文理科数学试题参考答案及评分标准
202104数学文理合答案及评分标准
高考模拟考数学试卷（文理）参考答案一、填空题(本大题满分56分)1．12．13．3(1)x-，x∈R4．π5．6．3278．3-9．（理）15（文）123n-10．（理）15 11．（理）114（文）12．（理）16（文）213．（理）2016（文）11414．（理）128（文）2016二、选择题(本大题满分20分)15．B 16．D17．C 18．C三、解答题(本大题满分74分)19．(本题满分12分)[解] 联结PO，AO，由题意，PO⊥平面ABC，因为凳面与地面平行，所以PAO∠就是PA与平面ABC所成的角，即60PAO∠=︒．（2分）在等边三角形ABC中，18AB=，得AO=，（4分）在直角三角形PAO中，18OP=，（6分）由0.618OPh OP=-，解得47.13h≈厘米．（9分）三根细钢管的总长度3163.25sin60h≈︒厘米．（12分）20．(本题满分13分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分7分．[解]（1）因为()sin cos)fx a x b xxθ=++（其中sinθ=cosθ=），所以()f x=（2分）及422fπ⎛⎫=+=⎪⎝⎭（4分）解得1a=-，3b=或3a=，1b=-．（6分）（2）易知，当xπ=于是162fπ⎛⎫==⎪⎝⎭b=（8分）于是()sin2sin()3f x x x xπ=+=+，（10分）当()f x=2x k=π或23x kπ=π+（k∈Z）．（12分）因为[0,2]x∈π，故所求x的值为0，3π，2π．（13分）21．(本题满分13分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分7分．[证明]（1）任取121x x-<<，1212121222()()11x xx xf x f x a ax x---=+--++1 / 42 / 4121212121212223()()()11(1)(1)x x x x x x x x a a a a x x x x ⎛⎫---=-+-=-+⎪++++⎝⎭．（3分） 因为121x x -<<，1a >，所以12x x a a <，110x +>，210x +>，120x x -<，于是120x x a a -<，12123()0(1)(1)x x x x -<++，得12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <．因此，函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数．（6分）（2）（反证法）若存在负实数0x （01x ≠-），使得0()0f x =，即方程201x x a x -+=+有负实数根．（8分） 对于21x x a x -=-+，当00x <且01x ≠-时，因为1a >，所以0110,,1x a a a ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（10分）而000231(,1)(2,)11x x x --=-+∈-∞-+∞++．（13分） 因此，不存在负实数0x 使得21x x a x -=-+，得证． 22．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． （理）[解]（1）11k =-、22k =-（答案不唯一）．（4分）（2）由题设，22(1)n n a kb n k n n==+-+．（6分）当21k =，2时，2()kf n n n =+均单调递增，不合题意，因此，23k ≥．当23k ≥时，对于2()kf n n n=+，当n ()f n 单调递减；当n ()f n 单调递增．由题设，有123b b b >>，34b b <<．（8分） 于是由23b b >及43b b >，可解得2612k <<． 因此，2k 的值为7，8，9，10，11．（10分）（3）2,0,||0,0.n n n n n n a a c a a a >⎧=+=⎨⎩≤其中2121212()()()n a n k n k n k k n k k =--=-++，且12k k <．当120k k <≤时，{}n a 各项均为正数，且单调递增，2n n c a =，也单调递增，不合题意；当120k k <≤时，222,,0,.n n a n k c n k >⎧=⎨⎩≤ 不合题意；（12分）于是，有120k k <<，此时12122,,0,.n n a n k or n k c k n k <>⎧=⎨⎩≤≤（14分）因为0i j c c =≠（i 、*j ∈N ，i j <），所以i 、12(,)j k k ∉．于是由212121222()()2[()]n n c a n k n k n k k n k k ==--=-++，可得1222k k i j++=，进一步得120i k k j <<<<，此时，i 的四个值为1，2，3，4，因此，1k 的最小值为5．（16分） 又1S 、2S 、…、n S 中有至少3个连续项的值相等，其它项的值均不相等， 不妨设+1+2==m m m S S S =，于是有+1+2==0m m c c =，因为当12k n k ≤≤时，0n c =，所以12512k m m k =+<+<≤≤， 因此，26k ≥，即2k 的最小值为6．（18分）（文）[解]（1）设直线310x y -+=上点的坐标为00(,31)x x +，代入22x y -，3 / 4得2222200031(31)8()88x y x x x -=-+=--+，（2分） 对于x ∈R ，22118x y -<≤，因此，直线31y x =+上的点都在(1,1)C 的外部．（4分）（2）设点N 的坐标为00(,)x y ，由题设22001x y -≥．（6分）20||MN x =22001xy +≥，得||1MN≥，（8分）对于0y ∈R ，于是6||MN ≥，（10分）因此，||MN ．（3）因为圆222x y r +=和双曲线(,)a b C均关于坐标轴和原点对称，所以只需考虑这两个曲线在第一象限及x 、y 轴正半轴的情况．由题设，圆与双曲线的交点平分该圆在第一象限内的圆弧，它们交点的坐标为,22⎫⎪⎪⎝⎭．（12分）将2x =，2y =代入双曲线(,)a b C 方程，得2222122r r a b-=（*），（13分）又因为(,)a b C 过点(2,1)，所以22411a b-=，（15分）将22241b a b =+代入（*）式，得22283b r b =-．（17分）由222308rb r =>-，解得28r >．因此，r 的取值范围为)+∞．（18分） 23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．（理）[解]（1）由题意，直线1y kx =+上点00(,1)x kx +满足221x y -<，即求不等式2200(1)1x kx -+<的解为一切实数时k 的取值范围．（1分）对于不等式220(1)220k x kx ---<， 当1k =±时，不等式的解集不为一切实数，（2分）于是有22210,48(1)0,k kk ⎧-<⎪⎨∆=+-<⎪⎩解得||k > 故k 的取值范围为(,(2,)-∞+∞．（4分）（2）因为圆222x y r +=和双曲线(,)a b C 均关于坐标轴和原点对称，所以只需考虑这两个曲线在第一象限及x 、y 轴正半轴的情况．由题设，圆与双曲线的交点平分该圆在第一象限内的圆弧，它们交点的坐标为⎝⎭．将x ，y =代入双曲线(,)a b C 方程，得2222122r r a b-=（*），（6分）又因为(,)a b C 过点(2,1)，所以22411a b-=，（7分）将22241b a b =+代入（*）式，得22283b r b =-．（9分）4 / 4由222308r b r =>-，解得28r >．因此，r的取值范围为)+∞．（10分） （3）由2||1xy mx =+，得1||||||y m x x =+．将1||||||y m x x =+代入22221x y a b-<，由题设，不等式22221||||1m x x x a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-<对任意非零实数x 均成立．（12分） 其中22222222222221||||1[()2]m x x x a b a m x a m a b a b x⎛⎫+ ⎪⎝⎭-=---． 令2x t =，设22222()()2a f t b a m t a m t=---，（0t >）． 当2220b a m ->时，函数()f t 在(0,)+∞上单调递增，()1f t <不恒成立；（14分）当2220b a m -<时，2222()a b a m t t---≤函数()f t的最大值为22a m --，因为0m >01<<；（16分）当2220b a m -=时，22()201a f t a m t =--<<．（17分）综上，2220b a m -≤，解得b m a ≥．因此，m 的取值范围为,b a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．（18分）（文） [解]（1）11k =-、22k =-（答案不唯一）．（4分）（2）由题设，22(1)n n a kb n k n n==+-+．（6分）当21k =，2时，2()kf n n n =+均单调递增，不合题意，因此，23k ≥．当23k ≥时，对于2()kf n n n=+，当n ()f n单调递减；当n ()f n 单调递增．由题设，有123b b b >>，34b b <<．（8分） 于是由23b b >及43b b >，可解得2612k <<． 因此，2k 的值为7，8，9，10，11．（10分）（3）因为2121212()()()n a n k n k n k k n k k =--=-++，且120k k <<，所以12122,,||0,.n n n n a n k or n k c a a k n k <>⎧=+=⎨⎩≤≤（12分）因为0i j c c =≠（i 、*j ∈N ，i j <），所以i 、12(,)j k k ∉．（14分）于是由212122[()]n c n k k n k k =-++，可得1222k k i j++=，进一步得120i k k j <<<<， 此时，i 的四个值为1，2，3，4，因此，1k 的最小值为5．（16分）又1S 、2S 、…、n S 中有至少3个连续项的值相等，其它项的值均不相等，不妨设+1+2==m m m S S S =，于是有+1+2==0m m c c =，因为当12k n k ≤≤时，0n c =，所以12512k m m k =+<+<≤≤， 因此，26k ≥，即2k 的最小值为6．（18分）。
理科数学参考答案及评分标准
理科数学参考答案及评分标准参考答案1.C 解析：{}|22A x x x =<->或，则{}|22R C A x x =-≤≤，又{}|1B x x =>，∴()R C A B =I{}|12x x <≤，故选C.2.B解析：22|1||1(1)(1)||23|z z i i i ++=++++=+=，故选B.3.B 解析：等差数列{}n a 中，由11212()1802a a +=，得11230a a +=，∴5830a a +=，又512a =，∴818a =，故选B.4.D 解析：若//a b ，但a ⊂α，显然//a α不成立；若//a α，且b α⊂，则//a b 或a 与b 异面，∴“//a b ”是“//a α”的既不充分也不必要条件，故选D.5.A 解析：由θ的终边上一点P 的坐标为(1,2)，得sin θ=，cos θ=，∴sin cos sin 2cos θθθθ⋅=+= A. 6.C 解析：“从4名男生和3名女生 选出的3人中至少有1名女生”的不同的选法共337431C C -=种，故选C.7.C 解析：设双曲线的方程为223x y -=λ，代入点的坐标，得6λ=-，∴该双曲线方程为2236x y -=-即22162y x -=，故选C.8.D 解析：()f x 的定义域为{}|1x x ≠±，且11()ln ||ln ||()11x xf x f x x x-+-==-=-+-，所以()f x 为奇函数，排除选项B ，又1x >时，12()ln ln(1)11x f x x x +==+--单调递减，且(3)ln 21f =<，所以排除选项A 及选项C ，故选D.9.B 解析：结合()2sin()4f x x πω=-的图象，若02x π≤≤时，()f x的值域为[2]，则342322ππωππω⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，∴332ω≤≤，故选B.10.D 解析：记AB ，AC 边的中点分别为点M ，N ，则OM AB ⊥，ON AC ⊥，则()AO BC AO AC AB ⋅=⋅-u u u r u u u r u u u r u r u u u r||||cos ||||cos ||||||||AO AC AO AB AO AC OAC AO AB OAB AC AN AB AM =⋅-⋅=∠-∠=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r2211||||1022AC AB =-=u u ur u u u r ，故选D.11.D 解析：当[0,1]x ∈时，()sin f x x =π的图象关于直线12x =对称，结合(1)2()f x f x +=可得()f x 在 其它区间中的图象及对称轴，如图.由()0g x =，得()f x k =，考虑直线y k =与()f x 在区间[1,4]-内的图象的交点情况，结合四个选项中k 的取值范围，当1(0,)2k ∈时，所有的十个交点的横坐标之和为1135715-++++=；当(1,2)k ∈时，所有的六个交点的横坐标之和为135715+++=；当(4,8)k ∈时，所有的两个交点的横坐标之和为715≠. 综上，1(0,)(1,2)2k ∈U 时，函数()g x 在区间[1,4]-12.C 解析：记点P 在底面ABCD 内的射影为点H ，则PH⊥底面ABCD ，且H 为棱AD 的中点，记正方形ABCD 的中心为1O ，∵球心O 与1O 的连线与底面ABCD 垂直，且可求得1||AO =||2PH =，设球半径为R ，∴1||||EH OO ===，1||||1OE O H ==，∴||2PE =，在Rt PEO ∆中，由222||||||PO PE EO =+得222(21R =+，解得24116R =，∴该球的表面积为414π，故选C.ABCD H1O OPE13.1- 解析：满足约束条件的可行域为图中阴影部分，作出直线20x y +=并平移，当其移至过点(3,5)A -时 即当3x =-，5y =时，2z x y =+的最小值为1-.14.300解析：6(x 展开式的通项为136622166(2)(2)r r r r r r r T C x x C x ---+=-=-（0r =，1，2，L ，6），在36(1)(x x +-展开式中，3x 项为22334403661(2)(2)300C x x C x x ⋅-+⋅-=，∴3x 项的系数为300. 15.4e - 解析：()f x由12()()f x fx =可得12ln x x =，且1201x x e <≤<≤，∴214x x -可化为224ln x x -，2(1,]x e ∈. 令()4ln g x x x =-，(1,]x e ∈，则44()1x g x x x-'=-=，∵(1,]x e ∈，∴()0g x '<，∴()g x 在(1,]e 上单调递减，其最小值为()4g e e =-，故214x x -的最小值是4e -.16.12n n a n +=⋅，6 解析：由12(1)n n na n a +=+得，121n n a a n n +=⋅+，且141a =，∴n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭成首项为4，公比为2的等比数列，∴142n n a n-=⋅，即12n n a n +=⋅. ∵121222(1)(2)(1)(2)21n n n n a n n n n n n n +++⋅==-++++++，∴n S =32432122222222()()()23243212n n n n n n +++-+-++-=-+++L . ∵3212232n n n n S S n n +++-=-++2(1)2(2)(3)n n n n ++⋅=++0>，∴n S 随n 的增大而增大，且630S =，∴n 的最小值为6.17.解：（Ⅰ）甲恰好答对两道题的概率为223113()(1)228C -=， 乙通过初试的概率为2233111311()(1)()222882C -+=+=. ……………………………6分（Ⅱ）依题意，甲、乙、丙三人是否通过初试彼此相互独立，且通过初试的概率均为12， 甲、乙、丙三人中通过初试的人数0X =，1，2，3，∴311(0)(1)28P X ==-=，123113(1)(1)228P X C ==-=， 223113(2)()(1)228P X C ==-=，311(3)()28P X ===，∴X 的分布列为X 的数学期望13313()012388882E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………………………12分18.