江苏省淮安市洪泽中学2011届高三数学上学期期末检测

QO F 2F 1Py 江苏省洪泽中学2011届高三上学期期末检测（数学）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共90分。

）1．已知2112{|lg 0},{|222,}x M x x N x x Z -+===<<∈,则MN = ▲ .2．34sin (cos )55i θθ-+-（）是纯虚数，则=θtan ▲ .3．若双曲线经过点(3,2)，渐近线方程是13y x =±，则这条双曲线的方程是 ▲ . 4．函数()tan 42y x ππ=-的部分图像如图所示，则()OA OB AB +⋅= ▲ .5．下右图是一个算法的程序框图，该算法所输出的结果是 ▲ .6．一个学校高三年级共有学生200人，其中男生有120人，女生有80人，为了调查高 三复习状况，用分层抽样的方法从全体高三学生中抽取一个容量为25的样本，应抽取女 生的人数 ▲ 人。

7．设x ，y 满足约束条件3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，若目标函数x y z a b =+（a ＞0,b ＞0）的最大值为10，则5a+4b 的最小值为 ▲ .8．连续两次掷一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正 方体玩具），记出现向上的点数分别为,m n ，设向量(),m n =a ，()3,3=-b ，则a 与b 的夹角为锐角的概率是 ▲ 。

9．如上图，已知12,F F 是椭圆2222:1x y C a b+= (0)a b >>的左、右焦点，点P 在椭圆C上，线段2PF 与圆222x y b +=相切于点Q ，且点Q 为线段2PF 的中点，则椭圆C 的离 心率为 ▲ .10．已知不等式222xy ax y ≤+,若对任意[1,2]x ∈及[2,3]y ∈该不等式恒成立，则实 数a 的取值范围是 ▲ 。

BBA yx 1 O 第4题第9题11．设()y f x =定义域R ，对于给的正数k ，定义函数()()()()k f x f x k f x kf x k≤⎧=⎨>⎩取函数x x f 2log )(=，当21=k 时，函数()k f x 的单调递增区间为 ▲ 。

12．已知P 为抛物线x y 42=的焦点,过P 的直线l 与抛物线交与A,B 两点，若Q 在直线 l 上,且满足||||||||AP QB AQ PB =，则点Q 总在定直线1x =-上．试猜测如果P 为椭圆221259x y +=的左焦点，过P 的直线l 与椭圆交与A,B 两点，若Q 在直线l 上,且满足 ||||||||AP QB AQ PB =，则点Q 总在定直线 ▲ 上．13．记数列{}n a 是首项1a a =，公差为2的等差数列；数列{}n b 满足2(1)n n b n a =+， 若对任意*n N ∈都有5n b b ≥成立，则实数a 的取值范围为 。

14.设5021,,,a a a 是从1,0,1-这三个整数中取值的数列，若95021=+++a a a ，且107)1()1()1(2502221=++++++a a a ，则5021,,,a a a 中数字0的个为 ▲ .二．解答题 15．（本小题满分14分）已知向量2(3sin ,1),(cos ,cos )444x x xm n ==.（1）若1m n ⋅=,求2cos()3x π-的值； （2）记()f x m n =⋅，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ,b ,c ，且满足C b B c a cos cos )2(=-，求函数f (A )的取值范围.16．(本小题满分14分)直棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是直角梯形，∠BAD ＝∠ADC ＝90°，222AB AD CD ===． （1）求证：AC ⊥平面BB 1C 1C ；（2）在A 1B 1上是否存一点P ，使得DP 与平面BCB 1与平面ACB 1都平行？证明你的结论．17.如图所示，某市政府决定在以政府大楼O 为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆.为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要 求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼.设扇形的 半径OM R = ，45MOP ∠=，OB 与OM 之间的夹角为θ.（1）将图书馆底面矩形ABCD 的面积S 表示成θ的函数.（2）若45R m =，求当θ为何值时，矩形ABCD 的面积S 有最大值？CDMQFxNMOyA B l :x =t 其最大值是多少？(精确到0.01m 2) 18．（本题满分15分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，椭圆的左、右两个顶点分别为A ，B ，AB=4，直线(22)x t t =-<<与椭圆相交于M ，N 两点，经过三点A ，M ，N 的圆与经过三点B ，M ，N 的圆分别记为圆C1与圆C2．（1）求椭圆的方程；（2）求证：无论t 如何变化，圆C1与圆C2的圆心距是定值； （3）当t 变化时，求圆C1与圆C2的面积的和S 的最小值． 19．（本题满分16分） 设数列}{n a 的通项是关于x 的不等式x n x x )12(2-<- 的解集中整数的个数。

