同济大学高数第六版基本概念及公式总结(土木数学兴趣小组)
高等数学第六版上下册全同济大学出版社
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例1. 海伦公式
(满射)
例2. 如图所示,
对应阴影部分的面积
则在数集
自身之间定义了一种映射 (满射)
例3. 如图所示, 则有 r
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(满射)
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说明:
映射又称为算子. 在不同数学分支中有不同的惯用
使
பைடு நூலகம்
其中
称此映射 f 1为 f 的反函数 .
习惯上, y f (x), x D 的反函数记成
y f 1(x) , x f (D)
性质:
1) y＝f (x) 单调递增 (减) , 其反函数
且也单调递增 (减) .
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2) 函数
与其反函数
第一章
函数与极限
分析基础
函数 — 研究对象 极限 — 研究方法
— 研究桥梁
第一节 映射与函数
一、集合 二、映射 三、函数
第一章
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一、 集合
1. 定义及表示法
简称集
定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合.
组成集合的事物称为元素.
左 邻域 :
右 邻域 :
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2. 集合之间的关系及运算
定义2 . 设有集合 A, B , 若 x A 必有 x B , 则称 A
是 B 的子集 , 或称 B 包含 A , 记作 A B.
同济第六版高数多元函数的基本概念
极值的定义与性质
01
极值的性质
02
极值是局部概念，即极值只由函数在某点的 附近的行为决定。
03
极值是相对的，即在一个函数内部的极大值 可能相对于另一个函数是极小值。
04
极值是稳定的，即只要函数在某点的导数存 在且为零，则该点可能是极值点。
多元函数的最值
要点一
最值的定义
设函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的某邻域内有定义，如果对于 该邻域内的所有点$(x,y)$都有$f(x,y) leq f(x_0,y_0)$（或 $f(x,y) geq f(x_0,y_0)$），则称$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处 取得最大值（或最小值）。
05
多元函数的泰勒公式
一元函数的泰勒公式
定义
一元函数在某点的泰勒公式表示为该点附近的局部逼近 式，通过多项式和函数在该点的导数来逼近函数值。
应用
一元函数的泰勒公式常用于求极限、证明等式、求解微 分方程等场合。
多元函数的泰勒公式
定义
多元函数在某点的泰勒公式表示为该点附近的局部逼 近式，通过多项式和函数在该点的偏导数来逼近函数 值。
THANK YOU
感谢聆听
要点二
最值的性质
最值是全局概念，即最值需要考虑函数在整个定义域内的 行为。
条件极值与拉格朗日乘数法
条件极值的定义
在某些附加条件下的极值问题称为条件极值问题。
拉格朗日乘数法
用于求解条件极值问题的一种方法。基本思想是通过 引入一个附加的乘数，将附加条件转化为无条件的形 式，然后应用无条件极值的求解方法进行求解。
应用
多元函数的泰勒公式常用于求极限、证明等式、求解偏 微分方程等场合。
同济大学六版高等数学
同济大学六版高等数学同济大学高等数学第六版下册第八章空间解析几何与向量代数数一考第九章多元函数微分的基本概念第三节全微分二、全微分在近似计算中的应用不考第六节多元函数微分学的几何应用数一考第七节方向导数与梯度数一考第九节二元函数的泰勒公式（非重点）数一考一、二函数的泰勒公式（119）二、极值充分条件的证明非重点第十节最小二乘法不考第十章重积分第二节三、二重积分的换元法不考第三节三重积分数一考第四节重积分的应用数一考第五节含参变量的积分不考总习题十第十二章无穷级数数一数三考第一节常数项级的概念和性质数一数三考第二节常数项级数的审敛法数一数三考第三节幂级数数一数三考第四节函数展开成幂级数数一考第五节函数的幂级数展开式的应用不考第六节函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质不考傅里叶级数数一考第八节一般周期函数的傅里叶级数数一考浙大概率论与数理统计第四版第七章参数估计1点估计数一数三考2基于截尾样本的最大似然估计不考3估计量的评选标准数一考区间估计数一考5正态总体均值与方差的区间估计数一考6（—1）分布参数的区间估计不考7单侧置信区间数一考第八章假设检验数一考5样本容量的选取不考分布拟合检验不考7秩合检验不考8假设检验问题的P值法不考同济大学线性代数第五版第一章行列式第二章矩阵及其运算第三章矩阵的初等变换与线性方程组第四章向量组的线性相关性第五章相似矩阵及二次型第六章线性空间与线性变化数学一考。
