24.3《正多边形和圆》课件
我们把一个正多边形的外接圆的圆 心叫做这个正多边形的中心.
中心角
外接圆的半径叫做正多边形的半径. 正多边形每一边所对的圆心角 叫做正多边形的中心角. 中心到正多边形的距离叫做 正多边形的边心距.
O
·
半径R
边心距r
思考:正多边形有内切圆吗?如果有,请指出它的圆心与半径. 内切圆的半径与边心距有什么关系?
（n 2） 180 n 正n边形的一个内角的度数是____________;
360 中心角的和是_____;正多边形一个中心角是___ n _
360
0
；
正N边形就有N个相等的中心角
相等
正多边形的中心角与外角的大小关系是________.
五例 有一个亭子它的地基是半径为4m的正六边形
菱形, 矩形都 不是正多边形
正n边形与圆的关系
1.把正n边形的边数无限增多,就接近于圆. 2.怎样由圆得到多边形呢？
A
D
思考2: 把一个圆4等分, 并依次连 接这些点,得到正多边形吗?
B C
你知道正多边形与圆的关系吗？
正多边形和圆的关系非常密切, A 只要把一个圆分成相等的一些弧,就可 以作出这个圆的内接正多边形,这个圆
任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆, 这两个圆是同心圆.
三、抢答题： 外接 1. O是正△ABC的中心，它是△ABC的_____ A 圆与________圆的圆心。 内切 2. OB叫正△ABC的_____, 半径 它是正△ABC的______圆 外接
的半径。 .O C
边心距 3. OD叫作正△ABC______, 它是正△ABC的______ 内切 B D 圆的半径。 中心 4. ∠BOC是正△ABC的________ 角; 60 120 ∠BOC=_____度; ∠BOD=_____度.
OB OE 2
2
2
B
E
C
S正方形ABCD ABBC
2R
2
2R 2
七、
小结：
1、怎样的多边形是正多边形？
①各边相等 ②各角相等
的多边形叫做正多边形。
2、怎样判定一个多边形是正多边形？
八 作业
1、习题24.3 第1，2，3， 5，6题
2、练习册，随堂通相应课时
同学们要好好学习，老 师期盼你们快快进步！
根据勾股定理，可得边心距r
B
C
4 2
2
2
2 3
1 1 2 亭子的面积S Lr 24 2 3 41 .6(m ) 2 2
六、练习
1. 矩形是正多边形吗?菱形呢?正方形呢?为什么?
解答：
矩形不是正多边形，因为四条边不都相等;
菱形不是正多边形，因为菱形的四个角不都相等; 正方形是正多边形．因为四条边都相等，四个角都相等.
求地基的周长和面积(精确到0.1平方米).
F
E
O . . r
A
B
R
C
D
P
由于ABCDEF是正六边形，所以 F 360 它的中心角等于 60 ， 6 A OBC是等边三角形，从而正 六边形的边长等于它的半径.
E
. .O
r R=4
D
P ∴亭子的周长 L=6×4=24(m) BC 4 在RtOPC中，OC 4，PC 2 2 2
停
(2) 正六、正三 、正十二边形的尺规作图
(3)按照一定比例,画一个停车让行的交通标 志的外缘
(4)用量角器作五角星；
B
a 2 R. 2 D
O · 1
C
R. 即正三角形的边长为 3 R 边心距为 2 面积为
3 3R 4
解：连接OB，OC 作OE⊥BC垂足为E，
∠OEB=90° ∠OBE= ∠ BOE=45°
在Rt△OBE中为等腰直角三角形
BE 2 OE 2 OB 2
A
O ·
D
2OE OB
2
2
2 2 边心距OE OB R 2 2 2 边长BC 2 BE 2 R 2R 2
24.3 正多边形和圆
E A D
B
C
观察下列图形他们有什么特点？
正三 角形
三条边相等， 三个角相等 （60度）。
正方形
四条边相等， 四个角相等 （900）。
一 .正多边形定义
各边相等,各角也相等的多边形叫做 正多边形. 如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形 叫做正n边形。
思考1: 菱形是正多边形吗?矩形是正多边形呢?
2 2 3
四、正多边形的性质及对称性
3.正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n 条对称轴，每条对称轴都通过n边形的中心。 1、正多边形的各边相等
2、正多边形的各角相等
4. 边数是偶数的正多边形还是中心对称图形， 它的中心就是对称中心。
六.画正多边形的方法
1.用量角器等分圆 2.尺规作图等分圆 (1) 正四、正八边形的尺规作图
• 9．若一个正多边形的每一个外角都等于 36°,那么这个正多边形的中心角为（ ） A．36° B、 18° C．72° D．54° • 10．将一个边长为a正方形硬纸片剪去四 角，使它成为正n边形，那么正n边形的面 积为（ ） 7 2 2 2 2 ( C、 a D、 2 - 2)a 2 (2 A、3 2 3)a B、 a 9 2 • 11．正六边形螺帽的边长为a，那么扳手 的开口b最小应是( ) 1 3 3 A、3a B、 a C. a D.
快走啊！赶紧去做正多 边形与圆的习题啦！
五.拓展练习
• 1、两个正六边形的边长分别是3和4，这两 个正六边形的面积之比等于________ • 2．圆内接正方形的半径与边长的比值是 ________ • 3．圆内接正四边形的边长为4 cm，那么边 心距是________ • 4．已知圆内接正方形的边长为，则该圆 的 内接正六边形边长为__________． • 5． 圆内接正六边形的边长是8 cm用么该正 六边形的半径为________；边心距为 ________．
E
D
就是这个正多边形的外接圆.