（1）求n a 并且证明}{n a 是等差数列； （2）设m 、k 、p ∈N *，m +p =2k ，求证：m S 1＋p S 1≥kS 2； （3）对于（2）中的命题，对一般的各项均为正数的等差数列还成立吗？如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． 20．（本题满分16分） 已知函数2()f x x x λλ=+，()ln g x x x λ=+，()()()h x f x g x =+，其中R λ∈， 且0λ≠.⑴当1λ=-时，求函数()g x 的最大值；⑵求函数()h x 的单调区间；⑶设函数(),0,()(),0.f x x xg x x ϕ≤⎧=⎨>⎩若对任意给定的非零实数x ，存在非零实数t （t x ≠），使得'()'()x t ϕϕ=成立，求实数λ的取值范围.江苏省洪泽中学2011届高三数学期末检测答案1.{}1-2. 43-3.2219x y -= 4.6 5.34 6.10 7. 8 8. 51210. 1a ≥- 11. (]2,0 12. 254x =-13. [-22,-18] 14. 11 15.解：（1）23sin cos cos 444x xxm n ⋅=⋅+ 1sin()262x π=++∵1m n ⋅= ∴1sin()262x π+= ┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分211cos()12sin ()23262x x ππ+=-+= 21cos()cos()332x x ππ-=-+=- ┉┉┉7分（2）∵（2a -c ）cos B =b cos C由正弦定理得(2sinA -sin C)cos B=sinBcosC ┉┉┉┉┉┉8分 ∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC ∴2sinAcosB=sin(B+C)∵A B C π++= ∴sin()sin 0B C A +=≠，∴1cos ,23B B π== ∴203A π<< ┉┉┉┉┉┉11分∴1,sin()(,1)6262262A A ππππ<+<+∈ ┉┉┉┉┉┉12分 又∵1()sin()262x f x π=++,∴1()sin()262A f A π=++ ┉┉┉┉┉┉13分故函数f (A )的取值范围是3(1,)2. ┉┉┉┉┉┉14分16． 证明：（Ⅰ） 直棱柱1111ABCD A B C D -中，BB 1⊥平面ABCD ，∴BB 1⊥AC ． …2分 又∠BAD ＝∠ADC ＝90°，222AB AD CD ===，∴AC CAB ＝45°，∴BC ，∴ BC ⊥AC ． …………………4分[ 又1BB BC B =，1,BB BC ⊂平面BB 1C 1C ，∴ AC ⊥平面BB 1C 1C ． ……7分（Ⅱ）存在点P ，P 为A 1B 1的中点． ………………………………………………8分 证明：由P 为A 1B 1的中点，有PB 1‖AB ，且PB 1＝12AB ． ……………………10分又∵DC ‖AB ，DC ＝12AB ，∴DC ∥PB 1，且DC ＝ PB 1， ∴DC B 1P 为平行四边形，从而CB 1∥DP ．又CB 1⊂面ACB 1，DP ⊄面ACB 1，∴DP ‖面ACB 1． ……………………12分 同理，DP ‖面BCB 1． …………………………………………………………14分17.【解】（Ⅰ）由题意可知，点M 为PQ 的中点，所以OM AD ⊥. 设OM 于BC 的交点为F ，则2sin BC R θ=，cos OF R θ=.1cos sin 2AB OF AD R R θθ=-=-. 所以2sin (cos sin )S AB BC R R R θθθ=⋅=-22(2sin cos 2sin )R θθθ=-2(sin 21cos 2)R θθ=-+22sin(2)4R πθ=+-，(0,)4πθ∈ .（Ⅱ）因为(0,)4πθ∈ ，则32(,)444πππθ+∈ .所以当 242ππθ+=，即8πθ=时，S 有最大值.2max 1)S R =21)450.4142025838.35=⨯=⨯=.