2021高考数学一轮复习：专项突破 新高考·新题型专练
高中 2021届一轮复习数学新高考新题型专练
数学新高考新题型专练：(7)空间向量与立体几何1.如图，四棱柱1111ABCD A B C D -为正方体，则()A.直线1DD 的一个方向向量为()0,0,1B.直线1BC 的一个方向向量为()0,1,1C.平面11ABB A 的一个法向量为()0,1,0D.平面1B CD 的一个法向量为()1,1,12.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，14AA AB ==，2BC =，M N ,分别为棱11C D ，1CC 的中点，则()A.A M N B ,,,四点共面B.平面ADM P 平面11CDD CC.直线BN 与1B M 所成角的为60°D.BN P 平面ADM3.在长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，13AA =，则()A.异面直线1A B 与11B D 所成角的余弦值为B.异面直线1A B 与11B D 所成角的余弦值为35C.1A B ⋂平面11B D C =∅D.点1B 到平面11A BD 的距离为1254.如图，梯形ABCD 中，//AD BC ，1,,45AD AB AD AB BCD ==⊥∠=︒，将ABD △沿对角线BD 折起.设折起后点A 的位置为A '，并且平面A BD '⊥平面BCD .给出下面四个命题正确的()A.A D BC'⊥ B.三棱锥A BCD '-的体积为22C.CD ⊥平面A BD'D.平面A BD '⊥平面A DC'5.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱1CC 上的动点（点P 不与点C ，1C 重合），过点P 作平面α分别与棱ABC CD ，交于M N ，两点，若CP CM CN ＝＝，则下列说法正确的是（）A ．1A C ⊥平面αB ．存在点P ，使得1AC //平面αC ．存在点P ，使得点1A 到平面α的距离为53D ．用过P ，1M D ，三点的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形6.如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2,AB BC AA P ===是1A B 上的一动点，则下列选项正确的是()A.DP 的最小值为355B.DPC.1AP PC +D.1AP PC +7.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,E 为棱1CC 的中点，F 为棱1AA 上的点，且满足1:1:2A F FA =，点,,,,F B E G H 为过三点,,B E F 的平面BMN 与正方体1111ABCD A B C D -的棱的交点，则下列说法正确的是（）A.//HF BEB.三棱锥1B BMN -的体积为6C.直线MN 与平面11A B BA 的夹角是45︒D.11:1:3D G GC =8.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，F 是棱11A D 上动点，下列说法正确的是()．A.对任意动点F ，在平面11ADD A 内存在与平面CBF 平行的直线B.对任意动点F ，在平面ABCD 内存在与平面CBF 垂直的直线C.当点F 从1A 运动到1D 的过程中，FC 与平面ABCD 所成的角变大D.当点F 从1A 运动到1D 的过程中，点D 到平面CBF 的距离逐渐变小9.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点,M N 分别是11,AB A D 的中点，下列正确的结论有()A.1MN BD P B.MN P 平面11BB D C.BD CD⊥D.四棱锥111D BB C C -的外接球的表面积等于12π10.如图甲所示，在正方形ABCD 中，,E F 分别是,AB BC 的中点，将,,ADE CDF BEF △△△分别沿,,DE DF EF 折起，使,,A B C 三点重合于点P (如图乙所示)，则下列结论正确的是()A.PD EF⊥B.平面PDE⊥平面PDFC.平面PEF与平面EFD夹角的余弦值为13 D.点P在平面DEF上的投影是DEF△的外心.答案以及解析1.答案：ABC解析：111,(0,0,1),AA DD AA =∴uuu r Q P A 正确；111,(0,1,1),AD BC AD =∴uuu r P B 正确；AD ⊥平面11,(0,1,0),ABB A AD =∴uuu r C 正确；1(1,1,1)AC =uuu r ，显然与平面1B CD 不垂直，∴D 错误.2.答案：BC解析：如图所示，对于A 中，直线,AM BN 是异面直线，故A M N B ,,,四点不共面，故A 错误；对于B 中，在长方体1111ABCD A B C D -中，可得AD ⊥平面11CDD C ，所以平面ADM ⊥平面11CDD C ，故B 正确；对于C 中，取CD 的中点O ，连接,BO ON ，可知三角形BON 为等边三角形，故C 正确；对于D 中，因为BN P 平面11AA D D ，显然BN 与平面ADM 不平行，故D 错误.故选：BC.3.答案：ACD解析：依题意11115,CB CD B D ===由于11A B CD P ，所以异面直线1A B 与11B D 所成角即11B D C ∠或其补角.在三角形11CB D 中，2221155cos5B DC +-∠==，所以异面直线1A B 与11BD 所成角的余弦值为225.故A 选项正确，B 选项错误.由于111,A B CD A B ⊄P 平面11B D C ，1CD ⊂平面11B D C ，所以1A B P 平面11B D C ，故C 选项正确.设点1B 到平面11A BD 的距离为h ，由111111B A BD B A B D V V --=，所以1111454433232h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，解得125h =，故D 选项正确.故选：ACD.4.答案：CD解析：如图所示：E 为BD 中点，连接'A E ，AD BC P ，1AD AB ==，AD AB ⊥，得到45DBC ADB ∠=∠=︒，又45BCD ∠=︒，故BCD V 为等腰直角三角形，平面A BD '⊥平面BCD ，CD BD ⊥，所以CD ⊥平面A BD '，所以C 正确；E 为BD 中点，'A E BD ⊥，则'A E ⊥平面BCD ，所以A E BC '⊥，如果A D BC '⊥，则可得到BC ⊥平面A BD '，故BC BD ⊥与已知矛盾.故A 错误；三棱锥A BCD '-的体积为11223226S =⨯=.故B 错误；在直角三角形'A CD 中，222'''A C CD A D A C =+∴=，在三角形'A BC 中，'1,2,'A B BC A C ===满足222''''BC A B A C BA CA =+∴⊥，又''BA DA ⊥，所以'BA ⊥平面A DC '，所以平面A BC '⊥平面A DC '，故D 正确.综上所述：答案为CD.5.答案：ACD解析：连接11,,AD D P AM DB ，，易得111,//,////,//AD PM C PM C PN DB C D MN .对于A ，可得正方体中1A C ⊥面1DBC ，即可得1A C ⊥平面α，故A 正确.对于B ，可得面1//C DB 面PMN ，故1AC 不可能平行面PMN .故错.对于C ，1A C ⊥ 平面α，且153A C =>，所以存在点P ，使得点1A 到平面α的距离为53，故正确.对于D ，用过1,,P M D 三点的平面去截正方体，得到的截面是四边形11,PMAD PM AD ≠，四边形1PMAD 一定是梯形，故正确.故选：ACD.6.答案：AD解析：本题考查空间点，线、面的关系.求DP 的最小值，即求1DA B △底边1A B 上的高，易知11A B A D BD ===，所以1A B边上的高为h =连接111,A C BC ，得11A BC △，以1A B 所在直线为轴，将11A BC △所在平面旋转到平面11ABB A ，设点1C 的新位置为'C ，连接AC '，则AC '即为所求的最小值，易知1112,AA A C AA C ''==∠=，所以AC '=.7.答案：AD解析：对于A 选项，由于平面11//ADD A 平面11BCC B ，而平面BMN 与这两个平面分别交于HF 和BE ，根据面面平行的性质定理可知//HF BE ，故A 选项判断正确；由于1:1:2A F FA =，而E 是1CC 的中点，故111112131,,,,2322MA HD D G GC C N =====，对于B 选项，11111111134243232B BMN B MNB V V MB NB BB --==⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=，故B 选项判断错误；对于C 选项，由于1B N ⊥平面11A B BA ，所以直线MN 与平面11A B BA 所成的角为1NMB ∠，且1114tan NMB 13B N B M ∠==≠，故C 选项判断错误；对于D 选项，根据前面计算的结果可知1113,22D G GC ==，故D 选项判断正确.8.答案：A C解析：因为AD 在平面11ADD A 内，且平行平面CBF ，故A 正确；平面CBF 即平面11A D CB ，又平面11A D CB 与平面ABCD 斜交，所以在平面ABCD 内不存在与平面CBF 垂直的直线，故B 错误；F 到平面ABCD 的距离不变且FC 变小，FC 与平面ABCD 所成的角变大，故C 正确；平面CBF 即平面11A D CB 点D 到平面11A D CB 的距离为定值，故D 错误.故选：A C.9.答案：BD解析：如图，取11A B 的中点K ，连接,MK NK ，则111,NK B D MK BB P P 且1111,NK MK K B D BB B ⋂=⋂=，∴平面MKN P 平面11BB D ，而MN ⊂平面MKN ，故MN P 平面11BB D ，故选项B 正确；取11B D 的中点O ，连接,ON OB ，则OB MN P ，而OB 与1BD 相交，故MN 与1BD 是异面直线，故选项A 错误；四棱锥111D BB C C -的外接球即正方体1111ABCD A B C D -的外接球，其直径为正方体的体对角线，则直径2R R ===224π4π12πS R ==⨯=球，故选项D 正确；由于11BD B D P ，连接1B C ，则11B CD V 为等边三角形，11B D ∴与1CD 的夹角是60°，则BD 与1CD 的夹角是60°，故选项C 错误，故选BD.10.答案：ABC解析：对于A 选项如图取EF 的中点H 连接,PH DH由PEF △和DEF △为等腰三角形得,PH EF DH EF ⊥⊥又PH DH H ⋂=所以EF ⊥平面PDH 所以PD EF ⊥故A 正确.对于B 选项根据折起前后可知,PE PF ，PD 三线两两垂直，于是可证平面PDE ⊥平面PDF ，故B 正确对于C选项，将图乙翻转并建立如图所示的空间直角坐标系，设图甲中的2AB =，则(0,0,0),(0,0,1),(1,0,0),(0,2,0),(1,0,1),(1,2,0)P E F D EF FD =-=- 易知(0,2,0)PD = 为平面EFD 的发向量为(,,)n x y z = ，则00n EF n FD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即020x z x y -=⎧⎨-+=⎩令2x =，则1,2y z ==，则(2,1,2)n = 为平面EFD 的一个法向量，21cos ,233||||PD n PD n PD n ⋅<〉===⨯ .。
2021年高考数学一轮复习 专题突破训练 函数
2021年高考数学一轮复习专题突破训练函数一、填空题1、（xx年江苏高考）已知函数，，则方程实根的个数为。
2、（xx年江苏高考）已知函数，若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是▲ ．3、（xx年江苏高考）已知是定义在上且周期为3的函数，当时，在区间上有10个零点（互不相同），则实数的取值范围是▲ ．4、（xx年江苏高考）已知是定义在上的奇函数。
当时，，则不等式的解集用区间表示为。
5、（xx届南京、盐城市高三二模）已知函数，当时，关于的方程的所有解的和为。
