二次根式混合运算
实用标准二次根式混合运算一、计算题1． 2．3． 4．5．化简． 6．把化为最简二次根式．7．的倒数是 8．计算÷的结果是9．当x _________ 时，成立．10． 11．2﹣1+ 12．． 13．14． 15．化简16．已知，则 17．18． 19．化简：二．解答题（共11小题）20．已知a=，求代数式的值．21．已知x=2，y=，求的值．22．已知x=﹣1，求代数式的值．23．已知实数a满足a2+2a﹣8=0，求的值．24．﹣22+﹣（）﹣1×（π﹣）0；25．26．先化简，再求值：÷（a+），其中a=﹣1，b=1．27．先化简，再求值：，其中x=．28．先化简，再求值：÷﹣，其中a=﹣2．29．先化简，再求值：，其中a=，b=．30．先化简，再求值：，其中x=﹣1．31．先化简，再求值：，其中a=+1 32．先化简，再求值：，其中．二次根式混合运算参考答案、解析一．填空题（共19小题）1．计算：= ．考点：二次根式的乘除法．专题：计算题．分析：先把除法变成乘法，再求出×=2，即可求出答案．解答：解：×÷，=××，=2，故答案为：2．点评：本题考查了二次根式的乘除法的应用，注意：应先把除法转化成乘法，再根据二次根式的乘法法则进行计算即可，题目较好，但是一道比较容易出错的题目．2．= ﹣．考点：二次根式的乘除法．分析：根据二次根式的乘除法运算，即可得出结果．注意把除法运算转化为乘法运算．解答：解：=×=﹣．点评：本题主要考查了二次根式的乘除法运算，比较简单，同学们要仔细作答．3．计算：= +2 ．考点：二次根式的乘除法；幂的乘方与积的乘方．专题：计算题．分析：根据××（+2）得出12011×（+2），推出1×（+2），求出即可．解答：解：原式=××（+2），=×（+2），=1×（+2），=+2，故答案为+2．点评：本题考查了幂的乘方与积的乘方和二次根式的乘除法的应用，关键是得出原式=×（+2），题目比较好，难度适中．4．计算= 40 ．考点：二次根式的乘除法．分析：根据二次根式的乘法和减法法则进行计算．解答：解：原式=45﹣|﹣5|=45﹣5=40．故答案是：40．点评：主要考查了二次根式的乘法运算．二次根式的运算法则：乘法法则=．5．化简= ﹣．考点：分母有理化．分析：式子的分子和分母都乘以即可得出，根据b是负数去掉绝对值符号即可．解答：解：∵b＜0，∴====﹣．故答案为：﹣．点评：本题考查了二次根式的性质和分母有理化，注意：当b＜0时，=|b|=﹣b．6．把化为最简二次根式得．考点：最简二次根式．分析：根据最简二次根式的定义解答．解答：解：根据题意知，①当x＞0、y＞0时，=•=；②当x＜0、y＜0时，=•=；故答案是：．点评：本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．7．的倒数是﹣2﹣．考点：分母有理化．专题：计算题．分析：先找到的倒数，然后将其分母有理化即可．解答：解：的倒数是：==﹣2﹣．故答案为：﹣2﹣．点评：本题主要考查二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同．8．计算÷的结果是2 a ．考点：二次根式的乘除法．分析：先根据二次根式的除法法则，根指数不变，把被开方数相除，再化成最简二次根式或整式即可．解答：解：÷===2a，故答案为：2a．点评：本题考查了二次根式的性质和二次根式的乘除法，主要考查学生的计算能力．9．当x＞6 时，成立．考点：二次根式的乘除法．专题：推理填空题．分析：根据式子的特点成立时，也成立，则x﹣5≥0，x﹣6＞0，将其组成方程组，解答即可．解答：解：由题意得，由①得，x≥5，由②得，x＞6，故当x＞6时，成立．故答案为：x＞6．点评：本题考查的是二次根式的除法，解答此题的关键是熟知商的算术平方根的性质，即：=（a≥0，b＞0）．10．（2007•河北）计算：= a．考点：二次根式的乘除法．分析：根据二次根式的乘法法则运算即可．解答：解：原式==a．点评：主要考查了二次根式的乘除法运算．二次根式的运算法则：乘法法则=．除法法则=．11．（2013•青岛）计算：2﹣1+= ．考点：二次根式的乘除法；负整数指数幂．