2021年普通高等学校招生全国统一考试( 新高考 I 卷) 数学(含答案)
2021年高考全国乙卷数学(理科)试题及答案解析
2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设2(z+z−)+3(z−z−)=4+6i，则z=()A. 1−2iB. 1+2iC. 1+iD. 1−i2.已知集合S={s|s=2n+1,n∈Z}，T={t|t=4n+1,n∈Z}，则S∩T=()A. ⌀B. SC. TD. Z3.已知命题p：∃x∈R，sinx<1；命题q：∀x∈R，e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是()A. p∧qB. ￢p∧qC. p∧￢qD. ￢(p∨q)4.设函数f(x)=1−x1+x，则下列函数中为奇函数的是()A. f(x−1)−1B. f(x−1)+1C. f(x+1)−1D. f(x+1)+15.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为()A. π2B. π3C. π4D. π66.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有()A. 60种B. 120种C. 240种D. 480种7.把函数y=f(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y=sin(x−π4)的图像，则f(x)=()A. sin(x2−7π12) B. sin(x2+π12) C. sin(2x−7π12) D. sin(2x+π12)8.在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数，则两数之和大于74的概率为()A. 79B. 2332C. 932D. 299.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高.如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB=()A. B.C. D.10.设a≠0，若x=a为函数f(x)=a(x−a)2(x−b)的极大值点，则()A. a<bB. a>bC. ab<a2D. ab>a211.设B是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是()A. [√22,1) B. [12,1) C. (0,√22] D. (0,12]12.设a=2ln1.01，b=ln1.02，c=√1.04−1，则()A. a<b<cB. b<c<aC. b<a<cD. c<a<b二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知双曲线C：x2m−y2=1(m>0)的一条渐近线为√3x+my=0，则C的焦距为______ ．14.已知向量a⃗=(1,3)，b⃗ =(3,4)，若(a⃗−λb⃗ )⊥b⃗ ，则λ=______ ．15.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为√3，B=60°，a2+c2=3ac，则b=______ ．16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为______ (写出符合要求的一组答案即可)．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x−和y−，样本方差分别记为s12和s22．(1)求x−，y−，s12，s22；(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果y−−x−≥，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不2√s12+s2210认为有显著提高)．18.如图，四棱锥P−ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，M为BC中点，且PB⊥AM．(1)求BC；(2)求二面角A−PM−B的正弦值．19.记S n为数列{a n}的前n项和，b n为数列{S n}的前n项积，已知2Sn +1b n=2．(1)证明：数列{b n}是等差数列；(2)求{a n}的通项公式．20.己知函数f(x)=ln(a−x)，已知x=0是函数y=xf(x)的极值点．(1)求a；(2)设函数g(x)=x+f(x)xf(x).证明：g(x)<1．21.已知抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，且F与圆M：x2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4．(1)求p；(2)若点P在M上，PA，PB为C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值．22.在直角坐标系xOy中，⊙C的圆心为C(2,1)，半径为1．(1)写出⊙C的一个参数方程；(2)过点F(4,1)作⊙C的两条切线.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．23.已知函数f(x)=|x−a|+|x+3|．(1)当a=1时，求不等式f(x)≥6的解集；(2)若f(x)>−a，求a的取值范围．答案解析1.【答案】C【解析】解：设z =a +bi ，a ，b 是实数， 则z −=a −bi ，则由2(z +z −)+3(z −z −)=4+6i ， 得2×2a +3×2bi =4+6i ， 得4a +6bi =4+6i ， 得{4a =46b =6，得a =1，b =1， 即z =1+i ， 故选：C ．利用待定系数法设出z =a +bi ，a ，b 是实数，根据条件建立方程进行求解即可． 本题主要考查复数的基本运算，利用待定系数法建立方程是解决本题的关键，是基础题．2.【答案】C【解析】解：当n 是偶数时，设n =2k ，则s =2n +1=4k +1， 当n 是奇数时，设n =2k +1，则s =2n +1=4k +3，k ∈Z ， 则T ⊊S ， 则S ∩T =T ， 故选：C ．分别讨论当n 是偶数、奇数时的集合元素情况，结合集合的基本运算进行判断即可． 本题主要考查集合的基本运算，利用分类讨论思想结合交集定义是解决本题的关键，是基础题．3.【答案】A【解析】解：对于命题p ：∃x ∈R ，sinx <1，当x =0时，sinx =0<1，故命题p 为真命题，￢p 为假命题； 对于命题q ：∀x ∈R ，e |x|≥1，因为|x|≥0，又函数y =e x 为单调递增函数，故e |x|≥e 0=1， 故命题q 为真命题，￢q 为假命题，所以p ∧q 为真命题，￢p ∧q 为假命题，p ∧￢q 为假命题，￢(p ∨q)为假命题，故选：A．先分别判断命题p和命题q的真假，然后由简单的复合命题的真假判断法则进行判断，即可得到答案．本题考查了命题真假的判断，解题的关键是掌握全称命题和存在性命题真假的判断方法，考查了逻辑推理能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：因为f(x)=1−x1+x =−(x+1)+21+x=−1+2x+1，所以函数f(x)的对称中心为(−1,−1)，所以将函数f(x)向右平移一个单位，向上平移一个单位，得到函数y=f(x−1)+1，该函数的对称中心为(0,0)，故函数y=f(x−1)+1为奇函数．故选：B．先根据函数f(x)的解析式，得到f(x)的对称中心，然后通过图象变换，使得变换后的函数图象的对称中心为(0,0)，从而得到答案．本题考查了函数奇偶性和函数的图象变换，解题的关键是确定f(x)的对称中心，考查了逻辑推理能力，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：∵AD1//BC1，∴∠PBC1是直线PB与AD1所成的角(或所成角的补角)，设正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，则PB1=PC1=12√22+22=√2，BC1=√22+22=2√2，BP=√22+(√2)2=√6，∴cos∠PBC1=PB2+BC12−PC122×PB×BC1=6+8−22×√6×2√2=√32，∴∠PBC1=π6，∴直线PB与AD1所成的角为π6．故选：D．由AD1//BC1，得∠PBC1是直线PB与AD1所成的角(或所成角的补角)，由此利用余弦定理，求出直线PB与AD1所成的角．本题考查异面直线所成角和余弦定理，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】C【解析】解：5名志愿者选2个1组，有C 52种方法，然后4组进行全排列，有A 44种， 共有C 52A 44=240种，故选：C ．5分先选2人一组，然后4组全排列即可．本题主要考查排列组合的应用，利用先分组后排列的方法是解决本题的关键，是基础题．7.【答案】B【解析】解：∵把函数y =f(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变， 再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y =sin(x −π4)的图像， ∴把函数y =sin(x −π4)的图像，向左平移π3个单位长度， 得到y =sin(x +π3−π4)=sin(x +π12)的图像；再把图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变， 可得f(x)=sin(12x +π12)的图像． 故选：B ．由题意利用函数y =Asin(ωx +φ)的图像变换规律，得出结论． 本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图像变换规律，属基础题．8.【答案】B【解析】解：由题意可得可行域：{0<x <11<y <2x +y >74，可得三角形的面积=12×34×34=932， 1−932=2332． 故选：B ．由题意可得可行域：{0<x <11<y <2x +y >74，可得三角形的面积，结合几何概型即可得出结论．本题考查了线性规划知识、三角形的面积、几何概型、对立事件的概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：DEAB =EHAH，FGBA=CGCA，故EHAH =CGCA，即EHAE+EH=CGAE+EG+GC，解得：AE=EH⋅EGCG−EH，AH=AE+EH，故：AB=DE⋅AHEH =DE(AE+EH)EH=DE⋅EGCG−EH+DE．故选：A．根据相似三角形的性质、比例的性质、直角三角形的边角关系即可得出．本题考查了相似三角形的性质、比例的性质、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：令f(x)=0，解得x=a或x=b，即x=a及x=b是f(x)的两个零点，当a>0时，由三次函数的性质可知，要使x=a是f(x)的极大值点，则函数f(x)的大致图象如下图所示，则0<a<b；当a<0时，由三次函数的性质可知，要使x=a是f(x)的极大值点，则函数f(x)的大致图象如下图所示，则b<a<0；综上，ab>a2．故选：D．分a>0及a<0，结合三次函数的性质及题意，通过图象发现a，b的大小关系，进而得出答案．本题考查三次函数的图象及性质，考查导数知识的运用，考查数形结合思想，属于中档题．11.【答案】C【解析】解：点B的坐标为(0,b)，因为C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，所以点P的轨迹可以看成以B为圆心，2b为半径的圆与椭圆至多只有一个交点，即{x2a2+y2b2=1x2+(y−b)2=4b2至多一个解，消去x，可得b2−a2 b2y2−2by+a2−3b2=0，∴△=4b2−4⋅b2−a2b2⋅(a2−3b2)≤0，整理可得4b4−4a2b2+a4≤0，即(a2−2b2)2≤0，解得a2=2b2，∴e=√1−b2a2=√22，故e的范围为(0,√22]，故选：C．由题意可得{x2a2+y2b2=1x2+(y−b)2=4b2至多一个解，根据判别式即可得到a与b的关系式，再求出离心率的取值范围．本题考查了椭圆的方程和性质，考查了运算求解能力和转化与化归思想，属于中档题．12.【答案】B【解析】解：∵a=2ln1.01=ln1.0201，b=ln1.02，∴a>b，令f(x)=2ln(1+x)−(√1+4 x−1)，0<x<1，令√1+4 x=t，则1<t<√5∴x= t2−14，∴g(t)=2ln(t2+34)−t+1=2ln(t2+3)−t+1−2ln4，∴g′(t)=4tt2+3−1=4t−t2−3t2+3=−(t−1)(t−3)t2+3>0，∴g(t)在(1,√5)上单调递增，∴g(t)>g(1)=2ln4−1+2ln4=0，∴f(x)>0，∴a>c，同理令ℎ(x)=ln(1+2x)−(√1+4 x−1)，再令√1+4 x=t，则1<t<√5∴x= t2−14，∴φ(t)=ln(t2+12)−t+1=ln(t2+1)−t+1−ln2，∴φ′(t)=2tt2+1−1=−(t−1)2t2+1<0，∴φ(t)在(1,√5)上单调递减，∴φ(t)<φ(1)=ln2−1+1−ln2=0，∴ℎ(x)<0，∴c>b，∴a>c>b．故选：B．构造函数f(x)=2ln(1+x)−(√1+4 x−1)，0<x<1，ℎ(x)=ln(1+2x)−(√1+4 x−1)，利用导数和函数的单调性即可判断．