B
C
弦相等（多边形的边相等）
弧相等
圆周角相等（多边形的角相等）
—多边形是正多边形
思考3: 把一个圆5等分, 并依次连接这些点, A 得到正多边形吗?? 证明：
B E
C
D
定理1：把圆分成n（n≥3）等份：
依次连结各分点所得的多边形是这个圆 的内接正多边形.
二. 正多边形有关的概念
5、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做 正方形ABCD的____________ 中心 6、正方形ABCD的内切圆的半径OE叫做 边心距 正方形ABCD的___________ A
D
.O
B
ECBiblioteka 7、⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，弦AB的 边心距 弦心距OF叫正五边形ABCDE的________， 内切 它是正五边形ABCDE的________圆的半径。
2、各边相等的圆内接多边形是正多边
形吗？各角相等的圆内接多边形呢？如 果是，说明理由，如果不是举出反例。 各边相等的圆内接多边形的各个角也 相等，它是正多边形；各角相等的圆 内接多边形不是正多边形，例如矩形。
3、判断
（1）各边都相等的正多边形是正多边形。（ ） ×
（2）一个圆有且只有一个内接正多形。（× ）
• 6、已知正多边形的边心距与边长的比是，则此 正多边形是( ) A．正三角形 B、正方形 C．正六边形 D正十二边形 • 7．以下有四种说法：①顺次连结对角线相等的 四边形各边中点，则所得的四边形是菱形；② 等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图 形；③顶点在圆周上的角是圆周角；④边数相 同的正多边形都相似，其中正确的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D 4个 • 8．正多边形的中心角与该正多边形一个内角的 关系是（） A.互余 B.互补 C.互余或互补 D.不能确定
F
.O
C
A
B
中心角 360 n
E 中心角
D
边心距把△AOB分成 F 2个全等的直角三角形
180 AOG BOG n
.O .
R A G B a
C
设正多边形的边长为a,半径为R,则周长为L=na.
边心距r
a R （ ） ， 2
2
2
1 1 面积S L 边心距（r） na 边心距（r） 2 2
中心 8、∠AOB叫做正五边形ABCDE的_______角， 72度 它的度数是________ D
E C
.O
A B
F
9、图中正六边形ABCDEF的中心角是_______; ∠AOB 60度 它的度数是_________; 10、你发现正六边形ABCDEF的半径与边长具有 什么数量关系？为什么？ E D
4.分别求出半径为R的圆内接正三角形，正方 形的边长，边心距和面积.
解：作等边△ABC的BC边上的高AD,垂足为D
连接OB，则OB=R，BC=a 在Rt△OBD中 ∠OBD=30°, 1 R. BD= a 边心距＝OD= 2 2
A
a 2
BD 2 OD 2 OB 2
R
a 2 1 2 ( ) ( R) R 2 2 2 解之得 : a 3R 1 1 R 3 S BC AD a ( R ) 3R 2 2 2 4 1
中心角
外接圆的半径叫做正多边形的半径. 正多边形每一边所对的圆心角 叫做正多边形的中心角. 中心到正多边形的距离叫做 正多边形的边心距.
O
·
半径R
边心距r
思考:正多边形有内切圆吗?如果有,请指出它的圆心与半径. 内切圆的半径与边心距有什么关系?
（n 2） 180 n 正n边形的一个内角的度数是____________;
360 中心角的和是_____;正多边形一个中心角是___ n _
360
0
；
正N边形就有N个相等的中心角
相等
正多边形的中心角与外角的大小关系是________.
五例 有一个亭子它的地基是半径为4m的正六边形
菱形, 矩形都 不是正多边形
正n边形与圆的关系
1.把正n边形的边数无限增多,就接近于圆. 2.怎样由圆得到多边形呢？
A
D
思考2: 把一个圆4等分, 并依次连 接这些点,得到正多边形吗?
B C
你知道正多边形与圆的关系吗？
正多边形和圆的关系非常密切, A 只要把一个圆分成相等的一些弧,就可 以作出这个圆的内接正多边形,这个圆
任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆, 这两个圆是同心圆.
三、抢答题： 外接 1. O是正△ABC的中心，它是△ABC的_____ A 圆与________圆的圆心。 内切 2. OB叫正△ABC的_____, 半径 它是正△ABC的______圆 外接
的半径。 .O C
边心距 3. OD叫作正△ABC______, 它是正△ABC的______ 内切 B D 圆的半径。 中心 4. ∠BOC是正△ABC的________ 角; 60 120 ∠BOC=_____度; ∠BOD=_____度.
OB OE 2
2
2
B
E
C
S正方形ABCD ABBC
2R
2
2R 2
七、
小结：
1、怎样的多边形是正多边形？
①各边相等 ②各角相等
的多边形叫做正多边形。
2、怎样判定一个多边形是正多边形？
八 作业
1、习题24.3 第1，2，3， 5，6题
2、练习册，随堂通相应课时
同学们要好好学习，老 师期盼你们快快进步！
根据勾股定理，可得边心距r
B
C
4 2
2
2
2 3
1 1 2 亭子的面积S Lr 24 2 3 41 .6(m ) 2 2
六、练习
1. 矩形是正多边形吗?菱形呢?正方形呢?为什么?
