控制系统的数学模型及传递函数

控制系统的数学模型及传递函数2-1 拉普拉斯变换的数学方法拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量S的乘积，将时间表示的微分方程，变成以S表示的代数方程。

一、拉氏变换与拉氏及变换的定义1、拉氏变换：设有时间函数，其中，则f(t)的拉氏变换记作：称L—拉氏变换符号；s-复变量； F(s)—为f(t)的拉氏变换函数，称为象函数。

f(t)—原函数拉氏变换存在，f(t)必须满足两个条件(狄里赫利条件)：1)在任何一有限区间内，f(t)分断连续，只有有限个间断点。

2)当时，，M，a为实常数。

2、拉氏反变换：将象函数F（s）变换成与之相对应的原函数f(t)的过程。

—拉氏反变换符号关于拉氏及变换的计算方法，常用的有：①查拉氏变换表；②部分分式展开法。

二、典型时间函数的拉氏变换在实际中，对系统进行分析所需的输入信号常可化简成一个成几个简单的信号，这些信号可用一些典型时间函数来表示，本节要介绍一些典型函数的拉氏变换。

1．单位阶跃函数2．单位脉冲函数3．单位斜坡函数4．指数函数5．正弦函数sinwt 由欧拉公式：所以，6．余弦函数coswt其它的可见表2-1：拉氏变换对照表三、拉氏变换的性质1、线性性质若有常数k1，k2,函数f1(t),f2(t),且f1(t),f2(t)的拉氏变换为F1(s),F2(s),则有：，此式可由定义证明。

2、位移定理(1)实数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),则对任一正实数a有, 其中，当t<0时，f(t)=0，f(t-a)表f(t)延迟时间a. 证明：，令t-a=τ,则有上式=例：, 求其拉氏变换(2)复数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),对于任一常数a,有证：例：求的拉氏变换3、微分定理设f(t)的拉氏变换为F(s),则其中f(0+)由正向使的f(t)值。

证：同理可推广到n阶：当初始条件为0时，即则有4、积分定理设f(t)的拉氏变换为F(s),则，其中时的值。

证明：同理可得n阶积分的拉氏变换：当初始条件为0时，f(t)的各重积分在时，均为0，则有]5、初值定理设f(t)的拉氏变换为F(s)，则函数f(t)的初值定理表示为：证明：由微分定理知：对等式两边取极限：则有例：已知，求f(0+)由初值定理知：6、终值定理：若f(t)的拉氏变换为F(s),则终值定理表示为：证明：由微分定理知：令，对上式两边取极限，这个定理在稳态误差中常用。

例：已知：，求f()7、卷积定理设f(t)的拉氏变换为F(s),g(t)的拉氏变换为G(s)，则有式中，称为f(t)与g(t)的卷积。

此定理不要求证明。

课堂练习：1) 求L[t2]2)求图示正弦波半波函数的拉氏变换3)已知f(t)的拉氏变换为F(s),求4)已知f(t)的拉氏变换为F(s),求L[f(at)]四、拉氏反变换的数学方法在已知象函数F(s),求f(t)时，对于简单的象函数，可直接利用表2-1来查，但对于复杂的，可利用部分分式展开法，即通过代数运算将一个复杂的象函数化为数个简单的部分分式之和，再求出各个分式的原函数，从而求出总的原函数。

部分分式展开法：对于象函数F(s),常可写成如下形式：式中，p1,p2…,pn称为F(s)的极点，p1,p2…,pn称为F(s)的零点。

一般A(s)的阶次大于B(s)，若B(s)>A(s),可化为多项式+真分式的形式。

下面分两种情况，研究分式展开法。

1、F(s)无重极点的情况此时，F(s)总能展开成下面的部分分式之和：其中，分子为待定系数。

例：求F(s)的拉氏变换解一：解二：所以例2若p1,p2 为共轭复数，相应的系数k1，k2也是共轭复数，故只需求出一个即可。

2、F(s)有重极点的情况设F(s)有r 个重极点p1,其余极点均不相同，则例：求的拉氏反变换所以：2-2 系统的数学模型1、数学模型的概念我们把描述系统或元件的动态特性的数学表达式叫做系统或元件的数学模型。

深入了解元件及系统的动态特性，准确建立它们的数学模型－称建模，只有得到较为准确的数学建模，才能设计出性能良好的控制系统。

动态特性控制系统所采用的元件种类繁多，虽然各自服从的规律，但它们有一共同点：即任何系统或元件总有物质或能量流入，同时又有某些物质或能量流出，系统通常又是有贮存物质或能量的能力，贮存量的多少用状态变量来表示。

状态变量是反应系统流入量或流出量之间平衡的物理量，由于外部供给系统的物质或能量的速率是有限的，不可能是无穷大，因此，系统的状态变量有一个状态变到另一个状态不可能瞬间完成，而要经过一段时间。

这样，状态变量的变化就有一个过程，这就是动态过程。

例如，电路中电容上的电压是一个状态变量，它由一个值变到另一个值不可能瞬间完成。

具有一定惯量的物体的转速是一个状态变量，转速的变化也是一个过渡过程，具有一定质量的物体的温度是一个状态变量，它由温度T0变到T，同样有一个动态过程；又如容器中液位也是一个状态变量，液位的变化也要一定的时间。

建立控制系统数学模型的方法有1）分析法－对系统各部分的运动机理进行分析，依据系统本身所遵循的有关定律列写数学表达式，并在列写过程中进行必要的简化。

建立系统数学模型的几个步骤：•建立物理模型。

•列写原始方程。

利用适当的物理定律—如牛顿定律、基尔霍夫电流和电压定律、能量守恒定律等）•选定系统的输入量、输出量及状态变量（仅在建立状态模型时要求），消去中间变量，建立适当的输入输出模型或状态空间模型。

