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1
n
注意：累乘法与累加法有些相
似，但它是n个等式相乘所得
类型四、累乘法形如 an1 f (n) an 的递推式
练习1：已知 an 中，a1 2,an1 3n an,求通项an.
解： an 3n1, an1
an1 3n2 , an2
an2 3n3 , an3
an3 3n4 an4
2
六待定系数法（构造法）
3.已知{an}中，a1+2a2+3a3+ •••+nan=3n+1,求通项an
解: ∵ a1+2a2+3a3+···+nan=3n+1 (n≥1) ∴ a1+2a2+3a3+···+(n－1)an－1=3n（n≥2）
两式相减得： nan=3n+1－3n=2·3n
∴an=
2·3n n
（n≥2） 而n=1时,a1=9
例1、写出下面数列的一个通项公式，使它的前几项分 别是下列各数。
1、 3 1 , 5 1 , 7 1 , 9 1 , ; 4 8 16 32
1 an 2n 1 2n1
2、 2 , 3 , 4 , 5 , 6 . 3 8 15 24 35
an
（- 1）n （n
n1 1）2
-1
练习：
1、写出下列数列的一个通项公式: (1) 9, 99, 999, 9999, ……
.......
a3 32 , a2 3
a2
a1
以上各式相乘得an a1 3 32 33 3n2 3n1
2 3123(n-1)
n( n-1)
23 2
n( n-1)
an 2 3 2
四、累乘法适用于an+1=an f(n)型的递推公式
练习2
五、迭代法 (递推公式形如an+1=an+ f(n)型的数列)
代入 上式 化简 得S n 2
S
2 n1
1,由已知S1
a1
1
数列 Sn2 是等差数列，公差为1，首项为1，
Sn2 1（n 1）• n n, an 0, Sn 0
Sn n,n 2时，an Sn Sn1 n n 1
而n 1时，a1 1也适合上式
数列an的通项公式是an n n 1
当n=1时, a1=1 不满足上式
因此 an=
1 (n=1) 4n －2(n≥2,
n N*)
不要遗漏n=1的情形哦！
2,已知数列an中，an 0, Sn是数列的前n项的和，
且an
1 an
2Sn , 求an
解 :由an
1 an
2Sn , 得an2
1 2Sn • an ,
又an Sn Sn1(n 2)
分析：注意观察各项与它的序号的关系
有 10－1，102－1，103－1，104－1
解：an=10n－1 (2) 1, 11, 111, 1111, …… 分析:注意与熟悉数列9,99,999,9999,···联系
解：an=
1 9
(10n－1)
这是特殊到一般的思想，也是数
(n N*)
学上重要的思想方法，但欠严谨！
求数列的 通项公式
学习目标
• 在了解数列概念的基础上，掌握几种常见 递推数列通项公式的求解方法
• 理解求通项公式的原理 • 体会各种方法之间的异同，感受事物与事
物之间的相互联系
一、观察法 已知数列的前几项，通常先将各项分解成几部分
（如符号、分子、分母、底数、指数等），然后观察各 部分与项数的关系，写出通项。
解: ∵(n+1)an+12 +an+1an－nan2=0 ∴( an+1+ an)[(n+1) an+1 － nan]=0
∵ an+1+ an>0
∴ (n+1) an+1 = nanBiblioteka ∴ an1 n (n≥1)∴
a
an=
n
an a n1
n1
an1 an2
...
a2 a1
a1
n 1 n 2 n 3 ... 2 1 1 n n1 n2 3 2
（1）求数列{an }的通项公式；
an 6n 5.
二、公式法（利用an与Sn的关系an=
或利用等差、等比数列的通项公式）
S1 (n=1) Sn－Sn－1(n≥2)
练习：1.｛an｝的前项和Sn=2n2－1，求通项an
解：当n≥2时，an=Sn－Sn－1=(2n2－1) －[2(n－1)2－1] =4n－2
a3 －a2 = 2 a4 －a3 = 3
•••
n个等式 相加得
（1）注意讨 论首项;
(2)适用于 an+1=an+f(n)型递推
an－an－1 = n －1
公式
an=( an－an－1)+(an－1－an－2)+ •••+ (a2 －a1)+ a1
=(n － 1)+(n －2)+ •••+2+1+1
9 (n=1)
∴an=
2·3n n
（n≥2,
n N）*
注意n的范围
三、累加法 (递推公式形如an+1=an+ f(n)型的数列)
例3.已知{an}中, an+1=an+ n (n∈N*),a1=1,求通项
解an:由an+1=an+ n (n∈N*) 得 an+1 － an= n (n∈N*)
a1 = 1 a2 －a1 = 1
特点
逐项代换 例5.已知{an}中, an= 3n－1+an－1 , (n≥2),a1=1,求通项an.
解: ∵ an= 3n－1+an－1 (n≥2)
∴ an= 3n－1+an－1 = 3n－1 +3n－2+ an－2
=3n－1 +3n－2+ 3n－3 + an－3
= 3n－1 +3n－2+ 3n－3 +···+3+ a1 =3n－1 +3n－2+ 3n－3 +···+3+1 = 3n －1
二、公式法（利用an与Sn的关系 或利用等差、等比数列的通项公
式）
主要是公式an
s1 sn
sn1
(n 1)的运用 (n 2)
注意：（1）这种做法适用于所有数列； （2）用这种方法求通项需检验a1是否满足an.
例2、已知数列{an }的前几项和为Sn，点（n, Sn） （n N *）在函数f ( x ) 3x 2 2x的图象上。
n-1 n n2 n 2
1
2
2
求法：累加法 an1 an f (n)
练习： 在数列{an }中,已知a1 1,当n 2时, 有an an1 2n 1(n 2), 求数列 的通项公式.
四、累乘法 (形如an+1 =f(n)•an型)
例4.已知{an}是首项为1的正项数列,且(n+1)an+12 +an+1an－nan2=0, 求{an}的通项公式