【数学】2.1《空间点,直线,平面之间的位置关系--平面》课件(新人教A版必修2)
注意：
1、平面的两个特征：
①无限延展 ②平的（没有厚度）
2、一条直线把平面分成两部分.
一个平面把空间分成两部分.
二、点、线、面的基本位置关系
（1）符号表示： 点A、线a、面α （2）集合关系： A a, A , a ,
图形 符号语言 文字语言(读法)
A
A
a
a
A a A a A
a （2） ,
b , c , a // c , b c p
说明：画图的顺序:先画大件(平面),再画 小件(点、线)
例2. 将下列文字语言转化为符号语言：
(1)点A在平面 内，但不在平面 内
(2)直线a经过平面 外一点M
(3)直线 l 在平面 内,又在平面 内 （即平面和平面相交于直线）
练习
1、判断下列各题的说法正确与否，在正
确的说法的题号后打
，否则打
:
( )
1、一个平面长 4 米，宽 2 米；
2、平面有边界；
3、一个平面的面积是 25 cm 2； 4、菱形的面积是 4 cm 2；
(
( (
)
) ) )
5、一个平面可以把空间分成两部分. (
练习
2、图中平面α与平面β是否为同一平面？ β 不是 α 不是 α β α
C
B A
D
C1 D1 A1
B1
练习
①为什么有的自行车后轮旁只安装一只撑脚？ ②三角形、梯形是否一定是平面图形？为什么？ ③四条线段顺次首尾连接，所得的图形一定是平面图形吗？ 为什么？ ④用符号表示下列语句，并画出图形： ⑴点A在平面α内，点B在平面α外； ⑵直线 l 在平面α内，直线m不在平面α内；
平面公理
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线在此平面内． l B
在生产、生活中， 人们经过长期观察与实 践，总结出关于平面的 一些基本性质，我们把 它作为公理．这些公理 是进一步推理的基础．
A
A l , B l , A , B l
作用： 判定直线是否在平面内．
公理3.P , P , l P l
思考:
①一条直线与一个平面会有几种位置关系 ②如图所示，两个平面、,若相交于一点, 则会发生什么现象.
C
，
B
O
D
正确
A
C1 D1 O1 A1
B1
随堂练习
在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，判断下列命题是否 正确，并说明理由： ③由点A，O，C可以确定一个平面； 错误
C
B
O
D
A
C1 D1 A1
B1
随堂练习
在正方体 ABCD A1B1C1D1中，判断下列命题是否正 确，并说明理由： ④由 A, C1 , B1 确定的平面是 ADC1B1 ； 正确 ⑤由 A, C1 , B1 确定的平面与由 A, C1 , D 确定的平面 是同一个平面． 正确
那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
文字语言 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线在此平面内.
由点、线、面的关系有 直线 l 在平面α内表示为 直线m不在平面m内表示为 l m
l
图形语言
A
.·l · .·
B
错误
符号语言
Al B l l A B
典型例题
例1 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平 面之间的位置关系．
a
A l
a l b P （2）
B
（1）
解：在（1）中， l , a A, a B.
在（2）中， l , a , b , a l P, b l P.
2.1.1 平面
空间点、直线、平面的位置关系
观察长方体，你能发现长方体的顶点，棱 所在的直线，以及侧面、底面之间的位置关系 吗？ D 长方体由上下、前后、
C
A
B
左右六个面围成． 有些面是平行的，有些 面是相交的；有些棱所在直 线与面平行，有些棱所在直 线与面相交，每条棱所在的 直线都可以看成是某个平面 内的直线，等等．
3.平面的表示
常把希腊字母α、β、γ等写在代表平面的平行四边 形的一个角上，如平面α、平面β等；也可以用代表平 面的四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写 英文字母作为这个平面的名称． D A
C B A
D
E
F B
C
记作：平面 平面ABCD 平面AC或平面BD
记作：平面 平面
l ⑶平面α和β相交于直线 ；
⑷直线 l 经过平面α外一点P和平面α内一点Q ；
⑸直线 l 是平面α和β的交线，直线m在平面α内,
和m相交于点P.
