芝诺的乌龟
浅谈芝诺悖论——阿基里斯与乌龟
浅谈芝诺悖论——阿基里斯与乌龟公元前5世纪，芝诺用他的无穷、连续以及部分和的知识，引发出以下著名的悖论：他提出让阿基里斯和乌龟之间举行一场赛跑，并让乌龟在阿基里斯前头1000米开始．假定阿基里斯能够跑得比乌龟快10倍．当比赛开始的时候，阿基里斯跑了1000米，此时乌龟仍然前于他100米．当阿基里斯跑了下一个100米时，乌龟依然前于他10米．芝诺辩解说，阿基里斯能够继续逼近乌龟，但他决不可能追上它。
此问题可用数学知识表示为；如图设阿基里斯处在A 点，乌龟处在B 点，A ，B 点相距X ，阿基里斯以速度V 前进，则乌龟以速度1∕10V 前进，若阿基里斯前进了X ，则乌龟前进了1/10X ，若阿基里斯前进了1/10X ，则乌龟前进了1/10ˆ2X ，就这样无限的进行下去，乌龟前进的路程可表示为S=1/10X+1/10ˆ2X+1/10ˆ3X+1/10ˆ4X+…1/10ˆnX ，而阿基里斯前进的路程为S ’=X+1/10X+1/10ˆ2X+1/10ˆ3X+1/10ˆ4X+…1/10ˆ(n-1)X, 所以二者之差S ’—S= X —1/10ˆnX ，乌龟与阿基里斯相距1/10ˆnX ，当n 为无穷大时，S ’—S ≈X ， 1/10ˆnX ≈0，但是1/10ˆnX 总是一个大于0的数，因此阿基里斯是追不上乌龟的.然而如果我们深思这个问题我们会发现，当n 为无穷大时，1/10ˆnX 会越来越小，通过这段路程的时间会趋于0.对于宏观上分析，显然我们可以得出当1/10ˆnX ≈0时，阿基里斯与乌龟所占的空间要比1/10ˆnX 大得多，我们说阿基里斯没有追上乌龟这是不科学的。
对于微观上分析，我们将阿基里斯与乌龟分别看成两个质点，设为A ，B ，而质点是没有体积的，这样讨论就不会产生宏观上的不科学的观点。
若A,B 是质点，我们显然可以得到A 是永远追不上B 的。
但在牛顿的经典物理学中，我们可以知道若A 比B 的速度快，经过有限时间后，A 是一定会追上B 的，因此这个问题是不可以用牛顿的经典物理学来分析的，经典物理学有两个假设： 其一是假定时间和空间是绝对的，长度和时间间隔的测量与观测者的运动无关，物质间相互作用的传递是瞬时到达的；其二是一切可观测的物理量在原则上可以无限精确地加以测定。
芝诺的四个悖论
3、芝诺的四个悖论第一个悖论是阿基里斯与乌龟悖论，希腊战士阿基里斯跟乌龟赛跑，乌龟说，如果它比阿基里斯先跑10米，那么阿基里斯永远都追不上它，因为只要阿基里斯跑了10米，这时乌龟就又多跑了几米，若阿基里斯再跑到乌龟曾经停留的点，乌龟一定又跑到阿基里斯前面去了；看似有理，但要怎么说明为何如此呢？第二个是二分法悖论，是说你永远不可能抵达终点，因为你为了抵达终点，必得先跑完全程的一半，而要跑到全程的一半，你又得跑完一半的一半……如此一来，你永远跑不到终点；甚至可以说你根本无法起跑，因为若要起跑一小段距离，你就得移动那一小段距离的一半，似乎永远无法开步跑？第三则是飞矢悖论，在任一时刻，飞矢会占据着与它同等长度的空间，就这个瞬间而言，飞矢可说是静止不动的；如果每一个“任一时刻”飞矢都静止不动，那么飞矢应该一直不动。
怎么可能如此？飞矢应该不断往前飞啊！第四是竞技场悖论，假设时间有最小不可分割的单位（这是自古以来的基本假设），现在有3辆车子，在单位时间内，一号车向左移一个车身，二号车不动，三号车向右移一个车身，于是一号和三号便相差两个车身，那么一号和三号车在过程中相差一个车身时，需要花费基本单位元时间的一半，但这与基本的单位时间假设相冲突。
林兹要阐释这四个芝诺悖论，所持的基本论点是，对运动中的物体而言，并没有所谓的“任一时刻会位于某个确定位置”，因为物体的位置会随时间不停地改变。
他解释道︰“这样想应该比较能够理解，无论时间间隔多么小，或者物体在某段时间间隔中运动得有多慢，它还是在运动状态中，位置还是不断在改变，因此，无论时间间隔有多短，运动物体没有所谓在任一时刻、某一瞬间拥有确定的相对位置这回事。