分析：首先计算负指数次幂以及二次根式的除法，然后进行加法运算即可求解．解答：解：原式=+2=．故答案是：．点评：本题主要考查了二次根式除法以及负指数次幂的运算，理解运算法则是关键．12．（2012•南京）计算的结果是+1 ．考点：分母有理化．专题：计算题．分析：分子分母同时乘以即可进行分母有理化．解答：解：原式===+1．故答案为：+1．点评：此题考查了分母有理化的知识，属于基础题，注意掌握分母有理化的法则．13．（2004•郑州）计算：= ．考点：分母有理化；负整数指数幂．分析：按照实数的运算法则依次计算，=2，将分母有理化．解答：解：原式=2+=2+﹣2=．故本题答案为：．点评：涉及知识：数的负指数幂，二次根式的分母有理化．14．（2002•福州）计算：= ．考点：分母有理化；零指数幂．分析：本题涉及零指数幂、二次根式化简2个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．解答：解：=+1﹣1=．点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、二次根式的分母有理化等考点的运算．15．（2001•陕西）化简的结果是﹣．考点：分母有理化．分析：先找分子分母的公因式，约分，再化简．解答：解：原式===﹣．点评：当分子分母有公因式时，可约去公因式化简．16．（1999•温州）已知，则= ﹣4 ．考点：分母有理化．分析：首先求出a和的值，然后再代值求解．解答：解：由题意，知：a===﹣（+2），=﹣2；故a+=﹣（+2）+﹣2=﹣4．点评：此题主要考查的是二次根式的分母有理化，能够准确的找出分母的有理化因式是解答此类题的关键．17．（1997•四川）计算= 2﹣．考点：分母有理化．分析：利用平方差公式，将分子分母同乘以﹣1即可分母有理化．解答：解：===2﹣．故答案为：2﹣．点评：此题主要考查了二次根式的分母有理化，正确找出有理化因式是解题关键．18．（2013•宿迁）计算的值是 2 ．考点：二次根式的混合运算．分析：根据二次根式运算顺序直接运算得出即可．解答：解：=2﹣+=2．故答案为：2．点评：此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握法则是解题关键．19．（2006•重庆）（非课改）化简：= ﹣．考点：二次根式的混合运算．分析：先把二次根式化简，去括号，再合并同类二次根式．解答：解：=2+﹣2=﹣．点评：注意运算顺序和分母有理化．二．解答题（共11小题）20．（2012•自贡）已知a=，求代数式的值．考点：分式的化简求值；分母有理化．专题：计算题．分析：在计算时，首先要弄清楚运算顺序，先把括号里式子通分，再进行分式的乘除．解答：解：原式=×=，当a=时，原式==．点评：本题的关键是化简，然后把给定的值代入求值．21．（2010•鄂尔多斯）（1）计算﹣22+﹣（）﹣1×（π﹣）0；（2）先化简，再求值：÷（a+），其中a=﹣1，b=1．考点：分式的化简求值；零指数幂；负整数指数幂；分母有理化．专题：计算题．分析：（1）涉及到立方根、负整数指数幂、零指数幂三个知识点，可分别针对各知识点进行计算，然后按实数的运算规则进行求解；（2）这道求代数式值的题目，不应考虑把a、b的值直接代入，通常做法是先把代数式化简，然后再代入求值．解答：解：（1）原式=﹣4﹣3﹣3=﹣10；（2）原式==；当a=﹣1，b=1时，原式=．点评：本题考查了实数的运算及分式的化简计算．在分式化简过程中，首先要弄清楚运算顺序，先去括号，再进行分式的乘除．22．（2008•威海）先化简，再求值：，其中x=．考点：分式的化简求值；分母有理化．专题：计算题．分析：本题的关键是正确进行分式的通分、约分，并准确代值计算．解答：解：原式=÷===﹣，当x=时，原式=﹣=﹣=﹣．点评：首先把分式化到最简，然后代值计算．23．（2008•宿迁）先化简，再求值：÷﹣，其中a=﹣2．考点：分式的化简求值；分母有理化．专题：计算题．分析：本题的关键是正确进行分式的通分、约分，并准确代值计算．解答：解：原式=•﹣=，当a=﹣2时，原式==1﹣2．点评：把分式化到最简后再进行代值计算．24．（2008•乐山）已知x=﹣1，求代数式的值．