(江西专用)高考数学二轮复习 专题限时集训(七)第7讲 解三角形配套作业 文(解析版)
专题限时集训(七)
[第7讲解三角形]
(时间:45分钟)
1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2+c2-b2=3ac,则角B的值为( )
A.π
6
B.
π
3
C.π
6
或
5π
6
D.
π
3
或
2π
3
2.在△ABC,已知A=45°,AB=2,BC=2,则C=( )
A.30° B.60°
C.120° D.30°或150°
3.△ABC的外接圆半径R和△ABC的面积的大小都等于1,则sin A sin B sin C的值为( )
A.1
4
B.
3
2
C.
3
4
D.
1
2
4.如图7-1,要测量底部不能到达的电视塔AB的高度,在C点测得塔顶A的仰角是45°,在D点测得塔顶A的仰角是30°,并测得水平面上的∠BCD=120°,CD=40 m,则电视塔的高度为( )
图7-1
A.10 2 m B.20 m
C.20 3 m D.40 m
5.在△ABC中,已知角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=3,c=8,B=60°,则
sin A 的值是( )
A.
316 B.314 C.3316 D.33
14
6.若满足条件C =60°,AB =3,BC =a 的△ABC 有两个,那么a 的取值范围是( ) A .(1,2) B .(2,3) C .(3,2) D .(1,2)
7.△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若a ,b ,c 成等比数列,且c =2a ,则cos B =( )
A.14
B.34
C.
24 D.23
8.在△ABC 中,AB =3,AC =1,B =30°,则△ABC 的面积等于( ) A.
32 B.34 C.
32或 3 D.32或34
9.三角形ABC 中,三内角A ,B ,C 对边分别为a ,b ,c ,且满足tan A -tan B tan A +tan B =b +c c ,则
sin B +sin C 的范围为( )
A.? ?
?
??
0,32 B .(0,1] C.?
????32,1 D.? ??
??
32,1 10.在△ABC 中,已知sin A ∶sin B ∶sin C =2∶3∶4,则cos C =________.
11.已知A 船在灯塔C 北偏东80°处,且A 船到灯塔C 的距离为2 km ,B 船在灯塔C 北偏西40°处,A ,B 两船间的距离为3 km ,则B 船到灯塔C 的距离为________km.
12.在△ABC 中,A =60°,BC =10,D 是AB 边上的一点,CD =2,△BCD 的面积为1,则AC 的长为________.
13.锐角三角形ABC 中,∠B =2∠A ,则b
a
的取值范围为________.
14.已知△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且b cos C =(2a -c )cos B .
(1)求角B的大小;
(2)若y=cos2A+cos2C,求y的最小值.
15.已知复数z1=b cos C+(a+c)i,z2=(2a-c)cos B+4i,且z1=z2,其中A,B,C为△ABC的内角,a,b,c为角A,B,C所对的边.
(1)求角B的大小;
(2)若b=22,求△ABC的面积.
16.如图7-2所示,AB 是南北方向道路,P 为观光岛屿,Q 为停车场,PQ =5.2 km.某旅游团游览完岛屿后,乘游船回停车场Q .已知游船以13 km/h 的速度沿方位角θ的方向行驶,且sin θ=5
13.游船离开观光岛屿3分钟后,因事耽搁没有来得及登上游船的游客甲为了及时
赶到停车地点Q 与游客团会合,决定立即租用小船先到达道路M 处,然后乘出租汽车到点Q (设游客甲到达道路M 后能立即乘到出租车).假设游客甲乘小船行驶的方向是方位角α,出租汽车的速度为66 km/h.
(1)设sin α=4
5
,问小船的速度为多少时,游客甲才能和游船同时到达Q 地?
(2)设小船速度为10 km/h ,请你替游客甲设计小船行驶的方位角α,当角α的余弦值是多少时,游客甲能按计划以最短的时间到达Q 地?
图7-2
专题限时集训(七)
【基础演练】
1.A [解析] ∵a 2+c 2-b 22ac =cos B =32,又0
6
.
