纳什均衡应用举例
好的纳什均衡例子(一)
好的纳什均衡例子(一)好的纳什均衡什么是纳什均衡？纳什均衡是博弈论中的一个重要概念，指的是在博弈参与者之间形成的一种稳定和平衡的策略选择状态。
在纳什均衡下，任何一个参与者都无法通过改变自己的策略来获得更大的利益。
好的纳什均衡指的是存在多个纳什均衡时，其中某些纳什均衡比其他纳什均衡更为理想。
例子一：囚徒困境囚徒困境是博弈论中最经典的例子之一。
假设有两个犯人，他们因为涉嫌合谋犯罪被捕，警察只有有限的证据。
警察与每个犯人分别进行单独审讯，并给他们提供了合作和背叛两个选项，这两个选项对应于认罪和抵赖。
如果两个人都选择合作，即认罪，则每个人都会被判刑2年；如果两个人都选择背叛，即抵赖，则每个人都会被判刑5年；如果一个人选择合作而另一个选择背叛，则合作的人会被判刑6年，而背叛的人会被判刑1年。
在这个案例中，存在两个纳什均衡：互相背叛和互相合作。
然而，互相合作是更为理想的纳什均衡，因为如果两个人都选择合作，他们的总刑期将会最短，只有2年。
例子二：拍卖拍卖是另一个常见的博弈场景。
假设有两个竞拍者A和B，他们在一个拍卖会上竞价购买一件物品。
物品的最低价格为100元。
竞拍者A知道他的估值是200元，而竞拍者B知道他的估值是150元。
他们每次可以按照一定幅度加价，但不能超过自己的估值。
在这个案例中，存在两个纳什均衡：A出价200元，B不出价；B 出价150元，A不出价。
然而，对于卖家来说，A出价200元，B不出价是更好的纳什均衡，因为这样卖家可以以更高的价格售出物品。
例子三：价格战价格战是市场竞争中常见的博弈情景。
假设有两家公司A和B，它们在同一个市场上销售类似的产品。
它们可以根据自己的利润目标制定价格。
如果两家公司的价格相等，则它们将平分市场份额；如果一家公司的价格比另一家低，则它将获得更大的市场份额。
在这个案例中，存在两个纳什均衡：价格相等和一家公司的价格低于另一家。
然而，价格相等是更好的纳什均衡，因为这样两家公司可以共享更多的市场份额，并且避免因为价格战而导致的利润下降。
纳什均衡举例4公地悲剧
纳什均衡举例4：公地悲剧
（1）基本假设：
一个村庄有n个农民和一块公共草地．每个农民都有在草地上放牧、养羊的自由。
用g i∈{0，∞}代表第i个农民饲养的数量，
G＝∑g i，代表n个农民饲养的总数量；
V代表每只羊的平均价值,是G的函数,V＝V(G)。
公地最大可牧羊量为G mx：当G＜Gmx时，V(G)＞0；当G≥G mx时，V(G)=0。
同时，。
即平均收益和边际收益都递减。
（2）公地产权不清下的个体决策行为
在这个博弈里，每个农民的问题是选择g以最大化自己的利润。
假定购买一只羊羔的价格为c，那么，第i个农户养羊的利润函数为：
最优化的一阶条件是：
这是一个公地产权没有界定条件下，个人得益最优的一阶条件。
上述n个一阶条件定义了n个反应函数：
n个反应函数的交叉点就是纳什均衡:
将n个一阶条件相加，我们得到：
（3）公地产权清晰下的决策行为
现在假设公地由一家农户享有所有权，其最优的目标是最大化如下定义的总剩余价值：
这里，G**一是其最优的饲养量。
（4）两种情况的比较与结论
公地悲剧的例子表明，一个资源如果没有排他性产权，就会导致资源的过度使用。
像公海捕鱼、中国一些地区的小煤窑的过度发展等。
精选最新生活中纳什均衡例子
首先我们先简单看一下纳什均衡的经济学含义：所谓纳什均衡，指的是参与人的这样一种策略组合，在该策略组合上，任何参与人单独改变策略都不会得到好处。
换句话说，如果在一个策略组合上，当所有其他人都不改变策略时，没有人会改变自己的策略，则该策略组合就是一个纳什均衡。
大家可以现有一个简单的印象，结合下面的案例再回来看这个定义。
案例一、智猪博弈猪圈里有两头猪，一头大猪，一头小猪。
猪圈的一边有个踏板，每踩一下踏板，在远离踏板的猪圈的另一边的投食口就会落下少量的食物。
