2导数的概念经典例题(可编辑修改word版)
高中 导数的概念、运算及应用知识点+例题+练习 含答案
教学过程【例3】(2013·新课标全国Ⅰ卷改编)设函数f(x)＝e x(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.求a，b的值．规律方法已知曲线在某点处的切线方程求参数，是利用导数的几何意义求曲线的切线方程的逆用，解题的关键是这个点不仅在曲线上也在切线上.【训练3】(2013·福建卷改编)设函数f(x)＝x－1＋ae x(a∈R，e为自然对数的底数)．曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值．1．在对导数的概念进行理解时，特别要注意f′(x0)与(f(x0))′是不一样的，f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值，不一定为0；而(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0))′＝0.2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．第2讲导数的应用(一)教学效果分析【例3】(2012·重庆卷)已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在点x＝2处取得极值c－16.(1)求a，b的值；(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3,3]上的最小值．规律方法在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在[a，b]内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得.【训练3】设函数f(x)＝x＋ax2＋b ln x，曲线y＝f(x)过P(1,0)，且在P点处的切线斜率为2.(1)求a，b的值；(2)令g(x)＝f(x)－2x＋2，求g(x)在定义域上的最值．1．求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全，区分极值点与导数为0的点；含参数时，要讨论参数的大小．2．求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论．一个函数在其定义域内最值是唯一的，可以在区间的端点取得．。
导数有关知识点总结、经典例题及解析、近年高考题带答案
导数及其应用【考纲说明】1、了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。
2、熟记八个基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。
3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。
【知识梳理】一、导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值x y∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00。
如果当0→∆x 时，x y∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。
即f （x 0）=0lim →∆x x y∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00。
说明：（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，x y ∆∆有极限。
如果x y∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。
（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。
由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： （1）求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）；（2）求平均变化率x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00；（3）取极限，得导数f’(x 0)=x yx ∆∆→∆0lim。
二、导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。
高中数学导数知识点归纳的总结及例题(word文档物超所值)
为函数
_____ _ 的图象的顶点在第四象限，则其导
o
y
x
-33
)
(x
f
y'
=
()y f x ='()f x 为( )
（安微省合肥市2010年高三第二次教学质量检测文科）函数()y f x =的图像如下右)
(x f y '=
（2010年浙江省宁波市高三“十校”联考文科）如右图所示是某
一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图象是（ ）
象大致形状是（ ）
2009湖南卷文）若函数()y f x =的导函数在区间[,]a b 上是增函数，则函数
()x 在区间[,]a b 上的图象可能是
y
y
y
14.（2008年福建卷12)已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),
y=g(x)的图象可能是（ ）
15.(2008珠海一模文、理)设是函数的导函数，将和的图)('x f )(x f )(x f y =)('x f y =像画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．16.(湖南省株洲市2008届高三第二次质检)已知函数
)(x f y =的导函数)(x f y '=的图像如下，则（
）
函数)(x f 有1个极大值点，1个极小值点
y。