6、（南通、扬州、连云港xx届高三第二次调研（淮安三模））设()是上的单调增函数，则的值为▲．7、（苏锡常镇四市xx届高三教学情况调研（二））已知函数恰有2个零点，则实数的取值范围为▲8、（泰州市xx届高三第二次模拟考试）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是▲ ．9、（盐城市xx届高三第三次模拟考试）若函数有两个极值点，其中，且，则方程的实根个数为▲10、（南通市xx届高三期末）已知函数是定义在上的函数，且则函数在区间上的零点个数为11、（苏州市xx届高三上期末）已知函数若函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是12、（苏州市xx届高三上期末）已知函数的定义域是，则实数的值为13、（泰州市xx届高三上期末）函数的定义域为▲14、（无锡市xx届高三上期末）已知函数是定义域为的偶函数，当时，21-,02 4, 13,2 24xx xf xx若关于的方程有且仅有个不同实数根，则实数的取值范围是15、（扬州市xx届高三上期末）设函数，若f（x）的值域为R，是实数a的取值范围是＿＿＿16、（苏锡常镇四市xx届高三教学情况调研（一））函数的定义域为17、（南京、盐城市xx届高三第二次模拟（淮安三模））已知f(x)是定义在R上的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，当x＞0时，f(x＋1)＝f(x)＋f(1)．若直线y＝kx与函数y＝f(x)的图象恰有5个不同的公共点，则实数k的值为▲18、（xx江苏百校联考一）函数的所有零点之和为．19、（南京、盐城市xx高三第一次模拟）若函数是定义在上的偶函数，且在区间上是单调增函数.如果实数满足时，那么的取值范围是20、（苏锡常镇四市xx届高三3月调研（一））已知函数，若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围为▲二、解答题1、（盐城市xx届高三上学期期中考试）设函数的定义域为，函数的值域为.（1）当时，求；（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.2、（泰兴市第三高级中学xx高三上第一次质检）已知函数f(x)＝x2＋mx＋n的图象过点(1，3)，且f(－1＋x)＝f(－1－x)对任意实数都成立，函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．(1) 求f(x)与g(x)的解析式；(2) 若F(x)＝g(x)－λf(x)在(－1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．3、（泰兴市第三高级中学xx高三上第一次质检）已知函数f(x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x4－2x2.(1) 求函数f(x)的定义域；(2) 判断函数f(x)的奇偶性；(3) 求函数f(x)的值域．4、（苏州市xx届高三上学期期中考试）已知函数，，．(1) ，，求值域；(2) ，解关于的不等式．5、（常州市xx届高三）某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留 1m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留 3m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为（m），三块种植植物的矩形区域2）．的总面积．．．为（m（1）求关于的函数关系式；（2）求的最大值．6、（南通、扬州、连云港xx届高三第二次调研（淮安三模））设，函数．（1）若为奇函数，求的值；（2）若对任意的，恒成立，求的取值范围；（3）当时，求函数零点的个数．7、已知函数，其中常数a > 0．(1) 当a = 4时，证明函数f(x)在上是减函数；(2) 求函数f(x)的最小值．8、已知函数，.（1）当时，求的定义域；（2）若恒成立，求的取值范围．参考答案 一、选择题 1、4解析：由220,01ln ,01(),()2,12ln ,16,2x x x f x g x x x x x x x <≤⎧-<≤⎧⎪==-<≤⎨⎨>⎩⎪->⎩得到： ，由于： 时，单调递减，且取值范围在，故在该区域有1根； 时，单调递减，且取值范围在，故该区域有1根； 时，单调递增，且取值范围在，故该区域有2根。
2021高考数学(新高考版)一轮复习考点考法精练：专项突破四 提能力·数学探究 Word版含解析
姓名，年级：时间：专项突破四 提能力·数学探究1。
[数列与全(特)称命题交汇]已知数列{a n }满足：a 1=a ,a n +1=a n 2+1a n(n ∈N *）,则下列判断正确的是（ )A 。
∀a 〉0，∃n ≥2，使得a n <√2B .∃a 〉0,∃n ≥2，使得a n <a n +1C 。
∀a >0，∃m ∈N *，总有a m 〈a nD 。
∃a 〉0,∃m ∈N ＊，总有a m +n =a n2。
[三角函数与二次函数交汇］如图4 — 1所示,函数f (x )=sin(ωx +φ)（ω>0，|φ｜〈π2)的图象与二次函数y = - 32x 2+12x +1的图象交于点A (x 1,0)和B (x 2，1）,则f （x )的解析式为 （ )图4 — 1A 。
f （x )=sin(16x +π3）B .f (x ）=sin(12x +π3）C 。
f （x ）=sin （π2x +π3) D .f （x ）=sin(π2x +π6） 3。
［导数与三角函数交汇］已知函数f (x )的定义域为R ，f （12）= - 12，对任意的x ∈R，满足f ’ （x ）〉4x 。
当α∈[0，2π］时，不等式f (sin α）+cos 2α>0的解集为（ ）A 。
(7π6,11π6)B .（4π3,5π3)C .（π3，2π3）D 。
（π6，5π6) 4。
[函数、极值与数列交汇］定义在[0，+∞）上的函数f （x ）满足：当0≤x 〈2时,f （x ）=2x - x 2；当x ≥2时，f (x ）=3f （x — 2）.若函数f (x )的极大值点从小到大依次记为a 1,a 2，…，a n ，…,并记相应的极大值为b 1,b 2，…,b n ,…，则a 1b 1+a 2b 2+…+a 20b 20的值为 （ )A.19×320+1B.19×319+1C.20×319+1 D。
高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)专题2-2基本不等式及其应用教师版
专题2.2基本不等式及其应用练基础1．（2021·曲靖市第二中学高三二模（文））已知(),,0,a b c ∈+∞，320a b c -+=，则b的（）A B ．最大值是3C ．最小值是D ．最小值是3【答案】B 【解析】由题意得32a cb +=，再代入所求式子利用基本不等式，即可得到答案；【详解】因为320a b c -+=，所以32a cb +=，所以3323c a b =≤=+，等号成立当且仅当3a c =.故选：B.2．（2021·山东高三其他模拟）已知a b ，均为正实数，则“2aba b≤+”是“16ab ≤”的（）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】取100,2a b ==可得由2ab a b ≤+推不出16ab ≤，反过来，由基本不等式可得由16ab ≤能推出2aba b≤+，然后可选出答案.【详解】取100,2a b ==，则2002102ab a b =<+，但20016ab =>，所以由2ab a b≤+推不出16ab ≤，反过来，若16ab ≤，则22ab a b ≤=≤+，当且仅当4a b ==时取等号，所以由16ab ≤能推出2ab a b ≤+，所以“2aba b≤+”是“16ab ≤”的必要不充分条件，故选：C3．（2021·吉林长春市·东北师大附中高三其他模拟（文））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC 的面积是()2214S b c =+，则ABC 的三个内角大小为（）A ．60ABC === B ．90,45A B C ===C ．120,30A B C ===D ．90,30,60A B C ===【答案】B 【解析】由ABC 的面积是()2214S b c =+，利用面积公式及基本不等式判断出90A =︒，由b=c 得45B C == .【详解】因为222b c bc +≥，所以()221142S b c bc =+≥（当且仅当b=c 时取等号）.而ABC 的面积是1sin 2S bc A =,所以11sin 22S bc A bc =≥，即sin 1A ≥，所以sin =1A ，因为A 为三角形内角，所以90A =︒.又因为b=c ，所以90,45A B C === .故选：B4．（2021·浙江高三月考）已知实数x ，y 满足2244x y +=，则xy 的最小值是（）A ．2-B ．C ．D ．1-【答案】D 【解析】运用三角代换法，结合二倍角的正弦公式、正弦型函数的最值性质进行求解即可.【详解】由22224414x x y y +=⇒+=，令2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，因此2cos sin sin 2xy θθθ==，因为1sin 21θ-≤≤，所以11xy -≤≤，因此xy 的最小值是1-，5．（2021·北京高三二模）某公司购买一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润s (万元)与机器运转时间t (年数，*t ∈N )的关系为22364s t t =-+-，要使年平均利润最大，则每台机器运转的年数t 为（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】D 【解析】根据题意求出年平均利润函数。
2021高考数学一轮复习第二部分专题突破练专题突破练5立体几何的综合问题含解析苏教版
专题突破练(5) 立体几何的综合问题一、选择题1．(2019·武汉模拟)已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊥α，n⊥α，则m∥n D．若m∥α，m∥β，则α∥β答案 C解析对于A，若a⊥γ，β⊥γ，则α∥β或α与β相交，故错误；对于B，若m ∥α，n∥α，则m与n平行或相交或异面，故错误；对于C，若m⊥α，n⊥α，则m∥n，正确；对于D，若m∥α，m∥β，则α∥β或α与β相交，故错误．选C．2．(2020·昆明高三摸底)已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，则“α∥β”是“l ⊥m”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析因为l⊥α，α∥β，所以l⊥β，又m⊂β，所以l⊥m；但l⊥α，l⊥m，m⊂β不能得到α∥β.所以“α∥β”是“l⊥m”的充分不必要条件．故选A．3．(2019·湖南长沙市长郡中学二模)如图，在下列三个正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G均为所在棱的中点，过E，F，G作正方体的截面．在各正方体中，直线BD1与平面EFG的位置关系描述正确的是( )A．BD1∥平面EFG的有且只有①，BD1⊥平面EFG的有且只有②③B．BD1∥平面EFG的有且只有②，BD1⊥平面EFG的有且只有①C．BD1∥平面EFG的有且只有①，BD1⊥平面EFG的有且只有②D．BD1∥平面EFG的有且只有②，BD1⊥平面EFG的有且只有③答案 A解析对于①，连接BD，因为E，F，G均为所在棱的中点，所以BD∥GE，DD1∥EF，从而可得BD∥平面EFG，DD1∥平面EFG，又BD∩DD1＝D，所以平面BDD1∥平面EFG，所以BD1∥平面EFG.对于②，连接DB ，DA 1，设正方体的棱长为1，因为E ，F ，G 均为所在棱的中点，所以BD 1→·GE →＝(DD 1→－DB →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12DA 1→＝12(DD 1→·DA 1→－DB →·DA 1→)＝12×(1×2×cos45°－2×2×cos60°)＝0，即BD 1⊥EG .连接DC 1，则BD 1→·EF →＝(DD 1→－DB →)·12DC 1→＝12(DD 1→·DC 1→－DB →·DC 1→)＝12×(1×2×cos45°－2×2×cos60°)＝0，即BD 1⊥EF .又EG ∩EF ＝E ，所以BD 1⊥平面EFG .对于图③，设正方体的棱长为1，连接DB ，DG ，因为E ，F ，G 均为所在棱的中点，所以BD 1→·EG →＝(DD 1→－DB →)·(DG →－DE →)＝(DD 1→－DB →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫DC →＋12DD 1→－12DA →＝12DD 1→2－DB →·DC →＋12DB →·DA →＝12－2×1×22＋12×2×1×22＝0，即BD 1⊥EG .连接AF ，则BD 1→·EF →＝(DD 1→－DB →)·(AF →－AE →)＝(DD 1→－DB →)·⎝⎛⎭⎪⎫DD 1→＋12DC →＋12DA →＝DD 1→2－12DB →·DC →－12DB →·DA →＝1－12×2×1×22－12×2×1×22＝0，即BD 1⊥EF .又EG ∩EF ＝E ，所以BD 1⊥平面EFG .故选A ．4．在四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD ．将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A ′－BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，则下列结论正确的是( )A ．A ′C ⊥BDB ．∠BA ′C ＝90°C ．CA ′与平面A ′BD 所成的角为30° D ．四面体A ′－BCD 的体积为13答案 B解析 ∵AB ＝AD ＝1，BD ＝2，∴AB ⊥AD ．∴A ′B ⊥A ′D ．∵平面A ′BD ⊥平面BCD ，平面A ′BD ∩平面BCD ＝BD ，CD ⊥BD ，∴CD ⊥平面A ′BD ，∴CD ⊥A ′B ，又A ′D ∩CD ＝D ，∴A ′B ⊥平面A ′CD ，∴A ′B ⊥A ′C ，即∠BA ′C ＝90°.故选B ．5．(2019·郑州二模)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝DD 1＝1，AB ＝3，E ，F ，G 分别是棱AB ，BC ，CC 1的中点，P 是底面ABCD 内一动点，若直线D 1P 与平面EFG 没有公共点，则三角形PBB 1面积的最小值为( )A.32B ．1C ．34 D ．