2021高考数学一轮复习：专项突破 新高考·新题型专练

专项突破 新高考·新题型专练

一、多项选择题:在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 1.已知集合M ={0,1,2},N ={x ||x - 1|≤1},则 ( ) A.M =N B.N ?M C.M ∩N =M D.(?R M )∪N =R 2.已知i 为虚数单位,则下列结论正确的是 ( )

A .复数z =1+2i 1-i

的虚部为3

2

B .复数z =

2+5i -i

的共轭复数z -

= - 5 - 2i

C .复数z =1

2 ? 1

2i 在复平面内对应的点位于第二象限 D .若复数z 满足1

z ∈R ,则z ∈R

3.采购经理指数(简称PMI )是国际上通行的宏观经济监测指标体系之一,对国家经济活动的监测和预测具有重要作用.制造业PMI 在50%以上,通常反映制造业总体扩张,低于50%,通常反映制造业总体衰退.如图1 - 1是2018年10月到2019年10月我国制造业PMI 的统计图,下列说法正确的是

( )

图1 - 1

A.大部分月份制造业总体衰退

B.2019年3月制造业总体扩张最大

C.2018年11月到2019年10月中有3个月的PMI 比上月增长

D.2019年10月的PMI 为49.3%,比上月下降0.5个百分点 4.已知函数f (x )={x 2,x ≤0,

-x 2,x >0,则下列结论中正确的是

( )

A.f ( - 2)=4

B.若f (m )=9,则m =±3

C.f (x )是偶函数

D.f (x )在R 上单调递减

5.已知(ax 2+√

x )n (a >0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等,且展开式中各项系数之和

为1 024,则下列说法正确的是

( )

A.展开式中奇数项的二项式系数之和为256

B.展开式中第6项的系数最大

C.展开式中存在常数项

D.展开式中含x 15项的系数为45

6.已知向量a =(1,2),b =(m ,1)(m <0),且满足b ·(a +b )=3,则 ( )

A.|b |=√2

B.(2a +b )∥(a +2b )

C.向量2a - b 与a - 2b 的夹角为π

4 D.向量a 在b 方向上的投影为√5

5

7.已知函数f (x )=sin (2x - π

6),下列结论正确的是 ( )

A.f (x )的最小正周期是π

B.f (x )=1

2

是x =π

2

的充分不必要条件

C.函数f (x )在区间(π3,5π

6

)上单调递增

D.函数y =|f (x )|的图象向左平移π12个单位长度后所得图象的对称轴方程为x =k

4π(k ∈Z ) 8.同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1,2,3,4的正四面体一次,记事件A ={第一个四面体向下的一面出现偶数},事件B ={第二个四面体向下的一面出现奇数},事件C ={两个四面体向下的一面同时出现奇数,或者同时出现偶数}.则下列说法正确的是 ( )

A.P (A )=P (B )=P (C )

B.P (AB )=P (AC )=P (BC )

C.P (ABC )=1

8 D.P (A )P (B )P (C )=1

8

9.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,且x >0时,f (x )=(x - 2)e x ,则下列结论正确的是 ( ) A .f (x )>0的解集为( - 2,0)∪(2,+∞) B .当x <0时,f (x )=(x +2)e - x C .f (x )有且只有两个零点

D .?x 1,x 2∈[1,2],|f (x 1) - f (x 2)|≤e

10.设圆A :x 2+y 2 - 2x - 3=0,则下列说法正确的是 ( ) A.圆A 的半径为2

B.圆A 截y 轴所得的弦长为2√3

C.圆A 上的点到直线3x - 4y +12=0的最小距离为1

D.圆A 与圆B :x 2+y 2 - 8x - 8y +23=0相离

11.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,C 为钝角,且c - b =2b cos A ,则下列结论中正确的是

( )

A.a 2=b (b +c )

B.A =2B

C.0

2

D.0

2

12.设f ' (x )是函数f (x )的导函数,若f ' (x )>0,且?x 1,x 2∈R (x 1≠x 2),f (x 1)+f (x 2)<2f (

x 1+x 22

),则下

列各项中正确的是 ( )