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导数及其应用【考纲说明】1、了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等)；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。
2、熟记八个基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。
3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。
【知识梳理】一、导数的概念函数y=f(x),如果自变量X在X0处有增量X ,那么函数y相应地有增量y=f( X0+ X)- f (X0),比值X叫做函y f (x o x) f(x o) y数y=f (x)在x o到x o+ x之间的平均变化率，即x= x 。
如果当X 0时，x有极限，我们就说函数y=f(x)在点x o处可导，并把这个极限叫做 f (x)在点x o处的导数，记作f' (x o)或y' x|勺。
r. y .. f (X o X) f (X o) lim — lim即 f (x o) = x o X= x o X 。
说明：yy(1)函数f (x )在点X 0处可导，是指 x 0时， x 有极限。
如果 x 不存在极限，就说函数在点 X 0处不可导,或说无导数。
(2)X 是自变量x 在X 0处的改变量，X 0时，而 y 是函数值的改变量，可以是零。
由导数的定义可知，求函数 y=f (x )在点x o 处的导数的步骤： (1) 求函数的增量 y =f ( x o + X ) — f (x o )；y f(X o X ) f(X o )(2)求平均变化率 x =X ;lim —(3) 取极限，得导数f '(x= x o x 。
二、 导数的几何意义函数y=f (x )在点x o 处的导数的几何意义是曲线 y=f (x )在点p (x o , f (x o ))处的切线的斜率。
导数典型例题讲解(精编文档).doc
【最新整理，下载后即可编辑】资料一 ：导数.知识点 1．导数的概念例1．已知曲线y =3x 上的一点P (0, 0)，求过点P 的切线方程·解析：如图，按切线的定义，当x →0时，割线PQ 的极限位置是y 轴（此时斜率不存在），因此过P 点的切线方程是x =0.例2．求曲线y ＝x 2在点(2，4)处的切线方程·解析：∵ y =x 2, ∴ ∆y =(x 0＋∆x )2－x 02＝2x 0∆x ＋(∆x )2 =4∆x ＋(∆x )2∴ k ＝00lim lim(4)4x x yx x∆→∆→∆=+∆=∆. ∴ 曲线y ＝x 2在点(2，4)处切线方程为y －4＝4(x －2)即4x －y －4＝0.例3．物体的运动方程是 S ＝1＋t ＋t 2，其中 S 的单位是米，t 的单位是秒，求物体在t ＝5秒时的瞬时速度及物体在一段时间[5，5＋∆t ]内相应的平均速度．解析：∵ S =1+t +t 2, ∴ ∆S =1+(t +∆t )+(t +∆t )2－(1+t +t 2)=2t ·∆t +∆t +(∆t )2,∴21St t t∆=++∆∆, 即()21v t t t =++∆, ∴ (5)11v t =∆+,即在[5，5＋∆t ]的一段时间内平均速度为(∆t ＋11)米／秒∴ v (t )=S ’＝0limlim(21)21t t St t t t ∆→∆→∆=++∆=+∆ 即v (5)＝2×5＋1＝11.∴ 物体在t ＝5秒时的瞬时速度是11米／秒． 例4．利用导数的定义求函数y =x在x =1处的导数。
解析：∆y =11111xx x-+∆-=+∆+∆, ∴ y x ∆∆=1(11)x x +∆++∆,∴0lim x yx ∆→∆∆=01lim 21(11)x x x ∆→=-+∆++∆.例5．已知函数f (x )=21sin00x x x x ⎧≠⎪⎨⎪=⎩, 求函数f (x )在点x ＝0处的导数解析：由已知f (x )=0，即f (x )在x =0处有定义，∆y =f (0+∆x )－f (0)=21()sinx x ∆∆, y x ∆∆=1sin x x ∆⋅∆, 0limx yx ∆→∆∆=01lim sin x x x∆→∆⋅∆=0, 即 f ’(0)＝0.∴ 函数f (x )在x ＝0处导数为0.例6．已知函数f (x )=21(1)121(1)12x x x x ⎧+⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩≤, 判断f (x )在x ＝1处是否可导？解析：f (1)=1, 20001[(1)1]112lim lim lim (1)12x x x x y x x x ---∆→∆→∆→+∆+-∆==+∆=∆∆,001(11)112lim lim 2x x x y x x ++∆→∆→+∆+-∆==∆∆, ∵00lim lim x x y y x x -+∆→∆→∆∆≠∆∆, ∴ 函数y =f (x )在x ＝1处不可导．例7．已知函数 y ＝2x 3＋3，求 y ’.解析：∵ y =2x 3+3, ∴ ∆y =2(x +∆x )3+3－(2x 3+3)=6x 2·∆x +6x ·(∆x )2+2(∆x )3,∴y x∆∆=6x 2+6x ·∆x +2(∆x )2, ∴ y ’=0limx y x∆→∆∆=6x 2. 例8．已知曲线y ＝2x 3＋3上一点P ，P 点横坐标为x ＝1，求点P 处的切线方程和法线方程．解析：∵ x =1, ∴ y =5, P 点的坐标为(1, 5), 利用例7的结论知函数的导数为y ’=6x 2,∴ y ’1|x =＝6, ∴ 曲线在P 点处的切线方程为y －5＝6(x －1)即6x －y －1＝0, 又曲线在P 点处法线的斜率为－61， ∴ 曲线在P 点处法线方程为y －5＝－61( x －1)，即 6y ＋x －31＝0.例9．抛物线y ＝x 2在哪一点处切线平行于直线y ＝4x －5？解析：∵y ’=0limx yx ∆→∆∆=220()lim 2x x x x x x∆→+∆-=∆, 令2x ＝4．∴ x =2, y ＝4, 即在点P (2，4)处切线平行于直线y ＝4x －5.例10．设mt ≠0，f (x )在x 0处可导，求下列极限值 (1)000()()limx f x m x f x x∆→-∆-∆；(2) 000()()limx xf x f x t x∆→∆+-∆. 解析：要将所求极限值转化为导数f ’(x 0)定义中的极限形式。
