高等数学同济大学数学系第七版上册

高等数学（同济人学数学系-第七版）上册高等数学（同济大学数学系第七版）上册第三章：微分屮值定理与导数的应用课后习题答案微分中值定理&I.脸证罗尔定理对= Insin x任区间［于打］上的止确性.证函数/（x）=lnsinx^［y^］匕连续•在（卡•乎）内可导■又4f）= ,nsin 6 =,n \ /（T）= ,n,in T=，n T*即4才）唧认卜灯⑷在［:・丫］上満足罗尔定理条件•山罗尔定理®至少仔任T・（H（:、罟卜仙'（§）"•乂 JS二瓷令厂（丫）“得""T +于（w = 0. = 1 ・ ± 2 .・•・）・ JR 兀=0 w（? •普）・IM比罗尔定理对函数尸Insin x任区叫亍'寻］上是正确的•& 2.脸证拉格制日中值定理对函敎y・4』-5/u 2在区何［0,1］上的正确性.it 匪数/（尤）=4“・5/在区河卫・1上连缤■金（0.1）內叫导，故/（・丫）在0」上满足拉格朗H中值定理条件，从而至少存在一点f e（0J）.使门小斗护二仝严“又•由八° =12^2 - 10f 4 I =0 olUlf =^~^G（0J） JM此拉俗阴H屮值定理对函敗y=4八5P r・2徃区何0」；上是正确的."i"及化X）’ + cos X在IX间|o,y］j；验让柯內中值定理的正确性.证旳数"+0*在区1叫0,；］上连续皿（0.；）內可品.M住卩•寸）内=1 -MOX ZO.故.心）屮（兀）满足柯两中值定理条件•从而至55/ 1.高等数学（同济人学数学系•第七版）上册55/ 2.高等数学（同济人学数学系•第七版）上册55/ 3.高等数学（同济大学数学系-第七版）上册.55/ 4.高等数学（同济人学数学系•第七版）上册.55/ 5.高等数学（同济人学数学系-第七版）上册86 一、《离等数学》(第七版)上冊习趣全解55 / 6.高等数学(同济人学数学系•第七版)上册件；)"(0)"(目1 -0 cos £ T . 1 - HI1 {T"14Z n = 0,得 go = 2arclan -一~ . 1*1 0 < < 丨•故 C = 2arckm j 4 ^ * | € (。

•于)•因此■柯西中値定理对fi x) = sin xU ＞ = — cos 才6： IX rnj[0. v]上楚正碗的.回4・试证明对换故y =/＞疋“丫"应用拉恪團H 中備定理时所求衍的点£总是位于区 间的正中间.证 任取数值“ "•不妨没u V 久函数/(戈)=用*9.r 4r ft|＜间〔(/」〕上违线， A(a.6)内可导•故由拉格朗H 中值定理知至少存在一点仆(“)•使/(O -/(«) =/'(£)(厶-“)•即pb 2 +qb+r-pX -＜/d -r = (2托”q)(" - “)・经整理胃f =写"•即所4＜时0勺＜ 总■ 是位于风间的正中间.65.不用求出頭数 /(X )= (A - I ) (,r - 2) (,t - 3) (A - 4) Wi 兑明方段厂(“ =0有几个实根•并指出它灯所在的区间.解 函数/(“)分别 tfc ：L2],[23].[3,4]± 连缜•分别在(1.2 ).(2 .3)・(3 .4) 內可号•且/(1)=/(2) =/(3) *(4) “ 由罗尔定理知至少存在自c«l ・2),§u «2・3). 鬲w(3・4) •便r (fi )VG) VG )=0.ui 方程r (x )-o 至少有三个实根•乂力理八小三o 为u 次方程•故它至勢右1个实帳」© 此方程厂(兀)=0有且仅科三个实根.它幻分别位于区间(1.2).(2・3)・(3・4)内. 回 6.证明 ”i 零，弋:arcsin x 十 ar<c<FS x 畫；cosf +sin f<<mW ・( 2 -Sm 2-护专.所以,2,»2E “宁•雌认-1 WwWl ).•可彳U lull第三克微分中伯定理巧导数的应用89证取诵数 /( .t) = arcsin .i 4- atccos i\i G I - I J IMarc*in x + arccos x = * ■, x e ( -1,1】・E&7•若方程畑"+a1A n*1 +=0有一个正根x •证明方程j十5（一|）才・2 =0必有一个小于％的正根・证耿屈数/（*）=%疋" ♦…1-严/（"）住［0宀1上连续，在（0・心）內对导・《./（0）=/［40）=0 •山罗尔定理fel至少存在一点迂（0・切）•使八§）"，即方程5心“ “ +山（一 1 ）疋・2 —“…胡必打一个小J： x0的止根.EaX•若函数/（门在（〃"）内具右二阶导数.且/（r t） =/（.r2） =7（x0.其中<1—| < <2 <x3<b・证明:在（巧宀）内至少有亠点$ •便得/"（§）=0.证根据题意知函数/I"）在［叼无］』乃,巧］上连续•在（卄宀）心2宀）内可导且/（如）=/（X?）寸（如•故山罗尔定理如至少存在点& €（X, •乃）■& W （乃•巧）•使八幻）V（&）2乂广（•）金幻•&］上11绽・在（厲，门）内吋导•故由罗尔定理如笙少存在点〃（&•Ocge）使厂（D r・69.设o>6>0./j>Uil-WJ：jj -"）V J - L Vmd 7（“ 一%）・证取函数/（町"J（“在d 上连续.