A.f (2)

B.f ' (π)

C.f ' (2)

D.f ' (3)

13.已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列,{b n }是公差不为0的等差数列,且a 2=b 2,a 8=b 8,则

( )

A.a 5=b 5

B.a 5

C.a 4

D.a 6>b 6 14.[2020山东省统考]如图1 - 2,正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1的棱长为1,E ,F ,G 分别为BC ,CC 1,BB 1

的中点,则

( )

图1 - 2

A .直线D 1D 与直线AF 垂直

B .直线A 1G 与平面AEF 平行

C .平面AEF 截正方体所得的截面面积为9

8 D .点C 与点G 到平面AEF 的距离相等

15.已知矩形ABCD ,AB =1,BC =√3,将△ADC 沿对角线AC 进行翻折,得到三棱锥D - ABC ,则在翻折的过程中,下列结论正确的是 ( )

A.三棱锥D - ABC 的体积的最大值为1

3

B.三棱锥D - ABC 的外接球的体积不变

C.三棱锥D - ABC 的体积最大时,二面角D - AC - B 的大小是60°

D.异面直线AB 与CD 所成角的最大值为90°

16.已知椭圆x 2

3

+y 2

6

=1上有A ,B ,C 三点,其中B (1,2),C ( - 1, - 2),tan ∠BAC =9

2

,则下列说法正确的是

( )

A.直线BC 的方程为2x - y =0

B.k AC =1

2或4

C.点A 的坐标为( - 19,22

9) D.点A 到直线BC 的距离为

4√59

17.在数列{a n }中,a 1=1,a 2=2,a 3=3,a n +3+( - 1)n a n +1=1(n ∈N *),数列{a n }的前n 项和为S n ,则下列结论正确的是

( )

A.数列{a n }为等差数列

B.a 18=10

C.a 17=3 D .S 31=146

18.过抛物线y 2=3x 的焦点f 的直线与抛物线交于A (x 1,y 1)(y 1>0),B (x 2,y 2)两点,点A ,B 在抛物线准线上的射影分别为A 1,B 1,直线AO 交准线于点M (O 为坐标原点),则下列说法正确的是

( )

A.OA ????? ·OB ????? =0

B.∠A 1F B 1=90°

C.直线MB ∥x 轴

D.|AF |·|BF |的最小值是9

4

二、双空题.

19.已知函数g (x )=2sin [ω(x +π

12)](ω>0)的图象是由函数f (x )的图象先向左平移π

6个单位长度,再将所得图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变)得到的.若f (x )的最小正周期为π,则f (x )= ;若函数f (x )在区间[0,π

6

]上单调递增,在区间[π6,π

3

]上单调递减,则实数ω的

值为 .

20.如图1 - 3,在平面四边形ABCD 中,E ,F 分别为边CD ,AD 上的点,△DEf 为等边三角形,CE =Ef ,且∠ABC =π

3,AE =√13,AF =3,则AC = ,△ABC 面积的最大值为 .

图1 - 3

21.[2020长春市第一次质量监测]已知数列{a n }的前n 项和为S n ,满足a 1= - 1

2

,且

a n +a n +1=2

n 2+2n (n ∈N *),则S 2n = , a n = .

22.[2019北京市顺义区第二次统考]已知抛物线

y 2=2px (p >0)的焦点和双曲线

x 2 - y 23

=1

的右焦

点F 2重合,则抛物线的方程为 ;P 为抛物线和双曲线的一个公共点,则点P 与双曲线左焦点F 1之间的距离为 .

23.设函数f (x )(x ∈R )的导函数为f ' (x ),f (0)=2 020,且f ' (x )=f (x ) - 2,则f (x )= ,f (x )+4 034>2f ' (x )的解集是 .

24.如图1 - 4,在棱长均为3的正四棱锥P - ABCD 中,E ,F ,G ,H 分别是PA ,PB ,PC ,PD 上异于端点的点,且平面EF GH 与平面ABCD 平行,S 为AC 和BD 的交点,当四棱锥S - EFGH 的体积最大时,PE

PA = ,此时四棱锥S - EFGH 外接球的表面积为 .

