2023届四川省成都市高三三诊文科数学试卷(word版)
四川省成都市2023届高三三诊文科数学试题(1)
一、单选题1. 如图，在棱长为1的正方体中，P为棱的中点，Q为正方形内一动点（含边界），则下列说法中的是（ ）A ．若平面，则动点Q 的轨迹是一条线段B ．存在Q 点，使得平面C ．当且仅当Q点落在棱上某点处时，三棱锥的体积最大D ．若，那么Q点的轨迹长度为不正确2. 已知，为单位向量，若，则与的夹角为（ ）A．B．C．D．3. 已知函数，若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值可以是（ ）A．B ．1C ．2D ．34. 下列函数中，与函数的奇偶性、单调性相同的是A．B．C．D．5. 传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着“圆柱容球”，即：一个圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.如图是一个圆柱容球，为圆柱上下底面的圆心，为球心，为底面圆的一条直径，若球的半径，则平面DEF 截球所得的截面面积最小值为（）A．B．C．D．6. “天问一号”是我国自主研发的第一个火星探测器，于2020年7月23日发射升空，2021年2月10日成功地进入火星轨道，并于2021年3月4日传来幅高清火星影像图.已知火星的质量约为，“天问一号”的质量约为，则（ ）（参考数据：，，）A．B．C．D．7. 如图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图像．由图像可知，下列说法中错误的是( )四川省成都市2023届高三三诊文科数学试题(1)四川省成都市2023届高三三诊文科数学试题(1)二、多选题三、填空题A ．这天15时的温度最高B ．这天3时的温度最低C ．这天的最高温度与最低温度相差13℃D ．这天21时的温度是30℃8. 四棱锥中，点，分别在棱，上，且为中点，则“平面”是“是中点”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9.满足，且的集合M 可能是（ ）A．B．C．D．10. 为了得到函数的图象，只需把余弦曲线上所有的点（ ）A．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移C．向右平移，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D．向右平移，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变11.已知实数满足，则（ ）A．B．C．D ．当最小时，12. 下列不等关系中正确的是（ ）A．B．C．D．13. 已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与交于A ，B 两点.若的周长为12，则的虚轴长为__________.14.若函数在点处的切线过点，则实数___________.15.已知数列满足，，记数列的前n 项和为，若存在正整数m ，k，使得，四、解答题则m 的值是___________.16.如图，是的直径，点是上的动点，垂直于所在的平面．（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）设，求三棱锥的高．17. 记的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，已知．(1)若，求A ；(2)若，，求的面积．18.在中，.(1)求角C 的大小.(2)若，的面积为，D 为AB 的中点，求CD 的长.19.已知函数．（1）求函数在区间上的单调递增区间；（2）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若且，求函数在区间上的取值范围．20. 某公司为了对某种商品进行合理定价，需了解该商品的月销售量（单位：万件）与月销售单价（单位：元/件）之间的关系，对近个月的月销售量和月销售单价数据进行了统计分析，得到一组检测数据如表所示：月销售单价（元/件）月销售量（万件）（1）若用线性回归模型拟合与之间的关系，现有甲、乙、丙三位实习员工求得回归直线方程分别为：，和，其中有且仅有一位实习员工的计算结果是正确的．请结合统计学的相关知识，判断哪位实习员工的计算结果是正确的，并说明理由；（2）若用模型拟合与之间的关系，可得回归方程为，经计算该模型和（1）中正确的线性回归模型的相关指数分别为和，请用说明哪个回归模型的拟合效果更好；（3）已知该商品的月销售额为（单位：万元），利用（2）中的结果回答问题：当月销售单价为何值时，商品的月销售额预报值最大？（精确到）参考数据：.21. 已知的展开式中各项的二项式系数之和为32.（1）求的值及展开式中项的系数（2）求展开式中的常数项。
2023_2024学年四川省成都市高三下册三诊模拟考试数学(文)模拟测试卷(附答案)
2023_2024学年四川省成都市高三下册三诊模拟数学（文）试题一、单选题1．已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为U =R {}2log 2A x x =≤∣{}15B x x =<<∣（）A ．B ．C ．D ．{}5x x ≤{}01x x <≤{}4x x ≤{}15x x <≤【正确答案】B【分析】由题知图中阴影部分表示的集合为，，再根据集合运算求()U A B ð{}04A x x =<≤解即可.【详解】解：由图可得，图中阴影部分表示的集合为，()U AB ð因为，所以，222log log 4x ≤={}04A x x =<≤因为，所以或，{}15B x x =<<∣{1U B x x =≤ð}5x ≥所以.(){}01UB A x x ⋂=<≤ð故选：B.2．已知是虚数单位，复数，则复数z 的共轭复数为（ ）i 3ii 1i z +-=+A ．2B ．2C ．2D ．2-i -i【正确答案】A【分析】由复数的乘、除法运算化简复数，再由共轭复数的定义即可得出答案.【详解】因为，所以，()()()()3i 1i 3i 42ii 2i 1i 1i 1i 2z +-+--====-++-2z =所以复数的共轭复数还是2.z 故选：A.3．空气质量指数是评估空气质量状况的一组数字，空气质量指数划分为、、[)0,50[)50,100、、和六档，分别对应“优”、“良”、“轻度污染”、“中度[)100,150[)150,200[)200,300[]300,500污染”、“重度污染”和“严重污染”六个等级．如图是某市2月1日至14日连续14天的空气质量指数趋势图，则下面说法中正确的是（ ）．A ．这14天中有5天空气质量为“中度污染”B ．从2日到5日空气质量越来越好C ．这14天中空气质量指数的中位数是214D ．连续三天中空气质量指数方差最小是5日到7日【正确答案】B【分析】根据折线图直接分析各选项.【详解】A 选项：这14天中空气质量为“中度污染”有4日，6日，9日，10日，共4天，A 选项错误；B 选项：从2日到5日空气质量指数逐渐降低，空气质量越来越好，B 选项正确；C 选项：这14天中空气质量指数的中位数是，C 选项错误；179214196.52+=D 选项：方差表示波动情况，根据折线图可知连续三天中波动最小的是9日到11日，所以方程最小的是9日到11日，D 选项错误；故选：B.4．已知，则“”是“有两个不同的零点”的（ ）()2f x x ax a=-+4a >()f x A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】根据函数有2个零点，求参数的取值范围，再判断充分，必要条件.a 【详解】若有两个不同的零点，则，解得或，所以“”是()f x ()240a a ∆=-->4a >a<04a >“有两个不同的零点”的充分不必要条件.()f x 故选：A5．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）m n ，αβ，A ．m n m n ααββαβ⊂⊂⇒ ，，，B ．m n m nαβαβ⊂⊂⇒ ，，C ．m m n n αα⊥⊥⇒P ，D ．n m n m αα⊥⇒⊥ ，【正确答案】D【详解】若α∥β，m α，m β，则m ，n 可能平行也可能异面，故B 错误；若m ⊥α，m ⊥n ，⊂⊂则n ∥α或n α，故C 错误；若m α，n α，m ∥β，n ∥β，由于m ，n 不一定相交，故α∥β也⊂⊂⊂不一定成立，故A 错误；若m ∥n ，n ⊥α，根据线面垂直的第二判定定理，我们易得m ⊥α，故D 正确.6．设是等差数列的前项和，已知，，则（ ）n S {}n a n 36S =915S =12S =A ．16B ．18C ．20D ．22【正确答案】B【分析】根据等差数列前项和公式进行求解即可.n 【详解】设该等差数列的公差为，d 因为是等差数列的前项和，n S {}n a n 所以由，，可得，36S =915S =111191332692119981529a a d a d d ⎧⎧=+⨯⨯=⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪+⨯⨯==-⎪⎪⎩⎩所以，12191112121118929S ⎛⎫=⨯+⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭故选：B7．英国物理学家和数学家牛顿曾提出物体在常温环境下温度变化的冷却模型．如果物体的初始温度是，环境温度是，则经过物体的温度将满足，其中k1θ0θmin t θ()010e kt θθθθ-=+-是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数．现有的物体，若放在的空气中冷90C ︒10C ︒却，经过物体的温度为，则若使物体的温度为，需要冷却（ ）10min 50C ︒20C ︒A ．B ．C ．D ．17.5min 25.5min30min32.5min【正确答案】C 【分析】首先根据及物体经过物体的温度为得出的值，再求()010e ktθθθθ-=+-10min 50C ︒k出时的值即可．20θ=t 【详解】由题意得，，，代入，190θ=010θ=50θ=10t =，即，105010(9010)e k-=+-101e 2k -=所以，1ln 210k =所以，ln 210010()t eθθθθ-=+-由题意得，，代入，190θ=010θ=20θ=即，得，ln 2102010(9010)e t -=+-ln 2101e8t-=即， 解得，1ln 2ln 3ln 2108t -==-30t =即若使物体的温度为，需要冷却，20C ︒30min 故选：C ．8．已知双曲线的右焦点为为坐标原点，以为直径的圆与()2222:10,0x y C a b a b -=>>,F O OF双 曲线的一条渐近线交于点及点，则双曲线的方程为（ ）C O 32A ⎛ ⎝C A ．B ．C ．D ．2213y x -=22126x y -=2213x y -=22162x y -=【正确答案】C根据双曲线方程求出渐近线方程：，再将点代入可得，连接，b y x a =32A ⎛ ⎝b =FA，再由即可求解.=c 222c a b =+【详解】由双曲线，()2222:10,0x y C a b a b -=>>则渐近线方程：，b y x a =±，b ∴=连接，则，FA FA b AO a ===2c =所以，解得.2224c a b =+=223,1a b ==故双曲线方程为.2213x y -=故选：C本题考查了双曲线的几何性质，需掌握双曲线的渐近线求法，属于中档题.9．若三棱锥P -ABC 的所有顶点都在同一个球的表面上，其中PA ⊥平面ABC ，，PA =，，则该球的体积为（ ）2AB AC ==90BAC ∠=︒A ．B ．C ．D ．16π16π38π32π3【正确答案】D【分析】先补形为长方体，再根据长方体外接球计算球的体积即可.【详解】因为PA ⊥平面ABC ，，所以可将该三棱锥进行补形，补成一个长方体，90BAC ∠=︒从而长方体的外接球就是该三棱锥的外接球，则外接球的直径为，得，24R ===2R =故三棱锥P -ABC 的外接球的体积为.34π32π233⨯=故选：D.10．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，()πsin (0)4f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π4()g x 若在上单调递增，则的最大值为（ ）()g x π5π,44⎛⎫⎪⎝⎭ωA ．B ．C ．D ．1141234【正确答案】A【分析】求出的解析式，根据在上单调递增得可得答案.()g x ()g x π5π,44⎛⎫ ⎪⎝⎭πππ42ω+≤【详解】将的图象向右平移个单位长度后得到()πsin 4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π4的图象，()ππsin 44g x x ωω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭因为，所以，π5π,44x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭πππππ4444x ωωω<-+<+因为在上单调递增，所以，即，()g x π5π,44⎛⎫⎪⎝⎭πππ42ω+≤104ω<≤所以的最大值为.ω14故选：A.11．已知函数定义域为，为偶函数，为奇函数，且满足()f x R ()1f x +()2f x +，则（ ）()()122f f +=()20231k f k ==∑A ．B ．0C ．2D ．20232023-【正确答案】B【分析】由已知条件结合函数奇偶性的定义可求得函数的周期为4，利用赋值法可得()f x ，再结合周期可求得结果.(1),(2),(3),(4)f f f f 【详解】因为为偶函数，所以，所以，(1)f x +(1)(1)-+=+f x f x (2)()f x f x -+=因为为奇函数，所以，(2)f x +(2)(2)f x f x -+=-+所以，所以，(2)()f x f x +=-(4)(2)()f x f x f x +=-+=所以是以4为周期的周期函数，()f x 由，令，得，则，(2)(2)f x f x -+=-+0x =(2)(2)f f =-(2)0f =又，得，(1)(2)2f f +=(1)2f =由，令，得，则，(2)(2)f x f x -+=-+1x =(1)(3)f f =-(3)2f =-由，令，得，(2)()f x f x +=-2x =(4)(2)0f f =-=则，(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=所以.20213()[(1)(2)(3)(4)]505(1)(2)(3)05052(2)0k f k f f f f f f f ==+++⨯+++=⨯++-=∑故选：B ．12．设A ，B 是抛物线C ：上两个不同的点，О为坐标原点，若直线OA 与OB 的斜24y x =率之积为-4，则下列结论正确的有（ ）①②4AB ≥8OA OB +>③直线AB 过抛物线C 的焦点④面积的最小值是2OAB A ．①③④B ．①②④C ．②③④D ．①②③④【正确答案】A【分析】设直线的方程为，与抛物线方程联立，得出韦达定理代入，AB x my t =+4OA OB k k ⋅=-可判断③；从而根据抛物线的性质可知，可判断①；再表示出的面积可24AB p ≥=OAB 判断④；对于②取，可判断；从而得出答案.()1,2A -()1,2B 【详解】取，，满足，从而②错误；()1,2A -()1,2B 4OA OB k k ⋅=-OA OB +=由题意可知直线的斜率不为0，设直线的方程为，，，AB AB x my t =+()11,A x y ()22,B x y 联立，整理得，则，.24x my ty x =+⎧⎨=⎩2440y my t --=124y y m +=124y y t =-因为，所以，所以直线的方程为，1212121644OA OB y y k k x x y y t ⋅===-=-1t =AB 1x my =+则直线过点，因为抛物线的焦点为，所以直线过焦点，AB ()1,0C ()1,0F AB F 故③正确；则由抛物线的性质可知，故①正确；24AB p ≥=由上可得直线的方程为，AB 1x my =+()2241y m =+原点到直线的距离O AB d =则，故④正确.