2.A [解析] 根据正弦定理得,2sin45°=2sin C ,所以sin C =1
2,因为C ∈(0,π),所
以C =30°或150°.又因为A =45°,且AB 3.D [解析] 根据三角形面积公式和正弦定理S =12ab sin C =1 22R sin A ·2R sin B ·sin C = 2R 2 sin A sin B sin C ,将R =1和S =1代入得,sin A sin B sin C =12 . 4.D [解析] 设电视塔的高度为x ,则BC =x ,BD =3x .在△BCD 中,根据余弦定理得3x 2 =x 2 +402 -2×40x cos120°,即x 2 -20x -800=0,解得x =-20(舍去),或者x =40.故电视塔的高度为40 m. 【提升训练】 5.D [解析] 根据余弦定理得b =32 +82 -2×3×8cos60°=7,根据正弦定理3 sin A =7sin60°,解得sin A =33 14 . 6.C [解析] 由正弦定理得 AB sin C = BC sin A ,所以a =2sin A .而C =60°,所以0°<∠ CAB <120°.又因为△ABC 有两个,所以a sin60°<3 7.B [解析] 由题意得b 2 =ac ,又c =2a ,由余弦定理得cos B =a 2+c 2-b 22ac = a 2+4a 2-a ×2a 2a ×2a =3 4 . 8.D [解析] 依题意与正弦定理得AB sin C =AC sin B ,即sin C = AB ·sin B AC =3 2 ,∴C =60°或C =120°.当C =60°时,A =90°,则△ABC 的面积等于12 AB ·AC = 3 2 ;当C =120°时,A =30°,则△ABC 的面积等于12AB ·AC ·sin A =34.所以△ABC 的面积等于32或3 4 . 9.C [解析] 由正弦定理及利用切化弦思想可将原式化为: sin A cos B -cos A sin B sin A cos B +cos A sin B = sin B +sin C sin C , 化简得到:sin(A -B )=sin B +sin C ,又在三角形中,sin C =sin(π-A -B )=sin(A +B ), 故:sin(A -B )=sin B +sin(A +B ),利用两角和与差公式打开并整理得:cos A =-12, ∴A =2π3,B +C =π3,从而sin B +sin C =sin B +sin ? ????π3-B =sin ? ????π3+B , 由0 sin C 可得,a ∶b ∶c =sin A ∶sin B ∶sin C = 2∶3∶4,由此设a =2k ,b =3k ,c =4k (k >0).由余弦定理可得,cos C =a 2+b 2-c 2 2ab = (2k )2 +(3k )2 -(4k )2 2×2k ×3k =-1 4 . 11.6-1 [解析] 由题意可得,∠ACB =120°,AC =2,AB =3,设BC =x ,则由余弦定理可得,AB 2 =BC 2 +AC 2 -2BC ×AC cos120°,即32 =x 2 +22 -2×2x cos120°,整理得x 2 +2x =5,解得x =6-1或x =-6-1(舍去).故填6-1. 12.233 [解析] 由△BCD 的面积为1,可得12×CD ×BC ×sin ∠DCB =1,即sin ∠DCB =55, 所以cos ∠DCB =255.在△BCD 中,由余弦定理可知,cos ∠DCB =CD 2 +BC 2 -BD 2 2CD ×BC =25 5 ,解得 BD =2,所以cos ∠DBC =BD 2+BC 2-CD 22BD ×BC =310 10 .由在△BCD 中,∠DBC 对应的边长最短,所以∠DBC 为锐角,所以sin ∠DBC =1010.在△ABC 中,由正弦定理BC sin A =AC sin B 可得,AC =BC ·sin B sin A =10×1010 3 2= 23 3 . 13.(2,3) [解析] 由正弦定理知:b a = sin B sin A =sin2A sin A =2cos A , 由于△ABC 为锐角三角形,故角A ,B ,C 都为锐角,从而 A ∈? ?? ?? 0,π2,B =2A ∈? ?? ?? 0,π2,C =π-3A ∈? ?? ?? 0,π2 , 由此求出:A ∈? ?? ??π6,π4,故b a =2cos A ∈(2,3). 14.解:(1)由正弦定理可得:sin B cos C =2sin A cos B -sin C cos B ,即sin(B +C )= 2sin A cos B ,∵0 3 . (2)由(1)可知2A +2C =4π 3 , y =cos 2A +cos 2C = 1+cos2A 2+1+cos2C 2 =1+12???? ??cos2A +cos ? ????4π3-2A =1+12? ?? ?? 12cos2A -32sin2A =1-12sin ? ????2A -π6, ∵0<2A <4π3,∴-π6<2A -π6<7π6,则当sin ? ????2A -π6=1,即A =π3时,y 的最小值为12. 15.解:(1)∵z 1=z 2, ∴b cos C =(2a -c )cos B ①,a +c =4②, 由①得2a cos B =b cos C +c cos B ③, 在△ABC 中,设a sin A =b sin B =c sin C =k (k >0), 则a =k sin A ,b =k sin B ,c =k sin C ,代入③得 2sin A cos B =sin B cos C +sin C cos B , 2sin A cos B =sin(B +C )=sin(π-A )=sin A , ∵00, ∴cos B =1 2. ∵0 3 . (2)∵b =22,由余弦定理得b 2 =a 2 +c 2 -2ac cos B ?a 2 +c 2 -ac =8,④ 由②得a 2+c 2 +2ac =16,⑤ 由④⑤得,ac =8 3 , ∴S △ABC =12ac sin B =12×83×32=23 3 . 16.解:(1)如图所示,作PN ⊥AB ,N 为垂足,∠PQM =θ,∠PMQ =π-α,sin θ=5 13, sin α=45,cos θ=1213,cos α=3 5 . 在Rt △PNQ 中,PN =PQ sin θ=5.2×5 13 =2, QN =PQ ·cos θ=5.2×1213 =4.8. 在Rt △PNM 中,MN = PN tan α=243 =1.5,PM =PN sin α=2 4 5 =2.5,∴MQ =QN -MN =4.8-1.5=3.3. 设游船从P 到Q 所用时间为t 1 h ,游客甲从P 经M 到Q 所用时间为t 2 h ,小船速度为v 1 km/h , 则t 1=PQ 13=5.213=26 513=25,t 2=PM v 1+MQ 66=2.5v 1+3.366=52v 1+1 20. 由已知,得t 2+120=t 1,即52v 1+120+120=25,∴v 1=25 3 . 于是,当小船的速度为25 3 km/h 时,游客甲才能和游船同时到达Q 地. (2)在Rt △PMN 中,PM =PN sin α=2sin α,MN =PN tan α=2cos α sin α , ∴QM =QN -MN =4.8-2cos α sin α . 于是t =PM 10+QM 66=15sin α+455-cos α33sin α=1165×33-5cos αsin α+4 55 . ∵t ′=1165×5sin 2 α-(33-5cos α)cos αsin 2α=5-33cos α 165sin 2 α, ∴令t ′=0,得cos α=5 33 . 