浙江省金丽衢十二校2022届高三数学第一次联考试题(含解析)
浙江省金丽衢十二校近年届高三数学第一次联考(返校考)试题(2021年整理)
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金丽衢十二校2018学年高三第一次联考数学一、选择题1、若集合A＝(－∞，5）。
B＝[3，＋∞），则A、RB、∅C、［3,5）D、（－∞,5)U［5，＋∞）2、已知向量(4,3),(1,53)a b==，则向量,a b的夹角为( ）A、30°B、45°C、60°D、90°3、等比数列｛a n｝的前n项和为Sn，己知S2＝3，S4＝15,则S3＝（)A. 7 B、－9 C、7或－9 D、63 84、双曲线9y2一4x2＝1的渐近线方程为（）A、49y x=±B、94y x=±C、23y x=±D、32y x=±5.己知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）A、43B、83C、163D、3236。
己知复数z满足zi5＝（π＋3i）2,则z在复平面内对应的点位于（）A、第一象限B。
第二象限 C.第三象限D、第四象限7。
设函数f（x)的定义域为D，如果对任惫的x∈D，存在y∈D，使得f (x）=－f（y）成立，则称函数f（x)为“H函数”，下列为“H函数”的是（)A 、y = sinxcos+cos 2xB 、y=lnx+e xC 、y=2xD 、y=x 2-2x8.如图，二面角BC αβ--的大小为6π，AB α⊂，CD β⊂，且AB ＝2,BD ＝CD ＝2, ∠ABC ＝4π，∠BCD ＝3π，则AD 与β所成角的大小为( ) A 、4π B 、3π C 、6π D 、12π9.五人进行过关游戏，每人随机出现左路和右路两种选择．若选择同一条路的人数超过2 人，则他们每人得1分：若选择同一条路的人数小于3人，则他们每人得0分。
浙江省金丽衢十二校高三数学第一次联考试题 理
数学理试题本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.考试时间120分钟. 试卷总分为150分.请考生将所有试题的答案涂、写在答题纸上.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1．已知集合{}a x x A <=，{}21<≤=x x B ，且()R B C A R =⋃，则实数a 的取值范围是 A ．1≤a B ．1<a C ．2≥a D ．2>a 2．已知,R a b ∈，下列命题正确的是 A ．若a b >， 则ba 11>B ．若a b >，则11a b< C ．若a b >，则22a b >D ．若a b >，则22a b >3. 已知{}n a 为等比数列，则“321a a a >>”是“{}n a 为递减数列”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．设n m ,为空间两条不同的直线，βα,为空间两个不同的平面，给出下列命题：①若βα//,//m m ，则βα//； ②若βα//,m m ⊥，则βα⊥； ③若n m m //,//α则α//n ； ④若βαα//,⊥m ，则β⊥m ． 其中的正确命题序号是A ．③④B ．②④C ．①②D ． ①③5． 已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足11a =，32=a ，n n a a 32=+，则2014S =A ．1007232⨯- B ．100723⨯ C ．2014312-D ．2014312+6．函数()sin(2))f x x x θθ=++（2πθ<）的图像关于点(,0)6π对称，则()f x 的增区间A ．5,,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ B ．,,63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C ．5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦ D ．7,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦7. 已知()m x x x f x x ----+-=234234有两个不同的零点,则m 的取值范围是A.()3,∞-B. [)+∞,3C. ()3,0D.()+∞,3俯视图正视图侧视图5第14题图43A 1B 1C 1D 1ABCDE(第8题图)8. 长方体1111D C B A ABCD -的底面是边长为a 的正方形，若在侧棱1AA 上至少存在一点E ,使得︒=∠901EB C ,则侧棱1AA 的长的最小值为 A. a B. a 2 C. a 3 D. a 49.已知21,F F 分别为双曲线12222=-by a x ()0,0>>b a 的左右焦点，如果双曲线右支上存在一点P ,使得2F 关于直线1PF 的对称点恰在y 轴上，则该双曲线的离心率e 的取值范围为 A. 3321<<e B. 332>e C. 3>e D. 31<<e 10.设实数c b a ,,满足,0)(252⎪⎩⎪⎨⎧>=+≥a ac b c a b 若b a c b a +++485的最大值和最小值分别为m M ,，则m M +的值为A. 9B.332C. 349D. 19第Ⅱ卷二、填空题：本大题有7小题,每小题4分,共28分.把答案填在答题卷的相应位置.11．设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+3311y x y x y x ，则目标函数y x z +=4的最小值为 .12．已知,41)6sin(=+πx 则=-)3(sin 2x π . 13. 设直线062=++y ax 与圆04222=+-+y x y x 相交于点P ,Q 两点，O 为坐标原点，且OQ OP ⊥，则实数a 的值为 .14.某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积为 3cm . 15.已知()()(),log ,log ,log 936241x x f x x f x x f === 若()()()n m f m f n f +==321，则=nm. 16.已知ABC ∆是边长为32的正三角形，EF 为ABC ∆的外接圆O 的一条直径，M 为ABC ∆的边上的动点，则⋅的最大值为 .17. 点P 为椭圆()0,012222>>=+b a by a x 在第一象限的弧上任意一点，过P 引x 轴，y 轴的平行线，分别交直线x aby -=于R Q ,，交y 轴，x 轴于N M ,两点，记OMQ ∆与ONR ∆的面积分别为21,S S ，当2=ab 时，2221S S +的最小值为 .三.解答题：本大题共5小题,满分72分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 18.（本题满分14分）在△ABC 中，内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c , 已知△ABC 的面积()22c b a S --=.（Ⅰ）求A sin 与A cos 的值； （Ⅱ）设a b λ=,若54cos =C ,求λ的值.19.（本题满分14分）设数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列，已知,11=a 12432432=++S S S . （Ⅰ）求{}n a 的通项公式n a ； （Ⅱ）当2≥n 时，1401-≥++λλnn a a 恒成立，求λ的取值范围.20. （本题满分14分） 如图，四边形ABCD 为菱形，ACFE 为平行四边形，且面ACFE ⊥面ABCD ，3,2===AE BD AB ,设BD 与AC 相交于点G ,H 为FG 的中点.（Ⅰ）证明⊥CH 面BFD ;（Ⅱ）若AE 与面ABCD 所成的角为︒60,求二面角D EF B --的平面角余弦值的大小.21.（本题满分15分）已知抛物线)0(2:2>=Γp px y 的焦点到准线的距离为2. （Ⅰ）求p 的值；（Ⅱ）如图所示，直线1l 与抛物线Γ相交于A ,B 两点，C 为抛物线Γ上异于A ,B 的一点，且⊥AC x 轴，过B 作AC 的垂线，垂足为M ,过C 作直线2l 交直线BM 于点N ,设21,l l 的斜率分别为21,k k ，且121=k k .（ⅰ）线段MN 的长是否为定值?若是定值,请求出定值;若不是定值,请说明理由; （ⅱ）求证N C B A ,,,四点共圆.22. （本题满分15分）已知二次函数()b ax x x f ++=22为偶函数,()m x x g +-=)13(，()()()212≠+=c x c x h .关于x 的方程()()x h x f =有且仅有一根21. (Ⅰ)求c b a ,,的值;(Ⅱ)若对任意的[]1,1-∈x ,()()x g x f ≤恒成立, 求实数m 的取值范围;(Ⅲ)令()()()x f x f x -+=1ϕ,若存在[]1,0,21∈x x 使得()()()m g x x ≥-21ϕϕ,求实数m 的取值范围.金丽衢十二校2014-2015学年第一次联合考试数学试卷(理科)参考答案一、选择题(5×10=50分)二、填空题(4×7=28分) 11. 1 12.1615 13. 2- 14. 20 15. 251+ 16. 3 17. 21三.解答题(72分)18解 （Ⅰ）由题意可得bc A bc bc c b a A bc 2cos 22sin 21222+-=+--= 所以4cos 4sin =+A A 又因为1cos sin 22=+A A 解方程组可得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==1715cos 178sin A A-----------------------------7分 （Ⅱ）易得53sin =C ()8577sin cos cos sin sin sin =+=+=C A C A C A B所以4077sin sin ===A B a b λ.-----------------------------7分19. 解 （Ⅰ）由题意可得12333=S ,∴433=S ,∴2123-=n n S n ∴=n S n n 21232- 231-=-=∴-n S S a n n n ()2≥n 当1=n 时也成立, 23-=∴n a n-----------------------------6分 （Ⅱ）1401-≥++λλnn a a ⇒λλ≥-++231413n n ⇒()()12347--+n n n λ≥-----------------------------10分 解法一： 设=n b ()()12347--+n n n=-+n n b b 1()()-++n n n 1348()()12347--+n n n ()11632---⨯=n n n n 当5≥n 时，n n n n b b b b >⇒>-++110当4≤n 时，n n n n b b b b <⇒<-++110∴n b 的最小值为1695=b ,169≤∴λ.-----------------------------14分 解法二： 设t n =-1 则()()12347--+n n n =169145483≥++tt （当4=t ，即5=n 时取最小值）20.（Ⅰ）证明：Θ四边形ABCD 为菱形 AC BD ⊥∴又Θ面ACFE ⊥面ABCD ACFE BD 面⊥∴CH BD ⊥∴ 即BD CH ⊥又ΘH 为FG 的中点,3==CF CGFG CH ⊥∴又ΘG BD FG =⋂ ∴⊥CH 面BFD ——————————5分（Ⅱ）过G 作EF 的垂线，垂足为M ，连接MD MG MB ,, 易证得EAC ∠为AE 与面ABCD 所成的角，EAC ∠=︒60 DMB ∠为二面角D EF B --的平面角213,1,2,23=====DM BM BG BD MG 所以由余弦定理可得：135cos =∠DMB .A BCDEG H第20题图 FM21.