图1 - 4

答案及解析

1.CD由|x - 1|≤1得0≤x≤2,即N=[0,2],又M={0,1,2},所以M∩N=M,M?N,(?R M)∪N=R,故选CD.

2.ABD对于A,z=1+2i

1-i =(1+2i)(1+i)

(1-i)(1+i)

= - 1

2

+3

2

i,其虚部为3

2

,故A正确;

对于B,z=2+5i

-i

=(2+5i)i= - 5+2i,故z= - 5 - 2i,故B正确;

对于C,z=1

2 ? 1

2

i在复平面内对应的点的坐标为(1

2

,-1

2

),位于第四象限,故C不正确;

对于D,设z=a+b i(a,b∈R),则1

z =1

a+bi

=a-bi

a2+b2

,又1

z

∈R,则b=0,所以z=a∈R,故D正确.

故选ABD.

3.ABD根据折线图可知,大部分月份制造业总体衰退,A正确;2019年3月制造业总体扩张最大,B正确;2018年11月到2019年10月中有4个月的PMI比上月增长,C错误;2019年10月的PMI为49.3%,比上月下降0.5个百分点,D正确.故选ABD.

4.AD由于- 2<0,所以f ( - 2)=( - 2)2=4,故A选项正确;由f (m)=9>0知m≤0,且m2=9,因此m= - 3,故B选项错误;由f (x)的图象(图略)可知f (x)是奇函数,且在R上单调递减,故C选项错误,D选项正确.故选AD.

5.BCD因为(ax2+

√

)n(a>0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等,所以C n4=C n6,解得n=10.因为展开式中各项系数之和为1 024,所以令x=1,得(a+1)10=1 024,解得a=1.故给定的二项

式为(x2+

√)10,其展开式中奇数项的二项式系数之和为1

2

×210=512,故A不正确.由n=10可知二

项式系数最大的项是展开式的第6项,而(x2+

√x

)10的展开式的系数与对应的二项式系数相等,

故B 正确.展开式的通项公式为T k +1=C 10k (x 2)10 - k ·(√)k =C 10k x 20 -

5k 2

(k =0,1,2,…,10),令20 - 5k

2

=0,解得

k =8,即常数项为第9项,故C 正确.令20 - 5k

2

=15,得k =2,故展开式中含x 15项的系数为C 102=45,故

D 正确.故选BCD .

6.AC 将a =(1,2),b =(m ,1)代入b ·(a +b )=3,得(m ,1)·(1+m ,3)=3,即m 2+m =0,解得m = - 1或m =0(舍去),所以b =( - 1,1),所以|b |=√(-1)2+12=√2,故A 正确;因为2a +b =(1,5),a +2b =( - 1,4),1×4 - ( - 1)×5=9≠0,所以2a +b 与a +2b 不平行,故B 错误;设向量2a - b 与a - 2b 的夹角为θ,易知2a -

b =(3,3),a - 2b =(3,0),所以cos θ=(2a -b)·(a -2b)|2a -b||a -2b|=

√2

2

,所以θ=π

4

,故C 正确;向量a 在b 方向上的投影为

a ·

b |b |

=

√

=√2

2

,故D 错误.故选AC.

7.AD 对于A ,由最小正周期T =2πω

=2π2

=π知A 正确;

对于B ,由f (x )=1

2得2x - π

6=2k π+π

6(k ∈Z )或2x - π

6=2k π+5π

6(k ∈Z ),即x =k π+π

6(k ∈Z )或x =k π+π

2(k ∈Z ),可知f (x )=1

2

是x =π2

的必要不充分条件,B 不正确;

对于C ,由π3

2)上单调递减,故C 不正确;

对于D ,y =|f (x )|的图象向左平移π

12个单位长度得y =|sin [2(x +π

12) - π

6]|=|sin 2x |的图象,由y =|sin x |的图象的对称轴为直线x =kπ

2(k ∈Z )得y =|sin 2x |的图象的对称轴为直线x =kπ

4(k ∈Z ),D 正确.故选AD .

