《平面向量的运算》平面向量及其应用PPT课件(第3课时向量的数乘运算)
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6.2.3 向量的数乘运算(课件)高一数学(人教A版2019必修第二册)
（1） a 2e,b 2e; （2） a e1 e2,b 2e1 2e2; （3） a e1 e2,b e1 2e2 。
（1）共线 （2）共线 （3） 不共线
向量的数乘运算
例练结合
例1：计算 (1) (3) 4a; 解：（1）原式= (-3 4) a 12a;
(2) 3(a b) 2(a b) a;
（2）原式= 3a 3b 2a 2b a 5b;
(3) (2a 3b c) (3a 2b c).
（3）原式= 2a 3b c 3a 2b c a 5b 2c.
向量的数乘运算
方法小结
3:6
向量的数乘运算
例练结合
例2：□ABCD的两条对角线相交于点M，且 AB a, AD b, 试用 a, b
解析：因为A→B∥C→D，|A→B|＝2|C→D|，所以A→B＝2D→C，D→C＝1A→B. 2
(1)A→C＝A→D＋D→C＝e2＋12e1.
(2)M→N＝M→D＋D→A＋A→N＝－1D→C－A→D＋1A→B＝－1e1－e2＋1e1＝1e1－e2.
2
2
4
24
向量的数乘运算
例练结合
在本例中，若条件改为B→C＝e1，A→D＝e2，试用 e1，e2 表示向量M→N.
B．－1A→B－1A→D 22
C．－1A→B＋1A→D D．1A→B－1A→D
22
22
4.已知 e1，e2 是两个不共线的向量，a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2，若 a 与 b 是共线向量，则实数
k＝________.
1.B 2.C 3.D 4.－2
向量的数乘运算
课堂小结
思考：
(1)通过这节课，你学到了什么知识？ (2)在解决问题时，用到了哪些数学思想？
《平面向量的运算》平面向量及其应用 PPT教学课件 (向量的数量积)
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向量 a 在向量 b 上的投影向量的求法 将已知量代入 a 在 b 方向上的投影向量公式|a|cos θ e(e 是与 b 方向相同的单位向量， 且 e＝|bb|)中计算即可．
必修第二册·人教数学A版
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2．已知|a|＝4，|b|＝6，a 与 b 的夹角为 60°，则向量 a 在向量 b 上的投影向量是________． 解析：向量 a 在向量 b 上的投影向量是|a|cos 60°|bb|＝4×12×16b＝13b. 答案：13b
我们称上述变换为向量 a 向向量 b 投影 ，A→1B1叫做向量 a 在向量 b 上的 投影向量 ．
必修第二册·人教数学A版
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(2)如图，在平面内任取一点 O，作O→M＝a，O→N＝b，设 与 b 方向相同的单位向量为 e，a 与 b 的夹角为 θ，过点 M 作直线 ON 的垂线，垂足为 M1，则O→M1＝ |a|ecos θ . 特别地，当 θ＝0 时，O→M1＝ |a|e . 当 θ＝π 时，O→M1＝ －|a|e . 当 θ＝π2时，O→M1＝0.
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⑥cos θ＝|aa|·|bb|.
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知识点五 平面向量数量积的性质
预习教材，思考问题
根据实数乘法的运算律，类比得出向量数量积的运算律，如下表，这些结果正确吗？
运算律 实数乘法
平面向量数量积
交换律
ab＝ba
a·b＝b·a
结合律
(ab)c＝a(bc)
(a·b)·c＝a·(b·c) (λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)
解析：(2a＋3b)·(3a－2b) ＝6a2－4a·b＋9b·a－6b2 ＝6|a|2＋5a·b－6|b|2 ＝6×42＋5×4×7·cos 120°－6×72 ＝－268.
新教材高中数学第6章平面向量及其线性运算：数乘向量：向量的线性运算pptx课件新人教B版必修第二册
变式训练1已知a,b是两个非零向量,判断下列各说法的正确性,并说明理由.