故当8πθ=时，矩形ABCD 的面积S 有最大值838.35m 2.18．解：（1）由题意：42,23==a a c 可得：1,3,2222=-===c a b c a ， 故所求椭圆方程为：=+224y x 1 ………………………3分 （2）易得A 的坐标(－2，0)，B 的坐标(2,0)，M 的坐标)24,(2t t -，N 的坐标)24,(2t t --， 线段AM 的中点P )44,22(2t t --， 直线AM 的斜率t t t t k +-=+-=222122421 ………………………………………5分又AM PC ⊥1, ∴直线1PC 的斜率t tk -+-=2222∴直线1PC 的方程44)22(2222t t x t t y -+---+-=，∴1C 的坐标为)0,863(-t 同理2C 的坐标为)0,863(+t ………………………… 8分∴2321=C C ,即无论t 如何变化，为圆C1与圆C2的圆心距是定值.…………… 11分（2）圆1C 的半径为1AC 8103+=t ，圆2C 的半径为83102tBC -=，则)1009(3222221+=+=t BC AC S πππ （2-＜t ＜2）显然t 0=时，S 最小，825min π=S . …………… 15分19．解：（1）不等式x n x x )12(2-<-即0)2(<-n x x解得：n x 20<<，其中整数有2n-1个12-=∴n a n …………………3分 由通项公式可得：21=--n n a a ，所以数列}{n a 是等差数列…………………4分（2）由（1）知22)121(n n n S n =-+=，∴ S m =m 2，S p =p 2，S k =k 2． 由222211211k p m S S S k p m -+=-+222222222)(kp m p m p m k -+= ≥2222222kp m p m mp mp -⋅=0， 即p m S S 11+≥kS 2． ………………………………………………………………10分 （3）结论成立，证明如下：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则2)(2)1(11n n a a n d n n na S +=-+=， ∵ ])1(2[2)1(2)1(2111d k k ka d p p pa d m m ma S S S k p m -+--++-+=-+ ])(2[2)()(21221d k k ka d p m p m a p m -+-+-+++=，把k p m 2=+代入上式化简得k p m S S S 2-+=4)(2)2(22222d p m d p m p m -=⋅+⨯-+≥0，∴ S m +S p ≥2S k ．又4))((11p m p m a a a a mp S S ++=⋅=4])([121p m p m a a a a a a mp ⋅+++≤4])2(2[)2(21212p m k a a a a a p m ++⋅++4)2(21212k k a a a a k ++=4)(212k a a k +=2)2(k S =，∴ pm p m p m S S S S S S +=+11≥k k k S S S 2)2(22=． 故原不等式得证．………………………………………………………………16分20．解：⑴当1λ=-时，()ln ,(0)g x x x x =-> ∴11()1,(0)x g x x x x-'=-=> 令()0g x '=，则1x =， ∴()ln g x x x =-在(0, 1)上单调递增，在(1, +)∞上单调递减∴max ()(1)1g x g ==- ----------------------------4分⑵2()2ln h x x x x λλ=++，21221'()22x x h x x x xλλλλ++=++=，（0x >）∴当0λ>时，'()0h x >，∴函数()h x 的增区间为(0,)+∞，当0λ<时，2(22'()x x h x xλλλ=，当x >时，'()0h x <，函数()h x 是减函数；当0x <时，'()0h x >，函数()h x 是增函数。