多元函数微分法及其应用多元函数的偏导数
多元函数的全微分与偏导数
多元函数的全微分与偏导数多元函数是数学分析中非常重要的一个概念，它描述了多个自变量对应的函数值的变化规律。
全微分和偏导数则是研究多元函数性质的重要工具。
在本文中，我们将探讨多元函数的全微分与偏导数的定义、性质和应用。
一、全微分的概念与性质1.1 全微分的定义设函数 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 在点$(x_{1_0},x_{2_0},\cdots,x_{n_0})$ 具有一阶连续偏导数，则在该点的全微分为：$$\mathrm{d} f=f_{x_1}\mathrm{d} x_1+f_{x_2}\mathrm{d}x_2+\cdots+f_{x_n}\mathrm{d} x_n$$其中 $f_{x_i}$ 表示 $f$ 对 $x_i$ 的偏导数，$\mathrm{d}x_i$ 表示 $x_i$ 的微小增量。
1.2 全微分的性质全微分具有以下性质：（1）全微分的值与路径无关。
即，从点 $A$ 到点 $B$ 的全微分值相等。
（2）全微分对各变量的求导顺序不影响结果。
（3）全微分的二阶导数与求导顺序无关。
二、偏导数的定义与求解方法2.1 偏导数的定义函数 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 对自变量 $x_i$ 的偏导数定义为：$$\frac{\partial f}{\partial x_i}=\lim_{\Delta x_i\rightarrow0}\frac{f(x_1,x_2,\cdots,x_{i-1},x_i+\Delta x_i,x_{i+1},\cdots,x_n)-f(x_1,x_2,\cdots,x_n)}{\Delta x_i}$$偏导数表示 $f$ 在某一自变量上的变化率。
2.2 偏导数的求解方法对于多元函数 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$，求偏导数的方法如下：（1）保持其他自变量不变，对于某个自变量求导数。
（2）对于每个自变量都求一遍偏导数。
多元函数的偏导数与全微分的计算及应用
多元函数的偏导数与全微分的计算及应用多元函数是指具有多个自变量的函数，其偏导数与全微分的计算和应用是数学分析中重要的概念和工具。
本文将介绍多元函数的偏导数和全微分的计算方法，并探讨其在实际问题中的应用。
一、多元函数的偏导数计算多元函数的偏导数是指函数对于某个自变量的变化率。
对于一个自变量的偏导数，我们将其他自变量视为常数。
偏导数的计算方法如下：1. 对于一个自变量的偏导数：对于函数f(x1,x2,...,xn)，我们对第i个自变量求偏导数，表示为∂f/∂xi。
2. 对于多个自变量的偏导数：对于函数f(x1,x2,...,xn)，我们对多个自变量同时求偏导数，表示为∂f/∂xi,...,∂f/∂xn。
需要注意的是，多元函数的偏导数存在交换律，即求任意两个自变量的偏导数的次序可以交换。
二、多元函数的全微分计算多元函数的全微分是指函数在某一点附近的线性近似，表示为df = ∂f/∂x1 dx1 + ∂f/∂x2 dx2 + ... + ∂f/∂xn dxn。
全微分可以看作是偏导数的线性组合，其中∂f/∂xi表示函数对第i个自变量的灵敏度，dxi表示自变量的变化量。
三、多元函数的偏导数与全微分的应用1. 最值问题：通过计算偏导数，可以找到函数的局部极大值和极小值。
当偏导数为零或不存在时，可能存在驻点或临界点，进一步分析可以确定最值点。
2. 泰勒展开：通过计算全微分，可以得到函数在某一点附近的二阶导数信息，进而展开为泰勒级数，用于函数的近似计算。
3. 线性化分析：通过计算全微分，可以将非线性问题线性化处理，简化问题的求解过程。
在工程和科学领域中，常常使用这种方法来解决复杂的非线性问题。
4. 向量场与梯度：多元函数的梯度可以看作是一个向量场，表示了函数在各个方向上的变化率。
通过计算梯度，可以揭示函数在不同方向上的变化规律。
5. 链式法则：当函数的自变量是另一个函数的输出时，可以使用链式法则计算偏导数和全微分。
多元函数的偏导数与全微分的概念及应用
多元函数的偏导数与全微分的概念及应用多元函数是指存在于多元空间中的函数，其自变量个数大于等于2个。
对于多元函数，我们需要引入偏导数和全微分的概念来描述其变化情况和应用。
概念：偏导数是多元函数在某一点沿着坐标轴方向的变化率，可以理解为函数对于某一个自变量的变化的敏感程度。
对于二元函数f(x, y)，偏导数可以用∂f/∂x和∂f/∂y表示。
其中，∂f/∂x表示函数f对x的偏导数，y视为常数；∂f/∂y表示函数f对y的偏导数，x视为常数。
全微分是描述多元函数在某个点附近的变化的线性逼近。
对于二元函数f(x, y)，全微分可以用df表示。
全微分df包含两部分：一部分是偏导数对自变量的改变的斜率；另一部分是自变量的微小变化引起的函数的增量。
