2020-2021长春市初三数学上期末模拟试卷(及答案)
2020-2021长春市初三数学上期末模拟试卷(及答案)一、选择题1．若一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（）A．m≥1B．m≤1C．m＞1D．m＜12．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知==，则球的半径长是（）EF CD4A．2B．2.5C．3D．44．把抛物线y＝﹣2x2向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是（）A．y＝﹣2（x+1）2+1B．y＝﹣2（x﹣1）2+1C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣1D．y＝﹣2（x+1）2﹣15．现有一块长方形绿地，它的短边长为20 m，若将短边增大到与长边相等(长边不变)，使扩大后的绿地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加300 m2，设扩大后的正方形绿地边长为xm，下面所列方程正确的是( )A．x(x-20)=300B．x(x+20)=300C．60(x+20)=300D．60(x-20)=300 6．某人到瓷砖商店去购买一种多边形形状的瓷砖，用来铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以是（）A．正三角形B．矩形C．正八边形D．正六边形7．将抛物线y=2x2向右平移3个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线的表达式为（）A．y=2（x﹣3）2﹣5B．y=2（x+3）2+5C．y=2（x﹣3）2+5D．y=2（x+3）2﹣58．在一个不透明纸箱中放有除了标注数字不同外，其他完全相同的3张卡片，上面分别标有数字1，2，3，从中任意摸出一张，放回搅匀后再任意摸出一张，两次摸出的数字之和为奇数的概率为()A ．59B ．49C ．56D ．139．如图，A 、D 是⊙O 上的两个点，BC 是直径，若∠D ＝34°，则∠OAC 等于( )A ．68°B ．58°C ．72°D ．56°10．下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 11．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像如图所示，下列结论正确是( )A ．0abc >B ．20a b +<C ．30a c +<D ．230ax bx c ++-=有两个不相等的实数根12．当ab ＞0时，y ＝ax 2与y ＝ax +b 的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．如图，点，，均在的正方形网格格点上，过，，三点的外接圆除经过，，三点外还能经过的格点数为 ．14．在平面直角坐标系中，已知点P 0的坐标为（2，0），将点P 0绕着原点O 按逆时针方向旋转60°得点P 1，延长OP 1到点P 2，使OP 2=2OP 1，再将点P 2绕着原点O 按逆时针方向旋转60°得点P 3，则点P 3的坐标是_____．15．己知抛物线2114y x =+具有如下性质:该抛物线上任意一点到定点F(0，2)的距离与到x 轴的距离始终相等，如图，点M 的坐标为(3,3)，P 是抛物线2114y x =+上一个动点，则△PMF 周长的最小值是__________.16．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝4，以点C 为圆心，CB 的长为半径画弧，与AB 边交于点D ，将BD 绕点D 旋转180°后点B 与点A 恰好重合，则图中阴影部分的面积为_____．17．若点A （－3，y 1）、B （0，y 2）是二次函数y=－2（x －1）2+3图象上的两点，那么y 1与y 2的大小关系是________（填y 1＞y 2、y 1=y 2或y 1＜y 2）．18．一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0的解是x 1、x 2（x 1＜x 2），则x 1﹣x 2=_____．19．袋中装有6个黑球和n 个白球，经过若干次试验，发现“若从袋中任摸出一个球，恰是黑球的概率为34”，则这个袋中白球大约有_____个． 20．若二次函数y ＝x 2﹣3x +3﹣m 的图象经过原点，则m ＝_____．三、解答题21．小明在解方程2210x x --=时出现了错误，其解答过程如下：解：221x x -=-（第一步）22111x x -+=-+（第二步）2(1)0x -=（第三步）121x x ==（第四步）（1）小明解答过程是从第几步开始出错的，写出错误原因.（2）请写出此题正确的解答过程.22．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边周长为30米的篱笆围成.已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x 米.（1）若苗圃园的面积为72平方米，求x；（2）若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由；23．在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）图象与x轴交于点A，B （点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．（1）求点A，B的坐标；（2）若M为对称轴与x轴交点，且DM=2AM．①求二次函数解析式；②当t﹣2≤x≤t时，二次函数有最大值5，求t值；③若直线x=4与此抛物线交于点E，将抛物线在C，E之间的部分记为图象记为图象P（含C，E两点），将图象P沿直线x=4翻折，得到图象Q，又过点（10，﹣4）的直线y=kx+b 与图象P，图象Q都相交，且只有两个交点，求b的取值范围．24．请你依据下面图框中的寻宝游戏规则，探究“寻宝游戏”的奥秘：(1)用树状图（或表格）表示出所有可能的寻宝情况；(2)求在寻宝游戏中胜出的概率．25．在四张编号为A，B，C，D的卡片(除编号外，其余完全相同)的正面分别写上如图所示正整数后，背面朝上，洗匀放好，现从中随机抽取一张，不放回，再从剩下的卡片中随机抽取一张．(1)请用树状图或列表的方法表示两次抽取卡片的所有可能出现的结果(卡片用A ，B ，C ，D 表示)；(2)我们知道，满足a 2+b 2＝c 2的三个正整数a ，b ，c 成为勾股数，求抽到的两张卡片上的数都是勾股数的概率．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】分析：根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出实数m 的取值范围．详解：∵方程2x 2x m 0-+=有两个不相同的实数根，∴()2240m =-->，解得：m ＜1．故选D ．点睛：本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 2．A解析：A【解析】分析：根据中心对称的定义，结合所给图形即可作出判断．详解：A 、是中心对称图形，故本选项正确；B 、不是中心对称图形，故本选项错误；C 、不是中心对称图形，故本选项错误；D 、不是中心对称图形，故本选项错误；故选：A ．点睛：本题考查了中心对称图形的特点，属于基础题，判断中心对称图形的关键是旋转180°后能够重合．3．B【解析】【分析】取EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，设OF=x，则OM=4-x，MF=2，然后在Rt△MOF中利用勾股定理求得OF的长即可．【详解】如图：EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=∠D=90°，∴四边形CDMN是矩形，∴MN=CD=4，设OF=x，则ON=OF，∴OM=MN-ON=4-x，MF=2，在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2，即：（4-x）2+22=x2，解得：x=2.5，故选B．【点睛】本题主考查垂径定理及勾股定理的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．4．B解析：B【解析】【详解】∵函数y=-2x2的顶点为（0，0），∴向上平移1个单位，再向右平移1个单位的顶点为（1，1），∴将函数y=-2x2的图象向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线的解析式为y=-2（x-1）2+1，故选B．【点睛】二次函数的平移不改变二次项的系数；关键是根据上下平移改变顶点的纵坐标，左右平移改变顶点的横坐标得到新抛物线的顶点．5．A解析：A【分析】设扩大后的正方形绿地边长为xm ，根据“扩大后的绿地面积比原来增加300m 2”建立方程即可．【详解】设扩大后的正方形绿地边长为xm ，根据题意得x （x-20）=300，故选A ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是弄清题意，并找到等量关系．6．C解析：C【解析】因为正八边形的每个内角为135︒，不能整除360度，故选C.7．A解析：A【解析】把22y x =向右平移3个单位长度变为：223()y x =-，再向下平移5个单位长度变为：22(3)5y x =--．故选A ．8．B解析：B【解析】【分析】先画出树状图得出所有等可能的情况的数量和所需要的情况的数量，再计算所需要情况的概率即得．【详解】解：由题意可画树状图如下：根据树状图可知：两次摸球共有9种等可能情况，其中两次摸出球所标数字之和为奇数的情况有4种，所以两次摸出球所标数字之和为奇数的概率为：49． 【点睛】本题考查了概率的求法，能根据题意列出树状图或列表是解题关键．解析：D【解析】【分析】根据圆周角定理求出∠AOC ，再根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理即可解决问题．【详解】∵∠ADC =34°，∴∠AOC =2∠ADC =68°．∵OA =OC ，∴∠OAC =∠OCA 12=（180°﹣68°）=56°． 故选D ．【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 10．D解析：D【解析】试题分析：根据轴对称图形和中心对称图形的概念，可知：A 既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不正确；B 不是轴对称图形，但是中心对称图形，故不正确；C 是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不正确；D 即是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确.故选D.考点：轴对称图形和中心对称图形识别11．C解析：C【解析】【分析】观察图象：开口向下得到a ＜0；对称轴在y 轴的右侧得到a 、b 异号，则b ＞0；抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方得到c ＞0，所以abc ＜0；由对称轴为x=2b a -=1，可得2a+b=0；当x=-1时图象在x 轴下方得到y=a-b+c ＜0，结合b=-2a 可得 3a+c ＜0；观察图象可知抛物线的顶点为（1，3），可得方程230ax bx c ++-=有两个相等的实数根，据此对各选项进行判断即可.【详解】观察图象：开口向下得到a ＜0；对称轴在y 轴的右侧得到a 、b 异号，则b ＞0；抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方得到c ＞0，所以abc ＜0，故A 选项错误；∵对称轴x=2b a-=1，∴b=-2a ，即2a+b=0，故B 选项错误； 当x=-1时， y=a-b+c ＜0，又∵b=-2a ，∴ 3a+c ＜0，故C 选项正确；∵抛物线的顶点为（1，3），∴230ax bx c ++-=的解为x 1=x 2=1，即方程有两个相等的实数根，故D 选项错误， 故选C.【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象，当a ＞0，开口向上，函数有最小值，a ＜0，开口向下，函数有最大值；对称轴为直线x=2b a-，a 与b 同号，对称轴在y 轴的左侧，a 与b 异号，对称轴在y 轴的右侧；当c ＞0，抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方；当△=b 2-4ac ＞0，抛物线与x 轴有两个交点． 12．D解析：D【解析】【分析】【详解】∵ab ＞0，∴a 、b 同号．当a ＞0，b ＞0时，抛物线开口向上，顶点在原点，一次函数过一、二、三象限，没有图象符合要求；当a ＜0，b ＜0时，抛物线开口向下，顶点在原点，一次函数过二、三、四象限，B 图象符合要求．故选B ．二、填空题13．【解析】试题分析：根据圆的确定先做出过ABC 三点的外接圆从而得出答案如图分别作ABBC 的中垂线两直线的交点为O 以O 为圆心OA 为半径作圆则⊙O 即为过ABC 三点的外接圆由图可知⊙O 还经过点DEFGH 这5解析：【解析】试题分析：根据圆的确定先做出过A ，B ，C 三点的外接圆，从而得出答案．如图，分别作AB 、BC 的中垂线，两直线的交点为O ，以O 为圆心、OA 为半径作圆，则⊙O 即为过A ，B ，C 三点的外接圆，由图可知，⊙O 还经过点D 、E 、F 、G 、H 这5个格点，故答案为5．考点：圆的有关性质.14．（﹣22）【解析】【分析】利用旋转的性质得到OP2=2OP1=OP3=4∠xOP2=∠P2OP3=60°作P3H ⊥x 轴于H 利用含30度的直角三角形求出OHP3H 从而得到P3点坐标【详解】解：如图∵点解析：（﹣2，3【解析】【分析】利用旋转的性质得到OP2=2OP1=OP3=4，∠xOP2=∠P2OP3=60°，作P3H⊥x轴于H，利用含30度的直角三角形求出OH、P3H，从而得到P3点坐标．【详解】解：如图，∵点P0的坐标为（2，0），∴OP0=OP1=2，∵将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1，延长OP1到点P2，使OP2=2OP1，再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P3，∴OP2=2OP1=OP3=4，∠xOP2=∠P2OP3=60°，作P3H⊥x轴于H，OH=12OP3=2，P333∴P3（-2，3故答案为（-2，3【点睛】本题考查了坐标与图形变化：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．15．5【解析】【分析】过点M作ME⊥x轴于点EME与抛物线交于点P′由点P′在抛物线上可得出P′F=P′E结合点到直线之间垂线段最短及MF为定值即可得出当点P 运动到点P′时△PMF周长取最小值【详解】解解析：5【解析】【分析】过点M作ME⊥x轴于点E，ME与抛物线交于点P′，由点P′在抛物线上可得出P′F=P′E，结合点到直线之间垂线段最短及MF为定值，即可得出当点P运动到点P′时，△PMF周长取最小值.【详解】解：过点M作ME⊥x轴于点E，ME与抛物线交于点P′，如图所示．∵点P ′在抛物线上，∴P′F=P′E ．又∵点到直线之间垂线段最短，22(30)(32)-+-=2，∴当点P 运动到点P ′时，△PMF 周长取最小值，最小值为ME+MF=3+2=5． 故答案为5.【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及点到直线的距离，根据点到直线之间垂线段最短找出△PMF 周长的取最小值时点P 的位置是解题的关键.16．【解析】【分析】根据题意用的面积减去扇形的面积即为所求【详解】由题意可得AB ＝2BC ∠ACB ＝90°弓形BD 与弓形AD 完全一样则∠A ＝30°∠B ＝∠BCD ＝60°∵CB ＝4∴AB ＝8AC ＝4∴阴影部 解析：8833π． 【解析】【分析】根据题意，用ABC 的面积减去扇形CBD 的面积，即为所求.【详解】由题意可得，AB ＝2BC ，∠ACB ＝90°，弓形BD 与弓形AD 完全一样，则∠A ＝30°，∠B ＝∠BCD ＝60°，∵CB ＝4，∴AB ＝8，AC ＝3， 2443604360π⨯⨯⨯-＝8833π， 故答案为：8833π． 【点睛】本题考查不规则图形面积的求法，属中档题. 17．y1＜y2【解析】试题分析：根据题意可知二次函数的对称轴为x=1由a=-2可知当x ＞1时y 随x 增大而减小当x ＜1时y 随x 增大而增大因此由-3＜0＜1可知y1＜y2故答案为y1＜y2点睛：此题主要考查解析：y 1＜y 2【解析】试题分析：根据题意可知二次函数的对称轴为x=1，由a=-2，可知当x ＞1时，y 随 x 增大而减小，当x＜1时，y随x增大而增大，因此由-3＜0＜1，可知y1＜y2.故答案为y1＜y2.点睛：此题主要考查了二次函数的图像与性质，解题关键是求出其对称轴，然后根据对称轴和a的值判断其增减性，然后可判断.18．-4【解析】【分析】利用根与系数的关系求出所求即可此题也可解出x的值直接计算【详解】∵一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的解是x1x2（x1＜x2）∴x1+x2=2x1x2=﹣3则x1﹣x2=﹣（x1+解析：-4【解析】【分析】利用根与系数的关系求出所求即可．此题也可解出x的值，直接计算．【详解】∵一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的解是x1、x2（x1＜x2），∴x1+x2=2，x1x2=﹣3，则x1﹣x2=﹣=﹣=﹣4．故答案为﹣4．【点睛】本题考查了根与系数的关系，弄清根与系数的关系是解答本题的关键．19．2【解析】试题解析：∵袋中装有6个黑球和n个白球∴袋中一共有球（6+n ）个∵从中任摸一个球恰好是黑球的概率为∴解得：n=2故答案为2解析：2【解析】试题解析：∵袋中装有6个黑球和n个白球，∴袋中一共有球（6+n）个，∵从中任摸一个球，恰好是黑球的概率为34，∴63 64n=+，解得：n=2．故答案为2．20．【解析】【分析】此题可以将原点坐标（00）代入y=x2-3x+3-m求得m的值即可【详解】由于二次函数y=x2-3x+3-m的图象经过原点把（00）代入y=x2-3x+3-m得：3-m=0解得：m=解析：【解析】【分析】此题可以将原点坐标（0，0）代入y=x2-3x+3-m，求得m的值即可．【详解】由于二次函数y=x2-3x+3-m的图象经过原点，把（0，0）代入y=x2-3x+3-m，得：3-m=0，解得：m=3．故答案为3．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，通过代入点的坐标即可求解．三、解答题21．（1）一，移项没变号（或移项错误或等式性质用错均给分）；（2）11x =21x =-【解析】【分析】（1）第一步即发生错误，移项未变号；（2）可将采用配方法解方程即可.【详解】（1）一，移项没变号（或移项错误或等式性质用错）（2）解：221x x -=22111x x -+=+()212x -=即，11x =，21x =【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟悉各种解法的特点并灵活选择解法是解题关键.22．（1）12（2）当x=11时，y 最小=88平方米【解析】（1）根据题意得方程解即可；（2）设苗圃园的面积为y ，根据题意得到二次函数的解析式y=x （30-2x ）=-2x 2+30x ，根据二次函数的性质求解即可.解： (1)苗圃园与墙平行的一边长为(30－2x )米．依题意可列方程 x (30－2x )＝72，即x 2－15x ＋36＝0．解得x 1＝3（舍去），x 2＝12．(2)依题意，得8≤30－2x ≤18．解得6≤x ≤11．面积S ＝x (30－2x )＝－2(x －152)2＋2252(6≤x ≤11)． ①当x ＝152时，S 有最大值，S 最大＝2252； ②当x ＝11时，S 有最小值，S 最小＝11×(30－22)＝88“点睛”此题考查了二次函数、一元二次不等式的实际应用问题，解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解即可.23．（1）A （﹣1，0）、B （3，0）；（2）①y =x 2﹣2x ﹣3；②t 值为0或4；③﹣1≤b ＜11或b =﹣4．【解析】【分析】（1）令y ＝0，即：ax 2﹣2ax ﹣3a ＝0，解得：x ＝﹣1或3，即可求解；（2）①DM ＝2AM ＝4，即点D 的坐标为（1，﹣4），将点D 的坐标代入二次函数表达式，即可求解；②分x ＝t 和x ＝t ﹣2在对称轴右侧、左侧或两侧三种情况，讨论求解即可；③如下图所示，直线m 、l 、n 都是直线y ＝kx +b 与图象P 、Q 都相交，且只有两个交点的临界点，即可求解．【详解】解：（1）令y =0，即：ax 2﹣2ax ﹣3a =0，解得：x =﹣1或3，即点A 、B 的坐标分别为（﹣1，0）、（3，0），函数的对称轴12b x a =-=； （2）①DM =2AM =4，即点D 的坐标为（1，﹣4），将点D 的坐标代入二次函数表达式得：﹣4=a ﹣2a ﹣3a ，解得：a =1，即函数的表达式为：y =x 2﹣2x ﹣3；②当x =t 和x =t ﹣2在对称轴右侧时，函数在x =t 处，取得最大值，即：t 2﹣2t ﹣3=5，解得：t =﹣2或4（舍去t =﹣2），即t =4；同理当x =t 和x =t ﹣2在对称轴左侧或两侧时，解得：t =0，故：t 值为0或4；③如下图所示，直线m 、l 、n 都是直线y =kx +b 与图象P 、Q 都相交，且只有两个交点的临界点，点E 、R 、C '坐标分别为（4，5）、（10，﹣4）、（8，﹣3），直线l 的表达式：把点E 、R 的坐标代入直线y =kx +b 得：54410,k b k b =+⎧⎨-=+⎩ 解得：3211,k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 同理可得直线m 的表达式为：112y x =--， 直线n 的表达式为：y =﹣4，故：b 的取值范围为：﹣1≤b ＜11或b =﹣4．【点睛】本题考查的是二次函数知识的综合运用，其中（2）③是本题的难点，主要通过作图的方式，通过数形结合的方法即可解决问题．24．（1）答案见解析；（2）1 6【解析】【分析】列举出所有情况，让寻宝游戏中胜出的情况数除以总情况数即为所求的概率．【详解】（1）树状图如下：（2）由（1）中的树状图可知：P（胜出）【点睛】本题考查的是用画树状图法求概率，解答本题的关键是熟练掌握概率=所求情况数与总情况数之比．同时熟记用树状图或表格表达事件出现的可能性是求解概率的常用方法25．（1）图形见解析（2）1 2【解析】【分析】（1）本题属于不放回的情况，画出树状图时要注意；（2）B、C、D三个卡片的上的数字是勾股数，选出选中B、C、D其中两个的即可【详解】（1）画树状图如下：（2）∵共有12种等可能的结果数，抽到的两张卡片上的数都是勾股数的结果数为6种，∴抽到的两张卡片上的数都是勾股数的概率61 122 ==.。