导数的概念及运算--附答案
3.1导数的概念及运算(学案） 姓名【一.导数的意义】1.函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率 0000()()limlimx x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆ 称为函数()y f x =在0x x =处的导数.其几何意义为：【二.导数的运算公式】①()c '= ；②()nx '= ；③(sin )x '= ；④(cos )x '= ；⑤()xa '= ；⑥()x e '= ;⑦(log )a x '= ；⑧(ln )x '= ；⑨1()x'=；⑩'= ； 【三.导数的运算法则】①.和差的导数：[()()]f x g x '±= ；②.[()]C f x '⋅= ；其中C 为常数。
③.积的导数：[()()]f x g x '= ；④.商的导数：()()f x g x '⎛⎫ ⎪⎝⎭=(()0)g x ≠。
【四.复合函数的导数】设函数()u g x =在点x 处有导数x u '，函数()y f u =在点x 的对应点u 处有导数u y '，则复合函数(())y f g x =在点x 处也有导数，且x y '＝__ ______， 【五.求导】1.求导：①)5'⋅xa x （=5x 4·a x ＋x 5·a x ln a；② sin(2)3x π'⎛⎫+ ⎪⎝⎭=③2ln 1x x '⎛⎫ ⎪+⎝⎭=2．已知 f (x )＝x 2＋3x (2)f '，则(2)f '＝__-2___.3.求函数y ＝(x －1)(x －2)·…·(x －100) (x >100)的导数.解析：两边取对数得ln y ＝ln(x －1)＋ln(x －2)＋…＋ln(x －100)．两边对x 求导：y ′y ＝1x －1＋1x －2＋…＋1x －100.∴y ′＝⎝⎛⎭⎫1x －1＋1x －2＋…＋1x －100·(x －1)(x －2)·…·(x －100)．【六.导数的几何意义】4.已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点(2,4)的切线方程．解 (1)∵y ＝13x 3＋43，∴y ′＝x 2，∴曲线在点(2,4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4 由y －4＝4(x －2)，得4x －y －4＝0.∴曲线在点(2,4)处的切线方程为 4x －y －4＝0(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43 则切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝x 20. ∴切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20x －23x 30＋43∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0， ∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0， ∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝05.在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是函数f (x )＝e x (x >0)的图象上的动点，该图象在点P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是___max 11()2t e e=+_____． 解析：设00(,),xP x e 则00000:(),(0,(1))x x x l y ee x x M x e -=-∴-，过点P 作l 的垂线000000(),(0,)x x x x y e e x x N e x e ---=--+，00000000011[(1)]()22x x x x x x t x e e x e e x e e --=-++=+-00'01()(1)2x x t e e x -=+-，所以，t 在(0,1)上单调增，在(1,)+∞单调减，max 11()2t e e=+。
二阶导数Word版
二阶导数的几何意义及运用二阶导数就是对一阶导数再求导一次， 意义如下：（1）斜线斜率变化的速度，表示的是一阶导数的变化率（2）函数的凹凸性“0)(''≥x f 为凹函数；0)(''≤x f 为凸函数。
（3）判断极大值极小值（二阶导数小于0为极大值，二阶导数大于0为极小值）。
例、试问a 为何值时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处取得极值？它是极大值还是极小值？求此极值．例、已知函数x a x x x f ln 2)(2++=，证明f(x)的导函数)('x f 对于任意两个不想等的正数21,x x ，当0≤a 时，有)2(2)()(2121x x f x f x f ++ 。
二阶导数的运用例1、已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+.（Ⅰ）若2'()1xf x x ax ≤++，求a 的取值范围； （Ⅱ）证明：(1)()0x f x -≥例2、设函数()21x f x e x ax =---。
（Ⅰ）若0a =，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若当0x ≥时，()0f x ≥。
求a 的取值范围。
练习：1、设a 为实数，函数()22,xf x e x a x R =-+∈。
（Ⅰ）求()f x 的单调区间与极值；（Ⅱ）求证：当a ＞ln 21-且x ＞0时，x e ＞221x ax -+。
模块总结：1、若z k ∈，且1ln -+x x x x k对1 x 恒成立，求k 的最大值。
2、函数)0(),21()( x x e x g x +-=，试确定函数)(x g 的单调性。
3、试探究函数3ln )(x x x x f -=在()+∞,1上的单调性。
4、已知函数xx e x f 1ln )(+=，求函数)(x f 的单调区间。
