九年级数学： 第1课时 正弦函数
人教版九年级数学下册第28章三角函数 第1课时 正弦函数
25 在 Rt△ABC中，由勾股定理得
AC AB2 BC2 (25x)2 (7x)2 24x.
即 24x = 24cm，解得 x = 1 cm. 故 BC = 7x = 7 cm，AB = 25x = 25 cm. 所以 △ABC 的周长为 BC+AC+AB = 7+24+25 = 56 (cm).
思考2： 任意画 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'
＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么 BC 与 B' C' 有什么关 AB A' B'
系？你能解释一下吗？ B'
B
A
C A'
C'
因为∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以 Rt△ABC ∽Rt△A'B'C'. 所以
AB BC A' B' B' C'
AD AB2 BD2 52 42 3.
又∵ AB=AC ，BD⊥AC，∴ AC=2AD=6， ∴S△ABC=AC×BD÷2=12.
6. 如图，在 △ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB. (1) sinB 可以由哪两条线段之比表示?
解：∵ CD⊥AB，∴∠ADC =∠ACB = 90°， ∴∠ACD = ∠B=90°－∠A，
解：因为∠A=45°，∠C=90°，所以AC=BC， 由勾股定理，得 AB2=AC2+BC2=2BC2，
所以 AB 2BC， 因此 BC BC
2.
AB 2BC 2
归纳：
人教版九年级数学下册第二十八章《28.1 锐角三角函数1 正弦、余弦》优课件(共18张PPT)
sin 60°= 3 2
cos 60°=
1 2
如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°，
B
∠A+ ∠B ＝90°
sinA = BC
┌
AB
cosB = BC AB
A
C
(1) sinA = cos(90 °－A）= cosB =
BC
(2) 0＜sinA＜1， 0＜cosB＜1
AB
(3) sin2A=( BC )2 AB
等于1吗？为什么？
可以大于1吗？
┌ 不同大小的两个锐角的正弦值
A
C 可能相等吗？
对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一的确定的 值与它对应，所以sinA是A的函数。
已知sinA＝ 3 ，那么锐角A等于___6_0_°__。 2
锐角A满足2sin（A－15 °）＝1，那么∠A＝_4_5_°_.
想一想比一比
新人教版九年级数学(下册)第二十八章
§28.1 锐角三角函数（1）
——正弦、余弦
如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°，
B
角：∠A+ ∠B ＝90°
勾股定理
┌
A
C 边：AC2 + BC2 = AB2
在直角三角形中，边与角之间有什么关系呢？
实践与探索
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°， BC＝35，求AB。 根据：“在直角三角形中， 30°角所对的边等于斜
一个固定值；
2
一般地，当∠ A取其它一定度数的锐角时，它的对边 与斜边的比是否也是一个固定值呢？
这也就是说，
在直角三角形中， 当锐角A的度数一 定时，不管三角形 的大小如何，∠A 的对边与斜边的比 是一个固定值。
第五章 5.4 5.4.2 第一课时 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性
5.4.2正弦函数、余弦函数的性质第一课时正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性课标要求素养要求1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求函数y＝A sin(ωx＋φ)及y＝A cos(ωx＋φ)的周期.3.掌握函数y＝sin x，y＝cos x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性. 利用y＝sin x，y＝cos x的图象，探索y ＝sin x，y＝cos x的周期性、奇偶性，重点提升学生的直观想象、逻辑推理和数学抽象素养.教材知识探究丹麦这个处在安徒生童话中的国家，如同安徒生的童话描写一般，有很大的风，也有很多的风，自然也有很多很大的风车，而现在丹麦又有了世界上最大的风力发电机组，这个维斯塔斯和三菱合作的大风车V164－8.0 MW，全部高度有220米，风车风轮的直径也达到了世界最大的风力发电机组164米，扫掠面积21 000平米，在风速11米/秒时，转速在4.8～12.1 rpm之间，电力输出可达到每小时最大8百万瓦，这个风力发电组的电能能满足7 500个家庭的电力需求.风力发电机就是靠它的叶片周而复始的转动给我们带来了巨大的收益.这种周而复始的转动就是周期现象.问题 1.你能用数学语言刻画函数的周期性吗？如果函数y＝f(x)的周期是T，那么函数y＝f(ωx)(ω>0)的周期是多少？2.函数y＝A sin(ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)的周期与什么量有关？其计算周期的公式是什么？提示 1.对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，则f (x )为周期函数，y ＝f (ωx )的周期为Tω. 2.