解 （Ⅰ）2=p ——————————4分（Ⅱ）设()()2211,,,y x B y x A ,则()()2111,,,y x M y x C -,直线1l 的方程为：b x k y +=1由⎩⎨⎧=+=xy b x k y 421消元整理可得：(221221+bk x k 所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+212212112124k b x x k bk x x 可求得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+211y y y y ——————6分直线2l 的方程为：)(121x x k y y -=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++21221,y x k y y N 所以MN =221k y y +=214k k =4.——————9分 AB 的中点⎪⎪⎭⎫⎝⎛-12112,2k k bk E则AB 的中垂线方程为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-21111212k bk x k k y 与BC 的中垂线x 轴交点为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-'0,2221121k bk k o 所以ABC ∆的外接圆的方程为： 2222211212221121)22(22y x k bk k y k bk k x +-+-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--——————12分 由上可知()21,4y x N +022********112121************=⨯+--++=+--++--+k bk k x x k bk k x k bk k x Θ2212122221121122(224bk k y k bk k x +-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+∴所以N C B A ,,,四点共圆.解法二：易知ABC ∆的外接圆圆心o '在x 作B 关于o '的对称点B ',则B B '为直径，易知B '横坐标为221121222x k bk k -+-⨯ 022242112121=⨯+--++k bk k x x Θ 所以42221221121+=-+-⨯x x k bk k所以︒='∠90NB B 所以N C B A ,,,四点共圆. 22. 解 (Ⅰ) 由()()x f x f -=⇒0=a由()()x h x f =可得：()0222=-++-b c cx x c 代入21=x 得：2149-=c b ① ()()b c c c --=⇒=∆202 ②联立方程①②解得：32,1==c b ∴0=a ，32,1==c b .—————3分(Ⅱ)m x x +-≤+)13(122当0=x 时，1≥m ————————4分当1=m 时，[]()()=---=+--+x x x x 1321321)13()12(2222()()01132≤--x x∴1)13(122+-≤+x x ∴1≥m ——————————7分(Ⅲ)由题意可知()()m x x 3max 21≥-ϕϕ——————————9分由0=a ，32,1==c b 易证明()()2132+≥x x f 在[]1,0∈x 上恒成立， ∴()136122+≥+x x 在[]1,0∈x 上恒成立； 由(Ⅱ)知1)13(122+-≤+x x 在[]1,0∈x 上恒成立∴()()1)13(136+-≤≤+x x f x 在[]1,0∈x 上恒成立.又因为当[]1,0∈x 时, []1,01∈-x ∴()()1)1)(13(11136+--≤-≤+-x x f x∴()()()()11)13(1)13(1136136+--++-≤≤+-++x x x x x ϕ 即()136+≤≤x ϕ 621min=⎪⎭⎫⎝⎛ϕ, ()()1310max max +==ϕϕ∴()()613max 21-+=-x x ϕϕm 3≥∴2331-+≤m .————————15分 另解：]21)1(21[21)1(212)(2222+-++=+-++=x x x x x ϕ， 设)22,1(),22,0(),0,(-B A x P ，显然()PB PA x +=2)(ϕ，由下图易知： (),3min==+AB PB PA()2622max+=+=+OB OA PB PA ， ∴31)(,6)(max min +==x x ϕϕ，∴()()613max 21-+=-x x ϕϕm 3≥∴2331-+≤m .。
浙江省金丽衢十二校高三数学上学期第一次联考试卷 文(含解析)
浙江省金丽衢十二校2016届高三数学上学期第一次联考试卷 文（含解析）一、选择题（本大题共8个小题，每小题35分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ） A ．0y = B ．sin 2y x = C ．lg y x x =+ D ．22xxy -=+【答案】C.考点：函数的奇偶性判定．2.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若543=+a a ，则6S =（ ） A ．5 B ．10 C ．15 D ．20【答案】C. 【解析】试题分析：∵等差数列{}n a ，∴16346()()661522a a a a S ++=⨯=⨯=，故选C ． 考点：1.等差数列的前n 项和；2.等差数列的性质．3.已知l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若//l α，//m α，则//l m B ．若l m ⊥，//m α，则l α⊥ C ．若l m ⊥，l α⊥，则//m α D ．若l α⊥，m α⊥，则//l m【答案】D. 【解析】试题分析：A ：l 与m 的可能的位置关系有相交、异面、平行，故A 错误；B ：根据线面垂直的判定可知B 错误；C ：//m α或m α⊂，故C 错误；D ：根据线面垂直的性质可知D 正确，故选D ．考点：1.线面平行的判定与性质；2.线面垂直的判定与性质．4.设两直线1l ：(3)453m x y m ++=-与2l ：2(5)8x m y ++=，则“12//l l ”是“1m <-”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A. 【解析】试题分析：若12//l l ，则(3)(5)421m m m ++=⨯⇒=-或7-，经检验，当1m =-时，1l 与2l 重合，∴7m =-，故是充分不必要条件，故选A ． 考点：1.两直线的位置关系；2.充分必要条件． 5.若函数22()(2)1x a f x a x -=<-在区间(1,)+∞上的最小值为6，则实数a 的值为（ ）A ．2B ．32C ．1D ．12【答案】B.考点：基本不等式求最值． 6.已知1F ，2F 分别是椭圆C ：22221x y ab+=（0a b >>）的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段1PF 的中垂线恰好经过焦点2F ，则椭圆C 离心率的取值范围是（ ）A ．2[,1)3B ．1[32C ．1[,1)3D ．1(0,]3【答案】C. 【解析】试题分析：如下图所示，∵线段1PF 的中垂线经过2F ，∴2122PF F F c ==，即椭圆上存在一点P ，使得，22PF c =，∴12[,1)3c a c c a c e a -≤≤+⇒=∈，故选C ．考点：椭圆的离心率．【思路点睛】关于离心率范围问题常见于选择题或填空题，有时也会设置在解答题的第一小问，解决此类问题的策略有：1.根据题意，解出a ，b ，c ，计算离心率ce a=；2.根据题意，建立一个含有a ，b ，c 的齐次方程，计算b a 或ca的值；3.如果求离心率的范围，可以找a ，b ，c 的齐次不等式.7.设a ，b R ∈，定义：||(,)2a b a b M a b ++-=，||(,)2a b a b m a b +--=，下列式子错误的是（ ）A.(,)(,)M a b m a b a b +=+B.(||,||)||||m a b a b a b +-=-C.(||,||)||||M a b a b a b +-=+D.((,),(,))(,)m M a b m a b m a b = 【答案】B.考点：函数型新定义问题．【思路点睛】本题是一个新定义问题，定义了两个新的函数，但其本质还是一个关于某一个字母的分段函数，在判断每个选项时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．8.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，6c b -=，2c b a +-=，且O 为此三角形的内心，则AO CB ⋅=u u u r u u r（ ） A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】C.考点：1.三角形内心性质；2.平面向量数量积．【思路点睛】平面向量的综合题常与角度与长度结合在一起考查，在解题时运用向量的运算，数量积的几何意义，同时，需注意挖掘题目中尤其是几何图形中的隐含条件，常利用数形结合思想将问题等价转化为利用几何图形中的不等关系将问题简化，一般会与函数，不等式等几个知识点交汇，或利用平面向量的数量积解决其他数学问题是今后考试命题的趋势. 二、填空题（本大题共7个小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.把答案填在题中的横线上．）9.已知全集U R =，集合{|2}A x x =≥，{05}B x =≤<，则A B =U ，()U C A B =I .【答案】{|0}x x ≥，{|02}x x ≤<. 【解析】试题分析：∵{|2}A x x =≥，{05}B x =≤<，∴{|0}A B x x =≥U ，(){|02}U C A B x x =≤<I ．考点：集合的运算．10.若双曲线221y x m-=的一个焦点为(0,2)，则m = ，该双曲线的渐近线方程为 . 【答案】3，y =. 【解析】试题分析：由题意得，2123m m +=⇒=，故双曲线方程为2213y x -=，渐近线方程为y =．考点：1.双曲线的标准方程；2.双曲线的渐近线．11.设函数tan[(1)],01()ln ,12x x f x x x π-<≤=>⎧⎪⎨⎪⎩，则(())f f e ，函数()1y f x =-的零点为 . 【答案】0，e.考点：1.分段函数；2.分类讨论的数学思想．12.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是 ，表面积为 .【答案】233，436+考点：1.三视图；2.空间几何体的体积与表面积．13. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AD 为边BC 上的高，已知3AD =，23A π=，1b =，则1c c+的值为 . 【答案】2. 【解析】试题分析：∵11sin 22S bc A a AD ABC ==⋅∆，即33126c a ⋅=，即23c a =，根据余弦定理2222cos A a b c bc =+-，有21312()2c c c =+-⋅-，即2(1)0c -=，即1c =，∴12c c+=．考点：正余弦定理解三角形．14.设m R ∈，实数x ，y 满足23603260x m x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，若|2|18x y +≤，则实数m 的最小值是 . 【答案】3-. 【解析】试题分析：如下图所示，画出不等式组23603260x m x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩所表示的区域，由题意可知，不等式组所表示的区域应为|2|18x y +≤所表示的平面区域的子集，从而可知36m -≤≤．考点：线性规划的运用．【思路点睛】线性规则问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致.归纳起来常见的命题角度有：1.求线性目标函数的最值；2.求非线性目标的最值；3.求线性规划中的参数，本题即利用区域的包含，求解参数的取值范围.15.已知函数2()(32)6f x x a x a =-++，其中0a >，若有实数b 使得2()0(1)0f b f b ≤⎧⎨+≤⎩成立，则实数a 的取值范围是 .