考点：分式的化简求值；分母有理化．专题：计算题．分析：首先把括号里的通分，然后能分解因式的分解因式，进行约分，最后代值计算，注意把除法运算转化为乘法运算．解答：解：原式====，当时，原式=．点评：本题的关键是化简，然后把给定的值代入求值．25．（2007•黑龙江）先化简，再求值：，其中x=﹣1．考点：分式的化简求值；分母有理化．专题：计算题．分析：首先把除法运算转化成乘法运算，然后进行减法运算，最后代值计算．解答：解：原式==，当x=﹣1时，原式=．点评：本题主要考查分式的化简求值这一知识点，把分式化到最简是解答的关键．26．（2007•滨州）先化简，再求值：，其中a=+1考点：分式的化简求值；分母有理化．专题：计算题．分析：主要考查了分式的化简求值，其关键步骤是分式的化简．要熟悉混合运算的顺序，正确解题．注意最后结果要分母有理化．解答：解：原式=，当a=+1时，原式=．点评：解答本题的关键是对分式进行化简，代值计算要仔细．27．（2006•河北）已知x=2，y=，求的值．考点：分式的化简求值；分母有理化．专题：计算题．分析：首先把括号里因式通分，然后进行约分化简，最后代值计算．解答：解：原式==；当x=2，时，原式==．点评：这是典型的“化简求值”的题目，着眼于对运算法则的掌握和运算能力的直接考查．28．（2005•重庆）先化简，再求值：，其中a=，b=．考点：分式的化简求值；分母有理化．专题：计算题．分析：首先把除法运算转化成乘法运算，能因式分解的先因式分解，进行约分，然后进行减法运算，最后代值计算．解答：解：原式=﹣•=﹣==，当a=，b=时，原式==．点评：本题的关键是正确进行分式的通分、约分，并准确代值计算．29．（2005•中原区）（1）计算（2）已知实数a满足a2+2a﹣8=0，求的值．考点：实数的运算；分式的化简求值；零指数幂；二次根式的性质与化简；分母有理化．专题：计算题．分析：（1）题涉及零指数幂、二次根式化简．在计算时，根据实数的运算法则求得计算结果．（2）根据已知可得（a+1）2=9，把分式化简成含（a+1）2的形式，再整体代入求值．解答：解：（1）=；（2）===，由已知，实数a满足a2+2a﹣8=0，故（a+1）2=9，∴原式=（9分）．点评：（1）题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、二次根式的运算．（2）考查分式化简求值，运用了整体代入的思想．30．（1998•南京）先化简，再求值：，其中．考点：分式的化简求值；分母有理化．专题：计算题．分析：先把括号里式子通分，再把除法转化为乘法，约分化为最简，最后代值计算．解答：解：原式=，当x=时，原式==2+．点评：本题主要考查分式的化简求值这一知识点，把分式化到最简是解答的关键．。
二次根式混合运算(经典)
例4 计算：
( 1 )( 2 + 1 )( 2 - 1 ) ； ( 2 )( 2 - 3 )2 .
动脑筋
如何计算
？ 2 +1 2 -1
2 +1 2 -1
= ((
2 +1)( 2 -1)(
2 +1) 2 +1)
=(
2)2+2 2+1 ( 2)2-1
= 2+2 2+1
从例4的第(1)小题的结 果受到启发，把分子与
当2a b 0时，即2a=b, 原式= a 2a a (1 2) 1 2 2 2 3. a 2a a (1 2) 1 2
1: 先化简，再求值：
（a 1）2 4 （a 1）-2 4
a
a
1 其中a =
，
3
(2)已知 x＋1x＝－3，求 x－1x的值．
(3)已知 10 的整数部分为a，小数部分为b，求a2－b2的值．
6 解：(1) 2－
18－120＝3
2－3
2－1＝2＝9
(3)∵3< 10<4 ∴ 10的整数部分 a＝3，小数部分 b＝ 10－3
∴a2－b2＝32－( 10－3)2＝9－(10－6 10＋9)＝－10＋6 10
3)； 5
( 2 )( 1 + 2 3 )( 3 - 3 )；
( 3 )( 2 + 3 )( 2 - 3 )；
( 4 )( 5 + 3 2 )2 .
答案： 3 答案：5 3 - 3 答案：1 答案：43+30 2
二次根式的加、减运算，需要先把二次根式 化简，然后把被开方数相同的二次根式的系数相 加减，被开方数不变.