本题考查了不等式的大小比较，导数和函数的单调性和最值的关系，考查了转化思想，属于难题．13.【答案】4【解析】解：根据题意，双曲线C：x2m−y2=1(m>0)的一条渐近线为√3x+my=0，则有√3=√m，解可得m=3，则双曲线的方程为x23−y2=1，则c=√3+1=2，其焦距2c=4；故答案为：4．根据题意，由双曲线的性质可得√3=√m，解可得m的值，即可得双曲线的标准方程，据此计算c的值，即可得答案．本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的渐近线方程的分析，属于基础题．14.【答案】35【解析】解：因为向量a⃗=(1,3)，b⃗ =(3,4)，则a⃗−λb⃗ =(1−3λ,3−4λ)，又(a⃗−λb⃗ )⊥b⃗ ，所以(a⃗−λb⃗ )⋅b⃗ =3(1−3λ)+4(3−4λ)=15−25λ=0，解得λ=35．故答案为：35．利用向量的坐标运算求得a⃗−λb⃗ =(1−3λ,3−4λ)，再由(a⃗−λb⃗ )⊥b⃗ ，可得(a⃗−λb⃗ )⋅b⃗ =0，即可求解λ的值．本题主要考查数量积的坐标运算，向量垂直的充要条件，考查方程思想与运算求解能力，属于基础题．15.【答案】2√2【解析】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为√3，B=60°，a2+c2=3ac，∴12acsinB=√3⇒12ac×√32=√3⇒ac=4⇒a2+c2=12，又cosB=a2+c2−b22ac ⇒12=12−b28⇒b=2√2，(负值舍)故答案为：2√2．由题意和三角形的面积公式以及余弦定理得关于b的方程，解方程可得．本题考查三角形的面积公式以及余弦定理的应用，属基础题．16.【答案】②⑤或③④【解析】解：观察正视图，推出正视图的长为2和高1，②③图形的高也为1，即可能为该三棱锥的侧视图，④⑤图形的长为2，即可能为该三棱锥的俯视图，当②为侧视图时，结合侧视图中的直线，可以确定该三棱锥的俯视图为⑤，当③为侧视图时，结合侧视图虚线，虚线所在的位置有立体图形的轮廓线，可以确定该三棱锥的俯视图为④．故答案为：②⑤或③④．通过观察已知条件正视图，确定该正视图的长和高，结合长、高、以及侧视图视图中的实线、虚线来确定俯视图图形．该题考查了三棱锥的三视图，需要学生掌握三视图中各个图形边长的等量关系，以及对于三视图中特殊线条能够还原到原立体图形中，需要较强空间想象，属于中等题．17.【答案】解：(1)由题中的数据可得，x−=110×(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+ 10.0+10.1+10.2+9.7)=10，y−=110×(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3，s12=110×[(9.8−10)2+(10.3−10)2+(10−10)2+(10.2−10)2+(9.9−10)2 +(9.8−10)2+(10−10)2+(10.1−10)2+(10.2−10)2+(9.7−10)2]=0.036；s22=110×[(10.1−10.3)2+(10.4−10.3)2+(10.1−10.3)2+(10.0−10.3)2+(10.1−10.3)2+(10.3−10.3)2+(10.6−10.3)2+(10.5−10.3)2+(10.4−10.3)2+(10.5−10.3)2]=0.04；(2)y−−x−=10.3−10=0.3，2√s12+s2210=2√0.036+0.0410=2√0.0076≈0.174，所以y−−x−>2√s12+s2210，故新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高．【解析】(1)利用平均数和方差的计算公式进行计算即可；(2)比较y−−x−与2√s12+s2210的大小，即可判断得到答案．本题考查了样本特征数的计算，解题的关键是掌握平均数与方差的计算公式，考查了运算能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)连结BD，因为PD⊥底面ABCD，且AM⊂平面ABCD，则AM⊥PD，又AM⊥PB，PB∩PD=P，PB，PD⊂平面PBD ，所以AM ⊥平面PBD ，又BD ⊂平面PBD ，则AM ⊥BD ， 所以∠ABD +∠DAM =90°，又∠DAM +∠MAB =90°， 则有∠ADB =∠MAB ，所以Rt △DAB∽Rt △ABM ， 则ADAB =BABM ，所以12BC 2=1，解得BC =√2；(2)因为DA ，DC ，DP 两两垂直，故以点D 为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示， 则A(√2,0,0),B(√2,1,0),M(√22,1,0)，P(0,0，1)，所以AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√2,0,1)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√22,1,0),BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√22,0,0),BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√2,−1,1)， 设平面AMP 的法向量为n⃗ =(x,y,z)， 则有{n ⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−√2x +z =0−√22x +y =0， 令x =√2，则y =1，z =2，故n ⃗ =(√2,1,2)， 设平面BMP 的法向量为m⃗⃗⃗ =(p,q,r)， 则有{m ⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−√22p =0−√2p −q +r =0， 令q =1，则r =1，故m ⃗⃗⃗ =(0,1,1)， 所以|cos <n ⃗ ,m ⃗⃗⃗ >|=|n ⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |=3√7×√2=3√1414， 设二面角A −PM −B 的平面角为α，则sinα=√1−cos 2α=√1−cos 2<n ⃗ ,m ⃗⃗⃗ >=√1−(3√1414)2=√7014，所以二面角A −PM −B 的正弦值为√7014．【解析】(1)连结BD ，利用线面垂直的性质定理证明AM ⊥PD ，从而可以证明AM ⊥平面PBD ，得到AM ⊥BD ，证明Rt △DAB∽Rt △ABM ，即可得到BC 的长度； (2)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式以及同角三角函数关系求解即可．本题考查了空间中线段长度求解以及二面角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．19.【答案】解：(1)证明：当n =1时，b 1=S 1，由2b 1+1b 1=1，解得b 1=32，当n ≥2时，b nbn−1=S n ，代入2S n+1b n=2，消去S n ，可得2 b n−1b n+1b n=2，所以b b −b n−1=12，所以{b n }是以32为首项，12为公差的等差数列． (2)由题意，得a 1=S 1=b 1=32， 由(1)，可得b n =32+(n −1)×12=n+22，由2S n+1b n=2，可得S n =n+2n+1，当n ≥2时，a n =S n −S n−1= n+2n+1−n+1n=−1n(n+1)，显然a 1不满足该式，所以a n ={32,n =1−1n(n+1),n ≥2．【解析】(1)由题意当n =1时，b 1=S 1，代入已知等式可得b 1的值，当n ≥2时，将b nb n−1=S n ，代入2S n+1b n=2，可得b b −b n−1=12，进一步得到数列{b n }是等差数列；(2)由a 1=S 1=b 1=32，可得b n =n+22，代入已知等式可得S n =n+2n+1，当n ≥2时，a n =S n −S n−1=−1n(n+1)，进一步得到数列{a n }的通项公式．本题考查了等差数列的概念，性质和通项公式，考查了方程思想，是基础题．20.【答案】(1)解：由题意，f(x)的定义域为(−∞,a)，令g(x)=xf(x)，则g(x)=xln(a −x)，x ∈(−∞,a)， 则g′(x)=ln(a −x)+x ⋅−1a−x =ln(a −x)+−xa−x ，因为x =0是函数y =xf(x)的极值点，则有g′(x)=0，即lna =0，所以a =1， 当a =1时，g′(x)=ln(1−x)+−x1−x =ln(1−x)+−11−x +1，且g′(0)=0， 因为g′′(x)=−11−x +−1(1−x)2=x−2(1−x)2<0， 则g′(x)在(−∞,1)上单调递减， 所以当x ∈(−∞,a)时，g′(x)>0， 当x ∈(0,1)时，g′(x)<0，所以a =1时，x =0时函数y =xf(x)的一个极大值． 综上所述，a =1；(2)证明：由(1)可知，xf(x)=xln(1−x)，要证x+f(x)xf(x)<1，即需证明x+ln(1−x)xln(1−x)<1，因为当x∈(−∞,0)时，xln(1−x)<0，当x∈(0,1)时，xln(1−x)<0，所以需证明x+ln(1−x)>xln(1−x)，即x+(1−x)ln(1−x)>0，令ℎ(x)=x+(1−x)ln(1−x)，则ℎ′(x)=(1−x)⋅−11−x+1−ln(1−x)，所以ℎ′(0)=0，当x∈(−∞,0)时，ℎ′(x)<0，当x∈(0,1)时，ℎ′(x)>0，所以x=0为ℎ(x)的极小值点，所以ℎ(x)>ℎ(0)=0，即x+ln(1−x)>xln(1−x)，故x+ln(1−x)xln(1−x)<1，所以x+f(x)xf(x)<1．【解析】(1)确定函数f(x)的定义域，令g(x)=xf(x)，由极值的定义得到g′(x)=0，求出a的值，然后进行证明，即可得到a的值；(2)将问题转化为证明x+ln(1−x)xln(1−x)<1，进一步转化为证明x+ln(1−x)>xln(1−x)，令ℎ(x)=x+(1−x)ln(1−x)，利用导数研究ℎ(x)的单调性，证明ℎ(x)>ℎ(0)，即可证明．本题考查了导数的综合应用，主要考查了利用导数研究函数的极值问题，利用导数证明不等式问题，此类问题经常构造函数，转化为证明函数的取值范围问题，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于难题．21.【答案】解：(1)点F(0,p2)到圆M上的点的距离的最小值为|FM|−1=p2+4−1=4，解得p=2；(2)由(1)知，抛物线的方程为x2=4y，即y=14x2，则y′=12x，设切点A(x1,y1)，B(x2,y2)，则易得l PA：y=x12x−x124,l PB：y=x22x−x224，从而得到P(x1+x22,x1x24)，设l AB：y=kx+b，联立抛物线方程，消去y并整理可得x2−4ky−4b=0，∴△=16k2+16b>0，即k2+b>0，且x1+x2=4k，x1x2=−4b，∴P(2k,−b)，∵|AB|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2⋅√16k 2+16b ，d p→AB =2√k 2+1，∴S △PAB =12|AB|d =4(k 2+b)32①，又点P(2k,−b)在圆M ：x 2+(y +4)2=1上，故k 2=1−(b−4)24，代入①得，S △PAB =4(−b 2+12b−154)32，而y p =−b ∈[−5,−3]，∴当b =5时，(S △PAB )max =20√5．【解析】(1)由点F 到圆M 上的点最小值为4建立关于p 的方程，解出即可； (2)对y =14x 2求导，由导数的几何意义可得出直线PA 及PB 的方程，进而得到点P 的坐标，再将AB 的方程与抛物线方程联立，可得P(2k,−b)，|AB|以及点P 到直线AB 的距离，进而表示出△PAB 的面积，再求出其最小值即可．本题考查圆锥曲线的综合运用，考查直线与抛物线的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)⊙C 的圆心为C(2,1)，半径为1，则⊙C 的标准方程为(x −2)2+(y −1)2=1， ⊙C 的一个参数方程为{x =2+cosθy =1+sinθ(θ为参数)．(2)由题意可知两条切线方程斜率存在，设切线方程为y −1=k(x −4)，即kx −y −4k +1=0， 圆心C(2,1)到切线的距离d =√k 2+1=1，解得k =±√33，所以切线方程为y =±√33(x −4)+1，因为x =ρcosθ，y =ρsinθ，所以这两条切线的极坐标方程为ρsinθ=±√33(ρcosθ−4)+1．【解析】(1)求出⊙C 的标准方程，即可求得⊙C 的参数方程；(2)求出直角坐标系中的切线方程，再由x =ρcosθ，y =ρsinθ即可求解这两条切线的极坐标方程．本题主要考查圆的参数方程，普通方程与极坐标方程的转化，考查运算求解能力，属于基础题．23.【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=|x−1|+|x+3|={−2x−2,x≤−3 4,−3<x<12x+2,x≥1，∵f(x)≥6，∴{x≤−3−2x−2≥6或{−3<x<1 4≥6或{x≥12x+2≥6，∴x≤−4或x≥2，∴不等式的解集为(−∞,−4]∪[2,+∞)．(2)f(x)=|x−a|+|x+3|≥|x−a−x−3|=|a+3|，若f(x)>−a，则|a+3|>−a，两边平方可得a2+6a+9>a2，解得a>−32，即a的取值范围是(−32,+∞)．【解析】(1)将a=1代入f(x)中，根据f(x)≥6，利用零点分段法解不等式即可；(2)利用绝对值三角不等式可得f(x)≥|a+3|，然后根据f(x)>−a，得到|a+3|>−a，求出a的取值范围．本题主要考查绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题．。
