2019精品第三章类与对象数学
2019年河北高校精品课在线课程申报书-中国地质大学长城学院

附件22019年河北省高校精品在线开放课程申报书所属学校_____________ 中国地质大学长城学院________________课程名称_____________________ 高等数学_____________________课程类型通识教育课□公共基础课□学科/专业基础课□专业核心课□创新创业类课课程类另廿全日制□成人教育________________________________课程层次本科□专科____________________________________所属学科____________________ 数学 __________________________课程负责人_______________ 李海军___________________________申报日期_________________ 2018年12月6日__________________推荐单位 ________河北省教育厅2018年12月填写要求1.以word 文档格式如实填写各项。
2.表格文本中外文名词第一次出现时,要写清全称和缩写,再次出现时可以使用缩写。
3.本表栏目未涵盖的内容,需要说明的,请在说明栏中注明。
4.如表格篇幅不够,可另附纸。
1•课程负责人情况2•教学团队其他教师情况(包括其他主讲教师、助教、技术支持等)注:若其他教师非本校教师,请在备注栏填写受聘教师类别及实际工作单位。
3•课程情况3-1课程描述3-1-3相关教学资源储备情况具备完整的教学大纲,教案(完整电子版),教学课件,丰富的测验与考试的试题资源。
4•评价反馈4-2学生评价(如果本课程已经面向学生开设,填写学生的评价意见)高等数学课程为我校工科、经管类专业的主要基础课程。
学校及各学院对其教学效果及其质量监控都极为重视,有配套的监控机制和激励机制,为这门课程的建设奠定了良好的基础。
在学校几年来的学生网上测评中,本课程在学生心目中具有较高的地位。
2019最新03交互图数学

动作图框可以包含任意语言的语句(在本例中,表
示“i”递增)。该图框应置于其所应用的生命线上
图15-16 使用相对直接的表示法对集合进行遍历
可能的Java代码实现见下页
24
图15-6 可能的Java代码实现
public class Sale{ private List<SalesLineItem> lineItems= new ArrayList<SalesLineItem>();
:B
21
有条件消息
: Foo opt [ color = red ]
xx calculate
yy
图15-13 有条件消息
: Bar
22
互斥的有条件消息
:A doX
alt
[ x < 10 ]
[ else ]
:B calculate
calculate
图15-15 互斥的有条件消息
:C
23
对集合的迭代
顺序图与类图的映射
职责分配
系统顺序图 鲁棒性分析
BCE模式
案例实践与分析
交互图概述
顺序图:按照时间顺序来描述对 象的交互
通信图:围绕着对象和对象之间 的链接来描述对象的交互
这两种图在语言上是对等的,但二
者所展示的信息有一些区别 8
交互图是有价值的
交互图为编程提供了帮助 模式、原则和惯用法被用来提高交互图的质量 UML初学者没有对交互图给予足够重视
图15-24 消息
35
“自身”传递的消息
msg1 : Register
1: clear
图15-25 传递到“自身”的消息
国家开放大学javascript 程序设计第三章测试题与答案解析-精品

国家开放大学《javascript程序设计》第三章测试题与答案解析(正确答案已红色标注)一、判断题试题1满分1.00未标记标记试题试题正文在JavaScript中,当使用new运算符创建一个对象变量后,一定要使用delete运算符把创建的对象变量撤销。
选择一项:对错反馈正确答案是“错:试题2满分1.00未标记标记试题试题正文JavaScript的核心语言对象包括字符串对象、数学对象、日期对象、数组对象。
选择一项: 对错反馈正确答案是“对。
试题3满分1.00未标记标记试题试题正文定义一个构造器,相当于定义一个类,在函数内引用的变量或者方法都会成为类的成员。
选择一项:对错反馈正确答案是“错:试题4满分1.00未标记标记试题试题正文substring()方法一共有两个参数,省略第二个参数表示从参数开始位置提、截取到字符串结束。
选择一项:对错反馈正确答案是“对二试题5满分1.00未标记标记试题试题正文splice(index,len,[item])该方法会改变原始数组。
选择一项:对错反馈正确答案是“对二试题6满分1.00未标记标记试题试题正文在正则表达式中+表示匹配0到多个值。
选择一项:对错反馈正确答案是“错:试题信息未标记标记试题信息文本二、单项选择题试题7满分1.00未标记标记试题试题正文对代码u varx=myhouse.kitchen v的哪种说明正确()。
选择一项:a.将字符串“myhouse.kitchen”赋值给变量xb.假设myhouse对象存在,它将kitchen对象的myhouse属性值赋给变量xc.将myhouse和kitchen的值相加之和赋给对象xd.假设myhouse对象存在,它将myhouse对象的kitchen属性值赋给变量x反馈你的回答正确正确答案是:假设myhouse对象存在,它将myhouse对象的kitchen属性值赋给变量x试题8满分1.00未标记标记试题试题正文如何获取变量名叫str字符串的长度()o选择一项:a.strlen(str)b.str.lengthc.前面的都不对d.count(str)反馈你的回答正确正确答案是:strength试题9满分1.00未标记标记试题试题正文varn="miaoweiketang,,.indexOf("wei,,,6);n的值为()。
高中数学必修第二册 第三章 1建筑物高度的测量-教案-北师大版(2019)

建筑物高度的测量
【教学目标】
通过数学建模来计算建筑的高度.
【教学重难点】
数学模型的选择.
【教学过程】
一、基础知识
数学建模活动的主要步骤如下:
教师小结:
数学建模活动是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的过程.主要包括:在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题,分析问题、构建模型,确定参数、计算求解,检验结果、改进模型,最终解决实际问题.数学建模活动是基于数学思维运用模型解决实际问题的一类综合实践活动,是高中阶段数学课程的重要内容. 二、实例探究
(一)问题情境和任务
选择适用的方法,测量下面3个物体的高度.
1.学校内的旗杆;
2.学校内的一座教学楼;
3.学校外一座看得见,但底部不可到达的建筑物.
(二)实践流程建议
1.成立测量小组.
2.学习研讨,完成下列工作。
(1)选定测量目标和测量方法(注意控制测量误差、计算误差);
(2)制订测量方案,写出计划书,最好选用两套方案测量同一个物体;(3)准备相应的测量工具(需要时也可以自制一些简单的测量工具);
(4)明确小组成员的任务分工.
3.实施现场测量,记录测量数据.
4.完成计算和报告,填写“测量工作报告表”.
5.成果交流.
交流时,关注测量过程和创新点,以实物、照片、幻灯片等形式展示.
测量工作报告表
根据制定的测量方案,完成实际测量活动.。
苏教版(2019)必修第一册 1-1 集合的概念与表示 课件(37张)

这个集合中就确定了.
(2)互异性:一个给定集合中的元素是互不相同的,也就是说,集合中的元素是不重复出现的.任何两个
相同的对象在同一个集合中,只能算作这个集合的一个元素.
(3)无序性:集合中的元素无先后顺序之分.
些对象的全体,而非个别对象.
【示例】中国古代四大发明组成一个集合,那么集合的元素就是造纸术、指南针、火药、印刷术.
二十一世纪中国有新四大发明:高铁、移动支付、共享单车和网购.这四大发明就组成了一个集合.
即时巩固
[多选题]下列所给对象能构成集合的是(AD)
A.平面直角坐标系内到原点的距离等于1的点
B.《高中数学必修第一册》课本上的所有难题
两个集合相等,记作A=B.
【提示】(1)两个集合相等时,其元素个数一定相等.
(2)当两个集合相等时,其元素不一定依次对应相同.
如:集合{1,2,3}与集合{3,2,1}相等.
(3)两个集合是否相等,不能只看形式.
如:不等式0<x<1的解集与不等式 0<y<1的解集是两个相等的集合.
三、集合的表示方法
,即
∈{
}.
2.常用数集及其记法(要牢记)
数学中一些常用的数集及其记法:
全体自然数组成的集合,叫作自然数集,记作N;
全体正整数组成的集合,叫作正整数集,记作N*或N+;
全体整数组成的集合,叫作整数集,记作Z;
全体有理数组成的集合,叫作有理数集,记作Q;
全体实数组成的集合,叫作实数集,记作R.
【提示】(1)N比N*(或N+)多一个元素0;(2)N*中*在右上角,N+中+在右下角.
2019_2020学年高中数学第3章推理与证明11.2类比推理学案北师大版选修1_2

1.2 类比推理学 习目 标核 心 素 养1.通过具体实例理解类比推理的意义.(重点) 2.会用类比推理对具体问题作出判断.(难点) 1.通过类比推理的意义的学习,体现了数学抽象的核心素养.2.通过应用类比推理对具体问题判断的学习,体现了逻辑推理的核心素养.1.类比推理由于两类不同对象具有某些类似的特征,在此基础上,根据一类对象的其他特征,推断另一类对象也具有类似的其他特征,我们把这种推理过程称为类比推理.类比推理是两类事物特征之间的推理. 2.合情推理合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等),推测出某些结果的推理方式.合情推理的结果不一定正确.思考:合情推理的结果为什么不一定正确?[提示] 合情推理是由特殊到一般的推理,简单地说就是直接看出来的,没有通过证明,只归纳了一部分,属于不完全归纳,所以不一定正确.1.下面使用类比推理恰当的是( )A .“若a ·3=b ·3,则a =b ”类比推出“若a ·0=b ·0,则a =b ”B .“(a +b )c =ac +bc ”类比推出“(a ·b )c =ac ·bc ”C .“(a +b )c =ac +bc ”类比推出“a +bc =a c +bc(c ≠0)” D .“(ab )n=a n b n”类比推出“(a +b )n=a n+b n” C [由实数运算的知识易得C 项正确.] 2.下列推理是合情推理的是( ) (1)由圆的性质类比出球的有关性质;(2)由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°,归纳出所有三角形的内角和都是180°;(3)a ≥b ,b ≥c ,则a ≥c ;(4)三角形内角和是180°,四边形内角和是360°,五边形内角和是540°,由此得凸n边形内角和是(n -2)×180°.A .(1)(2)B .(1)(3)(4)C .(1)(2)(4)D .(2)(4)C [(1)为类比推理,(2)(4)为归纳推理,(3)不是合情推理,故选C.]3.类比平面内正三角形的“三边相等,三内角相等”的性质,可推知正四面体的下列性质,你认为比较恰当的是________.(填序号)①各棱长相等,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等;②各个面都是全等的正三角形,相邻两个面所成的二面角都相等; ③各个面都是全等的正三角形,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等.①②③ [正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比,正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比,故①②③都对.]类比推理在数列中的应用【例1】 在公比为4的等比数列{b n }中,若T n 是数列{b n }的前n 项积,则有T 20T 10,T 30T 20,T 40T 30也成等比数列,且公比为4100.类比上述结论,相应地在公差为3的等差数列{a n }中,若S n 是{a n }的前n 项和.试写出相应的结论,判断该结论是否正确,并加以证明.思路点拨:结合已知等比数列的特征可类比等差数列每隔10项和的有关性质. [解] 数列S 20-S 10,S 30-S 20,S 40-S 30也是等差数列,且公差为300.该结论是正确的. 证明如下:∵等差数列{a n }的公差d =3, ∴(S 30-S 20)-(S 20-S 10)=(a 21+a 22+…+a 30)-(a 11+a 12+…+a 20) ==100d =300,同理可得:(S 40-S 30)-(S 30-S 20)=300,所以数列S 20-S 10,S 30-S 20,S 40-S 30是等差数列,且公差为300.1.本例是由等比类比等差,你能由等差类比出等比结论吗?完成下题:设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,则S 4,S 8-S 4,S 12-S 8,S 16-S 12成等差数列.类比以上结论有:设等比数列{b n }的前n 项积为T n (T n ≠0),则T 4,______,______,T 16T 12成等比数列. T 8T 4 T 12T 8[等差数列类比于等比数列时,和类比于积,减法类比于除法,可得类比结论为:设等比数列{b n }的前n 项积为T n ,则T 4,T 8T 4,T 12T 8,T 16T 12成等比数列.] 2.在本例条件不变的情况下,你能写出一个更为一般的结论吗?(不用论证)[解] 对于任意k ∈N +,都有数列S 2k -S k ,S 3k -S 2k ,S 4k -S 3k 是等差数列,且公差为k 2d .1.在等比数列与等差数列的类比推理中,要注意等差与等比、加与乘、减与除、乘法与乘方的类比特点.2.类比推理的思维过程观察、比较→联想、类推→猜测新的结论.即在两类不同事物之间进行对比,找出若干相同或相似之处后,推测这两类事物在其他方面的相同或相似之处.1.在等差数列{a n }中,如果m ,n ,p ,r ∈N +,且m +n +p =3r ,那么必有a m +a n +a p =3a r ,类比该结论,写出在等比数列{b n }中类似的结论,并用数列知识加以证明.[解] 类似结论如下:在等比数列{b n }中,如果m ,n ,p ,r ∈N +,且m +n +p =3r ,那么必有b m b n b p =b 3r .证明如下:设等比数列{b n }的公比为q ,则b m =b 1q m -1,b n =b 1q n -1,b p =b 1qp -1,b r =b 1qr -1,于是b m b n b p =b 1qm -1·b 1qn -1·b 1qp -1=b 31qm +n +p -3=b 31q3r -3=(b 1qr -1)3=b 3r ,故结论成立.