课堂练习：课本P44 练习1、2、3、4 补练： 1、下列命题中，正确的命题是( )
①有三个公共点的两个平面重合
②梯形的四个顶点在同一个平面内
③三条互相平行的直线必共面
β
是
练习
3、观察下面两个图形，用模型来说明它
们的位置有什么不同.
如果直线 l 与平面α有一个公共点，直线 是否在 l l 平面α内？如果直线 与平面α有两个公共点呢？
平面公理
如果直线 l 与平面α有一个公共点P，直线 l 是否在 平面α内？
平面公理
如果直线 l 与平面α有两个公共点，直线 l 是否 在平面α内？ 实际生活中，我们有这样的经验：把一根直尺边 缘上的任意两点放到桌面上，可以看到，直尺的整个 边缘就落在了桌面上．
4.点与平面的位置关系
平面内有无数个点，平面可以看成点的集合．点 在平面内和点在平面外都可以用元素与集合的属于、 不属于关系来表示． B
A
点A在平面 内， 记作 A ． 读作 记作 B ． 点B在平面 外， 读作
例1.将下列符号语言转化为图形语言： A （1） , B , A l , B l
B
A
C
不再一条直线上的三个点A、B、C所确定的平面， 可以记成“平面ABC”． 作用： 确定平面的主要依据．
公理2
经过不在同一条直线上的三点,有且只有 一个平面。 B C A
A, B, C不共线 A, B, C确定一平面
王新敞
奎屯 新疆
三条推论: 1.经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面 2.经过两条相交直线,有且只有一个平面 3.经过两条平行直线,有且只有一个平面
P l, 且P l
作用： ①判断两个平面相交的依据． ②判断点在直线上．
l
P
5、平面的基本性质
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线在此平面内. 公理2：过不在一条直线上的三点， 有且只有一个平面. 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，
D、空间四点中，若四点不共面，则任意三点不共线
4、若给定空间三条直线共面的条件，这四个条
件中不正确的是（ ）
①三条直线两两相交 ③三条直线中有两条平行 ② 三条直线两两平行 ④三条直线共点
5、根据下列条件画出图形：平面α∩平面β=AB 直线a∈α,直线b∈β,a∥AB,b∥AB 6、如图、A∈α,直线AB和AC不在α内，画出AB和 AC所确定的平面β，并画出直线BC和平面α的交 点.
D A B C
2.平面的画法
为了增强立体感，常常把被遮挡部分用虚 线画出来．
D A E F B
C
被遮挡部分 用虚线表示
一、平面的表示方法
1、平面是无限延展的
（但常用平面的一部分表示平面） 2、画法：常用平行四边形 D
C
B
3、记法：
A
①平面α 、平面β 、平面γ （标记在角上）
②平面ABCD
③平面AC 或平面BD
A.0 B.1 C.2
)
D.０或无数 )
(4)三个平面两两相交,则它们交线的条数 ( A.最多4条最少3条 C.最多3条最少2条 B.最多3条最少1条 D.最多2条最少1条
（5）已知空间四点中，无三点共线，则可确定 A．一个平面 B．四个平面 C．一个或四个平面 D．无法确定角板所在平面 与桌面所在平面是否只相交于一点？为什么？
平面公理
把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平 面与桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？
B
平面公理
把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平 面与桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？
B
平面公理
观察长方体，你能发现长方体的两个相交 平面有没有公共直线吗？
D
A
C
B
D
C
A B
随堂练习
在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，判断下列命题是否 正确，并说明理由：
①直线 AC1在平面 CC1B1B 内；错误
C
B A
D
C1 D1 A1
B1
随堂练习
在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，判断下列命题是否 正确，并说明理由：
O1 ②设正方形ABCD与 A1B1C1D1 的中心分别为O， AA1C1 BB1D1D 则平面 与平面C 的交线为 ； OO1
图形、文字、符号
l l
A A
点A在直线l上．
Al
点A在直线l外．
Al
l A
A
l B
直线l在平面 外．
l
直线l在平面 内． 平面 经过直线l． l
平面公理
生活中经常看到用三角架支撑照相 机．
合集下载
人教版必修二：2.1--空间点-直线-平面之间的位置关系(共114张PPT)
本章内容
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2.2 直线、平面平行的判定及其性质 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质
第二章 小结
2.1
空间点、直线、平面 之间的位置关系
2.1.1 平面 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系 2.1.4 空间中平面与平面之间的位置关系
每经过两条都能确定一个平面,
所以能确定 3 个平面.
