由数列的递推关系求通项公式PPT优秀课件
合集下载
由数列的递推公式求通项公式课件
+1
2
⇒ +1 = +
3
3
3
设 =
，则
3
+1 =
即
+1
+1
，有
3+1
+1 = +
+1 − =
2 − 1 =
2 +1
3
2 +1
3
（可用累加法求出通项公式）
3 − 2 =
2 2
3
2 3
3
……,
− −1=
⇒ − 1 =
+1 + = ( + ) ⟹
+1 +
+
= ，
所以{ + }是等比数列，公比为，首项为1 +
（2）是用作差法直接构造： 由已知得 +1 = + , = −1 + ， 两式相减有
+1 − = ( − −1 )
所以+1 − 是公比为的等比数列
由数列的递推公式求通项公式
递推公式：
如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，
那么这个公式叫做这个数列的递推公式。
例如：等差数列递推公式：+1 = + 或 −1 + +1 = 2
+1
等比数列递推公式：
=
已知数列的递推公式，求取其通项公式是数列中一类常见的题型，这类题型如果单纯的看某一个具
例3. 在数列{ }中，1 = 1，当 ≥ 2时，有 = 3−1 + 2，求{ }的通项公式。
解法1：设 + = 3(−1 + )，即有 = 3−1 + 2
2
⇒ +1 = +
3
3
3
设 =
，则
3
+1 =
即
+1
+1
，有
3+1
+1 = +
+1 − =
2 − 1 =
2 +1
3
2 +1
3
（可用累加法求出通项公式）
3 − 2 =
2 2
3
2 3
3
……,
− −1=
⇒ − 1 =
+1 + = ( + ) ⟹
+1 +
+
= ，
所以{ + }是等比数列，公比为，首项为1 +
（2）是用作差法直接构造： 由已知得 +1 = + , = −1 + ， 两式相减有
+1 − = ( − −1 )
所以+1 − 是公比为的等比数列
由数列的递推公式求通项公式
递推公式：
如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，
那么这个公式叫做这个数列的递推公式。
例如：等差数列递推公式：+1 = + 或 −1 + +1 = 2
+1
等比数列递推公式：
=
已知数列的递推公式，求取其通项公式是数列中一类常见的题型，这类题型如果单纯的看某一个具
例3. 在数列{ }中，1 = 1，当 ≥ 2时，有 = 3−1 + 2，求{ }的通项公式。
解法1：设 + = 3(−1 + )，即有 = 3−1 + 2
由递推关系求数列的通项公式
an 2 数列a n 是公比q 的等比数列 3 2 首项a1 S1 2 2a1 a1 3 n 2 a n (n N * ) 3
3an1 2an
2 * (n N ) 3
2n 3 bn 的前 n项和， a n 例7、An、Bn 分别为a n 、 2 4Bn 12An 13n，求bn． 17 解： 4b1 12a1 13 b1 4
an n × a n 1 n 1
a n 1 4、形如 f ( n) an
迭乘法
1 1 ex4．数列a n 中，a1 ，a n a n 1 2 nn 1
n 2，n N ，求an．
1 解：由已知 a2 a1 23 1 逐差求和 a3 a2 3 41 ) an an1 n (n 1) 1 1 1 an a1 2 3 3 4 n (n 1) n 1 1 1 1 an 1 2 2 3 3 4 n (n 1) n 1
n 1
an 中，a1 1，an1 3an 1，求an． 例3、数列
解：设an1 A 3(an A) （）
由a n 1
得a n 1 1 1 3(a n ) 2 2
1 3a n 1 2 A 1 A 代入（） 2
若已知an1 x an y，则可转化为： 结论： y
例6、已知S n为数列an 的前n项和，且S n 2 2an，
5、由an S n S n1 (n 2)得到
an 的通项公式． 求数列
S n 2 2a n a n 1
解： S n1 2 2an1 S n1 S n 2an 2an1
3an1 2an
2 * (n N ) 3
2n 3 bn 的前 n项和， a n 例7、An、Bn 分别为a n 、 2 4Bn 12An 13n，求bn． 17 解： 4b1 12a1 13 b1 4
an n × a n 1 n 1
a n 1 4、形如 f ( n) an
迭乘法
1 1 ex4．数列a n 中，a1 ，a n a n 1 2 nn 1
