2016考研数学数理统计之估计方法

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三个学会考研数学概率与统计估计问题的方法

凯程考研辅导班，中国最权威的考研辅导机构第 1 页共 1 页三个学会考研数学概率与统计估计问题的方法提到考研数学，很多同学都能想到高数和线代。

其实概率论与数理统计也是数学一和数学三中的考查重点，而且往往是难点。

同学们在学习概率的时候觉得有难度。

认为有两个方面的原因：1.大家在学习了高数和线代后，难免在学习概率时后劲不足。

2.概率论与数理统计本身抽象的东西较多，一些概念难以理解。

那么跟大家说说一些难理解和常考的概念。

今天说的是概率论与数理统计中的估计问题。

大家分三个步骤来学习。

一、构建知识框架估计问题是概率论与数理统计中最后一部分的内容。

它的考试范畴是矩估计和极大似然估计。

所以，在学习这部分之前，大家要把统计学的基本知识搞清楚，了解常见的统计量及其分布。

而且大家还要深刻理解大数定理和中心极限定理的内涵。

在这些基础上，大家学习矩估计和极大似然估计就好多了。

二、把握知识原理在有前面的知识做铺垫后，大家就要开始学习矩估计和极大似然估计了。

先看矩估计，它的本质原理是样本矩有相合性，所以可以用样本矩来替代总体矩。

同时总体矩中含有未知参数。

所以通过建立含有未知参数的样本矩的方程就可以把参数给估计出来。

再看极大似然估计，它的本质原理是基于一种假设，即我们观察的一组样本数据，那么观察这组数据发生的概率应该是比较大的。

所以我们对参数的估计就是要找一个估计量使得这组数据发生的概率最大。

总之，只有理解了矩估计和极大似然估计的深刻原理，我们才能把握好这个知识，才能更好的应用它。

三、多做习题练习在前面有了知识体系和掌握了知识原理后，剩下的就是多做题对知识进行理解了。

有句古话：光说不练假把式。

所以对知识的熟练掌握还是要通过做题来实现。

同时，我也反对题海战术，做题不是盲目的做题，不是只做不练。

做题应该是有选择的做题，做一个题就应该了解一个方法，掌握一个原理。

所以，大家可以参考历年真题来进行练习。

每做一个题，大家就该考虑下它是怎么考察我们所学的知识点的。

数理统计中的参数估计与置信区间估计

数理统计中的参数估计与置信区间估计数理统计是概率论、数学统计和实证研究的基础，它研究的是通过观测和实验来获取数据，从而对总体的特征进行推断和估计的方法和理论。

在数理统计中，参数估计和置信区间估计是两个重要的概念和方法，用于对总体参数进行推断和估计。

一、参数估计参数估计是指通过样本数据对总体参数进行估计的方法。

总体参数是指总体的某个特征或指标，如均值、方差等。

参数估计可以分为点估计和区间估计两种方法。

1. 点估计点估计是指使用样本数据来估计总体参数的一个具体值，这个估计值被称为点估计量。

常用的点估计量有样本均值、样本方差等。

点估计的目标是使得估计值尽量接近真实的总体参数，即具有无偏性和有效性。

无偏性是指估计值的期望等于真实参数，有效性是指估计值的方差最小。

无偏性是一个重要的性质，它保证了估计值在大样本下趋近于真实值。

有效性则是在无偏估计的前提下，使估计值的方差最小，从而提高估计的准确性。

2. 区间估计区间估计是指通过样本数据得到总体参数的一个范围，这个范围被称为置信区间。

置信区间表示了总体参数的估计精度和可信程度。

在构造置信区间时，需要指定置信水平，常用的置信水平有95%和99%等。

置信水平为95%表示在大量重复抽样中，有95%的置信区间会包含真实的总体参数。

构造置信区间的方法有很多，如正态分布的置信区间、t分布的置信区间等。

不同的方法适用于不同的总体分布和样本信息。

在实际应用中，要根据具体的问题和数据的特点选择合适的置信区间方法。

二、数理统计中的应用参数估计和置信区间估计在数理统计中有广泛的应用，可以用于推断和估计各种领域的问题。

1. 总体均值的估计当我们要估计总体的均值时，可以使用点估计和区间估计的方法。