2020-2021学年长春市绿园区九年级上学期期末数学试卷(含答案解析)
2020-2021学年长春市绿园区九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.已知a为任何实数，那么下列各式一定有意义的是()A. √a2−1B. √a2+1C. √1(a−1)2D. √1(a+1)22.如果两个相似三角形的面积比为1：4，那么它们的相似比为()A. 1：16B. 1：8C. 1：4D. 1：23.若一元二次方程x2=m有解，则m的取值为()A. 正数B. 非负数C. 一切实数D. 零4.标号为A、B、C、D的四个盒子中都装有一定数量的白球和黑球，如果分别从各盒子中任意取出一个球，取到黑球的概率最大的盒子是()A. 6个黑球和2个白球B. 4黑球和4个白球C. 3个黑球和4个白球D. 10个黑球和5个白球5.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E为AD的中点，若OE=3，则菱形ABCD的周长为()A. 24B. 25C. 26D. 306.△ABC中，D、E、F分别是在AB、AC、BC上的点，DE//BC，EF//AB，那么下列各式正确的是()A. ADDB =BFECB. ABAC=EFFCC. ADDB=BFFCD. AEEC=ADBF7.在△ABC中，已知∠B=90°，那么是∠A的……………………………………()A. 正弦；B. 余弦；C. 正切；D. 余切．8.二次函数y=−x2+2x的图象可能是()A. B.C. D.二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.当0<x<3时，化简√(2x+1)2−|x−5|的结果是．10.抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a>0)经过点A(1,−1)，B(−5,−1)两点．下列四个结论：①ab>0；②一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根在1和2之间；③当c=−11时，方程ax2+(b+1)x+c=−6的解是x1=−5，x2=0.5；④对于任意的实数m，总有am2+bm≥−b．其中正确的结论是______(填写序号)．11.当x≤1时，二次函数y=−(x−m)2+m2+1有最大值4，则实数m的值为______．12.如图，点A，B分别在x轴、y轴上，点O关于AB的对称点C在第一象限，将△ABC沿x轴正方向平上，连接BE交该双曲线于点G.若移k个单位得到△DEF(点B与E是对应点)，点F落在双曲线y=kx∠BAO=60°，OA=2GE，则k的值为______．13.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题：(1)不等式ax2+bx+c>0的解集为______．(2)若y随x的增大而减小，则自变量x的取值范围是______．(3)若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，求k的取值范围是______．(k>0,x>14.如图，在△ABC中，AB=AC，点A在反比例函数y=kxOB，延长AC交y轴于点D，0)的图象上，点B，C在x轴上，OC=15连接BD，若△BCD的面积等于2，则k的值为______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）15.解方程(Ⅰ)2x2−4x−1=0(Ⅱ)(x+1)(x+3)=2x+6．四、解答题（本大题共9小题，共72.0分）16.计算：(4√2−3√6)×√8+|1−√3|.17.如图，在平面直角坐标系中，△AOB为直角三角形，A(−2,4)，B(−2,0)，按要求解答下列问题：(1)以原点O为位似中心画出△A1OB1，使它与△AOB的相似比为3：2；(2)将Rt△A1OB1绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后的Rt△A2OB2；(3)用点A1旋转到点A2所经过的路径与OA1、OA2围成的扇形做成一个圆锥的侧面(接缝忽略不计)，求这个圆锥的高.(保留精确值)18.为了解中考体育科目训练情况，山东省阳信县从全县九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试(把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格)，并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：(1)本次抽样测试的学生人数是______；(2)图1中∠α的度数是______，并把图2条形统计图补充完整；(3)该县九年级有学生4500名，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为______；(4)测试老师想从4位同学(分别记为E、F、G、H，其中E为小明)中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树形图的方法求出选中小明的概率．19.随着开学季的到来，我校观音桥校区旁水果超市生意火爆，老板发现甲、乙两种水果的销量很好，于是第一次果断购进甲、乙水果共200千克，甲种水果进价每千克5元，售价每干克8元；乙种每千克进价8元，每干克售价10元．(1)由于进货资金有限，第一次购进甲乙两种水果的金额不得超过1360元，则乙种水果至多购进多少千克？(2)由于学生数量庞大，甲、乙水果供不应求，开学一周甲乙水果随即售罄．超市决定第二次购进甲、乙水果，它们的进价不变．甲种进货量在(1)中甲的最少进货量的基础上增加了2m%，售价比第一次提高了m%；乙种水果的售价和第一次相同，进货量为100千克，但是由于乙种水果不易存放，在销售过程中乙种水果损耗了其进货量的10%.结果第二次两种水果销售完后超市获利536.8元，求m的值．20.如图，著名旅游景区B位于大山深处，原来到此旅游需要绕行C地，沿折线A→C→B方可到达．当地政府为了增强景区的吸引力，发展壮大旅游经济，修建了一条从A地到景区B的笔直公路．请结合∠A=45°，∠B=30°，BC=100千米，√2≈1.4，√3≈1.7等数据信息，解答下列问题：(1)公路修建后，从A地到景区B旅游可以少走多少千米？(2)为迎接旅游旺季的到来，修建公路时，施工队使用了新的施工技术，实际工作时每天的工效比原计划增加25%，结果提前50天完成了施工任务．求施工队原计划每天修建多少千米？21.(1)操作发现：如图①，在正方形ABCD中，过A点有直线AP，点B关于AP的对称点为E，连接DE交AP于点F，当∠BAP=20°时，则∠AFD=______；(2)数学思考：如图②，若将“正方形ABCD中”改成“菱形”(且∠BAD=120°)，其他条件不变(∠BAP=20°不变)，则∠AFD=______；(3)类比探究：如图③，若将“正方形”改成“菱形”(且∠BAD=β)，其他条件不变，∠BAP=20°不变，则∠AFD=______请写出你的推导过程．22.如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，OD⊥AB，与AC交于点E，与过点C的⊙O的切线交于点D．(1)若AC=4，BC=2，求OE的长．(2)试判断∠A与∠CDE的数量关系，并说明理由．23.如图，在平面直角坐标系中有，AD//BC，AD=16，OB=4，OA=，点M是BC的中点．点P从点M出发沿MB以每秒2个单位长的速度向点B匀速运动，到达点B后立刻以原速度沿BM返回；点Q从点M出发以每秒2个单位长的速度在射线MC上匀速运动．在点P，Q的运动过程中，以PQ为边作等边△EPQ，使它与在x轴的同侧．点P，Q同时出发，当点P返回到点M时停止运动，点Q也随之停止．设点P，Q运动的时间是t秒(t>0)．(1)填空：①M点坐标为___________，②在点P从M向B的运动过程中，PQ的长为____________(用含有t的式子表示)，③在点P从B向M的运动过程中，点P的坐标为__________(用含有t的式子表示)；(2)随着时间t的变化，线段AD会有一部分被△EPQ覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值，请回答：该最大值能否持续一个时段？若能，求出这个最大值，并直接写出t的取值范围；若不能，请说明理由；(3)当点P从B向M的运动过程中，求△EPQ与重叠部分的面积S关于t的函数关系式，并注明t的取值范围．24. 已知二次函数y=ax2+bx−2的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为(4,0)，且当x=−2和x=5时二次函数的函数值y相等．(1)求实数a、b的值；(2)如图1，动点E、F同时从A点出发，其中点E以每秒2个单位长度的速度沿AB边向点B运动，点F以每秒√5个单位长度的速度沿线段AC方向运动．当点F停止运动时，点E随之停止运动．设运动时间为t秒．连接EF，将△AEF沿EF翻折，使点A落在点D处，得到△DEF．①是否存在某一时刻t，使得△DCF为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．②设△DEF与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式．参考答案及解析1.答案：B解析：解：当−1<a<1时，√a2−1无意义，A错误；a为任何实数，√a2+1有意义，B正确；当a=1时，√1(a−1)2无意义，C错误；当a=−1时，√1(a+1)2无意义，D错误，故选：B．根据分式有意义，分母不为0和二次根式的被开方数是非负数进行判断即可．本题考查的是分式和二次根式有意义的条件，掌握分式有意义，分母不为0和二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．2.答案：D解析：解：∵两个相似三角形面积的比为1：4，∴它们的相似比=√14=12．故选D．根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方得到它们的相似比=√14，然后化简即可．本题主要考查了相似三角形的性质，利用相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．3.答案：B解析：本题考查了解一元二次方程−直接开平方法：形如x2=p或(nx+m)2=p(p≥0)的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．利用平方根的定义可确定m的范围．解：当m≥0时，一元二次方程x2=m有解．故选：B．4.答案：A解析：解：A、摸到黑球的概率为66+2=34，B、摸到黑球的概率为44+4=12，C、摸到黑球的概率为33+4=37，D、摸到黑球的概率为1010+5=23，∵34>23>12>37，∴取到黑球的概率最大的盒子是A；故选：A．分别计算出每个选项中摸到黑球的概率可得答案．此题主要考查了概率公式，解答此题的关键是分别求出从4个盒子中摸到黑球的概率各是多少．5.答案：A解析：解：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，AB=BC=CD=DA，∴△AOD为直角三角形．∵OE=3，且点E为线段AD的中点，∴AD=2OE=6．C菱形ABCD=4AD=4×6=24．故选：A．由菱形的性质可得出AC⊥BD，AB=BC=CD=DA，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AD的长，结合菱形的周长公式即可得出结论．本题考查了菱形的性质以及直角三角形的性质，解题的关键是求出AD=6.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据菱形的性质找出对角线互相垂直，再通过直角三角形的性质找出菱形的一条变成是关键．6.答案：C解析：解：∵DE//BC，∴ADDB =AEEC，所以D选项错误；∵EF//AB，∴AEEC =BFFC，∴ADDB =BFFC，所以A选项错误，C选项正确；∵EF//AB，∴EFAB =FCBC，∴ABBC =EFFC，所以B选项错误．故选：C．根据平行线分线段成比例定理，由DE//BC得到ADDB =AEEC，则可对以D进行判断；再由EF//AB得AEEC=BFFC，则ADDB =BFFC，于是可对A、C进行判断；由EF//AB得EFAB=FCBC，利用比例的性质可对B进行判断．本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．7.答案：B解析：解：∵∠B=90°，∴cosA=．故选B．8.答案：B解析：解：∵y=−x2+2x，a<0，∴抛物线开口向下，A、C不正确，又∵对称轴x=−2−2=1，而D的对称轴是x=0，∴只有B符合要求．故选：B．利用排除法解决：首先由a=−1<0，可以判定抛物线开口向下，去掉A、C；再进一步由对称轴x=−2−2=1，可知B正确，D错误；由此解决问题．本题考查了二次函数图象与性质，观察图象得到二次函数经过的点的坐标是解题的关键．9.答案：3x−4解析：试题分析：先根据二次根式的性质得出|2x+1|−|x−5|，再去掉绝对值符号，即可得出答案．∵0<x<3，∴√(2x+1)2−|x−5|=|2x+1|−|x−5|=2x+1−5+x=3x−4，故答案：3x −4．10.答案：①③④解析：解：把A 、B 两点坐标代入函数解析式可得：{a +b +c =−125a −5b +c =−1， 解得：{b =4a c =−1−5a， ∴y =ax 2+4ax −1−5a ，ab =a ×4a =4a 2>0，故①正确；把a =18代入ax 2+bx +c =0，即18x 2+14x −138=0，其正根为：x =√17−2>2，故②错误；当c =−11时，−11=−1−5a ，∴a =2，∴b =8，原方程可化为：2x 2+9x −5=0，解得：x 1=−5，x 2=0.5，故③正确；∵y =ax 2+4ax −1−5a =y =a(x +2)2−1−9a ，a >0，∴当x =−2时，函数有最小值−1−9a ，∴am 2+bm +c ≥−1−9a ，∴am 2+bm ≥−1−9a −c ，∵−1−9a −c =−1−9a −(−1−5a)=−4a =−b ，∴am 2+bm ≥−b ，故④正确；故答案为：①③④．把A 、B 两点坐标代入函数解析式可得b =4a ，c =1−5a ，根据a >0，可判断①；当a =18时，可得方程ax 2+bx +c =0的一个根大于2，可判断②；把c =−11代入后解方程，即可判断③；由am 2+bm ≥−b 可得am 2+bm +c ≥−b +c ，而−b +c =1−9a 正好是函数的最小值，可判断④． 本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，一元二次方程的解法等知识，难点是对②④的判断． 11.答案：2或−√3解析：本题考查了二次函数的最值，熟悉二次函数的性质及图象是解题的关键．求出二次函数对称轴为直线x =m ，再分m ≤1，m >1两种情况，根据二次函数的增减性列方程求解即可．解：二次函数对称轴为直线x=m，①m≤1时，当x=m时y取得最大值，即m2+1=4，解得m=±√3，∵m=√3不满足m≤1的范围，∴m=−√3；②m>1时，当x=1时y取得最大值，即−(1−m)2+m2+1=4，解得m=2．综上所述，m=−√3或2时符合题意．故答案为2或−√3．12.答案：25√324解析：解：作CM⊥x轴于M，设OA=m，∵∠BAO=60°，∴OB=√3OA=√3m，∵点O、C关于AB的对称，∴∠BAC=∠BAO=60°，AC=OA=m，∴∠CAM=60°，∴AM=12AC=12m，CM=√32AC=√32m，∴C(32m,√32m)，∵将△ABC沿x轴正方向平移k个单位得到△DEF，∴F(k+32m,√32m)，∴OA=2GE，∴GE=12m，∴G(k−12m,√3m)，∵G、F在双曲线y=kx上，∴(k+32m)⋅√32m=(k−12m)⋅√3m，整理得m=25k，∴F(85k,√35k)，∴85k⋅√35k=k，解得k=25√324，故答案为25√324．设OA=m，解直角三角形求得OB=√3m，C(32m,√32m)，根据题意得出F(k+32m,√32m)，G(k−1 2m,√3m)，根据反比例函数系数k的几何意义得出k+32m)⋅√32m=(k−12m)⋅√3m，整理得m=25k，得出F(85k,√35k)，代入解析式即可求得k的值．本题考查了反比例函数系数k的几何意义，平移的性质，表示出F、G的坐标是解题的关键．13.答案：1<x<3x>2k<2解析：解：(1)依题意因为ax2+bx+c>0，得出x的取值范围为：1<x<3；(2)如图可知，当y随x的增大而减小，自变量x的取值范围为：x>2；(3)由顶点(2,2)设方程为a(x−2)2+2=0，∵二次函数与x轴的2个交点为(1,0)，(3,0)，∴a=−2，∴抛物线方程为y=−2(x−2)2+2，y=−2(x−2)2+2−k实际上是原曲线下移k个单位，由图形知，当k<2时，曲线与x轴有两个交点．故k<2．故答案为：(1)1<x<3；(2)x>2；(3)k<2．(1)看x轴上方的二次函数的图象相对应的x的范围即可；(2)在对称轴的右侧即为y随x的增大而减小；(3)得到相对应的函数看是怎么平移得到的即可．本题考查的是二次函数的图象与实际应用的综合题；采用数形结合的方法可使问题简化是解题关键．14.答案：6解析：解：设OC=a，则C(a,0)，∵OC=15OB，∴B(5a,0)，CB=4a，过点A 作AE ⊥x 轴于点E ，则∠AEC =∠DOC =90°，∵∠ACE =∠DCO ，∴△COD∽△CEA ，∴OD AE =OC CE ， ∵AB =AC ，点A 在反比例函数图象上，∴A(3a,k 3a )，CE =2a ， ∴ODk 3a =a 2a ，∴OD =k 6a ，∵S △BCD =12⋅BC ⋅OD =12⋅4a ⋅k 6a =2，∴k =6．故答案为：6．设OC =a ，表示点B 、点A ，过点A 作AE ⊥x 轴于点E ，得△COD∽△CEA ，结合△BCD 的面积求出k 的值．本题考查了反比例函数比例图象上点的特征、等腰三角形三线合一的性质、相似三角形的性质和三角形的面积．要求学生掌握设而不求的方法解题．15.答案：解：(Ⅰ)∵a =2，b =−4，c =−1，∴b 2−4ac =(−4)2−4×2×(−1)=24>0，∴x =4±2√64=2±√62， 即x 1=2+√62，x 2=2−√62；(Ⅱ) (x +1)(x +3)=2(x +3)(x +1)(x +3)−2(x +3)=0(x +3)(x −1)=0∴x 1=−3，x 2=1．解析：(Ⅰ)套用求根公式可得；(Ⅱ)因式分解法求解可得．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的方法是关键．16.答案：解：原式=4√2×√8−3√6×√8+√3−1=16−3√48+√3−1=16−12√3+√3−1=15−11√3解析：根据二次根式的运算法则即可求出答案．本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型． 17.答案：解：(1)如图，Rt △A 1OB 1即为所求作．(2)如图，Rt △A 2OB 2即为所求作．(3)A 1O =3√5L =90π×3√5180=3√52π，∴圆锥底面圆周长为3√52π， ∴圆锥底面圆半径R =3√52π2π=3√54， ∴圆锥的高ℎ=√(3√5)2−(3√54)2=15√34． 解析：(1)分别作出A ，B 的对应点A 1，B 1即可．(2)分别作出A 1，B 2的对应点A 2，B 2即可．(3)Q 求出圆锥底面圆的半径，再利用勾股定理即可解决问题．本题考查位似变换，旋转变换，圆锥的有关计算等知识，解题的关键是熟练掌握位似变换的性质，属于中考常考题型．18.答案：(1)40；(2)54°；C 级的人数是：40−6−12−8=14(人)，如图：(3)900；(4)根据题意画树形图如下：共有12种情况，选中小明的有6种，则P(选中小明)=612=12．解析：解：(1)本次抽样测试的学生人数是：1230%=40(人)，故答案为：40；(2)根据题意得：360°×640=54°，答：图1中∠α的度数54°；C级的人数是：40−6−12−8=14(人)，如图：故答案为：54°，14；(3)根据题意得：=900(人)，4500×840答：不及格的人数为900人；故答案为：900；(4)见答案．(1)用B级的人数除以所占的百分比求出总人数；(2)用360°乘以A级所占的百分比求出∠α的度数，再用总人数减去A、B、D级的人数，求出C级的人数，从而补全统计图；(3)用九年级所有得学生数乘以不及格的人数所占的百分比，求出不及格的人数；(4)根据题意画出树状图，再根据概率公式进行计算即可．此题考查了条形统计图和扇形统计图的综合应用，用到的知识点是用样本估计总体、频数、频率、总数之间的关系等，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．19.答案：解：(1)设甲种水果购进x千克，根据题意得5x+8(200−x)≤1360，解得x≥80，则200−x≤120．答：乙种水果至多购进120千克；(2)根据题意，得80(1+2m%)[8(1+m%)−5]+100×(1−10%)×10−100×8=536.8，解得m1=15，m2=−102.5(不合题意舍去)，即m的值为15．解析：(1)设甲种水果购进x千克，根据第一次购进甲乙两种水果的金额不得超过1360元列出不等式，求解即可；(2)根据第二次共获利536.8元列出方程，求解即可．本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的关系，列出方程或不等式，再求解或解集．20.答案：解：(1)过点C作AB的垂线CD，垂足为D，，BC=100千在直角△BCD中，AB⊥CD，sin30°=CDBC米，=50(千米)，∴CD=BC⋅sin30°=100×12BD=BC⋅cos30°=100×√3=50√3(千米)，2在直角△ACD中，AD=CD=50(千米)，=50√2(千米)，AC=CDsin45∘∴AB=50+50√3(千米)，∴从A地到景区B旅游可以少走：AC+BC−AB=50√2+100−(50+50√3)=50+50√2−50√3≈35(千米)．答：从A地到景区B旅游可以少走35千米；(2)设施工队原计划每天修建x千米，依题意有，，解得x≈0.54，经检验x≈0.54是原分式方程的解．答：施工队原计划每天修建约0.54千米．解析：本题考查解直角三角形的应用、分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．(1)过点C作AB的垂线CD，垂足为D，在直角△BCD中，解直角三角形求出CD的长度和BD的长度，在直角△ACD中，解直角三角形求出AD的长度和AC的长度，再求出AB的长度，进而求出从A地到景区B旅游可以少走多少千米；(2)本题先由题意找出等量关系即原计划的工作时间−实际的工作时间=50，然后列出方程可求出结果，最后检验并作答．β21.答案：45°30°90°−12解析：解：(1)如图①中，连接BF、作AH⊥AF交DE于H．