15.4 二次根式的混合运算
B． a2 2 a4
C．a 22 a2 4
D. a b a (a≥0，b＞0) b
知1－练
（来自《典中点》）
知1－练
3 【中考·钦州】对于任意的正数m，n，定义运算※为：
m※n＝
m m
n (m≥n)， n (m＜n)，计算(3※2)×(8※12)的结
果为( B )
第十五章 二次根式
15.4 二次根式的混合 运算
1 课堂讲解 2 课时流程
二次根式的混合运算 乘法公式在二次根式中的应用
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
母亲节快到了，为了表示对妈妈 的敬意，格格同学特地做了两张大小 不同的正方形的壁画送给妈妈，其中 一张面积为 800 cm2，另一张面积为 450 cm2，她想，如果把壁画的边包上金色彩带应该会更 漂亮，她手上现有1.2 m 长的金色彩带，请你帮格格算一 算，她的金色彩带够用吗? 如果不够，还需买多长的金 色彩带?
(1) 2 8 10 ;
(2) 24 50 2;
解：(1) 2 8 10 16 20 4 2 5.
还可以：
2 8 10 2 2 2 2 5 4 2 5.
（来自《教材》）
(2) 24 50 2
24 2 50 2 12 25 2 3 5. 还可以：
(3)原式
6 3 2
6 2
3
3 1
3 3
6 3 6 3 3 3 3 6 1 6
22
3
3
2 6.
（来自《点拨》）
(4)原式 6 3 2 1
6
3 2
6 6 3 2 3 2 6.
知1－练
（来自《点拨》）
2 【中考·宁夏】下列计算正确的是( D )
二次根式混合计算
二次根式混合计算二次根式，也叫做二次方根，是指一个数的平方等于给定数的根。
在数学中，二次根式是一个被开方的数，根号下面是一个整数或分数。
二次根式的运算主要包括加法、减法、乘法和除法。
下面我们分别来看一下这四种运算。
1.二次根式的加法和减法：当两个二次根式具有相同的根指数，并且根数相同，可以进行加法和减法运算。
例如，√2+√3=√2+√3(二次根式不能进行化简，所以直接相加)√2+√2=2√2(相同数的根数相加)√2+√8=√2+2√2=3√2(相似的根数相加)2.二次根式的乘法：二次根式的乘法需要使用到公式：(a + b) × (c + d) = ac + ad + bc + bd例如，(√3+√2)×(√3+√2)=(√3)²+√3×√2+√3×√2+(√2)²=3+2√6+2√6+2=5+4√63.二次根式的除法：二次根式的除法需要使用到有理化的方法。
具体步骤如下：Step 1: 计算除数和被除数的积Step 2: 将除数和被除数的积化简为一个二次根式Step 3: 用化简后的积除以除数，得到结果例如，计算(√6+√2)÷√2Step 1: (√6 + √2) ×√2 = 2√3 + 2Step 2: 化简为2√3 + 2Step 3: (2√3 + 2) ÷√2 = (2√3 ÷√2) + (2 ÷√2)=2√2+√2=3√2这就是二次根式的加法、减法、乘法和除法的基本运算方法。
除此之外，二次根式还有很多特殊的性质和运算规律，如指数法则、化简法则、合并根的法则等。
在实际的数学问题中，需要根据具体的题目来运用这些性质和规律进行计算。
(完整版)二次根式混合运算经典
( 4 )( 5 + 3 2 )2 .
答案： 3 答案：5 3 - 3 答案：1 答案：43+30 2
1、计算：
（1）、3 2 1 33
(2)、7 2 1 5
(3)、7 （ 7）2
(4)(7 2 2 6)(2 6 7 2)
(5)、( 7 7 3)2
(6)、( 2 3 6)2 ( 2 3 6)2
(3)已知 10 的整数部分为a，小数部分为b，求a2－b2的值．
6 解：(1) 2－
18－120＝3
2－3
2－1＝－1
(2)(－3)2－ 4＋12－1＝9－2＋2＝9
(3)∵3< 10<4 ∴ 10的整数部分 a＝3，小数部分 b＝ 10－3
∴a2－b2＝32－( 10－3)2＝9－(10－6 10＋9)＝－10＋6 10
例3 计算：
( 2 )( 2 + 3 2 )( 1 - 2 ).
从例3的第(2)小题看到，二次根式的和相乘， 与多项式的乘法相类似.
