广西柳州二中2017-2018学年高二下学期段考数学(理)试题(解析版)
【全国百强校】广西柳州二中2017-2018学年高一下学期期末考试数学(文)试卷(解析版)
柳州二中2017级高一下学期期考试题数学（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. （）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：利用直接计算.详解：因为，所以，故选B.点睛：本题考察特殊角的三角函数值，属于基础题.2. 在中，，，则外接圆的面积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：利用正弦定理来求外接圆的半径，从而得到外接圆的面积.详解：因为，所以，外接圆的面积为，故选C.点睛：在三角形中，与外接圆的半径有关的公式是：（1），（2）.3. 不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：题设中的不等式可以转化为，利用一元二次不等式的解法可求其解. 详解：原不等式等价于即，故不等式的解为，故选C.点睛：一般地，分式不等式有如下的解法：（1）等价于，等价于；（2）等价于，等价于.4. 在中，角的对边分别为，若，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：直接利用面积公式来计算.详解：因为，故选C.点睛：在中，所对的边为，则面积的计算公式有两种：（1）（为边上的高）；（2），在解题中注意根据题设的条件选择合适的面积公式.5. 已知等比数列的公比，其前项的和为，则（）A. 7B. 3C.D.【答案】D【解析】分析：用基本量表示可得，代入的值即得所求结果.详解：因为，故选D.点睛：处理数列问题一般有两个角度：（1）基本量法，就是把问题归结为基本量的方程组，解这个方程组即可；（2）利用等比数列或等差数列的性质，此时需要找出题设中数列各项的下标或数列的和的特征，根据特征运用相应的性质来处理.6. 若，则的最小值为（）A. -1B. 3C. -3D. 1【答案】A【解析】分析：代数式可以配凑成，因，故可以利用基本不等式直接求最小值.详解：，当且仅当时等号成立，故选A.点睛：利用基本不等式求最值时，要注意“一正、二定、三相等”，有时题设给定的代数式中没有和为定值或积为定值的形式，我们需要对代数式变形，使得变形后的代数式有和为定值或者积为定值.特别要注意检验等号成立的条件是否满足.7. 如图，已知，，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：利用，化简即可得的表示形式.详解：由可以得到，整理得，故选D......................8. 函数的部分图象如图所示，则的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：从图像可以得到，所以，又当时，，所以，结合的范围可得其值.详解：由图可得，故，.又，，故，解得.因为，所以，故选D.点睛：根据图像求正弦（余弦）型函数的解析式，通常是“两看一算”，所谓“两看”，就是从图像中看出振幅和周期；“一算”指通过图像的最高点或最低点计算的值.9. 在中，角的对边分别为，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：不妨设，可通过余弦定理计算.详解：设，所以，故选C.点睛：本题考察余弦定理的应用，属于基础题.10. 若函数的定义域为，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：因为定义域是，所以对一切实数恒成立，分两种情况讨论即可. 详解：对任意的，有恒成立，所以或，故，故选A.点睛：含参数的一元二次不等式的恒成立，需要分清是否是上恒成立，如果是，在确定是一元二次不等式的条件下直接应用判别式来考虑，如果在其他范围上的恒成立，则可以转化为函数的最值或者采用参变分离的方法来求参数的取值范围.11. 已知函数的图象向右平移个单位长度后所得图象关于轴对称，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：因为图像右移后的图像关于轴对称，故而的图像关于直线对称，因此，从此等式中解出可得其最小值.详解：有题设知道的一条对称轴为直线，所以，故，解得.因，故时，，故选D.点睛：对于正弦型函数，若其对称轴方程为，则，若其对称中心为，则.12. 在数列中，，若数列满足：，则数列的前10项的和等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由题设可以得到是等差数列，从而得到即，利用裂项相消法可求前项和.详解：是等差数列，其首项是1，公差为2，所以，所以，，故，故选B.点睛：数列通项的求法，取决递推关系的形式，如果满足，则用累加，特别地如果是常数，则就是等差数列；若，则用累乘，特别地如果是常数，则就是等比数列.其他类型的递推关系则可通过变形构建新数列且新数列的递推关系大多数满足前面两种情形.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 设变量满足约束条件则目标函数的最小值为__________．【答案】【解析】画出不等式组所表示的平面区域如图，结合目标函数的几何意义知，目标函数在点A(0,4)处取得最小值，且.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.14. 已知向量，，若与垂直，则实数__________．【答案】【解析】分析：利用得到，而，，代入前者就可得到．详解：由题设有，所以，填．点睛：本题考察数量积的应用，属于基础题．15. 在等差数列中，，则__________．【答案】【解析】分析：因为为等差数列，故，利用可得所求值．详解：因为是等差数列，所以，所以，故，填．点睛：一般地，如果为等差数列，为其前项和，则有下列性质：如果正整数满足，则；；；也是等差数列16. 在中，，，若的面积等于，则边长为__________．【答案】【解析】分析：由可得，故，由余弦定理可得的长．详解：因为，故，所以.又，所以，故，从而，填．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 已知，且是第二象限角.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）由题意结合同角三角函数基本关系可得.则.（2）化简三角函数式可得，结合(1)的结论可知三角函数式的值为.详解：（1）∵是第二象限角，∴，∴..（2）∵，∴.点睛：本题主要考查同角三角函数基本关系，三角函数式的化简与求值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18. 在中，角所对的边分别为，且.（1）求角的值；（2）若，求边的长.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）利用正弦定理把化成即可得到，从而得到的大小.（2）直接用余弦定理求出第三条边的长.详解：（1）∵，∴由正弦定理得，又，∴，，∴.（2）由余弦定理，得.点睛：三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量.（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）；（3）如果知道两角及一边，用正弦定理.19. 已知等差数列的前项和.（1）求数列的通项公式；（2）若在数列中的每相邻两项之间插入2个数，使之构成新的等差数列，求新的等差数列的通项公式.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）利用可求的通项.（2）考虑新数列的公差，它是原数列公差的且首项相同，故可以直接得到通项公式.详解：（1），，∴，∴.（2）设新的数列的公差为，则，∴，∴.点睛：一般地，前项和和通项之间的关系是，该公式可以实现之间的转化.20. 已知平面向量，若，且.（1）求与的夹角；（2）若，且，求的值及.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）对两边平方后得到，化简后可以得到的值.（2）利用可得，再利用（1）中的值可计算出，最后利用计算. 详解：（1）由，得，∴，∴，又，∴.（2）∵，∴，∴，∴.∴.∴，.∴.点睛：向量有两个主要的应用；（1）求角，通常利用来计算，注意判断两个向量的夹角时，要“起点归一”且注意其范围是；（2）计算长度，通常利用来计算.21. 已知在单调递增的等差数列中，其前项和为，且，成等比数列.（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）设等差数列的公差为，则可以得到关于基本量的方程组，从这个方程组中可以解得从而求得通项.（2）的通项是等差数列与等比数列的乘积，所以可用错位相减法求其前项和.详解：（1）设等差数列的公差为，因为，成等比数列，所以解得或，因为，所以舍去，所以，所以的通项公式为.（2）因为，所以①.②.∴①－②，得.点睛：数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.22. 如图所示，一辆汽车从市出发沿海岸一条直公路以的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在市南偏东30°方向距市的海上处有一快艇与汽车同时出发，要把一份稿件送给这辆汽车的司机.问快艇至少以多大的速度，以什么样的航向行驶才能最快把稿件送到司机手中？【答案】,北偏东60°的方向.【解析】试题分析：（1）画出示意图，设快艇以的速度从处出发，沿方向，小时后与汽车在处相遇，由余弦定理得，配方后，利用二次函数的性质可得时，，从而可得结果.试题解析：如图所示，设快艇以的速度从处出发，沿方向，小时后与汽车在处相遇.在中，，，，，由余弦定理，∴，整理得：.当时，，∴.∴快艇至少以的速度行驶时才能最快把稿件送到司机手中.当时，在中，，，，∴，∴.故快艇至少以的速度，以北偏东60°的方向（与垂直）航行才能最快把稿件送达司机手中.。
广西柳州二中2017-2018学年上学期高二期中考试数学(文)试卷Word版含答案
2017-2018上学期柳州二中高二文科数学段考试题试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟。
