平面向量数乘运算及其几何意义1 公开课课件
合集下载
向量数乘运算及其几何意义(公开课课件)
在计算机图形学中的应用
向量数乘运算在计算机图形学中用于描述二维或三维图形的变换， 如旋转、缩放、平移等。
在机器学习中的应用
向量数乘运算在机器学习中用于特征提取和数据降维，可以提高模 型的训练效率和精度。
THANK YOU
感谢聆听
向量数乘运算及其几何意义(公 开课课件)
目
CONTENCT
录
• 向量数乘运算的定义与性质 • 向量数乘运算的几何意义 • 向量数乘运算的应用 • 向量数乘运算的扩展与展望
01
向量数乘运算的定义与性质
定义
向量数乘的定义
数乘运算是一种线性运算，它对向量进行缩放和旋转。具体来说， 对于任意实数k和向量a，数乘运算的结果是ka，其中k是标量，a是 向量。
向量数乘运算的性质
向量数乘运算具有一些重要的性质， 如结合律、交换律、分配律等，这些 性质在解决实际问题中具有广泛的应 用。
向量数乘运算在几何上表示对向量进 行缩放和平移，可以通过图形直观地 理解。向量数乘运算的 Nhomakorabea来发展方向
深入研究向量数乘运算的性质和算法
随着科学技术的不断发展，向量数乘运算在各个领域的应用越来越广泛，需要深入研究 其性质和算法，以提高计算效率和精度。
02
向量数乘运算的几何意义
标量与向量的数乘
标量与向量的数乘定义
标量数乘是指将一个标量与一个向量相乘，得到一个新的向量。这个新的向量的 模长是原向量模长的标量倍，而方向则与原向量相同或相反，取决于标量的正负 。
举例
假设有一个向量$overset{longrightarrow}{a}$，其模长为2，现在将其与标量3相 乘，得到新的向量$3overset{longrightarrow}{a}$，其模长为6，方向与 $overset{longrightarrow}{a}$相同。
向量数乘运算在计算机图形学中用于描述二维或三维图形的变换， 如旋转、缩放、平移等。
在机器学习中的应用
向量数乘运算在机器学习中用于特征提取和数据降维，可以提高模 型的训练效率和精度。
THANK YOU
感谢聆听
向量数乘运算及其几何意义(公 开课课件)
目
CONTENCT
录
• 向量数乘运算的定义与性质 • 向量数乘运算的几何意义 • 向量数乘运算的应用 • 向量数乘运算的扩展与展望
01
向量数乘运算的定义与性质
定义
向量数乘的定义
数乘运算是一种线性运算，它对向量进行缩放和旋转。具体来说， 对于任意实数k和向量a，数乘运算的结果是ka，其中k是标量，a是 向量。
向量数乘运算的性质
向量数乘运算具有一些重要的性质， 如结合律、交换律、分配律等，这些 性质在解决实际问题中具有广泛的应 用。
向量数乘运算在几何上表示对向量进 行缩放和平移，可以通过图形直观地 理解。向量数乘运算的 Nhomakorabea来发展方向
深入研究向量数乘运算的性质和算法
随着科学技术的不断发展，向量数乘运算在各个领域的应用越来越广泛，需要深入研究 其性质和算法，以提高计算效率和精度。
02
向量数乘运算的几何意义
标量与向量的数乘
标量与向量的数乘定义
标量数乘是指将一个标量与一个向量相乘，得到一个新的向量。这个新的向量的 模长是原向量模长的标量倍，而方向则与原向量相同或相反，取决于标量的正负 。
举例
假设有一个向量$overset{longrightarrow}{a}$，其模长为2，现在将其与标量3相 乘，得到新的向量$3overset{longrightarrow}{a}$，其模长为6，方向与 $overset{longrightarrow}{a}$相同。
《向量数乘运算及其几何意义课件(人教A版必修)》课件
解：如图 → → ∵AD＝2DB， → → → → 2→ ∴CD＝CA＋AD＝CA＋ AB 3 → 2 → → 1→ 2→ ＝CA＋ (CB－CA)＝ CA＋ CB. 3 3 3 → 1→ → 又∵CD＝ CA＋λCB， 3 2 ∴λ＝ . 3
共线向量定理的应用
→ → BC 例3 (本题满分 9 分)已知向量AB＝a＋5b， → ＝－2a＋8b，CD＝3(a－b)，求证：A，B，D
③|λa|＝|λ|a；④|λa|＝λ|a|. 解析：实数λ与向量a的积λa也是一个向量,所 以①错,②正确;|λa|＝|λ||a|,所以③④错. 想一想 向量与实数可以求积，那么向量和实数可以 进行加减运算吗？ 提示：不可以．向量与实数不能进行加减运 算，如1＋a和λ－a无法运算．
2.共线向量定理 向量 a(a≠0) 与 b 共线，当且仅当有唯一一个 b＝λa 实数λ，使____________ ． 做一做 已知向量 a ， b 不共线，则 c ＝ a － 2b 与 d ＝－ 2a＋4b的位置关系是什么？ 提示：d＝－2c，故c＝ AB ＋ BM ＝ a＋ BC ＝ a＋ (b－ a)＝ (a 2 2 2 ＋b)． → 2→ ∵△ADN∽△ABM，AD＝ AB， 3 → 2→ 1 ∴AN＝ AM＝ (a＋b)． 3 3
变式训练