点估计是通过样本均值来估计总体均值，区间估计则是给出总体均值的一个范围。

2. 总体比例的估计当我们要估计总体的比例时，例如某种特征在总体中出现的比例，也可以使用点估计和区间估计的方法。

点估计是通过样本比例来估计总体比例，区间估计则是给出总体比例的一个范围。

2016考研数学：概率真题解析

2016考研数学：概率真题解析从真题上可以看出，概率继续延续往年的出题特点：重基础，题型比较固定，解法比较单一，计算技巧要求相对低一些。

例如：数学三的第14题，主要考查二维正态分布的性质，一维正态分布的性质，随机变量的独立性，只要考生能够从已知条件中得到X,Y服从什么样的正态分布，再根据正态分布概率密度的对称性即可得到结果;数学三的两道概率大题仍然是我们近几年真题常考的题型，第22题是考查一维离散型随机变量的概率分布及数学期望，难度并不大;第23题主要考查点估计的两种方法，矩估计和最大似然估计，像这种题型解法比较单一，尤其是矩估计，那么对于最大似然估计，需要我们先写出似然函数，然后求当参数为何值时，似然函数能够取得最大值，所以只要我们按照常规步骤去做，就一定能求解出来，对于这种常考题型，在我们平时的钻卡课程中以及日常的测试中是频繁练习的。

下面中公考研数学名师李擂结合概率论这门学科的考试特点以及考试规律，给各位2016年的考生一些复习指导建议。

一、仔细分析考试大纲，抓住重点考试大纲是最重要的备考资料，一定要将大纲中要求的内容仔细梳理一下，在复习过程中一定要明确重点，对于不太重要的内容，如古典概型，只要求掌握一些简单的概率计算即可，不需要在复杂的题目上投入太多精力。

而对于概率的重点考查对象一定要重视，例如，随机变量函数的分布基本上每年都会以解答题的形式考查，其中离散型随机变量函数的分布是比较简单的，连续型随机变量函数的分布是考试频率最高的，也是较难的一类题目，在利用分布函数法求概率密度函数过程中，如何正确寻找分段点以及确定积分上下限是正确解决这类问题的关键，所以平时复习要加强这类题型的训练，一个离散型一个连续型随机变量函数的分布，求最大值、最小值函数的分布考频也是比较高的。

另外，二维连续型随机变量的边缘分布、条件分布也是考试的重点，大家在复习过程中一定要深刻理解他们的定义和计算方法。

随机变量的分布还经常与数字特征结合出题，所以数字特征也是概率的一大重点，但往往考生对于这部分知识掌握的不好，失分现象严重，所以要求大家复习时要灵活应用数字特征相应的计算公式及性质。

数理统计-估计ch7

1 1 ( 1 , 2 , , k ) 1 1 ( 1 , 2 , , k ) 2 2 ( 1 , 2 , , k ) 解方程组 2 2 ( 1 , 2 , , k ) ( , , , ) k 1 2 k k k k ( 1 , 2 , , k )
例3 设总体X的均值和方差 2 都存在，且 2 0 。但都未知。又设 X 1 , X 2 ,, X n是来自X 有的样本。 2 试求和的矩估计量。
分别以A1 , A2 代替 1 , 2 , 得和 2的矩估计量为： ˆ A1 X n n 2 1 1 2 2 2 2 ˆ A A X X ( X X ) 2 1 i i n n i 1 i 1
§3 估计量的评选标准
同一个参数，用不同方法可能有不同的估计量。采用哪个更好呢？无偏性评价估计量的三个标准：有效性相合性
1、无偏性： ˆ ( X , X , X )) 定义：如果E ( 1 2 n ˆ是的无偏估计量。则称
例1、证明：不论总体服从什么分布，k阶样本 1 n 矩Ak X ik , 总是k阶总体矩 k E ( X k ) n i 1 的无偏估计量。例2、总体X服从参数为的指数分布，都是的无偏估计量。
结果说明：总体均值和方差的矩估计量的表达式不随总体的分布而改变。
矩估计法的求解步骤总结：
1° 求总体的前k阶矩，有几个参数待求，k就取几 2°用总体矩表示未知的参数，即求解1°中的方程，获得参数的表达形式 3°分别以A1、A2代替 1 , 2 是样本矩，其求法为：。此处请注意A1、A2

研究生应用数理统计参数估计(讲稿)

