第4章 2 抛体运动(一)

第2课时：抛体运动（一）读基础知识基础回顾：一、平抛运动1．定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下的运动．2．性质：平抛运动是加速度为g 的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线．3．研究方法：运动的合成与分解(1)水平方向：匀速直线运动；(2)竖直方向：自由落体运动．4．基本规律(如图1)(1)位移关系(2)速度关系二、斜抛运动1．定义：将物体以初速度v 0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动．2．性质：斜抛运动是加速度为g 的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线．3．研究方法：运动的合成与分解(1)水平方向：匀速直线运动；(2)竖直方向：匀变速直线运动．4．基本规律(以斜上抛运动为例，如图所示)(1)水平方向：v 0x ＝v 0cos_θ，F 合x ＝0；(2)竖直方向：v 0y ＝v 0sin_θ，F 合y ＝mg .自查自纠：(1)以一定的初速度水平抛出的物体的运动是平抛运动。

(×)(2)做平抛运动的物体的速度方向时刻在变化，加速度方向也时刻在变化。

(×)(3)做平抛运动的物体初速度越大，水平位移越大。

(×)(4)做平抛运动的物体，初速度越大，在空中飞行时间越长。

(×)(5)从同一高度平抛的物体，不计空气阻力时，在空中飞行的时间是相同的。

(√)(6)无论平抛运动还是斜抛运动，都是匀变速曲线运动。

(√)(7)做平抛运动的物体，在任意相等的时间内速度的变化量是相同的。

(√)研考纲考题要点1平抛运动的规律1．飞行时间：由t ＝2hg知，时间取决于下落高度h ，与初速度v 0无关．2．水平射程：x ＝v 0t ＝v 02hg，即水平射程由初速度v 0和下落高度h 共同决定，与其他因素无关．3．落地速度：v ＝v x 2＋v y 2＝v 02＋2gh ，以θ表示落地速度与初速度方向的夹角，有tanθ＝v y v x＝2gh v 0，落地速度只与初速度v 0和下落高度h 有关．4．速度改变量因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g ，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt 内的速度改变量Δv ＝g Δt 是相同的，方向恒为竖直向下，如图所示．5．两个重要推论(1)做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图所示，即x B ＝xA 2.推导：tan θ＝y Ax A －x Btan θ＝v y v 0＝2y Ax A→x B ＝x A2(2)做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，有tan θ＝2tan α.推导：tan θ＝v y v 0＝gt v 0tan α＝y x ＝gt 2v 0→tan θ＝2tan α【例1】“跳一跳”小游戏需要操作者控制棋子离开平台时的速度，使其能跳到旁边平台上。

如图所示的抛物线为棋子在某次跳跃过程中的运动轨迹，其最高点离平台的高度为h ，水平速度为v ；若质量为m 的棋子在运动过程中可视为质点，只受重力作用，重力加速度为g ，则（）A.棋子从最高点落到平台上所需时间t =2hgB.若棋子在最高点的速度v 变大，则其落到平台上的时间变长C.棋子从最高点落到平台的过程中，重力势能增加mghD.棋子落到平台上时的速度大小为2gh 【答案】A【解析】从最高点到平台的过程可以看作是平抛运动，根据h =得：t =2hg，故A 符合题意。

从最高点到平台过程为平抛运动，运动的时间由高度决定，与最高点的速度无关，故B 不符合题意。

棋子从最高点落到平台的过程中，下降的高度为h ，重力势能减小mgh ，故C 不符合题意。

根据动能定理得：mgh =，解得棋子落到平台上的速度大小为：，故D 不符合题意。

【训练1】(多选)如图所示，在投球游戏中，小明坐在可沿竖直方向升降的椅子上，停在不同高度的A 、B 两处，将皮球水平抛出，落入固定的球框中，不计空气阻力。

下列说法正确的是()A.从A 点抛出的皮球初速度较小B.从B 点抛出的皮球初速度较小C.从A 点抛出的皮球在空中运动时间较长D.从B 点抛出的皮球在空中运动时间较长解析平抛运动的时间由竖直高度决定，由h ＝12gt 2得出t ＝2hg，选项C 正确，D 错误；根据水平方向x ＝v 0t 得出从A 点抛出的皮球平抛时间长，抛出初速度较小，选项A 正确，B 错误。

答案AC要点2多体平抛问题对多体平抛问题的四点提醒(1)两条平抛运动轨迹的交点是两物体的必经之处，两物体要在此处相遇，必须同时到达此处。

即轨迹相交是物体相遇的必要条件。

(2)若两物体同时从同一高度抛出，则两物体始终处在同一高度。

(3)若两物体同时从不同高度抛出，则两物体高度差始终与抛出点高度差相同。

(4)若两物体从同一高度先后抛出，则两物体高度差随时间均匀增大。

【例2】(2017·江苏单科)如图所示，A 、B 两小球从相同高度同时水平抛出，经过时间t 在空中相遇。

若两球的抛出速度都变为原来的2倍，则两球从抛出到相遇经过的时间为()A.t B.22t C.t 2D.t 4答案C解析设A 、B 两小球的抛出点间的水平距离为L ，分别以水平速度v 1、v 2抛出，经过时间t 的水平位移分别为x 1、x 2，根据平抛运动规律有x 1＝v 1t ，x 2＝v 2t ，又x 1＋x 2＝L ，则t ＝Lv 1＋v 2；若两球的抛出速度都变为原来的2倍，则两球从抛出到相遇经过的时间为t ′＝L 2（v 1＋v 2）＝t2，故选项C正确。

