 单调递减， 令'()0f x >，解得ln x a >，()f x 单调递增，故()f x 在ln x a =时，()f x 有最小值，min ()(ln )(1ln )f x f a a a ==-， 若()0f x >恒成立，则(1ln )0a a ->，解得0a e <<； 当0a =时，()0x f x e =>恒成立； 当0a <时，'()x f x e a =-，()f x 单调递增，,()x f x →-∞→-∞，不合题意，舍去．综上，实数a 的取值范围是0a e ≤<．故答案为0a e ≤<6．当[1,2]x ∈-时，32122x x x m --<恒成立，则实数m 的取值范围是___________． 【试题来源】陕西省商洛市洛南中学2019-2020学年高二下学期第二次月考（理） 【答案】(2,)+∞【分析】设()3212,[1,2]2x x x x f x --∈-=，利用导数求得函数的单调性与最大值，结合题意，即可求得实数m 的取值范围．【解析】由题意，设()3212,[1,2]2x x x x f x --∈-=， 则()22(1)(323)x x f x x x --=-+'=，当2[1,)3x ∈--或(1,2]x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；当2(,1)3x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减， 又由222(),(2)2327f f -==，即2()(2)3f f -<， 即函数()f x 在区间[1,2]-的最大值为2，又由当[1,2]x ∈-时，32122x x x m --<恒成立，所以2m >， 即实数m 的取值范围是(2,)+∞．故答案为(2,)+∞【名师点睛】本题主要考查了恒成立问题的求解，其中解答中熟练应用函数的导数求得函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题．7．若()()220xxx me exeex e ++-≤在()0,x ∈+∞上恒成立，则实数m 的取值范围为___________．【试题来源】浙江省杭州地区（含周边）重点中学2020-2021学年高三上学期期中 【答案】32m ≤-【分析】对已知不等式进行变形，利用换元法、构造函数法、常变量分离法，结合导数的性质进行求解即可．【解析】()()()()222210xx x x x xme ex e ex me ex e ex e e++++-⇒≤≤ （1）， 令x ext e=，因为()0,x ∈+∞，所以0t >， 则不等式(1)化为2221(2)(1)11t t m t t m t --+++≤⇒≤+，设()xex f x e=，()0,x ∈+∞，'(1)()x e x f x e -=，当1x >时，'()0,()f x f x <单调递减， 当01x <<时，'()0,()f x f x >单调递增，因此当()0,x ∈+∞时，max ()(1)1f x f ==， 而(0)0f =，因此当()0,x ∈+∞时，()(0,1]f x ∈，因此(0,1]t ∈，设2221()1t t g t t --+=+，(0,1]t ∈，因此要想()()220x x xme ex e ex e ++-≤在()0,x ∈+∞上恒成立，只需min ()m g t ≤，2'2243()(1)t t g t t ---=+，因为(0,1]t ∈，所以'()0g t <，因此()g t 在(0,1]t ∈时单调递减，所以min 3()(1)2g t g ==-，因此32m ≤-．8．已知函数()()(ln )xf x e ax x ax =--，若()0f x <恒成立，则a 的取值范围是___________．【试题来源】四川省三台中学实验学校2019-2020学年高二下学期期末适应性考试（理） 【答案】1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】先由x y e =的图象与ln y x =的图象可得，ln >x e x 恒成立；原问题即可转化为直线y ax =介于x y e =与ln y x =之间，作出其大致图象，由图象得到只需<<OA OB k a k ；根据导数的方法求出OA ，OB 所在直线斜率，进而可得出结果． 【解析】由x y e =的图象与ln y x =的图象可得，ln >x e x 恒成立；所以若()()(ln )0=--<xf x e ax x ax 恒成立，只需0ln 0x e ax x ax ⎧->⎨-<⎩，即直线y ax =介于x y e =与ln y x =之间，作出其大致图象如下：由图象可得，只需<<OA OB k a k ；设11(,)A x y ，由ln y x =得1y x'=，所以111OA x x k y x =='=， 所以曲线ln y x =在点11(,)A x y 处的切线OA 的方程为1111ln ()-=-y x x x x ， 又该切线过点O ，所以11110ln (0)1-=-=-x x x ，解得1x e =，所以1=OA k e； 设22(,)B x y ，由x y e =得e x y '=，所以22x OB x x k y e =='=，所以曲线x y e =在点22(,)B x y 处的切线OB 的方程为222()-=-x x y e e x x ，又该切线过点O ，所以2220(0)-=-x x ee x ，解得21x =，所以=OB k e ；所以1a e e <<．故答案为1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭. 【名师点睛】本题主要考查由导数的方法研究不等式恒成立的问题，熟记导数的几何意义即可，属于常考题型．9．已知函数()1x f x e ax =+-，若0,()0x f x 恒成立，则a 的取值范围是___________． 【试题来源】黑龙江省七台河市田家炳高级中学2019-2020学年高二下学期期中考试（理）【答案】[1,)-+∞【分析】求导得到()x f x e a '=+，讨论10a +和10a +<两种情况，计算10a +<时，函数()f x 在[)00,x 上单调递减，故()(0)0f x f =，不符合，排除，得到答案． 【解析】因为()1x f x e ax =+-，所以()x f x e a '=+，因为0x ，所以()1f x a '+． 当10a +，即1a ≥-时，()0f x '，则()f x 在[0,)+∞上单调递增，从而()(0)0f x f =，故1a ≥-符合题意；当10a +<，即1a <-时，因为()x f x e a '=+在[0,)+∞上单调递增，且(0)10f a '=+<，所以存在唯一的0(0,)x ∈+∞，使得()00f x '=．令()0f x '<，得00x x <，则()f x 在[)00,x 上单调递减，从而()(0)0f x f =，故1a <-不符合题意．综上，a 的取值范围是[1,)-+∞．故答案为[1,)-+∞．10．不等式()221n n n N *>-∈不是恒成立的，请你只对该不等式中的数字作适当调整，使得不等式恒成立，请写出其中一个恒成立的不等式：___________． 【试题来源】北京市101中学2019-2020学年高三10月月考 【答案】331n n >-【分析】将不等式中的数字2变为3，得出331n n >-，然后利用导数证明出当3n ≥时，33n n ≥即可，即可得出不等式331n n >-对任意的n *∈N 恒成立．【解析】13311>-，23321>-，33331>-，猜想，对任意的n *∈N ，331n n >-．下面利用导数证明出当3n ≥时，33n n ≥，即证ln 33ln n n ≥，即证ln ln 33n n ≤， 构造函数()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=，当3x ≥时，()0f x '<． 