高数(同济第六版)第九章总结
标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
第九章 多元函数微分法及其应用
第一节 多元函数的基本概念
1、 多元函数的极限
2、多元函数的连续性： ①注意任意方向都要趋向该点极限
②在 D 上有界，有最大最小值
第二节 偏导数
1、方向导：
2、梯度：
=
3、 =(
) 其中 为方向角，
记某点
处的方向导为 记梯度为
则
[其中
]
① =0 时，f 增长最快
② = 时，f 增长最慢
③ = 时，f 不变
第八节 多元函数的极值及其求法
1、极值存在 必要条件： ，
充要条件：有
C
①当 AC
A>0 时，有极小值
A<0 时， 有极大值
②当 AC <0 时，无极值
③当 AC
时，不能判断
2、条件极值，拉格朗日乘数法：
①构造 L(x,y)=f(x,y)+ (x,y)[其中，f 为原函数， 为条件]
② (x0,y0)+
=0
(x0,y0)+
=0
(x0,y0)=0
第四节 多元函的求导法则
1、 链导公式：如 f(
(x,y,z))对 x,y,z 求偏导
x
f()
y
()
z
2、 全微分形式不变： 如 f(
(x,y,z))对 x,y,z 求全微分
df= dx+ dy+ dz
第五节 隐函数求导公式
1、隐函数求导法则：
2、 方程组 ： F(x,y,u,v)=0 G(x,y,u,v)=0
高等数学(同济六版)上册总结
高等数学知识纲要一、定义1、基本初等函数、初等函数2、极限（数列、函数）理解定义3、无穷小与无穷大4、函数连续与间断（点、区间）5、导数与微分（点、区间）6、原函数与不定积分7、定积分理解定义二、性质1、极限的性质2、收敛函数的性质3、闭区间上连续函数性质4、中值定理5、不定积分与定积分的性质三、关系1、数列（函数）敛散性与有界性之间2、收敛数列及其子数列之间3、函数极限与左右极限4、无穷小与无穷大5、连续与可导、可导与可微6、驻点与极值点、极值之间、极值与最值之间7、连续与可积四、计算（极限、导数、积分）五、应用1.导数的几何意义应用（切线、法线方程）2.导数的应用（单调性、凹凸性、极值、最值）3.定积分的应用极限的运算运算法则（四则、复合、换序）1、 特殊极限1sin lim ,1sin lim ,1sin lim 000===→→→uux x x x u x x 对比0sin lim =∞→x x x e ue x e x uu xx x x =+=+=+∞→→∞→)11(lim ,)1(lim ,)11(lim 10 2、 等价无穷小当0→x 时，kx kx kx kx arctan ,arcsin ,tan ,sin ～kxx cos 1-～22x ,11-+nx ～nx3、 有理函数的极限?)()(lim0=→x Q x P x x当0)(0≠x Q 时, )()()()(lim000x Q x P x Q x P x x =→. 当0)(0=x Q 且0)(0≠x P 时, ∞=→)()(lim0x Q x P x x .当Q (x 0)=P (x 0)=0时, 先将分子分母的公因式(x -x 0)约去. ⎪⎩⎪⎨⎧>∞=<=+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++--∞→mn m n b a mn b x b x b a x a x a mm m n n n x 0 lim 00110110 4、导数定义 若)(0x f '存在，则=+-→hh x f x f h )()(lim000)(0x f '-. =--+→hh x f h x f h )()5(lim000)(60x f '5、罗比达法则（00或∞∞型，∞⋅0、∞-∞、00、∞1、0∞型的未定式）1.0)3562(lim 20142013=-+∞→x x x 2.535sec 53cos 3lim 5tan 3sin lim 2-==→→x x x x x x ππ3. e x x xx x x xx =+=+⋅→→sin sin 101)sin 1(lim )sin 1(lim4. =-+=-→-→xx xx x x111111)11(lim lim 1-e .5.