()21141222OAB S AB d m ===⨯+≥ 故选：A 二、填空题13．已知，若，则______ .(2,),(3,1)a bλ=-=()a b b+⊥ a = 【正确答案】【分析】根据题意求得，结合向量的数量积的运算公式求得的值，得到的(1,1)a b λ+=+ λa坐标，利用向量模的公式，即可求解．【详解】因为，可得，(2,),(3,1)a b λ=-= (1,1)a b λ+=+又因为，可得，解得，()a b b+⊥()(1,1)(3,1)310b b a λλ=+⋅=++=⋅+4λ=-所以(2,4)a =--=故答案为.14．2023年杭州亚运会需招募志愿者，现从甲、乙等5名志愿者中任意选出2人开展应急救助工作，则甲、乙2人中恰有1人被选中的概率为______.【正确答案】/0.635【分析】利用古典概型的概率求解.【详解】解：记另外3人为，，，从这5人中任意选出2人，总事件包括（甲，乙），a b c （甲，），（甲，），（甲，），（乙，），（乙，），（乙，），，，，a b c a b c (),a b (),a c (),b c 共10种情况，其中甲、乙2人中恰有1人被选中的事件包括（甲，），（甲，），（甲，），（乙，），a b c a （乙，），（乙，），共6种情况，b c 故所求的概率为.63105=故3515．已知实数x ，y 满足不等式组，且的最大值为，则实数m 的值1020x y x y x m -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩32z x y =-143为_____________.【正确答案】23【分析】根据线性规划画出不等式组的取值区间，将转换为可知为32z x y =-322zy x =-2z -该方程截距，由此代入端点C 取得最大值.【详解】不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示，且点，，，.12,33A ⎛⎫- ⎪⎝⎭(),1B m m +(),2C m m -13m ≥-由题意，知在点C 处取得最大值，即，解得.32z x y =-()143223m m -⋅-=23m =故2316．如图，已知在扇形OAB 中，半径，，圆内切于扇形OAB （圆3OA OB ==π3AOB ∠=1O 和，，弧AB 均相切），作圆与圆，，相切，再作圆与圆，1O OA OB 2O 1O OA OB 3O 2O ，相切，以此类推.设圆，圆…的面积依次为，…，那么OA OB 1O 2O 1S 2S __________．12n S S S +++=【正确答案】9π1189n ⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】如图，设圆，圆，圆，…，圆的半径分别为，，，…，.根据圆1O 2O 3O n O 1r 2r 3r n r切线的性质，结合等比数列的定义可得是以为首项，以为公比的等比数列，由圆{}n r 11r =13的面积公式可知是以为首项，以为公比的等比数列，利用等比数列前n 项求和{}n S 21ππr =19公式计算即可求解.【详解】如图，设圆与弧AB 相切于点D ，1O 圆，圆与OA 分别切于点C ，E ，则，.1O 2O 1O C OA ⊥2O E OA ⊥设圆，圆，圆，…，圆的半径分别为，，，…，.1O 2O 3O n O 1r 2r 3r n r 因为，所以.在中，，π3AOB ∠=π6AOD ∠=1Rt OO C △113OO r =-则，即，解得.1112O C OO =1132r r -=11r =在中，，2Rt OO E △22132OO r r =--则，即，解得.2212O E OO =212322r r r --=211133r r ==同理可得，，321193r r ==所以是以为首项，以为公比的等比数列.{}n r 11r =13又圆的面积为，2πS r =所以面积，，，…，构成一个以为首项，以为公比的等比数列，1S 2S 3S n S 21ππr =19则.1231π199π1118919n n n S S S S ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦++++==- ⎪⎝⎭- 故答案为.9π1189n ⎛⎫- ⎪⎝⎭三、解答题17．“城市公交”泛指城市范围内定线运营的公共汽车及轨道交通等交通方式，也是人们日常出行的主要方式.某城市的公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间x 与乘客等候人数y 之间的关系，经过调查得到如下数据：间隔时间（x 分钟）68101214等候人数（y 人）1518202423(1)根据以上数据作出折线图，易知可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y 关于x 的回归直线方程，并预测车辆发车间隔时间为20分钟时乘客的等候人数.附：对于一组数据，，…，其回归直线的斜率和截距的最小()11,x y ()22,x y (),n nx y ˆˆˆy bx a =+二乘估计分别为，；相关系数()()()1122211ˆn ni iiii i nniii i x y nxy x x y y bxnxx x ====---==--∑∑∑∑ˆˆa y bx =-.r =11.62≈【正确答案】(1)答案见解析(2)，31人.ˆ 1.19yx =+【分析】（1）根据相关系数的公式，分别计算数据求解即可；（2）根据回归直线方程的参数计算公式可得关于的回归直线方程为，再代入y x ˆ 1.19yx =+求解即可.20x =【详解】（1）由题意，知，，10x =20y =()()51(610)(1520)(810)(1820)(1010)(2020)(1210)iii x x y y =--=--+--+--+-∑(2420)(1410)(2320)204081244-+--=++++=，，()521164041640ii x x =-=++++=∑()521254016954ii y y =-=++++=∑所以又，则.r ==11.62≈0.95r ≈因为与的相关系数近似为0.95，说明与的线性相关非常高，y x y x 所以可以用线性回归模型拟合与的关系.y x （2）由（1）可得，，()()()5152144ˆ 1.140iii i i x x y y bx x ==--===-∑∑则，ˆˆ20 1.1109a y bx =-=-⨯=所以关于的回归直线方程为，y x ˆ 1.19y x =+当时，，20x =ˆ 1.120931y=⨯+=所以预测车辆发车间隔时间为20分钟时乘客的等候人数为31人.18．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，△ABC 的外接圆的半径为1，且.cos b a C =(1)求a 的值；(2)若，求△ABC 的面积.1b =【正确答案】【分析】（1）由正弦边角关系、和角正弦公式化简得，结合三角形内cos sin sin A C C =角性质、正弦定理求a 值；（2）余弦定理求得，再应用三角形面积公式求面积.1c =【详解】（1）由已知及正弦定理得.sin sin cos sin B A C C =-又，即.()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C=+=+cos sin sin A C C =又，所以.sin0C ≠cos A =因为△ABC 的外接圆的半径为1，所以，2sin a A =所以，得，cos 2sin A A =tan A =0πA <<所以，则.2π3A =2sin a A ==（2）在△ABC 中，由余弦定理得：，且，2222π2cos3a b c bc =+-a =1b =所以，解得或（舍去），220c c +-=1c =2c =-所以△ABC 的面积为1sin 2S bc A ==19．如图，在四棱锥P -ABCD 中，四边形ABCD 为菱形，AC 与BD 相交于点O ，，PA PC =，，，M 为线段PD 的中点.PB PD =60BAD ∠=︒2AB =(1)求证：平面PBD ⊥平面PAC ；(2)若直线OM 与平面ABCD 所成角为60°，求三棱锥O -ABM 的体积.【正确答案】(1)证明见解析(2)14【分析】（1）根据面面垂直的判断定理，转化为证明平面，即可证明；BD ⊥PAC （2）根据，可知，根据几何关系，即可求解三棱锥的体积.//OM PB 60PBO ∠=【详解】（1）证明：因为四边形ABCD 为菱形，，AC BD O = 所以O 为BD 的中点，.AC BD ⊥又因为，所以.PB PD =PO BD ⊥又，平面，所以BD ⊥平面PA C.AC PO O = ,AC PO ⊂PAC 又平面PBD ，BD ⊂所以平面PBD ⊥平面PA C.（2）因为，O 为AC 的中点，PA PC =所以.PO AC ⊥又PO ⊥BD ，AC ∩BD ＝O ，平面，,AC BD ⊂ABCD所以PO ⊥平面ABC D.因为M 为线段PD 的中点，O 为BD 的中点，所以.OM PB ∥又因为直线OM 与平面ABCD 所成角为60°，所以直线PB 与平面ABCD 所成角为60°，即∠PBO ＝60°.因为，，60BAD ∠=︒2AD AB ==所以△ABD 是等边三角形，所以OB ＝1，OA =OP =则点M 到平面ABCD所以，1111324O ABM M ABO V V --⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭故三棱锥O -ABM 的体积为.1420．已知椭圆C ：的右焦点为，点M 是椭圆C 上异于左、右顶()222210x y a b a b +=>>()1,0F 点，的任意一点，且直线与直线的斜率之积为.1A 2A 1MA 2MA 34-(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线与直线相交于点N ，且点E 是线段的中点，，求∠EFM1A Mx a =2A N 2π4EFA ∠=的值.【正确答案】(1)22143x y +=(2)π4EFM ∠=【分析】（1）根据点在椭圆上，结合斜率公式，即可化简求值；M （2）首先设直线的方程为，，分别与直线，以及椭圆联立方程，1A M()2y k x =+0k ≠2x =求点的坐标，即可求解.,N M 【详解】（1）设，，，，()00,M x y 0x a ≠±()1,0A a -()2,0A a直线与直线的斜率之积为，所以，1MA 2MA 34-2202220002222200001x b a y y y b x a x a x a x a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅===-+---所以.2234b a -=-又因为，，1c =222a c b -=所以，，2a =b =故椭圆C 的标准方程为.22143x y +=（2）设直线的方程为，.1A M()2y k x =+0k ≠由得.()22y k x x ⎧=+⎨=⎩()2,4N k 因为E 是线段的中点，，2A N ()22,0A 所以，不妨设.()2,2E k 0k >又，，()1,0F 2π4EFA ∠=所以，2π20tan tan421k EFA -∠==-解得.12k =由，得，()22122143y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩220x x +-=则，所以，31,2M ⎛⎫⎪⎝⎭2MF FA ⊥故.22πππ244EFM MFA EFA ∠=∠-∠=-=由椭圆的对称性可知，当时，.0k <π4EFM ∠=综上所述，.π4EFM ∠=21．已知函数的极小值点为．()()e 2xf x ax a =-+2-(1)求函数在处的切线方程；()f x 0x =(2)设，，恒成立，求实数m 的取值范围．()()()4g x mf x x x =-+[2,)x ∀∈-+∞()2g x ≥【正确答案】(1)210x y -+=(2)2[2,2e ]【分析】（1）由的极小值点为，得得出的值，再检验得的值满足题意，()f x 2-()20f '-=a a 分别求出和即可写出函数在处的切线方程；(0,(0))f (0)f '()f x 0x =（2）法一：由，恒成立，得出，令得出或[2,)x ∀∈-+∞()2g x ≥()02g m =≥()0g x '=2x =-，分类讨论与的大小关系即可得出m 的取值范围；法二：首先由及2lnx m =2ln m 2-()f x '得出当时，则，当时，，则(1)0f -=[2,1)x ∈--()0f x <242()x x m f x ++≤(1,)∈-+∞x ()0f x >，当时，显然成立，设，由确定的最值，即242()x x m f x ++≥=1x -242(1())xx x x e h x +++=()h x '()h x 可求出的范围．m 【详解】（1）因为的定义域为，，函数的极小值点为，()f x R ()()e 2xf x ax '=+()f x 2-所以，解得，()()22e 220f a -'-=-+=1a =所以，，()()e 1xf x x =+()()e 2xf x x '=+令得，()0f x '=2x =-当时，函数在上单调递减，在上单调递增，为函数的极1a =()f x (),2-∞-()2,-+∞2-()f x 小值点，满足题意，因为，，()02f '=()01f =所以函数在处的切线方程为，即，()f x 0x =()120y x -=-210x y -+=所以函数在处的切线方程为．()f x 0x =210x y -+=（2）法一：分类讨论因为，，恒成立，()()2e 14x g x m x x x =+--[2,)x ∀∈-+∞()2g x ≥所以，，()02g m =≥()()()()e 1e 242e 2x x x g x m x m x x m '=++--=+-因为，所以，2x ≥-20x +≥令得，2e 0xm -=2lnx m =①当即时，，2ln 2m <-22e m >()0g x '≥所以在上单调递增，()g x [)2,-+∞所以，不满足，舍去；()()()222min 12e 42e 22e g x g m m -=-=-+=-+<()min 2g x ≥②当即时，，2ln2m =-22e m =()0g x '≥所以在单调递增，()g x [2,)-+∞所以，满足；()()min 22g x g =-=()min 2g x ≥③当即时，，2ln2m >-222e m ≤<22ln 0m -<≤则时，当时，22,ln x m ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭()0g x '≤2ln ,x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()0g x '>所以在上单调递减，在上单调递增，()g x 22,ln m ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭2ln ,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭则，()22ln min222222ln e ln 1ln 4ln ln 2ln 22mg x g m m m m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+--=-++≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以，)22,2e m ⎡∈⎣综上所述，实数m 的取值范围为．