2020年普通高等学校招生全国统一考试数学试题汇编 立体几何(理科)部分
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学试题汇编 立体几何(理科)部分立体几何(理科)部分1. (广东5)给定以下四个命题：①假设一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②假设一个平面通过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④假设两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是Ａ．①和② Ｂ．②和③ Ｃ．.③和④ Ｄ．②和④ D2.〔宁夏海南11〕一个棱锥的三视图如图，那么该棱锥的全面积 〔单位：c 2m 〕为〔A 〕48+122 〔B 〕48+242 〔C 〕36+122 〔D 〕36+242 解析：选A.3. (宁夏海南8) 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱线长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且22EF =，那么以下结论中错误的选项是 〔A 〕AC BE ⊥ 〔B 〕//EF ABCD 平面〔C 〕三棱锥A BEF -的体积为定值 〔D 〕异面直线,AE BF 所成的角为定值解析：A 正确，易证11;AC D DBB AC BE ⊥⊥平面，从而B 明显正确，//,//EF BD EF ABCD ∴平面易证；C 正确，可用等积法求得；D 错误。
选D.4.(山东4) 一空间几何体的三视图如下图,那么该几何体的体积为( ). A.223π+ B. 423π+ C. 2323π+ D. 2343π+【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的, 圆柱的底面半径为1,高为2,体积为2π,四棱锥的底面 边长为2，高为3，因此体积为()2123233⨯⨯=因此该几何体的体积为2323π+.答案:C【命题立意】:此题考查了立体几何中的空间想象能力, 由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地 运算出.几何体的体积.5.(辽宁11)正六棱锥P-ABCDEF 中，G 为PB 的中点，那么三棱锥D-GAC 与三棱锥P-GAC 体积之比为〔A 〕1：1 〔B 〕1：2 〔C 〕2：1 〔D 〕3：2 答案：C 解析：连接FC 、AD 、BE ，设正六边形 的中心为O ，连接AC 与OB 相交点H ，那么GH∥PO，故GH⊥平面ABCDEF ， ∴平面GAC⊥平面ABCDEF 又DC⊥AC，BH⊥AC， ∴DC⊥平面GAC ，BH⊥平面GAC ， 且DC=2BH ，故三棱锥D-GAC 与三棱锥P-GAC 体积之比为2：1。
6. (浙江5)在三棱柱111ABC A B C -中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D 是侧面11BB C C 的中心，那么AD 与平面11BB C C 所成角的大小是( ) A ．30 B ．45 学网C ．60 D ．90答案：C 解析：取BC 的中点E ，那么AE ⊥面11BB C C ，AE DE ∴⊥，因此AD 与平面11BB C C 所成角即为ADE ∠，设AB a =，那么32AE a =，2a DE =，即有0tan 3,60ADE ADE ∠=∴∠=7. (天津12) 如图是一个几何体的三视图，假设它的体积是33=a _______22侧(左)视图22 2 正(主)视图 俯视图 A P BCDGO F E HODH【考点定位】本小题考查三视图、三棱柱的体积，基础题。
解析：知此几何体是三棱柱，其高为3，底面是底边长为2，底边上的高为a 的等腰三角形，因此有333322=⇒=⨯a a8. (江苏12)设α和β为不重合的两个平面，给出以下命题：学科网〔1〕假设α内的两条相交直线分不平行于β内的两条直线，那么α平行于β； 〔2〕假设α外一条直线l 与α内的一条直线平行，那么l 和α平行；〔3〕设α和β相交于直线l ，假设α内有一条直线垂直于l ，那么α和β垂直； 〔4〕直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直。
上面命题中，真命题．．．的序号 ▲ 〔写出所有真命题的序号〕.学科网 解析：考查立体几何中的直线、平面的垂直与平行判定的相关定理。
真命题．．．的序号是(1)(2) 9.(浙江12)假设某几何体的三视图〔单位：cm 〕如下图，那么此几何体的体积是 3cm ． 答案：18解析：该几何体是由二个长方体组成，下面体积为1339⨯⨯=， 上面的长方体体积为3319⨯⨯=，因此其几何体的体积为1810.(浙江17)如图，在长方形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 为DC 的中点，F 为线段EC 〔端点除外〕上一动点．现将AFD ∆沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC ．在平面ABD 内过点D作DK AB ⊥，K 为垂足．设AK t =，那么t 的取值范畴是 ．答案：1,12⎛⎫⎪⎝⎭【解析】此题的破解可采纳二个极端位置法，即关于F 位于DC 的中点时，1t =，随着F 点到C 点时，因,,CB AB CB DK CB ⊥⊥∴⊥平面ADB ，即有CB BD ⊥，关于2,1,3CD BC BD ==∴=，又1,2AD AB ==，因此有AD BD ⊥，那么有12t =，因此t的取值范畴是1,1 2⎛⎫ ⎪⎝⎭11．(辽宁15)设某几何体的三视图如下〔尺寸的长度单位为m〕，那么该几何体的体积为_________m3。
答案：4 解析：设几何体的直观图如右，那么311432432V m=⨯⨯⨯⨯=。
12. (安徽18)〔本小题总分值13分〕如图，四棱锥F－ABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC=2，BD=2，AE、CF都与平面ABCD垂直，AE=1，CF=2.〔I〕求二面角B－AF－D的大小；〔II〕求四棱锥E－ABCD与四棱锥F－ABCD公共部分的体积.本小题要紧考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、相交平面所成二面角以及空间几何体的体积运算等知识，考查空间想象能力和推理论证能力、利用综合法或向量法解决立体几何咨询题的能力。
本小题总分值13分。
解：〔I〕〔综合法〕连接AC、BD交于菱形的中心O，过O作OG⊥AF，G为垂足。
连接BG、DG。
由BD⊥AC，BD⊥CF得BD⊥平面ACF，故BD⊥AF。
因此AF⊥平面BGD，因此BG⊥AF，DG⊥AF，∠BGD为二面角B－AF－D 的平面角。
由FC AC⊥，2FC AC==，得4FACπ=，2OG=由2,2OB OG OB OD⊥==，得22BGD BGOπ∠=∠=〔向量法〕以A为坐标原点，BD、AC、AE方向分不为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系〔如图〕23BAO DCP211设平面ABF 的法向量1(,,)n x y z =，那么由1100n AB n AF ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩得202220x y y z ⎧-+=⎪⎨⎪+=⎩令1z =，得21x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，1(2,1,1)n =--同理，可求得平面ADF 的法向量2(2,1,1)n =-。
由120n n ⋅=知，平面ABF 与平面ADF 垂直，二面角B-AF-D 的大小等于2π。
〔II 〕连EB 、EC 、ED ，设直线AF 与直线CE 相交于点H ，那么四棱锥E-ABCD 与四棱锥F-ABCD 的公共部分为四棱锥H-ABCD 。
过H 作HP ⊥平面ABCD ，P 为垂足。
因为EA ⊥平面ABCD ，FC ⊥平面ABCD ，，因此平面ACFE ⊥平面ABCD ，从而,.P AC HP AC ∈⊥由1,HP HP AP PC CF AE AC AC +=+=得23HP =。
又因为12,2ABCD S AC BD =⋅=菱形故四棱锥H-ABCD 的体积122.39ABCD V S HP =⋅=菱形 13. (福建17)〔13分〕如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ABCD ⊥平面，NB ABCD ⊥平面，且MD=NB=1，E 为BC 的中点（1） 求异面直线NE 与AM 所成角的余弦值（2） 在线段AN 上是否存在点S ，使得ES ⊥平面AMN ？假设存在，求线段AS 的长；假设不存在，请讲明理由解析：〔1〕在如图，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标D xyz -依题意，得1(0,0,0)(1,0,0)(0,0,1),(0,1,0),(1,1,0),(1,1,1),(,1,0)2D A M C B NE 。