当∠PAB=20°时，∵点E是点B关于AP的对称点，∴AB=AE，∠PAB=∠PAE=20°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∴∠EAD=∠BAD+∠PAB+∠PAE=130°，∵AB=AE=AD，(180°−∠EAD)=25°，∴∠E=12∴∠AFD=∠E+∠PAE=45°，故答案为45°(2)如图②中，连接BF、作∠FAH=120°交DE于H，当∠PAB=20°时，∵点E是点B关于AP的对称点，∴AB=AE，∠PAB=∠PAE=20°，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∠BAD=120°，∴∠EAD=∠BAD+∠PAB+∠PAE=160°，∵AB=AE=AD，(180°−∠EAD)=10°，∴∠E=12∴∠AFD=∠E+∠PAE=30°，故答案为30°；(3)如图③中，当∠BAD=β时，连接BF、作∠FAH=β交DE于H，当∠PAB=20°时，∵点E是点B关于AP的对称点，∴AB=AE，∠PAB=∠PAE=20°，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∠BAD=β，∴∠EAD=∠BAD+∠PAB+∠PAE=β+40°，∵AB=AE=AD，∴∠E=12(180°−∠EAD)=70°−12β，∴∠AFD=∠E+∠PAE=90°−12β，故答案为90°−12β；(1)先求出∠EAD，进而求出∠E，即可得出结论；(2)同(1)的方法即可得出结论；(3)同(1)的方法即可得出结论．此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质和菱形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，对称的性质，等腰三角形的性质，求出∠E是解本题的关键．22.答案：解：(1)∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=√AC2+BC2=√42+22=2√5，∴OA=12AB=√5，∵OD⊥AB，∴∠AOE=∠ACB=90°，又∵∠A=∠A，∴△AOE∽△ACB，∴OEBC =OAAC，即OE2=√54，解得：OE=√52；(2)∠CDE=2∠A，理由如下：连接OC，如图所示：∵OA=OC，∴∠1=∠A，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠OCD=90°，∴∠2+∠CDE=90°，∵OD⊥AB，∴∠2+∠3=90°，∴∠3=∠CDE，∵∠3=∠A+∠1=2∠A，∴∠CDE=2∠A．解析：本题考查了切线的性质、圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形的外角性质；熟练掌握圆周角定理和切线的性质是解决问题的关键．AB=√5，(1)由圆周角定理得出∠ACB=90°，由勾股定理求出AB=√AC2+BC2=2√5，得出OA=12证明△AOE∽△ACB，得出对应边成比例即可得出答案；(2)连接OC，由等腰三角形的性质得出∠1=∠A，由切线的性质得出OC⊥CD，得出∠2+∠CDE=90°，证出∠3=∠CDE，再由三角形的外角性质即可得出结论．23.答案：解：(1)①M(12,0)；②4t；③P(2t−4,0)(2)该最大值是4，能持续一个时段能，此时，4≤t≤5，理由如下，如图，当t=4时，P点与B点重合，Q点运动到C点，此时被覆盖线段的长度达到最大值，作FN⊥OC 于点N，在平行四边形ABCD中，∵AD=16，∴BC=AD=16，易得四边形AONF为矩形，∴NF=OA=，∵△PEQ为等边三角形，∴BE=BC=16，∠EPC=60°，∴∠BFN=30°，在Rt△BFN中，NF=OA=，∴BN=NF=×=6，BF=2BN=12，∴AF=ON=OB+BN=4+6=10，在等边△EFG中，FG=EF=BE−BF=16−12=4，∴GD=AD−AF−FG=16−10−4=2，所以Q向右还可运动1秒，FG的长度不变，恒为4，∴4≤t≤5；(3)①如图，当4≤t≤5时，设EQ与CD交于点I，作IH⊥OQ于点H，−S△ICG=60−6(t−4)⊃2;；S1=S梯形FPQG②如图，当5<t≤7时，S为梯形FPCD的面积，S2=−12t+114；③如图，当7<t≤8时，设EP与CD相交于点K，作KR⊥OC于点R，S为△KPC的面积，．解析：本题主要考查的是四边形的综合应用、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理、三角形的面积公式、梯形的面积公式，根据题意画出图形是解题的关键．(1)①根据题意，求出BM=BC=8，即可求出OM的长，从而求得点M的坐标；②根据PQ=PM+ MQ即可求出PQ的长；③首先求出BP=2t−8，然后求出OP的长，即可求出点P的坐标；(2)由图可知，当t=4时，P、B重合，Q、C重合，线段AD被覆盖长度达到最大值，此后△EPQ沿射线BC平移，从而可求得t的取值范围；(3)分三种情况：①当4≤t≤5时，设EQ与CD交于点I，作IH⊥OQ于点H，S梯形FPQG的面积−△ICG 的面积；②当5<t≤7时，S为梯形FPCD的面积；③当7<t≤8时，设EP与CD相交于点K，作KR⊥OC于点R，S为△KPC的面积．解：(1)①∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=16，∵点M是BC的中点，∴BM=BC=8，∴OM=OB+BM=12，∴M(12,0)；故答案为(12,0)；②PQ=PM+MQ=2t+2t=4t；故答案为4t；③BP=2t−8，OP=BP+OB=2t−8+4=2t−4，∴P(2t−4,0)；故答案为P(2t−4,0)；(2)见答案；(3)见答案．24.答案：解：(1)由题意得{16a+4b−2=04a−2b−2=25a+5b−2，解得a=12,b=−32；(2)①抛物线解析式为y=12x2−32x−2，当y=0时，12x2−32x−2=0，解得x1=−1，x2=4，则B(−1,0)，当y=0时，y=12x2−32x−2=−2，则C(0,−2)∴OA=4，OB=1，OC=2∴AB=5，AC=2√5，BC=√5，∴AC2+BC2=25=AB2，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，∵AE=2t，AF=√5t，∴AFAE =ABAC=√52，又∵∠EAF=∠CAB，∴△AEF∽△ACB，∴∠AEF=∠ACB=90°，∴△AEF沿EF翻折后，点A落在x轴上点D处，∴DE=AE，∴AD=2AE=4t，EF=√(√5t)2−(2t)2=t，∵点F在线段AC上时若C为直角顶点，则点D与点B重合，如图2∴AE=12AB，即2t=12×5，解得t=54；若D为直角顶点，如图3∵∠CDF=90°，∴∠ODC+∠EDF= 90°∵∠EDF=∠EAF，∴∠OBC+∠EAF= 90°∴∠ODC=∠OBC，∴BC=DC∵OC ⊥BD ，∴OD =OB =1，∴AD =3，∴AE =32，解2t =32，解得t =34；综上所述，当t =34或t =54时，使得△DCF 为直角三角形；②当0<t ≤54时，重叠部分为△DEF ，如图1、图2，∴S =12×2t ×t =t 2； 当54<t ≤2时，设DF 与BC 相交于点G ，则重叠部分为四边形BEFG ，如图4，过点G 作GH ⊥BE 于H ，设GH =a ，∵∠BGH =∠BCO =∠ODF ，而tan∠BCO =12，∴BH =12a ，DH =2a ，∴DB =2a −12a =32a ，∵DB =AD −AB =4t −5，即32a =4t −5，∴a =23(4t −5)， ∴S =S △DEF −S △DBG =12×2t ×t −12(4t −5)×23(4t −5)=−133t 2+403t −253．解析：解：(1)把A 点坐标代入解析式，再利用当x =−2和x =5时二次函数的函数值y 相等列方程，然后解方程组求出a 和b 即可；(2)①利用抛物线解析式确定B(−1,0)，C(0,−2)，再计算出AB =5，AC =2√5，BC =√5，则利用勾股定理的逆定理可证明△ABC 为直角三角形，接着证明△AEF∽△ACB 得到∠AEF =∠ACB =90°，所以△AEF 沿EF 翻折后，点A 落在x 轴上点D 处，根据折叠的性质得DE =AE ，且AD =2AE =4t ，EF =t ，讨论：若C 为直角顶点，则点D 与点B 重合，如图2，易得2t =12×5，解得t =54；若D 为直角顶点，如图3，证明∠ODC =∠OBC 得到BC =DC ，则OD =OB =1，所以2t =32，解得t =34；②讨论：当0<t≤54时，重叠部分为△DEF，如图1、图2，直接利用三角形面积公式得到S=t2；当54<t≤2时，设DF与BC相交于点G，则重叠部分为四边形BEFG，如图4，过点G作GH⊥BE于H，设GH=a，利用正切的定义易得BH=12a，DH=2a，则DB=32a，所以32a=4t−5，则a=23(4t−5)，然后根据三角形面积公式，利用S=S△DEF−S△DBG可用t表示S．本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质、折叠的性质和相似三角形的判定与性质；会利用待定系数法求二次函数和一次函数解析式；理解坐标与图形性质；会应用分类讨论的思想解决数学问题．。
吉林省长春市南关区2020-2021学年九年级上学期期末数学试卷(word版含答案)
2020-2021学年吉林省长春市南关区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每道题3分，共24分）1．﹣8的绝对值是（）A．﹣8B．8C．﹣D．2．化简2（a﹣2）+4a结果为（）A．6a+4B．6a﹣4C．﹣6a+4D．﹣6a﹣43．下列运算，结果正确的是（）A．﹣＝B．3+＝3C．÷＝3D．×＝2 4．将二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（）A．y＝（x+3）2+5B．y＝（x﹣5）2﹣1C．y＝（x﹣5）2+5D．y＝（x+5）2﹣5 5．如图，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是（）A．51°B．56°C．68°D．78°6．中国古代人民在生产生活中发现了许多数学问题，在《孙子算经》中记载了这样一个问题，大意为：有若干人乘车，若每车乘坐3人，则2辆车无人乘坐；若每车乘坐2人，则9人无车可乘，问共有多少辆车，多少人，设共有x辆车，y人，则可列方程组为（）A．B．C．D．7．图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成．当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盆中（底盆固定在地面下），此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位，图2是其示意图，经测量，钢条AB＝AC＝50cm，∠ABC＝47°．则车位锁的底盒BC长约为（）（参考数据：sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07）A．34B．73C．68D．1078．三个正方形方格在扇形中的位置如图所示，点O为扇形的圆心，格点A，B，C分别在扇形的两条半径和弧上，已知每个方格的边长为1，则扇形EOF的面积为（）A．πB．πC．πD．π二、填空题（每道题3分，共18分）9．若分式有意义，则x的取值范围是．10．多项式5mx2﹣20my2分解因式的结果是．11．不等式组解集是．12．化简|﹣3|+的结果是．13．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，则sin A＝．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a（a＜0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D，点C的坐标为（2，﹣4）；当CD最短时，则抛物线顶点纵坐标为．三、解答题（共10小题，共78分）15．先化简，再求值：（2x+3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y），其中x＝﹣．y＝1．16．到目前为止，北京是世界上唯一一个既举办过夏季奥运会，又即将举办冬季奥运会的城市，以下是北京奥运会、残奥会、冬奥会及冬残奥会的会徽卡片（除字母和内容外，其余完全相同），四张会徽分别用编号A、B、C、D来表示．现将这四张会徽卡片背面朝上，洗匀放好．（1）从中任意抽取一个会徽卡片，恰好是“中国印•舞动的北京”的概率为．（2）小思从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张会徽卡片恰好是“冬梦”和“飞跃”的概率．（这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示）17．疫情过后，为做好复工复产，某工厂用A、B两种型号机器人搬运原料．已知A型机器人每小时搬运的原料比B型机器人每小时搬运的原料的一半多50千克，且B型机器人搬运2400千克所用时间与A型机器人搬运2000千克所用时间相等，求这两种机器人每小时分别搬运多少千克原料．18．如图，在等腰三角形ABD中，AB＝AD，点C为BD上一点，以BC为直径作⊙O，且点A恰好在⊙O上，连接AC．（1）若AC＝CD，求证：AD是⊙O的切线．（2）在（1）的条件下，若⊙O的直径BC＝6，直接写出的长．19．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的顶点在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，按步骤完成下列问题：（1）在图1中，画出点D，使得四边形ABDC是平行四边形．（2）在图2中，在AB上找点E，使得△ACE的面积是△BCE面积的．（3）在图3中，在AB边上找一点F，使得tan∠ACF＝．20．为了了解我校学生在家做家务劳动的情况，学校随机调查了部分同学的劳动时间，并用得到的数据绘制了不完整的统计图，根据图中信息回答下列问题．（1）求本次调查学生的人数；（2）将条形统计图补充完整；（3）抽查的学生中做家务劳动时间的众数是小时，中位数是小时；（4）如果全校共有学生3000人，请你估计全校大约有多少同学做家务劳动时间是2小时．21．受新型冠状病毒影响，学生在进入学校大门时都要配合监测体温．某学校上学高峰期学生到达学校的人数（包括校门口等待检测的学生和已经检测体温入校的学生）y（人）随时间x（分钟）的变化情况如图所示，已知前12分钟，y可看作是x的二次函数，并在12分钟时，学生到达学校人数y达到最大值为720人，回答下列问题：（1）当0≤x≤12时，求y与x之间的函数解析式；（2）已知学校门口有体温检测岗位3个，每个岗位的工作人员每分钟能检测10人，求学校门口等待接受体温测量的队伍最多时有多少人；（3）在（2）的条件下，从测温开始到所有学生测温结束，当学校门口等待接受体温测量的人数随时间的增加而减少时，直接写出对应的x的取值范围．22．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学数材第96页的部分内容（1）定理感知：如果教材中的已知条件不变，如图①，当PD＝2，OE＝4时，则直接写出△OPE的面积为．（2）定理应用：如图②，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，求证：＝．（3）拓展应用：如图③，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝12，将△ABC先沿∠BAC的平分线AB1折叠，再剪掉重叠部分（即四边形ABB1A1），再将余下部分沿∠。
2020-2021学年吉林省长春市绿园区九年级上学期期末考试数学试卷及答案解析
6．（3分）如图，以点O为位似中心，把△ABC中放大到原来的2倍得到△A'B'C'．以下说法中错误的是（ ）
A．△ABC∽△A'B'C'
B．点C，O，C'三点在同一条直线上
C．AO：AA'＝1：2
D．AB∥A'B'
7．（3分）如图，△DEF是由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是（ ）
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）使得式子 有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≥4B．x＞4C．x≤4D．x＜4
【解答】解：使得式子 有意义，则：4﹣x＞0，
解得：x＜4，
即x的取值范围是：x＜4．
故选：D．
2．（3分）抛物线y＝﹣3（x﹣1）2+6的顶点坐标为（ ）
A．（1，6）B．（1，﹣6）C．（﹣1，﹣6）D．（﹣1，6）
20．（8分）如图，已知抛物线L：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0），OB＝OC＝3OA．
（1）求抛物线L的函数表达式；
（2）连接AC、BC，在抛物线L上是否存在一点N，使S△ABC＝2S△OCN？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（8分）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）：如图，在△ABC中，D是AC边上一定点，请在AB上找出使得△ABC和△ADE相似的点E．
拓广探索：（3）如图2，若∠CAB＝∠EAD＝120°，BD＝4，CF为△BCE中BE边上的高，请直接写出EF的长度．
23．（10分）如图①所示，已知正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE．
2020-2021学年吉林省长春市朝阳区九年级(上)期末数学试卷
2020-2021学年吉林省长春市朝阳区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1. 若√3=a ，√5=b ，则√45可以表示为( )A. √a 2bB. a √bC. a 2bD. ab2. 下列各组根式是同类二次根式的是( )A. √12与√48B. 2√3与3√2C. √14和√21D. √23和√233. 关于x 的一元二次方程x 2−3x +2−m 2=0的根的情况是( )A. 有两个不相等的实根B. 有两个相等的实根C. 无实数根D. 不能确定4. 将抛物线y =2(x −4)2−1先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后所得抛物线的顶点坐标为( )A. (0,−3)B. (4,1)C. (8,1)D. (8,−3)5. 如图，下列说法错误的是( )A. 买一张彩票中500万元的概率在图中的大致位置是点MB. 从一副洗匀且背面朝上的扑克牌(大、小王除外)中任意抽取一张，抽到的牌是黑桃的概率在图中的大致位置是点NC. 掷一枚质地均匀的正方体骰子，朝上面的点数是偶数的概率在图中的大致位置是点PD. 从分别标有数字1，2，3，4，5的五张纸条(除所标数字不同外其余均相同)中任意抽取一张，抽到的纸条标有数字6的概率在图中的大致位置是点Q6. 如图，直线l 1//l 2//l 3，直线a ，b 与l 1，l 2，l 3分别相交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F.若AB BC =23，DE =4，则EF 的长是( ) A. 83B. 203C. 6D. 107.如图，AC是电线杆AB的一根拉线，测得BC的长为6米，，则拉线AC的长为()A. 6sin 50∘B. 6cos 50∘C. 6cos 50∘D. 6tan 50∘8.已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0)图象的对称轴是直线x=1，其图象的一部分如图所示，下列说法中①abc<0；②2a+b=0；③当−1<x<3时，y>0；④2c−3b<0.正确的结论有()A. ①②B. ②③④C. ①③D. ①②④二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.九(5)班有男生27人，女生23人，班主任发放准考证时，任意抽取一张准考证，恰好是女生的准考证的概率是______．10.解方程：一元二次方程x−1=x2−1的根是．11.如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外取一点C，连结AC、BC，在AC上取点E，使AE=3EC，作EF//AB交BC于点F，量得EF=6m，则AB的长为____m．12.已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D、E、F分别是AC、AB、BC的中点，若CE=8，则DF的长是_______．13.如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为1:√3.若点A的坐标为(0,1)，则点E的坐标是________．14.抛物线y=x2−12x−13的顶点为A，与x轴交于B、C两点，则△ABC的面积为______ ．三、解答题（本大题共10小题，共78.0分）15.计算：6tan30°+(−1)2019+√2×(−√6)16.有4张卡片，正面分别写上1，2，3，4，它们的背面都相同．现将它们背面朝上，先从中任意摸出一张，卡片不放回，再任意摸出一张．(1)请用树状图或列表法表示出所有可能的结果．(2)求摸出的两张卡片上的数之和大于5的概率．17.如图，一块长5米宽4米的地毯，为了美观，设计了两横、两纵的配色条纹(图中．阴影部分)，已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的25(1)求配色条纹的宽度；(2)如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余部分每平方米造价100元，求地毯的总造价．18.如图，为了测量建筑物AD的高度，小亮从建筑物正前方10米处的点B出发，沿坡度i=1：√3的斜坡BC前进6米到达点C，在点C处放置测角仪，测得建筑物顶部D的仰角为40°，测角仪CE的高为1.3米，A、B、C、D、E在同一平面内，且建筑物和测角仪都与地面垂直求建筑物AD的高度．(结果精确到0.1米参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，√3≈1.73)19.如图是由25个边长为1的小正方形组成的5×5网格，请在图中画出以DE为斜边的2个面积不同的直角三角形．(要求：所画三角形顶点都在格点上)20.一条单车道的抛物线形隧道如图所示，隧道中公路的宽度AB=8m，隧道的最高点C到公路的距离为6m．(1)建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；(2)现有一辆货车的高度是4.4m，货车的宽度是2m，为了保证安全，车顶距离隧道顶部至少0.5m，通过计算说明这辆货车能否安全通过这条隧道．21.已知：如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，G是AD延长线上的一点，BG交AC于点F，交CD于点E.求证：BF2=EF·FG．22.在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处．(1)如图1，若BC=2BA，求∠CBE的度数；(2)如图2，当AB=5，且AF⋅FD=10时，求BC的长；(3)如图3，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF=AN+FD时，求AB的值．