总体分布类型已知的统计问题，称为参数型统计问题；
总体分布类型未知的统计问题，称为非参数型统计问题；
§1点估计
一.点估计的概念
定义1 设总体X的分布函数为F(x,), (1,2,...,n),
是未知参数的取值范围,称为参数空间.X1,
X 2
,...,
X 是来 n
自总体X的样本,其观察值为x1, x2,..., xn.若构造统计量
无论 X 服从何种分布，都可以样本中位数 X 作为总体均值 E ( X ) 的估计量，以样本极差 R 作为总体标准差 D X 的估计量。这种估计比较粗超。
定理设 X1,X2, ,Xn是来自总体 X~N(,2)的样本， X是
研究生应用数理统计参数估计(讲稿)
第一章回归分析的性质
一、参数估计的概念
定义：已知母体的分布，估计某个或几个未知数字特征（参数）的问题，称为参数估计。
二、参数估计的分类
分为点估计和区间估计；
点估计就是根据样本，估计参数为某个数值；
区间估计就是根据样本，估计参数在一定范围内，即一个区间；
有单值的反函数，则 u ˆu(ˆ)便是 u=u()的极大似然估计。
注：一般，若待估计函数为 u = u ( ) ， u ( ) 是的连续函数，而垐是的极大似然估计，则 u () 便是 u ( ) 的极大似然估计。
（ 1 ）正则条件；（ 2 ） I ( )
E
ln
f (X
; ) 2

数理统计——参数估计

ˆ θ j = θ j (a1,⋯, ak ),
其中
1 n xj aj = ∑ i n i=1
j = 1,⋯, k ,
第2章参数估计
第22页 22页
例2.1.5 设总体服从指数分布，由于EX=1/λ，即λ =1/ EX，故λ 的矩法估计为另外，由于Var(X)=1/λ ，其反函数为 λ = 1/ Var( X ) 因此，从替换原理来看，λ的矩法估计也可取为 s 为样本标准差。这说明矩估计可能是不唯一的，这是矩法估计的一个缺点，此时通常应该尽量采用低阶矩给出未知参数的估计。
第2章参数估计
2
第10页 10页
将 lnL(µ,σ ) 分别关于两个分量求偏导并令其为0, 即得到似然方程组
∂ ln L(µ,σ 2 ) 1 n = 2 ∑ ( xi − µ ) = 0 ∂µ σ i =1 ∂ln L(µ,σ 2 ) 1 n n 2 = 4 ∑(xi − µ) − 2 = 0 2 ∂σ 2σ i=1 2σ
第2章参数估计
第1页
第2章参数估计
2.1 2.2 2.3 2.4 参数估计的几种方法估计的评价标准最小方差无偏估计区间估计
第2章参数估计
第2页
• 一般常用θ 表示参数，参数θ 所有可能取值
组成的集合称为参数空间，常用Θ表示。参数估计问题就是根据样本对上述各种未知参数作出估计。
• 参数估计的形式有两种：点估计与区间估计。
第2章参数估计
第17页 17页
矩估计法
它是基于一种简单的“替换” 它是基于一种简单的“替换” 思想建立起来的一种估计方法 . 是英国统计学家K.皮尔逊最早提出的是英国统计学家皮尔逊最早提出的 . 其基本思想是用样本矩估计总体矩 .

研究生数理统计复习第三、四章(第二十七讲)

第三章参数估计1、估计量评价标准无偏估计： θθ=ˆE 渐进无偏估计： θθ=∞→ˆlim E n均方误差： ()()θθθθθθθˆˆ,ˆˆ2D E MSE E ==-=，求均方误差最小意义下的最优估计。

有效性： 21ˆˆθθD D < （1ˆθ与2ˆθ均为无偏估计）,称1ˆθ比2ˆθ有效。

最小方差无偏估计)(MVUE ：在无偏估计中方差最小者.相合估计（一致估计）：θθ−→−Pˆ，即{}1ˆlim =<-∞→εθθP n 。

相合估计判别：θθ=∞→ˆlimE n ， 0ˆlim =∞→θD n ，效率：θθθˆ)(1)ˆ(D nI e =有效估计判别： θθ=ˆE ，)(1ˆθθnI D =或1)ˆ(=θe 。

其中()().0),(ln )(,ln 222>⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=θθθθθθX f E I X f E I 或渐进有效估计判别: θθ=ˆE ，1)ˆ(lim =∞→θe n罗—克拉美不等式： ()[]()[]()θθθnI g g D 2ˆ'≥2、点估计量求法求参数的矩估计：(1)求总体矩，（2）样本矩代替总体矩，（3）解出矩估计。

求参数的最大似然估计：（1）求似然函数 ()()∏∏=====ni i ni i x X P L x f L 11}{)(θθ或（2）一般地：()()∑==ni i x f L 1ln ln θ，()0ln ˆ=∂∂=θθθθL ，特殊地： ()()θθθL L max ˆ= （3）解似然方程得()nx x x ,,,ˆˆ21 θθ= （4）得到最大似然估计量：()nX X X ,,,ˆˆ21 θθ=。