【答案】(0,[5,)2+∞U .222224942212a b a b a b ⎧≤≤⎪⇒⇒≤≤⎨-≤≤⎪⎩，由题意可知问题等价于不等式组有解，∴24202a a ≤⇒<≤，综上，实数a 的取值范围是(0,[5,)2+∞U ． 考点：1.二次函数综合题；2.分类讨论的数学思想．【思路点睛】1.数形结合是讨论二次函数问题的基本方法．特别是涉及二次方程、二次不等式的时候常常要结合图形寻找思路；2.含字母参数的二次函数问题经常使用的方法是分类讨论，比如讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，讨论二次方程根的大小等． 三、解答题 （本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.(本小题14分)已知向量(sin ,2sin )a x x =r ，(2cos ,sin )b x x =-r ，函数()f x a b =⋅r r.（1）求函数()f x 的最小正周期； （2）求函数()y f x =在3[,]48ππ-上的值域． 【答案】（1）π；（2）]12,2[--．考点：1.平面向量数量积的坐标表示；2.三角恒等变形；3.sin()y A x ωϕ=+的图象和性质． 17.(本小题15分) 在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，90CDA BAD ∠=∠=o ，222AB AD DC ===，4PA =且E 为PB 的中点.（1）求证：//CE 平面PAD ；（2）求直线CE 与平面PAC 所成角的正切值.【答案】（1）详见解析；（2）2613．(0,0,4)AP =u u u r ，设平面PAC 的法向量为(,,)n x y z =r，则有040AC n AP n z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩u u u r ru u u r r，故不妨(1,2,0)n =-r ，则||sin |cos ,|||||CE n CE n CE n α⋅=<>===⋅u u u r ru u u r r u u u u u u u u ur r ，从而可得cos α=，tan 13α=，∴直线CE 与平面PAC 所成角的正切值为1326.考点：1.线面平行的判定与性质；2.线面垂直的判定与性质；3.线面角的求解．18.(本小题15分) 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1(2)a a a =≠-，122n n n a S +=+，*n N ∈.（1）设2n n n b S =+，求证：数列{}n b 是等比数列；（2）若数列{}n a 是单调递增数列，求实数a 的取值范围.【答案】（1）详见解析；（2）3(,)2-+∞．且1211(2)232(2)2320n n n n n n a a a a ---+-=+⋅⋅--+⋅⋅+>，2n ≥，即214(2)32n n a --+⋅>，化简得n a )32(892⋅>+，即23->a ，综上可得，实数a 的取值范围是3(,)2-+∞.考点：1.数列的通项公式；2.数列的单调性；3.恒成立问题．【思路点睛】数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列，故数列的单调性的常用判定方法：1.利用数列的背景函数来研究其单调性；2.利用1n a +与n a 的大小关系来判断其单调性.19.(本小题15分) 已知函数2()log ()x a f x a t =+，其中0>a 且1≠a . （1）当2a =时，若x x f <)(无解，求t 的范围；（2）若存在实数m ，n （m n <），使得[],x m n ∈时，函数()f x 的值域都也为[],m n ，求t 的范围.【答案】（1）14t ≥；（2）104t <<．考点：1.恒成立问题；2.二次方程的根的分布；3.转化的数学思想．20.(本小题15) 分已知抛物线C ：2(0)y ax a =>，过点(0,1)P 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点.（1）若抛物线C 的焦点为1(0,)4，求该抛物线的方程；（2）已知过点A ，B 分别作抛物线C 的切线1l ，2l ，交于点M ，以线段AB 为直径的圆经过点M ，求实数a 的值.【答案】（1）2x y =；（2）14a =．考点：1.抛物线的标准方程及其性质；2.抛物线的切线方程；3.平面向量数量积的坐标表示．【方法点睛】函数与方程思想和数形结合思想在直线与圆锥曲线中的应用：直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型．。
浙江省金丽衢十二校高三第一次联合考试数学试题(理科)
浙江省金丽衢十二校高三第一次联合考试数学试题(理科)命题： 浦江中学方文才 黄升光注意事项：1. 本试卷满分150分.考试时间120分钟.2. 将所有答案填写在答题卷的相应位置.一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共 50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1、不等式组13y x x y y ⎧<⎪+≤⎨⎪≥-⎩表示的平面区域为D ，点()13,2P -，点()20,0P 则-------（ ）A ．1P ∈D 且2P ∉DB ．1P ∉D 且2P ∈DC ．1P ∉D 且2P ∉D D ．1P ∈D 且2P ∈D2、已知33i z i +=⋅，那么复数z 在复平面上对应的点位于----------------------（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3、在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若2sin a b C =，则△ABC 的形状 一定是 ------------------------------------------------------------------------------------------------（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形4、函数()2log 12x y =-的定义域为M ，值域为N ，则MN 是------------------------ （ ）A. (),0-∞B.()0,1C. ()1,0-D. ∅ 5、若,a b R ∈，那么ba 11>成立的一个充分非必要条件是--------------------------------（ ） A ．a b > B ．()0ab a b ⋅-< C ．0a b << D ．a b <6、将一张坐标纸折叠一次，使得点（0，0）与点（-1，1）重合，则这时与点（3，1）重合的点坐标为------------------------------------------------------------（ ） A ．(2,2) B ．(0,4) C ．(4,0) D ．19(,)22-7、对任意实数x ，不等式0124>+⋅+xxa 恒成立，则实数a 的取值范围是------（ ）A ．()2,2-B ．(),2-∞-C ．()2,-+∞D ．()(),22,-∞-+∞8、如图，在△ABC 中，∠CAB=∠CBA=30°，AC 、BC 边 上的高分别为BD 、AE ，则以A 、B 为焦点，且过D 、E 的椭圆与双曲线的离心率的和为-----------------（ ）A ．1B ．3C ．2D ．239、函数)2201y x x x =-≤≤的图象与它的反函数图象所围成的面积是------- ( )A ．2π- B ． 1π- C ．12π- D ． 122π- 10、已知数列{}n a 满足1223n n na a a +=+-，首项a a =1，若数列{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是----------------------------------------------------（ ） A ．()()+∞,21,0 B ．()+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛,221,0 C ．()1,0 D ．()+∞,2 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 11、已知α为锐角，1cos ,63πα⎛⎫+=⎪⎝⎭ 则5sin 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 12、数列{a n }满足a 1=1, a 2=32，且n n n a a a 21111=++- (n ≥2)，则2006a 等于_______． 13、已知),(),,(2211y x B y x A 是圆221x y +=上两点，O 为坐标原点，且120=∠AOB ，则=+2121y y x x ．14、下列函数的图象按某个向量平移后可成为奇函数的有 （把正确答案的序号都填上）． （1） 2312+-=x x y （2）lg y x = （3）2x y = （4）2cos y x =三、解答题（本大题共6小题，每题14分，共84分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15、已知函数1cos sin 3cos )(2++=x x a x a x f ． )0(≠a（1） 求()f x 的最小正周期；（2） 若()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为2-，求a 的值．16、已知向量)1,1(=a ，)0,1(=b ，c 满足0=⋅c a c a =，0>⋅c b 。
浙江省金丽衢十二校2020届高三数学第一次联考试题(含解析)(1)
浙江省金丽衢十二校2020届高三第一次联考数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据补集和并集的定义进行求解即可．【详解】，故选：．【点睛】本题主要考查集合的基本运算，结合补集并集的定义是解决本题的关键．2.已知向量，，则与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用夹角公式进行计算．【详解】由条件可知，，，所以，故与的夹角为．故选：．【点睛】本题考查了运用平面向量数量积运算求解向量夹角问题，熟记公式准确计算是关键，属于基础题．3.等比数列的前项和为，己知，，则（）A. 7B. -9C. 7或-9D.【答案】C【解析】【分析】等比数列｛a n｝的前n项和为S n，己知S2＝3，S4＝15,可求得公比，再分情况求首项，进而得到结果.【详解】等比数列｛a n｝的前n项和为S n，己知S2＝3，S4＝15,代入数值得到q=-2或2，当公比为2时，解得，S3＝7；当公比为-2时，解得，S3＝-9.故答案为：C.【点睛】本题考查等比数列的通项公式，是基础的计算题，对于等比等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.4.双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，将双曲线的方程变形为标准方程，得、的值，由双曲线的渐近线方程分析可得答案．【详解】根据题意，双曲线标准方程为，其焦点在轴上，且，，则其渐近线方程为；故选：．【点睛】本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线渐近线方程的计算，注意双曲线的焦点位置，是基础题5.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题设中三视图提供的图形信息与数据信息可知该几何体是一个三棱柱与一个等高三棱锥的组合体，其中三棱柱与三棱锥的底面都是直角边长为的等腰直角三角形，所以其体积，应选答案C。
浙江省2022届高三数学第一次联考试题(含解析)
【分析】
（1）利用 ， 得到关于 的方程，得到 ；利用临差法得到 ，得到 是等比数列，从而有 ；
（2）利用借位相减法得到 ，易证得不等式成立.