=+-=+++-⋅+∞→-∞→xx x x x x xx x 633361)631(lim )63(lim 3-e .6.2211)1(4lim 145lim 11=⋅--=---→→x x x x x x x 7.21)1cos ()1(cos 2lim )1cos )(1(cos 1cos lim )1(cos 1cos lim 2000-=+-=+--=--→→→x x x x x x x x x x x x x 8.3232lim 2sin 3)1(cos tan lim )1sin 1)(11(tan sin lim 22020320-=⋅⋅-=⋅-=-+-+-→→→xx x x xx x x x x xx x x x216lim 2sin tan sin lim 2)1sin 1(tan sin limsin 1tan 1sin 1lim33020202-==-=-+-=-++-+→→→→x x x x x x x x x x xx x x x x x x x10.81)2(4sin cos lim )2(sin ln lim 222-=--=-→→x x x x x x x ππππ 11.2111lim )1112(lim 2121-=--=---→→x x x x x x 12.1lim )(sin lim )ln(sin lim )ln(sin 0===→→→x x x x xx x xe e x13. ex xe xdt e xdte xx x t x xt x 212sin lim limlim222cos 02cos 121cos 0==--→-→-→⎰⎰导数与微分的运算练习1.已知1sin +=x xey ，求22dxy d . y d dy 2,解：1)cos (sin ++=x e x x dxdy ，122cos 2+=x xe dx y d dx e x x dy x 1)cos (sin ++=，212cos 2dx xe y d x +=2.已知⎩⎨⎧==te y t e x tt cos sin 求3π=t 时dx dy的值. （参看P112-5.6.7） 解：tt tt t e t e t e t e t x t y dx dy tt t t sin cos sin cos sin cos sin cos )()(+-=+-=''=，所以3π=t 时=dxdy23-. 3.已知0333=-+xy y x ,求dxdy .（参看P111-1）解：0333322=--+dxdy x y dx dy yx ，x y x y dx dy --=224.已知xy e yx 2=+,求dxdy .解： dx dy x y dx dy e yx 22)1(+=++，xxy xyy dx dy --=5.已知5ln 2+=x x y ,求dxdy .解：xx x e x ln =于是有)1(ln )()(ln +='='x x e x x x x x 故)1(ln 2+=x x dxdy x（或先用对数求导法求x x y =的导数） 6.x x y sin = ，求y '.解：等式两端取自然对数得x x y ln sin ln =，等式两端对x 求导，得xx x x y y sin ))(ln (cos +='，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+='x x x x x x x x x y y x sin ))(ln (cos sin ))(ln (cos sin 练习：1cos sin +=xx y ，求y '. 7、()()54132+-+=x x x y 求'y解：两端同时取自然对数 得()()()1ln 53ln 42ln 21ln +--++=x x x y两端同时对x 求导 得153421211'+--++=⋅x x x y y故()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+++-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--++=1534221132153422154'x x x x x x x x x y y 8.32)3()2(1-++=x x x y ，求y '.解：等式两端取自然对数得[])3ln(3)2ln(2)1ln(21ln --+-+=x x x y等式两端对x求导，得)332211(21--+-+='x x x y y ，)332211()3()2(12132--+-+-++='x x x x x x y （对数求导法参看P112-4）9. ⎰-=2)(x tdt e x f ，x e dxdudt e du d x f u x u u t 2)(20-=-=⋅='⎰=22xxe -10.⎰⎰⎰⎰⎰+-+=+++=+=xx x x x xdt t dt t dt t dt t dt t x f 011111)(222xx x dt t dt t x f x x +-+='+-'+='⎰⎰1)2(1)1()1()(202（对数求导法参看P243-5）积分的计算练习1.dxx x ⎰-1tan cos12解：dxx x ⎰-1tan cos 12=)1(tan 1tan 1--⎰x d x =C x +-1tan 22.计算不定积分⎰xx dxsin cos .解：==⋅=⎰⎰⎰x xd xxx dx x x dx tan tan sec cos sin sin cos 2C x +tan ln 3.计算不定积分dx x x x⎰+2)ln (ln 1. 