平面向量数乘运算及其几何意义PPT课件
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新教材高中数学第6章平面向量及其线性运算：数乘向量：向量的线性运算pptx课件新人教B版必修第二册
变式训练1已知a,b是两个非零向量,判断下列各说法的正确性,并说明理由.
(1)2a的方向与a的方向相同,且2a的模是a的模的2倍;
2
(2)-2a的方向与5a的方向相反,且-2a的模是5a的模的 5 ;
(3)-2a与2a是一对相反向量;
(4)a-b与-(b-a)是一对相反向量;
(5)若a,b不共线,则0a与b不共线.
解析 3(x+a)+2(x-2a)-4(x-a+b)=0,即x+3a-4b=0,所以x=4b-3a.
重难探究·能力素养全提升
探究点一
数乘向量的概念
【例1】 (1)已知非零向量a,b满足a=4b,则( C )
A.|a|=|b|
B.4|a|=|b|
C.a与b的方向相同
D.a与b的方向相反
解析 ∵a=4b,4>0,
知识点3 向量的线性运算
向量的 加法、减法、数乘向量
以及它们的混合运算,统称为向量的线
性运算.
名师点睛
对向量的线性运算的理解
(1)已知某些向量,要化简与它们有关的向量式,其解题方法可类比初中所
学的“求代数的值”,即先化简向量式,代入,再化简,求值,这样能简化解题
过程.
(2)解向量的线性方程组的方法,同解代数方程组一样,进行消元,其消元方
m=
3
2
a+ b
11 11
,n=
1
3
a- b
11 11
.
解析∵3m+2n=a,①
m-3n=b,②
3×②得3m-9n=3b,③
①-③得
1
3
11n=a-3b,∴n= a- b.④
11 11
人教版第2章 3 向量数乘运算及其几何意义-2020-2021学年高中数学(共57张PPT)教育课件
向量共线定理可知，必定存在实数 λ 使A→P＝λA→B，
提 素
知
养
即O→P－O→A＝λ(O→B－O→A)，
课
合
时
作 探
所以O→P＝(1－λ)O→A＋λO→B，
分 层
究
作
释 疑
故 x＝1－λ，y＝λ，即 x＋y＝1.
业
难
返 首 页
29
课
自
堂
主 预
1．本例(1)中把条件改为“A→B＝e1＋2e2，B→C＝－5e1＋6e2，C→D＝
1
课
自
堂
主
小
预 习 探
第二章 平面向量
结 提
新
素
知
养
2.2 平面向量的线性运算
课
合
时
作 探
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
分 层
究
作
释
业
疑
难
返 首 页
2
自
学习目标
课 堂
主
小
预 习
1.了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义．(重点)
结 提
探
新 知
2.理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的数乘运算．(重点)
素
知
养
A．b＝2a
B．b＝－2a
课
合
作
C．a＝2b
D．a＝－2b
时 分
探
层
究
作
释
A [因 a，b 方向相同，故 b＝2a.]
业
疑
难
返 首 页
11
课
自 主
2．点 C 是线段 AB 靠近点 B 的三等分点，下列正确的是( ) 堂 小
2019秋高中数学第二章平面向量2.2.3向量数乘运算及其几何意义课件新人教A版必修4
②中 a 与 b 不存在实数 λ，使 a＝λb，a 与 b 不共线．
答案：C
3．设四边形 ABCD 中，有D→C＝12A→B且|A→D|＝|B→C|，
则这个四边形是( )
A．平行四边形
B．矩形
C．等腰梯形
D．菱形
解析：因为D→C＝12A→B，
所以 AB∥DC 且 AB≠DC，
所以四边形 ABCD 是梯形．
又|A→D|＝|B→C|，
所以四边形 ABCD 是等腰梯形． 答案：C
4. 点 C 在线段 AB 上，且ACCB＝32，则A→C＝______A→B， B→C＝________A→B.
