应用题——利用线段图解决及倍差倍问题
《运用线段图解决和差倍问题》教学设计
《运用线段图解决和差倍问题》教学设计广州市天河区华景小学尤学武范美容林慕燕马伟豪教学内容：运用线段图解决和差倍问题教材分析：和差倍应用题是中年级数学课本后面的思考题，安排得比较分散，如果按教材出现一题讲解一题，就题说题的话，学生只会被动接受，缺乏自主探究的过程，感悟不了“和差倍”这种典型问题的结构特点，掌握不了这类问题的解题方法，我们认为采用适当归类、集中教学的方式组织学生学习，将会起到事半功倍的作用。
因此，本节课在学生已有的对两数倍数关系的理解基础上，把小学中年级关于“和差倍”问题的思考题归类教学，掌握“和差倍”问题的解题方法，并让学生学会用画线段图的方法帮助自己理解数量关系，为学生在高年段学习应用题打下方法基础。
学情分析：和差倍问题思考题的文字叙述比较抽象，数量关系比较复杂，中年级小学生的思维又处于具体形象思维向抽象逻辑思维的过渡阶段，对于一些抽象问题理解起来困难较大。
如果教师一味的从字面去分析题意，用语言来表述数量关系，虽然老师讲的口干舌燥，学生却难以理解掌握，事倍功半。
即使是学生理解了，也只是局限于会做某个题目而已。
线段图在小学数学应用题教学特别是和差倍问题中起到了奇妙的作用，它可以帮助学生轻松、愉快的学会分析和解答复杂关系的和差倍应用题，既培养了学生的能力，又促进了学生思维的发展，所以运用线段图解决和差倍问题是行之有效的教学方法。
教学目标：1、掌握简单的和倍、差倍、和差应用题的解题方法并能正确解答。
2、学会借助线段图理解和差倍应用题的数量关系，掌握画线段图的分析数量关系的方法。
3、通过数与形有机地结合，让学生经历从抽象的文字到直观的再创造，能调动学生思维的积极性，提高他们分析和解决问题的能力。
教学重点：借助线段图理解和倍、差倍、和差应用题的结构特点和数量关系，并能正确解答。
教学难点：理解和倍、差倍、和差应用题的数量关系。
教学过程：一、复习铺垫，情景引入1、情景导入：为了迎接亚运会的到来，园林工人叔叔要用黄菊花和白菊花装饰一个花圃，在装饰的过程中，他们遇到了一些数学问题，你们能帮帮他们吗？（设计意图：结合亚运的元素，对学生进行爱我广州的教育，提高学生的学习兴趣，体现数学的应用价值。
典型应用题(二)：和倍差问题
典型应用题（二）：和倍差问题和差问题【例1】某粮店购进大米和面粉共24吨，已知大米比面粉多6吨。
这个粮店购进大米和面粉各多少吨？思路引导大米和面粉共24吨，大米比面粉多6吨，如果给面粉添上6吨，总质量为（24＋6）吨，正好是大米质量的2倍，可以用除法求出大米的质量。
同样的道理，把大米质量减去6吨，这时的总质量为（24－6）吨，正好是面粉质量的2倍。
正确解答：解法一：大米：（24＋6）÷2＝15（吨）面粉：24－15＝9（吨）解法二：面粉：（24－6）÷2＝9（吨）大米：24－9＝15（吨）答：这个粮店购进大米15吨，面粉9吨。
解答和差问题的关键：首先找出两个数的和是多少，然后找出这两个数的差是多少，再用两数和加上两数差等于大数的2倍，可求出大数，或者用两数和减去两数差等于小数的2倍，可求出小数。
如果以上两数和或两数差没有直接给出，必须根据已知条件先求出来。
【变式1】甲、乙两班共有学生98人，从甲班调出4人到乙班后，两班人数相等。
两班原来各有多少人？和倍问题【例2】甲班和乙班共有图书160本。
甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？思路引导设：乙班的图书本数为1倍数，则甲班图书为3倍数，那么甲班和乙班图书本数的和是4倍数。
4倍数的数量是160本，可以求出1倍数，即乙班的图书本数，然后再求甲班的图书本数。
下图表示它们的关系：正确解答：160÷（3＋1）＝40（本）乙班40×3＝120（本）或160－40＝120（本）甲班答：甲班有图书120本，乙班有图书40本。
为了帮助我们理解题意，弄清两种量彼此间的关系，常采用画线段图的方法来表示两种量间的这种关系，以便于找到解题的途径。