BC23.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，动点P从点C出发以1cm/s的速度沿CA匀速运动，同时动点Q从点A出发以√2cm/s的速度沿AB匀速运动，当点P到达点A时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为t(s)．(1)当t为何值时，点B在线段PQ的垂直平分线上？(2)是否存在某一时刻t，使△APQ是以PQ为腰的等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；(3)以PC为边，往CB方向作正方形CPMN，设四边形QNCP的面积为S，求S关于t的函数关系式．24.在平面直角坐标系中，O为原点，直线y=−2x−1与y轴交于点A，与直线y=−x交于点B，点B关于原点的对称点为点C．(Ⅰ)求过B，C两点的抛物线y=ax2+bx−1解析式；(Ⅱ)P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为Q．①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；②若点P的横坐标为t(−1<t<1)，当t为何值时，四边形PBQC面积最大？最大值是多少？并说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查的是二次根式的乘除和二次根式的化简有关知识．由题意将√45进行变形，再求解即可．【解答】解：∵√3=a，√5=b，∴√45=√9×5=(√3)2×√5=a2b.故选C．2.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查的是同类二次根式的定义．先将各二次根式化简为最简二次根式，然后再找出被开方数相同的二次根式即可．【解答】解：A、√12=2√3，√48=4√3，故√12与√48是同类二次根式，故A正确；B、2√3与3√2，被开方数不同，不是同类二次根式，故B错误；C、√14和√21被开方数不同，不是同类二次根式，故C错误；D、√23=√63，√23与√23不是同类二次根式，故D错误．故选：A．3.【答案】A【解析】【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，属于基础题．依题意，计算Δ的值，然后判断其与0的大小关系即可求解．【解答】解：∵a=1，b=−3，c=2−m2，∴Δ=b2−4ac=(−3)2−4×1×(2−m2)=4m2+1，∵4m2≥0，∴Δ>0.所以方程有两个不相等的实数根．故选A．4.【答案】A【解析】解：抛物线y=2(x−4)2−1的顶点坐标是(4,−1)，将该顶点先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得的顶点坐标是(0,−3)．故选：A．先求出顶点坐标，再根据平移要求得到平移后的顶点坐标．本题考查的是二次函数图象与几何变换，根据平移要求求出平移后的坐标是解题的关键．5.【答案】A【解析】【分析】本题考查的是可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．一般地必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大小在0至1之间．图中点M表示的是必然事件，点Q表示不可能事件；QP之间的位置表示随机事件；找到错误的选项即可．【解答】解：A项，买一张彩票中500万元是随机事件，其发生的概率在图中的大致位置不可能是点M，故A错误;B项，抽到的牌是黑桃的概率是1，故B正确;4C项，朝上面的点数是偶数的概率是1，故C正确;2D项，抽到的纸条标有数字6的概率是0，故D正确．故选A．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，掌握定理的内容、找准对应关系是解题的关键.根据l1//l2//l3，由平行线分线段成比例定理得到成比例线段，代入已知数据计算即可得到答案．【解答】解：∵l1//l2//l3，∴ABBC =DEEF，又∵ABBC =23，DE=4，∴EF=6.故选C．7.【答案】B【解析】【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键，直接利用锐角三角函数关系得出cos50°=BCAC，进而得出答案．【解答】解：∵∠ABC=90°，∠ACB=50°，BC=6m，∴cos50°=BCAC =6AC，∴AC=6cos50∘．故选B．8.【答案】D【解析】解：抛物线开口向下，则a<0.对称轴在y轴右侧，a、b异号，则b>0.抛物线与y轴交于正半轴，则c>0，所以abc<0，故①正确；抛物线的对称轴是直线x=1，则−b2a=1，b=−2a，所以2a+b=0，故②正确；由图象可知，抛物线与x轴的左交点位于0和−1之间，在两个交点之间时，y>0，在x=−1时，y<0，故③错误；当x=−1时，有y=a−b+c<0，由2a+b=0，得a=−b2，代入得−3b2+c<0，两边乘以2得2c−3b<0，故④正确．故选：D．由抛物线的开口方向判断a，由抛物线与y轴的交点判断c，根据对称轴的位置判断b 及a、b关系，根据抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．本题考查了二次函数图象与系数的关系，正确掌握二次函数图象的性质是解题的关键9.【答案】2350【解析】【分析】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn.依据女生人数除以全班人数，即可得到所求的概率．【解答】解：因为这个班上共有27+23=50名学生，而女生23人，则：任意抽取一张准考证，恰好是女生的准考证的概率是2350，故答案为2350．10.【答案】x=0或x=1【解析】【分析】本题主要考查因式分解法解一元二次方程，方程右边先移项，再将方程左边因式分解把方程转化为两个一元一次方程，解方程即可求解．【解答】解：x−1=x2−1，(x−1)−(x2−1)=0，(x−1)[1−(x+1)]=0，解得x=0或x=1．故答案为x=0或x=1．11.【答案】24【解析】【分析】本题考查了相似三角形的应用，属于基础题．先由EF//AB，得出△CEF∽△CAB，再根据相似三角形对应边成比例计算即可得解．【解答】解：∵EF//AB，∴△CEF∽△CAB，∴EFAB =ECAC，∵AE=3EC，∴EFAB =ECAC=14，∵EF=6m，∴AB=4EF=24m，故答案为24．12.【答案】8【解析】【分析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．根据直角三角形的性质求出AB，根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：∵∠ACB=90°，E是AB的中点，∴AB=2CE=16，∵D、F分别是AC、BC的中点，∴DF=12AB=8，故答案为8．13.【答案】(√3,√3)【解析】解：∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：√3，∴OA：OD=1：√3，∵点A的坐标为(0,1)，即OA=1，∴OD=√3，∵四边形ODEF是正方形，∴DE=OD=√3．∴E点的坐标为：(√3,√3)，故答案为：(√3,√3).由题意可得OA：OD=1：√3，又由点A的坐标为(0,1)，即可求得OD的长，又由正方形的性质，即可求得E点的坐标．本题考查了位似变换的性质与正方形的性质．此题比较简单，注意理解位似变换与相似比的定义是解此题的关键．14.【答案】343【解析】解：∵抛物线顶点坐标为(−b2a ,4ac−b24a)，∴抛物线顶点坐标为(6,−49)，∵当y=0时，x2−12x−13=0，解得：x=13或−1，∴抛物线与x轴交点为(−1,0)和(13,0)，∴BC=14，∴△ABC的面积S=12×14×49=343，故答案为：343．根据抛物线顶点坐标公式即可求得抛物线顶点坐标，易求得抛物线与x轴交点，即可求得BC的值，即可解题．本题考查了抛物线与x轴交点坐标的求解，考查了抛物线顶点坐标的求解，本题中求得抛物线顶点坐标是解题的关键．15.【答案】解：原式=6×√33−1−2√3=2√3−1−2√3=−1．【解析】直接利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．16.【答案】【解答】解：(1)根据题意画图如下：共有12种等情况数；(2)根据(1)可得：共有12种等情况数，摸出的两张卡片上的数之和大于5的有4种，则摸出的两张卡片上的数之和大于5的概率是412=13．【解析】【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意画树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意此题属于不放回实验．(1)首先根据题意画出树状图，得出所有等可能的结果数；(2)根据(1)得出所有等可能的结果数和两张卡片的数字之和大于5的情况数，再利用概率公式求解即可求得答案．17.【答案】解：(1)设条纹的宽度为x米．依题意得(5−2x)(4−2x)=(1−25)×5×4，解得：x1=4(不符合，舍去)，x2=12．答：配色条纹宽度为12米；(2)条纹造价：25×5×4×200=1600(元)其余部分造价：(1−25)×4×5×100=1200(元)∴总造价为：1600+1200=2800(元)答：地毯的总造价是2800元．【解析】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．(1)设条纹的宽度为x米，根据等量关系：空白部分面积=整个地毯面积的3，列出方程5求解即可；(2)根据总价=单价×面积，可分别求出地毯配色条纹和其余部分的钱数，再相加即可求解．18.【答案】解：延长EC交AB于F，作EM⊥AD于M，则四边形MAFE为矩形，∴MA=EF，ME=AF，∵斜坡BC的坡度i=1：√3，BC=6，∴CF=3，BF=3√3，∴ME=AF=10+3√3，EF=4.3，，在Rt△DEM中，tan∠DEM=DMME∴DM=ME⋅tan∠DEM≈(10+3√3)×0.84≈12.76，∴AD=DM+AM=4.3+12.76=17.06≈17.1，答：建筑物AD的高度约为17.1米．【解析】本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．延长EC交AB于F，作EM⊥AD于M，根据坡度的定义求出BF、CF，根据正切的定义求出DM，再计算即可．19.【答案】解：如图1和图2，所示△DEF即为所求．【解析】本题考查了作图−应用与设计作图，首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．DE=√42+22=2√5，根据勾股定理逆定理，在图1中画等腰直角三角形，直角边长为√32+12=√10；在图2中画有一条直角边为2，另一条直角边为4的直角三角形即可．20.【答案】解：(本题答案不唯一)如图所示：以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系xOy，∴A(−4,0)，B(4,0)，C(0,6)，设这条抛物线的表达式为y=a(x−4)(x+4)，∵抛物线经过点C，∴−16a=6，∴a=−3，8x2+6，(−4≤x≤4)．∴抛物线的表达式为y=−38(2)当x=1时，y=45，8∵4.4+0.5=4.9<45，8∴这辆货车能安全通过这条隧道．【解析】本题考查二次函数的应用、待定系数法求二次函数的解析式，平面直角坐标系等知识，解题的关键是学会构建平面直角坐标系，掌握待定系数法解决问题，属于中考常考题型．(1)以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系xOy，利用待定系数法即可解决问题．(2)求出x=1时的y的值，与4.4+0.5比较即可解决问题．21.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，AD//BC，∴△ABF∽△CEF，△AGF∽△CBF，∴BF︰EF=AF︰CF，AF︰CF=FG︰BF，∴BF︰EF=FG︰BF，∴BF2=EF·FG．【解析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，关键是根据平行四边形的性质得AB//CD，AD//BC，再根据相似三角形的判定和性质即可解答．22.【答案】解：(1)∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，∴BC=BF，∠FBE=∠EBC，∵BC=2AB，∴BF=2AB，∴∠AFB=30°，∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC，∴∠AFB=∠CBF=30°，∴∠CBE=12∠FBC=15°；(2)∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，∴∠BFE=∠C=90°，CE=EF，又∵矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，∴∠AFB+∠DFE=90°，∠DEF+∠DFE=90°，∴∠AFB=∠DEF，∴△FAB∽△EDF，∴AFDE =ABDF，∴AF⋅DF=AB⋅DE，∵AF⋅DF=10，AB=5，∴DE=2，∴CE=DC−DE=5−2=3，∴EF=3，∴DF=√EF2−DE2=√32−22=√5，∴AF=10√5=2√5，∴BC=AD=AF+DF=2√5+√5=3√5．(3)过点N作NG⊥BF于点G，∵NF=AN+FD，∴NF=12AD=12BC，∵BC=BF，∴NF=12BF，∵∠NFG=∠AFB，∠NGF=∠BAF=90°，∴△NFG∽△BFA，∴NGAB =FGFA=NFBF=12，设AN=x，∵BN平分∠ABF，AN⊥AB，NG⊥BF，∴AN=NG=x，设FG=y，则AF=2y，∵AB2+AF2=BF2，∴(2x)2+(2y)2=(2x+y)2，解得y=43x.∴BF=BG+GF=2x+4x=10x.∴ABBC =ABBF=2x103x=35．【解析】(1)由折叠的性质得出BC=BF，∠FBE=∠EBC，根据直角三角形的性质得出∠AFB=30°，可求出答案；(2)证明△FAB∽△EDF，由相似三角形的性质得出AFDE =ABDF，可求出DE=2，求出EF=3，由勾股定理求出DF=√5，则可求出AF，即可求出BC的长；(3)过点N作NG⊥BF于点G，证明△NFG∽△BFA，NGAB =FGFA=NFBF=12，设AN=x，设FG=y，则AF=2y，由勾股定理得出(2x)2+(2y)2=(2x+y)2，解出y=43x，则可求出答案．本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，直角三角形的性质，折叠的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质及矩形的性质是解题的关键．23.【答案】解：(1)如图1中，连接BP．在Rt△ACB中，∵AC=BC=4，∠C=90°，∴AB=4√2∵点B在线段PQ的垂直平分线上，∴BP=BQ，∵AQ=√2t，CP=t，∴BQ=4√2−√2t，PB2=42+t2，∴(4√2−√2t)2=16+t2，解得t=12−8√2或12+8√2(舍弃)，∴t=12−8√2s时，点B在线段PQ的垂直平分线上．(2)①如图2中，当PQ=QA时，易知△APQ是等腰直角三角形，∠AQP=90°．则有PA=√2AQ，∴4−t=√2⋅√2t，．解得t=43②如图3中，当AP=PQ时，易知△APQ是等腰直角三角形，∠APQ=90°．则有：AQ=√2AP，∴√2t=√2(4−t)，解得t=2，s或2s时，△APQ是以PQ为腰的等腰三角形．综上所述：t=43(3)如图4中，连接QC，作QE⊥AC于E，作QF⊥BC于F.则QE=AE，QF=EC，可得QE+QF=AE+EC=AC=4．∵S =S △QNC +S △PCQ =12⋅CN ⋅QF +12⋅PC ⋅QE =12t(QE +QF)=2t(0<t <4)．【解析】(1)连接PB ，由点B 在线段PQ 的垂直平分线上，推出BP =BQ ，由此构建方程即可解决问题；(2)分两种情形分别构建方程求解即可；(3)如图4中，连接QC ，作QE ⊥AC 于E ，作QF ⊥BC 于F.则QE =AE ，QF =EC ，可得QE +QF =AE +EC =AC =4.S 根据=S △QNC +S △PCQ =12⋅CN ⋅QF +12⋅PC ⋅QE ，计算即可；本题考查四边形综合题、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 24.【答案】解：(Ⅰ)联立两直线解析式可得{y =−xy =−2x −1，解得{x =−1y =1， ∴B 点坐标为(−1,1)，又C 点为B 点关于原点的对称点，∴C 点坐标为(1,−1)，把B 、C 三点坐标代入可得{a −b −1=1a +b −1=−1, 解得{a =1b =−1, ∴抛物线解析式为y =x 2−x −1；(Ⅱ)①当四边形PBQC 为菱形时，则PQ ⊥BC ，∵直线BC 解析式为y =−x ，∴直线PQ 解析式为y =x ，联立抛物线解析式可得{y =x y =x 2−x −1， 解得{x =1−√2y =1−√2或{x =1+√2y =1+√2， ∴P 点坐标为(1−√2,1−√2)或(1+√2,1+√2)；②当t =0时，四边形PBQC 的面积最大．理由如下：如图，过P作PD⊥BC，垂足为D，作x轴的垂线，交直线BC于点E，则S四边形PBQC =2S△PBC=2×12BC⋅PD=BC⋅PD，∵线段BC长固定不变，∴当PD最大时，四边形PBQC面积最大，又∠PED=∠AOC(固定不变)，∴当PE最大时，PD也最大，∵P点在抛物线上，E点在直线BC上，∴P点坐标为(t,t2−t−1)，E点坐标为(t,−t)，∴PE=−t−(t2−t−1)=−t2+1，∴当t=0时，PE有最大值1，此时PD有最大值，即四边形PBQC的面积最大．【解析】本题考查二次函数的综合应用、待定系数法、菱形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会构建方程组确定两个函数交点坐标．学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．(Ⅰ)首先求出B、C两点坐标，再利用待定系数法可求得抛物线解析式；(Ⅱ)①当四边形PBQC为菱形时，可知PQ⊥BC，则可求得直线PQ的解析式，联立抛物线解析式可求得P点坐标；②过P作PD⊥BC，垂足为D，作x轴的垂线，交直线BC于点E，由∠PED=∠AOC，可知当PE最大时，PD也最大，用t可表示出PE的长，可求得取最大值时的t的值．。
2020-2021学年吉林省长春市二道区九年级上学期期末考试数学试卷及答案解析
2020-2021学年吉林省长春市二道区九年级上学期期末考试
数学试卷
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．下列各式属于最简二次根式的是（）
A．√8B．√x2+1C．√y2D．√1 2
2．一元二次方程4x2﹣3x+1
4
=0根的情况是（）
A．没有实数根B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根
3．用放大镜观察一个五边形时，不变的量是（）
A．各边的长度B．各内角的度数
C．五边形的周长D．五边形的面积
4．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和6个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是0.3，则估计盒子中大约有红球（）
A．16个B．14个C．20个D．30个
5．肆虐的冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有225人感染，若设1人平均感染x人，依题意可列方程（）
A．1+x＝225B．1+x2＝225
C．（1+x）2＝225D．1+（1+x2）＝225
6．抛物线y＝（x﹣3）2﹣2经过平移得到抛物线y＝x2，平移过程正确的是（）A．先向下平移2个单位，再向左平移3个单位
B．先向上平移2个单位，再向右平移3个单位
C．先向下平移2个单位，再向右平移3个单位
D．先向上平移2个单位，再向左平移3个单位
7．如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC互相垂直（A、D、B在同一条直线上），设∠CAB＝α，那么拉线BC的长度为（）
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2020-2021学年吉林省长春市二道区九年级上学期期末考试数学试卷及答案解析
2020-2021学年吉林省长春市二道区九年级上学期期末考试
数学试卷
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）下列各式属于最简二次根式的是（）
A．√8B．√x2+1C．√y2D．√1 2
2．（3分）一元二次方程4x2﹣3x+1
4
=0根的情况是（）
A．没有实数根B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根
3．（3分）用放大镜观察一个五边形时，不变的量是（）
A．各边的长度B．各内角的度数
C．五边形的周长D．五边形的面积
4．（3分）在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和6个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是0.3，则估计盒子中大约有红球（）
A．16个B．14个C．20个D．30个
5．（3分）肆虐的冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有225人感染，若设1人平均感染x人，依题意可列方程（）A．1+x＝225B．1+x2＝225
C．（1+x）2＝225D．1+（1+x2）＝225
6．（3分）抛物线y＝（x﹣3）2﹣2经过平移得到抛物线y＝x2，平移过程正确的是（）A．先向下平移2个单位，再向左平移3个单位
B．先向上平移2个单位，再向右平移3个单位
C．先向下平移2个单位，再向右平移3个单位
D．先向上平移2个单位，再向左平移3个单位
7．（3分）如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC互相垂直（A、D、B在同一条直线上），设∠CAB＝α，那么拉线BC的长度为（）
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2020-2021学年吉林省长春市宽城区九年级(上)期末数学试卷(解析版)