一.选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{|21}A x x =-≤， {}0)2(≤-=x x x B ，则A B ⋃=（ ）A ．[]2,1B ．[]3,0C ．{}2,1D ．{}3,2,1,0 2．下列双曲线中，渐近线方程为2y x =±的是（ ）A.2214y x -= B.2214x y -= C.2212y x -= D.2212x y -=3．已知向量a 与b 的夹角为120°4,3===+（ ）A. 5B. 7C.13D.374．三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A.61 B.31 C.32D. 1 5．下列命题中，真命题为（ ）A ．1sin ,00>∈∃x R xB ．命题:p 2,2xx R x ∀∈>，则22,:x R x p x ≤∈∀⌝ C ．已知,a b 为实数，则1ab=-是0a b +=的充分条件D ．已知,a b 为实数，则1ab >是1,1a b >>的充分不必要条件6．从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ） A ．101 B ．51 C ．103 D ． 52 7．等比数列{}n a 满足21,35311=++=a a a a ，则=++753a a a （ ）A ．21B ．42 C.63 D ．84 8．如图给出的是计算111124620+++⋅⋅⋅+的值的一个框图，其中菱形判断框内应填 入的条件是（ ）A ．8?i >B ．9?i >C ．10?i >D ．11?i > 9．设偶函数()f x 在()0,+∞上为增函数，若()20f =则不等式0)()(>-+xx f x f 的解集为（ ）A ．()()2,02,-⋃+∞B ．()(),20,2-∞-⋃ C. ()(),22,-∞-⋃+∞ D ．()()2,00,2-⋃10．已知10<<<b a ，给出以下结论：①ba ⎪⎭⎫⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛3121；②3121b a >；③b a 3121log log >；.31log 21log b a >④ 则其中正确的结论个数是（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个11．若双曲线:C 22x a -22y b=1)0,0(>>b a 的一条渐近线被圆4)2(22=+-y x 所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）A.B.3C. D.2 12．函数)(x f 在定义域R 上满足1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当10<≤x 时x x f =)(，若函数)(x f 的图象与k x x g +=23)(的图象只有一个交点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．)1,1441(B ．)1,81( C.)1,641( D ．]1,641[ 二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡上。
广西壮族自治区柳州市柳江县第二中学高二数学理下学期期末试卷含解析
广西壮族自治区柳州市柳江县第二中学高二数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 法国数学家费马观察到，，，都是质数，于是他提出猜想：任何形如N*）的数都是质数，这就是著名的费马猜想. 半个世纪之后，善于发现的欧拉发现第5个费马数不是质数，从而推翻了费马猜想，这一案例说明（） A．归纳推理，结果一定不正确 B．归纳推理，结果不一定正确C．类比推理，结果一定不正确 C．类比推理，结果不一定正确参考答案：B略2. 已知集合，，且，那么的值可以是A． B． C．D．参考答案：D3. 已知，则的最小值为（）A．B．C．D．参考答案：C 由已知，= =，所以的最小值为，故选C。
4. 设是平面直角坐标系中任意一点，定义（其中为坐标原点）.若点是直线上任意一点，则使得取最小值的点有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．无数多个参考答案：D5. 正方体的内切球和外接球的半径之比为（）A. B. C. D.参考答案：D6. 将号码分别为1，2，3，4的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个小球，其号码为b，则使不等式a﹣2b+4＜0成立的事件发生的概率为（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】几何概型．【分析】每次摸出的号码（a，b）共有4×4=16 个，满足a﹣2b+4＜0的共有4个，由此使不等式a ﹣2b+4＞0成立的事件发生的概率．【解答】解：每次摸出的号码（a，b）共有4×4=16 个，分别为（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）其中满足a﹣2b+4＜0的共有（1，3）（1，4）（2，4）（3，4）共4个故使不等式a﹣2b+4＜0成立的事件发生的概率为：P==，故选：C．7. 若关于x的不等式x2－ax－6a<0有解，且解区间的长度不超过5个单位长，则a的取值范围是（）.A. －25≤a≤1B. a≤－25或a≥1C. －25≤a <0或1≤a <24D. －25≤a <－24或0< a≤1参考答案：D8. 若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为（）A．（0，+∞）B．（0，2）C．（1，+∞）D．（0，1）参考答案：D9. 已知是椭圆和双曲线的公共焦点, 是他们的一个公共点, 且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A. B. C. 3 D. 2参考答案：A10. 直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°参考答案：C 【考点】异面直线及其所成的角．【分析】延长CA到D，根据异面直线所成角的定义可知∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，而三角形A1DB为等边三角形，可求得此角．【解答】解：延长CA到D，使得AD=AC，则ADA1C1为平行四边形，∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，又A1D=A1B=DB=AB，则三角形A1DB为等边三角形，∴∠DA1B=60°故选C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 一批产品中，有10件正品和5件次品，现对产品逐个进行检测，如果已检测到前3次均为正品，则第4次检测的产品仍为正品的概率是_____.参考答案：略12. 已知，，，若，则实数的值为 .参考答案：-4试题分析：，因为，所以，解得：.考点：空间向量的运算13. 不等式(x－2)≥0的解集是．参考答案：14. 某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以公里／小时的速度匀速直达灾区，已知某市到灾区公路线长400公里，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于公里，那么这批物资全部到达灾区的最少时间是_____________小时．（车身长不计）参考答案：1215. 将函数的图象C1沿ｘ轴向右平移2个单位得到C2，C2关于ｙ轴对称的图象为C3，若C3对应的函数为，则函数=.参考答案：(或等价形式)16. 函数y=f （x ）的图象在点M （1，f（1））处的切线方程是y=3x﹣2，则f（1）+f′（1）= ．参考答案：4【考点】导数的几何意义．【专题】计算题．【分析】由导数的几何意义知，函数y=f（x）的图象在x=a处的切线斜率是f′（a）；并且点P （a，f（a））是切点，该点既在函数y=f（x）的图象上，又在切线上，f（a）是当x=a时的函数值，依此问题易于解决．【解答】解：由题意得f′（1）=3，且f（1）=3×1﹣2=1所以f（1）+f′（1）=3+1=4．故答案为4．【点评】本题主要考查导数的几何意义，要注意分清f（a）与f′（a）．17. 过点P(2，4)作圆的切线，则切线方程为__________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。
广西壮族自治区柳州市第二中学高二数学理联考试题含解析
广西壮族自治区柳州市第二中学高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若，则“”是“a、b、c成等差数列”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件参考答案：C【详解】由得b-a=c-b，所以成等差数列；反之，因为成等差数列，所以b-a=c-b，即，故“”是“成等差数列”的充要条件，故选C.2. 曲线轴交点的纵坐标是（）A．－9 B．－3 C． 9 D．15参考答案：C3. 命题“若x，y都是偶数，则x+y也是偶数”的逆否命题是（）A．若x+y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x+y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x+y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x+y不是偶数，则x与y都不是偶数参考答案：C【考点】四种命题间的逆否关系．【分析】若命题为“若p则q”，命题的逆否命题为“若非q，则非p”，而x，y都是偶数的否定应为x与y不都是偶数．【解答】解：若命题为“若p则q”，命题的逆否命题为“若非q，则非p”，所以原命题的逆否命题是“若x+y不是偶数，则x与y不都是偶数”故选C4. 已知命题，.则命题为（）A. ，B. ，C. ，D. ，参考答案：D【分析】利用全称命题的否定解答.【详解】命题，.命题为，.