5、判断函数xe x x xf ln )(=的单调性。
6、求函数)1ln()(+-=x e x f x 的单调区间。
《导数的概念及其几何意义》典型例题
《导数的概念及其几何意义》典型例题深研1 导数的几何意义1.可导函数在0x x =处切线的斜率为此处函数的导数值.2.根据导数值的变化可确定原函数图象的变化情况. 考向1 由切线确定导数值例1（★）如图,函数()y f x =的图象在点P 处的切线方程是29y x =-+,点P 的横坐标是4,则(4)(4)f f +'=_______________.解析 ∵函数()f x 的图象在点P 处的切线为29y x =-+, ∴2(4)k f '=-=切.又 ∵点P 在切线29y x =-+上,∴(4)1f =,∴(4)(4) 1.f f +'=-① 答案 1-考向2 由切线特点确定函数图象②例2（★）已知函数()y f x =的图象如图所示,则其导函数()y f x '=的图象可能是___________.（填序号）解析 由()y f x =的图象及导数的几何意义可知,当x ＜0时,()f x '＞0；当x ＝0时,()f x '＝0；当x ＞0时,()f x '＜0,故②符合. 答案 ② 方法技巧①1.由切线方程可确定函数()y f x =在0x 处的导数值,即()0f x k '=切. 2.切点为切线与曲线的公共点. 即时训练1.（1）（★★）已知函数()f x 在R 上可导,其部分图象如图所示,设(2)(1)21f f a -=-,则下列不等式正确的是（ ）A.(1)(2)f f a '<'<B.(1)(2)f a f '<<'C.(2)(1)f f a '<'<D.(1)(2)a f f <'<'解析 由题中图象可知,在区间(0,)+∞上,函数()f x 增长得越来越快,∴(1)f '(2)f <',∵(2)(1)21f f a -=-,∴通过作切线与割线可知(1)(2)f a f '<<',故选B.答案 B 方法技巧②导数的符号、曲线的升降、切线的斜率、切线的倾斜角之间的关系即时训练2.（★）()()()y f x y g x y h x ===，，的图象如图1所示：而图2是其对应导数的图象：则()y f x =的导数图象对应___________；()y g x =的导数图象对应___________；()y h x =的导数图象对应___________.解析 由导数的几何意义,知()f x 图象上任一点处的切线斜率均小于零且保持不变,故()y f x =的导数图象对应B ；()y g x =图象上任一点处的切线斜率均小于零,且在起始部分斜率值趋近负无穷,故()y g x =的导数图象对应C ；()y h x =图象上任一点处的切线斜率都大于零,且先小后大,故()y h x =的导数图象对应A. 答案 B ；C ；A深研2 求曲线的切线方程由于可导函数()f x 在0x x =处切线的斜率为0()f x ',从而可用点斜式确定切线方程.考向1 求过曲线上一点的切线方程 例3（★★）求曲线213y x x=+-在2x =处的切线方程. 解析 设()y f x =,则21()3f x x x=+-.2222(2)(2)11(2)32322114()224().2(2)14.2(2)y f x f x x x x x xx x x yx x x ∆=+∆-⎛⎫=+∆+--+- ⎪+∆⎝⎭=∆+∆+-+∆∆=∆+∆+∆∆∴=+∆-∆+∆-∵当x ∆无限趋近于0时,y x ∆∆无限趋近于115444-=, ∴曲线()y f x =在2x =处的切线斜率为154. 又2x =时,32y =,∴切点坐标为32,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. ∴曲线在2x =处的切线方程为315(2)24y x -=-, 即154240x y --=.考向2 求过曲线外一点的切线方程例4（★★）求曲线2y x =过点（3,5）的切线方程.思路分析 先判断点（3,5）是否在曲线上,不在曲线上则需设切点坐标为（0x ,20x ）,再利用（3,5）与（0x ,20x ）连线的斜率等于0()f x '建立方程求0x ,从而确定切线斜率.解析 因为点（3,5）不在曲线上,所以设切点坐标为（0x ,20x ）, 又()()()220000lim lim 22x x x x x f x x x x x∆→∆→+∆-'==+∆=∆,故切线斜率为02x ,则切线方程为()20002y x x x x -=-, 因为点（3,5）在切线上,所以()2000523x x x -=-,解得01x =或05x =,则切点坐标为(1,1)或(5,25),故切线方程为12(1)y x -=-或2510(5)y x -=-, 即210x y --=或10250x y --=. 主编点评求过某点的曲线的切线方程④时,需先设切点（0x ,0y ）,再对()y f x =求导得出切线斜率()0f x ',从而得到含参的切线方程0y y -=()()00f x x x '-,最后代入已知点,从而求出切点坐标以及切线方程.即使已知点在曲线上,也不能按在某点处的切线方程求解,否则易漏解.⑤ 方法技巧③求曲线()y f x =在点()00,P x y 处的切线方程,其切线只有一条,点()00,P x y 在曲线()y f x =上,且是切点.切线方程为()()000y y f x x x -='-.如图1,在点()00,P x y 处的切线为1l ,如图2,在点()00,P x y 处的切线为(22l l 与曲线()y f x =有两个公共点不影响结果).即时训练3.（★★）已知3()21f x x x =-+,求曲线()y f x =在点(1,0)处的切线方程.解析 因为330()2()121()lim x x x x x x x f x x ∆→∆+-∆++-+-'=∆3220()3()32lim x x x x x x xx∆→∆+⋅∆+⋅∆-∆=∆ 220lim ()332x x x x x ∆→⎡⎤=∆+⋅∆+-⎣⎦ 232x =-,所以(1)321f '=-=, 所以切线的方程为1y x =-, 即10x y --=. 知识补充④求曲线()y f x =过点()00,P x y 的切线方程的步骤 第一步：设出切点坐标()()11,P x f x '；第二步：写出过()()11,P x f x '的切线方程()()()111y f x f x x x -='⋅-； 第三步：将点P 的坐标()00,x y 代入切线方程,求出1x ；第四步：将1x 的值代入方程()()11y f x f x -='()1x x ⋅-,由此即可得过点()00,P x y 的切线方程. 