类比推理在几何中的应用【例2】 如图所示,在平面上,设h a ,h b ,h c 分别是△ABC 三条边上的高,P 为△ABC 内任意一点,P 到相应三边的距离分别为p a ,p b ,p c ,可以得到结论p a h a +p b h b +p ch c=1.证明此结论,通过类比写出在空间中的类似结论,并加以证明.思路点拨:三角形类比四面体,三角形的边类比四面体的面,三角形边上的高类比四面体以某一面为底面的高.[解]p a h a =12BC ·p a12BC ·h a =S △PBCS △ABC,同理,p b h b =S △PAC S △ABC ,p c h c =S △PABS △ABC.∵S △PBC +S △PAC +S △PAB =S △ABC , ∴p a h a +p b h b +p c h c =S △PBC +S △PAC +S △PABS △ABC=1.类比上述结论得出以下结论:如图所示,在四面体ABCD 中,设h a ,h b ,h c ,h d 分别是该四面体的四个顶点到对面的距离,P 为该四面体内任意一点,P 到相应四个面的距离分别为p a ,p b ,p c ,p d ,可以得到结论p a h a +p b h b +p c h c +p dh d=1.证明:p a h a =13S △BCD ·p a13S △BCD ·h a =V P BCDV A BCD,同理,p b h b =V P ACD V A BCD ,p c h c =V P ABD V A BCD ,p d h d =V P ABCV A BCD.∵V P BCD +V P ACD +V P ABD +V P ABC =V A BCD , ∴p a h a +p b h b +p c h c +p d h d=V P BCD +V P ACD +V P ABD +V P ABCV A BCD=1.1.在本例中,若△ABC 的边长分别为a ,b ,c ,其对角分别为A ,B ,C ,那么由a =b ·cosC +c ·cos B 可类比四面体的什么性质?[解] 在如图所示的四面体中,S 1,S 2,S 3,S 分别表示△PAB ,△PBC ,△PCA ,△ABC 的面积,α,β,γ依次表示平面PAB ,平面PBC ,平面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小.猜想S =S 1·cos α+S 2·cos β+S 3·cos γ.2.在本例中,若r 为三角形的内切圆半径,则S △=12(a +b +c )r ,请类比出四面体的有关相似性质.[解] 四面体的体积为V =13(S 1+S 2+S 3+S 4)r (r 为四面体内切球的半径,S 1,S 2,S 3,S 4为四面体的四个面的面积.1.平面图形与空间图形类比 平面图形 点 线 边长 面积 线线角 三角形 空间图形线面面积体积二面角四面体(1)找出两类事物之间的相似性或一致性;(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质,得出一个明确的结论. 类比推理在其他问题中的应用[探究问题]1.鲁班发明锯子的思维过程为:带齿的草叶能割破行人的腿,“锯子”能“锯”开木材,它们在功能上是类似的.因此,它们在形状上也应该类似,“锯子”应该是齿形的.你认为该过程为归纳推理还是类比推理?[提示] 类比推理.2.已知以下过程可以求1+2+3+…+n 的和.因为(n +1)2-n 2=2n +1,n 2-(n -1)2=2(n -1)+1,……22-12=2×1+1,有(n +1)2-1=2(1+2+…+n )+n , 所以1+2+3+…+n =n 2+2n -n 2=n (n +1)2.类比以上过程试求12+22+32+…+n 2的和. [提示] 因为(n +1)3-n 3=3n 2+3n +1,n 3-(n -1)3=3(n -1)2+3(n -1)+1,……23-13=3×12+3×1+1,有(n +1)3-1=3(12+22+…+n 2)+3(1+2+3+…+n )+n , 所以12+22+…+n 2=13⎝ ⎛⎭⎪⎫n 3+3n 2+3n -3n 2+5n 2=2n 3+3n 2+n 6=n (n +1)(2n +1)6.【例3】 已知椭圆具有性质:若M ,N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点,点P 是椭圆上任意一点,当直线PM ,PN 的斜率k PM ,k PN 都存在时,那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值,试写出双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)具有类似特征的性质,并加以证明.思路点拨:双曲线与椭圆类比→椭圆中的结论→双曲线中的相应结论→理论证明[解] 类似性质:若M ,N 为双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)上关于原点对称的两个点,点P是双曲线上任意一点,当直线PM ,PN 的斜率k PM ,k PN 都存在时,那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值.证明如下:设点M ,P 的坐标分别为(m ,n ),(x ,y ),则N (-m ,-n ).因为点M (m ,n )是双曲线上的点, 所以n 2=b 2a 2m 2-b 2.同理y 2=b 2a2x 2-b 2,则k PM ·k PN =y -n x -m ·y +n x +m =y 2-n 2x 2-m 2=b 2a 2·x 2-m 2x 2-m 2=b 2a 2(定值).1.两类事物能进行类比推理的关键是两类对象在某些方面具备相似特征.2.进行类比推理时,首先,找出两类对象之间可以确切表达的相似特征.然后,用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得到一个猜想.2.我们知道: 12=1,22=(1+1)2=12+2×1+1, 32=(2+1)2=22+2×2+1, 42=(3+1)2=32+2×3+1, ……n 2=(n -1)2+2(n -1)+1,将以上各式的左右两边分别相加,整理得n 2=2×[1+2+3+…+(n -1)]+n , 所以1+2+3+…+(n -1)=n (n -1)2.类比上述推理方法写出求12+22+32+…+n 2的表达式的过程. [解] 已知: 13=1,23=(1+1)3=13+3×12+3×1+1, 33=(2+1)3=23+3×22+3×2+1, 43=(3+1)3=33+3×32+3×3+1,……n 3=(n -1)3+3(n -1)2+3(n -1)+1,将以上各式的左右两边分别相加,得(13+23+…+n 3)=[13+23+…+(n -1)3]+3[12+22+…+(n -1)2]+3[1+2+…+(n -1)]+n ,整理得n 3=3(12+22+…+n 2)-3n 2+3[1+2+…+(n -1)]+n , 将1+2+3+…+(n -1)=n (n -1)2代入整理可得12+22+…+n 2=2n 3+3n 2+n 6,即12+22+…+n 2=n (2n +1)(n +1)6.1.类比推理的特点(1)类比推理是从人们已经掌握的事物的特征,推测被研究的事物的特征,所以类比推理的结果具有猜测性,不一定可靠.(2)类比推理以旧的知识作基础,推测新的结果,具有发现的功能,因此类比在数学发现中具有重要作用,但必须明确,类比并不等于论证.2.类比推理与归纳推理的比较归纳推理 类比类推相同点 根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,提出猜想,都属于归纳推理不同点特点 由部分到整体,由个别到一般 由特殊到特殊推理 过程从一类事物中的部分事物具有的属性,猜测该类事物都具有这种属性两类对象具有类似的特征,根据其中一类对象的特征猜测另一类对象具有相应的类似特征1.下列说法正确的是( )A .由合情推理得出的结论一定是正确的B .合情推理必须有前提有结论C .合情推理不能猜想D .合情推理得出的结论不能判断正误B [根据合情推理可知,合情推理必须有前提有结论.]2.已知扇形的弧长为l ,半径为r ,类比三角形的面积公式S =底×高2,可知扇形面积公式为( )A.r 22 B.l 22 C.lr2D .无法确定C [扇形的弧长对应三角形的底,扇形的半径对应三角形的高,因此可得扇形面积公式S =lr2.] 3.在平面上,若两个正三角形的边长的比为1∶2,则它们的面积比为1∶4,类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长的比为1∶2,则它们的体积比为________.1∶8 [由平面和空间的知识,可知面积之比与边长之比成平方关系,在空间中体积之比与棱长之比成立方关系,故若两个正四面体的棱长的比为1∶2,则它们的体积之比为1∶8.]4.在计算“1×2+2×3+…+n (n +1)”时,有如下方法:先改写第k 项:k (k +1)=13[k (k +1)(k +2)-(k -1)k (k +1)],由此得1×2=13(1×2×3-0×1×2),2×3=13(2×3×4-1×2×3),……n (n +1)=13[n (n +1)(n +2)-(n -1)n (n +1)],相加得1×2+2×3+…+n (n +1)=13n (n +1)(n +2).类比上述方法,请你计算“1×3+2×4+…+n (n +2)”,将其结果写成关于n 的一次因式的积的形式.[解] 1×3=16×(1×2×9-0×1×7),2×4=16×(2×3×11-1×2×9),3×5=16×(3×4×13-2×3×11),……n (n +2)=16[n (n +1)(2n +7)-(n -1)n (2n +5)],各式相加,得1×3+2×4+3×5+…+n (n +2)=16n (n +1)(2n +7).。
中图版(2019)必修1《第三章_数据处理与应用》2022年单元测试卷+答案解析(附后)
中图版(2019)必修1《第三章数据处理与应用》2022年单元测试卷1. 下列关于数据备份的说法不正确的是( )A. 备份的副本应存储在与源文件同一路径下B. 备份文件有助于避免文件的永久丢失C. 可以用备份的文件恢复丢失的数据D. 为了确保文件不会丢失,可以随时手动备份或者设置自动备份2. 百度公司根据某时段在某区域内“感冒症状”、“治疗”等关键词的搜索量急剧增长,成功预测了甲流的爆发时间、地域。
主要体现了大数据分析理念中的( )A. 在数据规模上强调相对数据而不是绝对数据B. 在分析方法上更注重相关分析而不是因果分析C. 在数据基础上倾向于全体数据而不是抽样数据D. 在分析效果上更追求效率而不是绝对精确3. 下列不属于数据采集是( )A. 系统日志B. 网络爬虫C. 问卷调查D. 数据可视化4. 小明无意间发现了小红记录在笔记本上的邮箱密码,他登录小红邮箱后阅读了小红的各种邮件。
为此小红对邮箱设置进行了调整,现需要用手机接收“动态密码”并输入后才能登录邮箱。
请问小红的做法是属于以下哪种信息系统的安全防范方法?( )A. 身份认证B. 访问控制C. 数据加密D. 修补漏洞5. 下列关于数据安全的说法,不正确的是( )A. 自然灾害也有可能对数据造成损坏B. 数据加密有助于提高数据的安全性C. 数据校验主要是为了保证数据的完整性D. 数据安全只要做好防护上的安全即可6. 因疫情防控需要,学校要求学生家长及时上报体温、行程等数据,汇总后上报上级防控部门,采集上述数据最为高效的方法是( )A. 填写在线收集表B. 填写纸质表格C. 发送电子邮件D. 打电话上报7. 数据分析报告是项目的展示,也是数据分析结论的有效承载形式。
在数据分析报告中,首先需要明确数据分析的,阐述目前及通过分析希望解决的问题;其次需要描述数据来源和数据分析的、和;最后需要重点呈现数据分析的、和。
A. 正确B. 错误8. 数据分析应用对象主要有分析、分析和分析。
2019版文数通用版第三单元 基本初等函数(Ⅰ)及应用
第三单元 基本初等函数(Ⅰ)及应用教材复习课“基本初等函数(Ⅰ)”相关基础知识一课过指数与对数的基本运算 一、根式与幂的运算 1.根式的性质 (1)(n a )n=a .(2)当n 为奇数时,na n =a .(3)当n 为偶数时,na n=|a |=⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0),-a (a <0).(4)负数的偶次方根无意义. (5)零的任何次方根都等于零. 2.有理数指数幂 (1)分数指数幂:①正分数指数幂:a m n =na m (a >0,m ,n ∈N *,且n >1).②负分数指数幂:a -m n =1a m n =1n a m(a >0,m ,n ∈N *,且n >1).③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. (2)有理数指数幂的运算性质. ①a r·a s =ar +s(a >0,r ,s ∈Q ).②(a r )s =a rs (a >0,r ,s ∈Q ). ③(ab )r=a r b r(a >0,b >0,r ∈Q ). 二、对数及对数运算 1.对数的定义一般地,如果a x =N (a >0,且a ≠1),那么数x 叫作以a 为底N 的对数,记作x =log a N ,其中a 叫作对数的底数,N 叫作真数.2.对数的性质 (1)log a 1=0,log a a =1. (2)a log a N =N ,log a a N =N . (3)负数和零没有对数. 3.对数的运算性质如果a >0,且a ≠1,M >0,N >0,那么 (1)log a (M N )=log a M +log a N . (2)log a MN =log a M -log a N . (3)log a M n=n log a M (n ∈R ). (4)换底公式log a b =log m blog m a(a >0且a ≠1,b >0,m >0,且m ≠1). 1.化简(a 23·b -1)-12·a -12·b136a ·b 5(a >0,b >0)的结果是( )A .aB .abC .a 2bD.1a解析:选D 原式=a3-1b 12a -12b13a 16b56=a---111362·b+-151362=1a .2.若x =log 43,则(2x -2-x )2=( ) A.94 B.54 C.103D.43解析:选D 由x =log 43,得4x =3,即4-x =13,(2x -2-x )2=4x -2+4-x =3-2+13=43.3.