解析几何直线夹角公式
高中数学必备必考公式大全
高考数学必备必考公式大全一、集合1.并集的运算A∪B={x|x∈A,或x∈B}2. 并集的运算性质(1) A∪A=A(2)A∪∅=A(3)A∪B=B∪A(4) A∪B=A⇔B⊆A3. 交集的运算A∩B={x|x∈A,且x∈B}4. 交集的运算性质(1)A∩A=A(2)A∩∅=∅(3)A∩B=B∩A(4)A∩B=A⇔A⊆B5. 补集的运算∁U A={x|x∈U,且x∉A}6. 补集的运算性质(1) ∁U (∁U A)=A(2) ∁U U=∅,∁U∅=U(3)A∪(∁U A)=U,A∩(∁U A)=∅(4) ∁U (A∩B)=( ∁U A)∪(∁U B), ∁U (A∪B)=( ∁U A)∩(∁U B)二、函数与导数公式1. 有理数指数幂的运算性质（1）a r a s=a r+s(a>0,r,s∈Q)（2）=a r-s(a>0,r,s∈Q)（3）(a r)s=a rs(a>0,r,s∈Q)（4）(ab)r=a r b r(a>0,b>0,r∈Q)2.对数运算公式（1）对数的运算性质如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么:log a(M·N)=log a M+log a N;log a=log a M-log a N;log a M n=n log a M(n∈R)（2）对数恒等式a log aN =N(a>0,且a≠1,N>0)（3）对数运算的换底公式log a b=(a>0,且a≠1;c>0,且c≠1;b>0)（4）换底公式的变形log a b·log b a=1,即log a b=lo b n=log a blog N M==（5）换底公式的推广log a b·log b c·log c d=log a d3.求导公式及运算法则(1)基本初等函数的导数公式a.若f(x)=c(c为常数),则f'(x)=0.b.若f(x)=x n(n∈Q*),则f'(x)=nx n-1.c.若f(x)=sin x,则f'(x)=cos x.d.若f(x)=cos x,则f'(x)=-sin x.e.若f(x)=a x,则f'(x)=a x ln a.f.若f(x)=e x,则f'(x)=e x.g.若f(x)=log a x,则f'(x)=.h.若f(x)=ln x,则f'(x)=.（2）导数运算法则a.[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x)b.[f(x)·g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)c.[]'=(g(x)≠0)（3）复合函数的导数(理)设y=f(u),u=φ(x),则y'x=y'u u'x或记作f '[φ(x)]=f '(u)φ'(x).特别地，[f (ax +b )] '=a f' (ax+b).4.定积分的运算性质（理）（1）b a ⎰kf (x )d x=k b a ⎰f (x )d x (k 为常数)(2) b a ⎰[f (x )±g (x )]d x=b a ⎰f (x )d x±b a ⎰g (x )d x (3)b a ⎰f (x )d x=-a b ⎰f (x )d x(4）c a ⎰f (x )d x=b a ⎰f (x )d x+cb ⎰f (x )d x (a<b<c )三、三角函数1. 同角关系：(1)平方关系:sin 2α+cos 2α=1.(2)商的关系:=tan α(α≠+k π,k ∈Z ). 2. 诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。
平面解析几何-高考复习知识点
平面解析几何 高考复习知识点一、直线的倾斜角、斜率1、直线的倾斜角：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。
当直线l 与x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0； （2）倾斜角的范围[)π,0。
2、直线的斜率（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ，即k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；（2）斜率公式：经过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率为()212121x x x x y y k ≠--=；（3）直线的方向向量(1,)a k =，直线的方向向量与直线的斜率有何关系？ （4）应用：证明三点共线： AB BC k k =。
例题：例1．已知直线的倾斜角的变化范围为，求该直线斜率的变化范围；思路点拨：已知角的范围，通过正切函数的图像，可以求得斜率的范围，反之，已知斜率的范围，通过正切函数的图像，可以求得角的范围解析： ∵， ∴．总结升华：在知道斜率的取值范围求倾斜角的取值范围，或知道倾斜角的取值范围求斜率的取值范围时，可利用在和上是增函数分别求解.当时，；当时，；当时，；当不存在时，.反之，亦成立.类型二：斜率定义例2．已知△ABC 为正三角形，顶点A 在x 轴上，A 在边BC 的右侧，∠BAC 的平分线在x 轴上，求边AB 与AC 所在直线的斜率. 思路点拨：本题关键点是求出边AB 与AC 所在直线的倾斜角，利用斜率的定义求出斜率.解析：如右图，由题意知∠BAO=∠OAC=30°∴直线AB 的倾斜角为180°-30°=150°，直线AC 的倾斜角为30°，∴k AB =tan150°= k AC =tan30°=总结升华：在做题的过程中，要清楚倾斜角的定义中含有的三个条件①直线向上方向②轴正向③小于的角，只有这样才能正确的求出倾斜角.类型三：斜率公式的应用例3．求经过点，直线的斜率并判断倾斜角为锐角还是钝角．思路点拨： 已知两点坐标求斜率，直接利用斜率公式即可. 解析：且，经过两点的直线的斜率，即．即当时，为锐角，当时，为钝角．例4、过两点，的直线的倾斜角为，求的值．【答案】由题意得：直线的斜率，故由斜率公式，解得或． 经检验不适合，舍去. 故．例5．已知三点A(a ，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a 的值．思路点拨：如果过点AB ，BC 的斜率相等，那么A ，B ，C 三点共线.解析：∵A 、B 、C 三点在一条直线上，∴k AB =k AC ．即二、直线方程的几种形式1、点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k ，则直线方程为00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线。
解析几何部分 直线方程
误解分析
不能把 Sn 灵活变换角度看成关于n的一次函数，进而转化 n
为直线方程是出错的主要原因.