解答：
矩形不是正多边形，因为四条边不都相等;
菱形不是正多边形，因为菱形的四个角不都相等; 正方形是正多边形．因为四条边都相等，四个角都相等.
求地基的周长和面积(精确到0.1平方米).
F
E
O . . r
A
B
R
C
D
P
由于ABCDEF是正六边形，所以 F 360 它的中心角等于 60 ， 6 A OBC是等边三角形，从而正 六边形的边长等于它的半径.
E
. .O
r R=4
D
P ∴亭子的周长 L=6×4=24(m) BC 4 在RtOPC中，OC 4，PC 2 2 2
停
(2) 正六、正三 、正十二边形的尺规作图
(3)按照一定比例,画一个停车让行的交通标 志的外缘
(4)用量角器作五角星；
B
a 2 R. 2 D
O · 1
C
R. 即正三角形的边长为 3 R 边心距为 2 面积为
3 3R 4
解：连接OB，OC 作OE⊥BC垂足为E，
∠OEB=90° ∠OBE= ∠ BOE=45°
在Rt△OBE中为等腰直角三角形
BE 2 OE 2 OB 2
A
O ·
D
2OE OB
2
2
2 2 边心距OE OB R 2 2 2 边长BC 2 BE 2 R 2R 2
24.3 正多边形和圆
E A D
B
C
观察下列图形他们有什么特点？
正三 角形
三条边相等， 三个角相等 （60度）。
正方形
四条边相等， 四个角相等 （900）。
一 .正多边形定义
各边相等,各角也相等的多边形叫做 正多边形. 如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形 叫做正n边形。
思考1: 菱形是正多边形吗?矩形是正多边形呢?
2 2 3
四、正多边形的性质及对称性
3.正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n 条对称轴，每条对称轴都通过n边形的中心。 1、正多边形的各边相等
2、正多边形的各角相等
4. 边数是偶数的正多边形还是中心对称图形， 它的中心就是对称中心。
六.画正多边形的方法
1.用量角器等分圆 2.尺规作图等分圆 (1) 正四、正八边形的尺规作图
• 9．若一个正多边形的每一个外角都等于 36°,那么这个正多边形的中心角为（ ） A．36° B、 18° C．72° D．54° • 10．将一个边长为a正方形硬纸片剪去四 角，使它成为正n边形，那么正n边形的面 积为（ ） 7 2 2 2 2 ( C、 a D、 2 - 2)a 2 (2 A、3 2 3)a B、 a 9 2 • 11．正六边形螺帽的边长为a，那么扳手 的开口b最小应是( ) 1 3 3 A、3a B、 a C. a D.
快走啊！赶紧去做正多 边形与圆的习题啦！
五.拓展练习
• 1、两个正六边形的边长分别是3和4，这两 个正六边形的面积之比等于________ • 2．圆内接正方形的半径与边长的比值是 ________ • 3．圆内接正四边形的边长为4 cm，那么边 心距是________ • 4．已知圆内接正方形的边长为，则该圆 的 内接正六边形边长为__________． • 5． 圆内接正六边形的边长是8 cm用么该正 六边形的半径为________；边心距为 ________．
E
D
就是这个正多边形的外接圆.
B
C
弦相等（多边形的边相等）
弧相等
圆周角相等（多边形的角相等）
—多边形是正多边形
思考3: 把一个圆5等分, 并依次连接这些点, A 得到正多边形吗?? 证明：
B E
C
D
定理1：把圆分成n（n≥3）等份：
依次连结各分点所得的多边形是这个圆 的内接正多边形.
二. 正多边形有关的概念
5、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做 正方形ABCD的____________ 中心 6、正方形ABCD的内切圆的半径OE叫做 边心距 正方形ABCD的___________ A
D
.O
B
ECBiblioteka 7、⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，弦AB的 边心距 弦心距OF叫正五边形ABCDE的________， 内切 它是正五边形ABCDE的________圆的半径。
2、各边相等的圆内接多边形是正多边
形吗？各角相等的圆内接多边形呢？如 果是，说明理由，如果不是举出反例。 各边相等的圆内接多边形的各个角也 相等，它是正多边形；各角相等的圆 内接多边形不是正多边形，例如矩形。
3、判断
（1）各边都相等的正多边形是正多边形。（ ） ×
（2）一个圆有且只有一个内接正多形。（× ）
• 6、已知正多边形的边心距与边长的比是，则此 正多边形是( ) A．正三角形 B、正方形 C．正六边形 D正十二边形 • 7．以下有四种说法：①顺次连结对角线相等的 四边形各边中点，则所得的四边形是菱形；② 等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图 形；③顶点在圆周上的角是圆周角；④边数相 同的正多边形都相似，其中正确的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D 4个 • 8．正多边形的中心角与该正多边形一个内角的 关系是（） A.互余 B.互补 C.互余或互补 D.不能确定
F
.O
C
A
B
中心角 360 n
E 中心角
D
边心距把△AOB分成 F 2个全等的直角三角形
180 AOG BOG n
.O .
R A G B a
C
设正多边形的边长为a,半径为R,则周长为L=na.
边心距r
a R （ ） ， 2
2
2
1 1 面积S L 边心距（r） na 边心距（r） 2 2
中心 8、∠AOB叫做正五边形ABCDE的_______角， 72度 它的度数是________ D
E C
.O
A B
F
9、图中正六边形ABCDEF的中心角是_______; ∠AOB 60度 它的度数是_________; 10、你发现正六边形ABCDEF的半径与边长具有 什么数量关系？为什么？ E D
4.分别求出半径为R的圆内接正三角形，正方 形的边长，边心距和面积.