误区警示⑤此处点()00,P x y 可以在曲线()y f x =上,也可以不在曲线()y f x =上.如图1,过点()00,P x y (不在曲线()y f x =上)的切线12l l ，,如图2,过点(0P x ,0y )(在曲线()y f x =上)的切线34l l ，.即时训练4.（★★）求过点（-1,-2）且与曲线32y x x =-相切的直线方程.解析 33002()()2limlim x x y x x x x x x y x x∆→∆→∆+∆-+∆-+'==∆∆2220lim 233()23x x x x x x ∆→⎡⎤=--∆-∆=-⎣⎦. 设切点坐标为()3000,2x x x -,则切线方程为()320000223()y x x x x x -+=--.∵切线过点(1,2)--,∴()()32000022231x x x x --+=---,即320230x x +=,解得00x =或032x =-, ∴切点坐标为(0,0)或33,28⎛⎫- ⎪⎝⎭,当切点坐标为(0,0)时,切线斜率2k =,切线方程为20x y -=；当切点坐标为33,28⎛⎫- ⎪⎝⎭时,切线斜率23192324k ⎛⎫=-⨯-=- ⎪⎝⎭,切线方程为192(1)4y x +=-+,即194270x y ++=. 综上可知,过点(1,2)--且与曲线32y x x =-相切的直线方程为20x y -=或19x +4270y +=.考点3 导数几何意义的综合应用求解导数几何意义的综合应用问题的关键是对函数进行求导,利用题目所提供的直线的位置关系、斜率的范围等条件求解相关问题,此处常与函数、方程、不等式等知识相结合. 考向1 求切点坐标⑥例5（★★）在曲线2y x =上取一点,使得在该点处的切线； （1）平行于直线45y x =-； （2）垂直于直线2650x y -+=； （3）倾斜角为135︒.分别求出满足上述条件的点的坐标.思路分析 先求函数的导函数()f x ',再设切点()00,P x y ,由导数的几何意义知切点()00,P x y 处的切线的斜率为()0f x ',最后根据题意列方程,解关于0x 的方程即可求出0x ,又点()00,P x y 在曲线2y x =上,易得0y .解析 设()y f x =,则2200()()()()lim lim x x f x x f x x x x f x x x∆→∆→+∆-+∆-'==∆∆lim(2)2x x x x ∆→=+∆=.设()00,P x y 是满足条件的点.（1）因为点P 处的切线与直线45y x =-平行,所以024x =,解得0x 2=,所以04y =,即(2,4)P .（2）因为点P 处的切线与直线2650x y -+=垂直,且直线265x y -+0=的斜率为13, 所以01213x ⋅=-,解得032x =-,所以094y =,即39,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭. （3）因为点P 处的切线的倾斜角为135︒,所以切线的斜率为tan1351︒=-,即021x =-,解得012x =-,所以014y =,即11,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.⑦知识补充⑥根据切线斜率求切点坐标的步骤 （1）设切点坐标为()00,x y ； （2）求导函数()f x '； （3）求切线的斜率()0f x '；（4）由斜率间的关系列出关于0x 的方程,解方程求0x ；（5）由点()00,x y 在曲线()f x 上,将()00,x y 代入解析式求0y ,即得切点坐标. 知识补充⑦求解本题注意方程思想的应用.切点坐标()00,x y 有两个变量,因此需建立两个方程求解. 即时训练5.（★）已知曲线3y x =在点P 处的切线斜率为3,求点P 的坐标.解析 设点P 的坐标为()300,x x ,∵()()000limx f x x f x x∆→+∆-∆22300033()()lim x x x x x x x ∆→∆+∆+∆=∆ 22000lim 33()x x x x x ∆→⎡⎤=+∆+∆⎣⎦ 203x =,2033x =,解得01x =±,∴点P 的坐标是(1,1)或(1,1)--. 考向2 切线围成的三角形的面积问题例6（★★）已知直线1l 为曲线22y x x =+-在点(1,0)处的切线,2l 为该曲线的另一条切线,且12l l ⊥. （1）求直线2l 的方程；（2）求由直线1l 、2l 和x 轴所围成的三角形的面积.解析（1）因为()2200()()22lim lim x x x x x x x x y y x x∆→∆→+∆++∆--+-∆'==∆∆21x =+,所以12113x y ='=⨯+=,所以直线1l 的方程为3(1)y x =-,即330x y --=. 设直线2l 与曲线22y x x =+-切于点()2,2B b b b +-,则2l 的方程为2(21)2y b x b =+--.因为12l l ⊥,所以1213b +=-,所以23b =-,所以直线2l 的方程为12239y x =--,即39220x y ++=.（2）由（1）知,联立330,39220,x y x y --=⎧⎨++=⎩解得1,65.2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以直线1l 和2l 的交点坐标为15,62⎛⎫- ⎪⎝⎭.又易知1l 、2l 与x 轴的交点的坐标分别为22(1,0),03⎛⎫- ⎪⎝⎭、,所以所求三角形的面积125512523212S =⨯⨯-=.主编点评本题求解时应抓住两切线斜率的关系及切线斜率与导数的关系,构建方程组求解. 方法技巧求切线围成的三角形的面积时,关键是准确求得切线方程,然后分析围成的三角形的特点,进而求其面积.6.（★★）求曲线1(0)y x x x =->上一点()00,P x y 处的切线分别与x 轴、y 轴交于点,A B O 、是坐标原点,若△OAB 的面积为13,则0x =_____________.