第3课时 线性规划
要点·疑点·考点
1.二元一次不等式表示平面区域 (1)二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中 表示直线l:Ax+By+C=0一侧所有点组成的平面区域， 直线l应画成虚线，Ax+By+C＜0，表示直线 l 另一侧所有点组成的平面区域.画不等式 Ax+By+C≥0(≤0)所表示的平面区域时，应把边界直线 画成实线. (2)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等 式表示的平面点集的交集即各个不等式所表示的平 面区域的公共部分.
5 L与直线4x+2y-3=0的距离为____1_0____
2.若直线l1：mx+2y+6=0和直线l2:x+(m-1)y+m2-1=0平行但不 重合，则m的值是__-_1___.
3．若直线l1：y=kx+k+2与l2：y=-2x+4的交点在第一象限， 则k的取值范围是___-_2_/3_＜__k_＜__2___.
y2
y1
x2 x1
(3)直线的横截距是直线与x轴交点的横坐标，直线的纵截
距是直线与 y 轴交点的纵坐标.
2.直线方程的五种形式.
(1)点斜式：设直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k，则直线l 的方程为y-y0＝k(x-x0)
(2)斜截式：设直线 l 斜率为k，在y 轴截距为b，则直线l
【解题回顾】研究直线l的斜率a与直线AC、BC的斜率的
大小关系时，要注意观察图形.请读者研 究，如果将本题条件改为A(-1，4)， B(3，1)，结论又将如何?
斜线角度公式范文
斜线角度公式范文斜线角度公式是指两条直线之间的夹角公式，也称为斜率公式。
在解析几何中，斜率被定义为直线的倾斜程度，可以用来表示直线的方向和倾斜的程度。
斜率公式可以用来计算两条直线之间的夹角，包括斜线与横轴之间的夹角和斜线之间的夹角。
本文将介绍斜线角度公式的推导和应用。
一、斜率的定义在笛卡尔坐标系中，一条直线可以用方程y = mx + c来表示，其中m为该直线的斜率，c为截距（直线与y轴的交点）。
斜率的定义为直线上任意两点之间纵坐标的差值与横坐标的差值的比值，即m=(y2-y1)/(x2-x1)其中(x1,y1)和(x2,y2)为直线上的两个点。
二、斜率的几何意义斜率可以用来表示一条直线的倾斜程度。
当斜率为正时，表示直线向右上方倾斜；当斜率为负时，表示直线向右下方倾斜；当斜率为零时，表示直线平行于横轴；当斜率不存在时，表示直线平行于纵轴。
三、求直线与横轴之间的夹角给定一条直线的斜率m，我们可以使用三角函数来计算其与横轴之间的夹角θ。
设直线的斜率为m，那么直线的斜线角度为θ = arctan(m)其中arctan为反正切函数，θ是以弧度为单位表示的夹角。
四、求直线之间的夹角对于两条直线的夹角，我们可以利用其斜率来进行计算。
假设两直线的斜率分别为m1和m2，那么两条直线之间的夹角θ为θ = arctan(，(m1 - m2) / (1 + m1 * m2)，)其中，表示取绝对值。
五、推导斜线角度公式我们来推导一下求直线之间夹角的公式。
设直线1的斜率为m1，直线2的斜率为m2，直线1和直线2的夹角为θ。
我们可以选择直线1上一点A和直线2上一点B，这样我们就可以根据斜率的定义计算出点A和点B的坐标。
假设点A的坐标为(x1,y1)，点B的坐标为(x2,y2)。
由直线1的方程y=m1x+c1，代入点A的坐标，我们可以得到y1=m1x1+c1同样地，由直线2的方程y=m2x+c2，代入点B的坐标，我们可以得到y2=m2x2+c2我们可以把上述两个方程相减，消去y1和y2，得到y2-y1=m2x2+c2-(m1x1+c1)=m2x2-m1x1+c2-c1由于点A和点B在直线上，所以它们满足方程y=m1x+c1和y=m2x+c2、这样，我们可以得到m1x1+c1=y1m2x2+c2=y2将上述两个方程代入上面的结果中，我们可以得到y2-y1=m2x2-m1x1+m1x1+c1-m2x2-c2=m2x2-m1x1+c1-c2上述结果右边的两项可以简化为m2x2-m1x1+c2-c1现在我们来计算斜率m=(y2-y1)/(x2-x1)。
解析几何第五版必背公式
解析几何第五版必背公式
几何是数学中的一个重要分支，它研究物体的形状、大小、位置和空间关系。
几何第五版的必背公式包括：
1. 三角形面积公式：S=1/2ab sinC，其中a、b为三角形的两边，C为两边夹角。
2. 圆的面积公式：S=πr2，其中r为圆的半径。
3. 球的表面积公式：S=4πr2，其中r为球的半径。
4. 球的体积公式：V=4/3πr3，其中r为球的半径。
5. 平面四边形的面积公式：S=ab sinC，其中a、b为四边形的两边，C为两
边夹角。
6. 直角三角形的斜边长公式：c2=a2+b2，其中a、b为直角三角形的两直角边，c为斜边。
7. 圆柱的体积公式：V=πr2h，其中r为圆柱的底面半径，h为圆柱的高度。