我们可以利用多项式的乘法公式，进行某些二 次根式的和相乘的运算.
例4 计算：
( 1 )( 2 + 1 )( 2 - 1 ) ； ( 2 )( 2 - 3 )2 .
动脑筋
解：(1)∵x＝2－ 3，y＝2＋ 3 ∴x＋y＝(2－ 3)＋(2＋ 3)＝4，xy＝(2－ 3)×(2＋ 3)＝1 ∴x2＋xy＋y2＝(x＋y)2－xy＝42－1＝15
(7)、(7 54 3 21） 3
(8)、18 ( 3 2)
注意：
1、运算顺序 。 2、运用运算律和乘法公式，简化运算。 3、结果为最简二次根式。
二、巧用“分母有理化”进行二次根式混合运算
二次根式的混合运算法则
二次根式的混合运算法则二次根式是数学中的一个重要概念，也是数学中常见的运算形式。
在二次根式的混合运算中，我们需要遵循一定的法则和步骤，以确保运算结果的准确性。
本文将介绍二次根式的混合运算法则，并通过实例进行说明。
一、二次根式的定义二次根式是指形如√a的数，其中a为非负实数。
在二次根式中，根号内的数称为被开方数，根号外的数称为系数。
二次根式可以进行加、减、乘、除等运算，但需要遵循一定的法则和步骤。
二、二次根式的混合运算法则1. 加法运算当二次根式相加时，要求被开方数相同，系数相加即可。
例如，√2 + √2 = 2√2。
2. 减法运算当二次根式相减时，同样要求被开方数相同，系数相减即可。
例如，√3 - √2 = √3 - √2。
3. 乘法运算当二次根式相乘时，可以将系数相乘，被开方数相乘并合并为一个二次根式。
例如，2√3 * 3√2 = 6√6。
4. 除法运算当二次根式相除时，可以将系数相除，被开方数相除并合并为一个二次根式。
例如，6√6 / 3√2 = 2√3。
5. 混合运算在二次根式的混合运算中，可以按照运算法则依次进行加、减、乘、除等运算。
需要注意的是，乘法和除法运算的优先级高于加法和减法运算。
三、实例分析为了更好地理解二次根式的混合运算法则，我们来看几个实例。
1. 实例一：计算√5 + √3 - √2的值。
根据加法运算法则，√5 + √3 = √5 + √3，再根据减法运算法则，√5 + √3 - √2 = √5 + √3 - √2。
2. 实例二：计算(2√6 - √2) * √3的值。
根据减法运算法则，2√6 - √2 = 2√6 - √2，再根据乘法运算法则，(2√6 - √2) * √3 = 2√18 - √6。
3. 实例三：计算(3√10 + 2√5) / √2的值。
根据加法运算法则，3√10 + 2√5 = 3√10 + 2√5，再根据除法运算法则，(3√10 + 2√5) / √2 = (3√10 + 2√5) / √2。
八年数学下二次根式加减乘除混合运算考点与讲解二次根式加减乘除混合运算考点与讲解
二次根式加减乘除混合运算考点与解析1．计算：．考点：二次根式的乘除法．专题：计算题．分析：按照•=，从左至右依次相乘即可．解答：解：，=2．点评：本题考查二次根式的乘法运算，比较简单，注意在运算时要细心．2．计算：﹣32+×+|﹣3|考点：二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值．分析：分别利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质化简求出即可．解答：解：﹣32+×+|﹣3|=﹣9+×+3﹣=﹣5﹣．点评：此题主要考查了二次根式的混合运算以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质等知识，正确化简各数是解题关键．3．计算：（﹣1）2015+sin30°+（2﹣）（2+）．考点：二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值．分析：运用﹣1的奇次方等于﹣1，30°角的正弦等于，结合平方差公式进行计算，即可解决问题．解答：解：原式=﹣1++4﹣3=．点评：该题主要考查了二次根式的混合运算、特殊角的三角函数值等知识点及其应用问题；牢固掌握特殊角的三角函数值、灵活运用二次根式的混合运算法则是正确进行代数运算的基础和关键．4．计算：．考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：先根据二次根式的乘除法法则得到原式=﹣+2，然后利用二次根式的性质化简后合并即可．解答：解：原式=﹣+2=4﹣+2=4+．点评：本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后进行二次根式的加减运算．5．计算：（1）sin60°﹣|﹣|﹣﹣（）﹣1（2）（1+）÷．考点：二次根式的混合运算；分式的混合运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：（1）根据特殊角的三角函数值、分母有理化和负整数指数幂的意义得到原式=﹣﹣﹣2，然后合并即可；（2）先把括号内合并和除法运算化为乘法运算，然后约分即可．解答：解：（1）原式=﹣﹣﹣2=﹣2；（2）原式=•=x．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数指数幂和分式的混合运算．6．计算：（2015﹣π）0+|﹣2|+÷+（）﹣1．考点：二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．分析：首先根据零指数幂、负整数指数幂的运算方法，二次根式的除法的运算法则，以及绝对值的求法计算，然后根据加法交换律和结合律，求出算式（2015﹣π）0+|﹣2|+÷+（）﹣1的值是多少即可．