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，
，解得 ，
∴数列 的通项公式为 .
，
当 时，
，
即 是等比数列，且 ， ， .
（2） ，记 ，
则 ，
．
【点睛】本题考查数列通项公式、前 项和公式等知识的运用，考查临差法、错位相减法的运用，考查运算求解能力.
【答案】60
【解析】
【分析】
先求出体育不能排在第一节的所有情况，从中减去体育不能排在第一节，且语文与英语相邻的情况，即为所求.
【详解】体育不能排在第一节，则从其他4门课中选一门排在第一节，其余的课任意排，它
的所有可能共有 种.
其中，体育不能排在第一节，若语文与英语相邻，则把语文与英语当做一节，方法有 种，
设 ，
由已知得 ，
，
则BM与平面 所成角的正弦值为 ．
【点睛】本题考查空间中线面垂直判定定理、求线面所成的角，考查空间想象能力和运算求解能力.
20.已知数列 为等差数列， 是数列 的前n项和，且 ， ，数列 满足 ．
（1）求数列 ， 的通项公式；
（2）令 ，证明： ．
【答案】(1) . . (2)证明见解析
分析】
设 ，由抛物线的对称性知点 在直线 上，
直线 代入 得到关于 的一元二次方程，利用韦达定理得到 的关系，从而求得 的值.
【详解】设 ，由抛物线的对称性知点 在直线 上，
直线 代入 得：
，所以 ，
因为 ，
所以 ，故填：1.
【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，会用坐标法思想把所要求解的问题转化成坐标运算，使几何问题代数化求解.
2022届浙江省金丽衢十二校高三上学期期末第一次联考数学试题(解析版)
2022届浙江省金丽衢十二校高三上学期期末第一次联考数学试题一、单选题1．全集{}1,2,3,4,5,6,7U =，{}13,5A =,，{}2,4,5,6B =，则()UA B =（ ）A ．{}1,3B ．{}1C ．{}3D ．{}1,3,5【答案】A【分析】利用补集和交集的定义可求得集合()U A B ∩. 【详解】由已知可得{}1,3,7UB =，因此，(){}1,3UAB =.故选：A.2．设()13i i z =+，则在复平面内z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【分析】利用复数的乘法运算化简复数的代数式即可.【详解】因为()213i i 3i i=-3i z =+=++ ，故在复平面内z 对应的点()3,1-位于第二象限，故B 正确. 故选：B3．实数x ，y 满足条件220,2360,0,x y x y x ++≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩则23z x y =+的取值范围是（ ）A ．[]6,0-B ．[]0,6C ．[)0,∞+D ．[)6,+∞【答案】C【分析】作出不等式组所表示的平面区域，由目标函数的几何意义可得选项． 【详解】解：作出不等式组所表示的平面区域，如下图所示，由2++2023+60x y x y =⎧⎨-=⎩，解得312A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，目标函数化为2+33z y x =-，当目标函数过点A 时，z 取得最小值min 323102z ⎛⎫=⨯-+⨯= ⎪⎝⎭，所以23z x y =+的取值范围是[)0,∞+， 故选：C ．4．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：2cm ）是（ ）A ．3B ．76C ．1D ．23【答案】D【分析】先在长方体模型中，根据三视图作出几何体的原图，再将几何体补成三棱柱，分别求得三棱柱与四棱锥的体积，作差即可.【详解】在长方体模型中，根据三视图作出几何体的原图ABDCEF ， 且=2=22=2AB DC EF ，==1DF CE ，将几何体补成三棱柱AHG BNM -如图：则几何体ABDCEF 的体积=AHG BNM A HCEG B DFMN V V V V -----，且22AH =，1HG =，22HN =，12=122=12AHG BNM V -⨯，由对称性可得112211336A HCEGB DFMN DFMN V V S BN --==⨯⨯==四边形，所以几何体ABDCEF 的体积112=1=663V --，故选：D5．过点()2,1-的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y ++=的距离为（ ） A 5B 25C 35D 45【答案】B【分析】先根据圆与x ，y 轴都相切，求出圆心，然后利用点到直线的距离公式求出结果．【详解】设圆心为(,)a b ，由已知得220,0(2)(1)a b a b a b a⎧><⎪⎪=-⎨-++，解得1a =，1b =-，或5a =，5b =-， 所以圆心为(1,1)-或(5,5)-．当圆心为(1,1)-时，圆心到直线230x y ++=的距离222215d ==+ 当圆心为(5,5)-时，圆心到直线230x y ++=的距离222521d + 故选：B ．6．设等差数列{}n a 的公差为d ，其前n 项和为n S ，且513S S =，6140a a +<，则使得0n S <的正整数n 的最小值为（ ） A ．16B ．17C ．18D ．19【答案】D【分析】根据等差数列的性质及已知分别判断17S 、18S 、19S 的符号即可. 【详解】由513S S =，得6712130a a a a ++++=，因为{}n a 是等差数列，所以6130a a +=，6141020a a a +=<，100a <，6146130a a a a d d +=++=<，961261261320a a a a a d a a =+>++=+=，90a >， 所以()1911910191902S a a a =+=<， ()()1811861318902S a a a a =+=+= ()171179171702S a a a =+=> 使得0n S <的正整数n 的最小值为19. 故选: D.7．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则“C ∠是锐角”是“()3332c a b <+”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由余弦定理结合充分条件、必要条件的概念即可得解.【详解】当C ∠为锐角时，等价于cos 0C >，由余弦定理，得222cos 02a b c C ab+-=>， 有2220a b c +->，即等价于222c a b <+， 在ABC 中，c a b <+，2222222a a b b b a -≥++， 若C ∠为锐角，则()()()()()222232323222a c c a b c a b a b a b a b b ab <+≤+<=-+++-，充分性成立；若()3332c a b <+，不妨令3,4,5a b c ===，满足()3332c a b <+，但90C =∠，不为锐角，所以必要性不成立.故“C ∠为锐角”是“()3332c a b <+”的充分不必要条件.故选：A8．已知二次函数()2f x ax bx c =++，设()()e xg x f x -⋅=，若函数()g x 的导函数()g x '的图像如图所示，则（ ）A ．a b <，b c <B ．a b >，b c >C ．1ba >，bc = D ．1ba<，b c = 【答案】D【分析】求出函数()g x '，再根据给定图象与x 轴交点横坐标即可计算判断作答.【详解】依题意，()2e ()x g x ax bx c -=++，求导得2()e ()e (2)x x g x ax bx c ax b --'=-++++2[(2)]e x ax a b x c b ---+-=-，观察()g x '的图像得：()00g c b '=-=，即b c =，()g x '的另一个零点为221a b ba a-=->，即1ba<， 所以有1ba<，b c =. 故选：D9．当实数m 变化时，不在任何直线()2241220mx m y m +---=上的所有点(),x y 形成的轨迹边界曲线是（ ） A ．圆 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．双曲线【答案】B【分析】将直线()2241220mx m y m +---=看作是关于m 的一元二次方程，根据题意知，该方程无解时的(),x y 就是不在任何直线()2241220mx m y m +---=上的所有点(),x y 形成的轨迹，然后根据判别式建立不等式即可【详解】()2241220mx m y m +---=可化简为：()22420y m xm y +-+-=则有：()()2164220x y y ∆=-+-<化简可得：2214y x +< 故轨迹边界曲线是：2214y x += 则不在任何直线()2241220mx m y m +---=上的所有点(),x y 形成的轨迹边界曲线是椭圆. 故选：B10．在三棱锥P ABC -中，顶点P 在底面的射影为ABC 的垂心O （O 在ABC 内部），且PO 中点为M ，过AM 作平行于BC 的截面α，过BM 作平行于AC 的截面β，记α，β与底面ABC 所成的锐二面角分别为1θ，2θ，若PAM PBM θ∠=∠=，则下列说法错误的是（ ）A ．若12θθ=，则AC BC =B ．若12θθ≠，则121tan tan 2θθ⋅= C ．θ可能值为6πD ．当θ取值最大时，12θθ= 【答案】C【分析】对选项A ，先找到二面角的平面角，再根据边角关系证明PAO 与PBO 全等，然后根据直线OC 垂直并平分线段AB 即可判断AC BC =；对选项B ，找到角的关系PAM PAO MAO ∠=∠-∠和PBM PBO MBO ∠=∠-∠，然后分别运用正切的两角差公式解得212OM OA OB =⋅即可；对选项C 和D ，均是先根据PAM PAO MAO ∠=∠-∠运用正切的两角差公式，然后通过换元得到一个一元二次方程，然后根据判别式即可判断.