解析 ∵1(0)y x x x=->， ∴011lim x x x x x x x y x∆→⎡⎤⎛⎫+∆--- ⎪⎢⎥+∆⎝⎭⎣⎦'=∆011()lim x x x x x x x x∆→⎡⎤⎛⎫+∆-+- ⎪⎢⎥+∆⎝⎭⎣⎦=∆ 0()lim x x x x x x x∆→∆∆++∆=∆ 01lim 1()x x x x ∆→⎡⎤=+⎢⎥+∆⎣⎦ 211x=+, ∴切线的斜率为2011x +,则切线的方程为()00200111y x x x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭, 令0x =得02y x =-,令0y =得02021x x x =+,∴△OAB 的面积020********x S x x =⨯⨯=+,解得0x =(负根舍去).答案考向3 根据切线求参数值例7（★★）设函数32()91(0)f x x ax x a =+--<,若曲线()y f x =的斜率最小的切线与直线126x y +=平行,求a 的值.思路分析 先利用定义求导,结合二次函数求最值,最后结合切线斜率求a . 解析 ∵32()()()()9()1y f x x f x x x a x x x x ∆=+∆-=+∆++∆-+∆--()()3222391329(3)()()xax x x ax x x a x x +--=+-∆++∆+∆, ∴22329(3)()y x ax x a x x x∆=+-++∆+∆∆, ∴22220()lim 329399333x y a a a f x x ax x x ∆→∆⎛⎫'==+-=+---- ⎪∆⎝⎭. 由题意知()f x '的最小值是12-,∴29123a --=-,即29a =,∵0a <,∴3a =-.⑨ 主编点评本题得到()f x '的表达式是关于x 的二次函数,从而可利用二次函数求最值. 方法技巧⑨当题中涉及切线方程、切线的斜率(或倾斜角)、切点坐标等问题时,可利用导数的定义与几何意义迅速获解.遇到“切线的斜率最小、最大”问题时,通常只需求出导函数,再求其最值即可解决.即时训练⑦（★★）已知函数3()1f x x ax =++的图象在点(1,(1))f 处的切线过点(1,1)-,求a 的值.解析 函数3()1f x x ax =++的导函数为3320()()11()lim 3x x x a x x x ax f x x a x∆→⎡⎤+∆++∆+---⎣⎦'==+∆, ∴(1)3f a '=+,而(1)2f a =+,∴切线方程为2(3)(1)y a a x --=+-,∵切线方程过点(1,1)-,∴12(3)(11)a a --=+--,解得5a =-.。
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经典例题透析类型一：求函数的平均变化率例 1、求 y = 2x 2 +1 在 x 到 x + ∆x 之间的平均变化率，并求 x = 1， ∆x = 1时平均变化率的值.2∆y 思路点拨: 求函数的平均变化率，要紧扣定义式 ∆x=f (x 0 + ∆x ) - f (x 0) 进行操作. ∆x 解析：当变量从 x 0 变到 x 0 + ∆x 时，函数的平均变化率为f (x + ∆x ) - f (x ) [2(x + ∆x )2 +1] -[2x 2 +1]0 0 = 0 0= 4x + 2∆x∆x ∆x 01 1当 x 0 = 1， ∆x = 2 时，平均变化率的值为： 4 ⨯1+ 2 ⨯ 2= 5 .总结升华：解答本题的关键是熟练掌握平均变化率的概念，只要求出平均变化率的表达式，其他就迎刃而解.举一反三：【变式 1】求函数 y=5x 2+6 在区间[2，2+ ∆x ]内的平均变化率。
【答案】 ∆y = 5(2 + ∆x )2 + 6 - (5⨯ 22 + 6) = 20∆x + 5∆x 2 ，∆y所以平均变化率为∆x= 20 + 5∆x 。
【变式 2】已知函数 f (x ) = x 2 ，分别计算 f (x ) 在下列区间上的平均变化率：（1）[1，3]； （2）[1，2]； （3）[1，1.1]； （4）[1，1.001].【答案】（1）4；（2）3；（3）2.1；（4）2.001.【变式 3】自由落体运动的运动方程为 s = 1gt 2 ，计算 t 从 3s 到 3.1s ，3.01s ，3.001s 各段内的平均速度（位2移 s 的单位为 m ）。
∆s 【答案】要求平均速度，就是求∆t的值，为此需求出∆s 、 ∆t 。
设在[3，3.1]内的平均速度为 v 1，则∆t 1 = 3.1- 3 = 0.1(s) ，∆s 1= s (3.1) - s (3) = 1 g ⨯ 3.12- 1 g ⨯ 32 = 0.305g (m) 。
2 2所以v = ∆s 1 = 0.305g= 3.05g (m / s) 。
∆t 10.1同理v =∆s 2 = 0.03005g = 3.005g (m / s) 。
2∆t 0.01 121- 1+ ∆x 1+ ∆x (1+ 1+ ∆x ) 1+ ∆x (1+ 1+ ∆x ) 1+ ∆x1v = ∆s 3 = 0.0030005g = 3.0005g (m / s) 。
3∆t 0.001【变式 4】过曲线 y = f (x ) = x 3 上两点 P (1,1) 和Q (1+ ∆x ,1+ ∆y ) 作曲线的割线，求出当∆x = 0.1 时割线的斜率.【答案】3.31 当∆x = 0.1 时(1+ ∆y ) -1∆y f (1+ ∆x ) - f (1) (1+ ∆x )3 -1 1.13 -1 k PQ = (1+ ∆x ) -1 = ∆x = ∆x = ∆x = 0.1= 3.31类型二：利用定义求导数例 2、用导数的定义，求函数 y =f (x ) =1 在 x=1 处的导数。
解析：∵ ∆y = f (1+ ∆x ) - f (1) = 1-1 1+ ∆x= =1-1- ∆x=-∆x∆y∴∆x = -(1+1 1+ ∆x ) 1+ ∆x∴ f '(1) = lim ∆y = - 1。
∆x →0 ∆x 2总结升华：利用导数的定义求导数的步骤：∆y 第一步求函数的增量∆y ；第二步求平均变化率 ∆x；第三步取极限得导数。
举一反三：【变式 1】已知函数 y = - x（1） 求函数在 x=4 处的导数.17（2） 求曲线 y = - xx 上一点 P (4, - ) 处的切线方程。
