九年级数学三角函数
初三数学三角函数(含答案)
初中数学三角函数1、勾股定理：直角三角形两直角边 a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
a 2b 2c 24、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值； 任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。
tan A cot B cot A tan Bcot-1 ~3~6、 正弦、余弦的增减性：当0°w < 90°时，sin 随 的增大而增大，cos 随 的增大而减小7、 正切、余切的增减性：当0° < <90°时，tan 随 的增大而增大，cot 随 的增大而减小。
1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）一所有未知的 边和角。
依据：①边的关系： a 2b 2c 2;②角的关系：A+B=90 °；③边角关系：三角函数的定义。
（注意：尽量避免使用中间数据和除法）2、应用举例：（1）仰角：视线在水平线上方的角； 俯角：视线在水平线下方的角（2）坡面的铅直高度 h 和水平宽度I 的比叫做坡度（坡比）。
用字母i 表示，即i y 。
坡度一 般写成1: m 的形式，如i 1:5等。
把坡面与水平面的夹角记作 （叫做坡角），那么h + i tan 。
l3、 从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。
如图 3, OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。
4、 指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。
如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30° （东北方向）， 南 偏东45° （东南方向），南偏西60° （西南方向）， 北偏西60° （西北方向）。
铅垂线*视线 ‘ 仰角水平线俯角1*视线初三数学三角函数综合试题一、填空题： 1、在 Rt △ ABC 中/C = 90°, a = 2, b = 3,则 cosA =_, sinB =_ , tanB = ___ 2、直角三角形 3、已知tan ABC 的面积为24cm 2，直角边AB 为6cm , / A 是锐角，则sinA = =—, 是锐角，贝U sin 12 + ) + cos 2(40 ° 4、 cos 2(50° — _______ ? 5、 如图1,机器人从A 点，沿着西南方向，行了个4,：2单位，至U 达 60°的方向上，贝U 原来 )—tan(30)tan(60 ° + 到原点O 在它的南偏东 保留根号).A 的坐标为B 点后观察 _ (结果 NMNC 0(2)10cm 周长为36cm 则一底角的正切值为_、3的山坡走了 50米，则他离地面 米高。
新人教版九年级数学三角函数教案5篇最新
新人教版九年级数学三角函数教案5篇最新三角形中的恒等式是我们经常在考试中遇到的题型，教师需要好的教案范围去教导学生，今天小编在这里整理了一些新人教版九年级数学三角函数教案5篇最新，我们一起来看看吧!新人教版九年级数学三角函数教案1教学目的1，使学生了解本章所要解决的新问题是：已知直角三角形的一条边和另一个元素(一边或一锐角)，求这个直角三角形的其他元素。
2，使学生了解“在直角三角形中，当锐角A取固定值时，它的对边与斜边的比值也是一个固定值。
重点、难点、关键1，重点：正弦的概念。
2，难点：正弦的概念。
3，关键：相似三角形对应边成比例的性质。
教学过程一、复习提问1、什么叫直角三角形?2，如果直角三角形ABC中∠C为直角，它的直角边是什么?斜边是什么?这个直角三角形可用什么记号来表示?二、新授1，让学生阅读教科书第一页上的插图和引例，然后回答问题：(1)这个有关测量的实际问题有什么特点?(有一个重要的测量点不可能到达)(2)把这个实际问题转化为数学模型后，其图形是什么图形?(直角三角形)(3)显然本例不能用勾股定理求解，那么能不能根据已知条件，在地面上或纸上画出另一个与它全等的直角三角形，并在这个全等图形上进行测量?(不一定能，因为斜边即水管的长度是一个较大的数值，这样做就需要较大面积的平地或纸张，再说画图也不方便。