在（以）内可导・由拉格明日中值定理知•至少存在一点2"）•使/(a) -/(6)即-犷二舛"“(“■〃)・乂0<厶<£<—“>1,故・1 <£歼・1 <a f,-1.因此nb n'l(a - b) < 44■ 1( « ・厶> V 皿』"1 ( a -6),即W -0) </ -L </«/•-'(«b).臼10・设收““皿明：i a Q - b<h,T<~T'证取屈数/（・）=h xj（x）在"・”］上连续，裡（伉“）内可导•由技格朗日中值定理如•至少祁比- •点《亡住,）・使/（a）-/（//> 二厂（£）（「◎,55/ 7.高等数学（同济人学数学系•第七版）上册第三克微分中伯定理巧导数的应用 89 55/ 8.高等数学（同济人学数学系•第七版）上册mifl a - bmifl a - bHI 1 In “ - In = —( a - 6). 乂 .OvZiVfVs 故 Ou ― < — < —. W )ft f a f b arc*in x + arccos x = * ■, x e ( -1,1】・E&7•若方程畑"+a 1A n *1 +=0有一个正根x •证明方程j 十5（一|）才・2 =0必有一个小于％的正根・证 耿屈数/（*） =%疋" ♦…1-严/（"）住［0宀1上连续，在（0・心） 內对导・《./（0） =/［40） =0 •山罗尔定理fel 至少存在一点迂（0・切）•使八§）"，即 方程5心“ “ +山（一 1 ）疋・2 — “…胡必打一个小J ： x 0的止根.EaX •若函数/（门在（〃"）内具右二阶导数.且/（ r t ） =/（.r 2） =7（x0.其中 <1—| < <2 <x 3 <b ・证明:在（巧宀）内至少有亠点$ •便得/"（§）=0.证 根据题意知函数/I"）在［叼无］』乃,巧］上连续•在（卄宀）心2宀）内可 导且/（如）=/（X ?）寸（如•故山罗尔定理如至少存在点& €（X, •乃）■& W （乃•巧）•使 八幻）V （&）2乂广（•）金幻•&］上11绽・在（厲，门）内吋导•故由罗尔定理如笙少存在点 〃（&•Ocge ）使厂（D r ・69.设 o>6>0./j>Uil-WJ ：jj -"） V J - L Vmd 7（“ 一%）・证 取函数/（町 "J （“在d 上连续.在（以）内可导・由拉格明日中值 定理知•至少存在一点2"）•使/(a) -/(6)即-犷二舛"“(“■〃)・ 乂0<厶 <£<—“>1,故 ・1 <£歼・1 <a f,-1.因此nb n 'l (a - b) <44■ 1 ( « ・厶> V 皿』"1 ( a -6),即 W -0) </ -L </«/•-'(«b).臼10・设收““皿明：i a Q - b<h,T <~T'证 取屈数/（・）=h xj （x ）在"・”］上连续，裡（伉“）内可导•由技格朗日中值 定理如•至少祁比- •点《亡住,）・使/（a ） -/（//> 二厂（£）（「◎,HI 1 In “ - In = —( a - 6). 乂 .OvZiVfVs 故 Ou ― < — < —. W )ft fa f b90 -、学》(第七販)上册习题全超55/ 9.高等数学(同济人学数学系•第七版)上册F(ZO -AM/VO(1) I arctun a ■ arctan 61 I a - AI ； (2) 当 x > 1 时,e x >e • z.证(I )当=/>W .44然成立・ 斗Hh 时•収碉数/(<)在也•犷或〔久“〕上连续•在(“』)或(氛<0内可导•由拉格朗H 中值定理知.至少存衣 点 fw(a.b)或(b.a) ■使/(a) -/(A)二厂(0(a ・&)•即 arcian a - arctan 6 = ~ a - B) ■故I arctan a 一 arcian b I = ― la - 61 < la - Al.1 +r(2)取函数/O) =e\/(f)在lx ］上连续准(I 」)内可导.由拉格朗日中值定 理知■至少存在一点^e(Lx).使/(x) -/(I)即 * ・ e = e f ( J - I ).又• I < § ci •故显 > r.K 此e* - c > e(x - 1).即e M >x ・e ・012•证明方® / >.r-l =0 R 有一个正枳证取丙数/( J =x 5 ^X -I/(A )^［0J ］上连续•/(0) = - 1 <0. /(I) = 1 > 0t由零点定理知•至少存在点曲w(0・l)•便/(") =0J!U 方程2 *r-l =06 (0J )内 至少布-个IE 根.若方X U -0还有一个正根心•即心)=0 •则山/(X )= x 5 4 X - I 在 ［心七］(«［x 2t X |］)±连釦在(打"2)(或(也・“))内可导•知7V )i»足罗尔定理 条件•敌至少存在点£ W (小・心)(或(・乃•心))•使/")"・但r (<) =5^4 4-1 >0.夕肝•冈此力程/ "1=0只冇一个正粒&13.设/(门*(对在上连续准a»)内可#.址明在(％内冇一点“使/(«)/(A)小、詁S)八。