l1
即经过共点的三条直线可以
确定 1 个或 3 个平面.
l2 b a g
l3
3. 判断下列命题是否正确, 正确的在括号内划
“√”, 错误的划 “×”.
(1) 平面 a 与平面 b 相交, 它们只有有限个公共
点.
()
(2) 经过一条直线和直线外一点, 有且只有一个
直线 l 在平面 a 内, 记作
l
l a.
a
也可叙述为: 平面 a 经过直线 l.
l
直线 l 与平面 a 相交于点 P,
记作
l ∩a = P.
aP
直线 l 与平面 a 只有一个公共点,
l
或无公共点, 称为直线 l 在平面 a 外,
a
记作
l a.
例 1. 如图, 用符号表示下列图形中点、直线、
平面之间的位置关系.
解: 图 (1) Aa, Ba,
Aa, Bb,
a
b
a AB
l
(1)
a
l
a
b
P
b
(2)
即 a∩a = A, a∩b = B;
a∩b = l.
图 (2)
aa, bb, a∩b = l,
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2.2 直线、平面平行的判定及其性质 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质
第二章 小结
2.1
空间点、直线、平面 之间的位置关系
2.1.1 平面 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系 2.1.4 空间中平面与平面之间的位置关系
每经过两条都能确定一个平面,
所以能确定 3 个平面.
l1
即经过共点的三条直线可以
确定 1 个或 3 个平面.
l2 b a g
l3
3. 判断下列命题是否正确, 正确的在括号内划
“√”, 错误的划 “×”.
(1) 平面 a 与平面 b 相交, 它们只有有限个公共
点.
()
(2) 经过一条直线和直线外一点, 有且只有一个
直线 l 在平面 a 内, 记作
l
l a.
a
也可叙述为: 平面 a 经过直线 l.
l
直线 l 与平面 a 相交于点 P,
记作
l ∩a = P.
aP
直线 l 与平面 a 只有一个公共点,
l
或无公共点, 称为直线 l 在平面 a 外,
a
记作
l a.
例 1. 如图, 用符号表示下列图形中点、直线、
平面之间的位置关系.
解: 图 (1) Aa, Ba,
Aa, Bb,
a
b
a AB
l
(1)
a
l
a
b
P
b
(2)
即 a∩a = A, a∩b = B;
a∩b = l.
图 (2)
aa, bb, a∩b = l,
高中数学人教A版必修第二册空间点、直线、平面之间的位置关系优秀课件
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点
这样,空间中两条直线平行和我们学过的平面上两条直线平行 的意义是一致的,即首先这两条直线在同一平面内，其次是它们不 相交.
三、空间中直线与直线、平面的位置关系 高中数学人教A版（ 必修20第19二）册必空修间（点第、二直册线）、第平八面章之8间.4的.2位空置间关点系优、秀直p线pt、课平件面之间的位置关系课件（共11张PPT）
A'
直线AB与一个公共点B，它们是相交直线.
直线AB与CC'不同在任何一个平面内. A
C'
B'
C B
不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.