)(4)这个实际问题可归结为怎样的数学问题?(在Rt△ABC中，已知锐角A和斜边求∠A的对边BC。
)但由于∠A不一定是特殊角，难以运用学过的定理来证明BC的长度，因此考虑能否通过式子变形和计算来求得BC的值。
2，在RT△ABC中，∠C=900，∠A=300，不管三角尺大小如何，∠A的对边与斜边的比值都等于1/2，根据这个比值，已知斜边AB的长，就能算出∠A的对边BC的长。
类似地，在所有等腰的那块三角尺中，由勾股定理可得∠A的对边/斜边=BC/AB=BC/=1/=/2 这就是说，当∠A=450时，∠A的对边与斜边的比值等于/2，根据这个比值，已知斜边AB的长，就能算出∠A 的对边BC的长。
九年级数学三角知识点归纳总结
九年级数学三角知识点归纳总结数学是一门基础性的学科，对于学生的思维能力和逻辑思维能力的培养有着重要的作用。
在九年级数学中，三角函数是一个重要的知识点。
它对于理解几何形状和解决问题具有重要的意义。
本文将对九年级数学中的三角知识点进行归纳总结，帮助同学们更好地理解和掌握这部分内容。
1. 正弦、余弦、正切正弦、余弦、正切是三角函数中最常见的三个函数。
在直角三角形中，对于一个锐角角度A，我们可以定义三角函数。
- 正弦函数：sin(A) = 对边/斜边- 余弦函数：cos(A) = 邻边/斜边- 正切函数：tan(A) = 对边/邻边这些函数可以表示角度和三角形边长之间的关系，帮助我们求解各种三角形问题。
在计算中，我们也经常用到它们的倒数函数：余切、余割、正割。
2. 弧度制与角度制角度可以用角度制和弧度制来表示。
在三角函数中，角度制的角度范围是0°到360°，而弧度制的角度范围是0到2π。
两者之间的换算关系是：角度 = 弧度× 180°/π。
在九年级的学习中，我们会经常遇到角度制和弧度制的转换问题。
因此，我们需要掌握这两种表示方法以及它们之间的关系。
3. 三角函数的基本性质三角函数有一些基本的性质，这些性质在解决问题中起到了重要的作用。
- 正弦函数的性质：在一个周期内，正弦函数是一个周期为360°（2π）的周期函数，其值域在[-1, 1]之间。
正弦函数的图像呈现出典型的波浪形。
- 余弦函数的性质：与正弦函数类似，余弦函数也是一个周期为360°（2π）的周期函数，其值域也在[-1, 1]之间。
余弦函数的图像也呈现出波浪形，但与正弦函数的图像相位相差90°。
- 正切函数的性质：正切函数是一个没有定义域的周期函数，在某些点上的值是无限大。
它的图像以45°（π/4）为中心，两侧呈现出分叉的形式。
正切函数的周期是180°（π）。
北师大版九年级三角函数
北师大版九年级三角函数在我们的数学学习旅程中，九年级的三角函数就像是一座神秘而又充满魅力的山峰，等待着我们去攀登和探索。
三角函数不仅是数学中的重要概念，也是解决实际问题的有力工具。
接下来，让我们一起走进北师大版九年级三角函数的奇妙世界。
一、什么是三角函数三角函数是描述三角形中边与角之间关系的函数。
在一个直角三角形中，我们通常会用到三个主要的三角函数：正弦（sin）、余弦（cos）和正切（tan）。
正弦函数（sin）是指一个锐角的对边与斜边的比值。
比如，在一个直角三角形中，如果一个锐角为 A，它的对边为 a，斜边为 c，那么 sin A ＝ a ／ c 。
余弦函数（cos）是指一个锐角的邻边与斜边的比值。
仍以上面的三角形为例，角 A 的邻边为 b，那么 cos A ＝ b ／ c 。
正切函数（tan）则是指一个锐角的对边与邻边的比值，即 tan A ＝a ／b 。
二、三角函数的性质1、周期性正弦函数和余弦函数都具有周期性。
正弦函数 sin x 的周期是2π，余弦函数 cos x 的周期也是2π。
这意味着，每隔2π 的长度，函数的值会重复出现。
2、奇偶性正弦函数是奇函数，即 sin(x) ＝ sin x ；余弦函数是偶函数，即cos(x) ＝ cos x 。