1(,0,1),(1,0,1)2NE AM ∴=--=-10cos ,10||||NE AM NE AM NE AM <>==-⨯， 因此异面直线NE 与AM 所成角的余弦值为1010.A〔2〕假设在线段AN 上存在点S ，使得ES ⊥平面AMN .(0,1,1)AN =,可设(0,,),AS AN λλλ==又11(,1,0),(,1,)22EA ES EA AS λλ=-∴=+=-.由ES ⊥平面AMN ，得0,0,ES AM ES AN ⎧=⎪⎨=⎪⎩即10,2(1)0.λλλ⎧-+=⎪⎨⎪-+=⎩故12λ=，现在112(0,,),||222AS AS ==.经检验，当22AS =时，ES ⊥平面AMN . 故线段AN 上存在点S ，使得ES ⊥平面AMN ，现在22AS =. 14. (广东18)〔本小题总分值１４分〕如图６，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为２，点Ｅ是正方形11BCC B 的中心，点Ｆ、Ｇ分不是棱111,C D AA 的中点．设点11,E G 分不是点Ｅ，Ｇ在平面11DCC D 内的正投影．〔１〕求以Ｅ为顶点，以四边形FGAE 在平面11DCC D 内的正投影为底面边界的棱锥的体积；〔２〕证明：直线11FG FEE ⊥平面； 〔３〕求异面直线11E G EA 与所成角的正统值解：〔1〕依题作点E 、G 在平面11DCC D 内的正投影1E 、1G ，那么1E 、1G 分不为1CC 、1DD 的中点，连结1EE 、1EG 、ED 、1DE ，那么所求为四棱锥11FG DE E -的体积，其底面11FG DE 面积为111111E DG Rt FG E Rt FG DE S S S ∆∆+= 221212221=⨯⨯+⨯⨯=， 又⊥1EE 面11FG DE ，11=EE ，∴323111111=⋅=-EE S V FG DE FG DE E .〔2〕以D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分不作x 轴，y 轴，z 轴，得)1,2,0(1E 、)1,0,0(1G ，又)1,0,2(G ，)2,1,0(F ，)1,2,1(E ，那么)1,1,0(1--=FG ，)1,1,1(-=，)1,1,0(1-=FE ，∴01)1(01=+-+=⋅FG ，01)1(011=+-+=⋅FE FG ，即FE FG ⊥1，11FE FG ⊥，又F FE FE =⋂1，∴⊥1FG 平面1FEE .〔3〕)0,2,0(11-=G E ，)1,2,1(--=，那么62,cos 11=>=<G E ，设异面直线11E G EA 与所成角为θ，那么33321sin =-=θ. 15. (辽宁18) 〔本小题总分值12分〕如图，己知两个正方形ABCD 和DCEF 不在同一平面内， M ，N 分不为AB , DF 的中点。
2020年全国普通高等学校招生统一考试理科数学试卷全国Ⅲ卷(含答案)
2293A .(4,0)吒，0）0.(1,0)D.(2 ,0)6.已知向量a , b 满足|a | 5 ,|b| 6, a6，贝U cos(a , a b..31 A.— 357.在 Z\AB0 中, 19 B.—352 一 • cosC 一，AC 4 ,317C.—19D.—35B03，贝U cosB1 A.— 1 B.- 12020年全国普通高等学校招生统一考试试卷 全国m 卷理科数学、选择题1.已知集合 A {(x, y)|x, y N , y , x} , B (( x , y) |x则C 的焦点坐标为（）8｝，贝U A 。
B 中元素的个数为A.2B.3C.4D.612.复数——的虚部是（）1 3i 3 A. 101 B.101 C.—3.在一组样本数据中，1 , 2, 3, 4出现的频率分别为P i ，3 D.— 104种情形中, 对应样本的标准差最大的一组是（A. P 1 P 4 0.1 , P 2 P 3 0.4B. P i P 4 0.4 P 2 P 30.1 C. PP 40.2 , P 2P 30.3D. P iP 40.3P 2 P 30.24.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域,有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 I （t ） （t 的单位：天）的Logistic 模型：I （t ）―K_苴1 e 0.23(t 53)，八中K 为最大确诊病例数.当I （t ） 0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则 t 约为（ln19 3）A.60B.63C.66D.695.设O 为坐标原点，直线 x 2与抛物线C:y 22PX (P0)交于 D , E 两点，若 OD OE ,8.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是(x y 弘，13. _______________________________________________________________ 若x, y 满足约束条件 2x y 》0，则z 3x 2y 的最大值为 __________________________________________x<1,14.------------------------------------------------------------------ (x 2歹的展开式中常数项是 (用数字作答) 15. 已知圆锥的底面半径为 1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为.. ................................. 1 ………16.关于函数f(x) sinx — 有如下四个命题：sin x①f(x)的图像关于y 轴对称.A.6 4.2B.4 4.2C.62 J3D.4 239.已知2tantan(兀、 一-，. -) 7,则 tan()4A. 2B. 1C.1D.210.若直线l 与曲线yM 和圆x 2 y 2 1都相切，5' 则l 的方程为()A. y 2x 11B. y 2xC.y21 -x 1 2D.y 1 -x 21211.设双曲线2C 4 y2T1(a 0, b 0)的左、右焦点分别为• F 1 , F 2,离心率为5上一点，且 * F 2P.若^PF^2的面积为4,则a ()A.1B.2C.4D.812.已知55 84, 13485 .设 a log 5 3 , b log 8 5 , c log 138,则()A.a b cB.b a cC.bc aD.c a b.P 是C二、填空题②f(x)的图像关于原点对称.③f(x)的图像关于直线x己对称.2④f(x)的最小值为2.其中所有真命题的序号是 .三、解答题17.设数列｛a n｝满足a i 3 , a— 3a n 4n .(1)计算a2, a3,猜想｛a n｝的通项公式并加以证明;(2)求数列｛2n a n｝的前n项和& .18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1, 2, 3, 4的概率；(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(3)若某天的空气质量等级为1或2,则称这天“空气质量好"；若某天的空气质量等级为3或4,则称这天“空气质量不好”.根据所给数据，完成下面的2 2列联表，并根据列联表,判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关?附：K2BF 2FB1 .(1)证明：点C i在平面AEF内;(2)若AB 2 , AD 1 , AA 3 ,求二面角A EF A的正弦值.20.已知椭圆C :—七 1(0 m 5)的离心率为匝,A, B分别为C的左、右顶点.25 m 4(1)求C的方程；(2)若点P在C上，点Q在直线x 6上，且|BP| |BQ |, BP BQ ,求^APQ的面积.21.设函数f(x) x3 bx c,曲线y f(x)在点(；，f(1))处的切线与y轴垂直.(1)求b；(2)若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，证明：f(x)所有零点的绝对值都不大于 1._ 2................................................ x 2 t t , . , ....... . •,22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数万程为2 3t f2 (t为参数且t 1 ), C与坐标轴交于A, B两点.(1)求|AB|；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程23.设a, b, c R , a b c 0 , abc 1.(1)证明：ab bc ca 0 ；(2)用max｛a, b, c｝表示a, b, c 的最大值，证明：max( a, b , c｝，幅.参考答案1.答案：C解析：2.答案：D解析：3.答案：B解析：4.答案：C解析：5.答案：B解析：6.答案：D解析：7.答案：A解析：8.答案：C解析：9.答案：D解析：10.答案：D解析：11.答案：A解析：12.答案：A解析：13.答案：7 解析：14.答案：240 解析：15. 答案：—兀3解析：16. 答案：②③解析：17. 答案：解：(1) a ? 5, a 3 7.猜想a n 2n 1.由已知可得a n 1 (2n 3) 3[& (2n 1)],a n (2n 1) 3[a n1 (2n 1)], a ? 5 3(a 1 3).因为a 3，所以a ” 2n 1. nn 2 3 n(2)由(1)碍 2 a n (2n 1)2，所以 S n 3 2 5 2 7 2 \\\ (2n 1) 2 .①从而 2S n 3 22 5 23 7 2」小(2n 1) 2n 1.② ①-②得 S n 3 2 2 22 2 23 M 22n(2n 1)2n 1.所以 S (2n 1)2n 1 2. 解析：18.答案：解：(1)由所给数据，该市一天的空气质量等级为 1,2,3,4的概率的估计值如下表:1(2) 一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为——(100 20 300 35 500 45) 350 100(3)根据所给数据，可得 2 2列联表:根据列联表得 K 2 100 (33 8 22 37)2 5.820.55 45 70 3077A F设n 1n 1 2) 由 已 知 得 A(2,1,3), E(2,0,2), F (0,1,1), A (2,1,0),A E(0,1 (2,0, 2),AE(x, y, z)为平面 n 1 AF1, 1)(0, 1,2),A F ( 2,0,1).AEF 的法向量，则z 0, …c c 可取 n 1 ( 1, 1,1).设J 为平面AEF 的法向量，则0, r同理可取n 2n 2 A 1F 0,1 顷2,1).因为 cos n 1,n 2.n 〔 n 2 |n 11 |n 2 |7 42由于5.820 3.841 ,故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量 有关. 解析:19.答案：解:设ABa,AD b,AA, c,如图，以G 为坐标原点,建立空间直角坐标系 G xyz.(1)连结 GF ,则 C (0,0,0) , A(a,b,c) , E(a,0,2c) , F(0,b,-c) ,E A 33彳林赤),得EA G F, 3—1、(0,b,-c),因此EA/ZG IF，即A, E, F ,C i 四点共面，所以点 C i 在平面AEF 内.的方向为x 轴正方向,解析:20.答案：解:(2)设P(X p,y p),Q(6, Y Q),根据对称性可设y Q由已知可得B(5,0),直线BP的方程为y —(xy Q因为|BP| |BQ|,所以Y P 1,将Y P 1代入C的方程，解得X p 3或3. 由直线BP的方程得Y Q 2或8.所以点P, Q 的坐标分别为P (3,1)Q(6,2); P2 ( 3,1)Q(6,8)...一......... 1 .一| PQ1 | 而，直线PQ I的方程为y -X，点A3的面积为1 M ..10 5.2 2 2——710| P2Q2 | J130 ,直线P2Q2 的方程为y - X—9 3的面积为1 2卫.疏5.2 26 2综上，^AP Q的面积为5. 解析：2 一21.答案：解：(1) f (x) 3x b.依题意得f (1) 0 ,即3 b 0.2 ， 4故b 3.43 3 2 (2)由(1)知f (x) x - x c, f (x) 3x 4(5,0)到直线PQ1的距离为寸10 ,故APQ I ,点A到直线P2Q2的距离为"13。
立体几何大题真题汇编(理) - (原卷版)(2020高考数学)
立体几何大题真题汇编1.（2017•新课标Ⅱ,19）如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC= AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．（Ⅰ）证明：直线CE∥平面PAB；（Ⅱ）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值．2.（2017•江苏,15）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：（Ⅰ）EF∥平面ABC；（Ⅱ）AD⊥AC．3.(2016·山东,17)在如图所示的圆台中,AC 是下底面圆O 的直径,EF 是上底面圆O ′的直径,FB 是圆台的一条母线.(1)已知G ,H 分别为EC ,FB 的中点,求证：GH ∥平面ABC ；(2)已知EF ＝FB ＝12AC ＝23,AB ＝BC ,求二面角F －BC －A 的余弦值.4.(2016·全国Ⅲ,19)如图,四棱锥P －ABCD 中,P A ⊥底面ABCD ,AD ∥BC ,AB ＝AD ＝AC ＝3,P A ＝BC ＝4,M 为线段AD 上一点,AM ＝2MD ,N 为PC 的中点.(1)证明MN ∥平面P AB ；(2)求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值.5.(2015·江苏,16)如图,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,已知AC ⊥BC ,BC ＝CC 1.设AB 1的中点为D ,B 1C ∩BC 1＝E .求证：(1)DE∥平面AA1C1C；(2)BC1⊥AB1.6.(2014·江苏,16)如图,在三棱锥P ABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点.已知P A⊥AC,P A ＝6,BC＝8,DF＝5.求证：(1)直线P A∥平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC.7.(2014·新课标全国Ⅱ,18)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,P A⊥平面ABCD,E为PD的中点.(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设二面角DAEC为60°,AP＝1,AD＝3,求三棱锥EACD的体积.8.(2014·湖北,19)如图,在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F,M,N分别是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中点,点P,Q分别在棱DD1,BB1上移动,且DP＝BQ＝λ(0<λ<2).(1)当λ＝1时,证明：直线BC1∥平面EFPQ；(2)是否存在λ,使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在,求出λ的值；若不存在,说明理由.9．（2018江苏，15）在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=AB,AB1⊥B1C1。
2020年全国普通高等学校招生统一考试理科数学试卷 全国III卷(含答案)