如果有一只猪去踩踏板，另一只猪就有机会抢先吃到另一边落下的食物。
当小猪踩动踏板时，大猪会在小猪跑到食槽之前刚好吃光所有的食物;若是大猪踩动了踏板，则还有机会在小猪吃完落下的食物之前跑到食槽，争吃到另一半残羹。
那么，两只猪各会采取什么策略?答案是：小猪将选择“搭便车”策略，也就是舒舒服服地等在食槽边;而大猪则为一点残羹不知疲倦地奔忙于踏板和食槽之间。
原因何在?因为，小猪踩踏板将一无所获，不踩踏板反而能吃上食物。
对小猪而言，无论大猪是否踩动踏板，不踩踏板总是好的选择。
反观大猪，已明知小猪是不会去踩动踏板的，自己亲自去踩踏板总比不踩强吧，所以只好亲力亲为了。
案例二、囚徒困境(1950年，数学家塔克任斯坦福大学客座教授，在给一些心理学家作讲演时，讲到两个囚犯的故事。
)假设有两个小偷A和B联合犯事、私入民宅被警察抓住。
警方将两人分别置于不同的两个房间内进行审讯，对每一个犯罪嫌疑人，警方给出的政策是：如果一个犯罪嫌疑人坦白了罪行，交出了赃物，于是证据确凿，两人都被判有罪。
如果另一个犯罪嫌疑人也作了坦白，则两人各被判刑8年;如果另一个犯罪嫌人没有坦白而是抵赖，则以妨碍公务罪(因已有证据表明其有罪)再加刑2年，而坦白者有功被减刑8年，立即释放。
如果两人都抵赖，则警方因证据不足不能判两人的偷窃罪，但可以私入民宅的罪名将两人各判入狱1年。
囚徒困境博弈A╲B坦白抵赖坦白-8，-80，-10抵赖-10，0-1，-1关于案例，显然最好的策略是双方都抵赖，结果是大家都只被判1年。
纳什均衡的应用案例分析
实际请况的概念抽象
情景： 情景： 如果给你两个师的兵力，有你来当“司令” 如果给你两个师的兵力，有你来当“司令”，任务 是攻克“敌人”占据的一个城市， 是攻克“敌人”占据的一个城市，而敌军的守备力量 是三个师。通往城市的道路只有甲乙两条。 是三个师。通往城市的道路只有甲乙两条。 （1）当你发起进攻的时候，占领城市就判定胜利。 ）当你发起进攻的时候，占领城市就判定胜利。 （2）你的兵力超过敌人，你就获胜；你的兵力比敌 ）你的兵力超过敌人，你就获胜； 人的守备兵力少或者相等，你就失败。 人的守备兵力少或者相等，你就失败。 （3）规定双方的兵力只能整师调动。 ）规定双方的兵力只能整师调动。 问：你将如何制定攻城方案？你获胜的几率是多少？ 你将如何制定攻城方案？你获胜的几率是多少？
基于纳什均衡的思路分析
两个个前提： 两个个前提：
一、信息是完全的。 信息是完全的。 二、师与师之间没有差别。 师与师之间没有差别。
基于纳什均衡的思路分析
分析： 分析：
攻城部队可以有三种部署方案： 攻城部队可以有三种部署方案： 敌人有四种部署方案： 敌人有四种部署方案： A.集中兵力从甲方向进攻； 三个师都驻守甲方向； 三个师都驻守甲方向； a.集中兵力从甲方向进攻； 集中兵力从甲方向进攻 B.兵分两路，一个师甲，一师乙； 两个师驻守甲方向，一个师驻守乙方向； 两个师驻守甲方向，一个师驻守乙方向； b.兵分两路，一个师甲，一师乙； 兵分两路 C.集中兵力从乙方向进攻。 一个师驻守甲方向，两个师驻守乙方向； 一个师驻守甲方向，两个师驻守乙方向； c.集中兵力从乙方向进攻 集中兵力从乙方向进攻。 D. 三个师都驻守乙方向。 三个师都驻守乙方向。
守 A a 攻 b c B + C +
2+ — 3
纳什均衡简单例子
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猜谜游戏等博弈
扑克对色游戏
两人博弈，每人从自己的扑克牌（已抽出大鬼 、小鬼）中抽一张出来，一起翻开。如果颜色一样 ，甲输给乙一根火柴；如果颜色不一样，甲赢得乙 一根火柴。
同理，若储户乙选择提前取款，此时甲的相对 优势策略是选择提前取款；若储户乙选择到期取 款，此时储户甲的相对优势策略也是选择到期取 款。