4 【答案】（1） f '(4) = lim1 f (4 + ∆x ) - f (4) = lim 4 + ∆x- ( 1- 2) 4 ∆x →0 ∆x ∆x →0 ∆xxx4 + ∆x 37 5 ⎛ 1 - 1 ⎫ - (2) -∆x - ∆x 4 + ∆x 4 ⎪ 4(4 + ∆x ) + 2= lim ⎝⎭ =∆x →0= lim ⎛ ∆x -1 1∆x →0 ∆x⎫ = - 5， ∆x →0 4(4 + ∆x ) 16 ⎝ 7（2）由导数的几何意义知，曲线在点 P (4, - 5) 处的切线斜率为 f '(4) ，4∴所求切线的斜率为- 。
16∴所求切线方程为 y + = - 4 16(x - 4) ，整理得 5x+16y+8=0。
【变式 2】利用导数的定义求下列函数的导数： （1） f (x ) = c ；（2） f (x ) = x ；（3） f (x ) = x 2 ； 1 （4） f (x ) = 。
x【答案】（1） ∆y = f (x + ∆x ) - f (x ) = c - c = 0 ， ∆y f (x + ∆x ) - f (x ) ∴∆x=∆x∆y= 0 ，∴ y ' = lim∆x →0∆x= lim 0 = 0 。
∆x →0（2） ∆y = f (x + ∆x ) - f (x ) = x + ∆x - x = ∆x ，∆y ∆x∴ ∆x = ∆x= 1，∆y∴ y ' = lim ∆x →0 ∆x= lim 1 = 1。
∆x →0 （3） ∆y = f (x + ∆x ) - f (x ) = (x + ∆x )2 - x 2 = 2x ⋅ ∆x + (∆x )2 ，∆y ∴ ∆x=2x ⋅ ∆x + (∆x )2∆x ∆y= 2x + ∆x ， ∴ y ' = lim ∆x →0 ∆x= lim (2x + ∆x ) = 2x 。
∆x →0（4） ∆y =f (x + ∆x ) - f (x ) = 1 - 1 x + ∆x x = x - x - ∆x = (x + ∆x ) ⋅ x -∆x， (x + ∆x ) ⋅ x∆y1∴∆x = - (x + ∆x ) ⋅ x ，∴ y ' = lim ∆y= lim -1 = - 1 。
∆x →0 ∆x∆x →0 (x + ∆x ) ⋅ x x 2例 3、求曲线 y=x 3+2x 在 x=1 处的切线方程.思路点拨：从函数在一点处的导数定义可求得函数 y=x 3+2x 在 x=1 处的导数值，再由导数的几何意义， 得所求切线的斜率，将 x=1 代入函数可得切点坐标，从而建立切线方程.解析：设 f (x ) = x 3 + 2x .f '(1) = lim ∆x →0 f (1+ ∆x ) - f (1) ∆x = lim∆x →0 (1+ ∆x )3 + 2(1+ ∆x ) - (13 + 2 ⨯1)∆x= lim ∆x →0 ∆x [(∆x )2 + 3∆x + 5] ∆x= lim[(∆x )2 ∆x →0 + 3∆x + 5] = 5 由 f(1)=3，故切点为（1，3），切线方程为 y―3=5(x―1)，即 y=5x―2.总结升华: 求函数 y = f (x ) 图像上点 P (x 0 , y 0 ) 处的切线方程的求解步骤：① 求出导函数在 x = x 0 处的导数 f '(x 0 ) （即过点 P 的切线的斜率），② 用点斜式写出切线方程，再化简整理。
举一反三：【变式】在曲线 y=x 2 上过哪一点的切线： （1）平行于直线 y=4x ―5； （2）垂直于直线 2x ―6y+5=0； （3）与 x 轴成 135°的倾斜角。
f (x + ∆x ) - f (x )(x + ∆x )2 - x 2【答案】 f '(x ) = lim∆x →0∆x= lim∆x →0∆x= 2x ，设所求切点坐标为 P （x 0，y 0），则切线斜率为 k=2x 0（1）因为切线与直线 y=4x ―5 平行，所以 2x 0=4，x 0=2，y 0=4， 即 P （2，4）。
1 3 9 （2）因为切线与直线 2x ―6y+5=0 垂直，所以2x 0 ⨯ 3 = -1 ，得 x 0 = -2 ， y 0 = 4，3 9 即 P (- , ) 。
2 41 1（3）因为切线与 x 轴成 135°的倾斜角，所以其斜率为―1。
即 2x 0=―1，得 x 0 = - 2 ， y 0 = 4，1 1 即 P (- , ) 。
2 42 2 例 4．已知函数 f (x ) 可导，若 f (1) =3 ， f '(1) = 3 ，求limx →1 f (x 2 ) - 3x -1解析： lim x →1 f (x 2 ) - 3 x -1= lim[ x →1 f (x 2 ) - 3x 2 -1 ⋅ (x +1)]（ f (1) = 3 ）= lim[ x →1= lim x →1 f (x 2 ) - f (1) x 2 -1f (x 2 ) - f (1) x 2 -1⋅ (x +1)]⋅ lim(x +1) x →1（令 t=x 2，x→1，t→1） = 2 limf (t ) - f (1) t →1t -1= 2 f '(1) = 2 ⨯ 3 = 6举一反三：【变式】已知函数 f (x ) 可导，若 f (3) = 2 ， f '(3) = 2 ，求lim x →32x - 3 f (x ) x - 3【答案】lim 2x - 3 f (x ) = lim (2x - 6) + 6 - 3 f (x )x →3x - 3x →3x - 3= lim{2 +3[2 - f (x )]x →3 x - 3= 2 + 3limf (3) - f (x )x →3 x - 3= 2 - 3limf (x ) - f (3)x →3 x - 3 = 2 - 3 f '(3) = 2 - 3⨯ (-2) = 8类型三：利用公式及运算法则求导数例 5．求下列函数的导数： （1） y = 1x4；（2） y =（3） y = log x 2- log x ； （4）y=2x 3―3x 2+5x ＋4解析：（1） y ' = ( 1 ) ' = (x -4 ) ' = -4x -4-1 = -4x -5 = - 4.x 4 x 53（2） y ' = ( 5 x 3) ' = (x 5) ' = 3 3 -1 x 5 = 3 - 23 x 5 = .5 5（3）∵ y = log x 2- log x = logx ，∴ y ' = (log x ) ' =1.2222x ⋅ ln 2（4） y ' = 2(x 3 ) '- 3(x 2 ) '+ 5(x ) '+ (4) ' = 6x 2 - 6x + 55 x 355 x 2}x 3 x 2 s in (1- 2 cos ) = 2 s in (2 cos -1) = 2 s in cos 总结升华：①熟练掌握导数基本公式，仔细观察和分析各函数的结构规律，选择基本函数求导公式进行求导； ②不具备求导法则条件的，一般要遵循先化简，再求导的原则，适当进行恒等变形，步步为营，使解决问题水到渠成.