(log 23)2-4log 23+4+log 213=( )A .2B .2-2log 23C .-2D .2log 23-2解析:选B (log 23)2-4log 23+4+log 213=(log 23-2)2-log 23=2-log 23-log 23=2-2log 23.4.已知f (x )=2x +2-x ,若f (a )=3,则f (2a )=( ) A .11 B .9 C .7D .5解析:选C 由题意可得f (a )=2a +2-a =3,则f (2a )=22a +2-2a=(2a +2-a )2-2=7.[清易错]1.在进行指数幂的运算时,一般用分数指数幂的形式表示,并且结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又含有负指数.易忽视字母的符号.2.在对数运算时,易忽视真数大于零.1.化简-x3x的结果是()A.--x B.x C.-x D.-x解析:选A依题意知x<0,故-x3x=--x3x2=--x.2.若lg x+lg y=2lg(x-2y),则xy的值为________.解析:∵lg x+lg y=2lg(x-2y),∴xy=(x-2y)2,即x2-5xy+4y2=0,即(x-y)(x-4y)=0,解得x=y或x=4y. 又x>0,y>0,x-2y>0,故x=y不符合题意,舍去.所以x=4y,即xy=4.答案:4二次函数1.二次函数解析式的三种形式(1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0).(2)顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0).(3)零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).2.二次函数的图象和性质解析式f(x)=ax2+bx+c(a>0)f(x)=ax2+bx+c(a<0) 图象定义域R R值域单调性在⎝⎛⎦⎤-∞,-b2a上单调递减;在⎣⎡⎭⎫-b2a,+∞上单调递增在⎝⎛⎦⎤-∞,-b2a上单调递增;在⎣⎡⎭⎫-b2a,+∞上单调递减对称性函数的图象关于直线x=-b2a对称A.-4 B.4 C.-2 D.2解析:选C ∵二次函数的图象的顶点在x 轴上,∴Δ=16+8t =0,可得t =-2. 2.(2018·唐山模拟)如果函数f (x )=x 2-ax -3在区间(-∞,4]上单调递减,那么实数a 的取值范围为( )A .[8,+∞)B .(-∞,8]C .[4,+∞)D .[-4,+∞)解析:选A 函数f (x )图象的对称轴方程为x =a 2,由题意得a2≥4,解得a ≥8.3.(2017·宜昌二模)函数f (x )=-2x 2+6x (-2≤x ≤2)的值域是( ) A .[-20,4] B .(-20,4) C.⎣⎡⎦⎤-20,92 D.⎝⎛⎭⎫-20,92 解析:选C 由函数f (x )=-2x 2+6x 可知,二次函数f (x )的图象开口向下,对称轴为x =32,当-2≤x <32时,函数f (x )单调递增,当32≤x ≤2时,函数f (x )单调递减,∴f (x )max =f ⎝⎛⎭⎫32=-2×94+6×32=92,又f (-2)=-8-12=-20,f (2)=-8+12=4,∴函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤-20,92. [清易错]易忽视二次函数表达式f (x )=ax 2+bx +c 中的系数a ≠0.若二次函数f (x )=ax 2-4x +c 的值域为[0,+∞),则a ,c 满足的条件是________. 解析:由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a >0,4ac -164a=0,⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >0,ac -4=0.答案:a >0,ac =4幂函数1.幂函数的定义一般地,形如y =x α的函数称为幂函数,其中x 是自变量,α为常数. 2.常见的5种幂函数的图象 3.常见的5种幂函数的性质 函数 特征 性质 y =xy =x 2y =x 3y =x 12y =x -1定义域 R R R [0,+∞) {x |x ∈R ,且x ≠0} 值域 R[0,+∞)R[0,+∞){y |y ∈R ,且y ≠0}奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇单调性 增(-∞,0]减,[0,+∞)增增增(-∞,0)减,(0,+∞)减 定点(0,0),(1,1)(1,1)解析:选C 令f (x )=x α,则4α=2, ∴α=12,∴f (x )=x 12.故C 正确.2.(2018·贵阳监测)已知幂函数y =f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫13,3,则f ⎝⎛⎭⎫12=( ) A.12 B .2 C. 2D.22解析:选C 设幂函数的解析式为f (x )=x α,将⎝⎛⎭⎫13,3代入解析式得3-α=3,解得α=-12,∴f (x )=x -12,f ⎝⎛⎭⎫12=2,故选C.3.若函数f (x )=(m 2-m -1)x m 是幂函数,且在x ∈(0,+∞)上为增函数,则实数m 的值是( )A .-1B .2C .3D .-1或2解析:选B ∵f (x )=(m 2-m -1)x m 是幂函数,∴m 2-m -1=1,解得m =-1或m =2.又f (x )在x ∈(0,+∞)上是增函数,所以m =2.[清易错]幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限,至于是否出现在第二、三象限内,要看函数的奇偶性;幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内;如果幂函数图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.幂函数y =xm 2-2m -3(m ∈Z )的图象如图所示,则m 的值为( )A .-1<m <3B .0C .1D .2解析:选C 从图象上看,由于图象不过原点,且在第一象限下降,故m 2-2m -3<0,即-1<m <3;又从图象看,函数是偶函数,故m 2-2m -3为负偶数,将m =0,1,2分别代入,可知当m =1时,m 2-2m -3=-4,满足要求.指数函数[过双基]指数函数的图象与性质y =a x (a >0,且a ≠1) a >10<a <1图象定义域 R 值域(0,+∞)性质当x =0时,y =1,即过定点(0,1)当x >0时,y >1;当x <0时,0<y <1 当x >0时,0<y <1;当x <0时,y >1 在R 上是增函数在R 上是减函数1A .(0,1) B .(1,1) C .(2,0)D .(2,2)解析:选D 由f (2)=a 0+1=2,知f (x )的图象必过点(2,2). 2.函数f (x )=1-2x 的定义域是( ) A .(-∞,0] B .[0,+∞) C .(-∞,0)D .(-∞,+∞)解析:选A 要使f (x )有意义须满足1-2x ≥0,即2x ≤1,解得x ≤0. 3.函数y =a x -a (a >0,且a ≠1)的图象可能是( )解析:选C 当x =1时,y =a 1-a =0,所以函数y =a x -a 的图象过定点(1,0),结合选项可知选C.4.设a =⎝⎛⎭⎫3525,b =⎝⎛⎭⎫2535,c =⎝⎛⎭⎫2525,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A .a >c >b B .a >b >c C .c >a >bD .b >c >a解析:选A 构造指数函数y =⎝⎛⎭⎫25x(x ∈R ),由该函数在定义域内单调递减可得b <c ;又y =⎝⎛⎭⎫25x (x ∈R )与y =⎝⎛⎭⎫35x (x ∈R )之间有如下结论:当x >0时,有⎝⎛⎭⎫35x >⎝⎛⎭⎫25x ,故⎝⎛⎭⎫3525>⎝⎛⎭⎫2525,即a >c ,故a >c >b .5.下列四类函数中,具有性质“对任意的x >0,y >0,函数f (x )满足f (x +y )=f (x )f (y )”的是( )A .幂函数B .对数函数C .指数函数D .余弦函数解析:选C 由指数运算的规律易知,a x +y =a x ·a y ,即令f (x )=a x ,则f (x +y )=f (x )f (y ),故该函数为指数函数.[清易错]指数函数y =a x (a >0,且a ≠1)的图象和性质与a 的取值有关,要特别注意区分a >1或0<a <1.若函数f (x )=a x (a >0,且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a 2,则a 的值为________.解析:当a >1时,f (x )=a x 为增函数, f (x )max =f (2)=a 2,f (x )mi n =f (1)=a . ∴a 2-a =a2.即a (2a -3)=0.∴a =0(舍去)或a =32>1.∴a =32.当0<a <1时,f (x )=a x 为减函数, f (x )max =f (1)=a ,f (x )mi n =f (2)=a 2. ∴a -a 2=a2.即a (2a -1)=0,∴a =0(舍去)或a =12.∴a =12.综上可知,a =12或a =32.答案:12或32对数函数对数函数的图象与性质 y =log a x (a >0,且a ≠1) a >10<a <1图象定义域 (0,+∞)值域性质当x =1时,y =0,即过定点(1,0)当0<x <1时,y ∈(-∞,0);当x >1时,y ∈(0,+∞) 当0<x <1时,y ∈(0,+∞); 当x >1时,y ∈(-∞,0) 在(0,+∞)上为增函数在(0,+∞)上为减函数aA.⎝⎛⎭⎫0,23B.⎝⎛⎭⎫23,0 C .(1,0) D .(0,1)答案:C2.已知a >0,且a ≠1,函数y =a x 与y =log a (-x )的图象可能是( )解析:选B 由题意知,y =a x 的定义域为R ,y =log a (-x )的定义域为(-∞,0),故排除A 、C ;当0<a <1时,y =a x 在R 上单调递减,y =log a (-x )在(-∞,0)上单调递增;当a >1时,y =a x 在R 上单调递增,y =log a (-x )在(-∞,0)上单调递减,结合B 、D 图象知,B 正确.3.函数y =log 2|x +1|的单调递减区间为__________,单调递增区间为__________. 解析:作出函数y =log 2x 的图象,将其关于y 轴对称得到函数y =log 2|x |的图象,再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y =log 2|x +1|的图象(如图所示).由图知,函数y =log 2|x +1|的单调递减区间为(-∞,-1),单调递增区间为(-1,+∞).答案:(-∞,-1) (-1,+∞)4.函数f (x )=log a (x 2-2x -3)(a >0,a ≠1)的定义域为________.解析:由题意可得x 2-2x -3>0,解得x >3或x <-1,所以函数的定义域为{x |x >3或x <-1}.答案:{x |x >3或x <-1}[清易错]解决与对数函数有关的问题时易漏两点: (1)函数的定义域. (2)对数底数的取值范围. 1.(2018·南昌调研)函数y =log 23(2x -1) 的定义域是( )A .[1,2]B .[1,2) C.⎣⎡⎦⎤12,1D.⎝⎛⎦⎤12,1解析:选D 要使函数有意义,则⎩⎪⎨⎪⎧log 23(2x -1)≥0,2x -1>0,解得12<x ≤1.2.函数y =log a x (a >0,且a ≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1,则a 的值为________. 解析:当a >1时,函数y =log a x 在[2,4]上是增函数,所以log a 4-log a 2=1,即log a 2=1,所以a =2. 当0<a <1时,函数y =log a x 在[2,4]上是减函数, 所以log a 2-log a 4=1,即log a 12=1,所以a =12.故a =2或a =12.答案:2或 12一、选择题1.函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2-x-1,x ≤0,x 12,x >0,满足f (x )=1的x 的值为( )A .1B .-1C .1或-2D .1或-1解析:选D 由题意,方程f (x )=1等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0,2-x -1=1或⎩⎪⎨⎪⎧x >0,x 12=1,解得x =-1或1.2.函数f (x )=ln|x -1|的图象大致是( )解析:选B 令x =1,x -1=0,显然f (x )=ln|x -1|无意义,故排除A ;由|x -1|>0可得函数的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),故排除D ;由复合函数的单调性可知f (x )在(1, +∞)上是增函数,故排除C ,选B.3.(2018·郑州模拟)设abc >0,二次函数f (x )=ax 2+bx +c 的图象可能是( ) 解析:选D 结合二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象知: 当a <0,且abc >0时,若-b2a <0,则b <0,c >0,故排除A ,若-b2a>0,则b >0,c <0,故排除B. 当a >0,且abc >0时,若-b2a <0,则b >0,c >0,故排除C ,若-b2a>0,则b <0,c <0,故选项D 符合. 4.设a =0.32,b =20.3,c =log 25,d =log 20.3,则a ,b ,c ,d 的大小关系是( ) A .d <b <a <c B .d <a <b <c C .b <c <d <aD .b <d <c <a解析:选B 由对数函数的性质可知c =log 25>2,d =log 20.3<0, 由指数函数的性质可知0<a =0.32<1,1<b =20.3<2, 所以d <a <b <c .5.(2018·长春模拟)函数y =4x +2x +1+1的值域为( )A .(0,+∞)B .(1,+∞)C .[1,+∞)D .