与ω有关，T ＝2π|ω| .1.周期函数 没有特别说明的情况下，周期均指函数的最小正周期条件 ①对于函数f (x )，存在一个非零常数T②当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x ) 结论 函数f (x )叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期条件 如果周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数 结论这个最小正数叫做f (x )的最小正周期函数 y ＝sin x y ＝cos x 周期 2k π(k ∈Z 且k ≠0)2k π(k ∈Z 且k ≠0)最小正周期 2π 2π 奇偶性奇函数偶函数[微判断]1.周期函数y ＝f (x )的定义域可以为[a ，b ](a ，b ∈R ).(×) 提示 周期函数的定义域一定为无限集，且无上下界.2.任何周期函数都有最小正周期.(×)提示 常数函数f (x )＝c ，任意一个正实数都是其周期，因而不存在最小正周期. 3.若存在正数T ，使f (x ＋T )＝－f (x )，则函数f (x )的周期为2T .(√) 4.函数f (x )＝sin 2x 是奇函数.(√) 5.函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2是偶函数.(√)6.y ＝sin x 与y ＝cos x 既是中心对称图形又是轴对称图形.(√) [微训练]1.函数y ＝sin(x ＋π2)是( ) A.周期为π的奇函数 B.周期为π的偶函数 C.周期为2π的奇函数 D.周期为2π的偶函数解析 因为y ＝sin(x ＋π2)＝cos x ，所以该函数是周期为2π的偶函数. 答案 D2.若函数y ＝sin(x ＋φ)(0≤φ≤π)在R 上为偶函数，则φ可等于( ) A.0 B.π4 C.π2D.π解析 代入排除，当φ＝π2时， y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x 为偶函数.答案 C3.下列四个函数中，图象关于y 轴对称的是( ) A.y ＝sin x B.y ＝1＋cos x C.y ＝sin 2xD.y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3解析 图象关于y 轴对称，则为偶函数，故选B. 答案 B [微思考]函数y ＝A sin(ωx ＋φ)满足什么条件时为奇函数、偶函数？y ＝A cos (ωx ＋φ)满足什么条件时为奇函数、偶函数？提示 根据诱导公式.当φ＝k π＋π2，k ∈Z 时，y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，φ＝k π，k ∈Z 时，y ＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，当φ＝k π＋π2，k ∈Z 时，y ＝A cos (ωx ＋φ )为奇函数，当φ＝k π，k ∈Z 时，y ＝A cos (ωx ＋φ)为偶函数(k ≠0).题型一 求三角函数的周期 【例1】 求下列函数的周期： (1)y ＝2sin(12x ＋π6)，x ∈R ； (2)y ＝1－2cos(π2x )，x ∈R ； (3)y ＝|sin x |，x ∈R .解 (1)∵2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（x ＋4π）＋π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6＋2π＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6， ∴自变量x 只要并且至少要增加到x ＋4π， 函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6，x ∈R 的值才能重复出现，∴函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6，x ∈R 的周期是4π.(2)∵1－2cos[π2(x ＋4)]＝1－2cos(π2x ＋2π)＝1－2cos(π2x )，∴自变量x 只需并且至少要增加到x ＋4，函数y ＝1－2cos(π2x )，x ∈R 的值才能重复出现，∴函数y ＝1－2cos(π2x )，x ∈R 的周期是4. (3)作图如下：观察图象可知最小正周期为π. 规律方法 求三角函数周期的方法 (1)定义法，即利用周期函数的定义求解.(2)公式法，对形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A ≠0，ω≠0)的函数，T ＝2π|ω|.(3)观察法，即通过观察函数图象求其周期. 【训练1】 求下列函数的最小正周期： (1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3；(2)y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.解 (1)∵sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2π3＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3＋2π ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3. ∴自变量x 只要并且至少要增加到x ＋2π3，函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3，x ∈R 的值才能重复出现，∴函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3，x ∈R 的周期是2π3.