当cos α<533时,t ′>0;当cos α>5 33时,t ′<0, 又y =cos α在α∈0,π 2上是减函数, ∴当方位角α满足cos α= 5 33 时,t 取最小值, 即游客甲能按计划以最短时间到达Q 地. 解三角形高考大题,带答案 1. (宁夏17)(本小题满分12分) 如图,ACD △是等边三角形,ABC △是等腰直角三角形, 90ACB =∠,BD 交AC 于E ,2AB =. (Ⅰ)求cos CAE ∠的值; (Ⅱ)求AE . 解:(Ⅰ)因为9060150BCD =+=∠, CB AC CD ==, 所以15CBE =∠. 所以6cos cos(4530)4 CBE =-=∠. ···················································· 6分 (Ⅱ)在ABE △中,2AB =, 由正弦定理 2 sin(4515)sin(9015) AE =-+. 故2sin 30 cos15 AE = 12 4 ? = =. 12分 2. (江苏17)(14分) 某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD 的顶点A 、B 及CD 的中点P 处,已知AB=20km ,BC=10km ,为了处理三家工厂的污水,现要在矩形ABCD 的区域上(含边界),且A 、B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂,并铺设排污管道AO 、BO 、OP ,设排污管道的总长为ykm 。 (1)按下列要求写出函数关系式: ①设∠BAO=θ(rad ),将y 表示成θ的函数关系式; ②设OP=x (km ),将y 表示成x 的函数关系式; (2)请你选用(1)中的一个函数关系式,确定污水处理厂的位置,使三条排污管道总长度最短。 【解析】:本小题考查函数的概念、 解三角形、导数等基本知识,考查数学建模能力、 抽象概括能力和解决实际问题的能力。 (1)①由条件知PQ 垂直平分AB ,若∠BAO=θ(rad ),则 cos cos OA BAO θ = =∠, 故10 cos OB θ = 又1010OP tan θ=-,所以1010 1010cos cos y OA OB OP tan θθθ =++= ++-B A C D E B 2020年高考数学三角函数与解三角形大题精做 例题一:在ABC △中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知(),2a c b =-m ,()cos ,cos C A =n ,且⊥m n . (1)求角A 的大小; (2)若5b c +=,ABC △a . 例题二:如图,在ABC △中,π 4A ∠=,4AB =,BC =点D 在AC 边上,且1cos 3 ADB ∠=-. (1)求BD 的长; (2)求BCD △的面积. 例题三: ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知()2cos cos 0a c B b A ++=. (1)求B ; (2)若3b =,ABC △的周长为3+ABC △的面积. 例题四:已知函数()22 cos cos sin f x x x x x =+-. (1)求函数()y f x =的最小正周期以及单调递增区间; (2)已知ABC △的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,若()1f C =,2c =,()sin sin 2sin 2C B A A +-=,求ABC △的面积. 例题一:【答案】(1)π3 A =;(2 )a = 【解析】(1)由⊥m n ,可得0?=m n ,即2cos cos cos b A a C c A =+, 即2sin cos sin cos sin cos B A A C C A =+,即()2sin cos sin B A A C =+, ∵()()sin sin πsin A C B B +=-=,∴2sin cos sin B A B =,即()sin 2cos 10B A -=, ∵0πB <<,∴sin 0B ≠,∴1cos 2 A = , ∵0πA <<,∴π3A =. (2 )由ABC S =△ 1sin 2 ABC S bc A ==△,∴4bc =, 又5b c +=,由余弦定理得()22222cos 313a b c bc A b c bc =+-=+-=, ∴a = 例题二:【答案】(1)3;(2 ) 【解析】(1)在ABD △中,∵1cos 3 ADB ∠=-, ∴sin 3ADB ∠=, 由正弦定理sin sin BD AB BAD ADB =∠∠, ∴4sin 3sin AB BAD BD ADB ∠===∠. (2)∵πADB CDB ∠+∠=, ∴()1cos cos πcos 3 CDB ADB ADB ∠=-∠=-∠=. ∴( )sin sin πsin CDB ADB ADB ∠=-∠=∠= ,sin CDB ∠= 在BCD △中,由余弦定理2222cos BC BD CD BD CD CDB =+-??∠, 得21179233 CD CD =+-??,解得4CD =或2CD =-(舍). ∴BCD △ 的面积11sin 3422S BD CD CDB =??∠=??=. 例题三:【答案】(1)2π3 B =;(2 )ABC S =△ 【解析】(1)∵()2cos cos 0a c B b A ++=, ∴()sin 2sin cos sin cos 0A C B B A ++=,()sin cos sin cos 2sin cos 0A B B A C B ++=, 专题精选习题----解三角形 1.在ABC ?中,内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,已知b a c B C A -= -2cos cos 2cos . (1)求A C sin sin 的值; (2)若2,41 cos ==b B ,求ABC ?的面积S . 2.在ABC ?中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,,已知 2sin 1cos sin C C C -=+. (1)求C sin 的值; (2)若8)(422-+=+b a b a ,求边c 的值. 3.在ABC ?中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,. (1)若A A cos 2)6sin(=+π ,求A 的值; (2)若c b A 3,31 cos ==,求C sin 的值. 4.ABC ?中,D 为边BC 上的一点,5 3cos ,135sin ,33=∠==ADC B BD ,求AD . 5.在ABC ?中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,,已知41 cos ,2,1===C b a . (1)求ABC ?的周长; (2)求)cos(C A -的值. 6.在ABC ?中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,.已知)(sin sin sin R p B p C A ∈=+,且241 b a c =. (1)当1,45 ==b p 时,求c a ,的值; (2)若角B 为锐角,求p 的取值范围. 7.在ABC ?中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,.且C b c B c b A a sin )2(sin )2(sin 2+++=. (1)求A 的值; (2)求C B sin sin +的最大值. 8.在ABC ?