解答：解：（2015﹣π）0+|﹣2|+÷+（）﹣1．=1+3=（1+2+3）=6+0=6点评：（1）此题主要考查了二次根式的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”．（2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）a0=1（a≠0）；（2）00≠1．（3）此题还考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）a﹣p=（a≠0，p为正整数）；（2）计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算；（3）当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．（4）此题还考查了绝对值的非负性和应用，要熟练掌握．7．化简：（1）（2）（3）．考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：（1）、（2）利用二次根式的性质把二次根式化为最简二次根式；（3）根据平方差公式计算．解答：解：（1）原式=4；（2）原式=；（3）原式=（﹣）（+）=3﹣2=1．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．8．计算：（1）（2）﹣5+6（3）×﹣（4）﹣π（精确到0.01）．考点：二次根式的混合运算．分析：（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（3）根据二次根式的乘法法则运算；（4）把≈1.414，π=3.142代入原式进行近似计算即可．解答：解：（1）原式=2+4﹣=5；（2）原式=4﹣+=3；（3）原式=﹣=20﹣3=17；（4）原式≈0.5+1.414﹣3.142≈﹣1.23．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．9．计算：﹣﹣（）2+|2﹣|．考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：先把各二次根式化为最简二次根式，再根据绝对值的意义去绝对值，然后合并即可．解答：解：原式=2﹣﹣2+2﹣=．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．10．计算：（）﹣1﹣|2﹣1|+．考点：二次根式的混合运算；负整数指数幂．专题：计算题．分析：根据负整数指数幂和分母有理化的意义得到原式3﹣2+1+，然后合并即可．解答：解：原式=3﹣（2﹣1）+=3﹣2+1+=4﹣．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数指数幂．11．计算：+（﹣）+．考点：二次根式的混合运算．分析：先进行二次根式的化简和乘法运算，然后合并．解答：解：原式=+1+3﹣3+=4﹣．点评：本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是掌握二次根式的化简和乘法法则．12．计算：（）﹣2﹣+（﹣6）0﹣．考点：二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：根据零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值得到原式=4﹣4+1﹣，然后进行二次根式的除法运算后合并即可．解答：解：原式=4﹣4+1﹣=1﹣2=﹣1．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值．13．计算：（2﹣）2+﹣（）﹣1．考点：二次根式的混合运算；负整数指数幂．专题：计算题．分析：根据完全平方公式和负整数指数幂的意义得到原式=4﹣4+3﹣3，然后合并即可．解答：解：原式=4﹣4+3﹣3=1﹣．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数指数幂．14．计算（1）（2）．考点：二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．分析：（1）先算负指数幂，0次幂和绝对值，再进一步合并即可；（2）先利用平方差公式和二次根式的性质化简，再进一步合并即可．解答：解：（1）原式=2﹣1+3=4；（2）原式=2﹣3+﹣2=﹣3．点评：此题考查二次根式的混合运算，正确掌握二次根式的性质化简以及乘法计算公式是解决问题的关键．15．（1）计算：4×÷﹣2sin30°﹣（）﹣1（2）化简：÷﹣．考点：二次根式的混合运算；分式的混合运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．分析：（1）分别进行二次根式的乘法运算、除法运算，特殊角的三角函数值，负整数指数幂等运算，然后合并；（2）根据分式的混合运算法则求解．解答：解：（1）原式=10÷﹣2×﹣2=10﹣1﹣2=7；（2）原式=•﹣=﹣=．点评：本题考查了二次根式的混合运算、特殊角的三角函数值、负整数指数幂等知识，掌握运算法则是解答本题的关键．16．计算：（1）+（﹣2013）0﹣（）﹣1+|﹣3|（2）÷﹣×+．考点：二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．