反函数、复合函数的求导法则
类似地有：(arccos x) = 1 。 1 x2
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一、反函数的导数
如果函数x=j(y)在某区间Iy内单调、可导且j (y)0，
那么它的反函数y=f(x)在对应区间Ix内也可导，并且 f (x) = 1 。 j ( y)
例2．求(arctan x)及(arccot x)。
(1) (C)=0，
(11)
(2) (xm)=m xm1，
(3) (sin x)=cos x，
(12)
(4) (cos x)=sin x， (13)
(5) (tan x)=sec2x，
(6) (cot x)=csc2x，
(14)
(7) (sec x)=sec x tan x，
(8) (csc x)=csc x cot x， (15) (9) (ax)=ax ln a ，
(10) (ex)=ex，
(16)
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1 (log a x)= x ln a
，(a>0, a
(ln x)=1 ， x
(arcsin x)= 1 ， 1 x2
(arccos x)= 1 ， 1 x2
1
(arctan
x)= 1
x
2
，
(arctan x) = 1 。 1 x2
dy = dy du = 1 sec2 x = cot x sec2 x dx du dx u
=1。 sin x cos x
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复合函数的求导法则：
dy dx
=
dy du
Байду номын сангаас
du dx
，或
y=yuux
。
例 4．y=e x3 ，求 dy 。
dx 解：函数 y = e x3 是由 y=eu ，u=x3 复合而成，
du dx
，或
y=yuux
。
复合函数求导法则可以推广到多个函数的复合。
例 8．y=lncos(e x)，求 dy 。 dx
解： dy = [ln cos(e x )] = 1 [cos(e x )]
dx
cos(e x )
= 1 [ sin(e x )] (e x ) = e x tan(e x ) 。 cos(e x )
(4)
(u v
)
=
uv uv v2
(v0)。
反函数求导法：
[f 1(y)]= 1 (f (x)0)。 f (x)
复合函数的求导法则：
dy dx
=
dy du
du dx
，或
y=yuux
，其中
y=f(u)，u=j(x)。
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。
对复合函数求导法则比较熟练以后，就不必再写出
中间变量。
例 6．lnsin x，求 dy 。 dx
解： dy = (ln sin x) = 1 (sin x)
dx
sin x
= 1 cos x = cot x 。 sin x
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复合函数的求导法则：
dy dx
=
dy du
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二、复合函数的求导法则
如果u=j(x)在点x0可导，函数y=f(u)在点u0=j(x0)可导， 则复合函数y=f[j(x)]在点x 0可导，且其导数为
dy dx
x= x0
= f (u0)j (x0)。
简要证明：
假定u=j(x)在x0的某邻域内不等于常数，则Du0，
此时有
dy = lim Dy = lim Dy Du = lim Dy lim Du dx x=x0 Dx0 Dx Dx0 Du Dx Du0 Du Dx0 Dx
du dx
，或
y=yuux
。
例 7． y = 3 1 2x 2 ，求 dy 。 dx
解：
dy
= [(1
1
2x2 )3
]
=
1
(1
2
x
2
)
2 3
(1
2x2 )
dx
3
= 4x 。 33 (1 2x 2 ) 2
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复合函数的求导法则：
dy dx
=
dy du
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复合函数的求导法则：
dy dx
=
dy du
du dx
，或
y=yuux
。
例 9． y
1 sin
=e x
，求 dy
。
dx
1
1
解：
y
=
sin
(e
x
)
=
sin
e
x
(sin
1
)
=
e
sin
1 x
cos
1
(1)
x
xx
=
1
sin 1
e x
cos 1 。
x2
= ncos nx sin nx+n sin n1x cos x =n sin n1x sin(n+1)x。
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三、求导法则小结
函数的和、差、积、商的求导法则：
(1) (u v)=u v， (2) (Cu)=Cu (C是常数)， (3) (uv)=uvu v，
= f (u 0)j (x 0)。
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二、复合函数的求导法则
如果u=j(x)在点x0可导，函数y=f(u)在点u0=j(x0)可导， 则复合函数y=f[j(x)]在点x 0可导，且其导数为
dy dx
x= x0
= f (u0)j (x0)。
如果 u=j(x)在开区间 Ix内可导，y=f(u)在开区间 Iu内 可导，且当xIx时，对应的uIu，那么复合函数y=f[j(x)]
简要证明：
因为y=f(x)连续，所发当Dx0时，Dy0。
f (x) = lim Dy = lim 1 = 1 ，
Dx0 Dx Dy0 Dx j ( y)
Dy
即
f (x) = 1 。
j ( y)
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一、反函数的导数
如果函数x=j(y)在某区间Iy内单调、可导且j (y)0，
1 x2
1 x2
dy = dy du = cos u 2(1 x 2 ) (2x)2
dx du dx
(1 x 2 )2
2(1 x 2 )
=
cos
2x
。
(1 x 2 ) 2
1 x2