全微分df可以表示为df= (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy。
应用：1. 最值判定：偏导数可以帮助我们找到多元函数取得最值（极大值或极小值）的点。
根据拉格朗日乘子法、极值判定条件等方法，通过计算偏导数和求解方程组可以找到函数取得最值的点。
2. 曲面方程：通过求偏导数，我们可以得到曲面在某个点的切线方程和法向量。
这对于研究曲面的性质和描述其形态十分重要。
3. 实际问题的建模：多元函数的偏导数和全微分在数理物理、经济学、工程学等学科中有着广泛的应用。
例如，在经济学中，我们可以通过求函数关于某个变量的偏导数，得到该变量对函数的影响程度，从而分析经济关系和做出合理决策。
4. 方向导数与梯度：偏导数和全微分还可以帮助我们研究函数在某个点上沿着某个方向的变化情况。
方向导数可以通过偏导数和方向向量的内积来求取。
梯度则是一个向量，包含了函数在某个点上沿着变化最快的方向和变化率。
梯度的方向是函数值增长最快的方向，大小则表示了函数值增长的速度。
总结：多元函数的偏导数和全微分是研究多元函数的重要工具，可以帮助我们理解函数的变化规律、寻找最值、建立模型和分析实际问题。
在实际应用中，熟练掌握多元函数的偏导数和全微分的计算方法和性质，对于解决实际问题具有重要的意义。
多元函数的偏导数与全微分的关系及计算方法
多元函数的偏导数与全微分的关系及计算方法一、多元函数的偏导数与全微分的定义和关系在多元函数中，每个自变量都可以对应一个偏导数。
偏导数表示在其他自变量保持不变的情况下，函数对某个自变量的变化的敏感程度。
而全微分则是函数在一个点附近的近似变化。
1. 偏导数的定义多元函数$f(x_1, x_2, \cdots, x_n)$关于$x_i$的偏导数，表示在$x_i$方向上的变化率，记作$\frac{\partial f}{\partial x_i}$。
其中，$\frac{\partial}{\partial x_i}$表示对$x_i$求偏导数的运算符。
2. 全微分的定义多元函数$f(x_1, x_2, \cdots, x_n)$在点$(x_1, x_2, \cdots, x_n)$处的全微分，表示函数在此点的一个近似变化，记作$df$。
全微分可以通过各个偏导数的线性组合表示，即$df = \frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2}dx_2 + \cdots + \frac{\partial f}{\partial x_n}dx_n$。
3. 偏导数与全微分的关系根据全微分的定义可以得到以下关系：$$df = \frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2}dx_2 +\cdots + \frac{\partial f}{\partial x_n}dx_n$$这说明全微分$df$可以看作各个偏导数乘以相应自变量的微小变化量的累加。
二、多元函数的偏导数与全微分的计算方法计算多元函数的偏导数和全微分需要运用一些特定的计算方法，下面将介绍一些常用的方法。
1. 隐函数求导当多元函数以隐函数的形式给出时，可以通过隐函数求导的方法来计算偏导数。
多元函数的偏导数与全微分计算
多元函数的偏导数与全微分计算多元函数在数学领域中起着重要的作用，研究多元函数的性质和变化趋势需要借助于偏导数和全微分的概念和计算方法。
本文将介绍多元函数的偏导数和全微分的定义、性质及其计算方法。
一、偏导数的定义与计算方法偏导数是多元函数对于某个变量的导数，其定义如下：对于函数 $z = f(x_1, x_2, \dots, x_n)$，其中 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 是自变量，$z$ 是函数的因变量。
函数 $f$ 在某一点处对于自变量$x_i$ 的偏导数定义为：$\frac{\partial z}{\partial x_i} = \lim_{\Delta x_i \to 0} \frac{f(x_1, x_2, \dots, x_i + \Delta x_i, \dots, x_n) - f(x_1, x_2, \dots, x_n)}{\Delta x_i}$计算偏导数时，可以将多元函数看作其他变量不变，只对某一变量求导的单变量函数。
常用的计算方法有以下几种：1. 隐函数求导法当多元函数以隐式形式给出时，可以使用隐函数求导法计算偏导数。
通过对方程两边同时求导，并利用链式法则可以得到偏导数的表达式。
2. 显函数求导法当多元函数以显式形式给出时，可以直接对每个变量求导，其他自变量视作常数。
逐个变量求导后得到各个偏导数。
3. 参数方程法对于由参数方程表示的多元函数，在参数的每个分量上分别求导，并利用链式法则计算出各个偏导数。