(2)∵函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的最小正周期为π，而函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象是将函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象在x 轴下方的部分对折到x 轴上方，并且保留在x 轴上方图象而得到的，由此可知所求函数的最小正周期为T ＝π2.题型二 三角函数的奇偶性 首先判断函数的定义域是否关于原点对称 【例2】 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π2；(2)f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )； (3)f (x )＝1＋sin x －cos 2 x1＋sin x.解 (1)显然x ∈R ，f (x )＝cos 12x ，f (－x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＝cos 12x ＝f (x )，∴f (x )是偶函数.(2)由⎩⎨⎧1－sin x >0，1＋sin x >0，得－1<sin x <1.解得定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z . ∴f (x )的定义域关于原点对称.又∵f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x ) ∴f (－x )＝lg[1－sin(－x )]－lg[1＋sin(－x )] ＝lg(1＋sin x )－lg(1－sin x )＝－f (x ). ∴f (x )为奇函数.(3)∵1＋sin x ≠0，∴sin x ≠－1， ∴x ∈R 且x ≠2k π－π2，k ∈Z .∵定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数. 规律方法 判断函数奇偶性的两个关键点 (1)看函数的定义域是否关于原点对称； (2)看f (－x )与f (x )的关系.对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断. 【训练2】 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝|sin x |＋cos x ； (2)f (x )＝1－cos x ＋cos x －1. 解 (1)函数的定义域为R ，又f (－x )＝|sin(－x )|＋cos(－x )＝|sin x |＋cos x ＝f (x )，所以f (x )是偶函数.(2)由1－cos x ≥0且cos x －1≥0，得cos x ＝1，从而x ＝2k π，k ∈Z ，此时f (x )＝0，故该函数既是奇函数又是偶函数.题型三 三角函数的奇偶性与周期性的简单应用【例3】 (1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是( ) A.y ＝cos|2x | B.y ＝|sin x | C.y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2xD.y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－2x解析 y ＝cos|2x |是偶函数，y ＝|sin x |是偶函数，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝cos 2x 是偶函数，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－2x ＝－sin 2x 是奇函数，根据公式得其最小正周期T ＝π.答案 D(2)定义在R 上的函数f (x )既是偶函数，又是周期函数，若f (x )的最小正周期为π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3等于( )A.－12B.12C.－32D.32解析 f (5π3)＝f (5π3－π)＝f (2π3)＝f (2π3－π)＝f (－π3)＝f (π3)＝sin π3＝32. 答案 D【迁移1】 若将例3(2)题中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，结果如何？解 f (5π3)＝f (5π3－π)＝f (2π3)＝f (2π3－π)＝f (－π3)＝－f (π3)＝－sin π3＝－32. 【迁移2】 若将例3(2)题条件不变，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 017π3＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018π3的值.解 f (2 017π3)＝f (672π＋π3)＝f (π3)＝sin π3＝32，f (2 018π3)＝f (672π＋2π3)＝f (2π3)＝f (－π3)＝f (π3)＝sin π3＝32， 所以f (2 017π3)＋f (2 018π3)＝32＋32＝ 3.规律方法 当函数值的出现具有一定的周期性时，可以首先研究它在一个周期内的函数值的变化情况，再给予推广求值.