地下结构力学计算方法
结构力学柔度计算公式
结构力学柔度计算公式结构力学柔度计算公式是对结构体系中的柔度进行计算的公式。
柔度是指结构在外力作用下发生变形的能力，是结构体系的一项重要性能指标。
通过计算柔度可以了解结构的变形情况，评估结构的稳定性和抗风、抗震能力，为结构设计和分析提供依据。
柔度的计算公式与结构的类型、边界条件、受力形式等因素有关。
下面将分别介绍几种常见的结构类型的柔度计算公式。
杆系结构的柔度计算公式杆系结构是指由杆件组成的结构，例如悬臂梁、桁架等。
对于杆系结构，柔度可以通过弹性力学的方法进行计算。
根据弹性力学理论，杆件的柔度与杆件的材料力学性质、截面形状、长度等因素有关。
常见的杆系结构柔度计算公式如下：F = k * δ其中，F表示结构受力，k表示柔度系数，δ表示结构的变形量。
柔度系数k可以通过杆件的材料力学性质和几何参数计算得到。
板系结构的柔度计算公式板系结构是指由薄板组成的结构，例如平板、薄壳等。
对于板系结构，柔度可以通过板的弯曲理论进行计算。
根据板的弯曲理论，板的柔度与板的材料力学性质、尺寸、支撑条件等因素有关。
常见的板系结构柔度计算公式如下：F = k * δ其中，F表示结构受力，k表示柔度系数，δ表示结构的变形量。
柔度系数k可以通过板的材料力学性质和几何参数计算得到。
梁系结构的柔度计算公式梁系结构是指由梁组成的结构，例如悬臂梁、梁柱系统等。
对于梁系结构，柔度可以通过梁的弯曲理论进行计算。
根据梁的弯曲理论，梁的柔度与梁的材料力学性质、截面形状、长度、支撑条件等因素有关。
常见的梁系结构柔度计算公式如下：F = k * δ其中，F表示结构受力，k表示柔度系数，δ表示结构的变形量。
柔度系数k可以通过梁的材料力学性质和几何参数计算得到。
上述三种结构类型的柔度计算公式都遵循相同的基本原理，即柔度与受力和变形量之间的关系。
通过合理选择柔度计算公式，可以准确计算出结构的柔度，进而评估结构的性能和稳定性。
需要注意的是，结构力学柔度计算公式只是结构分析的一部分，结构的实际变形情况还需要考虑材料的非线性特性、接触约束、温度变化等因素的影响。
地下室顶板加固计算
地下室顶板加固计算在建筑工程中，地下室顶板的稳定性和安全性至关重要。
当面临一些特殊情况，如需要在顶板上增加荷载、改变使用功能，或者原设计的承载能力不足时，就需要对地下室顶板进行加固。
而加固计算则是确保加固方案科学合理、安全可靠的关键环节。
地下室顶板加固计算并非一项简单的任务，它需要综合考虑多个因素。
首先，要对地下室顶板的现有结构进行详细的勘察和分析。
这包括了解顶板的混凝土强度等级、钢筋配置情况、板的厚度以及跨度等基本参数。
通过现场检测和查阅相关的设计图纸，可以获取这些重要信息。
在计算过程中，荷载的确定是极为重要的一步。
荷载通常包括恒载和活载。
恒载是指顶板自身的重量以及其上永久性固定设备的重量；活载则是指人员活动、临时堆放的物品以及可能的车辆荷载等。
这些荷载的取值需要依据相关的建筑规范和标准，同时结合实际的使用情况进行合理的确定。
对于地下室顶板的受力分析，一般采用结构力学的方法。
常见的计算模型有单向板和双向板。
单向板是指板的长边与短边之比大于 2 的情况，其受力主要沿短边方向；双向板则是长边与短边之比小于等于 2 的情况，两个方向的受力都需要考虑。
在计算板的内力时，需要根据不同的边界条件进行。
常见的边界条件有简支、固支和弹性支撑等。
简支边界意味着板的端部可以自由转动，没有弯矩约束；固支边界则板的端部不能转动，存在弯矩约束；弹性支撑则介于两者之间。
加固方法的选择也会影响计算的过程和结果。
常见的加固方法有粘贴碳纤维布、粘贴钢板、增加梁的数量或截面尺寸、加厚顶板等。
以粘贴碳纤维布为例，在计算时需要考虑碳纤维布与混凝土之间的协同工作性能，以及碳纤维布的抗拉强度和粘贴面积等因素。