【训练2】[多选]如图所示，A 、B 两点在同一条竖直线上，A 点离地面的高度为2.5h ，B 点离地面高度为2h 。

将两个小球分别从A 、B 两点水平抛出，它们在P 点相遇，P 点离地面的高度为h 。

已知重力加速度为g ，则()A ．两个小球一定同时抛出B ．两个小球抛出的时间间隔为(3－2)hgC ．小球A 、B 抛出的初速度之比v A v B＝32D ．小球A 、B 抛出的初速度之比v A v B ＝23解析：选BD平抛运动在竖直方向上做自由落体运动，由H ＝12gt 2，得t ＝2Hg，由于A 到P 的竖直高度较大，所以从A 点抛出的小球运动时间较长，应先抛出，故A 错误；由t ＝2Hg，得两个小球抛出的时间间隔为Δt ＝t A －t B ＝2×1.5h g－2h g ＝(3－2)hg ，故B 正确；由x ＝v 0t 得v 0＝xg2H，x 相等，则小球A 、B 抛出的初速度之比v A v B＝h B h A ＝h 1.5h ＝23，故C 错误，D 正确。

要点3平抛运动问题的5种解法平抛运动是较为复杂的匀变速曲线运动，求解此类问题的基本方法是：将平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。

高考对平抛运动的考查往往将平抛运动置于实际情景或物理模型中，而在这些情景中求解平抛运动问题时只会运动分解的基本方法往往找不到解题突破口，这时根据平抛运动特点，结合试题情景和所求解的问题，再佐以假设法、对称法、等效法等，能使问题迎刃而解。

一以分解速度为突破口求解平抛运动问题对于一个做平抛运动的物体来说，若知道了某时刻的速度方向，可以从分解速度的角度来研究：tan θ＝v y v x ＝gtv 0(θ为t 时刻速度与水平方向间夹角)，从而得出初速度v 0、时间t 、夹角θ之间的关系，进而求解具体问题。

【例3】如图所示，一小球从一半圆轨道左端A 点正上方某处开始做平抛运动(小球可视为质点)，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B 点。

O 为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R ，OB 与水平方向夹角为60°，重力加速度为g ，则小球抛出时的初速度为()A.3gR 2B.33gR 2C.3gR 2 D.3gR3[解析]飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B 点，则知速度与水平方向的夹角为30°，则有：v y ＝v 0tan30°，又v y ＝gt ，则得：v 0tan 30°＝gt ，t ＝v 0tan 30°g①水平方向上小球做匀速直线运动，则有：R ＋R cos 60°＝v 0t ②联立①②解得：v 0＝33gR2。

[答案]B二以分解位移为突破口求解平抛运动问题对于一个做平抛运动的物体来讲，若知道某一时刻物体的位移方向，则可将位移分解到水平方向和竖直方向，然后利用tanα＝12gt2v0t(α为t时刻位移与水平方向间夹角)，确定初速度v0、运动时间t和夹角α间的大小关系。

【例4】如图所示，两小球a、b从直角三角形斜面的顶端以相同大小的水平速度v 0向左、向右水平抛出，分别落在两个斜面上，三角形的两底角分别为30°和60°，则两小球a、b运动时间之比为()A．1∶3B．1∶3 C.3∶1D．3∶1[解析]设a、b两球运动的时间分别为t a和t b，则tan30°＝12gt a2v0t a＝gt a2v0，tan60°＝12gt b2v0t b＝gt b2v0，两式相除得：t at b＝tan30°tan60°＝13。

[答案]B三利用假设法求解平抛运动问题对于平抛运动，运动时间由下落高度决定，水平位移由下落高度和初速度决定，所以当下落高度相同时，水平位移与初速度成正比。

但有时下落高度不同，水平位移就很难比较，这时可以采用假设法，例如移动水平地面使其下落高度相同，从而作出判断。

【例5】斜面上有a、b、c、d四个点，如图所示，ab＝bc＝cd，从a点正上方的O点以速度v水平抛出一个小球，它落在斜面上b点，若小球从O点以速度2v水平抛出，不计空气阻力，则它落在斜面上的()A．b与c之间某一点B．c点C．c与d之间某一点D．d点[解析]假设斜面是一层很薄的纸，小球落上就可穿透且不损失能量，过b点作水平线交Oa于a′，由于小球从O点以速度v水平抛出时，落在斜面上b点，则小球从O点以速度2v水平抛出，穿透斜面后应落在水平线a′b延长线上的c′点，如图所示，因ab＝bc，则a′b＝bc′，即c′点在c点的正下方，显然，小球轨迹交于斜面上b与c之间。

所以，本题答案应选A。

[答案]A四利用推论法求解平抛运动问题推论Ⅰ：做平抛运动的物体在任一时刻或任一位置时，设其速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为β，则tanα＝2tanβ。

推论Ⅱ：做平抛运动的物体，任意时刻速度方向的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。

推论Ⅲ：物体落回斜面的平抛运动中，物体在不同落点的速度方向与斜面的夹角相等。

【例6】如图所示，从倾角为θ且足够长的斜面的顶点A，先后将同一小球以不同的初速度水平向右抛出，第一次初速度为v1，小球落到斜面上前一瞬间的速度方向与斜面的夹角为φ1，第二次初速度为v2，小球落在斜面上前一瞬间的速度方向与斜面间的夹角为φ2，若v2>v1，则φ1和φ2的大小关系是()A．φ1>φ2B．φ1<φ2C．φ1＝φ2D．无法确定[解析]根据平抛运动的推论，做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻或任一位置时，设其速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为β，则tanα＝2tanβ。