中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,,已知 412cos -=C . (1)求C sin 的值; (2)当C A a sin sin 2,2==时,求c b ,的长. 9.在ABC ?中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,,且满足 3,5522cos =?=A . (1)求ABC ?的面积; (2)若6=+c b ,求a 的值. 解三角形高考真题(一) 解三角形高考真题(一) 一.选择题(共9小题) 1.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinB+sinA(sinC﹣cosC)=0,a=2,c=,则C=() A.B.C.D. 2.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC为锐角三角形,且满足sinB (1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,则下列等式成立的是() A.a=2b B.b=2a C.A=2B D.B=2A 3.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a=,c=2,cosA=,则b=()A.B.C.2 D.3 4.在△ABC中,若AB=,BC=3,∠C=120°,则AC=() A.1 B.2 C.3 D.4 5.△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知b=c,a2=2b2(1﹣sinA),则A=()A. B.C.D. 6.在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则 14.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=,cosC=,a=1,则b= .15.在△ABC中,∠A=,a=c,则= .16.在△ABC中,B=120°,AB=,A的角平分线AD=,则AC= . 17.在△ABC中,AB=,∠A=75°,∠B=45°,则AC= . 18.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=,sinB=,C=,则b= .19.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD= m. 20.若锐角△ABC的面积为,且AB=5,AC=8,则BC等于. 21.在△ABC中,a=3,b=,∠A=,则∠ 三角函数与解三角形 一、选择题 (2016·7)若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移 12 π个单位长度,则平移后图象的对称轴为( ) A .()26k x k Z ππ =-∈ B .()26k x k Z ππ =+∈ C .()212 k x k Z ππ =-∈ D .()212 k x k Z ππ =+∈ (2016·9)若3 cos( )45 π α-=,则sin 2α =( ) A . 725 B .15 C .1 5 - D .7 25 - (2014·4)钝角三角形ABC 的面积是12 ,AB =1,BC ,则AC =( ) A .5 B C .2 D .1 (2012·9)已知0>ω,函数)4sin()(π ω+ =x x f 在),2(ππ 单调递减,则ω的取值范围是() A. 15 [,]24 B. 13[,]24 C. 1(0,]2 D. (0,2] (2011·5)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x 轴的正半轴重合,终边在直线y =2x 上,则cos2θ =( ) A .45 - B .35 - C .35 D .45 (2011·11)设函数()sin()cos()(0,||)2 f x x x π ω?ω?ω?=+++>< 的最小正周期为π,且()()f x f x -=, 则( ) A .()f x 在(0,)2π 单调递减 B .()f x 在3(,)44 ππ 单调递减 C .()f x 在(0,)2π 单调递增 D .()f x 在3(,)44 ππ 单调递增 二、填空题 (2017·14)函数()23sin 4f x x x =- (0,2x π?? ∈???? )的最大值是 . (2016·13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若cos 4 5 A = ,1cos 53C =,a = 1,则b = . (2014·14)函数()sin(2)2sin cos()f x x x ???=+-+的最大值为_________. (2013·15)设θ为第二象限角,若1 tan()42 πθ+=,则sin cos θθ+=_________. (2011·16)在△ABC 中,60,B AC ==o 2AB BC +的最大值为 . 三、解答题 (1)在ABC ?中,D 为边BC 上一点,BD=12 DC,ABC ∠=120°,AD=2,若ADC ?的面积为33-,则BAC ∠= . (2)△ABC 中B=120°,AC=7,AB=5,则△ABC 的面积为 。 (3)(本小题满分12分) 已知△ABC 的内角A ,B 及其对边a ,b 满足a +b =a cot A +b cot B ,求内角C . (4)已知,,a b c 分别为ABC ?三个内角,,A B C 的对边,cos 3sin 0a C a C b c +--= (1)求A (2)若2a =,ABC ?的面积为3;求,b c 。 (5)(本小题满分12分) 已知a ,b ,c 分别为△ABC 三个内角A ,B ,C 的对边,c = 3a sinC -c cosA (1) 求A (2) 若a =2,△ABC 的面积为3,求b ,c (6)、(本小题满分12分) 如图,在△ABC 中,∠ABC =90°,AB= 3 ,BC=1,P 为△ABC 内一点,∠BPC =90° (1)若PB=12 ,求PA ; (2)若∠APB =150°,求tan ∠PBA (7)已知锐角ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,223cos cos 20A A +=,7a =,6c =,则b =( ) (A )10 (B )9 (C )8 (D )5 (8)如图,为测量山高MN ,选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得 M 点的仰角60MAN ∠=?,C 点的仰角45CAB ∠=?以及75MAC ∠=?;从C 点测得60MCA ∠=?.已知山高100BC m =,则山高MN =________m . (9)在ABC V 中,60,3B AC ==o 2AB BC +的最大值为 。 (10).已知,,a b c 分别为ABC ?的三个内角,,A B C 的对边,a =2,且 (2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-,则ABC ?面积的最大值为 . A B C P 高考文科数学真题大全解 三角形高考题学生版 This manuscript was revised by the office on December 10, 2020. 8.(2012上海)在ABC ?中,若C B A 222sin sin sin <+,则ABC ?的形状是( ) A .锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D .不能确定 9.