解：作等边△ABC的BC边上的高AD,垂足为D
连接OB，则OB=R，BC=a 在Rt△OBD中 ∠OBD=30°, 1 R. BD= a 边心距＝OD= 2 2
A
a 2
BD 2 OD 2 OB 2
R
a 2 1 2 ( ) ( R) R 2 2 2 解之得 : a 3R 1 1 R 3 S BC AD a ( R ) 3R 2 2 2 4 1
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《24.3-正多边形和圆》课件
..O
D
rR
∴亭子的周长 L=6×4=24(m) B P C
在RtOPC中，OC 4，PC BC 4 2 22
根据勾股定理，可得边 心距r 42 22 2 3
亭子的面积 S 1 Lr 1 24 2 22
3 41.6(m2)
小练习
已知点A、B、C、D、E是⊙O 的5等分点， 画出⊙O的内接正五边形和外切正五边形.
A
B C
E O
D
外切正多边形
把圆分成 n（n≥3）等份： 经过各分点作圆的切线，以相邻 切线的交点为顶点的多边形是这个圆 的外切正多边形.
定理证明
证明：连结OA、OB、OC，则：
∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB ∵TP、PQ、QR分别是以A、B、C
P
为切点的⊙O的切线
∴∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ B
2S小弓形 S弓形AOC SAOC
O
(S扇形OAOC SAOC ) SAOC
S扇形OAOC 2SAOC
B
C
S阴影
6S小弓形
3(S扇形OAOC
2SAOC )
(
3
3 )a2 2
10. A是半径为2的⊙O外的一点,OA=4,AB
是⊙O的切线,点B是切点,弦BC∥OA,边结AC,
则图中阴影部分的面积等于 ( A )
等分点，则作出正六边形.
B
C
先作出正六边形，则可
作正三角形，正十二边形，
正二十四边形………
例题
有一个亭子它的地基是半径为4m的正六边形，
求地基的周长和面积（精确到0.1平方米）.
F
解: 由于ABCDEF是正六边形，所以
E
它的中心角等于360 60，
人教版数学九年级上册24.3正多边形和圆课件(36张PPT)
24.3 正多边形和圆
人教版·九年级上册
学习目标
（1）理解正多边形及其半径、边长、边心距、中心 角等概念. （2）会进行特殊的与正多边形有关的计算，会画某 些正多边形.
新课导入
问题1：观察下面多边形，它们的边、角有什么特点?
都是各边相等，各内角相等的多边形
问题2：观看这些美丽的图案，都是在日常生活中我们 经常能看到的.你能从这些图案中找出类似的图形吗?
动手操作
操作一：自己动手试一试，你能画出什么正多边 形？你是怎么画的？ 操作二：画一个半径是1.5cm的圆，并画出它的正 六边形。
解：方法 1 （1）作一个半径是1.5cm的圆⊙O ； （2）用量角器依次作∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝ ∠DOE＝∠EOF＝∠FOA＝ 360 ＝60°，将360°圆心角六
想一想
有没有对称轴？
正多边形都是 轴对称 图形，一个正n边形共有
n 条对称轴，每条对称轴都通过n边形的 中心 .
边数3是条偶数的正4多条边形还是 5中条心对称图形6条，它的中 心就是对称中心.
你知道正多边形与圆的关系吗？
把一个圆分成相等的弧？依次连接各等分点，得到一个什 么图形？ 如果五、六、七…等分？如果将圆n等分呢？
思考 什么叫正多边形？图中有哪些正多边形？ 正多边形与圆有哪些关系？
探索新知
图形 ……
名称 正三角形 正四角形 正五角形 正六角形
……
边的关系
角的关系
三条边相等 三个角相等（60°）
四条边相等 四个角相等（90°）
五条边相等 五个角相等（108°）
六条边相等 六个角相等（120°）
……
……
正多边形的概念：
< 针对训练 >
人教版·九年级上册
学习目标
（1）理解正多边形及其半径、边长、边心距、中心 角等概念. （2）会进行特殊的与正多边形有关的计算，会画某 些正多边形.
新课导入
问题1：观察下面多边形，它们的边、角有什么特点?
都是各边相等，各内角相等的多边形
问题2：观看这些美丽的图案，都是在日常生活中我们 经常能看到的.你能从这些图案中找出类似的图形吗?
动手操作
操作一：自己动手试一试，你能画出什么正多边 形？你是怎么画的？ 操作二：画一个半径是1.5cm的圆，并画出它的正 六边形。
解：方法 1 （1）作一个半径是1.5cm的圆⊙O ； （2）用量角器依次作∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝ ∠DOE＝∠EOF＝∠FOA＝ 360 ＝60°，将360°圆心角六
想一想
有没有对称轴？
正多边形都是 轴对称 图形，一个正n边形共有
n 条对称轴，每条对称轴都通过n边形的 中心 .
边数3是条偶数的正4多条边形还是 5中条心对称图形6条，它的中 心就是对称中心.