”从芝诺到牛顿乃至于今天的物理学家，在讨论运动的本质时，无不假设“运动中的物体之间具有确定的相对位置”，而林兹则认为，便是因为假设时间可以冻结在任一时刻，此时运动中的物体位在一个确定的位置上，因此芝诺悖论中那种不可能发生的情况才会成立。
芝诺悖论 阿基里斯追不上乌龟
一、芝诺悖论
阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄。在他和乌龟的竞赛 中，他速度为乌龟十倍，乌龟在前面100米跑，他在后面 追，但他不可能追上乌龟。因为在竞赛中，追者首先必须 到达被追者的出发点，当阿基里斯追到100米时，乌龟已 经又向前爬了10米，于是，一个新的起点产生了；阿基里 斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已 经向前爬了1米，阿基里斯只能再追向那个1米。就这样， 乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造 出一个距离，不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋 力向前爬，阿基里斯就永远也追不上乌龟！
思考：你认为芝诺悖论存在吗？
结论： 阿基里斯只能无限接近乌龟，但永远追不上乌龟。
方程思想解答
假设乌龟的速度为a，则阿基里斯的速度为10a，设所需要的时间为x， 那么
10ax=ax+100， x=100a/9
既然我们都算出了追赶所花的时间，我们还有什么理由说 阿基里斯永远也追不上乌龟呢？ 然而问题在这：我们有一个假定——那就是假定阿基里斯 最终是追上了乌龟，才求出的那个时间，这是初等数学的 解决办法（从结果推往过程）。 但悖论的实质在于要求我们证明为何能追上？上面说到无 穷个步骤实则难以完成·· ··
假设阿基里斯的奔跑速度是10M/S, 乌龟是1M/S，乌龟先距离阿基里斯100M
阿基里斯跑完这100M需要10S，此时乌龟又跑了10M；
阿基里斯跑完这10M需要1S，此时乌龟又跑了1M； 阿基里斯跑完这1M需要0.1S，此时乌龟又跑了0.1M； 阿基里斯跑完这0.1M需要0.01S，此时乌龟又跑了0.01M； 阿基里斯跑完这0.01M需要0.001S，此时乌龟又跑了0.001M； 阿基里斯跑完这0.001M需要0.0001S，此时乌龟又跑了0.0001M； 阿基里斯跑完这0.0001M需要0.00001S，此时乌龟又跑了0.00001M； ..............................
上帝告诉你芝诺悖论之一：追乌龟?的逻辑真相
上帝告诉你芝诺悖论之一：追乌龟的逻辑真相阿喀琉斯是古希腊神话中善跑的英雄。
在他和乌龟的竞赛中，他速度为乌龟十倍，乌龟在前面100米跑，他在后面追，但他不可能追上乌龟。
因为在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿喀琉斯追到100米时，乌龟已经又向前爬了10米，于是，一个新的起点产生了；阿喀琉斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已经向前爬了1米，阿喀琉斯只能再追向那个1米。
就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋力向前爬，阿喀琉斯就永远也追不上乌龟！上面就是芝诺悖论之一：“一个人从A点走到B点，要先走完路程的1/2，再走完剩下总路程的1/2，再走完剩下的1/2……”如此循环下去，永远不能到终点。
上面是个路程问题，实质是个实数与无穷问题。
上面涉及距离问题，因走速的变化也涉及时间问题。
距离的变化 : 1→1/2 →1/4→1/8→...→1/2^n→...从递减上距程的变化就包含了时间和速度.故,只要距离的变化就能完整的用距离来讨论.又每个时间段都对应所走了距离。