2021年全国新高考Ⅰ、II卷数学试题(解析版)
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将式子进行齐次化处理，代入 即可得到结果．
【详解】将式子进行齐次化处理得：
．
故选：C．
【点睛】易错点睛：本题如果利用 ，求出 的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．
7.若过点 可以作曲线 的两条切线，则（）
【答案】(1).5(2).
【解析】
【分析】（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得 ，再根据错位相减法得结果.
【详解】（1）对折 次可得到如下规格： ， ， ， ， ，共 种；
（2）由题意可得 ， ， ， ， ， ，
设 ，
则 ，
两式作差得
，
因此， .
故答案为： ； .
【点睛】方法点睛：数列求和 常用方法：
【详解】因为函数 的单调递增区间为 ，
对于函数 ，由 ，
解得 ，
取 ，可得函数 的一个单调递增区间为 ，
则 ， ，A选项满足条件，B不满足条件；
取 ，可得函数 的一个单调递增区间为 ，
且 ， ，CD选项均不满足条件.
故选：A.
【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成 形式，再求 的单调区间，只需把 看作一个整体代入 的相应单调区间内即可，注意要先把 化为正数．
【详解】圆 的圆心为 ，半径为 ，
直线 的方程为 ，即 ，
圆心 到直线 的距离为 ，
所以，点 到直线 的距离的最小值为 ，最大值为 ，A选项正确，B选项错误；
如下图所示：
当 最大或最小时， 与圆 相切，连接 、 ，可知 ，
， ，由勾股定理可得 ，CD选项正确.
故选：ACD.
2021年全国新高考Ⅰ卷高考数学中真题试卷及答案解析【完整版】
2021年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．设集合A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝（）A．{2}B．{2，3}C．{3，4}D．{2，3，4} 2．已知z＝2﹣i，则z（+i）＝（）A．6﹣2i B．4﹣2i C．6+2i D．4+2i3．已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A．2B．2C．4D．44．下列区间中，函数f（x）＝7sin（x﹣）单调递增的区间是（）A．（0，）B．（，π）C．（π，）D．（，2π）5．已知F1，F2是椭圆C：+＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|•|MF2|的最大值为（）A．13B．12C．9D．66．若tanθ＝﹣2，则＝（）A．﹣B．﹣C．D．7．若过点（a，b）可以作曲线y＝e x的两条切线，则（）A．e b＜a B．e a＜b C．0＜a＜e b D．0＜b＜e a8．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A．甲与丙相互独立B．甲与丁相互独立C．乙与丙相互独立D．丙与丁相互独立二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．有一组样本数据x1，x2，…，x n，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，y n，其中y i＝x i+c（i＝1，2，…，n），c为非零常数，则（）A．两组样本数据的样本平均数相同B．两组样本数据的样本中位数相同C．两组样本数据的样本标准差相同D．两组样本数据的样本极差相同10．已知O为坐标原点，点P1（cosα，sinα），P2（cosβ，﹣sinβ），P3（cos（α+β），sin （α+β）），A（1，0），则（）A．||＝||B．||＝||C．•＝•D．•＝•11．已知点P在圆（x﹣5）2+（y﹣5）2＝16上，点A（4，0），B（0，2），则（）A．点P到直线AB的距离小于10B．点P到直线AB的距离大于2C．当∠PBA最小时，|PB|＝3D．当∠PBA最大时，|PB|＝312．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝1，点P满足＝λ+μ，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则（）A．当λ＝1时，△AB1P的周长为定值B．当μ＝1时，三棱锥P﹣A1BC的体积为定值C．当λ＝时，有且仅有一个点P，使得A1P⊥BPD．当μ＝时，有且仅有一个点P，使得A1B⊥平面AB1P三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
新课标Ⅰ高考数学理科真题试卷(含答案)
绝密(juémì)★启封(qǐ fēnɡ)并使用完毕前试题(shìtí)类型：A 2021年普通高等学校招生全国(quán ɡuó)统一考试理科(lǐkē)数学考前须知：1.本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部.第一卷1至3页，第二卷3至5页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第一卷一.选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.〔1〕设集合，，那么〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔2〕设，其中x，y是实数，那么〔A〕1〔B〕〔C〕〔D〕2〔3〕等差数列前9项的和为27，，那么〔A〕100〔B〕99〔C〕98〔D〕97〔4〕某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，学.科网小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，那么他等车时间不超过10分钟的概率是〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔5〕方程–=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，那么n的取值范围是〔A〕(–1,3) 〔B〕(–1,3) 〔C〕(0,3) 〔D〕(0,3)〔6〕如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.假设该几何体的体积是，那么它的外表积是〔A〕17π〔B〕18π〔C〕20π〔D〕28π〔7〕函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔8〕假设(jiǎshè)，那么(nà me)〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔9〕执行右面(yòumiàn)的程序图，如果输入的，那么(nà me)输出x，y的值满足(mǎnzú)〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕(10)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的标准线于D、E两点.|AB|=，|DE|=，那么C的焦点到准线的距离为(A)2 (B)4 (C)6 (D)8(11)平面a过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，a//平面CB1D1，平面ABCD=m，a 平面ABA1B1=n，那么m、n所成角的正弦值为(A)(B) (C) (D)12.函数(hánshù)为的零点(línɡ diǎn)，为图像(tú xiànɡ)的对称轴，且()f x在单调(dāndiào)，那么的最大值为〔A〕11 〔B〕9 〔C〕7 〔D〕5第II卷本卷包括必考题(kǎo tí)和选考题两局部.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每题5分(13)设向量a=(m，1)，b=(1，2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，那么m=.(14)的展开式中，x3的系数是.〔用数字填写答案〕〔15〕设等比数列满足a1+a3=10，a2+a4=5，那么a1a2…a n的最大值为。
2021高考全国卷I 理数(含答案)
2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共4页，23小题，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则=A ．}{43x x -<<B ．}42{x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<2．设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则 A ．22+11()x y +=B ．221(1)x y +=-C ．22(1)1y x +-=D ．22(+1)1y x +=3．已知0.20.32 log 0.220.2a b c ===，，，则 A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512-（512-≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512-．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190 cm5．函数f (x )=在的图像大致为．6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A ．516B ．1132C ．2132D ．11167．已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为 A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π68．如图是求的程序框图，图中空白框中应填入2sin cos ++x xx xA ．A =12A+ B ．A =12A+C ．A =112A+D ．A =112A+9．记为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A ．25n a n =-B ． 310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =- 1022||F B ，|A 11①f ③f A 12E ，F 分别是A13n S14．记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若214613a a a ==，，则S 5=____________．15．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．16．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB=，120FB F B ⋅=，则C 的离心率为____________．三、解答题：共70分。
2021年高考试题真题——数学(新高考全国Ⅰ卷) Word版含解析
