信安数学

若q q1 , 则 | b(q q1 ) | b, 而 | r1 r | b, 矛盾.
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定义3 对定理10中c的某些特殊取值:
1. 当c 0时, 有0 r b, 这时r叫做最小非负余数.
2.当c 1时, 有1 r b, 这时r叫做最小正余数.
3.当c b 1时, 有-b + 1 r 0, 这时r叫做最大非 正余数.
9 19 29 39 49 59
10 20 30 40 50 60
69 70 79 80 89 90 99 100
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故1 ~ 100之间的素数有 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97共 25个.
证 因a | b, b | a, 所以存在整数q1 , q2 , 使得
a bq1 , b aq2
a bq1 (aq2 )q1 a(q1 q2 )
于是q1 q2 =1, 因q1 , q2是整数,所以
q1 q2 1,
从而a b.
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二、素数(质数)及其判别法
1. 素数
10
例1 设a , b, c 0是三个整数, c | a, c| b . 如果存 在整数s, t , 使得 sa tb 1, 则c 1.
证 因c | a, c | b, 且sa tb 1, 所以有
c | sa tb
故c 1.
c | 1,
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定理5 设a , b都是非零整数, 若a | b, b | a , 则 a b.
a bq r ,
0r b
a bq1 r1 , 0 r1 b
故q = q1 , 从而r r1 .
b(q q1 ) r1 r .
若q q1 , 则 | b(q q1 ) | b, 而 | r1 r | b, 矛盾.
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注 : 如果将条件b 0, 改为b 0, 则定理9中结 论可改为 a bq r , 0 r | b |
整数为素数的判别法
定理7 设n是一个正整数, 如果对所有的素数 p n , 都有p | n, 则n是素数.
2.素数的求法(Eratosthenes筛法)
1、要求出不超过n的一切素数,只须把不超过 n的素数的倍数划去即可.
2、要划掉素数p的倍数,可以从p2 开始划起, 因对于每一个小于p2的合数a , 它的最小素因数 a p, 因而在之前已被划掉了.
定义2 设整数n 0， 1，如果除了 1和 n 外，n没有其它因数,则n叫做素数(或质数或不可 约数),否则n叫做合数.
注 : 当整数n 0, 1时, n和 n同为素数或合数.因此, 通常素数总是指正整数, 用p表示.
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定理6 设n是一个正合数, p是n的一个大于1 的最小正因数, 则p是素数,且p n .
信息安全数学基础
1
一、信息安全数学基础的内容及其作用
内容：数论、代数、椭圆曲线
作用：基础
二、数论在信息安全中的应用
在了解通讯安全的有关概念（如明文、密文、密钥） 和通讯安全中的基本问题（如保密、数字签名、密钥 管理、分配和共享）理解公钥体制（单向函数概念）， 以及加密和数字签名的方法（基于大数分解的RSA方 案）
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定理8 素数有无穷多个.
证(反证法) 假设整数中只有有限个素数, 设为p， ，p， 1 p， 2 k 令
n p1 p2 pk 1，
于是n的大于 则n pi ( i = 1,2,, k ), 所以n是合数.
1的最小正因数p是素数, 这里 p 某个pi (1 i k ),
a = bq + r, c r b c
(q, r的唯一性) 若有整数q,r和q1 ,r1 , 使得
a bq r ,
c r bc
a bq1 r1 , c r1 b c
故q = q1 , 从而r r1 .
b(q q1 ) r1 r .
4.当c b时, 有 b r 0, 这时r叫做最大负余数.
b b 5. 当b 2k , c k时, 有- k r k . 2 2 b b 当b 2k , c k 1时, 有- k r k . 2 227
当b 2k 1, c k时, 有
因q1 q2是整数, 所以c | a b.
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定理3 设a, b, c 0是三个整数.若c | a, c | b, 则对任意整数s,t ,有c | sa tb.
证 因c | a, c | b, 所以存在整数q1 , q2 , 使得
a cq1 , b cq2
于是对任意整数s, t ,
证 若p是合数, 则存在整数q, 1 q p, 使得
q | p. 又 p | n, 于是q | n, 这与p是n的最小正因数的
假设矛盾,所以 p是素数.