当一个储户有提前取款的动向，另一个为了自 己的利益不受损失，一定马上跟进，这就导致了 银行挤兑现象的发生。
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三 婆媳关系
婆媳关系一直是家庭中普遍存在的问题，婆媳关系看似 是两个女人之间的游戏，却是现实生活中最常见的一种人际 关系博弈。而婆媳博弈，就是基于直接相互作用的环境条件， 参与者（婆婆和媳妇）依靠他们所掌握的信息，选择各自的 策略（行动），以实现利益最大化和风险成本最小化的过程。 见如下模型：
，荣荣的相对优势策略也会是芭蕾。
即有（羽毛球，羽毛球），（芭蕾，芭蕾）都 分别为一个纳什均衡。这种博弈与欧亨利的小说
《麦琪的礼物》的结果类似。
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二 银行挤兑现象
假定有一个银行，银行的全部资金就是甲、乙这两个 储户的存款。每个储户存了100万元的定期存款，银行拿总 数为200万元的这笔钱去做投资，项目完成投资收回，银行 可以拿出240万元偿还给储户，每个储户都可得到120万元。
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若婆婆选择斗争，根据博弈矩阵，媳妇此时的相对优势 策略也会是斗争，因为婆婆选择斗争之后，媳妇对应的斗 争支付是-3，忍让支付是-4；若婆婆选择的是忍让，根据 相对优势策略媳妇的同样会选择忍让。
两个纳什均衡的例子
两个纳什均衡的例子
例子一：
假设有两家公司A和B竞争某一物品的售价。
公司A设定物品的
售价为12元，公司B设定物品的售价为10元。
由于物品的品质和需
求相同，消费者将选择购买价格更低的物品。
因此，在这种情况下，
公司B的销售量将高于公司A，从而获得更高的利润。
对于公司A来说，降低价格将导致利润下降，而提高价格将导致销量减少。
因此，这种
情况下的纳什均衡是公司B设定售价为10元，公司A设定售价为12元。
例子二：
假设有两个国家A和B争夺某一资源的开发权。
国家A选择全面
开发该资源，从而带来经济发展和利益增加，但同时对环境产生巨大
破坏。
而国家B选择保护环境，限制资源开发，从而减少环境破坏，
但也丧失了资源开发所能带来的经济利益。
如果国家A单方面全面开发，国家B将面临环境恶化的问题，而国家A将无法享受到经济发展
所带来的最大利益。
因此，这种情况下的纳什均衡是国家A选择限制
资源开发，保护环境，而国家B也选择限制资源开发，从而实现环境
保护和资源合理利用的共同利益。
生活中纳什均衡例子
生活中纳什均衡例子
纳什均衡是博弈论中的一个概念，指在双方或多方进行博弈时，
当每个参与者都选择了最优策略后，游戏的结果已经达到了一个稳定
状态。
生活中，我们可以看到很多纳什均衡的例子。
1.超市降价促销：当超市降价促销时，消费者可以选择是抢购或
等待。
如果大多数人都抢购，那么超市就会获得更多的销售额；如果
消费者等待，那么超市可以考虑再次降价吸引消费者购买。
2.交通拥堵：在道路狭窄且车流量大的情况下，司机们可以选择
是慢行还是超车。
如果每个司机都选择了超车，那么道路的拥堵就会
更加严重；如果司机们都选择慢行，那么车流量就会更加平缓。
3.竞拍：在竞拍中，每个竞拍者都会选择自己认为是最高的出价。
如果竞拍者们都认为这个物品的价值很高，那么竞拍的价格就会越来
越高。
如果有人放弃竞拍，价格就会下降，直到达到平衡。
4.恋爱：在恋爱中，每个人都希望自己的感情得到回报。
如果两
个人都对对方很有感情，那么他们就会在一起；如果只有一个人喜欢
对方，那么他们就不会在一起。
这是一个常见的纳什均衡例子。
总之，纳什均衡是在人与人之间相互影响，相互制约下的一种结果。
只有当每个人都选择自己认为最优的策略，才能形成稳定的状态。
纳什均衡例题
纳什均衡的经典案例是“囚徒困境”。