所以，函数()ln x f x x =在区间[)3,+∞上单调递减，当3n ≥时，ln ln 33n n ≤．所以，当3n ≥且n *∈N 时，33n n ≥，所以，331n n >-．故答案为331n n >-． 【名师点睛】本题考查数列不等式的证明，考查了归纳法，同时也考查了导数在证明数列不等式的应用，考查推理能力，属于中等题．11．已知()ln f x x x m x =--，若()0f x >恒成立，则实数m 的取值范围是___________． 【试题来源】湖北省襄阳市第一中学2019-2020学年高二下学期5月月考 【答案】(,1)-∞【分析】函数()f x 的定义域为(0,)x ∈+∞，由()0f x >，得ln ||xx m x->，分类讨论，分离参数，求最值，即可求实数m 的取值范围．【解析】函数()f x 的定义域为(0,)x ∈+∞，由()0f x >，得ln ||xx m x->， (ⅰ)当(0,1)x ∈时，||0x m -≥，ln 0xx<，不等式恒成立，所以m R ∈； (ⅰ)当1x =时，|1|0m -≥，ln 0xx=，所以1m ≠； (ⅰ)当1x >时，不等式恒成立等价于ln x m x x <-恒成立或ln xm x x>+恒成立， 令ln ()x h x x x =-，则221ln ()x x h x x'-+=，因为1x >，所以()0h x '>，从而()1h x >， 因为ln xm x x<-恒成立等价于min ()m h x <，所以1m ， 令ln ()x g x x x =+，则221ln ()x xg x x+-'=， 再令2()1ln p x x x =+-，则1'()20p x x x=->在(1,)x ∈+∞上恒成立，()p x 在(1,)x ∈+∞上无最大值，综上所述，满足条件的m 的取值范围是(,1)-∞．故答案为(,1)-∞．12．已知函数21,0()2,0x e x f x ax x x ⎧-≥=⎨+<⎩，若()1f x ax ≥-恒成立，则a 的取值范围是___________．【试题来源】陕西省安康市2020-2021学年高三上学期10月联考（理）【答案】4e -⎡⎤⎣⎦【分析】若()1f x ax ≥-，则211,021,0x e ax x ax x ax x ⎧-≥-≥⎨+≥-<⎩，当0x =时，显然成立，当0x ≠时，则2,021,0xe a x xx a x x x ⎧≤>⎪⎪⎨+⎪≥<⎪-⎩，然后构造函数()x e g x x=（0x >），()221x h x x x +=-（0x <），分别求解函数()g x 的最小值和()h x 的最大值，只需()()min max h x a g x ≤≤即可．【解析】若()1f x ax ≥-，则211,021,0x e ax x ax x ax x ⎧-≥-≥⎨+≥-<⎩，当0x =时，显然成立；当0x ≠时，则()2,012,0x e ax x a x x x x ⎧≥>⎪⎨-≥--<⎪⎩，因为当0x <时，20x x ->， 所以只需满足2,021,0xe a x xx a x x x ⎧≤>⎪⎪⎨+⎪≥<⎪-⎩即可，令()x e g x x =（0x >），则()()21x x e g x x-'=， 则()0,1x ∈时，()0g x '<，所以()g x 在()0,1x ∈上递减， 当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，则()g x 在()1,+∞上递增， 所以()()1min g x g e ==，所以a e ≤，令()221x h x x x +=-（0x <）， 则()()()()()()22222222112221x x x x x x h x x x x x --+-+-'==--，令()0h x '=，得x =x =则当x ⎛∈-∞ ⎝ ⎭时，()0h x '>；当x ⎫∈⎪⎪⎝⎭时，()0h x '<， 所以函数()h x在⎛-∞ ⎝ ⎭上递增，在⎫⎪⎪⎝⎭上递减， 所以()4maxh x h ===-⎝⎭⎝⎭故4a ≥-4a e -≤．故答案为4e -⎡⎤⎣⎦．【名师点睛】本题考查根据不等式恒成立问题求参数的取值范围问题，考查学生分析问题、转化问题的能力，考查参变分离思想的运用，考查利用导数求解函数的最值，属于难题． 解决此类问题的方法一般有以下几种：（1）作出函数的图象，利用数形结合思想加以研究；（2）先进行参变分离，然后利用导数研究函数的最值，即可解决问题，必要时可以构造新函数进行研究．13．函数()2cos sin f x x x x x =+-，当3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x ax ≤恒成立，则实数a 的取值范围是___________．【试题来源】河南省名校联盟2020届高三（6月份）高考数学（理）联考试题 【答案】[)0,+∞ 【分析】先根据2x π=时22f a ππ⎛⎫≤⎪⎝⎭得0a ≥，再对函数()f x 求导，研究导函数的单调性、最值等，进而研究函数()f x 单调性，即可解决．【解析】22f a ππ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π，0a ∴≥． 由题意得()()2sin sin cos 1sin cos 1f x x x x x x x x '=-++-=-+-⎡⎤⎣⎦， 令()sin cos 1g x x x x =-+-，则()sin g x x x '=-． 当,2x π⎛⎤∈π⎥⎝⎦时，()0g x '<，()g x 单调递减； 当3,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增，()g x ∴的最小值为()1g ππ=--． 又22g π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，302g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，3,22x ππ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，()0g x ≤，即()0f x '≤， ()f x ∴在区间3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为减函数．02f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴当3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x ≤．又当0a ≥，3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，0ax ≥，故()f x ax ≤恒成立，因此a 的取值范围是[)0,+∞．14．已知0a <，且()221ln 0ax ax x ax -+≥+恒成立，则a 的值是___________．【试题来源】6月大数据精选模拟卷04（上海卷）（满分冲刺篇） 【答案】e -【分析】把不等式()221ln 0a x ax x ax -+≥+恒成立，转化为函数()()()1ln 0f x ax ax x =+⋅-≥在定义域内对任意的x 恒成立，结合函数的单调性和零点，得出1a-是函数ln y ax x =-的零点，即可求解． 【解析】由题意，不等式()221ln 0a x ax x ax -+≥+恒成立，即函数()()()1ln 0f x ax ax x =+⋅-≥在定义域内对任意的x 恒成立，由ln ,0,0y ax x a x =-<>，则10y a x'=-<，所以ln y ax x =-为(0,)+∞减函数， 又由当0a <，可得1y ax =+为(0,)+∞减函数， 所以1y ax =+ 与ln y ax x =-同为单调减函数，且1a-是函数1y ax =+的零点， 故1a -是函数ln y ax x =-的零点，故110ln a a a ⎛⎫⎛⎫=⋅--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得a e =-．