假设我们有一个地下室顶板，跨度为 6 米×8 米，板厚 200 毫米，混凝土强度等级为C30，钢筋采用HRB400 级。
原设计的活载为5kN/m²，恒载为 4kN/m²。
现在需要在顶板上增加一个临时堆场，活载增加到10kN/m²。
结构力学常用的三种计算方法
结构力学常用的三种计算方法
结构力学常用的三种计算方法是：
1. 力系平衡或运动条件――平衡方程。
2. 变形的几何连续条件――变形协调方程。
3. 应力应变关系――本构方程。
此外，结构力学研究的内容包括结构的组成规则，结构在各种效应（外力，温度效应，施工误差及支座变形等）作用下的响应，包括内力（轴力，剪力，弯矩，扭矩）的计算，位移（线位移，角位移）计算，以及结构在动力荷载作用下的动力响应（自振周期，振型）的计算等。
结构力学通常有三种分析的方法：能量法，力法，位移法，由位移法衍生出的矩阵位移法后来发展出有限元法，成为利用计算机进行结构计算的理论基础。
隧道结构计算的结构力学法
9.隧道衬砌结结构计算的矩阵位移法计算步骤：(1)计算衬砌单元刚度位移矩阵(2)计算链杆刚度 (3)计算墙底支座的刚度矩阵(4)集成总体刚度矩阵，并计算各元素值(5)消去已知位移(6)计算节点位 移(7)计算单元节点力。
7.外荷载产生的位移μhp和直墙拱的结构计算:(1)由弹性地基梁公式,计算系数μ1，β1，μ2， β2(墙顶位移)(2)由主动荷载及单位弹性抗力所产生的h点位移计算单位弹性抗力所产生的位移μhσ(3) 由μhp和μhσ求得弹性抗力σh(4)根据任一截面i处的内力表达式得拱的截面内力(5)求出直梁的内力(6) 校核。
10.拱形直墙计算模型：拱圈是一个拱脚弹性固定的无铰拱，拱圈弹性抗力假定为二次抛物线分 布，边墙视为弹性地基梁，全部抗力由文壳勒假设确定。
11.弹性地基梁分类：对于弹性地基梁按其相对长度al不同，可分为以下三种情况：当 1≤al≤2.75，认为是短梁，即梁的一端受力和变形会影响到另一端。当al≥2.75，认为是长梁，即 梁的一端受力和变形不会影响到另一端。当al≤1，认为是绝对刚性梁，即整个梁只产生平动和 转动。
14.矩阵力法和位移法的区别：力法：柔度方程：力;位移法：刚度方程：位移。计算衬砌 结构的单元有三种：一是模拟衬砌结构偏心受压的衬砌单元;二是模拟围岩约束衬砌自由变形 的链杆单元;三是模拟墙底地层约束墙脚变形的弹性支座单元。
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深基坑支护结构理论计算方法
深基坑支护结构理论计算方法摘要：本文介绍了常用的深基坑支护结构理论计算方法，将认可度比较高的计算方法进行了归纳，可为相关理论分析提供参考。
关键词：深基坑；基坑支护；理论分析0引言在深基坑支护结构理论计算方法的研究上，目前比较成熟且认可度较高的主要有以下三大类：经典方法、弹性地基梁法、有限元法[1]。
1经典方法经典方法主要有静力平衡法、等值梁法、Terzgahi法、弹性曲线法、等弯矩法及等轴力法[1][2]。
经典方法是基于力的平衡这一基础建立的理论方法。
这种方法主要是选用单位宽度受侧向荷载的梁系作为研究对象，如经典的等值梁法和1/2切割方法等，采用的土压力理论中，既有经典的朗肯土压力理论，也有Terzgahi-Peck表观土压力理论[3]。
该方法将围护结构看作是一条插入土体的竖向梁，假设支撑点固定不动，围护结构即成为一个受土压力的作用的多支承点的梁。
这种方法计算简便，适合手算，可近似的得出围护结构的内力，但计算结果误差较大，且无法同时求出围护结构的位移，无法根据施工情况的变化，求得围护结构确切的内力值。
而在计算机的大范围普及和有限元方法的不断推广情形下，该方法的应用也越来越少。
总之，由于经典方法无法分析不同施工工况下的内力情况，且未考虑土体与围护结构的变形因素，导致该方法逐渐散失了其原有地位。