【变式2】南京长江大桥是长江上第一座由我国自行设计和建造的双层式铁路、公路两用桥，它的主桥比南昌八一大桥主桥长得多，这两座桥主桥共长5630米。
两座大桥的主桥各长多少米？差倍问题【例3】甲班的图书本数比乙班80本，甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？思路引导如图：把乙班的图书本数看作1倍数，则甲班的图书本数是3倍数，那么甲班的图书本数比乙班多2倍数。
小学应用题和倍差倍问题练习详细讲解
⼩学应⽤题和倍差倍问题练习详细讲解⼩学应⽤题和倍差倍问题和倍问题是已知两个数的和与两个数间的倍数关系,求这两个数分别是多少的应⽤题。
要想顺利地解答和倍应⽤题,最好的⽅法就是根据题意,画出线段图,使数量关系⼀⽬了然,从⽽正确列式解答。
解答和倍问题,关键是找出两数的和以及与其对应的倍数和,从⽽先求出1倍数,再求出⼏倍数,数量关系是:两数和÷(倍数+1)=⼩数(1倍数)⼩数×倍数=⼤数(⼏倍数)两数和⼀⼩数=⼤数已知两个数量的差,与这两个数量之间的倍数关系,求这两个数量各是多少的应⽤题叫差倍问题解答差倍问题与解答和倍问题常⽤的分析⽅法类似,都是要在已知的条件中确定⼀个数为标准数(即1倍数),再根据其他的数与这个较⼩数(1倍数)的倍数关系,确定两数的差相当于这样的多少倍(份)即⼏倍数,就可以求出1倍数(较⼩数),再算出其他各数。
因此,我们仍然可以根据已知条件和问题画线段图使数量关系⼀⽇了然,差倍问题的数量关系式是:两数差÷(倍数-1)=⼩数(1倍数)⼩数×倍数=⼤数(⼏倍数)或较⼩数+差=较⼤数。
例题精讲例1有两个仓库共存货物360吨,已知甲仓库所存货物是⼄仓库的2倍,甲、⼄两个仓库各存货物多少吨分析:根据题中“甲仓库所存货物是⼄仓库的2倍”这⼀条件,确定⼄仓库所存货物量为标准数(即1倍数),那么甲仓库所存货物就是2倍数,甲、⼄两仓库的倍数和就是(2+1);正好是两仓库所存货物总数即360吨,就可求出1倍数的存货量,⽤线段图表⽰为解:(1)甲、⼄两个仓库共存货物是⼄仓库的多少倍2+1=32)⼄仓库存货物多少吨360÷3=120(吨)(3)甲仓库存货物多少吨120×2=240(吨)或36 240(吨)综合算式：甲仓库:360÷(2+1)×2=240(吨)或360-360÷(2+1)=240(吨)⼄仓库:360÷(2+1)=120(吨答:甲仓库存货物240吨,⼄仓库存货物120吨。
小学奥数趣味学习《差倍问题》典型例题及解答
小学奥数趣味学习《差倍问题》典型例题及解答已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。
数量关系：两个数的差÷（几倍－1）=较小的数较小的数×几倍=较大的数解题思路和方法：简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。
例题1：莉莉的科技书比故事书多16本，科技书是故事书3倍，莉莉有科技书（）本。
A、8B、12C、16D、24解：1、解决差倍问题，可以画线段图解决，也可以直接套用公式解决。
2、把故事书的本数看作1倍数，科技书的本数就是3倍数，科技书比故事书多16本，所以根据差倍公式两个数的差÷（几倍－1）=较小的数，可以求出故事书有16÷2=8本。
3、根据差倍公式较小的数×几倍=较大的数，可以求出科技书有8×3=24本。
例题2：甲桶油是乙桶油4倍，如果从甲桶倒出15千克给乙桶，两桶油的重量就相等了，则原来甲桶有油 ____ 千克，乙桶有油 ____ 千克。
解：1、根据题意，从甲桶倒出15千克给乙桶，两桶油的重量就相等了，说明原来甲桶油比乙桶油多15×2=30（千克）。
2、根据差倍公式两个数的差÷（几倍-1）=较小的数，可以求出乙桶有油30÷（4-1）=10（千克）。
3、根据差倍公式较小的数×几倍=较大的数，可以求出甲桶原有油10×4=40（千克）。