(-∞,+∞)解析:选B 令2x =t ,则函数y =4x +2x +1+1可化为y =t 2+2t +1=(t +1)2(t >0). ∵函数y =(t +1)2在(0,+∞)上递增, ∴y >1.∴所求值域为(1,+∞).故选B. 6.(2017·大连二模)定义运算:xy =⎩⎪⎨⎪⎧x ,xy ≥0,y ,xy <0,例如:34=3,(-2)4=4,则函数f (x )=x 2(2x -x 2)的最大值为( )A .0B .1C .2D .4解析:选D 由题意可得f (x )=x 2(2x -x 2)=⎩⎪⎨⎪⎧x 2,0≤x ≤2,2x -x 2,x >2或x <0,当0≤x ≤2时,f (x )∈[0,4];当x >2或x <0时,f (x )∈(-∞,0).综上可得函数f (x )的最大值为4,故选D.7.已知函数f (x )=lg ⎝⎛⎭⎫21-x +a 是奇函数,且在x =0处有意义,则该函数为( )A .(-∞,+∞)上的减函数B .(-∞,+∞)上的增函数C .(-1,1)上的减函数D .(-1,1)上的增函数解析:选D 由题意知,f (0)=lg(2+a )=0,∴a =-1,∴f (x )=lg ⎝⎛⎭⎫21-x -1=lg x +11-x ,令x +11-x >0,则-1<x <1,排除A 、B ,又y =21-x -1=-1+-2x -1在(-1,1)上是增函数,∴f (x )在(-1,1)上是增函数.选D.8.(2018·湖北重点高中协作校联考)设函数f (x )=1-x +1,g (x )=ln(ax 2-3x +1),若对任意x 1∈[0,+∞),都存在x 2∈R ,使得f (x 1)=g (x 2),则实数a 的最大值为( )A.94 B .2 C.92D .4解析:选A 设g (x )=ln (ax 2-3x +1)的值域为A ,因为函数f (x )=1-x +1在[0,+∞)上的值域为(-∞,0],所以(-∞,0]⊆A ,因此h (x )=ax 2-3x +1至少要取遍(0,1]中的每一个数,又h (0)=1,于是,实数a 需要满足a ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0,9-4a ≥0,解得a ≤94.故选A.二、填空题9.(2018·连云港调研)当x >0时,函数y =(a -8)x 的值恒大于1,则实数a 的取值范围是________.解析:由题意知,a -8>1,解得a >9. 答案:(9,+∞)10.若函数f (x )是幂函数,且满足f (4)=3f (2),则f ⎝⎛⎭⎫12的值等于________. 解析:设f (x )=x α, 又f (4)=3f (2), ∴4α=3×2α, 解得α=log 23, ∴f ⎝⎛⎭⎫12=⎝⎛⎭⎫12log 23=13. 答案:1311.若函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧e 1-x ,x ≤1,ln (x -1),x >1,则使得f (x )≥2成立的x 的取值范围是________.解析:由题意,f (x )≥2等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤1,e 1-x ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧x >1,ln (x -1)≥2,解得x ≤1-ln 2或x ≥1+e 2,则使得f (x )≥2成立的x 的取值范围是(-∞,1-ln 2]∪[1+e 2,+∞). 答案:(-∞,1-ln 2]∪[1+e 2,+∞)12.若对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0,12,恒有4x<log a x (a >0且a ≠1),则实数a 的取值范围是________. 解析:令f (x )=4x ,则f (x )在⎝⎛⎭⎫0,12上是增函数,g (x )=log a x ,当a >1时,g (x )=log a x 在⎝⎛⎭⎫0,12上是增函数,且g (x )=log a x <0,不符合题意;当0<a <1时,g (x )=log a x 在⎝⎛⎭⎫0,12上是减函数,则⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1,f ⎝⎛⎭⎫12≤g ⎝⎛⎭⎫12,解得22≤a <1.答案:⎣⎡⎭⎫22,1 三、解答题13.函数f (x )=log a x (a >0,a ≠1),且f (2)-f (4)=1. (1)若f (3m -2)>f (2m +5),求实数m 的取值范围; (2)求使f ⎝⎛⎭⎫x -4x =log 123成立的x 的值.解:(1)由f (2)-f (4)=1,得a =12.∵函数f (x )=log 12x 为减函数且f (3m -2)>f (2m +5),∴0<3m -2<2m +5,解得23<m <7,故m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫23,7.(2)f ⎝⎛⎭⎫x -4x =log 123,即x -4x =3,x 2-3x -4=0, 解得x =4或x =-1. 14.已知函数f (x )=a -22x+1为奇函数. (1)求a 的值;(2)试判断函数f (x )在(-∞,+∞)上的单调性,并证明你的结论;(3)若对任意的t ∈R ,不等式f [t 2-(m -2)t ]+f (t 2-m +1)>0恒成立,求实数m 的取值范围.解:(1)∵函数f (x )为奇函数,∴f (x )=-f (-x ), ∴a -22x +1=-a +22-x +1,∴2a =2·2x 2x +1+22x +1=2,∴a =1.(2)f (x )在R 上为单调递增函数.证明如下:设任意x 1,x 2∈R ,且x 1<x 2, 则f (x 1)-f (x 2)=1-22 x 1+1-1+22 x 2+1 =2(2 x 1-2 x 2)(2 x 1+1)(2 x 2+1).∵x 1<x 2,∴2 x 1-2 x 2<0,(2 x 1+1)(2 x 2+1)>0, ∴f (x 1)<f (x 2),∴f (x )为R 上的单调递增函数. (3)∵f (x )=1-22x +1为奇函数,且在R 上为增函数, ∴由f [t 2-(m -2)t ]+f (t 2-m +1)>0恒成立, ∴f [t 2-(m -2)t ]>-f (t 2-m +1)=f (m -t 2-1), ∴t 2-(m -2)t >m -1-t 2对t ∈R 恒成立,化简得2t2-(m-2)t-m+1>0,∴Δ=(m-2)2+8(m-1)<0,解得-2-22<m<-2+22,故m的取值范围为(-2-22,-2+22).高考研究课(一) 幂函数、二次函数的3类考查点——图象、性质、解析式[全国卷5年命题分析]考点考查频度考查角度幂函数5年3考幂函数的性质二次函数5年1考二次函数的图象幂函数的图象与性质[典例]-2)·x n2-3n(n∈Z)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,则n的值为()A.-3B.1C.2 D.1或-3(2)1.112,0.912,1的大小关系为________.[解析](1)由于f(x)为幂函数,所以n2+2n-2=1,解得n=1或n=-3,当n=1时,函数f(x)=x-2为偶函数,其图象关于y轴对称,且f(x)在(0,+∞)上是减函数,所以n=1满足题意;当n=-3时,函数f(x)=x18为偶函数,其图象关于y轴对称,而f(x)在(0,+∞)上是增函数,所以n=-3不满足题意,舍去.故选B.(2)把1看作112,幂函数y=x12在(0,+∞)上是增函数.∵0<0.9<1<1.1,∴0.912<112<1.112.即0.912<1<1.112.[答案](1)B(2)0.912<1<1.112[方法技巧]幂函数图象与性质的应用(1)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性;(2)在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较,准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.1.已知f (x )=x 12,若0<a <b <1,则下列各式正确的是( )A .f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b B .f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b )<f (a ) C .f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1a D .f ⎝⎛⎭⎫1a <f (a )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b ) 解析:选C ∵0<a <b <1,∴0<a <b <1b <1a,又f (x )=x 12为增函数,∴f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1a . 2.若(a +1)-13<(3-2a ) -13,则实数a 的取值范围是________________.解析:不等式(a +1)-13<(3-2a ) -13等价于a +1>3-2a >0或3-2a <a +1<0或a +1<0<3-2a . 解得23<a <32或a <-1.答案:(-∞,-1)∪⎝⎛⎭⎫23,32二次函数的解析式二次函数的解析式有一般式、顶点式、零点式.求二次函数的解析式时,要灵活选择解析式形式以确立解法.二次函数的解析式.[解] 法一:用“一般式”解题 设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0).由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a +2b +c =-1,a -b +c =-1,4ac -b 24a =8,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-4,b =4,c =7.∴所求二次函数为f (x )=-4x 2+4x +7. 法二:用“顶点式”解题 设f (x )=a (x -m )2+n (a ≠0). ∵f (2)=f (-1),∴抛物线的对称轴为x =2+(-1)2=12,∴m =12.又根据题意,函数有最大值8,∴n =8, ∴y =f (x )=a ⎝⎛⎭⎫x -122+8. ∵f (2)=-1,∴a ⎝⎛⎭⎫2-122+8=-1,解得a =-4, ∴f (x )=-4⎝⎛⎭⎫x -122+8=-4x 2+4x +7. 法三:用“零点式”解题由已知f (x )+1=0的两根为x 1=2,x 2=-1, 故可设f (x )+1=a (x -2)(x +1)(a ≠0), 即f (x )=ax 2-ax -2a -1.又函数有最大值8,即4a (-2a -1)-a 24a =8.解得a =-4或a =0(舍去).∴所求函数的解析式为f (x )=-4x 2+4x +7. [方法技巧]求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数解析式,一般用待定系数法,规律如下: [即时演练]1.为了美观,在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成二次函数图象的形状(如图所示).若对应的两条曲线关于y 轴对称,AE ∥x 轴,AB =4 cm ,最低点C 在x 轴上,高CH =1 cm ,BD =2 cm ,则右轮廓线DFE 所在的二次函数的解析式为( )A .y =14(x +3)2B .y =-14(x -3)2C .y =-14(x +3)2D .y =14(x -3)2解析:选D 由题图可知,对应的两条曲线关于y 轴对称,AE ∥x 轴,AB =4 cm ,最低点C 在x 轴上,高CH =1 cm ,BD =2 cm ,所以点C 的纵坐标为0,横坐标的绝对值为3,即C (-3,0),因为点F 与点C 关于y 轴对称,所以F (3,0),因为点F 是右轮廓线DFE 所在的二次函数图象的顶点,所以设该二次函数为y =a (x -3)2(a >0),将点D (1,1)代入得,a =14,即y =14(x -3)2.2.已知二次函数f (x )是偶函数,且f (4)=4f (2)=16,则函数f (x )的解析式为________.解析:由题意可设函数f(x)=ax2+c(a≠0),则f(4)=16a+c=16,f(2)=4a+c=4,解得a=1,c=0,故f(x)=x2.答案:f(x)=x2二次函数的图象与性质高考对二次函数图象与性质进行单独考查的频率较低.常与一元二次方程、一元二次不等式等知识交汇命题是高考的热点,多以选择题、填空题的形式出现,考查二次函数的图象与性质的应用.常见的命题角度有:(1)二次函数的图象与性质;(2)二次函数的最值问题.1.(2018·武汉模拟)已知函数f(x)=ax2+2ax+b(1<a<3),且x1<x2,x1+x2=1-a,则下列结论正确的是()A.f(x1)<f(x2)B.f(x1)>f(x2)C.f(x1)=f(x2)D.f(x1)与f(x2)的大小关系不能确定解析:选A f(x)的对称轴为x=-1,因为1<a<3,则-2<1-a<0,若x1<x2≤-1,则x1+x2<-2,不满足x1+x2=1-a且-2<1-a<0;若x1<-1,x2≥-1,则|x2+1|-|-1-x1|=x2+1+1+x1=x1+x2+2=3-a>0(1<a<3),此时x2到对称轴的距离大,所以f(x2)>f(x1);若-1≤x1<x2,则此时x1+x2>-2,又因为f(x)在[-1,+∞)上为增函数,所以f(x1)<f(x2).2.设二次函数f(x)=ax2-2ax+c在区间[0,1]上单调递减,且f(m)≤f(0),且实数m的取值范围是()A.(-∞,0] B.[2,+∞)C.(-∞,0]∪[2,+∞) D.[0,2]解析:选D二次函数f(x)=ax2-2ax+c在区间[0,1]上单调递减,则a≠0,f′(x)=2a(x -1)<0,x∈[0,1],所以a>0,即函数的图象开口向上,又因为对称轴是直线x=1.所以f(0)=f(2),则当f(m)≤f(0)时,有0≤m≤2.[方法技巧]解决二次函数图象与性质问题的2个注意点(1)抛物线的开口、对称轴位置、定义区间三者相互制约,常见的题型中这三者有两定一不定,要注意分类讨论;(2)要注意数形结合思想的应用,尤其是结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解.角度二:二次函数的最值问题3.已知二次函数f (x )=ax 2-2x (0≤x ≤1),求f (x )的最小值.