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A=(){}*,,,x y x y N y x ∈≥，B=(){},8x y x y +=，则A B 中元素个数为A. 2B. 3C. 4D. 6解：有下列（1，7）（2，6）（3，8）（4，4）2.复数113i -的虚部是 A. 310- B. 110- C. 110D. 310解：1131313101010i z i i +===+-3.在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为1p ，2p ，3p ，4p ，且411i i p ==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是 A. 14230.1,0.4p p p p ==== B ．14230.4,0.1p p p p ==== C ．14230.2,0.3p p p p ==== D ．14230.3,0.2p p p p ==== 解：B4. Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()t I （t 的单位：天）的Logistic 模型：()()0.23531--=+t K I t e，其中K 为的最大确诊病例数.当()0.95I t K *=时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为（ln19≈3）A.60B.63C.66D.69()()()()()0.23530.23530.2353-10.951100511====1995951930010.2353=3,53132323153136623解：则，则------==++--===+≈t t t KI t Kee e t t t5. 设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线2:2(0)=>C y px p 交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为A. (14,0)B. (12,0)C. (1,0)D. (2,0)1212222122212124y y 0又由点在曲线2上y =4,y =4(y y )16,y y 44,1OD OEOD OE y px p p P p p →→⊥•=+====-=-=6. 已知向量a,b 满足5a =，6b =，·6a b =-，则cos(,)a a b += A. 3135-B. 1935-C. 1735D. 1935222解：（）=++2253612497()19cos(,)5735a b a b a b a b a a b a a a ba ab a a b+•=+-=+=•+•+•+===⨯+7. 在△ABC 中，2cos =3C ，4AC =，3BC =,则cos B =A. 19B. 13C. 12D. 23222222222解：由余弦定理得：AB =AC +BC -2AC BC cos 216924393AB 3由余弦定理得：AB AC3341cosB=23392AB BCC BC=+-⨯⨯⨯==+-+-==⨯⨯8. 右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 A. 6+42 B. 442+ C. 623+ D. 423+表面积122221222sin 602323S VAB S VAC S ABC S VBC S ∆∆∆∆===⨯⨯==⨯⨯⨯= 9.已知2tan tan()74πθθ-+=，则tan θ=A. -2B. -1C. 1D. 222221tan 解：原式=2tan 71tan 则2tan -2tan -1-tan 77tan 则2tan -8tan +8=0则tan -4tan +4=（tan 2)0则tan 2θθθθθθθθθθθθθ+-=-=--==10.若直线l 与曲线y x =2215x y +=都相切，则l 的方程为 A. 21y x =+ B. 122y x =+ C. 112y x =+ D. 1122y x =+设00000000000设的切点P(x ,x )(x 0)111,,则切线方程为：y-x (x )222化为：-2x 0x 1又与圆相切则：d=x 114x 511直线方程为：y=22y x y k x 解：xx x x x y x =>'===-+==⇒=+∴+11. 设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F , 2F ，离心率为5. P 是C 上一点，且12F P F P ⊥.若△12PF F 的面积为4，则a=A ．1B ．2C ．4D ．82222121212121222212121212222222222解：,则+=（2c)414,82又-=2a,-24164,4又5,54,1,1PF PF PF PF cS PF F PF PF PF PFPF PF PF PF PF PF PF PFc a c ace c a a a a aa∆⊥=====+-=-=-===⇒=-===12. 已知5458<，45138<，设5a log3=，8b=log5，13c log8=，则A. a b c<<B. b a c<<C. b c a<<D. c a b<<5445544588131381381325822222解;58,138,则log5log8,log13log8445log54,45log8;log5,log8,则55lg3lg5lg3lg8lg5log3log5lg5lg8lg5lg8lg3lg8lg24lg252lg5lg30,lg80,lg3lg8()()()()lg52222c ba b<<<<<<<>>•--=-=-=•+>>•<=<== 0,a b a b-<<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 (全国卷III) word版试题及答案解析
2020年普通高等学校招生全国统一考试（III 卷） 理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A=(){}*,,,x y x y N y x ∈≥，B=(){},8x y x y +=，则A B 中元素个数为 A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 2.复数113i-的虚部是 A. 310-B. 110-C. 110D. 3103.在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为1p ，2p ，3p ，4p ，且411i i p ==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是 A. 14230.1,0.4p p p p ==== B ．14230.4,0.1p p p p ==== C ．14230.2,0.3p p p p ==== D ．14230.3,0.2p p p p ====4. Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()t I （t 的单位：天）的Logistic 模型：()()0.23531t K I t e--=+，其中K 为的最大确诊病例数.当()0.95I t K *=时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为（ln19≈3） A.60 B.63 C.66 D.695. 设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线2:2(0)C y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为A. (14,0)B. (12,0)C. (1,0)D. (2,0)6. 已知向量a,b 满足5a =，6b =，·6a b =-，则cos(,)a a b +=A. 3135- B. 1935-C. 1735D. 19357. 在△ABC 中，2cos =3C ，4AC =，3BC =,则cos B =A. 19B. 13C. 12D. 238. 右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 A. 6+42 B. 442+ C. 623+ D. 423+9.已知2tan tan()74πθθ-+=，则tan θ=A. -2B. -1C. 1D. 210.若直线l 与曲线y x =和圆2215x y +=都相切，则l 的方程为 A. 21y x =+ B. 122y x =+ C. 112y x =+ D. 1122y x =+11. 设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F , 2F ，离心率为5. P 是C 上一点，且12F P F P ⊥.若△12PF F 的面积为4，则a=A ．1B ．2C ．4D ．812. 已知5458<，45138<，设5a log 3=，8b=log 5，13c log 8=，则 A. a b c << B. b a c << C. b c a << D. c a b <<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷Ⅲ)数学(理)试题(解析版)