【训练3】 若函数f (x )是以π2为周期的偶函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π6＝________.解析 f (－17π6)＝f (－17π6＋3π)＝f (π6)＝f (π6－π2)＝f (－π3)＝f (π3)＝1. 答案 1一、素养落地1.通过本节课的学习，提升学生的直观想象、逻辑推理、数学抽象素养.2.求函数的最小正周期的常用方法：(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f (x ＋T )＝f (x )成立的T .(2)图象法，即作出y ＝f (x )的图象，观察图象可求出T ，如y ＝|sin x |.(3)结论法，一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ，ω，φ为常数，A ≠0，ω>0，x ∈R )的周期T ＝2πω.3.判断函数的奇偶性，必须坚持“定义域优先”的原则，准确求函数定义域和将式子合理变形是解决此类问题的关键.如果定义域关于原点对称，再看f (－x )与f (x )的关系，从而判断奇偶性. 二、素养训练1.函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期为( )A.4πB.2πC.πD.π2解析 由题意T ＝2π2＝π，故选C. 答案 C2.下列是定义在R 上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是( )解析 对于D ，x ∈(－1，1)时的图象与其他区间图象不同，不是周期函数. 答案 D3.函数f (x )＝x ＋sin x ，x ∈R ( ) A.是奇函数，但不是偶函数 B.是偶函数，但不是奇函数 C.既是奇函数，又是偶函数 D.既不是奇函数，又不是偶函数解析 由f (－x )＝－x －sin x ＝－(x ＋sin x )＝－f (x )可知f (x )是奇函数，但f (－x )≠f (x )，故f (x )不是偶函数. 答案 A4.已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx －π2－1，则下列命题正确的是( )A.f (x )是周期为1的奇函数B.f (x )是周期为2的偶函数C.f (x )是周期为1的非奇非偶函数D.f (x )是周期为2的非奇非偶函数解析 f (x )＝sin(πx －π2)－1＝－cos πx －1，故选B. 答案 B5.函数y ＝sin(ωx ＋π4)的最小正周期为2，则ω的值为________. 解析 T ＝2π|ω|＝2，∴|ω|＝π，∴ω＝±π. 答案 ±π基础达标一、选择题1.下列函数中，周期为2π的是( ) A.y ＝sin x2 B.y ＝sin 2x C.y ＝|sin x2|D.y ＝|sin 2x |解析 y ＝sin x 2的周期为T ＝2π12＝4π；y ＝sin 2x 的周期为T ＝2π2＝π；y ＝|sin x2|的周期为T ＝2π；y ＝|sin 2x |的周期为T ＝π2. 答案 C2.函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)的最小正周期为π5，则ω等于( ) A.5 B.10 C.15D.20解析 由题意，知T ＝2πω＝π5，所以ω＝10.答案 B3.函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －φ(0≤φ≤π)是R 上的偶函数，则φ的值是( )A.0B.π4C.π2D.π解析 由题意，得sin(－φ)＝±1，即sin φ＝±1，因为φ∈[0，π]，所以φ＝π2，故选C. 答案 C4.定义在R 上的函数f (x )周期为π，且是奇函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4的值为( )A.1B.－1C.0D.2解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－1.答案 B5.设f (x )是定义域为R ，最小正周期为3π2的函数，若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，－π2≤x ≤0，sin x ，0<x ≤π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4的值等于( ) A.1 B.22 C.0D.－22解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2×（－3）＋3π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝sin 3π4＝22.答案 B 二、填空题6.函数f (x )是周期函数，10是f (x )的一个周期，且f (2)＝2，则f (22)＝________. 解析 f (22)＝f (22－20)＝f (2)＝ 2. 答案27.关于x 的函数f (x )＝sin(x ＋φ)有以下说法：①对任意的φ，f (x )都是非奇非偶函数；②存在φ，使f (x )是偶函数；③存在φ，使f (x )是奇函数；④对任意的φ，f (x )都不是偶函数.其中错误的是________(填序号).解析 φ＝0时，f (x )＝sin x 是奇函数.φ＝π2时，f (x )＝cos x 是偶函数.答案 ①④8.已知函数f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3＋φ，ω≠0，φ∈(－π，π)为奇函数，则φ＝________. 解析 由题意知π3＋φ＝k π，k ∈Z ，即φ＝－π3＋k π，k ∈Z .∵φ∈(－π，π)，当k ＝0时，φ＝－π3；当k ＝1时，φ＝2π3.