【名师点睛】本题主要考查了不等式的恒成立问题，以及函数与方程的综合应用，其中解答中把不等式恒成立问题转化为函数的性质和函数的零点问题是解答的关键，着重考查转化思想，以及推理与运算能力．15．若对任意实数(],1x ∈-∞，2211xx ax e-+≥恒成立，则a =___________． 【试题来源】2020届辽宁省抚顺市高三二模考试（理） 【答案】12-【分析】设()()2211xx ax f x x e-+=≤，结合导数可知当0a <时，()()min 21f x f a =+；由题意可知，()()2122211a a f x f a e++≥+=≥，设()1t g t e t =--，则()0g t ≤，由导数可求出当0t =时，()g t 有最小值0，即()0g t ≥．从而可确定()0g t =，即可求出a 的值．【解析】设()()2211xx ax f x x e -+=≤，则()()()121xx x a f x e --+⎡⎤⎣⎦'=．当211a +≥，即0a ≥时，()0f x '≤，则()f x 在(],1-∞上单调递减， 故()()2211a f x f e -≥=≥，解得102ea ≤-<，所以0a ≥不符合题意； 当211a +<，即0a <时，()f x 在(),21a -∞+上单调递减，在(]21,1a +上单调递增， 则()()min21f x f a =+．因为2211xx ax e -+≥，所以()()2122211a a f x f a e ++≥+=≥． 令211a t +=<，不等式21221a a e++≥可转化为10te t --≤，设()1t g t e t =--， 则()1tg t e '=-，令()0g t '<，得0t <；令()0g t '>，得01t <<，则()g t 在(),0-∞上单调递减，在()0,1上单调递增；当0t =时，()g t 有最小值0， 即()0g t ≥．因为()0g t ≤，所以()0g t =，此时210a +=，故12a =-． 【名师点睛】本题考查了函数最值的求解，考查了不等式恒成立问题．本题的难点在于将已知恒成立问题，转化为()10tg t e t =--≤恒成立．本题的关键是结合导数，对含参、不含参函数最值的求解． 四、双空题1．已知函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，则a 的取值范围___________；且不等式()()1212f x f x x x t +<++恒成立，则实数t 的取值范围___________．【试题来源】辽宁省锦州市渤大附中、育明高中2020-2021学年高三上学期第一次联考 【答案】10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭[)5,-+∞【分析】求出导函数()2122122ax x f x ax x x-+'=-+=，只需方程22210ax x -+=有两个不相等的正根，满足1212010210x x a x x a ⎧⎪∆>⎪⎪=>⎨⎪⎪+=>⎪⎩，解不等式组可得a 的取值范围；求出 ()()1212f x f x x x +--的表达式，最后利用导数，通过构造函数，求出新构造函数的单调性，最后求出t 的取值范围．【解析】2221()(0)ax x f x x x'-+=>，因为函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点12,x x ，所以方程22210ax x -+=有两个不相等的正实数根，于是有：121248010102a x x a x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩，解得102a <<．()()221112221212122ln 2ln f x f x x x x ax x x ax x x x +--+--++=--()()212121212()23ln a x x x x x x x x ⎡⎤=+--++⎣⎦21ln 2a a=---， 设21()1ln 2,02h a a a a ⎛⎫=---<< ⎪⎝⎭， 22()0a h a a '-=>，故()h a 在102a <<上单调递增，故1()52h a h ⎛⎫<=-⎪⎝⎭，所以5t ≥-．因此t 的取值范围是[)5,-+∞. 故答案为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；[)5,-+∞【名师点睛】本题考查了已知函数极值情况求参数取值范围问题，考查了不等式恒成立问题，构造新函数，利用导数是解题的关键，属于基础题．2．对任意正整数n ，函数32()27cos 1f n n n n n πλ=---，若(2)0f ≥，则λ的取值范围是___________；若不等式()0f n ≥恒成立，则λ的最大值为___________． 【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练 【答案】13,2⎛⎤-∞-⎥⎝⎦132-【分析】将2n =代入求解即可；当n 为奇数时，cos 1n π=-，则转化。
2019-2020年高二年级第二学期期中考试数学(文)试卷 含答案
2019-2020年高二年级第二学期期中考试数学（文）试卷 含答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数i1i3++等于( ) A ．i 21+B ．i 21-C ．i 2-D ．i 2+2、设集合{|33,},{1,2},{2,1,2}I x x x Z A B =-<<∈==--，则()I AC B 等于（ ）A ．{}1B ．{}1,2C ．{}0,1,2D ．{}1,0,1,2- 3、下列函数中，在区间),0(+∞上为增函数的是（ ） A.1+=x y B.2)1(-=x y C.x y -=2 D.)1(log 5.0+x4、已知向量()()()()1,1,2,2,,=m n m n m n λλλ=+=++⊥-若则( )A.4-B.3-C.-2D.-15、设n m ,是两条不同的直线, βα,是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若α//m ,α//n ,则n m // B ．若α//m ,β//m ,则βα// C ．若n m //,α⊥m ,则α⊥nD ．若α//m ,βα⊥,则β⊥m6、某程序框图如图所示，该程序运行后输出的x 值是 ( ). A ．3 B ．4 C ．6 D ．87、下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是（ ）A.1a b +＞B.1a b -＞C.22a b ＞D.33a b ＞8、已知曲()421-128=y x ax a a =+++在点，处切线的斜率为，（ ）A.9B.6C.-9D.-6 9、在面积为S 的ABC ∆内部任取一点P ，则PBC ∆的面积大于4S的概率为（ ） A.41 B.43 C.94 D.169 10．如图，平面中两条直线1l 和2l 相交于点O ，对于平面上任意一点M ，若p 、q分别是M 到直线1l 和2l 的距离，则称有序非负实数对(),p q 是点M 的“距离坐标”．已知常数0≥p ，0≥q ，给出下列命题：①若0p q ==，则“距离坐标”为(0,0)的点有且仅有1个；②若0,1p q ==，则“距离坐标”为(0,1)的点有且仅有2③若1,2p q ==，则“距离坐标”为()1,2的点有且仅有4个．上述命题中，正确命题的个数是 ( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ． 