你知道正多边形与圆的关系吗？
把一个圆分成相等的弧？依次连接各等分点，得到一个什 么图形？ 如果五、六、七…等分？如果将圆n等分呢？
思考 什么叫正多边形？图中有哪些正多边形？ 正多边形与圆有哪些关系？
探索新知
图形 ……
名称 正三角形 正四角形 正五角形 正六角形
……
边的关系
角的关系
三条边相等 三个角相等（60°）
四条边相等 四个角相等（90°）
五条边相等 五个角相等（108°）
六条边相等 六个角相等（120°）
……
……
正多边形的概念：
< 针对训练 >
人教版九年级上册2正多边形和圆形课件
第二十四章 圆
24.3 正多边形和圆
人教版 九年级上册
学习目标
1.理解正多边形和圆的关系，知道把圆分成相等的一些弧， 就可以得到这个圆的内接正多边形； 2.了解正多边形的中心，半径、边心距、中心角等概念； 3.会计算正多边形的边长、半径、边心距、中心角、周长 和面积．
情境导入
视察这些图片，你能否看到正多边形？
3.正n边形的半径和边心距把正n边形分成 的直角三角形；
个全等
4.正三角形的半径为6，则边长为_____，边心距为____，
面积为________．
5.若正三角形边长为 12，则半径为______；
当堂检测
6.正 n 边形的一个外角为 30°，则它的边数为____， 它的内角和为______； 7.如果一个正多边形的一个外角等于一个内角的三分之 二，则这个正多边形的边数 n =____；
在Rt△OPC中,OC=4,PC=2.
r 42 22 2 3.
亭子地基的面积是
S 1 24 2 3 24 3 2
F
E
A
O
D
rR
BP C
本课小结
正多边形的中心:
一个正多边形的外接圆的圆心.
正多边形的半径:
F
外接圆的半径
正多边形的边心距： 中心到正多边形的一边的距离.
E
D
半径R
0..
C
边心距r
A
B
本课小结
E
D
正多边形的中心角：
正多边形的边所对的圆心角. F
O..
C
正n边形 当n为奇数时，它是轴对称图形.
中心角
A
B
当n为偶数时，它既是轴对称图形，也是中心对称图形.
24.3 正多边形和圆
人教版 九年级上册
学习目标
1.理解正多边形和圆的关系，知道把圆分成相等的一些弧， 就可以得到这个圆的内接正多边形； 2.了解正多边形的中心，半径、边心距、中心角等概念； 3.会计算正多边形的边长、半径、边心距、中心角、周长 和面积．
情境导入
视察这些图片，你能否看到正多边形？
3.正n边形的半径和边心距把正n边形分成 的直角三角形；
个全等
4.正三角形的半径为6，则边长为_____，边心距为____，
面积为________．
5.若正三角形边长为 12，则半径为______；
当堂检测
6.正 n 边形的一个外角为 30°，则它的边数为____， 它的内角和为______； 7.如果一个正多边形的一个外角等于一个内角的三分之 二，则这个正多边形的边数 n =____；
在Rt△OPC中,OC=4,PC=2.
r 42 22 2 3.
亭子地基的面积是
S 1 24 2 3 24 3 2
F
E
A
O
D
rR
BP C
本课小结
正多边形的中心:
一个正多边形的外接圆的圆心.
正多边形的半径:
F
外接圆的半径
正多边形的边心距： 中心到正多边形的一边的距离.
E
D
半径R
0..
C
边心距r
A
B
本课小结
E
D
正多边形的中心角：
正多边形的边所对的圆心角. F
O..
C
正n边形 当n为奇数时，它是轴对称图形.
中心角
A
B
当n为偶数时，它既是轴对称图形，也是中心对称图形.
人教版数学九年级上册第二十四章《24.3 正多边形和圆》课件(共19张PPT)
对于一些特殊的正多边形，还可以用圆规和直尺来作图. 再如，用直尺和圆规作两条互相垂直的直径，就可以把圆四等分，从而作 出正方形.
用尺规等分圆： 用尺规作图的方法等分圆周，然后依次连接圆上各分点得到正多边形，这 种方法有局限性，不是任意正多边形都能用此法作图，这种方法从理论上 讲是一种准确方法．
2.如图，正五边形ABCDE的对角线AC和BE相交于点M. 求证：(1) AC//ED；(2) ME=AE.
如图，正五边形ABCDE的对角线AC和BE相交于点M. 求证：(1) AC//ED；(2) ME=AE.
归纳新知
正多边形 的画法
用量角器等分圆 用尺规等分圆
此方法可将圆任意n等分，所以用 该方法可作出任意正多边形，但边 数很大时，容易产生较大的误差.
度量法③：
用圆规在⊙O 上顺次截取6条长度等于半径(2 cm)的弦，连接其中的 AB， BC，CA 即可．
B
O
A
C
对于一些特殊的正多边形，还可以用圆规和直尺来作图. 例如，我们也可以这样来作正六边形.由于正六边形的边长等于半径，所以 在半径为R的圆上依次截取等于R的弦，就可以把圆六等分，顺次连接各分 点即可得到半径为R的正六边形.
课堂练习
1.画一个半径为2 cm的正五边形，再作出这个正五边形的各条对角线，画 出一个五角星.
2.面积相等的正三角形与正六边形的边长之比为
.
中考实题
1.已知⊙O如图所示. (1) 求作⊙O的内接正方形(要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)； (2) 若⊙O的半径为4，求它的内接正方形的边长.
此方法是一种比较准确的等分圆的方 法，但有局限性，不能将圆任意等分.