故选：D【点睛】本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.5. 某市某校在秋季运动会中，安排了篮球投篮比赛.现有20名同学参加篮球投篮比赛，已知每名同学投进的概率均为0.4，每名同学有2次投篮机会，且各同学投篮之间没有影响.现规定：投进两个得4分，投进一个得2分，一个未进得0分，则其中一名同学得2分的概率为（）A. 0.5B. 0.48C. 0.4D. 0.32参考答案：B【分析】事件“第一次投进球”和“第二次投进球”是相互独立的，利用对立事件和相互独立事件可求“其中一名同学得2分”的概率.【详解】设“第一次投进球”为事件，“第二次投进球”为事件，则得2分的概率为.故选B.【点睛】本题考查对立事件、相互独立事件，注意互斥事件、对立事件和独立事件三者之间的区别，互斥事件指不同时发生的事件，对立事件指不同时发生的事件且必有一个发生的两个事件，而独立事件指一个事件的发生与否与另一个事件没有关系.6. 已知双曲线的标准方程为，为其左右焦点，若是双曲线右支上的一点，且的斜率分别为，若满足，则此双曲线的离心率为( )A．B．C．D．参考答案：B7. 在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，设，则x+y+z等于（）A．1 B．C．D．参考答案：D【考点】空间向量的基本定理及其意义．【分析】在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，用、、表示出，将它和题中已知的的解析式作对照，求出x、y、z 的值．【解答】解：∵在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，，又∵=++，∴x=1，2y=1，3z=1，∴x=1，y=，z=，∴x+y+z=1++=，故选 D．【点评】本题考查空间向量基本定理及其意义，空间向量的加减和数乘运算，用待定系数法求出x、y、z 的值．8. 已知全集,集合,则为（）A．B．C．D．参考答案：C9. 阅读如图所示的程序，若执行循环体的次数为5，则程序中的取值范围是( ) A. B. C. D.参考答案：D10. 已知函数，，若关于的方程有四个不相等的实根，则实数（）参考答案：B法1：画图讨论；法2：根据选择支特点，分别取、验证淘汰.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在ABC中，已知sinA:sinB:sinC=6:5:4,则cosA= .参考答案：12. 已知a n=2n(n∈N*)，把数列{a n}的各项按如图的规律排成一个三角形数阵，记F（p，q）表示第p 行从左至右的第q个数，则F（8，6）的值为．参考答案：110【考点】归纳推理．【分析】观察发现：是连续的项的排列，且第m 行有2m ﹣1个数，根据等差数列求和公式，得出F （8，6）是数列中的项数，再利用通项公式求出．【解答】解：三角形数阵第m 行有2m ﹣1个数，根据等差数列求和公式，F （8，6）是数列中的 1+3+5+…+（2×7﹣1）+6=55项，F （8，6）=a 55=2×55=110 故答案为：110．【点评】本题是规律探究型题目，此题要发现各行的数字个数和行数的关系，从而进行分析计算．13. (不等式选讲)若关于的不等式的解集为,则实数的取值范围为_________. 参考答案：略14. 数列{}满足，（n≥2），则数列{a }的通项公式为___________参考答案：15. 在△ABC 中，若sinA ：sinB ：sinC=1：：3，则∠B的大小为．参考答案：【考点】余弦定理；正弦定理． 【分析】sinA ：sinB ：sinC=1：：3，由正弦定理可得：a ：b ：c=1：：3，不妨取a=1，b=，c=3．再利用余弦定理即可得出．【解答】解：∵sinA：sinB ：sinC=1：：3，由正弦定理可得：a ：b ：c=1：：3，不妨取a=1，b=，c=3．∴cosB==，∵B∈（0，π）， ∴B=．故答案为：．16. 为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校200名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如右，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最多一组学生数为a ，视力在4.6到5.0之间的频率为b ，则a, b 的值分别为A ．78, 0.68B ．54 , 0.78C ．78, 0.78D ．54, 0.68 参考答案：B 17. 函数的图象恒过的定点是_ _.参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
广西柳州市高二下学期期中数学试卷(理科)
广西柳州市高二下学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高一下·商丘期末) 下列各数中与相等的数是（）A .B .C .D .2. （2分）某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是（）A . ＝－10x＋200B . ＝10x＋200C . ＝－10x－200D . ＝10x－2003. （2分） (2016高二上·湖南期中) 某学校为了了解高二年级学生对教师教学的意见，打算从高二年级883名学生中抽取80名进行座谈，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从883人中剔除3人，剩下880人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的概率是（）A .B .C .D . 无法确定4. （2分）为了解72名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为8的样本，则分段的间隔为（）A . 9B . 8C . 10D . 75. （2分）执行如图所示的程序框图，若输入n=8，则输出的S=（）A .B .C .D .6. （2分）(2020·攀枝花模拟) 2019年5月22日具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜湖举行；长三角城市群包括：上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市”. 现有4 名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个地方旅游，假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游，则恰有一个地方未被选中的概率为（）A .B .C .D .7. （2分） (2018高一下·枣庄期末) 已知数据，，，…，是枣强县普通职工（，）个人的年收入，设个数据的中位数为，平均数为，方差为，如果再加上世界首富的年收入，则这个数据中，下列说法正确的是（）A . 年收入平均数大大增加，中位数一定变大，方差可能不变B . 年收入平均数大大增加，中位数可能不变，方差变大C . 年收入平均数大大增加，中位数可能不变，方差也不变D . 年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变8. （2分）已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是（）A . 2B . 1C . -1D .9. （2分） (2016高一上·辽宁期中) 已知集合A={0，1}，B={x，y，z}，则从集合A到集合B的映射可能有（）种．A . 6B . 8C . 9D . 1210. （2分）展开式中x2的系数为0，则a=（）A .B .C .D .11. （2分） (2017高二下·深圳月考) 在某次运动会中，要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（）A . 36种B . 12种C . 18种D . 48种12. （2分）将1枚硬币抛2次，恰好出现1次正面的概率是（）A .B .C .D . 0二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·青州模拟) 若的展开式中常数项为43，则 ________．14. （1分） (2017高二下·夏县期末) 在的展开式中x3的系数是________．15. （1分） (2017高三上·桓台期末) 某程序框图如图所示，当输出y的值为﹣8时，则输出x的值为________16. （1分）(2014·北京理) 把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．三、解答题 (共6题；共50分)17. （5分）已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是．（Ⅰ）求n的值；（Ⅱ）从袋子中不放回地随机抽取2个球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b．①记“2≤a+b≤3”为事件A，求事件A的概率；②在区间[0，2]内任取2个实数x，y，求事件“x2+y2＞（a﹣b）2恒成立”的概率．18. （5分）(2017·泉州模拟) 某测试团队为了研究“饮酒”对“驾车安全”的影响，随机选取100名驾驶员先后在无酒状态、酒后状态下进行“停车距离”测试．测试的方案：电脑模拟驾驶，以某速度匀速行驶，记录下驾驶员的“停车距离”（驾驶员从看到意外情况到车子完全停下所需要的距离）．无酒状态与酒后状态下的试验数据分别列于表1和表2．表1停车距离d（米）（10，20]（20，30]（30，40]（40，50]（50，60]频数26a b82表2平均每毫升血液酒精含量x毫克1030507090平均停车距离y米3050607090已知表1数据的中位数估计值为26，回答以下问题．（Ⅰ）求a，b的值，并估计驾驶员无酒状态下停车距离的平均数；（Ⅱ）根据最小二乘法，由表2的数据计算y关于x的回归方程；（Ⅲ）该测试团队认为：驾驶员酒后驾车的平均“停车距离”y大于（Ⅰ）中无酒状态下的停车距离平均数的3倍，则认定驾驶员是“醉驾”．请根据（Ⅱ）中的回归方程，预测当每毫升血液酒精含量大于多少毫克时为“醉驾”？（附：对于一组数据（x1 ， y1），（x2 ， y2），…，（xn ， yn），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．）