在这个例子里，有两个小偷A和B联合犯事，被警方抓住并分别关在不同的房间里进行审讯。
警方对每个犯罪嫌疑人给出的政策是：如果一个犯罪嫌疑人坦白了罪行，交出了赃物，那么证据确凿，两人都被判有罪。
如果另一个犯罪嫌疑人也坦白了罪行，那么两人各被判刑8年。
这个案例中，无论A还是B，最优策略都是坦白。
因为如果A选择坦白，B的最优策略也是坦白；如果A选择不坦白，B的最优策略也是坦白。
反之亦然。
因此，两人的最优策略是一致的——坦白。
这就是纳什均衡的一个体现。
在更复杂的情况下，例如狮群博弈中，总数是奇数和偶数时，狮子的策略会发生变化。
这同样可以通过纳什均衡来解释。
当狮子总数为奇数时，每只狮子都有可能成为狩猎者，因此它们会选择大胆去吃睡着的狮子；而当狮子总数为偶数时，没有狮子会成为狩猎者，因此它们会选择谨慎地不去吃睡着的狮子。
这也是纳什均衡的一个应用。
希望这个例子能够帮助你理解纳什均衡的概念和实际应用。
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古诺寡头竞争模型有两个参与人,分别称为企业1和企业2;每个企业的战略是选择产量;支付是利润,它是两个企业产量的函数.我们用q i ∈[0,∞)代表第i 个企业的产量,C i (q i )代表成本函数,P =P (q 1+q 2)代表逆需求函数(P 是价格;Q (P )是原需求函数).第i 个企业的利润函数为:2,1),()()(21=-+=i q C q q P q q i i i i π(*2*1,q q )是纳什均衡产量意味着 )()(),(max arg 11*211*211*1q C q q P q q q q -+=∈π)()(),(max arg 222*12*12*21q C q q P q q q q -+=∈π 找出纳什均衡的一个办法是对每个企业的利润函数求一阶导数并令其等于0.0)()()(1,121,12111=-+++=∂∂q C q q P q q q P q π 0)()()(2,221,22122=-+++=∂∂q C q q P q q q P q π 上述两个一阶条件分别定义了两个反应函数)(21*1q R q = )(12*2q R q = 反应函数意味着每个企业的最优战略(产量)是另一个企业产量的函数.两个反应函数的交叉点就是纳什均衡),(**2*1q q q =.为了得到更具体的结果,让我们来考虑上述模型的简单情况,假定每个企业具有相同的不变单位成本,即:c q q C c q q C 222111)(,)(==,需求函数取如下线性形式:P=a-(q 1+q 2).那么,最优化的一阶条件分别为:0)(0)(2212212111=--+-=∂∂=--+-=∂∂c q q q a q c q q q a q ππ就是说,j 每增加1个单位的产量,i 将减少1/2单位的产量.解两个反应函数,我们得到纳什均衡为:)(31*2*1c a q q -== 每个企业的纳什均衡利润分别为:2*2*12*2*11)(91),(),(c a q q q q -==ππ 为了与垄断情况作比较,让我们计算一下垄断企业的最优产量和均衡利润.垄断企业的问题是:)(c Q a Q Max Q--=π 容易算出,垄断企业的最优产量为)(32)(21*2*1*c a q q c a Q -=+<-=; 垄断利润为22)(92)(41c a c a m ->-=π. 寡头竞争的总产量大于垄断产量的原因在于每个企业在选择自己最优产产量时,只考虑对本企业利润的影响,而忽视对另一个企业的外部负效应.这是典型的囚徒困境问题.例1:设某一市场有1,2两个厂商,它们生产相同的产品.设厂商1的产量为q 1,厂商2的产量q 2,则市场总产量为Q=q 1+q 2.设P 是市场出清价格(可以将产品全部卖出去的价格),则P 是市场总产量的函数P=P(Q)=8-Q .