再见
合作探究
已知⊙O 的半径为 2 cm，画圆的内接正三角形． 度量法①： 用量角器或 30°角的三角板度量，使∠BAO=∠CAO=30°．
正多边形和圆ppt课件
解:(1)如图所示,正八边形ABCDEFGH即为所求.
图24-3-4
探
究
与
应
用
(2)求出地基的中心角和面积.(结果保留根号)
(2)如图,连接OA,OB,过点A作AM⊥OB于点M.
∵八边形ABCDEFGH是正八边形,
360°
∴地基的中心角∠O=
=45°,
8
∴△OAM是等腰直角三角形.
∵OA=OB=4 m,∴AM=OM=2 2 m,
解:如图.
(1)画半径为1 cm的☉O;
(2)用量角器把☉O九等分(依次画40°的圆心角);
(3)依次连接各分点,即得☉O的内接正九边形ABCDEFGHI.
谢 谢 观 看！
1
1
∴S△OAB= OB·AM= ×4×2
2
2
2=4 2(m2),
∴地基的面积=8S△OAB=8×4 2=32 2(m2).
探
究
与
应
用
学 方法
等分圆周画正多边形的工具和方法
①只用量角器:用量角器把360°的圆心角n等分,相应的圆周
也被n等分,顺次连接各分点得到正n边形.
1
②用量角器和圆规:先用量角器画出360°的圆心角的 ,相应
1
得到圆周的 ;再用圆规顺次截取,便得到圆周的n等分点,顺
次连接各分点得到正n边形.
③用圆规和直尺:用尺规等分圆周,可以作正六边形、正方
形等特殊正多边形.
课
堂
小
结
与
检
测
[检测]
1.如果一个正多边形的中心角为72°,那么这个正多边形的边
数是
( B )
A.4
B.5
C.6
图24-3-4
探
究
与
应
用
(2)求出地基的中心角和面积.(结果保留根号)
(2)如图,连接OA,OB,过点A作AM⊥OB于点M.
∵八边形ABCDEFGH是正八边形,
360°
∴地基的中心角∠O=
=45°,
8
∴△OAM是等腰直角三角形.
∵OA=OB=4 m,∴AM=OM=2 2 m,
解:如图.
(1)画半径为1 cm的☉O;
(2)用量角器把☉O九等分(依次画40°的圆心角);
(3)依次连接各分点,即得☉O的内接正九边形ABCDEFGHI.
谢 谢 观 看！
1
1
∴S△OAB= OB·AM= ×4×2
2
2
2=4 2(m2),
∴地基的面积=8S△OAB=8×4 2=32 2(m2).
探
究
与
应
用
学 方法
等分圆周画正多边形的工具和方法
①只用量角器:用量角器把360°的圆心角n等分,相应的圆周
也被n等分,顺次连接各分点得到正n边形.
1
②用量角器和圆规:先用量角器画出360°的圆心角的 ,相应
1
得到圆周的 ;再用圆规顺次截取,便得到圆周的n等分点,顺
次连接各分点得到正n边形.
③用圆规和直尺:用尺规等分圆周,可以作正六边形、正方
形等特殊正多边形.
课
堂
小
结
与
检
测
[检测]
1.如果一个正多边形的中心角为72°,那么这个正多边形的边
数是
( B )
A.4
B.5
C.6
24.3 多边形和圆 第1课时 初中数学人教版九年级上册教学课件
6
△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于 它半径.
因此，亭子地基的周长 l 6 4 24(m)
例
解：如图，连接OB，OC.因为六边形ABCDE是正六边形，所 以它的中心角等于 360 60
6 △OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它半径.
因此，亭子地基的周长 l 6 4 24(m)
边形ABCDE的 边心距 ， 它是正五边形ABCDE的 内切 圆的半径
2.∠AOB叫做正五边形ABCDE的 中心 角， 它的度数是 72°.
例
如图，有一个亭子，它的地基是半径为4m的正六边形， 求地基的周长和面积（结果保留小数点后一位）.
解：如图，连接OB，OC.因为六边形ABCDE是 正六边形，所以它的中心角等于 360 60
∴OA=OB=OC=OD.
∴正方形ABCD有一个以点O为圆 心的外接圆.
问题3
任何正多边形都有一个外接圆和内切圆
以正四边形为例,根据对称轴的性质，你能得出什么结论？
A
E
B
O
G
H
DF
C
AC是∠DAB及∠DCB的角平分线， BD是∠ABC及∠ADC的角平分线， ∴OE=OH=OF=OG.
∴正方形ABCD还有一个以点O为圆心 的内切圆.
（3）OD叫作正△ABC 边心距，它是正△ABC的 内切圆的半径
（4）∠BOC是正△ABC 中心 角，∠BOC＝120 度； ∠BOD＝ 60 度
及时练
1.正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD
的 内心 .
2.正方形ABCD的内切圆的半径OE叫
做正方形ABCD的 边心距 .
及时练
1. O是正五边形ABCDE的外接圆，弦心距OF叫正五
△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于 它半径.
因此，亭子地基的周长 l 6 4 24(m)
例
解：如图，连接OB，OC.因为六边形ABCDE是正六边形，所 以它的中心角等于 360 60
6 △OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它半径.
因此，亭子地基的周长 l 6 4 24(m)
边形ABCDE的 边心距 ， 它是正五边形ABCDE的 内切 圆的半径
2.∠AOB叫做正五边形ABCDE的 中心 角， 它的度数是 72°.