解析：因为 C 在线段 AB 上，且ACCB＝32， 所以A→C与A→B方向相同，B→C与A→B方向相反， 且AACB＝35，BACB＝25， 所以A→C＝35A→B，B→C＝－25A→B. 答案：35 －25
[迁移探究] (变换条件)在典例 2 中，若将非零不共
线向量 e1，e2 改为共线向量 e1，e2，在(1)题中其他条件不 变，试判断 A、B、D 三点是否共线．
解：若 e1、e2 是共线向量，则存在一个实数 λ，使得
e1＝λ e2(e2≠0)．
所以A→B＝e1＋e2＝(λ＋1)e2.
→ BD
＝
→ BC
＝0a＋0b＝0＋0＝0.
类型 2 向量共线定理的应用(互动探究)
[典例 2] 已知非零向量 e1、e2 不共线．
(1)如果A→B＝e1＋e2，B→C＝2e1＋8e2，C→D＝3(e1－e2)， 求证：A、B、D 三点共线；
(2)欲使 ke1＋e2 和 e1＋ke2 共线，试确定实数 k 的值． (1)证明：因为A→B＝e1＋e2，
关于平面向量的数乘及其几何意义课件
E C
解： AEADDE
3AB3BC
A B
D 变式二：求证BC：//DE
3(ABBC) 3 AC ， AC与AE共线
DE3BC
BC与DE共线且BC与DE不在同一直线 上BC//DE
定理的应用:
(1)有关向量共线问题:
(2)证明三点共线的问题:
A B B(B C C 0 ) A 、 B 、 C 三点
由图 P知 N P， Q QM MN (a)(a)(a)， 记 为 ：3a
即PN3a.显然3a的方向a与 的方向相|反 3a， |3|a|.
问题：通过上述的具体实例总结出更具一般性
的向量数乘的定义 定义：
一 般 地 ， 实 数 与 向 量 a 的 积 是 一 个 向 量 ， 记 作 a ，
它 的 长 度 与 方 向 规 定 如 下 ：
(3)原式 2a3bc3a2bc
a5b2c.
3、把下列各小量 题 b表中 示的 为向 实数a的 与积
(1)a3e,b6e;
(2)a8e,b14e; e a 8
(3)a2e,b1e; e 3 a
33
2
(4)a3e,b2e;
4
3
e 4a 3
b 2a b7a
4 b1a
2 b 8a
9
思考
a 与 a 有 何(关 a 0 )系 ？
• (2)几何角度
• 对于向量的长度而言，
• ①当|λ|＞1时，有|λa|＞|a|，这意味着表示向量a的有向线段在 原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上伸长到|a|的|λ|倍；
• ②当0＜|λ|＜1时，有|λa|＜|a|，这意味着表示向量a的有向线 段在原方向(0＜λ＜1)或反方向(－1＜λ＜0)上缩短到|a|的|λ| 倍．
高中数学第二章平面向量2.2平面向量的线性运算2.2.3向量数乘运算及其几何意义课件新人教A版必修
一级达标重点名校中学课件
2．本例(1)中，若点F为边AB的中点，设a＝D→E，b＝D→F，用a，b表示D→B. [解] 由题意ab＝＝A12→A→BB－－12AA→→DD，， 解得 AA→→BD＝＝4323aa－－2343bb，， 所以D→B＝A→B－A→D＝23a＋23b.
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A，B，D三点共线．
(2)先用共线向量定理引入参数λ得
→ AP
＝λ
→ AB
，再用向量减法的几何意义向
O→P＝xO→A＋yO→B变形，最后对比求x＋y.
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(1)A，B，D
[(1)∵
→ AB
＝e1＋2e2，
B→D＝
B→C＋
→ CD
＝－5e1＋6e2＋7e1－2e2＝
2(e1＋2e2)＝2A→B.
A [对于①，b＝－a，有a∥b； 对于②，b＝－2a，有a∥b； 对于③，a＝4b，有a∥b； 对于④，a与b不共线．]
一级达标重点名校中学课件
4．若|a|＝5，b与a方向相反，且|b|＝7，则a＝________b. 【导学号：84352202】
－57 [由题意知a＝－57b.]