→ 2.在△ABC 中， 已知 D 是 AB 边上一点， 若AD → → 1→ → ＝2DB，CD＝ CA＋λ CB，求 λ 的值． 3
→ → 证明：∵CB＝2a－8b，CD＝3a－3b， → → → 又∵AC＝AB＋BC＝－a＋13b， → ∴CA＝a－13b.
→ → → 设CA＝xCB＋yCD＝2xa－8xb＋3ya－3yb ＝(2x＋3y)a－(8x＋3y)b＝a－13b，
向量数乘运算及其几何意义公开课一等奖优秀课件
第二章 平面向量
§2.2 平面向量的线性运算-向量数乘运算及其几何 意义
CONTENTS
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
明目标、知重点
1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义. 2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算 律进行向量运算. 3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟 练地运用这些知识处理有关共线向量问题.
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
深入探究
如果λ、μ同号，则①式两边向量的方向都与a同向；如果λ、μ异 号，则①式两边向量的方向都与a反向. 因此，向量λ(μa)与(λμ)a有相等的模和相同的方向，所以λ(μa)＝ (λμ)a.
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
深入探究
例1 计算： (1)(－3)×4a； (2)3(a＋b)－2(a－b)－a； (3)(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c). 解 (1)原式＝(－3×4)a＝－12a； (2)原式＝3a＋3b－2a＋2b－a＝5b； (3)原式＝2a＋3b－c－3a＋2b－c＝－a＋5b－2c.
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
深入探究
(3)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c).
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
深入探究
探究点二 向量数乘的运算律
思考1 根据实数与向量积的定义，可以得哪些数乘运算律？ 答 设λ，μ∈R，则有 ①λ(μa)＝(λμ)a； ②(λ＋μ)a＝λa＋μa； ③λ(a＋b)＝λa＋λb.
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
深入探究
思考2 向量等式的证明依据是相等向量的定义，既要证明等式 两边的模相等，又要证明方向相同.你能根据这两条证明其中的 第①条运算律吗？ 答 ①λ(μa)＝(λμ)a(λ，μ∈R). 如果λ＝0或μ＝0或a＝0，则①式显然成立； 如果λ≠0，μ≠0，a≠0，则由向量数乘的定义有 |λ(μa)|＝|λ||μa|＝|λ||μ||a|， |(λμ)a|＝|λμ||a|＝|λ||μ||a|， 故|λ(μa)|＝|(λμ)a|.
§2.2 平面向量的线性运算-向量数乘运算及其几何 意义
CONTENTS
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
明目标、知重点
1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义. 2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算 律进行向量运算. 3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟 练地运用这些知识处理有关共线向量问题.
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
深入探究
如果λ、μ同号，则①式两边向量的方向都与a同向；如果λ、μ异 号，则①式两边向量的方向都与a反向. 因此，向量λ(μa)与(λμ)a有相等的模和相同的方向，所以λ(μa)＝ (λμ)a.
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
深入探究
例1 计算： (1)(－3)×4a； (2)3(a＋b)－2(a－b)－a； (3)(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c). 解 (1)原式＝(－3×4)a＝－12a； (2)原式＝3a＋3b－2a＋2b－a＝5b； (3)原式＝2a＋3b－c－3a＋2b－c＝－a＋5b－2c.