绝密★启用前 考试时间：2020年7月7日15:00-17:002020年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷Ⅲ)数学(理科)试题 (解析版)试卷总分150分， 考试时间120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】C 【解析】 【分析】采用列举法列举出AB 中元素的即可.【详解】由题意，A B 中的元素满足8y x x y ≥⎧⎨+=⎩，且*,x y N ∈，由82x y x +=≥，得4x ≤，所以满足8x y +=的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)， 故AB 中元素的个数为4.故选：C.【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.2.复数113i-的虚部是（ ） A. 310-B. 110-C.110D.310【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求出z 即可. 【详解】因为1131313(13)(13)1010i z i i i i +===+--+， 所以复数113z i =-的虚部为310. 故选：D.【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题. 3.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234,,,p p p p ，且411i i p ==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ） A. 14230.1,0.4p p p p ==== B. 14230.4,0.1p p p p ==== C. 14230.2,0.3p p p p ==== D. 14230.3,0.2p p p p ====【答案】B 【解析】 【分析】计算出四个选项中对应数据的平均数和方差,由此可得出标准差最大的一组. 【详解】对于A 选项,该组数据的平均数为()()140.1230.4 2.5A x =+⨯++⨯=,方差为()()()()222221 2.50.12 2.50.43 2.50.44 2.50.10.65A s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于B 选项,该组数据的平均数为()()140.4230.1 2.5B x =+⨯++⨯=,方差为()()()()222221 2.50.42 2.50.13 2.50.14 2.50.4 1.85B s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于C 选项,该组数据的平均数为()()140.2230.3 2.5C x =+⨯++⨯=,。
2020年高考数学真题汇编 7：立体几何 理
2020高考真题分类汇编：立体几何一、选择题1.【2020高考真题新课标理7】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 18【答案】B2.【2020高考真题浙江理10】已知矩形ABCD ，AB=1，BC=2。
将△沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中。
A.存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直.B.存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直.C.存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直.D.对任意位置，三对直线“AC 与BD ”，“AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直 【答案】C3.【2020高考真题新课标理11】已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =；则此棱锥的体积为（ ）()A 26 ()B 3()C 23 ()D 22【答案】A4.【2020高考真题四川理6】下列命题正确的是（ ）A 、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B 、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C 、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D 、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【答案】C5.【2020高考真题四川理10】如图，半径为R 的半球O 的底面圆O 在平面α内，过点O 作平面α的垂线交半球面于点A ，过圆O 的直径CD 作平面α成45o角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B ，该交线上的一点P 满足60BOP ∠=o ，则A 、P两点间的球面距离为（ ）αCAODBPA 、2arccos 4R B、4R π C 、3arccos 3R D 、3R π 【答案】A6.【2020高考真题陕西理5】如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABC A B C -，12CA CC CB ==，则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为（ ）A.55 B.53 C. 255D. 35【答案】A.7.【2020高考真题湖南理3】某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是【答案】D8.【2020高考真题湖北理4】已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A．8π3B．3πC．10π3D．6π【答案】B9.【2020高考真题广东理6】某几何体的三视图如图所示，它的体积为A．12π B.45π C.57π D.81π【答案】C10.【2020高考真题福建理4】一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是A.球B.三棱柱C.正方形D.圆柱【答案】D.11.【2020高考真题重庆理9】设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，12和a，且长为a2的棱异面，则a的取值范围是（A ）(0,2) （B）(0,3) （C ）(1,2) （D ）(1,3)【答案】A12.【2020高考真题北京理7】某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（ ）A. 28+65B. 30+65C. 56+ 125D. 60+125【答案】B13.【2020高考真题全国卷理4】已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1=22 E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 A 2 B 3 C 2 D 1 【答案】D二、填空题14.【2020高考真题浙江理11】已知某三棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示，则该三棱锥的体积等于________cm 3.【答案】115.【2020高考真题四川理14】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是CD 、1CC 的中点，则异面直线1A M 与DN 所成角的大小是____________。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学试题 理(北京卷,含解析)
绝密★本科目考试启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）【试卷点评】2020年北京高考数学试卷，试卷内容上体现新课程理念，贴近中学数学教学，坚持对基础知识、基本技能以及数学思想方法的考查。
我先说一说2020年总体试卷的难度，2020年文科也好、理科也好，整个试卷难度较2020、2020年比较平稳，北京高考应该是从2020年以前和2020年以后，2020、2020年卷子难度都比较低，今年延续了前两年，整体难度比较低。
今天我说卷子简单在于第8题和第14题，难度下降了，相比2020、2020、2020，整体都下降了。
1.体现新课标理念，实现平稳过渡。
试卷紧扣北京考试大纲，新增内容的考查主要是对基本概念、基本公式、基本运算的考查，难度不大。
对传统内容的考查在保持平稳的基础上进行了适度创新，符合北京一贯的风格。
2.关注通性通法，试卷淡化了特殊的技巧，全面考查通性通法，体现了以知识为载体，以方法为依托，题目没有偏怪题，以能力考查为目的的命题要求。