2弹性地基梁法2.1 弹性地基梁法弹性地基梁法是基于经典法发展起来的一种改进型计算方法，该方法是在经典法的基础上，将土的作用等效成一系列弹簧的弹力作用，同时将支撑与锚杆也用弹簧进行替代，这样可以把整个支护结构看成是一弹性支撑的地基梁。
而计算弹簧刚度的方法有m法、E法、C法等，土压力理论一般采用经典的土压力理论，如库伦土压力理论及朗肯土压力理论。
弹性地基梁的解法主要有结构力学方法、解析法和有限元数值法等。
为方便计算，弹性地基梁法对支撑受力和桩入土段的受力进行了简化：在下一道支撑完成后，假设上一道支撑受力不变；对于入土段的受力情况作了两点假设，一是在土压力达到极限被动土压力时，可通过力的平衡进行求解，二是假定入土段的受力和变形有关[4]。
隧道结构力学计算
第一章绪论1. 隧道:构筑在离地面一定深度的岩层或土层中用作通到底建筑物2. 隧道分类:按周围介质分：岩石隧道和土层隧道;按用途不同分：交通隧道和市政工程隧道3. 公路隧道：穿越公路路线障碍物的交通隧道4. 公路隧道的主要特点:(1)断面形状复杂：宽而扁，高：宽<=1.; 常有特殊构造：岔洞，紧急停车带回车区，以及双连拱隧道，小间距隧道，双层隧道;(2) 荷载形式单一：主要是围岩压力，方向不会改变;(3)附属设施多：通风,照明,交通信号,消防,监控设施5. 断面几何形状:考虑功能和经济的两方面:马蹄形,圆形(盾构开挖),拱形(山岭隧道),双连拱(浅埋土层,地形受限),矩形(沉管法,城市隧道)6.. 衬砌的结构类型分为四类:整体式砼衬砌;装配式衬砌;锚喷支护衬砌;复合式衬砌7.. 整体式砼衬砌又可分为:半衬砌;厚拱薄墙衬砌;直墙拱形衬砌;曲墙拱形衬砌(1)半衬砌:适用于岩石较坚硬并且整体稳定或基本稳定的围岩; 对于侧压力很大的较软岩层或土层,为避免直墙承受较大压力,采用落地拱(2)厚拱薄衬砌:适用于水平压力很小的情况,拱脚较厚,边墙较薄(3) 直墙拱形衬砌:铁路隧道常用,竖向压力较大,水平侧压力不大(4)曲墙拱形衬砌:地质条件差,岩石破碎松散和易于坍塌地段8. 装配式衬砌:用于盾构法施工,深埋法施工,TBM 法施工9. 锚喷支护衬砌:喷混凝土和加锚杆两方法的统称。
常用方法：喷混凝土，钢筋网喷混凝土，锚杆喷混凝土，钢筋网锚杆混凝土，钢纤维喷混凝土;特点：有很强时效性，新奥法和挪威法10. 复合式衬砌：主要应用于含水量较多的地段，外层为锚喷支护，中间有一层防水层，内层多为整体式衬砌，新奥法多采用11. 初始地应力场由两种力系组成:自重应力分量;构造应力分量影响因素：一类是和地壳的运动，地下水的变化以及人类活动等因素有关12. 构造应力场：区域性明显，测试方法：解析反演法，原位测试法(1)地质的构造过程不公改变了地质的重力应力场，而且还有一总分残余在岩体内(2) 构造应力场在一定深度内普遍存在且多为水平分量(3)构造应力具有明显的区域性和时间性13. 作用在隧道结构上的荷载分为三类:主要荷载(就是长期作用的荷载,包括地层压力,围岩弹性抗力,结构自重力,回填岩土重力，地下静水压力及使用荷载); 附加荷载(指非经常作用的荷载，包括施工荷载，灌浆压力，局部落石以及有温度变化或砼收缩引起的温度应力和收缩用力) ;特殊荷载(一些偶然发生的荷载，如炮弹冲击力和爆炸时产生激波压力，地震力，车祸时冲撞力)14. 形变压力: 由岩体变形所产生的挤压力;15. 松散压力: 岩体坠落、滑移、坍塌所产生的重力16. 围岩压力：形变压力和松散压力统称为围岩压力17. 影响围岩压力的因素：a岩土的重力b岩体的结构c.地下水的分布d.隧道洞室的形状和尺寸e. 初始地应力18•确定围岩压力的方法：a•现场量测b•理论估算c工程类比法19•常用的围岩分类方法：a岩石坚固系数分类法b•太沙基理论c•铁路围岩分类法d•人工岩石洞室围岩分类法e.