n 2，n N ，求an．
1 解：由已知 a2 a1 23 1 逐差求和 a3 a2 3 41 ) an an1 n (n 1) 1 1 1 an a1 2 3 3 4 n (n 1) n 1 1 1 1 an 1 2 2 3 3 4 n (n 1) n 1
n 1
an 中，a1 1，an1 3an 1，求an． 例3、数列
解：设an1 A 3(an A) （）
由a n 1
得a n 1 1 1 3(a n ) 2 2
1 3a n 1 2 A 1 A 代入（） 2
若已知an1 x an y，则可转化为： 结论： y
例6、已知S n为数列an 的前n项和，且S n 2 2an，
5、由an S n S n1 (n 2)得到
an 的通项公式． 求数列
S n 2 2a n a n 1
解： S n1 2 2an1 S n1 S n 2an 2an1
常见递推数列通项公式的求法ppt课件
1S 2
1 23
2 24
n2 2n
n 1 2 n＋1
②
由①－②得
1S 2
1 22
1 23
1 2n
n 1 2n＋1
1 2
n 1 2 n 1
S 1 n1 2n
an 2n
1
an 2n
2
n 1 2n
an 2n1 n 1
变式训练：答案an 6 4n1 (n 1) 2n
数列 满足 an
an1 3 4 5 6
n 1
an a1
1 2 n(n 1)
a1
1 an
2 n(n 1)
累乘
例 2：已知数列an 中，a1
1且满足 an1 an
n ，求数 n2
列an 的通项公式。
其他解法探究：
a n 1 an
n n2
(n 2)an1
nan
(n 1)(n 2)an1 n(n 1)an
则可构造n(n 1)an 是常数数列
故an n2 n 2(n 1,2,3,)
方法归纳：累加
可求和
变式训练：
1.已知数列an中， a1 2 满足 an1 an 2n n ,求数列an 的通 项公式. 2.已知数列an 中， a1 2 满足 an1 an n 2n n ,求数列an 的 通项公式.
类型二：形如 an1 f (n)
an1 2an n 2n1 2n1 2n1
an1 an n 2n1 2n 2n1
累加
a2 22
a1 2
1 ，a3 22 23
a2 22
2 23
,,
an 2n
an1 2n1
n 2n
1
,
高一数学数列求通项公式的几类方法课件
②叠加法，如 an1 an f (n)
③叠乘法：如
an1 f (n) an
④构造新数列：如 an1 kan b
an1 r k (an r)
（5）取倒数：如
a1
3, an
3an1 3 an1
(n
2)
类型二：在数列中已知 Sn 求an ：
设数列an 前 n 项的和 Sn 2n2 3n 1,
为等差数列
2)，a1
1，
(2) 求 {an}的通项公式
变题2：已知an
2Sn2 2Sn 1
(n 2)，a1 1，
1
求证： S1n
为等差数列
(2) 求 {an}的通项公式
2
解：∵an
Sn2 2Sn2
1
2Sn2 2Sn 1
且an
Sn
Sn1
(n
2Sn Sn1 Sn Sn1 Sn
2)
方法一：直接利用an Sn Sn1求出an
方法二：利用an Sn Sn1消去an，得出Sn与Sn1的 递推关系式，求出Sn，再求an
题型1.等比数列的判断
例1 已知数列bn是等差数列, a 0, 求证:数列 abn 是等比数列.
例2 已知数列an 的前n项和 Sn 满足条件
已知递推关系式求通项
从二只兔子起,每只兔子的体重是它的前 一只 兔子的二分之一加一斤,第一只的 体重为十六斤,其它兔子的体重呢?
你能根据提议写出它的递推关系式吗? 你能求出通项吗?
一、公式法
已知数列ana1 1，an1 an 3，求an
已知数列an a1
1，an1 an
3，求an
二、叠加法
2Sn1 1
整理得：1
高中数学选择性必修二(人教版)《4.1 数列的概念 第二课时 数列的通项公式与递推公式》课件
题型二 由前 n 项和 Sn 求通项公式 an [学透用活]
[典例 2] 设数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 2Sn＝3n＋3,求{an}的通项 公式．
[解] 因为 2Sn＝3n＋3，所以 2a1＝3＋3，故 a1＝3. 当 n≥2 时，2Sn－1＝3n－1＋3， 两式相减得 2an＝2Sn－2Sn－1＝3n－3n－1＝2×3n－1， 即 an＝3n－1，所以 an＝33n，－1n，＝n1≥，2.