专题：计算题．分析：（1）根据零指数幂和负整数指数幂的意义得到原式=3+1﹣2+3，然后进行加减运算；（2）根据二次根式的乘除法则运算．解答：解：（1）原式=3+1﹣2+3=5；（2）原式=﹣+2=4﹣+2=4+．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂和负整数指数幂．17．计算（1）÷+﹣3（2）（+）（﹣）．考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：（1）先进行二次根式的除法运算，再先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）利用平方差公式计算．解答：解：（1）原式=+2﹣3=0；（2）原式==a﹣2b．点评：本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．18．（1）（2）．考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：（1）先进行乘方和开方运算，再进行乘法运算，然后进行减法运算；（2）先去括号，然后合并即可．解答：解：（1）原式=4+4×（﹣）=4﹣3=1；（2）原式=2+2﹣=2+．点评：本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，在进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．19．计算题：（1）+﹣；（2）（1+）（﹣）﹣（2﹣1）2．考点：二次根式的混合运算．分析：（1）先进行二次根式的化简，然后合并；（2）先进行二次根式的乘法运算，然后合并．解答：解：（1）原式=3+﹣=4﹣；（2）原式=﹣+﹣3﹣13+4=4﹣2﹣13．点评：本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是掌握二次根式的乘法法则以及二次根式的化简．20．计算（1）+（3+）（2）（﹣）×2（3）先化简，再求值．（a+）﹣（﹣b），其中a=2，b=3．考点：二次根式的混合运算；二次根式的化简求值．专题：计算题．分析：（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）根据二次根式的乘法法则运算；（3）先把各二次根式化为最简二次根式得到原式=+2﹣+，然后合并后把a和b的代入即可．解答：解：（1）原式=3+3+2=8；（2）原式=2﹣2=4﹣；（3）原式=+2﹣+=+3当a=2，b=3时，原式=+3．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了二次根式的化简求值．。
二次根式的混合运算
平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2; 完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2; (a-b)2=a2-2ab+b2. 问题2 整式的乘法公式对于二次根式的运算也适
用吗?
前面我们已 经知道二次 根式运算类 比整式运算， 所以适用哟
整式的乘法 公式就是多 项式×多项
式
典例精析
例3 计算： （1） ( 5 3)( 5 3) ; (2) ( 3 2)2.
解：（1） ( 5 3)( 5 3) （ 5）2 （ 3）2 53 2.
(2) ( 3 2)2 （ 3）2 2 3 2+22 3 4 3+4 74 3.
(3) 3 2 48 18 4 3 ; (4) a3 a2b a b .
a ab
a b
解：(3) 3 2 48 18 4 3 3 2 4 3 3 2 4 3
2
5 1 4.
课堂小结
二次根式 混合运算
乘法公式
(a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 (x+a)(x+b)=x2 +(a+b)x+ab
化简已知条件和所求代数式 化简求值
分母有理化
解:∵ x 3 2, y 3 2 ， ∴ x y 3 2 3 2 2 3,
xy 3 2 3 2 3 2 1,
∴x3y+xy3=xy(x2+y2)=xy[(x+y)2-2xy]
1
2
3 2 2 1 10.
归纳 用整体代入法求代数式值的方法：求关于x,y的
a 3, b 10 3 . a2 b2 32 ( 10 3)2
5.3二次根式的混合运算
答案： +12 5 49 答案： 7 +1 答案： 2
( 6 )( 9 + 7 )( 9 - 7 ) .
6. 计算下列各式,根据它们的运算结果与表盘的相 应刻度位置进行连线.
9 16
( -1 )2
45 5
( 10 +1 )( 10 -1 )
72
2 3 6
3. 计算：
( 1 ) 8 2( 2 ) ； ( 2 ) ( 2 5 )( 3 5 ) ；
( 3 ) 1 1 ； 2 8
答案： 2 答案： 4 5
3 答案： 2 2
4. 计算：
( 1 )( 5 - 2 )2 ；
( 2 )( 5 + 1)( 5 -1 );
( 3 )( 3 6 2 3 ) 3 ;
2. 计算：
( 1 )( 5 - 2 )2 ；
答案： -2 10 7
5 ( 2 )( 7 + 2 )( 7 - 2 ) . 答案：
3. 计算：
( 1 ) 6 +2 3 ; 3
答案： 2 +2
( 2 )( 8 4 ) 2 .