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
深入探究
(3)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c).
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
深入探究
探究点二 向量数乘的运算律
思考1 根据实数与向量积的定义，可以得哪些数乘运算律？ 答 设λ，μ∈R，则有 ①λ(μa)＝(λμ)a； ②(λ＋μ)a＝λa＋μa； ③λ(a＋b)＝λa＋λb.
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
深入探究
思考2 向量等式的证明依据是相等向量的定义，既要证明等式 两边的模相等，又要证明方向相同.你能根据这两条证明其中的 第①条运算律吗？ 答 ①λ(μa)＝(λμ)a(λ，μ∈R). 如果λ＝0或μ＝0或a＝0，则①式显然成立； 如果λ≠0，μ≠0，a≠0，则由向量数乘的定义有 |λ(μa)|＝|λ||μa|＝|λ||μ||a|， |(λμ)a|＝|λμ||a|＝|λ||μ||a|， 故|λ(μa)|＝|(λμ)a|.
向量数乘运算 及其几何意义 公开课课件
解原式=
练习提高 1 化简： 2（2a+8b ）-4(4a-2b) 121
1 (4 16)a (16 8)b 12
4a 16b 16a 8b 12
a 2b
1 12a 24b 12
A,B,D三点共线。
小结回顾 一、 ① a 的定义及运算律 ② 向量共线定理： 非零向量a和b共线 存在唯一实数，使得b a
二、向量共线定理的应用： 1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线:
AB AC A, B, C三点共线. AB与 AC有公共点A
思考 已知非零向量e1和e2不共线，需使
分析： a和b共线 存在，使b a(a 0)
ke1 +e2和e1 +ke2共线，试确定k的值。
解 : ke1 e2与e1 ke2共线，
存在使ke1 e2 (e1 ke2 )， k= 故 , 则k 1 1= k
(2 3)a 2a 3a
2(a b)与2a 2b ，并进行比较。
b
已知向量 a b，求作向量 和
a
a b
2a 2b
问题 3
a b
2(a b ) 2a 2b
一般地
a
b
2a
2b a
探究二
的积.（ 若e 为单位向量） (1)a=3 e,b=6 e ； (2) a= e,b=-3 e ; b=2 a
J
把下列各小题中的向量b表示为实数与向量a
b=-3a
223向量数乘运算及其几何意义1精品PPT课件
例1.计算：
(1)(3) 4a; (2)3(a b) 2(a b) a; (3)(2a 3b c) (3a 2b c).
-12 a 5b - a +5 b -2 c
练一练: 书本P90,练习2,3,5
思考 :
(1)若b a(a 0),则a,b位置关系如何? b // a
(2)若b / /a(a 0),且 b = a 则b a是否成立?
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
（2）当 0时， a 的方向与 a 的方向相同；
当 0时， a 的方向与 a 的方向相反。
特别的，当 0 时， a 0.
(1) 根据定义，求作向量3(2a)和(6a) (a为 非零向量)，并进行比较。
a
3(2a)
3(2a)
=
6a
(a) ( )a
(2) 根据定义，求作向量(2+3)a和2a +3a (a 为非零向量)，并进行比较。
a
a
a
5a5a
a
55aa 22aa
a
55aa
22aa
33aa
a
55aa
22aa
33a
(2 3)a 2a 3a
( )a a a
(3) 已知向量 a,b，求作向量2(a+b)和2a+2b，
并进行比较。
b
a
优质实用高中数学公开课课件精选人教A版2.2.3向量数乘运算及其几何意义
2．已知非零向量 e1，e2 不共线，且A→B＝e1＋e2，B→C＝ke1 ＋8e2，C→D＝3(e1－e2)，若 A，B，D 三点共线，试确定实数 k 的值．
解：B→D＝B→C＋C→D＝ke1＋8e2＋3(e1－e2)＝(k＋3)e1＋5e2. ∵A、B、D 三点共线，∴存在实数 λ，使A→B＝λB→D.
解析：(1)13122a＋8b－4a－2b＝16(2a＋8b)－13(4a－2b) ＝13a＋43b－43a＋23b＝2b－a.