8.ABD 由古典概型的概率计算公式,得P (A )=P (B )=2

4

=1

2,P (C )=

84×4

=12

,所以P (A )=P (B )=P (C )=1

2

,A

正确;P (A )P (B )P (C )=1

8,D 正确;

而事件A ,B ,C 不可能同时发生,故P (ABC )=0,所以C 不正确;又P (AB )=2×2

4×4=1

4,P (AC )=2×2

4×4=

14

,P (BC )=

2×24×4

=1

4

,所以P (AB )=P (AC )=P (BC ),B 正确.故选ABD .

9.ABD 当x >0时,f (x )<0的解集为(0,2),f (x )>0的解集为(2,+∞),由f (x )为奇函数可知选项A 正确;当x <0时,f (x )= - f ( - x )= - ( - x - 2)e - x =(x +2)e - x ,选项B 正确;当x >0时,x =2为f (x )的零点,又f (x )是定义在R 上的奇函数,所以f (0)=0,f ( - 2)=0,故f (x )有且只有三个零点,选项C 错误;当x >0时,f ' (x )=(x - 1)e x ,故f (x )在[1,2]上单调递增,所以f (x )min =f (1)= - e ,f (x )max =f (2)=0,所以|f (x 1) - f

(x2)|≤f (x)max - f (x)min=e,选项D正确.故选ABD.

10.ABC把圆A的方程x2+y2 - 2x - 3=0化成标准方程,为(x - 1)2+y2=4,所以圆A的圆心坐标为(1,0),半径为2,A正确;圆A截y轴所得的弦长为2×√4-1=2√3,B正确;圆心(1,0)到直线3x-

4y+12=0的距离为3,故圆A上的点到直线3x- 4y+12=0的最小距离为3 - 2=1,C正确;易知圆B:x2+y2 - 8x - 8y+23=0的圆心为(4,4),半径为3,根据√(4-1)2+42=5可知,圆A与圆B相切,D错误.故选ABC.

11.ABD因为c - b=2b cos A,所以由余弦定理得c - b=2b·b2+c2-a2

2bc

,所以c(c - b)=b2+c2 - a2,整理得a2=b(b+c),故A选项正确;因为c- b=2b cos A,所以由正弦定理得sin C- sin B=2sin B cos A,即sin(A+B) - sin B=2sin B cos A,所以sin A cos B - sin B cos A=sin B,即sin(A - B)=sin B,由于C是钝角,

所以A- B=B,即A=2B,故B选项正确;由于A=2B,且C>90°,所以0°

2

A<1,0

2

,故C选项错误,D选项正确.故选ABD.

12.ABD由f ' (x)>0知,f (x)在R上单调递增,则f (2)

恒有f (x1)+f (x2)<2f (x1+x2

2),即f(x1)+f(x2)

2

2

),所以y=f (x)的图象是向上凸起的,如图D 1 - 1所

示,

图D 1 - 1

由导数的几何意义知,随着x的增加,f (x)的图象越来越平缓,即切线斜率越来越小,所以 f ' (π)

3-2

=f (3)–

f (2),所以由图易知f ' (3)

13.BC解法一设{a n}的公比为q(q>0),{b n}的公差为d(d≠0).a5=√a2a8=√b2b8,b5=b2+b8

2

,由基

本不等式得√b2b8≤b2+b8

2

,当且仅当b2=b8时等号成立,易知数列{b n}不是常数列,故B正确,A错误.