12答案 C解析 补全截面EFG 为截面EFGHQR ，如图，设BT ⊥AC 于T ，∵直线D 1P 与平面EFG 不存在公共点，∴D 1P ∥平面EFGHQR ，易知平面ACD 1∥平面EFGHQR ，∴P ∈AC ，且当P 与T 重合时，BP ＝BT 最短，此时△PBB 1的面积最小，由等积法：12BT ×AC ＝12BC ×BA ，即12BT ×12＋32＝12×1×3，∴BT ＝32，又BB 1⊥平面ABCD ，∴BB 1⊥BP ，△PBB 1为直角三角形，∴△PBB 1面积的最小值为12×32×1＝34，故选C.6．如图所示，已知在多面体ABC －DEFG 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，平面ABC ∥平面DEFG ，平面BEF ∥平面ADGC ，AB ＝AD ＝DG ＝2，AC ＝EF ＝1，则该多面体的体积为( )A ．2B ．4C ．6D ．8答案 B解析 如图所示，将多面体补成棱长为2的正方体，那么显然所求的多面体的体积即为该正方体体积的一半，于是所求几何体的体积为V ＝12×23＝4.故选B ．7．(2019·湖北黄冈中学二模)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为2的等边三角形，俯视图是半圆(如图)．现有一只蚂蚁从点A 出发沿该几何体的侧面环绕一周回到A 点，则蚂蚁所经过路程的最小值为( )A ．πB ．6＋ 2C ．6－ 2D ．π＋2答案 B解析 由三视图可知，该几何体是半圆锥，其侧面展开图如图所示，则依题意，点A ，M 的最短距离，即为线段AM .∵PA ＝PB ＝2，半圆锥的底面半圆的弧长为π，∴展开图中的∠BPM ＝πPB＝π2，∵∠APB ＝π3，∴∠APM ＝5π6，∴在△APM 中，根据余弦定理有，MA 2＝22＋22－2×2×2cos 5π6＝8＋43＝(6＋2)2，∴MA ＝6＋2，即蚂蚁所经过路程的最小值为6＋2.故选B ．8．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，表面积的最大值是( ) A ．22πR 2B ．94πR 2C ．83πR 2D ．52πR 2 答案 B解析 如图所示，为组合体的轴截面，记BO 1的长度为x ，由相似三角形的比例关系，得PO 13R ＝x R，则PO 1＝3x ，圆柱的高为3R －3x ，所以圆柱的表面积为S ＝2πx 2＋2πx (3R －3x )＝－4πx 2＋6πRx ，则当x ＝34R 时，S 取最大值，S max ＝94πR 2.故选B ．9．如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥AD ，BC ∥AD ，PA ＝AD ＝4，AB ＝BC ＝2，PA ⊥平面ABCD ，点E 是线段AB 的中点，点F 在线段PA 上，且EF ∥平面PCD ，平面CEF 与直线PD 交于点H ，若点A ，B ，C ，H 都在球O 的表面上，则球O 的半径为( )A ．1B ． 2C ．32D ． 3答案 D解析 如图，取PD 的中点H ，PA 的中点G ，连接BG ，GH ，FH ，CH ，则GH ＝BC ，GH ∥BC ，所以四边形BCHG 是平行四边形．因为EF ∥平面PCD ，设平面PAB 与平面PCD 相交于直线m ，则EF ∥m ，CH ∥BG ∥m ，所以EF ∥BG ∥CH ，所以点H 就是平面CEF 与直线PD 的交点．取AD 的中点M ，连接CM ，HM ，则球O 就是直三棱柱ABG －MCH 的外接球，球心O 是两底面外接圆圆心连线的中点．直三棱柱ABG －MCH 的高BC ＝2，底面△ABG 的外接圆的半径为12BG ＝2，所以球O 的半径R ＝12＋22＝ 3.故选D ．10．(2020·河北唐山第一次摸底)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2AA 1，则异面直线A 1B 与B 1C 所成角的余弦值为( )A ．105B ．15C ．55D ．155答案 B解析 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，连接A 1D ，可得A 1D ∥B 1C ，所以异面直线A 1B 与B 1C 所成的角即为直线A 1B 与直线A 1D 所成的角，即∠DA 1B 为异面直线A 1B 与B 1C 所成的角，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AB ＝BC ＝2AA 1＝2，则A 1B ＝A 1D ＝5，BD ＝22，在△A 1BD 中，由余弦定理得cos ∠DA 1B ＝A 1B 2＋A 1D 2－BD 22A 1B ·A 1D ＝5＋5－82×5×5＝15.故选B ．11．(2020·广东四校联考)在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点C 关于平面BDC 1的对称点为M ，则AM 与平面ABCD 所成角的正切值为( )A ．22B ． 2C ． 3D ．2答案 B解析 如图，连接AC ，交BD 于点O ，因为BD ＝BC 1＝DC 1＝2，所以△BC 1D 是等边三角形，故三棱锥C －BC 1D 为正三棱锥，设O ′为△BC 1D 的中心，连接CO ′，故CO ′⊥平面BC 1D ，延长CO ′到M ，使得MO ′＝O ′C ，连接OO ′，则OO ′∥AM ，所以AM 与平面ABCD 所成的角等于OO ′与平面ABCD 所成的角．因为BD ⊥OO ′，BD ⊥AC ，AC ∩OO ′＝O ，所以BD ⊥平面AMC ，故平面AMC ⊥平面ABCD ，且平面ABCD ∩平面AMC ＝AC ，根据两个平面相互垂直的性质可知OO ′在平面ABCD 上的射影一定落在线段AC 上，故∠O ′OC 为OO ′与平面ABCD 所成的角，即AM 与平面ABCD 所成的角．因为OC ＝22，OO ′＝13×32×2＝66，所以O ′C ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222－⎝ ⎛⎭⎪⎫662＝33，所以tan ∠O ′OC ＝3366＝2，故选B ．12．(2020·湖北重点中学高三起点考试)如图，在四棱锥P －ABCD 中，顶点P 在底面的正投影O 恰为正方形ABCD 的中心，且AB ＝2，设点M ，N 分别为线段PD ，PO 上的动点，已知当AN ＋MN 取最小值时，动点M 恰为PD 的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为( )A ．9π2B ．16π3C ．25π4D ．64π9答案 B解析 如图，在PC 上取点M ′，使得PM ＝PM ′，连接NM ′，则MN ＝M ′N ，AN ＋MN ＝AN ＋M ′N ，则当A ，N ，M ′三点共线时，AN ＋M ′N 最小，为AM ′，当AM ′⊥PC 时，AM ′取得最小值，即AN ＋NM ′的最小值．因为此时M 恰为PD 的中点，所以M ′为PC 的中点，连接AC ，所以PA ＝AC ＝2，因此PO ＝PA 2－AO 2＝ 3.易知外接球的球心在四棱锥的内部，设外接球的半径为r ，则r 2＝(3－r )2＋1，解得r ＝233，因此外接球的表面积S ＝4πr 2＝16π3.故选B ．二、填空题13．(2020·长春高三摸底)设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α∥β；②若α外的一条直线l 与α内的一条直线平行，则l ∥α；③设α∩β＝l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α⊥β；④直线l ⊥α的充要条件是l 与α内的两条直线垂直．其中所有的真命题的序号是________．答案 ①②解析 ①正确；②正确；满足③的α与β不一定垂直，所以③错误；直线l ⊥α的充要条件是l 与α内的两条相交直线垂直，所以④错误．所有的真命题的序号是①②.14．(2019·湖南湘潭四模)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有仓，广三丈，袤四丈五尺，容粟一万斛，问高几何？”其意思为：“今有一个长方体(记为ABCD －A 1B 1C 1D 1)的粮仓，宽3丈(即AD ＝3丈)，长4丈5尺，可装粟一万斛，问该粮仓的高是多少？”已知1斛粟的体积为2.7立方尺，一丈为10尺，则下列判断正确的是________(填写所有正确结论的编号)．①该粮仓的高是2丈；②异面直线AD 与BC 1所成角的正弦值为31313；③长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的外接球的表面积为133π4平方丈．答案 ①③解析 由题意，因为10000×2.7＝30×45×AA 1，解得AA 1＝20尺＝2丈，故①正确；异面直线AD 与BC 1所成角为∠CBC 1，则sin ∠CBC 1＝21313，故②错误；此长方体的长、宽、高分别为4.5丈、3丈、2丈，故其外接球的表面积为4π⎝ ⎛⎭⎪⎫4.52＋32＋2222＝133π4平方丈，所以③正确．15．如图，用一个边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个巢，将半径为1的球体放入其中，则球心与巢底面的距离为__________．答案3＋12解析 由题意知，折起后原正方形顶点间最远的距离为1，如图中的DC ；折起后原正方形顶点到底面的距离为12，如图中的BC ．由图知球心与巢底面的距离OF ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12＝3＋12.16．(2020·惠州调研)在三棱锥A －BCD 中，底面BCD 是直角三角形且BC ⊥CD ，斜边BD 上的高为1，三棱锥A －BCD 的外接球的直径是AB ，若该外接球的表面积为16π，则三棱锥A －BCD 体积的最大值为________．答案 43解析 如图，过点C 作CH ⊥BD 于点H .由外接球的表面积为16π，可得外接球的半径为2，则AB ＝4.因为AB 为外接球的直径，所以∠BDA ＝90°，∠BCA ＝90°，即BD ⊥AD ，BC ⊥CA ，又BC ⊥CD ，CA ∩CD ＝C ，所以BC ⊥平面ACD ，所以BC ⊥AD ，又BC ∩BD ＝B ，所以AD ⊥平面BCD ，所以平面ABD ⊥平面BCD ，又平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，CH ⊥BD ，CH ⊂平面BCD ，所以CH ⊥平面ABD ．设AD ＝x (0<x <4)，则BD ＝16－x 2.在△BCD 中，BD 边上的高CH ＝1，所以V 三棱锥A －BCD ＝V 三棱锥C －ABD ＝13×12×x ×16－x 2×1＝16 －x 4＋16x 2，当x 2＝8时，V 三棱锥A －BCD 有最大值，故三棱锥A －BCD 体积的最大值为43.三、解答题17．(2020·郑州模拟)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，∠ABC ＝π3，M 是PC 的中点．(1)求证：平面PAC ⊥平面MBD ； (2)若PB ⊥PD ，三棱锥P －ABD 的体积为63，求四棱锥P －ABCD 的侧面积． 解 (1)证明：∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥BD ， ∵底面ABCD 是菱形，∴BD ⊥AC .又PA ∩AC ＝A ，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ， ∴BD ⊥平面PAC .又BD ⊂平面MBD ，∴平面PAC ⊥平面MBD . (2)设菱形ABCD 的边长为x ， ∵∠ABC ＝π3，∴∠BAD ＝2π3.在△ABD 中，BD 2＝AD 2＋AB 2－2AD ·AB ·cos∠BAD ＝2x 2－2x 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3x 2，∴BD ＝3x .又PA ⊥平面ABCD ，AB ＝AD ，PB ⊥PD ，∴PB ＝PD ＝62x ， ∴PA ＝PB 2－AB 2＝32x 2－x 2＝22x . 又S △ABD ＝12AB ·AD ·sin∠BAD ＝12·x 2·sin 2π3＝34x 2，∴V 三棱锥P －ABD ＝13·S △ABD ·PA ＝13·34x 2·22x ＝63，∴x ＝2，∴PA ＝2，PB ＝PD ＝ 6. ∵∠ABC ＝π3，∴AC ＝AB ＝2.又PA ⊥平面ABCD ，∴PC ＝PB ＝6， ∴四棱锥P －ABCD 的侧面积为2S △PAB ＋2S △PBC ＝2×12×2×2＋2×12×62－1×2＝2(5＋2)．18. (2020·福建莆田月考)如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面ABC 是边长为2的正三角形，M ，N 分别是棱AB ，AA 1的中点，且A 1M ⊥B 1N .(1)求证：B 1N ⊥A 1C ；(2)求点M 到平面A 1B 1C 的距离．解 (1)证明：如图，连接CM ，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ，所以CM ⊥AA 1.在△ABC 中，由题意知AC ＝BC ，AM ＝BM ，所以CM ⊥AB . 又AA 1∩AB ＝A ，所以CM ⊥平面ABB 1A 1. 因为B 1N ⊂平面ABB 1A 1，所以CM ⊥B 1N .又A 1M ⊥B 1N ，A 1M ∩CM ＝M ，所以B 1N ⊥平面A 1CM .因为A 1C ⊂平面A 1CM ，所以B 1N ⊥A 1C .(2)在矩形ABB 1A 1中，A 1M ⊥B 1N ，所以∠AA 1M ＝∠A 1B 1N ，所以tan ∠AA 1M ＝tan ∠A 1B 1N ，即AMAA 1＝A 1N A 1B 1. 因为△ABC 是边长为2的正三角形，M ，N 分别是棱AB ，AA 1的中点，所以AM ＝1，CM ＝3，A 1B 1＝2.