2020-2021学年吉林省长春市宽城区九年级第一学期期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．﹣7的相反数是（）A．﹣7B．7C．D．﹣2．如图是由4个完全相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的俯视图是（）A．B．C．D．3．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．4．某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（）A．180（1﹣x）2＝461B．180（1+x）2＝461C．368（1﹣x）2＝442D．368（1+x）2＝4425．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，连结CD．若BC＝4，CD＝3，则sin∠ACD的值为（）A．B．C．D．6．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，连结DE．过点D作DF⊥BC于点F，连结EF．若△DEF的面积为1，则四边形DECB的面积为（）A．5B．4C．3D．27．如图，△ABC内接于⊙O，连结OA、OB．若OA＝4，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积为（）A．π﹣2B．C．D．4π﹣88．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD四个顶点的坐标分别为A（1，1）、B（1，2）、C（2，2）、D（2，1）．若抛物线y＝（x+1）2向下平移m个单位（m＞0）与正方形ABCD的边（包括四个顶点）有交点，则m的值不可能是（）A．1B．3C．5D．7二、填空题（共6小题）.9．计算：•＝．10．分解因式：4a2﹣b2＝．11．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+a＝0有两个相等的实数根，则a的值是．12．如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为3：5．若三角板的一边长为9cm．则投影三角板的对应边长为cm．13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连结BD．若＝，∠BDC＝50°，则∠ADC的大小是度．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3（a＜0）交y轴于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点B，连结OB．点C是线段OB上一动点，以OA、AC为邻边作▱OACD，则▱OACD周长的最小值为．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）解方程：2x2﹣3x﹣1＝0．16．（6分）某校以“寻根国学，传承文明”为主题开展国学知识挑战赛，比赛过程分两个环节，第一环节：写字注音、成语故事、国学常识（分别用A1、A2、A3表示）；第二环节：成语听写、诗词对句、经典诵读（分别用B1、B2、B3表示）．参赛选手需在每个环节中各随机抽取一道题目来作答，请用画树状图或列表的方法，求参赛选手在两个环节中都抽到有关成语题目的概率．17．（6分）图①、图②、图③均是5×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D均在格点上．在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法．（1）如图①，＝．（2）如图②，在BC上找一点F，使BF＝2．（3）如图③，在AC上找一点M，连结BM、DM，使△ABM∽△CDM．18．（7分）某校为了解九年级学生休息日时每天学习的时长情况，随机抽取了n名九年级学生进行调查，据调查每名学生休息日时每天学习时长都少于5小时．该校将所收集的数据分组整理，绘制了如图所示的频数分布直方图和扇形统计图．根据图中信息，解答下列问题：（1）在这次调查活动中，采取的调查方式是．（填写“全面调查”或“抽样调查”）（2）求n的值．（3）若该校九年级共有450名学生，请估计该校休息日时每天学习时长在“3≤t＜4”范围的学生人数．19．（7分）如图，小颖在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼AB 的高度进行测量，测得居民楼AB与CD之间的距离AC为35m，在点N处测得居民楼CD的顶端D的仰角为45°，居民楼AB的顶端B的仰角为55°．已知居民楼CD的高度为16.6m，小颖的观测点N距地面1.6m．求居民楼AB的高度．（结果精确到1m）【参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43】20．（7分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，AC为对角线，点E在BC的延长线上，且∠E＝∠BAC．（1）判断DE所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）若∠CDE＝25°，⊙O的半径为3，求的长．（结果保留π）21．（8分）如图，隧道的横截面由抛物线形和矩形OABC构成．矩形一边OA的长是12m，另一边OC的长是1m．抛物线上的最高点D到地面OA的距离为7m．以OA所在直线为x轴，以OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．（1）求该抛物线所对应的函数表达式．（2）在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度为5m，求两排灯之间的水平距离．（3）隧道内车辆双向通行，规定车辆必须在中心线两侧行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于m的空隙．现有一辆货运汽车，在隧道内距离道路边缘2m处行驶，求这辆货运汽车载物后的最大高度．22．（9分）【问题原型】如图①，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上一点，且AP ＝BQ，连结AQ、CP，求证：△ABQ≌△CAP．【问题延伸】如图①，在等边△ABC中，点P从点A出发沿边AB向终点B匀速运动，点Q与点P同时同速从点B出发沿边BC向终点C匀速运动，AQ、CP相交于点M．试问在P、Q两点运动的过程中，tan∠CMQ的值是否变化？若不变，求出它的值；若变化，请说明理由．【问题应用】如图②，在△ABC中，AC＝BC＝2AB．点P、Q分别是边AB、BC上一点，且AP＝2BQ，AQ、CP相交于点M．过点C作CH⊥AQ于H，则＝．23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．点P从点B出发沿线段BA以每秒3个单位的速度向终点A运动．过点P作PQ⊥AB交射线BC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点A与MN在PQ的同侧．设点P的运动时间为t秒．（1）PQ的长为．（用含t的代数式表示）（2）当点M落在边AC上时，求t的值．（3）设正方形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S，当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形是四边形时，求S与t之间的函数关系式．（4）当NQ所在直线经过△ABC一边的中点时，直接写出t的值．24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点（6，7），其对称轴为直线x＝2．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式．（2）当时，求函数值y的取值范围．（3）当﹣2≤x≤k时，函数值y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，且y的最大值为7，则k的取值范围是．（4）已知A、B两点均在抛物线y＝x2+bx+c上，点A的横坐标为m，点B的横坐标为m+2．将抛物线上A、B两点之间（含A、B两点）的图象记为M，当图象M的最高点与最低点的纵坐标之差为2时，求m的值．参考答案一、选择题（共8小题）.1．﹣7的相反数是（）A．﹣7B．7C．D．﹣解：根据概念，（﹣7的相反数）+（﹣7）＝0，则﹣7的相反数是7．故选：B．2．如图是由4个完全相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的俯视图是（）A．B．C．D．解：从上面看共有2列，第一列有2个正方形，第二列上层有一个正方形，故选：B．3．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．解：，解①得x＞﹣1，解②得x≤3，所以不等式组的解集为﹣1＜x≤3．故选：C．4．某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（）A．180（1﹣x）2＝461B．180（1+x）2＝461C．368（1﹣x）2＝442D．368（1+x）2＝442解：从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程：180（1+x）2＝461，故选：B．5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，连结CD．若BC＝4，CD＝3，则sin∠ACD的值为（）A．B．C．D．解：∵∠ACB＝90°，点D为AB的中点，∴CD＝AB＝AD，∴AB＝2CD＝6，∠ACD＝∠A，∵sin∠ACD＝sin∠A＝＝＝，故选：A．6．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，连结DE．过点D作DF⊥BC于点F，连结EF．若△DEF的面积为1，则四边形DECB的面积为（）A．5B．4C．3D．2解：作AM⊥BC于M，交DE于N，∵点D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC，DE＝BC，∴△ADE∽△ABC，∴AN＝AM，∴△ADE的面积＝△DEF的面积＝1，∵△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝，∴△ABC的面积＝4，∴四边形DECB的面积＝4﹣1＝3，故选：C．7．如图，△ABC内接于⊙O，连结OA、OB．若OA＝4，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积为（）A．π﹣2B．C．D．4π﹣8解：∵∠C＝45°，∴∠AOB＝90°，∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB＝﹣×4×4＝4π﹣8，故选：D．8．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD四个顶点的坐标分别为A（1，1）、B（1，2）、C（2，2）、D（2，1）．若抛物线y＝（x+1）2向下平移m个单位（m＞0）与正方形ABCD的边（包括四个顶点）有交点，则m的值不可能是（）A．1B．3C．5D．7解：设平移后的解析式为y＝（x+1）2﹣m，将B点坐标代入，得4﹣m＝2，解得m＝2，将D点坐标代入，得9﹣m＝1，解得m＝8，y＝（x+1）2向下平移m个单位（m＞0）与正方形ABCD的边（包括四个顶点）有交点，则m的取值范围是2≤m≤8，观察选项，只有选项A符合题意．故选：A．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．计算：•＝5．解：原式＝＝5．故答案为：5．10．分解因式：4a2﹣b2＝（2a+b）（2a﹣b）．解：4a2─b2＝（2a）2﹣b2＝（2a+b）（2a﹣b），故答案为：（2a+b）（2a﹣b）．11．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+a＝0有两个相等的实数根，则a的值是9．解：根据题意得△＝（﹣6）2﹣4a＝0，解得a＝9．故答案为：9．12．如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为3：5．若三角板的一边长为9cm．则投影三角板的对应边长为15cm．解：设投影三角尺的对应边长为xcm，∵三角尺与投影三角尺相似，∴9：x＝3：5，解得x＝15．故答案是：15．13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连结BD．若＝，∠BDC＝50°，则∠ADC的大小是130度．解：∵＝，∴∠ABC＝∠BDC＝50°，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣50°＝130°，故答案为：130．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3（a＜0）交y轴于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点B，连结OB．点C是线段OB上一动点，以OA、AC为邻边作▱OACD，则▱OACD周长的最小值为．解：作AM⊥OB于M，∵抛物线y＝ax2﹣4ax+3（a＜0）交y轴于点A，∴A（0，3），∴OA＝3，∵y＝ax2﹣4ax+3（a＜0），∴对称轴为直线x＝﹣＝2，∵过点A作x轴的平行线交抛物线于点B，∴BA⊥OA，B（4，3），∴AB＝4，∴OB＝＝＝5，∵OA•AB＝OB•AM，∴AM＝＝，∵OA＝CD＝3是定值，∴当AC值最小时，▱OACD周长值最小，∴当C与M重合时，周长有最小值，最小值为：2×（3+）＝，故答案为．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）解方程：2x2﹣3x﹣1＝0．解：2x2﹣3x﹣1＝0，a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，∴△＝9+8＝17，∴x＝，x1＝，x2＝．16．（6分）某校以“寻根国学，传承文明”为主题开展国学知识挑战赛，比赛过程分两个环节，第一环节：写字注音、成语故事、国学常识（分别用A1、A2、A3表示）；第二环节：成语听写、诗词对句、经典诵读（分别用B1、B2、B3表示）．参赛选手需在每个环节中各随机抽取一道题目来作答，请用画树状图或列表的方法，求参赛选手在两个环节中都抽到有关成语题目的概率．解：画树状图如下：由树状图知，共有9种等可能结果，其中参赛选手在两个环节中都抽到有关成语题目的情况有1种，∴两个环节都抽到有关成语题目的概率为．17．（6分）图①、图②、图③均是5×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D均在格点上．在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法．（1）如图①，＝．（2）如图②，在BC上找一点F，使BF＝2．（3）如图③，在AC上找一点M，连结BM、DM，使△ABM∽△CDM．解：（1）∵AB∥CD，∴△AEB∽△DEC，∴＝，∵AB＝1，CD＝2，∴＝，故答案为：；（2）如图②，点F即为所求；（3）如图③，点M即为所求.18．（7分）某校为了解九年级学生休息日时每天学习的时长情况，随机抽取了n名九年级学生进行调查，据调查每名学生休息日时每天学习时长都少于5小时．该校将所收集的数据分组整理，绘制了如图所示的频数分布直方图和扇形统计图．根据图中信息，解答下列问题：（1）在这次调查活动中，采取的调查方式是抽样调查．（填写“全面调查”或“抽样调查”）（2）求n的值．（3）若该校九年级共有450名学生，请估计该校休息日时每天学习时长在“3≤t＜4”范围的学生人数．解：（1）在这次调查活动中，采取的调查方式是抽样调查，故答案为：抽样调查；（2）n＝10÷20%＝50；（3）∵样本中每天学习时长在“3≤t＜4”范围的学生人数为50﹣（5+10+16+4）＝15（人），∴（人），∴该校九年级休息日时每天学习时长在“3≤t＜4”范围的学生人数约为135人．19．（7分）如图，小颖在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼AB 的高度进行测量，测得居民楼AB与CD之间的距离AC为35m，在点N处测得居民楼CD的顶端D的仰角为45°，居民楼AB的顶端B的仰角为55°．已知居民楼CD的高度为16.6m，小颖的观测点N距地面1.6m．求居民楼AB的高度．（结果精确到1m）【参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43】解：如图，过点N作EF∥AC交AB于点E，交CD于点F，则AE＝CF＝MN＝1.6，EF＝AC＝35，EN＝AM，NF＝MC，∠BEN＝∠DFN＝90°．∴DF＝CD﹣CF＝16.6﹣1.6＝15．在Rt△DFN中，∵∠DNF＝45°，∴NF＝DF＝15．∴EN＝EF﹣NF＝35﹣15＝20．在Rt△BEN中，∵，∴BE＝EN⋅tan∠BNE＝20×tan55°≈20×1.43＝28.6．∴AB＝BE+AE＝28.6+1.6＝30.2≈30（米）．答：居民楼AB的高度约为30 米．20．（7分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，AC为对角线，点E在BC的延长线上，且∠E＝∠BAC．（1）判断DE所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）若∠CDE＝25°，⊙O的半径为3，求的长．（结果保留π）解：（1）DE所在直线与⊙O相切．如图，连结BD，∵∠BAD+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝180°﹣∠BAD＝180°﹣90°＝90°，∴∠CDE+∠E＝90°，∵∠E＝∠BAC，∠BDC＝∠BAC，∴∠E＝∠BDC，∴∠CDE+∠BDC＝90°，即∠BDE＝90°，∵∠BAD＝90°，∴BD为⊙O的直径，∴DE所在直线与⊙O相切；（2）如图，连结OC，∵∠CDE+∠BDC＝90°，∴∠BDC＝90°﹣∠CDE＝90°﹣25°＝65°，∴∠BOC＝2∠BDC＝2×65°＝130°，∴的长为．21．（8分）如图，隧道的横截面由抛物线形和矩形OABC构成．矩形一边OA的长是12m，另一边OC的长是1m．抛物线上的最高点D到地面OA的距离为7m．以OA所在直线为x轴，以OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．（1）求该抛物线所对应的函数表达式．（2）在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度为5m，求两排灯之间的水平距离．（3）隧道内车辆双向通行，规定车辆必须在中心线两侧行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于m的空隙．现有一辆货运汽车，在隧道内距离道路边缘2m处行驶，求这辆货运汽车载物后的最大高度．解：（1）由题意设抛物线所对应的函数表达式为y＝a（x﹣6）2+7，将点C（0，1）代入上式，36a+7＝1，解得，∴该抛物线所对应的函数表达式为．（2）把y＝5代入中，，解得，，，所以两排灯之间的水平距离为m；（3）把x＝2代入中，，，所以这辆货运汽车载物后的最大高度为4m．22．（9分）【问题原型】如图①，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上一点，且AP ＝BQ，连结AQ、CP，求证：△ABQ≌△CAP．【问题延伸】如图①，在等边△ABC中，点P从点A出发沿边AB向终点B匀速运动，点Q与点P同时同速从点B出发沿边BC向终点C匀速运动，AQ、CP相交于点M．试问在P、Q两点运动的过程中，tan∠CMQ的值是否变化？若不变，求出它的值；若变化，请说明理由．【问题应用】如图②，在△ABC中，AC＝BC＝2AB．点P、Q分别是边AB、BC上一点，且AP＝2BQ，AQ、CP相交于点M．过点C作CH⊥AQ于H，则＝．解：【问题原型】∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠B＝∠CAB＝60°．在△ABQ和△CAP中，，∴△ABQ≌△CAP（SAS）；【问题延伸】tan∠CMQ的值不发生变化．∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ＝∠ACP．∵∠BAQ+∠CAQ＝∠CAB＝60°，∴∠ACP+∠CAQ＝60°．∵∠CMQ＝∠ACP+∠CAQ，∴∠CMQ＝60°．∴tan∠CMQ＝tan60°＝．【问题应用】∵AC＝BC＝2AB，AP＝2BQ，∴AC：AB＝AP：BQ＝2，∠CAB＝∠B，∴△CAP∽△ABQ，∴∠ACP＝∠BAQ．∵∠BAQ+∠CAQ＝∠CAB，∴∠ACP+∠CAQ＝∠CAB，∵∠CMQ＝∠ACP+∠CAQ，∴∠CMQ＝∠CAB，∵cos∠CAB＝，cos∠CMQ＝．∴＝．故答案为．23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．点P从点B出发沿线段BA以每秒3个单位的速度向终点A运动．过点P作PQ⊥AB交射线BC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点A与MN在PQ的同侧．设点P的运动时间为t秒．（1）PQ的长为4t．（用含t的代数式表示）（2）当点M落在边AC上时，求t的值．（3）设正方形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S，当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形是四边形时，求S与t之间的函数关系式．（4）当NQ所在直线经过△ABC一边的中点时，直接写出t的值．解：（1）过A作AD⊥BC于D，如图1所示：则∠ADB＝90°，∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴BD＝CD＝BC＝3，∴AD＝＝＝4，∵PQ⊥AB，∴∠QPB＝90°＝∠ADB，又∵∠B＝∠B，∴△QBP∽△ABD，∴＝＝，即＝＝，解得：PQ＝4t，BQ＝5t，故答案为：4t；（2）当点M落在边AC上时，如图2所示：∵四边形PQMN是正方形，∴QM＝PQ＝4t，QM∥AB，∴△MQC∽△ABC，∴，即，解得：，即t的值为；（3）由（2）得：点M落在边AC上时，正方形PQMN与△ABC重叠部分图形是四边形，∴0＜t≤时，S＝正方形PQMN的面积＝（4t）2＝16t2，即S＝16t2（0＜t≤）；当N与A重合时，正方形PQMN与△ABC重叠部分图形是四边形，则AP＝PN＝4t，∵AP+BP＝AB，∴4t+3t＝5，∴t＝，设AC与MQ交于点H，如图3所示：∵QM∥AB，∴△HQC∽△ABC，∴＝，即＝，解得：QH＝5﹣t，∴S＝（AP+QH）×PQ＝[（5﹣3t）+（5﹣t）]×4t＝﹣t2+20t，此时t≥，∵点Q与C重合时，正方形PQMN与△ABC重叠部分图形是三角形，此时5t＝6，∴t＝，∴当时，S＝﹣t2+20t；（4）分三种情况：①当N是AB边的中点时，如图4所示：则BP+PN＝AB，即3t+4t＝，∴t＝；②当Q是BC边的中点时，如图5所示：则BQ＝BC，∴5t＝3，∴t＝；③当NQ经过AC边的中点时，如图6所示：设AC的中点为G，则AG＝CG，过A作AE∥BC交NQ于E，则△AEG∽△CQG，△AEN∽△BQN，∴＝＝1，＝，∴AE＝CQ＝6﹣5t，＝，解得：t＝；综上所述，当NQ所在直线经过△ABC一边的中点时，t的值为或或．24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点（6，7），其对称轴为直线x＝2．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式．（2）当时，求函数值y的取值范围．（3）当﹣2≤x≤k时，函数值y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，且y的最大值为7，则k的取值范围是2＜k≤6．（4）已知A、B两点均在抛物线y＝x2+bx+c上，点A的横坐标为m，点B的横坐标为m+2．将抛物线上A、B两点之间（含A、B两点）的图象记为M，当图象M的最高点与最低点的纵坐标之差为2时，求m的值．解：（1）由题意，得，解得，∴抛物线所对应的函数表达式为y＝x2﹣4x﹣5；（2）∵，对称轴为直线x＝2，∴当x＝2时，，当时，，当时，，∴当时，y的取值范围是；（3）把y＝7代入y＝x2﹣4x﹣5得，7＝x2﹣4x﹣5，解得x1＝6，x2＝﹣2，∴当﹣2≤x≤k时，函数值y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，且y的最大值为7，则k的取值范围是2＜k≤6，故答案为2＜k≤6；（4）点A、B的坐标分别为（m，m2﹣4m﹣5）、（m+2，m2﹣9），当m≤0时，m2﹣4m﹣5﹣（m2﹣9）＝2，解得（不合题意，舍去）．当0＜m≤1时，m2﹣4m﹣5﹣（﹣9）＝2，解得，（不合题意，舍去）．当1＜m≤2时，m2﹣9﹣（﹣9）＝2，解得，（不合题意，舍去）．当m＞2时，m2﹣9﹣（m2﹣4m﹣5）＝2，解得（不合题意，舍去）．综上，m的值为或．。