二、偏导数的性质偏导数具有以下一些性质：1. 交换性对于偏导数来说，次序并不重要，即换序后得到的偏导数结果相同。
$\frac{\partial^2 z}{\partial x_i \partial x_j} = \frac{\partial^2 z}{\partialx_j \partial x_i}$2. 连续性如果多元函数 $f$ 的偏导函数 $\frac{\partial f}{\partial x_i}$ 在某一点连续，那么该点处的偏导数存在。
§8-4__多元复合函数的微分法及偏导数的几何应用
8.4多元复合函数的微分法在一元函数微分学中，复合函数的链式求导法则是最重要的求导法则之一，它解决了很多比较复杂的函数的求导问题．对于多元函数，也有类似的求导法则.8.4.1多元复合函数的求导法则 1.二元复合函数求导法则与一元复合函数求导相比，二元复合函数的求导问题要复杂的多.对于二元函数),(v u f z =，中间变量u 和v 都可以是x 和y 的二元函数；也可以只是某一个变量t 的函数，还可能中间变量u 和v 分别是不同个数自变量的函数，譬如u 是y x ,的函数，而v 只是x 的函数；等等。
下面讨论二元复合函数的求导法则，对二元以上的多元函数的求导法则可类似推出．定理8.4.1设函数),(v u f z =是v u ,的函数，),(),,(y x v y x u ψϕ==．若),(),,(y x y x ψϕ在点),(y x 处偏导数都存在，),(v u f z =在对应点),(v u 处可微，则复合函数)],(),,([y x y x f z ψϕ=在点),(y x 处关于y x ,的两个偏导数都存在，且yv v z y u u z y z x v v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂, (8-1) 我们借助于复合函数的函数结构图对复合函数求偏导数的过程进行分析.函数)],(),,([y x y x f z ψϕ=的结构图，如图8-4所示.从函数结构图可以看出，z 和x 的函数关系可以由两条路径得到.一条是经中间变量u 到达自变量x ，还有一条是经中间变量v 到达自变量x 的.从公式(1)的第一式可以看出，z 和x 的函数关系有两条路径，对应公式中就有两项，其中每一项由两个因子的乘积表示，两个因子的乘积都是函数关于中间变量的偏导数和中间变量关于自变量的偏导数的乘积构成.例8.4.1设)sin(y x e z xy+=，求x z ∂∂和yz ∂∂． 解：令y x v xy u +==,，则v e z usin = 函数结构图，如图8-5所示.x z ∂∂=u z ∂∂x u ∂∂⋅+v z ∂∂xv ∂∂⋅=sin cos uu e v y e v ⋅+ =sin()cos()xy xye x y y e x y +++,y z ∂∂=u z ∂∂y u ∂∂⋅+v z ∂∂yv ∂∂⋅=sin cos uu e v x e v ⋅+=sin()cos()xy xye x y x e x y +++. 例8.4.2设2)(2y x y x z -+=，求x z ∂∂和yz ∂∂． 解：令22,y x v y x u -=+=，则vu z =，函数结构图，如图8-5所示.x z ∂∂=u z ∂∂x u ∂∂⋅+v z ∂∂xv∂∂⋅=1ln v v vu u u -+ =2222122()()()ln()x y x yx y x y x y x y ----+++-,y z ∂∂=u z ∂∂y u ∂∂⋅+v z ∂∂yv∂∂⋅=12ln (2)v v vu y u u y -+- =22221222()()2()ln()x y x yy x y x y y x y x y ----+-+-.2.二元复合函数求导法则的推广和变形多元复合函数的中间变量可能是一个，也可能多于一个，同样，自变量的个数可能只有一个，也可能是两个或者更多.我们可以对定理1进行推广和变形，分以下几种情形讨论：（1）当函数z 有两个中间变量，而自变量只有一个，即)(),(),,(t v v t u u v u f z ===．函数结构图，如图8-6所示.因此(8-1)变形成为dtdv v z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=．因为复合结果和中间变量都是t 的一元函数，应该使用一元函数的导数记号；为了与一元函数的导数相区别，我们称复合后一元函数的导数dtdz 为全导数．当函数z 有三个中间变量，而自变量只有一个，即)(),(),(),,,(t w w t v v t u u w v u f z ====．函数结构图，如图8-7所示.因此公式(8-1)可以推广成为 dt dw w z dt dv v z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂=．（2）当函数z 有一个中间变量，而自变量有两个.