【详解】如图所示，连接延长AO 交BC 与F ，连接延长BO 交AC 与G ，设平面ABC 平面l α顶点P 在底面的射影为ABC 的垂心O ，//BC 平面α，平面ABC 平面l α则有：直线BC 与l 平行又AO BC ⊥，则AO l ⊥PO ⊥平面ABC ，则PO BC ⊥又AO BC ⊥ 则BC ⊥平面PAO 从而PA l ⊥故MAO ∠为α与平面ABC 的二面角，即1MAO θ∠= 同理可得：2MBO θ∠=对选项A ，PAM PBM θ∠=∠=，又12θθ=，则有：PAO PBO ∠=∠ 可得：PAO 与PBO 全等，则AO OB = 又根据O 是ABC 的垂心，则，OC AB ⊥ 综上可得：直线OC 垂直并平分线段AB 可得：AC BC =，故选项A 正确； 对选项B ，易知有如下角关系：PAM PAO MAO ∠=∠-∠ PBM PBO MBO ∠=∠-∠又PAM PBM θ∠=∠=，则有：tan tan PAM PBM ∠=∠tan tan tan 1tan tan PAO MAOPAM PAO MAO ∠-∠∠=+∠⋅∠tan tan tan 1tan tan PBO MBOPBM PBO MBO∠-∠∠=+∠⋅∠可得：2211OP OM OP OMOA OA OB OB OP OM OP OM OA OB --=⋅⋅++解得：212OM OA OB =⋅ 则2121tan tan 2OM OA OB θθ⋅==⋅，故选项B 正确； 对选项C ，若6πθ=，则有：tan tan tan 1tan tan PAO MAO PAM PAO MAO ∠-∠∠=+∠⋅∠则有：222OM OA OM OA ⋅=+化简后可得：2210OM OA ⎛⎫= ⎪⎝⎭令OMt OA=，则有：2210t +=则有：3850∆=-=-<，此时方程无解，故选项C 错误； 对选项D ，设tan a θ=（0a >），则有：222OM OAa OM OA ⋅=+可化简为：220OM OMa a OA OA ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭令OMx OA=，则有：220ax x a -+= 则有：2180a ∆=-≥解得： 0a <≤故θ取得最大值时，tan 4θ=1tan 2OM OA θ==同理可得：2tan OM OB θ==故12tan tan θθ=，且12,0,2πθθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则有：12θθ=，故选项D 正确； 故选：C【点睛】二面角的问题，常见的有两种方法：一是通过二面角的定义作二面角的平面角；二是通过空间向量的方法，这两种方法需要灵活选择，如果选择不当，则很可能会大大增加计算量，本题不宜采用空间向量法 二、填空题11．若双曲线221y x a-=，则实数a 的值为______．【答案】1【分析】由离心率公式，解方程可得a 的值．【详解】双曲线221y x a-=可得e 解得1a =， 故答案为：1．12．甲、乙2人各投篮1次，投进的概率分别是23，14，则2人中恰有1人投进的概率为______． 【答案】712【分析】设事件A 表示“甲投进”，B 表示“乙投进”，利用互斥事件概率加法公式、相互独立事件概率乘法公式能求出结果．【详解】设事件A 表示“甲投进”，B 表示“乙投进”， 则P （A ）23=，P （B ）14=，2∴人中恰有1人投进的概率：()()P AB P AB +212111(1)(1)3434217122=⨯-+-⨯=+=． 故答案为：712． 13．已知函数()2ln f x x x a =--．若存在实数a ，使得集合()t x f x a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭中的元素至少有2个，则实数t 的最小值为______． 【答案】2e -2e- 【分析】将问题转化为函数()y f x =与ty a=的图象至少有2个交点，然后讨论函数()y f x =的单调性和极值，进而求得答案.【详解】问题可以转化为函数()y f x =与ty a=的图象至少有2个交点. 由题意，()()()2ln ,e ,2ln 2ln ,0e .a a x x a x t f x x x a x x a x a ⎧--≥⎪=---=⎨+-<<⎪⎩当[e ,)a x ∈+∞时，则()1212x f x x x -'=-=，若1e ln 22aa ≥⇒≥-，则()0f x '≥，()f x 单调递增；若1e ln 22a a <⇒<-，则1[e ,]2a x ∈时，()0f x '≤，()f x 单调递减，1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增.当()0,e ax ∈时，则()f x 单调递增（增+增）.于是，（1）当ln 2a ≥-时，()f x 在()0,∞+上单调递增，函数()y f x =与ty a=的图象至多只有1个交点，不合题意；（2）当ln 2a <-时，()f x 在()0,e a上单调递增，在1e ,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，e a x =时，函数取得极大值为()e 2e a af =，12x =时，函数取得极小值为11ln 22f a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. 限定10e e 2a a x ⎛⎫<<< ⎪⎝⎭，()()()2ln 2ln e 2af x x x a x a x =+-<+-=，则当0e a x <<且1ln 22a x ++<时，()122f x x f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭.限定12x >，()()2ln f x x x a =--，设()ln g x x x =-，()11g x x'=-，()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，()1,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以()()110ln g x g x x ==>⇒>，所以，()()2ln f x x x a x a =-->+.于是，12x >且2e a x a >-时，()()e af x f >.故当1ln 22e a ta a++≤≤时，函数()y f x =与t y a =的图象至少有2个交点，此时()2e 1ln 2a a t a a ≤≤++.设()()2e ln 2a h a a a =<-，()()2e 1ah a a '=+，(),1a ∞∈--时，()0h a '<，()h a 单调递减，()1,ln 2a ∈--时，()0h a '>，()h a 单调递增，所以()()min 21eh a h =-=-，于是t的最小值为：2e-. 故答案为：2e-.【点睛】首先将问题转化为两个函数图象的交点个数问题，在第（2）步求出函数的单调区间和极值后一定要注意，必须要说明在12x =的左侧是否存在比极小值12f ⎛⎫⎪⎝⎭更小的值，在e a x =的右侧是否存在比极大值()e af 更大的值，进而才能解决问题.14．平面向量a ，b ，c 满足1a a b c =-==，()222b ac b c b a c +⋅+-=⋅+，1a b b a b b cb⋅+=+⋅，则()2b c-=______．【答案】22【分析】数形结合，利用题干条件及正余弦定理求出答案. 【详解】()222b ac b c b a c +⋅+-=⋅+可变形为()222b a c b a c b c +⋅-⋅+=--，即()()22b a bc b c -⋅-=--，如图，两圆为半径为1的圆，则()()2cos 2b a bc b a b c CBA b c -⋅-=-⋅-∠=--，从而3π4CBA ∠=-，设,a b α=，,c b β=，21cos 122cos cos a b b a b b cb ααβ⋅+⎛⎫+=+⇒=+ ⎪⋅⎝⎭，解得：22cos cos2αβ=，所以2αβ=， 在△AOC 中，由余弦定理得：()()2112cos 22cos AC αβαβ=+-+=-+，在三角形BAC中，2223π12cos124AC BC BC BC BC =+-⋅=++，从而()222cos 12BC BC αβ-+=++，即()23212cos 12cos2BC BC ααβ+=-+=-， 因为OA AB =，所以OBA AOB α∠=∠=，所以3π4OBC α∠=-，3ππππ424OCB OBC αβαβ∠=-∠-=-+-=+，在△OBC 中，由正弦定理得：sin sin OB OCOCB OBC =∠∠，即1π3πsin sin 244OB αα=⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，在三角形OAB 中，由正弦定理得：sin sin OB AB OAB AOB=∠∠，即()1sin π2sin OB αα=-，1sin 2sin OB αα=，从而πsin sin 2243πsin sin 4αααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭，化简得：cos 2sin 2cos sin 122αααα+=+-，解得：π3α=，所以23π212cos 12cos 122BC BC α+=-=-=，解得：2602BC -+=>或2602BC --=<（舍去），故()2223b c CB -==-.故答案为：23【点睛】向量相关的压轴题，往往需要数形结合进行求解，作出图象，结合题干条件及解三角形的相关定理进行求解. 三、双空题15．杨辉三角在我国最早由贾宪在《释锁算术》中提出，后来南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算法》中进行了详细说明．杨辉三角中的三角形数表，是自然界和谐统一的体现．杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列.其中蕴含着二项式系数的性质，例如递推性质11i i in nnCCC -+=+．在62x x ⎫⎪⎭的展开式中，第三项和第四项的二项式系数和为______，常数项为______． 【答案】 35 60；【分析】根据二项式定理可知第三项和第四项的二项式系数分别为26C ，36C ，从而可求出答案；根据二项式定理的通项公式可求出常数项.【详解】在62x ⎫⎪⎭的展开式中，第三项的二项式系数为2615C =，第四项的二项式系数为3620C =，所以第三项和第四项的二项式系数和35；()363216622,0,1,,6rrr r r r r T C C x r x --+⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭…， 令3302r -=，得2r =，所以()22026241560T C x =-=⨯=， 所以常数项为60. 故答案为：35；60.16．在三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知22sin cos 212A BC +-=，则角C =______；若b a -，2c，b a +成等比数列，则sin sin B A =______．【答案】 120°23π 【分析】（1）将22sincos 212A B C +-=利用二倍角公式化简整理，得 2cos 2cos 10C C -+=，解出cos C ，求得答案‘（2）根据b a -，2c，b a +成等比数列，得到2224c b a =-，再结合余弦定理，得到关系式2235b a ab -=，利用正弦定理边化为角，进而求得答案. 【详解】由22sin cos 212A B C +-=得：22sin cos 212CC π--=, 即22cos1cos 202CC --=，2cos 2cos 10C C -+=， 解得1cos 2C =- 或cos 1C =（舍去），所以120C = ；由b a -，2c，b a +成等比数列得：2224c b a =- ，又2221cos 22a b c C ab +-==- ,即222c a b ab --=, 整理得222244b a a b ab ---=，即2235b a ab -=， 所以223sin 5sin sin sin B A A B -=,所以223sin sin 50sin sin B B A A --=,解得sin sin B A = ,而sin 0,sin 0A B >> ,故sin sin B A =， 故答案为：12017．