答案 －π3或2π3三、解答题9.判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫34x ＋3π2 (2)f (x )＝x ·cos x . 解 (1)f (x )的定义域是R ，且f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫34x ＋3π2＝－cos 34x ，所以f (－x )＝f (x )，则f (x )是偶函数.(2)f (x )的定义域是R ，又f (－x )＝(－x )·cos(－x )＝－x cos x ＝－f (x )，所以f (x )是奇函数.10.已知f (x )是以π为周期的偶函数，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝1－sin x ，求当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤52π，3π时，f (x )的解析式. 解 x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤52π，3π时，3π－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝1－sin x ， ∴f (3π－x )＝1－sin(3π－x )＝1－sin x .又∵f (x )是以π为周期的偶函数，∴f (3π－x )＝f (－x )＝f (x )，∴f (x )的解析式为f (x )＝1－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤52π，3π. 能力提升11.设f (x )＝log 31－2sin x 1＋2sin x. (1)求函数f (x )的定义域.(2)判断函数f (x )的奇偶性.(3)试判断f (x )是否为周期函数？若是直接写出f (x )的最小正周期.解 (1)∵1－2sin x 1＋2sin x>0，∴－12<sin x <12， ∴k π－π6<x <k π＋π6，k ∈Z ，∴该函数的定义域为{x |k π－π6<x <k π＋π6，k ∈Z }.(2)由(1)知定义域关于原点对称，又f (－x )＝log 31＋2sin x 1－2sin x ＝log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2sin x 1＋2sin x －1 ＝－log 31－2sin x 1＋2sin x＝－f (x )， ∴该函数为奇函数.(3)f (x )为周期函数，T ＝2π.12.已知函数f (x )＝sin 2x ＋cos x ＋1cos x ＋1. (1)求函数f (x )的定义域并判断函数的奇偶性；(2)求函数f (x )的最小正周期.解 (1)由cos x ＋1≠0，得x ≠2k π＋π，k ∈Z ，所以函数f (x )的定义域为{x |x ∈R ，x ≠2k π＋π，k ∈Z }，f (x )＝sin 2x ＋cos x ＋1cos x ＋1＝1－cos 2x ＋cos x ＋1cos x ＋1＝－cos 2x ＋cos x ＋2cos x ＋1＝（cos x ＋1）（2－cos x ）cos x ＋1＝2－cos x .因为f(－x)＝f(x)，且函数f(x)的定义域关于坐标原点对称，故函数f(x)为偶函数.(2)因为f(x)＝2－cos x(x≠2kπ＋π，k∈Z)，所以f(x)的最小正周期为2π.。
九年级三角函数知识点
九年级三角函数知识点三角函数是中学高中数学中重要的一部分内容，它是描述角和边之间关系的数学函数。
在九年级数学学习中，我们将学习一些基本的三角函数知识点，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
在本文中，我将介绍这些知识点的定义、性质和应用。
一、正弦函数正弦函数是最基本的三角函数之一，它用于描述角和其对边之间的关系。
在一个直角三角形中，角的正弦是指角的对边与斜边之间的比值。
正弦函数的定义如下：sinθ = 对边/斜边其中，θ为角的度数。
正弦函数具有以下性质：1. 值域：对于任意角θ，-1 ≤ sinθ ≤ 1。
2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-θ) = -sinθ。
3. 周期性：正弦函数的周期为360°或2π，即sin(θ+360°) = sinθ。
正弦函数在实际应用中广泛运用，例如在三角测量、物体振动等领域。
二、余弦函数余弦函数也是常见的三角函数之一，它用来描述角和其邻边之间的关系。
在一个直角三角形中，角的余弦是指角的邻边与斜边之间的比值。
余弦函数的定义如下：cosθ = 邻边/斜边余弦函数具有以下性质：1. 值域：对于任意角θ，-1 ≤ cosθ ≤ 1。
2. 偶奇性：余弦函数是偶函数，即cos(-θ) = cosθ。
3. 周期性：余弦函数的周期为360°或2π，即cos(θ+360°) =cosθ。
余弦函数在解决实际问题中也有广泛应用，例如在三角测量、力学分析等领域。
三、正切函数正切函数是另一个常见的三角函数，它用于描述角的对边与邻边之间的关系。
在一个直角三角形中，角的正切是指角的对边与邻边之间的比值。
正切函数的定义如下：tanθ = 对边/邻边正切函数具有以下性质：1. 值域：对于任意角θ，tanθ的值不受限制。
2. 奇偶性：正切函数是奇函数，即tan(-θ) = -tanθ。
3. 周期性：正切函数的周期为180°或π，即tan(θ+180°) = tanθ。
九年级正弦函数的定义
2、 如图，在平面直角坐标系内有一点 P (3，4)，连接 OP，求 OP 与 x 轴正方向所夹锐角 α 的正弦值.