(1)2a的方向与a的方向相同,且2a的模是a的模的2倍;
2
(2)-2a的方向与5a的方向相反,且-2a的模是5a的模的 5 ;
(3)-2a与2a是一对相反向量;
(4)a-b与-(b-a)是一对相反向量;
(5)若a,b不共线,则0a与b不共线.
解析 3(x+a)+2(x-2a)-4(x-a+b)=0,即x+3a-4b=0,所以x=4b-3a.
重难探究·能力素养全提升
探究点一
数乘向量的概念
【例1】 (1)已知非零向量a,b满足a=4b,则( C )
A.|a|=|b|
B.4|a|=|b|
C.a与b的方向相同
D.a与b的方向相反
解析 ∵a=4b,4>0,
知识点3 向量的线性运算
向量的 加法、减法、数乘向量
以及它们的混合运算,统称为向量的线
性运算.
名师点睛
对向量的线性运算的理解
(1)已知某些向量,要化简与它们有关的向量式,其解题方法可类比初中所
学的“求代数的值”,即先化简向量式,代入,再化简,求值,这样能简化解题
过程.
(2)解向量的线性方程组的方法,同解代数方程组一样,进行消元,其消元方
m=
3
2
a+ b
11 11
,n=
1
3
a- b
11 11
.
解析∵3m+2n=a,①
m-3n=b,②
3×②得3m-9n=3b,③
①-③得
1
3
11n=a-3b,∴n= a- b.④
11 11
必修第二册6.2.3向量的数乘运算课件(人教版)
问题1：在上面的动画中，小马所走路
线如何用向量a表示？
++
问题2：该向量的长度为多少？与
向量 的模长有何关系？
Ԧ
| + + | = = ||
问题3：该向量方向与向量 Ԧ 有何关系？
相同
新知生成
O
A
B
C
= + + = Ԧ + Ԧ + .
2
3
，=
b=2 Ԧ
1
3
1
b=− Ԧ
2
7
b=− Ԧ
4
（2）=8 ，=-14
（4）=−
3
，
4
=−
2
3
8
b= Ԧ
9
实数与向量的积与原向量有何位置关系？
向量共线定理：
向量 （ ≠ 0 ）与 共线的充要条件：存在唯一一个实数 λ ，
使 = .
四、向量共线定理
【考点一】判定向量共线与三点共线
= λ(或者 = λ)即可。
四、向量共线定理
例4：如图，已知任意两个非零向量 ，，试做
Ԧ
= Ԧ + ，
= Ԧ + 2， = Ԧ + 3.猜想A, B, C三点之间的位置关系，
并证明你的猜想。
证明：由题意可知
= − = (Ԧ + 2) − (Ԧ + ) =
= − = (Ԧ + 3) − (Ԧ + ) = 2
所以， = 2，且有公共点A
因此A，B，C三点共线。
C
B
A
线如何用向量a表示？
++
问题2：该向量的长度为多少？与
向量 的模长有何关系？
Ԧ
| + + | = = ||
问题3：该向量方向与向量 Ԧ 有何关系？
相同
新知生成
O
A
B
C
= + + = Ԧ + Ԧ + .
2
3
，=
b=2 Ԧ
1
3
1
b=− Ԧ
2
7
b=− Ԧ
4
（2）=8 ，=-14
（4）=−
3
，
4
=−
2
3
8
b= Ԧ
9
实数与向量的积与原向量有何位置关系？
向量共线定理：
向量 （ ≠ 0 ）与 共线的充要条件：存在唯一一个实数 λ ，
使 = .
