数学分析试卷及答案6套

一. (8分)用数列极限的N ε-定义证明1n =.

二. (8分)设有复合函数[()]f g x , 满足: (1) lim ()x a

g x b →=;

(2) 0()x U a ?∈,有0

()()g x U b ∈ (3) lim ()u b

f u A →=

用εδ-定义证明, lim [()]x a

f g x A →=.

三. (10分)证明数列{}n x :

cos1cos 2

cos 1223

(1)

n n

x n n =

+++

???+收敛.

四. (12分)证明函数1

()f x x

=

在[,1]a (01)a <<一致连续,在(0,1]不一致连续. 五. (12分)叙述闭区间套定理并以此证明闭区间上连续函数必有界. 六. (10分)证明任一齐次多项式至少存在一个实数零点.

七. (12分)确定,a b 使lim )0x ax b →+∞

-=.

八. (14分)求函数32()2912f x x x x =-+在15

[,]42

-的最大值与最小值.

九. (14分)设函数()f x 在[,]a b 二阶可导, ()()0f a f b ''==.证明存在(,)a b ξ∈,使

2

4

()()()()

f f b f a b a ζ''≥

--.

一. (10分)设数列{}n a 满足

: 1a =

, 1()n a n N +=∈, 其中a 是一给定的

正常数, 证明{}n a 收敛,并求其极限.

二. (10分)设0

lim ()0x x f x b →=≠, 用εδ-定义证明0

11

lim

()x x f x b

→=. 三. (10分)设0n a >,且1

lim

1n

n n a l a →∞+=>, 证明lim 0n n a →∞

=.

四. (10分)证明函数()f x 在开区间(,)a b 一致连续?()f x 在(,)a b 连续,且

lim ()x a f x +

→,lim ()x b

f x -

→存在有限. 五. (12分)叙述确界定理并以此证明闭区间连续函数的零点定理.

六. (12分)证明:若函数在连续,且()0f a ≠,而函数2

[()]f x 在a 可导,则函数()f x 在

a 可导.

七. (12分)求函数()1f x x x α

αα=-+-在的最大值,其中01α<<.

八. (12分)设f 在上是凸函数,且在(,)a b 可微,则对任意1x ,2x (,)a b ∈, 12x x <,都有

12()()f x f x ''≤.

九. (12分)设()

,0()0,0

g x x f x x x ? ≠?

=?? =? 且(0)(0)0g g '==, (0)3g ''=, 求(0)f '.

一.(各5分,共20分)求下列不定积分与定积分: 1. arctan x x dx ?

2. x e dx -?

3.

ln 0

?

4.

20

sin 1cos x x

dx x

π

+?

二.(10分)设()f x 是上的非负连续函数, ()0b

a

f x dx =?

.证明()0f x = ([,])x a b ∈.

三. (10分)证明20

sin 0x

dx x

π>?

. 四. (15分)证明函数级数0

(1)n n x x ∞

=-∑在不一致收敛, 在[0,]δ(其中)一致收敛.

五. (10分)将函数,0

(),0x x f x x x ππππ

+ ≤≤?=?- <≤?展成傅立叶级数.

六. (10分)

设22

22

0(,)0,0

xy x y f x y x y ? +≠?=?? +=?

证明: (1) (0,0)x f ', (0,0)y f '存在; (2) (,)x f x y ',(,)y f x y '在(0,0)不连续;

(3) (,)f x y 在(0,0)可微.

七. (10分)用钢板制造容积为V 的无盖长方形水箱,怎样选择水箱的长、宽、高才最省钢板?

八. (15分)设01σ<<, 证明1

11

(1)n n n σ

σ∞

=<+∑

.

一. (各5分,共20分)求下列不定积分与定积分:

1.(0)a >

2.

1172

815714

x x dx x x

++?

3.

1

arcsin x dx ?

4. 1000

π

?

二. (各5分,共10分)求下列数列与函数极限:

1. 221

lim n

n k n

n k →∞=+∑

2. 2

0lim

1x

t x

x x

e dt e →-?

三.(10分)设函数在[,]a b 连续,对任意[,]a b 上的连续函数()g x , ()()0g a g b ==,有

()()0b

a

f x

g x dx =?

.证明()0f x = ([,])x a b ∈.

四. (15分)定义[0,1]上的函数列

2

212,211()22211n n x x n f x n n x x n n x n ? , 0≤≤??

?

=- , <≤??

?

0 , <≤??

证明{()}n f x 在[0,1]不一致收敛.

五. (10分)求幂级数0(1)n n n x ∞

=+∑的和函数.

六. (10分)用εδ-定义证明

2(,)(2,1)

lim (43)19x y x y →+=.

七. (12分)求函数22(2)(2)(0)u ax x by y ab =-- ≠的极值.

八. (13分)设正项级数1n n a ∞

=∑收敛,且1()n n a a n N ++≥ ∈.证明lim 0n n na →∞

=.

一 (10分) 证明方程11(, )0F x zy y zx --++=所确定的隐函数(, )z z x y =满足方程

.z z x

y z xy x y

??+=-?? 二 (10分) 设n 个正数12, , , n x x x 之和是a

，求函数u

=.

三 (14分) 设无穷积分() a

f x dx +∞?

收敛，函数()f x 在[, )a +∞单调，证明

1

()() ().f x o x x

=→+∞

四 (10分) 求函数1

220() ln() F y x y dx =+?的导数(0).y >

五 (14分) 计算

0sin sin (0, ).px

bx ax

I e dx p b a x

+∞

--=>>?

六 (10分) 求半径为a 的球面的面积S . 七 (10分) 求六个平面

111111122222223

333333 ,

, = 0 , , a x b y c z h a b c a x b y c z h a b c a x b y c z h a b c ++=±??

++=±?≠??++=±? 所围的平行六面体V 的体积I ，其中, , , i i i i a b c h 都是常数，且0 (1, 2, 3).i h i >= 八 (12分) 求22

C

xdy ydx

x y

-+?

，其中C 是光滑的不通过原点的正向闭曲线. 九 (10分) 求dS z

∑

??

，其中∑是球面2222x y z a ++=被平面 (0)z h h a =<<所截的顶部.

数学分析-3样题(二)

一 (10分) 求曲面2233, , x u v y u v z u v =+=+=+在点(0, 2)对应曲面上的点的切平面与法线方程.

二 (10分) 求在两个曲面2221x xy y z -+-=与221x y +=交线上到原点最近的点. 三 (14分) 设函数()f x 在[1, )+∞单调减少，且lim ()0x f x →+∞

=，证明无穷积分

1

() f x dx +∞

?

与级数100

1

()n f n =∑同时收敛或同时发散.

四 (12分) 证明

ln (0).ax bx e e b

dx a b x a

--+∞

-=<

五 (12分) 设函数()f x 在[, ]a A 连续，证明 [, ]x a A ?∈，有

01lim [()()] ()().x

a h f t h f t dt f x f a h

→+-=-?

六 (10分) 求椭圆区域221112221221: ()() 1 (0)R a x b y c a x b y c a b a b +++++≤-≠的面积A .

七 (10分) 设222()() V

F t f x y z dx dy dz =++???，其中2222: (0)V x y z t t ++≤≥，

f 是连续函数，求'()F t .

八 (10分) 应用曲线积分求(2sin )(cos )x y dx x y dy ++的原函数.

九 (12分) 计算 S

xyz dx dy ??，其中S 是球面2221x y z ++=在0, 0x y ≥≥部分并取

球面外侧.