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复合函数的求导法则：
dy dx
=
dy du
du dx
，或
y=yuux
dy = dy du = eu 3x 2 = 3xe x3 。 dx du dx
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复合函数的求导法则：
dy dx
=
dy du
du dx
，或
y=yuux
。
例 5． y = sin 2x ，求 dy 。
1 x2
dx
解： y = sin 2x 是由 y=sin u，u = 2x 复合而成，
x
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复合函数的求导法则：
dy dx
=
dy du
du dx
，或
y=yuux
。
例 10．y=sin nx sin n x (n 为常数)， 求dy 。 dx
解：y=(sin nx) sin nx + sin nx (sin nx)
= ncos nx sin nx+sin nx n sin n1x (sin x )
在区间Ix内可导，且下式成立：
dy dx
=
dy du
du dx
，或
y=yuux
。
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复合函数的求导法则：
dy dx
=
dy du
du dx
，或
y=yuux
。
例 3．y=lntan x ，求 dy 。 dx
解：函数y=lntan x是由y=ln u，u=tan x复合而成，
2 反函数、复合函数的求导法则
一、反函数的导数 基本初等函数的导数公式小结
二、复合函数的求导法则 三、求导法则小结
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一、反函数的导数
如果函数x=j(y)在某区间Iy内单调、可导且j (y)0，
那么它的反函数y=f(x)在对应区间Ix内也可导，并且 f (x) = 1 。 j ( y)
那么它的反函数y=f(x)在对应区间Ix内也可导，并且 f (x) = 1 。 j ( y)
例1．求(arcsin x)及(arccos x)。
解：因为y=arcsin x是x=sin y的反函数，所以
(arcsin x) = 1 = 1 =
1
=1 。
(sin y) cos y 1 sin 2 y 1 x 2
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第二节 反函数与复合函数的导数(本科)
e x tan(e x )
13
例8 解：
求函数 y ( x 2 1)10 的导数 .
10( x 2 1)9 ( x 2 1) y
10( x 1) 2 x
2 9
20 x( x 1) .
2 9
14
例9 求函数 y ln x 1 ( x 2) 的导数. 3 x2 1 1 2 解： y ln( x 1) ln( x 2), 2 3 1 1 1 x 1 2 y 2x 2 2 x 1 3( x 2) x 1 3( x 2)
1. 常数和基本初等函数的导数公式
(C ) 0 (sin x ) cos x (tan x ) sec 2 x (sec x ) sec x tan x
( x ) x 1 (cos x ) sin x (cot x ) csc2 x (csc x ) csc x cot x
18
2. 函数的线性组合、积、商的求导法则
设u u( x ), v v( x ) 都可导, 则
( 1 ) ( u v ) u v , , R. ( 2) (u . v ) u v uv .
u u v uv ( 3) (v 0). 2 v v
6
二、复合函数的求导法则
复合函数 y f [ ( x)] 在 x0 处可导，且
链导法则
如果 u (x) 在 x0 处可导，而y f (u ) 在u0 ( x0 )点可导，则
dy dx
x x0
dy dy du f (u 0 ) ( x0 ) ， 简记为 dx du dx 。
3复合函数的求导法则,反函数的求导法则
例5
y
1
x
3
,
求 y.
1 x
河海大学理学院《高等数学》
例7 求函 y数 ln3xx2 21(x2)的导 . 数
解 y1ln x2(1 )1ln x (2),
2
3
y1 2x2112x3(x12)
x2x13(x12)
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且
dy f(u)(x) 或
dx
dy dy du dx du dx
f[(x )] f[(x ) ] (x )
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推广 设 y f ( u )u ,( v )v ,( x ),
则复合y函 f数 {[(x)]的 } 导数为
f[g(x) ]2ln x
f[g (x )]f[g (x ) ]g (x ) 2 ln x x
g[f(x)]x12
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例11 设 f (x) 可导,且 yf(s2ixn )f(c2o x),s
求
dy d cos 2 x
解 令 u c2 o x ， sy f则 ( 1 u ) f( u )
dy
dy
d cos 2 x du
f(1u)f(u)
f(s2x i)n f(c2x o ) s
把 cos2 x 整体看作一个自变量
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二、反函数的求导法则
定理2 如果函数 x(y)在某区间 I y 上
单调、可导且 (y)0,则它的反函数 yf(x)
siyn coy s0
因此，在对应区间 Ix 1 , 1 内有
arcxsi nsi1n y
1
复合函数的求导法则,反函数的求导法则
数学分析（上）
2 g ( x ) ln x ,求 f ( x ) x 例10 设 ，
f [ g( x )] f [ g( x )]
解 f ( x ) 2 x
g[ f ( x )] g[ f ( x )]
f [ g( x )] 2 ln x
2 ln x f [ g ( x )] f [ g ( x )] g ( x ) x
2
1 1 1 y 2 2x 2 x 1 3( x 2)
x 1 2 x 1 3( x 2)
数学分析（上）
例8 y x ，求 y .