解：（Ⅰ）由43sin 4cos c b A a B =+，得4sin 3sin sin 4sin cos C A B A B =+，又sin sin()sin()C A B A B π=--=+，∴4sin()3sin sin 4sin cos A B A B A B +=+，∴4sin cos 4cos sin 3sin sin 4sin cos A B A B A B A B +=+，整理得4cos sin 3sin sin A B A B =， ……………………………3分 ∵(0,)B π∈，∴sin 0B > ∴4cos 3sin A A =，∴4tan 3A =……………………………6分 （Ⅱ）∵4cos 3sin A A =，22sin cos 1A A +=，(0,)A π∈，∴3cos 5A =，4sin 5A =，又cos 5B =，(0,)B π∈，∴sin B =，∴sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+= ……………………………9分 ∴sin sin C B =， ∴2b c ==， ∵D 为BC 边中点， ∴AD BC ⊥，∴sin AD c B ==AD. ……………………………12分 19.解：（Ⅰ）∵90BAD ∠=o，//AD BC ，∴90ABC ∠=o，即BC AB ⊥，∵PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PA BC ⊥，又PA AB A =I ，∴BC ⊥平面PAB ，又AE ⊂平面PAB ， ∴BC AE ⊥， ∵PA AB =，点E 为棱PB 的中点，∴AE PB ⊥，又PB BC B =I ，∴AE ⊥平面PBC ……………………………6分（Ⅱ）以点A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图. 设22PA AB AD BC ====，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,1,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P ，则(1,0,1)E ，(0,1,1)F设(,,)n x y z =r 为平面ACF 的法向量，由00n AC n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u rr u u u r得(,,)(2,1,0)(,,)(0,1,1)x y z x y z ⋅=⎧⎨⋅=⎩∴20x y y z +=⎧⎨+=⎩，取1x =，得(1,2,2)n =-r ， FPABCDE又由（Ⅰ）得平面PBC 的一个法向量为(1,0,1)AE =u u u r，∴|||cos ,|2||||AE n AE n AE n ⋅<>===u u u r ru u u r r u u u r r 故平面PBC 与平面ACF 所成锐二面角的大小为45o. ……………………………12分 20.解：（Ⅰ）由(0)1f =-，得1b =-，∵()(cos sin )f x a x x x '=-，依题意，()22f a πππ'=-=-，∴2a =，∴()2cos 1f x x x =-，()()2(cos sin )g x f x x x x '==-， ∴()2(2sin cos )2(2sin cos )g x x x x x x x '=--=-+，∵(0,)2x π∈，∴()0g x '<，∴()g x 在区间(0,)2π内单调递减. ……………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知()f x '在区间(0,)2π内单调递减，又(0)20f '=>，()02f ππ'=-<，∴0(0,)2x π∈，使得0()0f x '=，当00x x <<时，()0f x '>；当02x x π<<时，()0f x '<，∴()f x 在0(0,)x 内单调递增，在0(,)2x π内单调递减， ∵(0)10f =-<，()1044f π=->，()102f π=-<， ∴()f x 在(0,)4π及(,)42ππ内各有一个零点，即()f x 在(0,)2π内有两个不同的零点. ………12分21.解：（Ⅰ）(0,1)F ，依题意，直线AB 与x 轴不垂直，设AB 的方程为1y kx =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，由214y kx x y=+⎧⎨=⎩ 得2440x kx --=， ∵216160k ∆=+>，∴124x x k +=，124x x =-，由24x y =得214y x =，∴12y x '= 则直线MA 的方程为1111()2y y x x x -=-，且21114y x =， ∴MA ：2111124y x x x =-， 同理，直线MB 的方程为2221124y x x x =-， 由21122211241124y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 消y 得2212121()()2x x x x x -=-，又12x x ≠∴121()22M x x x k =+=，21121121111()12244M y x x x x x x =⋅+-==- ∴(2,1)M k -在定直线 1y =-上 ……………………………6分（Ⅱ）∵点D 为AB 的中点，∴1222D M x x x k x +===， 2121212(1)(1)()221222D y y kx kx k x x y k ++++++====+，且DM x ⊥轴，∴2N D x x k ==，2214N N y x k ==， ∴ABM ∆的面积22112121211|||||||21(1)|(1)||22D M S x x y y x x k k x x =⋅-⋅-=⋅-⋅+--=+⋅-， AMN ∆的面积221221112111|2||||||(1)|(1)||2224N M x x S x k y y x k k x x +=⋅-⋅-=⋅-⋅--=⋅+⋅-，∴21122212(1)||=41(1)||4S k x x S k x x +⋅-=⋅+⋅-. ……………………………12分 22.解：（Ⅰ）由2222sin )sin )x y θθθθ+=-++，得曲线C 方程为224x y +=． ……………………………3分直线l的极坐标方程展开为1sin )22ρθθ-=， 故l40y --=． ……………………………5分（Ⅱ）（方法一）P 的坐标为(0,4)-，设直线m 方程为cos 4sin x t y t αα=⎧⎨=-+⎩（t 为参数），将其代入方程中224x y +=，得28sin 120t t α-+=， ……………………………8分 设A ，B 对应的参数为1t ，2t ，∴1212||||||||12||PA PB t t t t ⋅⋅===为定值． ……………………………10分 （方法二）P 的坐标为(0,4)-，曲线C 是以O 为圆心，半径为2的圆过点P 做与圆C 相切的直线，设切点为M ， 则222||||212PM PO =-=，∴2||||||12PA PB PM ⋅==为定值． ……………………………10分23.解：（Ⅰ）2(1),031,0()2|||1|2(1),011,012(1),131,1x x x x x f x x x x x x x x x x x x x ---≤-+≤⎧⎧⎪⎪=+-=--<≤=+<≤⎨⎨⎪⎪+->->⎩⎩…………………………3分∴当0x ≤时，()1f x ≥；当01x <≤时，1()2f x <≤；当1x >时，()2f x > ∴()f x 的值域为[1,)+∞∴1m = ……………………………5分 （Ⅱ）∵a ，b ，c 均为正数，且1a b c ++=，∴111111()()a b c a b c a b c++=++++3()()()b a c b a c a b b c c a=++++++39≥+= ……………………………9分 （当且仅当b a a b =，c b b c =，a cc a=，即13a b c ===时取等号）……………………………10分。
数学(理科)试题参考答案及评分标准
2019 年广州市高三年级调研测试数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题． 910．1- 11. ①②③ 12．3413. ()(),01,-∞+∞14．50 15．()1,1- 简答或提示：7．解1：设圆心为2,(0)a a a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则r =≥=1a =时等号成立.当r 最小时，圆的面积2S r π=最小，此时圆的方程为22(1)(2)5x y -+-=，选A .解2：画图可得，当直线20x y m ++=与曲线2(0)y x x=>相切时，以切点为圆心，切点到直线210x y ++=的距离为半径的圆为所求.设切点为000(,)(0)P x y x >，因为22'y x =-，所以222x -=-，解得001,2x y ==，r =22(1)(2)5x y -+-=为所求，选A . 8．将数列分组：1213214321,,,,,,,,,, (112)1231234⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．设2010a 位于第n 组，由(1)(1)201022n n n n -+<<，解得63n =，所以2010a 位于第63组中的第63622010572⨯-=项，故2010757a =，选B ．12．22012132()4(2)P A x x dx ⨯⨯==-+⎰． 14．由FP BC ⊥，FQ AC ⊥，得C 、Q 、F 、P 四点共圆，所以CQP CFP B ∠=∠=∠()180A C =-∠+∠()180607050=-+=．15．即求直线20x y -+=与抛物线段2y x =（02y ≤≤）的交点，交点的直角坐标为()1,1-．三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分12分）（1）解：依题意得，(cos 3,sin AB OB OA θθ=-=-，……………………………2分 所以()(222cos 3sin ABθθ=-+136cos 13θθ=-+=，……………………………………………………4分3cos θθ=．因为cos 0θ≠，所以tan θ=． ……………………………………………………………6分 （2）解：由02πθ≤≤，得6AOB πθ∠=+． ………………………………………………8分所以1sin 2AOB S OA OB AOB∆=∠ 11sin 266ππθθ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，…………………………………10分所以当3πθ=时，△AOB …………………………………………12分17．（本小题满分12分）（1）解：ξ的所有可能取值为0，1，2．………………………………………………………1分依题意，得3436C 1(0)C 5P ξ===， 214236C C 3(1)C 5P ξ===， 124236C C 1(2)C 5P ξ===． ∴ξ的分布列为∴ 0121555E ξ=⨯+⨯+⨯=． ……………………………………………………………6分 （2）解法1：设“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B ，则()2536C 1C 2P A ==，()1436C 1C 5P AB ==， ……………………………………………………10分∴()()()25P AB P B A P A ==．故在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为25．…………………………………12分 解法2：设“男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中”为事件C ，从4个男生、2个女生中选3人，男生甲被选中的种数为25C 10=，…………………………8分 男生甲被选中，女生乙也被选中的种数为14C 4=，……………………………………………10分∴()1425C 42C 105P C ===． 故在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为25．…………………………………12分18．（本小题满分14分） 方法1：以D 为原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()0,2,0C ，()11,0,1A ，()10,0,1D ．xyz…………………………………………………………………1分 设0(1,,0)E y ()002y ≤≤．………………………………2分 （1）证明：∵()101,,1D E y =-，()11,0,1A D =--． 则()()1101,,11,0,10D E A D y =---=， ∴11D E A D ⊥，即11D E A D ⊥． ……………………………4分 （2）解：当2AE =-1D EC D --的平面角为4π．…………………………5分 ∵0(1,2,0)EC y =--，()10,2,1D C =-， …………………………………………………6分 设平面1D EC 的法向量为1(,,)x y z =n ，则10110(2)0200EC x y y y z D C ⎧=-+-=⎧⎪⇒⎨⎨-==⎩⎪⎩n n ， ………………………………………………………8分取1y =，则()102,1,2y =-n 是平面1D EC 的一个法向量．…………………………………9分 而平面ECD 的一个法向量为()20,0,1=n ， ………………………………………………10分 要使二面角1D EC D --的平面角为4π，则121212coscos 42π=<>===⋅n n n ,nn n ，………………………12分 解得02y =()002y ≤≤．∴当2AE =-时，二面角1D EC D --的平面角为4π．………………………………14分方法2：（1）证明：连结1AD ，在长方体1111ABCD A B C D -中，∵BA ⊥平面11ADD A ，1AD ⊂平面11ADD A ，∴1A D AE ⊥．……………………………1分 ∵11AD AA ==，则四边形11ADD A 是正方形，∴11A D AD ⊥．…………………………2分1A 1B11D∵1AEAD A =，∴1A D ⊥平面1AD E ．………3分∵1D E ⊂平面1AD E ，∴11D E A D ⊥． …………4分（2）解：当23AE =-时，二面角1D EC D --的平面角为6π． …………………………………………………………5分 连结DE ，过D 作DH EC ⊥交EC 于点H ，连结1D H ．………………………………6分 在长方体1111ABCD A B C D -中，1D D ⊥平面ABCD ，EC ⊂平面ABCD ，∴1D D ⊥EC ．…………………………………………………………………………………7分 ∵1DHD D D =，∴EC ⊥平面1D DH ．…………………………………………………8分∵1D H ⊂平面1D DH ，∴EC ⊥1D H ．……………………………………………………9分 ∴1D HD ∠为二面角1D EC D --的平面角，即16D HD π∠=．…………………………10分设AE x =()02x ≤≤，则2EB x =-，进而EC = ……………………11分 在△DEC 中，利用面积相等的关系有，EC DH CD AD ⨯=⨯， ∴DH =． ……………………………………………………………12分在Rt △1D DH 中，∵16D HD π∠=，∴1tan6D DDHπ=． ………………………………13分=，解得2x =-()02x ≤≤．故当2AE =时，二面角1D EC D --的平面角为6π．………………………………14分19．（本小题满分14分）（1）解：设(,)P x y ，则(2,0)MN =，(1,)NP x y =-，(1,)MP x y =+．……………2分 由||||MN NP MN MP ⋅=⋅，得2(1)x =+，…………………………………………………………………4分化简得24y x =．所以动点P 的轨迹方程为24y x =．……………………………………………………………5分（2）解：由点(),4A t 在轨迹24y x =上，则244t =，解得4t =，即()4,4A ． ………6分当4m =时，直线AK 的方程为4x =，此时直线AK 与圆22(2)4x y +-=相离．………7分 当4m ≠时，直线AK 的方程为4()4y x m m=--，即4(4)40x m y m +--=，…………8分 圆心(0,2)到直线AK的距离d =令2d =<，解得1m <；令2d ==，解得1m =；令2d =>，解得1m >．综上所述，当1m <时，直线AK 与圆22(2)4x y +-=相交；当1m =时，直线AK 与圆22(2)4x y +-=相切；当1m >时，直线AK 与圆22(2)4x y +-=相离．…………………………………14分20．（本小题满分14分）（1）解：∵()32f x x ax =-，∴()2'32f x x ax =-.…………………………………………1分∵函数()x f 在区间20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭内是减函数，∴()2'320f x x ax =-≤在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立．