随机变量ξ的分布列如下表，其中1142p ≤≤．当p =______时，()E ξ取最大值；当p =______时，()D ξ有最大值．【答案】140.25 13【分析】求出()E ξ、()D ξ的表达式，利用一次函数和二次函数的基本性质可求得结果. 【详解】由题意可得()1281232333E p p p ξ⎛⎫=⨯+⨯+⨯-=- ⎪⎝⎭，故当14p =时，()E ξ取最大值；()2228182812223233333D p p p p p ξ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯--+⨯--+-⨯-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦282439p p =-++， 故当()813243p =-=⨯-时，()D ξ取最大值.故答案为：14；13.四、解答题18．设()0,2a π∈，将奇函数()()sin f x x a =+图象向左平移6π个单位，再将图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像． (1)求a 的值及函数()g x 的解析式；(2)设()()()22F x f x g x =+⎡⎤⎣⎦，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()F x 的值域． 【答案】(1)a π=，()sin 26g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭(2)512⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据奇函数性质，确定a 的值，再根据图象变换的规律，确定()g x 的解析式；（2）先写出()()()22F x f x g x =+⎡⎤⎣⎦具体的解析式，利用三角恒等变换化简到最简，根据角的范围，确定函数的值域. (1)因为()f x 是奇函数，且在0x =处有定义， 可知()0sin 0f α==，得到()a k k π=∈Z ， 因为()0,2a π∈，所以a π=，由()()sin f x x a =+图象向左平移6π个单位得到πsin 6y x a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再将图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像，可得()sin 2sin 266g x x x πππ⎛⎫⎛⎫=++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(2)由（1）可得：()212sin sin 21cos 22cos 262F x x x x x x π⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭32cos 212123x x x π⎛⎫=-+=++ ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴sin 23x π⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，∴()512F x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.19．在三棱台111ABC A B C -中，8AC =，6BC =，AC BC ⊥，点H 在棱AC 上，且满足1B H AC ⊥，3CH =，1B H =145B BC ∠=︒．(1)求证：11B C ⊥平面1AB C ；(2)求1B C 与平面11AA B 所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 23【分析】（1）根据题意，先证明BC ⊥平面1AB C ，进而根据11BC B C ∥即可证明； （2）结合（1）得1,,CA CB HB 两两垂直，进而建立空间直角坐标系，再结合平面11AA B 与平面1ABB 为同一个平面将问题转化为求平面1ABB 的一个法向量，再根据向量求解即可. (1)证明：因为1B H AC ⊥，3CH =，133B H =所以在1Rt B HC △中，16B C =． 又因为145B BC ∠=︒，16B C BC ==， 所以1BC B C ⊥．又因为BC AC ⊥，1AC B C C ⋂=， 所以BC ⊥平面1AB C ，因为在三棱台111ABC A B C -中，11BC B C ∥， 所以11B C ⊥平面1AB C ； (2)解：结合（1）得1BC B H ⊥，所以1,,CA CB HB 两两垂直，故以C 为原点，,CA CB 方向分别为,x y 轴，过C 且与1HB 平行的直线为z 轴，如图，建立空间直角坐标系， 所以()()()13,0,33,8,0,0,0,6,0B A B ， 所以()13,0,33CB =，因为平面11AA B 与平面1ABB 为同一个平面， 所以()8,6,0BA =-，()13,6,33BB =-， 设平面11AA B 的法向量为(),,n x y z =，所以430230x y x y z -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，故令5z =，则33,43x y ==，所以平面11AA B 的一个法向量()33,43,5n =， 设1B C 与平面11AA B 所成角为θ， 所以111243sin cos ,610235CB n CB n CB nθ⋅====⨯． 所以1B C 与平面11AA B 所成角的正弦值为235.20．已知各项为正的数列{}n a 满足：113a =，()*134N nn n a a n a +=∈+． (1)设0a >，若数列1log 1a n a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪+⎨⎬ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭是公差为2的等差数列，求a 的值；(2)设数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，证明4543n S n ≤<+．【答案】(1)2 (2)证明见解析【分析】（1）由等差数列的定义，将已知递推关系进行变形取对，再由已知公差可得所求；（2）由题意得到1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，由于各项均为正，可证得15n S S ≥=，再将数列通项进行放缩为可求和的等比数列，求和证明. (1) 因为()*134N n n n a a n a +=∈+，所以111141n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭等式两边同时取以a 为底的对数可得111log 1log 1log 4a a a n n a a +⎛⎫⎛⎫+=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()*N n ∈ 又数列1log 1a n a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪+⎨⎬ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭是公差为2的等差数列可知log 42a =，即2a = (2)由（1）可知数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是公比为4的等比数列，可得11111414n n n a a -⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，可得数列{}n a 的通项公式为()*1N 14n n a n =∈- 记1n n n a b a +=可求得其通项公式为()1*4141N n n n b n +-=∈- 显然{}n b 为正项数列，因此()11*N 5n S S b n ≥==∈另一方面，构造数列{}n c 满足()*N 4n n c b n =-∈可得其通项公式为()*1N 34n nc n =∈- 注意到1113134414n n n n c ---⎛⎫=≤ ⎪⋅+-⎝⎭，记{}n c 的前n 项和为n T ，可得11441314n n T -≤<-， 而由于4n n c b =-，因此()*4N n n T S n n =-∈，从而443n S n <+， 综上所述，4543n S n ≤<+.21．如图，已知F 是抛物线()220y px p =>的焦点，过点()4,0A 的直线l 与抛物线交于两个不同的点M ，N （M 是第一象限点），MN 的垂直平分线交抛物线于P ，Q ．当直线l 的斜率为2-时，3MF =．(1)求抛物线的方程；(2)若1p >，求PQ 的最小值．【答案】(1)24y =或243y x =(2)min 67PQ =【分析】（1）设点M 的坐标为()11,x y ，由已知条件列出方程组211111232 24y pxp x y x ⎧⎪=⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪-⎩，解方程组即可得到答案；（2）设直线l 的方程为4x my =+及其点()11,M x y ，()22,N x y ，将点()11,M x y ，()22,N x y 代入抛物线方程作差，即可得到1214m y y =+，由此可以求得故MN 中点坐标为()224,2mm +，设出PQ 方程为()()21242x m y m m-+=--，与抛物线的方程联立得到关于y 的一元二次方程，利用弦长公式求出PQ ，最后用导数求其最值即可. (1)设点M 的坐标为()11,x y ，根据题意可列出方程组211111232 24y pxp x y x ⎧⎪=⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪-⎩，可解得2p =或23p =因此可得到抛物线方程为24y =或243y x =(2)由于1p >，可知抛物线方程为24y x =，设直线l 的方程为4x my =+，()11,M x y ，()22,N x y ,即2114y x =和2224y x =，两式相减为1212124y y x x y y -=-+，即1214m y y =+， 则1222y y m +=，12212244422x x y my m m ++=++=+ 故MN 中点坐标为()224,2m m +， 设PQ 方程为()()21242x m y m m-+=--，()33,P x y ，()44,Q x y , 联立()()2241242y xx m y m m ⎧=⎪⎨-+=--⎪⎩得2248240y y m m +--=， ()221=230m m ∆++>，即20m >，由韦达定理可知342344824y y m y y m ⎧+=-⎪⎨⎪=--⎩，于是可得34PQ y y =-=令2t m =，并记()27128f t t t t =+++()0t > ，求导函数得()23722f t t t '=--，令()0f t '=，解得导函数零点为2t =，且导函数在()0,∞+上单调递增，因此导函数在()0,2上恒为负，在()2,+∞上恒为正，可知原函数在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，则在2t =处取得最小值， 则()()min 6324f t f ==，即min PQ =22．