x
解
y x
x
e
x ln x
e
x ln x x ln x x ln x 1 x ln x 1 e
数学分析（上）
注意到:当x 0 时, 由 u ( x ) 的连续性
lim lim 0 可得 u 0, 从而 x 0 u 0
所以,令x 0 , 便有
dy du dy f ( u) ( x ) dx du dx
f [ ( x )] f [ ( x )] ( x )
第二节 §2 复合函数的求导法则 反函数的求导法则 一、复合函数的求导法则 定理1 (链式法则)如果 u ( x ) 在点 x 处可导，而函数 y f ( u) 在对应的点 u 处可 导，则复合函数 y f ( ( x )) 在点 x 处可导， 且
dy f ( u) ( x ) 或 dx
2
1 x 例5 y , 求 y . 1 x
例6 证明双曲函数的求导公式:
课件：复合函数的求导法则,反函数的求导法则
dy
即：反函数的导数等于原函数的导数的倒数.
证 任取x I x , 给x以增量x (x 0, x x I x ) 由y f ( x)的单调性可知 y 0,
于是有
y x
1 x
,
f ( x)连续,
y
当x 0时，必有 y 0.又知 ( y) 0
f ( x) lim y x0 x
lim 1 y0 x
例1
y lntan x，求
dy dx
.
解 令 u tan x ，则 y ln u
故 dy ln utan x 1 sec2 x
dx
u
1 sec2 x tan x
1 sin x cos x
例2
y 3 1 2x2 ，求 dy
dx
.
解
dy
1 2x2
1 3
dx
1
1 2x2
证 由 y f (u)在u处可导,可得
f (u) lim y u0 u
则有 y f (u) o(1),其中lim o(1) 0
u
u0
即 y f (u)u o(1)u
所以 y f (u) u o(1) u
x
x
x
注意到:当x 0时, 由u (x) 的连续性
可得 u 0,从而 lim o(1) lim o(1) 0
2 3
1 2x2
3
1
1 2x2
2 3
4x
3
4x
33 (1 2x2 )2
例3 y sin nx sinn x ,求y. nsinn1 x sin(n 1)x
例4 y ln( x x2 1), 求 yy. 1
例5
y
1
反函数和复合函数的求导法则
反函数和复合函数的求导法则在微积分中，函数是一种将一个集合的元素映射到另一个集合的方式。
在函数的研究中，反函数和复合函数是两个重要的概念。
本文将介绍反函数和复合函数的求导法则。
1.反函数反函数是指一个函数的输入和输出对调的函数。
如果函数f将集合A的元素映射到集合B的元素，那么反函数f^(-1)就将集合B的元素映射到集合A的元素。
设函数f的定义域为A，值域为B，则对于任意y∈B，如果存在x∈A，使得f(x)=y，那么函数f的反函数f^(-1)将满足f^(-1)(y)=x。
反函数的求导法则可以通过链式法则来推导。
设函数y=f(x)在区间I上是可导的，且f'(x)≠0。
若函数f在点x处可导，且f'(x)≠0，那么f^(-1)在点y=f(x)处也可导，且有反函数的导数公式：(f^(-1))'(y)=1/f'(x)其中x是f^(-1)(y)=x的解。
这个公式意味着反函数的导数是通过将函数的导数取倒数得到的。
这是因为反函数的定义是将函数的输入和输出对调，因此反函数的斜率应该是原函数斜率的倒数。
2.复合函数复合函数是指由两个或多个函数组合起来形成的新的函数。
设有函数f(x)和g(x)，那么f(g(x))就是一个由两个函数复合而成的函数。
复合函数的求导法则可以通过链式法则来推导。
设函数y=f(g(x))，其中f和g都是可导函数。
那么复合函数y的导数dy/dx可以通过链式法则表示为：dy/dx = dy/du * du/dx其中u=g(x)是变量x经过函数g变换后的结果。
这个公式意味着复合函数的导数是由两部分组成的。
第一部分是外层函数对内层函数的导数，第二部分是内层函数对变量的导数。
通过链式法则，我们可以将复合函数的求导问题转化为求两个简单函数的导数问题。
需要注意的是，如果函数f和g都是可导函数，那么复合函数f(g(x))不一定是可导函数。
复合函数的可导性依赖于函数f和g的可导性。
反函数复合函数求导法则和基本求导公式
反函数复合函数求导法则和基本求导公式一、反函数求导法则：设函数y=f(x)在[a,b]上连续可导，且f'(x)≠0，设F(x)是f(x)在[a,b]上的反函数，则F'(x)=1/f'(F(x))。
证明：对于函数y=f(x)在区间[a,b]上的其中一点x，设其反函数为y=F(x)。
则根据反函数的定义可知：f(F(x))=x两边同时对x求导，则有：f'(F(x))*F'(x)=1由此可得：F'(x)=1/f'(F(x))这即为反函数求导法则。
二、复合函数求导法则：设函数y=f(u)，u=g(x)是由函数u=g(x)和函数y=f(u)复合而成的复合函数，则其导函数为：dy/dx = f'(u) * g'(x)证明：根据链式法则，设y=f(u)，u=g(x)，则由复合函数求导法则可知：dy/du = f'(u)du/dx = g'(x)将以上两个导数代入复合函数的导数公式中，则有：dy/dx = dy/du * du/dx = f'(u) * g'(x)这即为复合函数求导法则。