(2013天津理)在△ABC 中,∠ABC =π 4 ,AB =2,BC =3,则sin ∠BAC 等于( ) 10.(2013新标2文) △ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知b =2,B = π6,c =π 4 ,则△ABC 的面积为( ) A .23+2 +1 C .23-2 -1 11、(2013新标1文) 已知锐角ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,223cos cos 20A A +=,7a =,6c =,则b =( ) (A )10 (B )9 (C )8 (D )5 12.(2013辽宁)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若a sin B cos C +c sin B cos A =1 2b ,且a >b ,则∠B =( ) 13.(2013山东文)△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .若B =2A ,a =1,b =3,则c =( ) A .2 3 B .2 D .1 14.(2013陕西)设△ABC 的内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c, 若cos cos sin b C c B a A +=, 则 △ABC 的形状为 (A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定 15、(2016年新课标Ⅰ卷文)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =,2c =, 2 cos 3 A = ,则b= (A )2 (B )3 (C )2 (D )3 16、(2016年新课标Ⅲ卷文)在ABC △中,π4B ,BC 边上的高等于1 3 BC ,则sin A (A )3 10 (B )1010 (C )55 (D )31010 17、(2016年高考山东卷文)ABC △中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,已知22,2(1sin )b c a b A ,则A = (A ) 3π4(B )π3(C )π4(D )π6 解三角形(历届高考题) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 历届高考中的“解三角形”试题精选(自我测试) 1.(A 等于( ) (A )135° (B)90° (C)45° (D)30° 2.(2007重庆理)在ABC ?中,,75,45,300===C A AB 则BC =( ) A.33- B.2 C.2 D.33+ 3.(2006山东文、理)在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、 c ,A =3 π ,a =3,b =1,则c =( ) (A )1 (B )2 (C )3—1 (D )3 4.(2008福建文)在中,角A,B,C 的对应边分别为a,b,c,若222a c b +-=,则角B 的值为( ) A.6π B.3π C.6π或56π D.3 π 或23π 5.(2005春招上海)在△ABC 中,若 C c B b A a cos cos cos = =,则△ABC 是( ) (A )直角三角形. (B )等边三角形. (C )钝角三角形. (D )等腰直角三角形. 6.(2006全国Ⅰ卷文、理)ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若 a 、 b 、 c 成等比数列,且2c a =,则cos B =( ) A . 14 B .3 4 C .4 D .3 7.(2005北京春招文、理)在ABC ?中,已知C B A sin cos sin 2=,那么ABC ?一定是( ) A .直角三角形 B .等腰三角形 C .等腰直角三角形 D .正三角形 8.(2004全国Ⅳ卷文、理)△ABC 中,a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边.如果a 、b 、c 成等差数列,∠B=30°,△ABC 的面积为2 3 ,那么b =( ) A .2 31+ B .31+ C .2 32+ D .32+ 二.填空题: (每小题5分,计30分) 9.(2007重庆文)在△ABC 中,AB =1, B C =2, B =60°,则AC = 。 解三角形专题(高考题)练习【附答案】 1、在ABC ?中,已知内角3 A π = ,边BC =设内角B x =,面积为y . (1)求函数()y f x =的解析式和定义域; (2)求y 的最大值. 8、△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,且有sin2C+3cos (A+B )=0,.当 13,4==c a ,求△ABC 的面积。 2、已知ABC ?中,1||=AC ,0120=∠ABC , θ=∠BAC , 记→ → ?=BC AB f )(θ, (1)求)(θf 关于θ的表达式; (2)(2)求)(θf 的值域; 3、在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别是a ,b ,c ,且.2 1 222ac b c a =-+ (1)求B C A 2cos 2 sin 2 ++的值; (2)若b =2,求△ABC 面积的最大值. 4、在ABC ?中,已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,向量(2sin ,m B =, 2cos 2,2cos 12B n B ? ?=- ?? ?,且//m n 。 (I )求锐角B 的大小; (II )如果2b =,求ABC ?的面积ABC S ?的最大值。 5、在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且.cos cos 3cos B c B a C b -= (I )求cos B 的值; (II )若2=?,且22=b ,求c a 和b 的值. 6、在ABC ?中,cos 5A = ,cos 10 B =. (Ⅰ)求角 C ; (Ⅱ)设AB =,求ABC ?的面积. 7、在△ABC 中,A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ,已知向量(1,2sin )m A =u r ,(sin ,1cos ),//,.n A A m n b c =++=r u r r 满足 (I )求A 的大小;(II )求)sin(6π+B 的值. 8、△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,且有sin2C+3cos (A+B )=0,.当 A B C 120° θ 专题05 三角函数与解三角形大题部分 【训练目标】 1、掌握三角函数的定义,角的推广及三角函数的符号判断; 2、熟记同角三角函数的基本关系,诱导公式,两角和差公式,二倍角公式,降幂公式,辅助角公式,并能熟练的进行恒等变形; 3、掌握正弦函数和余弦函数的图像与性质,并能正确的迁移到正弦型函数和余弦型函数; 4、掌握三角函数的图像变换的规律,并能根据图像求函数解析式; 5、熟记正弦定理,余弦定理及三角形的面积公式; 6、能熟练,灵活的使用正弦定理与余弦定理来解三角形。 【温馨小提示】 此类问题在高考中属于必考题,难度中等,要想拿下,只能有一条路,多做多总结,熟能生巧。 【名校试题荟萃】 1、(浙江省诸暨中学2019届高三期中考试题文) 已知函数. (1).