题型三 数列中的最大项、最小项 [学透用活]
[典例 3] 已知数列{an}的通项公式为 an＝n2－5n＋4. (1)数列中有多少项是负数？ (2)n 为何值时，an 有最小值？并求出最小值． [解] (1)由 n2－5n＋4<0，解得 1<n<4.
∵n∈N *，∴n＝2,3.∴数列中有两项是负数．
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)已知数列{an}的前 n 项和 Sn，若 Sn＝n2－n，则 an＝2n－2. ( ) (2)已知数列{an}的前 n 项和 Sn，若 Sn＝3n－2，则 an＝2×3n－1.
答案：(1)√ (2)×
()
2．已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn＋Sm＝Sn＋m，且 a1＝1，那么 a10
(2)法一：∵an＝n2－5n＋4＝n－522－94， 可知对称轴方程为 n＝52＝2.5.
又∵n∈N *，故 n＝2 或 3 时，an 有最小值， 且 a2＝a3，其最小值为 22－5×2＋4＝－2.
法二：设第 n 项最小，由aann≤ ≤aann＋ －11， ， 得nn22－－55nn＋＋44≤≤nn－＋1122－－55nn－＋11＋＋44， . 解不等式组，得 2≤n≤3， ∴n＝2 或 3 时 an 有最小值且 a2＝a3， ∴最小值为 22－5×2＋4＝－2.
高考数学微专题3 数列的通项课件(共41张PPT)
内容索引
内容索引
目标1 根据规律找通项公式
1 (2023吉林三模)大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大
衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，
数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总
和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项
依 次 是 0,2,4,8,12,18,24,32,40,50 ， 则 此 数 列 的 第 25 项 与 第 24 项 的 差 为
高考命题方向： 1. 根据前几项来寻找序号 n 与项之间的关系． 2. 根据前几项所呈现的周期性规律，猜想通项． 3. 抓住相邻项的关系转化为熟悉问题．
内容索引
内容索引
说明： 1. 解决方案及流程 (1) 归纳猜想法： ①确定数列的前几项； ②分析序号 n 与项有何关系，初步确定分类标准； ③研究数列整体或部分规律； ④归纳数列的项用序号 n 表示的规律； ⑤证明归纳的正确性．
内容索引
内容索引
1. (2022泰安三模)已知数列{an}满足：对任意的m，n∈N*，都有aman
＝am＋n，且a2＝3，则a20的值为( )
A. 320
B. 315
C. 310
D. 35
【解析】 因为对任意的 m，n∈N*，都有 aman＝am＋n，所以 a1a1＝a2， a1an＝a1＋n.又 a2＝3，所以 a1＝± 3，所以aan＋n 1＝a1，所以数列{an}是首项 为 a1，公比为 a1 的等比数列，所以 an＝a1·an1－1＝an1，所以 a20＝a210＝310.
重复循环，2 022＝674×3，恰好能被3整除，且a3为偶数，所以a2 022也 为偶数，故B错误；对于C，若C正确，又a2 022＝a2 021＋a2 020，则a2 021＝ a1＋a2＋…＋a2 019，同理a2 020＝a1＋a2＋…＋a2 018，a2 019＝a1＋a2＋…＋ a2 017，依次类推，可得a4＝a1＋a2，显然错误，故C错误；对于D，因为 a2 024＝a2 023＋a2 022＝2a2 022＋a2 021，所以a2 020＋a2 024＝a2 020＋2a2 022＋a2 021＝2a2 022＋(a2 020＋a2 021)＝3a2 022，故D正确．故选AD.
内容索引
目标1 根据规律找通项公式
1 (2023吉林三模)大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大
衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，
数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总
和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项
依 次 是 0,2,4,8,12,18,24,32,40,50 ， 则 此 数 列 的 第 25 项 与 第 24 项 的 差 为
高考命题方向： 1. 根据前几项来寻找序号 n 与项之间的关系． 2. 根据前几项所呈现的周期性规律，猜想通项． 3. 抓住相邻项的关系转化为熟悉问题．
内容索引
内容索引
说明： 1. 解决方案及流程 (1) 归纳猜想法： ①确定数列的前几项； ②分析序号 n 与项有何关系，初步确定分类标准； ③研究数列整体或部分规律； ④归纳数列的项用序号 n 表示的规律； ⑤证明归纳的正确性．
内容索引
内容索引
1. (2022泰安三模)已知数列{an}满足：对任意的m，n∈N*，都有aman
＝am＋n，且a2＝3，则a20的值为( )
A. 320
B. 315
C. 310
D. 35
【解析】 因为对任意的 m，n∈N*，都有 aman＝am＋n，所以 a1a1＝a2， a1an＝a1＋n.又 a2＝3，所以 a1＝± 3，所以aan＋n 1＝a1，所以数列{an}是首项 为 a1，公比为 a1 的等比数列，所以 an＝a1·an1－1＝an1，所以 a20＝a210＝310.