2[2,2e ]法二：变量分离因为，，，()()e 1x f x x =+[2,)x ∈-+∞()()e2xf x x '=+所以，()0f x ¢>所以在上单调递增，且，()f x [2,)-+∞()10f -=即当时，，当时，，[2,1)x ∈--()0f x <(1,)∈-+∞x ()0f x >因为，恒成立，[2,)x ∀∈-+∞()2g x ≥所以，()242mf x x x ≥++①当时， ，即恒成立，[2,1)x ∈--242()x x m f x ++≤242e (1)xx x m x ++≤+设，则242(1())x x x x e h x +++=22(24)(1)(42)[(1)][()()1]x x x x x e x x x e x e e x h x ++-++++'=+222(2)(1)(42)(2)[(1)]x x x e x x e x x x e x ++-+++=+22(2)(2242)[(1)]x x e x x x x e x ++---=+，22(2)(2)(1)x x x x e x +--=+令得或，()0h x '=0x =2x =-因为，，[2,1)x ∈--()0h x '≥所以在上单调递增，()h x [2,1)--所以，2()(2)2h x h e ≥-=所以时，；[2,1)x ∈--m ≤22e ②时，，即恒成立，(1,)∈-+∞x 242()x x m f x ++≥242e (1)xx x m x ++≥+由①得，，242(1())x x x x e h x +++=22(2)(2)()(1)x x x x h x e x +--'=+因为当时，当时，(1,0)x ∈-()0h x '>,()0x ∈+∞()0h x '<所以在单调递增，在单调递减，()h x (1,0)-(0,)+∞所以当，，(1,)∈-+∞x ()(0)2h x h ≤=所以；2m ≥③当时，成立，=1x -()21(1)4(1)1432g -=---⨯-=-+=≥综上所述，．2[2,2]m e ∈22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线的参数方程为（为参数，），1C 3cos ,3sin x r y r ββ=+⎧⎨=+⎩β0r >以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为x 2C .π4ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(1)若曲线与有且仅有一个公共点，求的值；1C 2C r(2)若曲线与相交于A ，B 两点，且，求直线AB 的极坐标方程.1C 2C ||AB =【正确答案】(1)r=r =(2)或.2cos 2sin 30ρθρθ+-=2cos 2sin 50ρθρθ+-=【分析】（1）根据圆的参数方程和可得曲线是以为圆心，为半径22sin cos 1ββ+=1C (3,3)r 的圆.利用公式法将极坐标方程化为直角坐标方程，得曲线是以为半径的2C (1,1)圆.结合圆与圆的位置关系计算即可求解；（2）由（1），将两圆的方程相减可得直线AB 的方程，利用点到直线的距离公式，结合圆的垂径定理计算即可求解.【详解】（1）由为参数)，得为参数)，3cos (3sin x r y r βββ=+⎧⎨=+⎩3cos (3sin x r y r βββ-=⎧⎨-=⎩又，所以曲线的普通方程为，22sin cos 1ββ+=1C 222(3)(3)x y r -+-=即曲线是以为圆心，为半径的圆.1C (3,3)r ，2π2sin 2cos 2sin 2cos 4ρθρθθρρθρθ⎛⎫=+⇒=+⇒=+ ⎪⎝⎭由得，222,cos ,sin x y x y ρρθρθ+===222222(1)(1)2x y x y x y +=+⇒-+-=即曲线是以.2C (1,1)若曲线与有且仅有一个公共点，则两圆相切，1C 2C.r =|r =由，解得0r >r =r =（2）将两圆的方程相减，得，244180x y r++-=即直线AB 的方程为.244180x y r++-=因为，所以圆的圆心到直线AB的距离为||AB =2C d =解得或，则直线AB 的方程为或，212r =28r =2230x y +-=2250x y +-=故直线AB 的极坐标方程为或.2cos 2sin 30ρθρθ+-=2cos 2sin 50ρθρθ+-=23．已知函数.()|1||1|f x x x x =--++(1)解不等式；1()12f x x <-(2)是否存在正实数，使得对任意的实数，都有成立？若存在，求出的取k x ()()f x k f x +≥k 值范围；若不存在，请说明理由.【正确答案】(1)2(,6),23⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭(2)存在，[4,)+∞【分析】（1）写出的分段型式，解不等式；()f x （2）结合函数的图象可知，再进一步证明.()f x 4k ≥【详解】（1），2,1()11,112,1x x f x x x x x x x x +<-⎧⎪=--++=--≤≤⎨⎪->⎩①当时，，，；1x <-1()12f x x <-1212x x +<-6x <-②当时，，则，，则；11x -≤≤1()12f x x <-112x x -<-23x >213x <≤③当时，，，，则.1x >1()12f x x <-1212x x -<-2x <12x <<综上所述，不等式的解集为.1()12f x x <-2(,6),23⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭（2）假设存在正实数，使得对任意的实数，都有成立.k x ()()f x k f x +≥21/21，2,1(),112,1x x f x x x x x +<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪->⎩当时，因为成立，=1x -(1)(1)1(3)f k f f -+≥-==结合函数的图象可知，，所以.()f x 13k -+≥4k ≥下面进一步验证：若，则 ，成立.4k ≥(,1)(1,)x ∈-∞--+∞ ()()f x k f k +≥①当时，(,1)x ∈-∞-，()()|1||1|(2)|1||1|2f x k f x x k x k x k x k x k x k +-=+++--++-+=++--++-因为，|1||1||(1)(1)|2x k x k x k x k +--++≥-+--++=-所以，所以成立.()()220f x k f x k +-≥--≥()()f x k f x +≥②当时，(1,)∈-+∞x .()()2(|1||1|)2|1||1|f x k f x x k x x x k x x +-=+--+--+=---++因为，|1||1||(1)(1)|2x x x x +--≥-+--=-所以，所以成立.()()220f x k f x k +-≥--≥()()f x k f x +≥综上所述，存在正实数，使得对任意的实数，都有成立，k x ()()f x k f x +≥此时的取值范围是.k [4,)+∞。
四川省成都市第七中学2022-2023学年高三上学期第三次质量检测数学文科试题
成都市第七中学高2023届第三次质量检测数学 (文科)时间120分钟 满分: 150分一 选择题（共计10道小题，每题6分，共计60分）1. 已知集合 A ={x ∣3 x −2>1},B ={x ∣ x 2−x −6<0} , 则A ∪B = （ ） A.{x ∣1<x <3} B.{x ∣1<x <2} C.{x ∣−2<x <1} D.{x ∣x >−2}2. 已知复数 z = 3 i2+ i 3, 则|z|=( ) A.1B.35C.3 √55D.33.在区间 (−2,2) 内任取一实数x , 则 log 12x >3 成立的概率为（ ） A.132B.116C.18D.144.设数列 { a n } 满足 a n+1= 1+a n1−a n , 且 a 1=12, 则 a 2022=( ) A.−2B.−13C.12D.35. 下列四个叙述中, 错误的是 ( )A.“ p ∨q 为真”是“p ∧q 为真”的必要不充分条件B.命题 p : “∀x ∈R 且x ≠0,x +1x 的值域是(−∞,−2] ∪[2,+∞) ” ,则 ¬p: :∃ x 0 ∈R 且 x 0 ≠0 , 使得 x 0+1x 0∈(−2,2) ”C.已知 a,b ∈R 且a b >0 , 原命题“若a >b , 则1a <1b”的逆命题是“若 1a <1b , 则a >b ”D.已知函数 f(x) =x2, 函数g(x)= (12)x−m , 若对任意 x 1 ∈[−1,3] , 存在 x 2 ∈[0,1] , 使得 f ( x 1) ≥g ( x 2) 成立, 则m 的范围是[1,+∞)6.根据一组样本数据 ( x 1, y 1),( x 2, y 2),⋯,( x n , y n ) , 求得经验回归方程为y ̂=1.5 x +0.5 , 且x̅=3 . 现发现 这组样本数据中有两个样本点(1.2,2.2) 和(4.8,7.8) 误差较大, 去除后重新求得的经验回归直线l 的斜率为1.2 , 则 ( ) A.变量 x 与y 具有正相关关系B.去除两个误差较大的样本点后, 重新求得的经验回归方程为 y ̂=1.2 x +0.5C.去除两个误差较大的样本点后, y 的估计值增加速度变快D.去除两个误差较大的样本点后, 相应于样本点 (2,3.75) 的残差为0.05 7.已知函数 f(x)=2 sinx +3 cosx 在x =φ 处取得最大值, 则cosφ=( ) A.3 √1313B.2 √1313C.−2 √1313D.−3 √13138. 如图, 已知圆锥的底面半径为 2 , 母线长为 4,A B 为圆锥底面圆的直径,C 是A B 的中点,D 是母线S A 的中点, 则异面直线S C 与B D 所成角的余弦值为( )A.√34B.√1020C.√33D.√329. 已知定义在 R 上的奇函数f(x) 满足f(x +2)+f(2−x)=0 , 且当x ∈(0,1] 时,f(x)=log(x +1) , 则下列结论正确个数为 ( ） ①f(x) 的一个周期为 2 ①f(5)=1① f(−5)>f ( π−132)>f ( log πe ) ①f(x) 图象关于直线x =2 对称A.1B.2C.3D.410.已知 a =ln 12,b =ln(lg2),c =lg(ln2) , 则( )A.a >b >cB.a >c >bC.b >a >cD.c >a >b二填空题（共计4道小题，每题6分，共计24分）11. 若 e ⃗1, e 2⃗⃗⃗⃗⃗ 是夹角为 60∘ 的两个单位向量, 则a ⃗=2 e 1⃗⃗⃗⃗⃗+ e 2⃗⃗⃗⃗⃗ 与b ⃗⃗=−3 e 1⃗⃗⃗⃗⃗+2 e 2⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角大小为______. 12写出一个同时具有下列三条性质的函数: f(x)= ____________.①f ( x 1 x 2)=f ( x 1)+f ( x 2) ;①当 x ∈(0,+∞) 时,f(x) 单调递减; ① f(x) 为偶函数.13如图, E 为边长为 2 的正△A B C 的重心,A D / / B C,A D =12 B C ,F 为△A C D 的外心, 则D E = _________ ;△D E F 的面积为_____.14过点 M(−1,m) 作抛物线 C: y 2=2 p x 的两条切线, 切点分别为A ( x 1, y 1) 和B ( x 2, y 2) , 又直线A B经过抛物线C 的焦点F , 那么y 1 y 2k M A k M B=______. 三 解答题（共计5道小题，共66分，写出必要的文字说明和演算步骤）15 (满分12分） 已知公差大于 0 的等差数列 { a n } 满足 a 1=1 , 且 a 1, a 2, a 4 成等比数列.(1) 求数列 { a n } 的通项公式;(2) 令 b n = 2 a 2−1 , 求数列{ b n } 的前n 项和.16. (满分12分）现有 A 、 B 两所学校的高三学年分别采用甲，乙两种方案进行线上教学, 为观测其教学效果, 分别在两所学校的高三学年各随机抽取 60 名学生, 对每名学生进行综合测试评分, 记综合评分为80 及以上的学生为优秀学生, 经统计得到两所学校抽取的学生中共有72 名优秀学生.（1）用样本估计总体, 以频率作为概率, 若在A 、 B两个学校的高三学年随机抽取2 名学生, 求所抽取的学生中的都为优秀学生的概率;（2）已知A 学校抽出的优秀学生占该校抽取总人数的23, 填写下面的列联表, 并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为学生综合测试评分优秀与教学方案有关.K2=n( a d−b c)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d), 其中n=a+b+c+d.17 (满分12分）如图, 已知直三棱柱 A B C−A1 B1 C1的底面△A B C是正三角形, B C=C C1=2,D 为A B的中点, 点P,N分别为 A1 C,A1 D的中点, 过点P,N的平面交 A A1于点E, 交 C C1于点M.(1)证明: 平面E M N ⊥平面 A1 A B B1;(2)若A E=14 A A1, 求△E M N的面积.18. (满分15分）已知椭圆C的离心率为√32, 长轴的两个端点分别为A(−2,0),B(2,0).(1)求椭圆C的方程;(2)过点(1,0)的直线与椭圆C交于M 、 N(不与A 、 B重合)两点, 直线A M与直线x=4交于点Q,求证:B 、 N 、 Q三点共线.19 (满分15分）已知函数f(x)=x e x− m x2−x−1.(1)当m=12时, 讨论f(x)的单调性;(2) 若m ≤1, 证明: 当x ∈(−π2,0)时,f(x)>x−x cosx−1.成都市第七中学高2023届第三次质量检测数学 (文科)时间120分钟 满分: 150分参考答案及解析一 选择题（共计10道小题，每题6分，共计60分） 1. 【答案】D2. 【答案】C 【解析】∵ 复数z =3 i2+i 3=3 i 2−i =3 i ·(2+i)5=−35 +65 i ∴|z|=√925+3625=3 √553. 【答案】A【解析】由 log 12 x >3 得,0<x <18 ,∴ 所有概率P =18−02−(−2)=1324. 【答案】D【解析】数列 { a n } 满足 a n+1= 1+a n 1−a n , 且 a 1=12 , a 2= 3,a 3= −2,a 4=−13 ,a 5=12 ,⋯ ,所以数列的周期为 4 , a 2022= a 4 ×505+2= a 2=3 .故选: D .5. 【答案】D【解析】对于 A ：当 “p ∧q 为真” 时, 则 “p ∨q 为真”, 但 是当 “p ∨q 为真” 时 “p ∧q 不一定为真”, 故“ p ∨q 为真” 是 “p ∧q 为真” 的必要不充分条件, 故A 正确;对于 B : 命题p: “∀x ∈R ∈ 且x ≠0,x +1x 的值域是(−∞,−2] ∪[2,+∞) , 则¬p: “ ∃ x 0 ∈R 且 x 0 ≠0 ,使得 x 0+1x 0∈(−2,2) , 故B 正确;对于 C : 已知a,b ∈R 且a b >0 , 原命题 “若a >b , 则1a<1b” 的逆命题是 “若1a<1b, 则a >b ”故C 正确;对于D: 已知函数 f(x) =x 2 , 函数g(x)=(12) x − m , 若对任意 x 1 ∈[−1,3] , 存在 x 2 ∈[0,1] , 使得f ( x 1) ⩾g ( x 2) 成立, 即f( x)min =0 ≥g( x)min =12−m , 则m 的范围是[12,+∞) ，故 D 错误.6. 【答案】A【解析】对于 A,∵ 经验回归方程为y ̂=1.5 x +0.5 ,1.5>0 ∴ 变量x 与y 具有正相关关系, 故A 正确, 对于 B , 当x̅=3 时,y̅=3 ×1.5+0.5=5故样本点的中心为(3,5),∵去掉两个样本点为(1.2,2.2)和(4.8,7.8),1.2+4.82=3,2.2+7.82=5,∴样本的中心点不变,∵去除后重新求得的经验回归直线l的斜率为1.2,∴5=3 ×1.2+â, 解得â=1.4,故去除两个误差较大的样本点后, 重新求得的回归方程仍为ŷ=1.2 x+1.4, 故B错误,对于C,∵1.5>1.2,∴去除两个误差较大的样本点后,y的估计值增加速度变慢, 故C错误,对于D,∵ŷ=1.2 ×2+1.4=3.8,∴y−ŷ=3.75−3.8=−0.05, 故D错误.7. 