已知*N n ∈，函数()()2e xf x n x -=-，()1nx g x n n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．(1)若8n =，求函数()f x 的极值； (2)当(],x n ∈-∞时，求证：()()f x g x ≤．【答案】(1)极大值为()224e f -=，极小值为()484e f =-(2)证明见解析【分析】(1)利用导数的几何性质，确定函数的单调性，然后就可以计算极值；(2)作差比较，由于e 0x > ，令()()()e xF x g x f x =-⎡⎤⎣⎦，构造一个新函数，再利用导数判断单调性，通过多次构造后，得到()0F x ≥. (1)因为()()2e xf x n x -=- ，所以()()2222e ee xxxx x nf x x n x ----'=---=， 当8n =时，()()()42e xx x f x -+'=，令0fx 得2x =-或4x =，当()(),24,x ∈-∞-+∞时，0fx；当()2,4x ∈-时，0fx ．故函数()f x 的增区间为(),2-∞-，()4,+∞，减区间为()2,4-，所以函数()f x 的极大值为()224e f -=，极小值为()484e f =-； (2)令()()()()2e 1e nx x x F x g x f x n x n n ⎛⎫=-=-+- ⎪⎝⎭，只需证明当(],x n ∈-∞时，()0F x ≥即可．求导得()12e 1n x x F x x n -⎡⎤⎛⎫'=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．下面对n 分类讨论：①当1n =时，有()()21e 1x F x x x =-+-，()()2e x F x x '=-，()F x 在(),0-∞递减，在()0,ln 2递增，在(]ln 2,1递减．又因为()()010F F ==，所以()0F x ≥得证． ②当2n ≥时，令()1e 1n x x G x n -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求导得()21e 1n x x x G x n n --⎛⎫'=⋅- ⎪⎝⎭，所以()G x 在(),1-∞递增，在()1,+∞递减．于是有()()1max 11e 1n G x G n -⎛⎫==- ⎪⎝⎭．我们令()ln 1x x x ϕ=-+，则()11x xϕ'=-，所以()()max 10x ϕϕ==， 即()0x ϕ≤恒成立．于是可以得到11ln 1n n ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭，进而有1e 1n n -⎛⎫<- ⎪⎝⎭，代入()1G 可得到()11111e 1121n n G n n n --⎛⎫⎛⎫=-<-=≤ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭，即当2n ≥时()2G x ≤恒成立．于是，()()12e 12n x x F x x x G x n -⎡⎤⎛⎫'=--=-⎡⎤⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦，在(),0-∞上，()0F x '<，故()F x 在(),0-∞上单调递减；在()0,+∞上，()0F x '>，故()F x 在()0,+∞第 21 页 共 21 页 上单调递增，所以()()00F x F ≥=． 综合①②可知，原命题得证！。
浙江省金丽衢十二校2023-2024学年高三上学期第一次联考数学试题
浙江省金丽衢十二校2023-2024学年高三上学期第一次联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合A={0,1,2,3,5}，B={x|x2−2x>0}，则A∩B=（）A．{0,1,2}B．{0,3,5}C．{3,5}D．{5}2．圆C:x2+y2−2x+4y=0的圆心C坐标和半径r分别为（）3．已知平面向量a⃗,b⃗⃗满足：|b⃗⃗|=2|a⃗|=2,a⃗与b⃗⃗的夹角为120°，若(λa⃗+b⃗⃗)⊥(a⃗−b⃗⃗)(λ∈R)，则λ=（）4．已知直线a,b和平面α,a⊄α,b∥α，则“a∥b”是“a∥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．(1+x−y)5展开式中含x2y项的系数为（）A．30B．−30C．10D．−106．已知函数y=2sin(ωx+φ)，该图象上最高点与最低点的最近距离为5，且点(1,0)是函数的一个对称点，则ω和φ的值可能是（）7．一个正方形网格ABCD由99条竖线和99条横线组成，每个最小正方形格子边长都是1．现在网格中心点O处放置一棋子，棋子将按如下规则沿线移动：O→P1→P2→P3→P4→P5→⋯.．，点O到P1的长度为1，点P1到P2的长度为2，点P2到P3的长度为3，点P3到P4的长度为4，……，每次换方向后的直线移动长度均比前一次多1，变换方向均为向右转．按此规则一直移动直到移出网格ABCD为止，则棋子在网格上移动的轨迹长度是（）A．4752B．4753C．4850D．4851二、多选题10．为调研加工零件效率，调研员通过试验获得加工零件个数x与所用时间y（单位：min）的5组数据为：(10,52),(20,67),(30,70),(40,75),(50,86)，根据以上数据可得经验回归方程为：ŷ=0.76x+â，则（）A．â=47.3B．回归直线ŷ=0.76x+â必过点(30,70)C．加工60个零件的时间大约为92.8minD．若去掉(30,70)，剩下4组数据的经验回归方程会有变化11．设P是抛物线弧C:y2=8x(y>0)上的一动点，点F是C的焦点，A(4,4)，则（）A．F(2,0)B．若|PF|=4，则点P的坐标为(2,4)C．|AP|+|AF|的最小值为2+2√5D．满足△PFA面积为9的点P有2个212．对于集合A中的任意两个元素x,y，若实数d(x,y)同时满足以下三个条件：①“d(x,y)=0”的充要条件为“x=y”；②d(x,y)=d(y,x)；③∀z∈A，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z)．则称d(x,y)为集合A上的距离，记为d A．则下列说法正确的是（）A．d(x,y)=|x−y|为d RB．d(x,y)=|sinx−siny|为d RC．若A=(0,+∞)，则d(x,y)=|lnx−lny|为d AD．若d为d R，则e d−1也为d R（e为自然对数的底数）三、填空题四、解答题17．在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，已知c2b2+c2−a2=sinCsinB．(1)求角A；(2)设边BC的中点为D，若a=√7，且△ABC的面积为3√34，求AD的长．18．在三棱柱ABC−A1B1C1中，四边形BCC1B1是菱形，△ABC是等边三角形，点M是线段AB的中点，∠ABB1=60°．(1)证明：B1C⊥平面ABC1；(2)若平面ABB1A1⊥平面ABC，求直线B1C与平面A1MC1所成角的正弦值．19．袋中有2个黑球和1个白球，现随机从中有放回地取球，每次取1个，约定：连续参考答案：1．C【分析】由不等式x2−2x>0，解得x>2或x<0，再运用集合的交集即可.【详解】由不等式x2−2x>0，解得x>2或x<0，则集合{x|x>2或x<0}，又A={0,1,2,3,5}，∴A∩B={3,5}.故选：C.2．A【分析】将一般方程化为标准方程即可求解.【详解】圆C:x2+y2−2x+4y=0，即C:(x−1)2+(y+2)2=5，它的圆心C坐标和半径r分别为C(1,−2),r=√5.故选：A.3．D【分析】先计算平面向量a⃗,b⃗⃗的数量积，再利用(λa⃗+b⃗⃗)⋅(a⃗−b⃗⃗)=0，列式解得即可.【详解】由题意，得a⃗⋅b⃗⃗=|a⃗|⋅|b⃗⃗|cos120°=1×2×(−1)=−1，2由(λa⃗+b⃗⃗)⊥(a⃗−b⃗⃗)，得(λa⃗+b⃗⃗)⋅(a⃗−b⃗⃗)=0，即λa⃗2+(1−λ)a⃗⋅b⃗⃗−b⃗⃗2=0，.∴λ−(1−λ)−4=0，解得λ=52故选：D4．A【分析】由线面平行的判定、面面平行的性质以及充分不必要条件的定义即可求解.【详解】因为b∥α，则存在c⊂α使得b∥c且b⊄α，若a∥b且a⊄α，则a//c，又a⊄α且c⊂α，所以a∥α，充分性成立；设β//α，b⊂β,a⊂β,a∩b=P，则有a∥α，但a,b不平行，即必要性不成立.故选：A.5．B【分析】根据排列组合与二项式定理知识直接计算即可.【详解】由题意得，(1+x−y)5展开式中含x2y的项为(C52⋅x2)⋅[C31⋅(−y)]⋅(C22×12)=−30x2y，故选：A【点睛】结论点睛：若A、B分别为双曲线的左、直线PB的斜率之积为定值.9．ACD【详解】）m,0)，在△F1PF2中，PM是x0，）知|PF1|=2+12PF2|=√(x0−1)2+y02=且x。
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公差 时，共有6个．
公差 时，共有4个．
公差 时，共有2个．
综上共有45个．
②百位、十位、个位数字依次构成等比数列：公比 时，共有9个：111，……，999．
公比 时，共有2个：124，248．公比 时，共有2个：421，842．
公比 时，共有1个：139．公比 时，共有1个：931．
【详解】如图所示，
设切点 直线 的方程为： ．
联立 ，化为： ．
由直线 与椭圆相切，可得： ．
化为： ．
，化为： ．
由 ，可得： ，解得 ， ．
由直线 的方程为： ． ．
可得 ．
．当且仅当 时取等号．
设 ， ， ．
，
化为： ．
，
代入化ห้องสมุดไป่ตู้： ，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆的相切、三角形面积计算公式、余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
试题解析：（1）在 中， ， ，
所以 ．
同理可得， ．
所以
．
（2）在 中，由正弦定理得， ．
又 ，所以 ．
在 中，由余弦定理得，
．
【点睛】凑角求值是高考常见题型，凑角求知要“先备料”后代入求值，第二步利用正弦定理和余弦定理解三角形问题，要灵活使用正、余弦定理，有时还要用到面积公式，注意边角互化.