19. （10分） (2015高二上·三明期末) 某公司为了解用户对其产品的满意度，从某地区随机调查了100个用户，得到用户对产品的满意度评分频率分布表如下：组别分组频数频率第一组（50，60]100.1第二组（60，70]200.2第三组（70，80]400.4第四组（80，90]250.25第五组（90，100）50.05合计1001（1）根据上面的频率分布表，估计该地区用户对产品的满意度评分超过70分的概率；（2）请由频率分布表中数据计算众数、中位数，平均数，根据样本估计总体的思想，若平均分低于75分，视为不满意．判断该地区用户对产品是否满意？20. （10分） (2017高一下·定西期中) 某水产试验厂实行某种鱼的人工孵化，10000个鱼卵能孵出8513尾鱼苗，根据概率的统计定义解答下列问题：（1）求这种鱼卵的孵化概率（孵化率）；（2） 30000个鱼卵大约能孵化多少尾鱼苗？21. （10分） (2016高一下·兰州期中) 某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生．（1）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi（i=1，2，3）；（2）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i（i=1，2，3）的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．甲的频数统计表（部分）运行次数n 输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数3014610…………21001027376697乙的频数统计表（部分）运行次数n 输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数3012117…………21001051696353当n=2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大．22. （10分） (2017高二下·故城期末) 某校为了纪念“中国红军长征90周年”，增强学生对“长征精神”的深刻理解，在全校组织了一次有关“长征”的知识竞赛，经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队(每队3人)进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得20分，答错得0分.假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用表示乙队的总得分.（1）求的分布列和均值；（2）求甲、乙两队总得分之和等于40分且甲队获胜的概率.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分)17-1、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。
2017-2018年广西南宁二中高二(下)期中数学试卷(理科)和答案
2017-2018学年广西南宁二中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设随机变量ξ的分布列为P（ξ＝k）＝m，k＝1，2，3，则m 的值是（）A．B．C．D．2．（5分）已知变量x，y有如表中的观察数据，得到y对x的回归方程是，则其中a的值是（）A．2.64B．2.84C．3.95D．4.353．（5分）若ξ～B（10，），则p（ξ≥2）等于（）A．B．C．D．4．（5分）在二项式的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的第6项是（）A．B．C．D．5．（5分）一个盒子里装有3种颜色，大小形状质地都一样的12个球，其中黄球5个，蓝球4个，绿球3个，现从盒子中随机取出两个球，记事件A“取出的两个球颜色不同”，事件B“取出一个黄球，一个蓝球”，则P（B|A）＝（）A．B．C．D．6．（5分）袋子中装有大小相同的八个小球，其中白球五个，分别编号1、2、3、4、5；红球三个，分别编号1、2、3，现从袋子中任取三个小球，它们的最大编号为随机变量X，则P（X＝3）等于（）A．B．C．D．7．（5分）现有6个人分乘两辆不同的出租车，已知每辆车最多能乘坐4个人，则不同的乘车方案种数为（）A．30B．50C．60D．708．（5分）如图，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为（）A．60B．480C．420D．709．（5分）有9名翻译人员，其中6人只能翻译英语，2人只能翻译韩语，另外1人既可翻译英语也可翻译韩语．从中选出5人分别接待5个外国旅游团，其中两个旅游团需要韩语翻译，另外三个需要英语翻译，则不同的选派方法数为（）A．900B．800C．600D．50010．（5分）若，则a3等于（）A．B．C．D．11．（5分）设编号为1，2，3，4，5，6的六个茶杯与编号为1，2，3，4，5，6的六个茶杯盖，将这六个杯盖盖在茶杯上，恰好有2个杯盖与茶杯编号相同的盖法有（）A．24种B．135种C．9种D．360种12．（5分）现安排甲乙丙丁戊5名学生分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的科代表，要求甲不当语文课代表，乙不当数学课代表，若丙当物理课代表则丁必须当化学课代表，则不同的选法共有多少种（）A．53B．67C．85D．91二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）＝0.8，则P（0＜ξ＜2）＝．14．（5分）排球比赛的规则是5局3胜制，A、B两队每局比赛获胜的概率分别为和．前2局中B队以2：0领先，则最后B队获胜的概率为．15．（5分）若（1﹣2x）2011＝a0+a1x+a2x2+…+a2010x2010+a2011x2011（x∈R），则（a0+a1）+（a0+a2）+（a0+a3）+…+（a0+a2010）+（a0+a2011）＝．（用数字作答）16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线（t为参数）的焦点为F，动点P在抛物线上，动点Q在圆（α为参数）上，则|PF|+|PQ|的最小值为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l：（t为参数），以原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+4＝0．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点A（0，），直线l与曲线C相交于点M、N，求+的值．18．（12分）北方某市一次全市高中女生身高统计调查数据显示：全市200000名高中女生的身高（单位：cm）服从正态分布N（168，42）．现从某高中女生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部在160cm和184cm 之间，现将测量结果按如下方式分成6组：第1组[160，164），第2组[164，168），…，第6组[180，184），如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）求这50名女生身高不低于172cm的人数；（2）在这50名女生身高不低于172cm的人中任意抽取2人，将该2人中身高排名（从高到低）在全市前260名的人数记为X，求X的数学期望．参考数据：X～N（μ，σ2），P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．19．（12分）在直角坐标系中，曲线C1的普通方程为，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并取与直角坐标系相同的长度单位，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣1＝0．（Ⅰ）求曲线C1、C2的参数方程；（Ⅱ）若点M、N分别在曲线C1、C2上，求|MN|的最小值．20．（12分）如图，在多面体EF﹣ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥CD，AD ＝DC＝CB＝2，∠ABC＝60°°，平面ACEF⊥平面ABCD，四边形ACEF是菱形，∠CAF＝60°．（Ⅰ）求证：BF⊥AE；（Ⅱ）求二面角B﹣EF﹣D的平面角的正切值．21．（12分）为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机对50名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在30名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有20人，不超过100km/h 的有10人．在20名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有5人，不超过100km/h的有15人．（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关；（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为女性且车速不超过100km /h 的车辆数为ζ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ζ的分布列和数学期望．参考公式：，其中n ＝a +b +c +d ．参考数据：22．（12分）已知函数f （x ）＝e x sin x ﹣ax ．（1）若a ＝1，求曲线y ＝f （x ）在（0，f （0））处的切线方程；（2）若f （x ）在上单调递增，求实数a 的取值范围；（3）当a ≤1时，求证：对于任意的x ∈，均有f （x ）≥0．2017-2018学年广西南宁二中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设随机变量ξ的分布列为P（ξ＝k）＝m，k＝1，2，3，则m 的值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵随机变量ξ的分布列为，k＝1，2，3∴，，，∵++＝1，∴m＝，故选：B．