3、值域正弦函数和余弦函数的值域都在－1, 1 之间，而正切函数的值域是全体实数。
三、三角函数的应用三角函数在实际生活中有广泛的应用。
比如，在测量建筑物的高度时，如果我们知道测量点到建筑物底部的距离以及测量点观察建筑物顶部的仰角，就可以通过三角函数来计算建筑物的高度。
在航海中，通过测量船只与灯塔之间的角度以及距离，可以确定船只的位置。
在物理学中，三角函数也经常用于描述周期性的运动，如简谐振动。
四、如何求解三角函数要准确求解三角函数的值，需要掌握一些特殊角度的三角函数值。
比如，30°、45°、60°等常见角度的正弦、余弦和正切值，我们应该牢记于心。
九年级三角函数知识点归纳
九年级三角函数知识点归纳三角函数是数学中的一个重要分支，它是研究三角形与角的关系的数学工具。
在九年级的数学学习中，我们将会接触到一些基础的三角函数知识点。
本文将对这些知识点进行归纳总结，希望能够帮助大家更好地理解和掌握三角函数的概念与应用。
一、角度和弧度制在学习三角函数之前，我们需要了解两种常用的角度计量单位，即角度制和弧度制。
在角度制中，一个圆周被等分为360份，每一份称为一度，记作°；而在弧度制中，一个圆周被等分为2π份，每一份称为一弧度，记作rad。
二、正弦、余弦和正切函数常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。
我们用记号sin(x)、cos(x)和tan(x)分别表示角x的正弦、余弦和正切值。
这些函数的定义如下：1. 正弦函数：正弦函数的定义域是所有实数，值域是[-1, 1]，其图像是一个振荡的曲线。
与x轴的交点称为正弦函数的零点。
2. 余弦函数：余弦函数的定义域是所有实数，值域也是[-1, 1]，其图像是一个振荡的曲线。
与y轴的交点称为余弦函数的零点。
3. 正切函数：正切函数的定义域是除了一些不连续点外的所有实数，值域是(-∞, +∞)，其图像是呈现周期性的波动。
正切函数在定义域上存在无穷多个零点。
三、基本三角函数关系三角函数之间有着一些基本的关系，其中最重要的是勾股定理和三角函数的定义关系。
1. 勾股定理：对于一个直角三角形，设两条边的长分别为a和b，斜边的长为c，则根据勾股定理有c² = a² + b²。
勾股定理为解决三角形问题提供了基本的数学工具。
2. 三角函数的定义关系：三角函数的定义关系可以用来计算非特殊角的三角函数值。
例如，sin(θ) = a/c，cos(θ) = b/c，tan(θ) = a/b。
这些定义关系使得我们可以通过已知一个角的某个三角函数值来计算其他三角函数的值。
四、三角函数的周期性三角函数都是周期性函数，可通过图像来观察到这一点。
人教版九年级数学下册三角函数全章课件
B．
C．
D．
【解析】选B.根据正切的函数定义，角A的正切应是它的 对边与邻边的比，所以B是正确，A是∠B的正切；C和D都 错．
2.（黄冈中考）在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝ 则tanB＝（ B ）
3.（丹东中考）如图，小颖利用有一
C
个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度， 30
已知她与树之间的水平距离BE为5m，AB为 °A
【规律方法】 1.记住30°，45 °，60 °的特殊值，及推导方式，可以 提高计算速度. 2.会构造直角三角形，充分利用勾股定理的有关知识结 合三角函数灵活运用.
B
直角三角形三边的关系.
直角三角形两锐角的关系. A
直角三角形边与角之间的关系.
c
a
┌
b
C
特殊角30°,45°,60°角的三角函数值. 30° 互余两角之间的三角函数关系.
2)如图，sinA=
（×）
2.在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大100倍，sinA
的值（ C ）
A.扩大100倍 C.不变
B.缩小 1
100
D.不能确定
3.如图 A
B
1
3
，则 sinA=___2___ .