设AA 1＝x (x >0)，则A 1N ＝x 2，所以1x ＝x22，解得x ＝2.解法一：如图，连接B 1C ，B 1M .从而S △A 1B 1M ＝12S 正方形ABB 1A 1＝2，A 1C ＝B 1C ＝2 2.在△A 1CB 1中，cos ∠A 1CB 1＝A 1C 2＋CB 21－A 1B 212A 1C ·CB 1＝34，所以sin ∠A 1CB 1＝74，所以S △A 1B 1C ＝12A 1C ·B 1C ·sin∠A 1CB 1＝12×22×22×74＝7.设点M 到平面A 1B 1C 的距离为d ，由V 三棱锥M －A 1B 1C ＝V 三棱锥C －A 1B 1M ，得13S △A 1B 1C ·d ＝13S △A 1B 1M ·CM ，所以d ＝S △A 1B 1M ·CM S △A 1B 1C ＝2×37＝2217，即点M 到平面A 1B 1C 的距离为2217.解法二：如图，取A 1B 1的中点D ，连接MD ，CD ，过M 作MO ⊥CD 于点O . 在正方形ABB 1A 1中，易知A 1B 1⊥MD ，由(1)可知CM ⊥A 1B 1. 又CM ∩DM ＝M ，所以A 1B 1⊥平面CDM . 因为MO ⊂平面CDM ，所以A 1B 1⊥MO .又MO ⊥CD ，A 1B 1∩CD ＝D ，所以MO ⊥平面A 1B 1C ，即线段MO 的长为点M 到平面A 1B 1C 的距离．由(1)可得CM ⊥DM .又MD ＝2，所以由勾股定理可得CD ＝CM 2＋MD 2＝7，S △CMD ＝12·CD ·MO ＝12·CM ·MD ，即12×7×MO ＝12×3×2，解得MO ＝2217，即点M 到平面A 1B 1C 的距离为2217. 19. (2019·安徽黄山三模)如图，在平行四边形ABCM 中，AB ＝AC ＝3，∠ACM ＝90°，以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到点D 的位置，且AB ⊥DA .(1)证明：CD ⊥平面ABC ；(2)Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且BP ＝DQ ＝23DA ，求三棱锥B －APQ 的体积．解 (1)证明：因为四边形ABCM 是平行四边形，且∠ACM ＝90°， 所以AC ⊥AB ，又AD ⊥AB ，AD ∩AC ＝A ，所以AB ⊥平面ACD ， 又CD ⊂平面ACD ，所以AB ⊥CD ，又CD ⊥AC ，AC ∩AB ＝A ，所以CD ⊥平面ABC . (2)取AC 上一点H ，使CH ＝23CA ，因为DQ ＝23DA ，连接QH ，则QH ∥CD ，所以由(1)可得QH ⊥平面ABC .因为AB ＝AC ＝3，所以BC ＝32，AD ＝32，所以BP ＝DQ ＝32×23＝22，所以QH ＝13CD ＝13×3＝1，所以V 三棱锥B －APQ ＝V 三棱锥Q －APB ＝13S △PAB ·QH ＝13×23×12×3×3×1＝1.20.(2019·江西省名校联考)如图，在空间几何体ABCDE 中，△BCD 与△CDE 均为边长为2的等边三角形，△ABC 为腰长为13的等腰三角形，平面CDE ⊥平面BCD ，平面ABC ⊥平面BCD .(1)试在平面BCD 内作一条直线，使直线上任意一点F 与A 的连线AF 均与平面CDE 平行，并给出详细证明；(2)求点B 到平面AEC 的距离．解 (1)如图，取BC 和BD 的中点H ，G ，连接HG ，则直线HG 为所求直线．证明如下．因为H ，G 分别为BC 和BD 的中点，所以HG ∥CD ，所以HG ∥平面CDE . 取CD 的中点O ，连接EO ，AH ，AG ，如图，易知EO ⊥CD ，AH ⊥BC . 因为平面CDE ⊥平面BCD ，且EO ⊥CD ，所以EO ⊥平面BCD ， 又由平面ABC ⊥平面BCD ，AH ⊥BC ，得AH ⊥平面BCD ， 所以EO ∥AH ，所以AH ∥平面CDE ，所以平面AHG ∥平面CDE ， 所以直线HG 上任意一点F 与A 的连线AF 均与平面CDE 平行． (2)由(1)可得EO ∥AH ，所以EO ∥平面ABC ，所以点E 到平面ABC 的距离和点O 到平面ABC 的距离相等，连接DH ，则点O 到平面ABC 的距离d ＝12DH ＝32，因为AB ＝13，所以三角形ABC 的面积S ＝12×2×132－1＝23，而经分析可得三角形ACE 的面积S 1＝12×13×32＝394，设B 到平面AEC 的距离为h ，用等体积法可得，V 三棱锥E －ABC ＝V 三棱锥B －ACE ，即13×23×32＝13×394×h ，解得h ＝43913. 21. (2019·湖北仙桃一中考前适应性考试)如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，平面ABCD ⊥平面PAD ，∠PAD ＝∠APD ，E 是线段PB 的中点，F 是线段DC 上的点，且AB＝CF ＝2FD ＝6.(1)证明：EF ⊥平面APB ；(2)在PC 上是否存在一点K ，满足PK →＝λKC →，使得平面EFK ∥平面PAD ？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由．解 (1)证明：如图，取线段PA 的中点M ，连接MD ，ME .因为E 是线段PB 的中点，所以ME ∥AB ，ME ＝12AB .又AB ＝CF ＝2FD ＝6，所以DF ＝12AB ，所以ME ＝DF .又DF ∥AB ，所以ME ∥DF ，所以四边形MDFE 是平行四边形，所以EF ∥MD . 因为∠PAD ＝∠APD ，所以PD ＝AD ，所以MD ⊥PA .因为平面ABCD ⊥平面PAD ，平面ABCD ∩平面PAD ＝AD ，AB ⊥AD ，所以AB ⊥平面PAD ， 所以MD ⊥AB .又PA ∩AB ＝A ，PA ⊂平面APB ，AB ⊂平面APB ，所以MD ⊥平面APB ，故EF ⊥平面APB . (2)存在满足条件的点K .由(1)可知EF ∥MD ，EF ⊄平面PAD ，MD ⊂平面PAD ，所以EF ∥平面PAD . 根据题意，可得当点K 为PC 上靠近点P 的三等分点时，满足题意． 因为PK KC ＝DF FC ＝12，所以FK ∥PD .又PD ⊂平面PAD ，FK ⊄平面PAD ，所以FK ∥平面PAD .又FK ∩EF ＝F ，所以平面EFK ∥平面PAD ，此时PK →＝12KC →，即λ＝12.故当PK →＝12KC →时，平面EFK ∥平面PAD .附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。
高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)专题9-4 双曲线 教师版
专题9.4双曲线练基础1．（2021·江苏高考真题）已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线与直线230x y -+=平行，则该双曲线的离心率是（）AB C ．2D【答案】D 【分析】写出渐近线，再利用斜率相等，进而得到离心率【详解】双曲线的渐近线为b y x a =±，易知by x a=与直线230x y -+=平行，所以=2b e a ⇒故选：D.2．（2021·北京高考真题）若双曲线2222:1x y C a b-=离心率为2，过点，则该双曲线的程为（）A ．2221x y -=B ．2213y x -=C ．22531x y -=D ．22126x y -=【答案】B 【分析】分析可得b =，再将点代入双曲线的方程，求出a 的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】2c ea == ，则2c a =，b ==，则双曲线的方程为222213x y a a-=，将点的坐标代入双曲线的方程可得22223113a a a-==，解得1a =，故b =，因此，双曲线的方程为2213y x -=.故选：B3．（2021·山东高考真题）已知1F 是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左焦点，点P 在双曲线上，直线1PF 与x 轴垂直，且1PF a =，那么双曲线的离心率是（）AB C ．2D ．3【答案】A 【分析】易得1F 的坐标为(),0c -，设P 点坐标为()0,c y -，求得20by a=，由1PF a =可得a b =，然后由a ，b ，c 的关系求得222c a =，最后求得离心率即可.【详解】1F 的坐标为(),0c -，设P 点坐标为()0,c y -，易得()22221c y a b--=，解得20b y a =，因为直线1PF 与x 轴垂直，且1PF a =，所以可得2b a a=，则22a b =，即a b =，所以22222c a b a =+=，离心率为e =故选：A .4．（2021·天津高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D 两点，若|CD AB ．则双曲线的离心率为（）A B C ．2D ．3【答案】A 【分析】设公共焦点为(),0c ，进而可得准线为x c =-，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得2212a c =，再由双曲线离心率公式即可得解.【详解】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线22(0)y px p =>的公共焦点为(),0c ，则抛物线22(0)y px p =>的准线为x c =-，令x c =-，则22221c y a b -=，解得2b y a =±，所以22bAB a=,又因为双曲线的渐近线方程为b y x a =±，所以2bcCD a=，所以2bc a =c =，所以222212a c b c =-=，所以双曲线的离心率ce a==故选：A.5．（2019·北京高考真题（文））已知双曲线2221x y a-=（a ＞0）则a =（）B．4C．2D．12【答案】D 【解析】∵双曲线的离心率ce a==，c =，∴a a=，解得12a =，故选D.6．（全国高考真题（文））双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，焦点到渐近线的，则C 的焦距等于（）．A.2B.C.4D.【答案】C 【解析】设双曲线的焦距为2c，双曲线的渐进线方程为，由条件可知，，又，解得，故答案选C．7.（2017·天津高考真题（文））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF △是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（）A.221412x y -= B.221124x y -= C.2213x y -= D.2213y x -=【答案】D 【解析】由题意结合双曲线的渐近线方程可得：2222tan 60c c a bba⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪==⎩ ，解得：221,3a b ==，双曲线方程为：2213y x -=.本题选择D 选项.8．（2021·全国高考真题（理））已知双曲线22:1(0)x C y m m-=>0my +=，则C 的焦距为_________．【答案】4【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出,a b 的关系，再结合双曲线中22,a b 对应关系，联立求解m ，再由关系式求得c ，即可求解.【详解】0my +=化简得y =，即b a 2223b a m =，又双曲线中22,1a m b ==，故231m m=，解得3,0m m ==（舍去），2223142c a b c =+=+=⇒=，故焦距24c =.故答案为：4.9．（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_____.【答案】y =.【解析】由已知得222431b-=，解得b =或b =，因为0b >，所以b =.因为1a =，所以双曲线的渐近线方程为y =.10.（2020·全国高考真题（文））设双曲线C ：22221x y a b-=(a >0，b >0)的一条渐近线为y =2x ，则C 的离心率为_________．【答案】3【解析】由双曲线方程22221x y a b-=可得其焦点在x 轴上，因为其一条渐近线为2y x =，所以2b a =，2213c b e a a==+=.故答案为：3练提升1.（2018·全国高考真题（理））设1F ,2F 是双曲线2222:1x y C a b-=（）的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若16PF =，则C 的离心率为()53C．22【答案】B 【解析】由题可知22,PF b OF c==PO a∴=在2Rt PO F 中，222cos P O PF bF OF c∠==在12PF F △中,22221212212cos P O 2PF F F PF b F PF F F c+-∠==)2222246322b c abc a b cc+-∴=⇒=⋅e 3∴=故选B.2．（2020·云南文山·高三其他（理））已知双曲线2221(0)x y a a-=>上关于原点对称的两个点P ，Q ，右顶点为A ，线段AP 的中点为E ，直线QE 交x 轴于(1,0)M ，则双曲线的离心率为（）A B ．53C D ．103【答案】D 【解析】由已知得M 为APQ 的重心，∴3||3a OM ==，又1b =，∴c ==，即3c e a ==.故选:D.3．（2020·广东天河·华南师大附中高三月考（文））已知平行于x 轴的直线l 与双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于P 、Q 两点，O 为坐标原点，若OPQ △为等边三角形，则双曲线C 的离心率为（）A ．