1.空间直线与直线的位置关系(三种):
共面直线
相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点 平行直线：在同一平面内，没有公共点
一般地，直线a
下图中平面ABCD与平面A'B'C'D' 在平面α内，应把直
有没有公共点？ 没有公共点
线a画在表示平面a的
下图中平面ABCD与平面BCC'B'有 平行四边形内;直线a
没有公共直线？有一条公共直线BC 在平面α外，应把直
再结合生活实例， D'
C' 线a或它的一部分画
我们就可以得出两个 A'
棱所在的直线，6个面对应6个面所在的平面，观察下图所示的长方体
ABCD-A'B'C'D',你能发现这些顶点、直线、平面之间的位置关系吗?
观察你所在的教室，你能找到上述位置关系的一些实例吗?你
能再举出一些表示这些位置关系的其他实例吗?
1.空间点与直线的位置关系(两种):
高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 平面课件 新人教A版必修2
推论 2：经过两条相交直线， 有且只有一个平面． 图形语言表述：如图所示．
符号语言表述：
a是任意一条直线 b是任意一条直线⇒a 与 b 共面于平面 α 且平面唯一．
a∩b＝A
推论 3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 图形语言表述：如图所示．
符号语言表述：Βιβλιοθήκη 直线 a∥b⇒直线 a，b 共面于平面 α 且平面唯一.
理 在一个平面内，那么这条
1 直线_在__此__平__面__内__
公 理 2
过_不__在__一__条__直__线__上__的三 点，有__且__只__有___一个平面
公 理 3
如果两个不重合的平面有 一个公共点，那么它们有 且只有一条过该点的 _公__共___直__线_
图形语言
符号语言
A∈l，B∈l，且 A∈α，B∈α⇒ __l_⊂_α___ A，B，C 三点不 共线⇒存在唯一
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2．1.1 平 面
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
1.了解平面的概念及表示方法． 2.理解平面的公理 1，公理 2，公理 3. 3.会用符号语言准确表述几何对象的位置关 系．
1．平面 (1)平面的概念 几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些 物体中抽象出来的．几何里的平面是_无__限__延__展__的．
1.根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之 间的位置关系，并画出相应的图形： (1)A∈α，B ∉ α；(2)P∈l，P ∉α，Q∈l，Q∈α.
解：(1)点 A 在平面 α 内，点 B 不在平面 α 内，如图①. (2)直线 l 经过平面 α 外一点 P 和平面 α 内一点 Q，如图②.
新教材高中数学第八章空间点直线平面之间的位置关系：平面pptx课件新人教A版必修第二册
表示.
知识点3 平面的基本性质
1.平面的基本性质
基本事实
内容
过不在一条直线上的
三个点
基本事实1 ________,有且只有一
个平面
图形
符号
作用
（1）确定平面的
依据;（2）判定
点、线共面
续表
基本事实
内容
图形
符号
作用
如果一条直线上的
基本事实2
两个点
_________在一个平面
判断直线是否在
内,那么这条直线在这
（3）如果两个不重合的平面有无数个公共点,那么这些公共点有什么特点？
提示
这些公共点落在同一条直线上.
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 证明点、线共面
【例1】 证明:两两相交且不过同一点的三条直线共面.
已知:如图所示, 1 ∩ 2 = , 2 ∩ 3 = , 1 ∩ 3 = .
则没有,平面是无限延展的,不可度量的.
（3）两个平面相交的画法中,一个平面被另一个平面遮住时,被遮部分的线段应画成虚
线或不画.
解 正确.符合直观图画法的规则.
（4）三角形、圆、平行四边形都可以表示平面.
解 正确.三角形、圆、平行四边形都是平面图形,都可以表示平面.
2.如何理解平面的概念?
提示
平面具有以下三方面的特征:（1）“平面”处处是平的；（2）“平面”没有厚度；
同理可证 ∈ , ∈ , ∈ , ∈ . ∴ 不共线的三个点 , , 既在平面 内,又
在平面 内.
∴ 平面 和 重合,即直线 1 , 2 , 3 在同一平面内.