解：如图，设点 A (3，0)，连接 PA . 则PA⊥x轴
在Rt△APO中，由勾股定理得
OP OA2 AP2 32 42 5.
α
A (3,0)
因此 sin AP 4 .
C DB
五、课堂小结
正弦函数的概念
sin
A
=
∠A的对边
斜边
正弦函数
正弦函数的应用
已知边长求正弦值 已知正弦值求边长
AB= BC
C 设BC=1，则 由勾股定理
AB是 直角三角形的斜边
在450角直角三角形中
450的 对边 直角的斜边
=？ A
2
45° 1
AC= AB2 BC2 2
1 450的 对边 直角的斜边
B
=
1
2
2 2
问题引入
2
30° A
B 60°
1
C
300的对边 1
=
斜边
2
2
45° 1 A
450的对 边斜边
可知：不同的角，这个比值是不同的， 即这个比值是随着角A的变化而变化 因此是角A的函数. 是三角形中的函数，因此叫三角函数.
B 1 C
=2 2
B
30°
2
22 12
3
60°
A
1
600的对
边斜边
C
3
=2
二、三角函数定义 ----正弦函数的定义 在Rt△ABC中，∠C=900，如图
B
弦
斜边
股
对边
∠A正弦函数=
5
苏科版数学九年级下册7.2《正弦、余弦》(第1课时)讲教学设计
苏科版数学九年级下册7.2《正弦、余弦》（第1课时）讲教学设计一. 教材分析苏科版数学九年级下册7.2《正弦、余弦》这一节主要介绍了正弦和余弦的概念以及它们的性质。
学生需要了解正弦和余弦的定义，掌握它们的性质，并能够运用正弦和余弦知识解决实际问题。
本节课的内容是学生学习三角函数的基础，对于学生来说具有重要的意义。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了角的度量、弧度制等知识，对于角度有一定的了解。
同时，学生还学习了锐角三角函数的概念，对于三角函数有一定的认识。
但是，学生对于正弦和余弦的性质以及运用正弦和余弦解决实际问题还比较陌生，需要教师通过实例进行讲解和引导。
三. 教学目标1.了解正弦和余弦的定义，掌握它们的性质。
2.能够运用正弦和余弦知识解决实际问题。
3.培养学生的数学思维能力，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.正弦和余弦的定义。
2.正弦和余弦的性质。
3.运用正弦和余弦解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、实例教学法、小组合作法等教学方法。
通过问题引导学生思考，通过实例让学生理解正弦和余弦的性质，通过小组合作让学生互相讨论和交流，提高学生的学习效果。
六. 教学准备1.准备正弦和余弦的实例，用于讲解和引导学生理解正弦和余弦的性质。
2.准备一些实际问题，用于巩固学生对正弦和余弦的运用。
3.准备教学PPT，用于辅助教学。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾锐角三角函数的概念，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT呈现正弦和余弦的定义，让学生初步了解正弦和余弦的概念。
然后，通过实例讲解正弦和余弦的性质，让学生理解并掌握正弦和余弦的性质。
3.操练（10分钟）学生分组合作，利用正弦和余弦的性质解决实际问题。
教师巡回指导，为学生提供帮助。
4.巩固（10分钟）教师通过PPT呈现一些实际问题，让学生独立解决。
学生展示解题过程，教师进行点评和指导。
5.拓展（10分钟）教师引导学生思考正弦和余弦在实际生活中的应用，让学生发挥想象，提高学生的创新能力。
第1章1.3三角函数的计算(教案)2023-2024学年九年级下册数学(教案)(北师大版)
4.三角函数的值域：让学生了解正弦、余弦函数的值域，并能解决相关问题。
5.解决实际问题：运用三角函数知识解决生活中的实际问题，如测量物体的高度等。
二、核心素养目标
《第1章1.3三角函数的计算》核心素养目标如下：
1.培养学生的逻辑推理能力，通过三角函数定义、性质及计算方法的推导，使学生在解决问题的过程中形成严密的逻辑思维。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了三角函数的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对三角函数任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在这次《三角函数的计算》的教学中，我发现学生们对三角函数的概念和应用有了初步的认识，但在实际操作和深入理解上还存在一些问题。让我来谈谈我在教学过程中的体会和反思。