三、基本求导公式：1.常数函数的导数：(c)'=0，其中c为常数。
证明：设y=c，其中c为常数，则有：Δy/Δx=0当Δx趋近于0时，上式可进一步得到：dy/dx = 0因此，常数函数的导数为0。
2.变量的幂函数的导数：(x^n)'=n*x^(n-1)，其中n为常数。
证明：设y=x^n，其中n为常数，则有：Δy/Δx=[(x+Δx)^n-x^n]/Δx根据二项式定理展开(x+Δx)^n，这里不再赘述，从展开后的表达式中可以看出，除了形如x^n的一项，其他各项都含有Δx。
因此当Δx趋近于0时，可以将这些含有Δx的项直接忽略，只剩下一项：dy/dx = n*x^(n-1)这就是变量的幂函数的导数公式。
3.e^x的导数：(e^x)'=e^x。
反函数的导数 复合函数的求导法则
x = x0
证
∆y = f ′( u0 ) 由y = f ( u)在点 u0可导 , ∴ lim ∆ u→ 0 ∆ u ∆y 故 = f ′( u0 ) + α ( lim α = 0) ∆ u→ 0 ∆u
则 ∆y = f ′( u0 )∆u + α∆u
∆y ∆u ∆u ∴ lim = lim [ f ′( u0 ) +α ] ∆x → 0 ∆ x ∆x → 0 ∆x ∆x ∆u ∆u ′( u0 ) lim + lim α lim = f ∆x → 0 ∆ x ∆x → 0 ∆x → 0 ∆ x
dy ∴ = f ′( u)(sin x )′ dx = f ′(sin x ) cos x
例9：y = x 2 f (sin x ), 求
请动手做一做
解： dy = ( x 2 )′ f (sin x ) + x 2 ( f (sin x ))′
dy dx
dx
= 2 xf (sin x ) + x f ′(sin x ) cos x
反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数
二、复合函数的求导法则
定理
如果函数 u = ϕ ( x )在点 x0可导 , 而y = f ( u) 在点 u0 = ϕ ( x0 )可导 , 则复合函数 y = f [ϕ ( x )]在点 x0可导, 且其导数为 dy dy dy du ′ ′ x = x0 = f ( u0 ) ⋅ ϕ ( x0 ).或 x = x0 = u = u0 . dx dx du dx 因变量对自变量求导, 即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变 量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则) .(链式法则 量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)
证
∆y = f ′( u0 ) 由y = f ( u)在点 u0可导 , ∴ lim ∆ u→ 0 ∆ u ∆y 故 = f ′( u0 ) + α ( lim α = 0) ∆ u→ 0 ∆u
则 ∆y = f ′( u0 )∆u + α∆u
∆y ∆u ∆u ∴ lim = lim [ f ′( u0 ) +α ] ∆x → 0 ∆ x ∆x → 0 ∆x ∆x ∆u ∆u ′( u0 ) lim + lim α lim = f ∆x → 0 ∆ x ∆x → 0 ∆x → 0 ∆ x
dy ∴ = f ′( u)(sin x )′ dx = f ′(sin x ) cos x
例9：y = x 2 f (sin x ), 求
请动手做一做
解： dy = ( x 2 )′ f (sin x ) + x 2 ( f (sin x ))′
dy dx
dx
= 2 xf (sin x ) + x f ′(sin x ) cos x
反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数
二、复合函数的求导法则
定理
如果函数 u = ϕ ( x )在点 x0可导 , 而y = f ( u) 在点 u0 = ϕ ( x0 )可导 , 则复合函数 y = f [ϕ ( x )]在点 x0可导, 且其导数为 dy dy dy du ′ ′ x = x0 = f ( u0 ) ⋅ ϕ ( x0 ).或 x = x0 = u = u0 . dx dx du dx 因变量对自变量求导, 即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变 量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则) .(链式法则 量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)
09 反函数与复合函数的导数,隐函数的导数
代入上式得:
dy 1.