规律方法 证明点、线共面问题常用方法有:
数学21《空间点,直线,平面之间的位置关系--平面》课件新人教A版必修
2.1.1 平面
编辑ppt
1
空间点、直线、平面的位置关系
观察长方体，你能发现长方体的顶点，棱所 在的直线，以及侧面、底面之间的位置关系吗？
D C
A
B
D C
A
B
长方体由上下、前后、 左右六个面围成．
有些面是平行的，有些面
是相交的；有些棱所在直线
与面平行，有些棱所在直线
与面相交，每条棱所在的直
线都可以看成是某个平面内
编辑ppt
12
二、点、线、面的基本位置关系
（1）符号表示： 点A、线a、面α
（2）集合关系： Aa, A, a,
图形
符号语言 文字语言(读法)
Aa
Aa
点在直线上
A a A a 点不在直线上
A
A
A A
点在平面内 点不在平面内
A ab
a bA 编辑ppt 直线a、b交于点1A3
图形
a
a
a A
符号语言
（即平面和平面相交于直线）
编辑ppt
18
练习
1、判断下列各题的说法正确与否，在正
确的说法的题号后打 ，否则打 :
1、一个平面长 4 米，宽 2 米； ( )
2、平面有边界；
()
3、一个平面的面积是 25 cm 2； ( )
4、菱形的面积是 4 cm 2；
()
5、一个平面可以把空间分成两部分. ( )
1、平面是无限延展的
（但常用平面的一部分表示平面）
2、画法：常用平行四边形
D
C
3、记法：
A
B
①平面α 、平面β 、平面γ （标记在角上）
②平面ABCD
编辑③ppt 平面AC 或平面BD11
编辑ppt
1
空间点、直线、平面的位置关系
观察长方体，你能发现长方体的顶点，棱所 在的直线，以及侧面、底面之间的位置关系吗？
D C
A
B
D C
A
B
长方体由上下、前后、 左右六个面围成．
有些面是平行的，有些面
是相交的；有些棱所在直线
与面平行，有些棱所在直线
与面相交，每条棱所在的直
线都可以看成是某个平面内
编辑ppt
12
二、点、线、面的基本位置关系
（1）符号表示： 点A、线a、面α
（2）集合关系： Aa, A, a,
图形
符号语言 文字语言(读法)
Aa
Aa
点在直线上
A a A a 点不在直线上
A
A
A A
点在平面内 点不在平面内
A ab
a bA 编辑ppt 直线a、b交于点1A3
图形
a
a
a A
符号语言
（即平面和平面相交于直线）
编辑ppt
18
练习
1、判断下列各题的说法正确与否，在正
确的说法的题号后打 ，否则打 :
1、一个平面长 4 米，宽 2 米； ( )
2、平面有边界；
()
3、一个平面的面积是 25 cm 2； ( )
4、菱形的面积是 4 cm 2；
()
5、一个平面可以把空间分成两部分. ( )
1、平面是无限延展的
（但常用平面的一部分表示平面）
2、画法：常用平行四边形
D
C
3、记法：
A
B
①平面α 、平面β 、平面γ （标记在角上）
②平面ABCD
编辑③ppt 平面AC 或平面BD11
人教版高中数学课件 2.1空间点-直线-平面之间的位置关系--平面 课件
公理2 经过不在同一条直线上的三点,有且只有 一个平面。 B C A
A, B, C不共线 A, B, C确定一平面
公理2的三条推论:
王新敞
奎屯 新疆
1.经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平 面 2.经过两条相交直线,有且只有一个平面
3.经过两条平行直线,有且只有一个平面
平面公理
把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面 与桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？
（2）集合关系：
图形 符号语言
A a, A , a ,
文字语言(读法)
A
A
a
a
A a A a
点在直线上
点不在直线上
点在平面内 点不在平面内 直线a、b交于点A
A
A
A
b a
A A
a b A
图形
符号语言
a
a
a
a //
文字语言(读法)
a
A
a A
c ,
说明：画图的顺序:先画大件(平面),再画 小件(点、线)
平面公理 观察长方体，你能发现长方体的两个相交平 面有没有公共直线吗？
D
A
C
B
D
A B
C
这条公共直线B’C’叫做这 两个平面A’B’C’D’和平面 BB’C’C的交线． 另一方面，相邻两个平面有一 个公共点，如平面A’B’C’D’ 和平面BB’C’C有一个公共点 B’，经过点B有且只有一条过该 点的公共直线B’C’.