【答案】A【解析】f(x)=2 sinx+3 cosx=√13(cosx√13+sinx√13)=√13 cos(x−φ)(sinφ=2 √1313,cosφ=3 √1313)在x=φ处取得最大值√138. 【答案】A【解析】延长A B至点E, 使B E=A B, 连接S E,C E, OC,∵D是母线S A的中点,∴S E / / B D,∴∠C S E或其补角是异面直线S C与B D的角,∵圆锥的底面半径为2,∴O C=2,O E=3 O B=6∵C是A B̂的中点,∴O C ⊥O B,在Rt △C O E中,C E=√ O C2+ O E2=2 √10∵S A=S B=A B=4∴B D=√32 S B=2 √3 S E=2 B D=4 √3在△S C E中, 由余弦定理知,cos∠C S E= S C 2+ S E2− C E22 S C ·S E=2 ×4 ×4 √3=√34∴异面直线S C与B D所成角的余弦值为√34.9. 【答案】A10. 【答案】D二填空题（共计4道小题，每题6分，共计24分）11 120∘ ; 12 log 12|x| (答案不唯一) 13 √213,√31214 4【解析】11 e 1⃗⃗⃗⃗⃗, e 2⃗⃗⃗⃗⃗ 是夹角为 60∘ 的两个单位向量, 可得 e 1⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ e 2⃗⃗⃗⃗⃗=| e 1⃗⃗⃗⃗⃗| ∙| e 2⃗⃗⃗⃗⃗| cos6 0∘=12,|a⃗|=√4 e 1⃗⃗⃗⃗⃗2+ e 2⃗⃗⃗⃗⃗2+4 e 1⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ e 2⃗⃗⃗⃗⃗ =√4+1+2=√7 |b ⃗⃗|=√9 e 1⃗⃗⃗⃗⃗2+4 e 2⃗⃗⃗⃗⃗2−12 e 1⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ e 2⃗⃗⃗⃗⃗=√9+4−6=√7 a ⃗ ∙b ⃗⃗=(2 e 1⃗⃗⃗⃗⃗+ e 2⃗⃗⃗⃗⃗)(−3 e 1⃗⃗⃗⃗⃗+2 e 2⃗⃗⃗⃗⃗)= −6 e 1⃗⃗⃗⃗⃗2+2 e 2⃗⃗⃗⃗⃗2+ e 1⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ e 2⃗⃗⃗⃗⃗=−6+2+12= −72 则a ⃗ 与b ⃗⃗ 的夹角余弦为:cosθ=a ⃗⃗⃗ ∙b ⃗⃗⃗|a⃗⃗⃗| ∙|b ⃗⃗⃗|=−72√7 ∙√7=−12 . 由 0∘ ⩽θ⩽18 0∘ , 可得θ=1 20∘.三 解答题（共计5道小题，共66分，写出必要的文字说明和演算步骤）15. 【答案】（1） a n = a 1+(n −1) d =1+n −1=n ;（2） S n = 22 n+1−23.【解析】解:（1）设公差为 d , 因为 a 1, a 2, a 4 成等比数列, 则 a 22= a 1 a 4 , 即( 1+d)2=1 ×(1+3 d), d 2−d =0 , 解得d =1,d =0 (舍), 所以 a n = a 1+(n −1) d =1+n −1=n ;(2) b n = 2 a 2−1= 22 n−1, b 1=2 , 所以{ b n } 是以 2 为首项, 4 为公比的等比数列, 所以 S n = b 1+ b 2+⋯+ b n =2 ×( 1−4n)1−4=22 n+1−23.16. 【答案】（1）0.36（2）不能在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下认为学生综合测试评分优秀与教学方案有关. 【解析】解: (1) 由已知, 学生为优秀的概率为 72120=0.6 , 那么设两名同学都是优秀学生为事件A ,则 P(A)=0.6 ×0.6=0.36 ; (2)填写列联表如下计算 k 2=120( 40 ×28−20 ×32)260 ×60 ×72 ×48=209≈2.222<2.706 , 所以不能在犯错误的概率不超过0.1 的前提下认为学生综合测试评分优秀与教学方案有关.17. 【答案】（1）见解析（2）√64. 【解析】(1)因为 A A 1 ⊥ 平面A B C,C D ⊂ 平面A B C , 所以C D ⊥A A 1 . 又因为 △A B C 是正三角形,D 是A B 的中点, 所以C D ⊥A B . 又 A A 1 ∩A B =A , 所以C D ⊥ 平面 A A 1 B 1 B .因为点 P,N 分别为 A 1 C,A 1 D 的中点, 所以P N / / C D , 所以P N ⊥ 平面 A 1 A B B 1 . 又 P N ⊂ 平面E M N , 故平面E M N ⊥ 平面 A 1 A B B 1 . (2) 在 Rt △ A 1 A D 中, 由 A A 1=2,A D =1 , 可知 A 1 D =√5 . 所以 A 1 N =√52,cos∠N A 1 E =2√5. 由 A E =14 A A 1 可知 A 1 E =34 A A 1=32,在 △E A 1 N 中, 由余弦定理可得 E N 2= A 1 E 2+ A 1 N 2− 2 A 1 E ∙ A 1 N cos∠N A 1 E =12,则 E N =√22.又因为 P N ⊥ 平面 A A 1 B 1 B , 又E N ⊂ 平面 A A 1 B 1 B , 所以P N ⊥E N . 在 △E P A 1 和△M P C 中,因为 {∠P A 1 E =∠P C MP A 1=P C ∠ A 1 P E =∠C P M , 所以△E P A 1 ≅△M P C , 则 P E =P M , 即P 是E M 的中点.所以在 △E M N 中,E N 边上的高为2 P N =C D =√3 , 故 △E M N 的面积为12 ×√22×√3=√64.18. 【答案】（1） x 24+y 2=1 ；（2）见解析 【解析】解: (1) 由长轴的两个端点分别为 A(−2,0),B(2,0) , 可得a =2 , 由离心率为√32, 可得c a =√32,∴c =√3 , 又 a 2= b 2+ c 2, 解得b =1 , ∴ 椭圆C 的标准方程为 x 24+y 2=1 ； (2) 由题可知若 l 斜率存在, 且斜率不为零, 故设l 的方程为x =m y +1 , 设M ( x 1, y 1),N ( x 2, y 2) , 由{x =m y +1x 24+y 2=1 得,( m 2+4) y 2+2 m y −3=0 , 则 y 1+ y 2=−2 m m 2+4 ,y 1 y 2=−3m 2+4, 所以 2 m y 1 y 2=3( y 1+ y 2) ∴ k A M = y 1 x 1+2 , 直线A M 的方程为y = y 1 x 1+2(x +2),∴Q (4, 6 y 1x 1+2) , ∴ k N B = y 2−0 x 2−2= y 2 x 2−2, k B Q =6 y 1x 1+2−04−2=6 y 1x 1+22= 3 y 1 x 1+2,∴ k Ng− k BQ=y2x2−2−3 y1x1+2=y2( x1+2) −3 y1( x2−2)( x2−2)( x1+2)=y2( m y1+3) −3 y1( m y2−1)( x2−2)( x1+2)=−2 m y1 y2+3( y1+ y2)( x2−2)( x1+2)=0,即 k N B= k B Q,∴N 、 B 、 Q三点共线.19. 【答案】（1）f(x)在(−∞,−1)和(0,+∞)上单调递增, 在(−1,0)上单调递淢.（2）见解析【解析】解: (1)当m=12时,f(x)=x e x−12 x2−x−1,则 f′(x)=(x+1) e x−x−1=(x+1)( e x−1),令 f′(x)>0, 得x<−1或x>0, 令 f′(x)<0, 得−1<x<0,∴f(x)在(−∞,−1)和(0,+∞)上单调递增, 在(−1,0)上单调递淢.(2) 当x ∈(−π2,0)时, 要证明f(x)>x−x cosx−1, 即证明 ex−m x+cosx−2<0. 令g(x)= e x−m x+cosx−2,则 g′(x)= e x−sinx−m ≥ e x−sinx−1= e x(1−1+sinxe x),令ℎ(x)=1+sinxe x, 则 ℎ′(x)=cosx−sinx−1e x=√2 cos(x+π4)−1e x,当−π2<x<0时,−π4<x+π4<π4,∴cos(x+π4)>√22，故 ℎ′(x)>0, 即ℎ(x)在(−π2,0)上单调递增, 故x ∈(−π2,0)时,ℎ(x)<ℎ(0)=1,∴1−1+sinxe x>0,∴ g′(x)>0, 即g(x)在(−π2,0)上单调递增,∴g(x)<g(0)=0, 即原命题得证.。
四川省成都市第七中学2023届高三下学期三诊模拟考试文科数学试题(3)
一、单选题二、多选题1. 已知定义在R上的偶函数在是减函数，则（ ）A．B．C．D．2. 若且，，则称a 为集合A 的孤立元素．若集合，集合N 为集合M 的三元子集，则集合N 中的元素都是孤立元素的概率为（ ）A．B．C．D．3.已知函数的零点分别为，则（ ）A．B．C．D．4. 如图所示的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们把这样的曲线叫葫芦曲线（也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），它每过相同的间隔振幅就变化一次，且过点，其对应的方程为（，其中为不超过x 的最大整数，）．若该葫芦曲线上一点N 的横坐标为，则点N 的纵坐标为（）A．B．C．D．5. 若是函数的零点，则属于区间（ ）．A．B．C．D．6.下列函数中，在上单调递增，并且是偶函数的是A．B．C．D．7. 2log 510+log 50．25=A ．0B ．1C ．2D ．48. 对任一实数列，定义，若，，则（ ）A ．1000B ．2000C ．2003D ．40069.关于空间两条不同直线和两个不同平面，下列命题正确的是（ ）A ．，则B ．，则C．，则D ．，则10.已知抛物线的焦点为，为坐标原点，倾斜角为的直线过点且与交于，两点，若的面积为，则（ ）A．B．四川省成都市第七中学2023届高三下学期三诊模拟考试文科数学试题(3)四川省成都市第七中学2023届高三下学期三诊模拟考试文科数学试题(3)三、填空题四、解答题C ．以为直径的圆与轴仅有个交点D ．或11. 已知函数，，，则（ ）A．的图象关于对称B．的图象没有对称中心C ．对任意的，的最大值与最小值之和为D ．若，则实数的取值范围是12. 已知函数，的定义域均为R ，函数为奇函数，为偶函数，为奇函数，的图象关于直线对称，则下列说法正确的是（ ）A．函数的一个周期为6B．函数的一个周期为8C ．若，则D ．若当时，，则当时，13. 已知函数是偶函数，且在[0，]上是减函数，则φ=__________，ω的最大值是__________．14. 已知，则______，______.15. 若函数（）的图象关于点对称，则__________．16.已知函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，过点可作几条直线与曲线相切？请说明理由．17. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，为椭圆上的动点．当点与椭圆的上顶点重合时，．(1)求的方程；(2)当点为椭圆的左顶点时，过点的直线（斜率不为0）与椭圆的另外一个交点为，的中点为，过点且平行于的直线与直线交于点．试问：是否为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由．18.求函数的定义域．19.已知函数（）.（1）若是函数的极值点，求a的值及函数的极值；（2）讨论函数的单调性.20. 某公司A 产品生产的投入成本x （单位：万元）与产品销售收入y （单位：十万元）存在较好的线性关系，下表记录了该公司最近8次该产品的相关数据，且根据这8组数据计算得到y 关于x 的线性回归方程为．x （万元）6781112141721y（十万1.2 1.5 1.722.2 2.4 2.6 2.9元）（1）求的值（结果精确到0.0001），并估计公司A产品投入成本30万元后产品的销售收入（单位：十万元）．（2）该公司B产品生产的投入成本u（单位：万元）与产品销售收入v（单位：十万元）也存在较好的线性关系，且v关于u的线性回归方程为．（i）估计该公司B产品投入成本30万元后的毛利率（毛利率）；（ii）判断该公司A，B两个产品都投入成本30万元后，哪个产品的毛利率更大．21. 高性能计算芯片是一切人工智能的基础．国内某企业已快速启动AI芯片试生产，试产期需进行产品检测，检测包括智能检测和人工检测．智能检测在生产线上自动完成，包括安全检测、蓄能检测、性能检测等三项指标，且智能检测三项指标达标的概率分别为，，，人工检测仅对智能检测达标（即三项指标均达标）的产品进行抽样检测，且仅设置一个综合指标．人工检测综合指标不达标的概率为．(1)求每个AI芯片智能检测不达标的概率；(2)人工检测抽检50个AI芯片，记恰有1个不达标的概率为，当时，取得最大值，求；(3)若AI芯片的合格率不超过93%，则需对生产工序进行改良．以（2）中确定的作为p的值，试判断该企业是否需对生产工序进行改良．。
2023_2024学年四川省成都市高三三诊数学(文)试题(附答案)
2023_2024学年四川省成都市高三三诊数学（文）试题一、单选题1．设集合，，则（ ）{}2A x x =∈≤N {}2,4B =A B ⋃=A ．B ．C ．D ．{0,2}{2,1,0,1,2,4}--{0,1,2,4}{1,2,4}【正确答案】C【分析】根据题意，将集合化简，然后结合并集的运算，即可得到结果.A 【详解】因为，且，{}{}20,1,2A x x =∈≤=N {}2,4B =则，{0,1,2,4}A B ⋃=故选：C2．命题“”的否定是（ ）2,10x x x ∀∈+-≤R A ．B ．2000,10x x x ∃∈+-≤R 2000,10x x x ∃∈+->R C ．D ．2,10x x x ∀∈+->R 2000,10x x x ∃∈+-≥R 【正确答案】B【分析】根据题意，由全称命题的否定是特称命题即可得到结果.【详解】由题意可得，“”的否定是，2,10x x x ∀∈+-≤R 2000,10x x x ∃∈+->R 故选：B3．已知双曲线经过点，且与双曲线具有相同的渐近线，则双曲线的标C ()4,22212x y -=C 准方程为（ ）A ．B ．C ．D ．22184x y -=22163x y -=22142x y -=2211212x y -=【正确答案】A【分析】首先利用共渐近线方程的设法设出双曲线的方程，再代入点，即可求解.C 【详解】由题意设双曲线的标准方程为，代入点，C 222x y λ-=()4,2得，得，1642λ-=4λ=所以双曲线的标准方程为.C 22184x y -=故选：A4．如图是某三棱锥的三视图，已知网格纸的小正方形边长是1，则这个三棱锥中最长棱的长为（ ）A ．5B C D ．7【正确答案】C【分析】根据三视图得到几何体的直观图，求出棱长，即可判断.【详解】由三视图可得几何体的直观图如下所示：其中，，，且平面，，4SA =3AB =5AC =SA ⊥ABC AB AC ⊥所以，，BC ==SC ==5SB ==所以三棱锥中最长棱为.SC =故选：C5．设为等差数列的前n 项和．若，则的值为（ ）n S {}n a 20232023S =1012a A ．1B ．2C ．1012D ．2023【正确答案】A【分析】根据等差数列的性质求解.【详解】由题意，所以．12023201220232023()20232202322a a a S +⨯===20121a =故选：A ．6．函数的图象大致为（ ）||2e ()3xf x x =-A．B ．C．D．【正确答案】A【分析】根据函数的定义域，单调性以及特殊值，结合选项得出答案．【详解】函数的定义域为，排除选项D ，||2e ()3x f x x =-{x x ≠又，所以排除选项C ，()1003f =-<当，且，x 2e ()3xf x x =-()()()()()22222e 3e 2e 31()33x x x x xx x f x xx--⋅-+'==--令，解得，则在上单调递减，在上单调递增，()0f x '=3x =()f x )()3,+∞排除选项B ，故选：A7．