解:(1)当a >0时,f (x )=ax 2-2x 图象的开口方向向上,且对称轴为x =1a . ①当1a ≤1,即a ≥1时,f (x )=ax 2-2x 图象的对称轴在[0,1]内, ∴f (x )在⎣⎡⎦⎤0,1a 上递减,在⎣⎡⎦⎤1a ,1上递增. ∴f (x )mi n =f ⎝⎛⎭⎫1a =1a -2a =-1a. ②当1a >1,即0<a <1时,f (x )=ax 2-2x 图象的对称轴在[0,1]的右侧,∴f (x )在[0,1]上递减. ∴f (x )mi n =f (1)=a -2.(2)当a <0时,f (x )=ax 2-2x 的图象的开口方向向下,且对称轴x =1a <0,在y 轴的左侧, ∴f (x )=ax 2-2x 在[0,1]上递减. ∴f (x )mi n =f (1)=a -2.综上所述,f (x )mi n =⎩⎪⎨⎪⎧a -2,a ∈(-∞,0)∪(0,1),-1a,a ∈[1,+∞).4.已知a 是实数,记函数f (x )=x 2-2x +2在[a ,a +1]上的最小值为g (a ),求g (a )的解析式.解:f (x )=x 2-2x +2=(x -1)2+1,x ∈[a ,a +1],a ∈R ,对称轴为x =1.当a +1<1,即a <0时,函数图象如图(1),函数f (x )在区间[a ,a +1]上为减函数,所以最小值为f (a +1)=a 2+1;当a ≤1≤a +1,即0≤a ≤1时,函数图象如图(2),在对称轴x =1处取得最小值,最小值为f (1)=1;当a >1时,函数图象如图(3),函数f (x )在区间[a ,a +1]上为增函数,所以最小值为f (a )=a 2-2a +2.综上可知,g (a )=⎩⎪⎨⎪⎧a 2+1,a <0,1,0≤a ≤1,a 2-2a +2,a >1.[方法技巧]二次函数在闭区间上的最大值和最小值可能在三个地方取到:区间的两个端点处,或对称轴处.也可以作出二次函数在该区间上的图象,由图象来判断最值.解题的关键是讨论对称轴与所给区间的相对位置关系.1.(2016·全国卷Ⅲ)已知a =243,b =425,c =2513,则( ) A .b <a <c B .a <b <c C .b <c <aD .c <a <b解析:选A 因为a =243,b =425=245,由函数y =2x 在R 上为增函数,知b <a ;又因为a =243=423,c =2513=523,由幂函数y =x 23在(0,+∞)上为增函数,知a <c .综上得b <a <c .故选A.2.(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (x )=f (2-x ),若函数y =|x 2-2x -3|与y =f (x )图象的交点为(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x m ,y m ),则∑i =1mx i =( )A .0B .mC .2mD .4m解析:选B ∵f (x )=f (2-x ),∴函数f (x )的图象关于直线x =1对称.又y =|x 2-2x -3|=|(x -1)2-4|的图象关于直线x =1对称,∴两函数图象的交点关于直线x =1对称.当m 为偶数时,∑i =1m x i =2×m2=m ;当m 为奇数时,∑i =1mx i =2×m -12+1=m .故选B. 3.(2014·全国卷Ⅰ)设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧e x -1,x <1,x 13,x ≥1,则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________.解析:当x <1时,由ex -1≤2得x ≤1+ln 2,∴x <1;当x ≥1时,由x13≤2得x ≤8,∴1≤x ≤8.综上,符合题意的x 的取值范围是x ≤8.答案:(-∞,8] 一、选择题1.(2018·绵阳模拟)幂函数y =(m 2-3m +3)x m 的图象过点(2,4),则m =( ) A .-2 B .-1 C .1D .2解析:选D ∵幂函数y =(m 2-3m +3)x m的图象过点(2,4),∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2-3m +3=1,2m =4,解得m =2.故选D.2.(2018·杭州测试)若函数f (x )=x 2-2x +1在区间[a ,a +2]上的最小值为4,则实数a 的取值集合为( )A .[-3,3]B .[-1,3]C .{-3,3}D .{-1,-3,3}解析:选C ∵函数f (x )=x 2-2x +1=(x -1)2的图象的对称轴为直线x =1,f (x )在区间[a ,a +2]上的最小值为4,∴当a ≥1时,f (x )mi n =f (a )=(a -1)2=4,a =-1(舍去)或a =3;当a +2≤1,即a ≤-1时,f (x )mi n =f (a +2)=(a +1)2=4,a =1(舍去)或a =-3; 当a <1<a +2,即-1<a <1时,f (x )mi n =f (1)=0≠4. 故a 的取值集合为{-3,3}.故选C.3.如图是二次函数y =ax 2+bx +c 图象的一部分,图象过点A (-3,0),对称轴为x =-1.给出下面四个结论:①b 2>4ac ;②2a -b =1;③a -b +c =0;④5a <b .其中正确的结论是( ) A .②④ B .①④ C .②③D .①③解析:选B ∵二次函数的图象与x 轴交于两点,∴b 2-4ac >0,即b 2>4ac ,①正确; 对称轴为x =-1,即-b2a =-1,2a -b =0,②错误;结合图象知,当x =-1时,y >0,即a -b +c >0,③错误; 由对称轴为x =-1知,b =2a ,又函数图象开口向下,∴a <0,∴5a <2a ,即5a <b ,④正确.故选B.4.若对任意a ∈[-1,1],函数F (x )=x 2+(a -4)x +4-2a 的值恒大于零,则x 的取值范围是( )A .(1,3)B .(-∞,1)∪(3,+∞)C .(1,2)D .(-∞,1)∪(2,+∞)解析:选B 由题意,令f (a )=F (x )=x 2+(a -4)x +4-2a =(x -2)a +x 2-4x +4,对任意a ∈[-1,1]恒成立,所以⎩⎪⎨⎪⎧f (1)=x 2-3x +2>0,f (-1)=x 2-5x +6>0,解得x <1或x >3. 5.若函数f (x )=mx 2-2x +3在[-1,+∞)上递减,则实数m 的取值范围为( ) A .(-1,0) B .[-1,0) C .(-∞,-1]D .[-1,0]解析:选D 当m =0时,f (x )=-2x +3在R 上递减,符合题意;当m ≠0时,函数f (x )=mx 2-2x +3在[-1,+∞)上递减,只需对称轴x =1m ≤-1,且m <0,解得-1≤m <0,综上,实数m 的取值范围为[-1,0].6.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-4x +6,x ≥0,x +6,x <0,则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A .(-3,1)∪(3,+∞)B .(-3,1)∪(2,+∞)C .(-1,1)∪(3,+∞)D .(-∞,-3)∪(1,3)解析:选A ∵f (1)=3,∴不等式f (x )>f (1),即f (x )>3.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0,x 2-4x +6>3或⎩⎪⎨⎪⎧x <0,x +6>3,解得x >3或-3<x <1. 7.已知a ,b ,c ,d 都是常数,a >b ,c >d .若f (x )=2 017-(x -a )(x -b )的零点为c ,d ,则下列不等式正确的是( )A .a >c >b >dB .a >b >c >dC .c >d >a >bD .c >a >b >d解析:选D f (x )=2 017-(x -a )(x -b )=-x 2+(a +b )x -ab +2 017,又f (a )=f (b )=2 017,c ,d 为函数f (x )的零点,且a >b ,c >d, 所以可在平面直角坐标系中作出函数f (x )的大致图象,如图所示,由图可知c >a >b >d ,故选D.8.(2017·浙江高考)若函数f (x )=x 2+ax +b 在区间[0,1]上的最大值是M ,最小值是m ,则M -m ( )A .与a 有关,且与b 有关B .与a 有关,但与b 无关C .与a 无关,且与b 无关D .与a 无关,但与b 有关解析:选B f (x )=⎝⎛⎭⎫x +a 22-a24+b , ① 当0≤-a 2≤1时,f (x )mi n =m =f ⎝⎛⎭⎫-a 2=-a 24+b ,f (x )max =M =max{f (0),f (1)}=max{b,1+a +b }, ∴M -m =max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 24,1+a +a 24与a 有关,与b 无关;②当-a2<0时,f (x )在[0,1]上单调递增,∴M -m =f (1)-f (0)=1+a 与a 有关,与b 无关; ③当-a2>1时,f (x )在[0,1]上单调递减,∴M -m =f (0)-f (1)=-1-a 与a 有关,与b 无关. 综上所述,M -m 与a 有关,但与b 无关. 二、填空题9.已知幂函数f (x )=x -m 2+2m +3(m ∈Z )在(0,+∞)上为增函数,且在其定义域内是偶函数,则m 的值为________.解析:∵幂函数f (x )在(0,+∞)上为增函数, ∴-m 2+2m +3>0,即m 2-2m -3<0,解得-1<m <3. 又m ∈Z ,∴m =0或m =1或m =2.当m =0或m =2时,f (x )=x 3在其定义域内为奇函数,不满足题意;当m =1时,f (x )=x 4在其定义域内是偶函数,满足题意.综上可知,m 的值是1. 答案:110.二次函数y =3x 2+2(m -1)x +n 在区间(-∞,1)上是减函数,在区间[1,+∞)上是增函数,则实数m =________.解析:二次函数y =3x 2+2(m -1)x +n 的图象的开口向上,对称轴为直线x =-m -13,要使得函数在区间(-∞,1)上是减函数,在区间[1,+∞)上是增函数,则x =-m -13=1,解得m =-2.答案:-211.(2018·南通一调)若函数f (x )=ax 2+20x +14(a >0)对任意实数t ,在闭区间[t -1,t +1]上总存在两实数x 1,x 2,使得|f (x 1)-f (x 2)|≥8成立,则实数a 的最小值为________.解析:由题意可得,当x ∈[t -1,t +1]时,[f (x )max -f (x )mi n ]mi n ≥8,当[t -1,t +1]关于对称轴对称时,f (x )max -f (x )mi n 取得最小值,即f (t +1)-f (t )=2at +a +20≥8,f (t -1)-f (t )=-2at +a -20≥8,两式相加,得a ≥8,所以实数a 的最小值为8.答案:812.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 3,x ≤a ,x 2,x >a ,若存在实数b ,使得函数y =f (x )-bx 恰有2个零点,则实数a 的取值范围为_______.解析:显然x =0是y =f (x )-bx 的一个零点; 当x ≠0时,令y =f (x )-bx =0得b =f (x )x ,令g (x )=f (x )x =⎩⎪⎨⎪⎧x 2,x ≤a ,x ,x >a ,则b =g (x )存在唯一一个解.当a <0时,作出函数g (x )的图象,如图所示,显然当a <b <a 2且b ≠0时,b =g (x )存在唯一一个解,符合题意; 当a >0时,作出函数g (x )的图象,如图所示, 若要使b =g (x )存在唯一一个解,则a >a 2,即0<a <1, 同理,当a =0时,显然b =g (x )有零解或两解,不符合题意. 综上,a 的取值范围是(-∞,0)∪(0,1). 答案:(-∞,0)∪(0,1) 三、解答题13.(2018·杭州模拟)已知值域为[-1,+∞)的二次函数f (x )满足f (-1+x )=f (-1-x ),且方程f (x )=0的两个实根x 1,x 2满足|x 1-x 2|=2.(1)求f (x )的表达式;(2)函数g (x )=f (x )-kx 在区间[-1,2]上的最大值为f (2),最小值为f (-1),求实数k 的取值范围.解:(1)由f (-1+x )=f (-1-x ),可得f (x )的图象关于直线x =-1对称, 设f (x )=a (x +1)2+h =ax 2+2ax +a +h (a ≠0), 由函数f (x )的值域为[-1,+∞),可得h =-1, 根据根与系数的关系可得x 1+x 2=-2,x 1x 2=1+h a ,∴|x 1-x 2|=(x 1+x 2)2-4x 1x 2= -4ha =2,解得a =1, ∴f (x )=x 2+2x .(2)由题意得函数g (x )在区间[-1,2]上单调递增, 又g (x )=f (x )-kx =x 2-(k -2)x . ∴g (x )的对称轴方程为x =k -22, 则k -22≤-1,即k ≤0,故k 的取值范围为(-∞,0].14.(2018·成都诊断)已知函数f (x )=x 2+ax +3-a ,若x ∈[-2,2],f (x )≥0恒成立,求a 的取值范围.解:f (x )=⎝⎛⎭⎫x +a 22-a24-a +3,令f (x )在[-2,2]上的最小值为g (a ). (1)当-a2<-2,即a >4时,g (a )=f (-2)=7-3a ≥0,∴a ≤73.又a >4,∴a 不存在.(2)当-2≤-a2≤2,即-4≤a ≤4时,g (a )=f ⎝⎛⎭⎫-a 2=-a24-a +3≥0, ∴-6≤a ≤2.又-4≤a ≤4, ∴-4≤a ≤2.(3)当-a2>2,即a <-4时,g (a )=f (2)=7+a ≥0,∴a ≥-7.又a <-4,∴-7≤a <-4.综上可知,a 的取值范围为[-7,2].1.设函数f (x )=ax 2+bx +c (a >b >c )的图象经过点A (m 1,f (m 1))和点B (m 2,f (m 2)),f (1)=0.