例如),(),,(y x u x u f z ϕ==.函数结构图，如图8-8所示.此时(8-1)变形成为．yu u f y z x f x u u f x z ∂∂⋅∂∂=∂∂∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂, 在上面第一个式中，xz∂∂表示在复合函数]),,([x y x f z ϕ=中，把y 看作常量，求得的z 对x 的偏导数；xf∂∂表示在复合函数],[x u f z =中，把u 看作常量，求得的z 对x 的偏导数，因此x z ∂∂和xf ∂∂表示的含义不同，在求偏导数是一定要注意，记号上不能混淆. 例如),(),(y x u u f z ϕ==，函数结构图，如图8-9所示.此时(8-1)变形成为．yu du dz y z x u du dz x z ∂∂⋅=∂∂∂∂⋅=∂∂,(3)当函数z 有两个中间变量，而自变量有三个，即),,(),,,(),,(w v u y y w v u x x y x f z ===．函数结构图，如图8-10所示。
多元函数的偏导数与全微分的概念及推导
多元函数的偏导数与全微分的概念及推导多元函数是指含有多个自变量的函数，偏导数是研究这类函数时常用的工具，而全微分则是近似表示函数的变化率。
本文将介绍多元函数的偏导数与全微分的概念，并进行相应的推导。
一、多元函数的偏导数多元函数的偏导数是指对于含有多个自变量的函数，我们在求解函数变化率时，只关注一个自变量的变化而将其他自变量视为常数。
具体而言，对于函数$f(x_1,x_2,...,x_n)$，其关于自变量$x_i$的偏导数表示为$\frac{\partial f}{\partialx_i}$，表示$f$对$x_i$的变化率。
对于二元函数$z=f(x,y)$，其偏导数分为偏导数和混合偏导数两种情况。
偏导数$\frac{\partial z}{\partial x}$表示$z$对$x$的变化率，$\frac{\partial z}{\partialy}$表示$z$对$y$的变化率。
混合偏导数$\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}$表示先对$x$求偏导再对$y$求偏导。
对于多元函数的偏导数计算，可以通过求偏导的方式逐个计算。
具体而言，对于多元函数$f(x_1,x_2,...,x_n)$，求关于$x_i$的偏导数时，将其他自变量视为常数，对$x_i$进行求导即可。
重复这个过程，可以得到所有的偏导数。
二、多元函数的全微分多元函数的全微分是函数的微小变化量。
对于二元函数$z=f(x,y)$，其全微分$\mathrm{d}z$表示$z$的微小变化量。
全微分可以通过偏导数来表示，即$\mathrm{d}z=\frac{\partial z}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial z}{\partialy}\mathrm{d}y$。
全微分的求解可以用来计算函数的变化率及其对应的方向，通过对全微分展开可以得到函数的线性逼近形式。
因此，全微分在数学分析和物理学中有着广泛的应用。
第十二讲(2多元函数微分法)
( 西交大 1989 )
u 证: 3 x x y 3 z 3 3x y z
利用轮换对称性可得
u u u 3( x y z
y zx x 3 y 3 z 3 3x y z
2
)
( x y z )( x 2 y 2 z 2 y z z x x y )
例 4. 设 u f ( x, y, z ) ,
y sin x ,
求
( P272 题 16 )
其中
都具有一阶连续偏导数 , 且
2 x 1 d x e y 2 d y 3dz 0
解 : 利用全微分法 , 有
u
x y z x x y x
du 1 e y cos x 2 ) f 3 f1 f 2 cos x ( 2 x1 dx 3
例如 , 设
4. 隐函数微分法
全微分法; 直接方法 ; 代公式法 . 例如 : 设函数 z = z (x,y) 是由方程 F ( x - z , y + z ) = 0
z z , . 所确定 , 其中 F 具有一阶连续偏导数 , 求 x y
方法 1: 全微分法 . 对方程两边求微分
F1 (d x d z ) F2 (d y d z) 0
阶混合偏导数 :
2
(P247 例 5)
z 2y f ( 2) y x
2y y f (1 ) f 2 2 x x x
2y
2
2y f x
y2 (3) z f ( x , ) x
2y 2y z 2 f 2 ( x x x y
2
1) 建立目标函数( 同时注意简化 ),并确定约束条件 ;
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f ( x,0) = x 2 = x 为分段函数，分段点： x = 0 故求 f x (0,0 )时，须用偏导数定义 .