再设生两个厂商的生产都无固定成本,且每增加,且每增加一单位产量的边际生产成本相等 C 1=C 2=2,即它们分别生产q 1和q 2产量的成本分别为2q 1和2q 2.最后设这两个厂商是同时决定各自的产量的,即在决策之前不知道另一方的产量.上述问题构成的博弈中,博弈方为厂商1和厂商2.它们的策略空间都是由不同的产量组成,因为产量受生产能力的限制,因此理论上产量是有一个上限的,但如果假设产量是连续可分得,则它们各自都有无限多种可选策略.该博弈中两博弈方的得益自然是各自的利润,用u 老表示,即各自的销售收入减去各自的成本,根据给定情况,分别为212111*********)](8[)(q q q q q q q q q C Q P q u --=-+-=-=222122212222262)](8[)(q q q q q q q q q C Q P q u --=-+-=-=两博弈方的得益(利润)取决于双方的策略(产量).本博弈中两博弈方都有无限多种可选策略,因而无法得益矩阵表示该博弈,但纳什均衡的概念同样适用,即对于两博弈方的一个策略组合),(**2*1q q q =,只要其中*1q 和*2q 相互是对方策略的最佳对策,就是一个纳什均衡.并且如果可证实它是该博弈中唯一的纳什均衡,则它同样是博弈的解.因此本博弈, (*2*1,q q )的纳什均衡的充分必要条件是*2*1q q 、的最大值问题:)6(max 21*2111q q q q q --和)6(max 22*1222q q q q q --的解. 因为求最大值的两个式子都是各自自变量的二次式,且二次项的系数都小于0,因此*1q 和*2q 只要能使它们各自对q 1和q 2的偏导数为0,就一定能实现它们的最大值.026*1*2=--q q 026*2*1=--q q 联立上两式,解得*1q =*2q =2,并且这是唯一的一组解.因此(2,2)是本博弈唯一的纳什均衡策略组合,也意味着它是本博弈的解.两个厂商将各生产2单位的产量,双方得益(利润)都为2⨯(8-4)-2⨯2=4,市场总产量为2+2=4,价格为8-4=4,两厂商的利润总和为4+4=8.上述是两个独立同时作产量决策,是按它们根据实现自身最大利益的原则行动而得到结果.那么这个结果究竟怎么样?两家厂商有没有真正实现自身的最大利益?从社会总体角度来看效率又如何?如果现在以总体利益目标的.如果现在以总体利益为目标来考虑市场的最佳产量,结果会有怎样的不同呢?首先可以根据市场的条件求出实现最大总得益的总产量.设总产量为Q,则总得益U=QP(Q)-2Q=6Q-Q 2很容易求得使总得益最大的总产量3*=Q ,最大总得益9*=u .将此结果与两个厂商独立决策、只追求自身利益时相比，总产量较小，而总利润却较高。
换句话说，如果两个厂商可以合作，联合起来决定产量，找出使总利益最大的产量后各自生产时更高的利益的一半（1.5），则各自可分享到比双方不合作，只考虑自己利益而独立决策时更高的利益（4.5>4）。
但是独立决策、缺乏协调机制的企业之间，这种合作并不容易实现，即使双方认识到了合作的好处，达成了一定的协议，这种协议也往往缺乏足够的强制力，最终时很难维持上述对双方都真正最有利的产量，原因主要是因为各生产一半产量实现最大利润的总产量的策略组合(1.5,1.5)不是纳什均衡，也就是说，在这个策略组合（产量组合）下，双方都可以通过独自改变（增加）自己的产量而得到更高的利润，它们都有突破限额1.5的冲动，在缺乏有足够强制力的协议等限制手段的情况下，这种冲动注定了它们不可能维持限额，最终是大家都增产，直至达到纳什均衡水平(2,2) ，实现将遵守限额还是突破限额作为两家厂商面临的选择，则可用古诺模型博弈矩阵表示这个博弈伯特兰德模型模型中厂商所选择的是价格而不是产量.产品有一定差异是指两家厂商的产品在品牌、质量和包装等方面有所不同的同类商品。
因此伯特兰德中厂商的产品之间有很强的替代性，但不是完全可替代，即价格不同时，价格较高的不会完全销不出去。