（3）角度制与弧度制的转换：在实际应用中，角度制与弧度制的转换是学生容易混淆的地方。
举例：在计算三角函数值时，如何将角度制转换为弧度制，以及如何将弧度制转换为角度制。
（4）三角函数的复合应用：在解决复杂问题时，学生可能难以将多个三角函数综合运用。
举例：在求解多边形内角和或复杂图形的面积时，如何运用多个三角函数知识进行求解。
（2）三角函数的计算公式：熟练掌握正弦、余弦、正切的计算公式，并能运用这些公式解决相关问题。
举例：如sin30°=1/2，cos45°=√2/2等特殊角的三角函数值，以及利用计算公式求解一般角度的三角函数值。
（3）三角函数的值域：了解正弦、余弦函数的值域，并能应用于实际问题。
举例：正弦、余弦函数的值域均为[-1,1]，解释在实际问题中，如物体运动、波形图等，这些值域的意义。
苏科版数学九年级下册7.2《正弦、余弦》(第1课时)讲说课稿
苏科版数学九年级下册7.2《正弦、余弦》（第1课时）讲说课稿一. 教材分析苏科版数学九年级下册7.2《正弦、余弦》这一课时，是在学生学习了锐角三角函数的基础上进行授课的。
本节课的主要内容是正弦和余弦的概念、性质及其应用。
通过本节课的学习，学生能够掌握正弦和余弦的定义，理解它们的性质，并能运用正弦和余弦解决一些实际问题。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。
二. 学情分析在进入九年级下册的学习之前，学生已经掌握了锐角三角函数的相关知识，对三角函数有一定的认识。
但是，对于正弦和余弦的概念、性质及其应用，学生可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，我需要引导学生逐步理解正弦和余弦的定义，通过举例、讲解、练习等方式，让学生逐步掌握它们的性质和应用。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解正弦和余弦的概念，掌握它们的性质，并能运用正弦和余弦解决一些实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、思考、讨论等方法，学生能够自主探究正弦和余弦的性质，培养学生的探究能力和合作意识。
3.情感态度与价值观目标：学生能够体验数学与实际生活的联系，增强对数学的兴趣和自信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：正弦和余弦的概念、性质及其应用。
2.教学难点：正弦和余弦的性质的理解和运用。
五. 说教学方法与手段在本节课的教学过程中，我将采用以下教学方法与手段：1.情境教学法：通过生活实例引入正弦和余弦的概念，让学生感受数学与实际生活的联系。
2.引导发现法：在讲解正弦和余弦的性质时，引导学生观察、思考、讨论，发现其中的规律。
3.练习法：通过丰富的练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
六. 说教学过程1.导入：以生活实例引入正弦和余弦的概念，激发学生的学习兴趣。
2.新课讲解：讲解正弦和余弦的定义，通过例题和练习题，让学生掌握它们的性质。
3.课堂讨论：引导学生观察、思考、讨论正弦和余弦的性质，培养学生的探究能力和合作意识。
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28．1锐角三角函数
第1课时 正弦函数
1．能根据正弦概念正确进行计算；(重点) 2．能运用正弦函数解决实际问题．(难点)
一、情境导入
牛庄打算新建一个水站，在选择水泵时，必须知道水站(点A )与水面(BC )的高度(AB )．斜坡与水面所成的角(∠C )可以用量角器测出来，水管的长度(AC )也能直接量得．
二、合作探究
探究点一：正弦函数
如图，sin A 等于( )
A ．2 B.
55 C.1
2
D. 5 天才是百分之一的天分,再加上百分之
九十九的努力
解析：根据正弦函数的定义可得sin A ＝1
2
，故选C.