例
如图，有一个亭子，它的地基是半径为4m的正六边形， 求地基的周长和面积（结果保留小数点后一位）.
解：如图，连接OB，OC.因为六边形ABCDE是 正六边形，所以它的中心角等于 360 60
∴OA=OB=OC=OD.
∴正方形ABCD有一个以点O为圆 心的外接圆.
问题3
任何正多边形都有一个外接圆和内切圆
以正四边形为例,根据对称轴的性质，你能得出什么结论？
A
E
B
O
G
H
DF
C
AC是∠DAB及∠DCB的角平分线， BD是∠ABC及∠ADC的角平分线， ∴OE=OH=OF=OG.
∴正方形ABCD还有一个以点O为圆心 的内切圆.
（3）OD叫作正△ABC 边心距，它是正△ABC的 内切圆的半径
（4）∠BOC是正△ABC 中心 角，∠BOC＝120 度； ∠BOD＝ 60 度
及时练
1.正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD
的 内心 .
2.正方形ABCD的内切圆的半径OE叫
做正方形ABCD的 边心距 .
及时练
1. O是正五边形ABCDE的外接圆，弦心距OF叫正五
正多边形和圆-ppt课件
“各边相等，各内角相等”是正多边形的两
个基本特征，当边数n>3时，二者必须同时具备，
缺一不可，否则多边形就不是正多边形.
感悟新知
3. 正多边形的有关概念
知1－讲
(1)正多边形的中心： 一个正多边形的外接圆的圆心叫作正
多边形的中心 .
(2)正多边形的半径： 正多边形的外接圆的半径叫作正多边形
的半径 .
心，OA 为半径作⊙ O，直径 FC ∥ AB， AO， BO
的延长线交⊙ O 于点 D， E.
求证：六边形 ABCDEF 为圆内接
正六边形 .
感悟新知
知1－练
思路导引：
感悟新知
知1－练
证明： ∵三角形 AOB 是正三角形，
∴∠ AOB= ∠ OAB= ∠ OBA=60°， OB=OA.
∴点 B 在⊙ O 上 .
(1)作半径为 0.9 cm 的⊙ O；
(2)用量角器画∠ AOB = ∠ BOC=120°，其中 A， B，C
均为圆上的点；
(3)连接 AB， BC， CA，则△ ABC 为
所求作的正三角形 ，如图 24. 3－4所示.
感悟新知
作法二
(1)作半径为 0.9 cm 的⊙ O；
知3－练
(2)作⊙ O 的任一直径 AB；
︵
︵
︵
︵
︵ ︵
∴BDE－CDE＝CDA－CDE，即BC＝AE.∴BC＝AE.
同理可证其余各边都相等，
∴五边形 ABCDE 是正五边形．
感悟新知
知识点 2 正多边形的有关计算
1. 正 n 边形的每个内角都等于
(－)· °
.
2. 正 n 边形的每个中心角都等于
24.3.正多边形和圆课件PPT(共22张)
24.3 正多边形(zhèngduōbiānxíng) 和圆
点击页面即可演示
第1页，共22页。
观察下列图形它们有什么(shén 特 me) 点？
第2页，共22页。
三条边相等,
四条边相等,四
正三 三个角相等 角形 (60°).
正方形 个角相等 (90°).
一、正多边形的定义
各边相等,各角也相等的多边形叫做(jiàozuò)正多边 形.
边形ABCDE的 内切圆的半径(bànjìng). D
7.∠AOB叫做正五边形
ABCDE的 中心角,
它的度数是 72°.
E
C
.O
AF
B
第12页，共22页。
8.图中正(zhōnɡ zhènɡ)六边形ABCDEF的中心角∠是AOB
它的度数是 60°
9.你发现正六边形
ABCDEF的半径
与边长具有什么
数量关系?
第5页，共22页。
A
D
B
C
弧相等
弦相等 (多边形的边相等 ) (xiāngděng)
(xiāngděng)
圆周角相等(多边形的角相等)
—多边形是正多边形
第6页，共22页。
A
E B
H D
G
C
弧相等
F
全等三角形
边相等
(xiāngděng)
角相等
多边形是正多边形
第7页，共22页。
定理：
把圆分成n(n≥3)等份： ⑴依次连接各分点所得(suǒ dé)的多边形是这个圆 的
相等
E F
D
.O
C
A
B
第13页，共22页。
判断题
①各边都相等的多边形是正多边形.( ) ×
点击页面即可演示
第1页，共22页。
观察下列图形它们有什么(shén 特 me) 点？
第2页，共22页。
三条边相等,
四条边相等,四
正三 三个角相等 角形 (60°).
正方形 个角相等 (90°).
一、正多边形的定义
各边相等,各角也相等的多边形叫做(jiàozuò)正多边 形.
边形ABCDE的 内切圆的半径(bànjìng). D
7.∠AOB叫做正五边形
ABCDE的 中心角,
它的度数是 72°.
E
C
.O
AF
B
第12页，共22页。
8.图中正(zhōnɡ zhènɡ)六边形ABCDEF的中心角∠是AOB
它的度数是 60°
9.你发现正六边形
ABCDEF的半径
与边长具有什么
数量关系?
