安徽省舒城中学2017届高三数学理科寒假作业

安徽省舒城中学2017届高三数学理科寒假作业选择题：（本大题共12小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合(){}2ln 45A x y x x =∈=-++Z ，集合{}3x B y y =∈=R ，则集合A B I 的元素个数为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．162．已知a ∈R ，复数12z ai =+，212z i =-，若12z z 为纯虚数，则a 的值为（ ）A ．0B ．1C ．3D ．53．已知p ：a ∀∈R ，1≥a e a +，q ：,αβ∃∈R ，()sin sin sin αβαβ+=+，则下列命题为真命题的是（ ）A ．()p q ∧⌝B ．()p q ⌝∧C ．p q ∧D ．()()p q ⌝∧⌝4．已知幂函数()f x x α=的图象过点，且()21f m ->，则m 的取值范围是（ ）A ．1m <或3m >B ．13m <<C ．3m <D ．3m > 5．已知1sin 3cos 5x x -=，则cos 1sin x x +的值为（ ）A ．35-B ．35C ．53-D ．536．已知向量a ，b 满足：5=a ，1=b ，34≤-a b ，则向量b 在向量a 方向上的投影的取值范围是（ ）A ．3,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．30,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．3,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]0,17．已知点D 为ABC ∆所在平面内一点，且34AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r，若点E 为直线BC 上一点，且AD AE λ=u u u r u u u r，则λ的值为（ ）A ．1B ．3C ．5D ．78．已知函数()()2sin sin 3f x x x ϕ=+是奇函数，其中0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则函数()()sin 22g x x ϕ=+ 的图象（ ）A ．可由()f x 的图象向左平移6π个单位而得到 B ．可由()f x 的图象向右平移6π个单位而得到C ．可由()f x 的图象向左平移3π个单位而得到D ．可由()f x 的图象向右平移3π个单位而得到9．已知函数(),0ln ,0≤x e a x f x x x ⎧-+=⎨>⎩（e 为自然对数的底数），则“方程()0f x =有且只有一个实根”的充分不必要条件是（ ）A ．0a <B ．1≥aC ．112a << D ．0≤a 或1a > 10．设函数()f x 的定义域为R ，则下列命题中真命题的个数为（ ）①函数()1y f x =+与函数()1y f x =-的图象关于直线1x =对称； ②若函数()2f x +为奇函数，则()()()1230f f f ++=；③若函数()f x 的图象关于直线1x =对称，且对任意x 都有()()2f x f x +=-，则()f x的图象关于点()2,0-对称；④若对任意1x ，2x 都有()()()12121f x x f x f x +=++，则函数()1f x +为奇函数．A ．1B ．2C ．3D ．411.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．43B ．53C ．63D ．8312．设函数()f x 是定义在(0,)∞上的单调函数，且对(0,)x ∈∞都有(()ln )1f f x x e -=+，则方程'()()f x f x e -=的实数解所在的区间是（ ）A ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(),3eD ．()1,e二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分．） 13．121x x --=⎰．14．已知()11,A x y ，()22,B x y 是以坐标原点O 为圆心的单位圆上的两点，劣弧»AB 所对的圆心角为α，若7sin cos 17αα+=，则1212x x y y += ． 15．已知函数()()sin 0,2≤f x x πωϕωϕ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭为()f x 的图象的对称中心，4x π=为()f x 的极值点，且()f x 在52185，ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调，则ω的最大值为 ． 16．已知函数()4sin cos 2424f x x x ππππ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()3124x g x -=+，若()f x 与()g x 的图象的交点分别为()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，则()1ni i i y x =-=∑ ．三、解答题：（解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，2AB =，1cos 3B =，点D 在线段BC 上．（Ⅰ）若34ADC π∠=，求AD 的长； （Ⅱ）若2BDDC =，ACD ∆的面积为3，求sin sin BADCAD∠∠的值．18．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S 且152,30a S ==，数列{}n b 的前n 项和为n T ，且21n n T =-. （Ⅰ）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设ln (1)ln n n n n c b S =+-，求数列{}n c 的前n 项和n M .19．（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 与侧面11CBB C 都是菱形，1ACC ∠=1160CC B ∠=︒，2AC =．（Ⅰ）求证：11AB CC ⊥；（Ⅱ）若1AB =11C AB A --的余弦值．20．（本小题满分12分）已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在y 轴正半轴上，抛物线上的点(),4P m 到其焦点F 的距离等于5．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若正方形ABCD 的三个顶点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ()1230≤≤x x x <在抛物线C 上，设直线BC 的斜率为k ，正方形ABCD 的面积为S ，求S 的最小值．21．（本小题满分12分）已知函数()()ln ,x af x m a m x-=-∈R 在x e =（e 为自然对数的底数）时取得极值且有两个零点． （Ⅰ）求实数m 的取值范围；（Ⅱ）记函数()f x 的两个零点分别为1x ，2x ，证明：212x x e ⋅>．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知曲线C ：2cos ρθ=，将曲线C 上的点向左平移一个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C 1，直线l：cos 3sin3x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），且直线l 与曲线C 1交于A ，B 两点．（Ⅰ）求曲线C 1的直角坐标方程，并说明它是什么曲线；（Ⅱ）设定点(P ，求11PA PB+．