2．（5分）已知变量x，y有如表中的观察数据，得到y对x的回归方程是，则其中a的值是（）A．2.64B．2.84C．3.95D．4.35【解答】解：由已知中的数据可得：＝×（0+1+3+4）＝2，＝×（2.4+4.5+4.6+6.5）＝4.5；且数据中心点（2，4.5）在回归直线上，∴4.5＝0.83×2+a，解得a＝2.84．故选：B．3．（5分）若ξ～B（10，），则p（ξ≥2）等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵变量ξ～B（10，），∴P（ξ≥2）＝1﹣P（ξ＜2）＝1﹣C100•（）0•（）10﹣C101•（）1•（）9＝，故选：A．4．（5分）在二项式的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的第6项是（）A．B．C．D．【解答】解：因为展开式中只有第5项的二项式系数最大，所以+1＝5，解得n＝8，则展开式中的第6项T5+1＝＝﹣，故选：C．5．（5分）一个盒子里装有3种颜色，大小形状质地都一样的12个球，其中黄球5个，蓝球4个，绿球3个，现从盒子中随机取出两个球，记事件A“取出的两个球颜色不同”，事件B“取出一个黄球，一个蓝球”，则P（B|A）＝（）A．B．C．D．【解答】解：因为P（B|A）＝＝，故选：C．6．（5分）袋子中装有大小相同的八个小球，其中白球五个，分别编号1、2、3、4、5；红球三个，分别编号1、2、3，现从袋子中任取三个小球，它们的最大编号为随机变量X，则P（X＝3）等于（）A．B．C．D．【解答】解：袋子中装有大小相同的八个小球，其中白球五个，分别编号1、2、3、4、5；红球三个，分别编号1、2、3，现从袋子中任取三个小球，它们的最大编号为随机变量X，则P（X＝3）＝＝．故选：D．7．（5分）现有6个人分乘两辆不同的出租车，已知每辆车最多能乘坐4个人，则不同的乘车方案种数为（）A．30B．50C．60D．70【解答】解：根据题意，由于6个人分乘两辆不同的出租车，已知每辆车最多能乘坐4个人，则分2种情况讨论：1、每辆乘坐3人，先将6人平均分成2组，有C63＝10种分组方法，再将这2组对应2辆出租车，有A22＝2种情况，则此时的乘车方法种数为10×2＝20种，2、一辆车4人，一辆车2人，先将6人分成2组，一组4人，另一组2人，有C62C44＝15种分组方法，再将这2组对应2辆出租车，有A22＝2种情况，则此时的乘车方法种数为15×2＝30种，共有20+30＝50种故选：B．8．（5分）如图，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为（）A．60B．480C．420D．70【解答】解：分两步，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用乘法原理可求解．由题设，四棱锥S﹣ABCD的顶点S，A，B所染的颜色互不相同，它们共有5×4×3＝60种染色方法．当S，A，B染好时，不妨设所染颜色依次为1，2，3，若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染法；若C染5，则D可染3或4，有2种染法，即当S，A，B染好时，C，D还有7种染法．故不同的染色方法有60×7＝420种．故选：C．9．（5分）有9名翻译人员，其中6人只能翻译英语，2人只能翻译韩语，另外1人既可翻译英语也可翻译韩语．从中选出5人分别接待5个外国旅游团，其中两个旅游团需要韩语翻译，另外三个需要英语翻译，则不同的选派方法数为（）A．900B．800C．600D．500【解答】解：分三类：①不要那个全能的人，有种不同的选派方法；②全能的人去做韩语翻译，有种不同的选派方法；③全能的人做英语翻译，有种不同的选派方法．由分类计数原理知，不同的选派方法数为++＝900种．故选：A．10．（5分）若，则a3等于（）A．B．C．D．【解答】解：由已知条件知a3为展开式中x3的系数，∴＝＝＝＝…＝，故选：C．11．（5分）设编号为1，2，3，4，5，6的六个茶杯与编号为1，2，3，4，5，6的六个茶杯盖，将这六个杯盖盖在茶杯上，恰好有2个杯盖与茶杯编号相同的盖法有（）A．24种B．135种C．9种D．360种【解答】解：根据题意，分2步分析：首先从6个号中选两个放到同号的盒子里，共有C62种结果，对于剩下的四个小球和四个盒子，要求球的号码与盒子的号码不同，首先第一个球有3种结果，与被放上球的盒子同号的球有三种方法，余下的只有一种方法共有3×3＝9种结果，则一共有15×9＝135种结果；故选：B．12．（5分）现安排甲乙丙丁戊5名学生分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的科代表，要求甲不当语文课代表，乙不当数学课代表，若丙当物理课代表则丁必须当化学课代表，则不同的选法共有多少种（）A．53B．67C．85D．91【解答】解：丙当物理课代表则丁必须当化学课代表，以丙进行分类第一类，当丙当物理课代表时，丁必须当化学课代表，再根据甲当数学课代表，乙戊可以当英语和语文中的任一课，有＝2种，当甲不当数学课代表，甲只能当英语课代表，乙只能当语文课代表，戊当数学课代表，有1种，共计2+1＝3种．第二类，当丙不当物理课代表时，分四类①丙为语文课代表时，乙只能从英语、物理和化学中选择一课，剩下的甲丁戊任意排给剩下的三课，有＝18种，②丙为数学课代表时，甲只能从英语、物理和化学中选择一课，剩下的乙丁戊任意排给剩下的三课，有＝18种，③丙为英语课代表时，继续分类，甲当数学课代表时，其他三位同学任意当有＝6种，当甲不当数学课代表，甲只能从物理和化学课中选一课，乙只能从语文和甲选完后的剩下的一课中选一课，丁和戊做剩下的两课，有＝8种，共计6+8＝14种④丙为化学课代表时，同③的选法一样有14种，根据分类计数原理得，不同的选法共有3+18++18+14+14＝67种．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）＝0.8，则P（0＜ξ＜2）＝0.3．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（2，σ2），μ＝2，得对称轴是x＝2．P（ξ＜4）＝0.8∴P（ξ≥4）＝P（ξ≤0）＝0.2，∴P（0＜ξ＜4）＝0.6∴P（0＜ξ＜2）＝0.3．故答案为：0.3．14．（5分）排球比赛的规则是5局3胜制，A、B两队每局比赛获胜的概率分别为和．前2局中B队以2：0领先，则最后B队获胜的概率为．【解答】解：只要B获胜一局即可，第三局胜的概率为，第三局输第四局胜的概率为＝，第三四局输第五局胜的概率为＝故B获胜的概率是++＝．故答案为：．15．（5分）若（1﹣2x）2011＝a0+a1x+a2x2+…+a2010x2010+a2011x2011（x∈R），则（a0+a1）+（a0+a2）+（a0+a3）+…+（a0+a2010）+（a0+a2011）＝2009．（用数字作答）【解答】解：令x＝0，则a0＝1．令x＝1，则a0+a1+a2+…+a2010+a2011＝（1﹣2）2011＝﹣1．∴（a0+a1）+（a0+a2）+（a0+a3）+…+（a0+a2010）+（a0+a2011）＝2010a0+（a0+a1+a2+a3+…+a2011）＝2010﹣1＝2009．故答案为：2009．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线（t为参数）的焦点为F，动点P在抛物线上，动点Q在圆（α为参数）上，则|PF|+|PQ|的最小值为3．【解答】解：根据题意，抛物线参数方程为，其普通方程为y2＝4x，其焦点坐标为（1，0），准线方程为x＝﹣1，动点P在抛物线上，设P到准线的距离为d，则d＝|PF|，圆的参数方程为（α为参数），其普通方程为（x﹣3）2+y2＝1，动点Q在圆上，则|PF|+|PQ|＝d+|PQ|，分析可得：当P为抛物线的顶点时，|PF|+|PQ|取得最小值，且其最小值为3，故答案为：3．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l：（t为参数），以原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+4＝0．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点A（0，），直线l与曲线C相交于点M、N，求+的值．【解答】解：（Ⅰ）∵ρ2cos2θ+4＝0．∴ρ2cos2θ﹣ρ2sin2θ+4＝0，∴x2﹣y2+4＝0，∴y2﹣x2＝4；（Ⅱ）将直线l的参数方程化为标准形式为：（t为参数），代入曲线C的方程得，∴t1+t2＝﹣，t1•t2＝，则．18．（12分）北方某市一次全市高中女生身高统计调查数据显示：全市200000名高中女生的身高（单位：cm）服从正态分布N（168，42）．现从某高中女生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部在160cm和184cm 之间，现将测量结果按如下方式分成6组：第1组[160，164），第2组[164，168），…，第6组[180，184），如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）求这50名女生身高不低于172cm的人数；（2）在这50名女生身高不低于172cm的人中任意抽取2人，将该2人中身高排名（从高到低）在全市前260名的人数记为X，求X的数学期望．参考数据：X～N（μ，σ2），P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．【解答】解：（1）由直方图知，后3组频率为（0.02+0.02+0.01）×4＝0.2，人数为0.2×50＝10，即这50名女生身高不低于172cm的人数为10人；（2）∵P（168﹣3×4＜X≤168+3×4）＝0.9974，∴．∴.0.0013×200000＝260，则全市高中女生的身高在180cm以上的有260人，这50人中180cm以上的有2人．随机变量X可取0，1，2，于是，，．列出频率分布表：∴．19．