3.体现数学应用，联系实际，例如理科第17 题考查了样本型的概率问题，第三问要求不必证明、直接给出结论（已经连续6年），需注重理解概念的本质原理，第8 题本着创新题的风格，结合生活中的实际模型进行考查，像14 年的成绩评定、15 年的汽车燃油问题，都是由生活中的实际模型转化来的，对推动数学教学中关注身边的数学起到良好的导向。
【试卷解析】本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）若集合A={x|–2<x<1}，B={x|x<–1或x>3}，则A I B=（A）{x|–2<x<–1} （B）{x|–2<x<3}（C）{x|–1<x<1} （D）{x|1<x<3}【答案】A【解析】试题分析：利用数轴可知{}21A B x x =-<<-I ，故选A. 【考点】集合的运算【名师点睛】集合分为有限集合和无限集合，若集合个数比较少时可以用列举法表示，若集合是无限集合就用描述法表示，注意代表元素是什么，集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.（2）若复数()()1i a i -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是 （A ）（–∞，1） （B ）（–∞，–1） （C ）（1，+∞） （D ）（–1，+∞） 【答案】B【考点】复数的运算【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．复数z ＝a ＋b i复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) 平面向量u u u rOZ . （3）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（A ）2 （B ）32（C ）53（D ）85【答案】C【考点】循环结构【名师点睛】解决此类型时要注意：第一，要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构．根据各自的特点执行循环体；第二，要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；第三，要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体，争取写出每一个循环，这样避免出错.（4）若x，y满足32xx yy x≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，，，则x + 2y的最大值为（A）1 （B）3 （C）5 （D）9 【答案】D【解析】试题分析：如图，画出可行域，2z x y=+表示斜率为12-的一组平行线，当过点()3,3C时，目标函数取得最大值max3239z=+⨯=，故选D.【考点】线性规划【名师点睛】本题主要考查简单线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．常见的目标函数有：（1）截距型：形如z ax by =+.求这类目标函数的最值常将函数z ax by =+转化为直线的斜截式：a z y x b b =-+，通过求直线的截距zb的最值间接求出z 的最值；（2）距离型：形如()()22z x a y b =-+- ；（3）斜率型：形如y b z x a-=-，而本题属于截距形式.（5）已知函数1()3()3xx f x =-，则()f x（A ）是奇函数，且在R 上是增函数 （B ）是偶函数，且在R 上是增函数 （C ）是奇函数，且在R 上是减函数 （D ）是偶函数，且在R 上是减函数【答案】A 【解析】试题分析：()()113333xx xx f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数是奇函数，并且3x 是增函数，13x⎛⎫ ⎪⎝⎭是减函数，根据增函数-减函数=增函数，所以函数是增函数，故选A. 【考点】函数的性质【名师点睛】本题属于基础题型，根据奇偶性的定义()f x -与()f x 的关系就可以判断函数的奇偶性，判断函数单调性的方法，1.平时学习过的基本初等函数的单调性；2.函数图象判断函数的单调性；3.函数的四则运算判断，增函数+增函数=增函数，增函数-减函数=增函数，判断函数的单调性；4.导数判断函数的单调性.（6）设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】A【考点】1.向量；2.充分必要条件.【名师点睛】判断充分必要条件的的方法：1.根据定义，若,p q q p ⇒≠>，那么p 是q 的充分不必要 ，同时q 是p 的必要不充分条件，若p q ⇔，那互为充要条件，若p q <≠>，那就是既不充分也不必要条件，2.当命题是以集合形式给出时，那就看包含关系，若:,:p x A q x B ∈∈,若A B ≠⊂，那么p 是q 的充分必要条件，同时q 是p 的必要不充分条件，若A B =，互为充要条件，若没有包含关系，就是既不充分也不必要条件，3.命题的等价性，根据互为逆否命题的两个命题等价，将p 是q 条件的判断，转化为q ⌝是p ⌝条件的判断.（7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（A ）32 （B ）23 （C ）22 （D ）2 【答案】B 【解析】试题分析：几何体是四棱锥，如图红色线为三视图还原后的几何体，最长的棱长为正方体的对角线，22222223l =++=，故选B. 【考点】三视图【名师点睛】本题考查了空间想象能力，由三视图还原几何体的方法:或者也可根据三视图的形状，将几何体的顶点放在正方体或长方体里面，便于分析问题.（8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N最接近的是（参考数据：lg3≈0.48）（A ）1033 （B ）1053 （C ）1073（D ）1093【答案】D 【解析】试题分析：设36180310M x N == ，两边取对数，36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==-=⨯-=，所以93.2810x =，即MN最接近9310，故选D. 【考点】对数运算【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是36180310x =时，两边取对数，对数运算公式包含log log log a a a M N MN +=，log log log a a aM M N N-=，log log na a M n M =. 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2020年普高校招全国统考【理科数学】真题和模拟：立体几何—分项汇编(原卷)
『真题试炼·引申模拟』『分项汇编·逐一击破』专题04 立体几何1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一, 它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积, 则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A．514-B．512-C．514+D．512+2．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】如图是一个多面体的三视图, 这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M, 在俯视图中对应的点为N, 则该端点在侧视图中对应的点为A．E B．F C．G D．H3．【2020年高考全国II卷理数】已知△ABC93, 且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π, 则O到平面ABC的距离为A3B．32C．1 D34．【2020年高考全国Ⅲ卷理数】如图为某几何体的三视图, 则该几何体的表面积是A ．6+42B ．4+42C ．6+23D ．4+235．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点, ⊙1O 为ABC △的外接圆, 若⊙1O 的面积为4π, 1AB BC AC OO ===, 则球O 的表面积为 A ．64π B ．48πC ．36πD ．32π6．【2020年高考天津】若棱长为23的正方体的顶点都在同一球面上, 则该球的表面积为 A ．12π B ．24πC ．36πD ．144π7．【2020年高考北京】某三棱柱的底面为正三角形, 其三视图如图所示, 该三棱柱的表面积为A ．63+B ．623+C．123+D．1223+8．【2020年高考浙江】某几何体的三视图（单位：cm）如图所示, 则该几何体的体积（单位：cm3）是A．73B．143C．3 D．69．【2020年高考浙江】已知空间中不过同一点的三条直线l, m, n．“l , m, n共面”是“l , m, n两两相交”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件10．【2020年新高考全国Ⅰ卷】日晷是中国古代用来测定时间的仪器, 利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O), 地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角, 点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷, 若晷面与赤道所在平面平行, 点A处的纬度为北纬40°, 则晷针与点A处的水平面所成角为A．20°B．40°C．50°D．90°。