这种情况可用当厂商1和厂商2价格分别为P 1和P 2时，它们各自需求函数211112111),(P d P b a P P q q +-==和122222122),(P d P b a P P q q +-==来表示，其中d 1,d 2>0表示两个厂商产品有一定替代性的替代系数。
我们同样假设两家厂商无固定成本，边际生产成本分别为C 1和C 2。
最后，仍强调两厂商是同时决策的。
在该博弈中，两博弈方为厂商1和厂商2；它们各自的策略空间为],0[max 11P S =和],0[max 22P S =,其中max 1P 和max 2P是厂商1和厂商2还能卖出产品价格的最高价格；两博弈方的得益是它们各自的利润，即销售收入减去成本，都是双方价格的函数。
))((),(211111*********P d P b a C P q C q P P P u u +--=-==))((),(122222222222122P d P b a C P q C q P P P u u +--=-==我们利用反应函数的概念解博弈。
利用上述得益函数在偏导数为0时有最大值，很容易解得两厂商对对方策略（价格）的反应函数，分别为)(21)(211111211P d C b a b P R P ++== )(21)(122222122P d C b a b P R P ++== 纳什均衡（*2*1,P P ）必是两个反应函数的交点，即)(21*211111*1P d C b a b P ++= )(21*122222*2P d C b a b P ++=解此方程组，得：)(42)(41112121222221211*1C b a d d b b b C b a d d b b d P +-++-= )(42)(42222121111121212*2C b a d d b b b C b a d d b b d P +-++-= （*2*1,P P ）为博弈唯一的纳什均衡，将*2*1,P P 代入两得益函数则得两厂商的均衡得益如果2,5.0,1,2821212121========C C d d b b a a ，则可得20*2*1==P P ，且324*2*1==u u .本例是有产品的两寡头之间价格决策的伯特兰德模型，且仅仅是伯特兰德中较简单的一种特例。
更一般的情况是有n 个寡头的价格决策，并且产品也可以是完全无差别的。
对产品无差别的情况，则必须考虑消费者对价格的敏感性，如果所有的消费者对价格都非常敏感，则两厂商对其他厂商价格的反应函数，然后解出它们的交点即可。
值得一提的是，这种价格模型与古诺模型中的产量决策一样，其纳什均衡也不如各博弈方通过协商、合作得到的结果更佳。
豪泰林(Hotelling )价格竞争模型在古诺模型中,产品是同质的.在这个假设下,如果企业的竞争战略是价格而不是产量, 伯特兰德证明,即使只有两个企业,在均衡情况下,价格等于边际成本,企业的利润为零,与完全竞争市场均衡一样.这便是所谓的伯特兰德悖论. 解开这个悖论的办法之一是引入产品的差异性.如果不同企业生产的产品是有差异的,替代弹性就不会是无限的,此时消费者对不同企业的产品有着不同的偏好,价格不是他们感兴趣的唯一变量.在存在产品差异的情况下,均衡价格不会等于边际成本.产品差异有多种形式.我们现在考虑一种特殊的差异,即空间上的差异,这就是经典的豪泰林模型.在豪泰林模型中,产品在物质性能上是相同的,但在空间位置上有差异.因为不同位置上的消费者支付不同的运输成本,他们关心的是价格与运输成本之和,而不单是价格.假定有一个长度为1的线性城市,消费者均匀地分布在[0,1]区间里,分布密度为1.假定有两个商店,分别位于城市的两端,商店1在x=0,商店2在x=1,出售物质性能相同的产品.每个商品提供单位产品的成本为c ,消费者购买商品的旅行成本与离商店成比例,单位距离的成本为t .