30°
C
7
1.（温州中考）如图，在△ABC中，∠C=90°, AB=13，
BC=5，则sinA的值是（
）
A. 5 13
B. 12
13
C. 5
12
D. 13
5
【解析】选A．由正弦的定义可得
sin A BC 5 . AB 13
2.在平面直角平面坐标系中,已知点A(3,0)和B(0,-4),则
九年级三角函数公式大全
九年级三角函数公式大全1二倍角公式正弦形式：sin2α=2sinαcosα正切形式：tan2α=2tanα/(1-tan^2(α))余弦形式：cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)2、三倍角公式sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)tan3a=tana·tan(π/3+a)·tan(π/3-a)3、四倍角公式sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1))cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4)tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)2半角公式1、正弦sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)2、余弦cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)3、正切tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))3积化和差sina*cosb=[sin(a+b)+sin(a-b)]/2 cosa*sinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2 cosa*cosb=[cos(a+b)+cos(a-b)]/2 sina*sinb=[cos(a-b)-cos(a+b)]/24和差化积sina+sinb=2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2] sina-sinb=2sin[(a-b)/2]cos[(a+b)/2]cosa+cosb=2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]cosa-cosb=-2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]5诱导公式1、任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα2、设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα3、利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα4、设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z)cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z)tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z)cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z)5、利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα6、π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαcot(π/2+α)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanαsin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinαtan(3π/2+α)=-cotαcot(3π/2+α)=-tanαsin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotαcot(3π/2-α)=tanα。
九年级三角函数知识点梳理
九年级三角函数知识点梳理在九年级数学学习中，三角函数是一个重要的知识点。
三角函数是数学中研究三角形的一种函数关系，它可以帮助我们解决与三角形相关的各种计算问题。
本文将对九年级三角函数的知识点进行梳理，以帮助同学们更好地掌握这一内容。
1. 三角函数的定义三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
正弦函数（sin）定义为对边与斜边之比，余弦函数（cos）定义为邻边与斜边之比，正切函数（tan）定义为对边与邻边之比。
三角函数在单位圆上通过一个点的坐标值的来定义，可以转化为一种几何意义上的含义。
2. 三角函数的基本性质正弦函数、余弦函数和正切函数都有一些基本的性质。
例如，正弦函数和余弦函数的值域都是[-1,1]，正切函数的值域是整个实数集。
这些性质对于解题时的条件和限制起着重要的作用。
3. 三角函数的图像正弦函数、余弦函数和正切函数在坐标系中的图像是由单位圆上的点的坐标值来确定的。
它们的图像具有一定的周期性和对称性。
通过观察图像，我们可以更好地理解三角函数的特点，并根据图像进行简单的计算和分析。
4. 三角函数的特殊角在三角函数的学习中，特殊角是一个重要的内容。
特殊角指的是某些角的度数取值特殊，以便于计算和应用。
例如，常见的特殊角有30度、45度和60度，它们对应的三角函数值可以通过几何意义和相关公式进行计算。
5. 三角函数的应用三角函数的应用广泛存在于各个学科和实际问题中。
例如，在几何中可以利用三角函数计算三角形的边长和角度，也可以在物理学中用于计算力的分解和合成等。
熟练掌握三角函数的应用方法，可以使我们更好地解决实际问题。
6. 三角函数与解三角形解三角形是三角函数应用的一个重要内容。
根据给定的已知条件，可以利用三角函数关系解出未知的边长和角度。
这个过程往往需要灵活应用三角函数的定理和公式，同时也需要一定的代数运算能力。
7. 三角函数的扩展在九年级数学学习完成了基本的三角函数知识后，同学们可以进一步学习和扩展三角函数的内容。
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a cos B , c
sinA和cosB,有什么关系?
sinA=cosB,
想一想P10 2
本领大不大 悟心来当家
如图,观察一副三角板: 它们其中有几个锐角?分别是多少度?
驶向胜利 的彼岸
300
(1)sin300等于多少?
(2)cos300等于多少?
450
450
┌
600
┌
(3)tan300等于多少?
请与同伴交流你是怎么想的?又是怎么做的?
做一做P10 3
知识在于积累
(5)sin450,sin600等于多少? (6)cos450,cos600等于多少?
驶向胜利 的彼岸
300
(7)50,tan600等于多少?
450
450
老师期望: 你能对伴随九个学年的这副三角尺所具有的功能来个 重新认识和评价. 根据上面的计算,完成下表:<特殊角的三角函数值表>
咋办
?