（12分）在直角坐标系中，曲线C1的普通方程为，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并取与直角坐标系相同的长度单位，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣1＝0．（Ⅰ）求曲线C1、C2的参数方程；（Ⅱ）若点M、N分别在曲线C1、C2上，求|MN|的最小值．【解答】解：（Ⅰ）依题意，曲线C1的参数方程为（α是参数），因为曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣1＝0，化简可得直角坐标方程：x2+y2+2x﹣1＝0，即（x+1）2+y2＝2，所以曲线C2的参数方程为（θ是参数）（Ⅱ）设点，易知C2（﹣1，0），∴|MC2|＝＝＝，∴cosα＝0时，，∴．∴|MN|的最小值．20．（12分）如图，在多面体EF﹣ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥CD，AD ＝DC＝CB＝2，∠ABC＝60°°，平面ACEF⊥平面ABCD，四边形ACEF是菱形，∠CAF＝60°．（Ⅰ）求证：BF⊥AE；（Ⅱ）求二面角B﹣EF﹣D的平面角的正切值．【解答】（Ⅰ）证明：在等腰梯形ABCD中，由DC＝AD＝BC＝2，可得AB＝4，则AC2＝22+42﹣2×2×4×cos60°＝12，∴AC2+BC2＝AB2，即BC⊥AC，∵平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，∴BC⊥平面ACEF，而AE⊂平面ACEF，∴AE⊥BC，连接CF，∵四边形ACEF是菱形，∴AE⊥FC，则AE⊥面BFC，∵BF⊂面BCF，∴BF⊥AE；（Ⅱ）解：取EF的中点M，连接MC，∵四边形ACEF是菱形，且∠CAF＝60°．∴MC⊥AC，∵平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，∴MC⊥平面ABCD．故可以CA、CB、CM分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（，0，0），B（0，2，0），D（，﹣1，0），E（，0，3），F（，0，3）．设平面BEF和平面DEF的法向量分别为＝（x1，y1，z1），＝（x2，y2，z2），∵，，，由，取z1＝2，得；由，取z2＝﹣1，可得＝（0，3，﹣1），∴cos＜＞＝．∵二面角B﹣EF﹣D的平面角为锐角，故二面角B﹣EF﹣D 的平面角的正切值为．21．（12分）为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机对50名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在30名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有20人，不超过100km/h 的有10人．在20名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有5人，不超过100km/h的有15人．（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h 的人与性别有关；（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为女性且车速不超过100km/h的车辆数为ζ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ζ的分布列和数学期望．参考公式：，其中n＝a+b+c+d．参考数据：【解答】解：（Ⅰ）根据题意，填写列联表如下；计算K 2＝＝≈8.333＞7.879，所以有99.5%的把握认为平均车速超过100km /h 与性别有关；（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随即抽取1辆，驾驶员为女性且车速不超过100km /h 的车辆的概率为，所以ξ的可能取值为0，1，2，3，且ξ～B （3，），∴P （ξ＝0）＝••＝，P（ξ＝1）＝••＝， P （ξ＝2）＝••＝，P （ξ＝3）＝••＝； ξ的分布列为：数学期望为；或． 22．（12分）已知函数f （x ）＝e x sin x ﹣ax ．（1）若a ＝1，求曲线y ＝f （x ）在（0，f （0））处的切线方程；（2）若f（x）在上单调递增，求实数a的取值范围；（3）当a≤1时，求证：对于任意的x∈，均有f（x）≥0．【解答】解：（1）因为函数f（x）＝e x sin x﹣x，则f'（x）＝e x sin x+e x cos x﹣1，又因为f（0）＝0，f'（0）＝0，所以曲线y＝f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y＝0；（2）因为f（x）＝e x sin x﹣ax，所以（）﹣a，函数f（x）在[]上单调递增⇔f'（x）在[]上恒有f'（x）≥0．即（）≥a恒成立．令（），则g（x）min≥a．又因为g（x）在[]上单调递增，所以g（x）min＝g（0）＝1，所以a≤1；（3）证明：因为f（x）＝e x sin x﹣ax，所以（）﹣a．令（），则g'（x）＝2e x sin（x+）＝2e x cos x．①当x∈[]时，g'（x）≥0，g（x）递增，有g（x）≥g（x）min＝g（0）＝1，因为a≤1，此时，f'（x）＝g（x）﹣a≥0，f（x）递增，有f（x）≥f（x）min＝f（0）＝0成立．②当x∈（]时，g'（x）≤0，g（x）递减，有，若a≤0，此时f'（x）＝g（x）﹣a≥0，f（x）递增，f（x）≥0显然成立．若a∈（0，1]，此时记f'（x0）＝0，则f（x）在（]上递增，在（]上递减．此时有，，构造，则，令t'（x）＝0，求得．故t（x）在（]上递减，在（）上递增，所以，所以，此时满足f（x）≥0，综上所述，当a≤1时，对于任意的x∈[]，均有f（x）≥0．。
高二数学理2017-2018学年度第二学期中期质量检测试题
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A. -1 B. 1 C. -5 D. 3
2. 已知函数 f x ax3 3x2 2 ，若 f ' 1 4 ，则 a
A. 10 B. 13
3
3
3. 已知 a (2, 1,3) ， b
C. 16 D.
19
3
3
1, x,2 ，若 a b 0 ，则 x
A. -4 B. 8 C. -8 D. -6 4. 下列求导运算正确的是（ ）
22. 已知函数 f x lnx 1 ax2 2x, a R 2
（1）若 a 1 ，求曲线 y f x 在点 1, f 1 处的切线方程；
（2）若函数 f x 在定义域内是单调递增，求实数 a 的取值范围。
20．如图，四棱锥 P ABCD 中， PA 平面 ABCD ，梯形 ABCD ， AD // BC ， AB AD AC 3 ，
15. 已知函数 y f x x3 ax2 a 6 x 1有极大值和极小值，则 a 的取值范围是 __________ 16. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 E 为 BB1 的中点，则平面 A1ED与平面 ABCD所成的锐二面角的余弦 值为 ________．
三、解答题（共 6 题， 17 题 10 分， 18-22 每题 12 分，共 70 分） 17. 求下列函数的导数 （1） y ex cos x
A. a // c, b // c
B. a // b, a c C. a // c, a b D. 以上都不对
广西柳州市第二中学2017-2018学年高二下学期段考语文试题及答案
柳州市二中2016级高二下学期段考试题语文一、现代文阅读(35分)(一)论述类文本阅读(本题共3小题，9分)阅读下面的文章，完成1-3题。
最近两年，“真人秀”非常流行。
这些“真人秀”都是由当红明星出镜，让他们在设定的情境之下进行特定的展现。
与此同时，网络直播正俏然兴起。
网络直播已经成为年青一代所喜爱和参与的娱乐方式。
而且，网络直播似乎也在创造着一些普通人中的“明星”一网红，一些无名的模特或美女或其他方面的人通过这样的方式“走红”了。
其实明星真人秀和网络直播正好是对照。
明星真人秀是明星扮成普通人，网红则是普通人扮明星。
明星真人秀是让明星在没法端着的环境中、在现实的普通竞争游戏中展现普通；而网红则是以小白领为中心的中产阶级后备军自己扮演明星。
明星真人秀和网红都是年轻的中产阶级后备军喜欢的，前者是高不可攀的明星下降到和自己一样的位置，后者是和自己一样的人成了明星。
这都是以年轻小白领为中心的青年群体的自我期望和自我反讽。
这里有两个走向值得注意：首先，从这些节目看来，就是现在的年轻人渴望看到更多的“真实”的生活，他们对戏剧性的生活兴趣不高，但对于某种琐碎的“生活流”倾注了很多的关切。
这种“生活流”是由大量真实的细节和具体而微的生活状态所构成的，这种生活的情境是典型的白领式的。
这就把中产阶级后备军的生活形态作为所有这些直接性节目的背景，他们与现在的年轻人保持着一种平视的关系，并且通过这种方式来获得一种身临其境之感。
其次，这些节目极为关键的就是一种“互动”的生成，网络直播是通过手机的直接互动所产生的效应，而明星真人秀更加依赖电视中的互动和网络的互动，这种互动性其实是参与到情境之中的感觉的生成。
其实，这些都是年轻人的新的认同感所营造的一部分。
他们对自己生活的观照，往往是通过这种真人秀或直播来获得的，这些赋予了他们的平淡日常生活一种不同于既往的意义，这种意义不是来自一种大叙事，而是来自于某种“平庸性”的小叙事。
这种小叙事看起来意义极为中性和暖昧，有一些甚至有无聊和消极的因素，但另一面其实也具有某种面对生活的积极意义和价值，它让年轻人能够面对今天没有大喜大悲的生活，在为追求生活而努力的路上一面能够适应生活本身一面也能够产生一种积极的面对自身社会的认同。
2017-2018学年高二年级数学期末试卷(理数)含答案
2．若 x 2m2 3 是 1 x 4 的必要不充分条件，则实数 m 的取值范围是（ ）
10．已知函数 f x 1 x3 1 mx2 4x 3 在区间 1,2上是增函数，则实数 m 的取值范围是（
32
A . 3,3
B . ,3 3, C . ,1 1,
，则满足
11．已知函数
f
x
3|x1| , x2 2x
x 1,
0, x
0
若关于
x
的方程 f
x2
a
1f
x
a
0有
7
个不
等实根，则实数 a 的取值范围是(
)
A . 2,1
B .2,4
C . 2,1
D . ,4
12.