例题3：每件成品需要5个甲零件，2个乙零件。
开始时，甲零件的数量是乙零件数量的2倍，加工了30个成品之后甲零件和乙零件的数量一样多，那么还可以加工 _____ 个成品。
解：1、加工一个成品，甲零件比乙零件多用5-2=3（个），加工30个成品，甲零件比乙零件多用3×30=90（个）。
根据“加工了30个成品之后甲零件和乙零件的数量一样多”说明原来甲零件比乙零件多90个。
2、把乙原来的零件数看成1倍，甲就是这样的2倍，甲比乙多1倍，对应90个，求出乙原来有90÷（2-1）=90（个）3、那么甲原来有90×2=180（个）零件。
小学奥数和差和倍差倍问题
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为美化校园，学校 买来松树、柏树和樟树共250 棵，松树的棵树比柏树的2倍多3棵，樟树比柏树 少5棵。求学校买回松树、柏树、樟树各多少棵？
•列式如下： • 柏树：（250+5-3）÷（1+1+2）=63（棵） • 松树：63×2+3=129（棵） • 樟树：63-5=58（棵）
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练一练 • 1，三筐苹果共130个，第二筐苹果的个数是第一筐
的3倍，第三筐苹果的个数比第一筐的6倍多10个。 问三筐苹果各是多少个？
• 2，少先队一、二、三中队共植树165棵，二中队植 树的棵树比一中队的2倍多5棵，三中队植树的棵树 比一中队的3倍少20棵。三个中队各植树多少棵？
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• 被除数与除数的和为320，商是7，被除数和除 数各是多少？
？
•
除数
被除数
解：现在每层书数：270÷3=90本
第一层：90+20=110本
第二层：90-20=70本
第三层：90+17=107本
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和倍问题
方法教学： 让解题过程变得清晰可见。
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专题简析：
• 已知两个数的和与两个数间的倍数关系，求 这两个数分别是多少，像这样的应用题，通 常叫做和倍问题。要想顺利地解答和倍应用 题，最好的方法就是根据题意，画出线段图， 使数量关系一目了然，从而正确列式解答。
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练一练
• 1，小红和小明共有压岁钱800元，小红的钱数是 小明的3倍。小红和小明、三年级，已知三年 级所得本数是二年级的2倍。二、三年级各得图书 多少本？
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例2：学校食堂里运来大米和面粉共1450千克，其 中大米比面粉重量的3倍少150千克，求运来大米 和面粉各多少千克？
线段图在和差倍问题中的应用
数 学 教学 不仅要 传授 知识 ， 还 需挖 掘一 类题 目中蕴含 的
数学 方法 ， 进 行 归纳 总结 ， 使学 生更 系统 地理解 数 学、 掌握数 学， 形成 一定 的数 学意识 。不 管是 和差 问题 、 和 倍 问题 还 是 差倍 问题 ， 究其 根 本 ， 都是 从倍 数来考 虑 然后解 题 。在 图 １
一
确、 完 整地 说 出题 目中 的所 有 信息 ， 并 重 新 组 织成 为一 个 具 体 的实 际 问 题 ， 则 可 以说 明他 们 已经 读 懂 线 段 图 ， 理解 了线 段图所 表达 的信 息 ， 解 决 问题就 轻而 易举 了。 （ 三） 化数 为图 。 深化 策略 意识 根据题 意 ， 把所 有 的 已知条件 和 问题通 过线 段 图的形式 呈现 出来 ， 需要 学 生把抽 象 转化 为形象 ， 让学 生经历 由抽 象