典型例题
例1 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面 之间的位置关系．
a
A l
人教A版数学必修第二册综合复习：空间点、直线、平面之间的位置关系课件
空间点、直线、平面之间的位置关系
新课程标准
• 借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的
位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面
的位置关系的定义，了解以下基本事实和定理． 命题
• 基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只 角度
有一个平面．
• 基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面
内，那么这条直线在这个平面内．
B．A
√ 1P∥平面ACD1
C．异面直线A
1P与AD1所成角的范围是 0， 3
×
D．三棱锥D1-APC的体积不变
√
通过本节课，
你学会了什么？
解析过程见配套学案
做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
0，
(2)范围：______________．
2
同一条直线
3．公理4：平行于____________的两条直线互相平行．
4．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应
相等或互补
平行，那么这两个角____________．
基础小测
1．教室内有一根直尺，无论怎样放置，在地面上
解
题
通
法
异面直线的判定常用的是 反证法 ，先假设
两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，
由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，
从而否定假设，肯定两条直线异面，此法在异面
直线的判定中经常用到．
归
纳
总
结
• 异面直线是指不同在任何一个平面内的直线，
而不是指在两个平面内的直线，注意“任何”
一词的含义．
• 基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，
那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
新课程标准
• 借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的
位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面
的位置关系的定义，了解以下基本事实和定理． 命题
• 基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只 角度
有一个平面．
• 基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面
内，那么这条直线在这个平面内．
B．A
√ 1P∥平面ACD1
C．异面直线A
1P与AD1所成角的范围是 0， 3
×
D．三棱锥D1-APC的体积不变
√
通过本节课，
你学会了什么？
解析过程见配套学案
做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
0，
(2)范围：______________．
2
同一条直线
3．公理4：平行于____________的两条直线互相平行．
4．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应
相等或互补
平行，那么这两个角____________．
基础小测
1．教室内有一根直尺，无论怎样放置，在地面上
解
题
通
法
异面直线的判定常用的是 反证法 ，先假设
两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，
由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，
从而否定假设，肯定两条直线异面，此法在异面
直线的判定中经常用到．
归
纳
总
结
• 异面直线是指不同在任何一个平面内的直线，
而不是指在两个平面内的直线，注意“任何”
一词的含义．
• 基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，
那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
【数学】2.1.1《空间点,直线,平面之间的位置关系--平面》课件(新人教A版必修2).pptx
③由点A，O，C可以确定一个平面； 错误
C
D
O
B A
C1 D1
B1 A1
随堂练习
在正方体 ABCD A1B1C1D1中，判断下列命题是否正 确，并说明理由：
④由 A,C1, B1 确定的平面是 ADC1B1； 正确
⑤由 A,C1, B1 确定的平面与由 A,C1, D 确定的平面是
同一个平面． 正确
A
A
A A
点在平面内 点不在平面内
A ab a b A 直线a、b交于点A
图形
a
a
a A
符号语言
文字语言(读法)
a 直线a在平面 内
a
直线a与平面
无公共点
a
A
直线a与平面
交于点
l
平面 与
相交于直线 l
3.平面的表示
常把希腊字母α、β、γ等写在代表平面的平行四边形的 一个角上，如平面α、平面β等；也可以用代表平面的 四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文 字母作为这个平面的名称．
平面公理
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，
那么这条直线在此平面内．