这样,住在x 的消费者如果在商店1采购,要花费tx 的旅行成本;如果在商店2采购,要花费t(1-x).假定消费者具有单位需求,即或者消费1个单位或者消费0个单位.消费者从消费中得到的消费剩余为s ’.我们现在考虑两商店之间价格竞争的纳什均衡. 假定两个商店同时选择自己销售的销售价格.为了简单起见,我们假定s ’相对于购买总成本(价格加旅行费用)而言足够大从而所有消费者购买一个单位的产品.令p i 为商店i 的价格,D i (p 1,p 2)为需求函数,i=1,2.如果住在x 的消费者在两个商店之间是无差异的,那么,所有住在x 左边的将在商店1购买,而住在x 右边的将商店2购买,需求分别为D 1=x,D 2=1-x .这里x 满足:p 1+tx=p 2+t(1-x)解上式得需求函数分别为:tt p p x p p D 2),(12211+-== tt p p x p p D 21),(21212+-=-= 利润函数分别为: ))((21),()(),(1212111211t p p c p t p p D c p p p +--=-=π ))((21),()(),(2122122212t p p c p tp p D c p p p +--=-=π 商店i 选择自己的价格p i 最大化利润πi ,给定p j ,两个一阶条件分别是:02121=-++=∂∂p t c p p i π 02212=-++=∂∂p t c p p i π 二阶条件是满足的.解上述两个一阶条件,得最优解为(注意对称性):t c p p +==*2*1每个企业的均衡利润为:221t ==ππ 我们把消费者的位置差异为产品差异,这个差异进一步解释为消费者购买的旅行成本.旅行成本越高,产品的差异就越大,均衡价格从而均衡利润也就越高.原因在于,随着旅行成本的上升,不同商店出售的产品之间的替代性下降,每个商店对附近的消费者的垄断力加强,商店之间的竞争更接近于垄断价格.另一方面,当旅行成本为0时,不同商店的产品之间具有完全的替代性,没有任何一个商店可以把价格定得高于成本,我们得到伯特兰德均衡结果.在以上的分析中,我们假定两个商店分别位于城市的两个极端.事实上,均衡结果对于商店的位置是敏感的.考虑另一个极端的情况,假定两个商店位于同一位置x.此时,他们出售的是同质的产品,消费者关心的只是价格,那么, 伯特兰德均衡是唯一的均衡:0,2121====ππc p p更为一般地,我们可以讨论商店位于位置的情况.假定商店1位于a ≥0,商店2位于1-b (这里b ≥0).为不失一般性,假定1-a-b ≥0(商店1位于商店2的左边).如果旅行成本为二次式,即旅行成本为td 2,这里d 是消费者到商店的距离,那么,需求函数分别为:)1(221),(12211b a t p p b a a x p p D ---+--+== )1(2211),(21212b a t p p b a b x p p D ---+--+=-= 需求函数的第一项是商店自己的”地盘”(a 是住在商店1左边的消费者,b 是住在商店2右边的消费者),第二项是位于两商店之间的消费者中靠近自己的一半,第三项代表需求对价格差异的敏感度.纳什均衡为:)31)(1(),(*1b a b a t c b a p -+--+= )31)(1(),(*2a b b a t c b a p -+--+= 当a=b=0时,商店1位于0,商店2位于1,我们回到前面讨论的第一种情况:t c p p +==)1,0()1,0(*2*1当a=1-b 时,两个商店位于同一位置,我们走到另一个极端:c a a p a a p =-=-)1,()1,(*2*1多人博弈的霍特林模型(1)N=2既有两台冷饮售卖机时，挤在中点（1/2，1/2）(2)N=3 这个博弈没有稳定的对局，更没有纳什均衡(3)N=4 两台挤在1/4处 两台挤在3/4处为纳什均衡。