2B ．233C D ．33【答案】A 【解析】因为OPQ △为等边三角形，所以渐近线的倾斜角为3π，所以22,3,bb b a a=∴=∴=所以2222223,4,4,2c a a c a e e -=∴=∴=∴=.故选：A4．（2021·广东广州市·高三月考）已知1F ，2F 分别是双曲线C ：2213x y -=的左、右焦点，点P 是其一条渐近线上一点，且以线段12F F 为直径的圆经过点P ，则点P 的横坐标为（）A ．±1B ．C ．D ．2±【答案】C 【分析】由题意可设00(,)3P x x ±，根据圆的性质有120F P F P ⋅= ，利用向量垂直的坐标表示，列方程求0x 即可.【详解】由题设，渐近线为3y x =±，可令00(,)3P x x ，而1(2,0)F -，2(2,0)F ，∴100(2,)3F P x =+± ，200(2,)3F P x x =- ，又220120403x F P F P x ⋅=-+= ，∴0x =故选：C5.（2020·广西南宁三中其他（理））圆22:10160+-+=C x y y 上有且仅有两点到双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是（）A ．B ．55(,)32C ．55(,42D ．1)【答案】C 【解析】双曲线22221x y a b-=的一条渐近线为0bx ay -=，圆22:10160C x y y +-+=，圆心()0,5，半径3因为圆C 上有且仅有两点到0bx ay -=的距离为1，所以圆心()0,5到0bx ay -=的距离d 的范围为24d <<即24<<，而222+=a b c 所以524a c <<，即5542e <<故选C 项.6．【多选题】（2021·湖南高三）已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左，右焦点为1F ，2F ，右顶点为A ，则下列结论中，正确的有（）A ．若a b =，则CB ．若以1F 为圆心，b 为半径作圆1F ，则圆1F 与C 的渐近线相切C ．若P 为C 上不与顶点重合的一点，则12PF F △的内切圆圆心的横坐标x a=D ．若M 为直线2a xc =（c ）上纵坐标不为0的一点，则当M 的纵坐标为时，2MAF 外接圆的面积最小【答案】ABD 【分析】由a b =，得到222a c =，利用离心率的定义，可判定A 正确；由双曲线的几何性质和点到直线的距离公式，可判定B 正确；由双曲线的定义和内心的性质，可判定C 不正确；由正弦定理得到2MAF 外接圆的半径为222sin AF R AMF =∠，得出2sin AMF ∠最大时，R 最小，只需2tan AMF ∠最大，设2,a M t c ⎛⎫⎪⎝⎭，得到22tan tan()AMF NMF NMA ∠=∠-∠，结合基本不等式，可判定D 正确．【详解】对于A 中，因为a b =，所以222a c =，故C 的离心率ce a==A 正确；对于B 中，因为()1,0F c -到渐近线0bx ay -=的距离为d b ==，所以B 正确；对于C 中，设内切圆与12PF F △的边1221,,F F F P F P 分别切于点1,,A B C ，设切点1A (,0)x ，当点P 在双曲线的右支上时，可得121212PF PF PC CF PB BF CF BF -=+--=-1112A F A F =-()()22c x c x x a =+--==，解得x a =，当点P 在双曲线的左支上时，可得x a =-，所以12PF F △的内切圆圆心的横坐标x a =±，所以C 不正确；对于D 中，由正弦定理，可知2MAF 外接圆的半径为222sin AF R AMF =∠，所以当2sin AMF ∠最大时，R 最小，因为2a a c<，所以2AMF ∠为锐角，故2sin AMF ∠最大，只需2tan AMF ∠最大．由对称性，不妨设2,a M t c ⎛⎫ ⎪⎝⎭（0t >），设直线2a x c =与x 轴的交点为N ，在直角2NMF △中，可得222=tan a c NF c NM t NMF -∠=，在直角NMA △中，可得2=tan a a NA c NM tMA N -∠=，又由22222222tan tan tan tan()1tan tan 1NMF NMA AMF NMF NMA NMF NMAa a c a c ct t a a c a c c t t --∠-∠∠=∠-∠==+∠∠--⨯+-⋅22()c a ab c a t c t-=-+当且仅当()22ab c a t c t -=，即t =2tan AMF ∠取最大值，由双曲线的对称性可知，当t =2tan AMF ∠也取得最大值，所以D 正确．故选：ABD ．7．【多选题】（2021·重庆巴蜀中学高三月考）已知点Q 是圆M ：()2224x y ++=上一动点，点()2,0N ，若线段NQ 的垂直平分线交直线MQ 于点P ，则下列结论正确的是（）A ．点P 的轨迹是椭圆B ．点P 的轨迹是双曲线C ．当点P 满足PM PN ⊥时，PMN 的面积3PMN S =△D ．当点P 满足PM MN ⊥时，PMN 的面积6PMN S = 【答案】BCD 【分析】根据PM PN -的结果先判断出点P 的轨迹是双曲线，由此判断AB 选项；然后根据双曲线的定义以及垂直对应的勾股定理分别求解出PM PN ⋅的值，即可求解出PMN S △，据此可判断CD 选项.【详解】依题意，2MQ =，4MN =，因线段NQ 的垂直平分线交直线MQ 于点P ，于是得PQ PN =，当点P 在线段MQ 的延长线上时，2PM PN PM PQ MQ -=-==，当点P 在线段QM 的延长线上时，2PN PM PQ PM MQ -=-==，从而得24PM PN MN -=<=，由双曲线的定义知，点M 的轨迹是双曲线，故A 错，B 对；选项C ，点P 的轨迹方程为2213y x -=，当PM PN ⊥时，2222616PM PN PM PN PM PN MN ⎧-=⎪⇒⋅=⎨+==⎪⎩，所以132PMN S PM PN ==△，故C 对；选项D ，当PM MN ⊥时，2222316PM PN PM PN PM MN ⎧-=-⎪⇒=⎨-==⎪⎩，所以162PMN S PM MN ==△，故D 对，故选：BCD.8．（2021·全国高二课时练习）双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的焦距为4，且其渐近线与圆()222:21C x y -+=相切，则双曲线1C 的标准方程为______．【答案】2213x y -=【分析】根据焦距，可求得c 值，根据渐近线与圆2C 相切，可得圆心到直线的距离等于半径1，根据a ，b ，c 的关系，即可求得a ，b 值，即可得答案.【详解】因为双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的焦距为4，所以2c =．由双曲线1C 的两条渐近线b y x a=±与圆()222:21C x y -+=相切，可得1=又224a b +=，所以1b =，a =所以双曲线1C 的标准方程为2213x y -=．故答案为：2213x y -=9．（2021·全国高二单元测试）已知双曲线2213y x -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为e ，若双曲线上一点P 使2160PF F ∠=︒，则221F P F F ⋅的值为______．【答案】3【分析】在12PF F △中，设2PF x =，则12PF x =+或12PF x =-．分别运用余弦定理可求得答案.【详解】解：由已知得2124F F c ==．在12PF F △中，设2PF x =，则12PF x =+或12PF x =-．当12PF x =+时，由余弦定理，得()222124242x x x +=+-⨯⨯，解得32x =，所以221314322F P F F ⋅=⨯⨯= ．当12PF x =-时，由余弦定理，得()222124242x x x -=+-⨯⨯，无解．故2213F P F F ⋅=．故答案为：3.10．（2021·全国高二课时练习）如图，以AB 为直径的圆有一内接梯形ABCD ，且//AB CD ．若双曲线1C 以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点，则当梯形的周长最大时，双曲线1C 的离心率为______．1【分析】连接AC ，设BAC θ∠=，将梯形的周长表示成关于θ的函数，求出当30θ=︒时，l 有最大值，即可得到答案；【详解】连接AC ，设BAC θ∠=，2AB R c R ==，，作CE AB ⊥于点E ，则||2sin BC R θ=，()2||||cos 902sin EB BC R θθ=︒-=，所以2||24sin CD R R θ=-，梯形的周长221||2||||24sin 24sin 4sin 52l AB BC CD R R R R R R θθθ⎛⎫=++=++-=--+ ⎪⎝⎭．当1sin 2θ=，即30θ=︒时，l 有最大值5R ，这时，||BC R =，||3AC R =，1(31)(||||)22R a AC BC -=-=，31==+c e a ．故答案为：31+练真题1.（2021·全国高考真题（理））已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且121260,3F PF PF PF ∠=︒=，则C 的离心率为（）A 72B 132C 7D 13【答案】A 【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出12,PF PF ，结合余弦定理可得答案.【详解】因为213PF PF =，由双曲线的定义可得12222PF PF PF a -==，所以2PF a =，13PF a =；因为1260F PF ∠=︒,由余弦定理可得2224923cos60c a a a a =+-⨯⋅⋅︒，整理可得2247c a =，所以22274a c e ==，即72e =.故选：A2．（2020·浙江省高考真题）已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y =234x -OP |=（）A．222B．4105C．710【答案】D 【解析】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413b c a =-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>，而点P 还在函数234y x =-由()22103y x x y ⎧⎪⎨->==⎪⎩，解得22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即OP ==．故选：D.3.（2019·全国高考真题（理））设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为（）B．C．2D．【答案】A 【解析】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c == ，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，A ∴为圆心||2c OA =．,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a=∴==．e ∴=，故选A．4.（2019·全国高考真题（理））双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为（）A．324B．2C．D．【答案】A 【解析】由2,a b c ===．,2P PO PF x =∴=，又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在22y x =上，113322224PFO P S OF y ∴=⋅==△，故选A．5.（2021·全国高考真题（文））双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为________．【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.【详解】由已知，3c ===，所以双曲线的右焦点为(3,0)，所以右焦点(3,0)到直线280x y +-===.6．（2019·全国高考真题（理））已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB = ，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________．【答案】2.【解析】如图，由1,F A AB =得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线，即22//,2.BF OA BF OA =由120F B F B =，得121,,F B F B OA F A ⊥⊥则1OB OF =有1AOB AOF ∠=∠，又OA 与OB 都是渐近线，得21,BOF AOF ∠=∠又21BOF AOB AOF π∠+∠+∠=，得02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=．又渐近线OB 的斜率为0tan 603ba==，所以该双曲线的离心率为221()1(3)2c be a a==+=+=．。
2021版新高考数学一轮复习高考大题专项(一)导数的综合应用新人教A版
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(1)若 a=1,证明:当 x≥0 时,f(x)≥1; (2)略.