因为a2q6=a8=b8=b2+6d=a2+6d,所以d=a2(q6-1)

6,所以a4 - b4=a2q2 - a2 - 2d=a2(q2 - 1 - q6-1

3

)=a2

3

(3q2 - q6

- 2)=a2

3(q2 - q6+2q2 - 2)=a2

3

(1 - q2)(q4+q2 - 2)= - a2

3

(1 - q2)2(q2+2)<0,a6 - b6=a2q4 - a2 - 4d=a2

3

(3q4 - 1 -

2q6)= - a2

3

(1 - q2)2(2q2+1)<0,所以a4

解法二设{a n}的公比为q(q>0),{b n}的公差为d(d≠0).a n=a1q n - 1=a1

q

·q n,b n=b1+(n- 1)d=b1- d+nd,

将其分别理解成关于n的指数函数乘以正数a1

q

(指数函数的图象为下凹曲线)和一次函数(一次函数的图象为直线),则两函数图象分别在n=2,n=8处相交,故当3≤n≤7时,a n

14.BC假设D1D⊥AF,易知DD1⊥AE,所以D1D⊥平面AEF,又D1D⊥平面ABCD,所以平面AEF∥平面ABCD,显然不正确,故选项A不正确;连接AD1,D1F,易知EF∥AD1,所以平面AEF即平面AEFD1,又A1G∥D1F,所以A1G∥平面AEFD1,所以选项B正确;平面AEF截正方体所得的截面为

梯形AEFD1,EF=√2

2,AD1=√2,梯形的高为√

2

√

4

=3√2

4

,所以其面积为√2+√22

2

×3√2

4

=9

8

,故选

项C正确;连接CG交EF于点H,显然H不是CG的中点,所以C,G到平面AEF的距离不相等,故选项D不正确.故选BC.

15.BD对于A,三棱锥D- ABC的体积V D- ABC=1

3

S△ABC·h(h为点D到平面ABC的距

离),S△ABC=1

2×1×√3=√3

2

,所以当h最大时,三棱锥D - ABC的体积取得最大值,又当平面ADC⊥

平面ABC时,h最大,为√3

2,此时V D- ABC=1

3

×√3

2

×√3

2

=1

4

,故A错误;对于B,设AC的中点为O,连接

OB,OD,则OA=OB=OC=OD,所以O为三棱锥D - ABC的外接球的球心,则外接球的半径为1

2

AC=1,

所以外接球的体积为4

3

π,翻折的过程中,三棱锥D - ABC的外接球的体积不变,故B正确;对于C,三棱锥D - ABC的体积最大时,平面ADC⊥平面ABC,所以此时二面角D - AC - B的大小是90°,故C错误;对于D,当△ADC沿对角线AC翻折到点D与点B的距离为√2,即BD=√2时,在△BCD 中,BC2=BD2+CD2,所以CD⊥BD,又CD⊥AD,BD∩AD=D,所以CD⊥平面ABD,所以CD⊥AB,即异面直线AB与CD所成角的最大值为90°,故D正确.故选BD.

16.AD设A(x A,y A),直线AB,AC的倾斜角分别为θ1,θ2,不妨记θ1>θ2,由tan∠BAC=9

2

>0,知

∠BAC <π2,则数形结合易知当θ1 - θ2=∠BAC 时,才能满足题意,故tan (θ1 - θ2)=92,即k

AB

-k AC

1+k

AB ·k AC

=9

2,又

k AB ·k AC =y A -2x A

-1·y A +2

x A

+1=y A

2-4

x A

2-1

=6-2x A 2-4

x A 2-1

= - 2,所以k AB - k AC = - 9

2,结合k AB ·k AC = - 2,解得{

k AC =4,

k AB =-12

或

{k AC =12,k AB =-4.而当{k AC =12,k AB =-4时,数形结合易知∠BAC ≠θ1 - θ2,且∠BAC >π

2,故舍去.当{

k AC =4,k AB =-12

时,直线AC 、直线AB 的方程分别为y +2=4(x +1),y - 2= - 12

(x - 1),可得A (19,22

9

).由椭圆的对称性可知:当

θ1<θ2时,同理可得{k AC =-1

2,k AB =4,A ( - 19, - 22

9

),故B ,C 错误.易得直线BC 的方程为2x - y =0,故当点A

为(19,22

9)时,点A 到直线BC 的距离为

|29-22

9

|√5

=

4√59

,当点A 为( - 19, - 22

9)时,点A 到直线BC 的距离也为

4√59

.故A ,D 正确,选AD .