(2)原式＝－53a＋53b＝－53(3i＋2j)＋53(2i－j)＝－53i－5j. 答案：(1)B (2)－53i－5j
•
向量线性运算的基本方法
• 向量的线性运算形式上类似于实数加减法与乘法满 足的运算法则，实数运算中去括号、移项、合并同类
谢谢观看
请指导
用已知向量表示其他向量
在△ABC 中，已知 D 是 BC 上的点，且 CD＝2BD， 设A→B＝a，A→C＝b，试用 a 和 b 表示A→D.
• 思路点拨：
解：∵B，C，D 三点共线，且 CD＝2BD， ∴B→D＝13B→C. 方法一：∴A→D＝A→B＋B→D＝A→B＋13B→C＝A→B＋13(A→C－A→B)＝23 A→B＋13A→C＝23a＋13b.
为AB的中点，点N在BD上，且3BN＝BD.
• 求证：M、N、C三点共线．
【规范思维】第一步，看结论：证明 M、N、C 三点共线． 第二步，想方法：运用共线向量定理证明M→N＝λM→C. 第三步，找联系：以A→B，A→D来表示M→N，M→C，借助共线向 量定理寻求 λ，使M→N＝λM→C，使问题得证．
∴M→N∥M→C.又 M 为公共点，11 分 ∴M、N、C 三点共线.12 分 【题后悟道】三点共线的判定步骤 一是证明两个向量共线，二是判断两个向量都过同一点．
《向量数乘运算》课件
《向量数乘运算》ppt课件
• 向量数乘运算的基本概念 • 向量数乘运算的规则与性质 • 向量数乘运算的应用场景 • 向量数乘运算的几何解释 • 向量数乘运算的注意事项与常见错误
01
向量数乘运算的基本概念
向量的定义与表示
总结词
理解向量的定义和表示方法是学习向量数乘运算的基础。
详细描述
向量是具有大小和方向的量，通常用有向线段表示，起点为 原点。在二维平面上，向量可以用有序对（x, y）表示，在三 维空间中，向量可以用有序三元组（x, y, z）表示。
数乘运算的定义
总结词
理解数乘运算的定义是掌握向量数乘 运算的关键。
详细描述
数乘运算是指将一个标量与一个向量 相乘，结果仍为一个向量。标量可以 是实数或复数，与向量相乘时，标量 可以乘以向量的每一个分量。
向量数乘运算的意义
总结词
了解向量数乘运算的意义有助于理解其在物理和工程领域的应用。
详细描述
向量数乘运算在物理学和工程学中有着广泛的应用，如速度和加速度的计算、 力的合成与分解、交流电的相量表示等。通过向量数乘运算，可以方便地描述 和解决物理问题，简化计算过程。
分类与回归分析
在分类与回归分析中，向量数乘运算用于训练模型和预测结果。通过向量数乘运算，可以对数据进行特 征提取和变换，进而训练分类器或回归模型。同时，向量数乘运算也用于预测新数据的分类或回归结果 。
04
向量数乘运算的几何解释
向量的模与方向
总结词
描述向量的模与方向的概念。
详细描述
向量的模表示向量的大小，方向表示向量的指向。通过几何图形可以直观地表示 向量，其中箭头长度代表向量的模，箭头指向代表向量的方向。
详细描述
在进行向量数乘运算时，如果数乘的系数过 大或过小，可能会导致结果溢出或下溢。为 了避免这种情况，应选择合适的数据类型和 算法，或者采用适当的缩放因子来调整数乘 的系数，以确保结果的精度和准确性。同时 ，在编写代码时，可以使用异常处理机制来
• 向量数乘运算的基本概念 • 向量数乘运算的规则与性质 • 向量数乘运算的应用场景 • 向量数乘运算的几何解释 • 向量数乘运算的注意事项与常见错误
01
向量数乘运算的基本概念
向量的定义与表示
总结词
理解向量的定义和表示方法是学习向量数乘运算的基础。
详细描述
向量是具有大小和方向的量，通常用有向线段表示，起点为 原点。在二维平面上，向量可以用有序对（x, y）表示，在三 维空间中，向量可以用有序三元组（x, y, z）表示。
数乘运算的定义
总结词
理解数乘运算的定义是掌握向量数乘 运算的关键。
详细描述
数乘运算是指将一个标量与一个向量 相乘，结果仍为一个向量。标量可以 是实数或复数，与向量相乘时，标量 可以乘以向量的每一个分量。
向量数乘运算的意义
总结词