2020-2021学年吉林省长春市新区九年级(上)期末数学试卷(含解析)
2020-2021学年吉林省长春市新区九年级第一学期期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．下列根式是最简二次根式的是（）A．B．C．D．2．用配方法解一元二次方程x2+2x﹣2＝0时，原方程可变形为（）A．（x+1）2＝2B．（x﹣1）2＝2C．（x+1）2＝3D．（x﹣1）2＝3 3．△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则sin A的值是（）A．B．C．D．4．两相似三角形的周长之比为1：3，那么它们对应边上的高之比是（）A．1：3B．1：9C．2：1D．9：15．将抛物线y＝x2平移后得到抛物线y＝x2﹣3，平移的方法可以是（）A．沿y轴向上平移3个单位B．沿y轴向下平移3个单位C．沿x轴向右平移3个单位D．沿x轴向左平移3个单位6．抛物线y＝（x﹣1）2﹣2与y轴交点的纵坐标为（）A．1B．2C．﹣1D．﹣27．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形ABCD与矩形EFGO是位似图形，位似中心在y轴上，对应点B、F的坐标分别为（﹣4，4）、（2，1），则位似中心的坐标为（）A．（0，1）B．（0，2）C．（0，3）D．（0，4）8．为了估计水塘中的鱼数，养鱼者先从鱼塘中捕获30条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验后发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳定在2.5%左右，则鱼塘中鱼的条数估计为（）A．600条B．1200条C．2200条D．3000条二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分）9．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是．10．若关于x的方程（x﹣5）2＝m有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．11．一只不透明的袋子里装有4个黑球，2个白球．每个球除颜色外都相同，则事件“从中任意模出1个球，是黑球”的事件类型是（填“随机事件”“不可能事件”或“必然事件”）．12．如图，测量小玻璃管口径的量具ABC上，AB的长为10毫米，AC被分为60等份，如果小管口中DE正好对着量具上20份处（DE∥AB），那么小管口径DE的长是毫米．13．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos A的值为．14．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正方形OABC的顶点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的正半轴上，经过点A、B的抛物线y＝a（x﹣2）2+c（a＞0）的顶点为E．若△ABE为等腰直角三角形，则a的值为．三、解答题（共10小题）.15．先分解因式，再代入求值：a2b+ab2，其中a＝3+，b＝3﹣．16．对垃圾进行分类投放，能提高垃圾处理和再利用的效率，减少污染，保护环境．为了检查垃圾分类的落实情况，居委会采取随机抽查的方式对辖区内的甲、乙、丙、丁四个小区中的两个小区进行检查．请用列表或画树状图的方法求恰好甲、乙两个小区被抽到的概率．17．某种植物的主干长出x个支干，每个支干又长出x个小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求x的值．18．如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点O是格点，△ABC 是格点三角形（顶点在网格线交点上），且点A1是点A以点O为位似中心的对应点．（1）画出△ABC以点O为位似中心的位似图形△A1B1C1．（2）△A1B1C1与△ABC的位似比为；（3）△A1B1C1的周长为．19．如表是小菲填写的实践活动报告的部分内容．题目测量铁塔顶端到地面的高度测量目标示意图相关数据CE＝25米，CD＝10米，∠FDG＝44°求铁塔的高度FE．（结果精确到1米）【参考数据：sin44°＝0.69，cos44°＝0.72，tan44°＝0.97】20．已知抛物线y＝﹣x2+4x的顶点为A，与x轴的交点为B、C（点B在点C左边）．（1）直接写出点A、B、C的坐标．（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这条抛物线．（3）根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围．21．某商场购进一批单价为16元的日用品，按每件20元销售时，每月能卖360件；经调查发现，售价每提高1元，月销量就减少30件．设每件售价为x（20≤x≤28）元时，每月的利润为W元．（1）若按每件25元的价格销售时，每月能卖件．（2）求W与x的函数关系式．（3）销售价定为每件多少元时，才能使每月获得的利润最大？每月的最大利润是多少？22．（1）把两个含有45°角的直角三角板如图①放置，点E、C、A在同一直线上，点D 在边BC上，连结BE、AD，AD的延长线交BE于点F．求证：AD＝BE．（2）把两个含有30°角的直角三角板如图②放置，点E、C、A在同一直线上，点D在边BC上，连结BE、AD，AD的延长线交BE于点F．若AD＝1，则BE的长为．23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝15，sin A＝．点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿AC﹣CB运动，到点B停止；点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC﹣CA运动，到点A停止．P、Q两点同时出发，到各自的终点时停止．当点P、Q不与点C重合时，过点C作直线l，使点A、B在直线l同侧，过点P、Q分别作直线l的垂线，垂足分别为点E、F．设点Q运动时间为t（秒）．（1）求△ABC的边AC，BC的长．（2）当t＝2时，求的值．（3）当△PEC与△QFC的面积比为1：1时，求t的值．24．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）经过点A（﹣2，2），与y轴交于点B．（1）求点B的坐标．（2）用含a的式子表示b．（3）当﹣2＜x＜0时，y随x的增大而减小，求a的取值范围．（4）直线AB上有一点C（m，5），将点C向右平移4个单位长度，得到点D．当抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）与线段CD只有一个公共点时，直接写出a的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．下列根式是最简二次根式的是（）A．B．C．D．解：A、＝＝，被开方数含分母，不是最简二次根式；B、，是最简二次根式；C、＝＝2，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；D、＝，被开方数含分母，不是最简二次根式；故选：B．2．用配方法解一元二次方程x2+2x﹣2＝0时，原方程可变形为（）A．（x+1）2＝2B．（x﹣1）2＝2C．（x+1）2＝3D．（x﹣1）2＝3解：∵x2+2x＝2，∴x2+2x+1＝2+1，即（x+1）2＝3，故选：C．3．△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则sin A的值是（）A．B．C．D．解：由勾股定理得：AB＝＝＝5，∴sin A＝＝．故选：C．4．两相似三角形的周长之比为1：3，那么它们对应边上的高之比是（）A．1：3B．1：9C．2：1D．9：1解：∵两相似三角形的周长之比为1：3，∴两相似三角形的相似比为1：3，∴它们对应边上的高之比等于相似比＝1：3，故选：A．5．将抛物线y＝x2平移后得到抛物线y＝x2﹣3，平移的方法可以是（）A．沿y轴向上平移3个单位B．沿y轴向下平移3个单位C．沿x轴向右平移3个单位D．沿x轴向左平移3个单位解：将二次函数y＝x2的图象向下平移3个单位后，所得图象的函数表达式是y＝x2﹣3，故选：B．6．抛物线y＝（x﹣1）2﹣2与y轴交点的纵坐标为（）A．1B．2C．﹣1D．﹣2解：当x＝0时，y＝（0﹣1）2﹣2＝﹣1，即与y轴交点的纵坐标为﹣1．故选：C．7．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形ABCD与矩形EFGO是位似图形，位似中心在y轴上，对应点B、F的坐标分别为（﹣4，4）、（2，1），则位似中心的坐标为（）A．（0，1）B．（0，2）C．（0，3）D．（0，4）解：如图，连接BF交y轴于P，则点P为位似中心，∵四边形ABCD和四边形EFGO是矩形，点B，F的坐标分别为（﹣4，4），（2，1），∴点C的坐标为（0，4），点G的坐标为（0，1），∴CG＝3，∵BC∥GF，∴＝＝，∴GP＝1，PC＝2，∴点P的坐标为（0，2），故选：B．8．为了估计水塘中的鱼数，养鱼者先从鱼塘中捕获30条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验后发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳定在2.5%左右，则鱼塘中鱼的条数估计为（）A．600条B．1200条C．2200条D．3000条解：30÷2.5%＝1200条故选：B．二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分）9．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≤5．解：由题意得：5﹣x≥0，解得：x≤5，故答案为：x≤5．10．若关于x的方程（x﹣5）2＝m有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是m＞0．解：∵方程（x﹣5）2＝m，即x2﹣10x+25﹣m＝0有两个不相等的实数根，∴△＝（﹣10）2﹣4（25﹣m）＞0，解得：m＞0．故答案是：m＞0．11．一只不透明的袋子里装有4个黑球，2个白球．每个球除颜色外都相同，则事件“从中任意模出1个球，是黑球”的事件类型是随机（填“随机事件”“不可能事件”或“必然事件”）．解：∵袋子里装有4个黑球，2个白球，∴从中任意模出1个球，可能是黑球，有可能是白球，∴事件“从中任意模出1个球，是黑球”的事件类型是随机事件，故答案为：随机．12．如图，测量小玻璃管口径的量具ABC上，AB的长为10毫米，AC被分为60等份，如果小管口中DE正好对着量具上20份处（DE∥AB），那么小管口径DE的长是毫米．解：∵DE∥AB∴△CDE∽△CAB∴CD：CA＝DE：AB∴20：60＝DE：10∴DE＝毫米∴小管口径DE的长是毫米．故答案为：13．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos A的值为．解：如图，作CH⊥AB于H，设小正方形的边长为1．则AC＝＝，在Rt△ACH中，cos A＝＝＝，故答案为：．14．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正方形OABC的顶点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的正半轴上，经过点A、B的抛物线y＝a（x﹣2）2+c（a＞0）的顶点为E．若△ABE为等腰直角三角形，则a的值为．解：∵抛物线y＝a（x﹣2）2+c（a＞0）的顶点为E，且经过点A、B，∴抛物线的对称轴是直线x＝2，且A、B关于直线x＝2对称，过E作EF⊥x轴于F，交AB于D，∵△ABE为等腰直角三角形，∴AD＝BD＝2，∴AB＝4，DE＝AB＝2，∵四边形OABC是正方形，∴OA＝AB＝BC＝OC＝4，EF＝4+2＝6，∴A（0，﹣4），E（2，﹣6），把A、E的坐标代入y＝a（x﹣2）2+c得：，解得：a＝，故答案为：．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．先分解因式，再代入求值：a2b+ab2，其中a＝3+，b＝3﹣．解：a2b+ab2＝ab（a+b），当a＝3+，b＝3﹣时，原式＝（3+）×（3﹣）×[（3+）+（3﹣）]＝（9﹣2）×（3++3﹣）＝7×6＝42．16．对垃圾进行分类投放，能提高垃圾处理和再利用的效率，减少污染，保护环境．为了检查垃圾分类的落实情况，居委会采取随机抽查的方式对辖区内的甲、乙、丙、丁四个小区中的两个小区进行检查．请用列表或画树状图的方法求恰好甲、乙两个小区被抽到的概率．解：根据题意画树状图如下：∵共有12种等可能的结果数，其中恰好甲、乙两个小区被抽到的结果数为2，∴恰好甲、乙两个小区被抽到的概率为＝．17．某种植物的主干长出x个支干，每个支干又长出x个小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求x的值．解：设每个支干长出x个小分支，由题意可得，1+x+x2＝91．解得：x1＝9，x2＝﹣10（舍去），则x＝9．18．如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点O是格点，△ABC 是格点三角形（顶点在网格线交点上），且点A1是点A以点O为位似中心的对应点．（1）画出△ABC以点O为位似中心的位似图形△A1B1C1．（2）△A1B1C1与△ABC的位似比为1：3；（3）△A1B1C1的周长为9+3+3．解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求；（2）△A1B1C1与△ABC的位似比为：1：3；（3）△A1B1C1的周长为：9++＝9+3+3．故答案为：（2）1：3；（3）9+3+3．19．如表是小菲填写的实践活动报告的部分内容．题目测量铁塔顶端到地面的高度测量目标示意图CE＝25米，CD＝10米，∠FDG＝44°相关数据求铁塔的高度FE．（结果精确到1米）【参考数据：sin44°＝0.69，cos44°＝0.72，tan44°＝0.97】解：在Rt△DGF中，∵FG＝DG×tan∠FDG，＝CE×tan∠FDG＝25×tan44°＝24.25，∴FE＝FG+GE＝FG+CD，＝24.25+10≈34（米）答：铁塔FE的高度约为34米．20．已知抛物线y＝﹣x2+4x的顶点为A，与x轴的交点为B、C（点B在点C左边）．（1）直接写出点A、B、C的坐标．（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这条抛物线．（3）根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围．解：（1）∵y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，∴顶点A（2，4），在y＝﹣x2+4x中，令y＝0，则﹣x2+4x＝0，解得x1＝0，x2＝4，∴B（0，0），C（4，0）；（2）描点、连线，画出函数图象如图：；（3）由图象可知，当y＜0时，x的取值范围是x＜0或x＞4．21．某商场购进一批单价为16元的日用品，按每件20元销售时，每月能卖360件；经调查发现，售价每提高1元，月销量就减少30件．设每件售价为x（20≤x≤28）元时，每月的利润为W元．（1）若按每件25元的价格销售时，每月能卖90件．（2）求W与x的函数关系式．（3）销售价定为每件多少元时，才能使每月获得的利润最大？每月的最大利润是多少？解：（1）若按每件25元的价格销售时，每月能卖360﹣30×（25﹣20）＝210（件）；故答案为：210；（2）根据题意得：W＝[360﹣30（x﹣20）]（x﹣16）＝﹣30x2+1440x﹣15360，∴W与x的函数关系式为：W＝﹣30x2+1440x﹣15360；（3）∵W＝﹣30x2+1440﹣15360＝﹣30（x﹣24）2+1920，∵20≤x≤28，∴当x＝24时，W有最大值，W的最大值为1920．答：当价格为24元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为1920元．22．（1）把两个含有45°角的直角三角板如图①放置，点E、C、A在同一直线上，点D 在边BC上，连结BE、AD，AD的延长线交BE于点F．求证：AD＝BE．（2）把两个含有30°角的直角三角板如图②放置，点E、C、A在同一直线上，点D在边BC上，连结BE、AD，AD的延长线交BE于点F．若AD＝1，则BE的长为．【解答】证明：（1）∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∴∠ECD＝∠BCA＝90°，CE＝CD，BC＝AC，∴在△ECB和△DCA中，，∴△ECB≌△DCA（SAS），∴AD＝BE；（2）∵∠ABC＝∠DEC＝30°，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴，∴△DCA∽△ECB，∴，∵AD＝1，∴BE＝，故答案为：．23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝15，sin A＝．点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿AC﹣CB运动，到点B停止；点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC﹣CA运动，到点A停止．P、Q两点同时出发，到各自的终点时停止．当点P、Q不与点C重合时，过点C作直线l，使点A、B在直线l同侧，过点P、Q分别作直线l的垂线，垂足分别为点E、F．设点Q运动时间为t（秒）．（1）求△ABC的边AC，BC的长．（2）当t＝2时，求的值．（3）当△PEC与△QFC的面积比为1：1时，求t的值．解：（1）在△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝15，∴sin A＝＝，∴BC＝9，∴AC＝＝＝12.（2）当t＝2时，AP＝6，BQ＝4，∵AC＝12，BC＝9，∴PC＝6，CQ＝5，∵PE⊥EF，QF⊥EF，∴∠PEC＝∠ACB＝∠QCF＝90°，∴∠PCE+∠QCF＝90°，∠QCF+∠CQF＝90°，∴∠PCE＝∠CQF，∴△PCE∽△CQF，∴＝＝．（3）∵△PCE∽△CQF，面积比为1：1，∴△PCE≌△CQF，∴PC＝CQ，∴12﹣3t＝9﹣2t或3t﹣12＝9﹣2t，解得t＝3或．24．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）经过点A（﹣2，2），与y轴交于点B．（1）求点B的坐标．（2）用含a的式子表示b．（3）当﹣2＜x＜0时，y随x的增大而减小，求a的取值范围．（4）直线AB上有一点C（m，5），将点C向右平移4个单位长度，得到点D．当抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）与线段CD只有一个公共点时，直接写出a的取值范围．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）经过点A（﹣2，2），与y轴交于点B．∴当x＝0时，y＝﹣2，∴B（0，﹣2）；（2）把点A（﹣2，2）代入y＝ax2+bx﹣2中，得4a﹣2b﹣2＝2．∴b＝2a﹣2；（3）当a＜0时，依题意抛物线的对称轴需满足﹣≤﹣2，解得﹣1≤a＜0．当a＞0时，依题意抛物线的对称轴需满足﹣≥0，解得0＜a≤1．∴a的取值范围是1≤a＜0或0＜a≤1；（4）设直线AB的表达式为：y＝kx+n，则，解得：，故直线AB表达式为y＝﹣2x﹣2，把C（m，5）代入得m＝﹣3.5．∴C（﹣3.5，5），由平移得D（，5）．①当a＞0时，若抛物线与线段CD只有一个公共点（如图1），y＝ax2+bx+c＝ax2+（2a﹣2）x﹣2，当x＝时，y＝a﹣3，则抛物线上的点（，a﹣3）在D点的下方，∴a﹣3＜5．解得a＜．∴0＜a＜；②当a＜0时，若抛物线的顶点在线段CD上，则抛物线与线段只有一个公共点（如图2），∴＝5．解得a＝或a＝．综上，a的取值范围是0＜a＜或a＝或a＝．。
吉林省长春市长春汽车经济技术开发区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题(含答案解析)