0二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．本大题分为必做题和选做题两部分．（一）必做题：第11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须做答． 11. 如图2，三棱锥A －BCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，若AB ＝BC ＝CD ＝2，则该三棱锥的侧视图（投影线平行于BD ）的面积为12．若实数,x y 满足2221x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，则22(1)x y -+的最小值为 ．13．已知各项都是正数的等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在不同的两项m a 和n a ，使得2116m n a a a ⋅=，则14m n+的最小值是__________. （二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能从中选做一题．14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，2ρ=上的点到直线()6sin 3cos =+θθρ的距离的最小值是 .15．（几何证明选讲选做题）如图，已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于点B ，4PA =，圆O 的半径是__________.PB =三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分），q ）已知函数()cos2cos f x x x x =-⋅． (1)求()f x 最小正周期及最值； (2)若2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，，且()2f α=，求()3f πα+的值.17.（本小题满分12分）某校有150名学生参加了中学生环保知识竞赛，为了解成绩情况，现从中随机抽取50名学生的成绩进行统计（所有学生成绩均不低于60分）.请你根据尚未完成的频率分布表，解答下列问题：（1）写出M 、N 、p 、q （直接写出结果即可），并作出频率分布直方图；（2）若成绩在90分以上的学生获得一等奖，试估计全校所有参赛学生获一等奖的人数； （3）现从第（Ⅱ）问中所得到的一等奖学生中随机选择2名学生接受采访，已知一等奖获得者中只有2名女生，求恰有1名女生接受采访的概率.18．（本题满分14分）如图，圆O 为三棱锥P-ABC 的底面ABC 的外接圆，AC 是圆O 的直径，PA ⊥BC ，点M 是线段PA 的中点． （1）求证 BC ⊥PB ；（2）设PA ⊥AC ，PA=AC=2，AB=1，求三棱锥P －MBC 的体积；（3）在∆ABC 内是否存在点N ，使得MN ∥平面PBC ？请证明你的结论.欢迎访问“高中试卷网”—— 19、（本小题满分14分）已知各项均为正数的数列{}n a满足214n n n a a a +++=-（n *∈N ），且11a =，24a =．（1）证明：数列是等差数列；（2）设121n n n n b a a ++=，{}n b 的前n 项和为n S ，求证：1n S <．20． (本小题满分14分)已知抛物线C ：22(0)x py p =>的焦点为F ，点P 是直线y x =与抛物线C 在第一象限的交点，且||5PF =. （1）求抛物线C 的方程；（2）设直线:l y kx m =+与抛物线C 有唯一公共点M ，且直线l 与抛物线的准线交于点Q ,试探究，在坐标平面内是否存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ？若存在，求出点N 的坐标，若不存在，说明理由.21.（本小题满分14分）已知函数)(ln )(R a x a x x f ∈-=.（1）当2=a 时，求曲线()f x 在1x =处的切线方程； （2）设函数xax f x h ++=1)()(，求函数()h x 的单调区间； （3）若xax g +-=1)(，在)71828.2](,1[ =e e 上存在一点0x ，使得)()(00x g x f ≤成立，求a 的取值范围.C2014-2015学年高二年级第二学期期中考试文科数学参考答案一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题，满分50分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．11.【答案】2 12.【答案】1/5 13.【答案】3/214.【答案】1 15.【答案】216．（本小题满分12分）解：（1）1()cos2cos=2sin2cos2=2sin226f x x x x x x xπ⎛⎫⎛⎫=-⋅--⋅--⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭…3分所以2=2Tππ=．………………………………………………………………4分()max2f x=⎡⎤⎣⎦;()min2f x=-⎡⎤⎣⎦………………………………………………6分（2）由（1）得，()2sin2=26fπαα⎛⎫=--⎪⎝⎭，得：sin2=16πα⎛⎫--⎪⎝⎭，即32=2,62k k Zππαπ-+∈．得：5=,6k k Zπαπ+∈…8分又因为2παπ<<，所以5=6πα.……………………………………………10分577()()=()=2sin 2363666f f f ππππππα⎛⎫+=+-⋅- ⎪⎝⎭=132sin 6π⎛⎫-⎪⎝⎭=2sin6π-=12=12-⋅-……………………………………………………………………12分 17.【解析】（Ⅰ）M=13 ，N =2， p=0.30，=0.04， …………………2分………………4分（Ⅱ）获一等奖的概率为0.04，获一等奖的人数估计为604.0150=⨯（人）……7分 （Ⅲ）记获一等奖的6人为E D C B A A ,,,,,21，其中21,A A 为获一等奖的女生，从所有一等奖的同学中随机抽取2名同学共有15种情况如下：()21,A A ，()B A ,1，()C A ,1，()D A ,1，()E A ,1，()B A ,2，()C A ,2，()D A ,2，()E A ,2，()C B ,，()D B ,， ()E B ,， ()D C ,， ()E C ,， ()E D ,， ………9分女生的人数恰好为1人共有8种情况如下:()B A ,1，()C A ,1，()D A ,1，()E A ,1，()B A ,2，()C A ,2，()D A ,2，()E A ,2，0.000.010.020.030.040.010.020.020.030.00所以恰有1名女生接受采访的概率158=P ………12分 18、（Ⅰ）证明：如图，因为，AC 是圆O 的直径，所以BC ⊥AB......1分因为，BC ⊥PA ，又PA 、AB ⊂平面PAB ，且PA AB=A....2分所以，BC ⊥平面PAB ，又PB ⊂平面PAB....3分 所以，BC ⊥PB....4分（Ⅱ）如图，在Rt ∆ABC 中，AC=2，AB=1所以，ABC S ∆=....6分 因为，PA ⊥BC ，PA ⊥AC ，所以PA ⊥平面ABC所以，112133P MBC P ABC M ABC V V V ---=-=-= (9)（Ⅲ）如图，取AB 得中点D ，连接OD 、MD 、OM ，则N 为线段OD （除端点O 、D 外）上任意一点即可，理由如下： ········································································· ··············· 10分 因为，M 、O 、D 分别是PA 、AC 、AB 的中点 所以，MD ∥PB,MO ∥PC因为，MD ⊄平面PBC ，PB ⊂平面PBC 所以，MD ∥平面PBC ······················································································· ············· 12分 同理可得，MO ∥平面PBC因为，MD 、MO ⊂平面MDO ，MD MO=M 所以，平面MDO ∥平面PBC ············································································ ············· 13分 因为，MN ⊂平面MDO 故，MN ∥平面PBC ． ······················································································· ············· 14分 19.