（ １ ２ ） 枚
思路也 会更 加清 晰 。即便 是遇 到 了变 式题 ， 也 能够 根据 自己
的经验 进行 判 断和解 决 。
小春
图 １ 线 段 图 上 的 数 量 关 系
二、 发 展“ 线段 图 思维” 在小 学数 学学 习中的 意 义
线段 图是 一种 重要 的数 形 结合 的思想 方法 ， 它 可 以把 条 件、 问题清 晰化 ， 数量 关 系 明 确化 ， 激 活 学 生 的解 题 思 路 ， 在 帮 助 学生 解决 问题 时 起到 了非 常 重要 的作 用 。同时 ， 它 在 和 差 倍 问题 中 的应用 也 是 比较基 础 的 ， 在 教学 时 要经 常渗 透 线 段 图的 教 学 ， 养 成 不会 做 题 时 就画 图 的习 惯 ， 提 高 学 生 分 析 问题 、 解 决 问题 的能 力 ， 发 展学 生 的思维 ， 为 后面 解 决更 复 杂 的应用题 奠 定扎 实基 础 。
差倍应用题2
差倍应用题与和倍应用题相似的是差倍应用题。
它的“基本数学格式”是：已知大、小二数之“差”，又知大数是小数的几倍，求大、小二数各是多少。
上面的问题中，有“差”、有“倍数”，所以叫做差倍应用题。
“差”是小数(即“1倍”数)的(倍数-1)倍，所以，小数=差÷(倍数-1)。
上式称为差倍公式。
由此得到大数=小数+差，或大数=小数×倍数。
例如，大、小数之差是152，大数是小数的5倍，则小数=152÷(5-1)=38，大数=38＋152=190或38×5＝190。
例1王师傅一天生产的零件比他的徒弟一天生产的零件多128个，且是徒弟的3倍。
师徒二人一天各生产多少个零件？分析：师徒二人一天生产的零件的“差”是128个。
小数(即“1倍”数)是徒弟一天生产的零件数，“倍数”为3。
由差倍公式可以求解。
解：徒弟一天生产零件128÷(3-1)=64(个)，师傅一天生产零件128＋64＝192(个)或64×3＝192(个)。
答：徒弟、师傅一天分别生产零件64个和192个。
例2两根电线的长相差30米，长的那根的长是短的那根的长的4倍。
这两根电线各长多少米？解：“差”＝30，倍数=4，由差倍公式得短的电线长：30÷(4-1)＝10(米)，长的电线长：10＋30＝40(米)或10×4＝40(米)。
答：短的电线长10米，长的电线长40米。
陆先生刚理发完，便要求理发师降他的头发“中分”理发师说做不到，为什么？解差倍应用题的关键是确定“1倍”数是谁，“差”是什么。
上两例中，“1倍”数及“差”都极明显地直接给出。
下面讲两个稍有变化，不直接给出“差”和“1倍”数的例子。
例3小云比小雨少20本书，后来小云丢了5本书，小雨新买了11本书，这时小雨的书比小云的书多2倍。
问：原来两人各有多少本书？分析与解：“小雨的书比小云的书多2倍”，即小雨的书是小云的书的3倍。
这个“倍数”是变化后的，所以“1倍”数应是小云变化后的书(见下图)。
解差倍问题的“金钥匙”——线段图
解差倍问题的“金钥匙”——线段图作者：李云霞来源：《数学小灵通·3-4年级》2015年第02期已知两个数的差与两个数的倍数关系，求两个数各是多少，这类问题就是差倍问题。
解答这类问题时，如果我们能画出线段图分析，就能迅速找到解题的“金钥匙”。
例1.有大小两个鱼缸，原有鱼数相等。
如果从小鱼缸里拿出5尾鱼放到大鱼缸里，大鱼缸里的鱼数是小鱼缸里鱼数的3倍，大、小鱼缸原来各有多少尾鱼？我是这样解的。
从“这时大鱼缸里的鱼数是小鱼缸里鱼数的3倍”，很容易求出大、小鱼缸里鱼数的倍数差为3-1=2倍，但是与2倍相对应的两缸鱼数的差是多少呢？我们画出线段图就能看得很清楚。
从线段图上可以清楚地看出：大小两个鱼缸，原有鱼数相等，如果从小鱼缸里拿出5尾鱼放到大鱼缸里，大鱼缸里的鱼数就比小鱼缸里的鱼数多了两个5尾，即多了5+5=10（尾），而这1 0尾鱼正好与“大、小鱼缸里鱼数的倍数差2倍”相对应，这样就可以求出1倍数是10÷2=5（尾），进而求出大、小鱼缸原来各有鱼5×2=10（尾）。