19.如图，在四棱锥P－ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝ ，PA＝AD＝2，AB＝BC＝1，点M、E分别是PA、PD的中点
13.若实数 、 满足 ，且 ，则 的最小值是__________， 的最大值为__________．
【答案】 (1). 2 (2).
【解析】
【分析】
先根据对数的运算性质可得 ，再根据基本不等式即可求
【详解】实数 、 满足 ，且 ，则 ，
则 ，当且仅当 ，即 时取等号，
故 的最小值是2，
，当且仅当 ，即 时取等号
【分析】
根据题意，将双曲线的方程变形为标准方程，得 、 的值，由双曲线的渐近线方程分析可得答案．
【详解】根据题意，双曲线 标准方程为 ，
其焦点在 轴上，且 ， ，
则其渐近线方程为 ；
故选： ．
【点睛】本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线渐近线方程的计算，注意双曲线的焦点位置，是基础题
5.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
【详解】 偶函数 满足 ，
，
即函数 是周期为2的周期函数，
则 ，
若 ，则 ，
则 ，
即 ， ，
由 得 ，
要使函数 有4个零点
等价为函数 与 有四个不同的交点，
作出两个函数的图象如图：
过定点 ， ，
则 满足 ，
即 ，得 ，
即实数 的取值范围是 ，
故答案为： ，
【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用条件判断函数的奇偶性以及利用数形结合进行转化是解决本题的关键．
浙江省金丽衢十二校2022届高三第一次联考
数学试题
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据补集和并集的定义进行求解即可．
【详解】 ，
故选： ．
【点睛】本题主要考查集合的基本运算，结合补集并集的定义是解决本题的关键．
A. 7 B. -9 C. 7或-9 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
等比数列｛an｝的前n项和为Sn，己知S2＝3，S4＝15, 可求得公比，再分情况求首项，进而得到结果.
【详解】等比数列｛an｝的前n项和为Sn，己知S2＝3，S4＝15,
代入数值得到q=-2或2，
当公比为2时， 解得 ，S3＝7；
对于 ， ．当且仅当BD=DC时等号成立；B正确；
对于 ． ⊥面BCD,故 ，正确；
对于 ， 故D错误
故选： ．
【点睛】本题命题真假判断，空间的线面位置关系，考查推理及空间想象能力，属于难题
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
11.已知 ， 的展开式中存在常数项，则 的最小值为__________，此时常数项为__________．
12.偶函数 满足 ，且当 时， ，则 __________，则若在区间 内，函数 有4个零点，则实数 的取值范围是__________．
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
根据函数奇偶性和条件，判断函数是周期为2的周期函数，利用函数与方程之间的关系转化为两个函数图象交点个数问题，利用数形结合进行求解即可．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
运用二倍角公式和辅助角公式化简函数 ，取 ，可判断 ；由函数的单调性和值域，可判断 ；由指数函数的值域即可判断 ；运用配方法，可取 可判断 ．
【详解】由
，
由 ，
取 ，可得 ， 不存在，故 不为“ 函数”；
由 ，且 ，
由于 递增，且 ， ； ， ，
即有任一个 ，可得唯一的 ，使得 ，故 为“ 函数”；
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
推导出 ， ，由此能求出 ．
【详解】五人进行过关游戏，每人随机出现左路和右路两种选择．
若选择同一条路的人数超过2人，则他们每人得1分；
若选择同一条路的人数小于3人，则他们每人得0分，
，
，
．
故选： ．
【点睛】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
由 可得 ， 不成立，故 不为“ 函数”；
由 ，若 ，
可取 ，可得 无解，故 不为“ 函数”．
故选： ．
【点睛】本题主要考查函数与方程之间的关系，将条件转化为 是解决本题的关键．
8.如图，二面角 的大小为 ， ， ，且 ， ， ，则 与 所成角的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
故 的最大值为 ，
故答案为：2， ．
【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，对代数式进行变形与灵活配凑，是解本题的关键，属于中档题．
14.在从100到999的所有三位数中，百位、十位、个位数字依次构成等差数列的有__________个；构成等比数列的有__________个．
【答案】 (1). 45 (2). 17
考点：向量的坐标运算.
16.己知函数 是由 向左平移 个单位得到的，则 __________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用辅助角公式化简函数的解析式，再利用函数 的图象变换规律，求得 的值．
【详解】函数 是由 向左平移 个单位得到的，
，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查辅助角公式，函数 的图象变换规律，属于基础题．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
18.如图，在 中，已知点 在边 上， ， ， ， ．
（1）求 的值；
（2）求 的长.
【答案】（1）（2）
【解析】
试题分析：根据平方关系由 求出 ，利用 求出 ，根据三角形内角和关系利用和角公式求出 ，利用正弦定理求出 ，根据 ，计算 ，最后利用余弦定理求出 .
由题得 为等边三角形，由 ， ， 得 为等腰直角三角形，取BC中点E,连接DE，AE，得∠DEA为二面角的平面角，进而得AD=1,过A作AO⊥DE,证明AO⊥ ，故∠ADE为 与 所成角即可求解
【详解】∵ 为等边三角形，又 ， ， 由余弦定理得 故 为等腰直角三角形，取BC中点E,连接DE，AE,则AE⊥BC,DE⊥BC,∴∠DEA为二面角的平面角，BC⊥面ADE,
当公比为-2时， 解得 ，S3＝-9.
故答案为：C.
【点睛】本题考查等比数列的通项公式，是基础的计算题，对于等比等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.
4.双曲线 的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
17.已知 是椭圈 上的动点，过 作椭圆的切线 与 轴、 轴分别交于点 、 ，当 （ 为坐标原点）的面积最小时， （ 、 是椭圆的两个焦点），则该椭圆的离心率为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
设切点 直线 的方程为： ． ．与椭圆方程联立，由直线与椭圆相切，可得： ．化为： ．利用根与系数的关系可得： ．由 ，可得： ，解得 ， ，由直线 的方程为： ． ．可得 ， ．当且仅当 时取等号．设 ， ， ．利用余弦定理进而得出．
2.已知向量 ， ，则 与 的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用夹角公式进行计算．
【详解】由条件可知， ， ，
所以 ，故 与 的夹角为 ．
故选： ．
【点睛】本题考查了运用平面向量数量积运算求解向量夹角问题，熟记公式准确计算是关键，属于基础题．
3.等比数列 的前 项和为 ，己知 ， ，则 （ ）
【详解】如图所示，
对于 ， 为直角三角形， 为斜边 上的中线， 为定长，线段 划过的曲面为顶点为N,ON为母线， AM中点为底面圆心，且半径为 的圆锥侧面，下面证明：
过O作OE⊥BD, ,连接AE,则AE⊥BD,AM⊥CD,故AE=AM，∴ ∴OE=OM,故四边形DEOM为正方形，设∠AMO= 故线段 划过的曲面为整个圆锥面，又 AM=1,故圆锥底面半径为 ,故圆锥侧面积为 A正确；