因n是合数, p是n的大于1的最小正因数,所以
存在整数n1 , 使得
n pn1
1 p n1 n
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因此 p2 n, 故 p n .
b-1 b1 =k r k 1 2 2
即
b b1 b1 b - k r k . 2 2 2 2
b b - r 2 2 b b - r . 2 2
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于是无论b取偶数还是奇数, 总有
或
这时r叫做绝对值最小余数.
1.2 整数的表示
都可唯一地表成
定理1 设b是大于1的正整数, 则任意正整数n n a k b a k 1 b
k k 1
a1 b a0
其中ai 是整数, 0 ai b 1, i 1, 2, , k , 且首项系 数ak 0.
证 由欧几里得除法
n bq0 a0 ,
0 a0 b 1
证 (q, r的存在性) 考虑数列
,-3b,-2b,-b,0,b,2b,3b,
则a必在上述数列的某两项之间, 即存在整数q,
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使得 qb a (q 1)b
0 a bq b
令r a bq, 则有
a = bq + r, 0 r b
(q, r的唯一性) 若有整数q,r和q1 ,r1 , 使得
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例2 求出所有不超过N 100的素数.
解 小于等于 100 10的所有素数为2, 3, 5, 7, 划去2, 3, 5, 7的倍数和1, 余下的即为1 ~ 100之间的素 数.
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1 11 21 31 41 51 61 71 2 72 82 92
如果b不能整除a, 则记作b | a.
6
注 : (1) 当b遍历整数a的所有因数时, b也遍历整数 a的所有因数.
(2) 当b遍历整数a的所有因数时, a / b也遍历整数 a的所有因数.
(3) 对任何整数b 0, 有b | 0.
(4) 对任何整数b, 有1|b.
(5) 对任何整数a 0, 有a | a.
3 13 23 33 43 53 63 73 83 93
4 14 24 34 44 54 64 74 84 94
5 15 25 35 45 55 65 75 85 95
6 16 26 36 46 56 66 76 86 96
7 17 27 37 47 57 67 77 87 97
8 18 28 38 48 58 68 78 88 98
3
RSA方案所用的数论知识：素数、素数的分解、 模论、欧拉函数、欧拉定理、费马定理、素性检 验、孙子定理等等。
三、学习方法
四、学习成绩 五、答疑时间
4
第一章 整数的可除性
5
1.1 整除的概念 欧几里得除法
一、整除基本概念及性质
定义1 设a , b是任意两个整数,其中b 0, 如果 存在一个整数q使得等式 a bq 成立,则称b整除a或者a被b整除,记作b | a . 此时q可 a 写成a / b或 . b 如果b | a, 则b叫做a的因数, 而a叫做b的倍数.
证 (q, r的存在性) 考虑数列
,-3b c,-2b c,-b c,c,b c,2b c,3b c,
则a必在上述数列的某两项之间, 即存在整数q,
使得 qb c a ( q 1)b c
c a bq b c
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令r a bq, 则有
例3 2 1和2 （ 1 n>2且n Z),证明其中一数
n n
必为合数。
例4 奇素数p均可表示为两个自然数的平方差。
练习 一个大于11的自然数一定可表示为 两个合数之和。
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欧几里得除法的推广形式
定理10 (欧几里得除法) 设a, b是两个整数,其 中b 0,则对任意整数c,存在唯一的整数 q, r ,使得 a = bq + r, c r bc
(6) 若b | a, 则b | (a),(b) | (a).
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定理1 设a, b 0, c 0是三个整数. 若c | b, b | a, 则c | a.
证 设c | b，b | a，则存在整数q1，q2，使得
b cq1，a bq2
于是有
a bq2 (cq1 )q2 c(q1q2 )
所以2, 3, 5, 7,11皆不能整除137, 由定理7知, N 137 为素数.
一般地,对于整数N ,先求出不超过 N 的所 有素数, 若这些素数都不能整除N , 则N 为素数, 否 则N 为合数.