17.BD 依题意得,当n 是奇数时,a n +3 - a n +1=1,即数列{a n }中的偶数项构成以a 2=2为首项、1为公差的等差数列,所以a 18=2+(9 - 1)×1=10.当n 是偶数时,a n +3+a n +1=1,所以a n +5+a n +3=1,两式相减,得a n +5=a n +1,即数列{a n }中的奇数项从a 3开始,每间隔一项的两项相等,即数列{a n }的奇数项呈周期变化,所以a 17=a 4×3+5=a 5.在a n +3+a n +1=1中,令n =2,得a 5+a 3=1,因为a 3=3,所以a 5= - 2,所以a 17= - 2.在数列{a n }中,a 3+a 5=1,a 7+a 9=1,…,

a 27+a 29=1,a 31=a 4×7+3=a 3=3,偶数项构成以a 2=2为首项、1为公差的等差数列,所以S 31=1+7+3+15×2+

15×(15-1)

2

=146.故选BD.

18.BCD 由题意可知,抛物线y 2=3x 的焦点F 的坐标为(34

,0),准线方程为x = - 34

.易知直线AB 的斜率不为0,设直线AB 的方程为x =my +34,代入y 2=3x ,得y 2 - 3my - 9

4=0,易知Δ>0,所以y 1+y 2=3m ,

y 1y 2= - 94,则x 1x 2=(my 1+34)(my 2+34)=916,所以OA ????? ·OB ????? =(x 1,y 1)·(x 2,y 2)= x 1x 2+ y 1y 2=916 ? 94= - 27

16≠0,所以A

不正确;因为A (y 123

,y 1),O (0,0), M ( - 34

,y M )三点共线,所以y

1

y 123

=

y M -3

4

,所以y 1y M = - 94

,又y 1y 2= - 9

4

,所以

y M =y 2,所以直线MB ∥x 轴,所以C 正确;易知A 1,B 1的坐标分别为( - 3

4,y 1),( - 3

4,y 2),所以

FA 1??????? ·FB 1??????? =( - 34 ? 34,y 1)·

( - 34 ? 34,y 2)=94+ y 1 y 2=94 ? 9

4=0,所以∠A 1FB 1=90°,所以B 正确;设直线AB 的倾斜角为θ(θ≠0) ,则|AF |=3

21-cosθ,|BF |=321+cosθ,所以|AF |·|BF |=321-cosθ·32

1+cosθ=94

sin 2θ≥9

4

,当且仅当AB ⊥x 轴时取等号,所以D 正确.故选BCD .

19. sin(2x - π

6)6因为函数g(x)=2sin[ω(x+π

12

)](ω>0)的图象是由函数f (x)的图象先向左平移π

6

个单位长度,再将所得图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变)得到的,所以 f

(x)=sin[ω(x - π

12)].①若f (x)的最小正周期为π,则f (x)=sin(2x - π

6

).②若函数f (x)在区间[0,π

6

]上

单调递增,在区间[π

6,π

3

]上单调递减,则有f (π

6

)=sinωπ

12

=1,且2π

ω

≥π

3

,结合ω>0,得ω=6.

20.2√33√3在△AEF中,易知∠AFE=2π

3

,又AF=3,AE=√13,由余弦定理得(√13)2=32+EF2-

2×3×EF×cos 2π

3

,可得EF=1.所以CE=DE=DF=

EF=1,AD=4,CD=2.又∠ADC=π

3,所以在△ACD中,由余弦定理得AC2=42+22- 2×4×2×cos π

3

=12,得

AC=2√3.

解法一设∠ACB=θ,则∠BAC=π - π

3- θ=2π

3

- θ,所以在△ABC中,由正弦定理得AB

sin∠ACB

=

BC sin∠BAC =AC

sin∠ABC

=4,所以AB=4sin θ,BC=4sin(2π

3

- θ),于是△ABC的面积S△ABC=1

2

AB·BC sin π

3

=4√3sin

θsin(2π

3- θ)=4√3sin θ(√3

2

cos θ+1

2

sin θ)=2√3(√3

2

sin 2θ- 1

2

cos 2θ+1

2

)=2√3sin(2θ- π

6

)+√3,则当2θ -

π6=π

2

,即θ=π

3

时,S△ABC取得最大值,为3√3.