但 lim f ( x ,0) − f (0,0)
x→0
x
= lim x 2 − 0 = lim x
x→0 x
x→0 x
此极限不存在 ,
故函数在 (0,0)点处关于 自变量 x的偏导数不存在 . 同理,关于自变量 y的偏导数也不存在 .
y)
y= y0
（三）偏导数的几何意义
设 M0( x0, y0, f ( x0, y0 )) 为曲面 z = f ( x, y) 上一点,
如图
z
M 0Tx
⎧z = f (x, y)
⎨ ⎩
y = y0
⎧ ⎨ ⎩
z
= f( y=
x, y0 y0
)
xα
M0
tanα = f x ( x0 , y0 ) =
o
第八章
第二节 多元函数的偏导数
一、主要内容 二、典型例题 三、同步练习 四、同步练习解答
一、主要内容
（一）偏导数的概念
1.引例 弦线的振动问题.
研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度 , 就是将
振幅 u( x , t ) 中的 x 固定于x0 处, 求 u( x0 , t) 关于
t 的一阶导数与二阶导数.
∂ (∂z )= ∂x ∂x
∂2z = ∂x2
f x x ( x, y);
∂ (∂z )= ∂y ∂x
∂∂x2∂zy=
fx y(x, y)
∂ ( ∂z )= ∂x ∂y
∂2z ∂ y∂x
=
f
y
x
(
x
,
y
);
∂ ∂y
(
∂ ∂
z y
)
=
∂2z ∂ y2
=
fy y(x, y)
类似可以定义更高阶的偏导数.
2x 3y
sin t
t
d
t
,求Fx
,
F
y
;
∫ ( 2 )F ( x , y ) = x x e − 3 t 2 d t , 求 ∂ 2 F .
y
∂x∂y
6. 验证函数u( x, y) = ln x2 + y2 满足二维
拉普拉斯方程
∂2u ∂x 2
+
∂2u ∂y2
=
0.
四、同步练习解答
1. 设z = f ( x, y) = xy , 求f x (0, 0), f y (0, 0).
例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为
∂ ∂x
(
∂2z ∂x2
)
=
∂3z ∂x3
z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数 , 再关于
y 的一阶偏导数为
∂ ∂y
(
∂n−1z ) ∂ xn−1
=
∂nz ∂ xn−1∂
y
问题：具备怎样的条件，混合偏导数 相等？ 定理 若 f x y ( x,y)和 f y x ( x,y)都在点( x0 , y0 )连续, 则
+ Δx,
y0 ) − Δx
f ( x0,
y0 )
=
d dx
f
( x,
y0 )
x= x0
同样可定义 函数 f(x, y) 在点( x0, y0 ) 对 y 的偏导数
f y ( x0 , y0 ) = lim f ( x0 , y0 + Δy) − f ( x0 , y0)
Δ y→0
Δy
=
d dy
f
( x0,
y2
x=1 y=1
=1 3
故 β=π 6
例5 求函数
z
=
e
x+2
y
的二阶偏导数及
∂
∂3z y∂ x2
.