8. 圆锥的体积公式：V=1/3πr2h，其中r为圆锥的底面半径，h为圆锥的高度。
以上就是几何第五版必背公式，它们可以帮助我们解决几何中的各种问题。
比如，我们可以使用三角形面积公式来计算三角形的面积；使用圆的面积公式来计算圆的面积；使用球的表面积公式来计算球的表面积；使用球的体积公式来计算球的体积；使用平面四边形的面积公式来计算平面四边形的面积；使用直角三角形的斜边长公式来计算直角三角形的斜边长；使用圆柱的体积公式来计算圆柱的体积；使用圆锥的体积公式来计算圆锥的体积。
几何第五版必背公式是几何学习的基础，它们可以帮助我们更好地理解几何中
的各种概念，并解决几何中的各种问题。
因此，我们应该努力记住这些公式，以便在学习和使用几何时能够更好地发挥作用。
两条直线的夹角
两条直线的夹角一、 教学目的：1． 分清直线1l 到直线2l 的角与直线2l 到直线1l 的角以及两条直线1l 与2l 的夹角的区别与联系。
2． 掌握直线1l 到直线2l 的角的计算公式3． 掌握直线1l 与直线2l 的夹角的计算公式二、 情感目标：通过对两直线的倾斜角与夹角的关系探索，找出夹角的正切值与两直线斜率之间的关系；运用两角差的正切公式，进一步渗透解析几何的思想，即用代数运算解决几何图形问题；培养学生思维的缜密性、条理性、深刻性。
三、 教学重、难点：1．当一条直线斜率不存在时，如何求解两直线的夹角。
2．根据题意正确使用夹角，到角公式，注意根据图形进行舍解。
四、 教学过程：（一）引入：平面内两条直线的位置关系有平行、重合和相交。
我们分别用直线的代数形式去描述了它们的位置关系。
在相交直线中特殊的位置关系是垂直，即两条直线所成角为90。
因此，我们可以用两直线的夹角大小来描述两条相交直线的位置关系。
平面上，两条相交直线1l 和2l 构成四个角，它们是两对对顶角。
为了区别这些角，通常规定：直线1l 绕着交点M 按逆时针方向旋转到和2l 重合时所得到的角，叫做1l 到2l 的角。
直线2l 绕着交点M 按逆时针方向旋转到和1l 重合时所得到的角，叫做2l 到1l 的角。
2lM 1l当1l ⊥2l 时，即1l 到2l 的角为90。
=⇔21k k 1-或一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在。
通过这充要条件启发我们，1l 到2l 的角的大小是否也可以与1l 、2l 的斜率建立关系呢？（二）推导：设两条直线方程分别是1l ：11b x k y +=，2l ：22b x k y +=（1k ，2k 均存在），1l 到2l 的角θ如果121-=k k ，那么θ=90。
如果121-≠k k ，设1l 和2l 的倾斜角分别是1α和2α，则1k =1αtg ，2k =2αtg不论12ααθ-= 或 )(12ααπθ-+=，都有1212121)(ααααααθtg tg tg tg tg tg +-=-=， 即12121k k k k tg +-=θ 一条直线到另一条直线的角，可能不大于直角，也可能大于直角，如果只需要考虑不大于直角的角θ（叫做两条直线的夹角），那么有12121k k k k tg +-=θ （θ 90≠） 当两条直线平行或重合时，则它们的夹角是零度角，此时公式仍适用。
直线与直线的夹角
角度计算
通过测量直线与直线的夹 角，可以计算其他角度， 如三角形中的角度、多边 形的内角和等。
空间几何
在三维空间中，直线与直 线的夹角是确定物体位置 和方向的重要参数，如方 向向量、法向量等。
建筑学中的夹角
建筑设计
建筑师在设计中会考虑到结构稳 定性、美观性和功能性，而直线 与直线的夹角是影响这些因素的
垂直线的夹角
总结词
垂直线之间的夹角为90度。
详细描述
当两条直线垂直时，它们之间的夹角为90度。这是因为垂直线与水平线垂直，形成直角，所以它们的 夹角为90度。
特殊角度的直线夹角
总结词
当两条直线之间的夹角为45度或135度时，它们是特殊角度的直线夹角。
详细描述
当两条直线之间的夹角为45度或135度时，它们形成特殊的直线夹角。这些角 度在几何学中具有特殊性质，常常用于解决几何问题或构造特殊的图形。
利用几何定理计算夹角
总结词
几何定理提供了一种直观的方式来计算直线与直线的夹角。这种方法通常适用于二维平 面上的直线。
详细描述
我们可以使用几何定理中的“角平分线定理”来计算夹角。这个定理告诉我们，如果一 条线段被两条直线所平分，那么这两条直线与线段所形成的角是相等的。通过这个定理
，我们可以找到两条直线的夹角。
夹角的范围
直线与直线的夹角范围是$0^{circ}$ 到$180^{circ}$，不包括$0^{circ}$ 和$180^{circ}$。
当两条直线垂直时，夹角为 $90^{circ}$；当两条直线平行或重合 时，夹角为$0^{circ}$或$180^{circ}$。
夹角的计算方法
计算直线与直线的夹角需要使 用三角函数和斜率的概念。
高等数学A-第5章-6-4(5.4 平面与空间直线(2))
垂直相交的直线方程.