举一反三：【变式】求下列函数的导数： （1） y = x ； （2） y = -x - 2 cos 2 x)2 s in (12 4（3）y=6x 3―4x 2+9x―6 【答案】3（1） y ' = (x x ) ' = (x 2) ' = 3-1x 2 = .（2） y = - x 2 22 x x 2 x x x 2 4 2 4 2 2∴ y ' = cos x .（3） y ' = 6(x 3 ) '- 4(x 2 ) '+ 9(x ) '- (6) ' = 18x 2 - 8x + 9例 6．求下列各函数的导函数（1） f (x ) = (x 2 +1)(2x - 3) ；（2）y=x 2sinx;e x + 1x + cos x（３）y= e x - 1；（４）y= x + sin x解析：（1） 法一：去掉括号后求导.f (x ) = 2x 3 - 3x 2 + 2x - 3f '(x ) = 6x 2 - 6x + 2法二：利用两个函数乘积的求导法则f '(x ) = (x 2 +1)'(2x - 3) + (x 2 +1) ⋅ (2x - 3) '=2x(2x －3)+(x 2+1)×2=6x 2－6x+2 （2） y′=（x 2）′sinx＋x 2（sinx ）′=2xsinx＋x 2cosx（３） y ' = (e x +1)'(e x -1) - (e x +1)(e x -1)' = (e x -1)2- 2e x(e x - 1) 2（4） y ' =(x + cos x )'(x + sin x ) - (x + cos x )(x + sin x )' (x + sin x )2= sin x 3(1 - sin x )(x + sin x ) - (x + cos x )(1 + cos x ) =(x + sin x ) 2=- x cos x - x sin x + sin x - cos x - 1 (x + sin x ) 2举一反三：【变式 1】函数 y = (x +1)2 (x -1) 在 x = 1 处的导数等于()A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D法一： y ' = [(x +1)2 ]'(x -1) + (x +1)2 (x -1) '= 2(x +1) ⋅ (x -1) + (x +1)2 = 3x 2 + 2x -1∴ y ' |x =1 = 4 .法二：∵ y = (x +1)2 (x -1) = (x 2 -1)(x +1) = x 3 + x 2 - x -1∴ y ' = (x 3 ) '+ (x 2 ) '- x '-1' = 3x 2 + 2x -1∴ y ' |x =1 = 4 .【变式 2】下列函数的导数2（1） y = (x +1)(2x + 3x -1) ；（2） y =【答案】（1）法一： y = 2x 3 + 3x 2 - x + 2x 2 + 3x - 1 = 2x 3 + 5x 2 + 2x - 1∴ y ' = 6x 2 +10x + 2法二： y ' = (x + 1)'(2x 2 + 3x - 1) + (x + 1)(2x 2 + 3x - 1)'= 2x 2 + 3x - 1+ (x + 1) (4x + 3)= 6x 2 +10x + 23（2） y = 2x 2 - 3x- 1-3 2+ x -1 - x 21∴ y ' = 3x 2 + 3 - 3 x 2 - x -2 + 23 - 5 x 22【变式 3】求下列函数的导数.2x 3 - 3x + x -1x xx x 5+ x + sin x x-- - - - - （1） y = x (x 2【答案】+ 1 + 1 x x 3) ； （2） y = ( +1)( 1-1) ；（3） y = . x 2 （1） y = x 3 + x -2 +1 ，∴ y ' = 3x 2 - 2x -3 .（2） y = ( +1) = 1- x = x - 1 12 - x 2，3 ∴ y ' = - 1x- 2- 1-1 x2 . 22- 3（3）∵ y = x 3+ x 2+ x -2 sin x ，∴ y ' = 3x 2 - 3x 25 2 + (x 2 ) 'sin x + x 2 (sin x ) '= 3x 2- 3x 25 2- 2x 3 sin x + x 2 cos x .类型四：复合函数的求导 例 7．求下列函数导数.1（1） y =(1- 3x )4； （2） y = ln(x + 2) ；（3） y = e 2x +1 ；（4） y = cos(2x +1) .思路点拨:求复合函数的导数首先必须弄清函数是怎样复合而成的，然后再按复合函数的求导法则求导. 解析：（1） y = u -4 ， u = 1- 3x .y 'x = y 'u ⋅ u 'x = (u -4 ) '⋅ (1- 3x ) '= -4u -5 ⋅ (-3) = 12u -5=12 . (1- 3x )5（2） y = ln u ， u = x + 2∴ y 'x = y 'u ⋅ u 'x = (ln u ) '⋅ (x + 2) '= 1 ⋅1 = 1u x + 2（3） y = e u ， u = 2x +1 .x x 1- x x1 + x2 1 + x 2x + 1+ x 2 x + 1+ x 2 1+ x 2 3 3 ∴ y ' x = y 'u ⋅u 'x = (e u ) '⋅ (2x +1)'= 2e u = 2e 2x +1（4） y = cos u ， u = 2x +1 ，∴ y 'x = y 'u ⋅ u 'x = (cos u ) '⋅ (2x +1)'= -2 sin u = -2 sin(2x +1) .总结升华：①复合函数的求导，一定要抓住“中间变量”这一关键环节，然后应用法则，由外向里一层层求导，注意不要漏层。