求参数的MVUE ：（1）直接法：①求出θ的充分完备统计量T ，②用T 构造()T f =θˆ满足()θθ==T Ef E ˆ ③ ()T f =θˆ为θ的MVUE 。

（2）间接法：①求出θ的矩估计或最大似然估计θˆ ②验证 θθ=ˆE ，)(1ˆθθnI D = 求参数的有效估计：（1）直接法：① 求参数θ的最大似然估计θˆ； ② 将θˆ表成：]ˆ)[()(ln θθθθθ-=∂∂C L ； ③ 验证θθ是ˆ的充分估计量。

考研数学(三)考试大纲解析(概率论与数理统计第7章参数估计)【圣才出品】

L(x1, x2,, xn; ) maxL(x1, x2,xn; )
这样得到的
与样本值
x1,
x2
,
,
xn
有关，常记为
( x1 ,
x2
,
,
xn
)
，称为参数
的最大似然
估计值，而相应的统计量 ( X1, X 2,, X n ) 称为参数的最大似然估计量．
3．最大似然估计值的求法
（1）在很多情形下， p(x; ) 和
(
)
三、最大似然估计法
1．似然函数
（1）离散型
若总体 X 属离散型，其分布律 P{X x} p(x; ), 的形式为已知，为待估参数，是可能取值的范围，设 X1, X2,, Xn 是来自 X 的样本，则 X1, X2,, Xn 的联合分布律为
n
p(xi; )
i 1
又设 x1, x2,, xn 是相应于样本 X1, X2,, Xn 的一个样本值，易知样本 X1, X2,, Xn 取到观察值 x1, x2,, xn 的概率，亦即事件{X1 x1, X2 x2,, Xn xn} 发生的概率为
为
n
f (xi; )dxi
i 1
n
n
其值随的取值而变化，取的估计值使概率
i 1
f (xi ; )dxi.
取到最大值，但因子
dxi
i 1
n
L( ) L(x1, x2,, xn; ) f (xi; )
不随而变，故只需考虑函数
i1
的最大
值，这里 L( )称为样本的似然函数．若
L(x1, x2,, xn; ) maxL(x1, x2,, xn; )
xl

2016考研数学概率统计之最大似然估计法分析

2016考研数学概率统计之最大似然估计法分析最大似然估计是概率论与数理统计中参数估计的一种基本方法。

参数估计包括点估计和区间估计，所谓点估计是指采用总体的样本来估计总体分布中的未知参数，点估计有两种基本方法，一个是矩估计，另一个是最大似然估计;最大似然估计是利用样本的联合分布律或联合概率密度来求未知参数的方法，这种方法在考研数学中经常出现，因此大家应该熟练掌握。

下面我们对这种方法做些分析总结，供各位考生参考。

从前面的分析可知，求最大似然估计就是求似然函数或对数似然函数的最大值，求最大值一般是通过求其驻点(即导数或偏导数为0的点)来计算，如果似然函数是未知参数的单调函数，则其最大值在参数的取值区间的端点处取得，如果不是单调函数，则在驻点处取得。

以上分析希望对大家掌握好最大似然估计法有些帮助，最后文都教育的老师衷心祝各位的考研梦想成真!。

2016考研数学复习之矩估计

2016考研数学复习之矩估计来源：文都教育参数估计是考研数学大纲中概率论与数理统计部分第七章的内容，根据历年真题分析发现，无偏估计、矩估计和极大似然估计是每年考试的重点。

那么对于这几种估计方法，我们该如何有效、高效的学习、掌握呢？文都考研数学老师接下来为大家大致总结一下本章的第一部分内容-矩估计。

一、基本知识点矩估计一般来说，用样本的各阶矩作为总体分布函数中的未知矩的估计。

含一个参数：设总体(,)X f x θ ，但是参数θ未知，需要对参数θ进行估计。

具体步骤：①取样：12,,,nX X X …；②计算样本均值11n ii X n =∑，根据大数定律1111n n Pi i i i X X EX EX n n ===−−→=∑∑；③令X EX =（在EX 的结果中包含θ），则可求出ˆθ。

含两个参数：若含有两个参数12,θθ， ①取样；②由大数定律2222111111,n n n PP i i i i i i X X EX A X EX EX n n n ====−−→==−−→=∑∑∑；③令X EX=，222211=+()n i i A X EX DX EX n ===∑（或者令211()1ni i X X DX n =-=-∑），则可求出12,θθ的估计量。