例 1 求过点(3, 2,5)且与两平面 x 4z 3和
2x y 5z 1的交线平行的直线方程.
解 设所求直线的方向向量为 s {m, n, p},
根据题意知 s n1 ,
MN {2 2,13 1, 3 3} { 12 , 6 , 24},
77 7
77 7
所求直线方程为 x 2 y 1 z 3 . 2 1 4
解2.
设直线方程为 x 2 y 1 z 3,
mn p
由于与已知直线垂直相交得,
3m 2n p 0
高等数学A
第5章 空间解析几何
5.4 平面与空间直线
5.4.6 两直线的夹角 5.4.7 直线与平面的夹角 5.4.8 平面束
中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组
5.4 平面与空间直线
两直线的夹角 习例1-2
直线与平面的夹角及习例3
平
补充内容1---点到直线的距离
面 与
空间直线及其方程
补充内容2---异面直线的距离
z z0 pt
代入Ax By Cz D 0得t, 从而可得交点.
例 3 设直线 L : x 1 y z 1，平面 2 1 2
: x y 2z 3，求直线与平面的夹角. 解 n {1,1, 2}, s {2,1, 2},
sin
3( x 2) 2( y 1) (z 3) 0
再求已知直线与该平面的交点N,
令 x1 y1 z t 3 2 1
x 3t 1
空间解析几何中的立体几何
空间解析几何中的立体几何在空间解析几何中，立体几何是一个重要的分支，它研究了空间中的点、直线和面及其相互关系。
通过立体几何的分析和运用，我们可以深入了解三维空间中的形状和结构。
本文将介绍空间解析几何中的立体几何的基本概念、性质以及应用。
1. 点、直线和面的表示方法在空间解析几何中，我们用坐标来表示点、直线和面。
一般情况下，点可以表示为三维空间中的一个坐标，即 (x, y, z)。
直线可以表示为两个方向向量的线性组合，例如直线l可以表示为参数方程 x=x_0 + t·a,y=y_0 + t·b, z=z_0 + t·c，其中(x_0, y_0, z_0)为直线上的一点，(a, b, c)为直线的方向向量，t为参数。
面可以表示为一个点和法向量的关系，例如平面Π可以表示为方程ax+by+cz+d=0，其中(a, b, c)为法向量，(x, y, z)为平面上的一点，d为常数。
2. 点、直线和面的位置关系在立体几何中，我们常常需要判断点、直线和面的位置关系。
例如，判断一个点是否在直线上，可以将点的坐标代入直线的参数方程，若存在参数t使得等式成立，则点在直线上。
类似地，判断一个点是否在面上，可以将点的坐标代入平面方程，若等式成立，则点在面上。
另外，两个平面的位置关系也可以通过它们的法向量来判断，如果两个平面的法向量平行，则它们互相平行或重合，如果两个平面的法向量垂直，则它们互相垂直。
3. 直线的倾斜角和两直线的夹角直线的倾斜角是指直线与坐标轴的夹角。
设直线的方向向量为(a, b, c)，则直线与x轴的倾斜角的余弦值为cosθ=a/√(a^2+b^2+c^2)，类似地，可以计算直线与y轴和z轴的倾斜角。
两条直线的夹角可以利用它们的方向向量来计算，夹角的余弦值等于两个向量的内积除以它们的模的乘积，即cosθ=(a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2)/(√(a_1^2+b_1^2+c_1^2)·√(a_2^2+b_2^2+c_2^2))。
17.典型问题.夹角问题
第五讲:典型问题.夹角问题 65第五讲:典型问题.夹角问题两直线的夹角问题是解析几何中的一个重要的问题,首先掌握:①夹角公式:若直线l 1与l 2的斜率分别为k 1、k 2,则直线l 1与l 2的夹角θ满足tan θ=|21121k k k k +-|;②到角公式:若直线l 1与l 2的斜率分别为k 1、k 2,则直线l 1到l 2的角θ满足tan θ=21121k k k k +-;利用向量可有机的解决该问题,其一般方法是:首先求出直线m 、n 的方向向量m 、n ,注意夹角与向量的长度无关,所以,可以也应当化简向量.直线m 与n 的夹角θ满足cos θ=|cos<m ,n >|.应特别关注的是:<PA ,PB >为直角⇔P B P A ⋅=0;<PA ,PB >为锐角⇔P B P A ⋅>0;<PA ,PB >为钝角⇔P B P A ⋅<0.一.直角问题例1:(2007年全国高中数学联赛四川初赛试题)已知椭圆12222=+b y a x (a>b>0)的右焦点为F,右准线与x 轴交于E 点,若椭圆的离心率e=22,且|EF|=1. (Ⅰ)求a,b 的值;(Ⅱ)若过F 的直线交椭圆于A,B 两点,且OA +OB 与向量a =(4,-2)共线,(其中,O 为坐标原点),求OA 与OB 的夹角.解析:(Ⅰ)由题意知a=2,c=1,b=1;(Ⅱ)由(Ⅰ)知F(1,0),显然直线AB 不垂直于x 轴,可设直线AB:y=k(x-1),联立椭圆,消去y,得:(1+2k 2)x 2-4k 2x+2(k 2-1)= 0,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=22214k k +,x 1x 2=2221)1(2k k +-⇒y 1+y 2=-2212k k +,y 1y 2=-2221k k +⇒OA +OB =(x 1+x 2,y 1+y 2)=(22214kk +,-2212kk +),由OA +OB 与向量a =(4,-2)共线⇒22214kk +:(-2212kk +)=4:(-2)⇒k 2=2k ⇒k=2(k=0舍去).OA OB =x 1x 2+y 1y 2=0⇒OA 与OB 的夹角为900.类题:1.