解析几何直线夹角公式
高中数学必备必考公式大全
高考数学必备必考公式大全一、集合1.并集的运算A∪B={x|x∈A,或x∈B}2. 并集的运算性质(1) A∪A=A(2)A∪∅=A(3)A∪B=B∪A(4) A∪B=A⇔B⊆A3. 交集的运算A∩B={x|x∈A,且x∈B}4. 交集的运算性质(1)A∩A=A(2)A∩∅=∅(3)A∩B=B∩A(4)A∩B=A⇔A⊆B5. 补集的运算∁U A={x|x∈U,且x∉A}6. 补集的运算性质(1) ∁U (∁U A)=A(2) ∁U U=∅,∁U∅=U(3)A∪(∁U A)=U,A∩(∁U A)=∅(4) ∁U (A∩B)=( ∁U A)∪(∁U B), ∁U (A∪B)=( ∁U A)∩(∁U B)二、函数与导数公式1. 有理数指数幂的运算性质（1）a r a s=a r+s(a>0,r,s∈Q)（2）=a r-s(a>0,r,s∈Q)（3）(a r)s=a rs(a>0,r,s∈Q)（4）(ab)r=a r b r(a>0,b>0,r∈Q)2.对数运算公式（1）对数的运算性质如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么:log a(M·N)=log a M+log a N;log a=log a M-log a N;log a M n=n log a M(n∈R)（2）对数恒等式a log aN =N(a>0,且a≠1,N>0)（3）对数运算的换底公式log a b=(a>0,且a≠1;c>0,且c≠1;b>0)（4）换底公式的变形log a b·log b a=1,即log a b=lo b n=log a blog N M==（5）换底公式的推广log a b·log b c·log c d=log a d3.求导公式及运算法则(1)基本初等函数的导数公式a.若f(x)=c(c为常数),则f'(x)=0.b.若f(x)=x n(n∈Q*),则f'(x)=nx n-1.c.若f(x)=sin x,则f'(x)=cos x.d.若f(x)=cos x,则f'(x)=-sin x.e.若f(x)=a x,则f'(x)=a x ln a.f.若f(x)=e x,则f'(x)=e x.g.若f(x)=log a x,则f'(x)=.h.若f(x)=ln x,则f'(x)=.（2）导数运算法则a.[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x)b.[f(x)·g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)c.[]'=(g(x)≠0)（3）复合函数的导数(理)设y=f(u),u=φ(x),则y'x=y'u u'x或记作f '[φ(x)]=f '(u)φ'(x).特别地，[f (ax +b )] '=a f' (ax+b).4.定积分的运算性质（理）（1）b a ⎰kf (x )d x=k b a ⎰f (x )d x (k 为常数)(2) b a ⎰[f (x )±g (x )]d x=b a ⎰f (x )d x±b a ⎰g (x )d x (3)b a ⎰f (x )d x=-a b ⎰f (x )d x(4）c a ⎰f (x )d x=b a ⎰f (x )d x+cb ⎰f (x )d x (a<b<c )三、三角函数1. 同角关系：(1)平方关系:sin 2α+cos 2α=1.(2)商的关系:=tan α(α≠+k π,k ∈Z ). 2. 诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。
平面解析几何-高考复习知识点
平面解析几何 高考复习知识点一、直线的倾斜角、斜率1、直线的倾斜角：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。
当直线l 与x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0； （2）倾斜角的范围[)π,0。
2、直线的斜率（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ，即k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；（2）斜率公式：经过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率为()212121x x x x y y k ≠--=；（3）直线的方向向量(1,)a k =，直线的方向向量与直线的斜率有何关系？ （4）应用：证明三点共线： AB BC k k =。