解法二在△ABC中,cos∠ABC=BC2+AB2-AC2

2BC·AB ,结合基本不等式,得1

2

=BC2+AB2-12

2BC·AB

≥2BC·AB-12

2BC·AB

,化简得

BC·AB≤12(当且仅当AB=BC时取等号),所以△ABC的面积S△ABC=1

2BC·AB·sin∠ABC≤1

2

×12×

√3

2

=3√3,即△ABC面积的最大值为3√3.

21.2n

2n+1( - 1)n+1

n(n+1)

因为a n+a n+1=2

n2+2n

=1

n

? 1

n+2

,所以S2n=a1+a2+a3+a4+…+a2n - 1+a2n=1 - 1

3

+

1 3 ? 1

5

+…+1

2n-1

? 1

2n+1

=1 - 1

2n+1

=2n

2n+1

.

因为a n+a n+1=2

n2+2n ,所以a n+1=2

n2+2n

- a n.又a1= - 1

2

=1

1×2

- 1,所以a2=2

3

+1

2

=7

6

=1

2×3

+1,a3=2

2×4

? 7

6

=

- 11

12=1

3×4

- 1,a4=2

3×5

+11

12

=21

20

=1

4×5

+1,…,归纳可得,a n=( - 1)n+1

n(n+1)

.

22.y2=8x7易知双曲线x2 - y2

3

=1的右焦点F2的坐标为(2,0),左焦点F1的坐标为( - 2,0),则抛

物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为(2,0),则p

2

=2,解得p=4,所以抛物线的方程为y2=8x.

设点P 的坐标为(x 0,y 0),易知x 0>0,由{y 2=8x,

x 2-y 23

=1

得3x 2 - 8x - 3=0,解得x 0=3,则P (3,2√6)或P (3, -

2√6),则点P 与双曲线左焦点F 1( - 2,0)之间的距离为√[3-(-2)]2+(0±2√6)2=7. 23.2+2 018e x

( - ∞,ln 2) 令h (x )=

f(x)-2e x

,则h' (x )=

f '(x)e x -[f(x)-2]e x (e x )=

f '(x)-f(x)+2

e x

, 又f ' (x )=f (x ) -

2,∴h' (x )=0,故h (x )为常数函数.设h (x )=c ,则f(x)-2e x

=c ,∴f (x )=2+c e x .∵f (0)=2 020,∴f (0)=2+c =2

020,∴c =2 018,故f (x )=2+2 018e x ,f ' (x )=2 018e x .由f (x )+4 034>2f ' (x ),得4 036+ 2 018e x >2×2 018e x ,故e x <2,故x

24.2

3

25π2

因为平面EFGH 与平面ABCD 平行,易知四边形EFGH 与四边形ABCD 相似,所以四

边形EFGH 是正方形.设PE

PA =x (0

S

正方形ABCD

=x 2,易知四棱锥S - EFGH 与四棱锥P - ABCD 的高

的比值为1 - x ,设V 四棱锥P - ABCD =V 0,则V 四棱锥S - EFGH =x 2(1 - x )V 0.设f (x )=x 2(1 - x )(0

3

时,f ' (x )>0,函数f (x )单调递增,当2

3

x =23,即PE PA =2

3时,f (x )取得最大值,此时V 四棱锥S - EFGH 取得最大值.

此时,连接PS ,FH ,EG ,设FH 与EG 交于点M ,易知点M 在PS 上,且EF =2,SM =√2

2,HM =√2.设四棱锥S - EFGH 的外接球的球心为O ,半径为R ,易知点O 在直线PS 上,连接OH ,易知点O 在四棱锥S - EFGH 的外部,则(R - √22

)2+(

√2)2=R 2,解得R =

5√24

,所以四棱锥S - EFGH 的外接球的表面积为

4πR 2=

25π2

.