(2004年全国Ⅱ高考试题)给定抛物线C:y 2=4x,F 是C 的焦点,过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点. (Ⅰ)设l 的斜率为1,求OA 与OB 夹角的大小;(Ⅱ)设AF FB λ=,若λ∈[4,9],求l 在y 轴上截距的变化范围. 2.(2011年全国高中数学联赛湖北初赛试题)已知椭圆C:42x +22y =1,过点P(32,-31),而不过点Q(2,1)的动直线l 交椭圆C 于A 、B 两点. (Ⅰ)求∠AQB;(Ⅱ)记△QAB 的面积为S,证明:S<3.二.求角大小例2:(1999年全国高中数学联赛河南初赛试题)已知双曲线12222=-b y a x (a>b>0)的离心率e=2+6-3-2,过其右焦点F 2,且与x 轴垂直的直线l 交双曲线于A,B 两点,求∠AF 1F 2的大小.解析:|AF 2|=a b 2,|F 1F 2|=2c ⇒tan ∠AF 1F 2=ac b 22=ac a c 222-=e e 212-=)2362(2)2363)(2361(--+--+--+=)]23()32(2[2)]23()23(3)][12(321[+-++-+-+-=2-3⇒∠AF 1F 2=150.类题:1.(2002年全国高中数学联赛山东预赛试题)已知椭圆的焦点为F 1(-1,0),F 2(1,0),直线x=4是它的一条准线. (Ⅰ)求椭圆的方程;66 第五讲:典型问题.夹角问题(Ⅱ)设A 1,A 2分别是椭圆的左顶点和右顶点,P 是椭圆上满足|PA 1|-|PA 1|=2的一点,求cos ∠A 1PA 2的值.2.(2011年湖北高考试题)平面内与两定点A 1(-a,0),A 2(a,0)(a>0)连续的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹,加上A 1、 A 2两点所成的曲线C 可以是圆、椭圆成双曲线. (Ⅰ)求曲线C 的方程,并讨论C 的形状与m 值得关系;(Ⅱ)当m=-1时,对应的曲线为C 1;对给定的m ∈(-1,0)∪(0,+∞),对应的曲线为C 2,设F 1、F 2是C 2的两个焦点.试问:在C 1上,是否存在点N,使得△F 1NF 2的面积S=|m|a 2？若存在,求tan ∠F 1NF 2的值;若不存在,请说明理由.三.范围问题例3:(2010年湖北高考试题)已知一条曲线C 在y 轴右边,C 上任一点到点F(1,0)的距离减去它到y 轴距离的差是1.(Ⅰ)求曲线C 的方程;(Ⅱ)是否存在正数m,对于过点M(m,0)且与曲线C 有连个交点A,B 的任一直线,都有FB FA ⋅<0?若存在,求出m 的取值范围;若不存在,请说明理由.解析:(Ⅰ)由C 上任一点到点F(1,0)的距离减去它到y 轴距离的差是1⇒C 上任一点到点F(1,0)的距离等于它到直线x=-1的距离,由抛物线的定义知,曲线C 是以F 为焦点,直线x=-为准线的抛物线,其方程为y 2=4x;(Ⅱ)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),直线AB:x=ty+m,代入y 2=4x 得y 2-4ty-4m=0⇒y 1+y 2=4t,,y 1y 2=-4m;所以,FB FA ⋅<0⇔(x 1-1)(x 2-1)+y 1y 2<0⇔m 2-6m+1<4t 2,对任意的t,恒成立⇔m 2-6m+1<0⇔m ∈(3-22,3+22).类题:1.(2007年四川高考试题)设F 1、F 2分别是椭圆224x y +=1的左、右焦点.(Ⅰ)若P 是椭圆上的一个动点,求21.PF PF 的最大值和最小值; (Ⅱ)过定点M(0,2)的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B,且∠AOB 为锐角(其中O 为坐标原点),求直线l 的斜率k 的取值范围.2.(2005年天津高考试题)抛物线C 的方程为y=ax 2(a<0),过抛物线C 上一点P(x 0,y 0)(x 0≠0)作斜率为k 1、k 2的两条直线分别交抛物线C 于A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)两点(P 、A 、B 三点互不相同),且满足k 2+λk 1=0(λ≠0,且λ≠-1). (Ⅰ)求抛物线C 的焦点坐标和准线方程;(Ⅱ)设直线AB 上一点M,满足MA BM λ=,证明线段PM 的中点在y 轴上;(Ⅲ)当λ=1时,若点P 的坐标为(1,-1),求∠PAB 为钝角时点A 的纵坐标y 1的取值范围.四.角的相等例4:(2005年江西高考试题)如图,设抛物线C:y=x 2的焦点为F,动点 yP 在直线l:x-y-2=0上运动,过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB,且与抛物 l 线C 分别相切于A 、B 两点. A F B(Ⅰ)求△APB 的重心G 的轨迹方程; O x (Ⅱ)证明:∠PFA=∠PFB. P解析:(Ⅰ)由P 在l:x-y-2=0上,设P(t,t-2),则直线AB:y=2tx-t+2,代入y=x 2得x 2-2tx+t-2=0;设A(x 1,x 12),B(x 2,x 22),则x 1+x 2=2t,x 1x 2=t-2⇒x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=4t 2-2t+4⇒重心G(x,y)满足:x=321t x x ++=t,y=322221-++t x x =3242+-t t ⇒重心G 的轨迹方程:3y=4x 2-x+2;(Ⅱ)cos ∠AFP=||||FA FP FA FP ⋅⋅=22121211)41(||)41)(41221(21-+---+x x FP x k kx (x 1+x 2=k,x 1x 2=21k-2)=221212121121)41(||)41)(41()(21-+--++x x FP x x x x x x =)41(||)41)(41(212121+++x FP x x x = ||4121FP x x +,同理可得:cos ∠BFP=||||FB FP FB FP ⋅⋅=||4121FP x x +⇒∠AFP=∠BFP.