水工隧道围岩分类法20. 隧道结构计算的任务：就是采用数学力学的方法，计算分析在隧道修筑的整个过程中 (包括竣工，运营)a.隧道围岩及衬砌的强度 b.刚度和稳定性，为隧道的设计及施工提供具体设计参数21. 隧道的计算方法可分为三大部分： a.刚体力学法b.结构力学法(荷载位移法)c.连续介质力学法(地层结构法)22. 附：19 世纪后期，砼材料与钢材料的出现，地下结构的建造于计算进入地下连续拱形框架结构阶段，而计算的理论基础为线弹性结构力学；地下连续拱形框架结构式一种超静定弹性结构系统，荷载为地层压力，优点：以结构力学原理为计算理论基础缺点：没有考虑地层对衬砌结构变形所产生的弹性抵抗力23. 如果人工考虑隧道衬砌和地层的相互作用，地下结构的计算方法仅分为结构力学方法和连续介质力学方法24. 造成隧道结构计算结果不能直接应用的主要原因:(1) 围岩的物理力学参数无法准确确定(2)隧道的荷载量级很大,无法准确给出(3) 围岩自承能力除受围岩自身条件影响外,还受施工方法、时间、支护形式、洞室几何尺寸等的影响( 4)围岩本构关系复杂和屈服性准则不完善性，使围岩自承能力无法发挥第二章隧道结构计算的结构力学法1. 在分析过程中首先要确定地层压力，然后计算衬砌在地层压力和其他荷载作用下的内力分布，最后根据内力分布对衬砌结构断面进行验算2. 荷载结构法和计算地表结构所采用的结构力学方法基本相同，主要差别是衬砌结构在变形过程中要受到周围介质的限制，分为力法与位移法3. 拱形半衬砌隧道的结构计算： ( 1)半衬砌结构可简化为弹性固定平面无铰拱(计算模型) (2)拱顶截面建立位移协调方程，由拱顶截面的位移协调方程得拱脚处的位移和转角( 3) 将拱脚位移和转角方程代入拱顶截面位移协调方程，得关于未知力X1 ，X2 的线性代数方程组，可得拱顶截面未知力( 4)各截面强度校核4. 拱形曲墙隧道的结构计算： (1)假定弹性抗力为镰刀形分布，拱形曲墙式衬砌的计算模型为墙角弹性固定而两侧受周围约束的无铰拱( 2)通过h点的变形协调条件计算弹性抗力bh(3)计算主动荷载作用下衬砌的内力(4) b h=1时衬砌的内力⑸求出最大抗力值b h(6)用叠加的方法求出衬砌内任一点的内力5. 拱形曲墙隧道的结构计算模型：竖向荷载所引起的侧墙部分的变形，将受到侧面围岩的约束，形成一个抗力区，这里假定弹性抗力为镰刀形，其量值用 3 个特征值控制：抗力上零点对一般与对称中线夹角为40°-60°；抗力下零点在拱脚处；最大抗力点h 在衬砌最大跨度处，一般在抗力区2/3 处6. 拱形直墙隧道的局部变形法:在分析拱形直墙式隧道结构时,需将拱圈与直墙分开考虑,拱圈是一个拱脚弹性固定的无铰拱,弹性抗力假定为二次抛物线分布,边墙视为弹性地基梁,全部抗力有文克勒假设确定,墙顶和拱脚弹性固结,墙脚与基岩间有较大的摩擦力,无水平位移发生,他在基岩的作用视为刚性体7•外荷载产生的位移卩hp和直墙拱的结构计算:(1)由弹性地基梁公式，计算系数卩1, 3 1,卩2, 3 2(墙顶位移)(2)由主动荷载及单位弹性抗力所产生的h点位移计算单位弹性抗力所产生的位移h b (3)由口hp和口h b求得弹性抗力b h (4)根据任一截面i处的内力表达式得拱的截面内力( 5)求出直梁的内力( 6)校核8•隧道衬砌结构计算的矩阵力法计算步骤：(1)计算［F0］(2)计算［丫SX］并将其转化为［丫SX］'⑶计算［丫SP］并将其转化为［丫SP］' (4)计算［Fxx］,［Fxp］(5)计算赘余力{x} (6)计算衬砌单元节点{s} ( 7)计算衬砌节点位移{ S }9•隧道衬砌结结构计算的矩阵位移法计算步骤：(1)计算衬砌单元刚度位移矩阵( 2)计算链杆刚度( 3)计算墙底支座的刚度矩阵( 4)集成总体刚度矩阵,并计算各元素值( 5)消去已知位移( 6)计算节点位移( 7)计算单元节点力10•拱形直墙计算模型：拱圈是一个拱脚弹性固定的无铰拱，拱圈弹性抗力假定为二次抛物线分布,边墙视为弹性地基梁,全部抗力由文壳勒假设确定。
