数列求和7种方法

1、2、3、5、一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法n(a1 a n) “ n(n - 1)dna1 d2等差数列求和公式:等比数列求和公式:S nS n=^n(n 1)2nS n 八k3k 4［例1］已知log 3 x解：由log3x* a1 (1 -q.1-qa i —^n qi -q(q =1)、& 八k2n(n 1)(2n 1)-1 2 3，求x x x 'I Xn项和.log 23-1=log 3 -log3 2 =log 2 31x =—2由等比数列求和公式得S n = x x2x3(利用常用公式)［例2］设S= 1+2+3+…+n, n€ N,求f (n)解: 由等差数列求和公式得S n•••当题1.等比数列S nf(n) ,n 32)S n 1x(1 x n)1 -xSn1 1齐-班)_ 1丄1一1 —歹2(n 32)Sm的最大值.1」n(n1), S22n 34n 641= -(n 1)( n 2)2(利用常用公式)1n 34 64(、n 8 )250n J n— 8、n ——，即 n= 8 时，f (n)(8max1502 2J 的前n项和 S n= 2n- 1,则Ll'i 〔4—1练习题1 已知 1 f ，求数列｛ a n ｝的前n 项和S. 答案爲二〃2" _ 1$ _ 22心二泌-2"+1 答案： -1 3 5 加-1■ ■ ' '■■'・' ______ ■ ■ ■练习题2 221V2"的前n 项和为 ____题 2.若 12+22+…+(n -1) 2=an 3+bn 2+cn ,贝H a = , b = , c = __________(卑T)用•(沏-1) 2h-划+罔 1 1J 解: 原式= •」 . 答案：_ _ 1 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法， 这种方法主要用于求数列｛a n • b n ｝的前n项和，其中｛ a n ｝、｛ b n ｝分别是等差数列和等比数列 • ［例 3］求和：S n =1 3x 5x 2 7x 3（2n -1）x nJL.............. ①解：由题可知，｛ （2 n-L ）x n J ｝的通项是等差数列｛2n — 1｝的通项与等比数列｛x n」｝的通项之积设xS n =1x 3x 2 5x 3 • 7x 4心……爲（2n- 1）x n..................... .②（设制错位） ①—②得（1 -x ）^ =1 2x 2x 2 2x 3 • 2x 4「一 2x nJ -（2 n-1）x n（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n J1 — X(1 _x)S n=1 2x(2n _ 1)x nS n =(2n - 1)x n 1 -(2n 1)x n (1 x)(1-x)2［例4］求数列2, 42 , 63 ,，前n 项的和.2 2 2 2解：由题可知,出｝的通项是等差数列｛2n ｝的通项与等比数列｛2n｝的通项之积设S nWn2n①•②1 2 2 ①-②得（一評匸歹F IF-/n（设制错位） （错位相减）S n 1^_2nJ2n-4 -答案:— 、反序相加法求和 这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序） 数列相加，就可以得到 n 个（a 1 a n ）. ［例 5］求证：c ： 3C ： 5C ； （2n 1）C ： =（n 1）2n ，再把它与原证明：设 S n =C n ■ 3C 15C^. . (2n . 1)C ： .............. ..①把①式右边倒转过来得S n =(2n 1)C ： (2 n-1)C ：「3C ： C ：又由o m 二可得1n 1 nS n -(2n 1)C n (2n- 1)C n 3C n - C n .......... . ……..②① + ②得 2S n =(2n+2)(C ： +C ： + …y +C ：) = 2(n +1) 2n5 =(n 1) 2n［例 6］求 sin 1 sin 2 sin 3 飞in 88 sin 89 的值 （反序）（反序相加）(2) 2 ' 2 ' 2 ' 2 ••• 2 " 解：设 S = sin 1 sin 2 sin 3 亠 亠 sin 88 sin 89 .................... ① 将①式右边反序得 2 0 2。