2021年普通高等学校招生全国统一考试数学本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型(A )填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}24A x x =-<<，{}2,3,4,5B =，则A B =（ ）A. {}2B. {}2,3C. {}3,4D.{}2,3,42. 已知2i z =-，则()i z z +=（ ） A. 62i -B. 42i -C. 62i +D. 42i +3. ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）A. 2B. C. 4D. 4. 下列区间中，函数()7sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭单调递增的区间是（ ） A. 0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B. ,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C. 3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭5. 已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ） A. 13B. 12C. 9D. 66. 若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（ ）A. 65-B. 25-C.25D.657. 若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则（ ） A. e b a < B. e a b < C. 0e b a <<D. 0e a b <<8. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ） A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立D. 丙与丁相互独立二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 有一组样本数据1x ，2x ，…，n x ，由这组数据得到新样本数据1y ，2y ，…，n y ，其中i i y x c =+(1,2,,),i n c =⋅⋅⋅为非零常数，则（ ）A. 两组样本数据的样本平均数相同B. 两组样本数据样本中位数相同C. 两组样本数据的样本标准差相同D. 两组样数据的样本极差相同10. 已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()3cos ,sin P αβαβ++，1,0A ，则（ ）A. 12OP OP =B. 12AP AP =C. 312OA OP OP OP ⋅=⋅ D. 123OA OP OP OP ⋅=⋅ 11. 已知点P 在圆()()225516x y -+-=上，点()4,0A 、()0,2B ，则（ ） A. 点P 到直线AB 的距离小于10 B. 点P 到直线AB 的距离大于2 C. 当PBA ∠最小时，PB =D. 当PBA ∠最大时，PB =12.正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB λμ=+，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，则（ ）A. 当1λ=时，1AB P △的周长为定值B. 当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值C. 当12λ=时，有且仅有一个点P ，使得1A P BP ⊥ D. 当12μ=时，有且仅有一个点P ，使得1A B ⊥平面1AB P 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知函数()()322xx xa f x -=⋅-是偶函数，则a =______.14. 已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则C 的准线方程为______.15. 函数()212ln f x x x =--的最小值为______.16. 某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dm 12dm ⨯的长方形纸，对折1次共可以得到10dm 12dm ⨯，20dm 6dm ⨯两种规格的图形，它们的面积之和21240dm S =，对折2次共可以得到5dm 12dm ⨯，10dm 6dm ⨯，20dm 3dm ⨯三种规格的图形，它们的面积之和22180dm S =，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折n 次，那么1nkk S==∑______2dm .四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17. 已知数列{}n a 满足11a =，11,,2,.n n n a n a a n ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数（1）记2n n b a =，写出1b ，2b ，并求数列{}n b 的通项公式； （2）求{}n a 的前20项和.18. 某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A ，B 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A 类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B 类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A 类问题的概率为0.8，能正确回答B 类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若小明先回答A 类问题，记X 为小明的累计得分，求X 的分布列； （2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.19. 记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=.（1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠.20. 如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点.（1）证明：OA CD ⊥；（2）若OCD 是边长为1的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =，且二面角E BC D --的大小为45︒，求三棱锥A BCD -的体积.21. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1F 、)2122F MF MF -=，点M的轨迹为C . （1）求C 的方程； （2）设点T 在直线12x =上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q 两点，且TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.22. 已知函数()()1ln f x x x =-. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：112e a b<+<.2021年普通高等学校招生全国统一考试数学 答案解析一､选择题：1. B 解析：由题设有{}2,3A B ⋂=， 故选B . 2. C 解析：因为2z i =-，故2z i =+，故()()()2222=4+42262z z i i i i i i i +=-+--=+故选C. 3. B 解析：设圆锥的母线长为l ，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则2l ππ=，解得l =故选B.4. A 解析：因为函数sin y x =的单调递增区间为()22,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭， 对于函数()7sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，由()22262k x k k Z πππππ-<-<+∈，解得()22233k x k k Z ππππ-<<+∈， 取0k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为2,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭， 则20,,233πππ⎛⎫⎛⎫⊆- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 选项满足条件，B 不满足条件； 取1k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为58,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭， 32,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且358,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，358,2,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，CD 选项均不满足条件 故选A. 5. C 解析：由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）． 故选C ． 6. C 解析：将式子进行齐次化处理得：()()()22sin sin cos 2sin cos sin 1sin 2sin sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθ+++==+++()2222sin sin cos tan tan 422sin cos 1tan 145θθθθθθθθ++-====+++． 故选：C ． 7. D 解析：在曲线xy e =上任取一点(),tP t e，对函数xy e=求导得e x y '=，所以，曲线xy e =在点P 处的切线方程为()tty e e x t -=-，即()1tty e x t e =+-，由题意可知，点(),a b 在直线()1tty e x t e =+-上，可得()()11tttb ae t e a t e =+-=+-，令()()1t f t a t e =+-，则()()t f t a t e '=-.当t a <时，()0f t '>，此时函数()f t 单调递增， 当t a >时，()0f t '<，此时函数()f t 单调递减， 所以，()()max af t f a e ==，由题意可知，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点，则()max ab f t e <=，当1t a <+时，()0f t >，当1t a >+时，()0f t <，作出函数()f t 的图象如下图所示：由图可知，当0a b e <<时，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点. 故选D.解法二：画出函数曲线xy e =的图象如图所示，根据直观即可判定点(),a b 在曲线下方和x轴上方时才可以作出两条切线.由此可知0a b e <<.故选D. 8. B 解析：11561()()()()6636366P P P P =====甲，乙，丙，丁， ，1()0()()()()()36P P P P P P =≠==甲丙甲丙，甲丁甲丁，1()()()()0()()36P P P P P P =≠=≠乙丙乙丙，丙丁丁丙，故选B二､选择题：9. CD 解析：()()()()D y D x D c D x =+=，故方差相同，C 正确；由极差的定义知：若第一组的极差为max min x x -，则第二组的极差为max min max min max min ()()y y x c x c x x -=+-+=-，故极差相同，D 正确；故选CD 10. AC 解析：A 项，1(cos ,sin )OP αα=，2(cos ,sin )OP ββ=-，所以1||cos 1OP ==，2||(cos 1OP ==，故12||||OP OP =，正确；C 项，由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+，12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+，正确；故选AC 11. ACD 解析：圆()()225516x y -+-=的圆心为()5,5M ，半径为4，直线AB 的方程为142x y+=，即240x y +-=，圆心M 到直线AB45==>，所以，点P 到直线AB 的距离的最小值为425-<410<，A 选项正确； 如下图所示：当PBA ∠最大或最小时，PB 与圆M 相切，连接MP 、BM ，可知PM PB ⊥，()()22052534BM =-+-=，4MP =，由勾股定理可得2232BP BM MP =-=，CD 选项正确.故选ACD. 12. BD 解析：易知，点P 在矩形11BCC B 内部（含边界）．对于B ，当1μ=时，1111=BP BC BB BB BC λλ=++，故此时P 点轨迹为线段11B C ，而11//B C BC ，11//B C 平面1A BC ，则有P 到平面1A BC 的距离为定值，所以其体积为定值，故B 正确．对于D ，当12μ=时，112BP BC BB λ=+，取1BB ，1CC 中点为,M N ．BP BM MN λ=+，所以P 点轨迹为线段MN ．设010,,2P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为0,02A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以01,22AP y ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，11,122A B ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，所以00311104222y y +-=⇒=-，此时P 与N 重合，故D 正确． 故选BD ．三､填空题：13. 答案：1 解析： 因为()()322xx xa f x -=⋅-，故()()322x x f x x a --=-⋅-，因为()f x 为偶函数，故()()f x f x -=， 时()()332222xx x x xa x a --⋅-=-⋅-，整理得到()()12+2=0x x a --，故1a =， 故答案为1 14. 