在生产、生活中，人
们经过长期观察与实践，
l A
B
总结出关于平面的一些 基本性质，我们把它作 为公理．这些公理是进
一步推理的基础．
Al, Bl, A, B l
作用： 判定直线是否在平面内．
图形、文字、符号
l
A
点A在直线l上．
（1）A , B , A l , B l
（2）a , b , c ,
a // c , b c p
说明：画图的顺序:先画大件(平面),再画 小件(点、线)
C
D
O
B A
C1 D1
B1 A1
随堂练习
在正方体 ABCD A1B1C1D1中，判断下列命题是否正 确，并说明理由：
④由 A,C1, B1 确定的平面是 ADC1B1； 正确
⑤由 A,C1, B1 确定的平面与由 A,C1, D 确定的平面是
同一个平面． 正确
A
A
A A
点在平面内 点不在平面内
A ab a b A 直线a、b交于点A
图形
a
a
a A
符号语言
文字语言(读法)
a 直线a在平面 内
a
直线a与平面
无公共点
a
A
直线a与平面
交于点
l
平面 与
相交于直线 l
3.平面的表示
常把希腊字母α、β、γ等写在代表平面的平行四边形的 一个角上，如平面α、平面β等；也可以用代表平面的 四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文 字母作为这个平面的名称．
平面公理
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，
那么这条直线在此平面内．
在生产、生活中，人
们经过长期观察与实践，
l A
B
总结出关于平面的一些 基本性质，我们把它作 为公理．这些公理是进
一步推理的基础．
Al, Bl, A, B l
作用： 判定直线是否在平面内．
图形、文字、符号
l
A
点A在直线l上．
（1）A , B , A l , B l
（2）a , b , c ,
a // c , b c p
说明：画图的顺序:先画大件(平面),再画 小件(点、线)
空间点、直线、平面之间位置关系 课件(共19张PPT)-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
思考：分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？
新知讲解
问题： 我们该怎么画异面直线？
两直线异面的判别: （1）两条直线 既不相交、又不平行，（2）两条直线不同在任何一个平面内。
通常用一个或两个平面来衬托异面直线不同在任何一个平面内的特点
共3对：AB与CD，AB与GH，EF与GH
练习：如图所示的是一个正方体的平面展开图，如果以阴影部分为底面将它还原为正方体，那么，AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对？
√
2.说出长方体中下列各对线段所在的直线以及线段所在的直线与平面的位置关系：
异面
相交
异面
平行
平行
相交
在平面内
一、直线与直线的位置关系
①共面直线
平行直线：在同一平面内，没有公共点；
相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点；
②异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点
二、直线与平面的位置关系：
1.直线在平面内——有无数个公共点（交点）；
直线在平面外
直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外。
判断直线与平面的位置关系关键在于—判断直线与平面的交点个数。
探究 空间中两平面的位置关系
观察 ：教室里的地面与桌面、黑板面所在墙面与地面之间有哪些关系？
直观感觉：桌面与地面 墙面与地面
探究 空间中两条直线的位置关系
观察黑板两侧所在的直线与课桌边沿所在直线是什么位置关系？
既不平行又不相交
立交桥中的两条路线呢？
既不平行又不相交
我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.
我们把既不平行又不相交的两条直线叫做异面直线.
定义
探究 空间中两条直线的位置关系
新知讲解
问题： 我们该怎么画异面直线？
两直线异面的判别: （1）两条直线 既不相交、又不平行，（2）两条直线不同在任何一个平面内。
通常用一个或两个平面来衬托异面直线不同在任何一个平面内的特点
共3对：AB与CD，AB与GH，EF与GH
练习：如图所示的是一个正方体的平面展开图，如果以阴影部分为底面将它还原为正方体，那么，AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对？
√
2.说出长方体中下列各对线段所在的直线以及线段所在的直线与平面的位置关系：
异面
相交
异面
平行
平行
相交
在平面内
一、直线与直线的位置关系
①共面直线
平行直线：在同一平面内，没有公共点；
相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点；
②异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点
二、直线与平面的位置关系：
1.直线在平面内——有无数个公共点（交点）；
直线在平面外
直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外。
判断直线与平面的位置关系关键在于—判断直线与平面的交点个数。
探究 空间中两平面的位置关系
观察 ：教室里的地面与桌面、黑板面所在墙面与地面之间有哪些关系？
直观感觉：桌面与地面 墙面与地面
探究 空间中两条直线的位置关系
观察黑板两侧所在的直线与课桌边沿所在直线是什么位置关系？
既不平行又不相交
立交桥中的两条路线呢？
既不平行又不相交
我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.