2 0 2 0 2。

S = sin 89 sin 8^ sin 3 sin 2 sin 1 ................ ② 2 2 又因为 sinx=cos(90 —x),sin x cos x= 1 ①+②得 n O n O n n -Q n O n O2S=(sin 21 cos 21 ) (sin 22 cos 22 (sin 289cos 289 ) = 89S = 44.5已知函数（1）证明：「—」1 解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边的值.（反序）（反序相加）102+ * - 1- —K :102+T四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、 常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可1 1 1［例7］求数列的前n 项和：1 1, 4,—^ ；—石・3n 「2，…a a a n1 1 1解：设 S n = （1 1） （ 4）（亍 7）（一ny 3n _2）a a annS n = k(k 1)(2k1) =、(2k 3 3k 2k)k =1k#将其每一项拆开再重新组合得nnnS= 2 k 33' k 2\ k k =1（2）利用第（1）小题已经证明的结论可知,2S = 9x /-=9uoje两式相加得: 所以练习、求值:I 322F+1?+2M等比或a aa当a = 1时，S n丄(3n —1)n (3n 二 n = -1)n2 2当a =1时， S n1_ 11a n+(3Tn 1 _na 「a(3n-1)n1-1 2 a -12a［例 8］求数列｛n(n+1)(2n+11)} 的前n 项和.（分组） （分组求（分组）k =1将其每一项拆开再重新组合得S n =(114 4 • (1 4 7 Vn-2)解：设 a k = k(k 1)(2k 1) = 2k 3 3k 2k=2(1323…n3) 3(12 22…n2) (1 2 Fn2(n 1)2n(n 1)(2 n 1) n(n 1)2 2 2n(n 1)2( n 2)2 （分组求和）五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如:(1) a n =f (n 1) -f(n) (2)sin1tan(n 1) -tann cosn cos(n 1)(3) an n(n 1) (4) a n(2n)2十〕(二(2n-1)(2 n 1) 2 2n—1 2n 1(5)(7)(8) [例9]a na na nann(n -1)(n 2)n(n 1) 2n求数列2 n(n 1)2(n 1) -n n(n 1)(n1)(n 2)]n -1 n2 (n 1)21，则Sn=1(n - 1)2n (An B)(An C) C - B An B An C1 _______ 11 、2 ' • 2• . 3…的前n项和.解：设a n = [--- = J n +1 - TnJ n 十Jn +1S n—11 <2 ■■ 2.3id-（裂项）（裂项求和）=(2 - “ 1)(、3 i：£2) ,扌n 1 -、n)=n 1-1=8(1[例 10] 在数列｛a n ｝中,a n 二 ，又 b n，求数列｛b n ｝的前n 项的和.解: a nan an 1n 111=8(——)n n 1（裂项）数列｛b n ｝的前n 项和1 11 1111 1“r （厂3）（厂）弋（裂项求和）[例 11] 求证: 解: cos1cos0 cos1 cos1 cos2 cos88 cos89sin 21设S = cos0 cos1 cos1 cos 2 cos88 cos89sin 1tan(n 1) -tann cos n cos(n 1) （裂项） ••• S 二 cos0 cos1 cos1 cos 2=—1—{(tan 1 - tan0 ) (tan 2 - tan1 ) (tan3 - tan2 ) [tan 89 - tan88 ]} sin 1cos88 cos89（裂项求和）=-^ (tan 89 -tan 0 ) = cot1 = 竽1sin 1sin 1sin 1• 原等式成立1 1 1+ ■ + …+ -- =练习题1. _________n答案：二i.. 1 1 1 1练习题2。

"4 3・5 4・6 伪+1)0+3) 1 〔1 1 1 1 ) ― 一 + —答案： 2 U 3 2S + 2 n + + —-+■—-+…+ -----------六、分段求和法（合并法求和）针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这8n些项放在一起先求和，然后再求S n .+ cos2 ° + cos3 ° + …+ cos178 ° + cos2 ° + cos3 ° + •…+cos178$002= a 〔 ■ a? a 3 ■… a 2002a1-1, a2-3, a3 = 2> an 2 ~ an d _ an 可得a^ = -1, = - 3, = -2$002= a 1a 2 a 3 亠 a 2002aj(a 6k 1a 6「2 a 6k 6)=(a a ? a ?a 6)(a ? a $十…+(印 993 +^994 + ' 'a1998)+a1999 + a 2000 * a 2001 * a2002=a1999 a2000' a2001'a2002=a6k 1a6k 2a6k 3 玄总牌=5［例14］在各项均为正数的等比数列中，若a 5a 6 =9,求log 3 a • log 3 a 2亠 亠log 3 a 10的值.解：设 S n =log 3 a 1 log 3a 2也印。