吉林省长春市长春汽车经济技术开发区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．方程x2-2x=0的根是（）A．x1=x2=0B．x1=x2=2C．x1=0，x2=2D．x1=0，x2=-22．抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴交点坐标为（）A．(3，0) B．(0，﹣1) C．(2，﹣1) D．(0，3)3．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在15%和35%，则口袋中白色球的个数可能是（）A．6个B．14个C．20个D．40个4．如图, 边长为4的等边△ABC中，DE为中位线，则四边形BCED的面积为（）A．B．C．D．5．如图，AB是⊙O的直径，点C、D、E都在⊙O上．若∠1＝55°，则∠2的大小为（）A．55°B．45°C．35°D．25°6．如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是(3，m)，且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值是43，则m 的值为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．947．如图，⊙O 与正六边形OABCDE 的边OA 、OE 分别交于点F 、G ，点M 为劣弧FG的中点．若FM ＝⊙O 的半径为（ ）A ．2 BC ．D ．8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线()2233y x k =-++经过坐标原点O ，与x 轴的另一个交点为A ．过抛物线的顶点B 分别作BC ⊥x 轴于点C 、BD ⊥y 轴于点D ，则图中阴影部分图形的面积和为（ ）A ．18B ．12C ．9D ．6二、填空题 9．计算：tan 245°+1＝_____．10．若关于x 的一元二次方程x 2+2x+k ＝0无实数根，则k 的取值范围是_．11．如图，在圆内接四边形ABCD 中，若∠A ＝60°，则∠C 的大小为_____．12．如图，在ABCD中，点E在边AD上，AE：AD＝2：3，BE与AC交于点F．若AC＝20，则AF的长为_____．13．圆心角为90°的扇形如图所示，过AB的中点作CD⊥OA、CE⊥OB，垂足分别为点D、E．若半径OA＝2，则图中阴影部分图形的面积和为_____．14．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+5的对称轴为直线x＝1．若关于x的一元二次方程250++-=（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围x bx t为_____．三、解答题15．解方程：x2﹣4x﹣3＝0．16．有甲、乙两个不透明的口袋，甲袋中有3个球，分别标有数字0，2，3；乙袋中有2个球，分别标有数字1，4，这5个球除所标数字不同外其余均相同．从甲、乙两袋中各随机摸出1个球．用画树状图（或列表）的方法，求摸出的两个球上数字之和是4的概率．17．图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．线段AB的端点均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，不要求写画法，保留作图痕迹．（1）在图①中画出线段AB的中点C；（2）在图②中画出线段AB上的一点D，使AD：BD＝4：5．18．如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B处的仰角为45°、底部C处的俯角为63°，此时航拍无人机A处与该建筑物的水平距离AD为80米．求该建筑物的高度BC（精确到1米）．[参考数据：sin63°＝0.89，cos63°＝0.45，tan63°＝1.96]19．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx经过点A(2，4)和点B(6，0)．(1)求这条抛物线所对应的二次函数的解析式；(2)直接写出它的开口方向、顶点坐标；(3)点(x1，y1)，(x2，y2)均在此抛物线上，若x1＞x2＞4，则y1 ________ y2(填“＞”“＝”或“＜”)．20．如图，在ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过点D 作DE⊥AC，垂足为点E．（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）若BC＝4，∠A＝30°，求DC的长．（结果保留π）21．某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，该山区组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入．已知某种土特产每袋成本10元，试销阶段每袋的销售价x（元）与该土特产的日销售量y（袋）之间的关系如表：（1）若日销售量y（袋）是每袋的销售价x（元）的一次函数，求y与x之间的函数关系式；（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，设每日销售土特产的利润为w（元）；①求w与x之间的函数关系式；②要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝1（x﹣1）2﹣2与x轴交于点A和点B（点2A在点B的左侧），第一象限内的点C在该抛物线上．（1）直接写出A、B两点的坐标；（2）若ABC的面积为12，求点C坐标；（3）在（2）问的条件下，直线y＝mx+n经过点A、C，1（x﹣1）2﹣2＞mx+n时，2直接写出x的取值范围．23．如图，在Rt ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点P从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿BC向点C运动，同时点M从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿AB向点B运动，过点P作PQ⊥AB于点Q，以PQ、MQ为邻边作矩形PQMN，当点P到达点C时，整个运动停止．设点P的运动时间为t（t＞0）秒．（1）求BC的长；（2）用含t的代数式表示线段QM的长；（3）设矩形PQMN与ABC重叠部分图形的面积为S（S＞0），求S与t之间的函数关系式；（4）连结QN，当QN与ABC的一边平行时，直接写出t的值．24．在平面直角坐标系中，将函数y＝x2﹣2mx+4m（m为常数）的图象记为G，图象G 的最低点为P(x0，y0)．（1）当m＝0时，写出这个函数的表达式，并在所给坐标系中画出对应的图象G．（2）当y0＝﹣1时，求m的值．（3）求y0的最大值．（4）当m＞0，且当图象G与x轴有两个交点时，左边交点的横坐标为x1，直接写出x1的取值范围．参考答案1．C【解析】根据因式分解法解一元二次方程的方法，提取公因式x可得x（x-2）=0，然后按照ab=0的形式的方程解法，可得x=0或x-2=0，解得x1＝0，x2＝2.故选C.点睛：本题考查了因式分解法解一元二次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用.2．D【分析】把x=0代入抛物线解析式即可．【详解】解:把x=0代入y＝x2﹣4x+3，y=3,∴抛物线与y轴交点坐标为（0,3），故选D．【点睛】本题考查了抛物线与y轴交点坐标，知道y轴上的点的横坐标为0是解题关键．3．C【分析】根据题意先由频率之和为1计算出白球的频率，再由数据总数×频率=频数计算白球的个数，即可求出答案．【详解】解：∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和35%，∴摸到白球的频率为1-15%-35%=50%，故口袋中白色球的个数可能是40×50%=20（个）．故选：C．【点睛】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．注意掌握频率=所求情况数与总情况数之比．4．B【分析】作DF ⊥BC ，根据边长为4的等边△ABC 中，DE 为中位线，得出DE ＝2，BD ＝2，解直角三角形求出DF【详解】解：作DF ⊥BC ，∵在边长为4的等边△ABC 中，DE 为中位线，∴DE ＝2，BD ＝2，∴DF ＝BD•sin ∠B ＝∴四边形BCED 的面积为：12DF×（DE ＋BC ）＝12（2＋4）＝ 故选：B ．【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质、三角形中位线的性质以及解直角三角，根据DE 为中位线，得出DE 、BD 的长是解决问题的关键．5．C【分析】如图，连接,OE 由圆周角定理可得，21110AOE ∠=∠=︒，再利用平角的定义求解∠BOE ，再利用圆周角定理可得：122BOE ∠=∠，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接,OE1=55∠︒，21110AOE ∴∠=∠=︒，18011070BOE ∴∠=︒-︒=︒，12352BOE ∴∠=∠=︒， 故选：.C【点睛】本题考查的是圆周角定理，平角的定义，掌握圆周角定理是解题的关键．6．B【分析】过P 作PQ x ⊥轴于Q ，利用坐标分别求解,OQ PQ ，再利用tan PQ OQα=，从而可得答案． 【详解】解：过P 作PQ x ⊥轴于,Q ()3,,P m3,OQ PQ m ∴==，tan ,PQ OQα= 4,33m ∴= 4.m ∴=故选：.B【点睛】本题考查的是坐标与图形，锐角三角函数的含义，掌握锐角的正切的定义是解题的关键． 7．C【分析】连接OM ，根据正六边形OABCDE 和点M 为劣弧FG 的中点，可得△OFM 是等边三角形，进而可得⊙O 的半径．【详解】解：如图，连接OM ，∵正六边形OABCDE ，∴∠FOG ＝120°，∵点M 为劣弧FG 的中点，∴∠FOM ＝60°，OM ＝OF ，∴△OFM 是等边三角形，∴OM ＝OF ＝FM ＝则⊙O 的半径为故选：C ．【点睛】本题考查正多边形与圆，解题的关键是学会添加常用辅助线．8．A【分析】先把原点坐标代入解析式，求出k 的值，得到B 点坐标，然后利用抛物线的对称性得到图中阴影部分图形的面积和=矩形OCBD 的面积，从而根据矩形面积公式计算即可．【详解】解：把（0，0）代入()2233y x k =-++， 得()220303k -++=， 解得k=6，∴抛物线解析式为()22363y x =-++， ∴B 点坐标为()3,6-，∵BC⊥x轴于C，结合抛物线的对称性可得：∴图中阴影部分图形的面积和=矩形OCBD的面积=3×6=18．故选：A．【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，二次函数的对称性，掌握以上知识是解题的关键．9．2．【分析】把tan45°＝1代入原式计算即可．【详解】解：tan245°+1＝12+1＝1+1＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值进行解题．10．k＞1.【分析】由关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0无实数根，可得：＜0，再列不等式，解不等式可得答案．【详解】解：关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0无实数根，∴＜0，2∴-⨯⨯＜0，241k∴-＜0，44k-∴-＜4,4k∴＞1.k故答案为：k＞1.【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，一元一次不等式的解法，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．11．120°．【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠A+∠C＝180°，然后把∠A的度数代入计算即可．【详解】解：∵圆内接四边形ABCD∴∠A+∠C＝180°，∵∠A＝60°，∴∠C＝180°﹣60°＝120°．故答案为：120°．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．12．8【分析】由题意根据四边形ABCD是平行四边形，证出△AEF∽△BCF，然后利用其对应边成比例即可求得答案．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC∴△AEF∽△BCF，∴AE AF BC CF，∵▱ABCD，AD=BC，∴23 AE AE AFBC AD CF＝＝＝，∵AC=20，即AF+CF=20，∴AF=8．故答案为：8．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质等知识点，熟练掌握并能综合应用相似三角形的性质和平行四边形的性质是解题的关键．13．2π-【分析】根据矩形的判定定理得到四边形CDOE 是矩形，连接OC ，根据全等三角形的性质得到OD=OE ，得到矩形CDOE 是正方形，根据阴影部分图形的面积和等于扇形面积减去正方形的面积即可得到答案．【详解】解：∵CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，∴∠CDO=∠CEO=∠AOB=90°，∴四边形CDOE 是矩形，如图，连接OC ，∵点C 是AB 的中点，∴∠AOC=∠BOC ，在△COD 与△COE 中，CDO CEO DOC EOC OC OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△COD ≌△COE （AAS ），∴OD=OE ，∴矩形CDOE 是正方形，,OD CD ∴=∵OC=OA=2， 222OD CD OC +=,OD CD ∴==∴图中阴影部分的面积= 22902 2.360ππ⨯-=-故答案为：2π-．【点睛】本题考查了扇形面积的计算，圆心角与弧之间的关系，矩形的判定，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识是解题的关键．14．4≤t ＜13．【分析】根据给出的对称轴求出函数解析式为225y x x =-+，将一元二次方程250x bx t ++-=的实数根可以看做225y x x =-+与函数y=t 的有交点，再由-1＜x ＜4的范围确定y 的取值范围即可求解．【详解】解：∵25y x bx =++的对称轴为直线x=1，∴2b =-，∴225y x x =-+，∴一元二次方程250x bx t ++-=的实数根可以看做225y x x =-+与函数y=t 的有交点， ∵方程在-1＜x ＜4的范围内有实数根，如图，当1x =-时，y=8； 当x=4时，y=13；函数225y x x =-+在x=1时有最小值4；∴4≤t ＜13．故答案为4≤t ＜13．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题，借助数形结合解题是关键．15．x1＝，x2＝2【分析】利用配方法解方程.【详解】移项得x2﹣4x＝3，配方得x2﹣4x+4＝3+4，即（x﹣2）2开方得x﹣2＝，∴x1＝，x2＝2【点睛】考查了利用配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．16．1 3【分析】根据题意列出图表得出所有等可能的情况数和摸出的两个球上数字之和是4的情况数，然后利用概率公式即可求解．【详解】解：根据题意列表得：∵共有6种等可能的情况数，其中摸出的两个球上数字之和是4的有2种，∴摸出的两个球上数字之和是4的概率是21=63．【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率．掌握“列表法与概率=所求情况数与总情况数之比”是解题的关键．17．（1）作图见解析；（2）作图见解析．【分析】（1）由题意取格点M，N，连接MN交AB于点C，点C即为所求；（2）根据题意取格点J，K，连接JK交AB于点D，点D即为所求．【详解】解：（1）如图，点C即为所求作．（2）如图，点D即为所求作．【点睛】本题考查作图-应用与设计和线段的垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意并灵活运用所学知识解决问题．18．高度BC约为237米．【分析】根据题意可得BD＝AD＝80（米），再根据锐角三角函数求解即可．【详解】解：在△ADB中，∠ADB＝90°，∠BAD＝45°，∴BD＝AD＝80（米），在△ACD中，∠ADC＝90°，∴CD ＝AD •tan63°＝80×1.96≈156.8（米），∴BC ＝BD +CD ＝80+156.8＝236.8≈237（米），答：该建筑物的高度BC 约为237米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．19．（1）y ＝－12x 2＋3x ；（2）抛物线开口向下，顶点坐标为(3，92)；（3）＜. 【分析】（1）把A 点和B 点坐标代入y=ax 2+bx 中得到关于a 、b 的方程组，然后解方程组求出a 、b 即可；（2）把（1）中的解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质求解．（3）根据二次函数的性质求解即可．【详解】(1)∵抛物线y =ax 2+bx 经过点A (2,4)和点B (6,0)，∴4243660a b a b +=⎧⎨+=⎩ 解得123a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴这条抛物线所对应的二次函数的表达式为2132y x x =-+ (2)因为221193(3)222y x x x =-+=--+， 该抛物线开口向下. 顶点坐标为9(3,).2(3)∵124,x x >>对称轴为x =3,102a =-< ∴y 1<y 2故答案为<.【点睛】考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数表达式之间的转化，二次函数的性质等，掌握待定系数法求二次函数的解析式是解题的关键.20．（1）证明见解析；（2）2.3π 【分析】（1）首先连接OD ，CD ，由以BC 为直径的⊙O ，可得CD ⊥AB ，得出AD=BD ，即可证得//OD AC ，继而可证得结论；（2）由等腰三角形的性质求解30B ∠=︒，再利用三角形的外角的性质求解60DOC ∠=︒， 结合4BC =，由弧长公式直接求解DC 的长即可． 【详解】（1）证明：连接OD ，CD ，∵BC 为⊙O 直径，∴∠BDC=90°，即CD ⊥AB ，∵△ABC 是等腰三角形，∴AD=BD ，∵OB=OC ，∴OD 是△ABC 的中位线，∴//OD AC ，∵DE ⊥AC ，∴OD ⊥DE ，∵D 点在⊙O 上，∴DE 为⊙O 的切线；（2）30,A AC BC ∠=︒=，30B A ∴∠=∠=︒，60DOC ∴∠=︒，4BC =，2OB OC ∴==，6022.1803DC l ππ⨯∴== 【点睛】本题考查的是切线的判定，弧长的计算，等腰三角形的性质，中位线的定义及性质，三角形的外角的性质，圆周角定理，掌握以上知识是解题的关键．21．（1）40y x =-+；（2）①250400w x x =-+-；②每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元．【分析】（1）设日销售量y （袋）与销售价x （元）的函数关系式为y=kx+b ，根据表格中的数据，利用待定系数法，求出日销售量y （袋）与销售价x （元）的函数关系式即可；（2）①利用每件利润×总销量=总利润，进而列出二次函数关系式即可；②把①中的二次函数化为顶点式，再利用二次函数的性质求解最大利润可得答案．【详解】解： （1）依题意，根据表格的数据，设日销售量y （袋）与销售价x （元）的函数关系式为y=kx+b ，则15252020k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得：140k b =-⎧⎨=⎩， 故日销售量y （袋）与销售价x （元）的函数关系式为：40y x =-+（2）①依题意，设利润为w 元，得：()()2104050400w x x x x =--+=-+-②由250400w x x =-+-，整理得：()225225w x =--+∵1-＜0∴当x=25时，w 取得最大值，最大值为225，故要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元．【点睛】本题考查了利用待定系数法求解一次函数的解析式，列二次函数的解析式，利用二次函数的性质求解最大利润，掌握以上知识是解题的关键．22．（1）A （-1，0），B （3，0）；（2）C （5，6）；（3）x ＜-1或x ＞5，【分析】（1）根据题意令y=0，列出方程然后解方程即可求得A 、B 两点的坐标；（2）由题意根据三角形ABC 的面积求得C 的纵坐标，进而代入解析式即可求得C 的坐标； （3）由题意直接根据图象进行观察分析即可求得x 的取值范围．【详解】解：（1）令y=0，则12（x-1）2-2=0，解得1213x x =-=，， ∴A （-1，0），B （3，0）；（2）∵A （-1，0），B （3，0），∴AB=4， ∵1122ABC C SAB y ==， ∴12×4×y C =12，解得y C =6， ∴21(1)262x --=， 解得1253x x ==-，（不符题意，舍去），∴C （5，6）；（3）由图象可知，当21)(122x mx n --+＞时，x 的取值范围是x ＜-1或x ＞5， 【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点，三角形面积，二次函数与不等式的关系，注意掌握二次函数图象的基本性质以及利用数形结合是解题的关键．23．（1）8；（2）1010t -或1010t -；（3）23030S t t =-+（0＜t ＜1），215754522S t t =-+-（1＜t ≤1.6）；（4）57t =或4031t =． 【分析】（1）由90106ACB AB AC ∠=︒==，，，利用勾股定理求解即可；（2）先求解6,4AM t QB t ==，分两种情况讨论，当0＜t ＜1时，当1＜t ≤1.6时，利用线段的和差可得答案；（3）分两种情况讨论，当0＜t ＜1时，分别求解：,PQ MQ 利用矩形的面积公式即可得到答案，当1＜t ≤1.6时，分别求解：,,PQ MQ MH ，利用直角梯形的面积公式即可得到答案； （4）分两种情况讨论，当0＜t ＜1时，证明MNQ QPB ∽，再利用相似三角形的性质证明：MQ QB =，再列方程求解即可，当1＜t ≤1.6时，证明PQN CBA ∽，再利用相似三角形的性质列方程求解即可得到答案．【详解】解：（1）∵90106ACB AB AC ∠=︒==，，,∴8BC ，（2）由题意得：5,6,BP t AM t ==90810C BC AB ∠=︒==，，，4cos ,5BC B AB ∴== 由AM QB AB +=时，1010,t =1,t ∴=当0＜t ＜1时，,PQ AB ⊥cos ,5QB QB B PB t ∴== 4,55QB t ∴= 4,QB t ∴=1010QM AB AM QB t ∴=--=-； P 的最长运动时间为：8=1.6,5s 而M 的最长运动时间为：105=63s ， 当1＜t ≤1.6时，同理：6,4,AM t QB t ==1010,QM AM QB AB t ∴=+-=-（3）当0＜t ＜1时，如图，由5,4,BP t QB t == 四边形PQMN 为矩形，3,PQ t ∴==()2310103030,S t t t t =-=-+当1＜t ≤1.6时，同理可得：1010,3,4,QM PN t PQ NH t BQ t ==-===()41010106,BM t t t ∴=--=-3tan ,4AC B BC == 34MH MB ∴=， ()3159106,422MH t t ∴=-=- ()2115915753101045,22222S t t t t t ⎛⎫=-+-=-+- ⎪⎝⎭（4）如图，当0＜t ＜1时，如图，当//QN BC 时，,MQN B ∠=∠,NMQ PQB ∠=∠ ,MNQ QPB ∴∽MN MQ QP QB∴=， ,PQ MN =,MQ QB ∴=10104,t t ∴-=57t ∴=，当1＜t ≤1.6时，如图，当//QN AC 时，同理可得：3,1010,PQ t QM PN t ===-由四边形PQMN 为矩形，90QPN PQM ∴∠=∠=︒，90PQN BQN ∴∠+∠=︒，90//,C QN AC ∠=︒，,QN BC ∴⊥90B BQN ∴∠+∠=︒，,B PQN ∴∠=∠90C QPN ∠=∠=︒，,PQN CBA ∴∽,PN PQ CA CB ∴= 10103,68t t -∴= 808018,t t ∴-=40.31t ∴= 综上，当57t =或4031t =，QN 与ABC 的一边平行 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，矩形的性质，锐角三角函数三角形相似的判定与性质，重叠部分的面积，列二次函数关系式，分类讨论的数学思想，掌握分类讨论思想解决问题是本题的关键．24．（1）2y x ，作图见解析；（2）1222m m ==（3）4；（4）2＜1x ＜4．【分析】（1）当m=0时，解析式为2y x ，利用描点法画出函数图象即可； （2）把解析式化成顶点式，令顶点纵坐标为1-，解关于m 的方程：2410m m --=，解方程即可求得答案．（3）把204y m m =-+化成顶点式，利用二次函数的最值性质即可求得结果；（4）先求得抛物线与x 轴有一个交点时的m 的取值，再根据当0y 的最大值时m 的值，再确定当2x =时的函数值y ＞0，从而即可解决问题． 【详解】解：（1）当m=0时，这个函数的表达式为2y x ，列表：描点并连线：图象如下：（2）由()222244y x mx m x m m m =-+=--+，∵01y =-时，241m m ∴-+=-2410,m m ∴--=∴m =1222m m ∴==（3）∵()220424y m m m =-+=--+，∴当m=2时，0y 的最大值是4．（4）当抛物线顶点在x 轴上时，240m m -+=，∴m=4或0m =， m ＞0， 4,m ∴=∵()220424y m m m =-+=--+，当m=2时，0y 的最大值是4，∴如图，观察图象可知，当2x =时，2244y x mx m =-+=＞0，所以当图象G 与x 轴有两个交点时，设左边交点的横坐标为1x ，则1x 的取值范围是2＜1x ＜4，【点睛】本题属于考查了抛物线与x 轴的交点，一元二次方程的解法，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，最值问题，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题．。