了解向量数乘运算的意义有助于理解其在物理和工程领域的应用。
详细描述
向量数乘运算在物理学和工程学中有着广泛的应用，如速度和加速度的计算、 力的合成与分解、交流电的相量表示等。通过向量数乘运算，可以方便地描述 和解决物理问题，简化计算过程。
分类与回归分析
在分类与回归分析中，向量数乘运算用于训练模型和预测结果。通过向量数乘运算，可以对数据进行特 征提取和变换，进而训练分类器或回归模型。同时，向量数乘运算也用于预测新数据的分类或回归结果 。
04
向量数乘运算的几何解释
向量的模与方向
总结词
描述向量的模与方向的概念。
详细描述
向量的模表示向量的大小，方向表示向量的指向。通过几何图形可以直观地表示 向量，其中箭头长度代表向量的模，箭头指向代表向量的方向。
详细描述
在进行向量数乘运算时，如果数乘的系数过 大或过小，可能会导致结果溢出或下溢。为 了避免这种情况，应选择合适的数据类型和 算法，或者采用适当的缩放因子来调整数乘 的系数，以确保结果的精度和准确性。同时 ，在编写代码时，可以使用异常处理机制来
人教版高中数学第二章3平面向量的数乘运算(共20张PPT)教育课件
1、平面向量的数乘运算的定义： 一般地，实数 与向量 a 的积，记作 a ， (a表示一个向量)
它的长度与方向规定如下：
(1) | a | | || a |；
(2) 当 0 时，a 的方向与 a 的方向相同； 当 0 时，a 的方向与 a 的方向相反 ；
当 0 时，a 0 .
练习1、向量a和b方向相反，长度是b的 1 , 3
AC 与AE 共线 .
又 AC 与AE 有共同起点A . A、C、E三点共线.
E D
AC AE
将向量换成O为起点
OC OA (OE OA)
进一步化简
OC OE (1 )OA
A,B,C共线的等价条件为：OC OA (1 )OB
例 5：非零向量a,b,OA a b,OB a 2b,OC a 3b, A, B,C是否共xian？
2
2
DE 1 AC 1 AB 1 ( AC AB) 1 BC
2
2
2
2
DE // 1 BC 2
例 4： 如图，已知 AD 3AB ，DE 3BC . 证明A、C、E共线 .
（分析：证明AC AE)
解： AE AD DE
3AB 3BC
C
A B
3( AB BC)
3AC ，
a,b方向相同
a,b方向相反
思考：若上述不等式中a，b为实数时还成立吗？有何区别？
高中数学《必修四》
平面向量的数乘运算
1、平面向量的数乘运算的定义：
已知非零向量 a ，作出：a a a 和 (a) (a) (a) .
a
a
a
a
O
AB
C
OC a a a 3a
N
a a a
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
a
的方向相同； 的方向相反。
rr
特别的，当 0 时， a 0.
(1) 根据定义，求作向量3(2a)和(6a)
(a为非零向量)，并进行比较。
(2) 已知向量 a,b，求作向量2(a+b)和2a+2b，
并进行比较。a
3(2a)
3(2a)
=
6a
b a
2a
2b
uuuur MD
。
D
C
M
b
A
r a
B
r b
O
r aA
BA a b
作一作，看成果
ห้องสมุดไป่ตู้
已知非零向量
r a
,作出
r a
r a
r a
,你能发现什么？
r
a
rrr
r a a a
3a O
A
B
C
rr 3a与 a 方向相同
rr 即 3a 3 a
类比上述结论，(ar )
r (a)
r (a)
又如何呢？
rrr a a a
N
M
Q
P
r 3a
r 3a与
r ar方向相r 反
即 3a 3 a
一般地，我们规定实数λ与向量
r a
的积是一个向量，
这种运算叫做向量的数乘，记作 ar ，它的长度和方向
规定如下：
r
r
（1） | a || || a |;
（2）当
当
0时， 0时，
r ar a
的方向与 的方向与
r ar
思考:1)
r a
为什么要是非零向量?
r 2) b 可以是零向量吗?