……2分即32x a ≥在20,3⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，……………………………………………………………………3分3321223x <⨯=，∴1a ≥．故实数a 的取值范围为[)1,+∞．……………………………4分 （2）解：∵()2'33f x x x a ⎛⎫=-⎪⎝⎭，令()'0f x =得203x a =或．…………………………5分 ①若0a ≤，则当12x ≤≤时，()'0f x >，所以()f x 在区间[]1,2上是增函数，所以()()11h a f a ==-．………………………………………………………………………6分 ②若302a <<，即2013a <<，则当12x ≤≤时，()'0f x >，所以()f x 在区间[]1,2上是 增函数，所以()()11h a f a ==-．……………………………………………………………7分 ③若332a ≤<，即2123a ≤<，则当213x a <<时，()'0f x <；当223a x <<时，()'0f x >．∴()f x 在21,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，在2,23a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数．∴()324327h a f a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭．…8分④若3a ≥，即223a ≥，则当12x <<时，()'0f x <，所以()f x 在区间[]1,2上是减函数． 所以()()284h a f a ==-．………………9分综上()331,,243,3,27284, 3.a a h a a a a a ⎧-<⎪⎪⎪=-≤<⎨⎪-≥⎪⎪⎩…………10分 （3）解：由题意()12h a m a ⎛⎫=+⎪⎝⎭即（2）中函数()h a 的图像与直线12y m a ⎛⎫=+⎪⎝⎭有两个 不同的交点．……………………………………………11分 而直线12y m a ⎛⎫=+⎪⎝⎭恒过定点1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，由右图知实数m 的取值范围是()4,1--．……14分21．（本小题满分14分）（1）证明：当1=n 时，()1111a S m ma ==+-，解得11=a ．……………………………1分 当2n ≥时，11n n n n n a S S ma ma --=-=-．…………………………………………………2分 即()11n n m a ma -+=．1∵m 为常数，且0m >，∴11n n a ma m-=+()2n ≥．…………………………………………3分 ∴数列}{n a 是首项为1，公比为1mm+的等比数列．………………………………………4分 （2）解：由（1）得，()m f q =1mm=+，1122b a ==． ………………………………5分∵()1111n n n n b b f b b ---==+，…………………………………………………………………6分∴1111n n b b -=+，即1111=--n n b b ()2n ≥．………………………………………………7分 ∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1是首项为12，公差为1的等差数列．………………………………………………8分∴()11211122n n n b -=+-⋅=，即221n b n =-（∈n N *）．………………………………9分 （3）证明：由（2）知221n b n =-，则()22421n b n =-．…………………………………10分 所以2222123n n T b b b b =++++ ()2444492521n =++++-，………………………11分当2n ≥时，()()24411222121n n n n n <=----， ………………………………………12分所以()2444492521n T n =++++-41111114923341n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭4011899218n =+-<．…………………………………………………………………14分。
2012年高考新课标卷数学(文科数学、理科数学)试卷真题及参考答案word版
2012年高考新课标卷数学（文科数学、理科数学）试卷真题及参考答案(河南、河北、黑龙江、吉林、宁夏、山西、内蒙古、新疆、云南)绝密*启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（新课标卷）文科数学注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.问答第Ⅰ卷时。
选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。
将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合A={x |x 2－x －2<0}，B={x |－1<x <1}，则（A ）A ⊂≠B （B ）B ⊂≠A （C ）A=B （D ）A ∩B=∅（2）复数z ＝－3+i 2+i 的共轭复数是（A ）2+i （B ）2－i （C ）－1+i （D ）－1－i3、在一组样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）（n ≥2，x 1,x 2,…,x n 不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i ，y i ）(i =1,2,…,n )都在直线y =12x +1上，则这组样本数据的样本相关系数为（A ）－1 （B ）0 （C ）12 （D ）1（4）设F 1、F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x =3a 2上一点，△F 1PF 2是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）（A ）12 （B ）23 （C ）34 （D ）455、已知正三角形ABC 的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C 在第一象限，若点（x ，y ）在△ABC 内部，则z =－x+y 的取值范围是（A ）(1－3，2) （B ）(0，2) （C ）(3－1，2) （D ）(0，1+3)（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数N(N ≥2)和实数a 1,a 2,…,a N ，输出A,B ，则（A ）A+B 为a 1,a 2,…,a N 的和（B ）A ＋B 2为a 1,a 2,…,a N 的算术平均数（C ）A 和B 分别是a 1,a 2,…,a N 中最大的数和最小的数（D ）A 和B 分别是a 1,a 2,…,a N 中最小的数和最大的数（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（A）6（B）9（C）12（D）18(8)平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为（A ）6π （B ）43π （C ）46π （D ）63π（9）已知ω>0，0<φ<π，直线x =π4和x =5π4是函数f (x )=sin(ωx +φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ=（A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π4（10）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A ，B 两点，|AB|=43，则C 的实轴长为（A ） 2 （B ）2 2 （C ）4 （D ）8(11)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是（A ）(0，22) （B ）(22，1) （C ）(1，2) （D ）(2，2)（12）数列{a n }满足a n +1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为（A ）3690 （B ）3660 （C ）1845 （D ）1830第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
高三理科数学试卷(含答案)
理科数学试卷参考答案及评分标准本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共11页，满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答；不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效.4. 填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集I 是实数集R ， 3{|2}{|0}1x M x x N x x -=>=≤-与都是I 的子集（如图所示）， 则阴影部分所表示的集合为A ．{}2x x <B ．{}21x x -≤<C ．{}12x x <≤D ．{}22x x -≤≤2．下列函数中既不是奇函数，又不是偶函数的是A ．2xy = B ． (lg y x =C ． 22xxy -=+ D ． 1lg1y x =+ 3．若曲线x x x f -=4)(在点P 处的切线平行于直线03=-y x ，则点P 的坐标为A ．（1，0）B ．（1，5）C ．（1，－3）D ．（－1，2）4．在ABC ∆中，a b 、分别是角A B 、所对的边，条件“a b <”是使 “cos cos A B >”成立的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5.422142x x dx -⎛⎫-++= ⎪⎝⎭⎰ A ．16 B ．18 C ．20 D ．226. 已知函数),6cos()6sin()(ππ++=x x x f 则下列判断正确的是A ．)(x f 的最小正周期为2π，其图象的一条对称轴为12π=xB ．)(x f 的最小正周期为2π，其图象的一条对称轴为6π=xC ．)(x f 的最小正周期为π，其图象的一条对称轴为12π=xD ．)(x f 的最小正周期为π，其图象的一条对称轴为6π=x7. 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A．2π+ B．42π+ C．6π+ D．62π+ 8. 若直线:10 l ax by ++=始终平分圆M ：224210x y x y ++++=的周长，则()()2222a b -+-的最小值为AB ．5C．D ．109. 设b c 、表示两条直线，αβ、表示两个平面，下列命题中真命题是A ．若c ∥α，c ⊥β，则αβ⊥B ．若b α⊂，b ∥c ，则c ∥αC ．若b α⊂，c ∥α，则b ∥cD ．若c ∥α，αβ⊥，则c β⊥10.已知数列{}n x 满足3n n x x +=，21||()n n n x x x n N *++=-∈，若11x =，2 (1,0)x a a a =≤≠，则数列{}n x 的前2010项的和2010S 为A ．669B ．670C ．1338D ．134011. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量).3,1(),1,3(,,====其中若10,≤≤≤+=μλμλ且，C 点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是俯视图正视图侧视图（第7题图）A ．B ．C ．D ．12．已知点F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A B 、两点，若ABE ∆是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是A ． ()1,+∞B ．()1,2C．(1,1+D．(2,1+第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13. 对任意非零实数a b 、，若a b ⊗的运算原理如图所示，则()221log 82-⎛⎫⊗= ⎪⎝⎭___1___．14．在ABC ∆中，已知41AB AC ==，，ABCS AB AC ∆=⋅则的值为 ±2 ．15. 设n S 表示等差数列{}n a 的前n 项和，且918S =，240n S =，若()4309n a n -=>，则n = 15 ．16. 已知两个不相等的实数a b 、满足以下关系式：204a sin a cos πθθ⋅+⋅-=，204b sin b cos πθθ⋅+⋅-=，则连接A ()2a ,a 、 B ()2b ,b 两点的直线与圆心在原点的单位圆的位置关系是 相交 ． 三、解答题：本大题共6个小题，共74分. 17．（本小题满分12分）已知函数2()sin cos f x x x x =． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 解：（Ⅰ）∵2()sin cos f x x x x =+)12sin cos cos 212x x x =⋅++（第13题图）1sin 2cos 2222x x =++ ……………3分sin 23x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ ……………5分 ∴ 函数()f x 的最小正周期22T ππ==． ……………6分 （Ⅱ）∵ 62x ππ-≤≤，40233x ππ≤+≤∴sin 213x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭， ……………9分 ∴0sin 213x π⎛⎫≤++≤= ⎪⎝⎭， ∴ ()f x 在区间,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为22，最小值为0．……………12分 18．（本小题满分12分）已知等腰直角三角形RBC ，其中∠RBC =90º， 2==BC RB ．点A 、D 分别是RB 、RC 的中点，现将△RAD 沿着边AD 折起到△PAD 位置，使PA ⊥AB ，连结PB 、PC ． （Ⅰ）求证：BC ⊥PB ；（Ⅱ）求二面角P CD A --的余弦值． 解：（Ⅰ）∵点D A 、分别是RB 、RC 的中点，∴ BC AD BC AD 21//=且. …… 2分∴ ∠090=∠=∠=RBC RAD PAD . ∴ AD PA ⊥又PA ⊥AB ，DA AB A =∴ ABCD PA 面⊥ ∴BC PA ⊥ ∵ A AB PA AB BC =⊥ ,,∴ BC ⊥平面PAB . …… 4分 ∵ ⊂PB 平面PAB ,∴ PB BC ⊥. …… 6分 （Ⅱ）法一：取RD 的中点F ，连结AF 、PF ．PCADBR(第18题图)∵ 1==AD RA ,∴ RC AF ⊥.又由（Ⅰ）知ABCD PA 面⊥, 而⊂RC 平面ABCD ,∴ RC PA ⊥. ………………… 8分 ∵ ,A PA AF= ∴ ⊥RC 平面PAF .∴ ∠AFP 是二面角P CD A --的平面角. ………………10分 在Rt △RAD 中, 22212122=+==AD RA RD AF ， 在Rt △PAF 中, 2622=+=AF PA PF ， ∴ 332622cos ===∠PF AF AFP . ………………11分 ∴ 二面角P CD A --的平面角的余弦值是33. ………………12分 （Ⅱ）法二：建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -． 则D （－1，0，0），C （－2，1，0），P （0，0，1）.∴=（－1，1，0）， =（1，0，1）, ……8分 设平面PCD 的法向量为),,(z y x n =，则n DC x y n DP x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩……10分 令1=x ，得1,1-==z y ， ∴ )1,1,1(-=n.FR ADBCP （第18题图）R（第18题图）显然，是平面ACD 的一个法向量=（,0,01-）．∴ cos<n ，33131=⨯=． ∴ 二面角P CD A --的余弦值是33. ………………12分 19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的首项15a =，前n 项和为n S ，且125n n S S n +=++()n N *∈．（Ⅰ）设1n n b a =+，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ． 