3.已知函数 f(x)=(x-k)ex. (1)求 f(x)的单调区间; (2)略.
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高考大题专项(一) 导数的综合应用
突破 1 导数与函数的单调性 1.已知函数 f(x)=1x3-a(x2+x+1).
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(1)若 a=3,求 f(x)的单调区间; (2)略.
2.已知函数 f(x)=ex-ax2. 1
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(1)当 a=-1 时,求 f(x)的最大值; (2)若 f(x)在区间(0,e]上的最大值为-3,求 a 的值.
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突破 4 导数与函数的零点 1.已知函数 f(x)=1x2-mln x.若 m≥1,令 F(x)=f(x)-x2+(m+1)x,试讨论函数 F(x)的零点个数.
2021-2022年高考数学一轮复习高考大题专项练3高考中的数列
2021年高考数学一轮复习高考大题专项练3高考中的数列1.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,公差d≠0,且S3+S5=50,a1,a4,a13成等比数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设是首项为1,公比为3的等比数列,求数列{b n}的前n项和T n.2.设数列{a n}的前n项和为S n,已知a1=3,S n+1=3S n+3.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若b n=,求数列{b n}的前n项和T n.3.已知数列{a n}的首项为1,S n为数列{a n}的前n项和,S n+1=qS n+1,其中q>0,n∈N+.(1)若a2,a3,a2+a3成等差数列,求数列{a n}的通项公式;(2)设双曲线x2-=1的离心率为e n,且e2=2,求+…+.4.已知数列{a n}的首项a1=,a n+1=(n∈N+).(1)求证:数列是等比数列;(2)求数列的前n项和S n.5.(xx江苏,19)对于给定的正整数k,若数列{a n}满足:a n-k+a n-k+1+…+a n-1+a n+1+…+a n+k-1+a n+k=2ka n对任意正整数n(n>k)总成立,则称数列{a n}是“P(k)数列”.(1)证明:等差数列{a n}是“P(3)数列”;(2)若数列{a n}既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,证明{a n}是等差数列.6.设S n为等差数列{a n}的前n项和,已知S3=a7,a8-2a3=3.(1)求a n;(2)设b n=,数列{b n}的前n项和为T n,求证:T n>(n∈N+).7.已知正项数列{a n}的首项a1=1,前n项和S n满足a n=(n≥2).(1)求证:{}为等差数列,并求数列{a n}的通项公式;(2)记数列的前n项和为T n,若对任意的n∈N+,不等式4T n<a2-a恒成立,求实数a的取值范围.8.(xx山东潍坊一模)已知数列{a n}是等差数列,其前n项和为S n,数列{b n}是公比大于0的等比数列,且b1=-2a1=2,a3+b2=-1,S3+2b3=7.(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式;(2)令c n=求数列{c n}的前n项和T n.参考答案高考大题专项练三高考中的数列1.解(1)依题意得,解得故a n=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1,即a n=2n+1.(2)由题意可知=3n-1,则b n=a n·3n-1=(2n+1)·3n-1.故T n=3+5×3+7×32+…+(2n+1)·3n-1, ①3T n=3×3+5×32+7×33+…+(2n-1)·3n-1+(2n+1)·3n, ②①-②得-2T n=3+2×3+2×32+…+2·3n-1-(2n+1)3n=3+2·-(2n+1)3n=-2n·3n,因此,T n=n·3n.2.解(1)(方法一)∵S n+1=3S n+3,∴S n+1+=3.∴S n+3n-1=×3n-1=.∴当n≥2时,a n=S n-S n-1==3n,a1也适合.∴a n=3n.(方法二)由S n+1=3S n+3(n∈N+),可知当n≥2时,S n=3S n-1+3,两式相减,得a n+1=3a n(n≥2).又a1=3,代入S n+1=3S n+3得a2=9,故a n=3n.(2)∵b n=,∴T n=, ①∴T n=, ②由①-②,得T n=,解得T n=.3.解(1)由已知,S n+1=qS n+1,S n+2=qS n+1+1,两式相减得到a n+2=qa n+1,n≥1.又由S2=qS1+1得到a2=qa1,故a n+1=qa n对所有n≥1都成立.所以,数列{a n}是首项为1,公比为q的等比数列.从而a n=q n-1.由a2,a3,a2+a3成等差数列,可得2a3=a2+a2+a3.所以a3=2a2,故q=2.所以a n=2n-1.(2)由(1)可知,a n=q n-1.所以双曲线x2-=1的离心率e n=.由e2==2,解得q=.所以+…+=(1+1)+(1+q2)+…+[1+q2(n-1)]=n+[1+q2+…+q2(n-1)]=n+=n+(3n-1).4.(1)证明∵a n+1=,∴.∴-1=.又a1=,∴-1=.∴数列是以为首项,以为公比的等比数列.(2)解由(1)知-1=,则+1.故+n.设T n=+…+, ①则T n=+…+, ②由①-②得T n=+…+=1-,∴T n=2-.又1+2+3+…+n=,∴数列的前n项和S n=2-.5.证明(1)因为{a n}是等差数列,设其公差为d,则a n=a1+(n-1)d,从而,当n≥4时,a n-k+a n+k=a1+(n-k-1)d+a1+(n+k-1)d=2a1+2(n-1)d=2a n,k=1,2,3, 所以a n-3+a n-2+a n-1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n,因此等差数列{a n}是“P(3)数列”.(2)数列{a n}既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,因此,当n≥3时,a n-2+a n-1+a n+1+a n+2=4a n, ①当n≥4时,a n-3+a n-2+a n-1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n.②由①知,a n-3+a n-2=4a n-1-(a n+a n+1), ③a n+2+a n+3=4a n+1-(a n-1+a n).④将③④代入②,得a n-1+a n+1=2a n,其中n≥4,所以a3,a4,a5,…是等差数列,设其公差为d'.在①中,取n=4,则a2+a3+a5+a6=4a4,所以a2=a3-d',在①中,取n=3,则a1+a2+a4+a5=4a3,所以a1=a3-2d',所以数列{a n}是等差数列.6.(1)解设等差数列{a n}的公差为d,由题意得解得故a n=a1+(n-1)d=2n+1.(2)证明∵a1=3,d=2,∴S n=na1+d=n(n+2).∴b n=.∴T n=b1+b2+…+b n-1+b n=,故T n>.7.解(1)因为a n=,所以S n-S n-1=,即=1,所以数列{}是首项为=1,公差为1的等差数列,得=n,所以a n==n+(n-1)=2n-1(n≥2),当n=1时,a1=1也适合,所以a n=2n-1.(2)因为,所以T n=+…+.所以T n<.要使不等式4T n<a2-a恒成立,只需2≤a2-a恒成立,解得a≤-1或a≥2,故实数a的取值范围是(-∞,-1]∪[2,+∞).8.解(1)设等差数列{a n}的公差为d,等比数列{b n}的公比为q>0,且b1=-2a1=2,a3+b2=-1,S3+2b3=7.∴a1=-1,-1+2d+2q=-1,3×(-1)+3d+2×2×q2=7,解得d=-2,q=2.∴a n=-1-2(n-1)=1-2n,b n=2n.(2)c n=①当n=2k(k∈N+)时,数列{c n}的前n项和T n=T2k=(c1+c3+…+c2k-1)+(c2+c4+…+c2k)=2k++…+,令A k=+…+,∴A k=+…+,∴A k=+4+…++4×,可得A k=.∴T n=T2k=2k+.②当n=2k-1(k∈N+)时,数列{c n}的前n项和T n=T2k-2+a2k-1=2(k-1)++2=2k+.∴T n=k∈N+.。
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专项突破 新高考·新题型专练一、多项选择题:在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 1.已知集合M ={0,1,2},N ={x ||x - 1|≤1},则 ( ) A.M =N B.N ⊆M C.M ∩N =M D.(∁R M )∪N =R 2.已知i 为虚数单位,则下列结论正确的是 ( )A .复数z =1+2i 1-i的虚部为32B .复数z =2+5i -i的共轭复数z -= - 5 - 2iC .复数z =12 − 12i 在复平面内对应的点位于第二象限 D .若复数z 满足1z ∈R ,则z ∈R3.采购经理指数(简称PMI )是国际上通行的宏观经济监测指标体系之一,对国家经济活动的监测和预测具有重要作用.制造业PMI 在50%以上,通常反映制造业总体扩张,低于50%,通常反映制造业总体衰退.如图1 - 1是2018年10月到2019年10月我国制造业PMI 的统计图,下列说法正确的是( )图1 - 1A.大部分月份制造业总体衰退B.2019年3月制造业总体扩张最大C.2018年11月到2019年10月中有3个月的PMI 比上月增长D.2019年10月的PMI 为49.3%,比上月下降0.5个百分点 4.已知函数f (x )={x 2,x ≤0,-x 2,x >0,则下列结论中正确的是( )A.f ( - 2)=4B.若f (m )=9,则m =±3C.f (x )是偶函数D.f (x )在R 上单调递减5.已知(ax 2+√x )n (a >0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等,且展开式中各项系数之和为1 024,则下列说法正确的是( )A.展开式中奇数项的二项式系数之和为256B.展开式中第6项的系数最大C.展开式中存在常数项D.展开式中含x 15项的系数为456.已知向量a =(1,2),b =(m ,1)(m <0),且满足b ·(a +b )=3,则 ( )A.|b |=√2B.(2a +b )∥(a +2b )C.向量2a - b 与a - 2b 的夹角为π4 D.向量a 在b 方向上的投影为√557.已知函数f (x )=sin (2x - π6),下列结论正确的是 ( )A.f (x )的最小正周期是πB.f (x )=12是x =π2的充分不必要条件C.函数f (x )在区间(π3,5π6)上单调递增D.函数y =|f (x )|的图象向左平移π12个单位长度后所得图象的对称轴方程为x =k4π(k ∈Z ) 8.同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1,2,3,4的正四面体一次,记事件A ={第一个四面体向下的一面出现偶数},事件B ={第二个四面体向下的一面出现奇数},事件C ={两个四面体向下的一面同时出现奇数,或者同时出现偶数}.则下列说法正确的是 ( )A.P (A )=P (B )=P (C )B.P (AB )=P (AC )=P (BC )C.P (ABC )=18 D.P (A )P (B )P (C )=189.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,且x >0时,f (x )=(x - 2)e x ,则下列结论正确的是 ( ) A .f (x )>0的解集为( - 2,0)∪(2,+∞) B .当x <0时,f (x )=(x +2)e - x C .f (x )有且只有两个零点D .∀x 1,x 2∈[1,2],|f (x 1) - f (x 2)|≤e10.