综合算式为：（5+5）÷（3-1）×2=10（尾）。
例2.男、女学生参加劳动，如果少去1名男生，男女生人数相等；如果少去1名女生，男生人数是女生人数的2倍，男、女学生各有多少人？我是这样解的。
这道题是数量关系比较复杂而隐蔽的差倍问题，我们可以画出线段图从中寻求解题思路。
从线段图上可以清楚地看出：如果少去1名男生，男女生人数相等，可见男生比女生多1人；少去1名女生，男生比女生多1+1=2（人）；与2人相对应的倍数差是2-1=1倍，这说明1倍数正好是2人，所以女生有2+1=3（人），男生有2+1+1=4（人）。
综合算式为：女生有（1 +1）÷（2-1）+1 =3（人），男生有3+1=4（人）。
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应用题——利用线段图解决及倍差倍问题
线段图是一种常见的数据可视化工具，可以用来解决各种计量问题。
在实际应用中，我们经常会遇到一种问题，即如何利用线段图解决及
倍差倍问题。
通过分析线段图上的长度关系，我们可以得到满足题目
要求的解答。
本文将详细介绍如何应用线段图解决及倍差倍问题。
一、线段图的基本概念
在开始介绍如何应用线段图解决及倍差倍问题之前，我们先来了解
一下线段图的基本概念。
线段图由多个线段组成，每个线段表示一个
数值。
线段的长度代表相应数值的大小。
线段图可以用来展示不同类
别或不同变量之间的比较关系，使数据更加直观和易于理解。
二、及倍差倍问题的定义
及倍差倍问题是一类常见的数学问题，通常涉及到人口增长、物体
搬运等领域。
具体而言，及倍差倍问题要求我们在已知某个数值的前
提下，求解相对于该数值的倍数增长或倍数减少的另一个数值。
三、利用线段图解决及倍差倍问题的步骤
下面我们将具体介绍如何利用线段图解决及倍差倍问题的步骤，以
帮助读者更好地理解和应用。
1. 收集已知信息并绘制线段图
首先，我们需要收集已知信息，并按照线段的长度进行绘制。
根据
题目要求，确定线段的长度代表的数值，并在坐标轴上进行标注。
2. 分析线段长度
接下来，我们要分析线段的长度之间的关系。
根据题目要求，判断哪些线段表示及倍差倍关系。
通常，及倍差倍关系的线段长度之间会存在一定的比例关系。
3. 计算未知数值
在分析线段长度之间的关系后，我们可以利用已知数值推导出未知数值。
根据线段的比例关系，进行简单的数学计算，求解未知数值。
4. 检验答案
最后，我们应该检验所得的答案是否满足题目要求。
将求得的未知数值代入题目中进行验证，确保结果的准确性。
四、应用实例
为了更好地理解如何应用线段图解决及倍差倍问题，我们来看一个具体的实例。
假设某城市人口在2000年为500万，按照每年人口增长20%，我们需要求解该城市在2020年的人口。
首先，我们根据已知信息绘制线段图。
将2000年的人口表示为一条线段，长度为500万。
接下来，根据题目要求，分析线段长度之间的关系。
题目中给出的人口增长率为20%，即每年的人口增加0.2倍。
因此，我们可以得出线段长度之间的比例关系：2020年的人口是2000年人口的1加0.2倍。
然后，我们根据线段的比例关系进行计算。
将2000年的人口500
万乘以1加0.2，即可得到2020年的人口。
最后，我们将求得的结果代入题目中进行验证，确保答案的正确性。
五、总结
通过以上步骤，我们可以利用线段图解决及倍差倍问题。
线段图作
为一种直观、易于理解的数据可视化工具，可以帮助我们更好地分析
和解决各种计量问题。
在实际应用中，我们还可以将线段图与其他统
计方法相结合，进一步提高问题解决的准确性和效率。
总的来说，应用线段图解决及倍差倍问题需要通过收集已知信息、
绘制线段图、分析线段长度关系、计算未知数值和进行答案验证等步骤。
通过这样的分析方法，我们可以有效地解决线段图相关的问题，
并得出准确的答案。
文末不需要再次重复题目或其他内容，以上是关于应用线段图解决
及倍差倍问题的文章。