所以在全面讨论距离（路程）问题时，可以踢开时间去讨论（因时间段上都有路程对应着）。
从0走到1,在这段距离,不管用多大速度,光速也行.都得经过这段距离的所有,再加速也一样.因为 1/2后有个1/4,再之后有个1/8......这些都得经过,就算用跳,也经过了这些距离,就算用光速,也经过这些距离.所以,不算是人还是光速,都走不完 1/2+1/4+1/8+1/16+.....因为 1/2+1/4+1/8+1/16+.....无限,其逻辑就是之没完没了,所以走不完.与人能走完1是两回事.所以根本不形成谬论.时间,速度再怎样变化它总对应着路程(距离),所以,只要距离这一项就能反映逻辑真相.又讨论时间又讨论路程反而有歧义会出现不必要的错误误导。
此悖论与飞矢不动不同，飞矢不动涉及时间、时刻、时间流速等问题。
芝诺的四个悖论
3、芝诺的四个悖论第一个悖论是阿基里斯与乌龟悖论;希腊战士阿基里斯跟乌龟赛跑;乌龟说;如果它比阿基里斯先跑10米;那么阿基里斯永远都追不上它;因为只要阿基里斯跑了10米;这时乌龟就又多跑了几米;若阿基里斯再跑到乌龟曾经停留的点;乌龟一定又跑到阿基里斯前面去了；看似有理;但要怎么说明为何如此呢第二个是二分法悖论;是说你永远不可能抵达终点;因为你为了抵达终点;必得先跑完全程的一半;而要跑到全程的一半;你又得跑完一半的一半……如此一来;你永远跑不到终点；甚至可以说你根本无法起跑;因为若要起跑一小段距离;你就得移动那一小段距离的一半;似乎永远无法开步跑第三则是飞矢悖论;在任一时刻;飞矢会占据着与它同等长度的空间;就这个瞬间而言;飞矢可说是静止不动的；如果每一个“任一时刻”飞矢都静止不动;那么飞矢应该一直不动..怎么可能如此飞矢应该不断往前飞啊第四是竞技场悖论;假设时间有最小不可分割的单位这是自古以来的基本假设;现在有3辆车子;在单位时间内;一号车向左移一个车身;二号车不动;三号车向右移一个车身;于是一号和三号便相差两个车身;那么一号和三号车在过程中相差一个车身时;需要花费基本单位元时间的一半;但这与基本的单位时间假设相冲突..林兹要阐释这四个芝诺悖论;所持的基本论点是;对运动中的物体而言;并没有所谓的“任一时刻会位于某个确定位置”;因为物体的位置会随时间不停地改变..他解释道︰“这样想应该比较能够理解;无论时间间隔多么小;或者物体在某段时间间隔中运动得有多慢;它还是在运动状态中;位置还是不断在改变;因此;无论时间间隔有多短;运动物体没有所谓在任一时刻、某一瞬间拥有确定的相对位置这回事..”从芝诺到牛顿乃至于今天的物理学家;在讨论运动的本质时;无不假设“运动中的物体之间具有确定的相对位置”;而林兹则认为;便是因为假设时间可以冻结在任一时刻;此时运动中的物体位在一个确定的位置上;因此芝诺悖论中那种不可能发生的情况才会成立..林兹也指出;无论如何;某段时间间隔一定可以用一个时间范围来表示;不能只说是“一瞬间”的单一时刻：“举例来说;如果有两个独立事件分别测得发生在1小时或10秒钟;这两个数值应是指两事件分别发生在1-1.99999……小时之间;以及10-10.0099999……秒之间..”因此;林兹可以很直接地解决类似“飞矢悖论”的问题..一位着名的牛津大学数学家评论道：“这真令人既惊讶又意外;不过他是对的..”林兹继续将他所提出的概念推到物理学的其它方面;包括量子力学及霍金所建构的宇宙学..物理学的物质是量子论的;分到一定程度后;就得到了量子元;而量子元是不可再分的..物理学的物质能量有两种物理形式组成;一种是量化物质;即后面提到的电磁质量；一种是连续物质;这种物质是无限可分的;可以永无穷尽的分割下去;即后面提到的引力质量..量化物质和连续物质可以相互转化并且守恒不灭;这就与数学思想的有限和无限;局部无限和整体无限联系起来了..汤川秀树认为：在古代印度有将时间本身也作为“不知道它是什么实体”来考虑的倾向..并且;还同样地认为;时间也存在有不可分割的最小单位;将它称之为“刹那”..将这种“刹那”用今天的时间单位来度量的话;大约为十分之一秒……基本粒子理论今后进一步的发展;说不定会是古印度物质观的思想经过某种形式的复活吧..把印度的极微观与古希腊的原子论观点相比较;不难看出;前者要较后者更为接近现代科学的观点..。