结构力学位移法的计算
B t2=-30°C C t2=-30°C F
° t1=10°C
t1=10°C °
A
D l=6m
E
l=6m
a) 解：
B t2=-30°C C ° t1=10°C °
A l=6m D b)
取如图b)半边结构，未知量为B ( ) 。
62
1）各杆两端相对侧移
AB
杆AB缩短 t0h 40 杆CD伸长 t0h 40
FC
FP
i
2i
i1 A
i2 H
未知量 D ,F
51
FP D
C
FP E
i2
i1
i1
A
B
FP
C
D
2i2
i1
A
CL 0, CR 0,
CH 0,
(MCL MCR 0), CV 0。
未知量 D
52
2．反对称荷载:
对称结构在反对称荷载作用下，其内力和变形 均是反对称的。
选取基本体系如下图所示。 D i
E
Z1 D 0,
Z2 EH 0。
C
i/2
2i
基本体系
A
B
44
45
46
47
ii）求方程的系数和自由项：
r11= 5i， r12 = r21 = 0.75i，
r22= 0.75i，R1P = 14，R2P = 3。
4）回代入方程中，求解得：
3i(
4 i
)
12kN
m。
M DA
2i D
0.75i E
2i(
4 i
)
0.75i(
结构力学位移计算
结构力学位移计算结构力学是研究结构在外力作用下产生的应变和变形的学科。
位移计算是结构力学中非常重要的内容之一，通过计算结构的位移可以确定结构的稳定性、刚度和形态等信息。
本文将从基本概念、位移计算的方法和实例等方面进行详细介绍。
一、基本概念1.结构位移：结构在受到外力作用后，发生变形产生的位移称为结构位移。
结构位移是结构变形的主要表征，通过位移计算可以得到结构中各个点的位移量。
2.位移与应变关系：根据材料力学的基本原理，结构的位移与结构中各个点的应变密切相关。
通常使用应变平衡方程来建立位移与应变之间的关系。
3.位移计算方法：位移计算主要分为两类方法，即解析解法和数值解法。
解析解法通过解析求解结构的位移方程，得到精确的位移结果。
数值解法通过离散化结构、建立结构的数值模型，并采用数值算法求解位移方程，得到近似的位移结果。
二、位移计算的方法1.解析解法：解析解法常用于简单结构或具有对称性的结构，通过假设结构的位移形式和边界条件，建立结构的位移方程，然后求解解析解。
2.数值解法：数值解法常用于复杂结构或无法采用解析解法求解的情况。
主要包括有限元法、有限差分法和边界元法等。
这些方法通过将结构离散化成若干个单元，建立数值模型，并采用近似的数值算法求解结构的位移方程。
三、位移计算的实例以简支梁的位移计算为例，介绍位移计算的具体过程。
1.简支梁位移计算的基本假设：（1）结构为理想化的一维结构；（2）结构之间没有弯矩和剪力的连梁或折线等连接形式；（3）结构在垂直于横截面方向上没有刚度差异。
2.简支梁的位移计算步骤：（1）根据梁的边界条件和受力情况，建立梁的位移方程；（2）求解梁的位移方程，得到梁在各个截面上的位移表达式；（3）根据边界条件，确定梁的位移常数；（4）结合位移表达式和位移常数，求解梁在各个截面上的位移。
3.简支梁的位移计算具体公式：（1）若梁在x轴方向上的长度为L，截面x处的位移为y(x)，则梁的位移方程可表示为：d²y/dx²=-M(x)/EI，其中M(x)为梁在x处的弯矩，E为梁的弹性模量，I为梁的截面矩。
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16
衬砌内力计算 拱圈对称，荷载分对称型和非对称型（跨
度较大，地质情况复杂）
例：对称型弹性固定无铰拱
17
计算简图
由于结构和荷载均对称，因此拱顶仅有未知弯矩X1和 轴力X2。