答案：32x =- 解析：抛物线C ：22y px = (0p >)的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭, ∵P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直， 所以P 的横坐标为2p，代入抛物线方程求得P 的纵坐标为p ±, 不妨设(,)2pP p , 因为Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，所以Q 在F 的右侧， 又||6FQ =，(6,0),(6,)2pQ PQ p ∴+∴=- 因为PQ OP ⊥，所以PQ OP ⋅=2602pp ⨯-=, 0,3p p >∴=，所以C 的准线方程为32x =- 故答案为32x =-. 15. 答案：1 解析：由题设知：()|21|2ln f x x x =--定义域为(0,)+∞， ∴当102x <≤时，()122ln f x x x =--，此时()f x 单调递减； 当112x <≤时，()212ln f x x x =--，有2()20f x x'=-≤，此时()f x 单调递减； 当1x >时，()212ln f x x x =--，有2()20f x x'=->，此时()f x 单调递增； 又()f x 在各分段的界点处连续，∴综上有：01x <≤时，()f x 单调递减，1x >时，()f x 单调递增； ∴()(1)1f x f ≥= 故答案为1. 16.答案： (1). 5 (2). ()41537202n n -+-解析：（1）由对折2次共可以得到5dm 12dm ⨯，10dm 6dm ⨯，20dm 3dm ⨯三种规格的图形，所以对着三次的结果有：5312561032022⨯⨯⨯⨯，，；，共4种不同规格（单位2dm )； 故对折4次可得到如下规格：5124⨯，562⨯，53⨯，3102⨯，3204⨯，共5种不同规格；（2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格如何，其面积成公比为12的等比数列，首项为120()2dm ,第n 次对折后的图形面积为111202n -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，对于第n 此对折后的图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为1n +种（证明从略），故得猜想1120(1)2n n n S -+=，设()0121112011202120312042222nk n k n S S -=+⨯⨯⨯==++++∑，则121112021203120120(1)22222n nn n S -⨯⨯+=++++， 两式作差得：()211201111124012022222n nn S -+⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ ()11601120122401212n n n -⎛⎫- ⎪+⎝⎭=+-- ()()112011203120360360222n n nn n -++=--=-， 因此，()()4240315372072022n n n n S -++=-=-. 故答案为5；()41537202n n -+-. 四､解答题：17.答案：（1）122,5b b ==；（2）300. 解析：（1）由题设可得121243212,1215b a a b a a a ==+===+=++=又22211k k a a ++=+，2122k k a a +=+，*()k N ∈故2223k k a a +=+，即13n n b b +=+，即13n n b b +-= 所以{}n b 为等差数列，故()21331n b n n =+-⨯=-.（2）设{}n a 的前20项和为20S ，则2012320S a a a a =++++，因为123419201,1,,1a a a a a a =-=-=-，所以()20241820210S a a a a =++++-()1291091021021023103002b b b b ⨯⎛⎫=++++-=⨯⨯+⨯-= ⎪⎝⎭.18.答案：（1）见解析；（2）B 类． 解析：（1）由题可知，X 的所有可能取值为0，20，100．()010.80.2P X ==-=； ()()200.810.60.32P X ==-=； ()1000.80.60.48P X ==⨯=．所以X 的分布列为（2）由（1）知，()00.2200.321000.4854.4E X =⨯+⨯+⨯=．若小明先回答B 问题，记Y 为小明的累计得分，则Y 的所有可能取值为0，80，100．()010.60.4P Y ==-=； ()()800.610.80.12P Y ==-=； ()1000.80.60.48P X ==⨯=．所以()00.4800.121000.4857.6E Y =⨯+⨯+⨯=． 因为54.457.6<，所以小明应选择先回答B 类问题． 19.答案：（1）证明见解析；（2）7cos 12ABC ∠=.（1）由题设，sin sin a C BD ABC =∠，由正弦定理知：sin sin c b C ABC =∠，即sin sin C cABC b=∠，∴acBD b=，又2b ac =， ∴BD b =，得证.（2）由题意知：2,,33b b BD b AD DC ===， ∴22222241399cos 24233b b b c c ADB b b b +--∠==⋅，同理2222221099cos 2233b b b a a CDB b b b +--∠==⋅， ∵ADB CDB π∠=-∠，∴2222221310994233b bc a b b --=，整理得2221123b a c +=，又2b ac =， ∴42221123b b a a +=，整理得422461130a a b b -+=，解得2213a b =或2232a b =，由余弦定理知：222224cos 232a c b a ABC ac b+-∠==-，当2213a b =时，7cos 16ABC ∠=>不合题意；当2232a b =时，7cos 12ABC ∠=； 综上，7cos 12ABC ∠=.答案：(1)详见解析(2) 36解析：（1）因为AB=AD,O 为BD 中点，所以AO ⊥BD因为平面ABD 平面BCD =BD ,平面ABD ⊥平面BCD ，AO ⊂平面ABD ， 因此AO ⊥平面BCD ，因为CD ⊂平面BCD ，所以AO ⊥CD (2)作EF ⊥BD 于F, 作FM ⊥BC 于M,连FM 因为AO ⊥平面BCD ，所以AO ⊥BD, AO ⊥CD所以EF ⊥BD, EF ⊥CD, BD CD D ⋂=,因此EF ⊥平面BCD ，即EF ⊥BC 因为FM ⊥BC ，FMEF F =,所以BC ⊥平面EFM ，即BC ⊥MF则EMF ∠为二面角E-BC-D 的平面角, 4EMF π∠=因为BO OD =,OCD 为正三角形,所以OCD 为直角三角形 因为2BE ED =,1112(1)2233FM BF ∴==+= 从而EF=FM=213AO ∴=AO ⊥平面BCD,所以11131133326BCD V AO S ∆=⋅=⨯⨯⨯⨯=21.答案：（1）()221116y x x -=≥；（2）0. 解析：因为12122MF MF F F -=<=所以，轨迹C 是以点1F 、2F 为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹C 的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，则22a =，可得1a =，4b ==，所以，轨迹C 的方程为()221116y x x -=≥；（2）设点1,2T t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若过点T 的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线C 无公共点，不妨直线AB 的方程为112y t k x ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，即1112y k x t k =+-， 联立1122121616y k x t k x y ⎧=+-⎪⎨⎪-=⎩，消去y 并整理可得()()222111111621602k x k t k x t k ⎛⎫-+-+-+= ⎪⎝⎭，设点()11,A x y 、()22,B x y ，则112x >且212x >. 由韦达定理可得2111221216k k t x x k -+=-，211221116216t k x x k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-，所以，()()()()22122121121122112111*********t k x x TA TB k x x k x x k +++⎛⎫⋅=+⋅-⋅-=+⋅-+= ⎪-⎝⎭， 设直线PQ 的斜率为2k ，同理可得()()2222212116t k TP TQ k ++⋅=-，因为TA TB TP TQ ⋅=⋅，即()()()()22221222121211211616tk t k k k ++++=--，整理可得2212k k =，即()()12120k k k k -+=，显然120k k -≠，故120k k +=. 因此，直线AB 与直线PQ 的斜率之和为0.22.答案：（1）()f x 的递增区间为()0,1，递减区间为()1,+∞；（2）证明见解析. 解析：（1）函数的定义域为()0,∞+， 又()1ln 1ln f x x x '=--=-，当()0,1x ∈时，()0f x '>，当()1,+x ∈∞时，()0f x '<， 故()f x 的递增区间为()0,1，递减区间为()1,+∞.（2）因为ln ln b a a b a b -=-，故()()ln 1ln +1b a a b +=，即ln 1ln +1a b a b+=， 故11f f a b ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 设1211,x x a b==，由（1）可知不妨设1201,1x x <<>. 因为()0,1x ∈时，()()1ln 0f x x x =->，(),x e ∈+∞时，()()1ln 0f x x x =-<， 故21x e <<. 先证：122x x +>，若22x ≥，122x x +>必成立.若22x <， 要证：122x x +>，即证122x x >-，而2021x <-<， 故即证()()122f x f x >-，即证：()()222f x f x >-，其中212x <<. 设()()()2,12g x f x f x x =--<<，则()()()()2ln ln 2g x f x f x x x '''=+-=---()ln 2x x =--⎡⎤⎣⎦， 因为12x <<，故()021x x <-<，故()ln 20x x -->，所以()0g x '>，故()g x 在()1,2为增函数，所以()()10g x g >=， 故()()2f x f x >-，即()()222f x f x >-成立，所以122x x +>成立， 综上，122x x +>成立.设21x tx =，则1t >， 结合ln 1ln +1a b a b+=，1211,x x a b ==可得：()()11221ln 1ln x x x x -=-，即：()111ln 1ln ln x t t x -=--，故11ln ln 1t t tx t --=-，要证：12x x e +<，即证()11t x e +<，即证()1ln 1ln 1t x ++<， 即证：()1ln ln 111t t tt t --++<-，即证：()()1ln 1ln 0t t t t -+-<，令()()()1ln 1ln ,1S t t t t t t =-+->， 则()()112ln 11ln ln 111t S t t t t t t -⎛⎫'=++--=+- ⎪++⎝⎭， 先证明一个不等式：()ln 1x x ≤+. 设()()ln 1u x x x =+-，则()1111xu x x x -'=-=++， 当10x -<<时，()0u x '>；当0x >时，()0u x '<，故()u x 在()1,0-上为增函数，在()0,+∞上为减函数，故()()max 00u x u ==， 故()ln 1x x ≤+成立由上述不等式可得当1t >时，112ln 11t t t ⎛⎫+≤< ⎪+⎝⎭，故()0S t '<恒成立， 故()S t 在()1,+∞上为减函数，故()()10S t S <=， 故()()1ln 1ln 0t t t t -+-<成立，即12x x e +<成立. 综上所述，112e a b<+<.。
2021年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)(含解析版)