一级达标重点名校中学课件
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2．点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是( )
A.A→B＝3B→C
B.A→C＝2B→C
C.A→C＝12B→C
D.A→C＝2C→B
D [由题意可知：A→B＝－3B→C；A→C＝－2B→C＝2C→B.故只有D正确．]
一级达标重点名校中学课件
3．如图2-2-27，在平行四边形ABCD中，对角线AC 与BD交于点O，A→B＋A→D＝λA→O，则λFra bibliotek________.
向量的数乘运算+课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
2
2
3
4
例3 在△ABC中.
(1)若 D 是 BC 边的中点,试用, 表示;
(2)若 E 是 BC 边上一点,且 =
1
,试用, 表示.
4
(2)如图,因为 = + ,
而
1
= 4
所以
1
1
= 5 = 5 ( − ),
1
4
1
= + 5 ( − )=5 + 5 .
(1 ± 2) = 1 ± ��．
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，线性运算的
结果仍为向量
(1)根据定义,求作向量()和() (为非零向量),并进行比较.
(2)已知向量求作向量( + )和 + ，并进行比较.
a
（
3 2a）
6a
a
结合律
向量的数乘
定义：一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算
叫做向量的数乘，记作．
（1）长度： || = || · ||
（2）方向：当 > 0时，的方向与 方向相同；
当 < 0时，的方向与方向相反；
特别地，当 = 0时， = ．当 = −1时， = −
OP xOA yOB且x y 1.
归纳提升
证明或判断三点共线的方法：
1．证明或判断三点共线的方法
(1)一般来说，要判定 A，B，C 三点是否共线，只需看是否存在
→
→
→
→
实数 λ，使得AB＝λAC(或BC＝λAB等)即可．
(2)利用结论：若 A，B，C 三点共线，O 为直线外一点⇔存在实
③和向量 a 方向相同的单位向量是什么？
2
3
4
例3 在△ABC中.
(1)若 D 是 BC 边的中点,试用, 表示;
(2)若 E 是 BC 边上一点,且 =
1
,试用, 表示.
4
(2)如图,因为 = + ,
而
1
= 4
所以
1
1
= 5 = 5 ( − ),
1
4
1
= + 5 ( − )=5 + 5 .
(1 ± 2) = 1 ± ��．
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，线性运算的
结果仍为向量
(1)根据定义,求作向量()和() (为非零向量),并进行比较.
(2)已知向量求作向量( + )和 + ，并进行比较.
a
（
3 2a）
6a
a
结合律
向量的数乘
定义：一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算
叫做向量的数乘，记作．
（1）长度： || = || · ||
（2）方向：当 > 0时，的方向与 方向相同；
当 < 0时，的方向与方向相反；
特别地，当 = 0时， = ．当 = −1时， = −
OP xOA yOB且x y 1.
归纳提升
证明或判断三点共线的方法：
1．证明或判断三点共线的方法
(1)一般来说，要判定 A，B，C 三点是否共线，只需看是否存在
→
→
→
→
实数 λ，使得AB＝λAC(或BC＝λAB等)即可．
(2)利用结论：若 A，B，C 三点共线，O 为直线外一点⇔存在实
③和向量 a 方向相同的单位向量是什么？
平面向量的加法减法与数乘运算课件
数乘的运算性 质
结合律
$\lambda(\mu\mathbf{a})=(\lambda\mu)\mathbf{a}$。
分配律
$\lambda(\mathbf{a}+\mathbf{b})=\lambda\mathbf{a}+\lambd a\mathbf{b}$。
反交换律
$\lambda\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\lambda(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})$。
2023
PART 04
平面向量的加法减法与数 乘运算的应用
REPORTING
在物理学中的应用
力的合成
电磁学中的向量表示
在物理中，向量加法可以应用于力的 合成，例如两个力的向量和可以表示 为它们的加法运算。
在电磁学中，向量加法可以用于表示 电磁场中的向量，例如电场强度和磁 场强度。
速度和加速度
速度和加速度是物理学中重要的向量 概念，通过向量加法可以计算出物体 在不同方向上的速度和加速度。
详细描述
2. 这类题目需要学生灵活运用所学知识，进行深入思考 和细致计算。
2023
REPORTING
THANKS
感谢观看
求解向量与轴的夹角
通过数乘运算可以求得向量与 轴之间的夹角。
投影问题
通过数乘运算可以求得一个向 量在另一个向量上的投影。来自 2023PART 03
平面向量的加法减法与数 乘运算的几何意 义
REPORTING
平面向量的几何意 义
01
02
03
04
向量表示为有向线段
向量的起点为线段的起点，终 点为线段的终点
向量的长度和方向
向量的数乘运算课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
B
a
b
b
O
BA a b
a
A
新知探究
我们知道数是可以做乘法的，平面向量既有大小，又有方向，平面
向量可以做乘法吗？它和实数可以做乘法吗？
探究 已知非零向量a，作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)，它们
的长度和方向是怎样的？
a
O
a
A
a
a
B
C
OA AB AC
a a a 3a
注：①向量数乘结果仍然是向量，其长度、方向都与λ以及 a有关；
+ − a，
a 无意义；
②实数和向量可以相乘，但不能相加减，
习题演练
5
2
AC 5
，则 AC _____
2. 点C在线段AB上，且
AB
,
BC
=
______
AB.