（Ⅰ）2124n n n a a a +++=且0n a >22∴= = …………3分 ∴1=的等差数列 ………… 5分21(1)1,n n n a n =+-⨯== …………8分()()2222211111n n b n n n n +∴==-++ ……………………10分 2221111223n S ∴=-+-+…()22111n n +-+ ……………………12分 ()21111n =-<+ ……………………14分20.解：(1)解法1： ∵点P 是直线y x =与抛物线C 在第一象限的交点， ∴设点(,)(0)P m m m >,----------------------------------------------------------1分C∵抛物线C 的准线为2p y =-，由||5PF =结合抛物线的定义得52pm +=-------①-----2分 又点P 在抛物线C 上，∴22m pm =(0)m >⇒2m p =.----------------------②-----3分 由①②联立解得2p =，∴所求抛物线C 的方程式为24x y =.-------------------------5分（2）解法1：由抛物线C 关于y 轴对称可知，若存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ，则点N 必在y 轴上，设(0,)N n ，--------------------------------------------------6分又设点20(,)4x M x ，由直线:l y kx m =+与抛物线C 有唯一公共点M 知，直线l 与抛物线C相切， 由214y x =得1'2y x =，∴001'|2x x k y x ===，---------------------------------------7分 ∴直线l 的方程为2000()42x xy x x -=-，--------------------------------------------8分 令1y =-得2022x x x -=，∴Q 点的坐标为002(,1)2x x --，-----------------------------9分200002(,),(,1)42x x NM x n NQ n x ∴=-=-----------------------------------------10分∵点N 在以MQ 为直径的圆上，∴22220002(1)()(1)20(*)244x x x NM NQ n n n n n ⋅=--+-=-++-=--------------12分要使方程(*)对0x 恒成立，必须有21020n n n -=⎧⎨+-=⎩解得1n =，-------------------------13分∴在坐标平面内存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ，其坐标为(0,1)．-------14分20.解：（Ⅰ）当2=a 时，x x x f ln 2)(-=，1)1(=f ，切点)1,1(， ……1分xx f 21)('-=∴，121)1('-=-==∴f k ， ……3分 ∴曲线)(x f 在点()1,1处的切线方程为：)1(1--=-x y ，即20x y +-=. ……4分（Ⅱ）1()ln ah x x a x x+=-+，定义域为),0(+∞， 2222')]1()[1()1(11)(xa x x x a ax x x a x a x h +-+=+--=+--= ……5分 ①当01>+a ，即1->a 时，令0)('>x h ，a x x +>∴>1,0令0)('<x h ，a x x +<<∴>10,0 ……6分 ②当01≤+a ，即1-≤a 时，0)('>x h 恒成立， ……7分 综上：当1->a 时，)(x h 在)1,0(+a 上单调递减，在),1(+∞+a 上单调递增． 当1-≤a 时，)(x h 在),0(+∞上单调递增． ……8分 （Ⅲ）由题意可知，在],1[e 上存在一点0x ，使得)()(00x g x f ≤成立， 即在],1[e 上存在一点0x ，使得0)(0≤x h ， 即函数1()ln ah x x a x x+=-+在],1[e 上的最小值0)]([min ≤x h ．… …9分 由第（Ⅱ）问，①当e a ≥+1，即1-≥e a 时，)(x h 在],1[e 上单调递减，01)()]([min≤-++==∴a e ae e h x h ，112-+≥∴e e a ，1112->-+e e e ，112-+≥∴e e a ； ……10分②当11≤+a ，即0≤a 时，)(x h 在],1[e 上单调递增，011)1()]([min ≤++==∴a h x h ，2-≤∴a ……11分③当e a <+<11，即10-<<e a 时，0)1ln(2)1()]([min ≤+-+=+=∴a a a a h x h1)1ln(0<+<a ，a a a <+<∴)1ln(0，2)1(>+∴a h此时不存在0x 使0)(0≤x h 成立． ……13分综上可得所求a 的范围是：112-+≥e e a 或2-≤a ． ………………14分。
山东省肥城市2020-2021学年高二下学期期中考试数学试题
解：①由 ，得 ，
由函数 在区间 单调递增，
得 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
．
的取值范围是 ；
② 函数 在区间 内不单调，
在区间 有解．并且解的两侧，导函数的符号相反，
由 ，解得 ， ．
而 在区间 上单调递减，在 ， 上单调递增．
的取值范围是 ．
故答案为： ； ．
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法，属于中档题．
令 ， ，则 在 上恒成立，
所以 在 上单调递增，
因此 ，即 在 上恒成立；
综上， 在 上恒成立，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】
本题主要考查导数的应用，利用导数的方法研究函数的极值，单调性等，属于常考题型.
13．2
【分析】
先对函数求导，研究其在给定区间的单调性，求出极值，从而可得出最值.
【详解】
因为 ，所以 ，
6．C
【分析】
由题意，先将4个篮球分成三组，再分给三位小朋友，即可得出结果.
【详解】
将标号为1，2，3，4的四个篮球分成三组，若标号为1，2的两个篮球不分到同一组，
则有 种分法，
再将这三组篮球分给三个小朋友，则有 ，
根据分步乘法计数原理，可得：不同的分法种数为 .
故选：C.
【点睛】
本题主要考查排列与组合的简单应用，属于基础题型.
9．BCD
【分析】
根据导函数的图像，确定函数单调性，进而可判断出结果.
【详解】
由导函数图像可得：
当 时， ，即函数 在 上单调递增；
当 时， ，即函数 在 上单调递减；
当 时， ，即函数 在 上单调递增；
故BCD错误，A正确.