解： ==+⎰⎰)ln ()ln (1)ln (ln 122x x d x x dx x x x C xx +-ln 1（凑微分参看P207习题4-2和P253第1题）4.⎰-10dx xe x=⎰--10)(xe xd =[]dx exexx ⎰--+-101=[]e e e e ex 21)11(1110-=+-+-=-+--（分部积分参看P212习题4-3和P254第7题）5.dx xx ⎰--145解：令tdt dx t x t x 2,5,52-=-==-，2,1,3,4===-=t x t x dx xx ⎰--145=38532)5(2)2(5233232232-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=--⎰⎰t t dt t dt t t t6.dx x 2312)1(-⎰+解：令4,1;0,0,sec ,tan 2π======t x t x tdt dx t xdx x 23102)1(-⎰+=22sin cos )(sec sec )tan 1(4040401223402====+⎰⎰⎰--ππππttdt dt t tdt t （提示：t a x x a t a x x a tan ,;sin ,2222=+=-）7、dx x x x ⎰+--6512解：dx x x x ⎰+--6512=()()⎰⎰+-+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--=---C x x dx x x dx x x x 3ln 22ln 3221321 （提示：设32)3)(2(1-+-=---x Bx A x x x 通分求出A,B ） 8.⎰⎰+---=---dx x x x dx x x x )1()1(352)1)(1(52622 ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-----=dx x x x )1(1)1(1)1(1522 C x x x +--+--=)1(5211ln 52 （提示：设)1()1(1)1()1(322++-+-=+--x C x B x A x x x 通分求出A,B,C ） （有理函数积分参看P215例1.2.3）9.计算由x y x y ==、32所围成的图形的面积.（参看P284习题6-2） 解解方程组⎩⎨⎧==xy x y 32可得⎩⎨⎧==00y x ，⎩⎨⎧==33y x所求面积为21)3(212=-=⎰-dy y y a 10.求曲线2223336x y +=所围成的图形, 绕x 轴旋转, 计算所得旋转体的体积.解：星形线的参数方程⎩⎨⎧==t a y ta x 33sin cos ， 上半平面图形对应π≤≤t 0，第一象限对应20π≤≤t ，注意上下限对应的t 值 ⎰⎰⎰===2422233sin cos 34)cos ()sin (44ππtdt t at a d t a ydx A a2206204283]sin sin [12a tdt tdt a πππ=-=⎰⎰.当a=6时，旋转体体积为272π （参看P285第13题）证明：P74-2.3；P134-6.9.10.11;P153-5。
同济第六版 高数 多元函数的基本概念
zhouq
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三、多元函数的连续性
定义： 设n 元函数 f (P ) 的定义域为点集 D, 点 P0 D ， 如果 lim f ( P ) f ( P0 ) 则称 n 元函数 f (P ) 在点
P P0
P0 处连续.如果 f (P ) 在点 P 处不连续，则称 P 是函数 0 0
f (P )的间断点.
第九章
多元函数微分学及其应用
zhouq
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第1节 多元函数的基本概念
一、多元函数的概念 1、邻域 2 、区域 3、二元函数 二、多元函数的极限 三、多元函数的连续性 LOGO
一、多元函数的概念(以二元为例)
（1）邻域
设 P0 ( x 0 , y 0 ) 是 xoy 平面上的一个点， 是某 一正数，与点 P0 ( x 0 , y 0 ) 距离小于 的点P ( x , y ) 的全体，称为点P0 的 邻域，记为U ( P0 , ) ， U ( P0 , ) P | PP | 0
E
P
连通的开集称为区域或开区域．
zhouq
y
例如
{( x, y ) | 1 x 2 y 2 4}.
o
x
开区域连同它的边界一起称为闭区域.
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对于点集 E 如果存在正数 K ，使一切点P E 与 某一定点 A 间的距离 AP 不超过 K ，即 AP K对一 切 P E 成立，则称 E 为有界点集，否则称为无界点集．
2 x 2 y 2 4 2 x y
所求定义域为
D {( x, y ) | 2 x 2 y 2 4, x y 2 }.