答案： - 2 2
习题5.3
1. 计算：
A 组
( 1 ) 3 12+ 27 ；
答案： 4n 2) 2 2 (
中考 试题
例1
计算：
2 2 2
答案： 2 + 1
例2
化简二次根式：
1 27 12 2 3
答案： 2
中考 试题
计算： 48 3 1 12 24 2
答案： + 6 4
二次根式混合运算法则
二次根式混合运算法则
二次根式混合运算法则是指在计算含有二次根式的算式时，按照一定的顺序进行运算。
这个规则是由平方、开平方、乘法、除法、加法、减法等运算法则组成的。
我们需要知道二次根式的基本性质。
二次根式是指一个数的平方根再开平方根。
例如，√(9+4√5)就是一个二次根式。
我们可以将其化简为a+b√5的形式，其中a和b是有理数。
接下来，我们来看看二次根式混合运算法则的具体步骤。
第一步：先计算二次根式内的运算
如果二次根式内有加减乘除的运算，先进行内部运算。
例如，计算√(3+2√2)+√(3-2√2)。
我们可以将两个二次根式内的加法运算先进行计算，得到：
√(3+2√2)+√(3-2√2)=√3+√2+√3-√2=2√3
第二步：计算二次根式之间的运算
如果算式中含有多个二次根式，先进行二次根式之间的加减运算。
例如，计算√5+√2-√10。
我们可以先将√5和√2进行加法运算，再将结果与√10进行减法运算，得到：
√5+√2-√10=√5+√2+(-√10)=√5+√2-√10
第三步：计算非二次根式的运算
如果算式中还含有非二次根式的运算，最后进行加减运算。
例如，计算(√3+√2)×(√3-√2)。
我们可以先将括号内的二次根式之间的减法运算进行计算，得到：
(√3+√2)×(√3-√2)=√3×√3-√2×√3+√2×√3-√2×√2=3-2=1
我们需要注意的是，在计算含有二次根式的算式时，需要特别注意运算的顺序。
只有按照一定的顺序进行运算，才能得到正确的结果。
二次根式的混合运算
二次根式的混合运算教学建议学问结构重难点分析本节课的重点是二次根式的加、减、乘、除、乘方、开方的混合运算及分母有理化。
它是以二次根式的概念和性质为基础，同时又紧密地联系着整式、分式的运算，也可以说它是运算问题在学校阶段一次总结性，提高性综合学习；二次根式的运算和有理化的方法与技巧，能够进一步开拓同学的解题思路，提高同学的解题力量。
本节课的难点是把分母中含有两个二次根式的式子进行分母有理化。
分母有理化，实际上二次根式的除法与混合运算的综合运用。
分母有理化的过程，一般地，先确定分母的有理化因式，然后再依据分式的基本性质把分子、分母都乘以这个有理化因式，就可使分母有理化。
所以对初学者来说，这一过程简单消失找错有理化因式和计算出错的问题。
教法建议1.在学问的引入上，可实行复习引入方式，比如复习有理数的混合运算或整式的运算。
2.在二次根式的加减、乘法混合运算中，要留意由浅入深的层次支配，从单项式与多项式相乘、多项式与多项式到乘法公式的应用，渐渐从数过渡到带有字母的式。
3.在有理化因式教学中，要多出几组题目从不同角度要求同学辨别，并准时总结。
同学特点：试验班的A层同学(数学实施分层教学),主动学习乐观性高，基础扎实，思维活跃, ,并具有肯定的独立分析问题,探究问题,归纳概括问题的力量,有较好的思索、质疑的习惯。
教材特点：本节课是在学习了二次根式的三个重要概念（最简二次根式、同类二次根式、分母有理化）和二次根式的有关运算（二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的加减法）基础上，将加、减、乘、除、乘方、开方运算综合在一起的混合运算的学习。
鉴于同学的特点及教材的特点，本节课主要采纳“互动式”的课堂教学模式及“谈话式”的教学方法，以此实现生生互动、师生互动、同学与教材之间的互动。
详细说明如下：（一）在师生互动方面，老师注意问题设计，注意引导、点拨及提高性总结。
使同学学中有思、思中有获。
如本节课开头，出示书中例题1：让同学先进行思索，解答。