第5页，共22页。
A
D
B
C
弧相等
弦相等 (多边形的边相等 ) (xiāngděng)
(xiāngděng)
圆周角相等(多边形的角相等)
—多边形是正多边形
第6页，共22页。
A
E B
H D
G
C
弧相等
F
全等三角形
边相等
(xiāngděng)
角相等
多边形是正多边形
第7页，共22页。
定理：
把圆分成n(n≥3)等份： ⑴依次连接各分点所得(suǒ dé)的多边形是这个圆 的
相等
E F
D
.O
C
A
B
第13页，共22页。
判断题
①各边都相等的多边形是正多边形.( ) ×
(初三数学课件)人教版初中九年级数学上册第24章圆24.3 正多边形和圆教学课件
拓 广 探 索 题
一个平面封闭图形内(含边界)任意两点距离的最大值称
为该图形的“直径”，封闭图形的周长与直径之比称为图
形的“周率”，下面四个平面图形(依次为正三角形、正
方形、正六边形、圆)的周率从左到右依次记为a1，a2，
a3，a4，则下列关系中正确的是( B )
A.a4＞a2＞a1
B.a4＞a3＞a2
五边形的各条对角线，画出一个五角星.
巩固练习
连 接 中 考
尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中．传说拿破仑通
过下列尺规作图考他的大臣：
①将半径为r的⊙O六等分，依次得到A、B、C、D、E、F六
个分点；②分别以点A，D为圆心，AC长为半径画弧，G是两
弧的一个交点；③连结OG．
问：OG的长是多少？
大臣给出的正确答案应是（ D ）
A． 3 r
B．（1+ ）r
C．（1+
）r
D． 2 r
巩固练习
连 接 中 考
解：如图连接CD、AC、DG、AG．
∵AD是⊙O直径，
∴∠ACD=90°，
在Rt△ACD中，AD=2r，DC=OD=r，∠DAC=30°，
∴AC= 3 r，∵DG=AG=CA，OD=OA，
∴OG⊥AD，
∴∠GOA=90°，∴OG=
探究新知
知识点
正多边形的画法
Hale Waihona Puke 多姿多彩的正多边形:观察生活中的
正多边形图案.
探究新知
几种常见的正多边形
探究新知
由于正多边形在生产、生活实际中有广泛的应用性，
所以会画正多边形应是学生必备能力之一.
怎样画一个正多边形呢？
一个平面封闭图形内(含边界)任意两点距离的最大值称
为该图形的“直径”，封闭图形的周长与直径之比称为图
形的“周率”，下面四个平面图形(依次为正三角形、正
方形、正六边形、圆)的周率从左到右依次记为a1，a2，
a3，a4，则下列关系中正确的是( B )
A.a4＞a2＞a1
B.a4＞a3＞a2
五边形的各条对角线，画出一个五角星.
巩固练习
连 接 中 考
尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中．传说拿破仑通
过下列尺规作图考他的大臣：
①将半径为r的⊙O六等分，依次得到A、B、C、D、E、F六
个分点；②分别以点A，D为圆心，AC长为半径画弧，G是两
弧的一个交点；③连结OG．
问：OG的长是多少？
大臣给出的正确答案应是（ D ）
A． 3 r
B．（1+ ）r
C．（1+
）r
D． 2 r
巩固练习
连 接 中 考
解：如图连接CD、AC、DG、AG．
∵AD是⊙O直径，
∴∠ACD=90°，
在Rt△ACD中，AD=2r，DC=OD=r，∠DAC=30°，
∴AC= 3 r，∵DG=AG=CA，OD=OA，
∴OG⊥AD，
∴∠GOA=90°，∴OG=
探究新知
知识点
正多边形的画法
Hale Waihona Puke 多姿多彩的正多边形:观察生活中的
正多边形图案.
探究新知
几种常见的正多边形
探究新知
由于正多边形在生产、生活实际中有广泛的应用性，
所以会画正多边形应是学生必备能力之一.
怎样画一个正多边形呢？
24.3正多边形和圆 课件 人教版数学九年级上册
因此，亭子地基的周长l=6×4=24（m）.
作OP⊥BC,垂足为P.
在Rt△OPC中，OC=4 m，
PC=
=2（m）,利用勾股定理，
可得边心距r=
亭子地基的面积S=
感悟新知
1.连半径，得中心角； 2.作边心距，构造直角三角形.
感悟新知
思考1 正n边形的一个内角的度数是多少？中心角呢？ 正多边形的中心角与外角的大小有什么关系？ 互补
教学目标解析
本节课首先复习正多边形的有关概念，为本课学习作铺垫.引导学生画正多边形 的外接圆,通过动手操作，感知数形结合思想，为探讨正多边形与圆的关系服务,也为 接下来计算正多边形与圆提供基本图形，再通过问题的探讨，让学生认识到正多边形 与圆的关系密切，并为接下来可利用圆与正多边形的知识进行连线，实现计算的目的. 数学学习的过程是一个思维展现的过程，通过例题的计算，并让学生说出解题经验小 结，培养学生学会反思的学习习惯，从而形成举一反三，触类旁通的高效学习意识.
思考2 正n边形的半径R、边心距r和边长a有什么关系？
思考3 正n边形的面积怎么计算？
跟踪练习
1、完成下表中有关正多边形的计算：
正多边 形边数
3
4 6
内角
60° 90° 120°
中心角 半径R
120°
2
90°
60°
2
边长a 边心距r 周长
1
2
1
8
2
12
面积
16
跟踪练习
2、一元钱硬币的直径约为24 mm，则用它能完全覆盖
弧 弦相等（多边形的边相等） 相 等 圆周角相等（多边形的角相等）
感悟新知
半径 中心角 中心
边心距