类题:第五讲:典型问题.夹角问题 671.(2011年北大保送生考试数学试题)点P 为双曲线上任一点,PQ 为双曲线在点P 处的切线,F 1、F 2为双曲线焦点.求证:PQ 平分∠F 1PF2.2.(2007年全国高中数学联赛河南初赛试题)已知抛物线x 2=4y 及定点P(0,8),A 、B 是抛物线上的两动点,且AP =λPB (λ>0).过A 、B 两点分别作抛物线的切线,设其交点为M.(Ⅰ)证明:点M 的纵坐标为定值.(Ⅱ)是否存在定点Q,使得无论AB 怎样运动,都有∠AQP=∠BQP?证明你的结论.五.角平分线例5:(2010年安徽高考试题)如图,已知椭圆E 经过点A(2,3), y对称轴为坐标轴,焦点F 1、F 2在x 轴上,离心率e=21. A (Ⅰ)求椭圆E 的方程; F 1 O F 2 x (Ⅱ)求∠F 1AF 2的角平分线所在直线方程. l (Ⅲ)在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在,请找出;若不存在,说明理由.解析:(Ⅰ)E:1121622=+y x ,F 1(-2,0),F 2(2,0);(Ⅱ)分析1:设角平分线l 与x 轴交于点B,由三角形内角平分线性质定理得:||||||||2121AF A F BF B F ==35⇒点B 的坐标,写出角平分线AB 的方程;分析2:设角平分线为l,由角平线的性质知,点F 1关于直线l 的对称点B 必在直线AF 2上,且|AB|=|AF 1|=5,由|AB|=5⇒点B(2,-2),由B F l k k 1⋅=-1⇒k l =2⇒角平分线l 的方程; 分析3:角平分线l 的一个方向向量||||2211AF AF AF AF e +==(58,54--)⇒直线l 的斜率k ⇒角平分线l 的方程; 分析4:由椭圆的光学性质知,角平分线l 与椭圆在点A 处的切线123162yx +=1垂直⇒直线l 的斜率k ⇒角平分线l 的方程:2x-y-1=0;(Ⅲ)(法一)假设存在不同的两点P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),关于直线l 对称,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋯=-+-+⋅⋯-=⋅--②y y x x ①x x y y 012221221212121,又由点P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)在椭圆121622y x +=1上⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+112161121622222121y x y x ⇒162221x x -+122221y y -=0⇒2121x x y y --⋅2121x x y y ++=-43,由①得:2121x x y y ++=23⇒y 1+y 2= 23(x 1+x 2),代入②得:2⋅221x x +-23⋅221xx +-1=0⇒x 1+x 2=4⇒y 1+y 2=6⇒P,Q 的中点为(221x x +,221y y +)=(2,3),即P,Q 的中点为点A,矛盾;(法二)假设存在不同的两点P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),关于直线l 对称,则直线PQ 的斜率=-21,设直线PQ 的方程为y=-21x+m,代入121622y x +=1得:x 2-mx+m 2-12=0,则△=(-m)2-4(m 2-12)>0⇒m ∈(-4,4),且x 1+x 2=m ⇒y 1+y 2=23m ⇒P,Q 的中点为(21m,43m),根据P,Q 的中点在直线l:2x-y-1=0上⇒m-43m-1=0⇒m=4,矛盾. 类题:1.(2013年陕西高考试题)己知动圆过定点A(4,0),且在y 轴上截得弦MN 的长为8.68 第五讲:典型问题.夹角问题(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹C 的方程;(Ⅱ)已知点B(-1,0),设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P 、Q.若x 轴是∠PBQ 的角平分线,证明:直线l 过定点.2.(2011年全国高中数学联赛试题A)作斜率为31的直线l 与椭圆C:43622y x +=1交于A,B 两点,且P(32,2)在直线l 的左上方.(Ⅰ)证明:△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上; (Ⅱ)若∠APB=600,求△PAB 的面积.六.夹角应用例6:(2011年全国大纲卷高考试题)已知O 为坐标原点,F 为椭圆C:x 2+22y =1在y 轴正半轴上的焦点,过F 且斜率为-2的直线l 与C 交于A 、B 两点,点P 满足OA +OB +OP =0. (Ⅰ)证明:点P 在C 上;(Ⅱ)设点P 关于点O 的对称点为Q,证明:A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上.解析:(Ⅰ)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由F(0,1)⇒直线l:y=-2x+1,代入x 2+22y =1得4x 2-22x-1=0⇒x 1+x 2=22⇒y 1+y 2=- 2(x 1+x 2)+2=1;由OA +OB +OP =0⇒OP =(-(x 1+x 2),-(y 1+y 2))=(-22,-1)⇒点P(-22,-1)⇒点P 在C 上;(Ⅱ)由(Ⅰ)得:x 1x 2=-41,Q(22,1);由到角公式:tan ∠APB=PBPA PB PA k k kk +-1=3)(412x x -;同理可得:tan ∠AQB=-3)(412x x -⇒∠APB 与∠AQB 互补⇒A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上.