7
7
CB 2
A
C
B
新知探究
探究:实数与向量积的运算律
3(2a )
∴AC 2 AB .
2b
A
∴AC与 AB共线.
因此,A,B,C 三点共线.
推论 : A, B , C 三点共线 存在 R, 使 AB AC
b
a
O
归纳小结
证明或判断A、B、C三点共线的方法：
AC BC
有公共点B
C
A、B、C三点共线
B
A
新知探究
追问：已知不共线向量a，b，作向量a+λ2b，你能发现向量
a
2a
= 6a
3(2a )
a
b
b
O
BA a b
a
A
新知探究
我们知道数是可以做乘法的，平面向量既有大小，又有方向，平面
向量可以做乘法吗？它和实数可以做乘法吗？
探究 已知非零向量a，作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)，它们
的长度和方向是怎样的？
a
O
a
A
a
a
B
C
OA AB AC
a a a 3a
注：①向量数乘结果仍然是向量，其长度、方向都与λ以及 a有关；
+ − a，
a 无意义；
②实数和向量可以相乘，但不能相加减，
习题演练
5
2
AC 5
，则 AC _____
2. 点C在线段AB上，且
AB
,
BC
=
______
AB.
7
7
CB 2
A
C
B
新知探究
探究:实数与向量积的运算律
3(2a )
∴AC 2 AB .
2b
A
∴AC与 AB共线.
因此,A,B,C 三点共线.
推论 : A, B , C 三点共线 存在 R, 使 AB AC
b
a
O
归纳小结
证明或判断A、B、C三点共线的方法：
AC BC
有公共点B
C
A、B、C三点共线
B
A
新知探究
追问：已知不共线向量a，b，作向量a+λ2b，你能发现向量
a
2a
= 6a
3(2a )
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2.2.3 向量数乘运算 及其几何意义
1.向量加法三角形法则:
特点:首尾顺次连，起点 指终点
C
ab b
A a B
2.向量加法平行四边形法则:
特点:起点相同,对角为和
B aC
bab
b
O a A
3.向量减法三角形法则:
特ar 点：平移同起点，br 方向B指被减 uuur r r
r b
O
r
.a
A
BAab
r a
的积是一个向量，
这种运算叫做向量的数乘，记作
r a
，它的长度和方向
规定如下：
r
r
（1） |a||||a|;
（2）当 0时， 当 0时，
r ar a
的方向与 的方向与
r
ar
a
r
的方向相同；
的方向相反。
r
特别的，当 0 时，a 0.
练一练: 书本P90,练习2,3
.