一次数学考试后，某班级平均分为110分，方差为．现发现有两名同学的成绩计算有21s 误，甲同学成绩被误判为113分，实际得分为118分；乙同学成绩误判为120分，实际得分为115分．更正后重新计算，得到方差为，则与的大小关系为（ ）22s 21s 22s A ．B ．C ．D ．不能确定2212s s =2212s s >2212s s <【正确答案】B【分析】根据已知平均分不变，根据方差公式计算更正前后的方差，比较大小可得结论．【详解】设班级人数为，因为，所以更正前后平均分不变，n 113120118115+=+且，2222(113110)(120110)(118110)(115110)-+->-+-所以.2212s s >故选：B8．已知是两个非零向量，设．给出定义：经过的起点和终点，分,a b ,AB a CD b == ABA B 别作所在直线的垂线，垂足分别为，则称向量，为在上的投影向量．已知CD 11,A B 11A B a b ，则在上的投影向量为（）(1,0),a b == a bA ．B ．C ．D．12⎛ ⎝⎛ ⎝32⎛ ⎝34⎛ ⎝【正确答案】D【分析】先求向量的单位向量，再利用投影向量的求法求解即可.b【详解】设与的夹角为，由，a bθb = 可得与方向相同的单位向量为，b12b e b ⎫===⎪⎪⎭ 所以在上的投影向量为：a b，13cos 24a b a b a e a e e a b b θ⎫⎛⋅⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅==⎪ ⎪ ⋅⎭⎝故选：D.9．世界大学生运动会（简称大运会）由国际大学生体育联合会主办，每两年举办一届，是规模仅次于奥运会的世界综合性运动会，第31届大运会将于2023年7月28日至8月8日在成都召开．为办好本届大运会，组委会精心招募了一批志愿者，现准备将甲、乙两名志愿者安排进“东安湖体育公园”，“凤凰山体育公园”，“四川省体育馆”工作，每人只能在一个场馆工作．若每位志愿者被分到各个场馆的可能性相同，则甲，乙两人被安排在同一个场馆的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．29231312【正确答案】C【分析】由乘法原理求得安排的方法总数及甲、乙两人被安排在同一个场馆的方法数，再由概率公式计算概率．【详解】显然甲，乙两人被安排在同一个场馆的方法数为3，而甲、乙两名志愿者可安排的总方法数为，339⨯=所以所求概率为，3193P ==故选：C ．10．已知函数，当时，的最小值为．若π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭()()122f x f x -=12x x -π2将函数的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，然后再将得到的图像向()f x 右平移个单位长度，得到函数的图像，则不等式的解集为（ ）π3()g x 1()2g x ≥A ．B ．)π,(63πππk k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z 22,2()33k k ππππk ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z C ．D ．)ππ5,(12π12πk k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z )π52,2(6π6ππk k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z 【正确答案】D【分析】根据题意，由条件可得，再由图像变化可得解析式，即可得到结果.2ω=()g x 【详解】因为，，π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭()()min max 1,1f x f x =-=当时，则一个为最大值，一个为最小值，()()122f x f x -=()()12,f x f x 且的最小值为，即，所以，12x x -π2ππ22T T =⇒=2π2πω==即，将函数的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，π()sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x 则，然后再将得到的图像向右平移个单位长度，则，πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π3()sin g x x =所以，即，解得，1()2g x ≥1sin 2x ≥π5π2π2π,66+≤≤+∈k x k k Z即解集为，)π52,2(6π6ππk k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z 故选：D11．已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线()2222:10x y C a b a b +=>>()1,0F c -()2,0F c 与椭圆C 相交于A ，B 两点．有下列结论：()0y kx k =≠①四边形为平行四边形；12AF BF ②若轴，垂足为E ，则直线BE 的斜率为；AE x ⊥12k③若（O 为坐标原点），则四边形的面积为；OA c=12AF BF 2b ④若，则椭圆的离心率可以是．122AF AF =23其中正确的结论是（ ）A ．①④B ．①②④C ．①②③D ．②④【正确答案】B【分析】由椭圆的对称性判断①，设，计算斜率后判断②，利用矩形，由勾(,)A x y 12AF BF 股定理及椭圆的定义求出四边形的面积后判断③，同理结合椭圆定义和余弦定理求离12AF BF 心率判断④．【详解】由椭圆的对称性，，，四边形为平行四边形，①正21AF BF =12AF BF =12AF BF 确；设，则，，，，②正确；(,)A x y (,)B x y --(,0)E x y k x =0()1()22BEy y k kx x x --===--若，由，四边形是矩形，即，设，OA c=122AB c F F ==12AF BF 12AF AF ⊥1AF m =，则，2AF n=2224m n c +=又，所以，，2m n a +=2222()24m n m n mn a +=++=2222444mn a c b =-=，即四边形的面积为，③错；22mn b =12AF BF 22b 若，又，则，，122AF AF =122AF AF a+=143AF a=223AF a =设，由余弦定理得，21F AF θ∠=2221212122cos AF AF AF AF F F θ+-=即，，222216416cos 4999a a a c θ+-=2254cos 99c a θ=-由得，存在，④正确，即正确的有①②④，544cos 999θ-=1cos 4θ=θ故选：B ．12．已知函数有三个零点，则实数m 的取值范围是（ ）()1ln f x x m xx =--A ．B ．C ．D ．()4,+∞()3,+∞()e,+∞()2,+∞【正确答案】D【分析】求出导函数，分类讨论确定函数的单调性，函数有三个零点，应有两()f x '()0f x '=个不等实根，定义域分成三个单调区间，再结合零点存在定理确定零点的存在，从而得出结论．【详解】易知的定义域是，()f x (0,)+∞由已知，22211()1m x mx f x x x x -+'=+-=若，即，则恒成立，单调递增，不合题意，240m ∆=-≤22m -≤≤()0f x '>()f x 若，则在上恒成立，单调递增，不合题意，2m <-(0,)+∞()0f x '>()f x 若，则在两个实根，且，因此，，m>2210x mx -+=12,x x 12121x x m x x +=⎧⎨=⎩1>0x 20x >不妨设，即，12x x <1201x x <<<当或时，，时，，10x x <<2x x >()0f x '>12x x x <<()0f x '<因此在和上都是单调递增，在上单调递减，()f x 1(0,)x 2(,)x +∞12(,)x x 在上，有一个零点，因此，，12(,)x x (1)0f =1()0>f x 2()0f x <取，由于，因此，21(e )e e m m m f m =--m>22e e 2m >>设，则，2()e e x x g x x -=--()e e 2x xg x x -'=+-设，则，()()e e 2x xh x g x x -'==+-()e e 2x x h x -'=--设，则，所以即是增函数，()()e e 2x x p x h x -'==--()e e 0x xp x -'=+>()p x ()h x '时，，2x >22()(2)e e 20h x h -''>=-->所以即在上是增函数，从而时，，()h x ()g x '(2,)+∞2x >22()(2)e e 40g x g -''>=+->所以时，是增函数，，2x >()g x 22()(2)e e 40g x g ->=-->综上，，因此，在上有唯一零点，也即在上有唯一零点，(e )0mf >2e m x >()f x 2(,e )m x 2(,)x +∞同理取，由于，因此有，2(e )e e (e )0m m m m f m f --=-+=-<e 1m-<10emx -<<从而在即在上有唯一零点，()f x 1(e,)mx -1(0,)x 所以有三个零点，所以的取值范围是，()f x m (2,)+∞故选：D ．思路点睛：研究含参函数的零点问题，可利用导数研究函数的单调性，极值，借助数形结合思想解决问题，结合零点存在定理得出含参的不等式，从而得出参数范围．二、填空题13．已知复数是纯虚数（为虚数单位），则实数的值为_______．(i)(2i)z a =++i a 【正确答案】/120.5【分析】根据题意，由复数的运算，结合纯虚数的定义即可得到结果.【详解】因为复数为纯虚数，()()(i)(2i)212iz a a a =++=-++所以，所以.21020a a -=⎧⎨+≠⎩12a =故答案为.1214．在等比数列中，若，则的值为_______．{}n a 263,27a a ==8a 【正确答案】81【分析】根据题意，由条件可求得，从而得到结果.2q 【详解】因为数列为等比数列，设其公比为，且，{}n a q 263,27a a ==则，所以，则，4622793a q a ===23q =28627381a a q =⋅=⨯=故答案为:8115．如图，AB 为圆柱下底面圆O 的直径，C 是下底面圆周上一点，已知，π3AOC ∠=，圆柱的高为5．若点D 在圆柱表面上运动，且满足，则点D 的轨迹所围2OA =0BC CD ⋅=成图形的面积为________．【正确答案】10【分析】作出过且与垂直的圆柱的截面，它是一个矩形，而由得AC BC 0BC CD ⋅=，所以平面，从而可得点轨迹，求出所围图形面积．CD BC ⊥CD ⊂ACEF D 【详解】作母线，，连接，CE AF EF 因为，所以共面，是圆柱的一个截面，//AF CE ,AF CE ACEF 平面，平面，所以，EC ⊥ABC BC ⊂ABC EC BC ⊥又由已知得，而，平面，AC BC ⊥AC CE C = ,AC CE ⊂ACEF 所以平面，BC ⊥ACEF 由得，所以平面，0BC CD ⋅= CD BC ⊥CD ⊂ACEF 矩形即为点轨迹，ACEF D ，则，又，π3AOC ∠=2AC OA ==5CE =所以矩形的面积为．ACEF 2510⨯=故10.16．已知，是圆内一点，对圆O 上任意一点P都有为(A (),M m n 22:9O xy +=PM PA定值，则mn 的值为________．【分析】设，（为正常数），把用表示后整理即得圆(,)P x y PMk PA=k PMk PA=,,,,x y m n k 方程，由此可求得，得出结论．O ,,m n k 【详解】设，（为正常数），显然，否则点轨迹是线段的中垂线，(,)P x yPMk PA=k 1k ≠P AM ，PM kPA==整理得，这就是圆的方程，2222222221810811m kk m n x y x y k k ---+-=--O 所以， 解得22222221802010891m k n k m n k ⎧⎪-=⎪⎪-=⎨⎪--⎪=⎪-⎩34m n k ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩所以mn =．三、解答题17．某旅游公司针对旅游复苏设计了一款文创产品来提高收益．该公司统计了今年以来这款文创产品定价（单位：元）与销量（单位：万件）的数据如下表所示：x y 产品定价（单位：元）x 99.51010.511销量（单位：万件）y 1110865(1)依据表中给出的数据，判断是否可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数并y x 加以说明（计算结果精确到0.01）；(2)建立关于的回归方程，预测当产品定价为8.5元时，销量可达到多少万件．y x 参考公式：．()()()121ˆˆˆ,niii nii x x y y r bay bx xx ==--==--∑∑．8.06≈【正确答案】(1)，说明与的线性相关性很强，可以用线性回归模型拟合与0.99r ≈-y x y 的关系x (2)12.8万件【分析】（1）先计算出、的平均值，再结合相关性系数的参考公式计算即可，根据数值x y 得到相关性强弱，（2）根据公式，计算出关于的回归方程，将代入回归方程即可得到结果.y x 8.5x =【详解】（1）由题条件得，1(99.51010.511)105x =++++=．1(1110865)85y =++++=()()51(910)(118)(9.510)(108)(1010)(88)iii x x y y =--=--+--+--∑，(10.510)(68)(1110)(58)8+--+--=-，()52222221(910)(9.510)(1010)(10.510)(1110) 2.5ii x x =-=-+-+-+-+-=∑()52222221(118)(108)(88)(68)(58)26iiy y =-=-+-+-+-+-=∑．0.99r ∴=≈-与的相关系数近似为，说明与的线性相关性很强，从而可以用线性回归模型y x 0.99-y x 拟合与的关系．y x （2），()()()515218ˆˆ3.2, 3.2402.5iii i i x x y y b ay x x x ==---===-=+=-∑∑ 关于的线性回归方程为．y ∴x 3.240ˆyx =-+当时，．8.5x =ˆ12.8y=∴当产品定价为8.5元时，预测销量可达到12.8万件．18．如图，在多面体ABCDEFG 中，已知ADGC 是正方形，，，平面//GD EF //GF BC FG ⊥ADGC ，M ，N 分别是AC ，BF 的中点，且1122BC EF CG FG===(1)求证：平面AFG ；//MN (2)已知，求三棱锥的体积．1BC =E DFN -【正确答案】(1)证明见解析(2)13【分析】（1）取CG 的中点P ，连接PM ，PN ，通过面面平行的性质即可证明平面//MN AGF ；（2）先由空间中线面垂直关系证明平面DEFG ，再根据已知数据及三棱锥的体积公式CG ⊥计算求解即可．【详解】（1）如图，设P 是CG 的中点，连接PM ，PN ，为AC 的中点， ，M //PM AG ∴又平面AGF ，平面AGF ，PM ⊄AG ⊂平面AGF ，同理得，平面AGF ，//PM ∴//PN ，PM ，平面PMN ，PM PN P = PN ⊂平面平面AGF ，∴//PMN 又平面PMN ，平面AGF ，MN ⊂//MN ∴（2）平面ADGC ，平面ADGC ，FG ⊥ CG ⊂，FG CG ∴⊥又，，平面DEFG ，平面DEFG ，CG GD ⊥GF GD G = GD ⊂GF ⊂平面DEFG ，CG ∴⊥，，，，1BC = 2FG ∴=1EF =2CG =，111111323223E DFN N DEF P DEF DEF EF V V V S CG FG CG ---⋅⋅===⋅=⨯⋅=⋅三棱锥的体积为．