四、向量共线定理
【考点一】判定向量共线与三点共线
= λ(或者 = λ)即可。
四、向量共线定理
例4：如图，已知任意两个非零向量 ，，试做
Ԧ
= Ԧ + ，
= Ԧ + 2， = Ԧ + 3.猜想A, B, C三点之间的位置关系，
并证明你的猜想。
证明：由题意可知
= − = (Ԧ + 2) − (Ԧ + ) =
= − = (Ԧ + 3) − (Ԧ + ) = 2
所以， = 2，且有公共点A
因此A，B，C三点共线。
C
B
A
6.2平面向量的运算课件共40张PPT
故选 B.
→
→
→
→
即时训练 3-2:在四边形 ABCD 中,=,若||=||,则四边形 ABCD 的
形状为
.
→
→
解析:由=,可得四边形 ABCD 为平行四边形,
→
→
由||=||,可得邻边相等,此平行四边形是菱形,
所以四边形 ABCD 为菱形.
答案:菱形
→
→
→
→
[备用例 3] 若 O 是△ABC 所在平面内一点,且满足|-|=|-+
探究点二
向量加法运算律的应用
[例 2] 化简:
→
→
(1)+;
→
→
→
→
→
解:(1)+=+=.
[例 2] 化简:
→
→
→
(2)++;
→
→
→
→
→
→
解:(2)++=++
→
→
→
=(+)+
→→Biblioteka =+=0.
[例 2] 化简:
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
解:(2)原式=--+=(-)+(-)=+=0.
→
→
→
[备用例 2] 化简:--.
→
→
→
→
→
→
解:法一 --=-=.
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
即时训练 3-2:在四边形 ABCD 中,=,若||=||,则四边形 ABCD 的
形状为
.
→
→
解析:由=,可得四边形 ABCD 为平行四边形,
→
→
由||=||,可得邻边相等,此平行四边形是菱形,
所以四边形 ABCD 为菱形.
答案:菱形
→
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→
[备用例 3] 若 O 是△ABC 所在平面内一点,且满足|-|=|-+
探究点二
向量加法运算律的应用
[例 2] 化简:
→
→
(1)+;
→
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→
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→
解:(1)+=+=.
[例 2] 化简:
→
→
→
(2)++;
→
→
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解:(2)++=++
→
→
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=(+)+
→→Biblioteka =+=0.
[例 2] 化简:
→
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→
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→
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→
→
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解:(2)原式=--+=(-)+(-)=+=0.
→
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[备用例 2] 化简:--.
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解:法一 --=-=.
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→
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→
平面向量的运算ppt
包权
人书友圈7.三端同步
向量加法运算及其几何意义
探究:橡皮条在力F1与F2的作用下,从E点伸长到了O点. 同时橡皮条在力F的作用下也从E点伸长到了O点.
E
O
E
O
F
F1+F2=F
力F对橡皮条产生的效果，与力F1和F2共同作用 产生的效果相同，物理学中把力F叫做F1和F2的合力.
向量加法运算及其几何意义
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《平面向量的运算》平面向量及其应用PPT(第3课时向量的数乘运算)