2019-2020年高二(下)期中数学试卷(文科)含解析(II)
2019-2020年高二（下）期中数学试卷（文科）含解析(II)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．“＞0”是“x＞0”的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分必要条件的定义进行判定即可．解答：解：由＞0⇔x＞0，是充要条件，故选：B．点评：本题考查了充分必要条件，考查二次根式的性质，是一道基础题．2．若函数f（x）=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限，则函数f′（x）的图象是（）A．B．C．D．考点：函数的单调性与导数的关系．专题：数形结合法．分析：先判断函数f（x）的单调性，根据当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减得到答案．解答：解：函数f（x）=x2+bx+c是开口向上的二次函数，顶点在第四象限说明对称轴大于0根据函数f（x）在对称轴左侧单调递减，导函数小于0；在对称轴右侧单调递增，导函数大于0知，A满足条件故选A．点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．3．的导数是（）A．B．C．D．考点：导数的乘法与除法法则．专题：计算题．分析：利用导数的四则运算法则，按规则认真求导即可解答：解：y′===故选A点评：本题考查了导数的除法运算法则，解题时认真计算即可，属基础题4．复数z=（i为虚数单位）的虚部为（）A．B．C．﹣D．i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：化简已知复数，由复数的基本概念可得虚部．解答：解：化简可得z=====﹣i，∴复数的虚部为：故选：C．点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算，属基础题．5．设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为（）A． 2 B．﹣2 C． D．考点：复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简后它的实部为0，可求实数a的值．解答：解：复数==，它是纯虚数，所以a=2，故选A点评：本题是基础题，考查复数的代数形式的混合运算，考查计算能力，常考题型．6．对于命题：p：∀x∈（0，），sinx+cosx＞1；q：∃x∈R，sin2x+cos2x＞1，则下列判断正确的是（）A．p假q真B．p真q假C．p假q假D． p真q真考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：分别判断出命题p，q的真假，从而得到答案．解答：解：命题：p：∀x∈（0，），sinx+cosx=sin（x+）＞1；p真，命题q：∃x∈R，sin2x+cos2x＞1，q假，故选：B．点评：本题考查了复合命题的判断，考查三角函数的性质，是一道基础题．7．若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于（）A． 2 B． 3 C． 6 D．9考点：函数在某点取得极值的条件；基本不等式．专题：计算题．分析：求出导函数，利用函数在极值点处的导数值为0得到a，b满足的条件；利用基本不等式求出ab的最值；注意利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等．解答：解：∵f′（x）=12x2﹣2ax﹣2b，又因为在x=1处有极值，∴a+b=6，∵a＞0，b＞0，∴，当且仅当a=b=3时取等号，所以ab的最大值等于9．故选：D．点评：本题考查函数在极值点处的导数值为0、考查利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等．8．函数f（x）=mx3﹣x+1在（﹣∞，+∞）上是减函数的一个充分不必要条件是（）A．m＜0 B．m≤0 C．m≤1 D． m＜1考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：问题转化为只需f′（x）≤0即可，结合二次函数的性质，从而求出m的范围．解答：解：∵f′（x）=3mx2﹣1，若函数f（x）=mx3﹣x+1在（﹣∞，+∞）上是减函数，则只需f′（x）≤0即可，若m=0，则f′（x）=﹣1＜0，成立，若m＜0，则函数f′（x）是二次函数，根据二次函数的性质得m＜0，∴当m≤0时，f′（x）＜0，而m＜0是m≤0的充分不必要条件，故选：A．点评：本题考查了充分必要条件，考查二次函数的性质，是一道基础题．9．在半径为R的半球内有一内接圆柱，则这个圆柱的体积的最大值是（）A．B．C．D．考点：球内接多面体；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题；导数的概念及应用；空间位置关系与距离．分析：设这个圆柱的高为h，可得这个圆柱的体积V=π（﹣h3+R2h）．利用导数研究函数的单调性，得V在（0，R）上是增函数，在（R，R）上是减函数，由此可得当h=R 时，圆柱的体积的最大值是πR3．解答：解：设这个圆柱的高为h，底面半径为r，可得h2+r2=R2，所以r=∴这个圆柱的体积V=πr2h=π（﹣h3+R2h）∵V'=π（﹣3h2+R2）=﹣3π（h+R）（h﹣R）V'＞0，得h＜R；V'＜0，得h＞R∴V在（0，R）上是增函数，在（R，R）上是减函数因此，当h=R时，圆柱的体积的最大值V max=π[﹣（R）3+R2×R）=πR3故选：A点评：本题给出半球，求其内接圆柱的体积最大值，着重考查了球内接多面体、圆柱体积公式和利用导数研究函数的最值等知识，属于中档题．10．函数f（x）=3+xlnx的单调递减区间是（）A．（，e）B．（0，）C．（﹣∞，）D．（，+∞）考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的概念及应用．分析：先求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的递减区间．解答：解：f′（x）=lnx+1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，故选：B．点评：本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题．二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为．考点：点到直线的距离公式．专题：转化思想．分析：由题意知，当曲线上过点P的切线和直线y=x﹣2平行时，点P到直线y=x﹣2的距离最小．求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于1，可得且点的坐标，此切点到直线y=x﹣2的距离即为所求．解答：解：点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，当过点P的切线和直线y=x﹣2平行时，点P到直线y=x﹣2的距离最小．