∴E DFN -1319．在中，角的对边分别为．ABC ,,A B C ,,a b c cos cos a b C c B +=-(1)求角的大小；B (2)若是边上一点，且，求．D AC 13BD CD b==cos BDA ∠【正确答案】(1)5π6(2)1314【分析】（1）利用正弦定理即两角和的正弦公式即可；（2）利用余弦定理结合已知条件即可解决问题.【详解】（1），cos cos a b C c B +=-由正弦定理有：，sin sin cos sin cos C A B C C B +=-，sin sin()=+ A B C．sin cos sin cos sin cos sin cos C B C C B B C C B ++=-．2sin cos 0C B C ∴=又．(0,π),sin 0C C ∈∴≠cos B ∴=又．5π(0,π),6B B ∈∴=（2）在中，由余弦定理得：BCD △．22222229cos 22BD CD BC b a BDC BD CD b +--∠==⋅在中，由余弦定理得：ABD △．22222259cos 24BD AD AB b c BDA AD BD b +--∠==⋅．180,cos cos BDC BDA BDC BDA ∠+∠=︒∴∠=-∠ 即，222222295924b a b c b b --=-整理得．2222b c a -=在中，由余弦定理得:ABC．222cos 2a c b B ac +-==则．222a a acc -=-=a ∴=，即．2226b c c ∴-=b 2225913cos .414b c BDA b -∴∠==20l 与抛物线相交于P ，Q 两点．2:4C y x =(1)求线段PQ 中点纵坐标的值；(2)已知点，直线TP ，TQ 分别与抛物线相交于M ，N 两点（异于P ，Q ）．则在y 轴)T上是否存在一定点S ，使得直线MN 恒过该点？若存在，求出点S 的坐标；若不存在，请说明理由．【正确答案】(2)存在，的坐标为S ()0,3-【分析】（1）设，，代入抛物线方程相减（点差法）即可得；()11,P x y ()22,Q x y（2）设y 轴上存在定点，设直线，同时设，，()0,S s :MN y kx s =+211,4y P y ⎛⎫⎪⎝⎭222,4y Q y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，直线方程代入抛物线方程应用韦达定理得，由三点共233,4y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭244,4y N y ⎛⎫ ⎪⎝⎭3434,y y y y +线得，，结合直线的斜率可得值．即定点坐标．13y y 24y y PQ s 【详解】（1）设，，其中．()11,P x y ()22,Q x y 12x x ≠由，得．化简得． 21122244y x y x ⎧=⎨=⎩22121244y y x x -=-1212124y y x x y y -=-+，即124y y =+122y y +=线段PQ ∴（2）设y 轴上存在定点，由题意，直线MN 斜率存在且不为0，设直线()0,S s ，，，，．:MN y kx s =+211,4y P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭222,4y Q y ⎛⎫ ⎪⎝⎭233,4y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭244,4y N y ⎛⎫⎪⎝⎭由，消去x ，得．24y kx s y x =+⎧⎨=⎩2440ky y s -+=，．16160ks ∆=-> 1ks ∴<，．344y y k ∴+=344sy y k =，T ，M 三点共线，P=13yy =-同理，可得．24y y =-又，1222121234444PQ y y k y y y y -=====+-．解得．3434434s y yk y y k ==-+∴3s =-直线MN 恒过定点．∴()0,3-方法点睛：定点问题的解决方法，（1）由特殊值确定定点位置，确定定点坐标或得出定点满足的条件，设出定点坐标；（2）设出直线方程代入圆锥曲线方程应用韦达定理，得两根和与两根积；（3）韦达定理结果代入已知条件验证定点满足一般情形或由韦达定理的结果代入动点（动直线）与定点的关系求得定点坐标．21．已知函数，其中．()2sin f xx ax x =-0a ≥(1)当时，求曲线在点处的切线方程；0a =()y f x =()π,0(2)若是函数的极小值点，求a 的取值范围．0x =()f x 【正确答案】(1)2ππ0x y --=(2)[)1,+∞【分析】（1）当时，对求导，由导数的几何意义可求切线的斜率，从而可求切线0a =()f x 方程；（2）根据题意，设，分与讨论函数的单调性，从而可得()sin g x ax x=-1a ≥01a ≤<()g x 的单调性，再结合是函数的极小值点，即可得到a 的取值范围．()f x 0x =()f x 【详解】（1）当时，，0a =()sin f x x x=-，，()()sin cos x f x x x '+∴-=()ππf '=曲线在点处的切线方程为，即；∴()y f x =()π,0()0ππy x -=-2ππ0x y --=（2）由题知，不妨设，()()sin f x x ax x =-()sin g x ax x=-，()cos a g x x=∴-'①当时，不妨设，1a ≥ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，在上恒成立，()0cos ,1x ∈ ()0g x '>ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在上单调递增，又，()g x ∴ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭()00g =当时，；当时，， ∴π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()()00g x g <=π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()00g x g >=，，()()f x xg x = ()()()f x g x xg x ''∴=+当时，，即在上单调递减，∴π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()0f x '<()f x π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭当时，，即在上单调递增，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x ¢>()f x π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭是函数的极小值点，0x ∴=()f x ②当时，不妨设，01a ≤<π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，使得，且，，0π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝∃⎦∴()00g x '=()00,x x ∈()0g x '<在上单调递减，()g x ∴()00,x 当时，，∴()00,x x ∈()()00g x g <=当时，，∴()00,x x ∈()()()0f x g x xg x ''=+<在上单调递减，()f x \()00,x x ∈不是函数的极小值点．0x ∴=()f x 综上所述，当是函数的极小值点时，a 的取值范围为．0x =()f x [)1,+∞本题第一小问考查函数在某点处的切线方程，关键是由导数的几何意义求切线的斜率，即可求出切线方程；第二小问主要考查是由函数的极点求参数的范围，关键是由题意设，分与讨论函数的单调性，再结合是函数的极()sin g x ax x=-1a ≥01a ≤<()g x 0x =()f x 小值点，即可得到a 的取值范围，考查数学运算和逻辑推理等核心素养．22．在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为，（为参数）．以坐标原xOy l 1223x t t y =+⎧⎪⎨=-⎪⎩t 点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．O x C 22413sin ρθ=+(1)求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；l C (2)若是曲线上一点，是直线上一点，求的最小值．P C Q l ||PQ 【正确答案】(1)直线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为l 2380x y +-=C 2214x y +=【分析】（1）根据题意，由普通方程与参数方程以及极坐标方程的互化，代入计算即可得到结果；（2）根据题意，由点到直线的距离公式结合辅助角公式即可得到结果.【详解】（1）由直线的参数方程，得直线的普通方程为．l l 2380x y +-=将代入曲线的极坐标方程，222,sin x y y ρρθ=+=C 化简得曲线的直角坐标方程为．C 2214x y +=（2）由（1），设点，(2cos ,sin )P αα由题知的最小值为点到直线的距离的最小值．||PQ P l 又点到直线的距离． P ld =4tan3ϕ=当时，π2π()2k k αϕ+=+∈Z d ||PQ ∴23．已知函数，且不等式的解集为．()||f x x m =-()3f x <(1,)n (1)求实数的值；,m n (2)若正实数满足，证明：．,,a b c 222a b c m ++=44422211114a b c b c a ++≥+++【正确答案】(1)，1m =52n =(2)证明见解析【分析】（1）根据题意，可得，然后列出方程求解，即可得到结果；(1)3,()3f f n ==（2）根据题意，结合基本不等式代入计算即可得到证明.【详解】（1），且，(1)3,()3f f n == 1n >，解得．3|1|3m ∴+-=1m =． ()3|2||1|f x x x ∴=-+-．3|2||1|3n n ∴-+-=（i ）当时，由，解得（不合题意，舍去）；12n <≤3(2)(1)523n n n -+-=-=1n =（ii ）当时，由，解得，经检验满足题意．2n >3(2)(1)473n n n -+-=-=52n =综上所述，．51,2m n ==（2）由（1）得．．1m =2221a b c ∴++=，()()4442222222222111111a b c a b c a b c b c a ⎛⎫+++++++≥++ ⎪+++⎝⎭ ．当且仅当，即44422211111134a b c b c a ∴++≥=++++()()()444222222111a b c b c a ==+++a b c ===．44422211114a b c b c a ∴++≥+++。
2023_2024学年四川省成都市高三下册阶段性考试(二)暨三诊模拟考试文科数学试题(附答案)
2023_2024学年四川省成都市高三下册阶段性考试（二）暨三诊模拟考试文科数学试题注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.作答时，将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效.一､选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合，，则集合（ ）{}20A x x =->{}14B x x =-<<A B ⋃=A. B. ()1,4-{}2x x >C.D.{}1,4-()1,-+∞【正确答案】D2. 已知复数，则以下判断正确的是（ ）2i1i z =-A. 复数的模为1 B. 复数z z C. 复数的虚部为 D. 复数的虚部为z i z 1-【正确答案】B3. 下列说法错误的是（）A. “”是“”的充分不必要条件1a >11a <B. 在回归直线中，变量时，变量的值一定是150.585y x =-$200x =y C. 命题：则，，则：，p 0x ∃∈R 2010x x ++<p ⌝x ∀∈R 210x x ++≥D. 若，，，，，则l αβ= m α⊂n β⊂αβ⊥m l ⊥m n ⊥【正确答案】B4. 下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）A B. ()8f x x=-()5tan f x x=C. D.()323f x x x=+()f x x =【正确答案】C5. 如图，某几何体的正视图和俯视图是两个全等的矩形，则该几何体不可能是（）A. 三棱柱B. 四棱柱C. 五棱柱D. 圆柱【正确答案】C6. 设点是函数图象上的任意一点，点处切线的倾斜角为，P ()()()31122f x x f x f ''=-+P α则角的取值范围是（）αA B.C. D.3π0,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭π3π0,,π24⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭ π3π,24⎛⎫⎪⎝⎭π3π0,,π24⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭【正确答案】B7. 已知不等式组构成的平面区域为，命题对，都有0100x y x y x -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩D :p ()x y D∀∈,，，使得，则下列命题中为真命题的是（ ）20x y -≥():,q x y D ∃∈22x y ->A. B.C.D.p q ∧()()p q ⌝∧⌝()p q⌝∧()p q ∧⌝【正确答案】A 8. 在等差数列中，，．记（为正整数），则数列（{}n a 19a =-43a=-12n n T a a a =⋅⋅⋅n {}n T ）A. 有最大项，也有最小项B. 最大项，但无最小项C. 无最大项，但有最小项D. 无最大项，也无最小项【正确答案】B 9. 已知函数，以下说法中，正确的是（ ）()2cos 2sin 2f x x x x =+-①函数关于点对称；()f x π,012⎛⎫⎪⎝⎭②函数在上单调递增；()f x ππ,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦③当时，的取值范围为；π2π,63x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()f x ()2,0-④将函数的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的解析式为.()f x π12()2sin21g x x =-A. ①② B. ②③④C. ①③D. ②【正确答案】D10. 已知三棱锥，是直角三角形，其斜边，平面,,S ABC -ABC 8AB =SC ⊥ABC 6SC =则三棱锥的外接球的表面积为A. B. C. D. 100π68π72π64π【正确答案】A11. 已知，是双曲线的左，右焦点，过点的直1F 2F 2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>1F线与双曲线的左，右两支分别交于，两点，以为圆心的圆过，，则双曲线的l M N 2F M N C 离心率为（ ）C. 2【正确答案】B12. 设，，，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（ ）150a =()ln 1sin 0.02b =+5121n50c =A. B. C. D. a b c <<a c b<<b<c<ab a c<<【正确答案】D二､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 设等比数列的前项和为，写出一个满足下列条件的的公比__________.