4
(1) 根据定义，求作向量3(2a)和(6a)
5b
( 3 ) 2 a ( a 3 b 5 b c ) 2 c( 3 a 2 b c )
练一练: 书本P90,练习5
思考:
(1)若br a(ra0),则a,b位置关系?如何 b // a
(2)若 b//a(a0),则 ba是否成 ? 立
成立
向量共线定理：
rr r r
向 量 a (a 0 ) 与 b 共 线 ,当 且 仅 当 有 唯 一 一 个 实 数 ,
(a为非零向量)，并进行比较。
(2) 已知向量 a,b，求作向量2(a+b)和2a+2b，
并进行比较。 a
3(2a)
3(2a) = 6a
b
a
2a2b
ab
2b
2 (a b)2 a2 b
2a
向量的数乘运算满足如下运算律：
， 是 实 数 ，
r
r
（ 1 ） （ a ) ( ) a ;
r rr
(2 )( )a a a ;
rr r r
(3 ) (a b ) a b .
r
r
特别地:（）a a
r r r r
ab ab
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算
例1、计算下列各式
(1) (3)4a 12a
( 2 ) 3 ( a b ) 2 ( a b ) a
2
作一作，看成果
已知非零向量
r a
,作出
rrr aaa
,你能发现什么？
r
a
rr
aa
O
A
r a
B
C
r 3a
rr 3 a 与 a 方向相同
rr 即3a 3 a
类比上述结论，( a r) ( a r) ( a r) 又如何呢？
r
r
r
a a a
N
M
Q
P
r 3a
3
r a
与
r a
r方向相r反
即3a 3a
.
3
一般地，我们规定实数λ与向量
A,B,C三点共线
AB=λCD AB∥CD AB与CD不在同一直线上
.
直线AB∥直线CD
22
书本P91，A组，9,10 B组,3
.
23
D
C
M
b
A
r a
B
练一练: 书本P92,11题
.
14
.
15
C
.
16
D
.
17
①②④
.
18
.
19
.
20
.
21
小结:
一、①λa 的定义及运算律
②向量共线定理 (a≠0)
b=λa
向量a与b共线
二、定理的应用： 1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=λBC 且有公共点Ｂ 3. 证明 两直线平行:
总结:
证明三点共线的方法:
AB=λBC
且有公共点Ｂ
A,B,C三点共线
ur uur uuur已 知 ur两 个 uur非 uu零 ur向 量 ure1和 eu2 ur不 uu共 ur线 ， ur如 果 uur AB2e13e2， BC6e123e2， CD4e18e2， 求 证 :A、 B、 D三 点 共 线 .
D
3AC
∴ AC 与 AE 共线．
.
10
rr
uuur r r
例3.如图，已知任意两个向量
u u u r r ru u u r r r
a
、b
，试作OAab,
O B a 2 b ,O C a 3 b .你能判断A、B、C三点之
间的位置关系吗？为什么？
C
r
r
a
b
r 3b
B
r
2b
A
r
b
r
a
.
O
11
.
12
ur uur
u u u r u r u u ru u u ru r u u r
C 设uuD uer1 , e 22是eur1两个euur2不，共若线A、的B向、量D，三点A B 共 线2 e ，1 求k e k2 的,C 值B . e 1 3 e 2 ,
.
13
例5.如u A uB u 图r ，a r平,u A u 行D ur四边b r形，A你BC能D用的ar两、条br 对来角表线示相M u u 交u A r、 于u M u 点u B r、 Mu M u ，u C u r且和 u M u u D u r 。
r r
使 b a .
rr 即 a与 b共 线
r rr r
b a (a 0)
思考:1)
r a
为什么要是非零向量?
r 2) b 可以是零向量吗?
练一练: 书本P已知AD=3AB，DE=3BC，
试判断AC与AE是否共线。
E
C
解：A EA D DE A
B
3AB3BC
3A BBC
1.向量加法三角形法则:
特点:首尾顺次连，起点 指终点
C
ab b
A a B
2.向量加法平行四边形法则:
特点:起点相同,对角为和
B aC
bab
b
O a A
3.向量减法三角形法则:
特ar 点：平移同起点，br 方向B指被减 uuur r r
r b
O
r
.a
A
BAab
r a
的积是一个向量，
这种运算叫做向量的数乘，记作
r a
，它的长度和方向
规定如下：
r
r
（1） |a||||a|;
（2）当 0时， 当 0时，
r ar a
的方向与 的方向与
r
ar
a
r
的方向相同；
的方向相反。
r
特别的，当 0 时，a 0.