“神奇”追龟问题的解决
“神奇”追龟问题的解决追龟问题芝诺有一条著名的悖论叫“阿基里斯追乌龟”，阿基里斯是古希腊最善跑的人，芝诺设定让这个人与乌龟一起赛跑，他先让乌龟跑到整个赛程的一半处，然后再让这个短跑健将追乌龟，按照芝诺的逻辑推定，这个短跑健将始终无法追上乌龟。
理由如下：他要追上乌龟必须要经过乌龟出发的地方A点，但当他追到这个地方的时候，乌龟又向前爬了一段距离，到了B点，他要追上乌龟又必须经过B 点，但当他追到B点的时候，乌龟又爬到了C点……虽然他跑比得乌龟快，但他也只能按上述过程逐渐逼近乌龟，这样的过程将无限次地出现，而在每一阶段乌龟总在阿基里斯前头。
由于有限的他无法完成这无限个阶段，于是阿基里斯永远也追不上乌龟。
数学解释：问题的核心在于，随着人龟距离的不断减小，每一次人到达龟前一个点所用的时间在逐渐递减，但是因为可以一直递减，所以貌似时间永远也不会减小到零。
实际上各递减的时间的和若求个极限，仍然是可以求得的。
就好比给你个一秒钟，减到0.1秒时精度改为0.01秒，减到0.01秒时,精度再改为0.001秒……如此下去是不是时间就减不完了呢？当然不是，因为给你的时间只有1秒。
利用等比数列求和以后极限仍为一秒。
从距离的角度，求和极限也是能得出正确结论的。
当然这只是数学解释，仍然不能从生活逻辑上让人信服，因为这还是对具体的情景避而不谈。
物理解释：这个问题涉及到了物理学基本理论，在牛顿力学中，世界是连续的，时间空间，物体的运动都是连续的，不可分割的，这也符合人们的常识经验。
但在量子力学中，能量不再连续，时间和空间也不再连续（只能为普朗克单位的整数倍），物体的运动就更不连续了。
也就是说物体是“一格一格”运动的，有点类似于棋盘游戏。
因为普朗克长度（单位长度）是极其小的，以目前的人类科技水平根本无法察觉（但是或许可以间接证明）。
明白了这个概念就容易解释了。
当人和龟的距离足够近，近到必须考虑普朗克长度时，运动过程就会变得非常奇妙。
芝诺悖论 阿基里斯追不上乌龟
结论： 阿基里斯只能无限接近乌龟，但永远追不上乌龟。
方程思想解答
假设乌龟的速度为a，则阿基里斯的速度为10a，设所需要的时间为x， 那么
10ax=ax+100， x=100a/9
既然我们都算出了追赶所花的时间，我们还有什么理由说 阿基里斯永远也追不上乌龟呢？ 然而问题在这：我们有一个假定——那就是假定阿基里斯 最终是追上了乌龟，才求出的那个时间，这是初等数学的 解决办法（从结果推往过程）。 但悖论的实质在于要求我们证明为何能追上？上面说到无 穷个步骤实则难以完成·· ··
尽管看上去我们要过1/2、1/4、1/8秒等等，好像永远无穷无尽。但时间的流 动是匀速的，1/2、1/4、1/8秒，时间越来越短，看上去无穷无尽，加起来也 只是个常数而已——1秒。这就就是说：“芝诺悖论根本不存在。”
“芝诺时间”
芝诺悖论本身的逻辑并没有错，它之所以与实际相差甚远， 在于芝诺与我们采取了不同的时间系统—— 人们习惯于将运动看做时间的连续函数，而芝诺的解 释则采取了离散的时间系统。换句话说，连续时间是离散 时间将时间间隔取为无穷小的极限。
假设阿基里斯的奔跑速度是10M/S, 乌龟是1M/S，乌龟先距离阿基里斯100M
阿基里斯跑完这100M需要10S，此时乌龟又跑了10M；
阿基里斯跑完这10M需要1S，此时乌龟又跑了1M； 阿基里斯跑完这1M需要0.1S，此时乌龟又跑了0.1M； 阿基里斯跑完这0.1M需要0.01S，此时乌龟又跑了0.01M； 阿基里斯跑完这0.01M需要0.001S，此时乌龟又跑了0.001M； 阿基里斯跑完这0.001M需要0.0001SM需要0.00001S，此时乌龟又跑了0.00001M； ..............................