老师提示: 1 将实际问 0 0 60 30 , ∠AOD OD=2.5m, 题数学化. 2 OC 解:如图,根据题意可知,
cos 30 0 , OD
0
O
●
3 OC OD cos30 2.5 2.165(m). 2 B ┌C D ∴AC=2.5-2.165≈0.34(m). A ∴最高位置与最低位置的高度差约为0.34m.
300
450
450
┌
600
┌
独立 作业
知识的升华
P17 习题1.3 1,2,3题;
祝你成功！
驶向胜利 的彼岸
P13 习题1.3 1,2题
1.计算;(1)tan450-sin300; (2)cos600+sin450-tan300;
独立 作业
A
36 tan
2
30 3 sin 60 2 cos45 .
解答
?
2 3 1 1 2 2
2
0.
3 1 1 4 4
cos2600表示 (cos600)2, 其余类推.
6 随堂练习P12
知识的运用
计算: (1)sin600-cos450;(2)cos600+tan600; 怎样 做？
驶向胜利 的彼岸
九年级数学(下)第一章
直角三角形的边角关系
第二节 30°45°60°角的三角函数
实中数学组搜集整理
回顾与思考 1
锐角三角函数定义
驶向胜利 的彼岸
直角三角形中边与角的关系:锐角三角函数. 在直角三角形中,若一个锐角确定,那么这个角的对边,邻 边和斜边之间的比值也随之确定.
a sin A , c b sin B , c b cos A , c
┌
600
┌
做一做P11 4
洞察力与内秀
三角函数 正弦sinα 锐角α 余弦 cosα
驶向胜利 的彼岸
特殊角的三角函数值表
正切tanα
300
要能记 住有多 好
450
600
1 2 2 2 3 2
3 2 2 2 1 2
3 3
1
3
这张表还可以看出许多 知识之间的内在联系?
5 例题欣赏P11
行家看“门道”
2.5
随堂练习P128
八仙过海,尽显才能
驶向胜利 的彼岸
2.某商场有一自动扶梯,其倾斜角为300,高为7m, 扶梯的长度是多少? B
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°, ∠A,∠B ,∠C的对边分别是a,b,c. 求证:sin2A+cos2A=1
c a ┌ C
老师期望:
A
b
sin2A+cos2A=1它反映了同角之间的三角函数的关系, 且它更具有灵活变换的特点,若能予以掌握,则将有益 于智力开发.
驶向胜利 的彼岸
结束寄语
•
下课了!
在数学领域中,提出问题的艺术比解 答的艺术更为重要. • ——康托尔
驶向胜利 的彼岸
例1 计算: (1)sin300+cos450;(2) sin2600+cos2600-tan450. 解: (1)sin300+cos450 老师提示: 1 2 1 2 . 2600表示 Sin 2 2 2 怎样 (sin600)2, (2) sin2600+cos2600-tan450
0 0 0
B
┐
C
2.如图,河岸AD,BC互相平行,桥AB垂 直于两岸.桥长12m,在C处看桥两端 A,B,夹角∠BCA=600. 求B,C间的距离(结果精确到1m).
驶向胜利 的彼岸
P13 习题1.3 3题
独立 作业
3.如图,身高1.5m的小丽用一个两锐角分别是300和600 的三角尺测量一棵树的高度.已知她与树之间的距离为 5m,那么这棵树大约有多高?
2 3 sin 450 sin 600 2 cos450. 2 2 2 0 4 sin 30 cos2 600 2 cos2 450. 2 老师期望:
只要勇敢地走向黑板来 展示自己,就是英雄!
7 便是欣赏P11
真知在实践中诞生
驶向胜利 的彼岸
例2 如图:一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为 2.5m,当秋千向两边摆动时,摆角恰好为600,且 两边摆动的角度相同,求它摆至最高位置时与其 摆至最低位置时的高度之差(结果精确到0.01m).
小结
拓展
回味无穷 驶向胜利
的彼岸
• 直角三角形中的边角关系
看图说话: 直角三角形三边的关系. 直角三角形两锐角的关系. 直角三角形边与角之间的关系. 特殊角300,450,600角的三角函数 值. 互余两角之间的三角函数关系. 同角之间的三角函数关系
B
c a A b ┌ C