直线y=x﹣2的斜率等于1，令y=x2﹣lnx的导数y′=2x﹣=1，x=1，或x=﹣（舍去），故曲线y=x2﹣lnx上和直线y=x﹣2平行的切线经过的切点坐标（1，1），点（1，1）到直线y=x﹣2的距离等于，故点P到直线y=x﹣2的最小距离为，故答案为．点评：本题考查点到直线的距离公式的应用，函数的导数的求法及导数的意义，体现了转化的数学思想．12．函数f（x）=x4﹣x3﹣6的极值点是x=2．考点：利用导数研究函数的极值．专题：导数的概念及应用．分析：先求出函数的导数，从而求出函数的极值点．解答：解：f′（x）=x3﹣2x2，令f′（x）＞0，解得：x＞2，令f′（x）＜0，解得：x＜2，∴函数f（x）在（﹣∞，2）递减，在（2，+∞）递增，∴x=2是函数的极值点，故答案为：x=2．点评：本题考查了函数的极值点的问题，考查导数的应用，要注意x=0不是函数的极值点，本题是一道基础题．13．若复数z满足z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），则=3﹣5i．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：把给出的等式两边同时乘以，然后利用复数的除法运算化简，则z的共轭复数可求．解答：解：由z（2﹣i）=11+7i，得，∴．故答案为：3﹣5i．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题．14．已知向量=（x2，x+1），=（1﹣x，t），若函数f（x）=•在区间（﹣1，1）上是增函数，则t的取值范围为t≥5．考点：平面向量数量积的运算；函数单调性的性质．专题：导数的概念及应用；平面向量及应用．分析：由数量积可得f（x），求导数可化问题为t≥3x2﹣2x在（﹣1，1）上恒成立，由二次函数的知识可得函数的值域，可得结论．解答：解：∵=（x2，x+1），=（1﹣x，t），∴f（x）=•=x2（1﹣x）+t（x+1）=﹣x3+x2+tx+1，∴f′（x）=﹣3x2+2x+t，∵函数f（x）=•在区间（﹣1，1）上是增函数，∴f′（x）=﹣3x2+2x+t≥0在（﹣1，1）上恒成立，∴t≥3x2﹣2x在（﹣1，1）上恒成立，而函数y=3x2﹣2x，x∈（﹣1，1）的值域为[，5）∴t≥5故答案为：t≥5点评：本题考查平面向量数量积和函数的单调性，涉及导数和恒成立问题，属中档题．15．若函数f（x）=x3﹣x在（a，10﹣a2）上有最小值，则a的取值范围为[﹣2，1）．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：由题意求导f′（x）=x2﹣1=（x﹣1）（x+1）；从而得到函数的单调性，从而可得﹣2≤a ＜1＜10﹣a2；从而解得．解答：解：∵f（x）=x3﹣x，∴f′（x）=x2﹣1=（x﹣1）（x+1）；故f（x）=x3﹣x在（﹣∞，﹣1）上是增函数，在（﹣1，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；f（x）=x3﹣x=f（1）=﹣；故x=1或x=﹣2；故﹣2≤a＜1＜10﹣a2；解得，﹣2≤a＜1故答案为：[﹣2，1）．点评：本题考查了导数的综合应用，同时考查了函数的最值，属于中档题．三.解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（Ⅰ）计算（）2（Ⅱ）已知复数z满足：|z|=1+3i﹣z，求的值．考点：复数代数形式的混合运算；复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：（Ⅰ）根据复数的基本运算即可求解即可计算（）2（Ⅱ）利用待定系数法先求出z，然后进行化简．解答：解：（Ⅰ）（）2==﹣1．（Ⅱ）设z=a+bi，（a，b∈R），而|z|=1+3i﹣z即则，则，即z=﹣4+3i，则====3+4i．点评：本题主要考查复数的基本运算，考查学生的运算能力．分母实数化是解决复数除法的基本方法．17．已知p：﹣x2+8x+20≥0，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）．（1）若p是q充分不必要条件，求实数m的取值范围；（2）若“非p”是“非q”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法．专题：计算题．分析：P：﹣2≤x≤10，Q：1﹣m≤x≤1+m．（1）由P是Q的充分不必要条件，知，由此能求出实数m的取值范围．（2）由“非P”是“非Q”的充分不必要条件，知由此能求出实数m的取值范围．解答：解：P：﹣2≤x≤10，Q：1﹣m≤x≤1+m（1）∵P是Q的充分不必要条件，∴[﹣2，10]是[1﹣m，1+m]的真子集．∴∴m≥9．∴实数m的取值范围为m≥9．（2）∵“非P”是“非Q”的充分不必要条件，∴Q是P的充分不必要条件．∴∴0＜m≤3．∴实数m的取值范围为0＜m≤3．点评：本题考查充分条件、必要条件和充要条件，解题时要认真审题，仔细解答，注意不等式组的合理运用．18．已知函数f（x）=ax3+bx2，在x=1时有极大值3；（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求函数f（x）在[﹣1，2]上的最值．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的概念及应用．分析：（1）先求出函数的导数，得到方程组，解出a，b的值即可；（2）先求出函数f（x）的单调区间，从而求出极值，结合函数的端点值，进而求出函数的最值．解答：解：f′（x）=3ax2+2bx，（1）由题意得：，解得：a=﹣6，b=9 …（6分）（2）由（1）得：f（x）=﹣6x3+9x2，∴f′（x）=﹣18x2+18x，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1或x＜0，∴函数f（x）在[﹣1，0），（1，2]递减，在（0，1）递增，∴f（x）极小值=f（0）=0，f（x）极大值=f（1）=3，而f（﹣1）=15，f（2）=﹣12，∴函数f（x）的最大值f（﹣1）=15，最小值f（2）=﹣12．点评：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道基础题．19．已知函数f（x）=x3+x2+ax+b（Ⅰ）当a=﹣1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）的图象与直线y=ax恰有两个不同的公共点，求实数b的值．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）先求原函数的导数，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可；（Ⅱ）利用导数求得原函数的极值，最后要使g（x）=x3+x2+b的其图象和x轴恰有2个交点，得到关于b的方程，从而求实数b的值．