歪论勇士追不上乌龟
歪论勇士追不上乌龟勇士追不上乌龟的故事是芝诺编写的一个故事。
芝诺是古希腊一位极善于诡辩的哲学家，故事中的勇士名叫阿基里斯，故事的梗概如下：乌龟在阿基里斯前100米，阿基里斯的速度是乌龟的10倍。
阿基里斯跑完100米，乌龟又爬了10米，阿基里斯跑完10米，乌龟又爬了1米，阿基里斯跑完1米，乌龟又爬了0.1米，…………这样阿基里斯岂不是永远也追不上乌龟吗？现代人一般认为这个结论是错的，最佳答案如下：假设乌龟的速度是1米/秒，阿基里斯的速度是10米/秒。
乌龟的出发点A，阿基里斯的出发点O，则OA=100米，当阿基里斯用10秒跑完100米到达A点时，乌龟又爬了10米到达B点。
阿基里斯用1秒跑完10米到达B点时，乌龟又爬了1米到达C点。
乌龟一段一段的跑，阿基里斯一段一段的追，…………这样阿基里斯始终在乌龟的后面。
设阿基里斯所用时间为t，所走总路程为s，t和s都是无限个数之和。
t=10+1+0.1+0.01+0.001+…………秒s=100+10+1+0.1+0.01+0.001+…………米。
t和s都是无限循环小数t=11.111111…………秒。
s=111.1111111…………米。
可以化成分数， t=100/9秒。
s=1000/9米。
鉴于当时知识水平，可能对无限小数，无限个数之和，或无限循环小数化成分数，等等概念不明确，有一点不明确都有可能得出阿基里斯永远也追不上乌龟的结论。
实际上，类似的问题，在中国古代就早已经解决。
“庄子”一书中引用了：一尺之棰，日取其半，万世不竭。
给出了无穷数列：1/2，1/4，1/8，1/16，…………还是个无穷小数列，知道其和是1.即1/2+1/4+1/8+1/16+…………=1.至于阿基里斯追乌龟的问题是中国古算经中典型的追及问题，口诀是：有余加不足，先减后再除。
有余加不足，是初始距离OA ，先减是速度差，后再除得时间，代入数值即 t=100米/（10米/秒－1米/秒）=100/9（秒）， s=10米/秒*100/9秒=1000/9米。
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数学论文——芝诺的乌龟
摘要：“芝诺的乌龟”是古希腊数学家、哲学家芝诺（Zeno
of Elea）提出的关于运动不可分的哲学悖论，同时也是
科学史上广为人知的动物形象。
而这一悖论与“飞矢不
动”以及“游行队伍”都作为了芝诺提出的伟大的“二
分法”的事例。
芝诺提出这些悖论是为了支持他老师巴
门尼德关于”存在”不动、是一的学说。
虽然“芝诺的
乌龟”现在已得到了完善的解决，但这并不说明“芝诺
的乌龟”如今已没有了实际意义。
那么，“芝诺的乌龟”
中解决问题契机是什么其中深层的含义又是什么
芝诺是古希腊时期爱利亚学派的主要成员，这个学派的基本思想是否认现实世界中的任何运动变化，认为它们只是真实存在的表面现象。
而芝诺为了证明他们的观点，第一个设想和论证了物体运动中存在的令人不安的困难。
芝诺的伟大便在于此。
但在知识的越来越深入的探究，许多人们开始对“芝诺的乌龟”产生质疑——芝诺的悖论意义何在这是一个真正的悖论吗
让我们仔细地了解一下“芝诺的乌龟”。
在“芝诺的乌龟”中，芝诺的论证是这样的：阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄。
在他和乌龟的竞赛中，他速度为乌龟十倍，乌龟在前面100米跑，他在后面追，但他不可能追上乌龟。
因为在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿基里斯追到100米时，乌龟已经又向前爬了10米，于是，一个新的起点产生了；阿基里斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已经向前爬了1米，阿基里斯只能再追向那个1米。
就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋力向前爬，阿基里斯就永远也追不上乌龟！（如图一）
这段论证似是非常有道理，但如果撇去那些杂乱的语言，这实际上就是一个追及问题了。
有快者和慢者，且为同一方向，也有速度差。
实际上就是“小明去学校，老爸给他送忘带的书”之类的问题。
典型的“追及问题”怎么会追不上呢
在我看来，追及的思想是：
速度快者在无限路程中，能在有限的时间内，追上慢者.