解：（Ⅰ）由125n n S S n +=++()n N *∈得 ()1215n n S S n -=+-+(,2)n N n *∈≥两式相减得 121n n a a +=+ ……………………………… 3分 ∴ ()1121n n a a ++=+即 n n b b 21=+(,2)n N n*∈≥ …………………………………… 4分 又1165111122=+=++=-=a S S S a ∴ 12122=+=a b ，6111=+=a b∴ 122b b = …………………………………… 6分 ∴ 数列{}n b 是首项为6，公比为2的等比数列 ∴ n n n b 23261⋅=⋅=- ………………………………… 8分（Ⅱ）法一由（Ⅰ）知321nn a =⋅- ……………………………… 9分 ∴ 12n n S a a a =++⋅⋅⋅+2323232nn =⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅- ……………………………10分()221321n n -=⨯--1626326n n n n +=⋅--=⋅--． ……………………… 12分（Ⅱ）法二由已知125n n S S n +=++()n N *∈ ① 设()()112n n S c n d S cn d ++++=++ 整理得 12n n S S cn d c +=++- ②对照① 、②，得 1,6c d == ……………………………………8分 即①等价于 ()()11626n n S n S n ++++=++∴ 数列{}6n S n ++是等比数列，首项为11161612S a ++=++=，公比为2q = ∴ 11612232n n n S n -+++=⋅=⋅∴ 1326n n S n +=⋅--． …………………………………… 12分20．（本小题满分12分）如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在AM 上，D 点在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知3=AB 米，2=AD 米．（I ）要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则DN 的长应在什么范围内？ （II ）当DN 的长度是多少时，矩形花坛AMPN 的面积最小？并求出最小值． 解：（I ）设DN 的长为x （0x >）米，则2AN x =+米∵AMDC ANDN =，∴()32x AM x+=， ……………………2分∴ ()232AMPN x S AN AM x+=⋅=由32>AMPN S 得()23232x x+> ，(第20题图)又0x >，得 2320120x x -+>，解得：2063x x <<> 或 即DN 长的取值范围是2(0)(6)3∞ ，，+ ……………………7分（II ）矩形花坛AMPN 的面积为()22323121212312x x x y x xx x+++===++1224≥= ……………………10分 当且仅当1232x x ,x==即时矩形花坛AMPN 的面积取得最小值24． 故，DN 的长度是2米时，矩形AMPN 的面积最小，最小值为24平方米．…12分 21．（本小题满分12分）已知函数22()ln ()f x x a x ax a R =-+∈．（Ⅰ）当1a =时，证明函数()f x 只有一个零点；（Ⅱ）若函数()f x 在区间()1,+∞上是减函数，求实数a 的取值范围． 解：（Ⅰ）当1a =时，2()ln f x x x x =-+，其定义域是(0,)+∞∴ 2121()21x x f x x x x --'∴=-+=- …………2分令()0f x '=，即2210x x x ---=，解得12x =-或1x =． 0x >Q ，∴ 12x ∴=-舍去． 当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<．∴ 函数()f x 在区间()01,上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减 ∴ 当x =1时，函数()f x 取得最大值，其值为2(1)ln1110f =-+=． 当1x ≠时，()(1)f x f <，即()0f x <．∴ 函数()f x 只有一个零点． ……………………6分（Ⅱ）显然函数22()ln f x x a x ax =-+的定义域为(0,)+∞∴ 222121(21)(1)()2a x ax ax ax f x a x a x x x-++-+-'=-+== ………7分① 当0a =时，1()0,()f x f x x'=>∴在区间()1,+∞上为增函数，不合题意……8分 ② 当0a >时，()()00f x x '≤>等价于()()()21100ax ax x +-≥>，即1x a≥ 此时()f x 的单调递减区间为1,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．依题意，得11,0.a a ⎧≤⎪⎨⎪>⎩解之得1a ≥．………10分③ 当0a <时，()()00f x x '≤>等价于()()()21100ax ax x +-≥>，即12x a≥- 此时()f x 的单调递减区间为12,a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭， ∴1120a a ⎧-≤⎪⎨⎪<⎩得12a ≤-综上，实数a 的取值范围是1(,][1,)2-∞-+∞U …………12分 法二：①当0a =时，1()0,()f x f x x'=>∴在区间()1,+∞上为增函数，不合题意……8分 ②当0a ≠时，要使函数()f x 在区间()1,+∞上是减函数，只需()0f x '≤在区间()1,+∞上恒成立，0x > ∴只要22210a x ax --≥恒成立，2214210aa a a ⎧≤⎪∴⎨⎪--≥⎩解得1a ≥或12a ≤-综上，实数a 的取值范围是1(,][1,)2-∞-+∞U …………12分 22．（本小题满分14分）已知椭圆C 中心在原点、焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线l ：()0y kx m k =+≠与椭圆交于不同的两点M N 、（M N 、不是左、右顶点），且以MN 为直径的圆经过椭圆的右顶点A ．求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标． 解：（Ⅰ）设椭圆的长半轴为a ，半焦距为c ，则31a c a c +=⎧⎨-=⎩ 解得 21a c =⎧⎨=⎩∴ 椭圆C 的标准方程为 22143x y +=． ………………… 4分（Ⅱ）由方程组22143x y y kx m⎧⎪+=⎨⎪=+⎩ 消去y ，得()2223484120k xk m x m +++-= 由题意：△()()()22284344120km km=-+->整理得：22340k m +-> ① ……7分 设()()1122,,M x y N x y 、，则122834kmx x k+=-+， 212241234m x x k -=+………………… 8分 由已知，AM AN ⊥ ， 且椭圆的右顶点为A (2,0) ∴()()1212220x x y y --+=………………… 10分即 ()()()2212121240kx x km x x m++-+++=也即 ()()22222412812403434m km k km m k k--+⋅+-⋅++=++ 整理得： 2271640m mk k ++= 解得： 2m k =- 或 27km =-，均满足① ……………………… 12分 当2m k =-时，直线l 的方程为 2y kx k =-，过定点(2,0)，舍去当27k m =-时，直线l 的方程为 27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，过定点2(,0)7，故，直线l 过定点，且定点的坐标为2(,0)7．……………………… 14分。
2023年全国高考甲卷理科数学试题及解析
绝密★启用前 试卷类型：A2023年普通高等学校招生统一考试（全国甲卷）理科数学本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号等填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4. 考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分．每小题给出的四个选项中，只有一项选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1．设集合},|{Z k k x x A ∈1+3==，},|{Z k k x x B ∈2+3==，U 为整数集，则=)(B A C U （ ）A ．},|{Z k k x x ∈3=B ．},|{Z k k x x ∈－13= C ．},|{Z k k x x ∈－23= D ．【解析】 集合A 由被3除余1的整数组成，集合B 由被3除余2的整数组成，B A 由不能被3整除的整数组成，所以，)(B A C U 由被3整除的整数组成，故选A ．2．若复数R a ai i a ∈2=1+,))((－，则=a （ ）A ．1－B ．0C ．1D ．2【解析】 由2=1+))((ai i a － ，得2=1+22i a a )(－， 所以，2=2a ，0=12a －，即1=a ，故选C ．3．执行下面的程序框图，输出的=B （ ） A ．21 B ．34 C ．55 D ．89【解析】 1=n 时判断为“是”，执行3个处理框后，2=5=3=n B A ,,；2=n 时判断为“是”， 执行3个处理框后，3=13=8=n B A ,,；3=n 时判断为“是”， 执行3个处理框后，4=34=21=n B A ,,；4=n 时判断为“否”，输出34，故选B ．4．向量1==b a ，2=c 且0=++c b a ，则>=<c b c a －－,cos （ ） A ．51－ B ．52－C ．52D ．54【解析】 显然2=1==222c b a ,，，由0=++c b a ，得0=++)(c b a a ，即0=1++ac ab ， 同理0=1++bc ab ，0=2++bc ac ，所以，1==0=－bc ac ab , ．于是4=+=2c cb ac ab c b c a －－－－))((，5==2)(c a c a －－，5==2)(c b c b －－，所以54=554=>=<cb c a c b c a c b c a －－－－－－))((,cos ．故选D ．开始结束输出B5．已知正项等比数列}{n a 中，1=1a ，n S 为}{n a 前n 项和，45=35－S S ，则=4S （ ）A ．7B ．9C ．15D ．30 【解析】 因为数列}{n a 为正项等比数列，设公比为)(0>q q ，则 4325++++1=q q q q S ，23++1=q q S ，由题意，得4++15=++++12432－)(q q q q q q ，解之，2=q ．所以15=8+4+2+1=4S ．故选C ．6．有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报了足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（ ）A ．80.B ．40.C ．20.D ．10. 【解析】 因为同时报名乒乓球和足球两个俱乐部的人数为40=7060+50－，记“某人报了足球俱乐部”为事件A ，“某人报了乒乓俱乐部”为事件B ， 则75=7050=)(A p ，76=7060=)(B p ，74=7040=)(AB p ， 所以，在已知某人报了足球俱乐部的条件下，其报乒乓球俱乐部的概率为80=54=7474==.)()()|(A p AB p A B p ，故选A ．7．“1=+22βαsin sin ” 是 “0=+βαcos sin ”的（ ） A. 充分条件但不是必要条件 B.必要条件但不是充分条件 C. 充要条件 D. 既不是充分条件也不是必要条件 【解析】 由1=+22βαsin sin ⇔βα22=cos sin ，命题“若βα22=cos sin ，则0=+βαcos sin ”为假， 命题“若0=+βαcos sin ，则βα22=cos sin ”为真，所以，“1=+22βαsin sin ” 是 “0=+βαcos sin ”的必要但不是充分条件，故选B ．8．已知双曲线),(0>0>1=2222b a b y a x －的离心率为5，其中一条渐近线与圆1=3+222)()(－－y x 相交于B A ,两点，则=AB （ ）A ．51－B ．52－C ．52D ．54 【解析】 由双曲线),(0>0>1=2222b a by a x －的离心率为5，可得双曲线的渐近线方程为0=±2y x ．又圆心),(32到0=+2y x 的距离为57，大于圆的半径1，所以0=+2y x 与圆不相交，圆心),(32到0=2y x －的距离为51=d ，小于圆的半径1=r ， 所以0=2y x －与圆相交，所以 554=54=5112=2=222)(－－d r AB ．故选D ．9．有5名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（ ）A ．120B ．60C ．40D ．30 【解析】 先从5人中任选1人参加两天服务，有15C 种选法； 再从剩下4人中任选1人参加星期六服务，有14C 种选法； 最后从剩下3人中任选1人参加星期天服务，有13C 种选法． 根据乘法原理，共有60=131415C C C 种不同选法．故选B ．10．已知)(x f 为函数)cos(6+2=πx y 在向左平移6π个单位所的函数，则)(x f y =与2121=－x y 的交点个数为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 先通过平移得到x x x x f y 2=2+2=6+6+2==sin )cos())(cos()(－πππ，即x x f 2=sin )(－．分别作x y 2=sin －和2121=－x y 的图象，如图，因为2143×21>1=43×2－－－－－)())(sin(ππ，即84=21>83π， 2143×21>1=43×2－－ππ)sin(，即812=23<83π，由图可知x y 2=sin －与2121=－x y 的交点个数为3．故选C ．11．在四棱锥ABCD P －中，底面ABCD 为正方形，3==4=PD PC AB ,，°45=PCA ∠，则PBC ∆的面积为( )A ．22B ．23C ．24D ．25【解析】 连接BD AC ,相交于O ，连接PO ，PD PC = ，PO PO =，OD OC =，POD POC ∆∆≌∴，PDO PCO ∠=∠，又PD PC = ，PDO PCO ∠=∠，BD AC =，PDB PCA ∆∆≌∴，PB PA ∠=，在PCA ∆中，24=3=CA PC ,，°45=PCA ∠，所以，°45××2+=222cos AC PC PC AC PA －O xyπABCDPO17=22×24×3×29+32=－，在PBC ∆中，4=3=BC PC ,，17==PA PB ，所以173=174×2916+17=××2+=∠222－－BC PB PC BC PB PBC cos ，于是1722=PBC ∠sin ， 所以，PBC ∆的面积为24=1722×4×17×21=×××21PBC BC PB ∠sin ．故选C ．12．已知椭圆1=6+922y x ，21F F ,为两个焦点，O 为原点，P 为椭圆上一点，53=∠21PF F cos ，则=PO （ ）A ．52 B ．230 C ．53D ．235【解析】在椭圆1=6+922y x 中，3=a ，6=b ，3=c ，由2122222121×2+=53=PF PF FF PF PF PF F －∠cos 2121212221221×2×224=×2×2+=PF PF PF PF PF PF FF PF PF PF PF －－－)(， 所以215=×21PF PF ． 设点),(n m P ，则21PF F ∆的面积为3=54×215×21=∠×××212121PF F PF PF sin ， 于是 3=3=××2121n n F F ，所以3=2n ．又P 为椭圆上一点，所以29=2m ．230=3+29=+=22n m PO ．故选B ．二、填空题（每小题5分，共20分） 13. 若)sin()(2+++1=2πx ax x y －为偶函数，则=a 【解析】 因为x a x x x ax x y )(cos )sin()(2+1++=2+++1=22－－π．而1++2x x cos 是偶函数，所以2=a ，应填2．14. 设y x ,满足约束条件 1≥+32333+2y x y x y x≤－≤－ ，设y x z 2+3=，则z 的最大值为【解析】 作出满足约束条件的点),(y x 的可行域， 由),(),(y x y x z •23=2+3=所以，当3=3=y x ,时，z 取得最大值15． 故填15．15. 在正方体1111D C B A ABCD －中，F E ,分别为11B A CD ,的中点，则以EF 为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为 【解析】 设正方体的棱长为2，O 为球心，于是，球O 的半径为2==OF OE ，可求得点O 到所有棱的距离均为2，所以球面与正方体每条棱的交点总数为12，故填12．16. 在ABC ∆中，2=AB ，°60=∠BAC ，6=BC ，D 为BC 上一点，AD 为BAC ∠的平分线，则=AD【解析】在ABC ∆中，由正弦定理知，ACBABBAC BC ∠sin sin =∠，O xyB 1ABC D A 1C 1D 1EFOMN即22=63=×=BCBACAB ACB ∠∠sin sin ，所以°45=ACB ∠，于是°75=ABC ∠，在ABD ∆和ACD ∆中，分别由正弦定理知，°30=°45sin sin CD AD ， °306=°75sin sin CD AD －，42+6=°75sin ， 由°30=°45sin sin CD AD ，得AD CD 2=2， 由°306=°75sin sin CDAD －，得CD AD 262=26－－)(，解得2=AD ，故填2．