类题:1.(2013年山东高考试题)椭圆C:22a x +22b y =1(a>b>0)的左、右焦点分别是F 1、F 2,离心率为23,过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为l. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点,连接PF 1,PF 2,设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M(m,0),求m 的取值范围;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过点p 作斜率为k 的直线l,使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点.设直线PF 1,PF 2的斜率分别为k 1,k 2,若k ≠0,试证明11kk +21kk 为定值,并求出这个定值. 2.①(2008年全国高中数学联赛河北初赛试题)设向量i ,j 为直角坐标平面内x 轴,y 轴正方向上的单位向量.若向量a =(x+2)i +y j ,b =(x-2)i +y j ,且|a |-|b |=2. (Ⅰ)求满足上述条件的点P(x,y)的轨迹方程;(Ⅱ)设A(-1,0),F(2,0),问是否存在常数λ(λ>0),使得∠PFA=λ∠PAF 恒成立？证明你的结论. ②(2010年全国高中数学联赛福建初赛试题)已知双曲线C:2222b y a x -=1(a>0,b>0)的离心率为2,过点P(0,m)(m>0)斜率为1的直线l 交双曲线C 于A,B 两点,且AP =3PB ,OB OA ⋅=3. (Ⅰ)求双曲线方程;(Ⅱ)设Q 双曲线C 右支上的动点,F 为双曲线C 的右焦点,在x 轴负半轴上是否存在点M 使得∠QFM=2∠QMF ？若存在求出点M 的坐标;若不存在,请说明理.九.夹角问题例9:(2007年北京西城区质检试题)设a>0,定点F(a,0),直线l:x=-a 交x 轴于点H,点B 是l 上的动点,过点B 垂直于l的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M. y(I)求点M 的轨迹C 的方程; B M (II)设直线BF 与曲线C 交于P 、Q 两点,证明:向量 PHP、HQ 与HF 的夹角相等. H O F x[分析解答]:(I)由过点B 垂直于l 的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ⇒|MF|=|MB|,即动点M 到点F Q的距离与到直线l 的距离相等,所以,点M 的轨迹是以点F 为焦点直线l 为准线的抛物线,其方程为:y 2=4ax;(II)因HF =(2a,0)∥(1,0),设点P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),直线BF 的方程为:y=k(x-a)⇒HP =(x 1+a,y 1),HQ =(x 2+a,y 2),由⎩⎨⎧=-=ax y a x k y 4)(2⇒k 2x 2-2a(k 2+2)x+a 2k 2=0⇒x 1x 2=a 2⇒cos<HP ,HF >=||||HF HP HF HP ⋅⋅=21211212116)(aax x ax y a x a x +++=+++,cos<HQ ,HF >=||||HF HQ HF HQ ⋅⋅=22222222226)(aax x a x y a x a x +++=+++==+++213214126a x a x a a x a 212116aax x a x +++⇒cos<HP ,HF >=cos<HQ ,HF>,又因<HP ,HF >,<HQ ,HF >∈(0,π),故<HP ,HF >=<HQ ,HF >.Ⅶ.角的问题[题1]: [题2]:(2011年全国高中数学联赛湖北初赛试题)已知椭圆C:42x +22y =1,过点P(32,-31),而不过点Q(2,1)的动直线l 交椭圆C 于A 、B 两点. (Ⅰ)求∠AQB;(Ⅱ)记△QAB 的面积为S,证明:S<3.[解析]:(Ⅰ)如果直线l 的斜率存在,设它的方程为y=kx+b,因为点P 在直线l 上,所以-31=32k+b,故b=-31(2k+1).联立直线l 和椭圆C 的方程,消去y,得(2k 2+1)x 2+4kbx+2b 2-4=0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=-1242+k kb ,x 1x 2=124222+-k b ⇒Y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2b=1222+k b ,y 1y 2=124222+-k k b ⇒QB QA ⋅=0⇒∠AQB ＝900.如果直线l 的斜率不存在容易验证∠AQB ＝900也成立.因此,∠AQB ＝900.(Ⅱ)由(Ⅰ)知△QAB 是直角三角形.如果直线QA 或QB 的斜率不存在,易求得△QAB 的面积为S=22<3;如果直线QA 和QB 的斜率都存在,不妨设直线QA 的方程为y=m(x-2)+1,代入椭圆C 的方程,消去y,得(2m 2+1)x 2-4m(2m-1)x+2(2m-1)2-4=0⇒|QA|=12+m 12|12|82++m m ;又QB ⊥QA,所以,同理可求得|QB|=12+m 2|2|82+-m m ,于是,△QAB的面积为S=21|QA||QB|=4(m 2+1))2)(12(|2||12|22++-+m m m m .