例题：例1．已知直线的倾斜角的变化范围为，求该直线斜率的变化范围；思路点拨：已知角的范围，通过正切函数的图像，可以求得斜率的范围，反之，已知斜率的范围，通过正切函数的图像，可以求得角的范围解析： ∵， ∴．总结升华：在知道斜率的取值范围求倾斜角的取值范围，或知道倾斜角的取值范围求斜率的取值范围时，可利用在和上是增函数分别求解.当时，；当时，；当时，；当不存在时，.反之，亦成立.类型二：斜率定义例2．已知△ABC 为正三角形，顶点A 在x 轴上，A 在边BC 的右侧，∠BAC 的平分线在x 轴上，求边AB 与AC 所在直线的斜率. 思路点拨：本题关键点是求出边AB 与AC 所在直线的倾斜角，利用斜率的定义求出斜率.解析：如右图，由题意知∠BAO=∠OAC=30°∴直线AB 的倾斜角为180°-30°=150°，直线AC 的倾斜角为30°，∴k AB =tan150°= k AC =tan30°=总结升华：在做题的过程中，要清楚倾斜角的定义中含有的三个条件①直线向上方向②轴正向③小于的角，只有这样才能正确的求出倾斜角.类型三：斜率公式的应用例3．求经过点，直线的斜率并判断倾斜角为锐角还是钝角．思路点拨： 已知两点坐标求斜率，直接利用斜率公式即可. 解析：且，经过两点的直线的斜率，即．即当时，为锐角，当时，为钝角．例4、过两点，的直线的倾斜角为，求的值．【答案】由题意得：直线的斜率，故由斜率公式，解得或． 经检验不适合，舍去. 故．例5．已知三点A(a ，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a 的值．思路点拨：如果过点AB ，BC 的斜率相等，那么A ，B ，C 三点共线.解析：∵A 、B 、C 三点在一条直线上，∴k AB =k AC ．即二、直线方程的几种形式1、点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k ，则直线方程为00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线。
解析几何部分 直线方程
误解分析
不能把 Sn 灵活变换角度看成关于n的一次函数，进而转化 n
为直线方程是出错的主要原因.
第3课时 线性规划
要点·疑点·考点
1.二元一次不等式表示平面区域 (1)二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中 表示直线l:Ax+By+C=0一侧所有点组成的平面区域， 直线l应画成虚线，Ax+By+C＜0，表示直线 l 另一侧所有点组成的平面区域.画不等式 Ax+By+C≥0(≤0)所表示的平面区域时，应把边界直线 画成实线. (2)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等 式表示的平面点集的交集即各个不等式所表示的平 面区域的公共部分.
5 L与直线4x+2y-3=0的距离为____1_0____
2.若直线l1：mx+2y+6=0和直线l2:x+(m-1)y+m2-1=0平行但不 重合，则m的值是__-_1___.
3．若直线l1：y=kx+k+2与l2：y=-2x+4的交点在第一象限， 则k的取值范围是___-_2_/3_＜__k_＜__2___.
y2
y1
x2 x1
(3)直线的横截距是直线与x轴交点的横坐标，直线的纵截
距是直线与 y 轴交点的纵坐标.
2.直线方程的五种形式.
(1)点斜式：设直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k，则直线l 的方程为y-y0＝k(x-x0)
(2)斜截式：设直线 l 斜率为k，在y 轴截距为b，则直线l
【解题回顾】研究直线l的斜率a与直线AC、BC的斜率的
大小关系时，要注意观察图形.请读者研 究，如果将本题条件改为A(-1，4)， B(3，1)，结论又将如何?
斜线角度公式范文
斜线角度公式范文斜线角度公式是指两条直线之间的夹角公式，也称为斜率公式。
在解析几何中，斜率被定义为直线的倾斜程度，可以用来表示直线的方向和倾斜的程度。
斜率公式可以用来计算两条直线之间的夹角，包括斜线与横轴之间的夹角和斜线之间的夹角。
本文将介绍斜线角度公式的推导和应用。
一、斜率的定义在笛卡尔坐标系中，一条直线可以用方程y = mx + c来表示，其中m为该直线的斜率，c为截距（直线与y轴的交点）。