求 )(x f 的最小正周期和单调递增区间; (2).当时,求函数)(x f 的最小值和最大值 【答案】(1)π, (2) 【解析】 (1) ,π=T , 单调递增区间为; (2) ∴当时,,∴. 当时,,∴. 2、(河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试数学文)试卷)已知中,角所对的边分别是,且,其中是的面积,. (1)求的值; (2)若,求的值. 【答案】 (1);(2). (2),所以,得①, 由(1)得,所以. 在中,由正弦定理,得,即②, 联立①②,解得,,则,所以. 3、(湖北省武汉市部分市级示范高中2019届高三十月联考文科数学试题)已知函数f(x)=sin(ωx+)- b(ω>0,0<<π的图象的两相邻对称轴之间的距离,若将f(x)的图象先向右平移个单位,再向上平移个单位,所得图象对应的函数为奇函数. (1)求f(x)的解析式并写出单增区间; (2)当x∈,f(x)+m-2<0恒成立,求m取值范围. 【答案】 解三角形高考大题,带答案 1. (宁夏17)(本小题满分12分) 如图,ACD △是等边三角形,ABC △是等腰直角三角形,90ACB =∠,BD 交AC 于E , 2AB =. (Ⅰ)求cos CAE ∠的值; (Ⅱ)求AE . 解:(Ⅰ) 因为 9060150BCD =+=∠,CB AC CD ==, 所以15CBE =∠. 所以6cos cos(4530)4 CBE =-=∠.?6分 (Ⅱ)在ABE △中,2AB =, 由正弦定理 2 sin(4515)sin(9015) AE =-+. 故2sin 30 cos15 AE = 12 4 ? = =.?12分 2. (江苏17)(14分) 某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD 的顶点A 、B 及CD 的中点P 处,已知AB=20km ,BC =10km ,为了处理三家工厂的污水,现要在矩形ABCD 的区域上(含边界),且A 、B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂,并铺设排污管道AO 、BO 、OP,设排污管道的总长为y km 。 (1)按下列要求写出函数关系式: ①设∠B AO=θ(rad ),将y 表示成θ的函数关系式; ②设O P=x (k m),将y 表示成x的函数关系式; (2)请你选用(1)中的一个函数关系式,确定污水处理厂的位置,使三条排污管道总长度最短。 【解析】:本小题考查函数的概念、 解三角形、导数等基本知识,考查数学建模能力、 抽象概括能力和解决实际问题的能力。 (1)①由条件知P Q垂直平分A B,若∠BA O=θ(rad ),则 cos cos OA BAO θ = =∠, 故10 cos OB θ = 又1010OP tan θ=-,所以1010 1010cos cos y OA OB OP tan θθθ =++= ++- B A C D E B 解三角形卷一 一.选择题 1.在△ABC 中,sin A :sin B :sin C =3:2:4,则cos C 的值为 A .23 B .-23 C .14 D .-14 2、在ABC △中,已知4,6a b ==,60B =,则sin A 的值为 A B C D 3、在ABC △中,::1:2:3A B C =,则sin :sin :sin A B C = A 、1:2:3 B 、 C 、 D 、2 4、在ABC △中,sin :sin :sin 4:3:2A B C =,那么cos C 的值为 A 、14 B 、14- C 、78 D 、1116 5、在ABC △中,13,34,7===c b a ,则最小角为 A 、3π B 、6π C 、4 π D 、12π 6、在ABC △中,60,16,A b == 面积3220=S ,则c = A 、610 B 、75 C 、55 D 、49 7、在ABC △中,()()()a c a c b b c +-=+,则A = A 、30 B 、60 C 、120 D 、150 8、在ABC △中,根据下列条件解三角形,则其中有二个解的是 A 、10,45,70b A C === B 、60,48,60a c B === C 、7,5,80a b A === D 、14,16,45a b A === 二、填空题。 9.在△ABC 中,a ,b 分别是∠A 和∠B 所对的边,若a =3,b =1,∠B =30°,则∠A 的值是 . 10.在△ABC 中,已知sin B sin C =cos 22 A ,则此三角形是__________三角形. 11. 在△ABC 中,∠A 最大,∠C 最小,且∠A =2∠C ,a +c =2b ,求此三角形三边之比为 . 第一章 解三角形 一、选择题 1.己知三角形三边之比为5∶7∶8,则最大角与最小角的和为( ). A .90° B .120° C .135° D .150° 2.在△ABC 中,下列等式正确的是( ). A .a ∶b =∠A ∶∠B B .a ∶b =sin A ∶sin B C .a ∶b =sin B ∶sin A D .a sin A =b sin B 3.若三角形的三个内角之比为1∶2∶3,则它们所对的边长之比为( ). A .1∶2∶3 B .1∶3∶2 C .1∶4∶9 D .1∶2∶3 4.在△ABC 中,a =5,b =15,∠A =30°,则c 等于( ). A .25 B .5 C .25或5 D .10或5 5.已知△ABC 中,∠A =60°,a =6,b =4,那么满足条件的△ABC 的形状大小 ( ). A .有一种情形 B .有两种情形 C .不可求出 D .有三种以上情形 6.在△ABC 中,若a 2+b 2-c 2<0,则△ABC 是( ). A .锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D .形状不能确定 7.在△ABC 中,若b =3,c =3,∠B =30°,则a =( ). A .3 B .23 C .3或23 D .2 8.在△ABC 中,a ,b ,c 分别为∠A ,∠B ,∠C 的对边.如果a ,b ,c 成等差数列,∠B =30°,△ABC 的面积为 2 3 ,那么b =( ). A . 2 3 1+ B .1+3 C . 2 3 2+ D .2+3 9.某人朝正东方向走了x km 后,向左转150°,然后朝此方向走了3 km ,结果他离出发点恰好3km ,那么x 的值是( ). 解三角形 1.(2016·新课标全国Ⅰ,4)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知a =5,c =2,cos A =2 3 ,则b =( ) A. 2 B. 3 C.2 D.3 2.(2016·山东,8)△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,已知b =c ,a 2=2b 2(1-sin A ),则A =( ) A.3π4 B.π3 C.π4 D.π6 3.(2016·湖南四校联考)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若(a 2+b 2-c 2)tan C =ab ,则角C 为( ) A.π6或5π6 B.π3或2π3 C.π6 D.2π3 4.(2016·河南三市调研)△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若c 2=(a -b )2+6,C =π 3,则△ABC 的面积为( ) A.3 B. 932 C.33 2 D.3 3 5.