①当m ∈[-22,2]时,f(m)=S=4(m 2+1))2)(12(22222++++-m m m m ⇒f '(m)=4②[题3]:(2007年全国高中数学联赛四川初赛试题)已知椭圆12222=+b y a x (a>b>0)的右焦点为F,右准线与x 轴交于E 点,若椭圆的离心率e=22,且|EF|=1.(Ⅰ)求a,b 的值;(Ⅱ)若过F 的直线交椭圆于A,B 两点,且OA +OB 与向量a =(4,-2)共线,(其中,O 为坐标原点),求OA 与OB 的夹角.[解析]:(Ⅰ)由题意知a=2,c=1,b=1;(Ⅱ)由(Ⅰ)知F(1,0),显然直线AB 不垂直于x 轴,可设直线AB:y=k(x-1),联立椭圆,消去y,得:(1+2k 2)x 2-4k 2x+2(k 2-1)= 0,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=22214k k +,x 1x 2=2221)1(2k k +-⇒y 1+y 2=-2212k k +,y 1y 2=-2221k k +⇒OA +OB =(x 1+x 2,y 1+y 2)=(22214kk +,-2212kk +),由OA +OB 与向量a =(4,-2)共线⇒22214kk +:(-2212kk +)=4:(-2)⇒k 2=2k ⇒k=2(k=0舍去).OA OB =x 1x 2+y 1y 2=0⇒OA 与OB 的夹角为900.[题4]:(2007年全国高中数学联赛河南初赛试题)已知抛物线x 2=4y 及定点P(0,8),A 、B 是抛物线上的两动点,且AP =λPB (λ>0).过A 、B 两点分别作抛物线的切线,设其交点为M.(Ⅰ)证明:点M 的纵坐标为定值.(Ⅱ)是否存在定点Q,使得无论AB 怎样运动,都有∠AQP=∠BQP?证明你的结论.[解析]:(Ⅰ)设A(2x 1,x 12),B(2x 2,x 22),由AP =λPB (λ>0)⇒-x 1=λx 2,8-x 12=λ(x 22-8)⇒x 1x 2=-8;抛物线过A 、B 两点的切线分别为x 1x=y+x 12,x 2x=y+x 22⇒y M =x 1x 2=-8;(Ⅱ)假设存在定点Q(a,b),使∠AQP=∠BQP ⇒cos ∠AQP=cos ∠BQP ⇒||||QA QP QA QP ⋅=||||QB QP QB QP ⋅⇒|QB |QA QP ⋅=|QA |QB QP ⋅⇒22222)()2(b x a x -+-[a(a-2x 1)+(8-b)(x 12-b)]=22121)()2(b x a x -+-[a(a-2x 2)+(8-b)(x 22-b)],令a=0: 22222)(4b x x -+(8-b)(x 12-b)=22121)(4b x x -+(8-b)(x 22-b)(b ≠8)⇒22222)(4b x x -+(x 12-b)=22121)(4b x x -+(x 22-b)⇒[4x 22+(x 22-b)2](x 12-b)2=[4x 12+(x 12-b)2](x 22-b)2⇒(2x 12x 2-2bx 2)2+[x 12x 22-b(x 12+x 22)+b 2]2=(2x 1x 22-2bx 1)2+[x 12x 22-b(x 12+x 22)+b 2]2⇒(-16x 1-2bx 2)2=(-16x 2-2bx 1)2⇒b=-8.[题5]:(2008年全国高中数学联赛河北初赛试题)设向量i ,j 为直角坐标平面内x 轴,y 轴正方向上的单位向量.若向量a =(x+2)i +y j ,b =(x-2)i +y j ,且|a |-|b |=2. (Ⅰ)求满足上述条件的点P(x,y)的轨迹方程;(Ⅱ)设A(-1,0),F(2,0),问是否存在常数λ(λ>0),使得∠PFA=λ∠PAF 恒成立？证明你的结论.[解析]:(Ⅰ)|a |-|b |=2⇔22)2(y x ++=22)2(y x +-+2⇔22)2(y x +-=2x-1⇔x 2-32y =1(x ≥1); (Ⅱ)令PF ⊥AF ⇒|PF|=|AF|=3⇒λ=2;设P(x 0,y 0),∠PAF=α,则tan α=100+x y ⇒tan2α=202000)1()1(2y x y x -++=)1(3)1()1(2202000--++x x y x =002x y -,k PF =200-x y⇒∠PFA=2∠PAF ⇒λ=2. [题6]:(2010年全国高中数学联赛福建初赛试题)已知双曲线C:2222b y a x -=1(a>0,b>0)的离心率为2,过点P(0,m)(m>0)斜率为1的直线l 交双曲线C 于A,B 两点,且AP =3PB ,OB OA ⋅=3. (Ⅰ)求双曲线方程;(Ⅱ)设Q 双曲线C 右支上的动点,F 为双曲线C 的右焦点,在x 轴负半轴上是否存在点M 使得∠QFM=2∠QMF ？若存在求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.[解析]:(Ⅰ)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),直线l:y=2x+m,由e=2⇒b=3a ⇒双曲线C:3x 2-y 2=3a 2,由⎩⎨⎧=-+=22233ay x m x y ⇒2x 2-2mx-(m 2+3a 2)=0⇒x 1+x 2=m,x 1x 2=-21(m 2+3a 2);AP =3PB ⇒-x 1=3x 2⇒-2x 2=m,-3x 22=-21(m 2+3a 2)⇒3(-21m)2=21(m 2+3a 2)⇒ m 2=6a 2;OB OA ⋅=3⇒x 1x 2+y 1y 2=3⇒2x 1x 2+m(x 1+x 2)+m 2=3⇒m 2-3a 2=3⇒a=1,m=6,双曲线方程:3x 2-y 2=3;(Ⅱ)。