斜率的定义为直线上任意两点之间纵坐标的差值与横坐标的差值的比值，即m=(y2-y1)/(x2-x1)其中(x1,y1)和(x2,y2)为直线上的两个点。
二、斜率的几何意义斜率可以用来表示一条直线的倾斜程度。
当斜率为正时，表示直线向右上方倾斜；当斜率为负时，表示直线向右下方倾斜；当斜率为零时，表示直线平行于横轴；当斜率不存在时，表示直线平行于纵轴。
三、求直线与横轴之间的夹角给定一条直线的斜率m，我们可以使用三角函数来计算其与横轴之间的夹角θ。
设直线的斜率为m，那么直线的斜线角度为θ = arctan(m)其中arctan为反正切函数，θ是以弧度为单位表示的夹角。
四、求直线之间的夹角对于两条直线的夹角，我们可以利用其斜率来进行计算。
假设两直线的斜率分别为m1和m2，那么两条直线之间的夹角θ为θ = arctan(，(m1 - m2) / (1 + m1 * m2)，)其中，表示取绝对值。
五、推导斜线角度公式我们来推导一下求直线之间夹角的公式。
设直线1的斜率为m1，直线2的斜率为m2，直线1和直线2的夹角为θ。
我们可以选择直线1上一点A和直线2上一点B，这样我们就可以根据斜率的定义计算出点A和点B的坐标。
假设点A的坐标为(x1,y1)，点B的坐标为(x2,y2)。
由直线1的方程y=m1x+c1，代入点A的坐标，我们可以得到y1=m1x1+c1同样地，由直线2的方程y=m2x+c2，代入点B的坐标，我们可以得到y2=m2x2+c2我们可以把上述两个方程相减，消去y1和y2，得到y2-y1=m2x2+c2-(m1x1+c1)=m2x2-m1x1+c2-c1由于点A和点B在直线上，所以它们满足方程y=m1x+c1和y=m2x+c2、这样，我们可以得到m1x1+c1=y1m2x2+c2=y2将上述两个方程代入上面的结果中，我们可以得到y2-y1=m2x2-m1x1+m1x1+c1-m2x2-c2=m2x2-m1x1+c1-c2上述结果右边的两项可以简化为m2x2-m1x1+c2-c1现在我们来计算斜率m=(y2-y1)/(x2-x1)。
解析几何第五版必背公式
解析几何第五版必背公式
几何是数学中的一个重要分支，它研究物体的形状、大小、位置和空间关系。
几何第五版的必背公式包括：
1. 三角形面积公式：S=1/2ab sinC，其中a、b为三角形的两边，C为两边夹角。
2. 圆的面积公式：S=πr2，其中r为圆的半径。
3. 球的表面积公式：S=4πr2，其中r为球的半径。
4. 球的体积公式：V=4/3πr3，其中r为球的半径。
5. 平面四边形的面积公式：S=ab sinC，其中a、b为四边形的两边，C为两
边夹角。
6. 直角三角形的斜边长公式：c2=a2+b2，其中a、b为直角三角形的两直角边，c为斜边。
7. 圆柱的体积公式：V=πr2h，其中r为圆柱的底面半径，h为圆柱的高度。
8. 圆锥的体积公式：V=1/3πr2h，其中r为圆锥的底面半径，h为圆锥的高度。
以上就是几何第五版必背公式，它们可以帮助我们解决几何中的各种问题。
比如，我们可以使用三角形面积公式来计算三角形的面积；使用圆的面积公式来计算圆的面积；使用球的表面积公式来计算球的表面积；使用球的体积公式来计算球的体积；使用平面四边形的面积公式来计算平面四边形的面积；使用直角三角形的斜边长公式来计算直角三角形的斜边长；使用圆柱的体积公式来计算圆柱的体积；使用圆锥的体积公式来计算圆锥的体积。
几何第五版必背公式是几何学习的基础，它们可以帮助我们更好地理解几何中
的各种概念，并解决几何中的各种问题。
因此，我们应该努力记住这些公式，以便在学习和使用几何时能够更好地发挥作用。
两条直线的夹角
两条直线的夹角一、 教学目的：1． 分清直线1l 到直线2l 的角与直线2l 到直线1l 的角以及两条直线1l 与2l 的夹角的区别与联系。
2． 掌握直线1l 到直线2l 的角的计算公式3． 掌握直线1l 与直线2l 的夹角的计算公式二、 情感目标：通过对两直线的倾斜角与夹角的关系探索，找出夹角的正切值与两直线斜率之间的关系；运用两角差的正切公式，进一步渗透解析几何的思想，即用代数运算解决几何图形问题；培养学生思维的缜密性、条理性、深刻性。
三、 教学重、难点：1．当一条直线斜率不存在时，如何求解两直线的夹角。
2．根据题意正确使用夹角，到角公式，注意根据图形进行舍解。
四、 教学过程：（一）引入：平面内两条直线的位置关系有平行、重合和相交。
我们分别用直线的代数形式去描述了它们的位置关系。
在相交直线中特殊的位置关系是垂直，即两条直线所成角为90。
因此，我们可以用两直线的夹角大小来描述两条相交直线的位置关系。