(2016·济南一中检测)在△ABC 中,内角A ,B ,C 对边的边长分别为a ,b ,c ,A 为锐角, lg b +lg )(c 1=lg sin A =-lg 2,则△ABC 为( ) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 6.(2015·山东省实验中学三诊)在△ABC 中,若(a 2+b 2)·sin(A -B )=(a 2-b 2)sin C ,则△ABC 是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 7.(2015·湖南十二校联考)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c , 若tan A =7tan B ,a 2-b 2 c =3,则c =( ) A.4 B.3 C.7 D.6 8.(2018·陕西宝鸡一模)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若sin(A +B)=1 3 ,a =3,c =4,则sinA =( ) A.23 B.14 C.34 D.16 9.(2018·铜川一模)在△ABC 中,内角A ,B ,C 对应的边分别为a ,b ,c ,已知a =2,c =22,且C =π 4 ,则△ABC 的面积为( ) A.3+1 B.3-1 C .4 D .2 10.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若△ABC 的面积为S ,且2S =(a +b)2-c 2,则tan C 等于( ) A.34 B.43 C .-43 D .-3 4 11.(2016·新课标全国Ⅱ,15)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若cos A =4 5 ,cos 解三角形解答题 题型一 基础题型:求边求角+边角互化 1.在ABC ?中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知 cos cos sin sin 1A B A B C -=. (1)求角C 的大小;(2)若ABC ?的面积为c =,求+a b 的值. 2.在ABC △中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且cos 25 A =,6b c +=,2ABC S ?=. (1)求sin A 的值;(2)求a 的值. 11.在ABC ?中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且()2sin cos sin sin 22 A C B a b c C a A π+-+=-. (1)求角C 的大小; (2)若7c =,()13cos 14A C +=- ,求ABC ?的面积. 15.锐角ABC ?的内角A 、B ,C 的对边分别为a ,b , c ,2sin (cos cos )A a B b A +=. (1)求角C 的大小; (2)若c =,ABC ?的面积为ABC ?的周长. 题型二 三角形中的最值问题 3.已知ABC ?的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、 c .且cos 2sin cos 6B C A π??=-? ??? . (1)求角A ;(2)若ABC ?的面积为23,求ABC ?周长的最小值. 7.已知ABC △的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若向量(,)m a b c =+与(cos 3sin ,1)n C C =+-相互垂直. (Ⅰ)求角A 的大小;(Ⅱ)若3a = ,求ABC △周长的最大值. 12.在锐角三角形ABC 中,a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边,且2sin 2cos 3cos()A A B C -+sin 330A --=. (1)求A 的大小; (2)若2a =,求ABC ?的周长L 的取值范围. 题型三 平面几何中的应用 4.如图所示,ABC ?中,6BC =,60ABC ?∠=,在ABC ?内存在一点P ,满足2PA =,23PB =,PAB ?外接圆的半径为2. (1)求PBC ∠,APB ∠; (2)求PC 的长及APC ?的面积. 高考理科解三角形大题(40道) 1. 在ABC ?中,内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,已知 b a c B C A -=-2cos cos 2cos . (1)求A C sin sin 的值; (2)若2,4 1 cos ==b B ,求ABC ?的面积S . 2.在ABC ?中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,,已知2 sin 1cos sin C C C -=+. (1)求C sin 的值; (2)若8)(42 2-+=+b a b a ,求边c 的值. 3.在ABC ?中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,. (1)若A A cos 2)6sin(=+ π ,求A 的值; (2)若c b A 3,3 1 cos ==,求C sin 的值. 4.ABC ?中,D 为边BC 上的一点,5 3 cos ,135sin ,33=∠==ADC B BD ,求AD . 5.在ABC ?中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,,已知4 1cos ,2,1===C b a . (1)求ABC ?的周长; (2)求)cos(C A -的值. 6.在ABC ?中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,.已知)(sin sin sin R p B p C A ∈=+,且24 1b ac = . (1)当1 ,4 5 ==b p 时,求c a ,的值; (2)若角B 为锐角,求p 的取值范围. 7.在ABC ?中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,.且C b c B c b A a sin )2(sin )2(sin 2+++=. (1)求A 的值; (2)求C B sin sin +的最大值. 8.在ABC ?中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,,已知4 12cos -=C . (1)求C sin 的值; (2)当C A a sin sin 2,2==时,求c b ,的长. 第十二讲 解三角形 2019年 1.(2019全国Ⅰ理17)ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-. (1)求A ; (2 2b c +=,求sin C . 解:(1)由已知得,故由正弦定理得. 由余弦定理得. 因为,所以. (2)由(1)知, , 即,可得. 由于,所以,故 . 2.(2019全国Ⅱ理 15)ABC △的内角 ,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b a c B == =,则ABC △的面积为__________. 解析:由余弦定理有, 因为,,,所以, 所以, 222sin sin sin sin sin B C A B C +-=222b c a bc +-=2221cos 22 b c a A bc +-==0180A ??<<60A ?=120B C ?=-() sin 1202sin A C C ?