所谓矩估计法就是利用样本原点矩去替换总体矩. 矩估计法的计算步骤：（1）计算总体原点矩EX μ=，建立关于参数的有效方程；（2）用样本原点矩11ni i A X n ==∑作为总体原点矩EX μ=的估计，令A μ=即11(1,2,)ni i X EX k n ===∑ ；（3）通过求解有效方程，将未知参数用样本的统计量表示出来，再将未知参数θ用对应的估计量θ∧代替；（4）若给定一个样本观测值12(,)n x x x ，代入θ∧可得θ的一个矩估计值二、典型例题例1 设总体X 的概率密度为,01(;)1,120,x f x x θθθ<<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他，其中θ是未知参数（01θ<<）.12,,,n X X X 为来自总体X 的简单随机样本，记N 为样本值12,,,n x x x 中小于1的个数.求：（1）θ的矩估计；（2）θ的最大似然估计. 解析：（1）1213()(1)2EX xf x dx xdx xdx θθθ+∞-∞==+-=-⎰⎰⎰，令EX X =，得矩估计量32X θ=-. （2）似然函数()(1)Nn NL θθθ-=-，ln ()Nln (N)ln(1)L n θθθ=+--，令ln ()01d N n NL d θθθθ-=-=-，得θ的最大似然估计为N n θ= .例罐中有N 个硬币，其中有θ个是普通硬币（掷出正面与反面的概率各为0.5），其余N θ-个硬币两面都是正面，从罐中随机取出一个硬币，把它连掷两次，记下结果，但不去查看它属于哪种硬币，然后放回，如此重复n 次，若掷出0次、1次、2次正面的次数分别为012012,,()n n n n n n n ++=.（1）求θ的矩估计 1θ，最大似然估计 2θ；（2）求 12E E θθ、；（3）求 2D θ. 解析：（1）设X 为连掷两次正面出现的次数，A ：“取出的硬币为普通硬币”，则21(0)()(0|)()(0|)()24P X P A P X A P A P X A N Nθθ===+===，1221(1)()(1|)()(1|)()22P X P A P X A P A P X A C N Nθθ===+===， 2143(2)()(2|)()(2|)()24N N P X P A P X A P A P X A N N Nθθθ--===+==+=，则X 的分布律为X0 1 2P4Nθ2Nθ434N Nθ- 则12012432(2)(2)(2)22n n N N NEX X N X N n n NN N n nθθθθ+--=+==⇒=-=-=+ 则θ的矩估计 101(2)Nn n nθ=+. 似然函数012143(,,;)424n n n n N L X X N N Nθθθθ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 012ln (ln ln(4))(ln ln(4))(ln(43)ln(4))L n N n N n N N θθθ=-+-+--，012013ln 40()433n n n d L Nn n d N n θθθθθ=+-=⇒=+-，则θ的最大似然估计 2014()3Nn n nθ=+. （2）01243(,),(,),(,)424N n B n n B n n B n NNNθθθ- ，则012(43),,424n n n N En En En N N Nθθθ-=== 12(2)22N E EN X N NE X N N Nθθθ-=-=-=-⨯=， 20101444()()()33342N N N n n E E n n En En n n n N N θθθθ=+=+=+=. （3）01(1),(1)4422n n Dn En N N N Nθθθθ=-=-，则 22201012222241616(4)(2)()()()3991641259N N N n N n N D D n n Dn Dn n n n N N N nθθθθθθθ--=+=+=+-=例总体X 的概率分布为1{},1,2,,P X k k N N=== ，其中N 是未知参数(正整数)，利用总体X 的如下样本值：1,3,2,3,2,1,2,N N -，求N 的矩估计值..【解析】由X 的概率分布知，1111(){}2==+=⋅==⋅=∑∑N Nk k N E X k P X k k N ，样本均值()131323212824Nx N N =+++++-++=+. 令()=X E X ，得31242N N ++=，解得ˆ4N=，即N 的矩估计值是4. 以上是文都考研数学老师总结的参数估计当中的矩估计法，另外，同学们要牢记常用的参数的距估计值，这样可以节约很多时间。

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2016考研数学数理统计之估计方法
导读：2016考研初试在即，同学们紧张复习之余，还要讲究方法。

在这，小编给大家介绍一下数理统计估计方法的临考复习策略，供同学们参考。

数理统计作为数一和数学三公共部分，有可借鉴之处。

特别是近两年估计是热点，考的比较多，很多同学都不知所措，那么大家不妨这样试试：
一、构建知识框架。

问题主要集中在概率论与数理统计中最后一部分的内容。