2020-2021学年长春市新区九年级上学期期末数学试卷(含答案解析)
2020-2021学年长春市新区九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是( )A. √12B. √27C. √15D. √18 2. 二元一次方程组{x −y =32x +y =0的解为( ) A. {x =−1y =2B. {x =1y =−2C. {x =−2y =1D. {x =2y =−1 3. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，a +b =28，sinA +sinB =75，则斜边c 的长为( )A. 10B. 14C. 20D. 24 4. 如果两个相似三角形的相似比为2：3，那么这两个三角形的面积比为( )A. 2：3B. √2：√3C. 4：9D. 9：4 5. 把抛物线y =−2先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为( ) A. y =−2 B. y =−2C. y =−2D. y =−2 6. 已知抛物线y =a(x −ℎ)2−7，点A(1,−5)、B(7,−5)、C(m,y 1)、D(n,y 2)均在此抛物线上，且|m −ℎ|>|n −ℎ|，则y 1与y 2的大小关系是( )A. y 1<y 2B. y 1>y 2C. y 1=y 2D. 不能确定 7. 下列检查一个四边形门框是否为矩形的方法中正确的是 ( )A. 测量两条对角线是否相等B. 测量两条对角线是否互相平分C. 测量门框的三个角是否都是直角D. 测量两条对角线的夹角是否为直角8. 在一个不透明的塑料袋中装有红色、白色球共20个，除颜色外，其它都相同．小明通过多次摸球实验后发现，其中摸到红球的频率稳定在25%左右．则口袋中红球大约有( )个．A. 5个B. 10个C. 12个D. 15个二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.当x满足______的条件时，√−2在数范围内有意义．x10.⊙O的圆心到直线l的距离为d，⊙O的半径为r，当d、r是关于x的方程x2−4x+m=0的两根，且直线l与⊙O相切时，则m的值为______ ．11.成语：水中捞月，瓮中捉鳖，守株待兔所描述的事件为必然事件的是______．12.如图，早上10点小东测得某树的影长为2m，到了下午5时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度约为m.13.如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，若EF=4，BC=10，CD=6，则tanC=______．14.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，AD平分∠CAB交BC于点D，则BD=___________.三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）15.某个体商贩在一次买卖中同时买进两件上衣，每件都以a元出售，若按成本计算，一件盈利25%，另一件亏本25%，那么该商贩在这次买卖过程中是赚了还是赔本了？赚或赔多少？四、解答题（本大题共9小题，共72.0分）16.已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2=ab+bc+ac，试判断△ABC的形状．17.某体育老师统计了七年级A，B两个班女生的身高，并绘制了如图不完整的统计图表.根据图表中提供的信息，解答下列问题．身高(cm)人数A：145≤x<1502B：150≤x<1556C：155≤x<160mD：160≤x<16513E：165≤x<170nF：170≤x<1755(1)两个班共有女生______ 人，表中m=______ ，扇形统计图中E部分所对应的扇形圆心角是______ 度.(2)身高在170≤x<175(cm)的5人中，A班有3人，B有2人，现从中随机抽取两人补充到学校国旗队，求这两人来自同一班级的概率．18. 已知△ABC三个顶点的坐标分别A(0,2)，B(3,3)，C(2,1)．(1)画出△ABC；(2)以原点为位似中心，将△ABC放大到原来的2倍，在网格图中画出放大后的图形△A1B1C1；(3)在(2)中，△ABC内一点P(a,b)的对应点为P1，直接写出P1的坐标．19. 今年第18号台风“米娜”于10月1号上午出现在温州附近海域．如图，台风“米娜”的中心位于点A处，周围200km都会受到台风影响．现在台风正往南偏东60°的方向移动，在A的正南方300km出有一座小镇B.在台风移动过程中，小镇B是否会受到影响，判断并说明理由．20. 已知：抛物线y=x2+4x+4+m的图象与y轴交于点C，点B与点C的纵坐标相同，一次函数y=kx+b的与二次函数交于A、B两点，且A点坐标为(−1,0)．(1)求二次函数与一次函数的解析式；(2)若抛物线对称轴上存在一点P，使得△PAC的周长最小，求P点坐标及△PAC周长的最小值．21. 某化妆品店在销售某品牌化妆品时，每套以高出进价的50%标价，已知按标价九折销售该品牌化妆品10套与按标价直降100元销售9套获利相同(1)求该品牌化妆品每套的进价和标价分别是多少元？(2)若该品牌化妆品每套的进价不变，按(1)中的每套的标价出售一批该品牌化妆品，该店平均每月可售出49套；若每套品牌化妆品每降价50元，每月可多售出7套，这批该品牌化妆品总利润w元，求该品牌化妆品降价多少元时，每月获利最大？最大利润是多少元？22. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是BC上一点，E是AC延长线上一点，作BE⊥AD交AD的延长线于点F．(1)若BF=EF，求证：△ABF≌△AEF；(2)求证：CD=CE．23. 已知，如图1：△ABC中，∠B、∠C的平分线相交于点O，过点O作EF//BC交AB、AC于E、F．(1)直接写出图1中所有的等腰三角形，并指出EF与BE、CF间有怎样的数量关系？(2)在(1)的条件下，若AB=10，AC=15，求△AEF的周长．(3)如图2，若△ABC中，∠B的平分线与三角形外角∠ACG的平分线CO交于点O，过O点作OE//BC交AB于E，交AC于F，请问(1)中EF与BE、CF间的关系还是否存在，若存在，说明理由；若不存在，写出三者新的数量关系，并说明理由．24. 已知二次函数y=ax2的图象与直线y=2x−1交于点P(1,m)．(1)求a，m的值；(2)写出二次函数的解析式，并指出x在和范围内时，y随x的增大而增大．参考答案及解析1.答案：C解析：解：A 、被开方数中含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；B 、27=3×32，被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；C 、√15是最简二次根式，符合题意；D 、18=2×32，被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C ．根据最简二次根式的定义逐个判断即可．本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，注意：满足下列两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式．2.答案：B解析：解：{x −y =3①2x +y =0②②+①得：3x =3，解得：x =1，把x =1代入①得：1−y =3，解得：y =−2，所以原方程组的解是{x =1y =−2， 故选：B ．②+①得出3x =3，求出x ，把x =1代入①求出y 即可．本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键． 3.答案：C解析：解：∵在Rt △ABC 中，∠C =90°，∴sinA =a c ，sinB =b c． 又a +b =28，sinA +sinB =75，∴a+b c =75， ∴c =20．故选C ．根据锐角三角函数的概念，结合已知条件得到a，b，c的方程，从而求得c的值．能够熟练运用锐角三角函数的概念进行求解．4.答案：C解析：解：∵两个相似三角形的相似比为2：3，∴这两个三角形的面积比为4：9，故选：C．根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方解答．本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解题的关键．5.答案：C解析：由“左加右减、上加下减”的原则解答即可．把抛物线y=−2x2先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为y=−2(x+1)2+2．故选：C．6.答案：B解析：解：∵点A(1,−5)、B(7,−5)均在此抛物线上，∴ℎ=1+7=4，2∴抛物线的顶点坐标为(4,−7)，∴a>0，开口向上，∵C(m,y1)、D(n,y2)均在此抛物线上，且|m−ℎ|>|n−ℎ|，∴y1>y2，故选：B．先求得抛物线的对称轴为x=4，再抛物线开口向上，最后根据|m−ℎ|>|n−ℎ|判断C离对称轴比较远，从而判断出y1与y2的大小关系．此题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的特征，利用已知对称点的坐标得出对称轴进而利用二次函数增减性得出是解题关键．7.答案：C解析：解：A、B、D均不符合矩形的判定方法，C符合“有三个角是直角的四边形是矩形”这个判定定理．故选C．8.答案：A解析：解：设有红球x个，根据题意得：x÷20=25%解得：x=5，故选A．设有红球x个，利用频率约等于概率进行计算即可．本题考查了由频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复实验中事件发生的频率等于事件发生的概率．9.答案：x<0≥0，且x≠0，解析：解：由题意得，−2x解得x<0．故答案为：x<0．根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．本题考查的是二次根式有意义和分式有意义的条件，掌握分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．10.答案：4解析：解：∵直线和圆相切，∴d=r，∴△=16−4m=0，∴m=4．若直线和圆相切，则d=r.即方程有两个相等的实数根，得16−4m=0，m=4．考查了直线和圆的位置关系与数量关系之间的联系，熟练运用根的判别式判断方程的根的情况．11.答案：翁中捉鳖解析：解：水中捞月是不可能事件，翁中捉鳖是必然事件，守株待兔是随机事件，故答案为：翁中捉鳖根据事件的分类进行逐一分析即可．本题考查的是随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．12.答案：4解析：试题分析：根据题意，画出示意图，易得：Rt△EDC∽Rt△FDC，进而可得EDDC =DCFD；即DC2=ED⋅FD，代入数据可得答案．根据题意，作△EFC；树高为CD，且∠ECF=90°，ED=2，FD=8；∵∠ECD+∠FCD=90°，∠CED+∠ECD=90°，∴∠CED=∠FCD，又∵∠EDC=∠CDF=90°，∴Rt△EDC∽Rt△CDF，∴EDDC =DCFD；即DC2=ED⋅FD，∴代入数据可得DC2=16，DC=4；故答案为：4．13.答案：43解析：解：连接BD，∵E、F分别是AB、AD的中点，∴EF//BD，且EF=12BD，∵EF=4，∴BD=8，∵BD=8，BC=10，CD=6，∴82+62=102，即BD2+CD2=BC2，∴△BDC是直角三角形，且∠BDC=90°，∴tanC=BDDC =86=43，故答案是：43．连接BD，根据中位线的性质得出EF//BD，且EF=12BD，进而利用勾股定理的逆定理得出△BDC是直角三角形，求解即可．此题主要考查了锐角三角形的定义以及三角形中位线的性质以及勾股定理逆定理，根据已知得出△BDC是直角三角形是解题关键．14.答案：5解析：过点D作DE⊥AB，∵在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，∴CD=ED，在Rt△ACD与Rt△AED中，CD=ED，AD=AD，∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，∴AE=AC=6，在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，∴，∴BE=10−6=4，设BD=x，则CD=BC−BD=8−x，∴ED=8−x，在Rt△DEB中，，解得：x=5，即BD=5．故答案为：5．15.答案：解：设第一件上衣的成本为x元，第二件的成本为y元．则a=x(1+25%)；a=y(1−25%)．∴x=45a，y=43a．∴x+y=45a+43a=3215a，32 15a−2a=215a>0故该商贩在这次买卖中赔了．赔了215a元．解析：此题首先要设出原来各自的成本，再根据题意表示售价，最后比较总售价和总进价，进行判断．注意无论是赔，还是赚，其基数都是原来的进价．16.答案：解：∵a2+b2+c2=ab+bc+ac，∴a2+b2+c2−ab−bc−ac=0，∴2a2+2b2+2c2−2ab−2bc−2ac=0，a2+b2−2ab+b2+c2−2bc+a2+c2−2ac=0，∴(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2=0，∴a−b=0，b−c=0，c−a=0，∴a=b=c，∴△ABC为等边三角形．解析：本题考查了因式分解的应用、非负数的性质、等边三角形的判断．关键是将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质得出a，b，c之间的关系．将已知等式利用配方法进行变形，再利用非负数的性质求出a−b=0，b−c=0，c−a=0，即可判断出△ABC的形状．17.答案：501472解析：解：(1)两个班共有女生：13÷26%=50(人)，C部分对应的人数为：50×28%=14(，人)，即m=14，E部分所对应的人数为：50−2−6−13−14−5=10(人)；扇形统计图中E部分所对应的扇形圆心角度数为360°×1050=72°，故答案为：50，14，72；(2)画树状图：共有20种等可能的结果数，其中这两人来自同一班级的情况占8种，∴这两人来自同一班级的概率是820=25．(1)根据D部分学生人数除以它所占的百分比求得总人数，用总人数乘以C、E所占的百分比求得C、E 部分人数，用360°乘以E部分所占百分比可求E部分所对应的扇形圆心角度数；(2)利用树状图法，将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．也考查了样本估计总体、扇形统计图和统计图表．18.答案：解：(1)如图所示：△ABC即为所求；(2)如图所示：△A1B1C1即为所求；(3)P1坐标为：(2a,2b)．解析：(1)直接利用已知点坐标进而画出图形即可；(2)直接利用位似图形的性质得出对应点坐标即可；(3)直接利用位似图形的性质得出对应点坐标即可．此题主要考查了位似变换，正确得出对应点坐标是解题关键．19.答案：解：作BD⊥AC与点D，∵∠BAD=60°，AB=150√3，∴BD=√32∵150√3>200，∴小镇B不会受到台风影响．解析：作BD⊥AC与点D，构造直角三角形，解直角三角形求得BD的长后与200km比较后即可得到是否收到影响．考查了勾股定理及方向角的知识，解题的关键是构造直角三角形，难度不大．20.答案：解：(1)∵点A(−1,0)在抛物线y=x2+4x+4+m上，∴m=−1，∴二次函数的解析式为y=x2+4x+3，∴C点的坐标为(0,3)，则B点的坐标为(−4,3)，设直线AB的解析式为y=kx+b，{−k+b=0−4k+b=3，解得，k=−1b=−1，∴直线AB的解析式为：y=−x−1，即二次函数的解析式为y=x2+4x+3，一次函数的解析式是y=−x−1；=−2，(2)∵二次函数y=x2+4x+3的对称轴为直线x=−42×1由题意可知A和B关于对称轴x=−2对称，直线AB交直线x=−2于P，此时PA+PC的值最小，即△PAC的周长的值最小，∴把x=−2代入y=−x−1得y=1，∴P(−2,1)，∵A(−1,0)，B(−4,3)，C(0,3)，由勾股定理可得AB=√(−4+1)2+32=3√2，AC=√12+32=√10，∴△PAC周长的最小值为AB+AC=3√2+√10．解析：(1)根据题意，可以求得m的值，从而可以求得二次函数的解析式和一次函数的解析式；(2)在抛物线对称轴上存在一点P，使得△PAC周长最小，根据解析式求得对称轴为直线x=−2，把x=−2代入直线AB的解析式求得P的坐标，由题意可知A和B关于直线x=−2对称，直线AB交直线x=−2于P，此时PA+PC的值最小，即△PAC的周长的值最小，利用勾股定理求出AC和BC的长即可求出最小值．本题是考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质，轴对称−最短路线问题，勾股定理的运用，运用数形结合是解题的关键．21.答案：解：(1)设该化妆品的进价为x元，根据题意得：[(1+50%)x×0.9−x]×10=[(1+50%)x−100−x]×9，∴x=900，∴(1+50%)x=1350元，∴该化妆品进价900元，标价1350元．(2)设该化妆品降价y元，根据题意得：W=(49+y50×7)(1350−900−y)=−750(y−50)2+22400，当y=50时，W有最大值22400，∴降价50元，每月获利最大，最大利润为22400元．解析：(1)根据题意列出一元一次方程[(1+50%)x×0.9−x]×10=[(1+50%)x−100−x]×9，即可求解；(2)利润等于销售量×每件的利润，故有W=(49+y50×7)(1350−900−y)=−750(y−50)2+22400，借助二次函数即可求最大值；本题考查二次函数的应用，一元一次方程的应用；熟练掌握利润的求法，能够结合二次函数求函数的最大值是解题的关键．22.答案：解：(1)证明：∵BE⊥AD交AD的延长线于点F，∴∠AFB=∠AFE=90°，又∵BF=EF，AF=AF，∵△ABF≌△AEF(SAS)；(2)∵∠AFB=∠ACB=90°，∴∠CBE=180°−∠AFB−∠BDF=90°−∠BDF，∠CAD=180°−∠ACB−∠ADC=90°−∠ADC，又∵∠ADC=∠BDF，∴∠CBE=∠CAD，又∵∠BCE=∠ACD=90°，BC=AC，∴△BCE≌△ACD(ASA)，∴CE=CD．解析：(1)根据SAS即可证明三角形全等；(2)根据三角形内角和及对顶角的性质得∠CBE=∠CAD，结合已知条件利用ASA即可证明△BCE≌△ACD，进而得出结论．本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和，垂线等知识，重点是掌握证明三角形全等的方法．23.答案：解：如(1)图1中，等腰三角形有；△EOB、△FOC仍为等腰三角形结论：EF=BE+CF．理由：∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB，∵EF//BC，∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠OCB=∠FCO，即EO=EB，FO=FC，∴EF=EO+OF=BE+CF；(2)△AEF的周长为AE+AF+EF=AE+AF+OE+OF=AE+AF+BE+CF=AB+AC=25．(3)结论：EF=BE−FC．理由如下：同(1)可证得△EOB是等腰三角形；∵EO//BC，∴∠FOC=∠OCG；∵OC平分∠ACG，∴∠ACO=∠FOC=∠OCG，∴FO=FC，故△FOC是等腰三角形；∴EF=EO−FO=BE−FC．解析：(1)△OEB、△OFC是等腰三角形，利用等腰三角形的性质可证EF=BE+FC；(2)利用(1)中结论即可解决问题；(3)思路与(1)相同，只不过结果变成了EF=BE−FC．此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线、角平分线的性质等知识．进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．24.答案：解：(1)点P(1,m)在y=2x−1的图象上∴m=2×1−1，解得m=1，把(1,1)代入y=ax2∴a=1(2)二次函数表达式：y=x2因为函数y=x2的开口向上，对称轴为y轴，当x>0时，y随x的增大而增大．解析：(1)把点P(1,m)分别代入二次函数y=ax2与直线y=2x−1即可求出未知数的值；(2)把a代入二次函数y=ax2与即可求出二次函数表达式；根据二次函数的对称轴及增减性判断出x 的取值．本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，及二次函数的增减性，解题的关键是熟记二次函数的性质．。