若a 2+[f (m 1)+f (m 2)]·a +f (m 1)·f (m 2)=0,则( )A .b ≥0B .b <0C .3a +c ≤0D .3a -c <0解析:选A 由f (1)=0可得a +b +c =0,若a ≤0,由a >b >c ,得a +b +c <0,这与a +b +c =0矛盾,故a >0,若c ≥0,则有b >0,a >0,此时a +b +c >0,这与a +b +c =0矛盾;所以c <0成立,因为a 2+[f (m 1)+f (m 2)]·a +f (m 1)·f (m 2)=0,所以(a +f (m 1))(a +f (m 2))=0,所以m 1,m 2是方程f (x )=-a 的两个根,Δ=b 2-4a (a +c )=b (b +4a )=b (3a -c )≥0,而a >0,c <0,所以3a -c >0,所以b ≥0.2.设函数f (x )=2ax 2+2bx ,若存在实数x 0∈(0,t ),使得对任意不为零的实数a ,b ,均有f (x 0)=a +b 成立,则t 的取值范围是________.解析:因为存在实数x 0∈(0,t ),使得对任意不为零的实数a ,b ,均有f (x 0)=a +b 成立, 所以2ax 2+2bx =a +b 等价于(2x -1)b =(1-2x 2)a . 当x =12时,左边=0,右边≠0,即等式不成立,故x ≠12;当x ≠12时,(2x -1)b =(1-2x 2)a 等价于b a =1-2x 22x -1,设2x -1=k ,因为x ≠12,所以k ≠0,则x =k +12,则b a =1-2⎝⎛⎭⎫k +122k =12⎝⎛⎭⎫1k -k -2. 设g (k )=12⎝⎛⎭⎫1k -k -2, 则函数g (k )在(-1,0),(0,2t -1)上的值域为R . 又因为g (k )在(-∞,0),(0,+∞)上单调递减, 所以g (k )在(-1,0),(0,2t -1)上单调递减,故当k ∈(-1,0)时,g (k )<g (-1)=-1;当k ∈(0,2t -1)时,g (k )>g (2t -1)=12⎝⎛⎭⎫12t -1-2t -1,故要使值域为R ,则g (2t -1)<g (-1),即12t -1-2t -1<-2,解得t >1. 答案:(1,+∞) 高考研究课(二)指数函数的2类考查点——图象、性质 [全国卷5年命题分析]考点 考查频度 考查角度 指数函数的图象 5年3考 指数函数图象的应用 指数函数的性质 5年3考比较大小、求值指数函数的图象及应用[典例] (1)函数f (x )=e x ·x 2e 2x +1的大致图象是( )(2)(2018·广州模拟)若存在负实数使得方程2x -a =1x -1成立,则实数a 的取值范围是( )A .(2,+∞)B .(0,+∞)C .(0,2)D .(0,1)[解析] (1)因为f (-x )=e -x ·x 2e -2x +1=e x ·x 21+e 2x=f (x ),所以函数f (x )为偶函数,所以排除A 、D项.当x =0时,y =0,故排除B 项,选C.(2)在同一坐标系内分别作出函数y =1x -1和y =2x -a 的图象,则由图知,当a ∈(0,2)时符合要求.[答案] (1)C (2)C [方法技巧]指数函数图象问题的求解策略(1)画指数函数y =a x (a >0,a ≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a ),(0,1),⎝⎛⎭⎫-1,1a . (2)与指数函数有关函数图象的研究,往往利用相应指数函数的图象,通过平移、对称变换得到其图象.(3)一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解. [即时演练] 1.函数f (x )=2|x-1|的图象是( )解析:选B 由题意得f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x -1,x ≥1,⎝⎛⎭⎫12x -1,x <1,结合图象知,选B.2.(2018·衡水模拟)若曲线|y |=2x +1与直线y =b 没有公共点,则b 的取值范围是________.解析:曲线|y |=2x +1与直线y =b 的图象如图所示,由图可知:如果|y |=2x +1与直线y =b 没有公共点,则b 应满足的条件是b ∈[-1,1].答案:[-1,1]指数函数的性质1.(2018·滕州模拟)下列各式比较大小正确的是( ) A . B .0.6-1>0.62C .0.8-0.1>1.250.2D .解析:选B A 中,∵函数y =1.7x 在R 上是增函数,2.5<3,∴,故A 错误; B 中,∵y =0.6x 在R 上是减函数,-1<2, ∴0.6-1>0.62,故B 正确; C 中,∵0.8-1=1.25, ∴问题转化为比较∵y =1.25x 在R 上是增函数,0.1<0.2, ∴, 即0.8-0.1<1.250.2,故C 错误;D 中, ∵,0<, ∴,故D 错误.2.(2018·绍兴模拟)设偶函数f (x )满足f (x )=2x -4(x ≥0),则{x |f (x -2)>0}=( ) A .{x |x <-2或x >4} B .{x |x <0或x >4} C .{x |x <0或x >6}D .{x |x <-2或x >2}解析:选B ∵f (x )为偶函数, 当x <0时,f (x )=f (-x )=2-x -4.∴f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x -4,x ≥0,2-x -4,x <0,若f (x -2)>0,则有⎩⎪⎨⎪⎧ x -2≥0,2x -2-4>0或⎩⎪⎨⎪⎧x -2<0,2-x +2-4>0, 解得x >4或x <0.[方法技巧](1)比较两个指数幂大小时,尽量化同底或同指,当底数相同,指数不同时,构造同一指数函数,然后比较大小;当指数相同,底数不同时,构造两个指数函数,利用图象比较大小.(2)有关指数不等式问题,应注意a的取值,及结合指数函数的性质求解.角度二:与指数函数有关的函数值域问题3.已知0≤x≤2,则y=4x-12-3·2x+5的最大值为________.解析:令t=2x,∵0≤x≤2,∴1≤t≤4,又y=22x-1-3·2x+5,∴y=12t2-3t+5=12(t-3)2+12,∵1≤t≤4,∴t=1时,y max=52.答案:5 2[方法技巧]形如y=a2x+b·a x+c(a>0,且a≠1)型函数最值问题多用换元法,即令t=a x转化为y=t2+bt+c的最值问题,注意根据指数函数求t的范围.角度三:与指数函数有关的单调性问题4.若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,且a≠1),满足f(1)=19,则f(x)的单调递减区间是()A.(-∞,2] B.[2,+∞) C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]解析:选B由f(1)=19,得a2=19,解得a=13或a=-13(舍去),即f(x)=⎝⎛⎭⎫13|2x-4|.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上递减,在[2,+∞)上递增,所以f(x)在(-∞,2]上递增,在[2,+∞)上递减,故选B.5.已知函数f(x)=a|x+1|(a>0,且a≠1)的值域为[1,+∞),则f(-4)与f(1)的大小关系是________________.解析:∵|x+1|≥0,函数f(x)=a|x+1|(a>0,且a≠1)的值域为[1,+∞),∴a>1.由于函数f(x)=a|x+1|在(-1,+∞)上是增函数,且它的图象关于直线x=-1对称,则函数在(-∞,-1)上是减函数,故f(1)=f(-3),f(-4)>f(1).答案:f(-4)>f(1)[方法技巧]与指数函数有关的复合函数的单调性,要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成,要注意数形结合思想的运用.角度四:与指数函数有关的最值与参数问题6.设x ,y ∈R ,a >1,b >1,若a x =b y =3,a +b =23,则1x +1y 的最大值为( )A .2 B.32 C .1D.12解析:选C 由a x =b y =3,可得a =31x ,b =31y, 所以23=a +b =31x +31y≥23+11x y,则1x +1y ≤1,当且仅当x =y 时,等号成立. 故1x +1y的最大值为1. 7.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x -1,x >0,-x 2-2x ,x ≤0,若函数g (x )=f (x )+3m 有3个零点,则实数m 的取值范围是________.解析:因为函数g (x )=f (x )+3m 有3个零点,所以函数y =f (x )的图象与直线y =-3m 有三个不同的交点,作出函数y =f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x -1,x >0,-x 2-2x ,x ≤0的图象如图所示,则0<-3m <1,所以-13<x <0.答案:⎝⎛⎭⎫-13,0 1.(2013·全国卷Ⅱ)若存在正数x 使2x (x -a )<1成立,则a 的取值范围是( ) A .(-∞,+∞) B .(-2,+∞) C .(0,+∞)D .(-1,+∞)解析:选D 法一:不等式2x (x -a )<1可变形为x -a <⎝⎛⎭⎫12x.在同一平面直角坐标系内作出直线y =x -a 与y =⎝⎛⎭⎫12x的图象.由题意,在(0,+∞)上,直线有一部分在曲线的下方.观察可知,有-a <1,所以a >-1,选D.法二:由2x (x -a )<1得a >x -12x .令f (x )=x -12x ,即a >f (x )有解,则a >f (x )mi n .又y =f (x )在(0,+∞)上递增,所以f (x )>f (0)=-1, 所以a >-1,选D.2.(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +1,x ≤0,2x ,x >0,则满足f (x )+f ⎝⎛⎭⎫x -12>1的x 的取值范围是________.解析:由题意知,可对不等式分x ≤0,0<x ≤12,x >12讨论.当x ≤0时,原不等式为x +1+x +12>1,解得x >-14,∴-14<x ≤0.当0<x ≤12时,原不等式为2x +x +12>1,显然成立.当x >12时,原不等式为2x +2x -12>1,显然成立.综上可知,x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫-14,+∞. 答案:⎝⎛⎭⎫-14,+∞ 3.(2015·江苏高考)不等式2x 2-x <4的解集为________. 解析:∵2x 2-x <4,∴2x 2-x <22, ∴x 2-x <2,即x 2-x -2<0,∴-1<x <2. 答案:{x |-1<x <2}4.(2015·山东高考)已知函数f (x )=a x +b (a >0,a ≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a +b =________.解析:当a >1时,函数f (x )=a x +b 在[]-1,0上为增函数,由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a -1+b =-1,a 0+b =0无解.当0<a <1时,函数f (x )=a x +b 在[-1,0]上为减函数,由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a -1+b =0,a 0+b =-1,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =12,b =-2,所以a +b =-32.答案:-32一、选择题1.在同一直角坐标系中,函数f (x )=2x +1与g (x )=⎝⎛⎭⎫12x -1的图象关于( ) A .y 轴对称 B .x 轴对称 C .原点对称D .直线y =x 对称解析:选A ∵g (x )=21-x =f (-x ),∴f (x )与g (x )的图象关于y 轴对称.。
2019新版高中数学选修1电子书
2019新版高中数学选修1电子书封面/目录 (1)第一章集合与常用逻辑用语 (4)1.1 集合的概念 (5)1.2 集合间的基本关系 (10)1.3 集合的基本运算 (13)阅读与思考集合中元素的个数 (18)1.4 充分条件与必要条件 (20)1.5 全称量词与存在量词 (27)阅读与思考几何命题与充分条件、必要条件 (34)第二章一员二次函数、方程和不等式 (39)2.1 等式性质与不等式性质 (40)2.2 基本不等式 (47)2.3 二次函数与一元一次方程、不等式 (53)第三章函数的概念与性质 (62)3.1 函数的概及其表示 (63)阅读与思考函数概念的发展历程 (78)3.2 函数的基本性质 (79)信息技术应用用计算机绘制函数图像 (90)3.3 幂函数 (92)探索与发现探索函数y=x+1/x的图象与性质 (95)3.4 函数的应用(一) (96)文献阅读与数学写作函数的形成与发展 (100)第四章指数函数与对数函数 (106)4.1 指数 (107)4.2 指数函数 (114)阅读与思考放射性物质的衰减 (118)信息技术应用探究指数函数的性质 (123)4.3 对数 (125)阅读与思考对数的发明 (131)4.4 对数函数 (133)探究与发现互为反函数的两个函数图象间的关系 (138)4.5 函数的应用(二) (145)阅读与思考中外历史上的方程求解 (150)文献阅读与数学写作对数概念的形成与发展 (160)数学建模建立函数模型解决实际问题 (165)第五章三角函数 (170)5.1 任意角和弧度制 (171)5.2 三角函数的概念 (180)阅读与思考三角学与天文学 (189)5.3 诱导公式 (191)5.4 三角函数的图象与性质 (199)探究与发现函数y=Asin(ωx+φ)及函数y=Acos(ωx+φ) (206)探究与发现利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质 (211)5.5 三角恒等变换 (218)信息技术应用利用信息技术制作三角函数表 (227)5.6 函数y=Asin(ωx+φ) (234)5.7 三角函数的应用 (245)阅读与思考振幅、周期、频率、相位 (253)本书根据《普通高中数学课程标准(2017年版》编写,包括“集合与常用逻辑用语”“一元二次函数、方程和不等式”“函数的概念与性质”“指数丽数与对数函数"“三角函数”五章内容,集合是刻画一类事物的语言和工具,是现代数学的基础;常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分,是数学表达和交流的工具.