三、解答题：本题共5小题,共60分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17.（12分）已知数列}{n a 中，1=2a ，设n S 为}{n a 的前n 项和，n n na S =2． （1）求}{n a 的通项公式；（2）求数列}{nn a 21+的前n 项和n T ． 【解析】 （1）由n n na S =2，得0=1a ，当2≥n 时，111=2－－－n n a n S )(， 两式相减，得11=2－－－n n n a n na a )(， 即11=2－－－n n a n a n )()(， 当2>n 时，21=1－－－n n a a n n ，此时， 223211××××=a a aa a a a a n n n n n －－－ 1=1×12××32×21=－－－－－n n n n n ， 当21=,n 时均满足，所以}{n a 的通项公式为1=－n a n ； （2）由n n n n a 2=21+，所以n n n T 2++23+22+21=32 ， 两边同乘以21，得1+322+21++22+21=21n n n n n T － ， 两式相减，得1+1+322211=221++21+21+21=21n n n n n n n T －－－ ， 所以，n n n T 22+2=－．18.（12分）在三棱柱111C B A ABC －中，2=1AA ，⊥1C A 底面ABC ，°90=∠ACB ，1A 到平面11B BCC 的距离为1．（1）证明：C A AC 1=；（2）若直线1AA 与1BB 距离为2，求1AB 与平面11B BCC 所成角的正弦值． 【解析】 （1）由⊥1C A 底面ABC ，°90=∠ACB ，可知°90=∠11C A C ， 平面⊥11C A C 平面BC B C 11，1A 到平面11B BCC 的距离为1．即C A C Rt 11∆斜边上的高为1，又斜边长2==11AA CC ， 所以C A C 11∆为等腰三角形，即C A C A 111=， 又AC C A =11，所以C A AC 1=． （2）由1CA CB CA ,,，两两互相垂直，由直线1AA 与1BB 距离为2，得3=BC ，，以C 为原点，分别以1CA CB CA ,,为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角 坐标系，则),,(000C ，),,(2001A ，),,(030B ，),,(2021－C ，),,(002A ，),,(2321－B ，于是),,(030=CB ，ABCA 1B 1C 1),,(202=1－CC ，),,(2322=1－AB ，平面11B BCC 的一个法向量为),,(101=n ， 所以1AB 与平面11B BCC所成角的正弦值为1313=131=101×2322101•2322=),,(),,(),,(),,(－－．19.（12分）为探究某药物对小鼠的生长作用，将 40 只小鼠均分为两组，分别为对照组（不药物）和实验组（加药物）．（1）设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为X ，求X 的分布列和数学期望； （2）测得 40 只小鼠体重如下（单位：g ）（已按从小到大排好） 对照组：17.3 18.4 20.1 20.4 21.5 23.2 24.6 24.8 25.0 25.4 26.1 26.3 26.4 26.5 26.8 27.0 27.4 27.5 27.6 28.3实验组： 5.4 6.6 6.8 6.9 7.8 8.2 9.4 10.0 10.4 11.2 14.4 17.3 19.2 20.2 23.6 23.8 24.5 25.1 25.1 26.0 （i ）求 40 只小鼠体重的中位数m ，并完成下面 2×2 列联表： （ii ）根据 2×2 列联表，能否有 95％的把握认为药物对小鼠 生长有抑制作用 参考数据：【解析】 （1）X 的所有可能取值为0，1，2，且7819==0=240220020C C C X P )(； 7840==1=240120120C C C X P )(；7819==2=240020220C C C X P )(． X 的分布列为数学期望为1=7819×2+7840×1+7819×0=)(X E ．（2）（i ） 40 只小鼠体重的中位数423=2623+223=...m ．完成下面 2×2 列联表为（ii ）计算8413>4006=20×20×20×2040×14×146×6=22..)(－K ， 所以，有 95％的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用．20.（12分）直线0=1+2y x －与)(0>2=2p px y 交于B A ,两点，154=AB ．（1）求p 的值；（2）F 为px y 2=2的焦点，N M ,为抛物线上的两点，且0=•NF MF ，求MNF 面积的最小值．【解析】 （1）将0=12=－y x 代入px y 2=2，得0=2+42p py y －，设),(),,(2211y x B y x A ，则p y y 4=+21，p y y 2=21， 于是，221221+=)()(y y x x AB －－212212214+5=5=y y y y y y －－)()(154=8165=2p p －．所以，2=p ，（2）F 为x y 4=2的焦点，),(01∴F ，设),(M M y y M 42,),(N Ny y N 42,由0=•NF MF ，得 0=41•4122),(),(N N M M y y y y －－－－，即0=+414122N M NM y y y y ))((－－，0=1+++41162222N M N M N M y y y y y y )(－，即224+=4)()(N M N M y y y y －， 设直线MN 的方程为n my x +=，与抛物线方程联立，得 )(n my y +4=2，即0=442n my y －－，于是有，m y y N M 4=+，n y y N M 4=－， 且0>16+16=2n m ∆，0>+2n m ．将224+=4)()(N M N M y y y y －变为224+=16+4)()(N M N M N M y y y y y y －， 即224+4=41644)()()(n n m －－－，0>1=+422)()(－n n m ， 0≥1+6=422n n m －，解得22+3≥n 或223≤－n ， 即1228≥4=－－n y y N M ．记MNF ∆面积为S ，则S =1+421=+4421=22N M N M N M M N N M y y y y y y y y y y －－－ 24+161=4+81=)(N M N M N M y y y y y y － 22124=4+1228161≥)()(－－． 所以记MNF ∆面积的最小值为2124)(－．21.（12分）已知xxax x f 3=cos sin )(－，),(20∈πx ． （1）若8=a ，讨论)(x f 的单调性；（2）若x x f 2<sin )(恒成立，求a 的取值范围．【解析】 （1）由8=a ，xx x x f 38=cos sin )(－，xxx x x x x f 622433+8=′8=′cos cos sin cos )cos sin ()(－－x xx 4223+8=cos sin cos －xx x 4223+412=cos )cos )(cos (－．因为0>3+42x cos ，0>4x cos ，),(20∈πx ．所以，当0>2=122x x cos cos －时，即),(40π∈x 时，)(x f 单调递增， 当0<2=122x x cos cos －时，即),(24ππ∈x 时，)(x f 单调递增． （2）由x x f 2<sin )(恒成立，即0<23x xxax sin cos sin －－，),(20∈πx ， 令x xxax x g 2=3sin cos sin )(－－，则0=0)(g ，)(x g 的最大值小于零， x xxx a x g 223+=′422cos cos sin cos )(－－2+423=242x x x a cos cos cos －－－， 令t x =2cos ， 得232+42+=′t t t a x g －－)(，1<<0t ，设232+42+=t t t a t －－)(ϕ，则33326+24=6+24=′tt t t t t －－－－)(ϕ， 323+2+212=t t t t ))((－－，由1<<0t 知，0>′)(t ϕ，)(t ϕ单调递增，)(x g ′单调递增， 所以3=1<－a t )()(ϕϕ，3<′－a x g )(， 当3≤a 时，0<′)(x g ，)(x g 为减函数，最大值小于零，满足题意； 当3>a 时，)(x g ′在),(20π内有零点，即)(x g 在),(20π内有极小值点， 又因为2→πx 必有∞－→)(x g ，这不可能． 所以，所求求a 的取值范围是∞,3]－(．四、选做题：本题共2小题,任选一道作答，共10分．22 〖选修4－4：坐标系与参数方程〗（10分）【解析】 （1）因为令0=y ，得，αsin 1=1－t ，所以αsin 1==1t PA ，令0=x ，得，αcos 2=2－t ，所以αcos 2==2t PB ，由4=PB PA ，得4=2ααcos sin ，即1=2αsin ，1±=2αsin ，由题意παπ<<2，所以43=πα．（2） 由（1）知t x 222=－，t y 22+1=，所以3=+y x ， l 的极坐标方程为3=+θρθρsin cos ．23 〖选修4－5：不等式选讲〗（10分）【解析】 （1）由x x f <)(，得0>+<2a a x a x ,－， 两边平方，2222+2+<4+84a ax x a ax x －，即0<3+10322a ax x －，0<33))((a x a x －－，因为0>a ，所以a x a3<<3． （2）因为0>a ，当a x ≥时，a x x f 32=－)(；当a x <时，x a x f 2=－)(；作出函数图象，得),(),,(020a B a A ，),(),,(a a D aC －023．函数图象与坐标轴围成的面积为2，即 2=43=+2a S S BCD AOB ∆∆，所以362=a ．xyAO a -aa BCD。
高考全国卷数学理科试题及答案详解
2021年普通高等学校招生全国统一考试数学(全国新课标卷II)第一卷一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的． 1．(2021课标全国Ⅱ，理1)集合M ＝{x |(x －1)2＜4，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，那么M ∩N ＝( )．A ．{0,1,2}B ．{－1,0,1,2}C ．{－1,0,2,3}D ．{0,1,2,3}2．(2021课标全国Ⅱ，理2)设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，那么z ＝( )．A ．－1＋iB ．－1－IC ．1＋iD ．1－i3．(2021课标全国Ⅱ，理3)等比数列{a n }的前n 项与为S n .S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，那么a 1＝( )．A ．13B ．13-C ．19D ．19-4．(2021课标全国Ⅱ，理4)m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l α，l β，那么( )．A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l5．(2021课标全国Ⅱ，理5)(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，那么a ＝( )．A ．－4B ．－3C ．－2D ．－16．(2021课标全国Ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的N ＝10，那么输出的S ＝( )．A ．1111+2310+++B ．1111+2!3!10!+++C ．1111+2311+++ D ．1111+2!3!11!+++7．(2021课标全国Ⅱ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，那么得到的正视图可以为( )．8．(2021课标全国Ⅱ，理8)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，那么( )．A ．c ＞b ＞aB ．b ＞c ＞aC ．a ＞c ＞bD ．a ＞b ＞c 9．(2021课标全国Ⅱ，理9)a ＞0，x ，y 满足约束条件1,3,3.x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥(-)⎩假设z ＝2x＋y 的最小值为1，那么a ＝( )．A ．14B ．12 C ．1 D ．210．(2021课标全国Ⅱ，理10)函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，以下结论中错误的选项是( )．A ．∃x0∈R ，f(x0)＝0B ．函数y ＝f(x)的图像是中心对称图形C ．假设x0是f(x)的极小值点，那么f(x)在区间(－∞，x0)单调递减D ．假设x0是f(x)的极值点，那么f′(x0)＝011．(2021课标全国Ⅱ，理11)设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，假设以MF 为直径的圆过点(0,2)，那么C 的方程为( )．A ．y2＝4x 或y2＝8xB ．y2＝2x 或y2＝8xC ．y2＝4x 或y2＝16xD ．y2＝2x 或y2＝16x12．(2021课标全国Ⅱ，理12)点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a ＞0)将△ABC 分割为面积相等的两局部，那么b 的取值范围是( )．A ．(0,1) B．112⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ C．113⎛⎤- ⎥ ⎝⎦ D ．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 第二卷本卷包括必考题与选考题两局部，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。
【最新】数学文参考答案及评分标准
2017年福州市高中毕业班质量检测文科数学试题答案及评分参考评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分． （1）C （2）A （3）A （4）B （5）D （6）B （7）C （8）C （9）D （10）D （11）C （12）A 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分． （13）1 （14） （15）22.6 （16）[]2,1- 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (17) 本小题主要考查等差数列的定义与通项公式、数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想等．满分12分．【解析】（Ⅰ）依题意，()121,0n n a a n a =+->． ········································ 2分 因为24341a a a =+，所以()()()11126441a a a ++=++， ································· 4分 所以213450a a +-=，解得11a =，或15a =-（舍去）， ·································· 5分 所以21n a n =-． ··················································································· 6分 （Ⅱ）1393n a a a a ++++()()()()2211231231231n =⨯-+⨯-+⨯-++⨯- ········································ 7分()()2213331n n =++++-+ ·································································· 9分()1132113n n +-=⨯-+- ············································································· 11分32n n =--． ······················································································ 12分(18) 本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及点到平面的距离等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．