规定图示未知力的方向为正；在拱角处，截面的转角 以向拱外侧旋转为正，水平位移以向外移动为正。
k i j ——物理意义是：由第j个结点位移发生单位位移
后，在第i个结点位移处产生的反力。 41
局部坐标下的单元刚度矩阵
1
EA L
1
1
EI,EA
2
EA L
1
6LE2I 1
1 1
EI,EA
2
12EI
L2
1
12EI
L2
1
6LE2I 1
4EI L
1
1
1
EI,EA
2
2EI L
1
6EI L2
1
6EI L2
29
b h
a
y’i y’h
假定抗力为镰刀型分布（布加耶娃法） 30
弹性抗力为镰刀形，三个特征点控制：抗力上零点b，φb =400～600，通过试算来确定;抗力下零点a在曲墙墙脚处; 最大抗力点h约在衬砌跨度最大处。hb段抗力分布为抛物 线函数：
ah段抗力分布函数：
i
(1
yi'2 y'h2
)h
1
42
2
1
EA L
2
EI,EA
2
EA L
2
6LE2I 2
1
EI,EA
2
2
6LE2I 1
12LE2I 2
12LE2I 2
2EI L
2
1
EI,EA
2
2
4EI L
2
6EI L2
2
6EI L2
2
43
把杆端力与杆端位移的表达式写成矩阵形式：
FX1
EA L
0
0
-EA L
0
0
u1
FY1
0
12EI 6EI
地下结构力学计算方法
一、 概述
荷载--结构法（结构力学方法） 地层--结构法（连续介质力学方法）
2
1. 荷载-结构力学计算法简介
自由变形法
3
假定抗力法
4
弹性地基梁理论计算地层抗力
例如： 将隧道边墙视为支撑在侧面和基地地层上的双向的 5
弹性地基梁。
2. 连续介质力学计算法（地层结构 法）简介
拱角处位移v0仅使结构整体竖向平移，对内力计算不 影响。
18
基本结构
利用结构力学中的方法，建立拱顶截面处的位移协 调方程：
（1）
式中：δik 柔度系数（i,k=1,2），即在基本结构中，拱
角为刚性固定时，悬臂端作用单位广义力（Xk=1）时， 沿未知力Xi方向产生的位移，由位移互等定理可知，
ik ki
p、u
：
p
外
荷
载
在
拱
角处产生的转角及
位
移
。
1、
2、u1、u2、
、
p
u
：拱
p
角
弹
性
固
定
系
数。
注 意 1 2 2， 1 ： 2 u 1
20
将（2）代入（1）可解得未知力 X1和X2得： 式中：
当 1、 2、 u1、 u2、 p、 up均为零时， 全则 固为 定拱 的 21 角 无
拱角和拱圈的柔度系数 1）拱角柔度系数，亦即拱角弹性固定系数
作用下衬砌任意一点的内力为： 式中M0ip、N0ip，为外荷载在i截面产生的弯矩和轴力35。
弹性抗力引起的衬砌内力
解得：
其中：
式 中 1、 ， 2和 分 别 h为 1时 拱X1顶 、 X2 在 方 向 的 位 移 和 拱 转角 处 。产 生 的 36
弹性抗力（σh=1）引起的衬砌内力：
式中M0iσ、N0i σ 为σh=1时在 i 截面产生的弯矩和轴力。 衬砌内任一点的内力（叠加法）：
,
,
根据局部变形理论： σh=k δh K为围岩弹性抗力系数，代入（1）式得：
p及可
按上
例
的拱定角系弹数性求固解
方法 33
解
变形协调方程（拱顶）：
i p:在 主 动 荷 载 作X用 i方下 向， 产沿 生 的 位 移 0、u0：分别为拱角弹 截性 面转 的角 总和总水平
解得：
34
其中系数： 解出X1p、X2p，再联立静力平衡方程，则主动荷载
2i224i23M 3 … … ③
写成矩阵形式：
4i1 2i1 0
2i1 4i1 4i2
2i2
240ii22123M M M123
可以缩写成： KFP
——整体刚度方程
46
整体刚度方程： KF
其中： K ——整体刚度矩阵
——结构位移列阵
F ——结构荷载列阵