2020年高考试题分类汇编(立体几何)
2020年高考试题分类汇编（立体几何）考法1空间中的点、线、面的位置关系1.（2020·全国卷Ⅰ·文理科）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状科视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥的一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高于底面正方形的边长的比值为 A ．514- B ．512- C ．514+ D ．512+2.（2020·全国卷Ⅰ·理科）如图，在三棱锥P ABC -的平面展开图中，1AC =，3AB AD ==，AB AC ⊥，AB AD ⊥, 30CAE ∠=，则cos FCB ∠= .3.（2020·全国卷Ⅱ·文理科）设有下列四个命题：1p ：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内. 2p ：过空间任意三点有且仅有一个平面.3p ：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行. 4p ：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则l m ⊥.则下列命题中所以真命题的序号是 .①14p p ∧ ②12p p ∧ ③23()p p ⌝∨ ④34()()p p ⌝∨⌝ 4.（2020·浙江卷）已知空间中不过同一点的三条直线m ，n ，l ，则“m ，n ，ABCD (P )E (P )F (P )l 在同一平面”是“m ，n ，l 两两相交”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 考法2三视图1.（2020·全国卷Ⅱ·理科）右图是一个多面体的三视图，这个多面体某天棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为N ，则该端点在侧视图中对应的点为A ．EB ．FC ．GD ．H2.（2020·全国卷Ⅲ·文理科）右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为A ．642+B ．442+C ．623+D ．423+3.（2020·浙江卷）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几 何体的体积（单位：3cm ）是A ．73B ．143C ．3D ．64.（2020·北京卷）某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱M N EF GH222的表面积为A ．63+B ．623+C ．123+D ．1223+考法3与球的组合体1.（2020·全国卷Ⅰ·文理科）已知A ，B ，C 为球O 的球面上三点，1O 为ABC ∆的外接圆，若1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为 A ．64π B ．48π C ．36π D ．32π2.（2020·山东卷）日冕是中国古代用来测定时间的仪器，利用与冕面垂直的冕针投射到冕面的影子来测定时间，把地球看成一个球（球心记为O ），地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成的角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面，在点A 处放置一个日冕，若冕面与赤道所在的平面平行，点A 的纬度为北纬40，则冕针与点A 处的水平面所成的角为A ．20B ．40C ．50D ．903.（2020·全国卷Ⅱ·文理科）已知ABC ∆是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上，若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的面积112正（主）视图 侧（左）视图俯视图AB ．32C ．1 D．24.（2020·全国卷Ⅲ·文理科）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为 .5.（2020·山东卷）已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的棱长均为2，60BAD ∠=．以1D11BCC B 的交线长为 ．6.（2020·天津卷）若棱长为则该球的表面积为A ．12πB ．24πC ．36πD ．144π考法4解答题1.（2020·全国卷Ⅰ·理科）如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AE AD =.ABC ∆是底面的内角正三角形，P 为DO上一点，6PO DO =. （Ⅰ）证明：PA ⊥平面PBC ； （Ⅱ）求二面角B PC E --的余弦值.2.（2020·全国卷Ⅰ·文科）如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，ABC ∆是底面的内角正三角形，P 为DO 上一点，90ABC ∠=. （Ⅰ）证明：平面PAB ⊥平面PAC ；（Ⅱ）设DO =，求三棱锥P ABC -的体积.P ABO E CDP ABO C D3.（2020·全国卷Ⅱ·理科）如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，侧面11BCC B 是矩形，M ，N 分别为的BC ，11B C 的中点，P 为AM 上一点，过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F .（Ⅰ）证明：1AA MN ∥，且平面1A AMN ⊥平面11EB C F ；（Ⅱ）设O 为111A B C ∆的中心，若AO ∥平面11EB C F ，且AO AB =，求直线1B E 与平面1A AMN 所成角的正弦值.4.（2020·全国卷Ⅱ·文科）如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，侧面11BCC B 是矩形，M ，N 分别为的BC ，11B C 的中点，P 为AM 上一点，过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F .（Ⅰ）证明：1AA MN ∥，且平面1A AMN ⊥平面11EB C F ；（Ⅱ）设O 为111A B C ∆的中心，若6AO AB ==，AO ∥平面11EB C F ，且3MPN π∠=,求四棱锥11B EB C F -的体积.5.（2020·全国卷Ⅲ·理科）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 分别在棱1DD ，1BB 上，且2DE =1ED ，12BF FB =. （Ⅰ）证明：点1C 在平面AEF 内；ABC E F O MNA 1B 1C 1PABC E FO MNA 1B 1C 1P（Ⅱ）若2AB =，1AD =，13AA =，求二面角1A EF A --的正弦值.6.（2020·全国卷Ⅲ·文科）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 分别在棱1DD ，1BB 上，且2DE =1ED ，12BF FB =.（Ⅰ）当AB BC =时，EF AC ⊥. （Ⅱ）证明：点1C 在平面AEF 内；7.（2020·山东卷）如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ．设平面PAD 与平面PBC 的交线为l ． （Ⅰ）证明：l ⊥平面PDC ；（Ⅱ）已知1PD AD ==，Q 为l 上的点，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值．