设圆A :x 2+y 2 - 2x - 3=0,则下列说法正确的是 ( ) A.圆A 的半径为2B.圆A 截y 轴所得的弦长为2√3C.圆A 上的点到直线3x - 4y +12=0的最小距离为1D.圆A 与圆B :x 2+y 2 - 8x - 8y +23=0相离11.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,C 为钝角,且c - b =2b cos A ,则下列结论中正确的是( )A.a 2=b (b +c )B.A =2BC.0<cos A <12D.0<sin B <1212.设f ' (x )是函数f (x )的导函数,若f ' (x )>0,且∀x 1,x 2∈R (x 1≠x 2),f (x 1)+f (x 2)<2f (x 1+x 22),则下列各项中正确的是 ( )A.f (2)<f (e )<f (π)B.f ' (π)<f ' (e )<f ' (2)C.f ' (2)<f (3) - f (2)<f ' (3)D.f ' (3)<f (3) - f (2)<f ' (2)13.已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列,{b n }是公差不为0的等差数列,且a 2=b 2,a 8=b 8,则( )A.a 5=b 5B.a 5<b 5C.a 4<b 4D.a 6>b 6 14.[2020山东省统考]如图1 - 2,正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1的棱长为1,E ,F ,G 分别为BC ,CC 1,BB 1的中点,则( )图1 - 2A .直线D 1D 与直线AF 垂直B .直线A 1G 与平面AEF 平行C .平面AEF 截正方体所得的截面面积为98 D .点C 与点G 到平面AEF 的距离相等15.已知矩形ABCD ,AB =1,BC =√3,将△ADC 沿对角线AC 进行翻折,得到三棱锥D - ABC ,则在翻折的过程中,下列结论正确的是 ( )A.三棱锥D - ABC 的体积的最大值为13B.三棱锥D - ABC 的外接球的体积不变C.三棱锥D - ABC 的体积最大时,二面角D - AC - B 的大小是60°D.异面直线AB 与CD 所成角的最大值为90°16.已知椭圆x 23+y 26=1上有A ,B ,C 三点,其中B (1,2),C ( - 1, - 2),tan ∠BAC =92,则下列说法正确的是( )A.直线BC 的方程为2x - y =0B.k AC =12或4C.点A 的坐标为( - 19,229) D.点A 到直线BC 的距离为4√5917.在数列{a n }中,a 1=1,a 2=2,a 3=3,a n +3+( - 1)n a n +1=1(n ∈N *),数列{a n }的前n 项和为S n ,则下列结论正确的是( )A.数列{a n }为等差数列B.a 18=10C.a 17=3 D .S 31=14618.过抛物线y 2=3x 的焦点f 的直线与抛物线交于A (x 1,y 1)(y 1>0),B (x 2,y 2)两点,点A ,B 在抛物线准线上的射影分别为A 1,B 1,直线AO 交准线于点M (O 为坐标原点),则下列说法正确的是( )A.OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0B.∠A 1F B 1=90°C.直线MB ∥x 轴D.|AF |·|BF |的最小值是94二、双空题.19.已知函数g (x )=2sin [ω(x +π12)](ω>0)的图象是由函数f (x )的图象先向左平移π6个单位长度,再将所得图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变)得到的.若f (x )的最小正周期为π,则f (x )= ;若函数f (x )在区间[0,π6]上单调递增,在区间[π6,π3]上单调递减,则实数ω的值为 .20.如图1 - 3,在平面四边形ABCD 中,E ,F 分别为边CD ,AD 上的点,△DEf 为等边三角形,CE =Ef ,且∠ABC =π3,AE =√13,AF =3,则AC = ,△ABC 面积的最大值为 .图1 - 321.[2020长春市第一次质量监测]已知数列{a n }的前n 项和为S n ,满足a 1= - 12,且a n +a n +1=2n 2+2n (n ∈N *),则S 2n = , a n = .22.[2019北京市顺义区第二次统考]已知抛物线y 2=2px (p >0)的焦点和双曲线x 2 - y 23=1的右焦点F 2重合,则抛物线的方程为 ;P 为抛物线和双曲线的一个公共点,则点P 与双曲线左焦点F 1之间的距离为 .23.设函数f (x )(x ∈R )的导函数为f ' (x ),f (0)=2 020,且f ' (x )=f (x ) - 2,则f (x )= ,f (x )+4 034>2f ' (x )的解集是 .24.如图1 - 4,在棱长均为3的正四棱锥P - ABCD 中,E ,F ,G ,H 分别是PA ,PB ,PC ,PD 上异于端点的点,且平面EF GH 与平面ABCD 平行,S 为AC 和BD 的交点,当四棱锥S - EFGH 的体积最大时,PEPA = ,此时四棱锥S - EFGH 外接球的表面积为 .图1 - 4答案及解析1.CD由|x - 1|≤1得0≤x≤2,即N=[0,2],又M={0,1,2},所以M∩N=M,M⊆N,(∁R M)∪N=R,故选CD.2.ABD对于A,z=1+2i1-i =(1+2i)(1+i)(1-i)(1+i)= - 12+32i,其虚部为32,故A正确;对于B,z=2+5i-i=(2+5i)i= - 5+2i,故z= - 5 - 2i,故B正确;对于C,z=12 − 12i在复平面内对应的点的坐标为(12,-12),位于第四象限,故C不正确;对于D,设z=a+b i(a,b∈R),则1z =1a+bi=a-bia2+b2,又1z∈R,则b=0,所以z=a∈R,故D正确.故选ABD.3.ABD根据折线图可知,大部分月份制造业总体衰退,A正确;2019年3月制造业总体扩张最大,B正确;2018年11月到2019年10月中有4个月的PMI比上月增长,C错误;2019年10月的PMI为49.3%,比上月下降0.5个百分点,D正确.故选ABD.4.AD由于- 2<0,所以f ( - 2)=( - 2)2=4,故A选项正确;由f (m)=9>0知m≤0,且m2=9,因此m= - 3,故B选项错误;由f (x)的图象(图略)可知f (x)是奇函数,且在R上单调递减,故C选项错误,D选项正确.故选AD.5.BCD因为(ax2+√)n(a>0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等,所以C n4=C n6,解得n=10.因为展开式中各项系数之和为1 024,所以令x=1,得(a+1)10=1 024,解得a=1.故给定的二项式为(x2+√)10,其展开式中奇数项的二项式系数之和为12×210=512,故A不正确.由n=10可知二项式系数最大的项是展开式的第6项,而(x2+√x)10的展开式的系数与对应的二项式系数相等,故B 正确.展开式的通项公式为T k +1=C 10k (x 2)10 - k ·(√)k =C 10k x 20 -5k 2(k =0,1,2,…,10),令20 - 5k2=0,解得k =8,即常数项为第9项,故C 正确.令20 - 5k2=15,得k =2,故展开式中含x 15项的系数为C 102=45,故D 正确.故选BCD .6.AC 将a =(1,2),b =(m ,1)代入b ·(a +b )=3,得(m ,1)·(1+m ,3)=3,即m 2+m =0,解得m = - 1或m =0(舍去),所以b =( - 1,1),所以|b |=√(-1)2+12=√2,故A 正确;因为2a +b =(1,5),a +2b =( - 1,4),1×4 - ( - 1)×5=9≠0,所以2a +b 与a +2b 不平行,故B 错误;设向量2a - b 与a - 2b 的夹角为θ,易知2a -b =(3,3),a - 2b =(3,0),所以cos θ=(2a -b)·(a -2b)|2a -b||a -2b|=√22,所以θ=π4,故C 正确;向量a 在b 方向上的投影为a ·b |b |=√=√22,故D 错误.故选AC.7.AD 对于A ,由最小正周期T =2πω=2π2=π知A 正确;对于B ,由f (x )=12得2x - π6=2k π+π6(k ∈Z )或2x - π6=2k π+5π6(k ∈Z ),即x =k π+π6(k ∈Z )或x =k π+π2(k ∈Z ),可知f (x )=12是x =π2的必要不充分条件,B 不正确;对于C ,由π3<x <5π6得π2<2x - π6<3π2,因为y =sin x 在(π2,3π2)上单调递减,故C 不正确;对于D ,y =|f (x )|的图象向左平移π12个单位长度得y =|sin [2(x +π12) - π6]|=|sin 2x |的图象,由y =|sin x |的图象的对称轴为直线x =kπ2(k ∈Z )得y =|sin 2x |的图象的对称轴为直线x =kπ4(k ∈Z ),D 正确.故选AD .8.ABD 由古典概型的概率计算公式,得P (A )=P (B )=24=12,P (C )=84×4=12,所以P (A )=P (B )=P (C )=12,A正确;P (A )P (B )P (C )=18,D 正确;而事件A ,B ,C 不可能同时发生,故P (ABC )=0,所以C 不正确;又P (AB )=2×24×4=14,P (AC )=2×24×4=14,P (BC )=2×24×4=14,所以P (AB )=P (AC )=P (BC ),B 正确.故选ABD .9.ABD 当x >0时,f (x )<0的解集为(0,2),f (x )>0的解集为(2,+∞),由f (x )为奇函数可知选项A 正确;当x <0时,f (x )= - f ( - x )= - ( - x - 2)e - x =(x +2)e - x ,选项B 正确;当x >0时,x =2为f (x )的零点,又f (x )是定义在R 上的奇函数,所以f (0)=0,f ( - 2)=0,故f (x )有且只有三个零点,选项C 错误;当x >0时,f ' (x )=(x - 1)e x ,故f (x )在[1,2]上单调递增,所以f (x )min =f (1)= - e ,f (x )max =f (2)=0,所以|f (x 1) - f(x2)|≤f (x)max - f (x)min=e,选项D正确.故选ABD.10.ABC把圆A的方程x2+y2 - 2x - 3=0化成标准方程,为(x - 1)2+y2=4,所以圆A的圆心坐标为(1,0),半径为2,A正确;圆A截y轴所得的弦长为2×√4-1=2√3,B正确;圆心(1,0)到直线3x-4y+12=0的距离为3,故圆A上的点到直线3x- 4y+12=0的最小距离为3 - 2=1,C正确;易知圆B:x2+y2 - 8x - 8y+23=0的圆心为(4,4),半径为3,根据√(4-1)2+42=5可知,圆A与圆B相切,D错误.故选ABC.11.ABD因为c - b=2b cos A,所以由余弦定理得c - b=2b·b2+c2-a22bc,所以c(c - b)=b2+c2 - a2,整理得a2=b(b+c),故A选项正确;因为c- b=2b cos A,所以由正弦定理得sin C- sin B=2sin B cos A,即sin(A+B) - sin B=2sin B cos A,所以sin A cos B - sin B cos A=sin B,即sin(A - B)=sin B,由于C是钝角,所以A- B=B,即A=2B,故B选项正确;由于A=2B,且C>90°,所以0°<A<60°,0°<B<30°,因此12<cosA<1,0<sin B<12,故C选项错误,D选项正确.故选ABD.12.ABD由f ' (x)>0知,f (x)在R上单调递增,则f (2)<f (e)<f (π),故A正确;∀x1,x2∈R(x1≠x2),恒有f (x1)+f (x2)<2f (x1+x22),即f(x1)+f(x2)2<f (x1+x22),所以y=f (x)的图象是向上凸起的,如图D 1 - 1所示,图D 1 - 1由导数的几何意义知,随着x的增加,f (x)的图象越来越平缓,即切线斜率越来越小,所以 f ' (π)<f ' (e)<f ' (2),故B正确;因为k AB=f(3)-f(2)3-2=f (3)–f (2),所以由图易知f ' (3)<k AB<f ' (2),故D正确,C错误.