本节中主要讨论连续梁的整体刚度矩阵。
ii Xi
ni Xi
1n Xn 1p 0 2n Xn 2 p 0
in Xn ip 0
nn Xn np 0
注：对于有支座沉降的情况，右边相应的项就等
于已知位移（沉降量），而不等于零。
8
（2）系数（柔度系数）、自由项
主系数δii(i ＝1,2, …n)——单位多余未知力 Xi＝1
δ11
δ1n
X1
Δ1p 0
δn1
δnn Xn Δnp
10
（4）柔度系数及自由项
φ
例：超静定拱
FP1
FP2
f
L
原结构
y
φ
X1=1
oy
x
X1=1
x
基本体系（曲梁）
在 X1=1的作用下，计算系数δ11时，应考虑弯矩和轴力 的影响，计算公式：
11
2
M1 ds EI
2
FN1 ds EA
1
1
4i1
K2i1
2
2i1 4i1 4i2
3
0 1
2i2
2
k
1
4i1 2i1
2
0
2i2
4i2 3
k
2
4i2 2i2
2
2i1 1 4i1 2
3
2i2 2
4i2
47
3
整体坐标下的单元刚度矩阵
α
y
Fx1
M1
α
Fy1
y
x
局部坐标系
中的杆端力
x M2
Fx2 Fy2
整体坐标系 中的杆端力
48
局部坐标系中杆端力与
ip:在外荷载作用 Xi方 下向 ，产 沿生的位移 0、u0：分别为拱角弹 截性 面转 的角 总和总 19 水
拱 角u位 0、 移 0由 拱 顶 X1和 弯轴 矩 X2以 力及 外 荷 作用产生：
（2）
1、
：
2
拱
角
单
位
弯矩和单
位轴力在
拱
角
处
所
产
生
的转角；
u1、u2：拱角单位广义力所产生的水平位移；
课堂推导
14
矩形隧道
框架分析简图
15
例2 拱形半衬砌隧道的结构计算
结构设置在较完整、坚硬的围岩（I、II级）中。 拱角部分的变形受到岩层的限制，且这种限制既非铰接又
非完全刚性固定，介于两者之间，属于弹性固定。 拱角与岩体具有较大摩擦力，因此假设拱角不能产生径向
位移，只能产生转动和沿拱轴切线方向的位移。采用局部 变形理论考虑拱角弹性抗力。 坚硬岩石不考虑水平压力。 拱圈位于脱离区，可以不考虑弹性抗力。
将地下结构和地层看成是连续的受力体。 已有圆形隧道的弹性解、粘弹性解、弹 塑性解以及地下连续墙塑性解。
6
二、结构力学法
力法和位移法。
依据虚功原理
7
1、力法基本概念
（1）力法方程
n次超静定结构
11X1 12 X2 21X1 22 X2
i1X1 i2 X2
n1X1 n2 X2
1i Xi 2i Xi
40
如果结构有n个未知量，那么位移法方程为：
k11Z1 k12Z2 k21Z1 k22Z2
k1nZn F1P 0 k2nZn F2P 0
kn1Z1 kn2Z2
knnZn Fnp 0
其中：k11 k22 knn 是主系数，永远是正的。
k12 k31 k24 是副系数，有正有负。
由反力互等定理可知： k ij k ji
37
例4 圆形隧道衬砌的假定抗力法
自重
土压力 抗力
水压力
地层反力
日本惯用法： pkipk(1 2cos) 38
例5：拱形直墙隧道的局部变形法
39
二、位移法-刚度法
先确定每个单元的载荷-位移之间的关 系，然后用结点处的静力平衡条件将相 邻单元的载荷及位移联系起来，最后组 合成一个整体刚度矩阵，求出载荷作用 下结构的位移，然后用力和位移的关系 求出单元中的内力及支座的作用力。
27
2）拱圈的柔度 ik和 系外 数荷载作用下的所 位移 ip，可用结构力学求的得方：法
计算出内力后，进行截面强度校核（混凝土抗拉、 抗压、钢筋截面积、安全系数等 ）
28
例3 拱形曲墙隧道
当围岩具有较大的垂直压力和水平压力时， 隧道结构设计为拱形曲墙形状（通常用在 IV~V级围岩中）。拱形曲墙隧道由拱圈、曲 墙和底板（仰拱）组成。仰拱在曲墙和拱圈 受力后修建，计算中不考虑仰拱影响。
整体坐标系中杆端力之