在“集合与常用逻辑用语”的学习中,同学们将学习集合的概念、基本关系和运算,学习用集合语言刻画一类事物的方法;并学习用逻辑用语表达数学对象、进行数学推理,为高中数学学习做准备.相等关系和不等式关系是数学中最基本的数量关系,在“一元二次函数、方程和不等式”的学习中,同学们将类比等式学习不等式,通过梳理初中数学的相关内容,理解一元二次函数、一元二次方程和一元二次不等式之间的联系,从函数观点认识方程与不等式.感悟数学知识之间的关联,完成初高中数学学习的过渡.函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型,它的思想方法贯穿了高中数学课程的始终,在“函数的概念与性质”中,同学们将在初中的基础上,进一步学习运用集合与对应的语言刻画函数概念,学习丽数的基本性质,并通过幂函数的学习感受如何研究一个丽数,如研究的内容、思路和方法,进一步感受函数的思想方法和广泛应用.“指数爆炸”“对数增长”是生活中常见的变化现象,在“指数函数与对数函数"中同学们将类比幂函数的研究方法,学习指数函数与对数函数的概念、图象和性质.通过对儿类基本初等函数的变化差异的比较,体会如何根据变化差异选择合适的函数类型构建数学模型,刻画现实问题的变化规律,解决简单的实际问题.三角函数也是一类基本的、重要的函数,它是刻画现实世界中具有周期性变化现象的数学模型,在“三角函数”的学习中,同学们将学习借助单位圆建立一般三角函数的概念,学习三角函数的图象和性质,探索和研究三角函数之间的一些恒等关系,通过建立三角函数模型刻画周期变化现象,进一步体会函数的广泛应用.祝愿同学们通过本册书的学习,不但学到更多的数学知识,而且在数学能力、数学核心素养等方面都有较大的提高,并培养起更高的数学学习兴趣,形成对数学的更加全面的认识.我们知道,方程x-2在有理数范围内无解,但在实数范围内有解.在平面内,所有到定点的距离等于定长的点组成一个圆;而在空间中,所有到定点的距离等于定长的点组成一个球面,因此,明确研究对象、确定研究范围是研究数学问题的基础,为了简洁、准确地表述数学对象及研究范围,我们需要使用集合的语言和工具.事实上,集合的知识是现代数学的基础,也是高中数学的基础,在后面各章的学习中将越来越多地应用它.在本章,我们将学习集合的概念、基本关系和运算,学习用集合语言刻画一类事物的方法.逻辑用语是数学语言的重要组成部分,是数学表达和交流的工具,学习一些常用逻辑用语,可以使我们正确理解数学概念、合理论证数学结论、准确表达数学内容,逻辑用语也是日常交往、学习和工作中必不可少的工具,正确使用逻辑用语是每一位公民应具备的基本素养,本章我们将通过常用逻辑用语的学习理解使用逻辑用语表达数学对象、进行数学推理的方法,体会逻辑用语在表述数学内容和论证数学结论中的作用,学会使用集合和逻辑语言表达和交流数学问题,提升交流的逻辑性和准确性.1.1集合的概念在小学和初中,我们已经接触过一些集合,例如,自然数的集合,同一平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合(即圆)等,为了更有效地使用集合语言,我们需要进一步了解集合的有关知识,下面先从集合的含义开始.看下面的例子:(1)1-10之间的所有偶数;(2)立德中学今年入学的全体高一学生;(3)所有的正方形;(4)到直线1的距离等于定长d的所有点(5)方程1-3r+2-0的所有实数根;(6)地球上的四大洋.例(1)中,我们把1~10之间的每一个偶数作为元素,这些元素的全体就是一个集合;同样地,例(2)中,把立德中学今年入学的每一位高一学生作为元素,这些元素的全体也是一个集合.一般地,我们把研究对象统称为元素(element),把一些元素组成的总体叫做集合(set)(简称为集).给定的集合,它的元素必须是确定的,也就是说,给定一个集合,那么一个元素在或不在这个集合中就确定了.例如."1~10之间的所有偶数"构成一个集合,2.4,6.8.10是这个集合的元素,1.3,5,7.9,…不是它的元素;“较小的数”不能构成集合.因为组成它的元素是不确定的.一个给定集合中的元素是互不相同的,也就是说,集合中的元素是不重复出现的.只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.我们通常用大写拉丁字母A.B,C,…表示集合,用小写拉丁字母a,b,c,.表示集合中的元素.如果a是集合A的元素,就说a属于(belong to)集合A,记作aEA;如果a不是集合A中的元素,就说a不属于(not belong to)集合A,记作afA.。
2019年北师大版数学必修3课程纲要
数学必修3课程纲要课程类型:基础学科类课程资源:新编主持开发老师:参与开发老师:学习对象:高中一年级学生规模预设人一、课程元素1.课程内容本模块包含统计、算法初步、概率三部分内容.2.课程目标(1)统计了解普查的意义;结合具体的实际问题情境,理解随机抽样的必要性和重要性;在参与解决统计问题的过程中,学会用简单随机抽样法从总体中抽取样本;通过实例的分析,了解分层抽样和系统抽样方法.通过实例初步体会分布的意义和作用,在表示数据的过程中,学会列频率分布表、画频率分布直方图、频率折线图,并体会它们各自的特点;会从样本数据中提取数字特征(如平均数、标准差),并做出合理的解释.体会用样本估计总体的思想,会用样本的频率分布估计总体分布,会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征;初步体会样本频率分布和数字特征的随机性.利用散点图直观地认识变量间的相关关系,经历用不同的估算方法描述两个变量线性相关的过程;知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.(2)算法初步结合熟悉的算法,把握算法的基本思想,学会用自然语言来描述算法.通过模仿、操作、探索,经历通过设计框图表达解决问题的过程.在具体问题(如三元一次方程组求解等问题)的解决过程中,理解构图的三种基本逻辑结构:顺序、选择、循环.经历程序框图转化为程序语句的过程,理解几种基本算法语句——赋值语句、条件语句、循环语句,体会算法的基本思想.(3)概率在具体情境中,了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别.在正确理解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性的基础上,能辨析生活中的随机现象,改变生活中对概率的一些错误认识.通过实例,理解古典概型及其概率计算公式,会用列举法计算一些随机事件包含的基本事件数及事件发生的概率;通过实例,了解两个互斥事件的概率加法公式.能建立概率模型解决简单的实际问题,了解随机数的意义,了解模拟方法估计概率的实际应用,初步体会几何概型的意义,能够运用模拟方法估计概率.二、课程实施1.单元安排本模块安排24个课时.(具体安排见目录)2.学习时间安排学习时间从年月日至年月日.3.教材重难点分析第一章统计学习重点理解随机抽样的必要性和重要性,能用简单随机抽样方法抽取样本,了解分层抽样和系统抽样的方法;体会分布的意义和作用,在表示样本数据的过程中,学会列频率分布表、画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图,体会它们各自的特点;理解样本数据标准差的意义和作用,学会计算数据的标准差;对样本数据中提取的基本的数字特征(如平均数、标准差)做出合理的解释;体会用样本估计总体的思想,会用样本的频率分布估计总体分布,会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征;初步体会样本频率分布和数字特征的随机性;利用散点图直观地认识两个变量之间的相关关系;知道最小二乘法的思想;能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.学习难点对样本随机性的理解,三种抽样方法的区别及各自的优越性与局限性;选择适当的统计图表和数字特征来表达数据的信息;用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想,解决一些简单的实际问题;统计思维与确定性思维的差异,形成对数据处理过程进行初步评价的意识;总体分布的概念、回归思想的建立;理解回归直线与观测数据的关系.第二章算法初步学习重点算法的基本思想,算法的三种基本逻辑结构、基本算法语句的结构和用法,以及算法在解决实际问题中的应用.学习难点如何划分算法步骤;算法框图的画法;如何将算法框图转化为算法语句表示的程序;含有循环结构的算法,如何提炼出算法中的循环结构,并通过算法步骤、程序框图或算法语句进行表示.第三章概率学习重点概率与频率的区别;古典概型的两个基本特征及古典概型的概率计算公式;互斥事件的概率加法公式及对立事件的概率计算公式;模拟方法估计概率与几何概型的概率计算公式.学习难点频率与概率的关系;如何建立概率模型;设计和运用模型近似计算概率;实际应用问题中的概率计算.三、教学建议“学案导学法”根据不同的学习内容、不同的教学环节,教师可以采用三种不同的组织形式:分组讨论式、学生主讲式与教师主讲式.分组讨论式,把全班同学分成若干学习小组,一般按4至6名学生为一组划分,每个组都要有上中下三个层次的学生,指定其中一人为组长(也可以选举产生或自荐产生,过一段时间后需调换),由他组织学生进行自习讨论、分析讨论等活动,形成结论后推举一位为代表发言,与全班交流,其他人可以补充.各组之间可以采用多种形式的交流、竞赛等.注意:此种组织形式如果组织不当,将导致学生学习成绩两极分化更加严重.为避免这种情况,在采用此种组织形式时,需培养后进生,提高他们的学习成绩,教师要有意识地引导小组其他同学,尽量让他们鼓励后进生积极发言参与讨论或作为本组代表进行展示.学生主讲(教师在旁边指导)式,可由教师指定一人(也可以是几位学生合作,主讲人由学习小组推荐或自荐),先自行学习(与同学讨论及请求老师帮助与指导),然后在班级内主讲,主讲过程中教师要给予必要的指导和帮助.教师主要是利用他的学习活动带动全班学习.注意:此种组织形式如果组织不当,将会把学习成绩较差的、比较内向的学生排斥在外,需要十分重视.因此采用此种组织形式时,教师要有意识地让学习成绩中下的学生参与主讲,要多加鼓励,以提高他们学习的积极性.如果是学习成绩较好的学生进行主讲,那么,教师要积极引导学习成绩中下的学生提出点评(教师可以给予提示或帮助).教师主讲式,就是教师主讲,采用设疑、提问、解惑、拓展等手段,引导学生认识、理解、掌握、探索,从而起到能力提升与素质提高的作用.这里的主讲式与原教学大纲时的主讲式是截然不同的,原主讲式近似于“报告式”,这里是“主持讨论式”,任何学生都可以提出不同意见,教师也可以故意设置陷阱,以揭示问题.注意:此种组织形式极易让课堂回归到原来教师一言堂的授课方式,因此,教师务必在问题设置、设疑提问、点拨探究等方面引起充分重视.这三种组织形式可以说是构成“学案导学法”的三个教学元素,教师要根据学习内容、学习时间、学生状态统筹兼顾,灵活安排,进行科学的组合,以充分发挥教学的有效性.四、课程观察安排本模块教学过程中,安排观察课两次,具体如下:五、测试与评估本模块结束后,采用书面考试的形式对学生的学习情况进行测试评估,考试时间120分钟,满分150分,题目难度比为容易题∶中档题∶难题=5∶4∶1.由学校统一组织命题,由教研组安排教师统一阅卷,测试成绩达到90分以上的均可获得2学分,对测试达不到标准的学生,给予一次补考机会.六、使用说明(一)构成本书集预、导、固、思四层级于一体,是一本真正意义上的导学案.本书给广大师生提供了一个选择的平台.学校、教师在使用时要根据各个学校的实际情况,其中包括学校课时安排、学生学习基础情况、学生学习态度情况、学校硬件设施情况等,对本导学案所列内容进行有效调整(如取舍、增减、重组等).每个模块都设置了《课程纲要》,目的是让学生能全面了解本模块的知识构成、课程目标、学习重点与难点及大致的学习时间与方法.它包含如下几个部分:课程元素:包括课程内容、课程目标.课程实施:包括课时安排、学习时间安排、教材重难点分析.教学建议:主要介绍“学案导学法”的几种组织形式.每章开始都设置了课标要求、单元结构和教学建议.课时结构以知识分类、知识综合、知识应用、知识拓展等形式描述出了本章的知识结构及与其他知识的联系,形成了完整的知识体系.(二)课时安排本书根据新课程标准与学校的教学实际情况,以方便教师教学与学生学习为目的,进行了科学的课时划分.此外,为方便教师进行每章复习与模块复习,每章结束与模块结束后均设置了复习课及章末测试与模块测试,供教师选择使用.(三)课时结构每课时分四个学习目标进行编写,方便学生自习与讨论.每课时开始,首先安排了《学习清单》,给学生指明了通过本课时的学习要达到的目标,让学生明确学习目标,起到“导向”的作用.第一层级为《知识记忆与理解》,包含两个内容:一是《自主预学》,创设一个学生感兴趣又简单的情境,主要是引导学生认真阅读教材,一方面掌握书本基础知识,另一方面掌握“自习方法”,实施“依法自习”;二是《自我检测》,主要是检测学生对教材的基础知识的理解,初步学会运用基础知识分析和解决问题,通过群学发现预习中出现的问题,并做好笔记,是“导思”的初级阶段.第二层级为《思维探究与创新》,针对本课时的重点难点知识,结合近年来高考趋势设计出具有代表性的探究题型,引导学生应用教材知识,通过“方法指导与解析”,解决有关问题,达到能力与技能的提升,通过变式设问,让学生突破难点,发现探究点的关键,通过针对训练巩固学习内容,达到举一反三,学以致用的目的.第三层级为《技能应用与拓展》,包含两个内容:一是《当堂检测》,主要是引导学生应用前面所学的基础知识通过智能化、迁移化,解决一些具有灵活性的基础问题;二是《素养提升》与《拓展延伸》,其中《素养提升》通过创设情境,提出问题,启发学生深度思考,提升数学学科素养.第四层级为《总结评价与反思》,包含三个内容:一是《知识重构》,主要是根据学生的学习特点、思维情况、学习效果等方面对重点难点用形象的图形来复述;二是《学习总结》,主要是要求学生根据自身对本节课的参与情况、学习效果、学习体会等方面作出一个客观的评价;三是《固学案》,供学生课后巩固训练用,根据难度设置基础达标(水平一)、拓展提升(水平二)二个层次,学生可以根据自身情况有选择地练习.(四)课时学案的使用方法在进行教学时,教师应根据学校、学生的实际情况对导学案中的有关内容进行必要的选择与增减.对导学案的使用,一般按“自主预学、合作交流——预习检测、展示质疑——精讲点拨、当堂检测——课外拓展、反思评价”的循环形式,循序渐进.具体操作模式:要根据班级情况(学生学习基础与人数)确定分成若干学习小组,注意这里说的学习小组与原来班级的行政小组是有区别的,行政小组是属于班级组长管理范畴,各个学科是相同的,是相对固定的,由班主任负责分组;学习小组是由各学科教师根据教学需要而划分的,各个学科可以是不相同的,而且它呈现动态架构形式,一段时间后学科教师应根据小组学习状态进行适当调整.