2021年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）数学（文）一､选择题1.已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2}M =，{3,4}N =，则)(U C M N = （)A.{5}B.{1,2}C.{3,4}D.{1,2,3,4}2.设43iz i =+，则z =（）A.34i --B.–34i +C.34i -D.34i+3.已知命题:,sin 1p x R x ∃∈<；命题||:,1x q x R e ∈∀≥，则下列命题中为真命题的是（）A.p q ∧B.p q ⌝∧C.p q ∧⌝D.()p q ⌝∨答案：A 解析：根据正弦函数的值域sin [1,1]x ∈-，sin 1x <，故x R ∃∈，p 为真命题，而函数||x y e =为偶函数，且0x ≥时，1xy e =≥，故x R ∀∈，||1x y e =≥恒成立.则q 也为真命题，所以p q ∧为真，选A.4.函数()sin cos 33x xf x =+的最小正周期和最大值分别是（）A.3π和B.3π和2C.6π和D.6π和2答案：C解析：())34x f x π=+max ()f x =，2613T ππ==.故选C.5.若,x y 满足约束条件2,3,4,y x y x y ≤≤+≥⎧⎪-⎨⎪⎩则3z x y =+的最小值为（）A.18B.10C.6D.4答案：C 解析：根据约束条件可得图像如下，3z x y =+的最小值，即3y x z =-+，y 轴截距最小值.根据图像可知3y x z =-+过点(1,3)B 时满足题意，即min 336z =+=.6.225cos cos 1212ππ-=（）A.12B.33C.22D.32答案：D 解析：2222223()sin cos 25cos cos cos cos cos 12121212121262ππππππππ-=-=--==∴选D.7.在区间1(0,)2随机取1个数，则取到的数小于13的概率为（）A.34B.23C.13D.16答案：B解析：在区间1(0,2随机取1个数，可知总长度12d =，取到的数小于13，可知取到的长度范围13d '=，根据几何概型公式123132d p d '===，∴选B.8.下列函数中最小值为4的是（）A.224y x x =++B.4|sin ||sin |y x x =+C.222x xy -=+D.4n ln l y x x=+答案：C 解析：对于A，22224213(1)33y x x x x x =++=+++=++≥.不符合，对于B，4|sin ||sin |y x x =+，令|sin |[0,1]t x =∈，∴4y t t =+，根据对勾函数min 145y =+=不符合，对于C，242222xxx x y -==++，令20xt =>，∴4224y t t =+≥=⨯=，当且仅当2t =时取等，符合，对于D，4n ln l y x x =+，令ln t x R =∈，4y t t=+.根据对勾函数(,4][4,)y ∈-∞-+∞ ，不符合.9.设函数1(1)xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是（）A.1()1f x --B.1()1f x -+C.1()1f x +-D.1()1f x ++答案：B 解析：12()111x f x x x-==-+++，()f x 向右平移一个单位，向上平移一个单位得到2()g x x=为奇函数.所以选B.10.在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11B D 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为A.2πB.3πC.4πD.6π答案：D 解析：做出图形，11//AD BC ，所以1PBC ∠为异面直线所成角，设棱长为1.1BC =，122B P =，122PC =，62BP =.222111131222cos 22BC BP C P PBC BP BC +-+-∠==⋅，即16PBC π∠=，故选D.11.设B 是椭圆C :2215x y +=的上顶点，点P 在C 上，则PB 的最大值为A.5265D.2答案：A 解析：方法一：由22:15x C y +=，(0,1)B 则C 的参数方程：5sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩.22||(sin 1)(5cos )PB θθ=-+24sin 2sin 6θθ=--+212554(sin )442θ=-++.∴max 5||2PB =，故选A.方法二：设00(,)P x y ，则220001([1,1])5x y y +=∈-①，(0,1)B .因此22200||(1)PB x y =+-②将①式代入②式化简得：22012525||4()444PB y =-++≥，当且仅当014y =-时||PB 的最大值为52，故选A.12.设0a ≠，若x a =为函数2()()()f x a x a x b =--的极大值点，则A.a b <B.a b >C.2ab a <D.2ab a >答案：D 解析：2()2()()()()(32)f x a x a x b a x a a x a x b a '=--+-=---当0a >时，原函数先增再减后增.原函数在()0f x '=的较小零点时取得极大值.即23a b a +<，即a b <，∴2a ab <.当0a <时，原函数先减再增后减.原函数在()0f x '=的较大零点时取得极大值.即23a b a +>，a b >，2a ab <，故选D.二、填空题13.已知向量(2,5)a = ，(,4)b λ= ，若//a b，则λ=.答案：85解析：由已知//a b 可得82455λλ⨯=⇒=.14.双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为.答案：解析：22145x y -=的右焦点为(3,0)，到直线280x y +-=的距离d ==.15.记ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为，60B =︒,223a c ac +=，则b =.答案：解析：由面积公式1sin 2S ac B ==，且60B =︒，解得4ac =，又由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，223a c ac +=，且0b >解得b =.16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为（写出符合要求的一组答案即可）.答案：②⑤或③④解析：由高度可知，侧视图只能为②或③.侧视图为②，如图（1），平面PAC ⊥平面ABC ，PA PC ==，BA BC =，2AC =，俯视图为⑤.俯视图为③，如图（2），PA ⊥平面ABC ，1PA =，AC AB =，2BC =，俯视图为④.17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x 和y ，样本方差分别记为21s 和22s .（1）求x ，y ，21s ，22s ；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果y x -≥，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.答案：见解析解析：9.810.31010.29.99.81010.110.29.71010x ++++++++==+；10.110.410.11010.110.310.610.510.410.510.310y ++++++++==+.211(0.040.090.040.010.040.010.040.09)10s =+++++++10.360.03610=⨯=221(0.040.010.040.090.040.090.040.010.04)10s =++++++++10.40.0410=⨯=.（2）10.3100.3y x -=-===∵则0.3=>=，所以可判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高；没有显著提高.18.如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥.（1）证明：平面PAM ⊥平面PBD ﹔（2）若1PD DC ==，求四棱锥P ABCD -的体积.答案：见解析解析：19.设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3n n na b =.已知1a ，23a ，39a ，成等差数列.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记n S ，和n T 分别为{}n a 和{}n b 的前n 项和.证明：2n n S T <.答案：见解析解析：设{}n a 的公比为q ，则1n n a q -=，因为1a ，23a ，39a 成等差数列，所以21923q q +=⨯，解得13q =，故11()3n n a -=，11313(1)12313n n n S -==--.又3n n n b =，则1231123133333n n n n n T --=+++++ ，两边同乘13，则234111231333333n n n n n T +-=+++++ ，两式相减，得23412111113333333n n n n T +=+++++- ，即1111(1)1133(1)332333121n n n n n n n T ++-=-=---，整理得31323(14323423n n n n n n T +=--=-⨯⨯，323314322())04232323n n n n nn n T S ++-=---=-<⨯⨯，故2n n S T <.20.已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F 到准线的距离为2.（1）求C 的方程，（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF = ，求直线OQ 斜率的最大值.答案：见解析解析：（1）由焦点到准线的距离为p ，则2p =.抛物线c 的方程：24y x =.（2）设点200(,)4y P y ，(,)Q Q Q x y ，(1,0)F .∵9PQ QF = .∴2022000009499(,)9(1,)4104910Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q y y x x x y x y y x y y y x y y ⎧+⎪⎧-=-=⎪⎪--=--⇒⇒⎨⎨⎪⎪-=-⎩=⎪⎩则020*********QOQ Q y y k y y x y ===≤++.∴直线OQ 斜率的最大值为13.21.已知函数32()1f x x x ax =-++.（1）讨论()f x 的单调性；（2）求曲线()y f x =过坐标原点的切线与曲线()y f x =的公共点的坐标.答案：见解析解析：（1）2()32f x x x a'=-+（i）当4120a ∆=-≤，即13a ≥时，()0f x '≥恒成立，即()f x 在()f x 在x ∈R 上单调递增.（ii）当4120∆=->，即13a <时，()0f x '=解得，11133x -=，21133x +=.∴()f x 在113(,)3a --∞，113()3a -+∞单调递增，在113113()33a a --++单调递减，综上所述：当13a ≥时，()f x 在R 上单调递增；当13a <时，()f x 在113113()33a a -++单调递减.（2）设可原点切线的切点为32(,1)t t t at -++，切线斜率2()32k f t t t a '==-+.又321t t at k t -++=，可得322132t t at t t a t-++=-+.化简得2(1)(21)0t t t -++=，即1t =.∴切点为(1,1)a +，斜率1k a =+，切线方程为(1)y a x =+，将(1)y a x =+，321y x x ax =-++联立可得321(1)x x ax a x -++=+，化简得2(1)(1)0x x -+=，解得11x =，21x =-.∴过原点的切线与()y f x =公共点坐标为(1,1)a +，(1,1)a ---.22.在直角坐标系xOy 中，C 的圆心为)(2,1C ，半径为1.（1）写出C 的一个参数方程;（2）过点)(4,1F 作C 的两条切线.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，求这两条切线的极坐标方程.答案：见解析解析：（1）C 的参数方程为2cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）（2）C 的方程为22(2)(1)1x y -+-=①当直线斜率不存在时，直线方程为4x =，此时圆心到直线距离为2r >，舍去；②当直线斜率存在时，设直线方程为1(4)y k x -=-，化简为410kx y k --+=，此时圆心(2,1)C 到直线的距离为1d r ===，化简得2||k =，两边平方有2241k k =+，所以33k =±代入直线方程并化简得40x +=或40x +-=化为极坐标方程为5cos sin 4sin()46πρθθρθ-=-⇔+=-或cos sin 4sin()46πρθθρθ+=++=+.23.已知函数()|||3|f x x a x =-++.（1）当1a =时，求不等式()6f x ≥的解集；（2）若()f x a >-，求a 的取值范围.答案：见解析解析：当1a =时，()6|1||3|6f x x x ≥⇔-++≥，当3x ≤-时，不等式136x x ⇔---≥，解得4x ≤-；当31x -<<时，不等式136x x ⇔-++≥，解得x ∈∅；当1x ≥时，不等式136x x ⇔-++≥，解得2x ≥.综上，原不等式的解集为(,4][2,)-∞-+∞ .（2）若()f x a >-，即min ()f x a >-，因为()|||3||()(3)||3|f x x a x x a x a =-++≥--+=+（当且仅当()(3)0x a x -+≤时，等号成立），所以min ()|3|f x a =+，所以|3|a a +>-，即3a a +<或3a a +>-，解得3(,)2a ∈-+∞.。