23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 设函数()231f x x x =++-． （Ⅰ）解不等式()4f x >；（Ⅱ）若存在03,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦使不等式()01a f x +>成立，求实数a 的取值范围．第一天一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ABCDBCDAACAD二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分．） 13．2π； 14．817-； 15．5； 16．5．三、解答题：（解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分） 【解】（Ⅰ）∵1cos 3B =，∴22sin 3B =．在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin AB ADADB B=∠， 又2AB =，4ADB π∠=，22sin 3B =．∴83AD =． （Ⅱ）∵2BD DC =，∴2ABD ADC S S ∆∆=，3ABC ADC S S ∆∆=，又423ADC S ∆=， ∴42ABC S ∆=，∵1sin 2ABC S AB BC ABC ∆=∠g ，∴6BC =， ∵1sin 2ABD S AB AD BAD ∆=∠g ，1sin 2ADC S AC AD CAD ∆=∠g ，2ABD ADC S S ∆∆=，∴sin 2sin BAD ACCAD AB∠=∠g， 在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-∠g ．∴42AC =，∴sin 242sin BAD ACCAD AB∠==∠g ．18．（本小题满分12分）【解】（Ⅰ）}{n a Θ是等差数列，2102530245515=⇒+⨯=⇒⨯+=∴d d d a S n a n 2=∴．数列}{n b 的前n 项和为nT ，且12-=nn T ．2,11≥=∴n b 时112--=-=n n n n T T b ，)N (2*1∈=∴-n b n n ．（Ⅱ）)1(2)1(2+=+⋅=n n n n S n ． )]1(ln[)1()2ln(ln )1(ln 1+-+=-+=-n n S b c n n n n n n )]1ln([ln )1(2ln )1(++-+-=n n n nn n n N n n N n M +-=+-++++⨯=∴2ln 2)1()]1(210[2ln Λ 其中)]1ln([ln )1()4ln 3(ln )3ln 2(ln )2ln 1(ln ++-+++-+++-=n n N nn Λ)1ln()1(+-=n n ．)1ln()1(2ln 2)1(+-+-=∴n n n M n n ．20．（本小题满分12分）【解】（Ⅰ）设抛物线方程为：22x py =，又4+52p=Q ，即2p =， ∴抛物线的方程为24x y = ．（Ⅱ）由（Ⅰ），可设直线BC 的方程为：222()(0)4x y k x x k =-+>， 由2222()44x y k x x x y ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，得2222440x kx x kx --+= ， 易知23x x 、为该方程的两个根，故有234x x k +=，得324x k x =-，从而得322||))BC x x k x =-=-， 类似地，可设直线AB 的方程为：2221()4x y x x k =--+，从而得22||)AB kx k =+， 由||||AB BC =，得222(2)(2)k k x kx -=+g， 解得3222(1)k x k k -=+，=||BC 21)1()(0)(1)k f k k k k +==>+因为=||BC 1()f k ==≥=，所以32||2≥=BC S ，即S 的最小值为32，当且仅当1k =时取得最小值．21．（本小题满分12分）【解】 （Ⅰ）()()21ln 1ln a x x a a x x f x x x--+-'==g ，由()10a f x x e +'=⇒=，且当1a x e +<时，()0f x '>，当1a x e +>时，()0f x '<，所以()f x 在1a x e +=时取得极值，所以10a e e a +=⇒=， 所以()()()2ln 1ln ,0,x xf x m x f x x x-'=->=，函数 ()f x 在()0,e 上递增，在(),e +∞上递减，()1f e m e=-， ()00x x →>时，();f x x →-∞→+∞时，()(),f x m f x →-有两个零点12,x x ，故11,00m m e e m ⎧->⎪<<⎨⎪-<⎩． （Ⅱ）不妨设12x x <，由题意知1122ln ln x mx x mx =⎧⎨=⎩，则()()221121221121lnln ,ln x x x x x m x x m x x m x x x =+=-⇒=-，欲证212x x e >g ，只需证明：()12ln 2x x >g ，只需证明：()122m x x +>，即证：()122211ln 2x x x x x x +>-，即证2122111ln21x x x x x x +>-，设211x t x =>，则只需证明：1ln 21t t t ->+g ， 也就是证明：1ln 201t t t -->+g ，记()()1ln 2,11t u t t t t -=->+g ，∴()()()()222114011t u t t t t t -'=-=>++，∴()u t 在()1,+∞单调递增， ∴()()10u t u >=，所以原不等式成立，故212x x e >得证．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程【解】（Ⅰ）曲线C 的直角坐标方程为：222x y x +=，即22(1)1x y -+=，∴曲线1C 的直角坐标方程为2214x y +=， ∴曲线1C表示焦点坐标为(0)，0)，长轴长为4的椭圆．（Ⅱ）直线12:2x t l y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 是参数）将直线l 的方程代入曲线1C 的方程2214x y +=中，得21312804t t ++=．设,A B 对应的参数方程为12,t t ，则124813t t +=-，123213t t =， 结合t 的几何意义可知，1212121248||||||11||||31332||||||||||||213t t t t PA PB PA PB PA PB t t t t ++++=====g ．23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 【解】（Ⅰ）∵()|23||1|.f x x x =++-33223()412321x x f x x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪∴=+-≤≤⎨⎪+>⎪⎪⎩3311()42232432444x x x f x x x x ⎧⎧><--≤≤⎧⎪⎪>⇔⎨⎨⎨+>⎩⎪⎪-->+>⎩⎩或或 211x x x ⇔<-<≤>或0或 综上，不等式()4f x >的解集为：(),2(0,)-∞-+∞U ． 使不等式01()a f x +>成立min1(())a f x ⇔+> 由（Ⅰ）知，3,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()4f x x =+32x ∴=-时，min 5(())2f x =． 53122a a +>⇔>．∴实数a 的取值范围为3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．。