【解析】解法一：（Ⅰ）在四棱锥P ABCD -中，连结BD 交AC 于N ，连结MN ， 依题意知//AB CD ，∴ABNCDN ∆∆ ·················· 2分∴2BN BAND CD==，·············································· 3分B∵12PM MB =，∴2BN BMND MP==，∴在BPD ∆中，//MN PD ， ····················· 4分 又∵PD MAC ⊄平面，MN MAC ⊂平面.∴//PD MAC 平面． ··············································································· 6分 （Ⅱ）∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且交于AD ，PA AD ⊥，PA ⊂平面PAD ， ∴PA ⊥平面ABCD ， ············································································· 8分∴11112113323P ABC ABC V S PA -∆⎛⎫=⋅=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭． ·············································· 9分∵2,AB AC =，∴PB PC BC === ∴222PB PC BC =+，故90PCB ∠=︒， ····················································· 10分 记点A 到平面PBC 的距离为h ，∴1113326A PBC PBC V S h h h -⎛=⋅=⨯= ⎝△．······································ 11分∵P ABC A PBC V V --=，∴136=，解得3h =． ········································· 12分解法二：（Ⅰ）同解法一． ······································································· 6分 （Ⅱ）∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且交于AD ，,PA AD PA ⊥⊂平面PAD ， ∴PA ⊥平面ABCD ， ············································································· 8分 ∵BC ⊂平面ABCD ，∴PA BC ⊥，∵2,AB AC BC ===∴90ACB ∠=︒，即BC AC ⊥， ∵PAAC A =，,PA AC ⊂平面PAC ，∴BC ⊥平面PAC ， ············································································ 10分 过A 作AE PC ⊥于E ，则BC AE ⊥， ∵PCBC C =，,PC BC ⊂平面PBC ，∴AE ⊥平面PBC ， ············································································· 11分 ∴点A 到平面PBC 的距离为PA AC AE PC ⋅===．··························· 12分 (19) 本小题主要考查平均数、方差、古典概型等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．满分12分．【解析】（Ⅰ）由表格中的数据，我们可以分别计算运动员A 和B 前7场比赛积分的平均数和方差，作为度量两运动员比赛的成绩及稳定情况的依据． 运动员A 的平均分112137x =⨯=，方差()()()()222221133234436327s ⎡⎤=⨯-+-⨯+-+-=⎣⎦；运动员B 的平均分212847x =⨯=，B方差()()()()()22222221142345410444287s ⎡⎤=⨯-⨯+-+-+-+-⨯=⎣⎦． ········· 2分 从平均分和积分的方差来看，运动员A 的平均积分及积分的方差都比运动员B 的小，也就是说，在前7场的比赛过程中，运动员A 的成绩最为优异，而且表现也最为稳定． ········································································································ 4分 （Ⅱ）表中平均分低于6.5分的运动员共有5个，其中平均分低于5分的运动员有3个，分别记为123,,a a a ，平均分不低于5分且低于6.5分的运动员有2个，分别记为12,b b ， ········································································································ 5分 从这5个数据中任取2个共有10种情况：12131112232122313212,,,,,,,,,a a a a a b a b a a a b a b a b a b b b ， ······························ 8分 其中至少有1个运动员平均分不低于5分有7种情况．设至少有1个运动员平均分不低于5分为事件A ，则()710P A =. ··················· 10分（Ⅲ）尽管此时还有4场比赛没有进行，但这里我们可以假定每位选手在各自的11场比赛中发挥的水平大致相同，因而可以把前7场比赛的成绩看作总体的一个样本，并由此估计每位运动员最后比赛的成绩．从已经结束的7场比赛的积分来看，运动员A 的成绩最为优异，而且表现最为稳定，因此，预测运动员A 获得最后的冠军．而运动员B 和C 平均分相同，但运动员C 得分整体呈下降趋势，所以预测运动员C 将获得亚军． ········································································································ 12分 （说明：方案不唯一，其它言之有理的方案也给满分）(20) 本小题主要考查函数的单调性、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分12分．【解析】（Ⅰ）()f x 的定义域为()0,+∞， ··················································· 1分()222a x ax af x x a x x-+'=+-=， ····························································· 2分 因为3x =是()f x 的极值点， 所以()183303a af -+'==，解得9a =．···················································· 3分 所以()()()2233299x x x x f x x x---+'==，所以当()0f x '>时，203x <<，或3x >；当233x <<时，()0f x '<． 所以3x =是()f x 的极小值点． ································································ 5分所以()f x 的增区间为20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭和()3,+∞，减区间为2,33⎛⎫⎪⎝⎭． ····························· 6分（Ⅱ）()()()22122x a x x ax ag x x x---+'=-=． ·········································· 7分 ①当12a，即2a时，()g x 在[]1,e 上为增函数，()()11h a g a ==--；②当1e 2a <<，即22e a <<时，()g x 在1,2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上为减函数，在,e 2a ⎛⎤⎥⎝⎦上为增函数，()21ln 224a a h a g a a a ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭；③当e 2a，即2e a时，()g x 在[]1,e 上为减函数，()()()2e 1e e 2e h a g a ==-+-．········································································································ 11分综上，()()221,2,1ln ,22e,241e e 2e,2e.a a a h a a a a a a a --⎧⎪⎪=--<<⎨⎪-+-⎪⎩ ·············································· 12分(21) 本小题考查点与圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等．满分12分． 【解析】解法一：（Ⅰ）因为圆1C 内切于圆O ，所以1122OC AP =-． ············ 1分 依题意，1,O C 分别为,AB AP 的中点，所以112OC BP =， ········································································ 2分 所以，()112224AP BP OC OC AB +=-+=>. ······· 3分 所以，2C 是以,A B 为焦点，长轴长为4的椭圆， ······· 4分所以，2C 的方程为2214x y +=． ····························· 5分（Ⅱ）依题意，设直线DM 方程为()2y k x =+（0k ≠）， 因为MN 为圆O 直径，所以90MDN ∠=︒， 所以直线DN 方程为()12y x k=-+， ····················· 6分 所以圆心()0,0O 到直线DM 的距离为221k k +，所以2222411k DM k k ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭， 同理可求，224111k DN k k ==+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭． ·················································· 7分由()222,44,y k x x y ⎧=+⎨+=⎩得()222214161640k x k x k +++-=， 所以22164214S k x k --⋅=+，解得222814S k x k -=+， ················································· 8分所以222411214S k DS k x k +=++=+，所以114DT k ⎛⎫+- ⎪⎝⎭． ··················································· 10分 所以()()()2212221441k k DM DN S S DS DT k ++⋅==⋅+，令21t k =+，则31,03t t><<， 所以()()1224333325414,4t t S S t t t -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+∈ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即12S S 的取值范围为254,4⎛⎫⎪⎝⎭． ································································· 12分 解法二：（Ⅰ）同解法一． ······································································· 5分 （Ⅱ）依题意，设直线DM 方程为2x t y =-（0t ≠）， 因为MN 为圆O 直径，所以90MDN ∠=︒，所以直线DN 方程为12x y t=--， ···························································· 6分由222,4,x my x y =-⎧⎨+=⎩得()22140m y my +-=，所以241M m y m =+， ···························· 7分 由222,44,x my x y =-⎧⎨+=⎩得()22440m y my +-=，所以244S m y m =+， ·························· 8分 所以2241M S y m y m +=+，所以22221441111N T y m m y m m ⎛⎫+- ⎪+⎝⎭==+⎛⎫+- ⎪⎝⎭， ····································· 9分 所以()()()2212224141N M S Tm m DM DN DM DN y S y S DS DT DS DT y y m ++⋅==⋅=⋅=⋅+． ················· 10分令21t m =+，则31,03t t><<， 所以()()1223433325414,4t t S S t t t +-⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+∈ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即12S S 的取值范围为254,4⎛⎫⎪⎝⎭． ································································· 12分 (22) 本小题考查极坐标方程和参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等．满分10分．【解析】（Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程2222cos 3sin 12ρθρθ+=化为普通方程为221124x y +=，则其左焦点为()-，则m =- ·································· 2分将直线l的参数方程,22x m t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩与曲线C 的方程221124x y +=联立， 化简可得2220t t --=， ········································································· 4分 则12||||||2FA FB t t ⋅==. ············································································ 5分（Ⅱ）由曲线C 的方程221124x y +=，可设曲线C 上的任意一点P 的坐标为(),2sin θθ， ··············································································· 7分 则以P 为顶点的内接矩形周长为()42sin 16sin 032θθθθππ⎛⎫⎛⎫⨯+=+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ······································· 9分因此该内接矩形周长的最大值为16． ······················································· 10分 (23) 本小题考查绝对值不等式的解法与性质、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等． 满分10分．【解析】解：（Ⅰ）令()1,1,1223,12,1,2,x f x x x x x x -⎧⎪=---=-<<⎨⎪⎩························ 2分则()11f x -，·················································································· 3分 因为0x ∃∈R 使不等式|1||2|x x t ---成立，所以1t，即{}|1T t t =． ······· 5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，33log log 1m n ⋅， ······················································ 6分 根据基本不等式3333log log 2log log 2m n m n+， ···································· 8分所以9mn ，当且仅当3m n ==时取等号，所以mn 的最小值为9． ········································································ 10分。