zhouq
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3、二元函数的图形
高等数学第六版上下册(同济大学出版社)课件
不定积分的几何意义
不定积分表示的是一种曲线族 ，每一条曲线都有一个与之对
应的方程。
积分的应用场景
01
物理应用
积分在物理中有广泛的应用，例 如计算物体的质量、重心、转动 惯量等。
工程应用
02
03
经济应用
积分在工程中有广泛的应用，例 如计算曲线的长度、面积、体积 等。
积分在经济中有广泛的应用，例 如计算总成本、总收益、总利润 等。
05
多重积分与向量分析
二重积分的概念与性质
二重积分的定义
二重积分是定积分在二维平面上的推广，表示一个二元函数在某个区域上的累积值。
二重积分的性质
二重积分具有可加性、可减性、可交换性等性质，这些性质使得二重积分在解决实际问题中具有广泛的应用。
三重积分的概念与性质
三重积分的定义
三重积分是定积分在三维空间上的推广 ，表示一个三元函数在某个区域上的累 积值。
03
导数与微分
导数的概念与性质
导数的定义
导数描述了函数在某一点附近的变化率，是函数局部 性质的一种体现。
导数的几何意义
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线的斜率。
导数的性质
导数具有一些基本的性质，如线性性质、乘积法则、 商的导数法则等。
微分的概念与性质
微分的定义
01
微分是函数在某一点附近的小变化量，用于近似计算函数的值
求函数的最值
导数可以用于求函数在一定区间内的最大值和最小值，这在优化问题中具有广泛的应用。
04
积分
定积分的概念与性质
01
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在区间上与区间的乘积在区间的两个端点
高数(同济第六版)第九章总结
4
③当 AC
时，不能判断
2、条件极值，拉格朗日乘数法：
①构造 L(x,y)=f(x,y)+ (x,y)[其中，f 为原函数， 为条件]
② (x0,y0)+
=0
(x0,y0)+
=0
(x0,y0)=0
5
1、方向导：
2、梯度：
=
3、 =(
) 其中 为方向角，
记某点
处的方向导为 记梯度为
则
[其中
]
① =0 时，f 增长最快
② = 时，f 增长最慢
③ = 时，f 不变
第八节 多元函数的极值及其求法
1、极值存在 必要条件： ，
充要条件：有
C
①当 AC
A>0 时，有极小值
A<0 时， 有极大值
②当 AC <0 时，无极值
1、 偏导的符号不可拆
2、 偏导数的几何意义
第三节 全微分
1、 全增量： z=f(x+ x,y+ y)-f(x,y)
可表示为： z=A x+B y+o( )[其中 o( )=
]
2、全微分：
[其中
]
3、全微分存在条件： 4、各个关系
函数连续
互推不出
推不出
推不出
函数可导
推得出
函数可导
推
推
得
不
出
出
推得出
偏导连续
记 Jacobi 式：J=
(在解方程组式的隐函数时，可用可不用 Jacobi 式) 第六节 多元函数微分学几何应用
1、
3
[称其为一元向量值函数] 2、空间曲线的切线与法平面
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四川建院土木1301（数学兴趣小组）目录第一章函数与极限薚……………………………………………………………………第一节函数……………………………………………………………………………….. 第二节数列的极限………………………………………………………………………………….. 第三节函数的极限…………………………………………………………………………………第四节无穷小与无穷大…………………………………………………………………………….. 第五节极限四则运算法则……………………………………………………………………………第六节极限存在准则、两个重要极限………………………………………………………………第七节无穷小的比较…………………………………………………………………………………第八节函数的连续性与间断点………………………………………………………………………第九节连续函数的运算与初等函数的连续性…………………………………………………….. 第十节闭区间上连续函数的性质……………………………………………………………………第二章导数与微分………………………………………………………………………. 第一节导数的概念……………………………………………………………………………………. 第二节函数的求导法则………………………………………………………………………………第三节初等函数的求导问题…………………………………………………………………………. 双曲函数与反双曲函数的导数…………………………………………………………………………第四节高阶导数………………………………………………………………………………………第五节隐函数的导数、由参数方程所确定的函数的导数相关辩化率……………………………第六节函数的微分…………………………………………………………………………………….第三章中值定理与导数的应用…………………………………………………………第一节中值定理………………………………………………………………………………….. 第二节洛必达法则……………………………………………………………………………………第三节泰勒公式………………………………………………………………………………………第四节函数单调性的判定法…………………………………………………………………………第五节函数的极值与最值……………………………………………………………………………第六节曲线的凹凸与拐点……………………………………………………………………………第七节曲率……………………………………………………………………………………………第八节方程的近似解…………………………………………………………………………………第四章不定积分……………………………………………………………………….. 第一节不定积分的概念及其性质………………………………………………………………第二节不定积分的换元积分………………………………………………………………………第三节不定积分的分部积分法…………………………………………………………………….. 第四节几种特殊类型函数的积分……………………………………………………………………第五章定积分…………………………………………………………………………. 第一节定积分概念与性质…………………………………………………………………………第二节微积分基本定理………………………………………………………………………….. 第三节定积分换元积分法与分部积分法……………………………………………………..第四节广义积分……………………………………………………………………………..