方法总结：我们把锐角A 的对边a 与斜边c 的比叫做∠A 的正弦，记作sin A .即sin A ＝∠A 的对边斜边
＝a
c . 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第2题
探究点二：正弦函数的相关应用 【类型一】 在网格中求三角函数值
如图，在正方形网格中有△ABC ，则sin ∠ABC 的值等于( )
A.31010
B.1010
C.13
D ．10
解析：∵AB ＝20，BC ＝18，AC ＝2，∴AB 2＝BC 2＋AC 2，∴∠ACB ＝90°，∴sin ∠ABC ＝AC AB ＝220＝10
10
.故选B. 方法总结：解决有关网格的问题往往和勾股定理及其逆定理相联系，根据勾股定理求出三边长度，再运用勾股定理的逆定理判断三角形形状．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题 【类型二】 已知三角函数值，求直角三角形的边长
在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4，sin A ＝2
3，则AB 的长为( )
A.8
3
B ．6
C ．12
D ．8 解析：∵sin A ＝BC AB ＝4AB ＝2
3
，∴AB ＝6.故选B.
方法总结：根据正弦定义表示出边的关系，然后将数值代入求解，记住定义是解决问题的关键．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第6题 【类型三】 三角函数与等腰三角形的综合
已知等腰三角形的一条腰长为25cm ，底边长为30cm ，求底角的正弦值．
解析：先作底边上的高AD ，根据等腰三角形三线合一的性质得到BD ＝1
2BC ＝15cm ，
再由勾股定理求出AD ，然后根据三角函数的定义求解．
解：如图，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D .∵AB ＝AC ＝25cm ，BC ＝30cm ，AD 为底边上的高，∴BD ＝12BC ＝15cm.由勾股定理得AD ＝AB 2－BD 2＝20cm ，∴sin ∠ABC ＝AD AB ＝20
25＝
4
5
. 方法总结：求三角函数值一定要在直角三角形中求值，当图形中没有直角三角形时，要通过作高，构造直角三角形解答．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题 【类型四】 在复杂图形中求三角函数值
如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，如果AD ＝9，DC ＝5，E 为AC 的中点，求
sin ∠EDC 的值．
解析：首先利用勾股定理计算出AC 的长，再根据直角三角形的性质可得DE ＝EC ，根据等腰三角形性质可得∠EDC ＝∠C ，进而得到sin ∠EDC ＝sin ∠C ＝AD
AC
.
解：∵AD ⊥BC ，∴∠ADC ＝90°，∵AD ＝9，DC ＝5，∴AC ＝92＋52＝106.∵E 为
AC 的中点，∴DE ＝AE ＝EC ＝12AC ，∴∠EDC ＝∠C ，∴sin ∠EDC ＝sin ∠C ＝AD AC ＝9
106＝
9106
106
. 方法总结：求三角函数值的关键是找准直角三角形或利用等量代换将角或线段转化进行解答．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题 【类型五】 在圆中求三角函数值
如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，且CD ⊥AB ，BC ＝6，AC ＝8，求sin ∠
ABD 的值．
解析：首先根据垂径定理得出∠ABD ＝∠ABC ，然后由直径所对的圆周角是直角，得出
∠ACB ＝90°，根据勾股定理算出斜边AB 的长，再根据正弦的定义求出sin ∠ABC 的值，从而得出sin ∠ABD 的值．
解：由条件可知AC ︵＝AD ︵
，∴∠ABD ＝∠ABC ，∴sin ∠ABD ＝sin ∠ABC .∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°.在Rt △ABC 中，∵BC ＝6，AC ＝8，∴AB ＝BC 2＋AC 2＝10，∴sin ∠ABD
＝sin ∠ABC ＝AC AB ＝4
5
.
方法总结：求三角函数值时必须在直角三角形中．在圆中，由直径所对的圆周角是直角可构造出直角三角形．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题 三、板书设计 1．正弦的定义；
2．利用正弦解决问题．
在教学过程中，重视过程，深化理解，通过学生的主动探究来体现他们的主体地位，教师是通过对学生参与学习的启发、调整、激励来体现自己的引导作用，对学生的主体意识和合作交流的能力起着积极作用.。