例2 如图，已知AD=3AB，DE=3BC，
试判断AC与AE是否共线。
E
C
解： AE AD DE
A
B
3AB 3BC
3 AB BC
D
3AC
∴ AC与 AE 共线．
例3.如uAuBu图r ，ar平, uAu行Dur四边br 形，A你BC能D用的ar两、条br 对来角表线示相Muu交uAr、于uMuu点Br、MuMu，uCur 且和
r r r r
a b a b
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算
例1、计算下列各式
(1)(3) 4a 12a
(2)3(a
b)
2(a
b)
a
5b
(3)(2aa3b5bc)2c(3a
2b
c)
思考:
(1)若b r a(ra 0),则a,b位置关系如何? b // a
(2)若b // a(a 0),则b a是否成立?
成立
向量共线定理：
rr r r
向量a(a 0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数,
rr
使b a.
rr
r rr r
即a与b共线
b a (a 0)
2.2.3 向量数乘运算 及其几何意义
1.向量加法三角形法则:
特点:首尾相连，自始而 终
C ab b
A a B
2.向量加法平行四边形法则:
特点:起点相同,对角为和
B aC
b
a
b
b
O a A
3.向量减法三角形法则:
特ar点：平移同起点，br方向B指被减 uuur r r
a
b
2b
2(a b ) 2a 2b
2a
向量的数乘运算满足如下运算律：
，是实数，
r
r
（1）（ a) ( )a;
r rr
(2)( )a a a;
rr r r
(3) (a b) a b.
r
r
特别地:（ ）a a
的方向相同； 的方向相反。
rr
特别的，当 0 时， a 0.
(1) 根据定义，求作向量3(2a)和(6a)
(a为非零向量)，并进行比较。
(2) 已知向量 a,b，求作向量2(a+b)和2a+2b，
并进行比较。a
3(2a)
3(2a)
=
6a
b a
2a
2b
uuuur MD
。
D
C
M
b
A
r a
B
r b
O
r aA
BA a b
作一作，看成果
ห้องสมุดไป่ตู้
已知非零向量
r a
,作出
r a
r a
r a
,你能发现什么？
r
a
rrr
r a a a
3a O
A
B
C
rr 3a与 a 方向相同
rr 即 3a 3 a
类比上述结论，(ar )
r (a)
r (a)
又如何呢？
rrr a a a
N
M
Q
P
r 3a
r 3a与
r ar方向相r 反
即 3a 3 a
一般地，我们规定实数λ与向量
r a
的积是一个向量，
这种运算叫做向量的数乘，记作 ar ，它的长度和方向
规定如下：
r
r
（1） | a || || a |;
（2）当
当
0时， 0时，
r ar a
的方向与 的方向与
r ar
思考:1)
r a
为什么要是非零向量?
r 2) b 可以是零向量吗?
例2 如图，已知AD=3AB，DE=3BC，
试判断AC与AE是否共线。
E
C
解： AE AD DE
A
B
3AB 3BC
3 AB BC
D
3AC
∴ AC与 AE 共线．
例3.如uAuBu图r ，ar平, uAu行Dur四边br 形，A你BC能D用的ar两、条br 对来角表线示相Muu交uAr、于uMuu点Br、MuMu，uCur 且和
r r r r
a b a b
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算
例1、计算下列各式
(1)(3) 4a 12a
(2)3(a
b)
2(a
b)
a
5b
(3)(2aa3b5bc)2c(3a
2b
c)
思考:
(1)若b r a(ra 0),则a,b位置关系如何? b // a
(2)若b // a(a 0),则b a是否成立?
成立
向量共线定理：
rr r r
向量a(a 0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数,
rr
使b a.
rr
r rr r
即a与b共线
b a (a 0)
2.2.3 向量数乘运算 及其几何意义
1.向量加法三角形法则:
特点:首尾相连，自始而 终
C ab b
A a B
2.向量加法平行四边形法则:
特点:起点相同,对角为和
B aC
b
a
b
b
O a A
3.向量减法三角形法则:
特ar点：平移同起点，br方向B指被减 uuur r r
a
b
2b
2(a b ) 2a 2b
2a
向量的数乘运算满足如下运算律：
，是实数，
r
r
（1）（ a) ( )a;
r rr
(2)( )a a a;
rr r r
(3) (a b) a b.
r
r
特别地:（ ）a a