每个组设立一名组长,各组之间学习成绩层次的人数应基本相同.第一环节自主预学、合作交流在上课前由各小组对学案所列的内容(包括第一、二学习目标的所有内容)进行讨论,共同分析研究,完成所有问题.这项工作都是在课外进行的,时间一般为40~50分钟.教师在课前把学案交给组长,由他组织组员进行自习与讨论.要做到定时间、定地点、定内容,一般分三步进行.第一步:自主学习.根据学案所列的问题,由学生自行阅读教材,完成第一、二层级学习目标所列的两类问题(允许有些问题不会或解答错误).这一步工作要求学生独立完成,一般限时15~20分钟.学生完成后按要求交给组长,然后交换批改.注意问题:学习自觉性较差的学生可能不会完成任务,基础较差的学生会无法完成任务.采取措施:对学习自觉性较差的学生采取一定的强制手段,规定他们必须完成,给组长以批评教育的权力,教师要加强思想工作;对基础较差的学生,一段时间内可以允许他们只完成部分问题,要求他们先做到认真、自主,然后逐步提高要求,必要时教师可以预先给予适当的辅导.第二步:互相讨论.对第一步中出现的不同意见、第二层级学习目标所列问题,学生在组内展开讨论,形成统一意见,完成任务.这一步一般限时30分钟左右.注意问题:①讨论过程成为学习成绩较好的学生的“主题发言”过程,学习成绩较差与性格内向的学生默不作声,不发表意见.②错误意见或不成熟意见成为学生取笑的对象,久而久之,那些学生就不参加讨论了.采取措施:教师要注意引导学习成绩较好的学生一方面先不要抢着发言,另一方面要启发其他同学发言;对学习成绩较差与性格内向的学生要注意肯定、鼓励、表扬,让他们找到自信,达到踊跃参与的目的.第三步:达成共识.通过前两步的学习,在组内形成统一意见,并选出在课内展示的代表,鼓励组内学生自我推荐.同时对全组成员给出适当评价,并要求组内同学在讨论结束后继续反思讨论的过程与有关结论,对新发现、新问题鼓励组员在课堂展示时发表意见.注意问题:学习成绩较差与性格内向的学生不敢参与课堂展示.采取措施:初期采取一定的强制性措施,教师要动员学习成绩较好的学生帮助其他同学做好展示的准备工作.特别说明:对于一些内容比较少、比较容易的课时,第一环节也可以放在课堂内完成,但这只是在时间上的不同处理,在讨论方法、步骤、注意问题等方面都不能变化.第二环节预习检测、展示质疑在课堂上,各组派代表在演示板(黑板、屏幕等)上展示各自的研究成果,组内成员可对此予以补充或说明.课堂展示是“学案导学法”的关键一环,对不同的问题要采用不同的展示形式,这一环节一般分三步进行.第一步:简单展示.第一层级学习目标所列问题一般可采用简单展示法,即由某个小组成员报出答案,教师直接在演示板上显示,其他各组如无异议,就不必议论,教师也只作简单总结或拓展.这段时间一般限制在5~8分钟.第二步:预习检测.学生完成《自我检测》中的内容,然后小组成员进行答案对比,统一答案后各小组展示检测结果,对各组间发现不同答案时进行讨论,直到发现错误为止,教师最后对各组的预习效果进行简单评价.第三步:综合展示.第二层级学习目标所列问题一般采用综合展示法,即对某个问题先由某个小组成员展示出他们讨论的结论(课堂内一般是几个组同时进行,同一时间展示出所列的全部问题),组内成员可以补充,教师组织其他各组分别对各个问题的结论进行讨论、批评、修改或提出其他结论与方法,教师对大家所提问题、结论、方法等作出总结或拓展.对具有拓展性的问题可采用启发式展示法,即在教师的启发、点拨、提醒、引导下对问题逐步深入,挖掘规律性的结论.这段时间一般限制在25~30分钟.这一环节的注意问题与采取措施列表如下:第三环节精讲点拨、当堂检测教师总结归纳(也可以由学生进行归纳),把讨论得出的结论归纳成一般的理性结论,提炼解题的一般方法.同时对本课时学习情况进行总结,肯定成绩,指出问题及改进要求,然后各组间以小组为单位做成一份《当堂检测》的答案,与教师给出的标准答案进行对比,对出现的错误和问题,各组间课后相互讨论并解决.第四环节课外拓展、反思评价学生自主完成作业,完成后交由小组交流批改,教师也可以指定此项训练交由教师批改,完成后学生先各自反思本课时的学习过程,总结经验教训,再由小组或教师对每个学生这节课的学习情况(如学习态度、自觉性、创新性、成效性、进步性等)作出一个评价.评价要从鼓励进步的角度出发,作出有利于学生更好地发挥学习积极性的评价.这个环节一般需要一个小时左右.完成这一环节工作后,即转入下一课时的第一个环节,事实上,上一课时的第四环节与下一课时的第一环节是连在一起进行的.第1章统计统计是研究如何合理地收集、整理、分析数据的学科,它可以为人们制定决策提供依据.在日常生活中,人们常常需要收集数据,根据所获得的数据提取有价值的信息,做出合理的决策.统计基础知识已经成为一个未来公民的必备常识.收集、整理和分析数据,可增强我们的社会实践能力、解决问题的能力,增强学习数学的兴趣.教学的重点有:统计问题的提取,简单随机抽样、分层抽样和系统抽样的方法与步骤,频率分布直方图、频率折线图、茎叶图的特点及应用,样本数据的数字特征(如平均数、标准差),利用散点图直观地认识变量间的相关关系,根据线性回归方程系数公式建立线性回归方程.教学的难点有:理解样本的随机性,用样本估计总体的思想,理解总体分布概念,建立统计思维、回归思想,理解回归直线与观测数据的关系.本章在教学中多采用学生自主研究法,让学生亲身体验各类现实中的问题,找到解决问题的方法.处理数据时可让学生体验一下计算机(或计算器)的强大作用,但同时也要让学生学会如何有条理地手动处理大量数据.本章内容是在初中“统计初步”的基础上学习的,因此,要对相关概念进行回顾与复习.对于抽样方法,要通过实例说明它们抽到每个个体的机会的均等性,即抽样的公平性.对于用样本的频率分布估计总体分布,要让学生理解用样本估计总体的统计思想以及可能存在误差的分析.对于变量相关性方面要让学生理解从不确定到确定的转化过程,体会实际问题数学化的思想.通过本章的学习要培养学生对数据的收集、整理和分析的能力,增强社会实践能力,增强解决问题的能力,培养学习数学的兴趣.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
……
redCar.brake(); greenCar.speedUp();
9
2 面向对象基本特征
• 封装:将对象的数据和基于数据的操作封装 在一起
封装使用方法将类的数据隐藏起来,控制用户 对类的修改和访问数据的程度。
• Java语言中,基本类型作为参数均采用传值 (passing –by- value)的方式完成,也就是, 对形参的任何改动都不会影响到实参。
• 而引用类型变量作为参数传递时,采用的是 引用传递(passing-by-reference)的方式,在方 法体中对形参的改动将会影响到原来的变量。
• 例MethodArgment.java
11
Type Brand
Vehicle
Type Brand Horn
Bicycle
Type Brand
Airbag Engine
Type Brand Seats
MotorVehicle
Airplane
12
多态
• 一个程序中同名的不同方法共存
• 不同类的对象可以响应同名的方法 , 具体的实现方法却不同
My car No. is : 3456
System.out.println (“My car No. is : ”+car_number);
}
22
}
• 或者把main()也放入Car类里,文件名为Car.java,适 用于代码少的程序。
public class Car {
int car_number;
2
1、面向对象的概念
• 面向对象的程序设计
–与结构化程序设计方法相比,更符合人类 认识现实世界的思维方式
–已成为程序设计的主流方向 –涉及的主要概念
• 封装 • 继承 • 多态
3
1.1 对象
–现实世界中 • 万物皆对象 • 都具有各自的属性(名词),对外界都 呈现各自的行为(动词)
–程序中 • 一切都是对象 • 都具有标识 (identity), 属性和行为(方法) –通过一个或多个变量来保存其状态 –通过方法(method) 实现他的行为
class Car {
int color_number; int door_number; int speed;
void brake() { … } void speedUp() {…} void slowDown() { … } } }
14
• 关键字
–Class • 表明其后声明的是一个类。
–extends •父类的名字应写在extends之后
• 在内存中为此对象分配内存空间
–引用变量的初值为null,也可以被赋以空值
例如:CarDemo=null; 见例:CircumferenceTest.java
26
4.2 对象的初始化 (Object Initialization)
• 与C++相似,新创建对象的初始化是通 过构造方法(constructor)来完成
24
4.1 对象的创建
• 对象的声明 –格式
类名 变量名 例如Car是已经声明的类名,则下面语句 声明了一个CarDemo对象(也叫做实例) Car CarDemo;
25
• 对象的创建
–生成实例的格式: new <类名>() 例如: CarDemo=new Car()
或者声明与创建合为一步: Car CarDemo = new Car(); 其作用是:
第三章 类与对象
1
主要内容
1、面向对象的概念 2、面向对象的基本特征 3、类,变量,数据成员与方法 4、对象的创建,初始化 5、static ,final变量及方法 6、方法重载 7、This关键字 8、对象的回收 9、包 10、Java基础类库 11、类的访问控制 参考thinking in java第一,四,五章 郑莉版教材第二章,第四章4.6 李发致版教材第三章,第四章4.2,4.4.1, 4.4.2
8
• 例如:类 Car 及 Car 的对象 抽象数据类型 Car
Class Car {
String color; int door_number; int speed;
void brake() { … } void speedUp() {…} void slowDown() { … }
}
Car 的对象们:
–一个带有构造方法的Cat类 例:MyConstructor.java
27
4.2.1 构造方法定义
构造方法的特点 • 一种和类同名的特殊方法 • 没有返回类型,修饰符void也不能有 • 通常被声明为公有的(public) • 可以有任意多个参数 • 主要作用是完成对象的初始化工作 • 不能在程序中显式的调用 • 在生成一个对象时,系统会自动调用该
公有数据 私有数据
数据
方法
方法
10
对象A
对象B
继承 • 有助于软件的重用性,使程序结构清晰,
降低了编码和维护的工作量 • 新的类可以获得已有类(称为超类、基
类或父类)的属性和行为,称新类为已 有类的派生类(也称为子类) • 在继承过程中派生类继承了基类的特性, 包括方法和变量 • 派生类也可修改继承的方法或增加新的 方法,使之更适合特殊的需要
• 如果直接调用默认的toString(),返回结果形式 为: 对象类的名字@对象的地址。
29
• 编译后运行结果如下:
– TimeStamp@7d772e
• 解释 –@之后的数值为对象newTime所指的 存储地址。
30
• 如果自己重写TimeStamp.java, 将对象的 内容转换为字符串,再输出到屏幕。见例: TimeStamp2.java
[static][ final][abstract] [synchronized] 返回类型 方法名([参数列表]) [throws exceptionList]
{ 方法体
}
• 返回类型可以是任意的Java数据类型,当一个方法不
需要返回值时,返回类型为void。
20
方法的参数传递
• 参数的类型可以是基本数据类型,也可以是 引用类型。
{
Car DemoCar=new Car();
DemoCar.set_number(3456);
DemoCar.show_number();
}
}
23
4、对象的创建,初始化
• 对象的创建与C++类似,同样的 Java也提供了构造方法 (constructor)在对象创建时被自动 调用,进行对象初始化。
–格式说明
• Public,protected,private 为访问控制符, • static指明这是一个静态成员变量(类变量) • final指明变量的值不能被修改
19
3.3 方法
• 方法是在类中定义,用来实现对象操作的函数。
– 声明格式
[public | protected | private]
• 使语言具有灵活、抽象、行为共享、 代码共享的优势,很好地解决了应 用程序方法同名问题
13
3、类,变量,数据成员及方法
——3.1 类的声明
• 声明形式
[public] [abstract | final] class 类名称 [extends 父类名称] [implements 接口名称列表] { 数据成员声明及初始化; (field, constructor) 方法声明及方法实现; (method declaration) }
–方法声明及方法实现
• 可以有多个
16
例:钟表类 Clock.java public class Clock { // 成员变量 int hour ; int minute ; int second ;
// 成员方法
public void setTime(int newH, int newM, int newS)
{
hour=newH ;
minute=newM ;
second=news ;
}
public void showTime()
{
System.out.println(hour+":"+minute+":"+second);
}
}
17
3.2 数据成员
• 数据成员包括基本数据类型和引用 类型的数据。也就是Java中任意的数
21
一个简单的类:类的定义放在
Car.java里,测试代码放入 class CarDemo CarDemo.java里,运行时, { 这两个文件放在同一目录下 public static void main(String args
。或者两段代码放在同一文 件CarDemo.java
class Car
System.out.println();
32
4.2.2 构造方法种类
1)系统提供的默认构造方法 –如果在类的声明中没有声明构造方法, 则Java编译器会提供一个默认的构造 方法。 –默认的构造方法没有参数,其方法体 为空。
33
• 声明一个银行帐号类BankAcount存于 文件BankAccount.java,及测试代码 BankTester, 放于BankTester.java, 这两 个文件放在同一个路径下。
类的构造方法为新生成的对象初始化 28
String toString()
• String toString()是一个经常用到的方法,当需 要把一个对象输出到屏幕,就要用到此方法.