dx x0
注 隐函数的导数的表达式中一般同时含有变量 x, y,
这是与显函数求导不同的地方.
21
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例8 求由方程 ey xy e 0 所确定的隐函数
y f x的导数 y.
解 方程两边对 x 求导, 并注意到 y是 x 的函数, 利用
28
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小结
反函数的求导法则
f (x) 1
( y)
复合函数的求导法则
dy dy du dx du dx
隐函数的导数
方程两边分别关于自变量求导
幂指函数 y (x) (x) 的导数
对数求导法
29
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课后练习
P72-73 习题2-3 1-6
解 y ln cos x 可以看成由 y ln u,u cos x 复合
而成, 故此由复合函数的求导公式, 得
dy dy du 1 sin x
dx du dx u
1 sin x tan x.
cos x
13
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例5 求函数 y arcsin x2 1的导数.
y x3 3x y x2 5x3 27,
方程两端求导, 得到:
3y2 dy 3y2 6xy dy 15x2 0,
dx
dx
20
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整理后得:
dy 1.
dx x0
注 隐函数的导数的表达式中一般同时含有变量 x, y,
这是与显函数求导不同的地方.
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例8 求由方程 ey xy e 0 所确定的隐函数
y f x的导数 y.
解 方程两边对 x 求导, 并注意到 y是 x 的函数, 利用
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小结
反函数的求导法则
f (x) 1
( y)
复合函数的求导法则
dy dy du dx du dx
隐函数的导数
方程两边分别关于自变量求导
幂指函数 y (x) (x) 的导数
对数求导法
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课后练习
P72-73 习题2-3 1-6
解 y ln cos x 可以看成由 y ln u,u cos x 复合
而成, 故此由复合函数的求导公式, 得
dy dy du 1 sin x
dx du dx u
1 sin x tan x.
cos x
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例5 求函数 y arcsin x2 1的导数.
y x3 3x y x2 5x3 27,
方程两端求导, 得到:
3y2 dy 3y2 6xy dy 15x2 0,
dx
dx
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整理后得:
反函数和复合函数的求导法例
ln
1 1
x x
)
1
1 x
1 x2
2
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
反函数、复合函数求导法则和基本求导公式
2. ( x ) x 1
3. (a x ) a xln a
4. (loga
x)
1 x lna
5. (sin x) cos x
(tan x) sec2x
(secx) secx tan x 6. (arcsin x) 1
1 x2
(arctan x )
1
1 x2
(e x ) e x
(ln x) 1 x
.
2、 设 y sin2 x,则 y=
sin 2x
.
2x
3、 设 y arctan(x 2 ),则 y= 1 x 4
.
4、 设 y ln cos x ,则 y= tan x
.
10xtan2x ln 10
5、 设 y 10x tan 2x ，则 y= (tan 2x 2x sec2 2x) .
课内练习
求下列函数的导数：
(1) y ln x ,
(3) y sin2( x cos x) (5) y ln(x x2 1)
(2)
y
x2 tan 2
x
x2 (4) y ( x2 2)3
x
(6) y 2 ln x .
(1) y ln x ,
ln x
ln x ln( x)
x 0, x 0.
dy
利用arcsin x arccos x 以及arctan x arc cot x ,
2
2
得
(arccos x) 1 1 x2
(arc cot
x)
1 1 x2
.
例：求函数 y a x (a 0,a 1)的导数.
解：y a x 的反函数是 x log a y (0 y ).