2）实验法－是根据系统对某些典型输入信号的响应或其它实验数据建立数学模型。

即人为施加某种测试信号，记录基本输出响应。

这种用实验数据建立数学模型的方法也称为系统辩识。

数学模型的逼近1、线性系统和非线性系统1) 线性系统可以用线性微分方程描述的系统。

如果方程的系数为常数，则为线性定常系统；例：，其中,a,b,c,d均为常数。

如果方程的系数是时间t的函数，则为线性时变系统；线性系统线性是指系统满足叠加原理，即：系统在几个外力作用下所产生的响应等于各个外加作用单独作用时的响应之和。

可加性：齐次性：或2) 非线性系统用非线性微分方程描述的系统。

非线性系统不满足叠加原理。

例：就是非线性系统。

实际的系统通常都是非线性的，线性只在一定的工作范围内成立。

即在实际系统中，变量之间不同程度地包含有非线性关系，如：间隙、饱合、死区、干磨擦特性等。

非线性系统为分析方便，通常在合理的条件下，可进行如下外理：①线性化②忽略非线性因素③用非线性系统的分析方法来处理。

3）线性系统和非线性系统的判别设某系统的微分方程如下：①若方程的系数a i,b j都既不是x o(t)和x i(t)及它们的导数的函数，又不是时间的函数，则此方程是线性定常的，此系统为线性定常系统。

②若a i,b j是时间的函数，则该方程是线性时变的，此系统称为线性时变系统。

③若a i,b j中只要有一个系数依赖于x o(t)和x i(t)或它们的导数，或者在微分方程中出现t r 其它函数形式，该方程为非线性的。

例：线定常非线性判断下列微分方程表达的系统是线性系统还是非线性系统？a: (线定常)b: (非线性)c:（线时变）式中：u:输入信号 y:输出信号 a i(t)：时变系统3、本课程涉及的数学模型形式时间域：微分方程（一阶复数域：传递函数、结构图频率域：频率特性二、系统微分方程的建立1、建立微分方程的一般步骤1)分析系统工作原理和信号传递变换的过程，确定系统和各元件的输入、输出量；2)从输入端开始，按照信号传递变换过程，依据各变量遵循的物理学定律，依次列写出各元件、部件的动态微分方程；3)消去中间变量，得到描述元件或系统输入、输出变量之间关系的微分方程；4)标准化：右端输入，左端输出，导数降幂排2、机械系统微分方程的列写机械系统中部件的运动有直线和转动两种。

机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可简化为质量、弹簧和阻尼三个要素。

列写其微分方程通常用达朗贝尔原理。

即：作用于每一个质点上的合力，同质点惯性力形成平衡力系。

用公式表示：1）直线运动（机械平移系统）式中，m、C、K通常均为常数，故机械平移系统可以由二阶常系数微分方程描述。

显然，微分方程的系数取决于系统的结构参数，而阶次等于系统中独立储能元件（惯性质量、弹簧）的数量。

2）转动系统3、电网络系统电网络系统分析主要根据基尔霍夫电流定律和电压定律写出微分方程式，进而建立系统的数学模型。

1）基尔霍夫电流定律：汇聚到某节点的所有电流之代数和应等于0（即流出节点的电流之和等于所有流进节点的电流之和）。

2）尔霍夫电压定律电网络的闭合回路中电势的代数和等于沿回路的电压降的代数和。

电网络系统中三人基本原件是：电阻、电感、电容电阻：电容：电感：例：小结物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型，从而可以抛开系统的物理属性，用同一方法进行具有普遍意义的分析研究（信息方法）。

从动态性能看，在相同形式的输入作用下，数学模型相同而物理本质不同的系统其输出响应相似。

相似系统是控制理论中进行实验模拟的基础；通常情况下，元件或系统微分方程的阶次等于元件或系统中所包含的独立储能元（惯性质量、弹性要素、电感、电容、液感、液容等）的个数；因为系统每增加一个独立储能元，其内部就多一层能量（信息）的交换。

系统的动态特性是系统的固有特性，仅取决于系统的结构及其参数。

三、传递函数微分方程建立后，就可对其求解，得出输出量的运动规律，从而对系统进行分析与研究。

但微分方程求解繁琐，且从其本身很难分析系统的动态特性，但若对微分方程进行拉氏变换，即得到代数方程，使求解简化，又便于分析研究系统的动态特性，更直观地表示出系统中各变量间的相互关系。

传递函数就是在用拉氏变换求解线性常微分方程的过程中引申出来的概念。

1、传递函数的基本定义：线性定常系统的传递函数，定义为零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。

零初始条件：t<0时，输入量及其各阶导数均为0；输入量施加于系统之前，系统处于稳定的工作状态，即t < 0 时，输出量及其各阶导数也均为0；传递函数的一般形式：设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述：式中，n m，当初始条件全为零时，对上式进行拉氏变换可得系统传递函数的一般形式：此式表示了输入到输出之间信息的传递关系，称G(s)为系统的传递函数。

传递函数的主要特点有：a: 传递函数是复变量s的有理真分式函数，m≤n，且所具有复变量函数的所有性质。

b: G(s)取决于系统或元件的结构和参数，与输入量的形式（幅度与大小）无关。

C: G(s)虽然描述了输出与输入之间的关系，但它不提供任何该系统的物理结构。

因为许多不同的物理系统具有完全相同的传递函数。