2015年高考文科数学试卷全国卷1(解析版) (2)

2015年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学卷1

1．已知集合{32,},{6,8,10,12,14}A x x n n N B ==+∈=，则集合A B I 中的元素个数为( )（A ） 5 （B ）4 （C ）3 （D ）2

2．已知点(0,1),(3,2)A B ，向量(4,3)AC =--u u u r

，则向量BC =u u u r ( )

（A ） (7,4)-- （B ）(7,4) （C ）(1,4)- （D ）(1,4) 3．已知复数z 满足(1)1z i i -=+，则z =（ ）

（A ） 2i -- （B ）2i -+ （C ）2i - （D ）2i +

4．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从

1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ）

（A ）

310 （B ）15 （C ）110 （D ）120

5．已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12

，E 的右焦点与抛物线2

:8C y x =的焦点重

合，,A B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB = ( )(A ） 3（B ）6（C ）9（D ）12 6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（ ）

（A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛

7．已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（ ） （A ）

172 （B ）19

2

（C ）10 （D ）12 8．函数()cos()f x x ω?=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）

（A ）13(,),44k k k Z ππ-

+∈ （B ）13

(2,2),44k k k Z ππ-+∈ （C ）13(,),44k k k Z -+∈

（D ）13

(2,2),44k k k Z -+∈

9．执行右面的程序框图，如果输入的0.01t =，则输出的n =（ ）

（A ） 5 （B ）6 （C ）10 （D ）12

10．已知函数1222,1

()log (1),1

x x f x x x -?-≤=?-+>? ，且()3f a =-，则(6)f a -=（ ）

（A ）74-

（B ）54- （C ）34- （D ）14

- 11．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r =( )

（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8 12．设函数()y f x =的图像与2

x a

y +=的图像关

于直线y x =-对称，且(2)(4)1f f -+-=，则

a =( ） （A ） 1- （B ）1 （C ）2 （D ）4

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上．

13．数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n = . 14．已知函数()3

1f x ax x =++的图像在点()()

1,1f 的处的切线过点()2,7，则

a = .

15．若x,y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤??

-+≤??-+≥?

,则z=3x+y 的最大值为 ．

16．已知F 是双曲线2

2

:18

y C x -=的右焦点，P 是C 左支上一点，()

0,66A ，当APF ?周长最小时，该三角形的面积为 ．

17．（12分）已知,,a b c 分别是ABC ?内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =. （Ⅰ）若a b =，求cos ;B （Ⅱ）若90B =o

，且2,a = 求ABC ?的面积.

18．（本小题满分12分）如图四边形ABCD 为菱

形，G 为AC 与BD 交点，BE ABCD ⊥平面， （Ⅰ）证明：平面AEC ⊥平面BED ； （Ⅱ）若120ABC ∠=o ,AE EC ⊥ 三棱锥

E ACD -的体积为

6

3

，求该三棱锥的侧面积.

19．（本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的宣传费i x 和年销售量()1,2,,8i y i =L 数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

x r

y u r

w u r

8

2

1

()

i

i x x =-∑

8

2

1

()

i

i w w =-∑

81

()()i

i

i x x y y =--∑ 8

1

()()i

i

i w w y

y =--∑

46.6 56.3 6.8 289.8 1.6 1469 108.8

表中i w i x ，w u r =

1

8

8

1

i i w =∑

（Ⅰ）根据散点图判断，y a bx =+与y c x =+y 关于年宣传费x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；

（III ）已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为0.2z y x =- ，根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：

（Ⅰ）当年宣传费90x =时，年销售量及年利润的预报值时多少？

（Ⅱ）当年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？

附：对于一组数据11(,)u v ,22(,)u v ，……，(,)n n u v ,其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

μ1

2

1

()()

=()

n

i

i

i n

i

i u u v v u u β

==---∑∑，μμ=v u α

β-

20．（本小题满分12分）已知过点()1,0A 且斜率为k 的直线l 与圆C ：()()2

2

231x y -+-=交于M ，N 两点.

（Ⅰ）求k 的取值范围；

（Ⅱ）12OM ON ?=u u u u r u u u r

，其中O 为坐标原点，求MN .

21．（本小题满分12分）设函数()2ln x

f x e

a x =-.

（Ⅰ）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数； （Ⅱ）证明：当0a >时()22ln

f x a a a

≥+.

22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()2

2

2:121C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求12,C C 的极坐标方程. （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()π

R 4

θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ? 的面积.