复利、年金及持有至到期投资实际利率计算和内插法实际运用

复利终值与现值

由于利息的因素，货币是有时间价值的，从经济学的观点来看，即使不考虑通胀的因素，货币在不同时间的价值也是不一样的；今天的1万元，与一年后的1万元，其价值是不相等的。例如，今天的１万元存入银行，定期一年，年利10％，一年后银行付给本利共1.1万元，其中有0.1万元为利息，它就是货币的时间价值。货币的时间价值有两种表现形式。一是绝对数，即利息；一是相对数，即利率。

存放款开始的本金，又叫“现值”，如上例中的1万元就是现值；若干时间后的本金加利息，叫“本利和”，又叫“终值”，如上例的1.1万元就是终值。

利息又有单利、复利之分。单利的利息不转为本金；复利则是利息转为本金又参加计息，俗称“利滚利”。

设：P为本金（现值）

A为等额值（年金）

i为利率（利率或折现率）

n为时间（计息期数）

F为本利和（终值）

则计算公式如下：

1．求复利终值：复利终值指一定量的货币，按复利计算的若干期后的本利总和。

F=P∗（1+i）n

计作：P*（F/P，i，n）

复利终值系数：（1+i）n

记作：（F/P，i，n）

2．求复利现值：复利现值是指未来某期的一定量的货币，按复利计算的现在的价值。

P=F∗1

（1+i）

n计作：F*（P/F，i，n）

复利现值系数：1

（1+i）

n记作：（P/F，i，n）

显然，终值与现值互为倒数。

公式中的（1+i）n

和1

（1+i）

n

又分别叫“复利终值系数”、“复利现值系数”。可分别用符号“F(n，

i)”、“P (n，i)”表示，这些系数既可以通过公式求得，也可以查表求得。

例1、本金3万元，年复利6％，期限3年，求到期的本利和（求复利终值）。

解: F=P（1+i）n

；这（1+i）

n

可通过计算，亦可查表求得，

查表，（1+6%）3

=1.191

所以F=30000∗（1+6%）3

=3.573万元（终值）

例2、5年后需款3000万元，若年复利10%，问现在应一次存入银行多少？（求复利现值）

解：P=F

（1+i）n

=3000万×1

（1+10%）

5

查表，1

（1+10%）5

=0.621

所以，P=3000万

（1+10%）5

=1863万元（现值）

普通年金的计算公式

普通年金终值： F=A∗（1+i）n

−1

i

，记作：A（F/A，i，n）

普通年金终值系数：（1+i）n

−1

i

，记作：（F/A，i，n）

普通年金终值是指一定时期内每期期末等额收付款项的复利终值之和。也就是将每一期的金额，按复利换算到最后一期期末的终值，然后加总，就是该年金终值。如果年金相当于零存整取储蓄存款的零存数，那么年金终值就是零存整取的整取数。

普通年金现值：P=A∗1−（1+i）−n

i

，记作：A（P/A，i，n）

普通年金现值系数：1−（1+i）−n

i

，记作：（P/A，i，n）

普通年金现值是以计算期期末为基准，在给定投资报酬率下按照货币时间价值计算出的未来一段期间内每年或每月收取或给付的年金现金流的折现值之和。类似普通年金终值，计算普通年金现值时，同样要考虑到现金流是期初年金还是期末年金。

例3每年存入银行2万元，年复利8％，5年，问折现值多少？

解：A＝2万元，ｉ＝8％，ｎ＝5，求P

P=A∗1−（1+i）−n

i = 2万∗1−（1+8%）

−5

8%

查表，1−（1+8%）−5

8%

＝3.993

P＝2万×3.993＝7.986万元

例4 现有30万元，一次存入银行，分5年取出，年复利12％，问每年末可取多少？解：这是由现值倒求年金。

P＝30万，i＝12％，n＝5，求A。

P=A∗1−（1+i）−n

i →A=P∗i

1−（1+i）

−n

= 30万*1−（1+12%）

−5

12%

查表，1−（1+12%）−5

12%＝3.605 →A＝30万

3.605

＝8.3218万元即付年金计算公式

即付年金又称“先付年金”或“预付年金”，是指在一定时期内，以相同的时间间隔在各期期初收入或支出的等额的款项。 即付年金终值： F =A ∗[(1+i )n+1−1

i

−1] 记作：A[（F/A ），i ，（n+1）-1] 即付年金现值：P =A ∗[

1−(1+i )−(n−1)

i

+1] 记作：A[（P/A ），i ，（n -1）+1]

例: 即付年金与普通年金的换算

一般的年金表，都是普通年金。若遇期初收付款的即付年金，则需用手工作繁琐的计算，不过也可通过普通年金换算求出。换算公式为：

PA （n ，i ）＝PA （n －1，i ）＋1 即：期数减1，系数加1

例：即付年金每期1元，5期，年复利8％，求现值。 P =A ∗[

1−(1+i )−(n−1)

i

+1] → 即付年金现值系数＝[

1−(1+i )−(n−1)

i

+1]

按P 初（5，8％）代入， P （5，8％）＝ 1*[

1−(1+8%)−(5−1)

8%

+1] =4.312

改按普通年金计算为： P （4，8％）， P =A ∗

1−（1+i ）

−n

i

= 1*

1−（1+8%）

−4

8%

;

查表P （(5-1)，8％）+1＝3.312+1 则3.312+1＝4.312 两者结果相同，故换算公式成立。

递延年金计算公式

递延年金是指第一次收付款发生时间与第一期无关，而是隔若干期（m ）后才开始发生的系列等额收付款项。它是普通年金的特殊形式。 递延年金终值：

F=A(F/A ，i ，n)

例题：假设江南公司拟一次性投资开发某农庄，预计该农庄能存续15年，但是前5年不会产生净收益，从第6年开始，每年的年末产生净收益5万元。考虑在资金时间价值的因素下，若农庄的投资报酬率为10%，该农庄给企业带来累计收益为多少？

解：