化学课件：/kejian/huaxue/ 生物课件：/kejian/shengwu/
(2)(λ＋μ)a＝__λ_a_＋__μ_a_______． 地理课件：/kejian/dili/
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PPT教程： /powerpoint/
语文课件：/kejian/y uwen/ 数学课件：/kejian/shuxue/
6.2 平面向量的运算 6.2.3 向量的数乘运算
第六章 平面向量及其应用
考点 向量数乘运算 的定义及运算律
向量共线定理
学习目标
核心素养
理解向量数乘的定义及 几何意义，掌握向量数乘 的运算律
数学抽象、 直观想象
掌握向量共线定理，会判 断或证明两个向量共线
逻辑推理
第六章 平面向量及其应用
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科学课件：/kejian/kexu e/ 物理课件：/kejian/wuli/
《向量数乘运算》课件
《向量数乘运算》ppt课件
• 向量数乘运算的基本概念 • 向量数乘运算的规则与性质 • 向量数乘运算的应用场景 • 向量数乘运算的几何解释 • 向量数乘运算的注意事项与常见错误
01
向量数乘运算的基本概念
向量的定义与表示
总结词
理解向量的定义和表示方法是学习向量数乘运算的基础。
详细描述
向量是具有大小和方向的量，通常用有向线段表示，起点为 原点。在二维平面上，向量可以用有序对（x, y）表示，在三 维空间中，向量可以用有序三元组（x, y, z）表示。
数乘运算的定义
总结词
理解数乘运算的定义是掌握向量数乘 运算的关键。
详细描述
数乘运算是指将一个标量与一个向量 相乘，结果仍为一个向量。标量可以 是实数或复数，与向量相乘时，标量 可以乘以向量的每一个分量。
向量数乘运算的意义
总结词
了解向量数乘运算的意义有助于理解其在物理和工程领域的应用。
详细描述
向量数乘运算在物理学和工程学中有着广泛的应用，如速度和加速度的计算、 力的合成与分解、交流电的相量表示等。通过向量数乘运算，可以方便地描述 和解决物理问题，简化计算过程。
分类与回归分析
在分类与回归分析中，向量数乘运算用于训练模型和预测结果。通过向量数乘运算，可以对数据进行特 征提取和变换，进而训练分类器或回归模型。同时，向量数乘运算也用于预测新数据的分类或回归结果 。
04
向量数乘运算的几何解释
向量的模与方向
总结词
描述向量的模与方向的概念。
详细描述
向量的模表示向量的大小，方向表示向量的指向。通过几何图形可以直观地表示 向量，其中箭头长度代表向量的模，箭头指向代表向量的方向。
详细描述
在进行向量数乘运算时，如果数乘的系数过 大或过小，可能会导致结果溢出或下溢。为 了避免这种情况，应选择合适的数据类型和 算法，或者采用适当的缩放因子来调整数乘 的系数，以确保结果的精度和准确性。同时 ，在编写代码时，可以使用异常处理机制来
• 向量数乘运算的基本概念 • 向量数乘运算的规则与性质 • 向量数乘运算的应用场景 • 向量数乘运算的几何解释 • 向量数乘运算的注意事项与常见错误
01
向量数乘运算的基本概念
向量的定义与表示
总结词
理解向量的定义和表示方法是学习向量数乘运算的基础。
详细描述
向量是具有大小和方向的量，通常用有向线段表示，起点为 原点。在二维平面上，向量可以用有序对（x, y）表示，在三 维空间中，向量可以用有序三元组（x, y, z）表示。
数乘运算的定义
总结词
理解数乘运算的定义是掌握向量数乘 运算的关键。
详细描述
数乘运算是指将一个标量与一个向量 相乘，结果仍为一个向量。标量可以 是实数或复数，与向量相乘时，标量 可以乘以向量的每一个分量。
向量数乘运算的意义
总结词
了解向量数乘运算的意义有助于理解其在物理和工程领域的应用。
详细描述
向量数乘运算在物理学和工程学中有着广泛的应用，如速度和加速度的计算、 力的合成与分解、交流电的相量表示等。通过向量数乘运算，可以方便地描述 和解决物理问题，简化计算过程。
分类与回归分析
在分类与回归分析中，向量数乘运算用于训练模型和预测结果。通过向量数乘运算，可以对数据进行特 征提取和变换，进而训练分类器或回归模型。同时，向量数乘运算也用于预测新数据的分类或回归结果 。
04
向量数乘运算的几何解释
向量的模与方向
总结词
描述向量的模与方向的概念。
详细描述
向量的模表示向量的大小，方向表示向量的指向。通过几何图形可以直观地表示 向量，其中箭头长度代表向量的模，箭头指向代表向量的方向。
详细描述
在进行向量数乘运算时，如果数乘的系数过 大或过小，可能会导致结果溢出或下溢。为 了避免这种情况，应选择合适的数据类型和 算法，或者采用适当的缩放因子来调整数乘 的系数，以确保结果的精度和准确性。同时 ，在编写代码时，可以使用异常处理机制来