故选ABD.13.BC解法一设{a n}的公比为q(q>0),{b n}的公差为d(d≠0).a5=√a2a8=√b2b8,b5=b2+b82,由基本不等式得√b2b8≤b2+b82,当且仅当b2=b8时等号成立,易知数列{b n}不是常数列,故B正确,A错误.因为a2q6=a8=b8=b2+6d=a2+6d,所以d=a2(q6-1)6,所以a4 - b4=a2q2 - a2 - 2d=a2(q2 - 1 - q6-13)=a23(3q2 - q6- 2)=a23(q2 - q6+2q2 - 2)=a23(1 - q2)(q4+q2 - 2)= - a23(1 - q2)2(q2+2)<0,a6 - b6=a2q4 - a2 - 4d=a23(3q4 - 1 -2q6)= - a23(1 - q2)2(2q2+1)<0,所以a4<b4,a6<b6,故C正确,D错误.故选BC.解法二设{a n}的公比为q(q>0),{b n}的公差为d(d≠0).a n=a1q n - 1=a1q·q n,b n=b1+(n- 1)d=b1- d+nd,将其分别理解成关于n的指数函数乘以正数a1q(指数函数的图象为下凹曲线)和一次函数(一次函数的图象为直线),则两函数图象分别在n=2,n=8处相交,故当3≤n≤7时,a n<b n,从而a4<b4,a5<b5,a6<b6.故选BC.14.BC假设D1D⊥AF,易知DD1⊥AE,所以D1D⊥平面AEF,又D1D⊥平面ABCD,所以平面AEF∥平面ABCD,显然不正确,故选项A不正确;连接AD1,D1F,易知EF∥AD1,所以平面AEF即平面AEFD1,又A1G∥D1F,所以A1G∥平面AEFD1,所以选项B正确;平面AEF截正方体所得的截面为梯形AEFD1,EF=√22,AD1=√2,梯形的高为√2√4=3√24,所以其面积为√2+√222×3√24=98,故选项C正确;连接CG交EF于点H,显然H不是CG的中点,所以C,G到平面AEF的距离不相等,故选项D不正确.故选BC.15.BD对于A,三棱锥D- ABC的体积V D- ABC=13S△ABC·h(h为点D到平面ABC的距离),S△ABC=12×1×√3=√32,所以当h最大时,三棱锥D - ABC的体积取得最大值,又当平面ADC⊥平面ABC时,h最大,为√32,此时V D- ABC=13×√32×√32=14,故A错误;对于B,设AC的中点为O,连接OB,OD,则OA=OB=OC=OD,所以O为三棱锥D - ABC的外接球的球心,则外接球的半径为12AC=1,所以外接球的体积为43π,翻折的过程中,三棱锥D - ABC的外接球的体积不变,故B正确;对于C,三棱锥D - ABC的体积最大时,平面ADC⊥平面ABC,所以此时二面角D - AC - B的大小是90°,故C错误;对于D,当△ADC沿对角线AC翻折到点D与点B的距离为√2,即BD=√2时,在△BCD 中,BC2=BD2+CD2,所以CD⊥BD,又CD⊥AD,BD∩AD=D,所以CD⊥平面ABD,所以CD⊥AB,即异面直线AB与CD所成角的最大值为90°,故D正确.故选BD.16.AD设A(x A,y A),直线AB,AC的倾斜角分别为θ1,θ2,不妨记θ1>θ2,由tan∠BAC=92>0,知∠BAC <π2,则数形结合易知当θ1 - θ2=∠BAC 时,才能满足题意,故tan (θ1 - θ2)=92,即kAB-k AC1+kAB ·k AC=92,又k AB ·k AC =y A -2x A-1·y A +2x A+1=y A2-4x A2-1=6-2x A 2-4x A 2-1= - 2,所以k AB - k AC = - 92,结合k AB ·k AC = - 2,解得{k AC =4,k AB =-12或{k AC =12,k AB =-4.而当{k AC =12,k AB =-4时,数形结合易知∠BAC ≠θ1 - θ2,且∠BAC >π2,故舍去.当{k AC =4,k AB =-12时,直线AC 、直线AB 的方程分别为y +2=4(x +1),y - 2= - 12(x - 1),可得A (19,229).由椭圆的对称性可知:当θ1<θ2时,同理可得{k AC =-12,k AB =4,A ( - 19, - 229),故B ,C 错误.易得直线BC 的方程为2x - y =0,故当点A为(19,229)时,点A 到直线BC 的距离为|29-229|√5=4√59,当点A 为( - 19, - 229)时,点A 到直线BC 的距离也为4√59.故A ,D 正确,选AD .17.BD 依题意得,当n 是奇数时,a n +3 - a n +1=1,即数列{a n }中的偶数项构成以a 2=2为首项、1为公差的等差数列,所以a 18=2+(9 - 1)×1=10.当n 是偶数时,a n +3+a n +1=1,所以a n +5+a n +3=1,两式相减,得a n +5=a n +1,即数列{a n }中的奇数项从a 3开始,每间隔一项的两项相等,即数列{a n }的奇数项呈周期变化,所以a 17=a 4×3+5=a 5.在a n +3+a n +1=1中,令n =2,得a 5+a 3=1,因为a 3=3,所以a 5= - 2,所以a 17= - 2.在数列{a n }中,a 3+a 5=1,a 7+a 9=1,…,a 27+a 29=1,a 31=a 4×7+3=a 3=3,偶数项构成以a 2=2为首项、1为公差的等差数列,所以S 31=1+7+3+15×2+15×(15-1)2=146.故选BD.18.BCD 由题意可知,抛物线y 2=3x 的焦点F 的坐标为(34,0),准线方程为x = - 34.易知直线AB 的斜率不为0,设直线AB 的方程为x =my +34,代入y 2=3x ,得y 2 - 3my - 94=0,易知Δ>0,所以y 1+y 2=3m ,y 1y 2= - 94,则x 1x 2=(my 1+34)(my 2+34)=916,所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1)·(x 2,y 2)= x 1x 2+ y 1y 2=916 − 94= - 2716≠0,所以A不正确;因为A (y 123,y 1),O (0,0), M ( - 34,y M )三点共线,所以y1y 123=y M -34,所以y 1y M = - 94,又y 1y 2= - 94,所以y M =y 2,所以直线MB ∥x 轴,所以C 正确;易知A 1,B 1的坐标分别为( - 34,y 1),( - 34,y 2),所以FA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·FB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( - 34 − 34,y 1)·( - 34 − 34,y 2)=94+ y 1 y 2=94 − 94=0,所以∠A 1FB 1=90°,所以B 正确;设直线AB 的倾斜角为θ(θ≠0) ,则|AF |=321-cosθ,|BF |=321+cosθ,所以|AF |·|BF |=321-cosθ·321+cosθ=94sin 2θ≥94,当且仅当AB ⊥x 轴时取等号,所以D 正确.故选BCD .19. sin(2x - π6)6因为函数g(x)=2sin[ω(x+π12)](ω>0)的图象是由函数f (x)的图象先向左平移π6个单位长度,再将所得图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变)得到的,所以 f(x)=sin[ω(x - π12)].①若f (x)的最小正周期为π,则f (x)=sin(2x - π6).②若函数f (x)在区间[0,π6]上单调递增,在区间[π6,π3]上单调递减,则有f (π6)=sinωπ12=1,且2πω≥π3,结合ω>0,得ω=6.20.2√33√3在△AEF中,易知∠AFE=2π3,又AF=3,AE=√13,由余弦定理得(√13)2=32+EF2-2×3×EF×cos 2π3,可得EF=1.所以CE=DE=DF=EF=1,AD=4,CD=2.又∠ADC=π3,所以在△ACD中,由余弦定理得AC2=42+22- 2×4×2×cos π3=12,得AC=2√3.解法一设∠ACB=θ,则∠BAC=π - π3- θ=2π3- θ,所以在△ABC中,由正弦定理得ABsin∠ACB=BC sin∠BAC =ACsin∠ABC=4,所以AB=4sin θ,BC=4sin(2π3- θ),于是△ABC的面积S△ABC=12AB·BC sin π3=4√3sinθsin(2π3- θ)=4√3sin θ(√32cos θ+12sin θ)=2√3(√32sin 2θ- 12cos 2θ+12)=2√3sin(2θ- π6)+√3,则当2θ -π6=π2,即θ=π3时,S△ABC取得最大值,为3√3.解法二在△ABC中,cos∠ABC=BC2+AB2-AC22BC·AB ,结合基本不等式,得12=BC2+AB2-122BC·AB≥2BC·AB-122BC·AB,化简得BC·AB≤12(当且仅当AB=BC时取等号),所以△ABC的面积S△ABC=12BC·AB·sin∠ABC≤12×12×√32=3√3,即△ABC面积的最大值为3√3.21.2n2n+1( - 1)n+1n(n+1)因为a n+a n+1=2n2+2n=1n− 1n+2,所以S2n=a1+a2+a3+a4+…+a2n - 1+a2n=1 - 13+1 3 − 15+…+12n-1− 12n+1=1 - 12n+1=2n2n+1.因为a n+a n+1=2n2+2n ,所以a n+1=2n2+2n- a n.又a1= - 12=11×2- 1,所以a2=23+12=76=12×3+1,a3=22×4− 76=- 1112=13×4- 1,a4=23×5+1112=2120=14×5+1,…,归纳可得,a n=( - 1)n+1n(n+1).22.y2=8x7易知双曲线x2 - y23=1的右焦点F2的坐标为(2,0),左焦点F1的坐标为( - 2,0),则抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为(2,0),则p2=2,解得p=4,所以抛物线的方程为y2=8x.设点P 的坐标为(x 0,y 0),易知x 0>0,由{y 2=8x,x 2-y 23=1得3x 2 - 8x - 3=0,解得x 0=3,则P (3,2√6)或P (3, - 2√6),则点P 与双曲线左焦点F 1( - 2,0)之间的距离为√[3-(-2)]2+(0±2√6)2=7.23.2+2 018e x ( - ∞,ln 2) 令h (x )=f(x)-2e x ,则h' (x )=f '(x)e x -[f(x)-2]e x (e x )=f '(x)-f(x)+2e x , 又f ' (x )=f (x ) - 2,∴h' (x )=0,故h (x )为常数函数.设h (x )=c ,则f(x)-2e x =c ,∴f (x )=2+c e x .∵f (0)=2 020,∴f (0)=2+c =2020,∴c =2 018,故f (x )=2+2 018e x ,f ' (x )=2 018e x .由f (x )+4 034>2f ' (x ),得4 036+ 2 018e x >2×2 018e x ,故e x <2,故x <ln 2.24.23 25π2 因为平面EFGH 与平面ABCD 平行,易知四边形EFGH 与四边形ABCD 相似,所以四边形EFGH 是正方形.设PE PA =x (0<x <1),则S 正方形EFGHS 正方形ABCD =x 2,易知四棱锥S - EFGH 与四棱锥P - ABCD 的高的比值为1 - x ,设V 四棱锥P - ABCD =V 0,则V 四棱锥S - EFGH =x 2(1 - x )V 0.设f (x )=x 2(1 - x )(0<x <1),则f ' (x )=2x - 3x 2,则当0<x <23时,f ' (x )>0,函数f (x )单调递增,当23<x <1时,f ' (x )<0,函数f (x )单调递减,所以当x =23,即PE PA =23时,f (x )取得最大值,此时V 四棱锥S - EFGH 取得最大值.此时,连接PS ,FH ,EG ,设FH 与EG 交于点M ,易知点M 在PS 上,且EF =2,SM =√22,HM =√2.设四棱锥S - EFGH 的外接球的球心为O ,半径为R ,易知点O 在直线PS 上,连接OH ,易知点O 在四棱锥S - EFGH 的外部,则(R -√22)2+(√2)2=R 2,解得R =5√24,所以四棱锥S - EFGH 的外接球的表面积为4πR 2=25π2.。