高二数学试题参考答案及评分标准(理科)
高二数学试题参考答案及评分标准(理科)一、选择题：(每小题5分，满分50分)CDBAD CBDCA二、填空题：(每小题5分，满分25分)11.真 12.90 13.③④三、解答题(本大题共6小题，满分75分)16.解：∵直线3470x y +-=的斜率为34-，∴直线l 的斜率为34-. ………(3分)设直线l 的方程为34y x b =-+，令0y =，得43x b =；令0x =，得y b =. ………(7分)由于直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积是24，∴142423S b b =⋅||⋅||=，解得6b =±， ………(10分)∴直线l 的方程是364y x =-±(或34240x y +±=). ………(12分)17.证明：⑴(必要性)∵⊿ABC 三个内角成等差数列，不妨设这三个内角依次为B B B αα-+，，，由()()180B B B αα-+++= ，得60B = ，∴⊿ABC 有一个内角等于60 . …………(5分)⑵(充分性)若ABC ∆有一个内角为60 ，不妨设60B = ，则180601202A C B +=-== ， ∴A B B C -=-，∴三个内角A B C ，，成等差数列. …………(10分) 综合⑴⑵得，⊿ABC 三个内角成等差数列的充要条件是有一个内角等于60 . …………(12分) (说明：混淆了必要性与充分性，或未注明必要性与充分性，扣4分) 18.证明：⑴∵BC ABE ⊥平面，AE ABE ⊂平面，∴AE BC ⊥.又∵BF ACE ⊥平面，AE ACE ⊂平面，∴AE BF ⊥. …………(3分) ∵BF BC B = ， ∴AE BCE ⊥平面.又∵BE BCE ⊂平面，∴AE BE ⊥． …………(6分) ⑵取DE 的中点P ，连接PA PN ，.∵点N 为线段CE 的中点，∴PN ∥DC ，且12P N D C =. …………(8分)又∵四边形A B C D 是矩形，点M 为线段AB 的中点，∴AM ∥DC ，且12AM DC =，∴PN ∥AM ，且P N A M =， ∴四边形A M N P 是平行四边形，∴MN ∥AP . …………(10分) ∵AP ⊂平面D A E ，M N ⊄平面D A E ，∴MN ∥平面D A E ． …………(12分) 19.解：∵O M O N C M C N ==，，∴OC 垂直平分线段MN . ……………(4分)∵2MN k =-，∴12OC k =，∴直线OC 的方程是12y x =，∴212t t =，解得2t =或2t =-. ……………(8分)⑴当2t =时，圆心C 的坐标为(2，1)，半径OC =||此时圆心C 到直线24y x =-+的距离d ==<C 相交，符合题意.⑵当2t =-时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，半径OC =||此时圆心C 到直线24y x =-+的距离d ==>直线与圆C 相离，不符合题意.………………(11分)综合⑴⑵得，圆C 的方程为22(2)(1)5x y -+-=. ………………(12分) 20.解：⑴如图，取AB 的中点E ，则//DE BC . ∵BC AC ⊥，∴DE AC ⊥.∵1A D ⊥平面ABC ，∴分别以1DE DC DA ，，所在直线为x y z ，，轴建立空间直角坐标系，得()01 0A -，，，()0 1 0C ，，，()2 1 0B ，，，()10 0 A t ，，，()10 2 C t ，，.由21130AC BA t ⋅=-+=，得t =…………(3分)设平面1A AB 的法向量为()1111n x y z =，，.∵(10 1AA = ，，()2 2 0AB = ，，，∴11111110220n AA y n AB x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩. 设11z =，可得)1n =……………(5分)∴点1C 到平面1A AB的距离111AC n d n ⋅==||||. ……………(7分)(2)再设平面1ABC 的法向量为()2222n x y z =，，.∵(10 1CA =- ，，()2 0 0CB = ，，，∴212222020n CA y n CB x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩. 设21z =，可得()20n =， ……………(9分)∴121212cos ||||n n n n n n ⋅<>==⋅ ，……………(11分)根据法向量的方向可知，二面角1A ABC --. …………(13分) 21.解：⑴根据题意得22121914ab =⎨⎪+=⎪⎩，解得2243.a b ⎧=⎨=⎩，. …………(2分)∴椭圆C 的方程为 22143x y +=. …………(5分)⑵由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 并整理，得 222(34)84120k x kmx m +++-=.∵直线l 与椭圆C 交于两点，∴0∆>，得22430k m -+> (*)设点A 、B 的坐标分别为1122()()A x y B x y ，，，， 则212122284123434km m x x x x k k -+=-⋅=++，. ………………(8分) ∵11A A AB ⊥，∴110A A A B ⋅=. 又∵点1A 的坐标为1(2 0)A ，，∴1212(2)(2)0x x y y --+=， 即1212(2)(2)()()0x x kx m kx m --+++=，221212(1)(2)()40k x x km x x m ++-+++=， ∴222224128(1)(2)()403434m km k km m k k-+⋅+--++=++，化简并整理得2271640m km k ++=， 解得2m k =-，或27m k =-，均满足条件(*). ………………(12分)当2m k =-时，:(2)l y k x =-，所过的定点为(2，0)，与1A 重合，不合题意.当27m k=-时，2:()7l y k x=-，所过的定点为(27，0)，符合题意.综上所述，直线l经过定点(27，0). ………………(14分)命题人：和县一中贾相伟含山二中王冲审题人：庐江中学汪京怀。
2020.1高三期末文数参考答案及评分细则
2019-2020学年第一学期期末质量检测文科数学评分细则与参考答案说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分． 13.4-14. 24y x =- ； 15. p =2，（2分）k =（3分）; 16. 9π2三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)解：（1） 7110.97ii yy ===∑，123456747x ++++++==……………………………………………2分121()()21ˆ0.7528()niii nii y y x x bx x ==--===-∑∑，ˆ10.90.7547.9a=-⨯= 所以回归方程为ˆ0.757.9yx =+．……………………………………………………………………… 6分 （2）由（1）可知ˆ0.757.920.5yx =+≥， …………………………………………… 8分 解得16.8x ≥，及要在第17个年份才能超过20.5万亿……………………………………… 10分所以用线性回归分析我国最早也要在2028年才能赶上美国2018年的国内生产总值．…… 12分18．(12分）解：（1）341662a a a a a ==，所以12a =， 又223a =，所以13q =，…………………………………………………………………………………3分 所以121313131313n n n S ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎛⎫⎝⎭==-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，所以t 的最小值是3. …………………………………… 6分（2）由（1）可知123n n a -=，所以132n n n b -⋅=， …………………………………………… 8分故 01113233222n n n T -⨯⨯⨯=++⋅⋅⋅+ ① ()112131323332222n n n n n T --⨯⨯⨯⨯=++⋅⋅⋅++② ① - ②得：0111333322222n nn n T -⨯⨯-=++⋅⋅⋅+- ………………………………………… 10分 化简()21318n nn T -+=(形式可以不唯一) …………………………………………………………… 12分 19．(12分）解析：(1) 由题意又AB=2，所以AE ⊥BE ， 又平面PEB平面ABED EB =,且平面PEB ⊥平面ABED ,所以AE ⊥平面PEB ， …………2分故AE ⊥PB,又PB ⊥PE,且AEPE=E,所以PB ⊥平面PEA ．…………………………………………………4分（2）过点P 在平面PEB 中向EB 引垂线，垂足O ，连接DO 和AO ，又O 为EB 的中点所以PO =DO AO == ……………………………………………… 6分 由平面PEB ⊥平面ABED 可得PO ⊥ABED ，所以PO OA ⊥,PO OD ⊥,故PD PA === ………………………………………………8分设F 为AD 的中点，连接FP ，在等腰三角形PAD 中2PF === ……………………………………………… 10分 设点E 到平面PAD 的距离为h ， 由E PAD P ADE V V --=,得111111333232PAD ADE hS PO S h AD PF PO AD DE =⇒⨯=⨯解得11h =……………………………………………………………………………………12分20．(12分）解：（1）由题意0x >，221()a x af x x x x-'=-=， ………………………………………………………………………………1分 当0a ≤时，()0f x '>，函数()f x 在区间()0+∞，上单调递增， ……………………………2分 当0a >时，在区间()0a ，上()0f x '<，区间()a +∞，上()0f x '>， 故当0a >时，在区间()0a ，上函数单调递减，区间()a +∞，上函数()f x 单调递增， ……4分 （2）由（1）可知当0a ≤时，函数()f x 在区间()0+∞，上单调递增， 又()()11()ln1ln 10f a e e a e e e=+-=-+-<，与题设矛盾， ……………………………………6分 当0a >时，在区间()0a ，上函数()f x 单调递减，区间()a +∞，上函数()f x 单调递增， 所以函数()()1ln 0f x f a a a ≥=-+≥即可，………………………………………………………………8分 设()1ln ,0g x x x x =-+>，(1)0g =，11()1xg x x x-'=-=， 在区间()01，上()0g x '>，区间()1+∞，上()0g x '<， 故在区间()01，上函数()g x 单调递增，区间()1+∞，上函数()g x 单调递减， …………………………10分 所以()(1)0g x g ≤=，综上，只的当1a =时，()1ln 0f a a a =-+≥，所以1a =时，()0f x ≥恒成立． ……12分21．(12分）解：（1）设动圆C 的半径为r,则||,||22CM r CN r =-=+.两式相加得||||CM CN MN +=>,由椭圆定义知，点C 的轨迹是以M 、N 为焦点，焦距为长轴长为的椭圆其方程为22163x y += ………………………………………………… 4分 （2）设1122(,),(,)A x y B x y ，(3,)Q t ，若l 斜率为0，则(A B ，得1k =，3k =，232tk t ==-， 所以1322k k k +=， 故猜想123,,k k k 成等差数列， ………………………………………………… 6分 设直线l 的方程设为2x my =+，由222163x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得22(2)420m y my ++-=则有12242my y m -+=+，12222y y m -=+ ………………………………………………… 8分 1113t y k x -=-，2323t y k x -=-，232tk t ==- 12121312121211333333t y t y y y k k t x x x x x x ⎛⎫⎛⎫--+=+=+-+ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭又112x my =+，222x my =+，所以1131x my -=-，2231x my -=-()()221222212121212224221111224233111122m m y y m m m x x my my m y y m y y m m +-+++=+===------++++++…… 10分 ()2212122121212124422033111m my y y y m m x x my my m y y m y y -++++=+==-----++13222k k t k +==，故123,,k k k 成等差数列．……………………………………………………………………………… 12分22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 解: （1）由2x ty kt=-⎧⎨=⎩，消去参数t 得1l 的普通方程()2y k x =-， ………………………… 2分由2x mm y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩，消去参数m 得2l 的普通方程()12y x k =+， ………………………… 4分 设P (),x y ，由题意得()()212y k x y x k =-⎧⎪⎨=+⎪⎩，消去k 得()2240x y y +=≠， ……………………………5分（2）由（Ⅰ）曲线1C 的坐标方程为()20,ρθθπ=≠≠， ……………………………6分由题意4sin 2ρθρ=⎧⎨=⎩得1sin 2θ=，故6πθ=或56πθ=所以曲线1C 和曲线2C 交点的极坐标为2,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭或52,6π⎛⎫⎪⎝⎭．………………………………………… 10分23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）解:（1）当1,2b a ==时，()23,1145,1423,4x x f x x x x x x -+<-⎧⎪=++-=-≤≤⎨⎪->⎩这时函数()f x 的最小值为5． ………………………………………… 4分 （2）由0a b >> ，故()10b a b -<-，20a >()()()()()()()222222112,111,12,x a x b a b b a b f x x x a a x a b a b b a b b a b x a x a b a b ⎧-+-<-⎪--⎪⎪⎪=++-=+-≤≤⎨---⎪⎪-+>⎪-⎪⎩，……………………………8分【别解()()()()222111x x a x x a a b a b b a b b a b ⎛⎫++-≥+--=+ ⎪ ⎪---⎝⎭……………………… 8分】故()()21f x a b a b ≥+-又()a b a b =+-≥，所以()214b a b a≥-，故()()222144f x a a b a b a ≥+≥+≥-，当且仅当2a b ==，时等号成立． …… 10分。