A BCDEF A 1B 1C 1D 1ABCDEFA 1B 1C 1D 1PABCD8.（2020·天津卷）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，2AC BC ==，13CC =，点D ，E 分别在棱1AA 和棱1CC 上，且1AD =，2CE =，M 为棱11A B 的中点． （Ⅰ）求证：11C M B D ⊥；（Ⅱ）求二面角1B B E D --的正弦值；（Ⅲ）求直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值．9.（2020·浙江卷）如图，三棱台DEF ABC -中，面ADFC ⊥面ABC ，45ACB ACD ∠=∠=，DC =2BC ．（Ⅰ）证明：EF DB ⊥；（Ⅱ）求DF 与面DBC 所成角的正弦值．A BCDEMB 1A 1C 1ABCDEF10.（2020·北京卷）如图，在正方体1111ABCD A B C D 中，E 为1BB 的中点． （Ⅰ）求证：1BC ∥平面1AD E ；（Ⅱ）求直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值．ABCDE A 1B 1C 1D 1。
高考理科数学(1卷)：答案详细解析(最新)
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（I 卷）答案详解一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.（复数）若1z i =+,则22z z -=A.0B.1 D.2【解析】∵1z i =+，∴222(2)(1)(1)12z z z z i i i -=-=+-=-=-，∴2=22z z -.【答案】D2.（集合）设集合{}240A x x =-≤，{}20B x x a =+≤，且{}21A B x x =-≤≤ ，则a =A.－4B.－2C.2D.4【解析】由已知可得{}22A x x =-≤≤，2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭，∵{}21A B x x =-≤≤ ，∴12a -=，解得2a =-.【答案】B 3.（立体几何，同文3）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A.14- B.12 C.14+ D.12+【解析】如图A3所示，设正四棱锥底面的边长为a ，则有22221212h am a h m ⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩整理得22420m am a --=，令m t a =，则有24210t t --=，∴114t +=，214t -=（舍去），即14m a +=.图A3【答案】C4.（解析几何）已知A 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =A ．2B ．3C ．6D ．9【解析】设A 点的坐标为(m ,n )，∵点A 到C 的焦点的距离为12，∴m =9，∵点A 到C 的焦点的距离为12，∴122p m +=，解得6p =.【答案】C5.（概率统计，同文5）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：C ）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子的发芽实验，由实验数据,)(i i x y i =（1,2,…,20)得到下面的散点图：由此散点图，在10C 至40C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是A.y a bx =+B.2y a bx =+C.x y a be =+D.ln y a b x=+【解析】根据散点图的趋势和已学函数图象可知，本题的回归方程类型为对数函数，故选D 选项.【答案】D6.（函数）函数43()2f x x x =-的图像在点(1,(1))f 处的切线方程为A ．21y x =--B ．21y x =-+C ．23y x =-D ．21y x =+【解析】32()46f x x x '=-，∴函数()f x 的图像在点(1,(1))f 处的切线斜率为(1)2k f '==-，又∵(1)1f =-，∴所求的切线方程为12(1)y x +=--，化简为21y x =-+.【答案】B7.（三角函数，同文7）设函数()cos()6f x x πω=+在[]ππ-，的图像大致如下图，则()f x 的最小正周期为A.109πB.76πC.43πD.32π【解析】∵函数过点4π,09⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴4ππcos()=096x ω-+，∴4πππ=962x ω-+-，解得23=ω，∴()f x 的最小正周期为3π4π2==ωT .【答案】C 8.（概率统计）25()()y x x y x++的展开式中33x y 的系数为A.5 B.10 C.15 D.20【解析】∵5()x y +展开式的通项公式为55C r r r x y -(r =0,1,2,3,4,5)，∴1r =时，2141335C 5y x y x y x=，∴3r =时，323335C 10x x y x y =，∴展开式中的33x y 系数为5+10=15.【答案】C9.（三角函数）已知(0,)α∈π，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=A.53 B.23 C.13 D.59【解析】应用二倍角公式2cos22cos 1αα=-，将3cos28cos 5αα-=化简为，23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-或cos 2α=（舍去），又∵(0,)α∈π，∴5sin 3α=.【答案】A 10.（立体几何，同文12）已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个点，1O 为△ABC 的外接圆.若 1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π【解析】由题意可知， 1O 为的半径r =2，由正弦定理可知，24sin ==AB r C，则14sin 4sin 60==== OO AB C ，∴球O 的半径4R ==，∴球O 的表面积为24π64πR =．图A10【答案】A11.（解析几何）已知22:2220M x y x y +---= ，直线:20+=l x y ，p 为l 上的动点.过点p 作M 的切线PA ，PB ，切点为,A B ，当PM AB 最小时，直线AB 的方程为A.210x y --= B.210x y +-=C.210x y -+= D.210x y ++=【解析】222:(1)(1)2-+-= M x y ， M 的半径r =2，圆心(1,1)M ，由几何知识可知，⊥PM AB ，故1||||=2=||||2||2∆=⋅⋅==四边形APM APBM S PM AB S AP AM AP ，∴⋅PM AB 最小，即PM 最小，此时直线PM ⊥l ，即直线PM 的斜率为12=m k ，故直线PM 的方程为11(1)2-=-y x ，化简为1122=+y x ，∴直线PM 与l 的交点P 的坐标为(1,0)-P ，直线AB 为过点P 作 M 的切线所得切点弦AB 所在的直线，其方程为(11)(1)(01)(1)4---+--=x y ，化简得210++=x y ．图A11【答案】D注：过圆外一点00(,)P x y 作222:()()O x a y b r -+-= 的切线所得切点弦所在直线方程为200()()()()x a x a y b y b r --+--=.特别当0a b ==时，切点弦所在直线方程为200x x y y r +=.（具体推到过程，可到百度搜索）12.（函数）若242log 42log +=+a b a b 则A.a >2bB.a <2bC.a >b 2D.a <b 2【解析】由指数和对数运算性质，原等式可化为2222log 2log a b a b +=+，∵222log 1log log 2b b b <+=，∴22222log 2log 2b b b b +<+，∴2222log 2log 2a b a b +<+，设2()2log x f x x =+，则有()(2)f a f b <，由指数函数和对数函数的单调性可知()f x 在(0,)+∞单调递增，∴2a b <.【答案】B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。