2021年高考真题数学【新高考全国Ⅰ卷】(山东卷)(含解析版)
2021年普通高等学校招生全国统一考试（新高考I 卷）数学一、单选题1.设集合{|24}A x x =-<<，{2,3,4,5}B =，则A B = （）A.{2}B.{2,3}C.{3,4}D.{2,3,4}答案：B 解析：{2,3}A B = ，选B.2.已知2z i =-，则()z z i +=（）A.62i -B.42i -C.62i +D.42i +答案：C 解析：2,()(2)(22)62z i z z i i i i =++=-+=+，选C.3.已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A.2B. C.4D.答案：B解析：设母线长为l，则l l π=⇒=.4.下列区间中，函数()7sin()6f x x π=-单调递增的区间是（）A.(0,)2πB.(,)2ππC.3(,)2ππD.3(,2)2ππ答案：A 解析：()f x 单调递增区间为：222()22()26233k x k k Z k x k k Z πππππππππ-≤-≤+∈⇒-≤≤+∈，令0k =，故选A.5.已知1F ，2F 是椭圆22:194x y C +=的两个焦点，点M 在C 上，则12||||MF MF ⋅的最大值为（）A.13B.12C.9D.6答案：C 解析：由椭圆定义，12||||6MF MF +=，则21212||||||||(92MF MF MF MF +≤=，故选C.6.若tan 2θ=-，则sin (1sin 2)sin cos θθθθ+=+（）A.65-B.25-C.25D.65答案：C 解析：22sin (1sin 2)sin (sin cos 2sin cos )sin cos sin cos θθθθθθθθθθθ+++=++22222sin sin cos tan tan 2sin cos tan 15θθθθθθθθ++===++，故选C.7.若过点(,)a b 可以作曲线x y e =的两条切线，则（）A.b e a <B.a e b <C.0b a e <<D.0a b e <<答案：D 解析：设切点为00(,)P x y ，∵xy e =，∴xy e '=，则切线斜率0xk e =，切线方程为0()xy b e x a -=-，又∵00(,)P x y 在切线上以及xy e =上，则有000()x x eb e x a -=-，整理得00(1)0x ex a b --+=，令()(1)xg x e x a b =--+，则()()xg x e x a '=-，∴()g x 在(,)a -∞单调递减，在(,)a +∞单调递增，则()g x 在x a =时取到极小值即最小值()ag a b e =-，又由已知过(,)a b 可作xy e =的两条切线，等价于()(1)xg x e x a b =--+有两个不同的零点，则min ()()0ag x g a b e==-<，得a e b >，又当x →-∞时，(1)0xe x a --→，则(1)xe x a b b --+→，∴0b >，当1x a a =+>时，有(1)0g a b +=>，即()g x 有两个不同的零点.∴0ab e <<.8.有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立答案：B 解析：由题意知，两点数和为8的所有可能为：(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，两点数和为7的所有可能为：(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，∴1()6P =甲，11()166P =⨯=乙，5()36P =丙，61()=366P =丁，()0P =甲丙，1()36P =甲丁，1()36P =乙丙，()0P =丙丁，故()()()P P P =⋅甲丁甲丁，B 正确，故选B.二、多选题9.有一组样本数据12,,,n x x x ，由这组数据得到新样本数据12,,,n y y y ，其中1(1,2,)i y x c i n =+= ，c 为非零常数，则（）A.两组样本数据的样本平均数相同B.两组样本数据的样本中位数相同C.两组样本数据的样本标准差相同D.两组样本数据的样本极差相同答案：C、D 解析：对于A 选项：121n x x x x n +++= ，1212n ny y y x x x y c n n++++++==+ ，∴x y ≠，∴A 错误；对于B 选项：可假设数据样本12,,,n x x x 中位数为m ，由i i y x c =+可知数据样本12,,,n y y y 的中位数为m c +，∴B 错误；对于C选项：1S =2S =1S ==，∴C 正确；对于D 选项：∵i i y x c=+，∴两组样本数据极差相同，∴D 正确。
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2021年普通高等学校招生全国统一考试（新高考I 卷）数 学一、单选题1.设集合{|24}A x x =-<<，{2,3,4,5}B =，则A B =（ ）A.{2}B.{2,3}C.{3,4}D.{2,3,4} 答案： B 解析：{2,3}A B =，选B.2.已知2z i =-，则()z z i +=（ ） A.62i - B.42i - C.62i + D.42i + 答案： C 解析：2,()(2)(22)62z i z z i i i i =++=-+=+，选C.3.，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ） A.2B.C.4D.答案： B 解析：设母线长为l ，则l l π=⇒=4.下列区间中，函数()7sin()6f x x π=-单调递增的区间是（ ）A.(0,)2πB.(,)2ππC.3(,)2ππ D.3(,2)2ππ 答案： A 解析：()f x 单调递增区间为：222()22()26233k x k k Z k x k k Z πππππππππ-≤-≤+∈⇒-≤≤+∈，令0k =，故选A.5.已知1F ，2F 是椭圆22:194x yC +=的两个焦点，点M 在C 上，则12||||MF MF ⋅的最大值为（ ） A.13 B.12 C.9 D.6 答案： C解析：由椭圆定义，12||||6MF MF +=，则21212||||||||()92MF MF MF MF +≤=，故选C.6.若tan 2θ=-，则sin (1sin 2)sin cos θθθθ+=+（ ）A.65-B.25-C.25 D.65答案： C 解析：22sin (1sin 2)sin (sin cos 2sin cos )sin cos sin cos θθθθθθθθθθθ+++=++22222sin sin cos tan tan 2sin cos tan 15θθθθθθθθ++===++，故选C.7.若过点(,)a b 可以作曲线xy e =的两条切线，则（ ） A.b e a < B.a e b < C.0b a e << D.0a b e << 答案： D 解析：设切点为00(,)P x y ，∵x y e =，∴xy e '=，则切线斜率0xk e =，切线方程为0()xy b e x a -=-， 又∵00(,)P x y 在切线上以及x y e =上， 则有000()x xe b e x a -=-， 整理得00(1)0xe x a b --+=，令()(1)xg x e x a b =--+，则()()xg x e x a '=-，∴()g x 在(,)a -∞单调递减，在(,)a +∞单调递增，则()g x 在x a =时取到极小值即最小值()ag a b e =-，又由已知过(,)a b 可作xy e =的两条切线，等价于()(1)xg x e x a b =--+有两个不同的零点，则min ()()0ag x g a b e ==-<，得ae b >，又当x →-∞时，(1)0x e x a --→，则(1)xe x a b b --+→，∴0b >，当1x a a =+>时，有(1)0g a b +=>， 即()g x 有两个不同的零点. ∴0ab e <<.8.有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ） A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立 答案： B 解析：由题意知，两点数和为8的所有可能为：(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)， 两点数和为7的所有可能为：(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)， ∴1()6P =甲，11()166P =⨯=乙，5()36P =丙，61()=366P =丁， ()0P =甲丙，1()36P =甲丁，1()36P =乙丙，()0P =丙丁，故()()()P P P =⋅甲丁甲丁，B 正确，故选B. 二、多选题9.有一组样本数据12,,,n x x x ，由这组数据得到新样本数据12,,,n y y y ，其中1(1,2,)i y x c i n =+=，c 为非零常数，则（ ）A.两组样本数据的样本平均数相同B.两组样本数据的样本中位数相同C.两组样本数据的样本标准差相同D.两组样本数据的样本极差相同 答案： C 、D 解析：对于A 选项：121nx x x x n +++=，1212nny y y x x x y c nn++++++==+，∴x y ≠，∴A 错误；对于B 选项：可假设数据样本12,,,n x x x 中位数为m ，由i i y x c =+可知数据样本12,,,n y y y 的中位数为m c +，∴B 错误；对于C 选项：1(n S x x =++-22(]n S y =+-21()]n x x S =++-=，∴C 正确；对于D 选项：∵i iy x c =+，∴两组样本数据极差相同，∴D 正确。
10.已知O 为坐标原点，点1(cos ,sin )P αα，2(cos ,sin )P ββ-，3(cos(),sin())P αβαβ++，(1,0)A ，则（ ）A.12||||OP OP =B.12||||AP AP =C.312OA OP OP OP ⋅=⋅ D.123OA OP OP OP ⋅=⋅ 答案： A 、C 解析：1||cos 1OP ==，2||cos 1OP ==，∴A 正确；2221(cos 1)sin 22cos AP ααα=-+=-，2222(cos 1)(sin )22cos AP βββ=-+-=-，22cos 22cos αβ-≠-,∴B 错；3cos()OA OP αβ⋅=+，12cos cos sin sin cos()OP OP αβαβαβ⋅=-=+，∴C 正确； 1cos OA OP α⋅=，23cos cos()sin sin()cos(2)OP OP βαββαβαβ⋅=⋅+-⋅+=+， ∴D 错.11.已知点P 在圆22(5)(5)16x y -+-=上，点(4,0)A ，(0,2)B ，则（ ）A.点P 到直线AB 的距离小于10B.点P 到直线AB 的距离大于2C.当PBA ∠最小时，||PB =D.当PBA ∠最大时，||PB =答案： A 、C 、D 解析：由已知易得直线AB 的方程为240x y +-=. 圆心(5,5)到直线AB 的距离4d ==>， ∴直线AB 与圆相离，则P 到AB 的距离的取值范围为4]-+， 又45<<， 则A 正确，B 错误， 由图易得，当P 在点1P 处时，1BP 与圆C 相切， 此时1PBA PBA ∠=∠最小，||BC ==1||4CP =，∴1BP =同理当P 在点2P 处，2PBA P BA ∠=∠最大，此时2BP == 故C 、D 正确.12.在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB λμ=+，其中[0,1]λ∈，[0,1]μ∈，则（ ）A.当1λ=时，1AB P ∆的周长为定值B.当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值C.当12λ=时，有且仅有一个点P ，使得1A P BP ⊥ D.当12μ=时，有且仅有一个点P ，使得1A B ⊥平面1AB P答案： B 、D 解析：对于A ，当1λ=时，1BP BC BB μ=+，∴1CP BB μ=，此时P 在线段1CC 上运动，此时1AB P ∆的周长不为定值，A 错.对于B ，当1μ=时，11BP BC BB B P BC λλ=+⇒=，此时P 在线段11B C 上运动,11//B C 平面1A BC ，∴点P 到平面1A BC 的距离即为点1B 到平面1A BC 的距离，∴111P A BC B A BC V V --=为定值，B 正确.对于C ，当12λ=时，112BP BC BB μ=+，分别取BC ，11B C 的中点,E F ，此时P 在线段EF 上运动，要使1A P BP ⊥，只需1A P 在平面11BCC B 上的射影PF 与BP 垂直，此时P 在E 或F 的位置，有两个P ，C 错误.