已知函数
A . loga c logb c B . logc a logc b C . a c bc
D . ca cb
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 9．已知函数 f x 2 xm 1 为偶函数，记 a f log0.5 3 ， b f log2 5 ， c f 2m，则
由题设知
，
则
解得 的横坐标分别是 则 有 又
，又 于是
， ，
，
，即 l 与直线 平行， 一定相交，分别联立方
设
是平面
的法向量，则
，即
。
对任意
，要使
与
的面积之比是常数，只需 t 满足
可取
，故，所以 与平面
20. （1）依题意可得
所成角的正弦值为 ---------12 分 ，
广西自治区桂林柳州市2017-2018学年高考压轴数学(理)试题 Word版含答案
2017-2018学年 理科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.(){},25x y y x A ==+，(){},12x y y x B ==-，则A B = （ ）A ．()1,3-B ．(){}1,3-C ．{}1,3-D ．∅2.若复数z 满足112iz i-=+，则z =（ ）A ．25 B ．35 C ．5D 3.为了了解本地区大约有多少成年人吸烟，随机调查了100个成年人，结果其中有15个成年人吸烟．对于这个关于数据收集与处理的问题，下列说法正确的是（ ）A ．调查的方式是普查B ．本地区约有15%的成年人吸烟C ．样本是15个吸烟的成年人D ．本地区只有85个成年人不吸烟4.如图1，给出的是求111124630+++⋅⋅⋅+的值的一个程序框图，则判断框内填入的条件是（ ）A ．15i ≥ B ．15i ≤ C ．14i ≥ D ．14i ≤5.一个几何体的三视图如图2所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是（ ） A ．232cm B ．222cm C ．2322cmD ．112cm6.在等比数列{}n b 中，n T 表示前n 项和，若3221b =T +，4321b =T +，则公比q 等于（ ） A ．3- B ．1- C ．1 D ．37.已知x ，y 满足不等式组4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则函数2z x y =+的最小值是（ ）A ．3B ．132C ．12D ．238. 已知函数()46f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，将函数()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移6π个单位，得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =的一个单调递增区间为（ ） A ．,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 9.()72x y +展开式中系数最大的项是（ ）A ．768y B ．34112x y C ．25672x y D ．251344x y10.已知直线1y x =-+与双曲线221ax by +=（0a >，0b <）交于A ，B 两点，且过原点和线段AB中点的直线的斜率为a b 的值为（ ）A．2-B．3- C．2-D．27-11.已知函数()3,0,0x f x b x ≥=+<，满足条件：对于1R x ∀∈，存在唯一的2R x ∈，使得()()12f x f x =．当)()3ff b =成立时，则实数a b +=（ ）A．-3+D．3+ 12.已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且7453n n n n A +=B +，则使得n na b 为整数的正整数n 的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.二次函数21y x =-+的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为 ．14.设四边形CD AB 为平行四边形，6AB = ，D 4A =．若点M ，N 满足3C BM =M ，D 2C N =N ，则AM⋅NM =．15.已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列．数列{}n a 的通项公式n a = ．16.已知()y f x =为偶函数，当0x ≥时，()22f x x x =-+，则满足()()12ff a =的实数a 的个数为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）如图3，CD AB 是直角梯形，//CD AB ，2CD 2AB ==，CD C =B ，E 是AB 的中点，D E ⊥AB ，F 是C A 与D E 的交点．（1）求sin C D ∠A 的值； （2）求DF ∆A 的面积．18.（本小题满分12分）为减少汽车尾气排放，提高空气质量，各地纷纷推出汽车尾号限行措施，为做好此项工作，某市交警支队对市区各交通枢纽进行调查统计，表中列出了某交通路口单位时间内通过的1000辆汽车的车牌尾号记录：由于某些数据缺失，表中以英文字母作标记，请根据图表提供的信息计算：（1）若采用分层抽样的方法从这1000辆汽车中抽取20辆，了解驾驶员对尾号限行的建议，应分别从一、二、三、四组中各抽取多少辆？（2）以频率代替概率，在此路口随机抽取4辆汽车，奖励汽车用品，用ξ表示车尾号在第二组的汽车数目，求ξ的分布列和数学期望．19.（本小题满分12分）如图4，在四棱锥CD P -AB 中，PA ⊥底面CD AB ，D A ⊥AB ，//DC AB ，D DC 2A ==AP =，1AB =，点E 为棱C P 的中点．（1）证明：DC BE ⊥；（2）若F 为棱C P 上一点，满足F C B ⊥A ，求二面角F -AB -P 的余弦值．20.（本小题满分12分）已知中心在原点、焦点在x 轴上的椭圆C 上点到两焦点的距离最大值和最小值的差为3，且椭圆过点⎛ ⎝⎭，单位圆O 的切线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点． （1）求椭圆方程； （2）求证：OA ⊥OB ．21.（本小题满分12分） 已知函数()2ln af x ax x x=--（R a ∈）． （1）若3a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间； （3）设函数()ag x x=-．若至少存在一个[]01,x e ∈，使得()()00f x g x >成立，求实数a 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图5所示，四边形CD AB 中，D//C A B ，CD AB =，C A ，D B 交于点Q ，C CD ∠BA =∠A ，AP 为四边形CD AB 外接圆的切线，交D B 的延长线于点P ．（1）求证：2Q D P =P ⋅PB ； （2）若3AB =，2AP =，4D 3A =，求Q A 的长．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为1212x y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4sin 6πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． （1）求圆C 的直角坐标方程；（2）若(),x y P 是直线l 与圆面4sin 6πρθ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭y +的取值范围．24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()11f x x a x =+--． （1）当2a =-时，解不等式()5f x >； （2）若()3f x a x ≤+，求a 的取值范围．2016年高考桂柳压轴试卷理科数学参考答案一、选择题 1.B （由(){},25x y y x A ==+，(){},12x y y x B ==-，联立得：2512y x y x =+⎧⎨=-⎩，解得：13x y =-⎧⎨=⎩，则(){}1,3A B =- ．故应选B ．）2.C （()()()()1121312125i i i z z i i ----==⇒=+-．故应选C ．） 3.B （调查方式显然时抽样调查，∴A 错误．样本是这100个成年人．∴C 也错误，显然D 不正确．故应选B ．）4.B （框图中最后一次执行循环体时i 的值应为15，结合条件满足时执行循环体，当1615i =>时就会终止循环，所以条件应为15i ≤．故应选B ．）5.A （该几何体是棱长为2的正方体1111CD C D AB -A B 截去一个三棱锥1C F -B E 后所得的多面体，如图，其表面积为1C F 11622112122322S S E =⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯⨯+=．故应选A ．）6.D （两式相减得3432b b b -=-，从而求得433b b =．故应选D ．） 7.A （作出不等式组表示的平面区域，即可行域，如图所示．把2z x y =+变形为2y x z =-+．平移2y x =-由图可以看出，当直线2z x y =+经过可行域上的点B 时，截距z 最小．解方程组1430x x y =⎧⎨-+=⎩，得B 点坐标为()1,1；所以min 2113z =⨯+=．故应选A ．）8.B （函数()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再将所得函数图象向右平移6π个单位，得()222662g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，22222k x k ππππ-+≤≤+，k ∈Z ，得44k x k ππππ-+≤≤+，k ∈Z ，所以,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦符合．故应选B ．）9.C （设1r +项系数最大，则有11771177C 2C 2C 2C 2r r r r r r r r --++⎧⋅≥⋅⎪⎨⋅≥⋅⎪⎩，即()()()()()()117!7!22!7!1!71!7!7!22!7!1!71!r r r r r r r r r r r r -+⎧⋅≥⋅⎪---+⎪⎨⎪⋅≥⋅⎪-+--⎩，2181271r r r r ⎧≥⎪⎪-⎨⎪≥⎪-+⎩，解得163133r r ⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，又 07r ≤≤，∴5r =．∴系数最大项为52552567C 2672x y x y T =⋅=．故应选C ．）2aa ab b b a b+==-+．