解答：解：（Ⅰ）当a=﹣1时，f′（x）=3x2+2x﹣1=（3x﹣1）（x+1），令f′（x）＞0，解得x＞或x＜﹣1，令f′（x）＜0，解得﹣1＜x＜，所以f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1），（，+∞），单调递减区间为（﹣1，）；（Ⅱ）因为函数f（x）的图象与直线y=ax恰有2个不同的公共点，所以方程x3+x2+ax+b﹣ax=0恰有2个不同的解，即函数g（x）x3+x2+b的图象与x轴恰有2个交点，g′（x）=3x2+2x，令g′（x）=3x2+2x=0，所以x1=0，x2=﹣，可列表：∴g（x）在x1=0处取得极小值b，在x2=﹣取得极大值+b，要使g（x）=x3+x2+b的其图象和x轴恰有2个交点，只需g（x）极小值=0，或g（x）极大值=0，∴b=0或b=﹣．点评：本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究函数的单调性、导数在最大值、最小值问题中的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，转化思想20．（13分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC与BD的交点为O，E为侧棱SC上一点．（Ⅰ）当E为侧棱SC的中点时，求证：SA∥平面BDE；（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面SAC；（Ⅲ）（理科）当二面角E﹣BD﹣C的大小为45°时，试判断点E在SC上的位置，并说明理由．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．专题：计算题；证明题．分析：（I）做出辅助线，连接OE，由条件可得SA∥OE．根据因为SA⊈平面BDE，OE⊂平面BDE，得到SA∥平面BDE．（II）建立坐标系，写出要用的点的坐标，写出要用的向量的坐标，设出平面的法向量，根据法向量与平面上的向量垂直，写出一个法向量，根据两个法向量垂直证明两个平面垂直．（III）本题是一个一个二面角为条件，写出点的位置，做法同求两个平面的夹角一样，设出求出法向量，根据两个向量的夹角得到点要满足的条件，求出点的位置．解答：解：（Ⅰ）证明：连接OE，由条件可得SA∥OE．因为SA⊈平面BDE，OE⊂平面BDE，所以SA∥平面BDE．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知SO⊥面ABCD，AC⊥BD．建立如图所示的空间直角坐标系．设四棱锥S﹣ABCD的底面边长为2，则O（0，0，0），S（0，0，），A（，0，0），B（0，，0），C（﹣，0，0），D（0，﹣，0）．所以=（﹣20，0），=（0，，0）．设CE=a（0＜a＜2），由已知可求得∠ECO=45°．所以E（﹣+a，0，a），=（﹣+，﹣，）．设平面BDE法向量为n=（x，y，z），则即令z=1，得n=（，0，1）．易知=（0，，0）是平面SAC的法向量．因为n•=（，0，1）•（0，﹣，0）=0，所以n⊥，所以平面BDE⊥平面SAC．（8分）（Ⅲ）设CE=a（0＜a＜2），由（Ⅱ）可知，平面BDE法向量为n=（，0，1）．因为SO⊥底面ABCD，所以=（0，0，）是平面BDC的一个法向量．由已知二面角E﹣BD﹣C的大小为45°．所以|cos（，n）|=cos45°=，所以，解得a=1．所以点E是SC的中点．点评：本题考查用空间向量解决线线角和面面角，本题解题的关键是建立坐标系，把立体几何的理论推导变化成数字的运算问题，这样可以降低题目的难度，同学们只要细心都可以做对．21．已知函数f（x）=px﹣﹣2lnx，其中p∈R．（Ⅰ）求函数f（x）在（1，0）点的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）在其定义域内为单调递增函数，求实数p的取值范围；（Ⅲ）若函数g（x）=，且p＞0，若在[1，e]上至少存在一个x的值使f（x）＞g（x）成立，求实数p的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）根据求导公式求出f′（x），由导数的几何意义求出切线的斜率，根据点斜式方程求出切线方程并化为一般式方程；（Ⅱ）由导数与函数单调性的关系将条件转化为：f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，再分离常数p，利用基本不等式求出p的范围；（Ⅲ）将条件转化为：不等式f（x）﹣g（x）＞0 在[1，e]上有解，再构造函数F（x）=f （x）﹣g（x），求出F′（x）化简后利用已知条件判断出符号，得到F（x）的单调性，求出F（x）在[1，e]的最大值，即可求出实数p的取值范围．解答：解：（Ⅰ）由题意得，f′（x）=p+=，∴在（1，0）点的切线d斜率k=2p﹣2，∴在（1，0）点的切线方程是：y=（2p﹣2）（x﹣1）…（Ⅱ）由（I）得f′（x）=，且定义域是（0，+∞），∵f（x）在其定义域内的单调递增函数，则f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，∴px2﹣2x+p≥0在（0，+∞）上恒成立，∴在（0，+∞）上恒成立即可，∵=≤=1，当且仅当，即x=1时取等号，∴p≥1，∴实数p的取值范围是[1，+∞）…（9分）（Ⅲ）在[1，e]上至少存在一个x的值使f（x）＞g（x）成立，等价于不等式f（x）﹣g（x）＞0 在[1，e]上有解，设F（x）=f（x）﹣g（x）=px﹣﹣2lnx﹣，∵p＞0，x∈[1，e]，∴F′（x）=p++=＞0，∴F（x）在[1，e]上的增函数，F（x）的最大值是F（e）=，依题意需＞0，解得p＞，∴实数p的取值范围是（，+∞）…点评：本题考查了导数的几何意义及切线方程，利用导数研究函数的单调性、最值，考查构造函数法，分离常数法，转化思想，以及化简、计算能力，属于中档题．。
山东省泰安市肥城市2020-2021学年高二下学期期中数学试题
【分析】
求出导数，确定函数的单调性，可得极大值点．
【详解】
由题意 ，∵， 由 得 ，
当 或 时， ， 时， ，
∴极大值点为 ．
故选：B．
【点睛】
本题考查导数与极值，在可导区间内函数的极值点不仅要求导数值为0，而且要求在该点两侧导数的符号相反．
10．A
【分析】
求出导函数 ，由 在 上有解且不是等根可得．
(2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．
8．B
【分析】
设出 ， ，求出 ，再分析确定
【详解】
由题意设 ， ， ，
则 ，
显然有 ， ，且 ， 只可能是 对应的 ．
故选：B．
【点睛】
本题考查复数的运算，考查复数的几何意义．掌握模的概念是解题关键．
．
故选：A．
【点睛】
本题考查复数的几何意义，属于基础题．复数 在复平面上对应点为 ．也可从对称性得出 两点关于原点对称，从而对应的复数和为0．
7．C
【详解】
分析：首先确定所给函数的导函数为二次函数，然后结合函数的极值确定函数的单调性，由函数的单调性即可确定函数 的大致图象.
详解：三次函数的导函数为二次函数，其图象与 轴有两个交点，
3．已知a为函数f（x）=x3–12x的极小值点，则a=
A．–4B．–2C．4D．2
4．若函数f(x)=ax4+bx2+c满足f'(1)=2,则f'(-1)=( )
A．-1B．-2
C．2D．0
5．已知函数 ，则 （）
A． B．
C． D．
6．在复平面内，设复数 对应点关于实轴、虚轴的对称点分别是 ，则点 对应的复数和是（）