对于D ，12μ=时，112BP BC BB λ=+，分别取11,BB CC 的中点,M N ，则P 在线段MN 上运动，∵正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，11A B AB ∴⊥，要使得1A B ⊥平面1AB P ，只需1A B 在平面11BCC B 上的射影与1B P 垂直，有且只有一个点P 即为N 点时，满足题意，D 正确.三、填空题13.已知函数3()(22)x xf x x a -=⋅-是偶函数，则a = .答案：1解析：因为()f x 为偶函数，则()()f x f x -=，即33(22)(22)x x x xx a x a ---=--，整理则有(1)(22)0x x a --+=，故1a =.14.已知O 为坐标原点，抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥.若||6FQ =，则C 的准线方程为 . 答案：32x =-解析：因为PF 垂直x 轴，故点P 坐标为(,)2p p ，又因为OP PF ⊥，则2FQ PFPF OF==，即62p =，故3p =，则准线方程为32x =-. 15.函数()|21|2ln f x x x =--的最小值为 . 答案：1解析： 当12x >时，()212ln f x x x =--，2()2f x x '=-，()0f x '<时，112x <<，()0f x '>时，1x >，()f x ∴在1(,1)2上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，当102x <≤时，()122ln f x x x =--，函数单调递减，综上，函数在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以函数最小值为(1)1f =.16.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20dm 12dm ⨯的长方形纸，对折1次共可以得到10dm 12dm ⨯，20dm 6dm ⨯两种规格的图形，它们的面积之和21240dm S =，对折2次共可以得到5dm 12dm ⨯，10dm 6dm ⨯，20dm 3dm ⨯三种规格的图形，它们的面积之和22180dm S =，以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为 ；如果对折n 次，那么1nkk S==∑ 2dm .答案：52407207202nn +-解析：（1）易知有320dm dm 4⨯，310dm dm 2⨯，5dm 3dm ⨯，5dm 6dm 2⨯，5dm 12dm 4⨯，共5种规格.（2）由题可知对折k 次共有1k +种规格，且面积为2402k，故240(1)2kk k S +=，则1112402nnk k k k k S ==+=∑∑，记112n n k k k T =+=∑，则111122nn k k k T +=+=∑，故 1111111*********()222222n n n n n k k k k n k k k k k k k k n T -++++====+++++=-=+--∑∑∑∑ 11111(1)133421122212n n n n n -++-++=+-=--，则332n n n T +=-，故13240720240(3)72022nk n nk n n S =++=-=-∑. 四、解答题17.已知数列{}n a 满足11a =，11,2,n n na n a a n ++⎧⎪=⎨+⎪⎩为奇数为偶数.（1）记2n n b a =，写出1b ，2b ，并求数列{}n b 的通项公式； （2）求{}n a 的前20项和. 答案： 见解析； 解析：（1）12112b a a ==+=，3224a a =+=，24315b a a ==+=，122221222(1)33n n n n n n n n b b a a a a a a +++-=-=+-=+-=，∴{}n b 是以3为公差的等差数列，∴2(1)331n b n n =+-⨯=-. （2）242010(229)1552a a a ++++==， 13519242011115510145a a a a a a a ++++=-+-++-=-=，∴20155145300S =+=.18.某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A ，B 两类问题.每位参加比赛的同学先在 两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若 回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛 结束.A 类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B 类问题中的每个问题 回答正确得80分，否则得0分.已知小明能正确回答A 类问题的概率为0.8， 能正确回答B 类问题的概率为0.6， 且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若小明先回答A 类问题，记X 为小明的累计得分，求X 的分布列； （2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由. 答案： 见解析； 解析：（1）若小明先回答A 问题，记X 为小明累计得分，则X 的取值可能为：100，20，0，因为各题互相独立，由分步完成原理得(100)0.80.60.48P X ==⨯=，(20)0.8(10.6)0.32P X ==⨯-=，(0)10.80.2P X ==-=，列表如下：则X 的数学期望()1000.48200.3200.254.4E X =⨯+⨯+⨯=.（2）若小明先回答B 问题，记Y 为小明的累计得分，则Y 的取值可能为100，80，0，因为各题互相独立，由独立性原理知(100)0.60.80.48P Y ==⨯=，(80)0.60.20.12P Y ==⨯=，(0)10.60.4P Y ==-=，列表如下：先答B 类，则Y 的数学期望为：()1000.48800.1200.457.6E Y =⨯+⨯+⨯=， 由（1）知()()E Y E X >，∴小明先选B 类问题作答.19.记ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=.（1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠. 答案： 见解析； 解析：（1）由sin sin BD ABC a C ∠=，根据正弦定理可得，∴BD b ac ⋅=， 又2b ac =，∴2BD b b ⋅=，∴BD b =. （2）23AD b =，13CD b =，又由（1）BD b = 22222241399cos 24233b b c b c ADB b b b +--∠==⋅⋅，22222211099cos 12233b b a b a BDC b b b +--∠==⋅⋅，cos cos 0ADB BDC ∠+∠=，∴222213202099b c b a -+-=，∴2211203ac c a --=，211()203c c a a -⋅+=，∴3c a =或23， 222227cos 2212a c b a c ac ABC ac ac +-+-∠===或76（舍），∴7cos 12ABC ∠=.20.如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点. （1）证明：OA CD ⊥；（2）若OCD ∆是边长为1的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =，且二面角E BC D --的大小为45︒，求三棱锥A BCD -的体积.答案： 见解析 解析：（1）平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD平面BCD BD =，∵AB AD =，O 为BD 中点，∴AO BD ⊥，AO ⊂平面ABD ，∴AO ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，∴AO CD ⊥.（2）方法一：取OD 中点F ，∵OCD ∆为正三角形，∴CFOD ⊥，过O 作//OM CF 与BC 交于M 点，则OM OD ⊥，∴OM ，OD ，OA 两两垂直，以O 为坐标原点，分别以OM ，OD ，OA 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，(0,1,0)B -，1(,,0)22C ，(0,1,0)D ，设(0,0,)A t ，则12(0,,)33E t ，OA ⊥平面BCD ，∴平面BCE 的法向量为(,,)n x y z =，00n BC n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴302242033x y y tz +=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，不妨设x =则1y =-，2z t =，则2(3,1,)n t =-，二面角E BC D --的大小为45︒，∴24n OAn OAt ⋅==，∴1t =，1112OCD S ∆=⨯⨯=，∴BCD S ∆=，∴11133A BCD BCD V S OA -∆=⋅=⨯=方法二：过E 作EH BD ⊥交BD 于点H ，再过H 作HIBC ⊥交BC 于点I ，显然这样会有EH ⊥平面BCD ，而这个正三角形OCD 加上BO DO =，可知BC CD ⊥，意味着//HI CD ，同时很自然的也会有EH HI ⊥，而二面角E BC D --很显然就是EIH ∠，这个是45︒，说明EH HI =， 综合上面的条件，会得到12OH AE DH ED ==，然后2BH DH =，再然后23BH HIBD CD ==，故23HI EH ==，同时23EH ED AO AD ==，得到1AO =，那么就有11111332A BCD BCD V AO S -∆=⋅=⨯⨯⨯⨯=21.在平面直角坐标系xOy中，已知点1(F ，2F ，点M 满足12||||2MF MF -=.记M 的轨迹为C .（1）求C 的方程； （2）设点T 在直线12x =上，过T 的两条直线分别交C 于A ，B 两点和P ，Q 两点，且||||||||TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.答案： 见解析 解析：（1）c =，22a =，1a =，4b =，C 表示双曲线的右支，C 的方程为221(1)16y x x -=≥.（2）设1(,)2T m ，设直线AB 的方程为：11()2y k x m =-+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，1222211221()1116[()2()]162421616y k x m x k x x k m x m x y ⎧=-+⎪⇒--++-+=⎨⎪-=⎩， 22222111111(16)(2)1604k x k k m x k k m m -+--+--=，∴22112112121111(1)[()()](1)[()]2224TA TB k x x k x x x x ⋅=+--=+-++22211211122111162114(1)[]162164k m k m k m k k k k ----=+-+--22221122111212(1)(1)1616m m k k k k --+=+=+--， 设2PQk k =，同理可得2222212(1)16m TP TQ k k +⋅=+-，∴2222222212211222121212(1)(1)16161616m m k k k k k k k k +++⋅=+⋅⇒-=---，∴2212k k =， ∵12k k ≠，∴12k k =-，120k k +=. 22.已知函数()(1ln )f x x x =-. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：112e a b<+<. 答案： 见解析 解析：（1）()ln f x x '=-，令()01f x x '=⇒=，当01x <<，()0f x '>，()f x 单调递增；当1x >时，()0f x '<，()f x 单调递减.（2）ln ln 11a b a b b a -=-，∴ln 1ln 1a b a b ++=， 令1m a =，1n b=，即证2m n e <+<，∴(1ln )(1ln )m m n n -=-， 令()(1ln )f x x x =-，()ln f x x '=-，令()01f x x '=⇒=，当01x <<，()0f x '>，()f x 单调递增；当1x >时，()0f x '<，()f x 单调递减. ∵()()f m f n =，∴01m <<，1n e <<，要证2m n +>，即证()(2)f n f m <-，即证()(2)f m f m <-，令()()(2)(1ln )(2)[1ln(2)]F x f x f x x x x x =--=-----，(0,1)x ∈，1()ln ln(2)ln0(2)F x x x x x '=---=>-，()F x 单调递增，∴()(1)0F x F <=，左边证毕！再证右边：∵(1ln )(1ln )m m n n m -=->，要证m n e +<，即证(1ln )n n n e -+<， 令()(1ln )g x x x x =-+，1x e <<，∴()1ln 111ln 0g x x x '=--+=->， ∴()g x 在(1,)e 上单调递增，∴()()g x g e e <=，∴()g n e <，证毕！。