故应选A ．） 11.D （由题设条件对于1R x ∀∈，存在唯一的2R x ∈，使得()()12f x f x =，知()f x 在(),0-∞和()0,+∞上单调，得3b =，且0a <．由)()3f f b =有2233a +=，解得a =，故3a b +=+．故应选D ．）12.C(由等差数列前n 项和的性质知，212114387191272211n n n n a n n b n n n --A ++====+B +++，故当1n =，2，3，5，11时，n n a b 为整数，故使得n nab 为整数的正整数n 的个数是5．故应选C ．) 二、填空题 13.43（如图所示，二次函数21y x =-+的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为()1211xdx --+⎰311114113333x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．）14.9（3D 4AM =AB +A ，11C C D 43NM =M -N =-A +AB，所以()()()()22111143D 43D 169D 163691694124848AM ⋅NM =AB +A ⋅AB -A =AB -A =⨯-⨯= ．）15.21n -（因为11S a =，2112122222S a a ⨯=+⨯=+，41143424122S a a ⨯=+⨯=+，由题意的()()211122412a a a +=+，解得11a =，所以21n a n =-．）16.8（由题意知，()222,02,0x x x f x x x x ⎧-+≥⎪=⎨--<⎪⎩，其图象如图所示，令()t f a =，则1t ≤，令()12f t =，解得12t =-或12t =-±，即()12f a =-()12f a =-±结合得，共有8个交点．）三、解答题17.（1）由条件可知，2AB =，C 1B =，C 90∠AB =，∴C A ==1分E 是AB 的中点，D E ⊥AB ，∴D 1AE =E =，D A =2分由余弦定理可知222C D CD cos C D2C D A +A -∠A ===A ⋅A ．…………………5分CD ∆A 是钝角三角形，∴C D ∠A 为锐角，…………………6分∴sin C D∠A===．…………………7分（2） F是CA与D E的交点，由已知可得F是CA的中点，∴1F C2A=A=8分∴DF∆A的面积DF111F D sin C D224S∆A=A⋅A⋅∠A==．…………………12分18.（1）根据频率定义，0.20.250.31b+++=，解得0.25b=．…………………1分2000.20.25a=，解得250a=，2000.20.3c=，解得300c=．…………………3分第一、二、三、四组应抽取的汽车分别为4辆、5辆、5辆、6辆．…………………5分（2）在此路口随机抽取一辆汽车，该辆车的车尾号在第二组的概率为14，由题意知14,4ξ⎛⎫B ⎪⎝⎭，则()4413C44k kkkξ-⎛⎫⎛⎫P== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0k=，1，2，3，4，ξ的分布列为：812727310123412566412864256ξE=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．19.（1）证明：依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系（如图），可得()1,0,0B，()C2,2,0，()D0,2,0，()0,0,2P．…………………2分由E为棱CP的中点，得()1,1,1E．向量()0,1,1BE=，()DC2,0,0=，故DC0BE⋅=．所以DCBE⊥．…………………4分（2）向量()C 1,2,0B = ，()C 2,2,2P =-- ，()C 2,2,0A = ，()1,0,0AB =． 由点F 在棱C P 上，设CF C λ=P，01λ≤≤．故()F C CF C C 12,22,2λλλλB =B +=B +P =--．由F C B ⊥A ，得F C 0B ⋅A = ，因此，()()2122220λλ-+-=，解得34λ=．…………………10分即113F ,,222⎛⎫B =- ⎪⎝⎭．设()1,,n x y z = 为平面F AB 的法向量，则110F 0n n ⎧⋅AB =⎪⎨⋅B =⎪⎩ ，即01130222x x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩． 不妨令1z =，可得()10,3,1n =-为平面F AB 的一个法向量．取平面ABP 的法向量()20,1,0n =，则121212cos ,10n n n n n n ⋅===-⋅． 易知，二面角F -AB -P．…………………12分 20.（1）设椭圆C 的方程为22221x y a b+=，（0a b >>）…………………1分由题意可知()()2a c a c c +--==，b =，…………………2分 解得2a =．…………………3分所以椭圆C 的方程为221443x y +=．…………………4分（2）当单位圆:O 221x y +=的切线l 的斜率不存在，则:l 1x =±．…………………5分在221443x y +=中令1x =得1y =±． 不妨设()1,1A ，()1,1B -，则110OA⋅OB =-=．所以OA ⊥OB ．同理，当:l 1x =-时，也有OA ⊥OB ．…………………6分当单位圆:O 221x y +=的切线l 的斜率存在，设:l y kx m =+1=，即221k m +=．由2234y kx mx y =+⎧⎨+=⎩，得()222316340k x kmx m +++-=．显然0∆>．…………………8分设()11,x y A ，()22,x y B ，则122631km x x k +=-+，21223431m x x k -=+． 所以()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++．…………………9分所以()()()222221212121222346113131m km x x y y k x x km x x m k km m k k -OA⋅OB =+=++++=+-+++()()()()222222222222213463141444440313131km k m k m k k m k k k k +--+++----====+++．…………10分所以OA ⊥OB ．…………………11分综上所述，总有OA ⊥OB 成立．…………………12分 21.函数的定义域为()0,+∞，…………………1分()2221221ax x a f x a x x x -+⎛⎫'=+-= ⎪⎝⎭．…………………2分 （1）当3a =时，函数()132ln f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()10f =，()14f '=．所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()041y x -=-，即440x y --=．………………4分（2）函数()f x 的定义域为()0,+∞．①当0a ≤时，()220h x ax x a =-+<在()0,+∞上恒成立，则()0f x '<在()0,+∞上恒成立，此时()f x 在()0,+∞上单调递减．…………………5分②当0a >时，244a ∆=-，若01a <<，由()0f x '>，即()0h x >，得x <或x >；…………………6分由()0f x '<，即()0h x <，得11x a a+<<．…………………7分 所以函数()f x的单调递增区间为⎛ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭．单调递减区间为⎝⎭．…………………8分 若1a ≥，()0h x ≥在()0,+∞上恒成立，则()0f x '≥在()0,+∞上恒成立，此时()f x 在()0,+∞上单调递增．…………………9分（3）因为存在一个[]01,x e ∈，使得()()00f x g x >，则002ln ax x >，等价于2ln x a x >． ………10分 令()2ln F xx x=，等价于“当[]1,x e ∈时，()min F a x >”． 对()F x 求导，得()()221ln F x x x -'=．…………………11分因为当[]1,x e ∈时，()F 0x '≥，所以()F x 在[]1,e 上单调递增． 所以()()min F F 10x ==，因此0a >．…………………12分 22.四边形CD AB 为等腰梯形． （1） PA 为圆的切线，∴D D ∠PA =∠AB ．又 C C D ∠AB =∠A ，∴D C D C D ∠PA +∠A =∠BA +∠AB ， ∴Q Q ∠PA =∠A P ，∴Q PA =P ．…………………4分PA 为圆的切线，∴2D PA =P ⋅PB ，∴2Q D P =P ⋅PB ．…………………6分（2） D ∆PA ∆PBA ∽，∴D PA PB =A AB ，∴92PB =． 2D PA =P ⋅PB ，∴8D 9P =，∴810Q DQ D 299A ==PA -P =-=．…………………10分23.（1）因为圆C 的极坐标方程为4sin 6πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭，所以214sin 4cos 622πρρθρθθ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，…………………3分 所以圆C的直角坐标方程为222x y x +=-．…………………5分 （2）设z y =+，圆C 方程化为()(2214x y ++=，…………………6分所以圆C的圆心是(-，半径是2，将112x y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入z y +，得z t =-．…………8分又因为直线l过(C -，所以22t -≤≤，所以22t -≤-≤，y +的取值范围是[]2,2-．…………………10分24.（1）当2a =-时，()13,13,1131,1x x f x x x x x -<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪->⎩由()f x 的单调性及()4253f f ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，得()5f x >的解集为423x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或．…………5分（2）由()3f x a x ≤+，得113x a x x +≥-++，由1321x x x -++≥+，得11132x x x +≤-++，得12a ≥．（当且仅当1x ≥或3x ≤-时等号成立） 故a 的取值范围为12a ≥．…………………10分。