重复循环，2 022＝674×3，恰好能被3整除，且a3为偶数，所以a2 022也 为偶数，故B错误；对于C，若C正确，又a2 022＝a2 021＋a2 020，则a2 021＝ a1＋a2＋…＋a2 019，同理a2 020＝a1＋a2＋…＋a2 018，a2 019＝a1＋a2＋…＋ a2 017，依次类推，可得a4＝a1＋a2，显然错误，故C错误；对于D，因为 a2 024＝a2 023＋a2 022＝2a2 022＋a2 021，所以a2 020＋a2 024＝a2 020＋2a2 022＋a2 021＝2a2 022＋(a2 020＋a2 021)＝3a2 022，故D正确．故选AD.
优选由递推关系求数列通项公式的几种方法Ppt
5 .形如an1 f（n） an 迭乘法
已知数列an 中，a1
解：a2 2
1，an1 an
n
n
1
,
求：an
a1 1
a3 3
a2 2 a4 4
an 2 3 4 n 1 n a1 1 2 3 n 2 n 1
a3 3
×
an an1
n (n
n 1
2)
an n an n
(当n 1时也适合) (n N*)
an (1)
2 Sn1 1 3 an1(2)
2 (531递 公)an推 式(2相32):得aa减nann1(或a1SS相321na,除0n)Sa32nna1n11(0(nn12))
an an1
2 5
{an
}是等比数列,
q
2 5
第五页，总共十六页。
n
3n
2.数列an
2
的前项S和n为1 S1n,且3Sann11(2)
令 n2 n 1中n 1 2
a4 a3 3
+ an an1 n 1
得 n2 n 1
(n 2)
2
1 2 a1
an a1 1 2 3 (n 1)
an
n(n 1) 2
1 2
n2
n 2
1
(当n 1时也适合 )
an
n(n 1) 2
1 2
n2
n 1 2
(n N*)
第十页，总共十六页。
第十一页，总共十六页。
6 归纳法
已知数列an 中，a1
2，an1
2
1（n an
N
*）,
求数列an 的通项公式.
解；a1
2
人教A版高中数学选择性必修第二册精品课件 第四章 数列 4.1 第2课时 数列的递推公式
探究点一
由递推公式求前若干项
【例1】 [苏教版教材例题]试分别根据下列条件,写出数列{an}的前5项:
(1)a1=1,a2=2,an+2=an+1+2an,其中n∈N*;
1
(2)a1=2,an+1=2- ,其中
n∈N*.
解 (1)因为a1=1,a2=2,an+2=an+1+2an,其中n∈N*,所以
所以a2=3+2=5,a3=5+2=7,a4=7+2=9,a5=9+2=11,综上所
述,a1=3,a2=5,a3=7,a4=9,a5=11.
知识点2
数列的通项公式与前n项和
共有n项
1.数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{an}的前n项和,记作
Sn,即Sn=a1+a2+…+an.如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应
思考辨析
已知数列{an}的前n项和Sn=1+2+3+…+(n-2)+(n-1)+n,那么a1, Sn -1
(n≥2),an分别是什么?(Sn-1可以用一个式子表示)
提示 a1=1,Sn-1=1+2+3+…+(n-2)+(n-1),an=n.
自主诊断
1.[人教B版教材习题改编]已知数列{an}的前n项和为Sn=2n+1,则
式.
3, = 1,
∴an=
2 , ≥ 2.
★【例3-2】 已知数列{an}满足a1+2a2+3a3+…+nan=n2(n∈N*),求数列{an}
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3，
设 bn
an1
an
，则 b1
a2
a1
6 ，且 bn1 bn
3，
所以 bn 6 3n1 2 3n ，即 an1 an 2 3n ，
有 3an 3 an 2 3n
所以
an
3n
3 2
.