第六章定积分的应用……………………………………………………………….定积分的元素法……………………………………………………………………………………功水压力和引力…………………………………………………………………………………. 平均值……………………………………………………………………………………………..第七章空间解析几何与向量代数…………………………………………………. 第一节空间直角坐标系…………………………………………………………………………. 第二节向量及其加减法向量与数的乘法………………………………………………………第三节向量的坐标………………………………………………………………………………第四节数量积向量积混合积…………………………………………………………………. 第五节曲面及其方程……………………………………………………………………………第六节空间曲线及其方程………………………………………………………………………. 第七节平面及其方程…………………………………………………………………………….. 第八节空间直线及其方程………………………………………………………………………. 第九节二次曲面…………………………………………………………………………………第八章多元函数微分法及其应用…………………………………………………第一节多元函数的基本概念………………………………………………………………….第二节偏导数………………………………………………………………………………….第三节全微分………………………………………………………………………………….第四节多元复合函数的求导法则……………………………………………………………. 第五节隐函数的求导法则……………………………………………………………………第六节微分法在几何上的应用………………………………………………………………..第七节方向导数与梯度………………………………………………………………………..第八节多元函数的极值及其求法……………………………………………………………….第九章重积分………………………………………………………………………第一节二重积分的概念与性质…………………………………………………………….第二节二重积分的计算…………………………………………………………………………第三节二重积分的应用…………………………………………………………………………第四节三重积分的概念及其计算法……………………………………………………………. 第五节利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分………………………………………………第十章曲线积分与曲面积分………………………………………………………第一节对弧长的曲线积分…………………………………………………………………….第二节对坐标的曲线积分…………………………………………………………………….第三节格林公式及其应用……………………………………………………………………. 第四节对面积的曲面积分……………………………………………………………………. 第五节对坐标的曲面积分……………………………………………………………………. 第六节高斯公式通量与散度………………………………………………………………第七节斯托克斯公式环流量与旋度………………………………………………………第十一章无穷级数………………………………………………………………第一节常数项级数的概念和性质………………………………………………………….. 第二节常数项级数的申敛法…………………………………………………………………. 第三节幂级数…………………………………………………………………………………. 第四节函数展开成幂级数……………………………………………………………………第五节函数的幂级数展开式的应用…………………………………………………………第七节傅里叶级数……………………………………………………………………………. 第八节正弦级数与余弦级数…………………………………………………………………. 第九节周期为2l的周期函数的傅里叶级数………………………………………………...第十二章微分方程……………………………………………………………….. 第一节微分方程的基本概念……………………………………………………………….. 第二节可分离变量的微分方程………………………………………………………………第三节齐次方程……………………………………………………………………………第四节一阶线性微分方程…………………………………………………………………第五节全微分方程……………………………………………………………………………第六节可降阶的高阶微分方程………………………………………………………………第七节高阶线性微分方程……………………………………………………………………第八节二阶常系数齐次线性微分方程………………………………………………….. 第九节二阶常系数非齐次线性微分方程……………………………………………………第十节欧拉方程………………………………………………………………………………第十一节微分方程的幂级数解法……………………………………………………………. 第十二节常系数线性微分方程组解法举例…………………………………………………第一章 函数与极限第一节 函 数教学目的：本节主要是复习高中阶段学过的集合以及函数的概念、性质；介绍邻域、分段函数、复合函数、初等函数的概念。
教学重点：分段函数、复合函数；一、 集合、常量与变量(一) 集合1、集合：集合是具有某种特定性质的事物所组成的全体。
通常用大写字母A 、B 、C ……等来表示，组成集合的各个事物称为该集合的元素。
若事物a 是集合M 的一个元素，就记a ∈M （读a 属于M ）；若事物a 不是集合M 的一个元素，就记a ∉M 或a ∈M （读a 不属于M ）；集合有时也简称为集。
注意：（1）对于一个给定的集合，要具有确定性的特征，即对于任何一个事物或元素，能够判断它属于或不属于给定的集合，二者必居其一.（2）对于一个给定的集合，其中的元素应是互异的，完全相同的元素，不论数量多少，在一个集合里只算作一个元素，就是说，同一个元素在同一个集合里不能重复出现.（3）若一集合只有有限个元素，就称为有限集；否则称为无限集2. 集合的表示法表示集合的方法，常见的有列举法和描述法两种.列举法：按任意顺序列出集合的所有元素，并用花括号{ }括起来，这种方法称为列举法.3.全体自然数集记为N,全体整数的集合记为Z,全体有理数的集合记为Q,全体实数的集合记为R 。
以后不特别说明的情况下考虑的集合均为数集。
4.集合间的基本关系：若集合A 的元素都是集合B 的元素，即若有A x ∈，必有B x ∈，就称A 为B 的子集，记为B A ⊂,或A B ⊃(读B 包含A)。
显然：R Q Z N ⊂⊂⊂.若B A ⊂,同时A B ⊂,就称A 、B 相等,记为A=B 。