我们把既不平行又不相交的两条直线叫做异面直线.
定义
探究 空间中两条直线的位置关系
2020年高中数学2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系课件人教A版必修2
[证明] 因为 E，E′分别是 AB，A′B′的中点， 所以 BE∥B′E′，且 BE＝B′E′. 所以四边形 EBB′E′是平行四边形， 所以 EE′∥BB′，同理可证 FF′∥BB′. 所以 EE′∥FF′.
【探究 1】 [变条件、变结论]在例 2 中，若
M，N 分别是 A′D′，C′D′的中点，求证：四
[思考探究]………………|辨别正误| 判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)空间等角定理为定义异面直线所成的角提供了理论依 据．( √ ) (2)如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这 两组直线所成的锐角(或直角)相等．( √ )
课堂互动探究
剖析题型 总结归纳
题型一 空间两条直线的位置关系的判定
边形 ACNM 是梯形． [证明] 连接 A′C′.∵M，N 分别是 A′D′，C′D′的中
点， ∴MN 綊12A′C′. 又知 A′C′綊 AC，∴MN 綊12AC. 又知 AM 与 CN 不平行．
故四边形 ACNM 是梯形．
【探究 2】 [变条件、变结论]将例 2 变为：已知 E，E′分 别是正方体 ABCD－A′B′C′D′的棱 AD，A′D′的中点， 求证：∠BEC＝∠B′E′C′.
的位置关系是( )
A．平行或异面
B．相交或异面
C．异面
D．相交
解析：选 B 如图，在长方体 ABCD－
A1B1C1D1 中，AA1 与 BC 是异面直线，又 AA1
∥BB1，AA1∥DD1，显然 BB1∩BC＝B，DD1
与 BC 是异面直线，故选 B.
[答案] D
|方法总结| 1．判定两条直线平行与相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也 可以用公理4判断． 2．判定两条直线是异面直线有定义法和排除法，由于使用定义判断不方便， 故常用排除法，即说明这两条直线不平行、不相交，则它们异面.
【探究 1】 [变条件、变结论]在例 2 中，若
M，N 分别是 A′D′，C′D′的中点，求证：四
[思考探究]………………|辨别正误| 判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)空间等角定理为定义异面直线所成的角提供了理论依 据．( √ ) (2)如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这 两组直线所成的锐角(或直角)相等．( √ )
课堂互动探究
剖析题型 总结归纳
题型一 空间两条直线的位置关系的判定
边形 ACNM 是梯形． [证明] 连接 A′C′.∵M，N 分别是 A′D′，C′D′的中
点， ∴MN 綊12A′C′. 又知 A′C′綊 AC，∴MN 綊12AC. 又知 AM 与 CN 不平行．
故四边形 ACNM 是梯形．
【探究 2】 [变条件、变结论]将例 2 变为：已知 E，E′分 别是正方体 ABCD－A′B′C′D′的棱 AD，A′D′的中点， 求证：∠BEC＝∠B′E′C′.
的位置关系是( )
A．平行或异面
B．相交或异面
C．异面
D．相交
解析：选 B 如图，在长方体 ABCD－
A1B1C1D1 中，AA1 与 BC 是异面直线，又 AA1
∥BB1，AA1∥DD1，显然 BB1∩BC＝B，DD1
与 BC 是异面直线，故选 B.
[答案] D
|方法总结| 1．判定两条直线平行与相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也 可以用公理4判断． 2．判定两条直线是异面直线有定义法和排除法，由于使用定义判断不方便， 故常用排除法，即说明这两条直线不平行、不相交，则它们异面.