解：由已知递推式得
an 3an1 3 ，
an
2n .
1
例题分析
例 1.
已知数列an 中， a1
3 2
,
an1
3an
3
(n N *), 求数列an 的通项公式.
.
巩固练习
1. 已知数列 an 中， a1 1, an1 3an 3n (n N *), 求数列an 的通项公式.
an n3n1
an 2n1
课堂热身
2．已知数列
an
中,
a1
1 2
,
an1
an
1 3n
(n N*), 求数列an 的通项公式.
1
an
1
.
2
3n1
课堂热身
3．已知数列 an 中 a1 3, an1 3an (n N*).求数列an 的通项公式.
an 3n
1 3n
，所以 an1 3n1
an 3n
1 3n
，
设 bn
an 3n
, 则 b1
a1 3
1,， 2
且 bn1
bn
1 3n
，
再利用叠加法求得
bn
1
2
1 3n1
,
所以
an
3n
3 2
.
解：由已知递推式得 an1 3an 3 ， an 3an1 3 ， 所以 an 3(3an2 3) 3 32 an2 3 1， 而 an2 3an3 3，
中，
a1
1 2
,
an1
an
1 n2
n
，
(n N *), 求数列an 的通项公式.
2．已知数列an 中，a1 2 ，an1 4an 3n 1 ，
(n N *), 求数列an 的通项公式.
3、试搜集资料，进一步了解和研究斐波那契数列，
并编写一个程序，输出斐波那契数列的前 15 项.
5．写出下列数列的前 5 项.
（1）
a1
1 2
,
an
4an1
1(n
1);（2）
a1
1 4
,
an
1
1 an1
(n
1).
由数列的递推关系 求通项公式
课堂热身
1.已知数列 an 中， a1 1， an1 an 2 (n N ).求数列an 的通项公式.
谢谢大家
解：递推公式 an1 3an 3 可以转化为 an1 t 3(an t),
即
an1
3an
2t,
所以
t
3 2
.
故递推公式为
an1
3 2
3(an
3), 2
令 bn
an
3 2
,
，则
b1
a1
3 2
3, 且 bn1
bn
an1
3 2
an
3 2
北京市朝阳区特级教师邱继勇工作室 授课教师：李慧
知识回顾
求数列通项公式几种题型： 1．求等差、等比数列组合而成的数列的通 项公式； 2．利用归纳法与数学归纳法求通项公式；
3．由前 n 项和公式，求通项公式；
4．给出首项及递推关系，求通项公式；
5.由 an 及 Sn 的关系式求通项公式.
引入
课本中有关递推数列的 5 个问题.
所以 an 33 an3 32 3 3
……
3n1a1 3n2 3 3 3n 3 .
2
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
1．通过 a1 1, an 2an1 1(n 1), 给出递推公式定义；
2．设数列
an
满足 a1 1,
写出这个数列的前 5 项；
an
1
1 an1
(n
1).
3．已知数列
an
满足
a1
1,
an
a2 n1
1(n
1)
，写出它的前
5
项；
4．斐波那契数列： F1 1，F2 1，Fn Fn1 Fn2 ；
3an1 32 an2 32 ， 32 an2 33 an3 33 ，
……，
3n2 a2 3n1a1 3n1 ， 将以上 n 1个等式相加，
可求得
an
3n
3 2
.
解：等式 an1 3an 3 两边同时除以3n1 ，
得
an1 3n1
an 3n
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
课堂热身
4．已知数列 an 满足 a1 1, an1 2n an (n N*), 求数列an 的通项公式.
n (n1)
.
an 2 2
课堂热身
5．已知数列 an 中， a1 1, an1 2an 1 (n N *), 求数列an 的通项公式.
巩固练习
2.已知数列an 中，
a1
1,
an1
n
n
1
an
（n n
1）
(n N *), 求数列an 的通项公式.
an
n3
n2 2
2n
课堂小结
巩固和应用数列基本方法的核心 是通过运算将递推公式变形，构 造出等差、等比数列，求出通项 公式，即转化思想的体现.
作业
1．已知数列an
3,
所以bn是以 b1 3 为首项，3 为公比的等比数列，
则 bn
3 3n1
3n ,
所以 an
3n
3 2
.
解：由已知递推式得 an1 3an 3 ， an 3an1 3 ，
两式相减得 an1 an
3(an
an1)
，
an1 an an an1