用通俗的语言来说，就是快的再慢的后面时，一定能追上慢的。
（不管追及时间有多长、速度差有多小、路程差有多大等等）
在此悖论中，我认为芝诺表现出的思想为：——速度快者在无限路程中，不能在有限的时间内，追上慢者。
——刚好与追及问题相反！
那就将错就错，按照追及问题来看：
假设乌龟（以下称A）的速度是V，则阿基里斯（以下称B）速度是10V，
B和A之间相距100M，则B追上A的时间是100/（10V-V）=100/9V，也就是B追上A需要100/9V。
看看，明明可以追上的嘛！
那么，问题出在哪里呢
回到最初的论证中，我们再会到芝诺的论证，来看看芝诺是如何描述的：
“……追者首先必须到达被追者的出发点，当阿基里斯追到100米时，乌龟已经又向前爬了10米，于是，一个新的起点产生了；阿基里斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已经向前爬了1米，阿基里斯只能再追向那个1米……”
这段话意思就是：当B追上路程差的100M时，A已在B追上的时间内又向前爬了10M，并且此过程不断循环，所以B追不上A，这是芝诺的观点。
这是正确的吗
为什么芝诺一定要强调“追者首先必须到达被追者的出发点”呢B的目标应该是追上A，而不是追上A之前的出发点。
B跑100M的时间，与A跑10M的时间对等，却不与B跑10M，A
跑1M的时间对等。
B跑100M与A跑10M的时间相等这本身没有错，就是一个事实——V
B =10V
A。
但错的是芝诺在悖论中没有将每个循环的时间画上等号，时间不统一，自然只能看到B不停地以10倍的速度追A，在追的途中，距离差总是无限缩小接近0（即B追上A）。
那么“芝诺的乌龟”悖论就为：
要使B与A的距离差无限接近0，T（时间）就必须永远保持在<100/9V的状态，B追上A(当T=100/9V时，B与A 的距离差=0)。
——这是一句废话！
这也给后世留下了深深的疑问——既然这根本就是概念的问题，“芝诺的乌龟”称不上是
一个真正的悖论，它的意义何在
传说芝诺在五岁的时候，他父亲曾经考他，从他们家到外婆家有五公里路，他以每小时五公里的速度走，需要走多少时间。
芝诺答是一个小时，父亲给了他一颗糖吃，因为他答对了。
十年后，等他十五岁时，父亲又拿这个问题问他时，他知道这下如果再答是一个小时肯定要挨骂。
因为，很显然这回父亲考的再不是他的算术能力。
父亲是在考他的判断、分析、思辩等多方面的能力，他需要找出另外一种答案来博得父亲的嘉许。
最后，他告诉父亲：他永远也走不到外婆家。
父亲想当然地替他回答了原因：因为外婆已经去世，外婆家已经不存在。
这事实上也是父亲要的答案。
父亲问这个问题的目的就是要儿子打开思路。
但年少的芝诺说：“不，父亲，你这是偷换概念，不是在用数学说明问题。
”
父亲哈哈大笑说：那你用数学来说明一下。
他根本不相信，这还能用数学来解释。
芝诺说：我可以把五公里一分为二，然后又把一分为二的五公里再一分为二，这样分下去、分下去，可以分出无穷个“一分为二”，永远也分不完。
既然永远分不完，你也就永远走不到。
[1]
在这个关于芝诺的故事中，我看到了年少芝诺的睿智。
“二分法”与“芝诺的乌龟”拥有相同的主旨。
“二分法”中，将总路程不断平均分为两份（如图二），因为人的速度不变，走的路程不断是之前的二分之一，时间也不断是之前的二分之一，与“芝诺的乌龟”中无数个起点一样，“二分法”中的无数个中点都没有存在的必要！
问题不攻自破。
就好像你
要从南京去上海，你没有
必要在无锡做一个停顿
再前往上海。
同时，“二分法”中很好地体现了无限的概念。
芝诺将整段路程化为无限，时间自然也被化为了无限[2]。
小小的动物形象中，拥有着如此多的科学与哲理.。
尽管芝诺这个名字，已经在历史长河中沉睡太久，但依然掩盖不住它璀璨的光芒！
参考文献：
[1]《密码与芝诺悖论》作者：佚名
[2] 《关于芝诺悖论阿基里斯追不上乌龟的部分逻辑解》作者：佚名。