{}n a n n S {}n a q =①，②是递增数列，③.10a >{}n a 3113S a <【正确答案】2（答案不唯一）14. 已知向量，方满足，，且与的夹角为，则向量与的夹角a →b →1a →=2b →=a →b →3πa b →→-b →为______.【正确答案】56π15. 已知直线经过抛物线的焦点并交抛物线于，两点，则，且()220y px p =>F A B 4AF =在抛物线的准线上的一点满足，则______.C 2CB BF =p =【正确答案】216. 对任意，存在，使得，则的最小值为_________．a ∈R (0,)b ∈+∞1eln a b +=b a -【正确答案】1三､解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17. 在中，内角所对的边分别为，且.ABC,,A B C ,,a b c cos sin a c B C -=（1）求角的大小；C （2）若，且__________，求的周长.请在下列三个条件中，选择其中的一个条c =ABC 件补充到上面的横线中，并完成作答.①；②；③1sin sin 12A B =ABC .23CA BC ⋅=-注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一解答计分.【正确答案】（1）3C π=（2）4+【分析】（1）根据条件，利用和正弦的和角公式，化简即可得出结果；()sin sin A B C =+（2）选①，利用正弦定理和条件得出，选②，利用条件和三角形面积公式得出43ab =，选③，利用条件和数量积的定义得出43ab =，再利用余弦定即可得到结果.43ab =【小问1详解】由正弦定理：，sin sin cos sin A C B B C -=因为，所以，()sin sin A B C =+sin cos cos sin sin cos sin B C B C C B B C +-=所以，因为，所以，得到，sin cos sin B C B C=sin 0B≠cos C C=tan C =又，所以.()0,πC ∈π3C =【小问2详解】若选①，根据正弦定理和（1）可知，，4πsin sin sin 3a b c A B C ====所以，所以，得到，4sin ,4sin a A b B ==1sin sin 1612ab A B ==43ab =若选②，由题知，得到，11sin 22ab C ab ==43ab =若选③，即，由数量积定义得，得到，23CA BC ⋅=- ()12cos π23ab C ab -=-=-43ab =故三个条件任选一个条件，都可以得到，43ab =由余弦定理，得，整理得，222π2cos3c a b ab =+-2π()22cos 123a b ab ab +--=即，则或（舍去），2()16a b +=4a b +=4a b+=-所以的周长为.ABC 4a b c ++=+18. 2022年国际篮联女篮世界杯在澳大利亚悉尼落下帷幕，中国女篮团结一心､顽强拼搏获得亚军.这届世界杯，中国女篮为国人留下了许多精彩瞬间和美好回忆，尤其是半决赛绝杀东道主澳大利亚堪称经典一幕.为了了解喜爱篮球运动是否与性别有关，某体育台随机抽取100名观众进行统计，得到如下列联表.22⨯男女合计喜爱3040不喜爱40合计100（1）将列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为喜爱篮球22⨯0.001运动与性别有关？（2）在不喜爱篮球运动的观众中，按性别分别用分层抽样的方式抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加一台访谈节目，求这2人至少有一位男性的概率.附：，其中.()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++()20P K k …0.0100.0050.0010k 6.6357.87910.828【正确答案】（1）答案见解析；（2）.35【分析】（1）根据题意进行数据分析，完善列联表，套公式求出，对照参数下结论；22⨯2K （2）利用古典概型的概率公式求解.【小问1详解】由题意进行数据分析，得到列联表如下：22⨯男女合计喜爱301040不喜爱204060合计5050100计算()()()()222()100(30401020)5016.66710.828505040603n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯===≈>++++⨯⨯⨯所以在犯错误的概率不超过的前提下认为喜爱篮球运动与性别有关.0.001【小问2详解】不喜爱篮球运动的观众中，有男观众20人，女观众40人，按照分层抽样的方式抽取6人，有男观众2人，记为a 、b ，女观众4人，记为1、2、3、4.从6人中抽取2人，有：，共15个.,1,2,3,4,1,2,3,4,12,13,14,23,24,34ab a a a a b b b b 记“所抽2人至少有一位男性”为事件A ,包含：，共9个.,1,2,3,4,1,2,3,4ab a a a a b b b b 所以.()93155P A ==19.如图，在直角梯形ABCD 中，，，四边形CDEF 为平行四边形，平AD BC ∥AD CD ⊥面平面ABCD ，．CDEF ⊥2BC AD =（1）证明：平面ABE ；DF （2）若，，，求三棱锥的体积．1AD =2CD ED ==π3FCD ∠=B ADE -【正确答案】（1）证明见解析（2【分析】（1）连接交于点，取的中点，连接，根据条件证明四边形CE DF H BE G ,AG GH 为平行四边形，然后得到即可；ADHG //DH AG（2）取的中点为，连接，依次证明平面、平面，然后CD O OF OF ⊥ABCD //EF ABCD 可求出点到平面的距离，然后根据算出答案即可.E ABCD B ADE E ABD V V --=【小问1详解】证明：连接交于点，取的中点，连接，CE DF H BE G ,AG GH 因为四边形为平行四边形，所以为的中点，CDEF H CE 所以，1//,=2GH BC GH BC因为，，所以，AD BC ∥2BC AD =//,=GH AD GH AD 所以四边形为平行四边形，所以，即，ADHG //DH AG //DF AG 因为平面，平面，所以平面ABE ，AG ⊂ABE DF ⊄ABE DF 【小问2详解】取的中点为，连接，CD O OF 因为，，所以为等边三角形，2CD ED ==π3FCD ∠=CDF 所以，，OF =OF CD ⊥因为平面平面ABCD ，平面平面ABCD ，平面，CDEF ⊥CDEF CD =OF ⊂CDEF 所以平面，所以点到平面的距离为，OF ⊥ABCD FABCD OF =因为，平面，平面，//EF CD EF ⊄ABCD CD ⊂ABCD 所以平面，//EF ABCD 所以点到平面的距离为，EABCD OF =因为是直角梯形，，，，，ABCD AD BC ∥AD CD ⊥1AD =2CD =所以，112ABD S AD CD =⋅⋅= 所以.113B ADE E ABD V V --==⨯=20. 已知椭圆在椭圆上.2222:1(0) x y M a b a b +=>>1 2P ⎫⎪⎭M （1）求椭圆的方程；M （2）设为坐标原点，，，是椭圆上不同的三点，且为的重心，探究O A BC M O ABC 面积是否为定值，若是求出这个定值；若不是，说明理由ABC 【正确答案】（1）；（22214x y +=【分析】（1）由题意列出关于的方程组，求出，即可得出椭圆方程；,,a b c ,a b （2）先讨论直线的斜率不存在时，根据题中条件，求出此时的面积；再讨论直线AB ABC 的斜率存在时，设直线，联立直线与椭圆方程，设，，AB :AB y kx m =+()11,A x y ()22,B x y 由韦达定理，得出，；由弦长公式，得出；根据为的重心，求出点12x x +12x x ⋅AB O ABC 为坐标，代入椭圆方程，得到之间关系；再由点到直线的距离公式，得出点到直O C ,k m O 线的距离，由即可得出结果.AB 3ABC ABO S S =【详解】（1）由题知：，解得，，22222121b c a a b c ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎪⎪⎩2a =1b =所以椭圆的方程为；M 2214x y +=（2）当直线的斜率不存在时，轴，点在轴上，．点到的距ABAB x ⊥C x AB =C AB 离为，则．3d =12ABC S AB d ==△当直线的斜率存在时，设直线AB :AB y kx m=+由消去，整理，2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩x ()()222418410k x kmy m +++-=设，，则有，，()11,A x y ()22,B x y ()2216410k m =+->△122841kmx x k +=-+，21224441m x x k -⋅=+所以，()121222241m y y k x x m k +=++=+，2AB x =-=因为为的重心，则由，O ABC ()2282,4141km m OC OA OB k k ⎛⎫=-+=- ⎪++⎝⎭u u u r u u r u u u r 点在椭圆上，则得，2282,4141km m C k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭222282411441km m k k ⎛⎫⎪+⎛⎫⎝⎭+-= ⎪+⎝⎭22441m k =+点到直线的距离为；O AB d =所以；332ABC ABOS S AB d ====V V 综上：为定值．ABC S =△思路点睛：求解椭圆中三角形面积相关问题时，一般需要联立直线与椭圆方程，结合韦达定理、弦长公式，以及点到直线距离公式，表示出三角形的面积，再结合题中条件，即可求解.21. 已知函数，()2ln 4f x x a x a =-+()a R ∈（1）讨论函数的单调性；()f x （2）令，若存在，且时，，证明.()()sin g x f x x=-()12,0,x x ∈+∞12x x ≠()()12g x g x =212x x a <【正确答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【分析】(1)求函数的定义域和导数，分和两种情况，结合导数可求出函数的单调性.0a ≤0a >(2)根据题意可得，通过构造函数()()()121212ln ln 2sin sin a x x x x x x -=---，求函数单调性及参变分离可得，令，通过导()sin h x x x=-1212ln ln x x a x x ->-()121xt x t >=数得的单调性，即可证明，从而可证明.()()ln 1m t t t =>()()10m t m >=212x x a <【详解】解：（1）的定义域为，，()f x ()0,∞+()22a x af x x x -'=-=当时，，当时，由得，由得，0a ≤()0f x ¢>0a >()0f x ¢>2a x >()0f x '<02ax <<∴当时，在上单调递增0a ≤()f x ()0,∞+当时，在上单调递减，在单调递增.0a >()f x 0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2），∵，由题意知，()2ln sin 4g x x a x x a=--+()()12g x g x =，1112222ln sin 2ln sin x a x x x a x x --=--∴，()()()121212ln ln 2sin sin a x x x x x x -=---令，则，∴在上单调递增，()sin h x x x=-()1cos 0h x x '=-≥()h x ()0,∞+不妨设，∵，∴，120x x >>()()12h x h x >1122sin sin x x x x ->-∴，()1221sin sin x x x x -->-∴()()()()12121221122sin sin 2x x x x x x x x x x --->-+-=-∴，∴，令，只需证，只需证()1212ln ln a x x x x ->-1212ln ln x x a x x ->-()121x t x t >=t 1ln t ->，设，则，ln 0t >()()ln 1m t t t =>()m t '=>∴在递增，∴，即()mt ()1,+∞()()10m t m >=1212ln ln x x x x ->-∴.a >212x x a <思路点睛:利用导数求含参函数的单调性时，一般先求函数的定义域，求出导数后，令导数为零，解方程，讨论方程的根的个数以及根与定义域的位置关系，确定导数的符号，从而求出函数的单调性.请考生在第22､23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.选修4-4：坐标系与参数方程22. 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为，.2cos ρθ=0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦（1）求C 的参数方程；（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线垂直，根据（1）中你得到的参数:2l y =+方程，确定D 的坐标.【正确答案】（1）为参数；（2）[]1,0,.x cos y sin ααπα=+⎧∈⎨=⎩3(2【分析】（1）先求出半圆的直角坐标方程，由此能求出半圆的参数方程；C C （2）设点对应的参数为，则点的坐标为，且 ，半圆的圆D αD ()1+cos ,sin αα[]0,απ∈C 心是因半圆在处的切线与直线垂直，故直线的斜率与直线的斜率相等，由()1,0C C D l DC l 此能求出点的坐标.D 【详解】（1）由，得 ，ρ2cos θ=[]2220,01x y x y +-=∈，所以C 的参数方程为为参数[]1,0,.x cos y sin ααπα=+⎧∈⎨=⎩（2）[]sin 0πtan 0,,1+cos 1233D αααπαα⎛-=⇒=∈∴= -⎝ 本题主要考查参数方程与极坐标方程，熟记直角坐标方程与参数方程的互化以及普通方程与参数方程的互化即可，属于常考题型.选修4-5：不等式选讲23. 设函数的最小值() 3 1 2 2f x x x =-++M（1）求；M （2）已知为正实数，且，求证．,,a b c 9a b c M ++=242424(1)(1)(1)8a b c ---≥【正确答案】（1）；（2）证明见解析.83=M 【分析】(1)用零点分段法把函数分段表示出，再求该函数的最小值即可作答；(2)利用(1)的结论对不等式左边化简变形，再利用均值不等式即可证得.【详解】（1）由题可得，151,31()3,1351,1x x f x x x x x ⎧+≥⎪⎪⎪=-+-<<⎨⎪--≤-⎪⎪⎩时，，时，，时，，于是有13x ≥8513x +≥113x -<<8343x <-+<1x ≤-514x --≥，8,()3x R f x ∀∈≥所以；min 18()()33M f x f ===（2）由（1）知，可得，同理得，24a b c ++=24241a b c a a a -+-==241a cb b +-=，241a bc c +-=由基本不等式可得当且仅当242424()()()(1)(1)(1)8b c c a a b a b c abc +++---=≥=时取“=”，8a b c ===所以．242424(1)(1)(1)8a b c ---≥15 / 15。
四川省成都市2023届高三三诊文科数学试题