+-=1sin 2sin 222 C C C ++=()cos 602C ?+=-0120C ??<<()sin 602 C ?+=()sin sin 6060C C ??=+-()()sin 60cos60cos 60sin 60C C ????=+-+4 =2222cos b a c ac B =+-6b =2a c =π3 B =222π36(2)4cos 3c c c =+-212c =21sin sin 2 ABC S ac B c B ===△ 3.(2019全国Ⅲ理18)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,已知sin sin 2A C a b A +=. (1)求B ; (2)若△ABC 为锐角三角形,且c =1,求△ABC 面积的取值范围. 解析(1)由题设及正弦定理得. 因为,所以. 由,可得,故. 因为,故,因此. (2)由题设及(1)知△ABC 的面积. 由正弦定理得. 由于为锐角三角形,故,,由(1)知,所以,故 . 因此,面积的取值范围是 . 4.(2019江苏12)如图,在ABC △中,D 是BC 的中点,E 在边 AB 上,BE =2EA , AD 与 CE 交于点O .若6AB AC AO EC ?= ?u u u r u u u r u u u r u u u r ,则AB AC 的值是 . 解析 设, sin sin sin sin 2 A C A B A +=sin 0A ≠sin sin 2 A C B +=180A B C ?++=sin cos 22A C B +=cos 2sin cos 222B B B =cos 02B ≠1sin 22 B =60B =?AB C S = △()sin 120sin 1sin sin 2 C c A a C C ?-===ABC △090A ?<090C ?<120A C +=?3090C ?<122a < 高考数学解三角形典型例题答案(一) 1 .设锐角ABC ?的内角A B C ,,的对边分别为a b c ,,,2sin a b A =. (Ⅰ)求B 的大小; (Ⅱ)求cos sin A C +的取值范围. 【解析】:(Ⅰ)由2sin a b A =,根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =,所以1sin 2 B =, 由AB C ?为锐角三角形得π6 B =. (Ⅱ)cos sin cos sin A C A A π? ?+=+π- - ?6?? cos sin 6A A π??=++ ??? 1cos cos 2A A A =++ 3A π??=+ ?? ?. 2 .在ABC ?中,角A . B .C 的对边分别为a 、b 、c,且满足(2a-c)cosB=bcos C . (Ⅰ)求角B 的大小; (Ⅱ)设()()()2411m sin A,cos A ,n k,k ,==>且m n ?的最大值是5,求k 的值. 【解析】:(I)∵(2a -c )cos B =b cos C , ∴(2sin A -sin C )cos B =sin B cos C . 即2sin A cos B =sin B cos C +sin C cos B =sin(B +C ) ∵A +B +C =π,∴2sin A cos B =sinA . ∵01,∴t =1时,m n ?取最大值. 第五节 解三角形 高考试题 考点一 正弦定理与余弦定理 1.(2013年湖南卷,理3)在锐角△ABC 中,角A,B 所对的边长分别为a,b.若b,则角A 等于( ) (A) π12 (B) π6 (C)π4 (D)π3 解析:根据正弦定理sin B, 所以 又△ABC 为锐角三角形, 所以A= π 3 .故选D. 答案:D 2.(2012年天津卷,理6)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c.已知8b=5c,C=2B,则cos C 等于( ) (A) 725 (B)- 725 (C)±725 (D)2425 解析:由正弦定理得sin sin C B =c b =8 5 , 则5sin C=8sin 2 C , 所以sin 2C (10cos 2 C -8)=0. 在△ABC 中,只能有10cos 2 C -8=0, 即cos 2C =45 , 所以cos C=2cos 2 2C -1=725 .故选A. 答案:A 3.(2012年陕西卷,理9)在△ABC 中,角A,B,C 所对边的长分别为a,b,c,若a 2 +b 2 =2c 2 ,则cos C 的最小值为( ) (C)12 (D)- 1 2 解析:由余弦定理得cos C=2222a b c ab +-=22c ab ≥222 c a b +=1 2, 当且仅当a=b,即△ABC 为等腰三角形时取到等号.故选C. 答案:C 4.(2011年辽宁卷,理4)△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,asin Asin B+bcos 2 则 b a 等于( ) 解析:由正弦定理得,sin 2Asin B+sin Bcos 2 即sin B(sin 2A+cos 2 故 高考一轮复习解三角形 高考真题 内部编号:(YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128) 解三角形 1.(2016·新课标全国Ⅰ,4)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知a =5,c =2,cos A =2 3 ,则b =( ) A. 2 B. 3 C.2 D.3 2.(2016·山东,8)△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,已知b =c ,a 2=2b 2(1-sin A ),则A =( ) A.3π4 B.π3 C.π4 D.π6 3.(2016·湖南四校联考)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若(a 2+b 2- c 2)tan C =ab ,则角C 为( ) A.π6或5π6 B.π3或2π3 C.π6 D.2π3 4.(2016·河南三市调研)△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若c 2 =(a -b )2 +6,C =π 3 ,则△ABC 的面积为( ) A.3 B.932 C.33 2 D.33 5.(2016·济南一中检测)在△ABC 中,内角A ,B ,C 对边的边长分别为a ,b , c ,A 为锐角, lg b +lg )(c 1 =lg sin A =-lg 2,则△ABC 为( ) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 6.(2015·山东省实验中学三诊)在△ABC 中,若(a 2+b 2)·sin(A -B )=(a 2- b 2)sin C ,则△ABC 是( )解三角形高考大题-带答案
2020年高考数学三角函数与解三角形大题精做
高考解三角形大题(30道)69052
解三角形高考真题(一)
高考数学三角函数与解三角形练习题
解三角形高考题大全
高考文科数学真题大全解三角形高考题学生版
解三角形(历届高考题)
解三角形专题练习【附答案】
三角函数与解三角形大题部分-高考数学解题方法训练
解三角形高考大题-带答案
高中数学解三角形练习题
解三角形练习题及答案
高考一轮复习解三角形最新高考真题
高考数学 解三角形大题
高考理科解三角形大题40道
三年高考(2017-2019)理科数学高考真题分类汇总:解三角形
高考数学解三角形典型例题答案一
高考数学试题汇编解三角形
高考一轮复习解三角形高考真题