平面上，两条相交直线1l 和2l 构成四个角，它们是两对对顶角。
为了区别这些角，通常规定：直线1l 绕着交点M 按逆时针方向旋转到和2l 重合时所得到的角，叫做1l 到2l 的角。
直线2l 绕着交点M 按逆时针方向旋转到和1l 重合时所得到的角，叫做2l 到1l 的角。
2lM 1l当1l ⊥2l 时，即1l 到2l 的角为90。
=⇔21k k 1-或一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在。
通过这充要条件启发我们，1l 到2l 的角的大小是否也可以与1l 、2l 的斜率建立关系呢？（二）推导：设两条直线方程分别是1l ：11b x k y +=，2l ：22b x k y +=（1k ，2k 均存在），1l 到2l 的角θ如果121-=k k ，那么θ=90。
如果121-≠k k ，设1l 和2l 的倾斜角分别是1α和2α，则1k =1αtg ，2k =2αtg不论12ααθ-= 或 )(12ααπθ-+=，都有1212121)(ααααααθtg tg tg tg tg tg +-=-=， 即12121k k k k tg +-=θ 一条直线到另一条直线的角，可能不大于直角，也可能大于直角，如果只需要考虑不大于直角的角θ（叫做两条直线的夹角），那么有12121k k k k tg +-=θ （θ 90≠） 当两条直线平行或重合时，则它们的夹角是零度角，此时公式仍适用。
直线与直线的夹角
角度计算
通过测量直线与直线的夹 角，可以计算其他角度， 如三角形中的角度、多边 形的内角和等。
空间几何
在三维空间中，直线与直 线的夹角是确定物体位置 和方向的重要参数，如方 向向量、法向量等。
建筑学中的夹角
建筑设计
建筑师在设计中会考虑到结构稳 定性、美观性和功能性，而直线 与直线的夹角是影响这些因素的
垂直线的夹角
总结词
垂直线之间的夹角为90度。
详细描述
当两条直线垂直时，它们之间的夹角为90度。这是因为垂直线与水平线垂直，形成直角，所以它们的 夹角为90度。
特殊角度的直线夹角
总结词
当两条直线之间的夹角为45度或135度时，它们是特殊角度的直线夹角。
详细描述
当两条直线之间的夹角为45度或135度时，它们形成特殊的直线夹角。这些角 度在几何学中具有特殊性质，常常用于解决几何问题或构造特殊的图形。
利用几何定理计算夹角
总结词
几何定理提供了一种直观的方式来计算直线与直线的夹角。这种方法通常适用于二维平 面上的直线。
详细描述
我们可以使用几何定理中的“角平分线定理”来计算夹角。这个定理告诉我们，如果一 条线段被两条直线所平分，那么这两条直线与线段所形成的角是相等的。通过这个定理
，我们可以找到两条直线的夹角。
夹角的范围
直线与直线的夹角范围是$0^{circ}$ 到$180^{circ}$，不包括$0^{circ}$ 和$180^{circ}$。
当两条直线垂直时，夹角为 $90^{circ}$；当两条直线平行或重合 时，夹角为$0^{circ}$或$180^{circ}$。
夹角的计算方法
计算直线与直线的夹角需要使 用三角函数和斜率的概念。
高等数学A-第5章-6-4(5.4 平面与空间直线(2))
垂直相交的直线方程.
例 1 求过点(3, 2,5)且与两平面 x 4z 3和
2x y 5z 1的交线平行的直线方程.
解 设所求直线的方向向量为 s {m, n, p},
根据题意知 s n1 ,
MN {2 2,13 1, 3 3} { 12 , 6 , 24},
77 7
77 7
所求直线方程为 x 2 y 1 z 3 . 2 1 4
解2.
设直线方程为 x 2 y 1 z 3,
mn p
由于与已知直线垂直相交得,
3m 2n p 0
高等数学A
第5章 空间解析几何
5.4 平面与空间直线
5.4.6 两直线的夹角 5.4.7 直线与平面的夹角 5.4.8 平面束
中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组
5.4 平面与空间直线
两直线的夹角 习例1-2
直线与平面的夹角及习例3
平
补充内容1---点到直线的距离
面 与
空间直线及其方程
补充内容2---异面直线的距离
z z0 pt
代入Ax By Cz D 0得t, 从而可得交点.
例 3 设直线 L : x 1 y z 1，平面 2 1 2
: x y 2z 3，求直线与平面的夹角. 解 n {1,1, 2}, s {2,1, 2},
sin
3( x 2) 2( y 1) (z 3) 0
再求已知直线与该平面的交点N,
令 x1 y1 z t 3 2 1
x 3t 1