一、单选题1.如图，水利灌溉工具筒车的转轮中心到水面的距离为，筒车的半径是，盛水筒的初始位置为与水平正方向的夹角为．若筒车以角速度沿逆时针方向转动，为筒车转动后盛水筒第一次到达入水点所需的时间（单位：），则（）A．B．C．D．2.设，随机变量的分布列是则当在内增大时（ ）A．增大，增大B．减小，增大C．增大，减小D ．减小，减小 3. 的展开式中各项二项式系数之和为，则展开式中的常数项为（ ）A．B．C．D．4. 已知函数为偶函数，且在上单调递增，，则不等式的解集为（ ）A．B．C．D．5. 已知为实数，为虚数单位，若，则A．B．C．D ．6. 如图，在长方形中，，点 P满足，其中，则的取值范围是（）A．B．C．D．7.已知，则（ ）A．B．C．D．8. 已知集合，则（ ）A．B．C．D．四川省成都市2023届高三三诊文科数学试题四川省成都市2023届高三三诊文科数学试题二、多选题三、填空题四、解答题9. 已知点为双曲线上的任意一点，过点作渐近线的垂线，垂足分别为，则（）A．B．C．D．的最大值为10.已知函数，则（ ）A ．曲线在处的切线方程为B．在上单调递增C．对任意的，，有D．对任意的，，，，则11. 已知函数在R 上可导，其导函数满足，，则（ ）A ．函数在上为增函数B ．是函数的极小值点C ．函数必有2个零点D．12. 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件“第一次摸到红球”，事件“第二次摸到红球”，“两次都摸到绿球”，“两个球中有红球”，则（ ）A．B．C．D．13. 某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店这三天售出的商品最少有_______种．14. 数列为等比数列，且，，，其中，则的最小值为________.15. 椭圆的焦距为4，则m 的值为___________.16.如图，在直三棱柱中，，，点为棱的中点，点为线段上的一动点.(1)求证：当点为线段的中点时，平面；(2)当点位于线段的什么位置时，与平面所成角的正弦值为，请说明理由.17. 已知复数z 1＝m(m －1)＋(m －1)i 是纯虚数．（1）求实数m 的值；（2）若(3＋z 1)＝4＋2i ，求复数z ．18. 有两位环保专家从三个城市中每人随机选取一个城市完成一项雾霾天气调查报告，两位专家选取的城市可以相同，也可以不同.（1）求两位环保专家选取的城市各不相同的概率；（2）求两位环保专家中至少有一名专家选择城市的概率.19. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，短轴长为，离心率为.(1)求椭圆的方程;(2)为椭圆上满足的面积为的任意两点，为线段的中点，射线交椭圆与点，设，求实数的值.20. 已知数列的前项和为，且和的等差中项为1．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和．21. 已知抛物线的焦点为，准线为，点为上的一点，过点作直线的垂线，垂足为，且，．(1)求抛物线的标准方程；(2)已知的三个顶点都在抛物线上，顶点，重心恰好是抛物线的焦点，求所在的直线方程．。
四川省成都第十二中学2023届高三下学期三诊模拟考试文科数学试卷
四川省成都第十二中学2023届高三下学期三诊模拟考试文科数学试卷一、单选题1．设,2k M x x k ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭Z ，1,2N x x k k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ，则（ ）A ．M NB ．N MC ．M N =D ．M N ⋂=∅2．若()()()()1R f x x x x a a =++∈为奇函数，则a 的值为（ ） A ．-1B ．0C ．1D ．-1或13．某高中调查学生对2022年冬奥会的关注是否与性别有关，随机抽样调查150人，进行独立性检验，经计算得()()()()()225.879n ad bc a b c d a c b d χ-=≈++++，临界值表如下：则下列说法中正确的是：（ ）A ．有97.5%的把握认为“学生对2022年冬奥会的关注与性别无关”B ．有99%的把握认为“学生对2022 年冬奥会的关注与性别有关”C ．在犯错误的概率不超过2.5%的前提下可认为“学生对2022年冬奥会的关注与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过2.5%的前提下可认为“学生对2022年冬奥会的关注与性别无关”4．在复平面内，已知复数z 满足1i z z -=+（i 为虚数单位），记02i z =+对应的点为点0,Z z 对应的点为点Z ，则点0Z 与点Z 之间距离的最小值为（ ）A B C D ．5．已知函数()()()sin 20πϕϕ=+<<f x x 的图象关于直线π6x =对称，则ϕ的值为（ ） A ．π12 B ．π6C ．π3D ．2π36．已知实数,x y 满足约束条件2202201x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，则y x 的最大值是（ ）A ．1B ．53C ．2D ．37．在平行四边形ABCD 中，12BE BC =u u u r u u u r ，13AF AE =u u u r u u u r ．若A B m D F nA E =+u u u r u u u r u u u r，则m n +=（ ）A ．12B ．34C ．56D ．438．如图，一块三角形铁片ABC ，已知4AB =，AC =5π6BAC ∠=，现在这块铁片中间发现一个小洞，记为点D ，1AD =，6BAD π∠=.如果过点D 作一条直线分别交AB ，AC于点E ，F ，并沿直线EF 裁掉AEF △，则剩下的四边形EFCB 面积的最大值为（ ）A．B．CD9．“阿基米德多面体”这称为半正多面体（semi-regularsolid ），是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体.已知AB =）A ．18πB ．16πC ．14πD ．12π10．过双曲线M ：()22210y x b b-=>的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于B 、C ，且0BA BC +=u u u r u u u r r，则双曲线M 的离心率是（ ）ABCD11．已知()θcos 4θcos3θf =+，且1θ，2θ，3θ是()θf 在()0,π内的三个不同零点，下列结论不正确的是（ ）A ．{}123πθ,θ,θ7∈B ．123θθθπ++=C ．1231cos θcos θcos θ8=-D ．1231cos θcos θcos θ2++=12．设,a b ∈R ，462b a a =-，562a b b =-，则（ ）A ．1a b <<B ．0b a <<C ．0b a <<D ．1b a <<二、填空题13．已知向量a r ，b r满足2a =r ，3b =r ，0a b ⋅=r r .设2c b a =-r r r ，则cos ,a c =r r . 14．已知数列{}n a 满足11a =，22a =，2(1)2n n n a a +-=-+，则数列{}n a 的前30项和为 . 15．A ､B ､C ､D ､E 五个队进行单循环赛（单循环赛制是指所有参赛队在竞赛中均能相遇一次），胜一场得3分，负一场得0分，平局各得1分.若A 队2胜2负，B 队得8分，C 队得9分，E 队胜了D 队，则D 队得分为.16．直线x t =与曲线1C ：()e R xy ax a =-+∈及曲线2C ：e x y ax -=+分别交于点A ，B .曲线1C 在A 处的切线为1l ，曲线2C 在B 处的切线为2l .若1l ，2l 相交于点C ，则ABC V 面积的最小值为.三、解答题17．随着中国实施制造强国战略以来，中国制造（Made in china ）逐渐成为世界上认知度最高的标签之一，企业也越来越重视产品质量的全程控制某企业从生产的一批产品中抽取40件作为样本，检测其质量指标值，质量指标的范围为[50,100]，经过数据处理后得到如下频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中质量指标值的平均数和中位数（结果精确到0.1）；(2)为了进一步检验产品质量，在样本中从质量指标在[50,60)和[90,100]的两组中抽取2件产品，记至少有一件取自[50,60)的产品件数为事件A ，求事件A 的概率． 18．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，()2sin cos c b A A =-. (1)若sin 10sin B C =，求sin A 的值；(2)在下列条件中选择一个，判断ABC V 是否存在，如果存在，求b 的最小值；如果不存在，说明理由.①ABC V的面积1S =；②bc = ③222+=a b c .19．如图1，在直角梯形ABCD 中，AB CD P ，90BAD ∠=︒，12AD CD AB ==，将ACD V 沿AC 折起（如图2）．在图2所示的几何体D ABC -中：(1)若平面ACD ⊥平面ABC ，求证：AD ⊥BC ；(2)设P 为BD 的中点，记P 到平面ACD 的距离为1h ，P 到平面ABC 的距离为2h ，求证：12h h 为定值，并求出此定值．20．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>，焦距为2，过E 的左焦点F 的直线l与E 相交于A 、B 两点，与直线2x =-相交于点M ．(1)若()2,1M --，求证：MA BF MB AF ⋅=⋅；(2)过点F 作直线l 的垂线m 与E 相交于C 、D 两点，与直线2x =-相交于点N ．求1111MA MB NC ND+++的最大值． 21．已知R k ∈，函数()()2π3ln 1sin π2f x x x kx =+++，()1,2x ∈-.(1)若0k =，求证：()f x 仅有1个零点； (2)若()f x 有两个零点，求实数k 的取值范围.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩t 为参数且0t ≥）.在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C的极坐标方程为()sin 04a πρθ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭.(1)求曲线1C 的普通方程及2C 的直角坐标方程； (2)若曲线1C 及2C 没有公共点，求a 的取值范围. 23．已知函数()|2||1|f x x x =++-． (1)求不等式()4f x ≤的解集；(2)函数()f x 最小值为321,(0,0,0)k k a b c a b c++=>>>，求32a b c ++的最小值．。
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2023届四川省成都市高三三诊文科数学试卷(word版)
一、单选题
(★) 1. 设集合，，则（）
A．B．C．D．
(★) 2. 命题“”的否定是（）
A．B．
C．D．
(★★) 3. 已知双曲线经过点，且与双曲线具有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为（）
A．B．C．D．
(★★) 4. 如图是某三棱锥的三视图，已知网格纸的小正方形边长是1，则这个三棱锥中最长棱的长为（）
A．5B．C．D．7
(★★) 5. 设为等差数列的前n项和．若，则的值为（）
A．1B．2C．1012D．2023
(★★★) 6. 函数的图象大致为（）
A．B．
C．D．
(★★) 7. 一次数学考试后，某班级平均分为110分，方差为．现发现有两名同学的成绩计算
有误，甲同学成绩被误判为113分，实际得分为118分；乙同学成绩误判为120分，实际得分
为115分．更正后重新计算，得到方差为，则与的大小关系为（）A．B．C．D．不能确定
(★★)8. 已知是两个非零向量，设．给出定义：经过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，则称向量，为在上的投影向量．已知，则在上的投影向量为（）
A．B．C．D．
(★★) 9. 世界大学生运动会（简称大运会）由国际大学生体育联合会主办，每两年举办一届，
是规模仅次于奥运会的世界综合性运动会，第31届大运会将于2023年7月28日至8月8日在
成都召开．为办好本届大运会，组委会精心招募了一批志愿者，现准备将甲、乙两名志愿者安
排进“东安湖体育公园”，“凤凰山体育公园”，“四川省体育馆”工作，每人只能在一个场馆工
作．若每位志愿者被分到各个场馆的可能性相同，则甲，乙两人被安排在同一个场馆的概率为（）
A．B．C．D．
(★★★) 10. 已知函数，当时，的最小值为．若将函数的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，然后再将得到的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，则不等式的解集为（）
A．B．
C．D．
(★★★) 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与椭圆C相交于A，B两点．有下列结论：
①四边形为平行四边形；
②若轴，垂足为E，则直线BE的斜率为；
③若（O为坐标原点），则四边形的面积为；
④若，则椭圆的离心率可以是．
其中正确的结论是（）
A．①④B．①②④C．①②③D．②④
(★★★★) 12. 已知函数有三个零点，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．
二、填空题
(★) 13. 已知复数是纯虚数（为虚数单位），则实数的值为 _______ ．
(★★) 14. 在等比数列中，若，则的值为 _______ ．
(★★★) 15. 如图，AB为圆柱下底面圆O的直径，C是下底面圆周上一点，已知，
，圆柱的高为5．若点D在圆柱表面上运动，且满足，则点D的轨迹所围成图形的面积为 ________ ．
(★★★) 16. 已知，是圆内一点，对圆O上任意一点P都有为定值，则mn的值为 ________ ．
三、解答题
(★★) 17. 某旅游公司针对旅游复苏设计了一款文创产品来提高收益．该公司统计了今年以来这款文创产品定价（单位：元）与销量（单位：万件）的数据如下表所示：
产品定价（单
9
位：元）
销量（单位：
11
万件）
(1)依据表中给出的数据，判断是否可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数并加以说明（计算结果精确到0.01）；
(2)建立关于的回归方程，预测当产品定价为8.5元时，销量可达到多少万件．
参考公式：．
参考数据：．
(★★★) 18. 如图，在多面体ABCDEFG中，已知ADGC是正方形，，，
平面ADGC，M，N分别是AC，BF的中点，且
(1)求证：平面AFG；
(2)已知，求三棱锥的体积．
(★★) 19. 在中，角的对边分别为，且．
(1)求角的大小；
(2)若是边上一点，且，求．
(★★★★) 20. 已知斜率为的直线l与抛物线相交于P，Q两点．
(1)求线段PQ中点纵坐标的值；
(2)已知点，直线TP，TQ分别与抛物线相交于M，N两点（异于P，Q）．则在y轴上是否存在一定点S，使得直线MN恒过该点？若存在，求出点S的坐标；若不存在，请说明理由．
(★★★★) 21. 已知函数，其中．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若是函数的极小值点，求a的取值范围．
(★★★) 22. 在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为，（为参数）．以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
(1)求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
(2)若是曲线上一点，是直线上一点，求的最小值．
(★★★) 23. 已知函数，且不等式的解集为．
(1)求实数的值；
(2)若正实数满足，证明：．。