解 ∂z = ex+2y ∂x
∂z = 2ex+2y ∂y
∂2z ∂x2
=
e x+2y
∂2z =2ex+2y ∂ x∂ y
∂2z = 2ex+2y ∂ y∂ x
∂2 z ∂ y2
=
4e x+2y
∂
∴
lim
x→0
f
( x,
y)
=
lim
x→0
x
2
xy +
y
2
不存在.
y→0
y→0
从而 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!
(方法2)
z=
⎧ xy
f
( x,
y)
=
⎪ ⎨
x2
+
y2
,
⎪⎩ 0 ,
Q f ( x,0) ≡ 0, f (0, y) ≡ 0,
x2 + y2 ≠ 0 x2 + y2 = 0
z
注 对于二元函数：
可偏导
连续
o
y
x
例2
设
f
(
x,
y)
=
⎧ ⎪ ⎨
x
2
xy +
y
2
,
⎪⎩0,
x2 + y2 ≠ 0
,
x2 + y2 = 0
求 f x (0,0), f y (0,0)，并讨论f ( x, y)在(0,0)处的连续性.
解(方法1)
f x (0,0)
=
lim
x→0
f ( x,0) − x
3.多元函数在一点连续与偏导数存在的关系
对于一元函数： 可导
连续
对于多元函数：可（偏）导
连续
（二）偏导数的计算
由偏导数的定义可知, 偏导数的计算可归结
为一元函数的导数计算.
fx(x0,
y0)
=
d dx
f
(x,
y0)
x= x0
求某个具体 的点处的偏 导数时方便
f y ( x0 ,
y0)
=
d dy
f
( x0 ,
f (0,0)
x⋅0 −0
= lim x2 + 0 = 0
x→0
x
同理可求得 f y (0,0) = 0.Q limx→0
f ( x , y ) = lim
x→0
xy x2 + y2
y = kx → 0
y = kx → 0
=
lim
x→0
x ⋅ kx x2 + (kx)2
=
1
k + k2
其值随 k 的不同而变化，
f x y ( x0 , y0 ) = f y x ( x0 , y0 ) 本定理对 n 元函数的高阶混合偏导数也成立. 例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) , 当三阶混合偏导数 在点 (x , y , z) 连续时, 有
fxyz(x, y,z) = f yzx(x, y,z) = fzxy(x, y,z) = fxzy(x, y,z) = f yxz(x, y,z) = fzyx(x, y,z)
lim
x→0
f y( x, 0) − x
f y (0,0)
= lim x = 1 x→0 x
等
三、同步练习
1. 设z = f ( x, y) = xy , 求f x (0, 0), f y (0, 0).
2. 设z = arcsin x ，求 ∂z ，∂z . x2 + y2 ∂x ∂y
3.
设f ( x, y) =
Δx→0
Δx
存在，则称此极限为 z = f ( x, y)在点 ( x0, y0 )处 对x 的偏导数，记为
∂z
;
∂ x ( x0 , y0 )
∂f
;
∂ x ( x0 , y0 )
zx ( x0 , y0 ) ;
f x ( x0, y0 ) .
注 f x ( x0 , y0 )
=
lim
Δx→0
f ( x0
∂3z y∂ x2
=
∂ ∂x
(
∂ 2z ∂ y∂ x
)
=
2e x+2y
注
此处
∂2z ∂ x∂ y
=
∂2z ∂ y∂x
,
但这一结论并不总是成立.
问题：二阶混合偏导数一定都相等吗？不一定！
例如：f ( x, y) =
x
y
x2 x2
− +
y2 y2
,
x2 + y2 ≠ 0
0,
x2 + y2 = 0
fx(x, y) = fy(x, y) =
解
f x (0,0)
M0Ty
M0
yβ
o
P( x0, y0 )
x = x0 x
（四）高阶偏导数
设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数
∂z ∂x
=
fx(x, y) ,
∂z ∂y
=
fy(x, y)
若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是
z = f ( x , y )的二阶偏导数 . 按求导顺序不同,
有下列四个二阶偏导数:
u
u(x0 , t )
u(x, t)
o x0
x
2. 定义8.6 设函数 z = f ( x, y)在点 P0( x0, y0 )的 某邻域U (P0 )内有定义. 若当固定 y在 y0 , z = f ( x, y0 ) 在 x = x0处的导数存在，即
lim f ( x0 + Δx, y0 ) − f ( x0, y0 )