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2011年乌鲁木齐地区高三年级第三次诊断性测验文理科数学试题参考答案及评分标准一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．选B．【解析】∵{}0M x x=>，{}01N x x=<<，∴M N N=．2．选A．【解析】1112ω-===-⎝⎭⎝⎭．3．选A．【解析】两圆的圆心分别为12(0,0),(2,2)C C，则1220120C Ck-==-，线段12C C的垂直平分线l的斜率为1-，中点为()1,1，于是l的方程为1(1)y x-=--，即20x y+-=．4．选D．【解析】设1AF m=，则22A F m=，12F F=，∴12123F FeAF AF==+．5．选B．【解析】22160(20505040)4.233 3.841(2050)(4050)(2040)(5050)K⨯⨯-⨯=≈>++++．6．（文科）选C．【解析】平移后的函数解析式为1cos263y xππ⎛⎫⎛⎫=+-⎪⎪⎝⎭⎝⎭1cos24xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭，所以4Tπ=．（理科）选C．【解析】平移后的函数解析式为1cos24y xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭，根据对称轴的意义由()124x n nππ-=∈Z22x nππ⇒=+，所以2xπ=是平移后的函数图象的一条对称轴．7．选C．【解析】若a b⊥，由bβ⊥，得aβ⊂或a∥β，又aα⊥，从而αβ⊥；若αβ⊥，由aα⊥，可得aβ⊂或//aβ，而bβ⊥，于是a b⊥．8．选C．【解析】由已知01n m<<<，则22m n>，所以③错；在同一坐标系中作出2,3x xy y==的图象可知①可能成立；在同一坐标系中作出23log,logy x y x==的图象可知②可能成立．9．（文科）选A ．【解析】∵x ∈R ，且()()()xx f x e e f x ----=-=-．（理科）选A ．【解析】易知()f x 的定义域为R ，而()()ln10f x f x -+== ∴()()f x f x -=-．10．选B ．【解析】设此长方体的长，宽，高分别为,,a b c ，球的半径为r ，根据题意有222384ab ac bc ++= …①，444112a b c ++=…②，由①②得222400a b c ++=，因为此长方体各顶点在同一个球面上，故其体对角线的长就是这个球的直径，于是()22224002a b c r ++==，故10r =．11．选C ．【解析】由()()f a f b =，得2222a b -=- …①当a b <≤时，22a b >≥2，∴2222a b ->-≥0，∴2222a b ->-，与①不符；当a≤0b <<时，由①得2222a b -=-，224a b +=>2ab ，∴02ab <<；当0a b <<时，222b a <<，22022a b <-<-，∴2222a b -<-，与①不符．综上，02ab <<．12．选C ．【解析】过抛物线2y x =的焦点1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，设点11(,)M x y ，延长线段MF 交直线14x =-于点N ，则114x >，直线MF 的方程可设为14y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，此时点N 的坐标为11,42k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴NF =111144MF x =-=+111144x x ⎫-=+⎪⎭，∴)2121144x k==∴212MF k +=∴2112MF NF +==．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 13．填(1)2n n +．【解析】由已知得414181273a q a -===，3q =，∴13n na q a +==∴113133log log log 1n n n n n na b b a a a +++-=-==，131log 1b a ==，∴n b n =，n S =(1)2n n +． 14．（文科）填45．【解析】表示直线220x y +-=上的点(),x y 到原点的距离，其最小值为原点到该直线的距离5d ==，∴22x y +的最小值为245d =．（理科）填576．【解析】()3322324576A A A =．15．（文科）填122x ≤<．【解析】依题意知0213x ≤-<． （理科）填01a <<．【解析】1()a x a f x x⎛⎫-- ⎪⎝⎭'=，当(,0]a ∈-∞时，函数()y f x = 在区间(0,)+∞上是增函数，不合题意；当(0,)a ∈+∞，()y f x =在区间10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，在区间1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上是减函数，max 1()ln 0f x f a a ⎛⎫==-> ⎪⎝⎭，∴01a <<．16．填()0,2．【解析】根据题意及平行四边形法则，易知01,01x y <<<<，若点P 在BC边上，由三点共线的充要条件，知1x y +=．又点P 在ABC ∆内，故01x y <+<．这样，问题转化为在约束条件01,01,01x y x y <<⎧⎪<<⎨⎪<+<⎩下，求目标函数2z x y =+的取值范围问题．所以2x y +的取值范围是()0,2． 三、解答题（共6小题，共70分） 17．（Ⅰ）∵cos (3)cos b C a c B =-由正弦定理得，sin cos (3sin sin )cos B C A C B =-∴sin cos sin cos 3sin cos B C C B A B +=，即s i n ()3s i n B C A B+=，sin 3sin cos A A B =，∵sin 0A >，sin 0B >，∴1cos 3B =，∴sin 3B ==． …6分（Ⅱ）由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，而2b =，a c =，1cos 3B =∴2222422cos 3b a a B a =-=，∴2443a =，23a =，∴211sin sin 22ABC S ac B a B ∆=== …12分 18．（文科）记这4条没被污染的罗非鱼分别为,,,a b c d ，2条被污染的罗非鱼分别为,e f ．则选取罗非鱼的所有可能结果为：ab ，ac ，ad ，ae ，af ，bc ，bd ，be ，bf ，cd ，ce ，cf ，de ，df ，ef ，基本事件数为15．（Ⅰ）记 “从这6条鱼中，随机地抽出2条，恰有1条鱼汞超标”为事件A ，可能结果为：ae ，af ，be ，bf ，ce ，cf ，de ，df 基本事件数为8．∴()815P A =；…6分 （Ⅱ）记“至多有1条鱼汞超标”为事件B ，“2条鱼都汞超标”为事件C ，其可能结果为ef ，故()115P C =，∴()()114111515P B P C =-=-=. …12分（理科）（Ⅰ）记“15条鱼中，随机地抽出3条，恰有1条鱼汞超标”为事件A ，则1251031545()91C C P A C ⋅==. …4分 （Ⅱ）依题意可知，这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率为51153P ==，则 ()21231222339P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. …8分（Ⅲ）依据条件，η服从超几何分布：其中15,5,3N M n ===，η的可能值为0,1,2,3，其分布列为：()()35103150,1,2,3k kC C P k k C η-===.∴2445012319191991E η=⨯+⨯+⨯+⨯=.（或由公式Mn E Nη=，得1E η=）…12分19．（Ⅰ）取BC 的中点O ，连接,OA OD ，∵AB AC =，∴BC OA ⊥∵BCD ∆是正三角形，∴BC OD ⊥，又OA O D O =∴BC ⊥面AOD ，∴AD BC ⊥ …6分（Ⅱ）（文科）由（Ⅰ）的证明过程知平面AOD 将四面体ABCD 分成两个相同的三棱锥，在AOD ∆中，12OA OB BC ===AD =，sin 60OD BD =︒=∴222cos 2OA OD AD AOD OA OD +-∠==⋅，sin AOD ∠=∴1sin 24AOD S OA OD AOD ∆=⋅⋅∠=∴112236ABCD B AOD AOD V V S OB -∆==⋅⋅⋅= …12分 （理科）在AOD ∆中，2OA =，AD =sin 602OD BD =︒=∴222cos 23OA OD AD AOD OA OD +-∠==-⋅，sin 3AOD ∠=，设点D 到平面ABC 的距离为h ，则()sin 1h OD AOD π=⋅-∠=， 建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，B ⎫⎪⎪⎝⎭，C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，0,D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 设(,,)x y z =n 是平面ACD 的一个法向量，而()0,,AD CD ⎫==⎪⎪⎝⎭则0z x y -=-=⎪⎩，令z =1y =，1x =-，∴(1,1=-n，又22AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设AB 与平面ACD 所成角为θ，则sin cos ,AB AB ABθ⋅=<>==n n n 45θ=︒． …12分 20．（Ⅰ）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，线段AB 的中点为(,)M x y ，则2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，且122x x x +=，122y y y +=，于是 2222x y a b +=2122()4x x a +2122()4y y b ++=2222112212122222222214x y x y x x y y a b a b a b ⎛⎫+++++ ⎪⎝⎭12122222124x x y y a b ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭…① 由22OA OBb k k a ⋅=-，即212212y y b x x a⋅=-⇒1212220x x y y a b += …②由①②得22221x y +=，则点M 的轨迹方程为22221x y +=…6分（Ⅱ）（文科）由已知 2211221x y a b +=，…③，2222221x y a b += …④，212212y y b x x a⋅=- …⑤．（1）当AB x ⊥轴，即12x x =时，由③④得12y y =-，再由⑤得2211220x y a b-=∴12x x ==，12y y =-=，此时12022x x x +==±，12002y y y +==，即,0M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 直线AB的方程为2x a =±. （2）当AB 不垂直于x 轴，即12x x ≠时，由③④得，22221212220x x y y a b --+=即1212121222()()()()0x x x x y y y y a b -+-++= …⑥由⑥得直线AB 的斜率2121221212y y x x b k x x y y a -+==-⋅-+ ∴直线AB 的方程为：1y y -=212212x x b y y a +-⋅+1()x x - …⑦由⑦变形得12112122()()()()0x x x x y y y y a b+-+-+=，并结合①⑤得 121222()()1x x x y y ya b+++= …⑧，而1202x x x +=，1202y y y += …⑨ 由⑧⑨得0022221x x y y a b +=，又情形（1）也符合 0022221x x y ya b+=． 故所求直线AB 的方程为0022221x x y ya b+=． …12分 （理科）设以椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点00(,)P x y 为圆心的圆P 的半径为r ，直线,OA OB 的斜率分别为12,k k ，则该圆P 的方程为22200()()x x y y r -+-= 直线,OA OB 的方程分别为1y k x =，2y k x =． ∵直线OA 与圆P相切，∴r =，即2221100(1)()k r k x y +=-，则2222201001()20r x k x y k r y -++-= …③同理 22222020020()20r x k x y k r y -++-= …④由③④知12,k k 是关于t 的一元二次方程222220000()20r x t x y t r y -++-=的两个实数根，∴220r x -≠，∴22012220r y k k r x -=-，又2122b k k a =-，∴2222r y r x --22b a =- ∴222200220r x r y a b --+=，即 2222002222x y r r a b a b+=+， 又点00(,)P x y 在椭圆上，即2200221x y a b +=，∴22221r r a b+=，即22222a b r a b =+，故该圆的半径为22a b+． …12分 21．（文科）（Ⅰ）已知()x f x e =，则()x f x e '=，∴曲线()x f x e =在点(),a a e 处的切线斜率a k e =∴所求切线l 的方程为()a a y e e x a -=-，即a a a y e x e ae =+- …① …4分 （Ⅱ）切线l 与曲线()ln g x x =相切，设切点为()11,ln x x ，又()1g x x'=同理曲线()ln g x x =在点()11,ln x x 处的切线方程为()1111ln y x x x x -=- 即111ln 1y x x x =+-…② 由①②得()()1113ln 14a a a e x e ae x ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩，由⑶⑷得1a ae ae a -=-- …⑤ 令() 1.aaF a ae e a a =---∈R ，所以()1 1.aaaaF a e ae e ae '=+--=-当0a ≤时，()0F a '<，又0a >时，()F a '单调递增，()10F '>，由零根定理知在区间()0,1之间有一个根α，使()0F α'=. ∴其中0∵()()()()2211202130,230120F F e F e F e --⎧=-<⎧-=->⎪⎪⎨⎨=->-=-<⎪⎪⎩⎩ 由a 为()0F a =的一个解∴a 的值是()2,1--与()1,2范围的一个. …12分 （理科） （Ⅰ）[]()()()1xF x ef x f x -''=--，由于()()f x f x '-≤1，所以()()1f x f x '--≤0，于是()0F x '≤，即()F x 在[)0,+∞上单调递减.因此()F x ≤(0)(0)11F f =+=， ∴max ()1F x =； …4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得()F x ≤1，即[]()1x e f x -+≤1()f x ⇔≤1xe -令[]()1()x G x e f x -=-，则[]()()1(x G x e f x f x -''=--+由于()()f x f x '-≤1，所以()()1f x f x '-+-≤0，于是()G x '≤0， 即()G x 在[0,)+∞上单调递减，因此()G x ≤(0)1(0)1G f =-= 即[]1()xef x --≤1()f x ⇔≥(1)x e --于是x ∀≥0，有()f x ≤1xe -． …12分22．（Ⅰ）连接BF ，∵AF 是圆O 的直径，DE 与圆O 切于点F ，∴AF DE ⊥，又点B 在圆O 上，∴90ABF ∠=︒，AFB D ∠=∠，又AFB ACB ∠=∠， ∴ACB D ∠=∠，而ACB ∠是四边形BDEC 的一个外角∴,,,B C D E 四点共圆； …6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知ACB D ∠=∠，ABC E ∠=∠ ∴ABC ∆∽AED ∆，∴AB AEAC AD=，即AB AD AC AE ⋅=⋅． …10分23．（Ⅰ）由4y t =得2216y t =，而24x t =，∴24y x =，它表示抛物线； …3分 （Ⅱ）设直线AB 和CD 的倾斜角分别为α、β，则直线AB 和CD 的参数方程分别为2cos ,2sin .x t y t αα=+⎧⎨=+⎩ …① 和 2cos ,2sin .x t y t ββ'=+⎧⎨'=+⎩ …② 把①代入24y x =中，得 22sin (4sin 4cos )40t t ααα+--= …③依题意知sin 0α≠且方程③的判别式2216(sin cos )16sin 0ααα∆=-+>∴方程③有两个不相等的实数解1t ，2t ，则 1224sin t t α-= …④ 由t 的几何意义知1PA t =，2PB t =∴1224sin PA PB t t α⋅==…⑤ ，同理24sin PC PD β⋅= …⑥ 由PA PB PC PD ⋅=⋅ 知24sin α24sin β=，即22sin sin αβ= ∵0≤,αβπ<，∴απβ=-，∵AB CD ⊥，∴90βα=+︒或90αβ=+︒ ∴直线AB 的倾斜角4πα=或34π，∴1AB k =或1AB k =- 故直线AB 的方程为y x =或40x y +-=． …10分 24．∵110a a ++->，对于a ∀∈R ，不等式()11()a a f x ++-≥4a 恒成立⇔()f x ≥411a a a ++-恒成立，只需()f x 不小于411a a a ++-的最大值．∵11a a ++-≥(1)(1)a a ++-2a =0> ，当且仅当()()11a a +-≥0，即a ≥1时取等号，故4(1)(1)a a a ++-≤422a a=，即411a a a ++-的最大值为2，∴根据题意有1x x ++≥2 …①当1x <-时，①可化为1x x ---≥2，解得x ≤32-； 当1-≤0x <时，①可化为1x x -++≥2，解得x ∈∅；当x ≥0时，①可化为1x x ++≥2，解得x ≥12．综上，x ≤32-或x ≥12． …10分以上各题的其它解法，限于篇幅从略，请相应评分．。