练一练: 书本P90,练习2,3
.
4
(1) 根据定义，求作向量3(2a)和(6a)
5b
( 3 ) 2 a ( a 3 b 5 b c ) 2 c( 3 a 2 b c )
练一练: 书本P90,练习5
思考:
(1)若br a(ra0),则a,b位置关系?如何 b // a
(2)若 b//a(a0),则 ba是否成 ? 立
成立
向量共线定理：
rr r r
向 量 a (a 0 ) 与 b 共 线 ,当 且 仅 当 有 唯 一 一 个 实 数 ,
(a为非零向量)，并进行比较。
(2) 已知向量 a,b，求作向量2(a+b)和2a+2b，
并进行比较。 a
3(2a)
3(2a) = 6a
b
a
2a2b
ab
2b
2 (a b)2 a2 b
2a
向量的数乘运算满足如下运算律：
， 是 实 数 ，
r
r
（ 1 ） （ a ) ( ) a ;
r rr
(2 )( )a a a ;
rr r r
(3 ) (a b ) a b .
r
r
特别地:（）a a
r r r r
ab ab
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算
例1、计算下列各式
(1) (3)4a 12a
( 2 ) 3 ( a b ) 2 ( a b ) a
2
作一作，看成果
已知非零向量
r a
,作出
rrr aaa
,你能发现什么？
r
a
rr
aa
O
A
r a
B
C
r 3a
rr 3 a 与 a 方向相同
rr 即3a 3 a
类比上述结论，( a r) ( a r) ( a r) 又如何呢？
r
r
r
a a a
N
M
Q
P
r 3a
3
r a
与
r a
r方向相r反
即3a 3a
.
3
一般地，我们规定实数λ与向量
A,B,C三点共线
AB=λCD AB∥CD AB与CD不在同一直线上
.
直线AB∥直线CD
22
书本P91，A组，9,10 B组,3
.
23
D
C
M
b
A
r a
B
练一练: 书本P92,11题
.
14
.
15
C
.
16
D
.
17
①②④
.
18
.
19
.
20
.
21
小结:
一、①λa 的定义及运算律
②向量共线定理 (a≠0)
b=λa
向量a与b共线
二、定理的应用： 1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=λBC 且有公共点Ｂ 3. 证明 两直线平行:
总结:
证明三点共线的方法:
AB=λBC
且有公共点Ｂ
A,B,C三点共线
ur uur uuur已 知 ur两 个 uur非 uu零 ur向 量 ure1和 eu2 ur不 uu共 ur线 ， ur如 果 uur AB2e13e2， BC6e123e2， CD4e18e2， 求 证 :A、 B、 D三 点 共 线 .
D
3AC
∴ AC 与 AE 共线．
.
10
rr
uuur r r
例3.如图，已知任意两个向量
u u u r r ru u u r r r
a
、b
，试作OAab,
O B a 2 b ,O C a 3 b .你能判断A、B、C三点之
间的位置关系吗？为什么？
C
r
r
a
b
r 3b
B
r
2b
A
r
b
r
a
.
O
11
.
12
ur uur
u u u r u r u u ru u u ru r u u r
C 设uuD uer1 , e 22是eur1两个euur2不，共若线A、的B向、量D，三点A B 共 线2 e ，1 求k e k2 的,C 值B . e 1 3 e 2 ,
.
13
例5.如u A uB u 图r ，a r平,u A u 行D ur四边b r形，A你BC能D用的ar两、条br 对来角表线示相M u u 交u A r、 于u M u 点u B r、 Mu M u ，u C u r且和 u M u u D u r 。
r r
使 b a .
rr 即 a与 b共 线
r rr r
b a (a 0)
思考:1)
r a
为什么要是非零向量?
r 2) b 可以是零向量吗?
练一练: 书本P已知AD=3AB，DE=3BC，
试判断AC与AE是否共线。
E
C
解：A EA D DE A
B
3AB3BC
3A BBC